‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫שאלון ‪ - 806‬מבחן ‪1‬‬ ‫פרק ראשון ‪ -‬אלגברה והסתברות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 1-3‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .1‬שבעה סוכני מודיעין אמריקנים צריכים לפענח קוד הכולל אלפי שורות‪ .‬מדי יום מחכה להם מכסת‬ ‫פענוח יומית קבועה‪ .‬למעשה‪ ,‬שלושה מהם אינם אלא מרגלים סובייטים‪ ,‬שמטרתם לעכב את העבודה‪,‬‬ ‫ולכן הם רק מוחקים שורות שפוענחו כך שיש לפענחם מחדש‪ .‬אם ארבעת האמריקנים האמיתיים יחלו‬ ‫בעבודה יחד וכעבור שעה יצטרפו שלושת המרגלים‪ ,‬תסתיים עבודת הפענוח תוך שש שעות מתחילתה‪.‬‬ ‫אם שני סוכנים אמריקנים אמיתיים יחלו בעבודה ב‪ 10:00-‬וכעבור שעה יצטרפו חמשת הנוספים‬ ‫לעבודה‪ ,‬אז ב‪ 12:00-‬רק ‪ 30%‬מהעבודה תהיה גמורה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא כמה זמן דרוש לסוכנים האמריקנים לסיים את פענוח הקוד אם יעבדו עליו רק ארבעתם‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בשעה ‪ 6:00‬החלו שני אמריקנים את עבודת הפענוח‪ .‬ב‪ 7:00-‬הצטרפו לעבודה שני סובייטים‪ .‬ב‪8:00-‬‬ ‫הצטרפו היתר‪ .‬מצא באיזו שעה תסתיים עבודת הפענוח כולה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ידוע שסוכן אמריקאי מסוגל לפענח ‪ 20‬שורות בשעה‪ .‬ביום ד'‪ ,‬הגיעו למשרד רק שלושה סוכנים‬ ‫אמריקנים ושני סובייטים‪ .‬חשב תוך כמה שעות יספיק הצוות של אותו יום ד' לפענח ‪ 252‬שורות‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתונה סדרה הנדסית עולה ‪ An‬שאיבריה‪ . a1 , a 2 , a3 ,......, a n ,... :‬באמצעות איברי הסדרה ‪ An‬מגדירים‬ ‫סדרה חדשה ‪ Bn‬באופן הבא‪ :‬מחסרים מכל איבר את האיבר הבא אחריו‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‬ ‫בסדרה ‪ Bn‬שווה בערכו המוחלט לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. An‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוכח‪ :‬הסדרה ‪ Bn‬היא הנדסית‪.‬‬ ‫מצא את המנה של הסדרה ‪. An‬‬ ‫בסדרה המקורית ‪ An‬מספר זוגי של איברים‪ .‬כעת עושים בה שינויים נוספים‪ :‬מכפילים את כל‬ ‫האיברים שבמקומות האי זוגיים פי ‪ m‬ומחלקים את כל האיברים שבמקומות הזוגיים ב‪.m-‬‬ ‫מצא עבור אילו ערכי ‪ ,m‬סכום הסדרה לאחר השינויים גדול מהסכום המקורי‪.‬‬ ‫‪ .3‬בהגרלה ניתן לזכות בשלושה פרסים‪ :‬לזכות ב‪ 25-‬ש"ח בהסתברות ‪ ,p‬לזכות ב‪ 75-‬ש"ח בהסתברות ‪0.1‬‬ ‫או לזכות ב‪ 50-‬ש"ח‪ .‬אם דני זוכה ב‪ 75-‬ש"ח‪ ,‬הוא לוקח את הכסף ועוזב את ההגרלה‪ .‬אם הוא זוכה ב‪50-‬‬ ‫ש"ח‪ ,‬ההסתברות שישתתף בהגרלה נוספת היא ‪ .0.3‬אם הוא זוכה ב‪ 25-‬ש"ח‪ ,‬ההסתברות שישתתף‬ ‫בהגרלה נוספת היא ‪ .0.6‬לפי התקנון‪ ,‬דני אינו יכול להשתתף ביותר משתי הגרלות‪ .‬נתון כי ההסתברות‬ ‫שדני ירוויח עד סוף היום בדיוק ‪ 75‬ש"ח היא ‪.0.28‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ערכו של הפרמטר ‪. ( p > 0.4) p‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ההסתברות שדני יזכה ב‪ 50-‬ש"ח או ב‪ 100-‬ש"ח‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ידוע שדני זכה סך הכל באותו יום ב‪ 75-‬ש"ח בדיוק‪ .‬חשב את ההסתברות שעזב לאחר ההגרלה‬ ‫הראשונה‪ ,‬מבלי להשתתף בהגרלה נוספת‪.‬‬ ‫ד‪ .‬דני ניגש לאותה הגרלה כל יום במשך חמישה ימים‪ .‬חשב את ההסתברות שבשניים מהימים יהיה‬ ‫סכום הזכיה היומי הכולל לכל הפחות ‪.₪ 100‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪134‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫פרק שני ‪ -‬גיאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נק'(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות מהשאלות ‪) 4-5‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .4‬בריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ a‬נתון‪ F :‬אמצע ‪ .DO‬הישר ‪ AG‬חותך את‬ ‫האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪ .F‬במשולש ‪ ∆CDO‬נתון‪.EF||CD :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורכי הצלעות ‪ FE‬ו‪.CG -‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ .‬חשב את ערכו של ‪.a‬‬ ‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ k‬היא אמצע ‪ .BO‬הוכח‪ KFGC :‬טרפז‪.‬‬ ‫‪ .5‬במשולש ‪ ∆ABC‬ישר הזוית ) ‪ ( p ABC = 90 0‬חסום מעגל‪ .‬המעגל משיק‬ ‫למשולש ‪ ∆ABC‬בנקודות ‪ E ,D‬ו‪ .F-‬הצלע ‪ DF‬ארוכה ב‪ 20%-‬מהצלע ‪.DE‬‬ ‫א‪ .‬חשב את שתי הזויות החדות במשולש ‪. ∆ABC‬‬ ‫ב‪ .‬קוטר המעגל החוסם את המשולש ‪ ∆ABC‬ארוך ב‪ 7-‬ס"מ מהקטע ‪.CE‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪. ∆DEF‬‬ ‫פרק שלישי ‪ -‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪ ,‬פונקציות שורש‪ ,‬פונקציות רציונליות‬ ‫ופונקציות טריגונומטריות )‪ 40‬נק'(‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪) 6-8‬לכל שאלה ‪ 20‬נק'(‬ ‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪ f ( x ) = a ⋅ x 2 − 34 x + b :‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ 2‬הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b-‬חיוביים‪ .‬בתחום הנתון‪,‬‬ ‫הערך המקסימלי שהפונקציה מקבלת הוא ‪ 10‬והערך המינימלי שהיא מקבלת הוא ‪.6‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪.b-‬‬ ‫ב‪ .‬הגדירו פונקציה חדשה‪ . g ( x) = 36 − f 2 (x ) :‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) ‪. g (x‬‬ ‫ד‪ .