‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪7‬‬ ‫שאלה ‪:1‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫נתון ראשון‬ ‫נסמן את המרחק בין ‪ A‬ל‪ B-‬בתור ‪.x‬‬ ‫לפי הנתון הראשון‪ ,‬הרוכב מ‪ B-‬פגש את הרוכב המהיר מ‪A-‬‬ ‫במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪ A-‬כפי שנראה בשרטוט‪.‬‬ ‫נסמן את זמן נסיעתם עד המפגש באמצעות ‪ ,t‬ונחשב את‬ ‫מהירויותיהם‪ ,‬על ידי חילוק הדרך בזמן‪.‬‬ ‫הרוכב המהיר שיצא מ‪A-‬‬ ‫הרוכב שיצא מ‪B-‬‬ ‫נתון שני‬ ‫לפי הנתון השני‪ ,‬הרוכב מ‪ B-‬פגש את הרוכב‬ ‫האיטי מ‪ A-‬במרחק ‪ 25‬ק"מ מ‪ A-‬כמתואר‬ ‫בשרטוט‪.‬‬ ‫מהירות‬ ‫הרוכב האיטי שיצא מ‪A-‬‬ ‫זמן‬ ‫‪40‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x − 40‬‬ ‫‪t‬‬ ‫דרך‬ ‫‪t‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x − 40‬‬ ‫מהירות‬ ‫זמן‬ ‫דרך‬ ‫)‪25( x − 40‬‬ ‫)‪t( x − 25‬‬ ‫)‪t( x − 25‬‬ ‫‪x − 40‬‬ ‫‪25‬‬ ‫מהירותו של הרוכב שיצא מ‪ B-‬נשארה זהה‪,‬‬ ‫ולכן‬ ‫הרוכב שיצא מ‪B-‬‬ ‫נוכל לחשב את זמן הרכיבה שלו‪ ,‬על ידי חילוק‬ ‫הדרך במהירות‪.‬‬ ‫זמן זה זהה לזמן הנסיעה של הרוכב האיטי‬ ‫שיצא מ‪ ,A-‬ולכן נוכל לחשב כעת גם את מהירותו של הרוכב האיטי שיצא מ‪ ,A-‬על ידי חלוקת הדרך בזמן‪.‬‬ ‫‪x − 40‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‪t( x − 25‬‬ ‫‪x − 40‬‬ ‫‪x − 25‬‬ ‫לפי הנתון השלישי‪ ,‬בעת הפגישה הראשונה‪ ,‬שהתרחשה במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪ ,A-‬המרחק בין שני הרוכבים שיצאו‬ ‫מ‪ A-‬היה ‪ 20‬ק"מ‪ .‬כלומר‪ ,‬הרוכב האיטי שיצא מ‪ A-‬עבר ‪ 20‬ק"מ ) = ‪ (40-20‬בפרק זמן שאורכו ‪) t‬הזמן שחלף מרגע‬ ‫היציאה עד למפגש הראשון(‪.‬‬ ‫)‪25( x − 40‬‬ ‫על פי מה שמצאנו עד כה‪ ,‬מהירותו של הרוכב האיטי היא‪:‬‬ ‫)‪t( x − 25‬‬ ‫‪ .‬בזמן ‪ t‬הוא עבר ‪ 20‬ק"מ‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫)‪25( x − 40‬‬ ‫‪ 100‬ק"מ = ‪⋅ t = 20 → 25( x − 40) = 20( x − 25) → 5x = 500 → x‬‬ ‫)‪t( x − 25‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫→ ‪V ⋅T = S‬‬ ‫עמוד ‪1‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:2‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬הסדרה ‪ A n‬היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪ .‬כמו בכל סדרה הנדסית‪ ,‬גם כאן הנוסחה לאיבר הכללי היא‪:‬‬ ‫‪n −1‬‬ ‫‪ , An = A1 ⋅ q‬אך במקרה זה‪ ,‬המנה ‪ q‬היא שבר חיובי‪ .‬כלומר מתקיים‪. 0 < q < 1 :‬‬ ‫כדי להוכיח כי שתי הסדרות החדשות ) ‪ ( C n , B n‬הן גם סדרות הנדסיות אינסופיות יורדות‪ ,‬עלינו להראות שהמנה‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫של כל אחת מהן היא ערך כלשהו בין ‪ 0‬ל‪ .1-‬כלומר‪ ,‬להראות שלכל ‪ n‬מתקיים‪ 0 < n +1 < 1 :‬וכן ‪. 0 < n +1 < 1‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪b‬‬ ‫נתחיל בסדרה ‪ , B n‬אשר מוגדרת על ידי הכלל‪ . B n = An +1 ⋅ An + 3 :‬נבדוק אם המנה ‪ n +1‬היא מספר קבוע‪:‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪n +1‬‬ ‫‪n+3‬‬ ‫‪q 2n+4‬‬ ‫‪bn+1 an + 2 ⋅ an+ 4 a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 2 n + 2 = q 2 n + 4−( 2 n + 2 ) → q b = q 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪a n+1 ⋅a n+3‬‬ ‫‪a1 ⋅q ⋅a1 ⋅q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫מצאנו כי המנה של הסדרה ‪ B n‬היא למעשה ‪= q 2‬‬ ‫‪ . qb‬מכיוון שידוע כי ‪ 0 < q < 1‬ניתן להסיק כי מתקיים גם‪:‬‬ ‫‪ , 0 < q b < 1‬ומכאן שגם הסדרה ‪ B n‬היא סדרה הנדסית אינסופית יורדת‪.‬‬ ‫נבצע את אותה בדיקה עבור הסדרה ‪ , C n‬המוגדרת על ידי הכלל‪ , C n = ( An ) :‬ולכן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= q 2 n − ( 2 n − 2 ) → qc = q 2‬‬ ‫‪a12 ⋅ q 2 n‬‬ ‫‪2 n−2‬‬ ‫‪a ⋅q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a1 ⋅ q n‬‬ ‫) ‪cn+1 (an +1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪(a n )2 a1 ⋅q n−1‬‬ ‫מכיוון שידוע כי ‪ 0 < q < 1‬ניתן להסיק כי מתקיים גם‪ , 0 < q c < 1 :‬ומכאן שגם הסדרה ‪ C n‬היא סדרה הנדסית‬ ‫אינסופית יורדת‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי סכום הסדרה ‪ C n‬גדול פי‪ 16-‬מסכום הסדרה ‪ . B n‬נסמן‪ . S c = 16 ⋅ S b :‬נשתמש בנוסחת הסכום‬ ‫‪a12‬‬ ‫‪a ⋅a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫→‬ ‫לסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ S = 1‬ונקבל‪= 16 ⋅ 2 24 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− q‬‬ ‫‪1− q‬‬ ‫‪1− q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a12 = 16 ⋅ ( a1 ⋅ q ⋅ a1 ⋅ q 3 ) → a12 = 16 ⋅ a12 ⋅ q 4‬‬ ‫= ‪→ 1 = 16 q 4 → q 4‬‬ ‫‪→ q = ± 0 .5‬‬ ‫‪16‬‬ ‫לפי הנתונים ‪ , 0 < q < 1‬ולכן‪. q = 0.5 :‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫⋅ ‪= 16‬‬ ‫‪1 − qc‬‬ ‫‪1 − qb‬‬ ‫ג‪ .‬התלמיד מחק איברים בסדרה מעבר לאיבר מסוים שמיקומו הסידורי אי זוגי‪ .‬למעשה‪ ,‬הסדרה הפכה מסדרה‬ ‫אינסופית‪ ,‬לסדרה סופית בעלת מספר אי זוגי של איברים )הסדרה מתחילה באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימת‬ ‫באיבר שמיקומו אי זוגי(‪ .‬מכיוון שלא ידוע לנו מהו מיקומו של האיבר במקום האי זוגי שהפך להיות האיבר האחרון‬ ‫בסדרה החדשה נגדיר אותו כ‪ . a 2 n +1 :‬נתון כי בסדרה החדשה )הסופית( האיבר הראשון גדול פי ארבעה מהאיבר‬ ‫האמצעי‪ .‬כדי להקל על מציאת המיקום הסידורי של האיבר‬ ‫האמצעי בסדרה מומלץ לשרטט סקיצה של הסדרה‪:‬‬ ‫‪a1 = 4 ⋅ a n + 1‬‬ ‫אם כן‪ ,‬האיבר האמצעי בסדרה בת מספר אי זוגי של איברים ) ‪ ( 2 n + 1‬הוא ‪ , a n + 1‬ולכן‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נשתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה ‪ A n‬ונקבל‪:‬‬ ‫חשוב לשים לב שלמרות מחיקת אינסוף האיברים‪ ,‬מנת הסדרה לא השתנתה‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪= (0 . 5 ) → (0 . 5 ) = (0 . 5 ) → n = 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לסיכום‪ :‬בסדרה החדשה )הסופית( יש ‪ 2 n + 1‬איברים‪ ,‬ולכן סדרה זו מונה ‪ 5‬איברים ‪.‬‬ ‫‪a1 = 4 ⋅ a1 ⋅ q‬‬ ‫→ ) ‪a 1 = 4 ⋅ a 1 ⋅ (0 . 5‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪n‬‬ ‫עמוד ‪2‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬השאלה עוסקת בשני אצנים )דן ושי( בעלי הסתברויות שונות לסיים בהצלחה מקצה ריצה )‪ p‬ו‪ ,q-‬בהתאמה(‪.‬‬ ‫מכיוון שכל אחד מהאצנים רץ שישה או שבעה מקצים )מספר חזרות גבוה( נעדיף להשתמש בנוסחת ברנולי‪ .‬כדי‬ ‫לקבוע מי אצן מוכשר יותר עלינו למצוא את ‪ p‬ו‪ .q-‬מביניהם‪ ,‬בעל ההסתברות הגבוהה יותר לסיים מקצה בהצלחה‬ ‫הוא האצן המוכשר יותר‪.‬‬ ‫דן‪ :‬ההסתברות שדן יסיים בהצלחה בדיוק ארבעה מקצים ) ‪ ( k = 4‬מתוך שבעה ) ‪ ,( n = 7‬קטנה פי ‪ 3‬מההסתברות‬ ‫שיסיים בהצלחה בדיוק ‪ 3‬מקצים ׁ) ‪ ( k = 3‬מתוך השבעה ) ‪ .( n = 7‬מתקבלת משוואה עם נעלם אחד )‪ (p‬אותו נוכל‬ ‫למצוא‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪3 ⋅  ( p ) 4 (1 − p) 3 =  ( p) 3 (1 − p) 4 → 105 ⋅ ( p ) (1 − p ) = 35 ⋅ ( p ) (1 − p‬‬ ‫→ ) ‪: 35 ⋅ ( p ) (1 − p‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪3 p = (1 − p ) → 4 p = 1 → p‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) ‪ ( p ) (1 − p‬מכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים‪.‬‬ ‫שי‪ :‬ההסתברות ששי יסיים בהצלחה שני מקצים ) ‪ ( k = 2‬מתוך שישה ) ‪ ( n = 6‬גבוהה פי ‪ 20‬מההסתברות שיסיים‬ ‫בהצלחה חמישה מקצים ) ‪ ( k = 5‬מתוך שישה ) ‪ .( n = 6‬מתקבלת משוואה עם נעלם אחד )‪ (q‬אותו נוכל למצוא‪:‬‬ ‫‪6 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫→ ) ‪ (q ) (1 − q) 4 = 20 ⋅  (q ) 5 (1 − q )1 → 15 ⋅ (q )2 (1 − q ) 4 = 120 ⋅ (q )5 (1 − q )1 / : 15 ⋅ (q )2 (1 − q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪(1 − q )3 = 8 ⋅ (q )3 / 3 → 1 − q = 2q → 1 = 3q → q = 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שימו לב שיכולנו לחלק את שני האגפים בביטוי ) ‪ (q ) (1 − q‬מכיוון ששני המרכיבים שלו אינם מתאפסים‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫מההשוואה בין ‪ p‬ל‪ q-‬אנו רואים כי ‪ q‬גבוה יותר ) > (‪ ,‬כלומר ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה גבוהה‬ ‫‪3 4‬‬ ‫יותר ולכן שי אצן מוכשר יותר מדן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬סעיף זה בנוי משני שלבים ולכן נוכל לפתור אותו בעזרת תרשים עץ‪:‬‬ ‫קובייה‬ ‫‪6− x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הצליח‬ ‫לא הצליח‬ ‫הצליח‬ ‫דן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫לא הצליח‬ ‫כדי למלא את ההסתברויות בכל ענף עלינו להשתמש בתשובה של סעיף א' ובנתונים שקיבלנו‪:‬‬ ‫ראשית‪ ,‬עלינו לגלות מהי ההסתברות שכל אחד מהאצנים יישלח לתחרות‪ .