‫חלק ‪7‬‬ ‫מרחבים וקטוריים מעל ‪ℝ‬‬ ‫נסתכל בשלוש הקבוצות הבאות ‪:‬‬ ‫קבוצה של כל ‪-n‬יות סדורות של מספרים ממשיים‪.‬‬ ‫קבוצה של כל מטריצות מסדר‬ ‫עם איברים ממשיים‪.‬‬ ‫קבוצה של כל הפולינומים ממעלה ‪ n‬ומטה עם מקדמים ממשיים‪.‬‬ ‫עם כל ההבדל בין איברים של קבוצות השונות (למשל בין פולינומים למטריצות)‪,‬יש משהו‬ ‫משותף לשלושת הקבוצות והוא‪:‬בכל קבוצה אפשר לחבר שני איברים ולקבל איבר של אותה‬ ‫קבוצה‪,‬ואיבר מכל קבוצה אפשר להכפיל במספר ממשי(סקלר) והתוצאה גם תהיה איבר של‬ ‫אותה קבוצה‪.‬ז"א‪,‬בכל קבוצה משלושת הקבוצות האלה ‪,‬מוגדרות פעולות חיבור וכפל בסקלר‬ ‫עם תכונות מסוימות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ .‬קבוצה לא ריקה ‪ V‬נקראת מרחב וקטורי מעל ‪ ℝ‬ואיברים שלה נקראים‬ ‫‪ ,‬ולכל‬ ‫מוגדר סכום‬ ‫וכו') אם לכל‬ ‫וקטורים(סימון‬ ‫מוגדר ‪   u  V‬כך שמתקיים ‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬קיים וקטור אפס‬ ‫‪.4‬לכל‬ ‫כך שלכל‬ ‫קיים וקטור נגדי‬ ‫מתקיים‬ ‫‪,‬כך ש‪:‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪ 1  u  u .8‬לכל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬מקיימות את התנאים ולכן‬ ‫קל לראות ‪,‬כי כל אחת מהקבוצות‬ ‫מרחבים וקטוריים מעל ‪.ℝ‬‬ ‫דוגמאות נוספות‬ ‫‪ .1‬נסמן ב – ]‪ C[a,b‬קבוצת פונקציות )‪ f(x‬רציפות על קטע ]‪.[a,b‬ידוע ‪,‬כי סכום של שתי‬ ‫פונקציות רציפות גם פונקציה רציפה וכפל פונקציה רציפה במספר – גם פונקציה‬ ‫רציפה על ]‪.[a,b‬קל לראות גם‪ ,‬כי התנאים ‪ 1-8‬של הגדרת מרחב וקטורי‬ ‫‪,‬מתקיימים‪.‬לכן ]‪ C[a,b‬מרחב וקטורי מעל ‪.ℝ‬‬ ‫קבוצת פולינומים ממעלה ‪ 1‬עם פעולות‬ ‫‪ .2‬נסמן ב –‬ ‫חיבור וכפל בסקלר רגילות‪ V.‬היא תת קבוצה של‬ ‫וקטורי מעל ‪?ℝ‬‬ ‫אם ניקח שני וקטורים מ – ‪: V‬‬ ‫‪ .‬האם ‪ V‬מרחב‬ ‫‪,‬אז נקבל‬ ‫(הקבוצה ‪ V‬לא סגורה כלפי חיבור)‪ .‬לכן ‪ V‬לא מרחב וקטורי‪.‬‬ ‫קבוצת מספרים ממשיים חיוביים‪.‬נגדיר ב‪ V-‬פעולות‬ ‫‪ .3‬נסמן ב‪-‬‬ ‫חיבור וכפל בסקלר באופן הבא ‪:‬‬ ‫נגדיר‬ ‫א‪.‬לכל‬ ‫ב‪.‬לכל‬ ‫‪.‬‬ ‫נגדיר‬ ‫הוכח‪ ,‬כי ‪ V‬עם פעולות חיבור וקטורים וכפל בסקלר כאלה‪,‬מרחב וקטורי מעל‬ ‫‪(ℝ‬בדיוק תנאי ההגדרה)‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ 2‬מעלה שאלה חושבה ‪ :‬מתי תת‪-‬קבוצה של מרחב וקטורי תהיה גם מרחב וקטורי?‬ ‫הגדרה‪ .‬אם ‪ U‬תת‪-‬קבוצה לא ריקה של מרחב וקטורי ‪V‬‬ ‫ו‪ U -‬מרחב וקטורי‬ ‫מעל ‪ ℝ‬ביחס לאותם פעולות חיבור וקטורים וכפל וקטור בסקלר הקיימים ב – ‪, V‬אז ‪ U‬נקרא‬ ‫תת‪-‬מרחב של ‪.V‬‬ ‫משפט (בוחן תת‪-‬מרחב)‪.‬‬ ‫תת‪-‬קבוצה לא ריקה ‪ U‬של מרחב וקטורי ‪ V‬תהיה תת‪-‬מרחב אם ורק אם יתקיימו שני‬ ‫התנאים ‪:‬‬ ‫‪.1‬לכל‬ ‫גם‬ ‫‪.2‬לכל‬ ‫(סגירות כלפי חיבור)‬ ‫גם‬ ‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪.1‬מרחב וקטורי‬ ‫הוא תת‪-‬מרחב של‬ ‫‪.2‬לכל מרחב וקטורי ‪ V‬תת‪-‬קבוצות‬ ‫‪.‬‬ ‫ו ‪ V -‬הן תתי‪-‬מרחבים של ‪.V‬תתי‪-‬מרחבים אלו‬ ‫נקראים טריוויאלים‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫תת מרחב של‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬נבדוק זאת לפי משפט בוחן תת מרחב‪.‬‬ ‫אם‬ ‫‪,‬אז‬ ‫ו‪-‬‬ ‫ולכן‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪,‬כי‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(סגירות כלפי חיבור)‪.‬‬ ‫‪,‬כי‬ ‫אם להסתכל על‬ ‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬ ‫כעל מרחב וקטורים גיאומטרים של מישור עם מערכת צירים ‪,‬אז ‪– U‬‬ ‫‪,‬העובר בראשית הצירים‪.‬אולם ‪,‬במרחב וקטורי‬ ‫תת קבוצה של נקודות בישר‬ ‫כל תת מרחב לא טריוויאלי הוא קבוצת נקודות של ישר‪,‬העובר דרך ראשית ‪,‬ובמרחב וקטורי‬ ‫משמעות גיאומטרי של תתי‪-‬מרחבים הלא טריוויאלים –ישרים‪,‬העוברים בראשית וגם‬ ‫מישורים העוברים בראשית‪.