pdf.

‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫‪ .32‬טורי פורייה‬
‫ראינו כיצד לפתח פונקציה לטור טילור בחזקות של ) ‪ ( x − x 0‬לעתים קרובות פתוח כזה מאוד‬
‫חשוב‪ .‬נשאלת השאלה האם יש אפשרות לפתוח פונקציה לטור אחר‪.‬‬
‫פורייה פתח שיטה כיצד לפתח פונקציה המוגדרת ברווח ) ‪ (0, l‬או ) ‪ ( −l , l‬לטור אינסופי של‬
‫פונקציות טריגונומטריות‪.‬‬
‫נגדיר פונקציה מחזורית‪:‬‬
‫פונקציה ) ‪ f ( x‬תקרא פונקציה מחזורית במחזור ‪ p‬אם לכל ‪ x‬קיים ) ‪. f ( x + p) = f ( x‬‬
‫‪ p‬הקטן ביותר נקרא מחזור הפונקציה‪.‬‬
‫לדוגמה ‪ sin x‬היא פונקציה מחזורית עם מחזור ‪ 2π‬שכן ) ‪ f ( x + 2π ) = f ( x‬לכל ‪.x‬‬
‫דוגמה‪ :‬פונקציה ‪ f ( x ) = x‬בתחום ‪− π < x < π‬‬
‫וממשיכה מחוץ לתחום בצורה מחזורית‪:‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪− 3π‬‬
‫איור ‪32.1‬‬
‫משפט פורייה אומר שכל פונקציה מחזורית בעלת מחזור ‪ 2π‬ניתן לפתח לטור הבא‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫)‪f ( x ) = a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) (32.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n =1‬‬
‫כאשר‬
‫‪π‬‬
‫‪∫ f ( x) cos nxdx‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∫ f ( x) sin nxdx‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪an‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫ישנם הרבה תופעות מחזוריות בטבע ‪ ,‬כמו גל קול ‪ ,‬גלים אלקטרומגנטיים‪,‬אוסצילטור הרמוני ‪,‬‬
‫תנודות אטומים וכו’‪ .‬בד"כ גל קול לא כולל רק גל בתדירות אחת )טון טהור(‪ .‬בד"כ מקבלים‬
‫גל יסודי מלווה במספר הרמוניות בתדירויות פי ‪ 4,3,2‬וכו’ מהתדירות היסודית‪.‬‬
‫אם הפונקציות המחזוריות ‪ sin ωt‬ו‪ cos ωt -‬מתאימות לגל בעל התדירות היסודית הרי‬
‫‪ sin nωt cosnωt‬מתאימות להרמוניקות הגבוהות ביותר‪ .‬הקומבינציה של הגל היסודי עם‬
‫ההרמוניקות שלו היא פונקציה מחזורית מסובכת עם מחזור כשל היסודית‪.‬‬
‫אם נתונה לנו פונקציה מחזורית כלשהי נוכל לשאול עצמנו איך לכתוב אותה כקומבינציה של‬
‫ההרמוניות‪ .‬בד"כ נזדרקים לכל ההרמוניות כלומר נקבל טור אינסופי‪ .‬טור זה נקרא טור‬
‫פורייה‪ .‬בעיתנו היא איפוא לפתח פונקציה מחזורית נתונה בטור של ‪ sin ωt‬ו‪cos ωt -‬‬
‫על מנת לפשט הנוסחות בתחילה נטפל בפונקציות בעלות מחזור של ‪ 2π‬והפונקציות היסודיות‬
‫יהיו ‪ sin nx‬ו‪ . cosnx -‬אח"כ נטפל בפונקציות בעלות מחזור שונה‪.‬‬
‫הפונקציות ‪ sin x‬ו‪ cos x -‬בעלות מחזור ‪ 2π‬ולכן נניח שאם ) ‪ f ( x‬בעלת מחזור ‪ 2π‬היא‬
‫נתונה לכתיבה ע"י טור פורייה‪:‬‬
‫‪245‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
f ( x) =
‫פרופ' שלמה הבלין‬
1
a + a1 cos x + a 2 cos 2 x + a 3 cos 3x +...+b1 sin x + b2 sin 2 x + b3 sin 3x +... =
2 0
∞
1
= a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx )
2
n =1
.‫ ניתנו למעלה‬bn -‫ ו‬a n ‫כאשר‬
:‫ נזדקק לאינטגרלים הבאים‬bn -‫ ו‬a n -‫לפני שנעבור להוכיח את הנוסחות ל‬
1
2π
π
1
∫−π sin mx cos nxdx = 2π
π
1