‬החלטה זו נקבעת בהטלת קובייה‪ .‬אם‬ ‫הקובייה תראה את הספרה ‪ x‬או כל ספרה הקטנה ממנה יישלח שי )שנמצא בסעיף א' כאצן המוכשר יותר(‪ .‬כלומר‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .‬חשוב להבין איך הגענו לכך‪ ,‬ועל מנת לעשות זאת נבחר ‪ x‬לדוגמא‪.x=2 :‬‬ ‫ההסתברות ששי יישלח לתחרות הוא‬ ‫‪6‬‬ ‫במקרה זה תוצאות הקובייה שיגרמו לשליחתו של שי הן ‪ 1‬או ‪ .2‬כלומר קיימות ‪ 2‬אפשרויות מתוך ה‪ ,6-‬ולכן‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬ההסתברות לשליחה של דן תהיה ההסתברות המשלימה לשליחתו של‬ ‫ובעצם‬ ‫ההסתברות לשליחתו תהיה‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x 6− x‬‬ ‫= ‪.1 −‬‬ ‫שי לתחרות‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪3‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ידוע מסעיף א' כי ההסתברות ששי יסיים מקצה בהצלחה היא ואילו זו של דן היא‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫נשתמש בנתון היחיד בו עדיין לא השתמשנו‪ :‬ההסתברות שהמועמד שישתתף בתחרות העירונית יסיים את הריצה‬ ‫בהצלחה נמוכה ב‪ 7 -‬מההסתברות שהוא לא יסיים אותו בהצלחה‪.‬‬ ‫‪ .‬נציב זאת בעץ‪ .‬כעת‪,‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪x 1 6− x 1 x 6− x‬‬ ‫‪⋅ +‬‬ ‫‪⋅ = +‬‬ ‫ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( יסיים את הריצה בהצלחה‪ ,‬לפי העץ‪ ,‬היא‪:‬‬ ‫‪6 3‬‬ ‫‪6 4 18 24‬‬ ‫‪x 2 6 − x 3 2 x 18 − 3x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ⋅‬ ‫‪. ⋅ +‬‬ ‫ההסתברות שהמועמד שנשלח )דן או שי( לא יסיים את הריצה בהצלחה היא‪:‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪6 3‬‬ ‫‪6 4 18‬‬ ‫נתון שההסתברות להצלחה נמוכה ב‪ 7 -‬מההסתברות לכישלון‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪x 6 − x 7 2x 18 − 3x‬‬ ‫‪28 + 4x + 18 − 3x 54 − 9x + 8x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ = +‬‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫‪→ x + 46 = 54 − x → 2x = 8 → x = 4‬‬ ‫‪18 24 18 18‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪72‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪4‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫סעיף זה הינו סעיף קלאסי לתרגילים שעוסקים בפרופורציות במעגל‪ .‬נתחיל בהגדרת כל הצלעות שמשתתפות בו‪.‬‬ ‫נתון ‪AC = 2 AD‬‬ ‫נסמן ‪ AD = x‬ולכן ‪AC = 2 x‬‬ ‫נסמן ‪ r‬רדיוס המעגל ‪ R , O1‬רדיוס המעגל ‪ , O2‬ומכיוון שנתון כי ‪ S O2 = 25S O1‬נקבל‪:‬‬ ‫נוסחת שטח המעגל וחישוב‬ ‫‪25πr 2 = πR 2 ⇒ R = 5r‬‬ ‫בתרגיל נתון כי הישרים ‪ AO2‬ו‪ AO1 -‬חותכים את המעגלים‪ .‬חשוב‬ ‫שנשים לב כי הישרים ‪ AO2‬ו‪ AO1 -‬אמנם חותכים את המעגל‬ ‫בנקודה אחת‪ ,‬אך אינם ה"חותכים" שעליהם מדובר במשפט "שני‬ ‫החותכים" של הפרופורציה במעגל‪ ,‬כי אינם חותכים את המעגל בשתי‬ ‫נקודות‪ .‬כדי שנוכל להשתמש במשפט זה‪ ,‬נמשיך בבניית עזר את ‪AO2‬‬ ‫עד לנקודה ‪ , M‬ואת ‪ AO1‬עד לנקודה ‪. N‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪DM = 2 R = 10 r‬‬ ‫קוטר במעגל ‪ O2‬ומסעיף )‪(3‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪CN = 2r‬‬ ‫קוטר במעגל ‪. O1‬‬ ‫כעת נוכל להשתמש במשפט החותך והמשיק למעגל היוצאים מאותה נקודה‪ ,‬עבור כל אחד מהמעגלים‪:‬‬ ‫אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק‪ ,‬אז‬ ‫‪ (6‬במעגל ‪AC ⋅ AN = AB 2 : O1‬‬ ‫מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק‬ ‫כנ"ל‬ ‫‪ (7‬במעגל ‪AD ⋅ AM = AB 2 : O2‬‬ ‫כלל המעבר מ‪ (6)-‬ו‪(7)-‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪AC ⋅ AN = AD ⋅ AM‬‬ ‫הצבה מסעיפים )‪ (4) ,(1‬ו‪(5)-‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫) ‪2 x ⋅ (2 x + 2r ) = x( x + 10r‬‬ ‫‪(10‬‬ ‫⇓‬ ‫‪x = 2r‬‬ ‫‪ AC = 4r , AD = 2r‬מש"ל א‬ ‫מתוך )‪ (1‬ו‪(9)-‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪5‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ב‪ .‬נתון כי שטח המרובע ‪ CDMN‬הוא ‪ 40‬סמ"ר ואנו מתבקשים לחשב את שטח המשולש ‪ . ∆ACD‬נשים לב כי סכום‬ ‫שני השטחים הללו הוא השטח הכולל של משולש ‪ . ∆AMN‬זהו רמז לשימוש ביחס הדמיון בין שטחי המשולשים‪.‬‬ ‫נתחיל בהוכחת הדמיון בין המשולשים ‪ ∆ACD‬ו‪: ∆AMN -‬‬ ‫‪(11‬‬ ‫‪(12‬‬ ‫‪p NAM = p CAD‬‬ ‫‪AD AC‬‬ ‫‪2r 4r‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫= →‬ ‫‪AN AM‬‬ ‫‪6r 12r‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫זווית משותפת‬ ‫קיים אותו היחס בין הצלעות המתאימות בשני‬ ‫המשולשים‬ ‫⇓‬ ‫‪(13‬‬ ‫‪∆AMN ~ ∆ACD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(14‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫לפי משפט דמיון צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬נובע מ‪ (11)-‬ו‪(12)-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S ACD‬‬ ‫‪ AD ‬‬ ‫‪ 2r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ = ACD →  ‬‬ ‫‪S AMN‬‬ ‫‪S ACD + S CDMN‬‬ ‫‪ AN ‬‬ ‫‪ 6r ‬‬ ‫במשולשים דומים יחס הדמיון בריבוע שווה ליחס‬ ‫השטחים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S ACD‬‬ ‫‪S ACD‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= →‬ ‫= ‪ ‬‬ ‫‪S ACD + 40‬‬ ‫‪9 S ACD + 40‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫⇓‬ ‫‪(16‬‬ ‫‪ 5‬סמ"ר = ‪ S ACD‬מש"ל ב'‬ ‫ג‪ .‬מצאנו ב‪ (13)-‬שהמשולשים דומים‪. ∆AMN ~ ∆ACD :‬‬ ‫‪p AMN = p ACD = α‬‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪p ACD+ p NCD = 1800‬‬ ‫‪(19‬‬ ‫‪p AMN+ p NCD = 1800‬‬ ‫‪(22‬‬ ‫⇓‬ ‫המרובע ‪ CDMN‬הוא בר חסימה מש"ל ג'‬ ‫נובע מ‪ + (13)-‬סימון‬ ‫סכום זויות צמודות הוא ‪180 0‬‬ ‫מ‪ (17)-‬ו‪(18)-‬‬ ‫מרובע שבו סכום זוג זויות נגדיות הוא ‪ , 180 0‬ניתן‬ ‫לחסימה במעגל )בר חסימה(‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪6‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:5‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬בסעיף זה נשתמש בשלושה משתני עזר‪ ,‬מכיוון שבאמצעותם קל יותר להביע יחסי פרופורציה‪ .‬בכל שלב‬ ‫נצמצם את מספר המשתנים ברגע שנגלה את יחסי הפרופורציה‪.‬‬ ‫נתחיל ממשפט החותכים למעגל‪ ,‬נמשיך לדמיון המשולשים ‪ , ∆BAE ~ ∆DAC‬ונסיים את הסעיף באמצעות‬ ‫תכונת מרובע החוסם מעגל‪.‬‬ ‫‪AE = BC = y (1‬‬ ‫נתון‪ +‬סימון‬ ‫נתון‬ ‫‪DE = 2.5 AB (2‬‬ ‫נתון‬ ‫‪ (3‬מרובע ‪ BCDE‬חסום מעגל‬ ‫סימון‬ ‫‪DE = 2.5x , AB = x (4‬‬ ‫→ ‪AC ⋅ AB = AD ⋅ AE → (x + y )x = ( y + 2.5x) y‬‬ ‫שני חותכים למעגל היוצאים‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x − 1.5xy − y = 0 → (x − 2 y ) x +  = 0 → x = 2 y, x = −‬מאותה נקודה‪ ,‬מכפלת חותך אחד‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫בחלקו החיצוני שווה למכפלת‬ ‫החותך השני בחלקו החיצוני‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)אורכים הם תמיד חיוביים ולכן פסלנו את הפתרון ‪.( x = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נובע מ‪ (4)-‬ו‪(5)-‬‬ ‫‪DE = 5 y , AB = 2 y (6‬‬ ‫זווית משותפת‬ ‫‪p BAE =p DAC (7‬‬ ‫‪AB AE 2 y y 1‬‬ ‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ - (6)-‬יחס הצלעות‬ ‫=‬ ‫= = →‬ ‫‪(8‬‬ ‫לצידי הזוית המשותפת‬ ‫‪AD AC 6 y 3y 3‬‬ ‫לפי משפט דמיון ‪ :1‬צ‪.‬ז‪.‬צ‬ ‫‪∆BAE ~ ∆DAC (9‬‬ ‫‪BE 1‬‬ ‫יחס דמיון‬ ‫‪= → BE = z → CD = 3z (10‬‬ ‫נובע מ‪(9)-‬‬ ‫‪CD 3‬‬ ‫במרובע החוסם מעגל‪ ,‬סכום זוג‬ ‫צלעות נגדיות שווה לסכום זוג‬ ‫‪BE + CD = BC + DE → z + 3z = y + 5 y → z = 1.5 y (11‬‬ ‫הצלעות הנגדיות השני‪.‬‬ ‫‪(12‬‬ ‫‪CD 3 z 4.5 y 4.5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪AE‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נובע מ‪ (10) ,(1)-‬ו‪(11)-‬‬ ‫מש"ל א'‬ ‫ב‪ .