‬מצא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ g ' ( x ) > 0 :‬ולאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪. g ' ( x ) < 0 :‬‬ ‫ה‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) ‪ , g ' ( x‬לבין ציר ה‪ x-‬ולבין הישרים‪ x = 12 :‬ו‪. x = 22 -‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪135‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪(1 − cos x )2‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫) ‪ (a > 0‬בתחום‪. − π ≤ x ≤ π :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בתשובות לסעיפים הבאים ניתן להשתמש‪ ,‬במידת הצורך‪ ,‬בפרמטר ‪:a‬‬ ‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות לגרף הפונקציה ) ‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬יורד לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של גרף ) ‪ f (x‬עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ) ‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף הפונקציה ) ‪ f (x‬לבין ציר ה‪ x-‬ולבין הישרים‬ ‫‪ x = π‬ו‪. x = π :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מגדירים פונקציה חדשה‪ . g ( x ) = f ( x ) :‬הישר ‪ y = k‬חותך את גרף ) ‪ g (x‬בתחום‪π :‬‬ ‫≤‪≤x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫בשתי נקודות כאשר ‪ . k ≥ 3‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.a‬‬ ‫‪ .8‬בשרטוט נתונים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x ) = 16 x − a 2 :‬ו‪ . g ( x ) = 9a 2 − 16 x :‬הישרים המשיקים‬ ‫לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה ‪ A‬מאונכים זה לזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪. (0 < a ) a‬‬ ‫ב‪ .‬הגרפים של הפונקציות ) ‪ f (x‬ו‪ g (x ) -‬חותכים את ציר ה‪ x-‬בנקודות‬ ‫‪ B‬ו‪ C-‬בהתאמה‪ .‬מעבירים את שני הישרים ‪ x = m‬ו‪, x = m + 6 :‬‬ ‫כך שהם עוברים משני צדי הנקודה ‪ ,A‬אך בין הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬ ‫השטח הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות‪ ,‬לבין שני הישרים‬ ‫ולבין ציר ה‪ x-‬מסתובב סביב ציר ה‪.x-‬‬ ‫מצא את ערכו של הפרמטר ‪ m‬עבורו נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא‬ ‫מקסימלי‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫פתרונות‪:‬‬ ‫‪ (1‬א‪ .‬שלוש שעות‪ .‬ב‪ .14:00 .‬ג‪ 9 .‬שעות‪.‬‬ ‫‪ (2‬ב‪ . q = 2 .‬ג‪ 2 < m .‬או ‪. 0 < m < 1‬‬ ‫‪ (3‬א‪ .0.5 .‬ב‪ .0.508 .‬ג‪ . 5 .‬ד‪.0.06 .‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ (4‬א‪ . CG = 2a , FE = a .‬ב‪ 12 .‬ס"מ = ‪. a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (5‬א‪ . 70.8 0 , 19.2 0 .‬ב‪ 1.6 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ (6‬א‪ . b = 100 , a = 1 .‬ב‪ . 2 ≤ x ≤ 32 .‬ג‪. Min (2,0), Max (17,15), Min (32,0) .‬‬ ‫ד‪ g ' ( x ) > 0 .‬כאשר‪ g ' ( x ) < 0 . 2 < x < 17 :‬כאשר‪ . 17 < x < 32 :‬ה‪ 1.72 .‬יח"ר‪.‬‬ ‫‪ (7‬א‪ . x = 0 .‬ג‪ .‬אין‪ .‬ד‪ . Max  − π ,− a , Min  π , a  .‬ה‪ . S = a .‬ו‪. a = 3 .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (8‬א‪ . a = 4 .‬ב‪. m = 2 .‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪136‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪1‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫א‪ .‬בשאלות הספק נפתח תמיד בסימון יעיל של ההספקים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נסמן ב‪ x -‬את משך הזמן הדרוש לסוכן אמריקני "אמיתי" לסיים לבדו את העבודה כולה‪ ,‬ובהתאם‪ ,‬הספקו הוא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נסמן ב‪ y -‬את משך הזמן הדרוש למרגל סובייטי לסיים לבדו את העבודה כולה‪ ,‬ובהתאם‪ ,‬ההספק שלו הוא ‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כעת נמלא את הנתונים הראשונים בטבלה‪:‬‬ ‫נשים לב‪ :‬פעולת המרגלים‬ ‫הפוכה מפעולת הסוכנים ולכן‬ ‫ההספק שלהם הוא שלילי‪.‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬הספק משותף מחושב על‬ ‫ידי מכפלת מספר הסוכנים‬ ‫בהספק האישי שלהם‪.‬‬ ‫מספר‬ ‫העובדים‬ ‫ארבעה‬ ‫סוכנים‬ ‫מתחילים‬ ‫ואז שלושה‬ ‫מרגלים‬ ‫מצטרפים‬ ‫סוכנים‬ ‫‪4‬‬ ‫מרגלים‬ ‫‪3‬‬ ‫זמן‬ ‫הספק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫החלק היחסי‬ ‫שבוצע מהעבודה‬ ‫‪4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫= ‪⋅6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪− ⋅5 = −‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪15 x‬‬ ‫‪24 15‬‬ ‫‪ ,‬ולאחר סידור‪:‬‬ ‫ביחד הם סיימו את כל העבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה‪− = 1 :‬‬ ‫‪24 − x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נמלא את הנתונים הבאים בטבלה‪:‬‬ ‫החלק היחסי‬ ‫מספר‬ ‫זמן‬ ‫העובדים הספק‬ ‫שבוצע מהעבודה‬ ‫= ‪.(I) y‬‬ ‫שני סוכנים‬ ‫מתחילים וכעבור‬ ‫שעה‪ ,‬מצטרפים‬ ‫עוד שני סוכנים‬ ‫ושלושה מרגלים‬ ‫סוכנים‬ ‫‪2‬‬ ‫סוכנים‬ ‫‪2‬‬ ‫מרגלים‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4 2 3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫ביחד סיימו רק ‪ 30%‬מהעבודה כולה ומכאן מתקבלת המשוואה‪ . + − = 0.3 :‬נסדר‪:‬‬ ‫‪6 − 0 .3 x‬‬ ‫‪x x y‬‬ ‫נשווה בין המשוואות )‪ (I‬ו‪ (II)-‬ונמצא את ‪) x‬תחילה נצמצמם ב‪:( x ≠ 0 ,x-‬‬ ‫‪15 x‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫=‬ ‫‪→ 90 − 4.5 x = 72 − 3 x → 1.5 x − 18 = 0 → x = 12‬‬ ‫‪24 − x 6 − 0.3 x‬‬ ‫= ‪.(II) y‬‬ ‫אם כן‪ ,‬הזמן הדרוש לסוכן אמריקני אחד לסיים את העבודה כולה הוא ‪ 12‬שעות‪ .‬במידה ויעבדו ‪ 4‬סוכנים אמריקנים‬ ‫‪12‬‬ ‫במקביל‪ ,‬הזמן שיידרש להם לסיים את העבודה הוא‬ ‫‪ ,‬כלומר‪ 3 :‬שעות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪137‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ב‪ .‬לאחר הצבת הפתרון ‪ x = 12‬באחת המשוואות מהסעיף הקודם נמצא כי ‪. y = 15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלומר‪ :‬הספקו של סוכן אמריקני הוא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ואילו הספקו של מרגל סובייטי הוא‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫כעת נמלא את נתוני הסעיף בטבלה‪:‬‬ ‫מספר‬ ‫העובדים‬ ‫שני סוכנים מתחילים‬ ‫לעבוד בשעה ‪.06:00‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שני מרגלים מתחילים‬ ‫לעבוד בשעה ‪.07:00‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שני סוכנים נוספים מצטרפים‬ ‫בשעה ‪.08:00‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המרגל האחרון מצטרף‬ ‫בשעה ‪.08:00‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הספק‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫זמן‬ ‫‪t‬‬ ‫‪t −1‬‬ ‫‪t −2‬‬ ‫‪t −2‬‬ ‫החלק היחסי‬ ‫שבוצע מהעבודה‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫→‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪2(t − 1‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪2(t − 2‬‬ ‫‪t−2‬‬ ‫→‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪t −2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪−‬‬ ‫עלינו לגלות באיזו שעה הם יסיימו את העבודה כולה ולכן נשווה את סך העבודה שביצעו ל‪:1-‬‬ ‫‪t 2(t − 1) t − 2 t − 2‬‬ ‫‪2t − 2 3t − 4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫→‪=1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 1 → 10t − 10 − 6t + 8 = 30 → 4t = 32 → t = 8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15‬‬ ‫הסוכנים הראשונים התייצבו לעבודה בשעה ‪ .6:00‬עבודת הפענוח הסתיימה כעבור ‪ 8‬שעות‪ ,‬בשעה ‪.14:00‬‬ ‫ג‪ .