‬הסבר מדויק נקבל בהמשך‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫תת קבוצה של מטריצות סימטריות במרחב וקטורי‬ ‫מטריצות ריבועיות מסדר ‪ n‬היא תת מרחב ‪,‬כי אם‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪,‬אז‬ ‫(סגירות כלפי חיבור)‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(סגירות כלפי כפל בסקלר)‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫כי למשל ל –‬ ‫לא תת מרחב של‬ ‫נקבל‬ ‫‪.‬‬ ‫משפט‪ .‬קבוצת פיתרונות של ממ"ל הומוגנית‬ ‫תת מרחב של‬ ‫‪,‬כאשר ‪ A‬מטריצה מסדר ‪, mxn‬היא‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה‪.‬נוכיח לפי משפט בוחן תת מרחב‪ .‬אם‬ ‫‪ ,‬אז מתקיים‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫של‬ ‫‪ ,‬לכן‬ ‫ולכן ‪-‬‬ ‫ולכן ‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫לפי המשפט מקבלים ‪,‬כי ‪ U‬תת מרחב של‬ ‫‪.‬‬ ‫בסיס ומימד‬ ‫צירוף ליניארי‪.‬פרישה‪.‬קבוצה יוצרת‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרה‪ .‬וקטור ‪ u‬נקרא צירוף ליניארי של וקטורים ‪ u1 ,, u n  V‬אם קיימים מספרים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ,,  n  R‬כך ש‪. u  1u1     n u n :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמה‪.‬בדוק‪ ,‬האם וקטורים )‪ v  (1,0,1‬ו ‪ u  (2,3,4) -‬הם צירופים ליניארית של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. u 2  (0,1,2), u1  (1,1,3)  R 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון‪ .‬נבדוק האם קיימים ‪ .  ,   R‬כך ש ‪u  (2,3,4)   (1,1,3)   (0,1,2) :‬‬ ‫מקבלים מערכת משוואות כלפי נעלמים ‪ , ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪     3‬‬ ‫‪3  2  4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ופתרון של מערכת משוואת קיימת ‪ .   1,   2 :‬לכן ‪ u ,‬צירוף ליניארי של ‪. u1 ,u 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר ננסה למצוא מספרים ‪  , ‬כך ש ‪ v  u1  u 2 :‬נגיע למערכת ‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪    0‬‬ ‫‪3  2   1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫שאין לה פתרונות ולכן ‪ V‬לא צירוף ליניארי של ‪. u1 ,u 2‬‬ ‫בדוגמה הזאת ראינו‪,‬כי במרחב וקטורי ‪ V‬לא בהכרח כל הוקטורים הם צירופים ליניאריים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫של וקטורים נתונים ‪ . u1 ,, u n  V‬קבוצת וקטורים שהם כן צירופים ליניאריים של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u1 ,, u n  V‬מסמנים ‪Sp{u1 ,u n } :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫משפט‪.‬אם } ‪ S  {u1 ,u n‬קבוצה סופית לא ריקה של וקטורים מ – ‪, V‬אז‬ ‫} ‪un‬‬ ‫‪ Sp(S )  Sp{u1 ,‬תת מרחב של מרחב וקטורי ‪. V‬‬ ‫הוכחה‪.‬לפי המשפט "בוחן תת מרחב" מספיק לבדוק כי )‪ Sp(S‬סגורה כלפי חיבור וכפל‬ ‫‪ ‬‬ ‫בסקלר‪.‬נניח‪,‬כי ) ‪ u , v  Sp(S‬ו – ‪ ,   R‬אז קיימים ‪ 1 ,,  n  R‬ו ‪1 ,,  n  R -‬‬ ‫כך ש ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u  1u1     n u n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v  1u1     n u n‬‬ ‫לכן‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪u  v  (1  1 )u1    ( n   n )u n  Sp{u1 ,u n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪u  (1 )u1    ( n )u n  Sp{u1 ,u n‬‬ ‫‪ U  Sp{u1 ,‬מרחב(תת מרחב) וקטורי‪,‬אז אומרים כי ‪ U‬נפרש ע"י קבוצה‬ ‫הגדרה‪.