1. No category

‫‪120/901/2/‬‬
‫מחברת קורס אלגברה ליניארית – תשע"ג – סמסטר קיץ‬
‫מערכת משוואות‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה ‪-‬‬
‫מטריצה היא אוסף של מספרים המסודרים ב𝑛 שורות ‪ ,‬וב𝑚 עמודות‬
‫מסמנים מטריצה באותיות לועזיות גדולות ‪A,B,C‬‬
‫איברי המטריצה מסמנים באותיות קטנות 𝑗𝑖𝑎‬
‫כאשר‬
‫𝑖 = מספר השורות ‪ = 𝑗 ,‬מספר העמודות‬
‫הגדרה‪ :‬שיוויון מטריצות ‪-‬‬
‫מטריצות שוות רק אם הם בדיוק זהות‪.‬‬
‫כלומר מספר השורות במטריצות זהה‪ ,‬מספר העמודות במטריצות זהה‪ ,‬כל איברי‬
‫המטריצות שוות‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬חיבור מטריצות ‪-‬‬
‫ניתן לחבר מטריצות רק כאשר המטריצות הם מאותו הסדר 𝑛𝑥𝑚‬
‫𝑛𝑥𝑚)𝐵 ‪𝐴𝑚𝑥𝑛 + 𝐵𝑚𝑥𝑛 = (𝐴 +‬‬
‫⇓‬
‫𝑗𝑖𝑏 ‪(𝐴 + 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬כפל מטריצה בסקלר ‪-‬‬
‫המטריצה 𝑛𝑥𝑚𝐴𝛼 היא מטריצה שהאיבר הכללי שלה 𝑗𝑖𝑎𝛼 = 𝑗𝑖)𝐴𝛼(‬
‫הסקלר כופל את כל אחד מאיברי המטריצה‬
‫תכונות של כפל מטריצות בסקלר‬
‫‪(𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼(𝐵𝐴) .2‬‬
‫‪(𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 .1‬‬
‫‪𝛼(𝐴 + 𝐵) = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 ./‬‬
‫‪1A = A .4‬‬
‫הגדרה‪ :‬כפל מטריצות ‪-‬‬
‫כפל מטריצות מוגדר רק כאשר‬
‫מספר העמודות במטריצה השמאלית‪ ,‬שווה למספר השורות במטריצה הימנית‪.‬‬
‫𝑙𝑥𝑚𝐶 = 𝑙𝑥𝒌𝐵 ∙ 𝒏𝑥𝑚𝐴‬
‫המטריצה המתקבלת ‪ C‬היא מהסדר 𝑙𝑥𝑚‬
‫‪‬‬
‫הערה חשובה‪ :‬הכפל מוגדר רק כאשר 𝒌 = 𝒏‬
‫דוגמא לאופן ביצוע כפל מטריצות‪:‬‬
‫‪𝐴2𝑥3 ∙ 𝐵3𝑥3‬‬
‫‪420‬‬
‫)‬
‫‪960‬‬
‫‪360‬‬
‫‪810‬‬
‫‪1 ∗ 30 + 2 ∗ 60 + 3 ∗ 90‬‬
‫‪300‬‬
‫(=)‬
‫‪4 ∗ 30 + 5 ∗ 60 + 6 ∗ 90‬‬
‫‪660‬‬
‫‪1 ∗ 20 + 2 ∗ 50 + 3 ∗ 80‬‬
‫‪4 ∗ 20 + 5 ∗ 50 + 6 ∗ 80‬‬
‫‪30‬‬
‫‪1 ∗ 10 + 2 ∗ 40 + 3 ∗ 70‬‬
‫( = )‪60‬‬
‫‪4 ∗ 10 + 5 ∗ 40 + 6 ∗ 70‬‬
‫‪90‬‬
‫‪10 20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪) ∙ (40 50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪70 80‬‬
‫תכונות כפל מטריצות‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪‬‬
‫)𝐵𝛼(𝐴 = 𝐵)𝐴𝛼( = )𝐵𝐴(𝛼‬
‫)𝐶𝐵(𝐴 = 𝐶)𝐵𝐴(‬
‫𝐶𝐴 ‪𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 +‬‬
‫𝐶𝐵 ‪(𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 +‬‬
‫הערה‪ :‬אם במטריצה ‪ B‬קיימת עמודת‪0‬שורת אפסים‪ ,‬אז גם במכפלה ‪ AB‬תופיע‬
‫עמודת‪0‬שורת אפסים (בהתאמה) ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫(=‬
‫‪4‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬חזקה של מטריצה ‪-‬‬
‫חזקה של מטריצה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות בלבד 𝑛𝑥𝑛𝐴‬
‫𝐴𝐴 = ‪𝐴2‬‬
‫𝐴𝐴𝐴 = ‪𝐴3‬‬
‫𝐴 ⋯ 𝐴𝐴 = 𝑘𝐴‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה משוחלפת (‪- )Transpose‬‬
‫מטריצה משוחלפת היא מטריצה שבה השורות מתחלפות עם העמודות‪.‬‬
‫מטריצה משוחלפת מסומנת 𝑇𝐴‬
‫𝑖𝑗𝐴 = 𝑗𝑖) 𝑇𝐴(‬
‫דוגמא‬
‫‪2 3‬‬
‫)‬
‫‪5 6‬‬
‫‪1‬‬
‫( = ‪𝐴2𝑥3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 4‬‬
‫)‪(𝐴2𝑥3 )𝑇 = (2 5‬‬
‫‪3 6‬‬
‫תכונות מטריצות משוחלפות‬
‫‪(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 .2‬‬
‫‪(𝛼𝐴)𝑇 = 𝛼𝐴𝑇 .1‬‬
‫‪(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 ./‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה הפיכה ‪-‬‬
‫מטריצה ריבועית ‪ A‬נקראית מטריצה הפיכה כאשר קיימת מטריצה ‪ 𝐴−1‬הנקראית‬
‫המטריצה הופכית של ‪ , A‬ומתקיים 𝐼 = ‪𝐴𝐴−1‬‬
‫תכונות של מטריצות הפיכות‬
‫‪‬‬
‫אם ‪ A‬הפיכה‪ ,‬אז יש לה רק מטריצה הופכית יחידה בלבד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫𝐴 = ‪(𝐴−1 )−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪(𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1‬‬
‫‪‬‬
‫𝑇) ‪(𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1‬‬
‫‪‬‬
‫בפתיחת סוגריים הסדר משתנה‬
‫השחלוף לא מפריע‬
‫‪1‬‬
‫‪(𝛼𝐴)−1 = 𝐴−1‬‬
‫𝛼‬
‫מציאת מטריצה הפוכה‬
‫עבור מטריצה מסדר ‪ 2x2‬יש קיצור‪:‬‬
‫𝑏‬
‫)‬
‫𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫(=𝐴‬
‫מחשבים את הדטרמיננטה של המטריצה (‪ ,)ad-bc‬אם הדטרמיננטה שונה מאפס אז נחשב‪:‬‬
‫𝑏‪−‬‬
‫)‬
‫𝑎‬
‫𝑑 ‪1‬‬
‫(‬
‫𝑐‪|𝐴| −‬‬
‫= ‪𝐴−1‬‬
‫אם הדטרמיננטה שווה ‪ , 0‬אז המטריצה לא הפיכה‪.‬‬
‫עבור מטריצות מסדר 𝑛𝑥𝑛𝐴 ‪:‬‬
‫נכתוב את המטריצה ‪ A‬לצד מטריצת היחידה מאותו הסדר‬
‫) 𝑛𝑥𝑛𝐼| 𝑛𝑥𝑛𝐴(‬
‫מדרגים את המטריצה הגדולה לצורה קנונית‪.‬‬
‫אם בסוף הדירוג מקבלים את מטריצת היחידה בצד שמאל‪ ,‬אז המטריצה שהתקבלה בצד‬
‫ימין היא המטריצה ההפוכה‪.‬‬
‫אם בסוף הדירוג לא מקבלים את מטריצת היחידה‪ ,‬אז המטריצה אינה הפיכה‪.‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה הצמודה (‪– )Adjoint‬‬
‫המטריצה של המינורים‪.‬‬
‫המטריצה המתקבלת מ ‪ A‬ע"י מחיקת שורה ‪ i‬ועמודה ‪j‬‬
‫𝑗𝑖𝑀 ∙ 𝑗‪𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+‬‬
‫𝑇) 𝑗𝑖𝐴( = 𝐴𝑗𝑑𝑎‬
‫משפט חשוב‬
‫𝐼 ∙ |𝐴| = )𝐴(𝑗𝑑𝑎 ∙ 𝐴‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ |𝐴| ≠ 0‬אז ‪ A‬הפיכה‪ ,‬ומתקיים‬
‫)𝐴(𝑗𝑑𝑎‬
‫|𝐴|‬
‫= ‪𝐴−1‬‬
‫‪𝑎𝑑𝑗(𝐴) = |𝐴| ∙ 𝐴−1‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה אלכסונית‪-‬‬
‫מטריצה ריבועית שבה כל האיברים שאינם באלכסון הראשי שווים לאפס‬
‫‪0‬‬
‫)‪0‬‬
‫𝛾‬
‫‪0‬‬
‫𝛽‬
‫‪0‬‬
‫𝛼‬
‫‪(0‬‬
‫‪0‬‬
‫הגדרה‪ :‬עקבה של מטריצה‪-‬‬
‫עקבה של מטריצה היא סכום איברי האלכסון‪ ,‬נקראית ‪ trace‬ומסומנת )𝐴(𝑟𝑡‬
‫דוגמא‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫(=𝐴‬
‫‪3‬‬
‫‪𝑡𝑟(𝐴) = 1 + 4 = 5‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫דירוג מטריצות‬
‫פעולות אלמנטריות על שורות של מטריצה‪:‬‬
‫‪ .2‬החלפת שורות 𝑗𝑅 ⟷ 𝑖𝑅‬
‫‪ .1‬הכפלת שורה בקבוע שונה מאפס 𝑖𝑅𝛼 → 𝑖𝑅‬
‫‪ ./‬הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת 𝑗𝑅𝛼 ‪𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 +‬‬
‫הגדרה‪ :‬איבר מוביל‪-‬‬