‬מצאנו כי הזמן הדרוש לסוכן אמריקני לסיים לבדו את העבודה הוא ‪ 12‬שעות‪ ,‬ואילו למרגל סובייטי ‪ 15‬שעות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫מכאן שיחס הזמנים הוא‬ ‫‪ ,‬ולאחר צמצום‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המרגל הסובייטי עובד לאט יותר מהסוכן האמריקני‪ .‬אם קצב העבודה של הסוכן האמריקני הוא ‪ 20‬שורות בשעה‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫קצב העבודה של המרגל הסובייטי הוא‪ , ⋅ 20 :‬כלומר‪ 16 :‬שורות בשעה‪.‬‬ ‫נסמן ב‪ t-‬את הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח ונציב את הנתונים במשוואה‪:‬‬ ‫מספר‬ ‫זמן‬ ‫קצב‬ ‫העובדים‬ ‫שלושה‬ ‫‪3‬‬ ‫סוכנים‬ ‫‪t‬‬ ‫‪20‬‬ ‫סוכנים ושני‬ ‫מרגלים‬ ‫‪2‬‬ ‫מרגלים‬ ‫‪t‬‬ ‫‪− 16‬‬ ‫עובדים‬ ‫ביחד‬ ‫כמות השורות‬ ‫שפוענחו‬ ‫‪60t‬‬ ‫‪− 32 ⋅ t‬‬ ‫ביחד הם פיענחו ‪ 252‬שורות ומכאן מתקבלת המשוואה‪:‬‬ ‫‪60t − 32t = 252 → 28t = 252 → t = 9‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הזמן הדרוש לסוכנים לסיים את עבודת הפענוח הוא ‪ 9‬שעות ‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪138‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪Bn +1‬‬ ‫א‪ .‬כדי להוכיח כי הסדרה ‪ Bn‬היא הנדסית‪ ,‬עלינו להראות שמנתה קבועה ואינה תלויה ב‪ .n-‬כלומר‪= q B :‬‬ ‫‪Bn‬‬ ‫‪(I ) Bn = An − An+1‬‬ ‫תחילה נמצא את האיבר הכללי בסדרה ‪ . Bn‬לפי הנתון‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הסדרה ‪ An‬היא סדרה הנדסית עולה שאיברה הראשון הוא ‪ . a1‬נסמן את מנת הסדרה ‪ An‬באמצעות ‪ q‬ונקבל כי‬ ‫‪n‬‬ ‫‪An +1 = a1 ⋅ q n +1−1 → An+1 = a1 ⋅ q‬‬ ‫האיבר הכללי של הסדרה ‪ An‬הוא‪ An = a1 ⋅ q n −1 :‬ובהתאם‪:‬‬ ‫נחזור ונציב ב‪ (I ) -‬ונקבל‪:‬‬ ‫)‪Bn = An − An −1 → a1 ⋅ q n −1 − a1 ⋅ q n → Bn = a1 ⋅ q n ⋅ (q −1 − 1‬‬ ‫נציב באיבר הכללי ‪ n + 1‬ונקבל גם את האיבר ‪. Bn+1 = a1 ⋅ q n +1 ⋅ (q −1 − 1) : Bn +1‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪Bn +1 a1 ⋅ q n +1 ⋅ q −1 − 1 q n +1 q ⋅ q n‬‬ ‫=‬ ‫)מספר קבוע( ‪= n = n = q‬‬ ‫נוכיח כי הסדרה ‪ Bn‬הנדסית‪:‬‬ ‫‪Bn‬‬ ‫‪a1 ⋅ q n ⋅ q −1 − 1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ Bn‬שווה בערכו המוחלט לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. An‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪a1 q n − 1‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה ‪ An‬הוא ‪ a1‬ומנתה ‪ . q‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ An‬הוא‪:‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫)‬ ‫= ‪. SA‬‬ ‫(‬ ‫) ‪B1 = a1 ⋅ q 1 ⋅ q −1 − 1 → B1 = a1 ⋅ (1 − q‬‬ ‫נציב ‪ n = 1‬באיבר הכללי של הסדרה ‪ Bn‬ונמצא את ‪: B1‬‬ ‫כאמור‪ ,‬מנת הסדרה ‪ Bn‬היא ‪ , q‬ולכן סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ Bn‬הוא‪:‬‬ ‫)‬ ‫נשווה‪:‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪a1 (1 − q ) ⋅ q n − 1‬‬ ‫‪− a1 (q − 1) ⋅ q n − 1‬‬ ‫= ‪SB‬‬ ‫= ‪→ SB‬‬ ‫)‪→ S B = −a1 ⋅ (q n − 1‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫‪a qn −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S A = SB → 1‬‬ ‫→ ‪= − a1 ⋅ q n − 1‬‬ ‫→ ‪= −1‬‬ ‫‪= 1 → 1 = q −1 → q = 2‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫‪q −1‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫ג‪ .‬נסמן את ‪ q , n , a1‬של הסדרה המקורית ושתי תתי הסדרות )האיברים במקומות האי זוגיים והזוגיים(‪:‬‬ ‫בסדרה המקורית‪ :‬מספר האיברים הוא זוגי‪ . 2n :‬מנת הסדרה היא ‪ q = 2‬והאיבר הראשון הוא ‪. a1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪a1 2 2 n − 1‬‬ ‫=‬ ‫)‪→ S 2 n = a1 (4 n − 1‬‬ ‫מכאן שסכום הסדרה המקורית הוא‪:‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫בסדרת המקומות האי זוגיים‪ :‬מספר האיברים הוא ‪ . n‬מנת הסדרה היא‪ q2 = 4 :‬והאיבר הראשון הוא ‪. m ⋅ a1‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪m ⋅ a1 4 n − 1‬‬ ‫)‪m ⋅ a1 (4 n − 1‬‬ ‫= אי זוגיים ‪→ S‬‬ ‫מכאן שסכום האיברים שבמקומות האי זוגיים הוא‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4 −1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫בסדרת המקומות הזוגיים‪ :‬מספר האיברים הוא ‪ . n‬מנת הסדרה היא‪ q2 = 4 :‬והאיבר הראשון הוא ‪. 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2a1 n‬‬ ‫‪4 −1‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫)‪ = 1 (4 n − 1‬זוגיים ‪→ S‬‬ ‫מכאן שסכום האיברים שבמקומות הזוגיים הוא‪:‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫‪4 −1‬‬ ‫‪S 2n‬‬ ‫= אי זוגיים ‪S‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫זוגיים ‪S‬‬ ‫(‬ ‫‪m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫עלינו למצוא עבור אלו ערכי ‪ m‬מתקיים‪ > S 2 n :‬זוגיים ‪ + S‬אי זוגיים ‪ . S‬כלומר‪4 − 1 > a1 4 n − 1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫הסדרה ‪ An‬עולה ולכן‪ . a1 > 0 :‬כמו כן מתקיים‪ , 4 n − 1 > 0 :‬ולכן נוכל לצמצם בשני הביטויים החיוביים‪:‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪(m − 1)(m − 2) > 0‬‬ ‫‪m ⋅ a1 4 n − 1 2a1 n‬‬ ‫‪m 2‬‬ ‫‪m 2 − 3m + 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4 − 1 > a1 4 − 1 → +‬‬ ‫→ ‪−1 > 0‬‬ ‫→‪>0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫‪3 3m‬‬ ‫‪3m‬‬ ‫המספרים‬ ‫ציר‬ ‫על‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‬‫ו‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫והמכנה‬ ‫המונה‬ ‫נמקם את מאפסי‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ן‬ ‫השוויו‬ ‫באי‬ ‫השמאלי‬ ‫הביטוי‬ ‫סימן‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫כדי‬ ‫ערכים‪,‬‬ ‫ונציב סביבם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ניתן לראות כי תחום החיוביות הוא‪ m > 2 :‬או ‪. 