‬אם } ‪un‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪ S  {u1 ,u n‬או קבוצה ‪ S‬פורשת(יוצרת) את ‪.U‬במקרה כזה אומרים גם‪ ,‬כי ‪ U‬נוצר סופית‬ ‫(סיבה ‪ S :‬קבוצה סופית של וקטורים)‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪.1‬האם מרחבים וקטורים ‪ M mn , Pn [x] , R n‬נוצרו סופית? אם כן‪,‬תן דוגמה לקבוצה‬ ‫יוצרת(פורשת)‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫נסתכל על קבוצת וקטורים‬ ‫‪‬‬ ‫)‪e1  (1,0,  ,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪e2  (0,1,  ,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪en  (0,0,  ,1‬‬ ‫מ ‪. R n -‬קל לראות כי‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  ( x1 , x2 ,, xn )  x1e1  x2 e2    xn en‬‬ ‫לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪R n  Sp{e1 ,en‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R n‬נוצר סופית ו – } ‪ {e1 ,en‬קבוצה פורשת‪.‬‬ ‫למרחב פולינומים ]‪ Pn [x‬גם קל לראות ‪,‬כי ‪Pn [ x]  Sp{x n , x n1 ,,1) :‬‬ ‫ז"א ]‪ Pn [x‬נוצר סופית ו – )‪,1‬‬ ‫‪ ( x n , x n1 ,‬קבוצה פורשת‪.‬‬ ‫כדי לבדוק מרחב וקטורי ‪ M mn‬מטריצות מסדר ‪, m  n‬ניקח למשל ‪. M 22‬‬ ‫‪ 1 0   0 1   0 0   0 0‬‬ ‫‪, u 2  ‬‬ ‫‪, u3  ‬‬ ‫‪, u 4  ‬‬ ‫קל לראות ‪,‬כי מטריצות ‪‬‬ ‫‪u1  ‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫הם קבוצה פורשת את מרחב ‪. M 22‬באמת לכל ‪  M 22‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  u1  u 2  u 3  u 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬נקבל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫לכן } ‪M 22  Sp{u1 , u 2 , u3 , u 4‬‬ ‫באותה הדרך למרחב וקטורי ‪ M mn‬אפשר למצוא קבוצה סופית של מטריצות‪,‬פורשות את‬ ‫המרחב‪.‬לכן גם ‪ M mn‬מרחב נוצר סופית‪.‬‬ ‫‪ .2‬נסמן ב‪ P[x] -‬מרחב וקטורי של כל הפולינומים ממעלה טבעית כלשהי או אפס‪.‬‬ ‫האם ]‪ P[x‬מרחב נוצר סופית?‬ ‫פיתרון‪ .‬נניח ‪,‬כי ]‪ P[x‬מרחב נוצר סופית‪.‬לפי הגדרה ‪,‬ז"א כי קיימים פולינומים‬ ‫)‪ p1 ( x),, pn ( x‬כך ש – })‪P[ x]  Sp{ p1 ( x),, pn ( x‬‬ ‫נסמן ב – ‪ m‬מעלה מקסימאלית של פולינומים האלה‪.‬אז מעלה של פולינום‬ ‫)‪p( x)  1 p1 ( x)     n pn ( x‬‬ ‫לא יכולה להיות גדולה מ – ‪.m‬לכן לא קיימים מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬כך ש‪-‬למשל‬ ‫)‪  n pn ( x‬‬ ‫‪xm1  1 p1 ( x) ‬‬ ‫אבל ]‪ , x m1  P[ x‬לכן ההנחה כי })‪ P[ x]  Sp{ p1 ( x),, pn ( x‬לא נכונה ו ‪ P[x] -‬לא נוצר‬ ‫סופית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שים לב‪ .‬למרחב וקטורי נוצר סופית } ‪ V  Sp{u1 ,u n‬הקבוצה הפורשת } ‪ {u1 ,u n‬מכילה‬ ‫‪‬‬ ‫מספר סופי וקטורים‪,‬ומרחב הנפרש ‪ V‬מכיל (חוץ ממקרא טריביאלי }‪ ) V  {0‬אינסוף‬ ‫וקטורים‪.‬למשל })‪ . R 2  Sp{(1,0), (0,1‬בקבוצה הפורשת יש ‪ 2‬וקטורים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ u1  (1,0), u 2  (0,1‬בלבד‪ ,‬ובקבוצה הנפרשת נמצאים כל וקטורי המישור‪.‬‬ ‫לסיום של הפרק‪,‬נגדיר שני מרחבים וקטורים הקשורים למטריצה נתונה ‪ A‬מסדר ‪. m n‬אם‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ a11  a1n   R1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪A             A1  An ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ m1  a mn   Rm ‬‬ ‫כאשר כרגיל ‪ R1 ,, Rm‬מסמן שורות ו ‪ A1 ,, An -‬מסמן עמודות של ‪ , A‬אז שורות הן‬ ‫וקטורים מ‪ R n -‬ועמודות הן וקטורים מ‪. R m -‬מרחב וקטורי } ‪( Sp{R1 ,, Rm‬תת מרחב של‬ ‫‪ ) R n‬נקרא מרחב שורות של מטריצה ‪ A‬ומרחב וקטורי } ‪( Sp{ A1 ,, An‬תת מרחב של ‪) R m‬‬ ‫נקרא מרחב עמודות של ‪.A‬שני המרחבים האלה‪,‬לפי הגדרה‪,‬נוצרים סופית‪.‬משמעות ותכונות‬ ‫של מרחב שורות ומרחב עמודות של מטריצה יתבררו בהמשך‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫תלות ואי תלות ליניארי‪.