סדרות מספרים ממשיים - Or-Alfa
סדרות מספרים ממשיים
הגדרות
.1סדרה של מספרים ממשיים )ובקיצור :סדרה( היא למעשה רשימת ערכים ממשיים הכתובים
בסדר מסוים:
⋯ , , , ⋯ ,
המספר נקרא האיבר הראשון ,המספר נקרא האיבר השני ובאופן כללי נקרא
האיבר ה - n -י .
.2נקרא גם האיבר הכללי בסדרה וְ n -נקרא אינדקס האיבר.
.3אנו נדון בסדרות אינסופיות ולכן לאיבר תמיד יהיה איבר עוקב .
הערה
נשים לב שלכל מספר טבעי מתאים האיבר כך שסדרה היא למעשה פונקציה
→ :
אלא שבמקום אנחנו מסמנים ,כלומר = .
סדרות ניתן לתאר באופן גרפי בשתי צורות :מערכת צירים חד מימדית ומערכת צירים דו
מימדית כמודגם להלן:
מערכת צירים חד מימדית
מערכת צירים דו מימדית
√ =
1
1
=
= −1
.4כאשר תלוי ב -בלבד אנו אומרים שהסדרה מוגדרת באופן אקספליציטי או שהסדרה
היא סדרה אקספליציטית.
כך ,למשל ,הסדרות
= ,
= הן סדרות אקספליציטיות.
1
.5לעיתים נוסחת הסדרה מורכבת יותר והיא נתונה על ידי קשר מהצורה = :או
= ,וכד' .במקרים אלו אומרים שהסדרה מוגדרת באופן רקורסיבי
או שהסדרה היא סדרה רקורסיבית או שנוסחת הסדרה היא נוסחת נסיגה .כך ,לדוגמה,
הסדרה
= + 1, = 1שהיא למעשה הסדרה ⋯ 1, √2, √2 + 1, ⋯ , + 1,
או הסדרה = + 3 , = 0, = 1שהיא למעשה הסדרה
"0,1,3,10,33, ⋯ , + 3 , ⋯ #הן כל אחת סדרה רקורסיבית.
הערה
לעיתים מבטאים את איברי הסדרה במלל ולא על פי נוסחה כנ"ל .למשל:
הספרה העשרונית ה– -ית במספר "7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5, ⋯ # : $
-
הספרה העשרונית ה– -ית במספר ) "1,4,1,5,9,2,6,5,3,5, ⋯ # :
-
----------
סימון:
את ערכי הסדרה מקובל לסמן באופן כללי באחת מהצורות הבאות {a n } :או {a n }n =1או
∞
{
}
{
}
a 1, a 2 , a 3, a 4 , ...או {a n }n∉Nאו a n , n ∈ Nאו בקיצור . a nבדרך כלל האינדקס של
איברי הסדרה מתחיל מ = 1 -או .
= 0אם הסדרה מתחילה מאינדקס ,, ≠ 1אזי רושמים
" #0או "/ , / , / , … #או " , = ,, , + 1, , + 2, … #או בקיצור . , ≥ ,
./
----------
דוגמאות
סדרות אקספליציטיות
.1
1 2 3
⋯3 , , ,
,⋯4
+1
2 3 4
.2
.3
.4
−1 + 1
2 3
5− , , ⋯ ,
,⋯6
3 9
3
70,1, √2, √3, ⋯ √
− 3, ⋯ 8
)
√3 1
51,
, , 0, ⋯ , 9:; < = , ⋯ 6
2 2
6
+1
=
−1 + 1
3
=
= √
− 2, ≥ 2
)
=,
≥ 0
6
2
+ 1 .
0
< ; = 9:
−1 + 1
5
6
3
.
0
0
7√
− 28.
) 0
=
>6 .
< ;9:
.5סדרה חשבונית.
זו סדרה שבה הפרש שני אברים עוקבים הוא קבוע .נוסחתה היא:
? = + − 1
כאשר ? הוא הפרש הסדרה .כך ,למשל ,בסדרה = 1 ,"1,5,9,13, ⋯ ,4
− 3, ⋯ #וְ -
.? = 4
.6סדרה גיאומטרית )הנדסית(.
זו סדרה שבה מנת שני אברים עוקבים היא קבועה .נוסחתה היא:
= ∙ A
כאשר Aהיא מנת הסדרה .כך ,למשל ,בסדרה = 2 ,"2,6,18,54, ⋯ ,2 ∙ 3 , ⋯ #וְ -
.A = 3
.7סדרות הרמוניות.
B
אלו הן סדרות מהצורה = Cעבור D ≥ 0וְ α -קבועים .למשל:
1
1
3
= ;
= ;
√
=
סדרות רקורסיביות
.1סדרת לוקאס ) François Édouard Anatole Lucas
1
(
זו סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים את נוסחת הנסגיה הבאה:
כאשר Gוְ A -הם שלמים.
∙ = G ∙ − A
.2סדרת פיבונאצ'י ) ,(2Fibonacci Sequenceהמסומנת ,היא מקרה פרטי של סדרת
לוקאס.
זו סדרה שבה החל מהאיבר השלישי ,כל איבר הוא הסכום של שני קודמיו:
= 1, = 1; = + ; ≥ 3
.3
דהיינו ,הסדרה הבאה"2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, ⋯ # :
סדרת פל ).(3John Pell
גם זו סדרה שהיא מקרה פרטי של סדרת לוקאס והיא מוגדרת באופן הבא:
= 2 + ;> = 0, = 1
1
אדואר לוקאס ) ( François Édouard Anatole Lucasהיה מתמטיקאי צרפתי שחי בין השנים .1841-1891
2לאנורדו פיבונאצ'י ) (Leonardo Fibonacciהיה מתמטיקאי איטלקי אשר חי לערך בין השנים 1175-1245
)השנים אינן ידועות במדויק(.
3ג'ון פל ) (John Pellהיה מתמטקאי אנגלי אשר חי בין השנים .1611-1685
3
משוואת ההפרשים הלוגיסטית )המיפוי הלוגיסטי
.4
François Verhulst
(The logistic mapשל Pierre
1
= H 1 −
כאשר aJהוא מספר בין 0ל – ,1המציין את היחס בין גודל האוכלוסיה הנוכחי לגודל
המכסימלי האפשרי בשנה > ,הוא היחס בתחילת המדידה ) (
= 0וְ H -הוא מספר חיובי
המיצג את שקלול יחס הגידול והמיתה.
---------הערה
תמונת הסדרה יכולה להיות קבוצה סופית או קבוצה אינסופית.
כך ,למשל ,איברי הסדרה ) a = (−1הם{− 1, 1, −1 1, −1, ...} :
במקרה זה תמונת הסדרה היא הקבוצה } , {− 1, 1כלומר תמונת הסדרה מכילה רק שני מספרים
n
n
ממשיים.
תמונת הסדרה יכולה להיות גם מספר ממשי אחד בלבד .במקרה זה נאמר שהסדרה היא "סדרה
קבועה".
כך ,למשל ,איברי הסדרה = 1n
n
aהם{1, 1, 1, 1, 1, ...} :
כלומר תמונת הסדרה כאן היא הקבוצה } {1המכילה איבר אחד בלבד.
---------הגדרה
תהי } {a nסדרה נתונה.
