‫הקדמה‬ ‫מסמך זה מהווה העשרה לחומר הקורס‪ ,‬אין שום כוונה לכלול חומר זה במבחן‪ .‬המקדמים הבינומיים‬ ‫מהווים כלי שימושי מאוד בהרבה תחומים במתמטיקה ומדעי המחשב‪ .‬ראינו לנכון לנסות ולהסביר‬ ‫את הנושא כדי לספק לכם אינטואיציה לגביהם‪ ,‬מתוך מחשבה שאינטואיציה בריאה תעזור לכם להבין‬ ‫טוב יותר את הנושא הזה שהוא שימושי וחשוב‪ .‬המסמך גם מכיל מספר הוכחות בסיסיות‬ ‫בקומבינטוריקה שהן נחוצות להוכחת תכונות של המקדמים הבינומיים‪ ,‬כך שלא נדרש ידע מוקדם כדי‬ ‫לקרוא את המסמך ולהבינו‪.‬‬ ‫המקדם הבינומי‬ ‫ונקרא גם " מעל " או " בחר "‪ .‬למקדמים הבינומיים שתי‬ ‫מסומן גם‬ ‫הגדרות מבחינת משמעות מתמטית‪ .‬כל אחת מההגדרות האלה גוזרת נוסחא המאפשרת לחשב את‬ ‫המקדמים הבינומיים‪ .‬שתי ההגדרות שקולות כמובן‪ ,‬והן אלה‪:‬‬ ‫משמעות קומבינטורית‬ ‫היא "מספר הדרכים השונות שבהן ניתן לבחור קבוצה בעלת‬ ‫המשמעות הקומבינטורית של‬ ‫איברים מתוך קבוצה גדולה יותר בעלת‬ ‫הקבוצה שלה נסמן‬ ‫‪‬‬ ‫איברים"‪ .‬לאורך המסמך נסמן את הקבוצה ב‪ -‬ואת תת‪-‬‬ ‫‪ .‬נבהיר את הכוונה בבחירת תת‪-‬קבוצה‪:‬‬ ‫הבחירה היא ללא החזרה‪ .‬איבר כלשהו‬ ‫לא להיבחר לתת‪-‬קבוצה (כלומר‬ ‫הוא יוצא מהקבוצה‬ ‫‪‬‬ ‫) או‬ ‫יכול להיבחר לתת‪-‬קבוצה (כלומר‬ ‫) אבל לא יכול להיבחר פעמיים‪ .‬מרגע ש‪ -‬נבחר‬ ‫ולא ניתן לבחור בו שוב פעם‪.‬‬ ‫אין חשיבות לסדר שבו נבחרים האיברים לתת‪-‬קבוצה‪ ,‬משנה רק אלו איברים נבחרו לתת‪-‬‬ ‫קבוצה‪ .‬למשל‪ ,‬הבחירה‬ ‫מניבה אותה תת‪-‬קבוצה כמו הבחירה‬ ‫המשמעות הקומבינטורית גוזרת נוסחא סגורה לחישוב של‬ ‫למה‪ :‬מספר הדרכים השונות לסדר‬ ‫‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫איברים שונים בשורה הוא‬ ‫את הלמה קל להוכיח באינדוקציה‪.‬‬ ‫מקרה בסיס‪ :‬טריוויאלי‪ ,‬שורה של איבר אחד ניתן לסדר באופן יחיד‪.‬‬ ‫מעבר‪ :‬נניח שהוכחנו נכונות עבור ‪ ,‬נוכיח נכונות עבור‬ ‫הראשון בשורה‪ .‬נותרו בשורה עוד‬ ‫האינדוקציה ישנן‬ ‫מקומות פנויים ו‪-‬‬ ‫‪ .‬נבחר איבר כלשהו‬ ‫לשבת במקום‬ ‫אברים שונים להושיב בהם‪ .‬לפי הנחת‬ ‫דרכים לסדר את האיברים הנותרים‪ .‬כלומר‪ ,‬ישנם‬ ‫סידורים שבהם‬ ‫מאכלס‬ ‫את המקום הראשון בשורה‪ .‬באופן זהה‪ ,‬עבור כל איבר אחר ‪ ,‬ישנם‬ ‫סידורים שבהם‬ ‫מאכלס‬ ‫את המקום הראשון‪ .‬ישנם‬ ‫הסידורים הכולל הוא‬ ‫איברים שונים שיכולים לאכלס את המקום הראשון ולפיכך מספר‬ ‫‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫איברים מתוך‬ ‫הוכחת הנוסחא‪ :‬כדי לבחור‬ ‫נסדר את‬ ‫האיברים בשורה‪ .