‬בסיס של מרחב וקטורי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נניח‪,‬כי ‪ V‬מרחב וקטורי הנוצר ע"י קבוצה פורשת של ‪ n‬וקטורים } ‪: {u1 ,u n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪V  Sp{u1 ,u n‬‬ ‫קבוצה הזאת היא כמובן לא קבוצה יחידה שפורשת את ‪.V‬השאלות שנתרכז בהן בפרק זה הן ‪:‬‬ ‫מהו מספר המינימאלי של וקטורים בקבוצה פורשת את ‪,V‬מה התנאי ‪,‬שקבוצה פורשת את ‪V‬‬ ‫עם מספר מינימאלי של וקטורים צריכה לקיים ואיך לבנות קבוצה כזאת‪.‬‬ ‫נתחיל בדוגמה‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ניקח שני וקטורים ‪ , u 2 , u1  V‬כאשר ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬וקטור השלישי ניקח בכוונה צירוף‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ליניארי של ‪ u 2 ,u1‬למשל ‪. u3  u 2  u1‬נסמן ב‪ U-‬מרחב וקטורי הנפרש ע"י הקבוצה‬ ‫‪  ‬‬ ‫} ‪{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫} ‪U  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ונבדוק כי בעצם ‪ U‬נפרש ע"י ‪ u 2 ,u1‬בלבד ‪ ,‬כלומר‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫} ‪Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫כל צירוף ליניארי של וקטורים } ‪ {u1 , u 2‬הוא גם צירוף ליניארי של } ‪ , {u1 , u 2 , u3‬כי‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. u1  u 2  u1  u 2  0  u3‬לכן‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫} ‪Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫כדי להראות את ההפך ניקח } ‪ u  Sp{u1 , u 2 , u3‬נקבל כי קיימים ‪  ,  ,   R‬כך ש ‪:‬‬ ‫‪u   u1   u2   u3   u1   u2    (u1  u2 )  (   )u1  (   )u2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫לכן } ‪. u  Sp{u1 , u 2‬ז"א } ‪. Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫וסופית } ‪. Sp{u1 , u 2 }  Sp{u1 , u 2 , u3‬‬ ‫אפשרות לקצר קבוצה יוצרת של ‪ U‬מ‪ 3-‬וקטורים ל‪ 2-‬וקטורים קיבלנו בגלל שווקטור‬ ‫השלישי הוא צירוף ליניארי של שניים הראשונים‪.‬אותו הדבר היינו מקבלים גם במקרה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שווקטור ‪ u 2‬הוא צירוף ליניארי של ‪ u 3 ,u1‬ובמקרה ש ‪ u1 -‬צירוף ליניארי של ‪. u 3 ,u 2‬בכל‬ ‫מקרה ‪,‬וקטור מקבוצה יוצרת שהוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה‪,‬אפשר להוריד‬ ‫מהקבוצה היוצרת מבלי לשנות את המרחב הנפרש‪.‬‬ ‫איך ניתן לכתוב בצורה מתמטית תנאי שווקטור אחד מהקבוצה הוא צירוף ליניארי של‬ ‫אחרים ?‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרה‪.‬קבוצה לא ריקה של וקטורים } ‪ {u1 ,u n‬נקראת תלויה ליניארית(ת"ל) אם קיימים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬לא כולם שווים לאפס כך ש ‪. 1u1     n u n  0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫טענה‪ .‬וקטור אחד מהקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬הוא צירוף ליניארי של אחרים אם ורק אם הקבוצה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪ {u1 ,u n‬ת"ל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכחה‪ .‬נניח‪ ,‬כי אחד מהוקטורים של הקבוצה } ‪ , {u1 ,u n‬למשל ‪ - u1‬צירוף ליניארי של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אחרים‪.‬ז"א כי קיימים מספרים ‪  2 , ,  n  R‬כך ש ‪ u1   2 u 2     n u n :‬אבל מכאן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נובע‪ ,‬כי ‪ (1)  u1     n u n  0‬ולא כל המקדמים שווים ל‪( 0-‬למשל‪ ,‬מקדם של ‪ u1‬שווה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ל‪ .)-1 -‬לכן קבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת''ל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם‪ ,‬להפך‪ ,‬הקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת''ל‪ ,‬אז ‪,‬לפי הגדרה‪ ,‬קיימים מספרים ‪ 1 ,,  n  R‬לא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כולם שווים ל‪ , 0-‬כך ש‪. 