∫π 2 dx(sin(m − n) x + sin(m + n) x) =
−
n -‫ ו‬m ‫לכל‬
π
π 
 1
1
 m − n cos(m − n) x − π + m + n cos(m + n) x − π  = 0


0
m
≠
n

π
 1
1
sin
nx
sin
mxdx
=
m=n≠0

2π −∫π
2
0 m = n = 0
1
4π
=
0 m ≠ n
 1
1
cos
nx
cos
mxdx
=
m=n≠0

2π −∫π
2
1 m = n = 0
π
. bn -‫ ו‬a n ‫( אפשרי ונראה כיצד נחשב את‬32.1) ‫אנו נצא עתה מהנחה שאמנם פתוח פורייה‬
.(32.1) ‫ בשני האגפים של‬π -‫ ל‬− π ‫ נבצע אנטגרל בין‬a 0 ‫כדי לחשב את‬
1
2π
π
π
π
π
π
1 1
1
1
1
∫−π dx f ( x) = 2 2π a 0 −∫π dx + a1 2π −∫π cosxdx + a2 2π −∫π cos2 xdx +...+b1 2π −∫π sinxdx +...
.‫באגף ימין כל האינטגרלים שווים לאפס פרט לראשון‬
π
1
a 0 = ∫ f ( x )dx
‫כלומר‬
π
−π
:‫ ונבצע אינטגרל‬cos x -‫ האגפים ב‬-2‫( ב‬32.1) ‫ נכפיל‬a1 ‫נחשב‬
1
2π
π
π
1 1
1
f ( x ) cos xdx =
a 0 ∫ cos xdx + a1
2 2π −π
2π
∫
−π
+ b1
1
2π
π
1
∫−π cos xdx + a 2 2π
2
π
∫ cos xcos2 xdx +...+
−π
π
∫ cos xsinxdx +...
−π
-‫אבל כל האנטגרלים באגף ימין אפס פרט ל‬
1
2π
π
∫π cos
2
−
a1 =
1
π
π
xdx =
1
2
‫ולכן‬
∫ f ( x) cos xdx
−π
246
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫השיטה ברורה עתה‪ ,‬כדי למצא את ‪ a n‬נכפיל ‪ 2‬האגפים ב )‪ (32.1‬ב ‪ cosnx -‬ונבצע אנטגרציה‬
‫מ‪ - π -‬עד ‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫−π cos nx f ( x)dx = 2 a0 −∫π cos nxdx + a1 −∫π cosx cos nxdx + a 2 −∫π cos nxcos2 xdx +...+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪+ b1 ∫ cos nxsinxdx +...‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫כל המחוברים באגף ימין מתאפסים פרט ל‪nxdx = π -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫π cos‬‬
‫‪−‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∫ f ( x) cos nxdx‬‬
‫ולכן‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪an‬‬
‫‪1‬‬
‫שים לב שזה כולל גם את ‪ a 0‬ולכן לקחנו המחובר הראשון ‪. a 0‬‬
‫‪2‬‬
‫על מנת לחשב ‪ bn‬נכפיל שני האגפים של )‪ (33.1‬ב ‪ sin nx‬נבצע אינטגרציה מה‪ - π -‬עד ‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫ואז נקבל‬
‫‪∫ f ( x) sin nxdx‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫הוכחנו מהם המקדמים בהנחה שהפתוח אפשרי אך לא הראנו שהפתוח קיים‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫פתח לטור פורייה את הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫איור ‪32.2‬‬
‫פונקציה זו יכולה לתאר למשל פולס מתח חשמלי מחזורי‪.‬‬
‫הבטויים בטור פורייה יתנו את התדירויות השונות שיוצרות "גל של מתח רבועי"‪.‬‬
‫וערכי המקדמים יתנו את המשקל היחסי של כל תדירות‪ .‬כך מיצרים באופן מעשי‬
‫במעבדה גל מתח רבועי‪.‬‬
‫שים לב כי ל‪ f ( x ) -‬מחזוריות ‪ . 2π‬בד"כ בבעיות יהיה נתון ) ‪ f ( x‬רק עבור מחזור אחד‪.‬‬
‫במקרה זה‪:‬‬
‫‪0 − π < x < 0‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪1 0 < x < π‬‬
‫והפונקציה ) ‪ f ( x‬ממשיכה באופן מחזורי גם מחוץ לתחום ) ‪. ( −π , π‬‬
‫נחשב את המקדמים ‪ a n‬ו‪. bn -‬‬
