‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חשבון אינפיניטסימלי ‪3‬‬ ‫תקצירי הרצאות‬ ‫רועי משולם‬ ‫המרחב האוקלידי ה‪ n-‬ממדי‬ ‫יהא ‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  x1 , , xn  : xi ‬‬ ‫הוא מרחב וקטורי ‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ביחס לפעולות החיבור‬ ‫מימדי מעל‬ ‫‪, xn    y1, , yn    x1  y1, , xn  yn ‬‬ ‫‪ x1,‬‬ ‫וכפל בסקלר‬ ‫‪  x1 , , xn    x1 , , xn  .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫האורך של‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n 2‬‬ ‫‪ x   x1, , xn  ‬הוא ‪. x    xi ‬‬ ‫‪ i 1 ‬‬ ‫המרחק (המטריקה) בין שני וקטורים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ , x, y ‬נתון על‪-‬ידי‪:‬‬ ‫‪d ( x, y)  x  y .‬‬ ‫המכפלה הפנימית של‬ ‫‪x, y ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נתונה על ידי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x, y    xi yi .‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫תכונות המכפלה הפנימית‪:‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪ .  ‬אזי‪:‬‬ ‫‪, x, x ', y ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . 0  x   x, x ‬שוויון‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ y, x    x, y ‬‬ ‫‪  x, y     x, y ‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ x  x ', y    x, y    x ', y ‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫זוית‪ :‬יהיו‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. 0  x, y ‬‬ ‫לפי משפט הקוסינוסים‪:‬‬ ‫מתקיים אם ורק אם ‪. x  0‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 2 x  y  x  y  2 x y cos 2 2 2 :‫מאידך‬ x  y   x  y, x  y   ( x, x)  2( x, y)  ( y, y) 2  x  y  2( x, y) 2 2 . cos   x, y   x  x, y  x y :‫לכן‬ y :‫אי שוויון קושי שוורץ‬ :‫הוכחה‬ p(t )  at 2  bt  c ‫ אזי הפולינום הריבועי‬. c | x |2 -‫ ו‬b  2( x, y ) , a | y |2 ‫נסמן‬ ‫ מכאן‬.) p(t )  at  bt  c  (t y  x, t y  x) -‫ (מפני ש‬t  ‫ לכל‬p (t )  0 ‫מקיים‬ 2 ‫ ; לכן‬b  4ac ‫ כלומר‬,   0 ‫ מקיימת‬  b  4ac ‫שהדיסקרימיננטה‬ 2 2  . ( x, y) | x | | y | ‫ ומכאן‬, 4( x, y)  4 | x | | y | 2 2 2 2 2 2 :)‫תכונות המרחק (המטריקה‬ . d ( y , x )  d ( x, y ) .‫א‬ . x  y ‫ אם ורק אם‬d ( x, y )  0 .‫ב‬ . d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z , y ) :‫אי שוויון המשולש‬ .‫ג‬ :‫הוכחה‬ : a  b  a  b ‫מתקיים‬ n a, b ‫נראה כי לכל‬ :‫שוורץ‬-‫ע"י שימוש באי שוויון קושי‬ a  b   a  b, a  b   a  b  2  a, b   2 2 2  a  b 2 a b a  b . 2 2 2 :‫ ונקבל‬, b  z  y , a  x  z :‫כעת נציב‬  . x  y  | ( x  z )  ( z  y) |  x  z  z  y : n -‫טופולוגיה קבוצתית ב‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נכיר כמה מושגים טופולוגיים‪.‬‬ ‫הכדור הפתוח סביב‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הכדור הסגור סביב‬ ‫‪ a ‬בעל רדיוס ‪: d ( x, a)  r  :r‬‬ ‫‪ a ‬בעל רדיוס ‪: d ( x, a)  r  :r‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. B (a, r )   x ‬‬ ‫‪. B (a, r )  x ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ G ‬היא קבוצה פתוחה אם לכל ‪ a  G‬קיים ‪ r  0‬כך ש‪. B ( a, r )  G -‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ F ‬היא קבוצה סגורה אם ‪ F‬‬ ‫‪n‬‬ ‫פתוחה‪.‬‬ ‫תכונות של משפחת הקבוצות הפתוחות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫פתוחות‪.‬‬ ‫(‪ )2‬אם ‪  A I‬משפחה של קבוצות פתוחות‪ ,‬אזי ‪A‬‬ ‫פתוחה (תכונה זו נקראת‬ ‫‪I‬‬ ‫"סגירות של קבוצות פתוחות ביחס לאיחודים")‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫(‪ )3‬אם ‪, Am‬‬ ‫פתוחה‪( .‬תכונה זו נקראת "סגירות של‬ ‫‪ A1 ,‬קבוצות פתוחות‪ ,‬אזי ‪Ai‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫קבוצות פתוחות ביחס לחיתוכים סופיים")‪.‬‬ ‫תכונות של משפחת הקבוצות הסגורות‪:‬‬ ‫('‪)1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫סגורות‪.‬‬ ‫('‪ )2‬אם ‪  A I‬משפחה של קבוצות סגורות‪ ,‬אזי ‪A‬‬ ‫סגורה‪"( .‬סגירות של קבוצות‬ ‫‪I‬‬ ‫סגורות ביחס לחיתוכים")‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫('‪ )3‬אם ‪, Am‬‬ ‫סגורה‪"( .‬סגירות של קבוצות סגורות‬ ‫‪ A1 ,‬קבוצות סגורות‪ ,‬אזי ‪Ai‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫ביחס לאיחודים סופיים")‪.‬‬ ‫התכנסות סדרות ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪:‬‬ ‫תהא ‪  xm m  1‬סדרה ב‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .‬נאמר כי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ lim xm  x ‬אם לכל ‪  0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫) ‪ N  N (‬כך שלכל ‪ m  N‬מתקיים ‪. d ( xm , x )  ‬‬ ‫קיים‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ x ‬תיקרא נקודת גבול של קבוצה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אם קיימת סדרה ‪ am m 1  A‬כך ש‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. lim am  x‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫אוסף נקודות הגבול של‬ ‫טענה‪A :‬‬ ‫‪ A‬נקרא הסגור של ‪A‬‬ ‫ומסומן ב‪. A -‬‬ ‫היא הקבוצה הסגורה המינימלית המכילה את ‪. A‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫(‪A )i‬‬ ‫סגורה‪ :‬עלינו להראות כי הקבוצה המשלימה שלה פתוחה‪.‬‬ ‫תהא ‪ . z  A‬עלינו להראות כי קיים ‪ r  0‬כך שהכדור הפתוח ) ‪ B( z , r‬מוכל‬ ‫במשלים של ‪ , A‬כלומר ‪. B( z, r )  A  ‬‬ ‫נניח בשלילה שלא קיים ‪ r‬כזה‪ .‬אזי לכל ‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טבעי קיים ‪ un  A‬כך ש‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. un  B z, 1‬‬ ‫יהא ‪n‬‬ ‫מספר טבעי‪ .‬מאחר ש‪ un  A -‬היא נקודת גבול של ‪ , A‬הרי שקיים איבר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ vn  A‬כך ש‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ , d  un , vn  ‬ומכאן‬ ‫‪1 1 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n n n‬‬ ‫‪d (vn , z )  d (vn , un )  d (un , z) ‬‬ ‫לכן ‪ , z  lim vn  A‬בסתירה להנחה‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫(‪A  A )ii‬‬ ‫כי כל נקודה ‪ a  A‬היא גבול של הסדרה הקבועה‬ ‫‪an  a‬‬ ‫ולכן שייכת ל‪-‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫(‪A )iii‬‬ ‫מינימלית‪ :‬תהא ‪ C‬קבוצה סגורה המכילה את ‪ , A‬נוכיח כי ‪( C  A‬זה הפירוש‬ ‫של המינימליות)‪ .‬אם ‪ z  C‬אזי קיים ‪ r  0‬כך ש‪ C  B ( z , r )   -‬ובפרט‬ ‫‪ . A  B( z , r )  ‬לכן ‪ z‬אינה נקודת גבול של ‪A‬‬ ‫מסקנה‪ A :‬סגורה אם ורק אם ‪A‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫ומכאן ‪ . z  A‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהא‬ ‫‪ . A ‬כסוי פתוח של ‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫המקיים ‪G‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫היא קבוצה קומפקטית אם לכל כסוי פתוח ‪ G I‬קיים תת‪-‬כסוי סופי‪ ,‬כלומר‬ ‫קיימים ‪, m  I‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוא אוסף של קבוצות פתוחות ‪ G ‬ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נאמר כי‬ ‫סדרה‬ ‫‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1 ,‬כך ש‪Gi -‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫היא קבוצה קומפקטית סדרתית אם לכל סדרה ‪ am m‬קיימת תת‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ am‬המתכנסת לאיבר ב‪. A -‬‬ ‫‪i i‬‬ ‫טענה‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪X .1‬‬ ‫היא קבוצה קומפקטית ב‪-‬‬ ‫‪X .2‬‬ ‫היא קבוצה קומפקטית סדרתית ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫נניח ש‪X -‬‬ ‫תהא‬ ‫קומפקטית‪.‬‬ ‫‪ xn n1  X‬ונניח בשלילה כי אין ל‪ xn n1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תת‪-‬סדרה המתכנסת‬ ‫לאיבר ב‪. X -‬‬ ‫אזי לכל‬ ‫‪a X‬‬ ‫קיים‬ ‫‪ra  0‬‬ ‫כך שהקבוצה‬ ‫‪I a  n : xn  B  a, ra ‬‬ ‫הינה סופית‪.‬‬ ‫‪ B  a, r  : a  X ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪I ai‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ai , rai‬‬ ‫הינו כסוי פתוח של ‪ , X‬ולכן מכיל תת‪-‬כסוי סופי‬ ‫של ‪ . X‬לכן‬ ‫‪I ai ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ולכן קיים‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ 1  i‬כך ש‪-‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫היא קבוצה אינסופית‪ ,‬בסתירה לבחירת ‪. ra‬‬ ‫‪i‬‬ ‫יהא ‪ G I‬כסוי פתוח של ‪ . X‬לכל‬ ‫‪x X‬‬ ‫כך ש‪ . B  x, rx   G x -‬לכל ‪n  1‬‬ ‫נעיין בקבוצה הפתוחה‬ ‫נבחר‬ ‫‪  x  I‬ו‪rx  0 -‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪B  x, x ‬‬ ‫‪ x: rx  1   2 ‬‬ ‫‪Hn ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪H1  H 2 ‬‬ ‫אזי‬ ‫‪‬‬ ‫‪Hn  X‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫טענה‪ :‬קיים‬ ‫‪n0‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪. Hn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ X  H n‬לכל ‪n‬‬ ‫‪ xn n1  X‬כך ש‪ H n -‬‬ ‫‪‬‬ ‫נבחר סדרה‬ ‫תהא‬ ‫יהא‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫טבעי‪.‬‬ ‫‪xnk‬‬ ‫‪. n‬‬ ‫‪ xn‬לכל‬ ‫תת‪-‬סדרה המתכנסת ל‪. x  X -‬‬ ‫כך ש‪. x  H N -‬‬ ‫‪ k0‬כך ש‪xnk  H N -‬‬ ‫‪HN‬‬ ‫פתוחה לכן קיים‬ ‫נבחר‬ ‫‪ k  k0‬כך ש‪ N -‬‬ ‫‪ . nk‬אזי‬ ‫‪ HN‬‬ ‫לכל‬ ‫‪ k0‬‬ ‫‪.k‬‬ ‫‪ . xn‬סתירה‬ ‫‪k‬‬ ‫מש"ל‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬קיימת סדרה סופית‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪B  yi ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ 2n0 ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪y1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.X‬‬ ‫שרירותי‪ .‬נניח שבחרנו‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪B  yi ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אם‬ ‫‪, ym  X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫נגדיר‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪B  yi ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ 2n0 ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫אחרת נבחר‬ ‫‪y1 ,‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪, yk‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪. y1 ,‬‬ ‫ונסיים‪.‬‬ ‫‪ . yk 1 ‬אם תהליך הבחירה הנ"ל אינו‬ ‫נעצר אחרי מספר סופי של ‪- yi‬ים‪ ,‬הרי שנקבל סדרה‬ ‫המקיימת‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2n0‬‬ ‫‪d  yi , y j  ‬‬ ‫לכל‬ ‫‪ j‬‬ ‫‪.i‬‬ ‫לסדרה כזו אין תת‪-‬סדרה מתכנסת‪ ,‬סתירה‪.‬‬ ‫‪ yi i1  X‬‬ ‫‪‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מש"ל‪.‬‬ ‫קיבלנו כיסוי פתוח סופי של ‪ . X‬נשאר להוכיח שהוא תת‪-‬כיסוי של הכיסוי‬ ‫המקורי ‪. G I‬‬ ‫‪ .1  i‬אזי‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪B  x, x ‬‬ ‫‪x:rx  n1   2 ‬‬ ‫‪ H n0 ‬‬ ‫יהא עתה‬ ‫‪m‬‬ ‫לכן קיים‬ ‫‪ rz ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ zi  X‬כך ש‪ rzi  -‬וכך ש‪ B  zi , i  -‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪. yi‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ . yi‬לכן‬ ‫‪ rzi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪B  yi ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪  B zi , rzi  G zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪m‬‬ ‫‪G z‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪B  yi ,‬‬ ‫‪.X ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫מש"ל‬ ‫כמסקנה מהמשפט הקודם נקבל את‬ ‫משפט היינה‪-‬בורל (‪:)Heine–Borel‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫קומפקטית אם ורק אם‬ ‫‪X‬‬ ‫סגורה‬ ‫וחסומה‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ראשית נראה כי‬ ‫תהא‬ ‫סגורה‪:‬‬ ‫‪xm m1  X‬‬ ‫‪‬‬ ‫מאחר ש‪X -‬‬ ‫ונניח כי‬ ‫‪y‬‬ ‫‪. xm‬‬ ‫קומפקטית סדרתית‪ ,‬הרי שקיימת תת‪-‬סדרה‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫המתכנסת ב‪. X -‬‬ ‫מאידך‬ ‫‪y‬‬ ‫נראה כי‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ , xm‬ולכן ‪. y  X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫חסומה‪:‬‬ ‫אחרת הייתה סדרה‬ ‫‪  xm   X‬כך ש‪xm  m -‬‬ ‫לכל ‪. m‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ברור כי ל‪ xm  -‬‬ ‫‪‬‬ ‫נראה כי‬ ‫תהא‬ ‫‪X‬‬ ‫אין תת‪-‬סדרה מתכנסת‪.‬‬ ‫קומפקטית סדרתית‪:‬‬ ‫‪ xm m   xm1 ,‬‬ ‫‪, xmn ‬‬ ‫לכל ‪ i‬הסדרה ‪xmi m‬‬ ‫סדרה ב‪. X -‬‬ ‫חסומה‪.‬‬ ‫לכן קיימת תת‪-‬סדרה ‪ mk k 1‬כך ש‪xmk i  yi -‬‬ ‫‪‬‬ ‫אזי‬ ‫‪, yn   y‬‬ ‫‪xmk   y1 ,‬‬ ‫‪y X‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫כי‬ ‫‪X‬‬ ‫לכל ‪. i‬‬ ‫סגורה‪.‬‬ ‫פונקציות על מרחבים אוקלידיים‬ ‫קבוצה ‪ C  A‬תיקרא פתוחה ב‪A -‬‬ ‫במילים אחרות‪ C ,‬פתוחה ב‪ A -‬אם לכל ‪c  C‬‬ ‫אם קיימת‬ ‫‪ c, r   A  C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪G‬‬ ‫פתוחה כך ש‪. G  A  C -‬‬ ‫קיים ‪r  0‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪.B‬‬ ‫‪ ,‬אבל היא פתוחה ב‪ . A  [0, ) -‬בתור‬ ‫דוגמא‪ :‬הקבוצה )‪ C  [0,1‬איננה פתוחה ב‪-‬‬ ‫‪ G‬ניתן לקחת‪ ,‬למשל‪ ,‬את הקבוצה )‪. ( 1,1‬‬ ‫תהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪fi : A ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ותהא‬ ‫‪, fm  : A ‬‬ ‫‪).‬‬ ‫גבול‪ :‬תהא ‪ . x0  A‬נאמר כי‬ ‫‪x0  x  A‬‬ ‫‪f   f1 ,‬‬ ‫‪( .