‬נסמן מראש את‬ ‫המקומות השמאליים ביותר‪ .‬האיברים שישבו ב‪ -‬המקומות השמאליים יבחרו לקבוצה ו‪-‬‬ ‫האיברים שישבו במקומות הימניים לא יבחרו לקבוצה‪.‬‬ ‫לפי הלמה‪ ,‬ישנן‬ ‫הפנימי של‬ ‫אפשרויות לסידור כל האיברים בשורה‪ .‬אבל יש להתחשב בכפילויות – הסדר‬ ‫האיברים בקבוצה אינו משנה כלל וכמוהו גם הסדר הפנימי של‬ ‫הנותרים‪ .‬למשל‪ ,‬עבור‬ ‫האיברים‬ ‫‪ ,‬שני הסידורים הבאים שקולים (איברים שנבחרו צבועים אדום‪,‬‬ ‫איברים שלא נבחרו צבועים כחול)‪:‬‬ ‫לפי הלמה‪ ,‬ישנם‬ ‫סדרים פנימיים עבור‬ ‫האיברים שנבחרו ו‪-‬‬ ‫האיברים שלא נבחרו‪ .‬כלומר‪ ,‬כשספרנו‬ ‫נספרה‬ ‫סדרים פנימיים עבור‬ ‫סידורים‪ ,‬כל בחירה אפשרית של‬ ‫איברים‬ ‫פעמים יותר מדי בשל סדרים פנימיים‪ .‬נפרט את כל הסדרים הפנימיים‬ ‫האפשריים בדוגמא שלמעלה‪:‬‬ ‫כל הסידורים הרשומים למעלה מצביעים על בחירתה של אותה קבוצת איברים‪:‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬משום שכל בחירה נספרה‬ ‫אלא רק‬ ‫אינו‬ ‫פעמים‪ ,‬מספר האפשרויות השונות לבחירת קבוצה‬ ‫‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫משמעות אלגברית‬ ‫המשמעות האלגברית של‬ ‫היא המקדם של‬ ‫כאשר מפתחים את הביטוי‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬נציג את‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא ‪ :2‬נחשב באופן מפורש את המקדמים הבינומיים עבור‬ ‫מצד שני‪ ,‬אנחנו יודעים ש‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫באמצעות מקדמים בינומיים‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ .‬לכן נסיק‪:‬‬ ‫למען בהירות‪ ,‬נציין באופן מפורש שכאשר נפתח את הביטוי‬ ‫הכללית‬ ‫נקבל איברים מהצורה‬ ‫‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל איבר בסכום הסופי שנקבל (לאחר פתיחת סוגריים ארוכה ומייגעת) סך‬ ‫הדרגות (כלומר המעריכים) של‬ ‫המשמעות האלגברית של‬ ‫הוא ‪ .‬ניתן לראות זאת בקלות בדוגמא השנייה‪.‬‬ ‫גוזרת הגדרה באמצעות נוסחא רקורסיבית‪:‬‬ ‫כאשר מקרי הבסיס הם‪:‬‬ ‫נסביר את הנוסחא באמצעות דוגמא‪ .‬נחשב את‬ ‫החלפה של המספרים במקדמים הבינומיים המתאימים‪.‬‬ ‫נפתח את הסוגריים ונציג את הביטוי בשתי קומות‪:‬‬ ‫נחליף את המספרים במקדמים בינומיים‪:‬‬ ‫אבל מצד שני‪:‬‬ ‫נוכל לכן להסיק‪:‬‬ ‫פעם אחת בצורה מספרית ופעם אחת ע"י‬ ‫ובזאת הדגמנו את נכונותה של הנוסחא הרקורסיבית‪.