‫‪247‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
π
0
 1π
1
a n = ∫ f ( x ) cos nxdx =  ∫ 0 cos nxdx + ∫ 1cos nxdx  = ∫ cos nxdx =
π −π
π  −π
0
 π 0
0 n ≠ 0
=
1 n = 0
. a n = 0 ‫ שונה מאפס‬n ‫ ולכל‬a 0 = 1 n = 0 ‫עבור‬
: bn ‫נחשב את‬
1
π
0
π
π
 1π
1
1  cos nx 
bn = ∫ f ( x ) sin nxdx =  ∫ 0 sin nxdx + ∫ 1 sin nxdx  = ∫ sin nxdx = 

π −π
π  −π
π  n 0
0
 π 0
n = 2k
0

= 2
n = 2k + 1
 nπ
‫ואז נקבל‬
1 2  sin x sin 3x sin 5x

f ( x) = + 
+
+
+...

2 π 1
3
5
.‫ אם נצייר אותו נקבל את הפונקציה שבאיור‬,‫טור זה‬
1
. ‫ במקרה זה‬,‫בנקודות האי רציפות נקבל את הערך הממוצע‬
2
1
1
. f (π ) = , f (0) =
:‫למשל‬
2
2
1
π
248
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫‪ 32.1‬משפט דיריקלה‪:‬‬
‫א‪ .‬אם ) ‪ f ( x‬מוגדרת וחד ערכית פרט אולי למספר סופי של נקודות ברווח ) ‪( −l , l‬‬
‫אצלנו ) ‪. ( −π , π‬‬
‫ב‪ .‬מחזורית מחוץ ל‪ ( −π , π ) -‬עם מחזור ‪. 2π‬‬
‫ג‪ f ( x ) .‬ו‪ f ′( x ) -‬רציפות למקוטעין בין ‪ − π‬ל‪. π -‬‬
‫אזי טור פורייה עם מקדמיו ‪ a n‬ו‪ bn -‬מתכנס‬
‫א‪ .‬ל‪ f ( x ) -‬אם ‪ x‬נקודה רציפה‪.‬‬
‫) ‪f (x+ ) + f (x−‬‬
‫אם ‪ x‬נקודת אי רציפות‪.‬‬
‫ב‪ .‬ל ‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ) ‪ f ( x − ) f ( x +‬גבול ימני ושמאלי בהתאמה‪.‬‬
‫תנאים אלו הם מספיקים אבל לא הכרחים ובד"כ הם קיימים בבעיות מעשיות‪.‬‬
‫כיום לא ידוע שום תנאי הכרחי ומספיק להתכנסות של טור פורייה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫בדוגמה שלנו אם נציב ‪ x = 0‬נקבל‬
‫‪2‬‬
‫והסבה כיון ש ‪ x = 0‬היא נקודת אי רציפות!‬
‫‪ 32.2‬הצורה המורכבת של טורי פורייה‬
‫נזכור כי‪:‬‬
‫‪e inx + e −inx‬‬
‫‪e inx − e −inx‬‬
‫‪= cos nx‬‬
‫‪= sin nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2i‬‬
‫ואם נציב קשרים אלו בפתוח לטור פורייה נקבל טור של אקספוננטים‪.‬‬
‫אנו נמצא את הטור באופן ישיר וזו דרך מקובלת יותר וקלה יותר מאשר שמוש ב ‪sin nx‬‬
‫ו ‪. cosnx‬‬
‫∞‬
‫נניח‪:‬‬
‫‪inx‬‬
‫‪∑C e‬‬
‫‪n‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫= ‪(32.2) f ( x ) = C0 + C1e ix + C−1e −ix + C2 e 2ix + C− 2 e − 2ix +....‬‬
‫וננסה למצא את ‪ Cn‬השונים‪.‬‬
‫נחשב ‪ Co‬ע"י אינטגרציה על שני האגפים‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪∫ C0 dx + C1 ∫ e ix dx + C2 ∫ e 2ix dx +...‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪f ( x )dx‬‬
‫∫‬
‫‪−π‬‬
‫אבל עבור ‪n ≠ 0‬‬
‫‪1 inπ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e − e −inπ ) = (sin nπ ) = 0‬‬
‫(‬
‫‪in‬‬
‫‪n‬‬
‫קיים‬
‫‪π‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪inx‬‬
‫‪∫π e‬‬
‫‪−‬‬
‫ואילו‬
‫‪⋅ 2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∫ C dx = C‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪∫ f ( x)dx‬‬
‫ולכן‬
‫‪−π‬‬