‬כל רכיב הוא פונקציה‬ ‫המקיים‬ ‫ניסוח אחר‪ :‬נאמר כי‬ ‫‪ lim f ( x)  b‬אם לכל ‪   0‬קיים ‪  0‬‬ ‫‪xx0‬‬ ‫‪x  x0  ‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪f ( x)  b  ‬‬ ‫‪ lim f ( x)  b‬אם לכל ‪  0‬‬ ‫‪xx0‬‬ ‫) ‪. f ( B ( x,  )  A  {x0 })  B(b, ‬‬ ‫‪ f‬רציפה ב‪a  A -‬‬ ‫אם‬ ‫)‪f ( x)  f (a‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫קיים‬ ‫כך שלכל‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫כך שמתקיים‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ f‬רציפה ב‪A -‬‬ ‫‪f‬‬ ‫אם‬ ‫‪ f : A ‬רציפה אם ורק אם לכל ‪G  Rm‬‬ ‫‪m‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫רציפה לכל ‪. a  A‬‬ ‫פתוחה‬ ‫)‪ f 1 (G‬פתוחה ב‪A -‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G  Rm‬‬ ‫תהא‬ ‫יהא‬ ‫פתוחה ותהא‬ ‫‪  a  0‬כך ש‪(a),  a )  G -‬‬ ‫‪. B( f‬‬ ‫‪  a  0‬כך ש‪f  B(a,  a )  A  B  f (a),  a   G -‬‬ ‫אזי קיים‬ ‫ולכן )‪A  f 1 (G‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪f 1 (G‬‬ ‫‪.a‬‬ ‫‪. B ( a,  a ) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫יהא ‪a  A‬‬ ‫ויהא‬ ‫אזי הקבוצה‬ ‫‪f 1  B  f (a ),   ‬‬ ‫‪ A  f 1  B  f (a ),   ‬‬ ‫פתוחה ב‪ , A -‬כלומר‬ ‫‪ ,U‬עבור‬ ‫‪U‬‬ ‫פתוחה ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יהא ‪   0‬כך ש‪ a,   U -‬‬ ‫אזי ‪ . f  B(a,  )  A  B  f (a),  ‬מש"ל‪.‬‬ ‫‪,B‬‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא‬ ‫‪f 1  G ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪f ( A‬‬ ‫‪ .‬מ‪-‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫‪f 1 Gi‬‬ ‫‪m‬‬ ‫כיסוי פתוח של‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫קומפקטית‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪f : A‬‬ ‫אזי‬ ‫‪A‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪ f G ‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪f 1 Gi‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪f ( A) ‬‬ ‫‪ ,‬נובע‬ ‫‪ I‬‬ ‫כסוי פתוח של ‪ . A‬נבחר תת‪-‬כסוי סופי‬ ‫‪t‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪f : A‬‬ ‫קומפקטית ו‪-‬‬ ‫וקיים ‪ a  A‬כך ש‪f (a)  M -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫רציפה‪ ,‬אז‬ ‫)‪f ( A‬‬ ‫קומפקטית‪.‬‬ ‫‪Gi‬‬ ‫‪f ( A) ‬‬ ‫‪ .‬מש"ל‪.‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫רציפה‪ ,‬אזי‬ ‫‪M  sup f (a)  ‬‬ ‫‪aA‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ak k 1  A‬‬ ‫‪‬‬ ‫סדרה מתכנסת‪ ,‬אזי‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪f (a )  lim f ( aki )  M‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪   0‬כך שלכל ‪x, y  A‬‬ ‫דוגמא‪ :‬תהא ‪ 0,  ‬‬ ‫‪ .‬מש"ל‪.‬‬ ‫‪ f : A ‬רציפה במידה שווה ב‪ , A -‬אם לכל ‪  0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר כי הפונקציה‬ ‫קיים‬ ‫‪ . lim f (ak )  M‬תהא ‪aki  a  A‬‬ ‫תת‪-‬‬ ‫ש‪-‬‬ ‫‪x y ‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪f : A‬‬ ‫‪ . A ‬הפונקציה‬ ‫‪f ( x)  f ( y )  ‬‬ ‫הנתונה על‪-‬ידי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אינה‬ ‫רציפה במידה שווה בתחום ‪ , A‬אבל היא רציפה במידה שווה בתחום ) ‪ [ , ‬לכל ‪.   0‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪A‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫קומפקטית ו‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ . ‬לכל‬ ‫‪f ( x)  f ( y ) ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫נבחר תת‪-‬כסוי סופי‬ ‫‪f : A‬‬ ‫‪x A‬‬ ‫קיים‬ ‫‪x  0‬‬ ‫‪ .‬אוסף הכדורים‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i1‬‬ ‫רציפה‪ ,‬אזי‬ ‫‪   xi‬‬ ‫‪ B  xi ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫כך שלכל‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ min‬‬ ‫‪1i t‬‬ ‫יהיו ‪ x, y  A‬כך ש‪ . | x  y |   -‬יהא ‪ 1  i  t‬כך ש‪-‬‬ ‫‪  xi‬‬ ‫לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מהווה כסוי פתוח של ‪. A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪ . | x  x i |‬אזי‬ ‫‪| y  xi || y  x |  | x  xi |  ‬‬ ‫‪f ( x)  f ( xi ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪y  B( x, x‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪ B  x,‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  xA‬‬ ‫ויהא‬ ‫‪f‬‬ ‫רציפה במידה שווה ב‪. A -‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( y )  f ( xi ) ‬‬ ‫‪,‬ולכן‬ ‫‪f ( x)  f ( y )  f ( x)  f ( xi )  f ( xi )  f ( y ) ‬‬ ‫‪ .‬מש"ל‪.‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫דיפרנציאביליות‬ ‫נסמן ב‪ -‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לעיתים נזהה את ‪‬‬ ‫תהא‬ ‫‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ L‬עם מרחב המטריצות ) ( ‪. M mn‬‬ ‫קבוצה פתוחה‪ ,‬ותהא‬ ‫‪, fm  : A ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ f‬דיפרנציאבילית (או גזירה) ב‪a  A -‬‬ ‫נאמר כי‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ L‬את מרחב ההעתקות הלינאריות מ‪-‬‬ ‫‪T  L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ל‪-‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪f   f1 ,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אם קיימת העתקה לינארית‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f (a  h)  f (a )  Th‬‬ ‫‪(*) lim‬‬ ‫‪h0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫מסמנים ‪. Df (a)  T‬‬ ‫היא ההעתקה הלינארית שהתנהגותה היא הקירוב הטוב‬ ‫הערה‪ :‬פירוש ההגדרה הוא ש‪T -‬‬ ‫ביותר להתנהגות של ‪ f‬בסביבת ‪ . a‬נשים לב שההגדרה הזאת מכלילה את ההגדרה‬ ‫הרגילה של דיפרנציאביליות של פונקציה במשתנה אחד‪ .‬אכן‪ ,‬פונקציה‬ ‫)‪f (a  h)  f (a‬‬ ‫גזירה ב‪ a  A -‬אם קיים מספר ‪ ‬כך ש‪  -‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪f (a  h)  f (a)  h‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ . lim‬אם נתייחס לכפל ב‪ -‬‬ ‫‪h0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f : A‬‬ ‫‪ , lim‬או באופן שקול‬ ‫‪h0‬‬ ‫כלהעתקה לינארית מ‪-‬‬ ‫ל‪-‬‬ ‫ונשים ערך מוחלט במונה ובמכנה‪ ,‬נקבל מקרה פרטי של הביטוי בהגדרה הנ"ל‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם‬ ‫‪T‬‬ ‫כזו קיימת‪ ,‬אזי היא יחידה‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח כי‬ ‫‪T,S‬‬ ‫מקיימות את (*)‪ .‬יהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0  v‬‬ ‫אזי‬ ‫‪ S  T  tv   f  a  tv   f (a)  T (tv)    f  a  tv   f (a)  S (tv) ‬‬ ‫ולכן לכל‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:t‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 12 S  T v v    S  T  tv tv  f  a  tv   f (a )  T (tv) tv  f  a  tv   f (a )  S (tv ) tv   0 t 0 .‫מש"ל‬ ‫ע"י‬ T ‫ מגדירים את הנורמה האופרטורים של‬T  L  n m , . ,  m n Tx     tij x j  i1 j 1  2 1 x  1 ‫ המקיים‬x  n  ‫ עבור‬:‫הערה‬ T  max Tx T  Tij  -‫ו‬ x 1 ‫עבור‬ 2   m  n 2  n  m n 2 2        tij   x j      tij   i 1 j 1    j 1   i 1 j 1     1 2 1 2 1/2   2 ‫ היא הנורמה האוקלידית הרגילה (כאשר מתייחסים‬T    tij   i, j    ‫ כאשר‬, T  T ‫לכן‬ .)‫ לפי הבסיס הסטנדרטי‬, m  n ‫כלמטריצה‬ T -‫ל‬ .‫ לכל העתקה לינארית נורמה אופרטורית סופית‬,‫ בפרט‬,‫לכן‬ m ‫ לכן‬.  tij2  Te j 2  T ‫ מתקיים‬1  j  n ‫ לכל‬:‫הערה‬ i 1 1/2   T    tij2   i, j    . a -‫רציפה ב‬ f (a  h)  f (a )  Th h f ‫אזי‬   nT  2 1/2  n T . a -‫ דיפרנציאבילית ב‬f  1 ‫ מתקיים‬0  h   ‫כל שלכל‬  0 ‫ אם‬:‫טענה‬ ‫ יהא‬:‫הוכחה‬ ‫אזי‬ f (a  h)  f (a)  Th  h   T  1 h  0 h0 .‫מש"ל‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫דוגמא ‪.1‬‬ ‫תהא‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ f :‬העתקה אפינית‪ ,‬כלומר‬ ‫‪f ( x )  v0  Tx‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ v0 ‬קבוע ו‪) -‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל‬ ‫‪m‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(‪. T  L‬‬ ‫‪ a ‬מתקיים ‪. Df (a )  T‬‬ ‫‪n‬‬ ‫(תוצאה זו צפויה לגמרי‪ :‬מאחר שפעולת ‪ f‬היא ההעתקה הלינארית ‪T‬‬ ‫קבוע‪ ,‬הרי שהקירוב הלינארי הטוב ביותר שלה בכל נקודה היא ‪T‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לכל‬ ‫בתוספת וקטור‬ ‫עצמה‪).‬‬ ‫‪,h‬‬ ‫‪f (a  h)  f (a)  Th   v0  T (a  h)    v0  Ta   Th  0.‬‬ ‫דוגמא ‪:2‬‬ ‫תהא ) ( ‪A  (ai j )  M kl‬‬ ‫‪‬‬ ‫ונגדיר‬ ‫‪l‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ f :‬ע"י‬ ‫‪f ( x, y)  xt Ay‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל‬ ‫‪l‬‬ ‫‪, v, y ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ u, x ‬מתקיים‬ ‫‪Df (u, v)( x, y )  f (u, y )  f ( x, v).‬‬ ‫הוכחה‪ f :‬היא פונקציה בילינארית ולכן‬ ‫‪f (u  x, v  y)  f (u, v)   f (u, y)  f ( x, v)   f ( x, y).‬‬ ‫עתה‪,‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ xi  y j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ max ai j‬‬ ‫‪i, j‬‬ ‫‪ ai j xi y j‬‬ ‫‪f ( x, y) ‬‬ ‫‪i, j‬‬ ‫‪ max ai j‬‬ ‫‪kl x y .‬‬ ‫‪i, j‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( x , y )(0,0‬‬ ‫) ‪f ( x, y‬‬ ‫‪ max ai j‬‬ ‫‪i, j‬‬ ‫) ‪( x, y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪ max ai j‬‬ ‫‪i, j‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 14 ‫ מתקיים‬f : k  l  m ‫ שיקול דומה מראה שלכל העתקה בילינארית‬:‫הערה‬ Df (u, v)( x, y )  f (u, y )  f ( x, v). :3 ‫דוגמא‬ . f (X )  X 2 ‫ ע"י‬f : M n ( )  M n ( ) ‫נגדיר‬ . Df ( A)( X )  AX  XA :‫טענה‬ f ( A  X )  f ( A)  ( AX  XA)  X 2 :‫הוכחה‬ 2 ‫ומתקיים‬ ‫ לכן‬. X X2 f ( A  X )  f ( A)  ( AX  XA) n X   X X X :‫על ידי‬ . u ‫בכיוון‬ f 2  X 2  n X 0 ‫נגדיר את הנגזרת הכיוונית של‬ u n -‫ ל‬:‫הגדרה‬ f (a  tu )  f (a)  m t 0 t ‫ ומתקיים‬u  0 ‫ קיימת לכל‬f (a ; u) ‫ קיימת אזי‬Df (a) ‫ אם‬:‫טענה‬ f (a ; u )  lim f (a ; u)  Df (a)u :‫הוכחה‬ f (a  tu )  f (a ) f (a  tu )  f (a )  Df (a )(tu )  Df (a )  u   t t u f (a  tu )  f (a )  Df (a )(tu ) tu   0 t 0 :u  f1  ( a )  x  j   f   (a)  f   a ; e j   Df (a)e j  x   j  f m (a)   x j     ej ‫בפרט עבור‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ולכן המטריצה המייצגת את )‪Df (a‬‬ ‫ביחס לבסיסים הסטנדרטיים היא‪:‬‬ ‫‪f1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a) ‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f m‬‬ ‫‪(a) ‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪‬‬ ‫הערה‪ :‬קיום הנגזרת הכיוונית )‪f (a ; u‬‬ ‫‪ f1‬‬ ‫)‪ x (a‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ f m (a‬‬ ‫‪ x1‬‬ ‫לכל ‪ , u‬אינו מבטיח אפילו רציפות‪.‬‬ ‫למשל‪:‬‬ ‫‪ x2 y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x, y )   x 4  y 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪( x, y )  (0,0‬‬ ‫)‪( x, y )  (0,0‬‬ ‫מצד אחד‪ ,‬עבור ‪(0,0)  u   ,  ‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪t 2 2t ‬‬ ‫‪ 2  2‬‬ ‫‪f   (0,0); u   lim 4 4 2 2  2 ‬‬ ‫‪t 0 t t   t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫כלומר ל‪ f -‬יש נגזרת כיוונית בכל כיוון‪.‬‬ ‫מצד שני‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫אינה רציפה ב‪ .)0,0(-‬אכן‪ ,‬הגבול לאורך הישר ‪ t ,  t ‬‬ ‫הוא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪t 3 2 ‬‬ ‫‪lim f  t , t    lim 4 4 2 2  0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0 t   t ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ואילו הגבול לאורך העקום ) ‪ (t , t‬הוא‬ ‫‪t 2t 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim f (t , t )  lim 4 4 ‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0 t  t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫טענה‪ :‬תהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פתוחה‪ ,‬ותהא‬ ‫‪ f‬דיפרנציאבילית ב‪a  A -‬‬ ‫‪.1  i  m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪, fm  : A ‬‬ ‫אם ורק אם‬ ‫‪f   f1 ,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ f i‬דיפרנציאביליות ב‪a -‬‬ ‫לכל‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 16 ‫לכל‬ fi x j A ‫קיימת ורציפה על‬ ‫אם‬ C1 ‫ תיקרא‬f : A  .1  f . A -‫דיפרנציאבילית ב‬ ‫אזי לפי משפט ערך‬ ‫אזי‬ C1 -‫ ב‬f : A  h   h1 , m m :‫הגדרה‬ j  n ,1  i  m ‫ אם‬.‫ פתוחה‬A  n ‫ תהא‬:‫טענה‬ , hn  ‫ יהא‬. m  1‫ מספיק להראות זאת עבור‬:‫הוכחה‬ -‫כך ש‬ t j  0, h j  ‫ קיימים‬,‫מימדי‬-‫הביניים החד‬ f (a)h j  j 1 x j n f ( a  h)  f ( a )      f j 1   n j    a   hk ek   k 1   j 1    f f  a   hk ek   (a )h j   k 1   x j  j 1  f    f   a  h e  t e  ( a )  h j  o  h .  k k j j    x  x j 1  k 1   j  j n .‫מש"ל‬ ‫כלל השרשרת‬ f g A   B   ‫ ונניח כי‬, g : B  p p , f : A  B ,B  .b  m ,A n ‫ תהיינה‬:‫משפט‬ f (a) -‫ דיפרנציאבילית ב‬g -‫ ו‬a  A -‫ דיפרנציאבילית ב‬f ‫ומתקיים‬ a  A -‫ דיפרנציאבילית ב‬g f : A  p ‫אזי‬ D  g f  (a)  Dg ( f (a)) Df (a) . ‫ נגדיר‬.  1   2 1  Df (a)  , 0 ‫ יהא‬:‫הוכחה‬     2  min 1, . 2 Dg f ( a )     ‫מתקיים‬ u  1 ‫ עם‬u  n ‫כך שלכל‬ 1  0 ‫יהא‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 17 g  f (a )  u   g  f (a )   Dg  f (a )  u  1 u ‫מתקיים‬ h  2 . 2  0 ‫יהא‬   1    min  , 2    1  Df (a)  ‫יהא‬ ‫עם‬ h m ‫כך שלכל‬ f (a  h)  f (a)  Df (a)h   2 h . . ‫מתקיים‬ h  ‫עם‬ h m ‫אזי לכל‬ f (a  h)  f (a)  1  Df (a)  h  1 ‫ולכן‬ g f (a  h)  g f (a)  Dg  f (a)  f (a  h)  f (a)  )*(   2 1  Df (a)  f ( a  h)  f ( a )   2 h ‫כן‬-‫כמו‬ Dg  f (a)  f (a  h)  f (a)  Df (a)h  )**(  Dg  f (a)   2 h   2 h ‫מתקיים‬ h  ‫(**) נקבל כי לכל‬-‫(*) ו‬-‫מ‬ g  f (a  h)   g  f (a)   Dg  f (a)  Df (a)h  g  f (a  h)   g  f (a)   Dg  f (a)  f (a  h)  f (a)   Dg  f (a)  f (a  h)  f (a)  Df (a)h   .D .‫מש"ל‬ g  2 h  2 h  h f  (a)  Dg  f (a)  Df (a) ‫ולכן‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 18 ‫המישור המשיק‬ ‫הוא המשטח‬ f ‫ הגרף של‬.‫דיפרנציאבילית‬ . f : A ‫פתוחה ותהא‬ G f   x, f ( x)  : x  A  ‫מימדי‬-‫הוא המשטח הדו‬ f : A 2  A n 1 u   z  n1 : u  z  0 -‫ נסמן ב‬0  u  .) span(u ) ‫ הוא המשלים הניצב של‬u ‫הוא‬  n 1 3 ‫עבור וקטור‬ u -‫ל‬ ‫הניצב‬  a, f (a)  ‫ בנקודה‬G f -‫מישור המשיק ל‬-‫העל‬ n   f (a ) y j   j 1 x j  , yn1  : yn1     f , (a ), 1  xn   f :  y   a, f ( a )     (a ),  x  1 . Df ‫מימדי‬- n -‫ה‬ n  f   a, f ( a )    (a ),  x  1   y  n1 ,‫(במונחים של אלגברה לינארית‬ H   a  h, f (a )  Df (a )h  : h     a, f (a )    y1 ,  ‫תהא‬ ‫ הגרף של‬n  2 ‫ עבור‬,‫למשל‬  x, y, f ( x, y)  : ( x, y)  A  ‫מישור‬-‫את העל‬ n ,   f (a), 1  0 . xn    a, b    2a, 2b  ‫ אזי‬f ( x, y)  x2  y 2 ‫ תהא‬:‫דוגמא‬ ‫ הוא‬ a, b, c  ‫ בנקודה‬G f -‫המישור המשיק ל‬ ( x, y, z ) :  x  a, y  b, z  c    2a, 2b, 1  0  ( x, y, z ) : 2ax  2by  z  a 2  b 2 . ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪19‬‬ ‫משפט הפונקציה ההפוכה‬ ‫ניזכר במשפט הפונקציה ההפוכה עבור פונקציות במשתנה אחד‪:‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f : (a, b)  R  R‬פונקציה גזירה ברציפות‪ ,‬כך ש‪ f '( x)  0 -‬לכל‬ ‫]‪ . x  [a, b‬אזי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית ב‪; ( a, b) -‬‬ ‫‪‬‬ ‫))‪ f (( a, b‬היא קבוצה פתוחה (נסמן ) ‪;) f ((a, b))  (c, d‬‬ ‫‪ ‬קיימת פונקציה הפוכה )‪: (c, d )  (a, b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ g  f‬גזירה ברציפות כך ש‪-‬‬ ‫))‪. g '( f ( x))  ( f '( x‬‬ ‫מהי ההכללה של משפט זה עבור פונקציות ב‪n -‬‬ ‫תהא ‪f : R2  R2‬‬ ‫משתנים? נעיין תחילה בדוגמא הבאה‪:‬‬ ‫הנתונה ע"י‬ ‫)‪f ( x, y)  (e x cos y, e x sin y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הנגזרת של ‪ f‬נתונה ע"י‬ ‫‪e x cos y e x sin y ‬‬ ‫‪Df ( x, y )   x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מכאן‬ ‫‪det Df ( x, y)  e2 x‬‬ ‫איננה חד‪-‬חד‪-‬ערכית על‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן ) ‪ Df ( x, y‬חח"ע לכל‬ ‫‪2‬‬ ‫כי ) ‪: f ( x, y )  f ( x, y  2‬‬ ‫‪ . ( x, y) ‬עם זאת‪ f ,‬עצמה‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫מאידך‪ f ,‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית באופן מקומי‪ ,‬כלומר לכל‬ ‫) ‪ ( y0   , y0  ‬‬ ‫‪U x0 , y0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ( x0 , y0 ) ‬קיימת סביבה‬ ‫‪( x0 , y0 ) ‬‬ ‫בה ‪ f‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪.‬‬ ‫משפט הפונקציה ההפוכה אומר את זה באופן כללי‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהיינה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פתוחה ו‪-‬‬ ‫‪ . det Df (a)  0‬אזי קיימת‬ ‫‪ f : A ‬גזירה ברציפות‪ .‬תהא ‪a  A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ U‬פתוחה כך ש‪ A -‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪ , a U‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪f (U )  V‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ g  f 1 : V  U‬גזירה ברציפות ומקיימת ‪( x))  Df ( x)1‬‬ ‫חד‪-‬חד ערכית על ‪.U‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן‬ ‫פתוחה‪.‬‬ ‫)‪ Df (a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . E‬אזי לכל‬ ‫‪x, y ‬‬ ‫‪. Dg ( f‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪x  y  E 1  Ey  Ex   E 1 Ey  Ex‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪1‬‬ ‫‪yx‬‬ ‫‪E 1‬‬ ‫נסמן‬ ‫‪ , h( x)  f ( x)  Ex‬אזי ‪h( x) . Dh(a)  0‬‬ ‫‪Ey  Ex ‬‬ ‫‪   0‬כך שלכל ) ‪x  B(a, ‬‬ ‫נציג‬ ‫) ‪, hn‬‬ ‫‪h  (h1 ,‬‬ ‫אזי‬ ‫‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 n E 1‬‬ ‫גזירה ברציפות לכן קיים‬ ‫‪Dh( x) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ Dh1 ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. Dh  x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Dhn ( x) ‬‬ ‫לכל ‪ x, y  B  a,  ‬ולכל ‪ ,1  i  n‬קיים ‪  i‬בקטע ‪ x, y ‬‬ ‫‪fi ( y )  fi  x   Ei  y  x   hi  y   hi  x   Dhi i  y  x ‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫נשים לב כי‬ ‫‪Dhi i  y  x   Dh i  y  x   Dh i  y  x‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 21 ‫ולכן‬ 1  n 2 f  y   f  x   E  y  x   h( y )  h( x )     hi ( y )  hi ( x )     i 1  1 2  n  n    Dhi i  y  x      Dh i   i 1   i 1 2     Dh i    i 1  n 1 2 2   1 y  x  n    2 n E 1   1 2     2  yx    2 2 2     1 2 yx  yx 2 E 1 . ‫לכן‬ f ( y )  f ( x)  E ( y  x)  1 1 y  x  yx. 1 1 2 E 2 E .U ‫ אזי‬0  v  n  B  a,   -‫חד ערכית ב‬-‫ חד‬f ‫על כן‬ ‫ אם‬,‫ ואמנם‬. x U ‫ לכל‬det Df ( x)  0 -‫בהמשך נשתמש בכך ש‬ Df ( x)v  Dh( x)v  Ev  Ev  Dh( x)v  1 1 v  v  0. E 1 2 n E 1 :‫פתוחה‬ ‫ונסמן‬ V  f (U ) ‫עתה נראה כי‬ B (u, r )  U -‫ כך ש‬r  0 ‫ יהא‬, f (u)  v V . S (u , r ) ‫תהא‬   x : x  u  r ‫קבוצה קומפקטית‬ f  S (u, r )  ‫ לכן קיים‬, v ‫שאינה מכילה את‬ -‫כך ש‬  0 B(v,2 )  f  S (u, r )    . . B(v,  )  V ‫נראה כי‬ .c   c1 , , cn   B(v,  ) ‫יהא‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 22 n . H ( x)    fi ( x)  ci  2 ‫ידי‬-‫על‬ H : B (u, r )  ‫נגדיר את הפונקציה‬ i 1 . H (b)  . H (u )   -‫בעוד ש‬ 2 min H ( x) -‫ כך ש‬b  B (u, r ) xB ( u ,r ) ‫תהא‬ H ( x)   2 , x  S  u, r  ‫נשים לב כי לכל‬ . DH (b)  0 ‫ ולכן‬, b  B(u, r ) ‫לכן‬ 1 j  n ‫לכן לכל‬ n f H 0 (b)  2  fi (b)  ci  i (b) x j x j i 1 m 1 n f (b)  c  m Df (b)   0, -‫ נובע ש‬,‫ היא לא סינגולרית‬Df (b) -‫ מאחר ש‬. ,0   f (b)  c   Df (b)  0 ‫כלומר‬ . f (b)  c .‫ פתוחה‬U 0  U ‫ פתוחה לכל‬f (U 0 ) ‫ ההוכחה מראה כי‬:‫הערה‬ :‫גזירה ברציפות‬ :‫רציפה‬ .‫פתוחה‬ ‫ אזי‬, lim y v  lim xu g  f 1 ‫ נשים לב כי‬,‫ראשית‬ g 1 U 0   f U 0  f (u)  v -‫ כך ש‬u U ‫פתוחה אזי‬ U0  U ‫ יהא‬: v  V -‫גזירה ב‬ g ( y)  g (v)  Df (u ) 1 ( y  v) yv x  u  Df (u )1  f ( x)  f (u )  f ( x)  f (u ) g  f 1 ‫נותר להראות כי‬   g ‫אם‬ ‫נראה כי‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 23  lim Df (u )1  f ( x)  f (u )  Df (u )( x  u )  f ( x)  f (u ) xu  lim Df (u ) 1 f ( x)  f (u )  Df (u )( x  u ) x u xu  Df (u ) 1 2 Df (u ) 1 lim   x u f ( x)  f (u ) f ( x)  f (u )  Df (u )( x  u ) xu xu   0. .‫מש"ל‬ ‫ תהא‬. f ( x, y )  (e x cos y , e x sin y ) ‫ הנתונה ע"י‬f : R2  R2 ‫נחזור לדוגמא‬ ( x0 , y0 ) U x0 , y0   ( y0   , y0   ) ‫ערכית על‬-‫חד‬-‫ חד‬f ‫ אזי‬. ( x0 , y0 )  f (U )  V  2 2  t (cos y0 ,sin y0 ) : t  0 ‫ומתקיים‬ ‫הפונקציה ההפוכה נתונה ע"י‬ v  g (u, v)  f 1 (u, v)   log u 2  v 2 , arctan  , u  . arctan(tan y0 )  y0 ‫הוא היחיד שמקיים‬ arctan ‫כאשר הענף של‬ ,‫כמו כן‬ Dg (u, v)  1  u v u 2  v 2  v u  ‫ומתקיים‬  cos y sin y  Dg ( f ( x, y))  e x   Df ( x, y)1.   sin y cos y  ‫משפט הפונקציות הסתומות‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫להלן נזהה את‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהא‬ ‫‪24‬‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪. ( x, y) ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪‬‬ ‫עם המכפלה הקרטזית‬ ‫‪, fn ) :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ונכתוב וקטור ב‪-‬‬ ‫‪k n‬‬ ‫כזוג‬ ‫‪ f  ( f1,‬העתקה גזירה ברציפות המקיימת ‪. f (a, b)  0‬‬ ‫משפט הפונקציות הסתומות דן בקיום פתרון פרמטרי ) ‪ y  g ( x‬למערכת של ‪n‬‬ ‫משוואות ב‪-‬‬ ‫‪ n  k‬נעלמים‬ ‫‪. f1 ( x, y ) ‬‬ ‫‪ f n ( x, y )  0‬‬ ‫נדון תחילה במקרה הלינארי‪ .‬תהא ) ( )‪ C  M n( k n‬ונכתוב ‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ C  A‬כאשר‬ ‫) ( ‪. B  M nn ( ) , A  M nk‬‬ ‫תהא )‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k n‬‬ ‫(‪ f  L‬נתונה ע"י‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪f ( x, y)  C    Ax  By.‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫נעיין במערכת המשוואות ‪ . f ( x, y )  0‬זו מערכת של ‪n‬‬ ‫משוואות ב‪ n  k -‬נעלמים‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫(‪)i‬‬ ‫(‪)ii‬‬ ‫‪det B  0‬‬ ‫לכל‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ x ‬קיים ‪ g ( x )  y‬יחיד כך ש‪. f ( x, y )  0 -‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫)‪ :(ii)  (i‬נניח ‪ . det B  0‬נגדיר )‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ g  L‬ע"י ‪ . g ( x)  B Ax‬אזי‬ ‫‪f ( x, g ( x))  Ax  B(B1 Ax)  0.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫היחידות נובעת מכך שאם ‪ Ax  By  0‬אז ‪. y   B Ax‬‬ ‫)‪ :(i)  (ii‬נניח ‪ . det B  0‬אזי קיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 0  v ‬כך ש‪ . Bv  0 -‬אזי למשוואה‬ ‫‪ f (0, y )  0‬יש אינסוף פתרונות (למשל כל הכפולות ‪.) y   v‬‬ ‫הדיון במקרה הכללי מבוסס על רעיון דומה‪ .‬בהינתן‬ ‫מגדירה משטח )‪- ( n  1‬מימדי ב‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בסביבת‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ , x ‬כל משוואה ‪fi ( x, y )  0‬‬ ‫‪ .‬משפט הפונקציות הסתומות מציג תנאים לכך שלכל‬ ‫‪ , a ‬חיתוך המשטחים }‪{ y : fi ( x, y )  0‬‬ ‫‪ g ( x )  y‬בסביבת‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יכיל נקודה יחידה‬ ‫‪i 1‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 25 ‫ עבור‬.‫ גזירה‬g : C  n k n ‫ פתוחה ותהא‬C  ‫ תהא‬.‫נעבור לניסוח מדוייק‬ :‫ ( נסמן‬x, y )  C  f1  x ( x, y )  1 f ( x, y )   x   f n ( x, y )  x1 f1  ( x, y )  xk  ,  f n ( x, y )  xk   f1  y ( x, y )  1 f ( x, y )   y   f n ( x, y )  y1 f1  ( x, y )  yn  ,  f n ( x, y )  yn  ‫אזי‬  f Df ( x, y)   ( x, y)  x  f ( x, y)  y  :‫משפט הפונקציות הסתומות‬ -‫ו‬ f (a, b)  0 -‫ כך ש‬ a, b   C ‫גזירה ברציפות ותהא‬ f :C  . det :‫יחידה המקיימת‬ g: A n ‫פתוחה שעבורה קיימת‬ a A  . x  A ‫לכל‬ :‫ומקיימת‬ k n ‫תהא‬ f (a, b)  0 y ‫אזי קיימת קבוצה‬ .‫ רציפה‬g )i( . g (a)  b )ii( f ( x, g ( x))  0 )iii( A -‫ גזירה ברציפות ב‬g ‫הפונקציה‬ 1  f   f  Dg ( x)    ( x, g ( x))    x, g ( x)  .   y   x ‫ אזי‬.  ( x)  f ( x, g ( x)) ‫ נגדיר‬.‫ גזירה‬g -‫ בהנחה ש‬Dg ( x ) ‫ ראשית נחשב‬:‫הוכחה‬ . x  A ‫ לכל‬D ( x)  0 ‫ ולכן‬x  A ‫ לכל‬ ( x)  0 3 ‫חשבון אינפי‬ 26 ,‫לפי כלל השרשרת‬  I  f f 0  D ( x)  Df ( x, g ( x))  k   ( x, g ( x))  ( x, g ( x)) Dg ( x), y  Dg ( x)  x ‫ולכן‬ 1  f   f  Dg ( x)    ( x, g ( x))    x, g ( x)  .   y   x . g ‫נוכיח עתה קיום ויחידות של‬ ‫ אזי‬. F ( x, y )  ( x, f ( x, y )) ‫ ע"י‬F : C  k k DF ( x, y )  n   Ik      f ( x, y )   x   det DF (a, b)  det ‫כך שההעתקה‬  a, b   W  k n k n ‫נגדיר‬ n  0     .  f ( x, y )  y    f (a, b)  0 y ‫ קיימת סביבה‬,‫ לפי משפט הפונקציה ההפוכה‬,‫לכן‬ H  F 1 : F (W )  W -‫ ו‬,‫ פתוחה‬F (W ) ,‫ערכית‬-‫חד‬-‫חד‬ k n F :W  .‫גזירה ברציפות‬ . ( x, z )  F (W ) ‫ לכל‬H ( x, z )  ( x, h( x, z )) ‫ברור כי‬ .B  (a,0),    F W  -‫ כך ש‬  0 ‫ לכן קיים‬, F (a, b)  (a,0)  F (W ) . A 0  F W  ‫ אזי‬, A  B  a,    . g ( x)  h( x,0) ‫על ידי‬ g: A k ‫תהא‬ n ‫נגדיר‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪ g‬גזירה ברציפות ומתקיים‬ ‫‪(a, g (a))  (a, h(a,0))  H (a,0)  HF (a, b)  (a, b),‬‬ ‫ולכן ‪ . g (a)  b‬כמו כן‪ ,‬לכל ‪x  A‬‬ ‫‪ x, f  x, g ( x)    F  x, g ( x)   FH ( x,0)  ( x,0),‬‬ ‫ולכן ‪f  x, g ( x)   0‬‬ ‫נראה כי‬ ‫‪g‬‬ ‫היא הפונקציה הרציפה היחידה מ‪ A -‬ל‪-‬‬ ‫‪f  x, g ( x)   0‬‬ ‫נניח‬ ‫תהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫המקיימת ‪, g (a)  b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ g : A ‬רציפה‪ g  a   b ,‬ו‪f  x, g ( x)   0 -‬‬ ‫‪  x  A : g ( x)  g ( x)‬‬ ‫נראה כי‬ ‫נניח‬ ‫‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫) ‪g ( x0‬‬ ‫‪ . K‬ברור כי‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ K‬סגורה ב‪A -‬‬ ‫וכי ‪. a  K‬‬ ‫פתוחה‪:‬‬ ‫‪ . g ( x0 ) ‬בגלל רציפות‬ ‫‪ x, g ( x)  W‬‬ ‫‪g‬‬ ‫קיימת סביבה‬ ‫‪A0  A‬‬ ‫של‬ ‫‪x0‬‬ ‫לכל ‪ . x  A0‬אזי‬ ‫)‪F  x, g ( x)    x, f  x, g ( x)    ( x,0‬‬ ‫מאידך ‪ ( x,0)  F  x, g ( x) ‬ולכן )‪g ( x‬‬ ‫‪. g ( x) ‬‬ ‫מאחר ו‪ A -‬קשירה ו‪ K   -‬פתוחה וסגורה‪ ,‬נובע כי ‪ A‬‬ ‫‪ . K‬מש"ל‪.‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪28‬‬ ‫מסקנות גאומטריות של משפט הפונקציות הסתומות‬ ‫תהא‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ותהא‬ ‫‪f  C1 , f : C ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נסמן ‪ f 1  0   u  C : f (u )  0‬‬ ‫למשל‪ :‬אם‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.M‬‬ ‫‪f ( x, y, z )  x 2  y 2  z 2  1,‬‬ ‫‪f:‬‬ ‫אזי‬ ‫‪M   x, y, z  : x2  y 2  z 2  1‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהא‬ ‫‪M‬‬ ‫בנקודה‬ ‫‪pM‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ .‬נאמר שווקטור‬ ‫אם קיימת‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ :  1,1  M‬‬ ‫משיק ל‪-‬‬ ‫גזירה‬ ‫ברציפות‪ ,‬כך ש‪ ,  (0)  p -‬ו‪ 0     0   v -‬‬ ‫טענה‪ :‬נניח ‪ . rank Df ( p)  n‬אזי‬ ‫משיק ל‪M -‬‬ ‫בנקודה‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪. D‬‬ ‫‪v‬‬ ‫אם ורק אם ‪. Df ( p)v  0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫יהא‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪ v ‬משיק ל‪M -‬‬ ‫ברציפות המקיימת‬ ‫‪p‬‬ ‫בנקודה‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ .‬אזי קיימת‬ ‫‪ :  1,1  M‬‬ ‫גזירה‬ ‫‪. D (0)  v ,  (0) ‬‬ ‫מאחר ו‪f   (t )   0 -‬‬ ‫עבור‬ ‫)‪t  (1,1‬‬ ‫נקבל כי‬ ‫‪0  Df  (0)  D (0)  Df ( p)v‬‬ ‫‪‬‬ ‫נניח כי ‪ . Df ( p)v  0‬מאחר ו‪ , rank Df ( p)  n -‬נוכל בלי הגבלת הכלליות להניח‬ ‫‪f‬‬ ‫כי ‪( p)  0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נסמן‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪. det‬‬ ‫‪ (v1 , v2 ), p  (a, b) ‬‬ ‫‪ . v‬אזי‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 29 0  Df ( p)v  f f ( p)v1  ( p)v2 x y ‫ולכן‬ 1 )*( ‫ ופונקציה גזירה‬, a ‫של‬ . x  A ‫לכל‬  f   f  v2    ( p)   ( p)  v1 .   