1u1     n u n  0 -‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם למשל ‪, 1  0‬אז נקבל ‪u‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪u1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫או ‪ u1   2 u 2     n u n‬כאשר ‪. i  2,, n,  i   i‬ז"א ‪ u1 ,‬צירוף ליניארי של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. u 2 ,, u n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אנחנו רואים כי אם מרחב וקטורי נוצר סופית ו ‪V  Sp{u1 ,u n } -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אז אפשר לקצר מספר וקטורים בקבוצה יוצרת } ‪ {u1 ,u n‬מבלי לשנות את המרחב שנפרש‬ ‫אם הקבוצה ת"ל ואי אפשר אם היא לא ת"ל(בלתי תלויה ליניארית)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרה‪.‬קבוצה לא ריקה של וקטורים } ‪ {u1 ,u n‬נקראת בלתי תלויה ליניארית(בת"ל)‪,‬אם‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מ‪ 1u1     n u n  0 -‬נובע‪ ,‬כי ‪. 1   2     n  0‬‬ ‫‪ 1 0    1 1  0 2 ‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫דוגמה‪.‬הוכח כי קבוצה }‪‬‬ ‫‪ 3 2   0 1   1 0 ‬‬ ‫‪ {‬בת"ל‪.‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪  1 1  0 2    0 0 ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪  0  ‬‬ ‫הוכחה‪.‬נניח ‪ ,‬כי ‪‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪ 0 1   1 0 ‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  2   0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫אז ‪‬‬ ‫‪2     0 0 ‬‬ ‫או‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3  ‬‬ ‫‪  0‬‬ ‫‪  2  0‬‬ ‫‪3    0‬‬ ‫‪2    0‬‬ ‫לממ"ל הזאת יש פתרון יחיד ‪ ,       0‬לכן ‪ ,‬לפי הגדרה ‪ ,‬הקבוצה‬ ‫‪ 1 0    1 1  0 2 ‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫}‪‬‬ ‫‪ {‬בת"ל‪.‬‬ ‫‪ 3 2   0 1   1 0 ‬‬ ‫אם ‪ V‬מרחב של וקטורים גיאומטריים ‪ R 2‬או ‪ , R 3‬אז לתלות ואי תלות של קבוצות וקטורים‬ ‫יש משמעות גיאומטרית‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ u  0, v  0 , u , v  V‬ו ‪ {u , v} -‬ת"ל‪,‬אז‪ ,‬לפי הטענה ‪,‬אחד מהוקטורים ‪ u , v‬צירוף‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ליניארי של הווקטור השני‪ .‬ז"א‪,‬קיים מספר ‪ ‬כך ש ‪. u  v‬במקרה של וקטורים‬ ‫‪ ‬‬ ‫גיאומטריים מקבלים כי ‪ u , v‬מקבלים‪ .‬לכן ‪,‬זוג של וקטורים גיאומטריים תלוי ליניארית אם‬ ‫הוקטורים מקבילים ובת"ל אם הם לא מקבילים‪.‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫במקרה של שלושה וקטורים ‪ u , v , w  V‬השונים מווקטור האפס‪,‬מאותה הטענה נובע‪,‬כי‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫קבוצה }‪ {u , v , w‬ת"ל אם ורק אם אחד מהווקטורים למשל ‪ , u‬צירוף ליניארי של ‪. v , w‬ז"א‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .  ,   R , u  v  w‬מהגדרה גיאומטרית של חיבור וקטורים וכפל בסקלר נובע‪,‬כי ‪u‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נמצא במישור של ‪ v‬ו ‪( w -‬וקטורים ‪ u , v , w‬קומפלנאריים )‪ .‬לכן‪,‬קבוצה של שלושה וקטורים‬ ‫גיאומטריים ת"ל אם ורק אם הוקטורים קומפלנאריים ‪.‬‬ ‫דוגמה‪ .‬בדוק האם קבוצות })‪ S1  {(1,1,0), (0,2,1‬ו ‪S 2  {(1,1,0), (0,2,1), (1,3,2)} -‬‬ ‫תלויות ליניאריות‪.‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫בקבוצה ‪ S1‬וקטורים )‪ u  (1,1,0‬ו‪ v  (0,2,1) -‬לא מקבילים ‪,‬כי ‪‬‬ ‫‪1 1 0‬‬ ‫בת"ל‪.‬‬ ‫ולכן ‪S1‬‬ ‫כדי לבדוק את ‪ S 2‬נחשב דטרמיננטה‬ ‫‪1 1 0‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 2 1  1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1  (4  3)  1  (0  1)  0‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1 3 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ז"א הווקטורים )‪ u  (1,1,0), v  (0,2,1), w  (1,3,2‬קומפלנאריים ולכן קבוצה ‪ S 2‬ת"ל‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרה‪(.