נאמר על הסדרה {b k }k =1שהיא "תת סדרה של הסדרה } " {a nאם קיימת פונקציה
∞
g(k ) = n k : N → Nכך ש-
א.
)∀k ∈ N, g(k ) < g (k + 1
ב.
) ∀k ∈ N, b k = a g ( k
במקרה זה את תת הסדרה {b k }k =1מסמנים . {a n k }∞k =1
∞
---------הערה
נשים לב שבמקרה זה האינדקס המשתנה הוא kולא . n
Pierre François Verhuls 1היה מתמטיקאי בלגי אשר חי בין השנים .1804-1849
4
; g(k ) = n k : N → N
k
3
k
1
2
---------דוגמה
הפונקציה g (k ) = n k = k 2 : N → Nמקיימת את התנאי שg ( k ) < g ( k + 1) -
כי k 2 < (k + 1) 2והסדרה b k = a k 2היא תת סדרה של הסדרה . a n
}
ואמנם ,אם הסדרה המקורית היאa 2 , a 3, a 4 , ..., a k , a k +1 ,... :
1,
{a
אזי היות ו 12 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, ..., -הרי שבמקרה זה תת הסדרה {a n k }∞k =1של
{
}
הסדרה {a n }n =1היא הסדרה. a 1 , a 4 , a 9 , a 16 , ..., a k 2 , a ( K +1) 2 , ... :
∞
כך ,למשל ,במקרה של : g (k ) = n k = k 2 : N → N
א.
1
1
הסדרה b k = a n k = a k 2 = 2היא תת סדרה
n
k
1 1 1
הסדרה 1, , , ,...
4 9 16
= ;an
1
1 1 1 1 1 1 1 1
היא תת סדרה של 1, , , , , , , , ,..., ,...
16
2 3 4 5 6 7 8 9
הסדרה b k = a n k = a k 2 = k 2 = k = kהיא תת סדרה של ; a n = n
ב.
הסדרה } {1,2,3,...n,...היא תת סדרה של
{
}
. 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,. 7 ,. 8 ,. 9 ,.... n 2 , ,...
----------
הגדרה
נסמן ב S -את קבוצת כל הסדרות הממשיות .נניח ש{b n }∈ S -
{a n }∈ S,ו. λ ∈ R -
על Sנגדיר פעולת חיבור ,כפל וכפל בסקלר כלהלן:
א.
חיבור :סכום הסדרות {b n }∈ S
{a n }∈ S,מסומן } {a n + b nומוגדר באופן הבא:
} {a n + b n } = {a n } + {b n
5
ב.
{a n }∈ S,מסומן } {a n ⋅ b nומוגדר באופן הבא:
כפל :כפל הסדרות {b n }∈ S
} {a n ⋅ b n } = {a n }⋅ {b n
ג.
כפל בסקלר :כפל הסדרה {a n }∈ S,בסקלר λ ∈ R -מסומן } λ ⋅ {a nומוגדר באופן
הבאλ ⋅ {a n } = {λ ⋅ a n } :
----------
הגדרת מושג הגבול של סדרה ממשית
הגדרה
נסמן:
K = ∪ "∞# ∪ "−∞#
אומרים ש NK -היא גבול של הסדרה אם עבור כל סביבה OPשל 1 Q = Nקיים אינדקס νכך
ש-
≥ ν ⇒ OP
ניסוח שקול NK :היא גבול של הסדרה אם כל סביבה OPשל Q = Nמכילה את כל איברי
הסדרה פרט למספר סופי של איברים .במקרה זה מסמנים TUV→0 = N :או WXXY N
→0
או בקיצור . → N
ניסוח שקול על פי ערכי
א.
Z
כאשר Zסופי :לכל [ > 0קיים אינדקס νכך ש-
[ .
≥ ] ⇒ N − [ < < N +
°
°
°
Q=N
°
°
°
°
n=ν
ב.
[Q=N+
[Q=N−
כאשר ∞ = : Zלכל _ > 0קיים אינדקס νכך ש-
_ > ⇒ ] ≥ .
1א .סביבה )סביבת ε > 0
( של מספר Lסופי היא קטע פתוח מהצורה ) (L − ε, L + εוהיא מסומנת . VL
ב .סביבה של ∞ היא קטע פתוח מהצורה )∞ (α,עבור 0 < α ∈ R
ג .סביבה של ∞ −היא קטע פתוח מהצורה ) ( −∞ , βעבור 0 > β ∈ Rכלשהי .סביבה זו מסומנת
כלשהי .סביבה זו מסומנת ∞. V
6
∞. V−
°
°
°
°
°
ג.
כאשר ∞: Z = −
Q=_>0
n=ν
לכל V < 0קיים אינדקס νכך ש-
.
≥ ] ⇒ < V
°
n=ν
°
Q=V<0
°
°
----------דוגמאות
1
א .נעיין בסדרה ) . a n = 1 + ( −
n
ניתן לראות שככל שערכי nגדלים יותר ויותר ,ערכי איברי הסדרה מתקרבים יותר ויותר לערך .1
ניקח ε > 0מספר ממשי כלשהו וננסה לראות האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שכל איברי הסדרה
החל מאינדקס זה ,נמצאים בסביבת של .1
במילים אחרות ,נבדוק האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שהחל מאינדקס זה ,מרחק איברי הסדרה
מ 1 -יהיה קטן מ ε -ובניסוח אלגברי ,האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך ש-
1
a n −1 = 1 + − − 1 < ε
n
7
∀n ≥ ν,
x
0
1
הדרישה היא אם כן,
n ≥ ν ⇒ a n ∈ V1
כלומר,
1 1
∀n ≥ ν, = − = < ε
n n
1
ברור שאי שוויון זה יתקיים כאשר
ε
> .n
1
ניקח ν = + 1כאשר z הוא הערך השלם של . z
ε
x
אזי:
1
n <ε
n
)⇒ a n − 1 = (− 1
1
ε
> n ≥ν ⇒ n
במקרה זה רושמים. lim a n = 1 :
∞→ n
ב .נעיין בסדרה . a n = n 2
נבדוק האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שכל איברי הסדרה החל מאינדקס זה הם בסביבת ∞
המסומנת ∞ . Vבמילים אחרות ,נבדוק האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שהחל מאינדקס זה ,כל
איברי הסדרה גדולים מ α > 0 -ממשית כלשהי ובניסוח אלגברי ,האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך
ש-
8
∞n ≥ ν ⇒ a n ∈ V
כלומר
n ≥ ν ⇒ an = n2 > α
) או )∞ ( n ≥ ν ⇒ a n = n 2 ∈ (α,עבור 0 < α ∈ Rמסוימת.
ברור ש n 2 > α -עבור α
> . nלכן נגדיר [ α ]+ 1
= .ν
x
ואז
.n ≥ ν ⇒ n > α ⇒ an = n2 > α
במקרה זה רושמים. lim a n = ∞ :
∞→ n
ג .נעיין בסדרה . a n = − n 2
נבדוק האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שכל איברי הסדרה החל מאינדקס זה הם בסביבת ∞ −
המסומנת ∞ . V−במילים אחרות ,נבדוק האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך שהחל מאינדקס זה ,כל
איברי הסדרה קטנים מ β < 0 -ממשית כלשהי ובניסוח אלגברי ,האם קיים אינדקס ν ∈ Nכך
ש-
∞n ≥ ν ⇒ a n ∈ V−
כלומר
n ≥ ν ⇒ a n = −n 2 < β
) או ) ( n ≥ ν ⇒ a n = −n 2 ∈ (−∞, βעבור 0 > β ∈ Rכלשהי.