‫‪249‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪C0‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫ע"מ למצא את ‪ ( n ≠ 0 ) Cn‬נכפיל הטור ב ‪ e − inx‬ונבצע אנטגרציה על ‪ x‬כלומר‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪f ( x )e −inx dx = C0 ∫ e − unx dx + C1 ∫ e −inx e ix dx + C−1 ∫ e −inx e −ix dx +.........+‬‬
‫‪π‬‬
‫∫‬
‫‪−π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪+ Cn ∫ e −inx e inx dx +........‬‬
‫‪−π‬‬
‫כל האברים חוץ מהמקדם של ‪ Cn‬יתאפסו ולכן נקבל‬
‫‪π‬‬
‫)‪(32.3‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪−inx‬‬
‫‪∫π f ( x)e‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪Cn‬‬
‫לכל ‪.n‬‬
‫שים לב שנוסחה זו נכונה לכל ‪ n‬חיובי‪ ,‬שלילי ואפס‪ .‬ולכן היא קלה‪ ,‬יותר לזכרון ולחשובים‪.‬‬
‫נחזור לדוגמה הקודמת‪ ,‬גל מתח ריבועי‪ ,‬ונפתח אותו באמצעות טור פורייה של אקספוננטים‪:‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 e − inx π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−inx‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dx‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= )‪(cos nπ − i sin nπ − 1‬‬
‫‪0dx +‬‬
‫‪e −inx − 1) = −‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫∫‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪2π − in 0 − 2πin‬‬
‫‪2πin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− inx‬‬
‫‪∫e‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪Cn‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪n = 2k + 1‬‬
‫‪n = 2k , n ≠ 0‬‬
‫עבור ‪ n = 0‬מקבלים‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪=  πin‬‬
‫‪0‬‬
‫‪π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫∫‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪C0‬‬
‫ומכאן הטור פורייה יהיה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1 e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+...... +‬‬
‫‪2 iπ  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪5ix‬‬
‫‪3ix‬‬
‫∞‬
‫‪ix‬‬
‫=‬
‫‪inx‬‬
‫‪∑C e‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  e − ix e −3ix e −5ix‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+......‬‬
‫‪‬‬
‫‪iπ  − 1 − 3‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫כך לראות שזה אמנם הטור הקודם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪+......‬‬
‫‪‬‬
‫‪−3ix‬‬
‫‪−e‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪3ix‬‬
‫‪1e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪− ix‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1 2 e −e‬‬
‫‪+ ‬‬
‫‪2 π‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪ix‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪+  sin x + sin 3x +......‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪250‬‬
‫=‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫‪ 32.3‬פונקציות מחזוריות כלליות‬
