‫אוסף תרגילים‬ ‫טורי פורייה והתמרות אינטגרליות ‪11009‬‬ ‫לביא קרפ‬ ‫מכללת אורט בראודה‬ ‫המחלקה למתמטיקה‬ ‫התמרת לפלס‬ ‫הגדרות ומשפטים‬ ‫• התמרת לפלס‪:‬‬ ‫‪f (x)e−xs dx.‬‬ ‫∞‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫= )‪L(f )(s‬‬ ‫• התמרת לפלס הפוכה ‪:‬‬ ‫‪L−1 (F )(x) = f (x) ⇐⇒ L(f )(s) = F (s).‬‬ ‫• פונקציית הביסיד‪:‬‬ ‫∞<‪a≤t‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0≤t<a‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‬ ‫= )‪.ua (t) = u(t − a‬‬ ‫• פונקציית דלתא של דירק‪ δ(t) = 0 :‬לכל ‪ t 6= 0‬ומקיימת‬ ‫)‪f (t)δ(t)dt = f (0‬‬ ‫∞‬ ‫‪Z‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫לכל )‪ f (t‬רציפה בסביבת ‪.0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫• קונבולוציה‪ :‬אם )‪ L (f ) (s) = F (s‬ו )‪ , L (g) (s) = G(s‬אז התמרת לפלס הפוכה‬ ‫של )‪ F (s)G(s‬ניתנת על ידי הקונבולוציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (x − t)g(t)dt.‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫• תכונות התמרת לפלס‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪F (s) = L(f )(s‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪F (s‬‬ ‫)‪xf (x‬‬ ‫‪− ds‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪sF (s) − f (0‬‬ ‫)‪dx f (x‬‬ ‫)‪eαxf (x‬‬ ‫)‪F (s − α‬‬ ‫)‪u(x − α)f (x − α‬‬ ‫)‪e−αsF (s‬‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬מצא התמרת לפלס של הפונקציות הבאות‪.‬‬ ‫א‪;e−x cos(3x) + e6x − 1 .‬‬ ‫ג‪;sin2 x .‬‬ ‫ב‪;(x − 1)4 .‬‬ ‫ד‪.x sin2 x .‬‬ ‫‪ .2‬חשב התמרות לפלס לפי ההגדרה‪.‬‬ ‫‪0≤x<2‬‬ ‫‪2≤x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪x,‬‬ ‫= )‪;f (x‬‬ ‫‪0≤x<π‬‬ ‫‪π≤x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪sin x,‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫רמז‪.sin x = Im(eix ) :‬‬ ‫‪ .3‬לאלו מהפונקציות הבאות יש גידול מערכי?‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪;x3 sin x .‬‬ ‫א‪;ex .‬‬ ‫ג‪;e54x .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד‪.sin(ex ) .‬‬ ‫‪ .4‬חשב התמרת לפלס הפוכה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪(s − 1)4‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪+ 4s + 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪+ 2s + 2‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫;‬ ‫‪s2‬‬ ‫;‬ ‫‪s2 − 26s − 47‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪(s − 1)(s + 2)(s + 5‬‬ ‫‪5s2 + 34s + 53‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫)‪(s + 3)2 (s + 1‬‬ ‫;‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫‪−2s2 + 8s − 14‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫)‪(s + 1)(s2 − 2s + 5‬‬ ‫‪7s3 − 2s2 − 3s + 6‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫)‪s3 (s − 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫;‬ ‫‪ .5‬הראה את הטענות הבאות‪.‬‬ ‫‬ ‫)‪F (s‬‬ ‫א‪ .‬אם )‪ ,L(f )(s) = F (s‬אז‬ ‫= )‪f (t)dt (s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫ב‪ .