pdf.
מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין .32טורי פורייה ראינו כיצד לפתח פונקציה לטור טילור בחזקות של ) ( x − x 0לעתים קרובות פתוח כזה מאוד חשוב .נשאלת השאלה האם יש אפשרות לפתוח פונקציה לטור אחר. פורייה פתח שיטה כיצד לפתח פונקציה המוגדרת ברווח ) (0, lאו ) ( −l , lלטור אינסופי של פונקציות טריגונומטריות. נגדיר פונקציה מחזורית: פונקציה ) f ( xתקרא פונקציה מחזורית במחזור pאם לכל xקיים ) . f ( x + p) = f ( x pהקטן ביותר נקרא מחזור הפונקציה. לדוגמה sin xהיא פונקציה מחזורית עם מחזור 2πשכן ) f ( x + 2π ) = f ( xלכל .x דוגמה :פונקציה f ( x ) = xבתחום − π < x < π וממשיכה מחוץ לתחום בצורה מחזורית: 3π −π π − 3π איור 32.1 משפט פורייה אומר שכל פונקציה מחזורית בעלת מחזור 2πניתן לפתח לטור הבא ∞ 1 )f ( x ) = a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) (32.1 2 n =1 כאשר π ∫ f ( x) cos nxdx −π π ∫ f ( x) sin nxdx −π 1 π 1 π = an = bn ישנם הרבה תופעות מחזוריות בטבע ,כמו גל קול ,גלים אלקטרומגנטיים,אוסצילטור הרמוני , תנודות אטומים וכו’ .בד"כ גל קול לא כולל רק גל בתדירות אחת )טון טהור( .בד"כ מקבלים גל יסודי מלווה במספר הרמוניות בתדירויות פי 4,3,2וכו’ מהתדירות היסודית. אם הפונקציות המחזוריות sin ωtו cos ωt -מתאימות לגל בעל התדירות היסודית הרי sin nωt cosnωtמתאימות להרמוניקות הגבוהות ביותר .הקומבינציה של הגל היסודי עם ההרמוניקות שלו היא פונקציה מחזורית מסובכת עם מחזור כשל היסודית. אם נתונה לנו פונקציה מחזורית כלשהי נוכל לשאול עצמנו איך לכתוב אותה כקומבינציה של ההרמוניות .בד"כ נזדרקים לכל ההרמוניות כלומר נקבל טור אינסופי .טור זה נקרא טור פורייה .בעיתנו היא איפוא לפתח פונקציה מחזורית נתונה בטור של sin ωtוcos ωt - על מנת לפשט הנוסחות בתחילה נטפל בפונקציות בעלות מחזור של 2πוהפונקציות היסודיות יהיו sin nxו . cosnx -אח"כ נטפל בפונקציות בעלות מחזור שונה. הפונקציות sin xו cos x -בעלות מחזור 2πולכן נניח שאם ) f ( xבעלת מחזור 2πהיא נתונה לכתיבה ע"י טור פורייה: 245 מתמטיקה לפיזיקאים f ( x) = פרופ' שלמה הבלין 1 a + a1 cos x + a 2 cos 2 x + a 3 cos 3x +...+b1 sin x + b2 sin 2 x + b3 sin 3x +... = 2 0 ∞ 1 = a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 . ניתנו למעלהbn - וa n כאשר : נזדקק לאינטגרלים הבאיםbn - וa n -לפני שנעבור להוכיח את הנוסחות ל 1 2π π 1 ∫−π sin mx cos nxdx = 2π π 1 ∫π 2 dx(sin(m − n) x + sin(m + n) x) = − n - וm לכל π π 1 1 m − n cos(m − n) x − π + m + n cos(m + n) x − π = 0 0 m ≠ n π 1 1 sin nx sin mxdx = m=n≠0 2π −∫π 2 0 m = n = 0 1 4π = 0 m ≠ n 1 1 cos nx cos mxdx = m=n≠0 2π −∫π 2 1 m = n = 0 π . bn - וa n ( אפשרי ונראה כיצד נחשב את32.1) אנו נצא עתה מהנחה שאמנם פתוח פורייה .