ברור ש − n 2 < β -כאשר n 2 > −βוזה מתקיים עבור β < 0 ) n > − βולכן − βמוגדר
היטב( .לכן נגדיר
9
x
]
− β +1
[
=ν
ואז
. n ≥ ν ⇒ n > − β ⇒ n 2 > −β ⇒ −n 2 ⇒ a n = −n 2 < β
במקרה זה רושמים. lim a n = −∞ :
∞→ n
---------משפט
א.
ב.
|H| < 1 ⇒ H WXXY 0
→0
∞ |H| > 1 → |H| WXXY
→0
הוכחה
נוכיח על פי ההגדרה:
|H| < 1
א.
טיוטה
הוכחה
יהי [ > 0ובלי הגבלת הכלליות נניח ש-
. 0 < [ < 1אזי T
[ < 0והיות ש |H| < 1 -הרי
ln ε
ν = ואזי n ≥ ν
שגם .T
|H| < 0ניקח + 1
ln r
[
T
[
⇒ T
|H| < T
|T
|H
מ.ש.ל.
ב.
> ⇒
⇒ T
|H| < T
[ ⇒ |H | < ϵ
|H| > 1
10
|H | < ϵ
[
T
|H| < T
[
T
|H| < T
[
T
|H| < 1 ⇒ T
|H| < 0
|T
|H
>
טיוטה
הוכחה
_
|H | > MT
|H| > T
יהי _ > 0ובלי הגבלת הכלליות נניח ש-
. _ > 1אזי T
_ > 0והיות ש |H| > 1 -הרי
_
T
|H| > T
_
T
|T
|H
ln M
ν = ואזי
שגם .T
|H| > 0ניקח + 1
ln r
n≥ν
מ.ש.ל.
_
T
_
⇒ T
|H| > T
|T
|H
|H|, _ > 1 ⇒ T
|H|, T
_ > 0
> ⇒
_
⇒ |H | > MT
|H| > T
----------משפט
| WXXY N ⇒ | | WXXY |N
→0
הוכחה
על פי ההגדרה ומתוך אישוויון המשולש ההפוך:
→0
|d| | − |N|d ≤ | − N
משפט
WXXY 0 ⇔ | | WXXY 0
→0
-----------
→0
הוכחה
על פי ההגדרה ומתוך כך ש-
| | = d| |d
-----------
הגדרה
סדרה השואפת ל 0 -נקראת סדרה אפיסה.
-----------
משפט
אם לסדרה יש גבול אזי הוא יחיד.
הוכחה
תהי } {a nסדרה .נניח ש a -הוא גבול הסדרה וכן ו b -גבול הסדרה ,כלומר
11
>
lim a n = a , lim a n = b
∞→ n
∞→ n
כאשר . a ≠ b
תהי Vaסביבה של . aנתון ש a n → a -ולכן Vaמכילה את כל איברי הסדרה } {a nפרט למספר
סופי של איברים .נבחר סביבה Vbשל bכך ש . Va ∩ Vb = Φ -אזי ב Vb -יש לכל היותר מספר
סופי של איברים מהסדרה } . {a n
x
a
b
לכל היותר מספר סופי של
.
איברים מהסדרה
פרט
כל איברי הסדרה
למספר סופי של איברים
לכן לא יתכן ש . a n → b -לפיכך . a = b
מ.ש.ל.
----------הגדרה
סדרה שיש לה גבול סופי נקראת "סדרה מתכנסת" .אחרת ,אומרים ש"הסדרה "מתבדרת".
----------דוגמאות
n +1
.1נוכיח על פי ההגדרה ש→ 1 -
∞→ n n
-----------------------------------------------------
= .an
טיוטה
n +1
−1 < ε
n
1 1
= <ε
n n
1
ε
>n
12
----------------------------------------------------הוכחה:
1
יהי ε > 0כלשהו .ניקח .ν = + 1אזי
ε
1
n +1
1
1 1
( ⇒
= ) −1 = 1+ −1
= <ε
ε
n
n
n n
1
>n≥ν⇒n
> n
ε
מ.ש.ל.
------------2n + 1
2
.2נוכיח על פי ההגדרה ש-
→
3n + 3 n→∞ 3
= . an
---------------------------------------טיוטה
2n + 1 2
− <ε
3n + 3 3
1
1
=
<ε
)3( n + 1) 3( n + 1
−1
3
−
>n
ε
---------------------------------------הוכחה
3
יהי ε > 0וניקח .ν = − 1 + 1אזי
ε
2n + 1 2
1
1
− = −
=
<ε
2n + 3 3
)3( n + 1) 3( n + 1
⇒ −1
3
ε
> .n ≥ν ⇒ n
מ.ש.ל.
-----------
.3נוכיח על פי ההגדרה ש-
3
→7
∞→ n
2 + 3 ⋅ 10 n
5 + 7 ⋅ 10 n
---------------------------------------טיוטה
13
= . an
2 + 3 ⋅ 10 n 3
− <ε
5 + 7 ⋅ 10 n 7
1
<ε
) 7(5 + 7 ⋅ 10 n
1
7ε
> 5 + 7 ⋅ 10 n
1 1
1 − 35ε
1
= )( − 5
<, 0<ε
7 7ε
49ε
35
1 − 35ε
1
<, 0<ε
35
10 49ε
> 10 n
n > log
---------------------------------------הוכחה
יהי . ε > 0
1
1 − 35ε
. ν = log10
לפי הערה ,3בלי הגבלת הכלליות נוכל להניח ש-
< 0 < εוניקח + 1
35
49ε
אזי
1 − 35ε
⇒ −1
49ε
1 − 35ε
1
1
2 + 3 ⋅ 10 n 3
> 10 n
> ⇒ 5 + 7 ⋅ 10 n
⇒
=
− <ε
49ε
7ε
7(5 + 7 ⋅ 10 n ) 5 + 7 ⋅ 10 n 7
n ≥ ν ⇒ n > log10
מ.ש.ל.
------------משפט
תהי a nסדרה אשר יש לה גבול ונניח שהגבול הוא a n → a :aכאשר aהוא סופי או אינסופי.
∞→ n
תהי a n kסדרה חלקית של . a nאזי גם לתת הסדרה a n kיש גבול והוא אותו הגבול של , a nכלומר
. a nk → a
∞→ k
בניסוח אחר:
. a n → a ⇒ a nk → a
∞→ n
∞→ k
הוכחה
נתון ש a n → a -ולכן כל סביבה Vaשל aמשאירה מחוצה לה לכל היותר מספר סופי של
∞→ n
איברים מהסדרה . a nאם Vaמשאירה מחוצה לה לכל היותר מספר סופי של איברים מ, a n -
אזי היא גם משאירה מחוצה לה לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה החלקית שלה . a n k
14
לכן ,כל סביבה Vaשל aמשאירה מחוצה לה לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה . a n k
מכאן ,על פי הגדרת הגבול. a n k → a ,
∞→ k
מ.ש.ל
------------מסקנה
אם מסדרה נתונה a nניתן לקבל שתי סדרות חלקיות בעלות גבולות שונים ,אזי לסדרה המקורית
a nאין גבול.