y   x A k ‫לפי משפט הפונקציות הסתומות קיימת סביבה פתוחה‬ f  x, g ( x)   0 -‫ ו‬g (a)  b -‫ כך ש‬g : A  n ‫ברציפות‬ ‫זו מקיימת‬ g 1 )**( ‫ונגדיר מסילה‬  f   f  Dg ( x)     x, g ( x)    x, g ( x)    y   x t  ‫לכל‬ a  tv1  A -‫ קטן למדי כך ש‬  0 ‫ידי‬-‫על‬ ‫ נבחר‬. x  A ‫לכל‬  :   ,    n k  (t )   a  tv1 , g (a  tv1 ) . ‫כי‬ M -‫ מוכלת ב‬ ‫תמונת‬ f  (t )   f  a  tv1 , g (a  tv1 )   0. ‫(*) מתקיים‬,)**( ‫ולפי‬  (0)   a, g (a)   (a, b)  p 1   f   f   D (0)   v1 , Dg (a)v1    v1 ,   ( p)   ( p)  v1      y   x    v1 , v2   v ‫מש"ל‬ '‫כופלי לגרנז‬ .M  g 1 (0) ‫גזירה ברציפות ותהא‬ ‫מקיימת‬ g :C  pM n ‫גזירה ונניח כי‬ ,‫פתוחה‬ C f :C  k n ‫תהא‬ ‫ תהא‬:‫טענה‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪31‬‬ ‫(‪)i‬‬ ‫‪rank Dg ( p)  n‬‬ ‫(‪)ii‬‬ ‫‪f ( p)  min  f ( z ) : z  M ‬‬ ‫אזי )‪. Df ( p)  Row Dg ( p‬‬ ‫דהיינו‪ :‬אם נסמן‬ ‫‪, gn ‬‬ ‫‪g   g1 ,‬‬ ‫‪1 , ,  n ‬‬ ‫אזי קיימים‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪Df ( p)    i Dg i ( p‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫ובצורה מפורשת יותר‪ ,‬לכל‬ ‫‪j mn‬‬ ‫‪:1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( p)   i i ( p‬‬ ‫‪x j‬‬ ‫‪x j‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יש להראות כי לכל‬ ‫‪k n‬‬ ‫‪ , v ‬אם ‪ . Dg ( p)v  0‬אזי גם ‪. Df ( p)v  0‬‬ ‫ואמנם אם ‪ , Dg ( p)v  0‬אזי מאחר ו‪ , rank Dg ( p)  n -‬נובע מהטענה הקודמת כי‬ ‫קיימת מסילה גזירה ברציפות‬ ‫נגדיר‬ ‫‪h : (1,1) ‬‬ ‫‪  : (1,1)  M‬כך ש‪ (0)  p -‬‬ ‫על‪-‬ידי‬ ‫‪f   (t ) ‬‬ ‫ו‪. D (0)  v -‬‬ ‫‪. h(t ) ‬‬ ‫‪ t  0‬הוא מינימום של ) ‪ h(t‬בקטע ‪ 1,1‬‬ ‫‪ ,‬ולכן ‪. h(0)  0‬‬ ‫מאידך‬ ‫‪h(0)  Df   (0)   (0)  Df ( p)v‬‬ ‫לכן ‪. Df ( p)v  0‬‬ ‫מש"ל‬ ‫הערה‪ :‬הטענה איננה נכונה ללא ההנחה ‪. rank Dg ( p)  n‬‬ ‫למשל‪ ,‬נקח‬ ‫הנקודה‬ ‫‪g ( x, y)  x3  y 2‬‬ ‫)‪p  (0,0‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫היא מינימום של‬ ‫‪f ( x, y)  x‬‬ ‫)‪f ( x, y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪31‬‬ ‫על ‪ ( x, y) : x3  y 2 ‬‬ ‫אבל‬ ‫)‪Df (0,0)  (1,0‬‬ ‫‪,M‬‬ ‫אינו כפולה של )‪. Dg (0,0)  (0,0‬‬ ‫שימושים של כופלי לגרנז'‬ ‫‪ .1‬טענה‪ :‬תהי ‪ A‬מטריצה ממשית סימטרית מסדר ‪ . n  n‬אזי ל‪A -‬‬ ‫הוכחה‪ .‬נגדיר‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יש ערך עצמי ממשי‪.‬‬ ‫‪ f :‬ע"י‬ ‫‪f ( x)  xT Ax.‬‬ ‫לכל‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ u ‬מתקיים‬ ‫‪Df (u)( x)  xT Au  uT Ax  2xT Au.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהא‬ ‫‪n‬‬ ‫ספירת היחידה‬ ‫‪ g :‬נתונה ע"י ‪ . g ( x)  xT x  1‬אזי }‪: g ( x)  0‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ S‬ב‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪ .‬תהא ‪ u  M‬כך ש‪} -‬‬ ‫אזי (לפי המשפט על כופלי לגרנז') קיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ M  {x ‬היא‬ ‫‪. f (u)  max{ f (v) : v  S‬‬ ‫‪  ‬כך ש‪ , Df (u )   Dg (u ) -‬ולכן‬ ‫‪2xT Au  Df (u)( x)   Dg (u)( x)    2 xT u‬‬ ‫לכל‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . x ‬לכן ‪. Au  u‬‬ ‫‪ .2‬חוק השבירה של ‪Snell‬‬ ‫נסמן }‪. A2  {( x, y) : y  0} , A1  {( x, y) : y  0‬‬ ‫נתון שחלקיק נע בתווך ‪ A1‬במהירות ‪ , v1‬ובתווך ‪ A2‬במהירות ‪ . v 2‬יהיו ‪. a1, a 2  0‬‬ ‫החלקיק נע מהנקודה ‪ (0, a1 )  A1‬לנקודה ‪ ( L, a 2 )  A2‬במסלול אותו הוא עובר‬ ‫בזמן הקצר ביותר‪ .‬תהא )‪ (b,0‬הנקודה בה המסלול פוגש את ציר ה‪ , x -‬ונסמן ב‪-‬‬ ‫‪ 1 , 2‬‬ ‫את הזויות אותן יוצר המסלול בנקודה זו עם הקרניים‬ ‫}‪ {(b, y ) : y  0},{(b, y ) : y  0‬בהתאמה‪.‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 32 :Snell ‫חוק‬ sin( 1 ) sin( 2 )  v1 v2 ‫ משך הזמן בו החלקיק עובר את המסלול הוא‬.‫הוכחה‬ f ( 1, 2 )  a1 v1 cos( 1 )  a2 v 2 cos( 2 ) , ‫מקיימים‬  1 ,  2 -‫ו‬ g ( 1, 2 )  a1tg( 1)  a 2tg( 2 )  L. -‫כך ש‬  ‫לכן קיים‬  a1 sin(1 ) a2 sin( 2 )    a1  a2  ,   Df (  ,  )   Dg (  ,  )  ,     , 1 2 1 2 2 2 2 2 v v cos (  ) cos (  ) cos (  ) cos (  ) 2  1 1 2   1 2  ‫ולכן‬  sin(1 ) sin( 2 )   v1 v2 3 ‫חשבון אינפי‬ 33 ‫טור טיילור‬ .‫פעמים‬ m ‫ גזירה‬f : A  -‫כך ש‬ m1 f (b)   k 0 ‫פתוחה ותהא‬ A ‫ תהא‬:‫טענה‬    a, b  ‫ אזי קיים‬ a, b  A ‫אם‬ f ( m )   f ( k ) (a) k (b  a)  (b  a) m k! m! ‫כך שהפונקציה‬ m1 g ( x)  f ( x)   k 0 c ‫ נבחר‬:‫הוכחה‬ f ( k ) (a) c ( x  a) k  ( x  a) m k! m! . g (b)  0 ‫תקיים‬ .g .g .g (m) (2) (1) 1   0 -‫ כך ש‬1   a, b ‫ ולכן קיים‬g(a)  g (b)  0 2   0 -‫ כך ש‬2   a,1  ‫ ולכן קיים‬g (1) (a)  g (1) (1 )  0  m   0 -‫ כך ש‬m   a,m1  ‫ ולכן קיים‬g ( m1) (a)  g ( m1) (m1 )  0 .‫ מש"ל‬. f ( m )  m   c ‫ולכן‬ g ( m )  m   f ( m )  m   c ‫אבל‬ ‫טור טיילור בכמה משתנים‬ .‫פעמים‬ m ‫גזירה ברציפות‬ f : A , ‫ ותהא‬,‫פתוחה‬ :‫אזי‬ A n ‫תהא‬  a, a  y   A ‫ אם‬:‫טענה‬ 1 k f f (a  y )    (a) yi1 xik k 0 k ! i1 , ,ik xi1 m1 yik  r ( y ) . r ( y) y m 1  0 y 0 ‫כאשר‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 34 ‫ אזי‬. h(t )  n h (t )   (1) i 1 f (a  ty) ‫ע"י‬ h :  0,1  ‫ נגדיר‬:‫הוכחה‬ f (at  y ) yi xi 2 f h (t )   (at  y ) yi y j  x  x i, j i j (2) k f h (t )   (a  ty ) yi1 xik i1 , ,ik xi1 (k ) -‫כך ש‬ yik 0    1 ‫מהטענה הקודמת נובע כי קיים‬ h( k ) (0) h   f (a  y )  h(1)     k! m! k 0 m 1 (m) 1 k f   (a ) yi1 xik k 1 k ! i1 , ,ik xi1 m 1 1 m f  (a   y ) yi1  m! i1 , ,im xi1 xim yik  yim ‫נסמן‬   m f 0    1  M  max  (a   y ) :  i , , i  n    x  x   1 m im  i1  ‫אזי‬ r ( y)  1  yi m! i1 , ,im  1 yim  M    M m m m1 n y o y . m! .‫מש"ל‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪35‬‬ ‫אקסטרמום של פונקציות במספר משתנים‬ ‫תהא‬ ‫‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫פתוחה ותהא‬ ‫‪f‬‬ ‫גזירה שלש פעמים ברציפות ב‪. A -‬‬ ‫ל‪ a  A -‬נגדיר את ההסיאן )‪Hess( f )(a‬‬ ‫‪2 f ‬‬ ‫‪x1xn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 f ‬‬ ‫‪xn2 ‬‬ ‫כמטריצה הסימטרית הבאה‪:‬‬ ‫‪ 2 f‬‬ ‫‪ x 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪Hess( f )(a)  ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪  f‬‬ ‫‪ xn x1‬‬ ‫‪‬‬ ‫נעזר בטור טיילור כדי לקבל את התוצאה הבאה לגבי אקסטרמום של פונקציה במספר‬ ‫משתנים‪:‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ Df (a)  0‬ו‪Hess  f  (a) -‬‬ ‫מוגדר חיובית‪ ,‬אזי‬ ‫‪a‬‬ ‫הוא מינימום מקומי של‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 f‬‬ ‫‪f (a  y )  f (a )  ‬‬ ‫‪(a) yi  ‬‬ ‫‪(a) yi y j  r ( y ) ‬‬ ‫‪2 i , j xi x j‬‬ ‫‪i 1 xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 T‬‬ ‫) ‪y Hess  f  (a) y  r ( y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 n 2 ‬‬ ‫) ‪ f (a )    yi  1  r ( y‬‬ ‫‪2  i 1 ‬‬ ‫‪ f (a) ‬‬ ‫כאשר ‪ 1  0‬הוא הערך העצמי המינימלי של )‪ f  (a‬‬ ‫עבור‬ ‫‪y‬‬ ‫קטן למדי‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r ( y) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪ i  f (a‬‬ ‫‪4  i1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מש"ל‪.‬‬ ‫‪. Hess‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪y  f (a ) ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f (a  y )  f (a ) ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪36‬‬ ‫קריטריון סילבסטר למוגדרות חיובית‬ ‫תהא ‪A‬‬ ‫מטריצה סימטרית מסדר ‪ . n  n‬לכל ‪ 1  k  n‬נסמן ב‪ Ak -‬את המטריצה מסדר‬ ‫‪ k  k‬הנמצאת בפינה השמאלית העליונה של ‪. A‬‬ ‫מוגדרת חיובית אם ורק אם ‪ det Ak  0‬לכל ‪.1  k  n‬‬ ‫משפט (סילבסטר)‪A :‬‬ ‫הוכחה‪.‬‬ ‫‪ ‬תהא ‪A‬‬ ‫מוגדרת חיובית‪ .‬יהא ‪ .1  k  n‬נראה כי ‪ Ak‬מוגדרת חיובית‪.‬‬ ‫ואמנם יהא‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ , 0  yk ‬ויהא‬ ‫‪y ‬‬ ‫‪ y   k  ‬הוקטור המתקבל ע"י הוספת ‪n  k‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אפסים ל‪ . y k -‬אזי‬ ‫‪ykt Ak yk  yt Ay  0.‬‬ ‫לכן ‪ Ak‬מוגדרת חיובית ובפרט ‪. det Ak  0‬‬ ‫‪ ‬נוכיח את הטענה באינדוקציה על ‪ . n‬המקרה ‪ n  1‬ברור‪.‬‬ ‫יהא ‪ n  1‬ונניח כי ‪ det Ak  0‬לכל ‪.1  k  n‬‬ ‫יהיו ‪, n‬‬ ‫‪ 1 ,‬הערכים העצמיים של ‪ A‬עם הוקטורים העצמיים ‪, vn‬‬ ‫‪. v1 ,‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫}‪V0  span{vi : i  0‬‬ ‫}‪V0  span{vi : i  0‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫}‪ {0‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪.W ‬‬ ‫לפי הנחת האינדוקציה‪ An 1 ,‬מוגדרת חיובית ולכן לכל ‪ (u,0)  w W‬מתקיים‬ ‫‪wt Aw  ut An1u  0.‬‬ ‫עתה‪ ,‬אם ‪ dim V0   2‬אזי‪ ,‬מאחר ש‪ , dimW  n  1 -‬נקבל כי קיים‬ ‫‪ , 0  w  W  V0‬ואז ‪ , 0  w Aw  0‬סתירה‪.‬‬ ‫‪t‬‬ ‫לכן ‪ . dim V0   1‬אם ‪ dim V0   1‬אזי ל‪A -‬‬ ‫חיובי‪ ,‬ולכן ‪n  0‬‬ ‫‪ , det An  1‬סתירה‪.‬‬ ‫לכן }‪ . V0  {0‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫יש ערך עצמי אחד בלבד שאינו‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 37 . .‫חסומה‬ f :Q  n ‫ ותהא‬. -‫תיבה ב‬ n -‫אינטגרל רימן ב‬ Q   a1 , b1     an , bn  ‫תהא‬ :‫נסמן‬ n v  Q     bi  ai  i 1 M Q  f   sup f ( x), mQ  f   inf f ( x ). xQ xQ .)‫לקטעים‬  ai , bi  ‫תיבות (המתקבלת מאוסף חלוקות של‬-‫ לתת‬Q ‫ חלוקה של‬P ‫תהא‬ : P -‫ביחס ל‬ f ‫ סכום רימן עליון של‬:‫הגדרה‬ U  f , P   M R  f v  R RP : P -‫ביחס ל‬ f ‫סכום רימן תחתון של‬ L  f , P    mR  f  v  R  RP : f Q f ‫אינטגרל עליון של‬  inf U  f , P  P : f f ‫אינטגרל תחתון של‬  sup L  f , P  Q P ‫אזי‬ P ‫היא עידון של‬ P ‫ אם‬:‫טענה‬ L  f , P   L  f , P   U  f , P    U  f , P  .  f  f Q Q ‫ ולכן‬, L  f , P  U  f , P , P, P ‫ לכל‬:‫מסקנה‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪38‬‬ ‫אינטגרבילית לפי רימן אם‬ ‫‪ f  f‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ויסומן על ידי‬ ‫‪ .‬ערך משותף זה יקרא אינטגרל רימן של‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪f‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫אינטגרבילית אם ורק אם לכל‬ ‫‪ f , P  L f , P  ‬‬ ‫הגדרה‪ :‬קבוצה‬ ‫‪ A ‬תיקרא בעלת מידה אפס אם לכל ‪  0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מנייה של תיבות‬ ‫דוגמא‪  0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫קיימת משפחה בת‬ ‫‪ .‬נסמן ‪.  ( A)  0‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אם ‪ B  A‬ו‪A -‬‬ ‫בעלת מידה אפס‪ ,‬אזי גם‬ ‫‪B‬‬ ‫בעלת מידה אפס‪.‬‬ ‫היא בעלת מידה אפס אם ורק אם לכל ‪   0‬קיימות תיבות ‪Qi i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ש‪ v  Q    -‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ .3‬אם‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ו‪int Qi -‬‬ ‫כך‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ H ‬על‪-‬מישור (מקביל לצירים)‪ ,‬אזי ‪ H   0‬‬ ‫אם ‪ Ai i1‬‬ ‫משפט (רימן)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ A ‬ו‪ v  Qi    -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪.U‬‬ ‫‪ Qi i1‬כך ש‪Qi -‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫קיימת חלוקה‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בעלות מידה אפס אז‬ ‫‪Ai‬‬ ‫בעלת מידה אפס‪.‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫אינטגרבילית אם ורק אם קבוצת נקודות אי הרציפות‬ ‫‪D‬‬ ‫של‬ ‫‪f‬‬ ‫היא‬ ‫בעלת מידה אפס‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫נניח כי ‪ D   0‬‬ ‫‪ . ‬עלינו להראות כי קיימות חלוקות‬ ‫‪ P‬כך ש‪U  f , P   L  f , P  -‬‬ ‫קטן כרצוננו‪.‬‬ ‫יהא ‪ .   0‬יהיו ‪Si i1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מאחר ו‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תיבות המקיימות‬ ‫רציפה על ‪ , Q  D‬הרי שלכל‬ ‫‪v  S   ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪a Q  D‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫כך ש‪int Si -‬‬ ‫קיימת תיבה‬ ‫‪.D ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪Ra‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 39 . x  Ra Q N i 1 Si  Q N Rj ‫נבחר תת כסוי סופי‬ ‫לכל‬ Q f ( x)  f (a)   -‫ וכך ש‬a  int Ra  int Si  i 1 j 1 int Ra ‫מהכסוי הפתוח‬ aD . .‫כלשהו‬ T  R j -‫ או ש‬,‫ כלשהו‬T  Si -‫ או ש‬, T  P ‫ כך שלכל‬Q ‫חלוקה של‬ P ‫תהא‬ ‫נסמן‬ P '  T  P : i, T  Si  P ''  T  P : j , T  R j  ‫אזי‬ U  f , P   L  f , P     M T  f   mT  f   v T   T P    M T  f   mT  f   v T   T P   M  f   m  f   v T  T P T T   2 M Q ( f )   v  Si   2  v  Q  i 1  2  M Q ( f )  v Q  . Q ‫חסומה ואינטגרבילית על‬ .  D   0 ‫מקיימת‬ ‫על ידי‬ f f ‫נניח כי‬ ‫ קבוצת נקודות אי רציפות של‬- D :‫צ"ל‬ a Q ‫בנקודה‬ f ‫נסמן את התנודה של‬   o  f , a   inf  sup f ( x)  inf f ( x)  .  0 x a  x a    .o .D   Dm m1 ‫ אזי‬, Dm  f , a   0 ‫ אם ורק אם‬a -‫ רציפה ב‬f :‫עובדה‬ 1    x  Q : o  f , x    ‫ נסמן‬,‫ טבעי‬m ‫לכל‬ m  .  Dm   0 ‫ נראה כי‬.‫ קבוע‬m ‫יהא‬  3 ‫חשבון אינפי‬ 41  f , P   L  f , P    ‫ חלוקה עבורה‬P ‫ ותהא‬  0 ‫יהא‬   R  P : int R  Dm   . ‫ נסמן‬.U ‫אזי‬   U  f , P   L  f , P     M R  f   mR  f   v  R   RP    M R  f   mR  f   v  R    1 v  R  (*) m R R .K  R ‫נסמן‬ RP .  K   0 ‫מישורים מקבילים לצירים ולכן‬-‫ מוכלת באיחוד סופי של על‬K ‫ אזי האוסף‬.   i 1 i 1  v  Si    -‫ ו‬K  Si -‫ אוסף של תיבות כך ש‬Si i1 ‫יהא‬  ‫מקיים‬ Dm  R R R : R   Si i1   Si i 1   v  R    v  S   m    (m  1) -‫ו‬ R i 1 i    .   D    Dm   0  m1  ‫ ולכן‬,   Dm   0 ‫לכן‬ .‫מש"ל‬ ‫משפט פוביני‬ . C  A  B ‫ תיבות ותהא‬B  m ,A m .‫ חסומה ואינטגרבילית‬f : C  . g x ( y )  f ( x, y ) ‫ ע"י‬g x : B  ‫תהיינה‬ ‫תהא‬ ‫ נגדרי‬x  A ‫לכל‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 41 . I ( x)   gx , I ( x)  B  gx :‫נסמן‬ B ‫ ומתקיים‬, A ‫ אינטגרביליות על‬I ( x) , I ( x) ‫אזי‬ . A I  A I  AB f ‫ חלוקת‬P  PA  PB ‫ תהא‬. B ‫ חלוקה של‬PB , A ‫ חלוקה של‬PA ‫ תהיינה‬:‫הוכחה‬ .