(32.1) בשני האגפים שלπ - ל− π נבצע אנטגרל ביןa 0 כדי לחשב את 1 2π π π π π π 1 1 1 1 1 ∫−π dx f ( x) = 2 2π a 0 −∫π dx + a1 2π −∫π cosxdx + a2 2π −∫π cos2 xdx +...+b1 2π −∫π sinxdx +... .באגף ימין כל האינטגרלים שווים לאפס פרט לראשון π 1 a 0 = ∫ f ( x )dx כלומר π −π : ונבצע אינטגרלcos x - האגפים ב-2( ב32.1) נכפילa1 נחשב 1 2π π π 1 1 1 f ( x ) cos xdx = a 0 ∫ cos xdx + a1 2 2π −π 2π ∫ −π + b1 1 2π π 1 ∫−π cos xdx + a 2 2π 2 π ∫ cos xcos2 xdx +...+ −π π ∫ cos xsinxdx +... −π -אבל כל האנטגרלים באגף ימין אפס פרט ל 1 2π π ∫π cos 2 − a1 = 1 π π xdx = 1 2 ולכן ∫ f ( x) cos xdx −π 246 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין השיטה ברורה עתה ,כדי למצא את a nנכפיל 2האגפים ב ) (32.1ב cosnx -ונבצע אנטגרציה מ - π -עד π π π π π 1 ∫−π cos nx f ( x)dx = 2 a0 −∫π cos nxdx + a1 −∫π cosx cos nxdx + a 2 −∫π cos nxcos2 xdx +...+ π + b1 ∫ cos nxsinxdx +... −π π כל המחוברים באגף ימין מתאפסים פרט לnxdx = π - 2 ∫π cos − π ∫ f ( x) cos nxdx ולכן −π 1 π = an 1 שים לב שזה כולל גם את a 0ולכן לקחנו המחובר הראשון . a 0 2 על מנת לחשב bnנכפיל שני האגפים של ) (33.1ב sin nxנבצע אינטגרציה מה - π -עד π π ואז נקבל ∫ f ( x) sin nxdx −π 1 π = bn הוכחנו מהם המקדמים בהנחה שהפתוח אפשרי אך לא הראנו שהפתוח קיים. דוגמה: פתח לטור פורייה את הפונקציה הבאה: y x 3π 2π π 0 −π − 2π איור 32.2 פונקציה זו יכולה לתאר למשל פולס מתח חשמלי מחזורי. הבטויים בטור פורייה יתנו את התדירויות השונות שיוצרות "גל של מתח רבועי". וערכי המקדמים יתנו את המשקל היחסי של כל תדירות .כך מיצרים באופן מעשי במעבדה גל מתח רבועי. שים לב כי ל f ( x ) -מחזוריות . 2πבד"כ בבעיות יהיה נתון ) f ( xרק עבור מחזור אחד. במקרה זה: 0 − π < x < 0 f ( x) = 1 0 < x < π והפונקציה ) f ( xממשיכה באופן מחזורי גם מחוץ לתחום ) . ( −π , π נחשב את המקדמים a nו. bn - 247 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין π 0 1π 1 a n = ∫ f ( x ) cos nxdx = ∫ 0 cos nxdx + ∫ 1cos nxdx = ∫ cos nxdx = π −π π −π 0 π 0 0 n ≠ 0 = 1 n = 0 . a n = 0 שונה מאפסn ולכלa 0 = 1 n = 0 עבור : bn נחשב את 1 π 0 π π 1π 1 1 cos nx bn = ∫ f ( x ) sin nxdx = ∫ 0 sin nxdx + ∫ 1 sin nxdx = ∫ sin nxdx = π −π π −π π n 0 0 π 0 n = 2k 0 = 2 n = 2k + 1 nπ ואז נקבל 1 2 sin x sin 3x sin 5x f ( x) = + + + +... 2 π 1 3 5 . אם נצייר אותו נקבל את הפונקציה שבאיור,טור זה 1 . במקרה זה,בנקודות האי רציפות נקבל את הערך הממוצע 2 1 1 . f (π ) = , f (0) = :למשל 2 2 1 π 248 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין 32.1משפט דיריקלה: א .אם ) f ( xמוגדרת וחד ערכית פרט אולי למספר סופי של נקודות ברווח ) ( −l , l אצלנו ) . ( −π , π ב .