‫עד כה דנו בפונקציות בעלות מחזור ‪. 2π‬‬
‫לכן פתחנו בעזרת הפונקציות ‪, cos nx , sin nx‬‬
‫‪inx‬‬
‫‪ e‬שלהם יש מחזור של ‪. 2π‬‬
‫הערה‪ :‬שים לב כי האנטגרל שבצענו לחשב ‪a n‬‬
‫‪ cn‬עשינו בין ‪ − π‬ל‪. π -‬‬
‫‪bn‬‬
‫אם הפונקציה המחזורית היא בין ‪ 0‬ל‪ 2π -‬נבצע גם את האנטגרלים בין‪ 0 -‬ל‪ 2π -‬או בין כל רווח‬
‫אחר שגדלו ‪. 2π‬‬
‫יש חשיבות גדולה לשרטט הגרף ע"מ לראות באופן ברור באיזה תחום מדובר‪.‬‬
‫למשל נתונה הפונקציה ‪ f ( x ) = x 2‬בין ) ‪ ( −π , π‬והיא ממשיכה מחזורית לכל תחום אזי הגרף‬
‫נראה כמו באיור ‪:32.3‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪−π‬‬
‫איור ‪32.3‬‬
‫בעוד שאם נתונה הפונקציה ‪ f ( x ) = x 2‬בין ) ‪ (0,2π‬והיא ממשיכה מחזורית לכל תחום זה‬
‫יראה אחרת כמו איור ‪. 32.4‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪6π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫איור ‪32.4‬‬
‫לכן במקרה הראשון נצטרך לקחת אנטגרל מ‪ − π -‬עד ‪ π‬כדי למצא המקדמים‪.‬‬
‫בעוד שבמקרה השני האנטגרל מ‪ 0 -‬עד ‪. 2π‬‬
‫בעיות בפיסיקה לא מופיעות תמיד עם מחזוריות של ‪. 2π‬‬
‫נניח שנדון בפונקציה שמחזורה ‪ 2l‬נצטרך לפתח את הפונקציה לפונקציות בעלות מחזור של ‪. 2l‬‬
‫‪251‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫וזאת קל לקבל‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪ cos‬ו‪-‬‬
‫‪, sin‬‬
‫לפונקציות‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫וכך לגבי‬
‫‪l‬‬
‫ואז נניח פתוח לטור הבא‬
‫‪ cos‬ו‪-‬‬
‫‪inπx‬‬
‫‪l‬‬
‫‪inπx‬‬
‫‪l‬‬
‫‪e‬‬
‫יש מחזור ‪ . 2l‬ואמנם‬
‫‪nπ‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪ nπx‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x + 2l ) = sin‬‬
‫‪+ 2πn = sin‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪2πx‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪πx‬‬
‫‪πx‬‬
‫‪+ a1 cos + a 2 cos‬‬
‫‪+........+b1 sin + b2 sin‬‬
‫= ‪+.....‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪a‬‬
‫‪nπx ‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 0 + ∑  a n cos‬‬
‫‪+ bn sin‬‬
‫‪‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪2 n =1 ‬‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫‪inπx‬‬
‫‪l‬‬
‫וכן‬
‫∞‬
‫‪f ( x ) = ∑ Cn e‬‬
‫∞‪−‬‬
‫שים לב שכאשר ‪ 2l = 2π‬כלומר ‪ l = π‬חוזרים לבטויים הקודמים‪.‬‬
‫באותה דרך כמו קודם קל להוכיח כי‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a n = ∫ f ( x ) cos‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪bn = ∫ f ( x ) sin‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪− inπx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cn = ∫ f ( x )e l dx‬‬
‫‪2l − l‬‬
‫אם הרווח הבסיסי הוא ) ‪ (0,2l‬האנטגרל פשוט משתנה מ‪ 0 -‬עד ‪. 2l‬‬
‫דוגמה‪ :‬נתונה פונקציה‬
‫‪0 0 < x < l‬‬
‫‪f ( x) = ‬‬
‫‪1 l < x < 2l‬‬
‫פתח ) ‪ f ( x‬לטור פורייה אקספוננציאלי בעל מחזור ‪) 2l‬ראה איור ‪.(32.5‬‬