‬אם )‪ L(f )(s) = − dsd F (s‬והגבול‬ ‫)‪.F (s‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Rx‬‬ ‫‪.L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ limx→0+‬קיים וסופי ‪ ,‬אז = )‪(s‬‬ ‫‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ .6‬חשב התמרת לפלס הפוכה‪.‬‬ ‫‪s‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪(s2‬‬ ‫;‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪(s2‬‬ ‫;‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‪s+5‬‬ ‫‪s−2‬‬ ‫‬ ‫ד‪.arctan (1/s) .‬‬ ‫‪;ln‬‬ ‫‪ .7‬נתונה בעיית התחלה ‪.y ′ (0) = −1 , y(0) = 1 ; y ′′ + y = t2 + 2‬‬ ‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬ ‫‪ .8‬נתונה בעיית התחלה ‪.y ′ (0) = 2 , y(0) = 1 ; y ′′ + 2y ′ + 2y = e−x cos x‬‬ ‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬ ‫‪ .9‬פתור את בעיוות ההתחלה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪.y ′ (0) = −4, y(0) = 5 ; y ′′ − 7y ′ + 10y = 9 cos t + 7 sin t‬‬ ‫‪.y ′(0) = 5, y(0) = −1 ; y ′′ + 5y ′ − 6y = 21et‬‬ ‫‪.y ′ (0) = −1, y(0) = 0 ; y ′′ − 3y ′ + 2y = cos t‬‬ ‫‪.y ′ (0) = 2, y(0) = 0 ; y ′′ − y ′ − 2y = e−t sin 2t‬‬ ‫‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + 6y = et cos 2t‬‬ ‫‪ .10‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬ ‫‪;y ′ (0) = 1, y(0) = 0‬‬ ‫א‪; y ′′ + y = u(t − 3) .‬‬ ‫ב‪;y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = u(t − 2)(t − 4) .‬‬ ‫ג‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + 5y ′ + 6y = tu(t − 2) .‬‬ ‫‪ .11‬נתונה בעיית התחלה‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‪0≤x‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪≤x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10,‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‬ ‫= ‪.y (0) = 0 , y(0) = 0 ; y − 2y + 5y‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫א‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות השוואת מקדמים‪ .‬מצא תחילה את הפתרון‬ ‫בקטע ] ‪ [0, 3π2‬ולאחר בקטע )∞ ‪ , [ 3π2 ,‬כאשר ) ‪ y( 3π2‬ו ) ‪ y ′( 3π2‬הם תנאי התחלה‬ ‫לקטע השני ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתור את הבעיה באמצעות התמרת לפלס‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .12‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬ ‫‪0≤t<2‬‬ ‫א‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר ‪2 ≤ t < 5‬‬ ‫‪5≤t‬‬ ‫‪0≤t<1‬‬ ‫ב‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר ‪1 ≤ t < 2‬‬ ‫‪2≤t‬‬ ‫‪0≤t<1‬‬ ‫‪1≤t<2‬‬ ‫ג‪ ,y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + 9y = g(t) .‬כאשר‬ ‫‪2≤t<3‬‬ ‫‪3≤t‬‬ ‫‪ .13‬פתור את בעיות ההתחלה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫= )‪.g(t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪7,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1,‬‬ ‫‪−1,‬‬ ‫= )‪.g(t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t − 1,‬‬ ‫= )‪.g(t‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪− t,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‬ ‫‪sin t,‬‬ ‫‪0 ≤ t < 2π‬‬ ‫= )‪.g(t‬‬ ‫א‪ ,y ′ (0) = 3, y(0) = 1; y ′′ + 4y = g(t) .