מחזורית מחוץ ל ( −π , π ) -עם מחזור . 2π ג f ( x ) .ו f ′( x ) -רציפות למקוטעין בין − πל. π - אזי טור פורייה עם מקדמיו a nו bn -מתכנס א .ל f ( x ) -אם xנקודה רציפה. ) f (x+ ) + f (x− אם xנקודת אי רציפות. ב .ל - 2 כאשר ) f ( x − ) f ( x +גבול ימני ושמאלי בהתאמה. תנאים אלו הם מספיקים אבל לא הכרחים ובד"כ הם קיימים בבעיות מעשיות. כיום לא ידוע שום תנאי הכרחי ומספיק להתכנסות של טור פורייה. 1 = )f ( x בדוגמה שלנו אם נציב x = 0נקבל 2 והסבה כיון ש x = 0היא נקודת אי רציפות! 32.2הצורה המורכבת של טורי פורייה נזכור כי: e inx + e −inx e inx − e −inx = cos nx = sin nx 2 2i ואם נציב קשרים אלו בפתוח לטור פורייה נקבל טור של אקספוננטים. אנו נמצא את הטור באופן ישיר וזו דרך מקובלת יותר וקלה יותר מאשר שמוש ב sin nx ו . cosnx ∞ נניח: inx ∑C e n ∞n =− = (32.2) f ( x ) = C0 + C1e ix + C−1e −ix + C2 e 2ix + C− 2 e − 2ix +.... וננסה למצא את Cnהשונים. נחשב Coע"י אינטגרציה על שני האגפים π π π −π −π −π ∫ C0 dx + C1 ∫ e ix dx + C2 ∫ e 2ix dx +... π = f ( x )dx ∫ −π אבל עבור n ≠ 0 1 inπ 2 e − e −inπ ) = (sin nπ ) = 0 ( in n קיים π = dx inx ∫π e − ואילו ⋅ 2π 0 ∫ C dx = C 0 π ∫ f ( x)dx ולכן −π 249 1 2π = C0 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין ע"מ למצא את ( n ≠ 0 ) Cnנכפיל הטור ב e − inxונבצע אנטגרציה על xכלומר: π π π −π −π −π f ( x )e −inx dx = C0 ∫ e − unx dx + C1 ∫ e −inx e ix dx + C−1 ∫ e −inx e −ix dx +.........+ π ∫ −π π + Cn ∫ e −inx e inx dx +........ −π כל האברים חוץ מהמקדם של Cnיתאפסו ולכן נקבל π )(32.3 dx −inx ∫π f ( x)e − 1 2π = Cn לכל .n שים לב שנוסחה זו נכונה לכל nחיובי ,שלילי ואפס .ולכן היא קלה ,יותר לזכרון ולחשובים. נחזור לדוגמה הקודמת ,גל מתח ריבועי ,ונפתח אותו באמצעות טור פורייה של אקספוננטים: π 1 1 e − inx π 1 1 −inx e dx = = = )(cos nπ − i sin nπ − 1 0dx + e −inx − 1) = − 1 ( ∫ 2π 0 2π − in 0 − 2πin 2πin 0 − inx ∫e −π 1 = Cn 2π n = 2k + 1 n = 2k , n ≠ 0 עבור n = 0מקבלים 1 = πin 0 π 1 1 = dx ∫ 2π 0 2 = C0 ומכאן הטור פורייה יהיה: 1 1 e e e + + + +...... + 2 iπ 1 3 5 5ix 3ix ∞ ix = inx ∑C e n = )f ( x ∞n =− 1 e − ix e −3ix e −5ix + + +...... iπ − 1 − 3 −5 + כך לראות שזה אמנם הטור הקודם: = +...... −3ix −e 2i 3ix 1e 3 − ix + 1 2 e −e + 2 π 2i ix = )f ( x 1 2 1 + sin x + sin 3x +...... 2 π 3 250 = מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין 32.3פונקציות מחזוריות כלליות עד כה דנו בפונקציות בעלות מחזור . 2π לכן פתחנו בעזרת הפונקציות , cos nx , sin nx inx eשלהם יש מחזור של . 2π הערה :שים לב כי האנטגרל שבצענו לחשב a n cnעשינו בין − πל. π - bn אם הפונקציה המחזורית היא בין 0ל 2π -נבצע גם את האנטגרלים בין 0 -ל 2π -או בין כל רווח אחר שגדלו . 