0 < m < 1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫(‬ ‫עמוד ‪139‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫א‪ .‬ההתלבטות הראשונית בפתרון בעיה בהסתברות היא לרוב האם נפתור את התרגיל באמצעות טבלה או באמצעות‬ ‫עץ‪ .‬כאשר השאלה עוסקת בהגרלה בה יש מספר אפשרויות זכייה נבחר לרוב להשתמש בשיטת העץ‪ .‬להגרלה‬ ‫המתוארת בתרגיל זה יש שלוש תוצאות אפשריות‪ :‬זכייה ב‪ ,₪ 25-‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬או זכייה ב‪ ,₪ 75-‬ולכן סכום‬ ‫ההסתברויות שלהן שווה ל‪ .1-‬אם כך‪ ,‬נוכל לבטא את ההסתברות לזכות ב‪ ₪ 50-‬כ‪ , 1 − p − 0.1 :‬או למעשה‬ ‫‪ . 0.9 − p‬ראשית נציג את התרחישים האפשריים בעץ‪:‬‬ ‫דני‬ ‫‪p‬‬ ‫‪0.9-p‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪0.7‬‬ ‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.9-p‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫‪0.9-p‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫כדי למצוא את ההסתברות ‪ p‬ניצור משוואה ש‪ p-‬הוא הנעלם היחיד בה‪ .‬הנתון המסייע לנו בכך הוא שההסתברות‬ ‫שדני ירוויח בדיוק ‪ 75‬ש"ח בסוף היום היא ‪.0.28‬‬ ‫קיימים שלושה תרחישים אפשריים לזכייה ב‪) ₪ 75-‬הנובעים מהגבלה של השתתפות בשתי הגרלות לכל היותר(‪:‬‬ ‫‪ (1‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 75-‬ולאחריה פרישה מן המשחק‪.0.1:‬‬ ‫‪ (2‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 25-‬וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪. p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p) :‬‬ ‫‪ (3‬זכייה בהגרלה הראשונה ב‪ ₪ 50-‬וב‪ ₪ 25-‬בהגרלה השנייה‪. (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p :‬‬ ‫אם כן‪ ,‬סכום ההסתברויות של שלושת התרחישים הללו הוא ‪ .0.28‬ניצור משוואה מתאימה לפי העץ‪:‬‬ ‫‪0.1 + p ⋅ 0.6 ⋅ (0.9 − p ) + (0.9 − p) ⋅ 0.3 ⋅ p = 0.28‬‬ ‫‪0.1 + 0.54 p − 0.6 p 2 + 0.27 p − 0.3 p 2 = 0.28 → 0.9 p 2 − 0.81 p + 0.18 = 0‬‬ ‫למשוואה זו שני פתרונות אפשריים‪ , p1 = 0.5, p2 = 0.4 :‬אך ידוע לנו כי ‪ p > 0.4‬ולכן ‪. p = 0.5‬‬ ‫כעת נוכל להשלים את ההסתברויות בעץ‪.‬‬ ‫דני‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪0.7‬‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪140‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ב‪ .‬מהעץ ניתן לראות כי קיימים ארבעה תרחישים שיסתיימו בכך שדני יזכה ב‪ ₪ 50-‬או ב‪:₪ 100-‬‬ ‫‪ (1‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 25-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬ ‫‪ (2‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬ואי‪-‬השתתפות בהגרלה נוספת‪.‬‬ ‫‪ (3‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬ ‫‪ (4‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪.‬‬ ‫אם כן‪ ,‬ההסתברות שדני יזכה ב‪ 50-‬או ב‪ ₪ 100-‬הינה סכום ההסתברויות של ארבעת המאורעות הללו‪:‬‬ ‫‪0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.5 + 0.4 ⋅ 0.7 + 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 + 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.15 + 0.28 + 0.03 + 0.048 = 0.508‬‬ ‫ג‪ .‬ראשית נשים לב שהשאלה פותחת במלים ידוע שדני זכה בדיוק ב‪ .₪ 75-‬צמד מלים זה רומז על הסתברות‬ ‫מותנית‪ .‬כלומר‪ ,‬מדגישות כי אנחנו לא עוסקים עוד בהגרלה תיאורטית אשר בה כל אפשרויות הזכייה קיימות‪ ,‬אלא‬ ‫ב"עולם אפשרויות" מצומצם )מותנה(‪ ,‬בו אפשרויות הזכייה היחידות הקיימות הן אלו אשר עומדות בתנאי שניתן‬ ‫לנו‪ .‬בסעיף זה "עולם האפשרויות" מצומצם יותר ולכן אנו עוברים מעץ שלם לעץ חלקי‪ .‬ידוע שדני זכה ב‪ ₪ 75-‬ולכן‬ ‫בעץ קיימים רק שלושת המסלולים שבסופם זכה דני ב‪) ₪ 75-‬חץ מודגש(‪:‬‬ ‫דני‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫לא ממשיך להגרלה נוספת‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪₪ 25‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫בכל מקרה לא ממשיך בהגרלה נוספת‬ ‫‪0.7‬‬ ‫הגרלה ‪2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 50‬‬ ‫לא ממשיך להגרלה נוספת‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪₪ 75‬‬ ‫זוהי הסתברות מותנית‪ ,‬ובמקרים כאלו עלינו לחלק את ההסתברות של המאורע המסוים )הרוויח ‪ ₪ 75‬ועזב אחרי‬ ‫הגרלה ראשונה‪ ,‬הענף השמאלי ביותר( בהסתברות של "העולם החדש" והמצומצם )זכה סך הכל ב‪ ,₪ 75-‬בכל‬ ‫הענפים המודגשים(‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪P( B ∩ A) 0.1‬‬ ‫= )‪P( B / A‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪0.28 14‬‬ ‫ד‪ .‬כאשר יש יותר משלוש חזרות מעדיף להשתמש בנוסחת ברנולי‪ .‬ראשית נחשב את ‪ ,p‬ההסתברות של מאורע בודד‪.‬‬ ‫במקרה זה ההסתברות לזכייה ב‪ ₪ 100-‬לפחות ביום אחד )ניעזר בעץ המקורי( כוללת בתוכה שלוש אפשרויות‪:‬‬ ‫‪ (1‬זכייה ב‪ ₪ 25-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.5 ⋅ 0.6 ⋅ 0.1 = 0.03 :‬‬ ‫‪ (2‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 50-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.4 = 0.048 :‬‬ ‫‪ (3‬זכייה ב‪ ₪ 50-‬בהגרלה הראשונה וב‪ ₪ 75-‬בהגרלה השנייה‪ .‬ההסתברות‪. 0.4 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1 = 0.012 :‬‬ ‫כלומר‪ ,‬ההסתברות ‪ p‬שדני יזכה ביום אחד בסכום של לפחות ‪ ₪ 100‬היא‪. 