‬כאשר‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪2π ≤ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0≤t<1‬‬ ‫‪ 0,‬‬ ‫‪t,‬‬ ‫ב‪ ,y ′(0) = 2, y(0) = 0; y ′′ + 5y ′ + 6y = g(t) .‬כאשר ‪1 ≤ t < 5‬‬ ‫= )‪.g(t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪5≤t‬‬ ‫‪ .14‬פתור את בעיות ההתחלה‪ ,‬כאשר )‪ δ(t‬מסמנת את פונקציית דירק‪:‬‬ ‫א‪.y ′ (0) = 0, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − π) .‬‬ ‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 1 ; y ′′ + 2y ′ + 2y = δ(t − π) .‬‬ ‫ג‪.y ′ (0) = −2, y(0) = 2 ; y ′′ + 2y ′ − 3y = δ(t − 1) − δ(t − 2) .‬‬ ‫‪ .15‬פתור את בעיות ההתחלה וסרטט את הגרפים של הפתרונות‪ ,‬כאשר )‪ δ(t‬מסמנת‬ ‫את פונקציית דירק‪:‬‬ ‫א‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − 2π) .‬‬ ‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 0 ; y ′′ + y = δ(t − π/2) .‬‬ ‫‪ .16‬משקולת מחוברת לקפיץ ובמצב התחלתי המשקולת לא נעה ונמצאת מטר אחד‬ ‫מתחת לנקודת מצב היציב‪ .‬לאחר ‪ π2‬שניות מכים את המשקולת עם פטיש‪.‬‬ ‫המשוואה שמתארת את מיקם המשקולת בזמן ‪ t‬היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‪π‬‬ ‫‪, x′′ + 9x = −3δ t −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, x(0) = 1‬‬ ‫‪.x′ (0) = 0‬‬ ‫מה השפעת המכה על מיקום המשקולת?‬ ‫‪ .17‬בטא את הפתרונות באמצעות משפט הקונבולוציה‪ ,‬כאשר )‪ g(t‬רציפה למקטועין‬ ‫בקטע )∞ ‪.[,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪.y ′ (0) = 1, y(0) = −1 ; y ′′ − 2y ′ + y = g(t) .‬‬ ‫ב‪.y ′ (0) = 1, y(0) = 1 ; y ′′ + 4y ′ + 5y = g(t) .‬‬ ‫‪ .18‬נתונה תנועה הרמונית‬ ‫‪, mx′′ + bx′ + kx = f‬‬ ‫‪, x(0) = x′ (0) = 0‬‬ ‫כאשר ‪ b > 0 ,b2 < 4mk‬והפונקציה ‪ f‬רציפה למקוטעין וחסומה‪.|f (t)| ≤ A :‬‬ ‫א‪ .‬הראה שהפתרון ניתן באמצעות הקובולוציה‬ ‫‪b‬‬ ‫‪e− 2m (t−s) sin(ω(t − s))f (s)ds‬‬ ‫כאשר‬ ‫*ב‪ .‬הראה‬ ‫‪4mk−b2‬‬ ‫‪4m2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪, x(t‬‬ ‫‪mω‬‬ ‫= ‪.ω‬‬ ‫‪2A‬‬ ‫‪ωb‬‬ ‫≤ |)‪, |x(t‬‬ ‫כלומר הפתרון חסום לכל ‪ b‬ושגורם הריסון גדל ‪ ,‬הערכים של )‪ x(t‬קטנים‪.‬‬ ‫‪ .19‬חשב התמרת לפלס הפוכה באמצעות קונבולוציה‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ; 2‬ג‪.‬‬ ‫‪ ; 2‬ב‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫)‪(s + 2)(s − 5‬‬ ‫)‪s(s + 1‬‬ ‫)‪(s + 1)(s2 + 4‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ .20‬חשב התמרת לפלס של ‪.f (t) = 0t sin(t − s)e2s ds‬‬ ‫‪5‬‬ ‫;‬ ‫‪s‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪+ 1)2‬‬ ‫‪(s2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תשובות‬ .1 ; 4 1 s+1 1 1 4! 24 12 − 4 + 3 − 2 + .‫ב‬ ; + − .‫א‬ 5 2 s s s s s (s + 1) + 9 s − 6 s 1 1 4 − s2 1 1 s .− − 2 + 2 .‫ג‬ .‫; ד‬ − 2 s (s + 4)2 2 s s2 + 4 .2 . 1 + e−πs .‫ב‬ s2 + 1 ;e−2s 2s + 1 s2 .