‬על מנת שהישר ‪ BD‬יהיה קוטר המעגל‪ ,‬הזווית ההיקפית הנשענת עליו‪ , p BED ,‬מוכרחה להיות בת ‪.900‬‬ ‫נוכיח כי הדבר אינו אפשרי‪ :‬אם ‪ p BED‬היא בת ‪ ,900‬אז המשולש ‪ ∆AEB‬הוא ישר זווית‪ .‬נבדוק האם‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫‪AE 2 + EB 2 = AB 2 → y 2 + 2.25 y 2 = 4 y 2 → 3.25 y 2 ≠ 4 y 2‬‬ ‫מתקיים בו משפט פיתגורס‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ניתן לראות כי הדבר לא ייתכן‪ ,‬ולכן הזוית ‪ p BED‬אינה בת ‪ ,90‬ומכאן ש‪ BD -‬אינו יכול להיות קוטר במעגל ‪.‬‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫ג‪ .‬קל למצוא את יחס השטחים של שני משולשים בעלי גובה זהה‪ :‬נוכיח כי יחס השטחים שלהם כיחס‬ ‫הבסיסים שלהם‪ .‬לצורך כך נעביר את הגובה המשותף בבניית עזר‪:‬‬ ‫נתון‬ ‫‪ 72 (13‬סמ"ר = ‪S ∆ABD‬‬ ‫בניית עזר‬ ‫‪ DF (14‬גובה לצלע ‪AC‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪7‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪(15‬‬ ‫‪(16‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪AB ⋅ DF‬‬ ‫‪2 y ⋅ DF‬‬ ‫= ‪→ S ∆ABD‬‬ ‫‪→ S ∆ABD = y ⋅ DF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y ⋅ DF‬‬ ‫‪BC ⋅ DF‬‬ ‫= ‪S ∆BCD‬‬ ‫= ‪→ S ∆BCD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪= 2 → S ∆BCD = 36‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪S ∆ABE = K‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪S ∆BCD‬‬ ‫→‪=2‬‬ ‫‪y ⋅ DF‬‬ ‫‪y ⋅ DF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪S ∆ABD‬‬ ‫‪S ∆ABD‬‬ ‫=‬ ‫‪S ∆BCD‬‬ ‫חישוב שטח המשולש ‪∆ABD‬‬ ‫חישוב שטח המשולש ‪∆BCD‬‬ ‫נובע מ‪ (15) ,(13)-‬ו‪(16)-‬‬ ‫סימון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S ∆ABE‬‬ ‫‪K 1‬‬ ‫=‬ ‫‪=   → 9 K = 108 → K = 12 (19‬‬ ‫‪S ∆ADC 108  3 ‬‬ ‫‪ 96 (20‬סמ"ר = ‪S BCDE = 108 − 12‬‬ ‫ד‪ .‬בסעיף זה‪ ,‬השאלה הופכת לבעיה טריגונומטרית‪.‬‬ ‫יחס השטחים של משולשים דומים‬ ‫שווה לריבוע יחס הדמיון‬ ‫חיסור שטחים‬ ‫מש"ל ג'‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4.5 y‬‬ ‫‪5y‬‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪180° -‬‬ ‫‪ (21‬נסמן את הזווית ‪ , p ABD = β‬ומכאן ש‪p CBD = 180° − β :‬‬ ‫‪ (23‬נביע כל אחד מהרדיוסים ‪ R1‬ו‪ R2 -‬באמצעות משפט הסינוסים במשולשים ‪ ∆BCD‬ו‪: ∆ABD -‬‬ ‫‪4.5 y‬‬ ‫‪2.25 y‬‬ ‫‪6y‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫= ‪= 2 R1 → R1‬‬ ‫= ‪= 2 R2 → R2‬‬ ‫) ‪sin (180° − β‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪2.25 y‬‬ ‫‪R1 3‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2.25 y sin β‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫=‬ ‫‪ (24‬נחשב את היחס שבין שני הרדיוסים‪:‬‬ ‫=‬ ‫= ‪→ 1‬‬ ‫⋅‬ ‫→‬ ‫‪R2 4‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R2 sin β‬‬ ‫‪3y‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫מש"ל ד'‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪8‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ (1 .‬הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי בתוך השורש ‪ a − x‬הוא אי שלילי‪ .‬עם זאת‪ ,‬מכיוון שהביטוי ‪a − x‬‬ ‫מופיע גם במכנה‪ ,‬עלינו לוודא שהוא אינו מתאפס‪ .‬מכאן שהפונקציה מוגדרת כאשר ‪ a − x > 0‬ולאחר סידור‪. x < a :‬‬ ‫‪ (2‬בטרם נגזור את הפונקציה‪ ,‬נבצע תחילה מכנה משותף בכדי שיהיה נוח יותר לגזור‪:‬‬ ‫‪a − x +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f ( x) = a − x +‬‬ ‫⋅ ‪→ f ( x) = a − x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪→ f ( x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫נגזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫‪a − x +1‬‬ ‫)‪− 1 ⋅ (a − x + 1‬‬ ‫‪− a−x +‬‬ ‫‪2 a−x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫= )‪→ f ' ( x‬‬ ‫‪2 a−x‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− 1⋅ a − x −‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫(‬ ‫נשווה את הנגזרת ל‪ ,0-‬ונמצא את שיעורי נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪a − x +1‬‬ ‫‪− a−x +‬‬ ‫‪a − x +1‬‬ ‫‪2 a−x‬‬ ‫‪=0→− a−x +‬‬ ‫→ ‪= 0 → −2(a − x ) + a − x + 1 = 0‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪2 a−x‬‬ ‫‪− 2a + 2 x + a − x + 1 = 0 → x − a + 1 = 0 → x = a − 1‬‬ ‫ניעזר בטבלת עלייה וירידה ונמצא את סוגה של נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫‪a −1 < x < a‬‬ ‫‪x = a −1‬‬ ‫‪x < a −1‬‬ ‫אסימפטוטה‬ ‫‪x = a − 0 .5‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪x =a−2‬‬ ‫שלילי‬ ‫חיובי‬ ‫‪Min‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫עולה ‪/‬יורדת‬ ‫נציב ‪ x = a − 1‬במשוואת הפונקציה )‪ f ( x‬ונמצא את שיעור ה‪ y-‬של נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (a − 1) = a − (a − 1) +‬‬ ‫‪= 1+‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫)‪a − (a − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬שיעורי נקודת המינימום של הפונקציה הם‪. min (a − 1,2) :‬‬ ‫‪ (3‬נציב בפונקציה ‪ x = 0‬ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪:y-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a +1  a +1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (0) = a − 0 +‬‬ ‫‪→ f (0) = a +‬‬ ‫= )‪→ f (0‬‬ ‫‪→  0,‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪a−0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0= a−x +‬‬ ‫נציב בפונקציה ‪ y = 0‬ונמצא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪:x-‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫מכיוון שסכום של שני ביטויים חיוביים הוא בהכרח ביטוי חיובי‪ ,‬הפונקציה אינה מתאפסת ולא קיימות נקודות‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪.x-‬‬ ‫ב‪ .‬כיוון שנתון ‪ , 1 < a‬הרי שנקודת הקיצון מתקבלת ברביע הראשון ולכן השרטוט‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪9‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . g ( x) =  a − x +‬נעלה בריבוע‬ ‫ג‪ (1 .‬הפונקציה ‪ , g ( x ) = [ f ( x ) ] − 2‬לאחר הצבת )‪ f ( x‬היא‪ − 2 :‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ונסדר את משוואת הפונקציה )‪: g ( x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⋅‪+ 2‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪ = a − x + 2 +‬‬ ‫‪− 2 → g ( x) = a − x +‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫‪a−x  a−x‬‬ ‫‪ (2‬הישר ‪ x = a − 1‬חותך את גרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה‪ ,‬ולכן‬ ‫השטח הכלוא ברביע הראשון בין ישר זה‪ ,‬לבין גרף ) ‪ g (x‬הוא השטח‬ ‫המסומן באפור בשרטוט‪:‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a−x‬‬ ‫(‬ ‫= )‪g ( x‬‬ ‫‪x = a −1‬‬ ‫בכדי להביע את נפח גוף הסיבוב נעלה בריבוע את הפונקציה )‪ , g ( x‬נבצע את האינטגרל‪ ,‬ולבסוף נכפיל את התוצאה‬ ‫ב‪: π -‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪(a − x )2 + 2 + (a − x )−2 dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫→‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫⋅‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫∫‬ ‫‪(a − x ) ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫∫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a − x +‬‬ ‫⋅ ‪ dx → V = π‬‬ ‫‪a− x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫∫‬ ‫⋅ ‪V =π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ (a − x )3‬‬ ‫‪ (a − x )3‬‬ ‫(‬ ‫‪a − x) ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪V =π ⋅‬‬ ‫‪+ 2x +‬‬ ‫‪→V = π ⋅‬‬ ‫‪+ 2x +‬‬ ‫→‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a − x‬‬ ‫‪ −3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ −3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (a − a + 1)3‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a3 1 ‬‬ ‫‪a3 1 ‬‬ ‫‪V =π ⋅‬‬ ‫‪+ 2(a − 1) +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−  → V = π ⋅  − + 2a − 2 + 1 +‬‬ ‫‪− ‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪a − a +1 − 3 a‬‬ ‫‪3 a‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a 4 + 6a 2 − 4a − 3 ‬‬ ‫‪.V = π ⋅ ‬‬ ‫נסדר באמצעות מכנה משותף ונקבל כי נפח גוף הסיבוב הוא‪ :‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפי הנתון‪ ,‬נפח גוף סיבוב זה שווה ל‪-‬‬ ‫)‪π ⋅ (a 3 + 13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .‬נשווה ונקבל‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ a 4 + 6a 2 − 4a − 3  π ⋅ a 3 + 13‬‬ ‫‪→ a 4 + 6a 2 − 4a − 3 = a 4 + 13a → 6a 2 − 17a − 3 = 0‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪3a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרונות המשוואה הם‪ a = 3 :‬או ‪ . a = −‬לפי הנתון ‪ , a > 1‬נקבל שהפתרון הנכון הוא‪. a = 3 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪π ⋅‬‬ ‫עמוד ‪10‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬הפונקציה ‪ f ( x) = −2 x‬היא פרבולה רציפה‪ .‬כעת נתבונן בפונקציה ) ‪: g ( x) = tan( x‬‬ ‫‪sin x 2‬‬ ‫= )‪ , g(x‬ומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר‪= 0 :‬‬ ‫הפונקציה ) ‪ , g ( x) = tan( x 2‬ניתנת לכתיבה כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪. cos x 2‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לגרף הפונקציה ) ‪ g ( x) = tan( x 2‬יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬ ‫אכן ניתן לראות כי גרף ‪ 2‬הוא רציף ולגרף ‪ 1‬יש אסימפטוטות אנכיות‪ .‬מכאן שגרף ‪ 1‬מתאים לפונקציה‬ ‫) ‪ , g(x) = tan(x 2‬ואילו גרף ‪ 2‬מתאים לפונקציה ‪. f ( x) = −2 x 2‬‬ ‫ב‪ .‬בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה )‪ g (x‬חותכות את ציר ה‪.x-‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪sin x 2‬‬ ‫= )‪ , g(x‬ומכאן שהיא אינה מוגדרת כאשר‪= 0 :‬‬ ‫הפונקציה ) ‪ , g ( x) = tan( x 2‬ניתנת לכתיבה כך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫פתרון המשוואה הוא‪+ πk :‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. cos x‬‬ ‫= ‪ , x 2‬עם זאת מכיוון שברצוננו לקבל את שני הפתרונות הקרובים ביותר לראשית‬ ‫הצירים לפי השרטוט‪ ,‬נשמיט את התוספת המחזורית ‪: πk‬‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪→ x = ±1.25 → A(− 1.25,0) , B(1.25,0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪x2‬‬ ‫ג‪ .‬נפתור סעיף זה בדרך גרפית‪ .‬ניתן לראות בסקיצה כי הנקודה )‪ C (0.43π ,−3.67‬היא נקודת החיתוך של הגרפים‬ ‫‪ f ( x) = −2 x 2‬ו‪ , g ( x) = tan( x 2 ) -‬ומכאן ששיעוריה הם גם פתרון המשוואה המבוקשת בתחום הנתון‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫‪tan( x 2 ) = −2 x 2 → x = 0.43π‬‬ ‫בשרטוט‪ ,‬ניכר כי הגרפים נחתכים גם בראשית הצירים‪ ,‬והצבה של ‪ x=0‬מוכיחה את זה‪ .‬לכן גם ‪ x=0‬הוא פתרון‪.‬‬ ‫)‪h(0) = 0 ⋅ sin(0 2 ) = 0 → (0,0‬‬ ‫ד‪ .1 .‬חיתוך עם ציר ה‪ :y-‬נציב ‪: x = 0‬‬ ‫‪ sin( x 2 ) = 0 → x 2 = πk‬או ‪0 = x ⋅ sin( x 2 ) → x = 0‬‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪ :x-‬נציב ‪: y = 0‬‬ ‫)‪x = πk → x = 1.77 → (1.77,0‬‬ ‫מכיוון שהתחום הנתון הוא ‪ 0 ≤ x ≤ 2.1‬מספיק לבחור בפתרון החיובי‪:‬‬ ‫‪ .2‬נגזור את הפונקציה ) ‪ h( x) = x ⋅ sin( x 2‬ונשווה ל‪:0-‬‬ ‫‪= 0 → sin x 2 = −2 x 2 cos x 2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪→ tan (x ) = −2 x‬‬ ‫) (‬ ‫‪h ' ( x) = sin x 2 + 2 x 2 cos x 2‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= −2 x 2‬‬ ‫מכיוון ש‪ , cos x 2 ≠ 0 :‬ניתן לחלק ב‪: cos x 2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫משוואה זו זהה למשוואה מסעיף ג'‪ ,‬ולכן פתרונה בתחום ‪ 0 ≤ x ≤ 2.1‬הוא‪ . x = 0.43π :‬נשים לב כי לפי השרטוט‪,‬‬ ‫וגם בהצבה‪ ,‬מתקבל פתרון נוסף למשוואה כאשר‪ . x = 0 :‬ניעזר בטבלת עליה וירידה למציאת סוג נקודת הקיצון‪:‬‬ ‫‪0 < x < 0.43π‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪x = 0.43π 0.43π < x < 2.1‬‬ ‫‪x = 2.1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫נציב בנגזרת‬ ‫קיצון בקצה‬ ‫קיצון בקצה‬ ‫קיצון‬ ‫=‪x‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫התחום‬ ‫התחום‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫חיובי‬ ‫שלילי‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫‪Min‬‬ ‫עולה ‪/‬יורדת‬ ‫נציב בפונקציה )‪ h(x‬את שיעור ה‪ x-‬של נקודת הקיצון הפנימית‪ x = 0.43π :‬ונקבל ‪. Max(0.43π ,1.31) :‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪11‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ה‪ .‬בכדי למצוא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לציר ה‪ x-‬ברביע הראשון‪ ,‬נחשב את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪1.77‬‬ ‫‪)dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ x ⋅ sin( x‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כדי לבצע אינטגרציה לביטוי ) ‪ x ⋅ sin( x 2‬נצטרך להשתמש בשיטת ההצבה‪ .‬ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = x 2 :‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= 2 x :‬‬ ‫= ‪. dx‬‬ ‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪du‬‬ ‫= ‪: dx‬‬ ‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪ S = ∫ x ⋅ sin(u ) dx :u‬ונציב בו‪:‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪du‬‬ ‫) ‪sin (u‬‬ ‫⋅ ) ‪S = ∫ x ⋅ sin(u )dx → ∫ x ⋅ sin(u‬‬ ‫∫→‬ ‫‪du‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪sin (u‬‬ ‫‪− cos u‬‬ ‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬ ‫‪∫ 2 du = 2‬‬ ‫‪− cos x 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נציב בחזרה ‪ u = x 2‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ) ‪ x ⋅ sin( x 2‬והוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬ ‫‪1.77‬‬ ‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרל‪)dx :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ x ⋅ sin( x‬‬ ‫= ‪ S‬במלואו‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬יח"ר = ‪)  −  − cos(0 )  = 0.5 + 0.5 → S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫(‬ ‫‪ cos 1.77 2‬‬ ‫‪→  −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1.77‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) (‬ ‫‪− cos x 2‬‬ ‫= ‪S = ∫ x ⋅ sin( x )dx → S‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫‪1.77‬‬ ‫‪2‬‬ ‫עמוד ‪12‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:8‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫‪30‬‬ ‫א‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬פונקציית המטרה היא זמן התנועה הכולל של הכדור‪ .‬לאחר‬ ‫‪.‬‬ ‫ינימום‬ ‫הרכבת הפונקציה‪ ,‬נגזור ונשווה את הנגזרת ל‪ 0-‬בכדי למצוא את נקודת המ‬ ‫‪15‬‬ ‫את זמן תנועת הכדור נבטא באמצעות חילוק הדרך שעבר הכדור )הקטעים ‪DF‬‬ ‫ו‪ (FE -‬במהירות תנועתו‪ 10 :‬מטר לשנייה‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30-x‬‬ ‫נסמן‪ , CF = x :‬ובהתאמה‪. FB = 30 − x :‬‬ ‫כעת נוכל להביע את אורכי הקטעים ‪ DF‬ו‪ FE -‬באמצעות משפט פיתגורס‪:‬‬ ‫‪DF = x 2 + 30 2 → DF = x 2 + 900‬‬ ‫‪→ FE = x 2 − 60 x + 1125‬‬ ‫‪(30 − x )2 + 15 2‬‬ ‫‪x 2 + 900 + x 2 − 60 x + 1125‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כלומר‪ ,‬פונקציית המטרה המתארת את זמן תנועת הכדור היא‪:‬‬ ‫= ‪FE‬‬ ‫= ) ‪f (x‬‬ ‫נגזור נשווה ל‪ 0-‬ונעשה מכנה משותף‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫) ‪2( x − 30‬‬ ‫‪ = 0 → x x 2 − 60 x + 1125 + ( x − 30 ) x 2 + 900 = 0‬‬ ‫‪⋅ ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10  2 x + 900 2 x − 60 x + 1125 ‬‬ ‫נעביר אגף ונעלה בריבוע כדי "להיפטר" מהשורש‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→ ‪x x − 60 x + 1125 = x − 60 x + 900 x + 900‬‬ ‫→ ‪x 4 − 60 x 3 + 1125x 2 = x 4 + 900 x 2 − 60 x 3 − 54000x + 900 x 2 + 810000 → 675x 2 − 54000x + 810000 = 0‬‬ ‫‪x 2 − 80 x + 1200 = 0 → x = 20 , x = 60‬‬ ‫הפתרון ‪ x = 60‬נפסל‪ ,‬מכיוון שהצלע ‪ CF‬לא יכולה להיות ארוכה מ‪ 30-‬מטר‪.