0.03 + 0.048 + 0.012 = 0.09 :‬‬ ‫בנוסף נאמר כי דני מנסה את מזלו בהגרלה חמש פעמים‪ ,‬לכן ‪ .n=5‬אנו נדרשים למצוא את ההסתברות שיזכה ב‪100-‬‬ ‫‪ ₪‬או יותר ביומיים מתוכם )‪ .(k=2‬נציב את כל הנתונים בנוסחת ברנולי‪:‬‬ ‫‪n k‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ( p ) (1 − p ) n −k =  (0.09) 2 (0.91) 3 = 0.06‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪141‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫א‪ .‬מכיוון שאנו מתבקשים למצוא את ‪ EF‬נתחיל בשימוש בנתונים שקיימים עבורו‪:‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫נתון‬ ‫‪ F‬אמצע צלע ‪DO‬‬ ‫נתון‬ ‫‪EF||CD (2‬‬ ‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(2)-‬קטע היוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪ EF‬קטע אמצעים במשולש ‪∆CDO‬‬ ‫שמולו‬ ‫קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה‬ ‫⇓‬ ‫למחציתה‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪ EF = 0.5a‬מש"ל א'‬ ‫כעת עלינו להביע את אורך צלע ‪ CG‬בעזרת ‪ . a‬בדרך כלל יהיה קשר כלשהו בין הצלעות אותן אנחנו מתבקשים‬ ‫למצוא או להביע בשאלה‪ ,‬לכן נשים לב כי גם ‪ EF‬וגם ‪ CG‬נמצאים בתוך ‪ , ∆ACG‬ומכיוון שהן מקבילות ניתן‬ ‫להשתמש כאן במשפט תאלס‪.‬‬ ‫‪AE EF‬‬ ‫=‬ ‫‪: ∆ACG (5‬‬ ‫הרחבה שנייה של משפט תאלס‬ ‫‪AC CG‬‬ ‫נשתמש במאפייני הריבוע והאלכסונים בו כדי למצוא את היחס בתוך המשולש ‪∆ACG‬‬ ‫אלכסונים בריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ‪+‬‬ ‫‪AO = OC = 2m (6‬‬ ‫הצבה‬ ‫מתוך )‪ (3‬ו‪(6)-‬‬ ‫‪OE = EC = m (7‬‬ ‫נציב את אורכי הצלעות ביחס תאלס שמצאנו במשולש ‪∆ACG‬‬ ‫‪3m 0.5a‬‬ ‫=‬ ‫‪: ∆ACG (8‬‬ ‫‪4m CG‬‬ ‫⇓‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪ CG‬מש"ל א'‬ ‫המשך הפתרון בעמוד הבא‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪142‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ב‪ .‬נתון ששטח הטרפז ‪ CEFG‬הוא ‪ 21‬סמ"ר‪ ,‬ומבקשים מאתנו לחשב את‬ ‫‪ . a‬נשים לב כי בסעיף א' הבענו בעזרת ‪ a‬את שני אורכי בסיסי הטרפז )‪EF‬‬ ‫ו‪ (CG-‬ולכן נותר רק להביע את גובה הטרפז כדי למצוא את ‪. a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ OM (10‬גובה במשולש שווה שוקיים ‪∆OCD‬‬ ‫‪OM||AD (11‬‬ ‫‪ OM (12‬קטע אמצעים במשולש ‪∆ACD‬‬ ‫‪(13‬‬ ‫בניית עזר‬ ‫שני הישרים מאונכים ל‪ CD-‬ולכן הזוויות מתאימות‬ ‫ישר היוצא מאמצע צלע )‪ (6‬ומקביל לצלע שמולו )‪(11‬‬ ‫הוא קטע אמצעים‬ ‫⇓‬ ‫‪OM = 0.5a‬‬ ‫גובה הטרפז הוא ‪ ,NM‬ואותו אנו רוצים להביע‪.‬‬ ‫‪ (14‬במשולש ‪ EN : ∆OCM‬קטע אמצעים‬ ‫קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע שמולו‬ ‫קטע שיוצא מאמצע צלע במשולש )‪ (7‬ומקביל לצלע‬ ‫שמולו )‪(2‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫⇓‬ ‫מתוך )‪ (13‬ו‪(14)-‬‬ ‫‪ON = NM = 0.25a‬‬ ‫נציב את אורכי הצלעות בנוסחת שטח הטרפז ונשווה לנתון‪ .‬נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪( a + a) ⋅ a‬‬ ‫‪(EF + GC) ⋅ MN‬‬ ‫‪ 12 (16‬ס"מ = ‪3 4 = 21 → 7 a 2 = 21 → a 2 = 144 → a‬‬ ‫= ‪S EFGC‬‬ ‫‪= 21 → 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪48‬‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫ג‪ .‬נתון שהנקודה ‪ K‬היא אמצע ‪ ,BO‬ואנו מתבקשים להוכיח כי המרובע‬ ‫‪ CKFG‬הוא טרפז‪ .‬ניעזר בציור ונוכיח כי‪:‬‬ ‫‪ .1‬שוקיו אינן מקבילות )הדבר נובע מכך שהמשכי שוקיו ‪ KF‬ו‪ CG-‬נחתכים‬ ‫בנקודה ‪.(D‬‬ ‫‪ .2‬בסיסי הטרפז מקבילים )‪ . (FG||KC‬נוכיח זאת אם נראה כי משפט תאלס‬ ‫מתקיים במשולש ‪: ∆CDK‬‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪(19‬‬ ‫‪(20‬‬ ‫‪OD = OB = 2m‬‬ ‫‪KO = OF = FD = m‬‬ ‫‪CD = 12 , CG = 8 → GD = 4‬‬ ‫‪: ∆CDK‬‬ ‫‪m 4‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= → =‬ ‫‪2m 8‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫→‬ ‫אלכסוני הריבוע שווים זה לזה וחוצים זה את זה ו‪(6)-‬‬ ‫נתון ‪ K‬ו‪ F-‬אמצעי צלעות ‪ BO‬ו‪ DO-‬בהתאמה‪.‬‬ ‫אורך צלע הריבוע היא ‪) 12‬מש"ל ב'(‪ ,‬וכן מתוך )‪(9‬‬ ‫וחיסור קטעים‬ ‫‪DF DG‬‬ ‫?‬ ‫בדיקה לפי משפט תאלס הפוך אם ‪.FG||KC‬‬ ‫‪FK GC‬‬ ‫⇓‬ ‫‪ CKFG‬טרפז מש"ל ג'‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪143‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫‪45°‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫נתון‬ ‫‪p ABC = 90‬‬ ‫נתון ‪ +‬סימון‬ ‫‪DF = 1.2 x , DE = x‬‬ ‫שני משיקים למעגל היוצאים מאותה‬ ‫‪DC = EC = y , BE = BF‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫נקודה שווים זה לזה ‪ +‬סימון‬ ‫זויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות ‪+‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪p BFE = p BEF = 45°‬‬ ‫חישוב‬ ‫זוית בין משיק למיתר שווה לזוית‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪p FDE = p BFE = 45°‬‬ ‫ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני‬ ‫‪ (6‬נבטא את הצלע ‪ FE‬באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש ‪: ∆DEF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪FE = DF + DE − 2 ⋅ DF ⋅ DE ⋅ cos 45° = 1.44 x 2 + x 2 − 1.69 x 2 → FE 2 = 0.74 x 2 → FE = 0.86 x‬‬ ‫‪ (7‬נחשב את הזוית ‪ p DEF‬באמצעות משפט הסינוסים במשולש ‪: ∆DEF‬‬ ‫‪DF‬‬ ‫‪FE‬‬ ‫‪1 .2 x‬‬ ‫‪0.86 x‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫‪→ sin p DEF = 0.986 →p DEF = 80.4°‬‬ ‫‪sin p DEF sin p FDE‬‬ ‫‪sin p DEF sin 45°‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫זוית שטוחה שווה ל‪1800-‬‬ ‫‪p DEC = 180° − 80.4° − 45° = 54.6°‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫זויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות‬ ‫‪p EDC = p DEC = 54.6°‬‬ ‫סכום זויות במשולש ‪∆DCE‬‬ ‫‪p DCE = 180° − 2 ⋅ 54.6° → p DCE = 70.8° (10‬‬ ‫סכום זויות במשולש ‪ ∆ABC‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫‪p BAC = 180° − 90° − 70.8° → p BAC = 19.2° (11‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נתון ‪ AC +‬קוטר כיוון שזוית היקפית בת‬ ‫‪AC = EC + 7 = y + 7 (12‬‬ ‫‪ 900‬נשענת על קוטר‪ .