------------דוגמאות
א.
נעיין בסדרה . a n = (−1) nבמקרה זה תמונת הסדרה כוללת שני מספרים בלבד. {− 1,1} :
נראה עתה שלסדרה זו אין גבול .ואמנם ,ניקח את הסדרה החלקית שלה המורכבת מהאיברים
שהם במקומות הזוגיים שלה )במקרה זה ( n k = 2k ,ואזי:
a nk = a 2 k = ( −1 )2 k = 1→ 1
∞→ k
ניקח עתה את הסדרה החלקית המורכבת מהאיברים שהם במקומות האי זוגיים בסדרה
המקורית )במקרה זה ( n k = 2k + 1 ,ואזי:
a nk = a 2 k +1 = ( −1 ) 2 k +1 = −1→ −1
∞→ k
כלומר ,תת סדרה אחת שואפת ל 1 -ותת סדרה אחרת שואפת ל .-1 -כמובן ש. − 1 ≠ 1 -
מקבלים אם כן שלסדרה המקורית יש שתי סדרות חלקיות השואפות לגבולות שונים.
לכן לסדרה המקורית a n = (−1) nאין גבול.
ב.
הסדרה ⋯ 1, , 1, , 1 g ,מתבדרת כי יש לה שתי סדרות חלקיות השואפות לגבולות
שונים .תת הסדרה של המקומות האיזוגיים היא סדרה קבועה שאיבריה כולם 1ולכן
שאופת ל .1 -תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים היא הסדרה
ל. 0 -
ג.
הסדרה
0
−1
.
/.
מתבדרת כי יש לה שתי סדרות חלקיות השאופות לגבולות
שונים .סדרת האיברים במקומות הזוגיים היא הסדרה
הסדרה של המקומות האיזוגיים היא הסדרה
ד.
0
hהשואפת
/ 0
>/ /.
i/ 0
השואפת ל – 3ותת
/ /.
−השואפת ל – ).(-3
"−3 #0אין גבול כי תת הסדרה של המקומות הזוגיים היא הסדרה
לסדרה .
"9/ #0השואפת ל ∞ -ותת הסדרה של המקומות האיזוגיים היא הסדרה
/.
"−3 ∙ 9/ #0השואפת ל .−∞ -
>/.
15
------------הערות
א.
ב.
אם שתי תת סדרות של אותה סדרה מתכנסות לאותו הגבול - Lאין זה גורר בהכרח
שהסדרה מתכנסת לאותו . L
אולם קיים המשפט הבא:
משפט
אם נתונה סדרה a nושתי הסדרות החלקיות שלה :האחת המורכבת מאיבריה שבמקומות
הזוגיים והשנייה שמורכבת מאיבריה שבמקומות האי זוגיים -שתיהן שואפות לאותו גבול ,aאזי
לסדרה המקורית יש גבול והוא ,aכלומר:
lim a 2 n = a = lim a 2 n +1 ⇒ ∃ lim a n = a
∞→ n
∞→ n
הוכחה נוכיח במקרה בו סופי .הוכחה דומה כאשר ∞. = ±
∞→ n
יהי ε > 0כלשהו.
נתון ש a 2 n → a -ולכן קיים אינדקס ν1כך ש-
n ≥ ν1 ⇒ a 2 n − a < ε
באופן דומה ,נתון ש a 2 n +1 → a -ולכן קיים אינדקס ν 2כך ש-
n ≥ ν 2 ⇒ a 2 n +1 − a < ε
נסמן:
} ν = Max{2ν1 ,2ν 2 + 1ויהי . n ≥ ν
אזי ,אם nזוגי הרי ש n = 2mואז-
n = 2m ≥ 2ν1 ⇒ m ≥ ν1 ⇒ a 2 m − a < ε ⇒ a n − a < ε
ג.
n=2m
}
aד
→a 2 m .
{
n = 2m ≥ ν = Max 2ν1 , 2ν 2 + 1
באופן דומה ,אזי ,אם nזוגי הרי ש n = 2m + 1ואז-
n = 2m + 1 ≥ 2ν 2 + 1 ⇒ m ≥ ν 2 ⇒ a 2 m +1 − a < ε ⇒ a n − a < ε
n=2m+1
ה.a
2 m +1 → a
}
{
n = 2m + 1 ≥ ν = Max 2ν1 , 2ν 2 + 1
כלומר ,לכל ε > 0קיים אינדקס νכך שאם ) nזוגי או אי זוגי( מקיים ש n ≥ ν -אזי
. a n − a < εלכן . a n → a
16
מ.ש.ל.
------------משפט
תהי סדרה כך ש = -ונניח ש k -מוגדרת לכל . k ≥ 1אזי:
lim k = N ⇒ lim = N
→0
כאשר Nסופי או אינסופי.
------------דוגמאות
∞→o
1 + WXY 1 ⇒ 1 + WXXY 1
א.
→0
ב.
→0
o o→0
o
<1 + = WXY $ ⇒ <1 + = WXXY $
o→0
o
o
על פי כלל לופיטל limo→0 p qr = limo→0 sp qr = 0,ומכאן . p q WXXY 0
ג.
WXY 0 ; H > 0 ⇒ t WXXY 0; H > 0
ד.
s
WXXY
ה.
→0
→0
su s
u
s
⇒ WXY
o→0
v
k r WXY 1 ⇒ √
WXXY 1
→0
ו.
-------------
משפט היינה
1
דוגמאות
א.
o→0
o→0
→0
ot
so u o so
o u o
⇔ k WXY Nלכלסדרה → מתקיים ∶ → N
o→x
אם > 0או ∞ = אז √ √k WXYלכל ,טבעי .לכן לכל ,טבעי:
h
√ → → ∞ ⇒ hאו → > 0
h
למשל,
o→x
h
|
4
4
|
{
∞ = ∞√ → y z − 1 → ∞ ⇒ y z − 1
3
3
|
3
3
|
{
y z + 1 → 1 ⇒ y z + 1 → √1 = 1
4
4
ב.
אם < 0או ∞ = −אז √ √k WXYלכל ,טבעי איזוגי .לכן לכל ,טבעי איזוגי:
h
h
o→x
√ → → −∞ ⇒ hאו → < 0
h
1היינריך אדוארד היינה ) ( Heinrich Eduard Heineהיה מתמטיקאי גרמני שחי בין השנים 1821-1881
17
למשל,
q
4
4
q
∞1 − y z → −∞ ⇒ {1 − y z → √−∞ = −
3
3
q
3
3
q
y z − 1 → −1 ⇒ {y z − 1 → √−1 = −1
4
4
-------------
משפט -כללי הגבולות לסדרות מתכנסות
תהיינה a n , b nשתי סדרות מתכנסות כך ש a n → a , b n → b -ו α -קבוע ממשי כלשהו.
אזי:
א.
a n + bn → a + b
ב.
a n ⋅ bn → a ⋅ b
ג.
α⋅an → α⋅a
ד.
a n − bn → a − b
ה.
an
a
אם b ≠ 0וכמו כן , ∀n ∈ N, b n ≠ 0אזי →
bn
b
הוכחה
בדומה להוכחת כללי הגבולת של פונקציות.