‫‪4l‬‬
‫‪3l‬‬
‫‪2l‬‬
‫איור ‪32.5‬‬
‫‪252‬‬
‫‪l‬‬
‫‪0‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
l
Cn =
=
‫פרופ' שלמה הבלין‬
2l
− inπx
1
1
l
1
0
dx
+
e
dx
2l ∫l
2l ∫0
− inπx
l
1 e
2l − inπ
2l
l
l
=−
e iα = cos α + isiuα
1
e − 2inπ − e −inπ ) =
(
2inπ
0
1

(1 − cos nπ ) =  1
=−
2inπ
− inπ
e −i 2 nπ = cos 2nπ − i sin 2nπ = 1
n = 2k , n ≠ 0
e −inπ = cos nπ − i sin π = cos n
n = 2k + 1
2l
1
1
C0 = ∫ dx =
2l l
2
f ( x) =
i πx
 1 2  πx 1
1 1  iπlx
1 3iπx 1 − 3iπx
3πx
−

+.....
−  e − e l + e l − e l +..... = −  sin + sin

l
l
2 iπ 
3
3
3
 2 π
253
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫‪ 32.4‬פונקציות זוגיות ואי זוגיות‬
‫בפתות לטור פורייה רצוי להבחין בין פונקציה זוגית לאיזוגית‪.‬‬
‫כבר הגדרנו‬
‫פונקציה ) ‪ f ( x‬תקרא זוגית אם ) ‪f ( x ) = f ( − x‬‬
‫דוגמאות‪e x + e − x , cos x , 2 x 4 − 3x 2 + 7, x 4 :‬‬
‫פונקציה ) ‪ f ( x‬תקרא איזוגית אם ) ‪f ( x ) = − f ( − x‬‬
‫דוגמאות‪tg 3x , sin x , x 5 − 7 x 3 + 2 x , x 3 :‬‬
‫יש פונקציות שאינם זוגיות ואינם איזוגיות למשל ‪. y = x + 3‬‬
‫תאור גרפי של פונקציה איזוגית‬
‫תאור גרפי של פונקציה זוגית‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪f (− x‬‬
‫)‪f (− x‬‬
‫איור ‪32.7‬‬
‫איור ‪32.6‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫בטור פורייה של פונקציה זוגית יופיעו רק אברי הקוסינוס)‪ +‬הקבוע(‬
‫בטור פורייה של פונקציה אי זוגית יופיעו רק אברי הסינוס‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח כי לפונקציה זוגית ‪ bn = 0‬לכל ‪. n‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪dx + ∫ f ( x ) sin‬‬
‫‪dx = ∫ f ( x ) sin‬‬
‫‪bn = ∫ f ( x ) sin‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫נציב באינטגרל הראשון ‪ x = − u‬ונקבל‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪− nπu‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪du‬‬
‫‪dx = − ∫ f ( − u) sin‬‬
‫‪f ( x ) sin‬‬
‫∫‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪nπ u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪du‬‬
‫‪= − ∫ f (u) sin‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪dx = 0‬‬
‫‪dx + ∫ f ( x ) sin‬‬
‫‪f ( x ) sin‬‬
‫∫‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l 0‬‬
‫זה נובע גם מהעובדה שמכפלה של פונקציה זוגית באי זוגית נותנת פונקציה אי זוגית‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫והאנטגרל על פונקציה איזוגית מ ‪ -l‬עד ‪ l‬נותן ‪ 0‬בגלל השטחים השווים בסימנים הפוכים‬
‫המבטלים זה את זה‪.‬‬
‫‪254‬‬
‫= ‪bn‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫אם ) ‪ F ( x‬היא מכפלה של פונקציה זוגית באי זוגית הרי היא פונקציה אי זוגית וקיים‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪∫ F ( x)dx = 0‬‬
‫‪−L‬‬
‫) ‪ f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) = − f 1 ( − x ) ⋅ f 2 ( − x‬הוכחה‪:‬‬