‫המכפלה‬ :‫טענה‬ L( f , P)  L( I , PA )  U ( I , PA )  U ( I , PA )  U ( f , P)  L( I , PA )  . U ( I , PA )  U ( f , P) ‫ נוכיח‬:‫הוכחת הטענה‬ ‫ מתקיים‬RB  PB ‫ אזי לכל‬. x  RA  PA ‫יהא‬ , M R (gx ) B  M RARB ( f ) : x  R A ‫ולכן לכל‬ I ( x)  U ( g x , PB )   RBPB M RB ( g x )v( RB )   RBPB M RARB ( f )v( RB ). -‫מכאן ש‬ M RA ( I )   RBPB M RARB ( f )v( RB ), ‫ולכן‬ U ( I , PA )   RAPA M RA ( I )v( RA )    RAPA RBPB M RARB ( f )v( RA  RB )  U ( f , P). . L( f , P )  L( I , PA ) ‫בדומה מראים כי‬ .‫שויונים ברורים‬-‫שאר ארבעת האי‬ .   0 ‫ יהא‬:‫הטענה גוררת מיידית את משפט פוביני‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 42 -‫ כך ש‬P  PA  PB ‫אזי קיימת חלוקה‬ , U ( f , P)  L( f , P )   , U ( I , PA )  L( I , PA )   . -‫ו‬ f   I   AB A U ( I , PA )  L( I , PA )   ‫ואז גם‬ , f   I   AB A -‫ו‬ :‫דוגמא‬ ‫תהי‬  0, ( x, y )    f ( x, y )   1 p  , ( x, y )   , x  , ( p , q )  1 q  q :‫מתקיים‬ , D( f ) 2  [0,1]2 ,  ( D( f ))  0  f 0 [0,1]2 .x ‫ ולא אינטגרבילית לכל‬, x  ‫רציפה לכל‬ gx :‫מכאן‬ D( I )   [0,1]  0, x   I ( x)   1 p  , x  , x  , ( p, q )  1 q  q .‫ממשי‬ x ‫לכל‬ I ( x)  0 ‫ואילו‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪43‬‬ ‫האינטגרל רימן – המקרה הכללי‬ ‫קבוצה חסומה‬ ‫‪ A ‬תיקרא בעלת נפח אם עבור תיבה סגורה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .  1A‬במקרה זה הנפח של ‪A‬‬ ‫נתון ע"י‬ ‫‪ 1A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ A  C ‬קיים‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . v( A) ‬אינטגרביליות של ‪ 1 A‬וכן ערכו של‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 1A‬‬ ‫אינם תלויים ב‪. C -‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ A ‬היא בעלת נפח אם ורק אם ‪.  (A)  0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טענה‪ .‬קבוצה חסומה‬ ‫אינטגרציה על תחומים חסומים‪:‬‬ ‫תהא ‪ f‬חסומה על ‪ , A‬קבוצה חסומה בעלת נפח המוכלת בתיבה ‪ , C‬ונניח כי‬ ‫‪ .‬נגדיר ‪f   1A  f‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(Df )  0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫אינטגרציה על תחומים כלליים‪:‬‬ ‫תהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ A , f : A ‬המקיימת ‪ D   0‬‬ ‫‪ A ‬פתוחה‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫נסמן‪f   max{ f ,0} :‬‬ ‫‪ max{ f ,0},‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.f‬‬ ‫את משפחת הקבוצות הקומפקטיות בעלות הנפח המוכלות ב‪ . A -‬נאמר כי ‪f‬‬ ‫נסמן ב‪-‬‬ ‫אינטגרבילית על ‪A‬‬ ‫‪sup  f   , sup  f   ‬‬ ‫אם‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ובמקרה זה נגדיר‬ ‫‪ sup  f   sup  f ‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל‬ ‫‪D‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פתוחה קיימת סדרה‬ ‫נפח ב‪ A -‬כך ש‪Ci  A -‬‬ ‫‪‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪C1 , C2 ,‬‬ ‫‪ int Ck 1‬‬ ‫של קבוצות קומפקטיות בעלות‬ ‫‪. Ck‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ A  ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪: x  k , d  x,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. Dk‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪44‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪  int Dk 1‬‬ ‫‪k  1‬‬ ‫‪ A ‬‬ ‫‪: x  k  1, d  x,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x  Dk‬נבחר תיבה סגורה שמרכזה ב‪x -‬‬ ‫לכל‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪. Dk‬‬ ‫המוכלת ב‪ . int Dk 1 -‬פנים תיבות אלו‬ ‫מכסה את ‪ , Dk‬ולפיכך יש מספר סופי מהן המכסה את‬ ‫את איחודן‪.‬‬ ‫‪ . Dk‬נסמן ב‪Ck -‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫קומפקטית ובעלת נפח‪.‬‬ ‫‪Dk  int Ck  Ck  int Dk 1‬‬ ‫‪Ck ‬‬ ‫מקיימות את הדרוש‪ .‬מש"ל‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תהא‬ ‫‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫פתוחה‪,‬‬ ‫ו‪ .   Df   0 -‬ויהא ‪Ck ‬‬ ‫‪f : A‬‬ ‫קבוצות קומפקטיות בעלות נפח ב‪ , A -‬כך ש‪Ck  int Ck 1 -‬‬ ‫לכל ‪ . k‬אזי‬ ‫אוסף של‬ ‫‪f‬‬ ‫קיים אם‬ ‫‪A‬‬ ‫ורק אם הסדרה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Ck k‬‬ ‫חסומה‪ .‬במקרה זה‬ ‫‪Ck‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬נראה זאת ל‪f  0 -‬‬ ‫אם‬ ‫‪‬‬ ‫‪  f‬אזי ‪ f   f  ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בכיוון שני‪ ,‬אם‬ ‫‪. sup‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫קומפקטית ובעלת נפח‪ ,‬אזי‬ ‫ל‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Cm  D‬‬ ‫קיים אם ורק אם‬ ‫‪A‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪f  sup  f‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫קיים‪.‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f , f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪lim  f  ,lim  f ‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪int Ck  D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫כללית‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪k‬‬ ‫כלשהו‪ ,‬כך ש‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ sup  f  ‬ו‪D  A -‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫ולכן קיים ‪m‬‬ ‫‪f  lim  f‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫‪Cm‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫קיימים וזה אם ורק אם‬ ‫‪A‬‬ ‫קיימים וזה אם ורק אם‬ ‫‪lim  f  lim   f   f  ‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪Ck‬‬ ‫‪k ‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 45 f   f    f   lim  f   lim  f   A A k  A k  Ck  lim   f   f    lim  f k  k  Ck Ck Ck .‫מש"ל‬ :‫דוגמאות‬ 1 .   0 ‫ עבור‬f ( x )  x .   n ‫אם ורק אם‬ ‫ ותהא‬, A  (0,1) ‫ תהא‬.1 n  A ‫ אינטגרבילית על‬f :‫טענה‬ ,‫שויון הממוצעים‬-‫ לפי אי‬.‫הוכחה‬ . x   x12   xn2  1 2    n  x12   xn2  1 n    1 2   n x1 xn  1 n ‫ אזי‬.   n ‫יהא‬ A  n 1  1 1  1    n 2 A i1 xi n n 2 x 1 n 2 x 1 n  x1 n  i  i   i 1 1   n    xi 0 n 1 dxi  n   x i1 0 i n    1 2  n    n  n   :   n ‫עבור‬ A 1  n x   k 0    ( k 1)  k  ,2  2   n 1  n x  1 2 n   2  k 0  n( k 1)  n  2 k  n    n 1  .  k 0 .   0 ‫ עבור‬f ( x )  1 x .   n ‫אם ורק אם‬  ‫ ותהא‬, A  (1, ) ‫ תהא‬.2 n A ‫ אינטגרבילית על‬f :‫טענה‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 46 ‫ אזי‬.   n ‫ יהא‬.‫הוכחה‬ A  n  n 1  1 1  1  n n 2 A  n 2 x i1 xi x  n  x1 n  i 1  i   2 1   n  n i1   x 1    i1 1 dxi  xi n n    1 2  n    n   n  i :   n ‫עבור‬ A 1  n x   k 0   k k 1 2 ,2     1 2 n  n 1  n x  2kn  k 0  1 n 2 k 1  n    n 1  .  k 0 .‫שינוי משתנים‬ .0  g   x   0 , C1 , g :  a, b  f :  g (a), g (b)  ‫ אזי‬.‫רציפה‬ g (b ) b g (a) x a ‫ תהא‬:‫טענה‬  f  y  dy   f  g ( x)  g ( x)dx ‫ נגדיר‬:‫הוכחה‬ y g (a )  y  g (b), F ( y )   f g (a) a  x  b, H ( x)  F  g ( x)  H ( x)  F   g ( x)  g ( x)  f  g ( x)  g ( x) ‫ ולכן‬F   y   f  y  ‫לפיכך‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 47 b g (b) x a g (a)  f  g ( x)  g ( x)dx  H (b)  H (a)  F  g (b)   F  g (a)    f  y  dy :‫דוגמא‬ 20   y2  7 10 y 10 202  2 y  dy    x  7  10 2 x 102 1  12 x dx 2 202    x  7 10 10 dx 2 :‫מימדים‬ ,‫רציפה‬ f :B ‫ ותהא‬,‫פתוחות‬ ‫ ובמקרה זה‬,‫קיים‬ A, B n -‫שנוי משתנים ב‬ 1 ‫ חד חד ערכית על‬, C , g  f  g ( x)  J g ( x) :A B ‫קיים אם ורק אם‬ A  f   f  g ( x)  J B ‫תהא‬ f ‫אזי‬ B g ( x) A ‫כאשר‬ J g ( x)  det Dg ( x). :‫הסבר‬ ‫ המקבילון הנקבע על ידי וקטורים אלה הוא‬. v1 , P  v1 , , vn  n ‫ יהיו‬:‫תזכורת‬  n  , vn    i vi : 0  i  1  i1  ‫ונפחו‬ V  P  v1 , , vn    det  v1 , , vn  . 3 ‫חשבון אינפי‬ 48 , Ri ‫פינה שמאלית תחתונה של‬ xi ‫לתיבות "קטנות" ותהא‬ ‫ אזי‬. Ri A ‫ חלוקה של‬Ri i  xi  0, h1   ‫תהא‬  0, hn   f  f  g ( x )  V  g  R   i g  Ri  i i B g ( xi )  Dg ( xi ) 0, h1   ‫אזי‬ g  Ri  g ( xi )  P  h1u1 ,  0, hn  .  Dg ( xi )  u1    un    ‫תהא‬ , hnun  ‫ולכן‬ V  g  Ri   V  P  h1u1 ,  h1 , hnun   hn det Dg ( xi ) ‫לכן‬  f  f  g(x ) J i g ( xi ) V  Ri  i B  f  g ( x)  J g ( x) A .‫מש"ל‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 49 :‫דוגמאות‬ :‫ קואורדינטות קוטביות‬.1 g :  0,     0,2   2 g (r , )   r cos , r sin   cos Dg  r ,     sin  J g  r ,   r R 2  x  y R 2 r sin   r cos  2 2 f ( x, y )   0  f  r cos , r sin   rdrd 0 :‫למשל‬ R 2 V  B  R    2 0 R2 2  0 rdrd  2 2   R . ‫חישוב האינטגרל הגאוסי‬    e x dx   2 :‫טענה‬ .‫הוכחה‬    2  e x dx       2    2 e   r 0  0 r 2    e  x2 r dr d  dx  e  x2 dy   e  x2  y 2    dxdy  ( x, y ) 2  r   1  r 2 2 r 2   2      e  (r )' dr   e  . 2   r 0   r 0  :‫ קואורדינטות כדוריות‬.2 3 ‫חשבון אינפי‬ 51 g  r , ,    r sin  cos , r sin  sin  , r cos   sin  cos Dg  r , ,    sin  sin    cos  r cos  cos r cos  sin  r sin  r sin  sin   r sin  cos     0 J g  r, ,   cos r 2 cos sin   r sin   r sin 2    r 2 sin  :‫למשל‬ V  B  R   3 R  2    r r 0 0 2 sin  drd d 0 R3 4 R 3   2   cos  0  3 3 ‫ נגדיר את פונקצית גאמא ואת פונקצית בטא ע"י‬.3  x0 ( x)   t x1et dt 0 1 x, y  0   x, y    t x1 1  t  y 1 dt 0 :‫טענה‬   x, y    ( x ) ( y )  x  y g :  0,     0,1   x, y  : x, y  0 g ( s, t )   (1  t ) s, ts  3 ‫חשבון אינפי‬ 51 1  t Dg ( s, t )    t    u  ( x ) ( y )  s  , s  J g ( s, t )  s x 1  u e v y 1e  v dudv u 0 v 0   1   s 0 t 0    s 0 s 1  t  s  x  y 1  s e ds x 1 e  (1t ) s  st  1  1  t  y 1 e  st sdsdt t dt    x, y    x  y  . x 1 y 1 t 0 :‫הערות‬ . ( x  1)  . ( x)  ( x  1)! ‫טבעי מתקיים‬  ( x)(1)  x( x) .1 ( x,1) x ‫ מקבלים שלכל‬, (1)  1 -‫מאחר ש‬   2 2 1 1 1     t 2et dt  (s 2 ) 2 e s 2s ds  2 e s  2  t 0 s0 s0    ds   .2 :‫טענה‬ V  B (1)   n  n 2   n2  1 3 ‫חשבון אינפי‬ 52 :‫הוכחה‬ V  B (1)   n 1  x  xn 1    xn 1    xn21 2 1 1   2 n 1 2 2 n 1 2 n 2 n 1 2   n2  12  t 0 1   n2  12  s0  2 n 2 1 2  1  xn2  2 dxn n 1  12  1 1  1 x  1 1  t  2 n 1 2 1  s  2 n 1 dt 1  12 s ds 2 n 1 2  2  n 1 1   n 1  ,  .   2  2   2 2    n2  1  . B p,n   x1,  n n  , xn  :  xi  1 p  i 1 ‫ נסמן‬, p  0 ‫ עבור‬:‫הערה‬ ‫ אפשר להראות כי‬,‫ דלעיל‬p  2 ‫בדומה למקרה‬ n 1 n  p  2  Vol ( B p ,n )     p    n  1 p    :‫פרמטריים ונפחיהם‬- k ‫משטחים‬ .P  v1 , k  , vk   i vi : 0  i  1  i1  ?P  v1 , , vk  ‫מימדי של‬ ‫אזי‬ ‫ויהי‬ v1 , , vk  n ‫יהיו‬ k -‫כיצד להגדיר את הנפח ה‬ v1 , , vk  k  0 ‫אם‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 53  A  v1   n    n-k    vn     B k 0      ‫ואזי טבעי להגדיר‬ , vk    det B   det A A  . Vk  P  v1 , T -‫מטריצה אורתונורמלית כך ש‬ C , vk    Vk  P  Cv1 ,  3 T -‫כווקטור היחיד ב‬ , Cvk    1 2 uv    u  v, x   det    , vk  v1 , k n -‫ל‬  0 , Cvk    det  CA  CA ‫עבורו‬ 2 ‫ תהא‬,‫שרירותיים‬ ‫ אזי‬. Cv1 , Vk  P  v1 , 1 u v x  det  AT A  3  1 ‫ נגדיר‬. u, v  2 3 ‫ יהיו‬:‫דוגמא‬      :‫בקואורדינטות‬  u u  v   det  2  v2    2 u  v  det    u3  u3 ,det v v3   3 u v uv u1  u1 u2   ,det v v   v1   1 2      V2  P  u , v   u  v   ‫מכאן‬ V2  P  u, v    u  v ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪54‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪u  v  u v sin ‬‬ ‫(ראו איור)‬ ‫משטח ‪- k‬פרמטרי‬ ‫תהי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ :U ‬‬ ‫כאשר‬ ‫ברצוננו להגדיר ‪ U  ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ Vk‬כאשר‬ ‫פתוחה‪ ,‬ו‪.   C -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫חד‪-‬חד ערכית‪.‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 55 . k -‫ תיבה ב‬, a , ak  ‫ כאשר‬a  0, h1     a1 ,  0, hk   C   (a)  D (a)  h1c1   C  ‫אזי‬  D (a )  h1c1   Vk   C    h1  hk ck     D (a )  v1    h1     hk ck  D (a )     0   ‫תהא‬  vk    ‫נסמן‬   0     hk  hn  det D (a)T D (a)  1 2 ‫לכן טבעי להגדיר‬ Vk   C     xU det  D ( x)T D ( x)    ‫ אזי‬. V1  (a, b)   b  n 2  :  a, b   -‫מסילה ב‬ det  D ( x)T D ( x)  1 1 n ‫ תהא‬:‫דוגמא‬ 2 x a 2   1     ( x)     x  x a  1   n    ( x)   dx  x   2 b 2 :‫למשל‬  :  0,2   2  (t )   R cos t , R sin t  3 ‫חשבון אינפי‬ 56 V1 ( )  2     R sin t  2   R cos t  t 0 2  1 2 : .  3 -‫פרמטרי ב‬-2 ‫ משטח‬:‫דוגמא‬  1 ,2 ,3  : A   1  u   D  u, v    2  u    3  u det  D (u, v)   D (u, v)  T dt  2 R . 3 ,‫פתוחה‬ A 2 1  v   2  v  3  v   1 2     u v 2 : S ‫למשל‬ 0     TR  ,    R sin  cos , R sin  sin  , R cos   ,  0    2  TR     R cos  cos , R cos  sin  ,  R sin     TR    R sin  sin  , R sin  cos  ,0    TR TR    R 2 sin 2  cos , R 2 sin 2  sin  , R 2 cos  sin       R sin  TR ( , ) TR TR   R sin  TR ( , )  R 2 sin    3 ‫חשבון אינפי‬ 57 V2  S  2 2  R     R 2 sin  d d  0  0  2 R  2  sin  d  4 R 2 . 0 ‫מימדי של‬- n -‫ נחשב את הנפח ה‬.‫ גזירה ברציפות‬f : A  ‫ע"י‬  : A  Gf -‫ ו‬A  n ‫ תהא‬:‫דוגמא‬ ‫ נגדיר פרמטריזציה‬. G f  ( x, f ( x)) : x  A , f ‫הגרף של‬ ‫נתונה ע"י‬  1  0   D ( x)    0  f  ( x)  x1  ‫ הנגזרת של‬.  ( x)  ( x, f ( x))  0     1   f ( x)  xn  0 0 1 0 f ( x) x2 ‫לכן‬ D ( x)T D ( x)   I  I  T f ( x)  T   I  f ( x)  f ( x) .  f ( x )   0 ‫ הם‬aaT ‫ אז הערכים העצמיים של‬,‫ וקטור עמודה‬a  (a1, , an )  ‫ ולכן‬,1 ‫ בריבוי‬tr (aa )  T n ‫נשים לב כי אם‬ n  ai2 -‫ו‬ n  1 ‫בריבוי‬ i 1 n det( I  aa )  1   ai2 . T i 1 ‫לכן‬ 1 2 2 n   f   2 T Voln (G f )   det D ( x) D ( x) dx   1    ( x)   dx.   x i  1  i   xA xA    1 ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪58‬‬ ‫אינטגרציה של פונקציה סקלרית על משטח ‪- k‬פרמטרי‬ ‫יהא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ S ‬משטח ‪- k‬פרמטרי עם פרמטריזציה‬ ‫פתוחה‪ ,‬ו‪ ,   C -‬ותהא‬ ‫‪f :S ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ :U ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪k‬‬ ‫‪U‬‬ ‫רציפה‪ .