------------הערות
א.
כללי הגבולות בהנ"ל תקפים גם כאשר הגבולות הם אינסופיים ,בכפוף להגדרות הבאות:1
∞−∞ − ∞ = −
∞=∞∞+
∞−
c>0
9 = 0לאמוגדר~ = ∞c ∙ −
∞
c<0
∞
c>0
9 = 0לאמוגדר~ = ∞ ∙ c
∞−
c<0
איזוגי ∞−
−∞J = 3
∞
זוגי
;∞ = ∞J
∞ =∞+c
∞∞ − 9 = −
1
∞=
0
1
∞= −
0
∞∞−∞ = −∞∞ = −
∀9 1
18
ביטויים אשר אינם מוגדרים
∞±
∞±
0
0
∞∞−
∞ −∞ +
∞0 ∙ −
∞∙0
10
>0
∞
----------
משפט הסנדויץ
תהיינה a n , b n , c nסדרות כך ש-
א.
∀n ∈ N, a n ≤ b n ≤ c n
ב.
lim a n = lim c n = aכאשר aסופי.
∞→ n
∞→ n
אזי:
lim b n = a
∞→ n
הוכחה
יהי . ε > 0
a n → aולכן קיים אינדקס ν1כך ש-
n ≥ ν1 ⇒ a − ε < a n < a + ε
כמו כן c n → aולכן קיים אינדקס ν 2כך שn ≥ ν 2 ⇒ a − ε < b n < a + ε -
ניקח } . ν = Max{ν 1 , ν 2אזי:
. n ≥ ν ⇒ a − ε < a n ≤ bn ≤ cn < a + ε
קיבלנו שלכל ε > 0קיים אינדקס νכך ש-
n ≥ ν ⇒ a − ε < bn < a + ε
לכן,
. lim b n = a
∞→ n
מ.ש.ל
-------------
19
דוגמאות
( −1 ) n ⋅ sin n
.1נעיין בסדרה
n
= . an
1
→0
n
≤ 0 ≤ an
ומכאן:
an → 0 ⇒ an → 0
an → 0 ⇔ an → 0
.2נעיין בסדרה
נעזר באישוויון הבא
משפט הסנדויץ
-------------
= . = <1 +
1
2 ≤ (1 + ) n ≤ 3
n
ולכן בוודאי:
1
(1 + ) n ≤ 3
n
ומכאן:
cos n 3 ⋅ 1 3
1 (−1) n ⋅ cos n
0 ≤ a n = (1 + ) n
≤ 3⋅ 2 ≤ 2 = 2
2
n
n
n
n
n
3
→0
n2
≤ 0 ← 0 ≤ an
ומכאן:
. an → 0 ⇒ an → 0
------------משפט
תהיינה a n , b nסדרות כך ש. ∀n ∈ N, a n ≤ b n -
אזי:
א.
∞ → a n → ∞ ⇒b n
ב.
∞b n → −∞ ⇒a n → −
הוכחה
על פי ההגדרה.
-------------
20
דוגמאות
א.
נעיין בסדרה . a n = n 2 ⋅ ln n
∞ → ∀n ≥ 2, n 2 ⋅ ln n ≥ n 2 ⋅ ln 2
לכן,
∞ → ∀n ≥ 2, n 2 ⋅ ln n ≥ n 2 ⋅ ln 2
לכן,
∞ → a n = n 2 ⋅ ln n
ב.
נעיין בסדרה . a n = −n ⋅ ln nאזי:
∞∀n ≥ 2, − n ⋅ ln n ≤ − n ⋅ ln 2 → −
לכן,
∞. a n = −n ⋅ ln n → −
-------------
סדרות חסומות
הגדרה
א.
סדרה ממשית } {a nתיקרא "חסומה מלעיל" אם התמונה שלה היא קבוצה חסומה
מלעיל ,כלומר } {a n , n ∈ Nהיא קבוצה חסומה מלעיל .במקרה זה קיים מספר α ∈ R
כך ש -
∀n a n ≤ αו α -נקרא "חסם מלעיל של } . {a n
ב.
"חסם עליון ) Supremumובקיצור Sup :או Least Upper Boundובקיצור " (l.u.b.
של } {a nהוא החסם העליון של תמונת הסדרה } ; {a nזהו חסם המלעיל הקטן ביותר של
} . {a nאם Mהוא חסם עליון של } {a nמסמנים:
} M = Sup{a n
במקרה זה ,אם αהוא חסם מלעיל של } {a nאזי ) M ≤ αכי החסם העליון הוא חסם
המלעיל הקטן ביותר(.
x
M
21
ג.
אם החסם העליון Mשייך ל , {a n } -כלומר קיים n 0 ∈ Nכך ש a n 0 = M -אזי אומרים
ש M -הוא "המקסימום של } " {a nומסמנים. M = Max{a n } :
ד.
סדרה ממשית } {a nתיקרא "חסומה מלרע" אם התמונה שלה היא קבוצה חסומה
מלרע ,כלומר } {a n , n ∈ Nהיא קבוצה חסומה מלרע .במקרה זה קיים מספר β ∈ Rכך
ש-
∀n ∈ N a n ≥ βו β -נקרא "חסם מלרע" של } . {a n
ה.
"חסם תחתון ) Infimumובקיצור Inf :או Greatest Lower Boundובקיצור " (g.l.b.
של } {a nהוא החסם התחתון של תמונת הסדרה } ; {a nזהו חסם המלרע הגדול ביותר
של } {a nאם mהוא חסם תחתון של } {a nמסמניםm = Inf {a n } :
במקרה זה ,אם βהוא חסם מלרע של } {a nאזי ) m ≥ βכי החסם התחתון הוא חסם
המלרע הגדול ביותר(.
x
m
ו.
אם החסם התחתון mשייך ל , {a n } -כלומר קיים n 1 ∈ Nכך ש a n1 = m -אזי אומרים
ש m -הוא "המינימום של } " {a nומסמנים. m = Min{a n } :
----------
דוגמה
1
1
נעיין בסדרה . a n = , 1 ≤ n ∈ N :אזי ≤ 1
n
n
= . ∀n ∈ N, 0 < a nלכן M = 1הוא חסם עליון
וגם המקסימום של } ) {a nהוא מתקבל בין איברי הסדרה כאשר . n = 1במקרה זה
. Max{a n } = Sup{a n } = 1ברור שכאן כל מספר הגדול מ 1 -גם הוא חסם מלעיל אבל החסם
העליון )ובמקרה זה גם המקסימום( הוא .1כמו כן m = 0הוא חסם תחתון.
במקרה זה . Inf {a n } = 0
ברור שכאן כל מספר הקטן מ 0 -גם הוא חסם מלרע אבל החסם התחתון הוא .0
כאן אין מינימום לסדרה מפני שהחסם התחתון אינו מתקבל על ידי אף לא אחד מאיברי הסדרה.
22
---------משפט
כל סדרה מתכנסת חסומה.