‫האיבר הראשון השונה מאפס בשורה של מטריצה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה מדורגת‪-‬‬
‫מטריצה שבה בכל שורה האיבר המוביל נמצא מימין לאיבל המוביל בשורה שמעליו‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫)‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗ ∗‬
‫∗ ∗‬
‫∗ ‪0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫∗‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה מדורגת קנונית‪-‬‬
‫מטריצה מדורגת‪ ,‬שבה האיבר המוביל הוא ‪ , 2‬ומעליו ומתחתיו נמצאים רק אפסים‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫)‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪(0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫הערה‪ :‬לכל מטריצה צורה קנונית יחידה בלבד‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצות שקולות‪-‬‬
‫מטריצות נקראות שקולות אם ניתן להגיע ממטריצה ‪ A‬למטריצה ‪ B‬ע"י סדרה של פעולות‬
‫אלמנטריות (דירוג) וגם ההיפך‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬דרגה של מטריצה‪-‬‬
‫מספר השורות במטריצה מדורגת שאינם שורות אפסים‪.‬‬
‫מסומן )‪ rank(A‬או )𝐴(𝜌‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫תנאים לפתרונות של מערכת משוואות‬
‫‪‬‬
‫פתרון יחיד‬
‫‪ o‬כאשר מתקבלת מטריצה מדורגת שבה מספר השורות שלא התאפסו‬
‫(הדרגה של המטריצה) שווה למספר הנעלמים‬
‫או‬
‫‪ o‬כאשר הדטרמיננטה של המטריצה המצומצמת שונה מאפס ואז המטריצה‬
‫הפיכה‪ ,‬ולכן למערכת המשוואות קיים פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אינסוף פתרונות‬
‫‪ o‬כאשר מתקבלת מטריצה מדורגת שבה מספר השורות שלא התאפסו‬
‫(הדרגה של המטריצה) קטן ממספר הנעלמים‬
‫‪‬‬
‫אין פתרון‬
‫‪ o‬כאשר מתקבלת מטריצה מדורגת עם שורת סתירה‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מערכת משוואות הומגנית‪-‬‬
‫מערכת משוואות שבצד אחד של המשוואה יש אפסים‪.‬‬
‫‪𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 = 0‬‬
‫למערכת הומוגנית תמיד קיים פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫אם קיים רק פתרון יחיד אז הוא הפתרון הטריוויאלי‬
‫‪𝑎 = 0 ,𝛽 = 0 ,𝛾 = 0‬‬
‫‪‬‬
‫או שקיימים אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬דטרמיננטה‬
‫הדטרמיננטה היא פעולה (פונקציה כפלית) שניתן לבצע על מטריצה ריבועית‪ ,‬והיא נותנת‬
‫סקלר התלוי ברכיבי המטריצה‪.‬‬
‫הדטרמיננטה מסומנת )𝐴(‪ det‬או |𝐴| ‪.‬‬
‫תכונות של דטרמיננטה‬
‫‪‬‬
‫ניתן לפתח דטרמיננטה לפי כל שורה או עמודה כך שהסימנים הם 𝑗‪(−1)𝑖+‬‬
‫‪ o‬נעדיף לפתח לפי שורה‪0‬עמודה שבה יש הכי הרבה ‪( /‬כי אז זה חוסך‬
‫חישובים)‬
‫הדטרמיננטה של מטריצה משולשת היא מכפלת אברי האלכסון שלה‬
‫אם יש בדרמיננטה ‪ 1‬שורות‪0‬עמודות זהות אז הדטרמיננטה שווה אפס‬
‫‪‬‬
‫כאשר הדטרמיננטה שווה אפס זה אומר שהמטריצה אינה הפיכה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫השפעת פעולות הדירוג על דטרמיננטה‬
‫‪‬‬
‫הוספת כפולות של שורות‪0‬עמודות אינה משפיעה על הדרמיננטה‬
‫‪‬‬
‫החלפת שורות‪0‬עמודות משפיעה על הדטרמיננט בכך שהסימן של הדטרמיננטה‬
‫משתנה‬
‫‪‬‬
‫כפל של שורה‪0‬עמודה בסקלר ‪ α‬מכפיל את ערך הדטרמיננטה בהופכי של הסקלר‬
‫‪‬‬
‫ניתן להוציא גורם משותף של שורה‪0‬עמודה אחת מחוץ לדטרמיננטה‬
‫‪‬‬
‫אם יש בדטרמיננטה ‪ 1‬שורות‪0‬עמודות זהות אז הדטרמיננטה שווה אפס‬
‫‪1‬‬
‫𝛼‬
‫חוקי דטרמיננטות‬
‫‪‬‬
‫𝑛|𝐴| = | 𝑛𝐴|‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫𝑛 = 𝑛‪|𝐴|−‬‬
‫|𝐴|‬
‫‪‬‬
‫| 𝑇𝐴| = |𝐴|‬
‫‪‬‬
‫|𝐴| ∙ 𝑛 𝛼 = | 𝑛𝑥𝑛𝐴𝛼|‬
‫הדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שווה לדטרמיננטה של המטריצה המקורית‬
‫סקלר שיוצא מחוץ לסוגריים של דטרמיננטה‪ ,‬יוצא כשהוא מועלה בחזקת‬
‫מספר השורות של הדטרמיננטה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫|𝐵| ‪≠ |𝐴| +‬‬
‫‪‬‬
‫|𝐵| ∙ |𝐴| = |𝐵 ∙ 𝐴|‬
‫‪‬‬
‫‪|𝐼| = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪|𝑎𝑑𝑗(𝐴)| = |𝐴|𝑛−1‬‬
‫|𝐵 ‪ |𝐴 +‬אלא אם כן‪ ,‬הדטרמיננטות זהות פרט לשורה‪0‬עמודה אחת בלבד‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מינור‪-‬‬
‫במהלך תהליך פיתוח של דטרמיננטה לצורת החישוב ומציאת הסקלר‪ ,‬משתמשים‬
‫בפיתוח בעזרת מינורים‪.‬‬
‫המינור מתקבל כאשר מוחקים שורה ועמודה שבו נמצא איבר מסויים במטריצה‪ ,‬כך‬
‫שמתקבלת מטריצה קטנה יותר ‪ -‬בגודל )‪(𝑛 − 1)𝑥(𝑛 − 1‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫מרחבים ווקטורים‬
‫הגדרה מרחב ווקטורי‪-‬‬
‫מרחב ווקטורי מסומן 𝑉 ‪ ,‬הוא קבוצה של איברים שמוגדרות עליהם פעולות חיבור ופעולות‬
‫כפל בסקלר‪ ,‬המקיימים את התכונות הבאות (אקסיומות) ‪:‬‬
‫‪ .2‬סגירות ביחס לחיבור‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑣 ‪ 𝑢,‬מתקיים 𝑉 ∈ 𝑣 ‪𝑢 +‬‬
‫‪ .1‬קומוטטיביות של חיבור‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑣 ‪ 𝑢,‬מתקיים 𝑢 ‪𝑢 + 𝑣 = 𝑣 +‬‬
‫‪ ./‬אסוציאטיביות של חיבור‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑤 ‪ 𝑢, 𝑣,‬מתקיים )𝑤 ‪(𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 +‬‬
‫‪ .4‬קיום איבר האפס (איבר ניטרלי)‬
‫קיים איבר 𝑉 ∈ ‪ 0‬כך שלכל 𝑉 ∈ 𝑢 מתקיים 𝑢 = 𝑢 ‪𝑢 + 0 = 0 +‬‬
‫‪ .5‬קיים איבר נגדי‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 קיים איבר המסומן 𝑉 ∈ 𝑢‪ −‬כך ש ‪𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0‬‬
‫‪ .6‬סגירות ביחס לכפל בסקלר‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 ולכל סקלר 𝛼 מתקיים 𝑉 ∈ 𝑢𝛼‬
‫‪ .7‬אסוציאטיביות של כפל בסקלר‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 ולכל 𝛽 ‪ 𝛼,‬סקלרית מתקיים 𝑢𝛽 ‪(𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 +‬‬
‫‪ .8‬דיסטרבוטיביות‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 ולכל 𝛼 סקלריות מתקיים 𝑣𝛼 ‪𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 +‬‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 ולכל 𝛽 ‪ 𝛼,‬סקלריות מתקיים 𝑢𝛽 ‪(𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 +‬‬