2π יש חשיבות גדולה לשרטט הגרף ע"מ לראות באופן ברור באיזה תחום מדובר. למשל נתונה הפונקציה f ( x ) = x 2בין ) ( −π , πוהיא ממשיכה מחזורית לכל תחום אזי הגרף נראה כמו באיור :32.3 Y X 2π 3π π −π איור 32.3 בעוד שאם נתונה הפונקציה f ( x ) = x 2בין ) (0,2πוהיא ממשיכה מחזורית לכל תחום זה יראה אחרת כמו איור . 32.4 Y X 6π 4π 2π 0 − 2π איור 32.4 לכן במקרה הראשון נצטרך לקחת אנטגרל מ − π -עד πכדי למצא המקדמים. בעוד שבמקרה השני האנטגרל מ 0 -עד . 2π בעיות בפיסיקה לא מופיעות תמיד עם מחזוריות של . 2π נניח שנדון בפונקציה שמחזורה 2lנצטרך לפתח את הפונקציה לפונקציות בעלות מחזור של . 2l 251 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין וזאת קל לקבל nπ x nπ x cosו- , sin לפונקציות l l nπ x וכך לגבי l ואז נניח פתוח לטור הבא cosו- inπx l inπx l e יש מחזור . 2lואמנם nπ nπx nπx ( x + 2l ) = sin + 2πn = sin l l l sin .e a0 2πx 2π πx πx + a1 cos + a 2 cos +........+b1 sin + b2 sin = +..... l l l l 2 ∞ a nπx nπx = 0 + ∑ a n cos + bn sin l l 2 n =1 = )f ( x inπx l וכן ∞ f ( x ) = ∑ Cn e ∞− שים לב שכאשר 2l = 2πכלומר l = πחוזרים לבטויים הקודמים. באותה דרך כמו קודם קל להוכיח כי nπ x 1 dx a n = ∫ f ( x ) cos l l −l l nπ x 1 dx bn = ∫ f ( x ) sin l l −l l l − inπx 1 cn = ∫ f ( x )e l dx 2l − l אם הרווח הבסיסי הוא ) (0,2lהאנטגרל פשוט משתנה מ 0 -עד . 2l דוגמה :נתונה פונקציה 0 0 < x < l f ( x) = 1 l < x < 2l פתח ) f ( xלטור פורייה אקספוננציאלי בעל מחזור ) 2lראה איור .(32.5 4l 3l 2l איור 32.5 252 l 0 מתמטיקה לפיזיקאים l Cn = = פרופ' שלמה הבלין 2l − inπx 1 1 l 1 0 dx + e dx 2l ∫l 2l ∫0 − inπx l 1 e 2l − inπ 2l l l =− e iα = cos α + isiuα 1 e − 2inπ − e −inπ ) = ( 2inπ 0 1 (1 − cos nπ ) = 1 =− 2inπ − inπ e −i 2 nπ = cos 2nπ − i sin 2nπ = 1 n = 2k , n ≠ 0 e −inπ = cos nπ − i sin π = cos n n = 2k + 1 2l 1 1 C0 = ∫ dx = 2l l 2 f ( x) = i πx 1 2 πx 1 1 1 iπlx 1 3iπx 1 − 3iπx 3πx − +..... − e − e l + e l − e l +..... = − sin + sin l l 2 iπ 3 3 3 2 π 253 מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין 32.4פונקציות זוגיות ואי זוגיות בפתות לטור פורייה רצוי להבחין בין פונקציה זוגית לאיזוגית. כבר הגדרנו פונקציה ) f ( xתקרא זוגית אם ) f ( x ) = f ( − x דוגמאותe x + e − x , cos x , 2 x 4 − 3x 2 + 7, x 4 : פונקציה ) f ( xתקרא איזוגית אם ) f ( x ) = − f ( − x דוגמאותtg 3x , sin x , x 5 − 7 x 3 + 2 x , x 3 : יש פונקציות שאינם זוגיות ואינם איזוגיות למשל . y = x + 3 תאור גרפי של פונקציה איזוגית תאור גרפי של פונקציה זוגית )f ( x )f ( x )f (− x )f (− x איור 32.7 איור 32.6 