הוכחה
תהי a nסדרה המתכנסת ל a n → a ) a -כאשר aסופי ( ויהי ε > 0כלשהו .אזי קיים אינדקס
∞→ n
νכך שn ≥ ν ⇒ a n − a < ε ⇒ a − ε <a n < a + ε -
נסתכל עתה על הקבוצה הבאה . {a 1 , a 2 ,..., a ν −1, a − ε, a + ε} :לקבוצה זו מספר סופי של איברים
) ν + 1איברים( ולכן יש לה איבר מקסימלי שנסמנו Mואיבר מינימלי שנסמנו .m
},..., a ν −1, a − ε, a + ε
2
{a , a
1
n
M
m
a
n
מכאן שכל איברי הסדרה חסומים מלרע על ידי mוחסומים מלעיל על ידי :M
∀n ∈ N, m ≤ a n ≤ M
לכן הסדרה חסומה.
מ.ש.ל.
-----------מסקנה
1
אם סדרה אינה חסומה ,אזי היא מתבדרת .
-----------הערה
למשפט זה אין משפט הפוך ,כלומר אם הסדרה חסומה ,אין זה אומר שהיא מתכנסת.
כך ,לדוגמה ,הסדרה a n = (−1) nהיא סדרה שהתמונה שלה מכילה רק שני איברים והיא למעשה
הקבוצה } . {− 1,1לכן במקרה זה הסדרה חסומה מלעיל על יד 1וחסומה מלרע על ידי :-1
∀n ∈ N, −1 ≤ a n ≤ 1
1ניתן להוכיח שמכל סדרה )איסופית( ובלתי חסומה מלעיל ניתן להוציא תת סדרה השואפת ל ∞
-ומכל סדרה
)אינסופית ובלתי חסומה מלרע ניתן להוציא תת סדרה השואפת ל .−∞ -
23
הסדרה חסומה אך ראינו שהיא אינה מתכנסת.
-----------טענה
א.
אם ∞ → a nאזי הסדרה איננה חסומה מלעיל אך היא חסומה מלרע.
ב.
אם ∞ a n → −אזי הסדרה איננה חסומה מלרע אך היא חסומה מלעיל.
הוכחה
נוכיח רק את סעיף א'; הוכחת סעיף ב' דומה להוכחת סעיף א'.
∞ → a nולכן לכל M > 0קיים אינדקס νכך שn ≥ ν ⇒ a n > M -
לכן אין לסדרה חסם מלעיל ולכן היא לא חסומה מלעיל.
על פי הנ"ל ,יש לכל היותר מספר סופי של איברים {a 1 , a 2 , a 3 ,...a ν −1 } :אשר אינם מקיימים את
התנאי . a n > Mנסתכל לכן בקבוצה } {a 1 , a 2 , a 3 ,...a ν −1ונגדיר
}m 1 = Min{a 1 , a 2 , a 3 ,..., a ν −1 , M
אזי ∀n ∈ N, a n ≥ m1ולכן הסדרה חסומה מלרע.
מ.ש.ל.
-----------1
משפט בולצנו -ויירשטראס
מכל סדרה )אינסופית( וחסומה ניתן להוציא תת סדרה מתכנסת.
-----------הגדרות
א.
הסדרה a nתיקרא "סדרה מונוטונית עולה" אם
∀n ∈ N, a n ≤ a n +1
היא תיקרא "סדרה מונוטונית עולה במובן הצר" אם
∀n ∈ N, a n < a n +1
ב.
הסדרה a nתיקרא "סדרה מונוטונית יורדת" אם
∀n ∈ N, a n ≥ a n +1
היא תיקרא "סדרה מונוטונית יורדת במובן הצר" אם
∀n ∈ N, a n > a n +1
1
ברנרד פלאסידוס יוהאן נפומוק בולצאנו ) (Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzanoהיה מתמטיקאי
מבוהמיה )היום צ'כיה( שחי בין השנים .1781-1848קארל תאודור וילהלם ויירשטראס ) Wilhelm
(Karl Weierstrassהיה מתמטיקאי גרמני שחי בין השנים . 1815-1848המשפט הוכח לראשונה על ידי בולצנו
ב 1817 -אך הוא נשכח עד שכחמישים שנה מאוחר יותר הוא הוכח שוב על ידי ויירשטראס באופן בלתי תלוי.
24
ג.
הסדרה a nתיקרא "סדרה מונוטונית )במובן הצר(" אם היא מונוטונית עולה )במובן
הצר( או מונוטונית יורדת )במובן הצר(
-------------
מבחנים למונוטוניות:
עבור סדרות אקספליציטיות
.1בודקים את סימן הביטוי , a n +1 − a nאם a n +1 − a n ≥ 0לכל nטבעי הסדרה עולה וכו'
.2עבור סדרה חיובית בודקים את הביטוי
אם לכל nטבעי,
a n +1
≥1
an
a n +1
an
.
,הסדרה מונוטונית עולה וכד'.
.3עבור הסדרה עוברים לפונקציה ) f ( xכך ש a n = f ( n ) -ובודקים את הנגזרת של f
כאשר . x ≥ 1
א .אם f ′( x ) ≥ 0כאשר , x ≥ 1הסדרה ) (a nעולה.
ב .אם f ′( x ) > 0כאשר , x ≥ 1הסדרה ) (a nעולה ממש.
ג .אם f ′( x ) ≤ 0כאשר , x ≥ 1הסדרה ) (a nיורדת.
ד .אם f ′( x ) < 0כאשר , x ≥ 1הסדרה ) (a nיורדת ממש.
עבור סדרות רקורסיביות
על פי נוסחת הנסיגה הנתונה ,מחשבים את איברי הסדרה הראשונים ועל פיהם מנחשים את סוג
המונוטוניות של הסדרה .לאחר מכן מנסים להוכיח את הניחוש באינדוקציה על פי נוסחת
הנסיגה.
------------הערה:
אם תכונות המונוטוניות של סדרה ) (a nמתקיימת החל ממקום מסוים בסדרה-כלומר החל
מאיבר מסוים בסדרה ואילך ,נאמר שהסדרה מונוטונית החל ממקום מסוים.
------------משפט
כל סדרה מונוטונית וחסומה היא סדרה מתכנסת.
הוכחה
נבחין בשני מקרים:
א.
a nמונוטונית עולה וחסומה .היות והסדרה חסומה ,היא בוודאי חסומה מלעיל ולכן
קיים לה חסם עליון ונסמנו . Sup{a n } = M :אזי . ∀n ∈ N, a n ≤ M
יהי ε > 0כלשהו .היות ו , M − ε < M = Sup{a n } -הרי שקיים אינדקס νכך ש-
. a ν > M − εעתה ,היות והסדרה היא מונוטונית עולה ,הרי ש. n ≥ ν ⇒ a n ≥ a ν -
לכן,
25
n ≥ ν ⇒ M − ε < aν ≤ an ≤ M < M + ε
} M = Sup{a v
} M = Sup{a v
↑ an
כלומר לכל ε > 0קיים אינדקס νכך ש-
.n ≥ ν ⇒ M − ε < an < M + ε
מכאן. ∃ lima n = Sup{a n } :
∞→ n
ב.
a nמונוטונית יורדת וחסומה .היות והסדרה חסומה ,היא בוודאי חסומה מלרע ולכן
קיים לה חסם תחתון ונסמנו . Inf {a n } = m :אזי . ∀
, ≥ V
יהי ε > 0כלשהו .היות ו , Inf {a n } = m < m + ε -הרי שקיים אינדקס νכך ש-
. a ν < m + εעתה ,היות והסדרה היא מונוטונית יורדת ,הרי ש. n ≥ ν ⇒ a n ≤ a ν -
לכן,
n ≥ ν ⇒ m − ε < m ≤ an ≤ aν < m + ε
} m = Inf {a n
} m = Inf {a n
↓ an
כלומר לכל ε > 0קיים אינדקס νכך ש. n ≥ ν ⇒ m − ε < a n < m + ε -
מכאן . ∃ lima n = Inf {a n } :מ.ש.ל.