‫‪ .9‬התאמה‬
‫לכל 𝑉 ∈ 𝑢 מתקיים‬
‫𝑢 = 𝑢‪1‬‬
‫𝑢‪−1𝑢 = −‬‬
‫‪0𝑢 = 0‬‬
‫דוגמאות למרחבים ווקטורים‬
‫‪ ‬מרחב המטריצות 𝑛𝑥𝑚𝑀‬
‫‪ ‬מרחב המטריצות הסקלריות ואברי מטריצה ממשיים )‪𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℝ‬‬
‫‪ ‬מרחב המטריצות הסקלריות ואברי מטריצה מרוכבים)‪𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℂ‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה תת מרחב ווקטורי‪-‬‬
‫נתון ‪ V‬מרחב ווקטורי‪ ,‬ונתון 𝑊 קבוצה חלקית של ‪V‬‬
‫‪ W‬נקרא תת מרחב של ‪ V‬אם מתקיימים ‪ /‬התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ W .2‬לא קבוצה ריקה‬
‫∅≠𝑊‬
‫‪ .1‬סגירות לחיבור‬
‫לכל 𝑊 ∈ 𝑣 ‪ 𝑢,‬מתקיים 𝑊 ∈ 𝑣 ‪𝑢 +‬‬
‫‪ ./‬סגירות לכפל בסקלר‬
‫לכל 𝑊 ∈ 𝑢 ולכל סקלר 𝛼 מתקיים 𝑊 ∈ 𝑢𝛼‬
‫‪ ‬משפט‪ :‬קבוצה פורשת מהווה גם תת‪-‬מרחב‪.‬‬
‫הגדרה צירוף ליניארי‪-‬‬
‫נתון מרחב ווקטורי ‪V‬‬
‫נתונים } 𝑛𝑣 ‪ {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ ,‬ווקטורים במרחב ‪V‬‬
‫נתונים } 𝑛𝛼 ‪ {𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,‬סקלריים‬
‫צירוף ליניארי זה כאשר בונים ווקטור 𝑣 בעזרת חיבור כפולות של ווקטורים אחרים‬
‫𝑛𝑣 𝑛𝛼 ‪𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 +‬‬
‫כיצד נבדוק האם ווקטור 𝑣 הוא צירוף ליניארי של ווקטורים במרחב הנתון‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫נשתמש בנוסחא 𝑛𝑣 𝑛𝛼 ‪ 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 +‬ונציב את הווקטורים‬
‫במקום 𝑣 נציב את הווקטור שעבורו אנו בודקים האם הוא צירוף לינארי‬
‫‪.i‬‬
‫במקום } 𝑛𝑣 ‪ {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ ,‬נציב את הווקטורים הנתונים במרחב‬
‫‪.ii‬‬
‫נפתח סוגריים ונקבל מערכת משוואות מהצורה‬
‫המספרים הם רק להמחשה‬
‫𝑛𝛼‪𝑎 0𝛼1 + 1𝛼2 + 2‬‬
‫𝑛𝛼‪𝑏 = 3𝛼1 + 4𝛼2 + 5‬‬
‫𝑛𝛼‪𝑐 6𝛼1 + 7𝛼2 + 8‬‬
‫נבנה מטריצה‬
‫𝑎‬
‫‪0 1 2‬‬
‫) 𝑏 | ‪(3 4 5‬‬
‫𝑐‪6 7 8‬‬
‫נדרג את המטריצה‬
‫אם נקבל פתרון יחיד אז הווקטור הוא אכן צירוף לינארי‬
‫‪.i‬‬
‫אם נקבל שאין פתרון למערכת אז הווקטור הוא לא צירוף ליניארי‬
‫‪.ii‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה תלות ליניארית‪-‬‬
‫קבוצת ווקטורים } 𝑘𝑣 ‪ {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ ,‬נקראית קבוצה תלויה ליניארית אם‬
‫קיימים סקלרים ) 𝑘𝛼 ‪ (𝛼1 , 𝛼2 , ⋯ ,‬לא כולם ‪/‬‬
‫כך ש‬
‫‪𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 = 0‬‬
‫כיצד בודקים האם קבוצה ווקטורים היא תלויה ליניארית‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫נשתמש בנוסחא 𝑛𝑣 𝑛𝛼 ‪ 0 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 +‬ונציב את הווקטורים‬
‫במקום } 𝑛𝑣 ‪ {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ ,‬נציב את הווקטורים שבקבוצה‬
‫‪.i‬‬
‫נפתח סוגריים ונקבל מערכת משוואות מהצורה‬
‫המספרים הם רק להמחשה‬
‫𝑛𝛼‪0 0𝛼1 + 1𝛼2 + 2‬‬
‫𝑛𝛼‪0 = 3𝛼1 + 4𝛼2 + 5‬‬
‫𝑛𝛼‪0 6𝛼1 + 7𝛼2 + 8‬‬
‫נבנה מטריצה‬
‫‪0 1 20‬‬
‫)‪(3 4 5|0‬‬
‫‪6 7 80‬‬
‫נדרג‬
‫‪ ‬זו מערכת הומוגנית ולכן או שקיים פתרון יחיד או שקיימים אינסוף פתרונות‬
‫‪ .i‬אם קיים פתרון יחיד למערכת אז הקבוצה היא בלתי תלויה ליניארית‬
‫‪ .ii‬אם קיימים אינסוף פתרונות למערכת אז הקבוצה היא תלויה‬
‫ליניארית‬
‫אם קבוצת הווקטורים הם מטריצות‬
‫‪ .2‬כותבים את התנאי לתלות לינארית‬
‫𝑗‬
‫‪) = ⃗0‬‬
‫𝑙‬
‫𝑓‬
‫𝑖‬
‫( 𝑛𝛼 ‪) + ⋯ +‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫𝑘‬
‫𝑒‬
‫𝑏‬
‫( ‪) + 𝛼2‬‬
‫𝑔‬
‫𝑑‬
‫‪ .1‬נפתח סוגריים‪ ,‬ונקבל מערכת משוואות מהצורה‬
‫‪𝑎𝛼1 + 𝑒𝛼2 + ⋯ + 𝑖𝛼𝑛 = 0‬‬
‫‪𝑏𝛼1 + 𝑓𝛼2 + ⋯ + 𝑗𝛼𝑛 = 0‬‬
‫‪𝑐𝛼1 + 𝑔𝛼2 + ⋯ + 𝑘𝛼𝑛 = 0‬‬
‫‪𝑑𝛼1 + ℎ𝛼2 + ⋯ 𝑙𝛼𝑛 = 0‬‬
‫‪ ./‬נבנה מטריצה מקדמים מהמשוואות‬
‫𝑎‬
‫𝑐‬
‫( ‪𝛼1‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫𝑖 ⋯‬
‫𝑗 ⋯‬
‫)‬
‫𝑘 ⋯‬
‫𝑙 ⋯‬
‫𝑒‬
‫𝑓‬
‫𝑔‬
‫‪ℎ‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫(‬
‫𝑐‬
‫𝑑‬
‫ניתן לראות שמטריצת המקדמים בנויה כך‪ ,‬שהווקטורים (מטריצות מקוריות) הם בעצם‬
‫העמודות שלה‪ ,‬ולכן ניתן לקצר ולרשום ישירות את מטריצת המקדמים‪.‬‬
‫‪ .4‬נדרג את מטריצת המקדמים‬
‫‪ .5‬לאחר שהגענו לצורה מדורגת ‪ ,‬אם העמודות לא התאפסו אז הווקטורים הם ב‪.‬ת‪.‬ל‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב נפרש‪-‬‬
‫מרחב נפרש מסומן } {𝑛𝑎𝑝𝑠‬
‫קבוצת ווקטורים שהם צירוף לינארי שפורש את המרחב‪.‬‬
‫(כלומר המרחב הנפרש בנוי מווקטורים שהם כפולות של הווקטורים שמופיעים בתוך ה‪)span‬‬
‫‪ ‬משפט‪ :‬קבוצה פורשת של מרחב מסויים מהווה תת מרחב‬
‫הגדרה‪ :‬בסיס למרחב ווקטורי‪-‬‬
‫הקבוצה } 𝑛𝑣 ‪ 𝐵 = {𝑣1 , 𝑣2 , ⋯ ,‬נקראית בסיס של המרחב ‪V‬‬
‫אם ‪ B‬קבוצה פורשת ובלתי תלוייה ליניארית‪.‬‬
‫בבסיס נמצאים הווקטורים שכל כפולה שלהם מהווה פתרון למערכת המשוואות של המרחב‪.‬‬
‫משפטים‬
‫‪ ‬פחות מ‪ n‬ווקטרים לא יכולים להוות בסיס ל 𝑛 𝑅‬
‫‪ ‬יותר מ ‪ n‬ווקטורים לא יכולים להוות בסיס ל 𝑛 𝑅‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫בסיס למרחב הפולינומים ]𝑅[ 𝑛𝑃‬
‫כיצד נבדוק האם קבוצת פולינומים מהווה בסיס‬
‫‪ .2‬נרשום את המקדמים של כל פולינום בתור שורות של מטריצה‬
‫‪ .1‬נדרג את המטריצה‬
‫‪ ./‬אם אף שורה לא התאפסה‪ ,‬אז הווקטורים ב‪.‬ת‪.‬ל‬
‫משפטים‬
‫‪ ‬פחות מ‪ 𝑛 + 1‬פולינומים לא יכולים להוות בסיס ל]𝑅[ 𝑛𝑃‬
‫‪ ‬יותר מ‪ 𝑛 + 1‬פולינומים לא יכולים להוות בסיס ל]𝑅[ 𝑛𝑃‬
‫‪ ‬בדיוק ‪ 𝑛 + 1‬פולינומים יכולים להוות בסיס ל]𝑅[ 𝑛𝑃 רק אם הם בלתי תלויים‬
‫ליניארית‬
‫הגדרה‪ :‬מימד‪-‬‬
‫מסומן ) (𝑚𝑖𝑑‬
‫כמות האיברים (ווקטורים) בבסיס כלשהו הוא המימד של המרחב הווקטורי‪.‬‬
‫דוגמא‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫})‪𝑉 = {(0) , (1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑑𝑖𝑚(𝑉) = 2‬‬
‫‪ ‬משפט המימד ‪-2‬‬