‬‬ ‫הקשר בין המשמעות האלגברית למשמעות הקומבינטורית‬ ‫רק שנעשה זאת מבלי לקבץ איברים‪ .‬בנוסף נצבע כל זוג‬ ‫לצורך הדגמה נפתח את הביטוי‬ ‫סוגריים בצבע שונה‪.‬‬ ‫לפי הצביעה קל לראות שכל איבר בסכום הסופי מכיל בדיוק אות אחת מכל צבע‪ ,‬כלומר מכל זוג‬ ‫סוגריים‪ .‬עכשיו נשאל את עצמנו מהו המקדם של‬ ‫הסופי מכילים פעמיים‬ ‫בסכום הסופי? כלומר‪ ,‬כמה איברים בסכום‬ ‫ופעם אחת ‪ .‬התשובה צריכה לתת לנו את‬ ‫כאלה בסכום‪:‬‬ ‫‪ .‬ניתן לראות שיש ‪ 3‬איברים‬ ‫‪ .‬היות וכל איבר מכיל אות אחת מכל צבע‪ ,‬קיבלנו‬ ‫"בחרנו" לקחת משני זוגות סוגריים‬ ‫רק אם‬ ‫ומהזוג השלישי "בחרנו" לקחת ‪.‬‬ ‫נניח לרגע שנבחר ‪ 2‬זוגות של סוגריים ונסמן אותם ע"י קו‪-‬תחתון‪ .‬מהסוגריים המסומנים ניקח‬ ‫ומהסוגריים שאינם מסומנים ניקח ‪ .‬בסכום הסופי נסמן את האיבר שנוצר כתוצאה מהבחירה שלנו‪.‬‬ ‫נסמן את כל המקרים האלה‪:‬‬ ‫ראינו שכל בחירה של ‪ 2‬זוגות סוגריים מתוך ‪" 3‬מייצרת" איבר מהצורה‬ ‫בפיתוח‬ ‫(כלומר‬ ‫‪ .‬לכן‪ ,‬המקדם של‬ ‫לפי המשמעות האלגברית) שווה בדיוק למספר האפשרויות לבחור ‪2‬‬ ‫זוגות סוגריים מתוך ‪( 3‬כלומר‬ ‫לפי המשמעות הקומבינטורית)‪ .‬גילינו שההגדרה האלגברית‬ ‫וההגדרה הקומבינטורית שקולות‪.‬‬ ‫סיכום‪ :‬עבור‬ ‫‪ ,‬השאלה "מה המקדם של‬ ‫"בכמה דרכים דרכים שונות ניתן לבחור‬ ‫האלגברית וההגדרה הקומבינטורית שקולות‪.‬‬ ‫בפיתוח הביטוי‬ ‫זוגות סוגריים מתוך‬ ‫?" שקולה לשאלה‬ ‫זוגות סה"כ?"‪ ,‬לכן ההגדרה‬ ‫הבנה קומבינטורית של הנוסחא הרקורסיבית‬ ‫ברצוננו לתת משמעות קומבינטורית לנוסחא הרקורסיבית‪ .‬נסתכל על בחירת‬ ‫מתוך קבוצה‬ ‫בגודל ‪ ,‬נזכור שיש‬ ‫בגודל‬ ‫איברים‬ ‫אפשרויות לבחירה כזאת‪ .‬נבחן את בחירת האיבר הראשון‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם בחרנו להכניס את‬ ‫) נותרו לנו‬ ‫לתת‪-‬קבוצה (‬ ‫איברים לבחור מתוכם‪ ,‬סך הכל‬ ‫‪‬‬ ‫אם בחרנו שלא להכניס את‬ ‫איברים לבחור מתוכם (‬ ‫דרכים לבצע את הבחירה‪.‬‬ ‫לתת‪-‬קבוצה (‬ ‫) נותרו לנו‬ ‫בפנים או‬ ‫בחוץ‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫סך המקדמים הבינומיים בקומה ה‪-‬‬ ‫ברצוננו להוכיח את השוויון הבא לגבי סכום המקדמים הבינומיים‪:‬‬ ‫חישוב הסכום לפי המשמעות האלגברית‬ ‫קודם ראינו‪:‬‬ ‫כעת נסתכל על הסכום של כל המקדמים עם‬ ‫נסדר מחדש ונקבל‪:‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫מקומות לאכלס ו‪-‬‬ ‫בוודאות לא נבחר והוא מחוץ למשחק)‪ ,‬סך הכל‬ ‫לבצע את הבחירה‪.