‫א‬ .‫ ו ד‬.‫ ג‬,.‫ ב‬.3 .4 ;−3e−x +ex (cos 2x + sin 2x) .‫ד‬ 1 2 ;6e−5x −e−2x −4ex .‫ג‬ .6e−2x + 1 − 23 x2 (‫)ז‬ ; e−2x sin 2x .‫ב‬ ;−e−3x + 2xe−3x + 6e−x .‫ו‬ ; 16 ex x3 .‫א‬ ;e−x sin x .‫ה‬ .6 . sin x .‫ד‬ x ; e2x − e−5x .‫ג‬ x ; 21 (−x cos x + sin x) .‫ב‬ ;e −x ; 12 et − 35 e2t − 103 sin t + 101 cos t .‫ג‬ ; 21 x sin x .‫א‬ ;t2 + cos t − sint .7 + cos x + sin x .8 .9 x sin x 2 ;3tet − 74 et − 37 e−6t .‫; ב‬cos t − 4e5t + 8e2t .‫א‬ 1 −t 3 −t 28 2t e − 65 e−t − 13 e sin 2t + 26 e cos 2t .‫ד‬ ;y(t) = 39 √ √ √ .y(t) = 253 et cos 2t + 254 et sin 2t + 7756 sin( 6t) − 253 cos( 6t) .‫ה‬ .10 ;u(t − 3) [1 − cos(t − 3)] + sin t .‫א‬ ;u(t − 2) [(t − 2) − 3 sin(t − 2)] + sin t .‫ב‬ .e−2t − e−3t + u(t − 2) − 19 + 13 (t − 2) + 91 e−3(t−2) .‫ג‬ 6 .11 1 x 2 1 + e − cos 2x + sin 2x 2 1 3π 3π 3π (x− 3π ) 2 ) 1+e )) + sin(2(x − )) − cos(2(x − +2u(x − 2 2 2 2 .12 .‫א‬ 3 [− cos 2t + 1] + u(t − 2) [cos(2(2t − 2)) − 1] 4 +2u(t − 5) [− cos(2(2t − 5)) + 1] .‫ב‬ 1 1 [− cos 2t + 1] + u(t − 1) [cos(2(t − 1)) − 1] 4 2 1 + u(t − 2) [− cos(2(t − 2)) + 1] 4 ‫ אך נגזרת שניה אינה‬,‫ הפונקציה ונגזרותיה רציפות‬.‫ הפתרון של סעיף ב׳‬:1 ‫איור‬ .‫קיימת בנקודות התפר‬ .‫ג‬ . 1 u(t − 1) (t − 1) − 9 1 + u(t − 3) (t − 3) − 9 1 −2 1 sin(3(t − 1)) + u(t − 2) (t − 2) − sin(3(t − 2) 3 9 3 1 sin(3(t − 3) 3 7 .13 .‫א‬ 3 cos 2t + sin 2t 2 1 1 + sin t − sin 2t − 5 2 3 = cos 2t + sin 2t 2 1 1 + sin t − sin 2t − 5 2 1 1 u(t − 2π) sin(t − 2π) − sin(2(t − 2π)) 5 2 1 1 u(t − 2π) sin t − sin 2t 5 2 .‫ב‬ e−2t − e−3t 1 3 1 + (t − 1) + e−2(t−1) − + u(t − 1) 36 6 4 3 14 4 − (t − 5) − e−2(t−5) + + u(t − 5) 36 6 2 4 −3(t−1) e 9 7 −3(t−5) e 9 .14 ;u(t − π) sin(t − π) .‫א‬ ;e−t (cos t + 2 sin t) + u(t − π)e−(t−π) sin(t − π) .‫ב‬ .et + e−3t + 41 u(t − 1) e(t−1) − e−3(t−1) − 41 u(t − 2) e(t−2) − e−3(t−2) .‫ג‬ ;y(t) = 8 sin t, 2 sin t, .15 0 ≤ t ≤ 2π 2π < t .‫א‬ ‫איור ‪ :2‬הפתרון של סעיף א׳‪ .‬הפונקציה הפתרון רציף אך הנגזרת לא קיימת בנקודת‬ ‫התפר‪ .‬האמפליטודה מוכפלת בנקודת אי הגזירות ‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪0 ≤ t ≤ π/2‬‬ ‫‪π/2 < t‬‬ ‫‪sin t,‬‬ ‫√‬ ‫‪2 sin(t − π/4),‬‬ ‫‬ ‫= )‪.y(t‬‬ ‫איור ‪ :3‬הפתרון של סעיף ב׳‪ .‬הפונקציה הפתרון רציף אך הנגזרת לא קיימת בנקודת‬ ‫התפר‬ ‫‪.16‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫<‪0≤t‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪≤t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos 3t,‬‬ ‫‪2 cos 3t,‬‬ ‫‬ ‫= )‪x(x‬‬ ‫‪.18‬‬ ‫א‪;2te − e + 0 e (t − s)g(s)ds .‬‬ ‫‪t−s‬‬ ‫‪Rt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫ב‪e−2(t−s) sin(t − s)g(s)ds .‬‬ ‫‪.19‬‬ ‫א‪; 61 sin t − 13 sin 2t .‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪Rt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.e−2t (cos t + 3 sin t) +‬‬ ‫ב‪;1 − cos t .‬‬ ‫ג‪;2e5t − 2e−2t .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ד‪. 2t sin t .‬‬