‫)𝑊 ‪𝑑𝑖𝑚(𝑈) + 𝑑𝑖𝑚(𝑊) = 𝑑𝑖𝑚(𝑈 ∩ 𝑊) + 𝑑𝑖𝑚(𝑈 +‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬איחוד של מרחבים ווקטורים‪-‬‬
‫מסומן 𝑊 ‪𝑈 +‬‬
‫הבסיס של האיחוד אלו הווקטורים שפותרים את ‪ U‬או את ‪W‬‬
‫כיצד מוצאים בסיס לאיחוד של מרחבים‬
‫אם נתון מערכת משוואות‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫רושמים את כל המשוואות ברשימה (אחד מתחת לשני)‬
‫בונים מטריצה הומוגנית‬
‫מדרגים‬
‫השורות שנשארות לאחר הדירוג הם הבסיס לאיחוד‬
‫אם נתונים הבסיסים של המרחבים‬
‫‪ .2‬רושמים את כל הווקטורים בבסיסי אחד ליד השני‬
‫‪ .1‬בודקים תלות לינארית של הווקטורים‬
‫‪ ./‬במידה והווקטורים הם בלתי תלויים ליניארית אז הם מהווים בסיס לאיחוד‬
‫הגדרה‪ :‬חיתוך של מרחבים ווקטורים‪-‬‬
‫מסומן 𝑊 ∩ 𝑈‬
‫הבסיס של החיתוך – הווקטורים שפותרים את כל המשוואות‪ ,‬גם של ‪ U‬וגם של ‪W‬‬
‫כיצד מוצאים בסיס לחיתוך של מרחבים‬
‫אם נתון מערכת משוואות‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫רושמים את כל המשוואות ברשימה (אחד מתחת לשני)‬
‫בונים מטריצה הומוגנית‬
‫מדרגים‪ ,‬מגיעים לצורה מדורגת‪ ,‬רושמים את התוצאות בכתיב ווקטורי‬
‫הווקטורים בכתיב הווקטורי הוא הבסיס לחיתוך של המרחבים‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫העתקות לינאריות‬
‫הגדרה‪ :‬העתקה לינארית‪-‬‬
‫העתקה לינארית היא כמו פונקציה – כלומר מכניסים ערך מסויים ומקבלים ערך אחר‪.‬‬
‫העתקה 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬מסומנת באות ‪ T‬ע"ש ‪( Transformation‬טרנספורמציה)‬
‫העתקה נקראית העתקה לינארית רק כאשר מתקיימים ‪ 1‬תנאים‪:‬‬
‫‪T(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) .2‬‬
‫‪T(𝑘 ∙ 𝑢) = 𝑘 ∙ 𝑇(𝑢) .1‬‬
‫אלגוריתם להוכחה האם העתקה היא אכן העתקה לינארית‪:‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫נגדיר ווקטורים כלליים בהתאם למרחב הנתון בשאלה‬
‫נפעיל את ההעתקה על הווקטורים הכלליים‬
‫נבדוק האם מתקיימים ‪ 1‬התנאים להעתקה לינארית‬
‫‪ o‬נבדוק האם תנאי ‪ 2‬מתקיים‪ ,‬על ידי פיתוח בנפרד של אגפי משוואת התנאי‬
‫‪ o‬אם מצאנו שהביטויים עבור כל צד של המשוואה שווים אז‬
‫נקבע שהתנאי מתקיים ונמשיך לשלב הבא‪.‬‬
‫‪ o‬אם מצאנו שהביטויים אינם שווים אז התנאי לא מתקיים ולכן‬
‫ההעתקה אינה העתקה לינארית‬
‫‪ o‬במקרה שמצאנו שההעתקה אינה לינארית אפשר להביא‬
‫דוגמא נגדית (להציב מספרים) ולראות שאכן התנאי לא‬
‫מתקיים‬
‫‪ o‬נבדוק האם תנאי ‪ 1‬מתקיים‪ ,‬על ידי בדיקה בנפרד של צידי משוואת התנאי‬
‫אם מצאנו שכל התנאים מתקיימים אז הוכחנו שההעתקה היא אכן העתקה לינארית‬
‫‪ ‬משפט‪ :‬אם העתקה ‪ T‬מקיימת ‪ 𝑇(0) ≠ 0‬אז ההעתקה אינה לינארית‪.‬‬
‫כלומר ווקטור האפס נשאר אותו דבר לאחר העתקה לינארית‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אופרטור לינארי‪-‬‬
‫העתקה לינארית נקראית אופרטור לינארי כאשר העתק מתבצע באותו מרחב 𝑉 → 𝑉 ‪𝑇:‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬הגרעין של ההעתקה‪-‬‬
‫הגרעין של ההעתקה מסומן 𝑇𝑟𝑒𝑘‬
‫אוסף כל הווקטורים שנכנסים לההעתקה ונותנים את ווקטור האפס‪ ,‬נקראים הגרעין של‬
‫ההעתקה‪.‬‬
‫כיצד מוצאים גרעין של ההעתקה‬
‫‪ .2‬נפתח את ההעתקה לצורה‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫( = )𝑧 ‪𝑇(𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪ .1‬נשווה את ההעתקה לאפס‬
‫‪) = ⃗0‬‬
‫נרשום מערכת משוואות הומוגנית‬
‫נבנה מטריצה ונדרג‬
‫‪ ‬אם ההעתקה מכילה פרמטרים‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪ ‬במקום דירוג מבצעים דטרמיננטה למטריצה המצומצת‬
‫‪ ‬בודקים מתי הדטרמיננטה שונה מאפס‬
‫‪ ‬מוצאים את ערכי הפרמטרים שעבורם הדטרמיננטה שונה‬
‫מאפס‬
‫‪ ‬כאשר דטרמיננטה שונה מאפס למערכת קיים פתרון יחיד‬
‫‪ ‬הפתרון היחיד במקרה של הגרעין הוא פתרון האפס כי זה‬
‫מערכת הומוגנית ולכן ישר רושמים שהגרעין הוא‬
‫}‪𝑘𝑒𝑟𝑇 = {0‬‬
‫לאחר דירוג נרשום את מערכת המשוואות בצורה ווקטורית‬
‫הווקטרים שקיבלנו הם הווקטורים שנמצאים בגרעין של ההעתקה‬
‫‪,‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫הגדרה‪ :‬המימד של הגרעין‪-‬‬
‫המימד של הגרעין מסומן 𝑇𝑙𝑙𝑢𝑛 ונקרא האיפוס של ההעתקה‪.‬‬
‫𝑇𝑙𝑙𝑢𝑛 = }𝑇𝑟𝑒𝑘{𝑚𝑖𝑑‬
‫המימד של הגרעין הוא בעצם מספר הווקטורים שנמצאים ב𝑛𝑎𝑝𝑠 של הגרעין 𝑇𝑟𝑒𝑘‬
‫למשל‬
‫})‪𝑘𝑒𝑟𝑇 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{(1, −1‬‬
‫זה אומר שכל הצירופים (כפולות) של )‪ (1, −1‬הם‬
‫ווקטורים שכאשר נפעיל עליהם העתקה נקבל את ווקטור‬
‫האפס‪.‬‬
‫המימד הוא ‪2‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬התמונה של ההעתקה‪-‬‬
‫תמונה של ההעתקה מסמנים 𝑇𝑚𝐼‬
‫כיצד מוצאים את התמונה של ההעתקה (הבסיס של ‪) imT‬‬
‫‪ .2‬נפעיל את ההעתקה על כל אחד מווקטורי הבסיס (הבסיס של המרחב ממנו‬
‫יוצאים) ונקבל ווקטורים חדשים‬
‫‪ ‬הווקטורים החדשים פורשים את מרחב התמונה‬
‫‪ .1‬נבדוק האם הווקטורים החדשים הם בלתי תלויים ליניארית‬
‫‪ .a‬נרשום אותם בתור שורות במטריצה‬
‫‪ .b‬נדרג את המטריצה‬
‫‪ .c‬השורות שנשארו לאחר הדירוג הם ווקטורים בלתי תלויים לינארית‪ ,‬ולכן‬
‫מהווים את התמונה של ההעתקה (נקרא גם הבסיס של ‪)imT‬‬
‫הגדרה‪ :‬הדרגה של ההעתקה‪-‬‬
‫הדרגה של מטריצת המקדמים היא הדרגה של ההעתקה‬
‫כיצד מוצאים דרגה של העתקה‬
‫‪ .2‬בונים מטריצת מקדמים מהעתקה הנתונה‬
‫‪ .1‬מדרגים את מטריצת המקדמים‬
‫‪ ./‬הדרגה של מטריצת המקדמים = לדרגה של ההעתקה‬
‫הגדרה‪ :‬המימד של התמונה‪-‬‬
‫המימד של התמונה מסומן }𝑇𝑚𝐼{𝑚𝑖𝑑‬
‫המימד של התמונה שווה לדרגה של ההעתקה‬
‫𝑇𝑘𝑛𝑎𝑟 = )𝑇𝑚𝑖(𝑚𝑖𝑑‬
‫הגדרה‪ :‬העתקה ליניארית חד‪-‬חד ערכית‪-‬‬
‫העתקה ליניארית 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬תיקרא חד‪-‬חד ערכית כאשר‬
‫לכל שני ווקטורים שונים ב 𝑉 מתאימים שני ווקטורים שונים ב‪U‬‬
‫‪ ‬משפט‪ :‬העתקה ליניארית היא חד‪-‬חד ערכית רק אם }‪𝑘𝑒𝑟𝑇 = {0‬‬
‫(הגרעין של ההעתקה מכיל רק את ווקטור האפס)‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬העתקה ליניארית על‪-‬‬