‬‬ ‫משום שיש בדיוק שתי אפשרויות –‬ ‫מקומות לאכלס ב‪-‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪:‬‬ ‫דרכים‬ ‫גילינו שסכום המקדמים הבינומיים בקומה הרביעית (‬ ‫השלישית (‬ ‫) כפול מסכום המקדמים בקומה‬ ‫)‪ .‬הטריק שהשתמשנו בו של סידור מחדש של האיברים עובד גם עבור‬ ‫ונקבל שסכום המקדמים בקומה ה‪ -‬כפול מסכום המקדמים בקומה ה‪-‬‬ ‫מסודרת באינדוקציה שסכום המקדמים בקומה ה‪ -‬הוא‬ ‫כללי‬ ‫‪ .‬מכאן ועד להוכחה‬ ‫הדרך קצרה‪.‬‬ ‫חישוב הסכום לפי המשמעות הקומבינטורית‬ ‫המשמעות הקומבינטורית של הסכום הזה היא מספר הדרכים השונות לבחור תת‪-‬קבוצה בגודל‬ ‫כלשהו מתוך קבוצה בת‬ ‫איברים (אנחנו מחפשים את סך הדרכים לבחור קבוצה בגודל ‪ ,0‬בגודל ‪,1‬‬ ‫בגודל ‪ 2‬וכך הלאה)‪ .‬בעצם אנחנו מחפשים את מספר תתי‪-‬הקבוצות של קבוצה בגודל ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬לקבוצה בגודל‬ ‫יש‬ ‫תתי‪-‬קבוצות‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תהי קבוצה‬ ‫הקבוצות של‬ ‫באורך‬ ‫שגודלה ‪ .‬אז יש מיפוי חד‪-‬חד‪-‬ערכי ועל מאוסף תתי‪-‬‬ ‫לאוסף המחרוזות הבינאריות באורך ‪ .‬תהי‬ ‫(‬ ‫ספרות בינאריות)‪ ,‬נראה ש‪ -‬מקצה תת‪-‬קבוצה יחידה של‬ ‫באופן הבא‪ :‬תהי‬ ‫‪ .‬אם‬ ‫מחרוזת בינארית‬ ‫תת‪-‬הקבוצה ש‪ -‬מקצה‪ ,‬אז‬ ‫אז‬ ‫אינו שייך ל‪-‬‬ ‫‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫‪ .‬ניתן דוגמאות עבור‬ ‫שייך ל‪-‬‬ ‫אם‬ ‫‪:‬‬ ‫כעת נראה שהמיפוי חד‪-‬חד‪-‬ערכי ועל‪ .‬תהיינה שתי מחרוזות בינאריות שונות‬ ‫נראה שהן מקצות קבוצות שונות‪ .‬שתי המחרוזות שונות‪ ,‬משמע שקיים ביט‬ ‫שאורכן‬ ‫‪ .‬נניח‬ ‫ביטים‪.‬‬ ‫‪,‬‬ ‫(המקרה ההפוך סימטרי לחלוטין)‪ .‬אז אנחנו יודעים‪:‬‬ ‫מצאנו שהמיפוי חד‪-‬חד‪-‬ערכי‪ ,‬שתי מחרוזות שונות לא יותאמו לאותה תת‪-‬קבוצה‪.‬‬ ‫קל לראות שהמיפוי הוא על‪ .‬תהי תת‪-‬קבוצה כלשהי‬ ‫) כך ש‪-‬‬ ‫‪ ,‬נמצא מחרוזת בינארית באורך‬ ‫לכל‬ ‫ממופה ל‪ , -‬ע"י כך שנקבע‬ ‫‪ .‬נקבע‬ ‫לכל‬ ‫(נסמן‬ ‫‪.‬‬ ‫לדוגמא‪:‬‬ ‫כפי שראינו בקורס‪ ,‬מס' המחרוזות הבינאריות באורך‬ ‫ועל‪ ,‬נסיק שמספר תתי‪-‬הקבוצות של קבוצה בגודל‬ ‫הוא‬ ‫הוא בדיוק‬ ‫‪ .‬משום שהמיפוי חד‪-‬חד‪-‬ערכי‬ ‫‪ .‬סיימנו את הוכחת הטענה‪.‬‬ ‫סיכום‪ :‬מבחינת המשמעות הקומבינטורית‪ ,‬משמעות הסכום‪:‬‬ ‫היא מספרת הדרכים לבחור תת‪-‬קבוצה בגודל‬ ‫לקבוצה בת‬ ‫איברים יש‬ ‫תתי‪-‬קבוצות‪ ,‬לכן נקבל‪:‬‬ ‫כלשהו‪ .‬לפי הטענה‪,‬‬