‬נגדיר את האינטגרל של הפונקציה‬ ‫הסקלרית ‪ f‬על המשטח ‪ S‬ע"י‬ ‫‪f  (u )  det  D (u )T D (u )  du‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f d ‬‬ ‫‪uU‬‬ ‫אינטגרלים מסילתיים‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי‬ ‫‪ . A ‬מסילה ב‪A -‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,  n  ,  :  a, b  A‬‬ ‫מניחים להלן כי‬ ‫‪‬‬ ‫היא העתקה‬ ‫‪  1 ,‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫היא ‪. C‬‬ ‫בהינתן שדה וקטורי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f  ( f1 ,‬‬ ‫‪, fn ) : A ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬נגדיר‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ f dr    f dx    f  (t )   (t )dt .‬‬ ‫‪i‬‬ ‫זו העבודה שמבצע השדה‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  a i 1‬‬ ‫במעבר על המסילה ‪. ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫דוגמא‪, f   x2 , y 2  :‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪1  2t,2  3t ‬‬ ‫‪.  (t ) ‬‬ ‫נתון בציור‪:‬‬ ‫‪ 2   2  3t   3 dt .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f dr    f dx   1  2t ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫טענה (אי תלות בפרמטריזציה)‪ :‬נניח‬ ‫‪  C 1 ,  :  c, d    a , b ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ :  a, b   A‬‬ ‫לא יורדת‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ U ‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 59 ‫ אזי‬.  ( s )    (s)  ‫ידי‬-‫ על‬ : c, d   A ‫נגדיר‬  f dr   f dr :‫הוכחה‬ d  f dr    f dx    f   (s )   (s )ds  i i i i s c d    f   (s)    (s ) '(s )ds  i i s c b    f   t    t  dt    f dx   f dr i i t a i i i :‫הגדרה‬ ‫ אזי‬.  2 (0)   1 (1) -‫כך ש‬  1 ,  2 : 0,1  A ‫ תהיינה‬:‫שרשור מסילות‬ .1  1 (2t ) 0t  1  2  1   2 :  0,1  A,  1   2 (t )    2 (2t  1) 1 2  t  1 : :  0,1  A -‫המסילה הנגדית ל‬ . ( )(t )   (1  t ) :‫נגדיר‬ :‫טענה‬    1 2 f dr   f dr   f dr 1 2 .2 ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪ f dr   f dr‬‬ ‫‪‬‬ ‫שימור ושימור מקומי‬ ‫תהא‬ ‫‪ A ‬פתוחה ויהי ) ‪, f n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪ f  ( f1 ,‬שדה וקטורי גזיר ברציפות‪.‬‬ ‫הוא שדה משמר ב‪ A -‬אם הערך של ‪ f dr‬‬ ‫על מסילה ‪ :[0,1]  A‬‬ ‫תלוי רק ב‪ .  (0) -‬וב‪.  (1) -‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫משמר ב‪ A -‬אם ורק אם ‪ f dr  0‬‬ ‫הוכחה‪  :‬נניח כי‬ ‫‪f‬‬ ‫משמר‪ ,‬ותהא‬ ‫‪ .‬תהא ‪ :[0,1]  A‬‬ ‫לכל מסילה סגורה‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪. A -‬‬ ‫‪ ‬מסילה סגורה ב‪ , A -‬כלומר ‪ (0)   (1)  p‬‬ ‫המסילה הקבועה ‪ . (t )  p‬אזי‬ ‫‪ f dr   f dr  0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬נניח ‪ f dr  0‬‬ ‫לכל מסילה סגורה‪ ,‬ויהיו ‪ 1 ,  2 :[0,1]  A‬‬ ‫)‪  1 (0)   2 (0‬ו‪ .  1 (1)   2 (1) -‬תהא ‪ .    1    2 ‬אזי ‪‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫סגורה ולכן‬ ‫‪0   f dr   f dr   f dr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫פונקציה סקלרית גזירה פעמיים ברציפות‬ ‫‪ f‬אם ‪   D  f‬על ‪. A‬‬ ‫‪ : A‬‬ ‫נקראת פוטנציאל של השדה הווקטורי‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 61 . A -‫ קיים פוטנציאל ב‬f -‫אם ורק אם ל‬ ‫אזי‬  b f dr   f ( (t ))  D (t )dt  b n   f ‫ אם‬:‫הוכחה‬    x  (t )    (t )dt t a i 1 t a A -‫ משמר ב‬f :‫טענה‬ i i b  d t a dt   (t )dt    (b)     (a)  .  (u ) u   f dr ‫ נגדיר‬.‫משמר‬ f -‫ נניח ש‬,‫להיפך‬ u0 . u -‫ל‬ u0 -‫ מסלול כלשהו מ‬ -‫ ו‬A -‫ נקודה קבועה ב‬u0   u  hei    (u )   f dr  . (t )  u  thei ‫נתונה ע"י‬  :[0,1]  A ‫כאשר‬ ‫לכן‬   u  hei    (u )  1  f  (t )  D(t )dt t 0 ‫ לכן‬, D(t )   u  hei    (u )    0, i ,0, h,0, ,0  ‫אבל‬ 1  f  u  the   h dt i i t 0 ‫ולכן‬   u  hei    (u )  (u )  lim  lim  fi  u  t hei  dt  f i (u ) . h0 h0 xi h t 0 1 .‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪62‬‬ ‫דוגמא‪ :‬שדה הכובד על ‪ 0‬‬ ‫פונקצית הפוטנציאל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 xi‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   x12 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ f‬משמר ב‪A -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f dr   (b)   (a) ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ x1 ‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אזי‬ ‫‪f‬‬ ‫‪fi‬‬ ‫)‪( x)  j ( x‬‬ ‫‪x j‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫לכל ‪ i, j‬ולכל ‪. x  A‬‬ ‫(‪)‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהא ‪ ‬פוטנציאל של ‪ f‬ב‪ . A -‬אזי לכל ‪i, j‬‬ ‫‪fi‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪  f j‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x j x j xi x j xi xi x j xi x j xi‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪ f‬יקרא משמר מקומית ב‪ , A -‬אם לכל ‪a  A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ , a U‬כך ש‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫יש סביבה פתוחה ‪ ,U‬המקיימת‬ ‫משמר ב‪.U -‬‬ ‫הומוטופיה של מסילות סגורות‬ ‫שתי מסילות סגורות גזירות ברציפות ‪  0 ,  1 : 0,1  A‬נקראות הומוטופיות ב‪A -‬‬ ‫קיימת ‪H :  0,1  0,1  A‬‬ ‫גזירה ברציפות כך ש‪-‬‬ ‫אם‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 63 , 0  t  1 ‫לכל‬ , 0  t  1 ‫לכל‬ . 0  s  1 ‫לכל‬ H  0, t    0 (t ) H 1, t    1 (t ) H  s,0   H  s,1 .  s (t )  H ( s, t ) ‫ את המסילה הסגורה הנתונה ע"י‬ s :[0,1]  A -‫נסמן ב‬ . A -‫( ב‬) ‫ שדה וקטורי גזיר ברציפות המקיים‬f -‫ ו‬,‫ פתוחה‬A  ‫ מתקיים‬,  0 n ‫ תהא‬:‫טענה‬  1 ,‫אזי לכל שתי מסילות חלקות והומוטופיות‬ . f dr   f dr    0 1 ‫ ע"י‬u :[0,1]  . u ( s)  ‫ נגדיר‬.‫הוכחה‬  f dr s -‫ הרי ש‬, () ‫ מקיים את‬f -‫נשים לב כי מאחר ש‬ Df ( p)  Df ( p)T . p U ‫לכל‬ :‫עתה‬ u(s)   f ( s (t ))T  s (t ) dt   f (H (s, t ))T  H (s, t ) dt t 1 1 t 0 t 0 :‫לכן‬ 1   T  2H  H  H  T u '(s)    Df ( H (s, t )) (s, t )  (s, t )  f ( H (s, t )) ( s, t )  dt  s s t t 0    t    1  H    t 0  1   s (s, t )T 2H   H  T Df ( H (s, t )) (s, t )  f ( H (s, t )) (s, t )  dt  t t s  T        Df ( H (s, t )) H (s, t )  H (s, t )  f ( H (s, t ))T   H  (s, t )  dt  t t  s  t 0    s    ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪64‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    f ( H (s, t ))T H (s, t ) dt ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪t 0 t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( H (s,1))T H (s,1)  f ( H (s,0))T H (s,0) ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( H (s,0))T  H (s,1)  H (s,0)   0‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ s‬‬ ‫‪‬‬ ‫כי )‪. H ( s,1)  H ( s,0‬‬ ‫לכן )‪ u ( s‬קבועה ובפרט‬ ‫‪ f dr  u(0)  u(1)   f dr‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫מסקנה‪ f :‬משמר מקומית אם ורק אם ‪ f‬מקיים )*( ‪.‬‬ ‫הוכחה‪  :‬נובע מכך ששדה משמר מקיים )*( ‪.‬‬ ‫‪ ‬תהא ‪ , u  A‬ויהא ‪ B(u, r )  A‬עם ‪. r  0‬‬ ‫נראה כי ‪ f‬משמר ב‪ . B(u, r ) -‬תהא ) ‪ :[0,1]  B(u, r‬‬ ‫מסילה סגורה‪.‬‬ ‫נגדיר ) ‪ H :[0,1]  B(u, r‬ע"י‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪. H ( s, t )  u  s ( (t )  u‬‬ ‫‪ H‬היא הומוטופיה בין ‪  0 (t )  H (0, t )  u‬לבין ) ‪ .  (t )  H (1, t‬לכן‪ ,‬לפי הטענה‬ ‫הקודמת‪,‬‬ ‫‪ f dr   f dr  0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫שמור‪ ,‬שימור מקומי וטופולוגיה‬ ‫תהא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ U ‬פתוחה‪ .‬נסמן ב‪  0 (U ) -‬את אוסף הפונקציות הממשיות הגזירות מכל סדר ב‪-‬‬ ‫‪ . U‬נסמן ב‪ 1 (U ) -‬את אוסף השדות הווקטוריים הגזירים מכל סדר ב‪  0 (U ) . U -‬ו‪-‬‬ ‫) ‪ 1 (U‬הם מרחבים וקטוריים אינסוף מימדיים (אם ‪ ) U  ‬מעל‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪65‬‬ ‫}‪ f }  { f 1(U ):  f  0‬משמ רמקומי‬ ‫}) ‪  0 (U‬‬ ‫‪ f }  { :‬משמ‬ ‫ת ‪Z 1(U )  { f 1(U ):‬‬ ‫ר ‪B1(U )  { f 1(U ):‬‬ ‫מאחר שכל שדה משמר הוא גם משמר מקומית‪ ,‬הרי ש‪. B1(U )  Z 1(U ) -‬‬ ‫מרחב המנה‬ ‫) ‪B 1 (U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪ H 1 (U )  Z (U‬נקרא מרחב הקוהומולוגיה הראשונה של ‪ U‬עם‬ ‫מקדמים ממשיים‪ .‬מימד מרחב זה‪ , 1  dim H 1 (U ) ,‬הוא שמורה טופולוגית של ‪. U‬‬ ‫מקרה פרטי של משפט חשוב של ‪ De Rham‬מזהה את ) ‪  1 (U‬כ"מספר המעגלים הבלתי‬ ‫תלויים לינארית ב‪." U -‬‬ ‫נשאיר את הגדרות המדויקות של המושגים המופיעים בפסקה הקודמת לקורסים הבאים‪ ,‬אך‬ ‫נביא מספר דוגמאות‪:‬‬ ‫א‪ .‬קבוצה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ A ‬תיקרא פשוטת קשר אם כל מסילה סגורה ב‪A -‬‬ ‫הומוטופית לנקודה‪.‬‬ ‫מהטענה שהוכחנו נובע כי אם ‪ A‬פשוטת קשר אזי ‪ . H 1 ( A)  0‬בפרט נובע שאם ‪A‬‬ ‫כוויצה אזי ‪. H ( A)  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬תהא ‪ (0, 0)‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . A ‬השדה‬ ‫‪  x    y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  x 2  y 2  y  x 2  y 2 ‬‬ ‫‪  y, x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 x  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f ( x, y ) ‬משמר מקומית כי‬ ‫‪ ,‬אך אינו משמר ב‪A -‬‬ ‫כי עבור המסילה‬ ‫‪  :[0,2 ]  A‬הנתונה ע"י ) ‪  (t )  (cos t ,sin t‬מתקיים ‪ f dr  1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫נמצא ל‪ f -‬פונקצית פוטנציאל מקומית‪ .‬נסמן ב‪arctant -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪, arctan( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ , arctan( )  ‬כבציור‪:‬‬ ‫את הענף הסטנדרטי עם‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 66 ‫נסמן‬ B1   x, y  : x  0 , B2   x, y  : y  0, B3   x, y  : x  0 , B4   x, y  : y  0. ‫ ע"י‬Bi ‫ על‬ i ‫נגדיר‬ y x 1  arctan , ( x, y )  B1 x y 2   arctan   2 , y x 3  arctan   , x y 4   arctan  . ( x, y )  B2 ( x, y )  B3 3 , 2 ( x, y )  B4  x, y   Bi ‫ לכל‬i ( x, y)  2 f ( x, y) ‫אזי‬ 1 ‫ תהיינה‬,‫ וביתר כלליות‬. f ( x, y ) ‫ נוצר ע"י המחלקה של‬H ( A) ‫אפשר להראות כי‬ ‫ נגדיר‬1  i  n ‫ לכל‬. 2 -‫ נקודות ב‬P1  (a1 , b1 ), . g i ( x, y )  , Pn  (an , bn ) 1  ( yi  bi ), xi  ai  2 ( xi  ai ) 2  ( yi  bi ) 2 1 , , n ‫ יש‬f  Z 1 ( A) ‫ לכל‬,‫ כלומר‬. H 1( A) ‫ יוצרים את‬g1 , -‫כך ש‬ , g n ‫אזי השדות‬  0 ( A) -‫יחידים ו‬ n . f      i g i i 1 .f  ( y, x, 0) ‫ נוצר ע"י השדה‬H 1 (U ; ) -‫ ו‬,  1 (U )  1 ‫ אזי‬U  2 2 x y ‫ וקטורי יחידה‬u1 , u 2 ‫ יהיו‬. A  3  span{u} -‫ ו‬0  u  3 3  {z } ‫ציר‬ ‫ אם‬.‫ג‬ ‫ יהיו‬,‫באופן כללי יותר‬ ‫ אזי השדה‬. u -‫ניצבים זה לזה וניצבים ל‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪(v, u1 )u2  (v, u2 )u1‬‬ ‫‪(v, u1 )2  (v, u2 ) 2‬‬ ‫‪f (v ) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫יוצר את )‪. H ( A‬‬ ‫ד‪ .‬אם }‪ {( x, y, 0) : x 2  y 2  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ U ‬אזי ‪ .  1 (U )  1‬האם תוכלו למצוא יוצר ל‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ; ‪ ? H 1 (U‬רמז‪ :‬חשבו ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  y  1 ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫הערה‪ :‬לעיתים יש מסילות‬ ‫‪‬‬ ‫‪.   arctg‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬שאינן הומוטופיות לנקודה אך ‪ f dr  0‬‬ ‫מקומית ‪ . f‬למשל‪ ,‬תהא ‪  p, q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ A ‬ותהא‬ ‫‪‬‬ ‫הנתונה בציור‪:‬‬ ‫אזי לכל שדה משמר מקומית ב‪ , A -‬מתקיים ‪ f dr  0‬‬ ‫למסילה קבועה‪.‬‬ ‫לכל שדה משמר‬ ‫‪,‬למרות ש‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינה הומוטופית‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪68‬‬ ‫קואורדינטות ספריות‬ ‫נגדיר‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   0,  ‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪ ,    0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫על ידי‬ ‫‪  ,   R  sin  cos ,sin  sin  ,cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ 0,    0, ‬‬ ‫‪ 2  2‬‬ ‫מעתיקה את‬ ‫חד‪-‬חד‪-‬ערכית על המשטח‬ ‫‪S   x, y, z  : x2  y 2  z 2  R2 , x, y, z  0.‬‬ ‫הנורמל בנקודה‬ ‫‪  , ‬‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫‪N  ,   R 2 sin   sin  cos ,sin  sin  ,cos  ‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f  d    f   ,    N  ,  d d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪S‬‬ ‫אינטגרל השטף‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תהא‬ ‫יהא‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פתוחה‪,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪f : A‬‬ ‫שדה וקטורי‪.‬‬ ‫‪ S ‬משטח דו‪-‬פרמטרי עם פרמטריזציה‬ ‫‪ :U  S‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U‬‬ ‫פתוחה)‬ ‫‪ (u, v)  1 (u, v),2 (u, v),3 (u, v) ‬‬ ‫בעיה‪ :‬אם )‪f ( p‬‬ ‫נ‬ ‫ע‬ ‫היא מהירות הנוזל בנקודה‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ ,‬חשב את קצב מעבר הנוזל דרך המשטח ‪. S‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪69‬‬ ‫יין‬ ‫תהא ‪ {Qi }i‬חלוקה של תחום הפרמטר ‪ U‬למלבנים קטנים‪ .‬יהא‬ ‫‪Qi  ai   0, h   0, k ‬‬ ‫קצב מעבר הנוזל דרך‬ ‫מלבן אופייני בחלוקה‪.‬‬ ‫‪  Qi ‬‬ ‫הוא בקירוב‪:‬‬ ‫‪f  (ai )  cos V2   Qi  ‬‬ ‫‪f N‬‬ ‫‪N hk‬‬ ‫‪f N‬‬ ‫‪f  (ai ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(ai ) ‬‬ ‫‪(ai )hk  f  (ai )  N (ai ) V2 (Qi ).‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ f  (ai ) ‬‬ ‫אינטגרל השטף של השדה ‪ f‬דרך משטח מכוון ‪ S‬יוגדר אם כן ע"י‬ ‫‪S f d  (u,v)U f  (u, v)   N (u, v) du dv.