‫העתקה ליניארית על 𝑈 → 𝑉 ‪ 𝑇:‬תיקרא על כאשר לכל ווקטור ב‪ U‬קיים וקטור מקור ב‪V‬‬
‫‪ ‬משפט‪ :‬העתקה ליניארית היא על רק אם )𝑈(𝑚𝑖𝑑 = )𝑇𝑚𝑖(𝑚𝑖𝑑‬
‫הגדרה‪ :‬איזומורפיזם‪-‬‬
‫העתקה ליניארית תיקרא איזומורפיזם אם היא גם חד‪-‬חד ערכית וגם על‪.‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫ייצוג של טרנספורמציות ע"י מטריצות‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטור קואורדינטות ביחס לבסיס נתון‪-‬‬
‫ווקטור שמייצג את המקדמים של ווקטורי הבסיס הנתון‪.‬‬
‫ווקטור הקואורדינטות מאפשר לכתוב כל ווקטור כלשהוא כצירוף ליניארי של איברי הבסיס‬
‫נתון‪.‬‬
‫מסמנים את ווקטור הקואורדינטות 𝐵]𝑣[ כאשר ה‪ B‬זה הבסיס המסויים שאליו הוא מתייחס‪.‬‬
‫הבסיס נתון בצורה כזו‪:‬‬
‫}) ‪𝐵 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3‬‬
‫כיצד בונים ווקטור קוארדינטות?‬
‫‪ .2‬כותבים את הווקטורים הנתונית בבסיס בצורת עמודות‬
‫‪ .1‬מוסיפים עמודה אחרונה וכותבים בה את עמודת המשתנים‬
‫𝑥 ‪𝑥3‬‬
‫)𝑦| ‪𝑦3‬‬
‫𝑧 ‪𝑧3‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫‪𝑧2‬‬
‫‪𝑥1‬‬
‫‪(𝑦1‬‬
‫‪𝑧1‬‬
‫‪ ./‬מדרגים את המטריצה שבנינו עד שמגיעים מצד שמאל למטריצת יחידה‬
‫𝑗𝑖𝑎 ‪0 0‬‬
‫) 𝑗‪1 0|𝑎𝑖+1,‬‬
‫𝑗‪0 1 𝑎𝑖+2,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .4‬רושמים את המטריצה שקיבלנו בצורה של‬
‫⋯ ‪(𝑥, 𝑦, 𝑧, ⋯ ) = 𝑎𝒊𝑗 ( 𝑣1 ) + 𝑎𝒊+𝟏,𝑗 (𝑣2 ) + 𝑎𝒊+𝟐,𝑗 (𝑣3 ) +‬‬
‫שורה ראשונה = 𝑖‬
‫עמודה אחרונה = 𝑗‬
‫‪ .5‬קבלנו ווקטור קוארדינטות ביחס לבסיס הנתון‬
‫) ⋯ ‪[𝑣]𝐵 = (𝑎𝒊𝑗 , 𝑎𝒊+𝟏,𝑗 , 𝑎𝒊+𝟐,𝑗 ,‬‬
‫כיצד רושמים ווקטור נתון כווקטור בבסיס רצוי‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫נרשום את הווקטורים שנמצאים בבסיס הרצוי בתור עמודות של מטריצה‬
‫נרשום את הווקטור הנתון בתור עמודה באגף ימין של המטריצה‬
‫נדרג את המטריצה עד שנגיע לצורה מדורגת קנונית‬
‫עמודה שהתקבלה באגף ימין היא הווקטור הנתון בבסיס הרצוי‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצת מעבר מבסיס 𝟏𝑩 לבסיס 𝟐𝑩–‬
‫מסמנים ‪[𝑀]𝐵𝐵21‬‬
‫כיצד בונים מטריצת מעבר?‬
‫‪ .2‬נשתמש בווקטור הקואורדינטות ‪ [𝑣]𝐵1‬ונציב לתוכו את הווקטורים שנמצאים‬
‫בבסיס ‪𝐵2‬‬
‫‪ .1‬לאחר ההצבה נקבל ווקטורים חדשים (ווקטור שורה) ונרשום כל ווקטור בצורת‬
‫ווקטור עמודה במטריצה‬
‫דוגמא‬
‫נרצה לבנות מטריצת מעבר מבסיס ‪ 𝐵1‬לבסיס ‪𝐵2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתון הבסיס })‪𝐵2 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } = {(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1‬‬
‫נשתמש בווקטור הקוארדינטות שמצאנו מבעוד מועד )𝑧 ‪= (𝑥, 𝑦 − 𝑥 − 𝑧,‬‬
‫‪[𝑣]𝐵1‬‬
‫‪ ‬נציב את הווקטורים שנמצאים בבסיס ‪ 𝐵2‬בתוך ווקטור הקוארדינטות של ‪𝐵1‬‬
‫)‪[𝑣1 ]𝐵1 = (𝑥, 𝑦 − 𝑥 − 𝑧, 𝑧) ⟹ [(1,0,1)]𝐵1 = (1,0 − 1 − 1,1) = (1, −2,1‬‬
‫)‪[𝑣2 ]𝐵1 = (𝑥, 𝑦 − 𝑥 − 𝑧, 𝑧) ⟹ [(0,1,1)]𝐵1 = (0,1 − 0 − 1,1) = (0,0,1‬‬
‫)‪[𝑣3 ]𝐵1 = (𝑥, 𝑦 − 𝑥 − 𝑧, 𝑧) ⟹ [(0,0,1)]𝐵1 = (0,0 − 0 − 1,1) = (0, −1,1‬‬
‫‪ ‬נרשום את הווקטורים החדשים שקבלנו (מודגש בירוק) במטריצה בתור ווקטורי‬
‫עמודה‪ ,‬ונקבל את מטריצת המעבר‬
‫‪0‬‬
‫)‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= (−2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[𝑀]𝐵𝐵21‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬המטריצה שמייצגת את ההעתקה בבסיס 𝐁 –‬
‫המטריצה המייצגת העתקה מסומנת‬
‫)‬
‫( = 𝐵]𝑇[‬
‫כיצד מוצאים מטריצה שמייצגת העתקה‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫נפעיל את ההעתקה על ווקטורי הבסיס 𝐵 ‪ ,‬ונקבל ווקטורים חדשים‬
‫בונים ווקטור קואורדינטות ביחס לבסיס 𝐵‬
‫את הווקטורים החדשים נציב בווקטור הקוארדינטות ונקבל דנדשים‬
‫את הווקטורים הדנדשים נרשום בצורת עמודות בתוך מטריצה – המטריצה‬
‫שבנינו נקראית מטריצה שמייצגת את ההעתקה‬
‫הגדרה‪ :‬העתקה הפיכה‪-‬‬
‫העתקה ליניארית נקראית הפיכה רק אם המטריצה המייצגת שלה הפיכה‪.‬‬
‫כיצד בודקים האם העתקה לינארית היא הפיכה‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫בונים מטריצה שמייצגת את ההעתקה‬
‫מחשבים דטרמיננטה למטריצה המייצגת‬
‫בודקים עבור אילו ערכים הדרמיננטה שונה מאפס‬
‫עבור הערכים שהדרמיננטה שונה מאפס‪ ,‬המטריצה המייצגת הפיכה ולכן ההעתקה‬
‫הפיכה‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫ערכים עצמיים‪ ,‬ווקטורים עצמיים‪ ,‬לכסון‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצה אופיינית‪-‬‬
‫המטריצה המתקבלת‪ ,‬כאשר מציבים את ‪ A‬המטריצה הנתונה בביטוי‬
‫)המטריצה האופיינית של ‪𝜆𝐼 − 𝐴 = (A‬‬
‫דוגמא‬
‫‪0‬‬
‫‪1 −2‬‬
‫‪𝐴=( 1‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה מטריצה ) ‪1‬‬
‫‪−1 −1 1‬‬
‫נציב את המטריצה ‪ A‬בנוסחא למציאת מטריצה אופיינית‪:‬‬
‫‪1 0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 −2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 −2‬‬
‫‪𝜆 0 0‬‬
‫𝜆‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝜆𝐼 − 𝐴 = 𝜆 (0 1 0) − ( 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ) = (0 𝜆 0) − ( 1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪1 ) = (−1 𝜆 − 1 −1‬‬
‫‪0 0 1‬‬
‫‪−1 −1 1‬‬
‫𝜆 ‪0 0‬‬
‫‪−1 −1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜆−1‬‬
‫מצאנו את המטריצה האופיינית של ‪:A‬‬
‫𝜆‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(−1 𝜆 − 1 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜆−1‬‬
‫הגדרה‪ :‬פולינום אופייני‪-‬‬
‫הפולינום שמתקבל כאשר מבצעים דטרמיננטה למטריצה האופיינית‪.‬‬
‫|𝐴 ‪𝑃(𝜆) = |𝜆𝐼 −‬‬
‫הגדרה‪ :‬ערכים עצמיים‪-‬‬
‫הערכים העצמיים הם השורשים של הפולינום האופייני‬
‫(משווים את הפולינום האופייני ל‪ /‬ופותרים)‬
‫‪𝑃(𝜆) = 0‬‬
‫⇓‬
‫𝑐 = ‪𝜆3‬‬
‫‪𝜆2 = 𝑏 ,‬‬
‫משפטים‬
‫‪ ‬למטריצה מסדר 𝑛𝑥𝑛 יש לכל היותר 𝑛 ערכים עצמיים‬
‫‪ ‬עבור מטריצה לא הפיכה (דטרמיננטה שווה אפס) אחד מהערכים העצמיים הוא‬
‫בוודאות אפס‬