‫פונקציה אי זוגית! = אי זוגית × זוגית‬
‫)‪f 1 (− x) = f 1 ( x‬‬
‫שכן‪:‬‬
‫)‪f 2 (− x) = − f 2 ( x‬‬
‫ומכאן ) ‪ f 1 ( − x ) f 2 ( − x ) = − f 1 ( x ) f 2 ( x‬והמכפלה החא פונקציה אי זוגית‪.‬‬
‫כאשר ) ‪ f ( x‬היא אי זוגית ‪ . a n = 0‬הוכחה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪a n = ∫ f ( x ) cos‬‬
‫‪dx = ∫ f ( x ) cos‬‬
‫‪dx + ∫ f ( x ) cos‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l −l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪x → −x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪= − ∫ f ( − x ) cos‬‬
‫‪dx + ∫ f ( x ) cos‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪l l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪nπ x‬‬
‫‪nπx‬‬
‫‪= − ∫ f ( x ) cos‬‬
‫‪dx + ∫ f ( x ) cos‬‬
‫‪dx = 0‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪255‬‬
‫‪l‬‬
‫מתמטיקה לפיזיקאים‬
‫פרופ' שלמה הבלין‬
‫‪ 32.5‬משפט ‪PARSEVAL‬‬
‫משפט פרסול מקשר בין ממוצע של רבוע פונקציה ) ‪ f ( x‬במחזור והמקדמים של פורייה‪.‬‬
‫מטרת המשפט אינה לחשב ממוצעים אלא להראות קשר חשוב בין ממוצעים של‬
‫) ‪ f 2 ( x‬למקדמי פורייה‪.‬‬
‫∞‬
‫‪1‬‬
‫) ‪a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n =1‬‬
‫נניח‬
‫= )‪f ( x‬‬
‫נעלה ברבוע את ) ‪ f ( x‬ואז נחשב ממוצע מ‪ − π -‬עד ‪. π‬‬
‫‪π‬‬
‫הממוצע של ) ‪ f 2 ( x‬הוא ‪( x )dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫π f‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫כאשר מעלים ברבוע את שני האגפים מקבלים ביטויים רבים‪ .‬כדי למנוע כתיבת רבים מהם‬
‫נדון אילו סוגי ביטויים מופיעים ומה הממוצע שלהם‪.‬‬
‫תחילה מופיעים כל רבועי הבטויים האנדיוידואלים נשתמש בעובדה ש‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪nxdx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∫π cos‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪∫ sin 2 nxdx‬‬
‫‪−π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫קוראים לבטוי זה ממוצע של ‪ sin 2 nx‬ו‪. cos 2 nx -‬‬
‫‪2‬‬
‫ממוצע של‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪  a 0 ‬הוא ‪a 0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ממוצע של ‪ (a n cos nx ) 2‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫⋅ ‪a n2‬‬
‫‪1‬‬
‫ממוצע של ‪ (bn cos nx ) 2‬הוא‬
‫‪2‬‬
‫ועכשיו יש ביטויים מעורבים מהצורה‬
‫⋅ ‪. bn2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪2 ⋅ a 0 a n cos nx , 2 ⋅ a 0bn sin nx , 2a n bn cos nx cos mx (m ≠ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ממוצע של כל הבטויים האלה הוא אפס!‬
‫ולכן משפט ‪:Parsvel‬‬
‫ממוצע‬
‫‪2‬‬
‫∞‬
‫‪1 2 1 ∞ 2 1 ∞ 2‬‬
‫‪a 0 + ∑ a n + ∑ bn = ∑ Cn‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 n =1‬‬
‫‪2 n =1‬‬
‫∞‪n =−‬‬
‫‪256‬‬
‫‪π‬‬
‫= ‪f 2 ( x )dx‬‬
‫‪∫π‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