‬‬ ‫לאחר פתרון של משוואה אי רציונאלית‪ ,‬עלינו לבדוק כי הפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה המקורית‪ .‬נבדוק‬ ‫כי הפתרון ‪ x = 20‬מקיים את המשוואה שלפני ההעלאה בריבוע‪:‬‬ ‫= ) ‪f ' (x‬‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫( )‬ ‫‪20 20 2 − 60 ⋅ 20 + 1125 + (20 − 30) 20 2 + 900 = 0‬‬ ‫על ידי הצבה ניתן לראות כי מתקבל פסוק אמת‪.‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬נבדוק את סוג הנקודה ‪ x = 20‬באמצעות הצבה בטבלת עלייה וירידה‪:‬‬ ‫‪x = 30‬‬ ‫קצה‬ ‫התחום‬ ‫‪20 < x < 30‬‬ ‫‪x = 20‬‬ ‫‪x = 25‬‬ ‫קיצון‬ ‫חיובי‬ ‫‪ x = 0 0 < x < 20‬תחום ‪x‬‬ ‫קצה נציב בנגזרת‬ ‫‪x = 10‬‬ ‫התחום‬ ‫שלילי‬ ‫‪Min‬‬ ‫סימן‬ ‫הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫עולה‪/‬יורדת‬ ‫כלומר זמן התנועה הכולל של הכדור הוא מינימלי כאשר ‪ 20‬מטר = ‪. CF‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪13‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫פתרון מלא ‪ -‬מבחן ‪8‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬הנתונים בשאלה זו מורכבים מהרגיל‪ ,‬ולכן ניעזר בשרטוט עזר‪:‬‬ ‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה הראשונה‪:‬‬ ‫נסמן את מהירות האופניים ב‪ .x-‬נמלא תחילה את המהירות והדרך שעברו‬ ‫האופניים‪ .‬נחלק את הדרך במהירות ונקבל את זמן נסיעתם‪.‬‬ ‫נסמן את מהירות המשאית ב‪ .y-‬נכפיל את המהירות בזמן ונקבל את הדרך‬ ‫שעברה המשאית עד הפגישה הראשונה‪.‬‬ ‫המשאית והאופניים נפגשו ולכן המרחק שבין שתי הערים הוא‪:‬‬ ‫‪30y‬‬ ‫‪+ 30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪. (I‬‬ ‫עד הפגישה‬ ‫הראשונה‬ ‫מהירות זמן‬ ‫אופניים‬ ‫‪x‬‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫דרך‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30 y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השנייה‪:‬‬ ‫האופניים נסעו ‪ 90‬דקות )‪ 1.5‬שעות( במהירות ‪ .x‬כלומר‪ ,‬עברו מרחק של ‪ 1.5x‬ק"מ‪ .‬לפי השרטוט ניתן לראות כי‬ ‫במשך זמן נסיעת האופניים‪,‬‬ ‫מהפגישה‬ ‫נסעה המשאית ‪ 30‬ק"מ‬ ‫הראשונה מהירות זמן דרך‬ ‫לכיוון עפולה וחזרה בכדי‬ ‫לשנייה‬ ‫להשיג את האופניים‪.‬‬ ‫מכאן שהמרחק שעברה‬ ‫המשאית גדול ב‪ 60-‬ק"מ‬ ‫מהמרחק שעברו האופניים‪.‬‬ ‫מתקבלת המשוואה‪:‬‬ ‫אופניים‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1.5 y 1.5‬‬ ‫‪1.5x‬‬ ‫‪1.5 y = 1.5x + 60 → (II ) y = x + 40‬‬ ‫נמלא בטבלה את הנתונים המתייחסים לפגישה השלישית‪:‬‬ ‫הדרך המשותפת שעברו המשאית והאופניים שווה למרחק שבין שתי‬ ‫הערים‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫מהפגישה‬ ‫השנייה‬ ‫לשלישית‬ ‫מהירות זמן‬ ‫אופניים‬ ‫‪x‬‬ ‫משאית‬ ‫‪y‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫דרך‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30 y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30y‬‬ ‫‪+ 30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫=‬ ‫‪ .‬כמו כן‪ ,‬ניתן לראות כי‪. AC = 1.5x + 30 :‬‬ ‫ניתן לראות בשרטוט כי הקטע ‪ CE‬שווה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪30y‬‬ ‫על ידי חיבור קטעים ניתן לראות כי‪ AC + CE :‬שווה למרחק שבין שתי הערים ‪+ 30‬‬ ‫= ‪) AE‬לפי ‪ .(I‬ולכן‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪30y‬‬ ‫‪+ 30‬‬ ‫‪30y‬‬ ‫‪1  30y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪+ 1.5x + 30‬‬ ‫‪+ 30 → ‬‬ ‫‪+ 30 = 1.5x + 30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫נציב את ‪ y = x + 40‬במשוואה ונפתור‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪14‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫)‪1  30( x + 40‬‬ ‫)‪30( x + 40‬‬ ‫‪‬‬ ‫→ ‪+ 30 = 1.5x + 30‬‬ ‫→ ‪+ 30 = 3x + 60 → 30( x + 40) = 3x 2 + 30x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪30x + 1200 = 3x + 30x → x = 400 → x = 20 , x = −20‬‬ ‫מכאן שמהירות האופניים היא ‪ 20‬קמ"ש ומהירות המשאית היא ‪ 60‬קמ"ש‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תחילה נמצא את המרחק שבין שתי הערים‪:‬‬ ‫‪30 y‬‬ ‫‪30 ⋅ 60‬‬ ‫= ‪+ 30‬‬ ‫‪ 120‬ק"מ = ‪+ 30‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪20‬‬ ‫כעת נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬ ‫המשאית והאופניים נוסעים זו לקראת זו ומכאן‬ ‫שהמהירות המשותפת שלהם היא סכום המהירויות‬ ‫של שניהם‪ .‬נבטא את זמן נסיעתם עד הפגישה על ידי‬ ‫חלוקת המרחק בין הערים במהירות המשותפת‪.‬‬ ‫עד הפגישה‬ ‫מהירות‬ ‫זמן‬ ‫דרך‬ ‫אופניים‪+‬משאית‬ ‫) ‪(20 − k ) + (60 − k‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪80 − 2k‬‬ ‫‪120‬‬ ‫זמן הנסיעה קצר משעתיים ולכן‪:‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫) ‪120 − 2(80 − 2k‬‬ ‫‪4k − 40‬‬ ‫‪< 0 → (4k − 40)(80 − 2k ) < 0‬‬ ‫→ ‪<2‬‬ ‫→ ‪−2< 0‬‬ ‫→ ‪<0‬‬ ‫‪80 − 2k‬‬ ‫‪80 − 2k‬‬ ‫‪80 − 2k‬‬ ‫‪80 − 2k‬‬ ‫שני הערכים המאפסים הם‪ k = 10 :‬ו‪ . k = 40 -‬נמקם את המאפסים על ציר ונעביר דרכן את הפרבולה‪:‬‬ ‫פתרון אי השוויון הוא‪ k > 40 :‬או ‪. k < 10‬‬ ‫התחום ‪ k > 40‬נפסל מכיוון שבמקרה זה מהירות האופניים תהיה שלילית‪ .‬בנוסף‪ , k > 0 ,‬ולכן תחום המספרים בו‬ ‫נמצא הפרמטר ‪ k‬הוא‪. 0 < k < 10 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪15‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬ניעזר בשרטוט ונראה כי אם נחסר מסכום הסדרה ‪ S n‬את סכום‬ ‫‪ n − 1‬האיברים הראשונים נישאר עם האיבר ‪ a n‬אותו אנו מחפשים‪:‬‬ ‫‪S n − S n −1 = n ⋅ (n + 2) − (n − 1) ⋅ (n + 1) = n 2 + 2n − n 2 + 1 → a n = 2n + 1‬‬ ‫כדי להוכיח שהסדרה היא חשבונית‪ ,‬נראה כי ההפרש בין כל שני איברים סמוכים ‪ an‬ו‪ a n−1 -‬קבוע ואינו תלוי ב‪:n-‬‬ ‫‪a n − a n −1 = 2n + 1 − (2(n − 1) + 1) = 2n + 1 − 2n + 1 → a n − a n −1 = 2‬‬ ‫מכאן שהסדרה חשבונית והפרשה הוא ‪.2‬‬ ‫ב‪ .‬נתבונן באיבר הכללי ‪ . Bn = An ⋅ ( −1) n‬כאשר ‪ n‬אי זוגי מתקיים ‪ , Bn = − An‬כאשר ‪ n‬זוגי מתקיים‪. Bn = An :‬‬ ‫מכאן שהסדרה ‪ Bn‬היא למעשה הסדרה ‪ An‬שבה הפכו את סימני האיברים האי זוגיים‪.‬‬ ‫נשים לב‪ :‬הסדרה ‪ Bn‬אינה סדרה חשבונית‪ .‬עם זאת‪ ,‬כל האיברים במקומות הזוגיים הם סדרה חשבונית‪ ,‬וכל‬ ‫האיברים במקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית בעלת סימנים הפוכים‪ .‬נחשב בנפרד את כל אחד מהסכומים‪,‬‬ ‫ונחבר אותם‪:‬‬ ‫סכום ‪ n‬האיברים במקומות הזוגיים‪:‬‬ ‫האיבר הראשון‪ , a 2 = 5 :‬ההפרש‪ , 2d = 4 :‬מספר האיברים‪ . n :‬נביע את הסכום‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫= ) ‪S = (2 ⋅ 5 + 4(n − 1)) = (4n + 6‬‬ ‫‪(2n + 3) → S = 2n 2 + 3n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫סכום ‪ n‬האיברים במקומות האי זוגיים בעלי הסימנים ההפוכים‪:‬‬ ‫האיבר הראשון‪ , − a1 = −3 :‬ההפרש‪ , − 2d = −4 :‬מספר האיברים‪ . n :‬נביע את הסכום‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫= ) ‪S = (2 ⋅ (− 3) − 4(n − 1)) = (− 4n − 2‬‬ ‫‪(− 2n − 1) → S = −2n 2 − n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S B2 n = 2n 2 + 3n − 2n 2 − n = 2n‬‬ ‫סכום הסדרה ‪ B2 n‬כולה הוא חיבור של שני הסכומים שמצאנו‪:‬‬ ‫ג‪ .‬נתבונן בסכומי כל אחת מהסדרות לאחר השינוי המתואר בשאלה‪:‬‬ ‫לכל אחד מאיברי הסדרה ‪ Bn‬הוסיפו ‪ ,m‬מכאן שסכום הסדרה ‪ B2 m‬הוא‪:‬‬ ‫) ‪S B 2 m = (B1 + m ) + (B2 + m ) + (B3 + m ) + ..... + (B2 m + m‬‬ ‫לאחר סידור‪ ,‬נראה כי הסכום הוא גם‪:‬‬ ‫) ‪S B 2 m = (B1 + B2 + B3 + .... + B2 m ) + (m + m + m + .... + m‬‬ ‫‪14444244443 144424443‬‬ ‫‪ 2 m‬פעמים‬ ‫כלומר‪ ,‬סכום הסדרה ‪ B2 m‬הוא‪:‬‬ ‫סכום הסדרה המקורית‬ ‫)‪S B 2 m = 2m + 2m → S B 2 m = 2m(m + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫את כל אחד מאיברי הסדרה ‪ An‬הכפילו פי‪ ,m-‬מכאן שסכום הסדרה ‪ A2 m‬הוא‪:‬‬ ‫‪S A 2 m = A1 ⋅ m + A2 ⋅ m + A3 ⋅ m + .... + A2 m ⋅ m‬‬ ‫לאחר הוצאת גורם משותף נקבל כי הסכום הוא‪:‬‬ ‫) ‪S A 2 m = m ⋅ ( A1 + A2 + A3 + .... + A2 m‬‬ ‫‪14444244443‬‬ ‫סכום הסדרה המקורית‬ ‫כלומר‪ ,‬סכום הסדרה ‪ A2 m‬הוא‪:‬‬ ‫)‪S A 2 m = m ⋅ (2m(2m + 2)) → S A 2 m = 4 m 2 (m + 1‬‬ ‫לפי הנתון‪ ,‬סכום הסדרה ‪ A2 m‬גדול פי שמונה מסכום הסדרה ‪ m) B2 m‬הוא מספר טבעי( ולכן‪:‬‬ ‫‪S A 2 m = 8S B 2 m → 4m 2 (m + 1) = 8 ⋅ 2m(m + 1) → m = 4‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪16‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪:3‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫א‪ .