‬נובע מ‪(3)-‬‬ ‫חיסור קטעים‪ +‬שני משיקים היוצאים‬ ‫‪AD = AC − DC = y + 7 − y → AF = AD = 7 (13‬‬ ‫מאותה נקודה שווים זה לזה‬ ‫זוית בין משיק למיתר שווה לזוית‬ ‫ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני‪.‬‬ ‫‪p ADF =p AFD = p DEF = 80.4° (14‬‬ ‫נובע מ‪(7)-‬‬ ‫‪ (15‬נמצא את ערכו של ‪ x‬באמצעות משפט הסינוסים במשולש ‪: ∆ADF‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫‪DF‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 .2 x‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫‪ 1.94‬ס "מ = ‪→ x‬‬ ‫‪sin p AFD sin p DAF‬‬ ‫‪sin 80.4° sin 19.2°‬‬ ‫‪DE = 1.94 , DF = 2.33 (16‬‬ ‫נובע מ‪ (2) -‬ו‪(15)-‬‬ ‫‪ (17‬נחשב את שטח המשולש ‪ ∆DEF‬באמצעות הנוסחה לשטח משולש בעזרת שתי צלעות והזוית שביניהן‪:‬‬ ‫‪DF ⋅ DE ⋅ sin p FDE 2.33 ⋅ 1.94 ⋅ sin 45°‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫= ‪S ∆DEF‬‬ ‫=‬ ‫‪ 1.6‬סמ"ר = ‪→ S ∆DEF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪144‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:6‬‬ ‫א‪ .‬הנתונים מתייחסים לערכי ה‪ y-‬של נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה‪ .‬לפונקציה יש שתי נקודות "קיצון‬ ‫קצה" בקצות תחום ההגדרה‪ x = 0 :‬ו‪. x = 2 :‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬נגזור את הפונקציה ונשווה הנגזרת ל‪ 0-‬בכדי לבדוק האם יש לפונקציה גם נקודות קיצון פנימיות‪:‬‬ ‫‪= 0 → 2 x − 34 = 0 → x = 17‬‬ ‫) ‪a ( 2 x − 34‬‬ ‫‪2 x 2 − 34 x + b‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫זהו ערך ה‪ x-‬של הנקודה החשודה כקיצון‪ ,‬אך מכיוון שאינו נמצא בתחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬נפסול פתרון זה‪.‬‬ ‫נסיק כי אין נקודת קיצון פנימית‪ ,‬ולכן ערכי הקיצון המוחלט של הפונקציה הם בהכרח בקצות תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫)‪a (2 x − 34‬‬ ‫= )‪ . f ' ( x‬על פי הנתון‪ a > 0 :‬ותחום ההגדרה ‪ 0 ≤ x ≤ 2‬ניתן להסיק כי הנגזרת‬ ‫נתבונן בנגזרת‪:‬‬ ‫‪2 x 2 − 34 x + b‬‬ ‫שלילית בכל תחום ההגדרה )המונה שלילי והמכנה חיובי בכל תחום ההגדרה(‪ .‬כלומר‪ ,‬הפונקציה )‪ f(x‬יורדת בכל‬ ‫תחום הגדרתה‪ ,‬ולכן נסיק כי‪:‬‬ ‫הערך המקסימלי ‪ 10‬נמצא בקצה השמאלי של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר ‪, x = 0‬‬ ‫ואילו הערך המינימלי ‪ 6‬נמצא בקצה הימני של תחום ההגדרה ומתקבל כאשר ‪. x = 2‬‬ ‫כלומר‪ ,‬נקודת המקסימום המוחלט היא )‪ (0,10‬ונקודת המינימום המוחלט היא )‪. ( 2,6‬‬ ‫נציב את שתי נקודות הקיצון שקיבלנו במשוואת הפונקציה‪:‬‬ ‫עבור הצבת ‪ x = 0‬נקבל‪ , f (0) = a b = 10 :‬ועבור הצבת ‪ x = 2‬נקבל‪. f (2) = a ⋅ b − 64 = 6 :‬‬ ‫‪a b = 10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ⋅ b − 64 = 6‬‬ ‫כעת נוכל לפתור את מערכת המשוואות‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫נחלק את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל‪:‬‬ ‫‪b − 64 6‬‬ ‫נעלה בריבוע את שני האגפים ונחלץ את ‪ .b‬הפתרון הוא‪ , b = 100 :‬ובהתאם ‪. a = 1‬‬ ‫=‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה ללא הפרמטרים היא‪. f ( x) = x 2 − 34 x + 100 :‬‬ ‫ב‪ .‬נבטא את הפונקציה ) ‪: g ( x‬‬ ‫‪= 36 − ( x 2 − 34 x + 100) = − x 2 + 34 x − 64‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 34 x + 100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪g ( x) = 36 −‬‬ ‫הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש הוא אי שלילי‪. − x 2 + 34 x − 64 ≥ 0 :‬‬ ‫המאפסים הם ‪ x = 2‬ו‪ . x = 32 -‬נמקם אותם על ציר ה‪ x-‬ונצייר פרבולה "עצובה"‪:‬‬ ‫עלינו למצוא מתי הפרבולה חיובית או שווה ל‪ 0-‬ולכן התחום המבוקש הוא‪. 2 ≤ x ≤ 32 :‬‬ ‫ג‪ .‬על מנת למצוא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה ) ‪ , g ( x‬נמצא ראשית את כל נקודות הקיצון‪ ,‬ונבדוק את‬ ‫‪− 2 x + 34‬‬ ‫שיעורי ה‪ y-‬שלהן‪ .‬נשווה את הנגזרת לאפס‪:‬‬ ‫= )‪g ' ( x‬‬ ‫‪= 0 → −2 x + 34 = 0 → x = 17‬‬ ‫‪2 − x 2 + 34 x − 64‬‬ ‫ובהתאם‪ ,‬נקבל באמצעות הצבה בפונקציה‪. (17 ,15) ← y = 15 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪145‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫לפונקציה )‪ g ( x‬יש גם שתי נקודות "קיצון קצה" בקצות תחום ההגדרה‪ x = 2 :‬ו‪. x = 32 -‬‬ ‫‪g (32) = − 32 2 + 34 ⋅ 32 − 64 = 0‬‬ ‫נמצא את שיעור ‪ y‬באמצעות הצבה‪, g (2) = − 2 2 + 34 ⋅ 2 − 64 = 0 :‬‬ ‫כלומר‪ ,‬שתי נקודות הקצה הן‪. (2,0) , (32,0) :‬‬ ‫בסך הכל נמצאו שלוש נקודות קיצון‪.‬‬ ‫נקודת הקיצון בעלת שיעור ה‪ y-‬הגבוה ביותר היא נקודת המקסימום המוחלט‪. Max (17 ,15) :‬‬ ‫נקודות הקיצון בעלות שיעור ה‪ y-‬הנמוך ביותר הן נקודות המינימום המוחלט‪. Min (2,0) , Min (32,0) :‬‬ ‫ד‪ .‬נתבקשנו למצוא לאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ g ' ( x ) > 0 :‬ולאילו ערכי ‪ x‬מתקיים‪ . g ' ( x ) < 0 :‬למעשה‪ ,‬עלינו למצוא‬ ‫את תחומי העליה והירידה של הפונקציה‪ .‬ניעזר בטבלת עלייה וירידה‪:‬‬ ‫‪17 < x < 32 x = 32‬‬ ‫קצה‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪min‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪x = 17‬‬ ‫‪2 < x < 17‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪− 2 x + 34‬‬ ‫‪2 − x 2 + 34 x − 64‬‬ ‫= )‪. g'( x‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫‪x=2‬‬ ‫קצה נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪ min‬עולה‪/‬יורדת‬ ‫כלומר‪ :‬הנגזרת חיובית כאשר ‪ . 2 < x < 17‬הנגזרת שלילית כאשר‪. 17 < x < 32 :‬‬ ‫ה‪ .‬כפי שראינו בסעיף הקודם‪ ,‬בנקודה ‪ x = 17‬עובר גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬מחיוביות לשליליות‪ .‬ניתן לשרטט באופן‬ ‫סכמטי את גרף הנגזרת‪:‬‬ ‫גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬נמצא מעל לציר ה‪ x-‬בתחום ‪ , 2 < x < 17‬ומתחת לציר ה‪ x-‬בתחום ‪. 