‬בסיס של מרחב וקטורי)‪.‬קבוצת וקטורים } ‪ B  {u1 ,u n‬של מרחב וקטורי ‪V‬‬ ‫נקראת בסיס של המרחב אם ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬קבוצה ‪ B‬פורשת את ‪. V  Sp{u1 ,u n } : V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬קבוצה } ‪ B  {u1 ,u n‬בת"ל‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תנאי "א" בהגדרה אומר ‪,‬כי כל וקטור מ – ‪ V‬הוא צירוף ליניארי של וקטורים ‪. u1 ,u n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תנאי "ב" אומר כי בקבוצה יוצרת } ‪ {u1 ,u n‬אין וקטורים מיותרים (אם נוציא וקטור‬ ‫מהקבוצה אז שאר הווקטורים לא יפרשו את ‪.) V‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪.1‬מרחב וקטורי ‪. R n‬‬ ‫כבר ראינו קודם ‪,‬כי אם נסמן‬ ‫‪‬‬ ‫)‪e1  (1,0,  ,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪e2  (0,1,  ,0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪en  (0,0,  ,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אז } ‪. R n  Sp{e1 ,, en‬קל לראות גם ‪,‬כי קבוצה } ‪ {e1 ,, en‬בת"ל‪.‬לכן קבוצה זאת – בסיס‬ ‫של מרחב ‪. R n‬הבסיס הזה נקרא בסיס סטנדרטי של ‪ R n‬ויש בו ‪ n‬וקטורים‪.‬‬ ‫‪.2‬מרחב ]‪ - Pn [x‬פולינומים ממעלה ‪ n‬ומטה‪.‬‬ ‫ראינו ‪,‬כי )‪. Pn [ x]  Sp{x n , x n1 ,,1‬נוכיח ‪,‬כי הקבוצה )‪ {x n , x n1 ,,1‬בת"ל‪.‬‬ ‫אם ‪ 0  1  0‬‬ ‫‪  n xn   n1 xn1 ‬אז ‪ p( x)   n x n  ...  0  0‬עבור כל מספר ‪.x‬אבל‬ ‫לפולינום )‪ p(x‬יכול להיות יותר מ – ‪ n‬שורשים רק אם כל המקדמים שוום ל – ‪ .0‬לכן‬ ‫‪  n   n1     0  0‬וקבוצה )‪ {x n , x n1 ,,1‬בת"ל‪.‬ז"א )‪ {x n , x n1 ,,1‬בסיס של‬ ‫]‪ . Pn [x‬הוא גם נקרא בסיס סטנדרטי של ]‪ Pn [x‬ויש בו ‪ n+1‬וקטורים‪.‬‬ ‫‪.3‬מרחב ‪ M mn‬מטריצות מסדר ‪. m n‬במרחב הזה קבוצת וקטורים(מטריצות)‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 , i  1,, m. j  1,, n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪eij   0 0 0 1 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫כאשר רק בחיתוך של שורה ‪ i‬עם עמודה ‪ j‬עומד מספר ‪ 1‬וכל שאר האיברים של המטריצה‬ ‫אפסים‪,‬היא גם קבוצה יוצרת וגם בת"ל ולכן בסיס של ‪. M mn‬הבסיס נקרא בסיס סטנדרטי‬ ‫של ‪ M mn‬ומכיל ‪ m  n‬וקטורים‪.‬‬ ‫שתי שאלות הבאות שאנחנו נתרכז הן‪ :‬לאיזה מרחבים וקטורים קיים בסיס (סופי) והאם‬ ‫בשני בסיסים שונים של אותו מרחב וקטורי יתכן מספר שונה של וקטורים‪.‬‬ ‫תשובות לשאלות אלה נקבל מהמשפטים הבאים‪.‬‬ ‫משפט‪.‬יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪,‬אז ל – ‪ V‬יש בסיס‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הוכחה‪ .‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר סופית‪ ,‬אז קיימת קבוצה סופית של וקטורים } ‪{u1 ,u n‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪V  Sp{u1 ,u n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם הקבוצה בת"ל אז זה הבסיס‪.‬אם הקבוצה } ‪ {u1 ,u n‬ת"ל אז ‪,‬לפי הטענה‪ ,‬אחד‬ ‫‪‬‬ ‫מהוקטורים של הקבוצה הוא צירוף ליניארי של אחרים‪ .‬נניח למשל כי ‪ u n‬צירוף ליניארי של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪1‬מ ‪ , {u1 ,u‬אז ‪,‬כמו שהוכחנו קודם ‪,‬נקבל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪1‬מ ‪V  Sp{u1 ,u n }  Sp{u1 ,u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ועכשיו ‪,‬אם }‪1‬מ‪ {u1 ,u‬בת"ל ‪,‬אז זה בסיס ואם לא‪ ,‬נחזור ונוציא עוד וקטור אחד‬ ‫מהקבוצה‪.‬נמשיך בתהליך עד שנגיע לקבוצה שהיא יוצרת את ‪ V‬וגם בת"ל‪.‬היא הבסיס של ‪.V‬‬ ‫משפט‪.‬‬ ‫יהיה ‪ V‬מרחב וקטורי ו – ‪ B‬בסיס של ‪ V‬המכיל ‪ m‬וקטורים‪ .