∞→ n
------------הערה
המשפט תקף גם אם המונוטוניות היא רק החל ממקום מסוים.
------------דוגמאות
.1הסדרה a nהיא סדרה המוגדרת באופן רקורסיבי כלהלן:
1
(a n + 6), n ≥ 1
2
א.
= a 1 = 2. a n +1
נוכיח באינדוקציה שהסדרה עולה. ∀n ∈ N, a n +1 ≥a n :
עבור . a 2 = 4 > a 1 = 2 : n = 1נניח שהטענה נכונה עבור n = kונוכיח עבור
, n = k + 1כלומר נוכיח . a k +1 ≥a k ⇒ a k + 2 ≥ a k +1 :ואמנם,
1
1
(a k +1 + 6) ≥ (a k + 6) ⇒ a k + 2 ≥a k +1
2
2
מ.ש.ל.
ב.
⇒ a k +1 ≥ a k ⇒ a k +1 + 6 ≥ a k + 6
נוכיח באינדוקציה ש-
∀n ∈ N, a n ≤ 6
26
עבור . a 1 = 2 ≤ 6 : n = 1
נניח שהטענה נכונה עבור n = kונוכיח עבור , n = k + 1כלומר נוכיח:
a k ≤ 6 ⇒ a k +1 ≤ 6
ואמנם,
1
(a k + 6) ≤ 6 ⇒ a k +1 ≤ 6
2
⇒ a k ≤ 6 ⇒ a k + 6 ≤ 12
מ.ש.ל.
ג.
קיבלנו שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל וכן מתכנסת .נסמן את גבולה ב, a -
כלומר {a n +1 }n =1 . a n → aהיא תת סדרה של {a n }n =1ולכן שואפת לאותו גבול ,aכלומר
∞
∞
. a n +1 → a
נעיין במשוואה
1
)( a n + 6
2
= a n +1
ובמשוואה זו נשאיף את nל ∞ -בכל אחד משני האגפים ,נשווה את הגבולות ונקבל:
1
)( a + 6
2
=a
ועל ידי חילוץ ,aנקבל . a = 6כלומר ,הסדרה a nהנתונה מתכנסת ו -
. an→ 6
-------------
.2נתונה הסדרה a 1 = 6 , a n +1 = 6 + a n n ≥ 1
א.
נוכיח באינדוקציה שהסדרה עולה וחיובית. ∀n ∈ N, a n +1 ≥a n > 0 :
עבור n = 1נקבלa 2 = 6 + 6 > 6 = a 1 > 0 :
נניח שהטענה נכונה עבור n = kונוכיח עבור , n = k + 1כלומר נוכיח:
a k +1 ≥ a k > 0 ⇒a k + 2 ≥ a k +1 > 0
ואמנם,
a k +1 ≥ a k > 0 ⇒a k +1+6 ≥ a k + 6 > 0 ⇒ a k +1 + 6 ≥ a k + 6 > 0
⇒ a k + 2 ≥ a k +1 > 0
מ.ש.ל.
ב.
נוכיח באינדוקציה שהסדרה חסומה;נוכיח . ∀n ∈ N, 0 <a n ≤ 6
עבור n = 1נקבל:
0 < a1 = 6 ≤ 6
27
נניח שהטענה נכונה עבור n = kונוכיח עבור , n = k + 1כלומר נוכיח:
0 < a k ≤ 6 ⇒ 0 < a k +1 ≤ 6
ואמנם,
0 < a k ≤ 6 ⇒ 12 < a k + 6 ≤ 12 ⇒ 0 < 6 < a k + 6 ≤ 12 < 36
⇒ 0 < a k +1 ≤ 6
מ.ש.ל.
קיבלנו שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל וכן מתכנסת .נסמן את גבולה ב, a -
ג.
כלומר {a n +1 }n =1 . a n → aהיא תת סדרה של {a n }n =1ולכן שואפת לאותו גבול ,aכלומר
∞
∞
. a n +1 → a
נעיין במשוואה
a n +1 = a n + 6
ובמשוואה זו נשאיף את nל ∞ -בכל אחד משני האגפים ,נשווה את הגבולות ונקבל:
a = a+6
ועל ידי חילוץ ,aנקבל . a = 3, −2
התשובה a = −2נפסלת מפני הסדרה היא סדרה עולה ו . a 1 > 0 -לכן לא יתכן שהגבול
)אשר שווה לחסם העליון( יהיה שווה ל .-2 -לכן ,הסדרה a nהנתונה מתכנסת ו -
an→ 3
------------משפט
תהי a nסדרה מונוטונית .אזי הסדרה מתכנסת ⇔ הסדרה חסומה.
הוכחה
אם הסדרה מתכנסת אזי ראינו כבר שהסדרה חסומה.
א.
אם הסדרה מונוטונית וחסומה ,אזי ראינו שהיא מתכנסת.
ב.
מ.ש.ל.
-------------
תרגילים
.1הוכיחו על פי הגדרת הגבול:
.1.1
2n + 1 2
lim
=
n → ∞ 3n
3
.1.3
4
=1
5n
lim 1 −
.1.2
−1
lim = 0
n →∞ n 3
.1.4
∞ = lim n 3
∞→n
∞→ n
28
(
)
.1.6
lim − 3 n = −∞
n→∞
(
)
.1.5
lim − n 5 = −∞
n→∞
: עבורlim a n הוכיחו שלא קיים.2
n →∞
a n = {− 1,2,−1,2,−1,2,....}
.2.2
1 1 1
a n = ,0, ,0, ,0,....