‬עופר מגיש מועמדות לשבעה מקומות עבודה סך הכל ‪ -‬שלושה באינטרנט וארבעה טלפונית‪.‬‬ ‫עלינו לחשב את ההסתברות שיקבל תשובה חיובית משישה מקומות מתוך השבעה‪.‬‬ ‫קיימים רק שני תרחישים אפשריים שבהם יקבל שש תשובות חיוביות‪:‬‬ ‫תרחיש ‪ :1‬עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט‪.‬‬ ‫או‬ ‫תרחיש ‪ :2‬עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט‪.‬‬ ‫מכיוון ששני התרחישים אפשריים נחשב את ההסתברות של כל אחד בנפרד ונחבר אותן‪:‬‬ ‫תרחיש ‪ :1‬עופר יקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט‬ ‫שימו לב! במקרים בהם אנו מעוניינים למצוא הסתברות למאורע אחד וגם למאורע אחר‪ ,‬כאשר האירועים בלתי‬ ‫תלויים זה בזה‪ ,‬עלינו לכפול בין ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות‪:‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ (0.4) 4 (0.6) 0 = 0.0256‬‬ ‫פניות טלפוניות‪: p=0.4 ,k=4 ,n=4 :‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (0.2) 2 (0.8)1 = 0.096‬‬ ‫פניות באינטרנט‪: p=0.2 ,k=2 ,n=3 :‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫לכן‪ ,‬ההסתברות לקבל תשובה חיובית מארבע הפניות הטלפוניות וגם משתי פניות באינטרנט היא‪:‬‬ ‫‪. 0.0256 ⋅ 0.096 = 0.0024576‬‬ ‫תרחיש ‪ :2‬עופר יקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש הפניות באינטרנט‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ (0.4) 3 (0.6)1 = 0.1536‬‬ ‫פניות טלפוניות‪: p=0.4 ,k=3 ,n=4 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ (0.2) 3 (0.8) 0 = 0.008‬‬ ‫פניות באינטרנט‪: p=0.2 ,k=3 ,n=3 :‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫לכן‪ ,‬ההסתברות לקבל תשובה חיובית משלוש פניות טלפוניות וגם משלוש פניות באינטרנט היא‪:‬‬ ‫‪. 0.1536 ⋅ 0.008 = 0.0012288‬‬ ‫מחיבור ההסתברויות של שני התרחישים האפשריים נקבל את ההסתברות הכללית להצלחתו של עופר‪:‬‬ ‫‪. 0.0024576 + 0.0012288 = 0.0036864‬‬ ‫ב‪ .‬סעיף זה מתחיל בביטוי "ידוע ש"‪ .‬אשר מעיד על הסתברות מותנית‪ ,‬ולכן עלינו לחשב את ההסתברות למאורע‬ ‫הרצוי מתוך ההסתברות הכללית של "העולם החדש"‪ .‬במקרה זה‪:‬‬ ‫"העולם החדש" כולל את כל המקרים בהם עופר קיבלת תשובה חיובית בדיוק משישה מקומות עבודה‪.‬‬ ‫המאורע הרצוי הוא שכל הפניות הטלפוניות נענו בחיוב‪.‬‬ ‫חשוב לשים לב שבתרגיל זה‪ ,‬בדומה לתרגילי הסתברות רבים אחרים‪ ,‬סעיף ב' נסמך על סעיף א'‪ ,‬אשר בו כבר מצאנו‬ ‫את ההסתברות למאורע הרצוי )‪ (0.0024576‬ואת ההסתברות הכוללת של "העולם החדש" )‪.(0.0036864‬‬ ‫‪0.0024576 2‬‬ ‫=‬ ‫כל שנותר לנו לעשות הוא לחלק ביניהן ולקבל‪:‬‬ ‫‪0.0036864 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪17‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫‪°‬‬ ‫‪p ADC =p AEB = 90‬‬ ‫‪p BAC =p DAC°‬‬ ‫⇓‬ ‫‪ BE ,CD‬גבהים במשולש )נתון(‬ ‫זווית משותפת‬ ‫לפי משפט הדמיון השני ז‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ ∆AEB ~ ∆ ADC‬מש"ל א'‬ ‫ב‪ .‬ראשית‪ ,‬נוסיף את הישר ‪ DE‬לשרטוט‪ .‬שנית‪ ,‬נבחן את המשולשים בהם אנו מעוניינים להוכיח דמיון‪ .‬בכל אחד‬ ‫מהם יש שתי צלעות אשר הופיעו בדמיון שמצאנו בסעיף א'‪ :‬במשולש ‪ ∆ADE‬הופיעו הצלעות ‪ AE‬ו‪ ,AD-‬ובמשולש‬ ‫‪ ∆ ABC‬הופיעו הצלעות ‪ AB‬ו‪ .AC-‬הדבר מרמז לנו שנוכל להיעזר ביחס הדמיון שמצאנו בסעיף א' כדי להוכיח את‬ ‫הדמיון השני‪.‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪AE AB‬‬ ‫‪AE AD‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫לפי הדמיון שמצאנו בסעיף א'‪.‬‬ ‫‪AD AC‬‬ ‫‪AB AC‬‬ ‫זווית משותפת‬ ‫‪p BAC =p DAE (5‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫⇓‬ ‫לפי משפט הדמיון הראשון צ‪.‬ז‪.‬צ‬ ‫‪∆ADE ~ ∆ACB‬‬ ‫מש"ל ב'‬ ‫ג‪ .‬גם כאן אנו רואים שהנתונים בנוגע לאורכי הצלעות שקיבלנו בסעיף זה תואמים לצלעות המשולשים שהוכחנו‬ ‫עבורם דמיון בסעיף ב‪ .‬נציב את הנתונים ביחס הדמיון‪:‬‬ ‫‪AE AB‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪ 12 (7‬ס"מ = ‪= → AB‬‬ ‫‪AD AC‬‬ ‫‪AB 6‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪ 10‬ס"מ = ‪DB = AB − AD = 12 − 2 ⇒ DB‬‬ ‫מש"ל ג'‬ ‫ד‪ .‬כדי לחשב את היקף המרובע ‪ BCED‬עלינו למצוא את אורכי הצלעות ‪ DE‬ו‪.BC-‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪AE AD DE‬‬ ‫‪1 DE‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫=‬ ‫→‬ ‫‪CB‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫יחס הדמיון בין המשולשים ‪ ∆ADE‬ו‪-‬‬ ‫‪AB AC CB‬‬ ‫‪3 CB‬‬ ‫‪∆ACB‬‬ ‫‪ P + 20 = P → AD + DE + AE + 20 = AB + BC + AC (10‬נתון‬ ‫‪ADE‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫שימוש באורכי צלעות נתונים ומסעיף )‪(9‬‬ ‫‪ 4 (11‬ס"מ = ‪2 + DE + 4 + 20 = 12 + 3DE + 6 → DE‬‬ ‫מתוך )‪ (9‬ו‪(11)-‬‬ ‫‪ 12 (12‬ס"מ = ‪BC = 3ED → BC‬‬ ‫חישוב שטח מרובע‬ ‫‪ 28 (13‬ס"מ = ‪ PBCED = 2 + 4 + 10 + 12 → PBCED‬מש"ל ד'‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪18‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫נתון ‪ E‬אמצע ‪AB‬‬ ‫‪AE = BE‬‬ ‫נתון‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪CO = OE = OD = R‬‬ ‫נתון ‪ +‬סימון‬ ‫‪(3‬‬ ‫‪AD = x → CD = 7 x‬‬ ‫שני חותכים למעגל היוצאים מאותה‬ ‫נקודה‪ ,‬מכפלת חותך אחד בחלקו‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪AD ⋅ AC = AE ⋅ AB → x ⋅ 8 x = 2 AE 2 → AE = 2 x‬‬ ‫החיצוני שווה למכפלת החותך השני‬ ‫בחלקו החיצוני‬ ‫נעביר את בניית העזר ‪ -‬הקטע ‪ .ED‬ניצור את המשולש ישר הזווית ‪ ∆CDE‬בכדי להביע את ‪ x‬באמצעות ‪:R‬‬ ‫זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪p CDE = 90 °‬‬ ‫ל‪90 ° -‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫זוויות צמודות משלימות ל‪180 ° -‬‬ ‫‪p ADE = 90 °‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(7‬‬ ‫משפט פיתגורס במשולש ‪∆ADE‬‬ ‫‪DE = AE − AD = 4 x − x → DE = 3x‬‬ ‫קוטר‪ ,‬נובע מ‪(2)-‬‬ ‫‪(8‬‬ ‫‪CE = 2 R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(9‬‬ ‫‪ CE = CD + DE → 4 R = 49 x + 3 x → x = 0.277 R‬משפט פיתגורס במשולש ‪∆CDE‬‬ ‫נובע מ‪ (1)-‬ו‪ .(9)-‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫‪(10‬‬ ‫‪AE = BE = 2 x → BE = 0.55 R‬‬ ‫ב‪ .‬ניתן לחסום מעגל בתוך מרובע‪ ,‬רק אם סכום שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות האחרות‪.‬‬ ‫נובע מ‪ (7) ,(3)-‬ו‪(9)-‬‬ ‫‪(11‬‬ ‫‪DE = 0.479 R , CD = 1.939 R‬‬ ‫‪°‬‬ ‫זווית היקפית הנשענת על קוטר‬ ‫‪(12‬‬ ‫‪p EBC = 90‬‬ ‫‪(13‬‬ ‫משפט פיתגורס במשולש ‪∆BCE‬‬ ‫‪BC = CE 2 − BE2 → 4R 2 − 0.3025R 2 → BC = 1.922R‬‬ ‫נבדוק האם סכום צלעות נגדיות במרובע ‪ BCDE‬שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני‪:‬‬ ‫חיבור קטעים‬ ‫‪(14‬‬ ‫‪BE + CD = 0.55 R + 1.939 R = 2.489 R‬‬ ‫חיבור קטעים‬ ‫‪(15‬‬ ‫‪DE + BC = 0.479 R + 1.922 R = 2.041R‬‬ ‫נובע מ‪ (14)-‬ו‪ (15)-‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬ ‫‪(16‬‬ ‫לא ניתן לחסום מעגל בתוך המרובע ‪CDEB‬‬ ‫ג‪ .‬כדי לחשב את ‪ R‬נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ‪ . ∆BCF‬תחילה נחשב את צלעות המשולש ואת‬ ‫הזווית ‪. p DCB‬‬ ‫נתון‬ ‫‪(17‬‬ ‫‪ 1‬ס"מ = ‪CF‬‬ ‫‪(18‬‬ ‫‪BF + DE = DF + BE‬‬ ‫סכום צלעות נגדיות במרובע החוסם מעגל‬ ‫שווה לסכום הצלעות הנגדיות השני‬ ‫‪(19‬‬ ‫‪DF = CD − CF → DF = 1.939 R − 1‬‬ ‫‪(20‬‬ ‫‪BF + 0.479 R = 1.939 − 1 + 0.55 R → BF = 2 R − 1‬‬ ‫‪DE 0.479R‬‬ ‫‪(21‬‬ ‫= ‪sin p DCE‬‬ ‫→‬ ‫‪= 0.239 →p DCE = 13.857°‬‬ ‫טריגו במשולש ישר הזווית ‪∆CDE‬‬ ‫‪CE‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪0.55R‬‬ ‫‪(22‬‬ ‫= ‪tan p ECB‬‬ ‫→‬ ‫‪= 0.286 →p ECB = 15.96°‬‬ ‫טריגו במשולש ישר הזווית ‪∆CBE‬‬ ‫‪BC 1.922R‬‬ ‫נובע מ‪ (21)-‬ו‪ .