‬אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬כל קבוצת וקטורים ב – ‪ V‬בה יש יותר מ – ‪ m‬וקטורים תלויה ליניארית‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל קבוצת וקטורים ב – ‪ V‬בה יש פחות מ – ‪ m‬וקטורים איננה פורשת את ‪.V‬‬ ‫ג‪ .‬כל קבוצה בת"ל בעלת ‪ m‬וקטורים פורשת את ‪( V‬בסיס)‪.‬‬ ‫ד‪ .‬כל קבוצה בעלת ‪ m‬וקטורים שפורשת את ‪ V‬היא בת"ל(בסיס)‪.‬‬ ‫ה‪ .‬בכל בסיס של ‪ V‬יש בדיוק ‪ m‬וקטורים‪.‬‬ ‫נוכיח למשל את סעיף "א" ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם } ‪ B  {u1 ,u m‬בסיס נתון של ‪ V‬ו ‪ S  {v1 ,vn } -‬קבוצת וקטורים ב – ‪, n>m , V‬אז כל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫וקטור מ ‪ S -‬הוא צירוף ליניארי של וקטורים מ – ‪) V  Sp{u1 ,u m } ( B‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ז"א קיימים ‪ aij  R‬כך ש ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v1  a11u1    a1m u m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v 2  a 21u1    a 2 m u m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪v n  a n1u1    a nmu m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נחפש מספרים ‪ x1 , xn‬כדי לקיים ‪ . x1v1    xn vn  0‬נקבל ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1v1   xn vn  x1 (a11u1    a1m u m )    xn (an1u1    anmu m ) ‬‬ ‫‪ anm xn )um  0‬‬ ‫‪ an1 xn )u1 ‬‬ ‫‪ (a1m x1 ‬‬ ‫‪ (a11 x1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קבוצה } ‪ {u1 ,u m‬בת"ל (בסיס)‪ ,‬לכן צריך להתקיים ‪:‬‬ ‫‪ an1 xn  0‬‬ ‫‪a11 x1 ‬‬ ‫‪ anm xn  0‬‬ ‫‪a1m x1 ‬‬ ‫מערכת המשוואות הזאת היא ממ"ל הומוגנית של ‪ n‬נעלמים ‪ x1 , xn‬ו – ‪ m‬משוואות‪.‬נתון כי‬ ‫‪, n>m‬לכן ‪,‬לפי משפט ‪,‬למערכת יש פתרון לא טריביאלי‪.‬ז"א ‪,‬קיימים מספרים לא כולם שווים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ל – ‪ x1 , xn , 0‬שהם פתרון של המערכת ולכן מתקיים ‪. x1v1    xn vn  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫קיבלנו כי } ‪ {v1 ,vn‬ת"ל‪.‬‬ ‫המשפט אומר כי לכל בסיס של מרחב וקטורי ‪ V‬יש אותו מספר וקטורים ‪.‬‬ ‫הגדרה‪ .‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪.‬מספר וקטורים בבסיס של ‪ V‬נקרא מימד של מרחב ‪ .V‬נסמן‬ ‫המימד‪.dimV -‬‬ ‫דוגמאות ‪:‬‬ ‫‪ .1‬מהדוגמאות הקודמות נובע ‪,‬כי‬ ‫‪dim R n  n‬‬ ‫‪dim Pn [ x]  n  1‬‬ ‫‪dim M mn  m  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.2‬נתונים שלשוה וקטורים )‪ u1  (1,1), u 2  (1,1), u3  (4,7‬של ‪: R 2‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫א‪ .‬האם הקבוצה } ‪ {u1 , u 2 , u3‬ת"ל?‬ ‫‪ ‬‬ ‫ב‪.‬האם הקבוצה } ‪ {u1 , u 2‬בסיס של מרחב ‪? R 2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫פתרון‪.‬‬ ‫א‪ .‬מימד של ‪ R 2‬שווה ל‪, 2-‬לכן ‪,‬לפי משפט ‪,‬כל קבוצת וקטורים ב ‪ R 2 -‬שיש בה יותר‬ ‫‪  ‬‬ ‫מ‪ 2 -‬וקטורים היא ת"ל ‪.‬מכאן } ‪ {u1 , u 2 , u3‬ת"ל‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬וקטורים ‪ u1‬ו ‪ u 2 -‬לא מקבלים ‪ ,‬כי ‪‬‬ ‫‪.‬לכן הקבוצה } ‪ {u1 , u 2‬בת"ל‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪, dim R 2  2‬ז"א ‪,‬לפי משפט ‪,‬כל קבוצה שיש בה ‪ 2‬וקטורים ובת"ל היא בסיס‪.‬לכן‬ ‫‪ ‬‬ ‫} ‪ {u1 , u 2‬בסיס של ‪. R 2‬‬ ‫מסקנות נוספות מהמשפט‪.‬‬ ‫‪.1‬אם ‪ U‬תת מרחב של מרחב וקטור ‪, V‬אז‪:‬‬ ‫א‪dim U  dim V .‬‬ ‫ב‪ dim U  dim V .‬אם ורק אם ‪.U=V‬‬ ‫‪.2‬אם ‪ , dim V  n‬אז מספר איברים בכל קבוצה בת"ל קטן או שווה ל – ‪ ,n‬ומספר‬ ‫האיברים בכל קבוצה הפורשת את ‪ V‬גדול או שווה ל – ‪.n‬‬ ‫‪13‬‬ ‫דף עבודה ‪7‬‬ ‫‪.