‫‪𝜆1 = 𝑎 ,‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬ריבוי אלגברי‪-‬‬
‫החזקה שבה נמצא השורש של הפולינום האופייני‬
‫(מספר הפעמים שהשורש חוזר על עצמו בפולינום האופייני)‬
‫‪‬‬
‫אם בפולינום האופייני מופיע גורם מהצורה 𝑘)𝑎 ‪ , (𝑥 −‬אז הריבוי האלגברי של‬
‫הערך העצמי ‪ a‬הוא החזקה ‪K‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב עצמי‪-‬‬
‫כל ערך עצמי יוצר מרחב עצמי‪.‬‬
‫מרחב עצמי הוא אוסף הווקטורים העצמיים שמתאימים לערך עצמי מסויים‪.‬‬
‫}) ( ‪𝑠𝑝𝑎𝑛𝜆=𝛼 {( ) ,‬‬
‫כיצד מוצאים את המרחב עצמי של כל ערך עצמי מסויים‬
‫נתונה מטריצה לדוגמא‬
‫‪0‬‬
‫)‪0‬‬
‫𝑎‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑎‪−‬‬
‫‪𝑎2‬‬
‫𝑎 (=‪A‬‬
‫𝑎‪−‬‬
‫‪ .2‬בונים מטריצה אופיינית – כלומר מציבים את המטריצה בנוסחה 𝐴 ‪ , 𝜆𝐼 −‬ופותרים‬
‫‪ .1‬מוצאים פולינום אופייני – כלומר מבצעים דטרמיננטה למטריצה האופיינית‬
‫‪ ./‬מוצאים ערכים עצמיים – כלומר מוצאים את הערכים של ‪ λ‬אשר מאפסים את‬
‫הפולינום האופייני‬
‫‪ .4‬נזכרים במשפט "מטריצה היא לכסינה כאשר כל הערכים העצמיים שלה שונים‬
‫זה מזה"‬
‫בודקים עבור אילו ערכים של ‪ , a‬הערכים העצמיים לא שונים כולם‪ ,‬וקובעים‬
‫‪.i‬‬
‫שחוץ מה‪ a‬האלו עבור כל ה‪ a‬האחרים המטריצה אכן לכסינה‬
‫בודקים בנפרד כל ‪ a‬חריג‬
‫‪.ii‬‬
‫‪ .i‬מוצאים את הערכים העצמיים עבור ה‪ a‬החריג‬
‫‪ .ii‬כותבים ריבוי אלגברי – כמה פעמים הערך העצמי מופיע‬
‫‪ .iii‬מחפשים ריבוי גיאומטרי של כל ערך עצמי‬
‫מציבים במטריצה האופיינית את הערך העצמי‪ ,‬ופותרים את‬
‫‪.i‬‬
‫מערכת המשוואות ההומוגנית המתאימה‬
‫את מערכת המשוואות כותבים בצורה ווקטורית‪ ,‬ואז מקבלים‬
‫‪.ii‬‬
‫את ה‪ span‬של המרחב העצמי‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬ריבוי גיאומטרי‪-‬‬
‫לכל ערך עצמי יש מרחב עצמי‪.‬‬
‫הריבוי הגיאומטרי הוא המימד של המרחב העצמי‪ ,‬כלומר כמות הווקטורים הנמצאים ב‪span‬‬
‫של המרחב העצמי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ≥ 1‬ריבוי גיאומטרי‬
‫כאשר הריבוי הגיאומטרי של כל ערך עצמי שווה לריבוי האלגברי המטריצה לכסינה‪.‬‬
‫כיצד מוצאים ריבוי גיאומטרי‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫מוצאים ערכים עצמיים (ע"י בניית מטריצה אופיינית‪ ,‬מציאת פולינום אופייני‪,‬‬
‫ומציאת השורשים של הפולינום האופייני)‬
‫מציבים בנפרד כל ערך עצמי במטריצה האופיינית‬
‫כותבים את מערכת המשוואות ההומוגנית המתאימה‬
‫פותרים את מערכת המשוואות ההומוגנית (מדרגים)‬
‫כותבים את מערכת המשוואות שהתקבלה לאחר דירוג‪ ,‬בכתיב ווקטורי‬
‫הכתיב הווקטורי הוא ה (‪ )span‬של המרחב העצמי‬
‫כל ווקטור ב‪ span‬נקרא ווקטור עצמי‬
‫כמות הווקטורים הנמצאים ב‪ span‬זה המימד העצמי כלומר הריבוי הגיאומטרי‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטורים עצמיים‪-‬‬
‫וקטורים עצמיים אלו הווקטורים שנמצאים ב‪ span‬של המרחב העצמי שיוצר כל ערך עצמי‬
‫ווקטורים עצמיים ב‪.‬ת‪.‬ל הם הבסיס של המרחב העצמי‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחב הפתרונות‪-‬‬
‫מרחב הפתרונות הוא הגרעין של המטריצה‪.‬‬
‫קבוצת כל הווקטורים שפותרים את המשוואה ‪𝐴𝑥 = 0‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬לכסון מטריצות‪-‬‬
‫האם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‬
‫𝐷𝑃 = 𝑃𝐴‬
‫⇓‬
‫כאשר ‪ D‬מטריצה אלכסונית‬
‫‪−1‬‬
‫𝑃‪A = PD‬‬
‫כיצד בודקים האם מטריצה היא לכסינה‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫בונים מטריצה אופיינית‬
‫מוצאים פולינום אופייני‬
‫מוצאים ערכים עצמיים‬
‫‪ o‬אם כל הערכים העצמיים שונים אז המטריצה לכסינה‬
‫בודקים עבור איזה תנאי כל הערכים העצמיים שונים זה מזה‬
‫‪ o‬אם הערכים העצמיים אינם שונים כולם‪ ,‬אז בודקים עבור כל ערך עצמי האם‬
‫הריבוי האלגברי שלו שווה לריבוי הגיאומטרי‬
‫כותבים את הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי‬
‫מוצאים עבור כל ערך עצמי את הריבוי הגיאומטרי‬
‫במידה ועבור כל ערך עצמי‪ ,‬הריבוי הגיאומטרי שווה לריבוי האלגברי אז‬
‫המטריצה לכסינה‬
‫משפטים לקביעה האם המטריצה ניתנת ללכסון‬
‫‪ ‬מטריצה ריבועית ‪ A‬מסדר 𝑛𝑥𝑛 ניתנת ללכסון רק אם קיימים לה 𝑛 ווקטרים עצמיים‬
‫בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪ ‬מטריצה ריבועית ‪ A‬לכסינה אם הריבוי הגיאומטרי של כל ערך עצמי שווה לריבוי‬
‫האלגברי שלו‪.‬‬
‫‪ ‬מטריצה ריבועית ‪ A‬לכסינה אם כל הערכים העצמיים שלה שונים‪.‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מטריצות דומות‪-‬‬
‫שתי מטריצות ‪ A‬ו‪ D -‬יקראו מטריצות דומות אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‪-‬‬
‫𝐷 = 𝑃𝐴 ‪𝑃−1‬‬
‫⇓‬
‫מטריצות דומות מסומנות 𝐷 ∼ 𝐴‬
‫‪AP = PD‬‬
‫מציאת מטריצה אלכסונית ‪D‬‬
‫מטריצה ‪ D‬היא מטריצה אלכסונית שכולה אפסים פרט לאלכסון שעליו נמצאים הערכים‬
‫העצמיים של המטריצה ‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לא משנה הסדר של הערכים העצמיים באלכסון‬
‫(למטריצות דומות יש את אותם ערכים עצמיים)‬
‫מציאת מטריצה מלכסנת ‪P‬‬
‫מטריצה ‪ P‬היא מטריצה שעמודותיה הם הווקטורים העצמיים של כל ערך עצמי בהתאם‬
‫למטריצה ‪D‬‬
‫‪‬‬
‫העמודות במטריצה ‪ P‬חייבות להיות בהתאמה לעמודות במטריצה ‪ D‬מבחינת‬
‫הערכים העצמיים‬
‫נוסחא לחישוב חזקה של מטריצה לכסינה‬
‫‪𝐴𝑛 = 𝑃 ∙ 𝐷𝑛 ∙ 𝑃−1‬‬
‫תכונות של מטריצות דומות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫למטריצות דומות יש אותה דטרמיננטה‬
‫למטריצות דומות יש את אותו ‪( trace‬סכום איברי האלכסון)‬
‫למטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני‬
‫למטריצות דומות יש את אותם ערכים עצמיים‬
‫למטריצות דומות אין את אותם ווקטורים עצמיים‬
‫למטריצות דומות גם החזקות שלהם דומות‬
‫למטריצות דומות גם המשוחלפות שלהם דומות‬
‫למטריצות דומות‪ ,‬אם הם הפיכות אז ההפיכות שלהם דומות‬
‫משפטים חשובים‬
‫‪ ‬סכום הערכים העצמיים = )𝑎(𝑟𝑡‬
‫‪ ‬מכפלת הערכים העצמיים = |𝐴|‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫‪ ‬כאשר מטריצה לא הפיכה אז הדטרמיננטה לא שווה אפס ולכן חייב שאחד מהערכים‬