2 2 2
.2.1
:בדקו האם הסדרות הבאות מתכנסות
n2 + 2
3
2
5n + n
1
1 + 2
n
3 n 2 +4
.3.2
arctan( n )
n
.3.1
.3.4
n 3 + 4n 2
2n − 1
.3.3
.3
.3.5
∞
5n
3 ⋅ n +2
7 n =1
! אם הם לא קיימים נמקו מדוע, מצאו את הגבולות הבאים אם הם קיימים.4
− 2 n 2 + 3n − 4
n → ∞ 5 n 2 + 3n + 1
.4.2
−1 3
lim
+ 2 + 4
n→∞ n
n
.4.1
5n − 2 ⋅ 3n
n→∞
3⋅ 4n
.4.4
4 ⋅ 2 n − 3 ⋅ 5n
n→∞
6 ⋅ 7n
.4.3
lim n 3
.4.6
3 ⋅ 2 n − 2 ⋅ 3n
n→∞ 5 ⋅ 2 n − 6 ⋅ 3n
.4.5
6 n 5 − 2n 4 + 8n 3
n → ∞ 3n 3 − 4 n 2 + 1
.4.8
lim n 0.3
.4.7
lim
lim
lim
lim
n→∞
lim
(
lim n 5 − 4 n 2 + 3n − 10
n→∞
n→∞
)
lim 4 − n 4 + 3n 2 +10
.4.10
.4.12
n→∞
.4.14
n+3 −3 n +2
n
.4.16
lim
n 2 + 1 − 4n 2 − 2
n
.4.18
lim
n→∞
3
n →∞
n →∞
)
.4.9
lim 2 n 4 − 3n 3 + n
.4.11
lim 3 − 8n 3 + 7n 2 − 3n + 5
.4.13
n→∞
n 3 + 3n − n 3 + 5n
n
lim
(
lim − 3n 4 + 5n 3 − n − 2
n →∞
n →∞
2 n + 3 − 5n + 1
n
lim
n→∞
2
n
1
lim 2 + 2 + ... + 2
n →∞ n
n
n
3
lim
n→∞
29
n 2 + 4n − 3 2n 2 + 2
3
n2
.4.15
4.17
.4.19
.5
תהיינה {a n }∞n =1ו {b n }n =1 -שתי סדרות ,הוכיחו או הפריכו כל אחת מהטענות הבאות:
∞
.5.1אם ) lim (a n ⋅ b nו lim a n -גבולות קיימים וסופיים אז גם lim b nקיים וסופי.
∞→ n
∞→ n
∞→ n
.5.2אם ) lim (a n ⋅ b nו lim a n -גבולות קיימים וסופיים ואם lim a n ≠ 0אז גם lim b n
∞→ n
∞→ n
∞→ n
∞→ n
קיים וסופי.
.5.3אם lim a nקיים וסופי ולא קיים lim b nאז גם ) lim (a n ± b nלא קיים.
∞→ n
∞→n
∞→ n
.5.4אם lim a nקיים ,סופי ושונה מ 0-ואם lim b nלא קיים אז לא קיים ) . lim (a n ⋅ b n
∞→ n
∞→ n
∞→ n
.6בכל אחד מהמקרים הבאים קבעו האם הסדרה הנתונה מתכנסת או מתבדרת ,אם היא
מתכנסת מצאו את גבולה.
n!
n
2 n =1
.6.2
.6.1
(− 3)n
n! n =1
.6.4
n 3 n + 5 n
n =1
.6.6
∞
.6.3
∞
.6.5
.6.7
∞
∞
+ ... +
n+2
n + k n =1
עבור kשלם קבוע
1
1
} ){(− 2
∞ n
n =1
∞
(− 1)n ⋅ cos 2 n
5n
n =1
∞
n + n n =1
.6.8
1
+
n +1
1
+ ... +
1
n+2
1
+
n +1
∞
1
1
1
+
+ ... +
1 +
2
3
n n =1
.7בדקו האם הסדרות הבאות חסומות מלעיל/מלרע:
.7.1
3n 2 + 5
n3 + n + 2
.7.2
= an
.7.3
) a n = cos (5n
.7.5
) a n = arctan (5n
3n 2 + n
2n + 1
= an
a n = (− 1)n ⋅ n 2
.7.4
.8בדקו האם הסדרות הבאות מונוטוניות ,אם כן קבעו את הסוג )עולה /יורדת /עולה החל
ממקום מסוים (....אחרת נמקו!
∞
.8.2
.8.1
∞) ) (cos( n
n
n =1
3
2
n
n =1
n2
3n − 2 n =1
.8.4
.8.3
∞
2n − 1
3n + 2 n =1
.8.6
.8.5
∞
30
(ta ( n ) )∞n =1
∞
n +1
5n + 3
n =1
.9הוכיחו שהסדרות הבאות מונוטוניות )ממקום מסוים ואילך( ובדקו האם הן מתכנסות ,אם כן
חשבו את גבולן ,אחרת נמקו!
∞
∞
n!
n
5 n =1
.9.1
n!
n
n n =1
.9.2
) (ne
∞ −n
n =1
.9.3
.10סדרת פיבונצ'י מוגדרת בצורה הבאה a 1 = a 2 = 1 :ולכל a n + 2 = a n + a n +1 , n ≥ 1
א.
חשבו את ששת איבריה הראשונים של הסדרה.
ב.
a n +1
חשבו את הגבול
an
רמז:
limבהנחה שהוא קיים.
∞→ n
a n +1
a
= lim n + 2
n →∞ a n
n →∞ a n +1
limמדוע?
.11הוכיחו שהסדרה הבאה מתכנסת וחשבו את גבולה2 2 2 ,... :
2 2,
2,
.12נתונה הסדרה ) (a nהמוגדרת בצורה רקורסיבית באופן הבאa n +1 = 2 + a n , a 1 = 2 :
א.
הוכיחו שהסדרה עולה.
ב.
הוכיחו ש a n < 3 -לכל nטבעי.
ג.
הסיקו שהסדרה מתכנסת )מדוע?( ומצאו את גבולה.
1
.13נתונה הסדרה ) (a nהמוגדרת בצורה רקורסיבית באופן הבא, a 1 = 2 :
3− an
א.
הוכיחו שהסדרה יורדת.
ב.
הוכיחו ש 0 < a n ≤ 2 -לכל nטבעי.
ג.
הסיקו שהסדרה מתכנסת )מדוע?( ומצאו את גבולה.
.14בדקו האם כל אחת מהסדרות הבאות מתכנסת:
∞
.14.1
5 + (− 1)n
3
n
n =1
∞
.14.2
n 2
n
(− 1) 2
3n + 2 n =1
.14.3
a n2
הסדרה, n ≥ 1 , a 1 = 0 :
2
.14.4
1
1
1
הסדרה+ 2 + L + 2 :
2
2
3
n
an =1+
1
1
<
)רמז k ≥ 2 :טבעי ∀ ,
2
(k − 1)k
k
1
.15נתונה הסדרה a 1 = 1 :ו+ a n 2 , n ≥ 1 -
4
a n +1 = −1 −
(
= , a n +1הוכיחו ש. lim a n = ∞ -
∞→n
31
= a n +1
תשובות
.3.2
.3.1
0
.3.5
0
.4.1
4
.4.2
.3.3
0
מתבדרת
.3.4
e3
.4.3
0
.4.4
∞
.4.5
1
3
.4.6
1
.4.7
1
.4.8
∞
.4.9
∞−
.4.10
∞
.4.11
∞
.4.12
לא מוגדר
.4.13
∞−
.4.14
0
.4.15
0
.4.16
0
4.17
1
2
4.18
−1
.4.19
.6.1
∞
.6.2
לא קיים
.6.5
5
.6.6
.7.1
חסומה
.7.2
.7.5
חסומה
.8.1
עולה החל ממקום
2
5
−
∞
לא חסומה
.8.2
לא מונוטונית
.8.5
מונוטונית
.8.6
מונוטונית
.9.1
∞
.9.2
0
1− 3 2
.6.3
0
.6.4
.6.7
0
6.8
.7.3
חסומה
.7.4
.8.3
עולה
.8.4
0
∞
לא חסומה
לא מונוטונית
מסוים
.10
1+ 5
2
.11
2
.12
2
.13
.14.1
.9.3
0
3− 5
2
מתכנסת ל0-
.14.2
מתבדרת
.14.3
-------------
32
מתבדרת
.14.4
מתכנסת
© Copyright 2024