‬‬ ‫אי‪-‬תלות של אינטגרל השטף בפרמטריזציה‬ ‫טענה‪ .‬תהיינה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. U1,U 2 ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪U1 ‬‬ ‫‪U 2‬‬ ‫תהא ‪  :U 2  S‬פרמטריזציה של ‪. S‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהא ‪ g : U1  U 2‬חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪ ,‬על‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫וגזירה ברציפות הנתונה ע"י‬ ‫‪g (u, v)   x(u, v), y (u, v) ‬‬ ‫והמקיימת‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪. det J g (u , v‬‬ ‫תהא ‪  :U1  S‬הפרמטריזציה הנתונה ע"י ‪ .    g‬אזי‬ ‫‪f  (u, v)   N (u, v) du dv   f  ( x, y)   N ( x, y) dxdy.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(u ,v )U‬‬ ‫‪( x, y )U‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 71 :‫הוכחה‬ f  (u, v)   ( u ,v )U1     dudv u v     X  Y  f   g (u , v)    g (u, v)    u y u   x ( u ,v )U1     g    g   dudv u v f   g (u , v)   ( u ,v )U1   X  Y     dudv  x  v  y  v     f   g (u , v)    f   x, y   ( u ,v )U1  ( u ,v )U 2     g (u, v)   J g (u, v)dudv x y     x, y  dxdy x y :‫משפט גרין‬ ,‫בכיוון חיובי‬  ‫ עם שפה גזירה למקוטעין‬,‫ חסומה‬,‫פתוחה‬ U ‫ אזי‬.U ‫שדה וקטורי רציף על‬ 2 ‫תהא‬  P, Q  ‫ויהא‬  Q P  Pdx  Qdy   U  x  y  dxdy .U   a, b  c, d  -‫ ל‬,‫ ראשית‬:‫הוכחה‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 71 b d x a y c  Pdx  Qdy   P( x, c)dx   Q(b, y)dy   d x a y c  P( x, d )dx   Q(a, y)dy d b y c x a  Q(b, y)  Q(a, y) dy    P( x, d )  P( x, c) dx d  b  y c Q xa x dxdy  xa b b P yc y dydx d  Q P      dxdy  x  y  U ‫ נקרא קומפלקס מלבנים‬A  ,‫ מלבנים‬U i -‫ כך ש‬A  2 ‫תחום‬ m i 1 U i ‫אם‬ ‫ היא דופן‬k  Ui  U j , i  j ‫וכך שלכל‬ , k   ‫ או‬,‫ (כלומר‬U j ‫ והן של‬U i ‫הן של‬ .)‫ צלע משותפת‬ k ‫ או‬,‫ קדקד משותף‬ k ‫או‬ ,‫ צלע משותפת‬U j -‫ ול‬U i -‫נשים לב כי אם ל‬ . U j -‫ וב‬U i -‫אז היא מופיעה בכיוונים נגדיים ב‬ ‫לכן‬  A m f dr    i 1 Ui m  Q f dr     i 1 Ui  x   Q P  P    dxdy.  dxdy    y   x y  A .‫משפט גרין לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקומפלקסים מלבניים ע"י קירוב‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 72 ‫רוטור‬ f ‫ מגדירים את הרוטור של‬A  3 ‫על‬ f  C1 , f   f1 , f 2 , f3  ‫לשדה וקטורי‬ ‫ע"י‬        f   , ,    f1 , f 2 , f3   x y z   f f f f f f   3  2 , 1  3, 2  1  y z z x x y  :‫משפט סטוקס‬ ‫הנתון על ידי הפרמטריזציה‬ S   U  A 3 -‫פרמטרי ב‬-2 ‫משטח‬ S ‫יהא‬  (t )   u(t ), v(t )  ‫תהא‬ (t )     (t )  ‫ותהא‬ 1 ,2 ,3    : U  ‫בכיוון החיובי‬ U ‫השפה של‬ ‫ אזי‬. S ‫פרמטריזציה של‬ 3 .  f dr     f d  S :‫הוכחה‬ b  f dr   f   (t )    (t )dt  t a ‫כאשר‬ (t )  D   (t )    (t )     (t )   u (t )   (t )   v(t ) u v 3 ‫חשבון אינפי‬ 73 ‫לכן‬      f   ( t )  ( t )  u ( t )  f   ( t )        (t )   v(t )  dt t a  u v       f   du   f   dv u v  b f dr  :‫ע"י שימוש במשפט גרין נקבל‬             f     f    dudv  u  v  v  u     U    f      f         dudv  u  v  v  u  U             Df  (u )   Df  ( u )       dudv  u  v  v    u  U   f   i  x j U  i, j  f   i  x j U  i, j  f    i  x j U i j   j i f  j i   i  dudv u v i , j x j v u    j ,  i    dudv  (u, v)     j ,i  f j  i , j    dudv   (u, v) xi  (u , v)    f j fi       x x j i U i j     i ,  j  dudv   ( u , v )      f ( (u, v))  N (u, v) dudv     f d . U U ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪74‬‬ ‫הדיברגנץ‬ ‫יהא ) ‪ f  ( f1 , f 2 , f 3‬שדה וקטורי גזיר ברציפות בתחום‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . K ‬הדיברגנץ של ‪ f‬הוא‬ ‫הפונקציה הסקלרית הנתונה ע"י‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( p)  2 ( p)  3 ( p).‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪div f ( p)   f ( p) ‬‬ ‫משפט הדיברגנץ‪ :‬תהא ‪ S  K‬שפת ‪ K‬המכוונת מחוץ ל‪ . K -‬אזי‬ ‫‪f d   div f .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪S K‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בדומה למשפט גרין‪ ,‬מספיק להוכיח זאת עבור ] ‪. K  [a0 , a1 ]  [b0 , b1 ]  [c0 , c1‬‬ ‫ל‪  0,1 -‬‬ ‫נסמן‬ ‫‪S1  (a , y, z ): b0  y  b1, c0  z  c1,‬‬ ‫‪S2  ( x, b , z ): a0  x  a1, c0  z  c1,‬‬ ‫‪S3  ( x, y, c ): a0  x  a1, b0  y  b1.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהא ‪  i‬הפרמטריזציה הטבעית של ‪: S i‬‬ ‫‪ 1 :[b0 , b1]  [c0 , c1]  S 1‬‬ ‫‪ 2 :[a0 , a1 ]  [c0 , c1 ]  S 2‬‬ ‫‪ 3 :[a0 , a1 ]  [b0 , b1 ]  S 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתונה ע"י ) ‪,  1 ( y, z )  (a , y, z‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתונה ע"י ) ‪,  2 ( x, z )  ( x, b , z‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתונה ע"י ) ‪,  3 ( x, y)  ( x, y, c‬‬ ‫הנורמל ל‪ S i -‬הנקבע ע"י הפרמטריזציה ‪ i‬‬ ‫‪N  ( p)  (1)i1ei‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫הינו‬ ‫לכל ‪. p  S i‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 75 . S  K  S1  S1  S2  S2  S3  S3 ‫לכן‬ 1 0 0 1 1 0 ,‫עתה‬ b1 c1  S f d  yb zc f 1 ( y, z)  N1 ( y, z) dydz  1 0 0 b1 c1   y b z c 0 f1(a , y, z) dydz . 0 ‫ולכן‬ b1 c1 f d     f1(a1, y, z)  f1(a0 , y, z)  dydz   1 0 y b z c S1 S1 0 0 b1 c1 a1    yb0 z c0 xa0 f1 f ( x, y, z) dxdydz   1. x x K ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪76‬‬ ‫בדומה מראים (שימו לב לסימנים!) כי‬ ‫‪f 3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪f d  ‬‬ ‫‪f 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪f d  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S31S30‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S20 S12‬‬ ‫לכן‬ ‫‪S f d  1  0 f d 0 1 f d 1  0 f d ‬‬ ‫‪S3 S3‬‬ ‫‪S2  S2‬‬ ‫‪f3 ‬‬ ‫‪  div f .‬‬ ‫‪z  K‬‬ ‫תחום‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ A ‬נקרא קומפלקס תיבות אם ‪Ki‬‬ ‫‪S1 S1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪1  f 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪ A ‬כך ש‪ K i -‬תיבות‪ ,‬ולכל ‪, i  j‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ k  Ui  U j‬היא דופן משותפת של ‪ K i‬ושל ‪ . K j‬נשים לב כי אם ‪ S‬היא דופן דו‪-‬מימדית‬ ‫משותפת של ‪ K i‬ושל ‪ , K j‬אז היא מופיעה ב‪ K i -‬וב‪ K j -‬בכיוונים נגדיים‪.‬‬ ‫לכן‬ ‫‪m‬‬ ‫‪f d    div f   div f .‬‬ ‫‪i 1 Ki‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪A f d  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i 1 K‬‬ ‫‪i‬‬ ‫משפט הדיברגנץ לתחומים כלליים נובע מהמשפט לקןמפלקסי תיבות ע"י קירוב‪.‬‬ ‫התבנית הזויתית ב‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫התבנית הזויתית ה‪-3 -‬מימדית היא השדה הווקטורי‬ ‫}‪ {0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 u‬‬ ‫‪ G (u ) ‬המוגדר על‬ ‫‪.‬‬ ‫יהא ) ‪ B(a, r‬הכדור הפתוח שמרכזו ‪a‬‬ ‫אל מחוץ לכדור‪.‬‬ ‫ורדיוסו ‪ , r‬ותהא ) ‪ S (a, r‬שפתו עם נורמל המכוון‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 77 . G(u ) d  (u )  1 :‫טענה‬  uS (0,r ) ‫ הפרמטריזציה‬Tr :[0,  ]  [0, 2 ]  S (0, r ) ‫ תהא‬.‫הוכחה‬ Tr (, )  r(sin cos ,sin sin ,cos ) ‫עם הנורמל‬ Nr ( , )  Tr Tr   r sin  Tr ( , )   ‫אזי‬  uS (0,r ) G(u) d  (u)   2    0  0 4 Tr ( , )  r sin  Tr (, ) d d  3 Tr ( , )  2 1  sin  d d  1 4  0  0 -‫ המכוונת אל מחוץ ל‬A ‫עם שפה חלקה‬ 3 -‫קבוצה פתוחה וחסומה ב‬ A ‫ תהא‬:‫מסקנה‬ ‫ מתקיים‬v A ‫ אזי לכל‬. A 1 u v d  ( u )   3  0 uA 4 u  v ‫ ולכן לפי משפט הדיברגנץ‬, A -‫מוגדר וגזיר ב‬ uv uv 3 v A v A ‫ אז השדה‬v  A ‫ אם‬:‫הוכחה‬  u v u v  d  ( u )  div   dV (u)  0 3  3   4  u  v uA  uA 4 u  v  B  A \ B(v, r ) ‫ אזי‬. B(v, r )  A -‫ כך ש‬v ‫ כדור סביב‬B(v, r ) ‫ ויהא‬v  A ‫נניח‬ ‫ ולכן לפי משפט דיברגנץ‬, B -‫מוגדר וגזיר ב‬ 0 uv uv 3 , B  A  S (v, r ) ‫מקיימת‬ u v u v u v d  ( u )  d  ( u )  3 d  (u ) B 4 u  v 3 A 4 u  v 3  S (v,r ) 4 u  v ‫ולכן‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 78 u v A 4 u  v 3 d (u)  1  ‫הזוית המרחבית‬ ‫ ותהא‬, 0 ‫שאינו מכיל את‬ 3 -‫משטח ב‬ M ‫יהא‬   u  K   : u  M   S (0,1) u    . u v ‫ אז‬, u  v , u, v  M ‫ כי אם‬,‫ לשם פשטות‬,‫נניח‬  u v ‫היא‬ M M ‫הזוית המרחבית הנקבעת ע"י‬ area( K ) area( K )  area( S (0,1)) 4 M  G (u )d  (u ) :‫טענה‬ uM ‫ ונגדיר‬u  M ‫ לכל‬u  1 ‫ נניח בלי הגבלת הכלליות כי‬:‫הוכחה‬   , A  tu :    1   t  1, u  M  u   :‫ נסמן‬. A -‫ המכוונת אל מחוץ ל‬A ‫עם שפה‬   1   P  tu :  t  1, u  A u     . A  M  K  P ‫אזי‬ ‫ לכן‬. G(v) -‫ ולכן גם ל‬v -‫ ניצב ל‬v ‫ בנקודה‬P -‫נשים לב כי הנורמל ל‬  G(v)d (v)  0 vP ‫לכן‬ 0   divG dV   G(v) d (v)   G(v) d (v)   G(v) d (v) vA A M K ‫מכאן‬ . area ( K )  G(v) d  (v)   G(v) d  (v)  4 M K ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪79‬‬ ‫שדות מדוייקים ושדות סגורים‬ ‫יהא ‪F‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה‬ ‫‪F‬‬ ‫‪-1‬מדוייק אם קיימת‬ ‫‪: A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.A‬‬ ‫גזירה כך ש‪-‬‬ ‫‪ .   F‬‬ ‫זו נקראת‬ ‫פוטנציאל סקלרי של ‪. F‬‬ ‫‪-1 F .2‬סגור אם ‪.   F  0‬‬ ‫הוכחנו את התוצאה הבאה‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪-1 F .1‬מדוייק אם ורק אם‬ ‫מסילה סגורה‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫שדה משמר‪ ,‬כלומר אם ורק אם‬ ‫‪ F dr  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪. A -‬‬ ‫‪-1 F‬סגור אם ורק אם ‪F‬‬ ‫קיימת סביבה פתוחה ‪p  B  A‬‬ ‫שדה משמר מקומית‪ ,‬כלומר אם ורק אם לכל‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫‪ F dr  0‬‬ ‫‪.B‬‬ ‫נדון כעת בגרסא הדו‪-‬מימדית של מושגים אלה‪.‬‬ ‫שוב‪ ,‬יהא‬ ‫שדה וקטורי גזיר ברציפות על קבוצה פתוחה‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p A‬‬ ‫לכל מסילה סגורה‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫לכל‬ ‫‪.A‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪-‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪ G‬על ‪ A‬כך ש‪G . F    G -‬‬ ‫‪-2 F‬מדוייק אם קיים שדה וקטורי גזיר‬ ‫נקרא פוטנציאל וקטורי של ‪. F‬‬ ‫‪-2 F‬סגור אם ‪ 0‬‬ ‫זה‬ ‫‪. div F‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב כי לכל שדה וקטורי‬ ‫מדוייק הוא גם ‪-2‬סגור‪.‬‬ ‫‪G‬‬ ‫מתקיים ‪ , div( G)  0‬ולכן כל שדה ‪-2‬‬ ‫הכיוון ההפוך לא בהכרח נכון‪ :‬תהא }‪\ {0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ויהא‬ ‫‪u‬‬ ‫‪| u |3‬‬ ‫‪ F‬אינו ‪-2‬מדוייק‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ . F (u‬אזי‬ ‫‪ , div F  0‬כלומר ‪-2 F‬סגור‪ ,‬אך כפי שנראה בהמשך‬ ‫מקרה חשוב בו שני המושגים מתלכדים מתואר בתוצאה הבאה‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫למת פואנקרה‪ :‬יהא‬ ‫‪-2 F‬סגור אזי ‪-2 F‬מדוייק‪.‬‬ ‫כדור פתוח ויהא‬ ‫‪F‬‬ ‫‪ . B ‬יהא‬ ‫הוכחה‪ :‬בלי הגבלת הכלליות‪B(0, R) ,‬‬ ‫‪f f f‬‬ ‫‪ div F  1  2  3‬על ‪. B‬‬ ‫‪x y z‬‬ ‫נגדיר שדה וקטורי ‪ G   g1 , g 2 , g3 ‬על ‪B‬‬ ‫שדה וקטורי גזיר ברציפות על ‪ . B‬אם‬ ‫‪F   f1 , f 2 , f3 ‬‬ ‫שדה המקיים‬ ‫ע"י‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪g1 ( x, y, z )   f 2 ( x, y, t ) dt   f 3 ( x, t ,0) dt ,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪g 2 ( x, y, z )    f1 ( x, y, t ) dt ,‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫הראה כי‬ ‫‪g 3 ( x, y , z )  0‬‬ ‫‪ g 2 g1 g 2 g1 ‬‬ ‫‪.  G   ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   f1 , f 2 , f3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אכן‪,‬‬ ‫‪g 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ f1 ( x, y, t ) dt  f1 ( x, y, z‬‬ ‫‪z z t 0‬‬ ‫‪g1  z‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ f 2 ( x, y, t ) dt  f 2 ( x, y, z‬‬ ‫‪z z t 0‬‬ ‫‪z f‬‬ ‫‪z f‬‬ ‫‪g2 g1‬‬ ‫‪ z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   1 ( x, y, t ) dt   2 ( x, y, t ) dt ‬‬ ‫‪ f3 ( x, t ,0) dt ‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪    1 ( x, y, t )  2 ( x, y, t )  dt  f3 ( x, t ,0) ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪t 0  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z f‬‬ ‫) ‪  3 ( x, y, t )dt  f 3 ( x, y,0)  f 3 ( x, y, z‬‬ ‫‪t 0 z‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫בדומה למצב החד‪-‬מימדי‪ ,‬גם למושגי ה‪-2-‬מדוייקות וה‪-2-‬סגירות יש אפיון אינטגרלי‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪-2‬מדוייק על‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪pB  A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ A ‬אם ורק אם‬ ‫‪  F d  0‬לכל משטח סגור ‪ A‬‬ ‫‪.S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪-2‬סגור על‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ A ‬אם ורק אם לכל‬ ‫כך ש‪ F d  0 -‬‬ ‫‪p A‬‬ ‫יש סביבה פתוחה‬ ‫לכל משטח סגור‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הוכחה חלקית‪:‬‬ ‫‪ :  .1‬אם‬ ‫‪-2 F‬מדוייק אזי ‪ F    G‬עבור שדה וקטורי‬ ‫משטח סגור‪ .‬אזי לפי משפט סטוקס‪:‬‬ ‫‪G‬‬ ‫על ‪ . A‬יהא‬ ‫‪SA‬‬ ‫‪ F d     G d   G dr   G dr  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫הכיוון ‪ ‬קשה יותר ולא יוכח כאן (זהו מקרה פרטי של משפט חשוב של דה‪-‬רהם)‪.