‫אלגברה ליניארית ‪ - 1359‬תרגיל ‪ 91‬העתקות (טרנספורמציות)‬ ‫ליניאריות‬ ‫‪ . 1‬ב דקו האם העתקות הבא ו ת הן ליניאריות‬ ‫אם כן – מ צאו את המטריצות שלהן‪ ,‬בסיס ומימד לתמונה וגרעין וקבע האם העתקות הן‬ ‫חד חד ערכיות והאם הן העתקות על‬ ‫‪‬‬ ‫‪x   x x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א) העתקה ‪ T : R 2  R 2‬מו ג דרת על ידי ‪‬‬ ‫‪ T    ‬לכל ‪( x1 , x2 )  R 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2  1 2 ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫ב) העתקה ‪ T : R 2  R 2‬מו ג דרת על ידי ‪ T  1    1 2 ‬לכל ‪( x1 , x2 )  R 2‬‬ ‫‪ x2   x1  x2 ‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ג ) העתקה ‪ T : R 2  R 2‬מו ג דרת על ידי ‪ T  1    1 2 ‬לכל ‪( x1 , x2 )  R 2‬‬ ‫‪ x2   x1  x2 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 1  1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ד ) העתקה ‪ R 22‬‬ ‫‪ T : R‬מו ג דרת על ידי ‪  X‬‬ ‫‪ T  X   ‬לכל ‪X R 22‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫ה ) העתקה ‪ T : R 3 x  R 3 x‬מו ג דרת על ידי ‪ T  f x   f x ‬לכל ‪f x  Rx‬‬ ‫‪ . 2‬א) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 3‬כך ש ‪-‬‬ ‫‪1  1   1   1   0   1 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫‪? T 1   2 , T  0    0 , T  1    0 ‬‬ ‫‪1  3   1   1   1   1 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של ההעתקה באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫ב) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 3‬כך ש ‪-‬‬ ‫‪1  1   1   1   0   1 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫‪? T 1   2 , T  0    0 , T  1    0 ‬‬ ‫‪1  3   1   1   0   1 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של ההעתקה באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או ח ח"ע‬ ‫ג) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 3‬כך ש ‪-‬‬ ‫‪1  1   1   1   0   0 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫‪? T 1   2 , T  0    0 , T  1    2 ‬‬ ‫‪1  3   1   1   0   2 ‬‬ ‫‪           ‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של ההעתקה באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . 3‬א) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 3‬כך ש ‪-‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪? Im T  Span1,  1 , ker T  Span1‬‬ ‫‪1  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של העתקה כזאת באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫ב) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 3‬כך ש ‪-‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪? Im T  Span1,  1 , ker T  Span1,  1 ‬‬ ‫‪1  0 ‬‬ ‫‪1  0 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של העתקה כזאת באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫ג) האם קיימת העתקה ליניארית ‪ T : R 4  R 4‬כך ש ‪? ImT  ker T -‬‬ ‫אם כן ‪ -‬מצא הצגה סטנדרטית של העתקה כזאת באמצעות מטריצה ‪, A‬‬ ‫בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪ T‬וקבע‬ ‫האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫‪ . 4‬על העתקה ליניארית ‪ T : R 3  R 5‬ידוע כי ‪T a   T b  T c   u‬‬ ‫כאשר ‪ a, b, c‬מהווה בסיס ל ‪R 3 -‬‬ ‫מצא בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪T‬‬ ‫וקבע האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫‪ . 5‬על העתקה ליניארית ‪ T : R 2  R 3‬ידו ע כי ‪T a   2T b  u  0‬‬ ‫כאשר ‪ a, b‬מהווה בסיס ל ‪R 2 -‬‬ ‫מצא בסיס ומימד לתמונה ‪ Im T‬וגרעין ‪ KerT‬של ‪T‬‬ ‫וקבע האם ‪ T‬היא על ו‪/‬או חח"ע‬ ‫‪2‬‬