17 < x < 32‬‬ ‫עלינו לחשב את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת ) ‪ g ' ( x‬לבין ציר ה‪ x-‬והישרים ‪ x = 12‬ו‪. x = 22 -‬‬ ‫בטרם נחשב את השטחים ‪ S1‬ו‪ , S 2 -‬נשים לב כי האינטגרל של הנגזרת )‪ g ' ( x‬הוא הפונקציה )‪ g ( x‬עצמה‪:‬‬ ‫= ‪= − 17 2 + 34 ⋅17 − 64 − − 12 2 + 34 ⋅12 − 64‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪S1 = ∫ [g ' (x ) − 0]dx = g ( x) 12 = − x 2 + 34 x − 64‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 0.86‬יח"ר = ‪15 − 10 2‬‬ ‫בחישוב השטח הימני‪ ,‬נשים לב שגרף הנגזרת )‪ g ' ( x‬נמצא מתחת לציר ה‪ ,x-‬ולכן בחישוב האינטגרל‪ ,‬נקפיד על‬ ‫המינוס‪:‬‬ ‫= ‪= − − 22 2 + 34 ⋅ 22 − 64 + − 17 2 + 34 ⋅ 17 − 64‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪− x 2 + 34 x − 64‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪∫ [0 − g ' (x )]dx = − g ( x) 17 = −‬‬ ‫= ‪S2‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ 0.86‬יח"ר = ‪− 10 2 + 15‬‬ ‫מחיבור שני השטחים נקבל‪:‬‬ ‫‪ 1.72‬יח"ר = ‪. S1 + S 2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪146‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:7‬‬ ‫א‪ .‬נמצא את האסימפטוטות בתחום‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‪≤x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . −‬לשם כך‪ ,‬נבדוק מתי המכנה מתאפס‪.‬‬ ‫‪(1 − cos x) 2 = 0 → 1 − cos x = 0 → cos x = 1 → x = 2πk‬‬ ‫עבור הצבת ערכי ‪ k‬שלמים‪ ,‬חיוביים ושליליים‪ ,‬ניתן לראות כי הפתרון היחיד בתחום הנתון הוא ‪ , x = 0‬ולכן‬ ‫האסימפטוטה היחידה בתחום היא‪. x = 0 :‬‬ ‫ב‪ .‬נגזור את הפונקציה ונסדר את הנגזרת‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]‪a cos x(1 − cos x) − a sin x[2(1 − cos x) sin x ] [a(1 − cos x)][cos x(1 − cos x) − 2 sin 2 x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫‪(1 − cos x) 4‬‬ ‫‪(1 − cos x) 4‬‬ ‫])‪[a(1 − cos x)][cos x − cos 2 x − 2 sin 2 x] a[cos x − cos 2 x − 2(1 − cos 2 x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪(1 − cos x) 4‬‬ ‫‪(1 − cos x)3‬‬ ‫]‪a[cos x − cos 2 x − 2 + 2 cos 2 x] a[cos 2 x + cos x − 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪(1 − cos x) 3‬‬ ‫‪(1 − cos x) 3‬‬ ‫))‪a(cos x + 2)(cos x − 1) a(cos x + 2) ⋅ (−(1 − cos x‬‬ ‫)‪a(cos x + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(1 − cos x‬‬ ‫)‪(1 − cos x‬‬ ‫‪(1 − cos x) 2‬‬ ‫בשלב האמצעי בשורה הקודמת‪ ,‬הוצאנו מינוס מהכופל הימני במונה כדי לצמצמו עם המכנה‪.‬‬ ‫כעת‪ ,‬כאשר הנגזרת מוצגת באופן זה‪ ,‬נוכל לקבוע את סימנה‪ .‬נבדוק את הביטויים המופיעים במונה ובמכנה‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפרמטר ‪ a‬חיובי משום שנתון ‪. a > 0‬‬ ‫‪ .2‬הביטוי )‪ (cos x + 2‬חיובי עבור כל ‪ x‬כי ערכי הקוסינוס האפשריים הם‪. −1 < cosx < 1 :‬‬ ‫‪ .3‬המכנה הוא ביטוי ריבועי חיובי לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫לסיכום‪ :‬המכפלה במונה היא שלילית ולכן הנגזרת כולה שלילית‪ .‬כלומר‪ ,‬הפונקציה יורדת לכל ‪ x‬בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪ y-‬כיוון שציר ה‪ y-‬הוא האסימפטוטה ‪ x = 0‬שמצאנו‪.‬‬ ‫כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה‪ ,x-‬נשווה את הפונקציה לאפס‪.‬‬ ‫‪→ 0 = a sin x → sin x = 0 → x = πk → x = 0‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫‪(1 − cos x )2‬‬ ‫=‪0‬‬ ‫פתרון זה נפסל גם הוא בגלל האסימפטוטה ‪ . x = 0‬לסיכום‪ ,‬לפונקציה אין בתחום נקודות חיתוך עם הצירים‪.‬‬ ‫ד‪ .‬על פי סעיף ב' אנו יודעים כי אין לפונקציה נקודות קיצון פנימיות‪.‬‬ ‫נמצא את שתי נקודות הקיצון בקצות תחום ההגדרה‪ ,‬ובמקרה שלנו‪:‬‬ ‫עבור הצבת‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x = −‬בפונקציה נקבל‪:‬‬ ‫) ‪,− a‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x = −‬ו‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪.x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(−‬‬ ‫) ‪a sin( −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫= ) ‪f (−‬‬ ‫=‬ ‫→ ‪= −a‬‬ ‫‪π 2 (1 − 0) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)) ‪(1 − cos( −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫) (‪a sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=) (‪f‬‬ ‫=‬ ‫)‪= a → ( , a‬‬ ‫עבור הצבת = ‪ x‬בפונקציה נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1 − cos( )) 2 (1 − 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכיוון שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪ ,‬נוכל לקבוע כי הנקודה השמאלית היא נקודת מקסימום‪ ,‬ואילו‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫הנקודה הימנית היא נקודת מינימום‪ .‬לסיכום‪ , max(− ,− a ) :‬ו‪. min( , a ) -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪147‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ה‪ .‬נביע באמצעות ‪ a‬את השטח הכלוא ברביע הראשון בין גרף ) ‪ f (x‬לבין ציר‬ ‫‪π‬‬ ‫ה‪ x-‬והישרים‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ x‬ו‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ a sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S = ∫ ‬‬ ‫‪− 0 dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪π  (1 − cos x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪:x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫כדי לבצע אינטגרציה לביטוי‬ ‫‪(1 − cos x) 2‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = 1 − cos x :‬‬ ‫נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה‪.‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= sin x :‬‬ ‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬ ‫= ‪: dx‬‬ ‫∫ = ‪ S‬ונציב בו‪:‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪u2‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫‪a sin x du‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∫=‪S‬‬ ‫∫ → ‪dx‬‬ ‫⋅‬ ‫‪→ ∫ 2 du → ∫ au −2 du‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪∫ au du = −au = − u :‬‬ ‫‪a sin x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.−‬‬ ‫והוא‪:‬‬ ‫נציב בחזרה ‪ u = 1 − cos x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי‬ ‫‪1− cos x‬‬ ‫‪(1 − cos x) 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫לשם הנוחות להמשך התרגיל‪ ,‬נכניס את המינוס למכנה ונקבל סופית שהאינטגרל הוא‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪cos x − 1‬‬ ‫= ‪. dx‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ S = ∫ ‬במלואו‪:‬‬ ‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל ‪− 0 dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪π  (1 − cos x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S = ∫ ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫→‬ ‫→‬ ‫‪−‬‬ ‫→ ‪→ −a + 2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos − 1 cos − 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ו‪ .‬הפונקציה ) ‪ g (x‬היא פונקציית הערך המוחלט של הפונקציה ) ‪ . f ( x‬כלומר‪ ,‬הופכת את כל הערכים השליליים‬ ‫לחיוביים ללא שינוי הערך המספרי‪ .‬הערך המוחלט אינו משפיע על הערכים החיובים של הפונקציה ולכן היא נראית‬ ‫כ'תמונת מראה' כלפי מעלה של החלק השלילי הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫כלומר‪ ,‬שיעורי נקודת הקיצון בקצה השמאלי של תחום ההגדרה הם כעת‪, a ) :‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. (−‬‬ ‫נתון כי הישר ‪ y = k‬חותך את גרף ) ‪ g ( x‬בשתי נקודות כאשר ‪. k ≥ 3‬‬ ‫הישרים ממשפחת ‪ y = k‬מקבילים לציר ה‪ ,x-‬וחותכים את גרף הפונקציה ) ‪g ( x‬‬ ‫בשתי נקודות כאשר הם עוברים דרך שתי נקודות הקיצון או מעליהן‪ .‬כלומר‪ ,‬הערך‬ ‫המינימלי שאותו יוכל לקבל הפרמטר ‪ k‬הוא ‪ ,a‬ואם נתחשב בנתון ‪ , k ≥ 3‬הרי‬ ‫שערך זה הוא ‪ ,3‬ולכן ‪. a = 3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪148‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:8‬‬ ‫א‪ .‬על פי הנתון‪ ,‬המשיקים בנקודה ‪ A‬מאונכים זה לזה‪ ,‬ולכן מכפלת שיפועיהם היא ‪.-1‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נביע את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ A‬על ידי השוואת הפונקציות‪:‬‬ ‫‪5a 2‬‬ ‫= ‪f ( x ) = g ( x ) → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 16 x − a 2 = 9a 2 − 16 x → 32 x = 10a 2 → x‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5a‬‬ ‫= ‪ x‬בנגזרות‪:‬‬ ‫את השיפועים בנקודה ‪ A‬נמצא על ידי גזירת הפונקציות והצבת‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5a 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16 4‬‬ ‫= ) ‪f ( x ) = 16 x − a 2 → f ' ( x‬‬ ‫(' ‪→ f‬‬ ‫=)‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 16 x − a‬‬ ‫‪5a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫(‪2 16‬‬ ‫‪) − a2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 16‬‬ ‫‪5a‬‬ ‫‪− 16‬‬ ‫‪− 16‬‬ ‫‪− 16 − 4‬‬ ‫= ) ‪g ( x ) = 9a 2 − 16 x → g ' ( x‬‬ ‫=)‬ ‫( '‪→ g‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 9a − 16 x‬‬ ‫‪5a‬‬ ‫‪2 4a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪2 9a − 16‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪−4 4‬‬ ‫‪⋅ = −1 → a 2 = 16 → a = ±4‬‬ ‫כאמור‪ ,‬מכפלת השיפועים היא ‪ -1‬ולכן‪:‬‬ ‫‪a a‬‬ ‫ולאור הנתון ‪ a > 0‬נקבל את הפתרון ‪. a = 4‬‬ ‫ב‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬בשאלות מסוג זה נביע את פונקציית המטרה‪ ,‬נגזור אותה ונמצא את נקודת הקיצון המבוקשת‪.‬‬ ‫‪. f ( x ) = 16 x − 16 , g ( x ) = 144 − 16 x‬‬ ‫ראשית נרשום את הפונקציות לאחר הצבת ‪: a = 4‬‬ ‫‪5 ⋅ 42‬‬ ‫בעזרת סעיף א' נמצא את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪= 5 :A‬‬ ‫‪16‬‬ ‫כעת נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הנתונות עם ציר ‪ ,x‬ולצורך כך נשווה את הפונקציות ל‪:0-‬‬ ‫)‪f ( x ) = 0 = 16 x − 16 → 0 = 16 x − 16 → x = 1 → B (1,0‬‬ ‫=‪.x‬‬ ‫)‪g ( x ) = 0 = 144 − 16 x → 0 = 144 − 16 x → x = 9 → C (9,0‬‬ ‫השטח המבוקש הוא שטח מורכב‪ ,‬ולכן נוריד אנך מנקודת המפגש ‪ A‬לציר ה‪.x-‬‬ ‫נוסיף לשרטוט את שני הישרים ‪ x = m‬ו‪ x = m + 6 :‬כך שהם עוברים משני צדי הנקודה ‪ A‬אך בין הנקודות ‪ B‬ו‪.C-‬‬ ‫נקרא לשטח השמאלי ‪ S1‬ולשטח הימני ‪ ,S2‬ונחשב בנפרד את נפח גוף הסיבוב‬ ‫המתקבל עבור כל אחד מהשטחים המסתובבים סביב ציר ה‪.x-‬‬ ‫נפח גוף הסיבוב של ‪:S1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫]‪V1 = π ∫ ( 16x − 16 ) 2 dx = π ∫ (16x − 16)dx = π ⋅ (8x 2 − 16x) = π [200 − 80 − (8m 2 − 16m)] = π [−8m 2 + 16m + 120‬‬ ‫נפח גוף הסיבוב של ‪:S2‬‬ ‫=‬ ‫‪m+ 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫) ‪(144 − 16 x)dx = π ⋅ (144 x − 8 x 2‬‬ ‫‪m+ 6‬‬ ‫∫ ‪( 144 − 16 x ) 2 dx = π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪m+6‬‬ ‫∫ ‪V2 = π‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]‪π [(144(m + 6) − 8(m + 6) 2 − 520] = π [144m + 864 − 8m 2 − 96m − 288 − 520] = π [−8m 2 + 48m + 56‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪149‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫כעת נחבר את שני נפחי גוף הסיבוב שמצאנו כדי לקבל את פונקציית המטרה )הנפח הכולל(‪:‬‬ ‫)‪h(m) = V1 + V2 = π (−8m 2 + 16m + 120) + π ( −8m 2 + 48m + 56) = π (−16m 2 + 64m + 176‬‬ ‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫‪h' ( m) = π ( −32m + 64) = 0 → 32m = 64 → m = 2‬‬ ‫נבדוק את סוג הקיצון‪ ,‬על ידי שימוש בנגזרת השנייה‪ ,‬כדי לוודא שאכן קיבלנו נפח מקסימלי כפי שהתבקשנו‪:‬‬ ‫‪h' ' (m) = −32π < 0 → Max‬‬ ‫ואכן‪ ,‬עבור ‪ m = 2‬נפח גוף הסיבוב המתקבל הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪150‬‬