‬‬ ‫‪ :  .2‬נניח בשלילה כי קיימת ‪ p  A‬כך ש‪ . div F ( p)  0 -‬בלי הגבלת‬ ‫הכלליות‪ . div F ( p)    0 ,‬תהי ‪B  A‬‬ ‫‪  F d  0‬לכל משטח סגור ‪ . S  B‬יהא ‪ C  B‬כדור סגור סביב ‪p‬‬ ‫המכילה את‬ ‫‪p‬‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫כך‬ ‫‪S‬‬ ‫ש‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪div F (u ) ‬‬ ‫לכל ‪ . u  C‬אזי עבור‬ ‫‪S  C  B‬‬ ‫מתקיים לפי משפט‬ ‫הדיברגנץ‬ ‫‪‬‬ ‫‪0   F d   div F  vol(C )  0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫סתירה! לכן ‪ div F  0‬על כל ‪. A‬‬ ‫‪ : ‬נניח ‪ . div F  0‬תהא ‪ p  A‬ויהא ‪B  A‬‬ ‫למת פואנקרה‪ ,‬קיים שדה וקטורי ‪ G‬על ‪ B‬כך ש‪   G  F -‬על ‪ . B‬לכן לכל‬ ‫משטח סגור ‪ S  B‬מתקיים‬ ‫‪ F d     G d   G dr   G dr  0‬‬ ‫כדור פתוח סביב‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ .‬לפי‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪3‬‬ ‫דוגמא‪ :‬יהיו }‪\ {0‬‬ ‫‪ A ‬ו‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫|‪|u‬‬ ‫‪  F d  4  0‬לכל ספירה }‪SR  {u :| u | R‬‬ ‫‪F . F (u ) ‬‬ ‫‪-2‬סגור אך ‪ F‬אינו ‪-2‬מדוייק כי‬ ‫עם נורמל המכוון הלאה‬ ‫‪SR‬‬ ‫מהראשית‪.‬‬ ‫ההיבט הטופולוגי‬ ‫)‪B 2 ( A‬‬ ‫נסמן ב‪-‬‬ ‫את אוסף השדות הווקטוריים ה‪-2-‬מדוייקים על ‪ , A‬וב‪-‬‬ ‫אוסף השדות הווקטוריים ה‪-2-‬סגורים על‬ ‫‪ .‬מרחב המנה‬ ‫מעל‬ ‫‪B 2 ( A)  Z 2 ( A) . A‬‬ ‫)‪Z 2 ( A‬‬ ‫‪H ( A; )  2‬‬ ‫)‪B ( A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪Z 2 ( A‬‬ ‫את‬ ‫הם מרחבים וקטוריים‬ ‫נקרא הקוהומולוגיה השניה של‬ ‫‪A‬‬ ‫(במקדמים ממשיים)‪.‬‬ ‫מימדו ) ;‪ 2 ( A)  dim H 2 ( A‬‬ ‫‪-2‬מחזורים הבלתי‪-‬תלויים ב‪. A -‬‬ ‫הוא אינווריאנט טופולוגי של‬ ‫‪A‬‬ ‫המונה את מספר ה‪-‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫אם‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪p1 ,‬‬ ‫‪, pk‬‬ ‫נקודות שונות ב‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אזי‬ ‫‪ 2 ( 3  { p1 , , pk })  k‬‬ ‫‪ 2 ( 3  {z -axis})  0‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫פונקציות הרמוניות‬ ‫תהא ‪ U  R‬קבוצה פתוחה‪ .‬הלפלסיאן על ‪ U‬הוא האופרטור הלינארי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪  : C (U )  C (U‬הנתון ע"י‬ ‫‪ 2  2  2‬‬ ‫‪  div   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y2  z2‬‬ ‫פונקציה ) ‪   C  (U‬תיקרא הרמונית אם היא מקיימת את משוואת לפלס ‪ 0‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬כל פונקציה אפינית ‪ ( x, y, z )  Ax  By  Cz  D‬‬ ‫היא הרמונית ב‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪  ( x, y, z)  x  y  2 z‬היא דוגמא לפולינום הרמוני הומוגני מדרגה ‪ .2‬ניתן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫להראות שאוסף הפולינומים ההומוגניים מדרגה ‪m‬‬ ‫שהם היא הרמוניים ב‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מרחב לינארי )‪- (2m  1‬מימדי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .3‬הפונקציה‬ ‫‪4 u‬‬ ‫טענה‪ :‬תהא‬ ‫‪‬‬ ‫‪ g (u ) ‬הרמונית ב‪ 0 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( .‬ניתן לבדוק ע"י חישוב)‬ ‫הרמונית ב‪ , U -‬ותהא ‪   U‬קבוצה פתוחה עם שפה ‪ .  ‬אזי‬ ‫‪  d  0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לפי משפט הדיברגנץ‪,‬‬ ‫‪  d   div  dV    dV  0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נסמן‪ ,‬כרגיל‪ B(a, r )  u : u  a  r ,‬ו‪. S (a, r )  u : u  a  r -‬‬ ‫משפט הערך הממוצע‪ :‬אם ‪ f , B(a, R)  U‬הרמונית ב‪ , U -‬אזי‬ ‫‪‬‬ ‫א‪f d  .‬‬ ‫) ‪S ( a,R‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪f dV .‬‬ ‫) ‪B ( a,R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪area S (a, R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪vol B (a, R‬‬ ‫‪. f (a) ‬‬ ‫‪. f (a) ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהא‬ ‫)‪T :[0, R)  [0,  ]  [0,2 ]  B(0, R‬‬ ‫הפרמטריזציה הכדורית הנתונה ע"י‬ ‫‪T (r , , )  r (sin  cos , sin  sin  , cos  ),‬‬ ‫ולכל ‪ r  0‬תהא‬ ‫)‪Tr :[0,  ]  [0,2 ]  S (0, R‬‬ ‫הפרמטריזציה הספרית הנתונה ע"י‬ ‫‪Tr ( , )  T ( r ,  ,  ).‬‬ ‫‪ ,‬הוא‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 84 ‫ נתון ע"י‬Tr ‫ בפרמטריזציה‬S (0, r ) -‫ניזכר כי הנורמל ל‬ N r ( , )   Tr  Tr   r sin  Tr ( , ),    . Nr ( , )  r sin  ‫ואורכו הוא‬ 2 . J r (r, , )  r sin ‫נתון ע"י‬ 2 . g (u )  T ‫היעקוביאן של‬ 1 ‫ תהא‬. a  0 ,‫ בלי הגבלת הכלליות‬.‫הוכחת א‬ 4 u   ,‫ עתה‬.    S (0, R)  S (0,  ) ‫ עם שפה‬  u :   u  R ‫תהא‬ )1(  ( f g  g f ) d   div( f g  g f ) dV        f g  f  g    g f  g f   dV  0.  ‫מתקיים‬  )2( g f d   S (0,r ) ‫ כלומר‬,   r  R ‫ לכל‬,‫כמובן‬ 1  f d   0. 4 r S (0, r)  f g d  0 ‫) נובע כי‬2( -‫) ו‬1( -‫מ‬  ,  f g d  S (0, R )  f g d S (0, ) . 0    R ‫לכל‬ :‫עתה‬  f g d    2   f (TR ( , ))  g (TR ( , )) N R ( , ) d d   0  0 S (0, R )  2     0  0 f (TR ( , )) TR ( , )  R sin  TR ( , ) d d  4 R3 3 ‫חשבון אינפי‬ 85  2 1  f (TR ( , )) N R ( , ) d d  4 R 2 0  0  1  f d . 4 R 2 S (0, r) ‫מכאן‬ 1 1 f d    f (0). 2   f d   0 4 R 2 S (0, 4  r) S (0, ) .‫הוכחת ב‬ 1 f dV  vol B (0, R) B (0, R ) R  2 1  f (T (r , , ))  r 2 sin  dr d d     vol B(0, R) r 0  0  0 R   2  1  f (Tr ( , )) N r ( , ) dr d  dr    vol B(0, R) r0  0  0  R  R  1 1  4 r 2 f (0) dr  f (0).   f d  dr     vol B(0, R) r 0  S (0,r ) vol B(0, R) r 0   .‫ היא פונקציה קבועה‬f ‫ אז‬, 3 -‫ פונקציה הרמונית חסומה ב‬f ‫ אם‬:‫משפט ליוביל‬ .u  3 ‫ לכל‬f (u)  M -‫ נניח ש‬:‫הוכחה‬ . 3 -‫נקודה קבועה ב‬ u ‫תהא‬ ‫ מתקיים‬R  0 ‫ לכל‬:‫טענה‬ u u B  , R    B(0, R)  B(u, R). 2 2 u u , R   ‫ תהא‬:‫הוכחת הטענה‬ 2 2 ‫ אזי‬. v  B  3 ‫חשבון אינפי‬ 86 v  v u  u u u     R     R, 2 2  2 2 ‫ ובדומה‬, v  B (0, R ) ‫ולכן‬ vu  v  u u   R, 2 2 . v  B (u , R ) ‫ולכן‬ ‫ מתקיים‬R  0 ‫ כך שלכל‬cu ‫ קיים מספר‬,‫קבוע‬ u ‫ עבור‬:‫מסקנה‬ vol ( B(0, R)  B(u, R))  cu R2. :‫הוכחת המסקנה‬ u u  vol ( B(0, R)  B(u, R))  vol B(0, R)  vol B  , R    2 2 3 u   4  3   R   R     cu R 2 .  3  2     ,‫ לפי סעיף ב' במשפט הערך הממוצע‬:‫הוכחת משפט ליוביל‬ f (u )  f (0)   1 4 3 R 3 1  f dV  4 3 R 3 B (0, R )  f dV  B (0, R ) B (u , R )  f dV  B (u , R )  B (u , R ) B (0, R ) f dV  ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪ 2Mcu R 2 ‬‬ ‫‪ 0.‬‬ ‫‪R ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכן )‪ . f (u )  f (0‬‬ ‫גרסת גאוס לחוק הכבידה של ניוטון‬ ‫חוק ניוטון‪ :‬גוף נקודתי שמסתו ‪ M‬הנמצא בנקודה )‪ (0, 0, 0‬משרה שדה כבידה ‪ F‬הנתון ע"י‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ , F (u )  GM‬כאשר ‪ G‬הוא קבוע הכבידה האוניברסלי‪.‬‬ ‫גרסת גאוס‪ :‬תהא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  :‬צפיפות מסה אינטגרבילית על‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .‬צפיפות זו משרה שדה‬ ‫כבידה ‪ F‬המקיים‬ ‫‪. div F  4 G ‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לכל‬ ‫‪3‬‬ ‫‪,u‬‬ ‫‪F (u)   G  (v) v  u 3 dV‬‬ ‫‪v u‬‬ ‫‪v 3‬‬ ‫לכן לכל כדור סגור‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ B ‬עם שפה מכוונת החוצה ‪: S‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v  u d  dV‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪div‬‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪v‬‬ ‫)‬ ‫‪dV‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F‬‬ ‫(‬ ‫‪u‬‬ ‫)‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪v‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  v  u 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪vB‬‬ ‫‪uS‬‬ ‫‪uS‬‬ ‫‪v 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   G  (v) 4 1B (v) dV    4 G  (v) dV‬‬ ‫‪vB‬‬ ‫לכן ‪ 4 G ‬‬ ‫‪v 3‬‬ ‫‪. div F‬‬ ‫משפט הקליפה (ניוטון)‬ ‫תהא ‪ ‬צפיפות מסה סימטרית רדיאלית‪ ,‬כלומר ) ‪ .  (u)  g ( u‬אזי שדה הכבידה‬ ‫המושרה ‪ F‬הנתון ע"י‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u 3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F (u)  G  4  g (r ) r dr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪88‬‬ ‫כלומר‪ F (u) ,‬הוא השדה המושרה ע"י רכוז כל המסה הנמצאת בכדור ברדיוס ‪ , u‬בנקודה‬ ‫)‪. (0, 0, 0‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מטעמי סימטריה קיימת ‪ h‬המקיימת‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u 3‬‬ ‫) ‪. F (u)  h( u‬‬ ‫לפי הגרסה הדיפרנציאלית של חוק הכבידה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u   h u u ‬‬ ‫‪ u3‬‬ ‫‪u 3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪u u  h ' u‬‬ ‫‪u u 3‬‬ ‫‪u 2‬‬ ‫לכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ u‬‬ ‫‪ 4 Gg u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 G  (u)  div F  div  h u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪h ' u‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪, h ' u  4 G  (u ) u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪ u   4 Gr 0 g (r ) r 2 dr‬‬ ‫‪.h‬‬ ‫חוקי קפלר‬ ‫חוקי קפלר מתארים את המסלול של עצם שמסתו ‪m‬‬ ‫תחת השפעת הכבידה של עצם‬ ‫שמסתו ‪ M‬הנמצא בראשית‪ .‬להלן נניח כי ‪ m‬קטן מאוד יחסית ל‪M -‬‬ ‫ולפי כך נתעלם‬ ‫מתנועת העצם הגדול‪.‬‬ ‫החוק הראשון‪ :‬המסילה‬ ‫‪‬‬ ‫הינה חתך חרוט (כלומר אליפסה‪ ,‬פרבולה או היפרבולה) עם‬ ‫מוקד בראשית‪.‬‬ ‫החוק השני‪ :‬המסילה‬ ‫‪‬‬ ‫מישורית והרדיוס וקטור המתאר אותה מכסה שטחים שווים בזמנים‬ ‫שווים‪.‬‬ ‫החוק השלישי‪ :‬אם ‪ ‬היא אליפסה‪ ,‬אזי משך המחזור ‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מקיים‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪T  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ GM ‬‬ ‫כאשר ‪ 2a‬הוא אורך הציר הגדול של האליפסה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬קפלר )‪ (Johannes Kepler, 1571-1630‬ניסח את חוקיו בערך ב‪ 1605 -‬על סמך‬ ‫תצפיות פרטניות של התוכן טיכו ברהה )‪ .(Tycho Brahe, 1546-1601‬ניוטון הוכיח את חוקי‬ ‫קפלר כמסקנה מחוק הכבידה שלו בערך ב‪.1670 -‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪89‬‬ ‫הוכחת החוק השני‪ :‬החוק השני תלוי רק בכך שכוח הכבידה הוא מרכזי‪ ,‬דהיינו שקיימת‬ ‫פונקציה ) ‪ c (t‬כך שלכל ‪ t‬מתקיים‬ ‫) ‪.  ''(t )  c(t ) (t‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מ‪ )1( -‬נובע כי‬ ‫‪(   ')(t )   '(t )   '(t )   (t )   ''(t )  0‬‬ ‫ולכן ‪  (t )   '(t )  v0‬קבוע‪.‬‬ ‫ע"י הפעלת העתקה אורתוגונאלית אפשר להניח כי )‪ . v0  (0,0,1‬נניח להלן כי ‪. L  0‬‬ ‫נסמן )‪ .  (t )  ( x(t ), y (t ),0‬אזי‬ ‫)) ‪. (0,0,1)   (t )   '(t )  (0,0, x(t ) y '(t )  y (t ) x '(t‬‬ ‫נסמן ב‪ A(t0 , t1 ) -‬את התחום ששפתו היא ‪   1   2  3‬כאשר‬ ‫) ‪1 ( s )  (1  s ) (t1‬‬ ‫‪0  s 1‬‬ ‫) ‪ 2 ( s )  s  (t 0‬‬ ‫‪0  s 1‬‬ ‫) ‪ 3 ( t )   (t‬‬ ‫‪t0  t  t1‬‬ 3 ‫חשבון אינפי‬ 91 :‫אזי לפי משפט גרין‬ area A  t0 , t1     dxdy  A t0 ,t1  1  ydx  xdy  2 At0 ,t1  1 1 1 (  ydx  xdy )  (  ydx  xdy )  ( ydx  xdy )  2 1 2 2 2 3 t 1 1  0  0     y (t ) x(t )  x(t ) y (t )  dt  2 t t0  L  t1  t0  2 ‫החוקים הראשון השלישי תלויים בחוק הכבידה של ניוטון‬ .  ''(t )  GM  (t ) 3  (t ) )2( ‫ נעבור להצגה קטבית‬:‫הוכחת החוק הראשון‬   (r cos  , r sin  ,0) ‫) נקבל את מערכת המשוואות‬1( -‫מ‬ )3( GM  2 (r '' r ( ') )cos   (2r ' '  '' r )sin    r 2 cos   (r '' r ( ') 2 )sin   (2r ' '  '' r )cos    GM sin   r2 ‫) נקבל‬3( -‫מ‬ )4( r '' r ( ') 2   GM r2 ,‫מאידך‬ )5( r cos  2 x y  r cos L  det   det  (r cos )' (r sin  )'  r  '  x ' y '   :)5( ‫ אזי בעזרת‬, u  1 ,‫נבצע שינוי משתנה‬ r ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫'‪r‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫'‪r‬‬ ‫‪ r 2‬‬ ‫‪ r 2  r 2 r '  ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫'‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪d 2u‬‬ ‫‪d  r'‬‬ ‫‪r '' 1‬‬ ‫‪r '' r 2‬‬ ‫'' ‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d  L ‬‬ ‫'‪L ‬‬ ‫‪L L‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪Lu‬‬ ‫(‪)6‬‬ ‫נציב את (‪ )5‬ו‪ )6( -‬ב‪ )4( -‬ונקבל‬ ‫‪d 2u‬‬ ‫‪GM‬‬ ‫‪u  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪L‬‬ ‫(‪)7‬‬ ‫הפתרון הכללי של (‪ )7‬הוא‬ ‫‪GM‬‬ ‫) ‪ A cos(   0‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪ u ‬עבור ‪ A,  0‬קבועים‪)8( .‬‬ ‫ע"י שינוי מערכת הצירים אפשר להניח כי ‪. A  0 ,  0  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ע"י הצבה מחדש של‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ u ‬ב‪ )8( -‬נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   cos ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫(‪)9‬‬ ‫‪AL2‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪  ‬ו‪-‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪GM‬‬ ‫‪GM‬‬ ‫העקום (‪ )9‬הינו חתך חרוט עם מוקד ‪ 0‬ואקסצנטריות ‪. ‬‬ ‫‪ 0    1‬מתאר אליפסה‪   1 ,‬פרבולה‪ ,‬ו‪  1 -‬‬ ‫היפרבולה‪.‬‬ ‫האיור הבא מתאר הצגה זו של אליפסה‪ 2a .‬הוא אורך הציר הגדול של האליפסה‪ ,‬ו‪ 2b -‬הוא‬ ‫‪a 2  b2‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫אורך הציר הקטן של האליפסה‪ .‬האקסצנטריות שווה ל‪-‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫חשבון אינפי ‪3‬‬ ‫‪92‬‬ ‫להוכחת החוק השלישי‪ ,‬נעיין במקרה של מסלול אליפטי‪.   1 ,‬‬ ‫יהיו‪ ,‬שוב‪ 2a ,‬אורך הציר הגדול של האליפסה‪ ,‬ו‪ 2b -‬אורך הציר הקטן של האליפסה‪.‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪( / 2a‬מרחק בין מוקדי האליפסה) =‬ ‫אקסצנטריות ‪ ‬‬ ‫‪  (1   2 )a‬‬ ‫‪b  a 1  2‬‬ ‫לפי החוק השני‪,‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪   ab   a 1   2‬שטח האליפסה ‪T ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מאידך‪,‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪   (1   2 )a‬‬ ‫‪GM‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a3 ‬‬ ‫‪a2 1   2‬‬ ‫‪a2 1   2‬‬ ‫‪T  2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪GM (1   )a‬‬ ‫‪ GM ‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