(24)-‬סכום זוויות‬ ‫‪(23‬‬ ‫‪p DCB = 29.817 °‬‬ ‫לאחר שמצאנו את הצלעות והזוויות במשולש ‪ , ∆BCF‬נשתמש במשפט הקוסינוסים כדי למצוא את ‪:R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BF = CF 2 + BC 2 − 2 ⋅ CF ⋅ BC ⋅ cos p FCB → (2R − 1) 2 = 12 + (1.922R) 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1.922R ⋅ cos p 29.817°‬‬ ‫בזהירות רבה‪ ,‬נצמצם‪ ,‬נכנס איברים‪ ,‬נוציא ‪ R‬כגורם משותף ונקבל‪ 2.18 :‬ס"מ = ‪ R‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫חיסור קטעים‪ .‬נובע מ‪(11)-‬‬ ‫נובע מ‪ (18) ,(11) ,(10)-‬ו‪(19)-‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪19‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x − mx‬‬ ‫‪ f ( x) = 2‬יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד‪ ,‬אך המכנה שלה מתאפס‬ ‫א‪ .‬נתון כי לגרף הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x − 10 x + 4m‬‬ ‫בשתי נקודות שונות‪ .‬כלומר‪ ,‬בנוסף לאסימפטוטה האנכית‪ ,‬יש מאפס נוסף שאינו אסימפטוטה ולכן הוא בהכרח‬ ‫מצטמצם עם המונה וזוהי למעשה נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‪ .‬נוציא גורם משותף במונה ונקבל‪:‬‬ ‫) ‪x(x − m‬‬ ‫‪f ( x) = 2‬‬ ‫‪x − 10 x + 4m‬‬ ‫כדי שניתן יהיה לצמצם את אחד מכופלי המכנה עם המונה‪ ,‬מוכרח להופיע במכנה הביטוי‪. ( x − m ) :‬‬ ‫משמעות הדבר היא ש‪ x = m :‬בהכרח מאפס את המכנה‪ .‬נציב ‪ x = m‬במכנה ונשווה אותו ל‪:0-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ m = 6‬או ‪m − 10m + 4m = 0 → m 2 − 6m = 0 → m(m − 6) = 0 → m = 0‬‬ ‫)‪x(x − 6‬‬ ‫‪x 2 − 6x‬‬ ‫‪ . f ( x) = 2‬נסדר את הפונקציה‪:‬‬ ‫ב‪ .‬לפי הנתון‪ , m = 6 ,‬ומכאן שהפונקציה היא‪:‬‬ ‫)‪(x − 6)(x − 4‬‬ ‫‪x − 10x + 24‬‬ ‫‪x‬‬ ‫= )‪. f ( x‬‬ ‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא‪ , x ≠ 4 , x ≠ 6 :‬ולאחר צמצום הפונקציה היא‪:‬‬ ‫‪x−4‬‬ ‫כדי להראות שגרף הפונקציה )‪ f (x‬יורד בכל תחום ההגדרה‪ ,‬נגזור את הפונקציה‪:‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪x−4− x‬‬ ‫) ‪(− ) = (−‬‬ ‫‪f‬‬ ‫'‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫→‬ ‫→ ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(+‬‬ ‫) ‪(x − 4‬‬ ‫) ‪(x − 4‬‬ ‫ניתן לראות כי המכנה הוא ביטוי ריבועי החיובי לכל ‪ x ≠ 4‬והמונה הוא מספר שלילי‪ .‬מכאן שהנגזרת שלילית לכל ‪x‬‬ ‫וגרף הפונקציה יורד בכל תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫= )‪f ( x‬‬ ‫ג‪ .‬מצורף שרטוט של נתוני השאלה לצורכי הסבר בלבד‪ ,‬אין צורך לשרטט‬ ‫את הפונקציה בשביל לפתור את השאלה‪.‬‬ ‫הנקודה הנתונה )‪ N (0,9‬אינה על גרף הפונקציה )‪ , f (x‬ולכן לא ניתן‬ ‫להשתמש בה ישירות‪ .‬נסמן את נקודת ההשקה שכן נמצאת על גרף‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. M  t,‬‬ ‫הפונקציה באמצעות ‪ :t‬‬ ‫‪ t − 4‬‬ ‫כעת ניתן להביע את שיפוע המשיק בשני אופנים שונים ולהשוות ביניהם‪.‬‬ ‫תחילה נביע את שיפוע המשיק באמצעות שתי הנקודות ‪ N‬ו‪: M -‬‬ ‫)‪N (0,9‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M  t,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t −4‬‬ ‫‪t‬‬ ‫) ‪t − 9(t − 4‬‬ ‫‪−9‬‬ ‫) ‪4(9 − 2t‬‬ ‫‪y1 − y 2 t − 4‬‬ ‫‪36 − 8t‬‬ ‫‪t−4‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‬ ‫=‪→m‬‬ ‫=‪→m‬‬ ‫=‪→m‬‬ ‫)‪t (t − 4‬‬ ‫‪x1 − x1‬‬ ‫‪t −0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫) ‪t (t − 4‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  t ,‬בנגזרת ) ‪: f ' ( x‬‬ ‫כעת נביע את שיפוע המשיק באמצעות הצבת שיעור ה‪ x-‬של נקודת ההשקה ‪‬‬ ‫‪ t −4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪(t − 4)2‬‬ ‫= ) ‪f ' (t‬‬ ‫שני הביטויים מתארים את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה היוצא מהנקודה ) ‪ , ( 0 ,9‬ולכן נשווה ביניהם‪:‬‬ ‫) ‪4(9 − 2t‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫=‬ ‫‪→ (9 − 2t )(t − 4 ) = −t → 9t − 36 − 2t 2 + 8t + t = 0 → t 2 − 9t + 18 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪t (t − 4 ) (t − 4‬‬ ‫פתרונות המשוואה הם‪ t = 3 :‬ו‪ . t = 6 -‬עם זאת‪ ,‬הנקודה ‪ t = 6‬היא כאמור נקודת אי רציפות סליקה )"חור"(‬ ‫בפונקציה‪ ,‬ומכאן שנקודת ההשקה היחידה היא )‪. M (3,−3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪20‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫‪x 2 − ax + b‬‬ ‫ד‪ .‬לפונקציה‬ ‫‪x−c‬‬ ‫הנקודה ‪ M‬היא בהכרח נקודת אי רציפות סליקה )"חור" בפונקציה(‪ .‬כלומר ‪ x = 3‬בהכרח מאפס את המכנה ולכן‪:‬‬ ‫‪3−c = 0 → c = 3‬‬ ‫כיוון שהנקודה ‪ M‬היא נקודת אי רציפות סליקה‪ ,‬הרי שמוכרח להיות ביטוי במונה המצטמצם עם אותו הביטוי‬ ‫במכנה‪ .‬בכדי שהמכנה ‪ x − 3‬יצטמצם עם המונה ‪ , x 2 − ax + b‬המונה חייב להיות מהצורה‪. ( x − 3)( x − k ) :‬‬ ‫כלומר‪ ,‬ניתן לכתוב את הפונקציה )‪ g (x‬כך‪(x − 3)(x − k ) :‬‬ ‫= )‪ , g ( x‬ולאחר צמצום‪. g ( x) = x − k :‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪−3 = 3− k → k = 6‬‬ ‫נציב בפונקציה )‪ g (x‬את שיעורי נקודת אי הרציפות הסליקה )‪ M (3,−3‬ונקבל‪:‬‬ ‫כעת ניתן להביע את הפונקציה )‪ g (x‬ללא פרמטרים‪(x − 3)(x − 6) :‬‬ ‫= )‪ , g ( x‬ולאחר פתיחת סוגריים‪:‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫‪x 2 − 9 x + 18‬‬ ‫= )‪g ( x‬‬ ‫‪x−3‬‬ ‫מכאן ש‪ b = 18 , a = 9 :‬וכמו שמצאנו‪. c = 3 :‬‬ ‫= )‪ g ( x‬אין אסימפטוטה אנכית והיא אינה מוגדרת רק בנקודה )‪ . M (3,−3‬כלומר‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪21‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫‪− sin x ≥ 0 → sin x ≤ 0‬‬ ‫א‪ (1 .‬הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש ‪ − sin x‬הוא אי שלילי‪:‬‬ ‫באמצעות מעגל היחידה אנו יודעים כי ‪ sin x‬שלילי ברביעים השלישי והרביעי‪ ,‬כלומר‪ ,‬בתחום ‪ 0 < x < 3π‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ sin x ≤ 0‬כאשר ‪ 180° ≤ x ≤ 360°‬וברדיאנים‪. π ≤ x ≤ 2π :‬‬ ‫‪ (2‬נגזור את הפונקציה )כנגזרת של מכפלה( ונשווה את הנגזרת לאפס‪:‬‬ ‫→‪=0‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫(‬ ‫) ‪− cos x ⋅ (1 + cos x‬‬ ‫⋅ ‪− sin x ⋅ − sin x = 0 → − cos x ⋅ (1 + cos x ) − 2 sin x‬‬ ‫)‬ ‫‪2 − sin x‬‬ ‫(‬ ‫= )‪f ' ( x‬‬ ‫→ ‪− cos x − cos 2 x + 2 sin 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 ⋅ 1 − cos 2 x = 0 → − cos x − cos 2 x + 2 − 2 cos 2 x = 0‬‬ ‫‪− 3 cos 2 x − cos x + 2 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫באמצעות נוסחת השורשים נקבל שתי אפשרויות‪ cos x = −1 :‬או = ‪ . cos x‬נפתור ונבדוק מי מהפתרונות נמצא‬ ‫‪3‬‬ ‫בתחום ‪: π ≤ x ≤ 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos x = −1‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x = π + 2πk‬‬ ‫‪x =π‬‬ ‫או‬ ‫‪x = 0.27π + 2πk‬‬ ‫‪x = −π + 2πk‬‬ ‫‪x =π‬‬ ‫או‬ ‫‪x = −0.27π + 2πk‬‬ ‫‪x = 1.73π‬‬ ‫אין פתרון בתחום‬ ‫למעשה‪ ,‬ישנה נקודה פנימית אחת החשודה כקיצון‪ , x = 1.73π :‬ובנוסף שתי נקודות קיצון קצה‪ x = π :‬ו‪. x = 2π -‬‬ ‫ניעזר בטבלת עליה וירידה ונגלה את סוגן‪:‬‬ ‫‪x = 2π‬‬ ‫קיצון בקצה‬ ‫התחום‬ ‫‪1.73π < x < 2π‬‬ ‫‪x = 1.73π‬‬ ‫‪π < x < 1.73π‬‬ ‫‪x = 1.8π‬‬ ‫קיצון‬ ‫‪x = 1.5π‬‬ ‫שלילי‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪x =π‬‬ ‫קיצון בקצה‬ ‫התחום‬ ‫חיובי‬ ‫‪Min‬‬ ‫‪Max‬‬ ‫תחום ‪x‬‬ ‫נציב בנגזרת‬ ‫סימן הנגזרת‬ ‫הפונקציה‬ ‫עולה ‪/‬יורדת‬ ‫נציב את שלוש הנקודות בפונקציה )‪ f ( x‬ונמצא את שיעורי ה‪ y-‬שלהן‪:‬‬ ‫)‪f (π ) = − sin π ⋅ (1 + cos π ) = 0 → min (π ,0‬‬ ‫)‪f (1.73π ) = − sin (1.73π ) ⋅ (1 + cos(1.73π )) = 1.43 → max (1.73π ,1.439‬‬ ‫)‪f (2π ) = − sin 2π ⋅ (1 + cos 2π ) = 0 → min (2π ,0‬‬ ‫‪ (3‬למעשה‪ ,‬אין צורך לחפש את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים מכיוון שכבר מצאנו אותן‪:‬‬ ‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ‪ π ≤ x ≤ 2π‬ולכן אין נקודת חיתוך עם ציר ה‪ .y-‬את שתי נקודות החיתוך עם ציר‬ ‫ה‪ x-‬כבר מצאנו והן‪ (π ,0) :‬ו‪. (2π ,0) -‬‬ ‫‪ (4‬על סמך טבלת העליה והירידה נוכל לקבוע‪ :‬עליה‪ , π < x < 1.73π :‬ירידה‪. 