‫העצמיים הוא אפס‬
‫ווקטורים וגיאומטריה אנליטית במרחב‬
‫הגדרה‪ :‬פעולות עם ווקטורים‪-‬‬
‫כפל ווקטור בסקלר‬
‫) 𝑧𝑣 ‪𝑣 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ,‬‬
‫(כופלים כל רכיב בסקלר)‬
‫) 𝑧𝑣𝛼 ‪𝛼𝑣 = 𝛼(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) = (𝛼𝑣𝑥 , 𝛼𝑣𝑦 ,‬‬
‫חיבור ווקטורים‬
‫(מחברים כל רכיב בנפרד)‬
‫) 𝑧𝑣 ‪𝑣 = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ,‬‬
‫𝑢‬
‫) 𝑧𝑢 ‪⃗ = (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 ,‬‬
‫𝑢‪𝑣+‬‬
‫) 𝑧𝑢 ‪⃗ = (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ) + (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 ) = (𝑣𝑥 + 𝑢𝑥 , 𝑣𝑦 + 𝑢𝑦 , 𝑣𝑧 +‬‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטור מנורמל‪-‬‬
‫ווקטור מנורמל מסמנים ̂𝑣 (כובע למעלה)‬
‫ווקטור מנורמל הוא ווקטור בכיוון של הווקטור המקורי‪ ,‬אבל בגודל ‪2‬‬
‫)𝛾 ‪= (𝛼, 𝛽,‬‬
‫) 𝑧𝑣 ‪(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ,‬‬
‫) ‪𝑣𝑧2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝑣𝑦2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪√(𝑣𝑥2‬‬
‫𝑣‬
‫=‬
‫|𝑣|‬
‫= ̂𝑣‬
‫הגדרה‪ :‬היטל של ווקטור‪-‬‬
‫ההיטל של ווקטור ‪ u‬על ווקטור ‪v‬‬
‫𝑢‬
‫𝑣∙ ⃗‬
‫𝑢(𝑗𝑜𝑟𝑝‬
‫= )𝑣 ‪⃗ ,‬‬
‫𝑣∙‬
‫‪|𝑣 |2‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬המרחק בין ‪ 2‬ווקטורים‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑢(𝑑‬
‫𝑢| = ) 𝑣 ‪⃗ ,‬‬
‫‪⃗ − 𝑣 | = |(𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 ) − (𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 )| = |(𝑢𝑥 − 𝑣𝑥 , 𝑢𝑦 − 𝑣𝑦 , 𝑢𝑧 − 𝑣𝑧 )| = √(𝑢𝑥 − 𝑣𝑥 )2 + (𝑢𝑦 − 𝑣𝑦 ) + (𝑢𝑧 − 𝑣𝑧 )2‬‬
‫הגדרה‪ :‬הזווית בין ‪ 2‬ווקטורים‪-‬‬
‫𝑎‬
‫𝑏‬
‫=‬
‫| 𝑧𝑣 ∙ 𝑧𝑢 ‪|𝑢𝑥 ∙ 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 ∙ 𝑣𝑦 +‬‬
‫) ‪(√𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦2 + 𝑢𝑧2 ) (√𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2‬‬
‫=‬
‫|) 𝑧𝑣 ‪|(𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 )(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ,‬‬
‫) ‪(√𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦2 + 𝑢𝑧2 ) (√𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2‬‬
‫𝑢(|‬
‫|) 𝑣() ⃗‬
‫=‬
‫|𝑣||𝑢|‬
‫𝑎‬
‫) ( ‪𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 −1‬‬
‫𝑏‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטורים מאונכים‪-‬‬
‫ווקטורים מאונכים זה לזה כאשר המכפלה הסקלרית בינהים נותנת אפס‬
‫𝑢‬
‫𝑢⇒𝑣⊥ ⃗‬
‫‪⃗ ∙𝑣 =0‬‬
‫‪𝑢𝑥 ∙ 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 ∙ 𝑣𝑦 + 𝑢𝑧 ∙ 𝑣𝑧 = 0‬‬
‫= 𝛼𝑠𝑜𝑐‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬הצגה פרמטרית של ישר‪-‬‬
‫𝑢 = )𝑧 ‪(𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑣𝑡 ‪⃗ +‬‬
‫ווקטור שמונח כולו על הישר‬
‫מלמד גם על הכיוון של הישר‬
‫ווקטור שנמצא‬
‫בראשית הצירים‬
‫וסופו בנקודה‬
‫כלשהיא ע"ג הישר‬
‫דוגמא‬
‫נתונות קוארדינטות (נקודות במרחב)‬
‫)‪A(1,1,0‬‬
‫)‪𝐵(0,1, −2‬‬
‫הישר העובר דרך הנקודות‬
‫)‪⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,1,0) + 𝑡(𝐵 − 𝐴) = (1,1,0) + 𝑡(−1,0, −2‬‬
‫𝐵𝐴𝑡 ‪𝑙1 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴 +‬‬
‫הגדרה‪ :‬הצגה קרטזית של ישר‪-‬‬
‫𝑥𝑣𝑡 ‪= 𝑢𝑥 +‬‬
‫} 𝑦𝑣𝑡 ‪= 𝑢𝑦 +‬‬
‫𝑧𝑣𝑡 ‪= 𝑢𝑧 +‬‬
‫הצגה בעזרת קואורדינטות‬
‫כיצד עוברים מהצגה פרמטרית של ישר להצגה קרטזית‬
‫‪ .2‬כאשר הישר כתוב בהצגה פרמטרית‬
‫באגף שמאל מופיע ווקטור המשתנים )𝑧 ‪ , (𝑥, 𝑦,‬לעיתים מסומן ̅𝑥‬
‫באגף ימין מחברים את הווקטורים באופן קרטזי‬
‫דוגמא‬
‫נתון ישר בהצגה פרמטרית‬
‫נפתח סוגריים באגף ימין‪ ,‬ונפריד בין כל רכיב‬
‫נרשום בצורת שורה‬
‫או‬
‫בצורת משוואות‬
‫𝑥‬
‫‪2‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪(𝑦) = (−1) + 𝑡 ( 0‬‬
‫𝑧‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥‬
‫𝑡‪2−‬‬
‫) ‪(𝑦) = ( −1‬‬
‫𝑧‬
‫𝑡‪1+‬‬
‫)𝑡 ‪(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 − 𝑡, −1,1 +‬‬
‫𝑥‬
‫𝑦‬
‫{‬
‫𝑧‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬מרחק מנקודה לישר‪-‬‬
‫𝑡‪2−‬‬
‫} ‪−1‬‬
‫𝑡‪1+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫המרחק מנקודה לישר הוא המרחק הקצר ביותר ולכן הוא המרחק של האנך בין הנקודה‬
‫לישר‬
‫כיצד מוצאים מרחק מנקודה לישר‬
‫𝑢 = )𝑧 ‪(𝑥, 𝑦,‬‬
‫‪ .2‬נמצא את משוואת הישר‪ ,‬נרשום אותה בצורה פרמטרית 𝑣𝑡 ‪⃗ +‬‬
‫‪ .1‬נסמן את הנקודה שאנו מעוניינים למצוא את מרחקה מהישר בתור נקודה ‪A‬‬
‫(הקואורדינטות של הנקודה ידועות)‬
‫‪ ./‬נרשום נקודה כללית ע"ג הישר‪ ,‬מהצורה ) 𝑧𝑣𝑡 ‪𝑃(𝑢𝑥 + 𝑡𝑣𝑥 , 𝑢𝑦 + 𝑡𝑣𝑦 , 𝑢𝑧 +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫‪ .4‬נרשום את הווקטור בין הנקודה ‪ A‬לבין הישר כלומר ווקטור )𝐴 ‪𝐴𝑃 = (𝑃 −‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗ לבין הכיוון של הישר (הכיוון של‬
‫‪ .5‬נדרוש שהמכפלה הסקלרית בין הווקטור 𝑃𝐴‬
‫הישר זה ווקטור 𝑣) תהיה אפס‬
‫‪ .6‬נפתור את המשוואה ונמצא את ‪t‬‬
‫‪ .7‬נציב את ‪ t‬בווקטור ונחשב את האורך של הווקטור‬
‫𝑥‬
‫𝑦{‬
‫𝑧‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫מצב גיאומטרי בין ישרים‪-‬‬
‫‪ 1‬ישרים יכולים להיות מקבילים או מצטלבים או מתלכדים או נחתכים‬
‫כיצד בודקים את המצב ההדדי בין ‪ 1‬ישרים‬
‫‪ .2‬רושמים את ‪ 1‬הישרים בהצגה קואורדינטית‬
‫‪ .1‬משווים בין המשוואות של הישרים‬
‫‪ ./‬פותרים את מערכת המשוואות‬
‫אם התקבל שלמערכת יש פתרון יחיד אז הישרים נחתכים‬
‫‪.i‬‬
‫אם התקבל שלמערכת יש אינסוף פתרונות אז הישרים מתלכדים‬
‫‪.ii‬‬
‫אם התקבל שלמערכת אין פתרון אז הישרים מקבילים או מצטלבים‬
‫‪.iii‬‬
‫‪ .i‬נבדוק האם הם מצטלבים או מקבילים ע"י בדיקת ווקטורי הכיוון של‬
‫היישרים – אם האחד הוא כפולה של האחר אז הישרים מקבילים‪,‬‬