משפט: בטור פורייה של פונקציה זוגית יופיעו רק אברי הקוסינוס) +הקבוע( בטור פורייה של פונקציה אי זוגית יופיעו רק אברי הסינוס. הוכחה :נוכיח כי לפונקציה זוגית bn = 0לכל . n nπx nπx nπ x 1 1 1 = dx dx + ∫ f ( x ) sin dx = ∫ f ( x ) sin bn = ∫ f ( x ) sin l l l0 l l −l l −l 0 l l נציב באינטגרל הראשון x = − uונקבל nπ x − nπu 1 1 = du dx = − ∫ f ( − u) sin f ( x ) sin ∫ l l l l l −l 0 0 nπ u 1 du = − ∫ f (u) sin l l0 l כלומר: nπx −1 nπ x 1 dx = 0 dx + ∫ f ( x ) sin f ( x ) sin ∫ l l l0 l 0 זה נובע גם מהעובדה שמכפלה של פונקציה זוגית באי זוגית נותנת פונקציה אי זוגית l l והאנטגרל על פונקציה איזוגית מ -lעד lנותן 0בגלל השטחים השווים בסימנים הפוכים המבטלים זה את זה. 254 = bn מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין אם ) F ( xהיא מכפלה של פונקציה זוגית באי זוגית הרי היא פונקציה אי זוגית וקיים: L ∫ F ( x)dx = 0 −L ) f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) = − f 1 ( − x ) ⋅ f 2 ( − xהוכחה: פונקציה אי זוגית! = אי זוגית × זוגית )f 1 (− x) = f 1 ( x שכן: )f 2 (− x) = − f 2 ( x ומכאן ) f 1 ( − x ) f 2 ( − x ) = − f 1 ( x ) f 2 ( xוהמכפלה החא פונקציה אי זוגית. כאשר ) f ( xהיא אי זוגית . a n = 0הוכחה: 1 1 1 nπ x nπx nπx a n = ∫ f ( x ) cos dx = ∫ f ( x ) cos dx + ∫ f ( x ) cos = dx l −l l l −l l l0 l x → −x 0 l 1 1 nπ x nπx = − ∫ f ( − x ) cos dx + ∫ f ( x ) cos = dx l l l l0 l 0 l l 1 1 nπ x nπx = − ∫ f ( x ) cos dx + ∫ f ( x ) cos dx = 0 l0 l l0 l l 255 l מתמטיקה לפיזיקאים פרופ' שלמה הבלין 32.5משפט PARSEVAL משפט פרסול מקשר בין ממוצע של רבוע פונקציה ) f ( xבמחזור והמקדמים של פורייה. מטרת המשפט אינה לחשב ממוצעים אלא להראות קשר חשוב בין ממוצעים של ) f 2 ( xלמקדמי פורייה. ∞ 1 ) a 0 + ∑ (a n cos nx + bn sin nx 2 n =1 נניח = )f ( x נעלה ברבוע את ) f ( xואז נחשב ממוצע מ − π -עד . π π הממוצע של ) f 2 ( xהוא ( x )dx 2 ∫π f − 1 2π כאשר מעלים ברבוע את שני האגפים מקבלים ביטויים רבים .כדי למנוע כתיבת רבים מהם נדון אילו סוגי ביטויים מופיעים ומה הממוצע שלהם. תחילה מופיעים כל רבועי הבטויים האנדיוידואלים נשתמש בעובדה ש- 1 2 π = nxdx 2 ∫π cos − 1 2π π = ∫ sin 2 nxdx −π 1 2π קוראים לבטוי זה ממוצע של sin 2 nxו. cos 2 nx - 2 ממוצע של 1 2 1 a 0 הוא a 0 2 4 1 ממוצע של (a n cos nx ) 2הוא 2 ⋅ a n2 1 ממוצע של (bn cos nx ) 2הוא 2 ועכשיו יש ביטויים מעורבים מהצורה ⋅ . bn2 1 1 )2 ⋅ a 0 a n cos nx , 2 ⋅ a 0bn sin nx , 2a n bn cos nx cos mx (m ≠ n 2 2 ממוצע של כל הבטויים האלה הוא אפס! ולכן משפט :Parsvel ממוצע 2 ∞ 1 2 1 ∞ 2 1 ∞ 2 a 0 + ∑ a n + ∑ bn = ∑ Cn 4 2 n =1 2 n =1 ∞n =− 256 π = f 2 ( x )dx ∫π − 1 2π
© Copyright 2024