‬הוכח או הפרך את הטענות הבאות ‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫תת מרחב של‬ ‫תת מרחב של‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תת מרחב של‬ ‫תת מרחב של‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תת מרחב של‬ ‫ה‪.‬‬ ‫תת מרחב של‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪.2‬נסמן ב – ‪ V‬מרחב וקטורי‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מטריצות ריבועיות מסדר ‪.3‬הוכח או הפרך את הטענות‬ ‫הבאות ‪:‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫תת מרחב של ‪.V‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪.3‬הראה‪,‬כי קבוצת כל הפתרונות(פתרון כללי) של מערכת‬ ‫‪ , mxn‬תת מרחב של‬ ‫אם ורק אם‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ A‬מטריצה מסדר‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬הראה ‪,‬כי )‪ Im(A‬תת מרחב‬ ‫‪.4‬למטריצה ‪ A‬מסדר ‪ mxn‬נסמן‬ ‫של‬ ‫‪‬‬ ‫‪.5‬הסבר למה אם מרחב וקטורי }‪, V  {0‬אז ב – ‪ V‬יש אינסוף וקטורים שונים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.6‬נתון ‪ v1  (1,0,1), v2  (2,1,3), v3  (4,2,6) :‬ו‪. w  (3,1,2) -‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫א‪ .‬האם } ‪ ? w  {v1 , v2 , v3‬כמה וקטורים בקבוצה } ‪? {v1 , v2 , v3‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ב‪ .‬כמה וקטורים בקבוצה } ‪? Sp{v1 , v2 , v3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ג‪ .‬האם } ‪? w  Sp{v1 , v2 , v3‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ .7‬שרטט ב ‪ R 3 -‬תת מרחבים הנפרשים ע"י הקבוצות הבאות ‪:‬‬ ‫א‪{(1,3,2), (2,6,4), (3,9,6)} .‬‬ ‫ב‪{(4,0,0), (0,5,0), (1,1,0)} .‬‬ ‫ג‪{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} .‬‬ ‫‪.8‬נתון כי‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪        ‬‬ ‫‪v1    3 , v 2   9 , v3  11‬‬ ‫‪ 7 ‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫ו ‪ . H  Sp{v1 , v2 , v3 } -‬ניתן לבדוק כי ‪ . 4v1  5v2  3v3  0‬מצא את הבסיס של ‪(.H‬יש‬ ‫יותר מתשובה אחת)‪.‬‬ ‫‪.9‬הוכח או הפרך את הטענות ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬אם } ‪ {v1 ,vn‬ו ‪ {v1 ,vn , w} -‬שתי תת קבוצות של מרחב וקטורי ‪, V‬אז‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ Sp{v1 ,vn }  Sp{v1 ,vn , w‬אם ורק אם וקטור ‪ w‬הוא צירוף ליניארי של‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪. {v1 ,vn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.‬קבוצה }‪ {v‬בת"ל עבור כל וקטור ‪. v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬אם } ‪, H  Sp{u1 ,u m‬אז } ‪ {u1 ,u m‬בסיס של ‪.H‬‬ ‫ד‪.‬אם ‪ A‬מטריצה מסדר ‪ m n‬ו – ‪ H‬מרחב שורות של ‪, A‬אז ‪dim H  n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.11‬נתון כי )‪ v1  (1,2,3), v2  (2,7,9‬האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? R 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? R 2‬‬ ‫‪ S ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪.11‬נסמן ‪ H   S  | S  R , v1   0 , v 2   1 ‬כל וקטור מ – ‪ H‬הוא צירוף‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ליניארי של } ‪ , {v1 , v2‬כי ‪  S   S  0   S  1  :‬האם } ‪ {v1 , v2‬בסיס של ‪? H‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.12‬נסמן ‪ M‬מרחב וקטורי של כל מטריצות ריבועיות מסדר ‪.n‬מצא בסיס ומימד של‬ ‫תתי מרחבים הבאים ‪:‬‬ ‫א‪.‬תת מרחב של מטריצות סקלריות‪.‬‬ ‫ב‪.‬תת מרחב של מטריצות אלכסוניות‪.‬‬ ‫ג‪.‬תת מרחב של מטריצות סימטריות‪.‬‬ ‫ד‪.‬תת מרחב של מטריצות אנטי‪-‬סימטריות‪.‬‬ ‫‪.13‬קבוצת וקטורים הנמצאים במישור ‪ x  2 y  z  0‬היא תת מרחב ‪ H‬של‬ ‫‪. R 3‬מצא את הבסיס של ‪.H‬‬ ‫‪16‬‬