1.73π < x < 2π :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪22‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪V1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x=a‬‬ ‫נביע את שני נפחי גוף הסיבוב‪ :‬נעלה את הפונקציה בריבוע‪ ,‬נבצע את האינטגרל ולבסוף נכפיל ב‪: π -‬‬ ‫)‬ ‫‪a‬‬ ‫(‬ ‫‪− sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫)‬ ‫‪− sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∫ ‪V1 = π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫(∫‬ ‫‪V2 = π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫למעשה‪ ,‬בכדי לחשב את האינטגרל ‪ , ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬ניעזר בשיטת ההצבה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = 1 + cos x :‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= − sin x :‬‬ ‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪− sin x ⋅ u 2 dx :u‬‬ ‫= ‪: dx‬‬ ‫ונציב בו‪:‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫= ‪. dx‬‬ ‫∫‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= ∫ u 2 du‬‬ ‫‪− sin x‬‬ ‫⋅ ‪dx = ∫ − sin x ⋅ u 2‬‬ ‫‪u3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ − sin x ⋅ u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪∫ u du‬‬ ‫‪(1 + cos x )3‬‬ ‫נציב בחזרה ‪ u = 1 + cos x‬ונקבל את האינטגרל הסופי של הביטוי ‪ ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx‬והוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כעת נחזור ונבצע את האינטגרלים במלואם‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫) ‪1 + cos a‬‬ ‫⋅ ‪=π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪8 − (1 + cos a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(1 + cos x‬‬ ‫⋅ ‪=π‬‬ ‫‪3 a‬‬ ‫‪→ V1‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⋅ ‪→ V2 = π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(1 + cos x )3‬‬ ‫⋅ ‪=π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪V1 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪V2 = π ∫ − sin x ⋅ (1 + cos x ) dx → V2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫לפי הנתון‪ 7V1 = V2 ,‬ולכן‪:‬‬ ‫) ‪8 − (1 + cos a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫→ ‪→ 7(1 + cos a ) = 8 − (1 + cos a ) → 8(1 + cos a ) = 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪(1 + cos a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⋅ ‪=π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⋅ ‪7π‬‬ ‫‪(1 + cos a )3 = 1 → 1 + cos a = 1 → cos a = 0 → a = π + πk‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הפתרון היחיד בתחום ‪ π ≤ x ≤ 2π‬הוא‪) a = 1.5π :‬או במספרים‪.( a = 4.71 :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪23‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫שאלה ‪8‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫* שאלה זו קשה מהרגיל )שאלת אתגר(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ .‬נסדר את משוואת המשיק הנתון‪ y = x + 3 ← 2 y − x − 6 = 0 :‬ונראה כי שיפועו‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪ ,y-‬כלומר כאשר ‪ . x = 0‬נשווה את הנגזרת )‪ f ' ( x‬לשיפוע‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1− 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→ = )‪f ' (0‬‬ ‫→ =‬ ‫‪= → a =2→ a=4‬‬ ‫המשיק ונציב ‪: x = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪− 02 + 2 ⋅ 0 + a 2‬‬ ‫‪ .‬לפי הנתון‪ ,‬הוא משיק‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬ ‫= )‪ . f ' ( x‬נציב במשוואת המשיק ‪ , x = 0‬ונקבל גם כי נקודת ההשקה היא‪. (0,3) :‬‬ ‫כעת‪ ,‬נבצע על הנגזרת )‪ f ' ( x‬אינטגרל למציאת פונקציה קדומה ונמצא את הפונקציה )‪: f (x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫∫ → ‪f ' ( x )dx = f ( x) + c‬‬ ‫‪dx = f ( x ) + c‬‬ ‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫∫ ‪ ,‬ניעזר בשיטת ההצבה‪ :‬ראשית‪ ,‬נסמן‪. u = − x 2 + 2 x + 4 :‬‬ ‫כדי לחשב את האינטגרל‪dx :‬‬ ‫‪− x 2 + 2x + 4‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪du‬‬ ‫נגזור את שני אגפי המשוואה ונקבל‪= −2 x + 2 :‬‬ ‫= ‪. dx‬‬ ‫‪ .‬נבודד את ‪ dx‬ונקבל‪:‬‬ ‫) ‪2(1 − x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫∫ ונציב בו‪:‬‬ ‫= ‪: dx‬‬ ‫נחזור לאינטגרל לאחר הצבת ‪dx :u‬‬ ‫) ‪2(1 − x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪du‬‬ ‫∫ = ‪dx‬‬ ‫⋅‬ ‫∫=‬ ‫‪du‬‬ ‫‪u‬‬ ‫) ‪u 2(1 − x‬‬ ‫‪2 u‬‬ ‫‪du = u + c‬‬ ‫רק בשלב זה‪ ,‬לאחר סידור האינטגרל עבור ‪ u‬נבצע את האינטגרציה עצמה‪:‬‬ ‫נציב בחזרה ‪ u = − x 2 + 2 x + 4‬ונקבל את האינטגרל הסופי‪:‬‬ ‫‪dx = − x 2 + 2 x + 4 + c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫∫‬ ‫∫‬ ‫‪∫2‬‬ ‫‪1− x‬‬ ‫‪− x + 2x + 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫כלומר‪ ,‬הפונקציה הקדומה של )‪ f ' ( x‬היא‪ . f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + c :‬בכדי למצוא את הפרמטר ‪ , c‬נציב‬ ‫בפונקציה את נקודת ההשקה שמצאנו‪ (0,3) :‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪3 = − 02 + 2 ⋅ 0 + 4 + c → 3 = 2 + c → c = 1‬‬ ‫לסיכום‪ :‬הפונקציה )‪ f (x‬היא‪. f ( x ) = − x 2 + 2 x + 4 + 1 :‬‬ ‫ב‪ .‬זוהי בעיית קיצון‪ .‬פונקציית המטרה היא היקף המלבן‪ .‬לאחר הרכבת הפונקציה‪ ,‬נגזור ונשווה את הנגזרת ל‪0-‬‬ ‫בכדי למצוא את נקודת המקסימום‪.‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫תחילה‪ ,‬נסמן את שיעורי הנקודה ‪ A‬הנמצאת על גרף הפונקציה )‪ f (x‬באמצעות ‪. A t , − t 2 + 2t + 4 + 1 :t‬‬ ‫מכיוון שצלעות המלבן ‪ ABCD‬מקבילות לצירים‪ ,‬ניתן לראות כי לנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬שיעור ‪ y‬זהה‪ .‬כלומר שיעורי‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הנקודה ‪ B‬הם‪ . B x B , − t 2 + 2t + 4 + 1 :‬נציב בפונקציה )‪ f (x‬ונמצא את שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪:B‬‬ ‫‪− t 2 + 2t + 4 + 1 = − xB + 2 xB + 4 + 1 → − t 2 + 2t + 4 = − xB + 2 xB + 4 → xB − 2 xB + 2t − t 2 = 0‬‬ ‫ניעזר בנוסחת השורשים בכדי להביע את ‪ xB‬באמצעות ‪:t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪2 ± 4 − 4 2t − t 2‬‬ ‫) ‪2 ± 4 − 8t + 4t 2 2 ± (2 − 2t‬‬ ‫) ‪2 ± (2 − 2t‬‬ ‫= ‪xB‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪→ xB = t, xB = 2 − t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x = t‬הוא כמובן שיעור ה‪ x-‬של הנקודה ‪ ,A‬ומכאן ששיעורי הנקודה ‪ B‬הם‪. B 2 − t , − t 2 + 2t + 4 + 1 :‬‬ ‫כאמור‪ ,‬צלעות המלבן ‪ ABCD‬מקבילות לצירים ולכן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫(‬ ‫עמוד ‪24‬‬ ‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬ ‫אורך הצלעות ‪ AD‬ו‪ BC-‬הוא שיעור ה‪ y-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬ ‫אורך הצלעות ‪ AB‬ו‪ CD-‬הוא הפרש שיעורי ה‪ x-‬של הנקודות ‪ A‬ו‪:B-‬‬ ‫‪AD = BC = − t 2 + 2t + 4 + 1‬‬ ‫‪AB = CD = t − (2 − t ) = 2t − 2‬‬ ‫כעת נוכל להביע את פונקציית המטרה המתארת את היקף המלבן‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪P = 2 AD + 2 AB → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 2(2t − 2) → P(t ) = 2 − t 2 + 2t + 4 + 1 + 4t − 2‬‬ ‫‪− 2t + 2‬‬ ‫⋅ ‪P ' (t ) = 2‬‬ ‫כדי למצוא את ערך ‪ t‬שעבורו היקף המלבן מקסימלי נגזור את הפונקציה ) ‪+ 4 : P(t‬‬ ‫‪2 − t 2 + 2t + 4‬‬ ‫נשווה את הנגזרת ל‪:0-‬‬ ‫‪− 2t + 2‬‬ ‫‪+ 4 = 0 → 2t − 2 = 4 − t 2 + 2t + 4 → 4t 2 − 8t + 4 = −16t 2 + 32t + 64 → t 2 − 2t − 3 = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− t + 2t + 4‬‬ ‫פתרונות המשוואה הם‪ t = 3 :‬ו‪) . t = −1 -‬הנקודה ‪ A‬נמצאת ברביע הראשון ולכן הפתרון המתאים הוא‪.( t = 3 :‬‬ ‫ניעזר בנגזרת שניה מקוצרת של ' ‪ P‬לבדיקת סוג הקיצון של הנקודה ‪. t = 3‬‬ ‫בנגזרת שניה מקוצרת ניעזר רק למציאת סוג הקיצון ונגזור רק את המונה‪:‬‬ ‫‪P ' ' (3) = −2 < 0 → Max‬‬ ‫סימן‬ ‫לבסוף נציב ‪ t = 3‬בפונקציה ‪ P‬המתארת את היקף המלבן‪ 12 :‬יח' = ‪P = 2 − 3 2 + 2 ⋅ 3 + 4 + 1 + 4 ⋅ 3 − 2 → P‬‬ ‫כלומר‪ ,‬היקפו המקסימלי של המלבן הוא ‪ 12‬יחידות אורך‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪806‬‬ ‫עמוד ‪25‬‬