‫במידה ולא אז הישרים מצטלבים‬
‫מצב גיאומטרי בין ישר למישור‪-‬‬
‫המצב ההדדי בין ישר למישור יכול להיות שהישר מקביל למישור או חותך את המישור או‬
‫מוכל במישור‬
‫כיצד בודקים את המצב הדדי בין ישר למישור‬
‫‪ .2‬נבחר נקודה כללית על הישר‬
‫‪ .1‬נציב את הנקודה הכללית במשוואות המישור‬
‫‪ ./‬נקבל מערכת משוואות‬
‫אם נקבל שלמערכת יש פתרון יחיד אז הישר חותך את המישור‬
‫‪.i‬‬
‫אם נקבל שלמערכת יש אינסוף פתרונות אז הישר מוכל במישור‬
‫‪.ii‬‬
‫אם נקבל שלמערכת אין פתרונות אז הישר מקביל למישור‬
‫‪.iii‬‬
‫מצב גיאומטרי בין מישור למישור‪-‬‬
‫מישורים יכולים להיות מקבילים או מתלכדים או נחתכים‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫הגדרה‪ :‬הצגה פרמטרית של מישור‪-‬‬
‫הצגה שבה המישור מיוצג על ידי אוסף כל הנקודות שעליו‬
‫𝑢 = )𝑧 ‪(𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑤𝑠 ‪⃗ + 𝑡𝑣 +‬‬
‫⃗⃗‬
‫𝐶𝐴𝑠 ‪⃗⃗⃗⃗⃗ +‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝐵𝐴𝑡 ‪(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴 +‬‬
‫𝑤 ‪ 𝑣 ,‬פורשים את המישור‬
‫הווקטורים ⃗⃗‬
‫הגדרה‪ :‬הצגה אלגברית של מישור‪-‬‬
‫נקרא גם משוואת המישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0‬‬
‫)𝑐 ‪ ( 𝑎, 𝑏,‬זה כיוון הווקטור המאונך למישור‬
‫לכן אם נתון ווקטור שמאונך למישור אז בקלות נוכל לרשום את משוואת המישור‬
‫בהצגה אלגברית‬
‫כיצד עוברים מהצגה פרמטרית להצגה אלגברית‬
‫‪ .2‬נתונה הצגה פרמטרית של המישור (ואם לא נתונה אז מוצאים אותה) ולכן‬
‫𝑤‪𝑣 ,‬‬
‫ידועים לנו הווקטורים ⃗⃗‬
‫𝑤 ‪ 𝑣 ,‬פורשים את המישור ולכן כל ווקטור שמאונך למישור‬
‫‪ .1‬ידוע לנו שהווקטורים ⃗⃗‬
‫𝑤‪𝑣 ,‬‬
‫הוא מאונך לשני הווקטורים ⃗⃗‬
‫‪ ./‬מכפלה סקלרית בין ווקטורים מאונכים נותנת אפס‪ ,‬ולכן נוכל לבנות ‪ 1‬משוואות‬
‫‪(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑣 ) = 0‬‬
‫{‬
‫}‬
‫𝑤( ∙ )𝑐 ‪(𝑎, 𝑏,‬‬
‫‪⃗⃗ ) = 0‬‬
‫‪ .4‬קיבלנו ‪ 1‬משוואות עם ‪ /‬נעלמים‪ ,‬ולכן ישנם אינסוף פתרונות‬
‫‪ .5‬נפתור את המשוואות‬
‫‪ .6‬נחליט על נעלם אחד שרירותית ונסמן אותו בתור סקלר מסויים‬
‫‪ .7‬נמצא את שאר הנעלמים האחרים לפי המשוואות שקיבלנו‬
‫‪ .8‬מצאנו את )𝑐 ‪ (𝑎, 𝑏,‬עבור סקלר שרירותי שבחרנו‬
‫‪ .9‬נותר רק למצוא את ‪ , d‬ולכן נציב במקום )𝑧 ‪ (𝑥, 𝑦,‬נקודה מסויימת שקיימת על‬
‫המישור‪ ,‬נקבל משוואה עם נעלם אחד‬
‫‪ .2/‬נפתור את המשוואה ונקבל את ‪d‬‬
‫‪ .22‬נרשום את משוואת המישור עם ‪ a,b,c,d‬שמצאנו‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫מכפלה פנימית‬
‫הגדרה‪ :‬מכפלה פנימית מעל הממשיים‪-‬‬
‫מכפלה פנימית מעל הממשיים היא פונקציה המתאימה לכל זוג ווקטורים 𝑣 ‪ 𝑢,‬מספר ממשי‪.‬‬
‫המכפלה מסומנת 〉𝑣 ‪〈𝑢,‬‬
‫תכונות מכפלה פנימית מעל הממשיים‬
‫‪.2‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪./‬‬
‫‪.4‬‬
‫סמטריה 〉𝑢 ‪〈𝑢, 𝑣〉 = 〈𝑣,‬‬
‫הומוגניות במקום הראשון 〉𝑣 ‪〈𝛼𝑢, 𝑣〉 = 𝛼〈𝑢,‬‬
‫לינאריות המקום הראשון 〉𝑣 ‪〈𝑢1 + 𝑢2 , 𝑣〉 = 〈𝑢1 , 𝑣〉 + 〈𝑢2 ,‬‬
‫𝑢‬
‫חיוביות‪ :‬לכל ‪ u‬מתקיים ‪ 〈𝑢, 𝑣〉 ≥ 0‬כאשר שיווין לאפס מתקיים רק כאשר ‪⃗ = 0‬‬
‫דוגמאות למכפלה פנימית‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫מכפלה פנימית סטנדרטית מעל ‪ ℝ‬היא המכפלה הסקלרית‬
‫‪〈(𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 )〉 = 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3‬‬
‫‪‬‬
‫𝑛‬
‫מכפלה פנימית סטנדרטית מעל ‪ℝ‬‬
‫𝑦 ∙ 𝑇 𝑥 = 〉𝑦 ‪〈𝑥,‬‬
‫‪‬‬
‫מכפלה פנימית סטנדרטית מעל הפולינומים )‪𝑃𝑛 (ℝ‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑 ∙ )𝑥(𝑄 ∙ )𝑥(𝑃 ∫ = 〉)𝑥(𝑄 ‪〈𝑃(𝑥),‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪o‬‬
‫הערה‪ :‬הגבולות ‪ 2 , -1‬הם הגבולות הסטנדרטיים‬
‫‪‬‬
‫צורה נוספת‪:‬‬
‫𝑏‬
‫𝑥𝑑 ∙ )𝑥(𝑄 ∙ )𝑥(𝑃 ∙ )𝑥(𝑊 ∫ = 〉)𝑥(𝑄 ‪〈𝑃(𝑥),‬‬
‫𝑎‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫‪ ‬מכפלה פנימית סטנדרטית מעל הפולינומים )‪𝑃𝑛 (ℂ‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑑 ∙ ̅̅̅̅̅̅̅‬
‫)𝑥(𝑄 ∙ )𝑥(𝑃 ∫ = 〉)𝑥(𝑄 ‪〈𝑃(𝑥),‬‬
‫‪−1‬‬
‫הגדרה‪ :‬נורמה של ווקטור (גודל) –‬
‫הנורמה של הווקטור מסומן ‖𝑢‖ ‪ ,‬ומוגדר‪:‬‬
‫𝑢〈√ = ‖𝑢‖‬
‫𝑢‪⃗ ,‬‬
‫〉⃗‬
‫כלומר השורש של מכפלה פנימית של הווקטור בעצמו‬
‫תכונות‬
‫‪‬‬
‫‪( ‖𝑢‖ ≥ 0‬הנורמה של הווקטור תמיד חיובי‪ ,‬ושווה אפס רק כאשר ‪) u=0‬‬
‫דוגמא‬
‫‪2‬‬
‫נורמה של ווקטור ב ‪ , ℝ‬עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית‬
‫‪‖𝑥, 𝑦‖ = √〈(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦)〉 = √𝑥 2 + 𝑦 2‬‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטור יחידה‪-‬‬
‫ווקטור שהנורמה שלו שווה ‪.2‬‬
‫הגדרה‪ :‬ווקטורים אורתוגונלים‪-‬‬
‫ווקטורים 𝑣 ‪ 𝑢,‬נקראים אורתוגונלים כאשר המכפלה הפנימית בינהם נותנת אפס‬
‫‪〈𝑢, 𝑣〉 = 0‬‬
‫הערה‪ :‬כאשר המכפלה הפנימית שווה אפס‪ ,‬הווקטורים ניצבים‪.‬‬
‫‪120/901/2/‬‬
‫קבוצה אורתוגונלית‬
‫קבוצת ווקטורים ) 𝑛𝑢 ‪ (𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ ,‬שהמכפלה הפנימית בין כל שני ווקטורים לא זהים נותנת‬
‫אפס‬
‫‪〈𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 〉 = 0‬‬
‫𝑗≠𝑖‬
‫קבוצה אורתונורמלית‬
‫קבוצת ווקטורים ) 𝑛𝑢 ‪ (𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ ,‬שהמכפלה הפנימית בין כל שני ווקטורים לא זהים נונתת‬
‫אפס ובנוסף הנורמה (גודל) של כל ווקטור הוא ‪2‬‬
‫תכונות של קבוצה אורתוגונלית‬
‫‪‬‬
‫קבוצת ווקטורים אורתוגונלית של כוללת את ווקטור האפס היא קבוצה בלתי תלויה‬
‫לינארית‬
‫הגדרה‪ :‬תהליך גרהם‪-‬שמידט‪-‬‬
‫תהליך ליצירת בסיס אורתוגונלי מבסיס נתון ) 𝑛𝑢 ‪(𝑢1 , 𝑢2 , ⋯ ,‬‬
‫‪𝑣1 = 𝑢1‬‬
‫〉 ‪〈𝑢2 , 𝑣1‬‬
‫‪∙ 𝑣1‬‬
‫‪‖𝑣1 ‖2‬‬
‫‪𝑣2 = 𝑢2 −‬‬
‫〉 ‪〈𝑢3 , 𝑣1‬‬
‫〉 ‪〈𝑢3 , 𝑣2‬‬
‫‪∙ 𝑣1 −‬‬
‫‪∙ 𝑣2‬‬
‫‪2‬‬
‫‖ ‪‖𝑣1‬‬
‫‪‖𝑣2 ‖2‬‬
‫‪𝑣3 = 𝑢3 −‬‬
‫נוסחא‪:‬‬
‫〉 𝑘𝑣 ‪〈𝑢𝑛 ,‬‬
‫𝑘𝑣 ∙‬
‫‪‖𝑣𝑘 ‖2‬‬
‫‪𝑛−1‬‬
‫∑ ‪𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 −‬‬
‫‪𝑘=1‬‬