‫הרצאה ‪12‬‬ ‫פונקציות רבות משתנים‬ ‫קיצון באילוץ‪ .‬שיטת כופלי לגרנז'‪.‬‬ ‫‪ .1‬לעתים קרובות יש בעיות מעשיות למציאת מינימום ומקסימום של פונקציה רבות משתנים‬ ‫שיש אילוצים נוספים‪ .‬‬ ‫‪ .2‬דוגמה‪ .‬מדף קרטון בעל שטח ‪ 2a‬מייצרים תיבה סגורה מצא את המידות ‪ x, y , z‬כך שנפח‬ ‫התיבה יהיה מקסימאלי‪ .‬כאן בנוסף לפונקציה ‪ V  x, y, z   xyz‬קיבלנו עוד קשר נוסף‬ ‫‪ . 2 xy  2 xz  2 yz  2a‬כדי לפתור את הבעיה נשתמש בשיטת כופלי לגרנז'‪ .‬‬ ‫‪ .3‬נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ z  f  x, y ‬והאילוץ ‪ . g  x, y   0‬נניח‬ ‫ש‪ f , g -‬בעלות נגזרות חלקיות רציפות בעיגול מסוים של נקודה ‪ x 0 , y 0 ‬ו‪g  x, y   0 -‬‬ ‫מקיימת את המשפט של פונקציה סתומה ) ‪ . y   ( x‬‬ ‫‪ .4‬אם מהמשוואה ‪ g  x, y   0‬ניתן לחלץ אחד מהמשתנים אז ההצבה בפונקציה‬ ‫‪ z  f  x, y ‬מייצרת בעיית קיצון מקומי עבור פונקציה של משתנה אחד‪ .‬נדון כעת על‬ ‫שיטה אחרת הנקראת שיטת כופלי לגרנז' )‪ .(Lagrange‬‬ ‫‪ .5‬תנאי שפונקציה ‪ z  f  x, y ‬מקבלת קיצון בנקודה ‪ x 0 , y 0 ‬אשר מקיימת את האילוץ‬ ‫‪ g  x, y   0‬גורר את קיים של המשוואות הבאות‪ :‬‬ ‫‪ dz f f dy‬‬ ‫‪ dx  x  y dx  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ g  g dy  0‬‬ ‫‪ x y dx‬‬ ‫נכפיל את המשוואה השנייה ב‪)  -‬כלשהו( ונחבר אז נקבל את המשוואה‬ ‫‪ g g dy ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪g  f‬‬ ‫‪g  dy‬‬ ‫‪f f dy‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫או ‪  0‬‬ ‫‪x y dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪y  dx‬‬ ‫‪ x y dx ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נבחר את ‪ ‬כך שהביטוי בתוך הסוגריים יתאפס אז נקבל את המערכת‪:‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪ x   x  0,‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪.  ‬‬ ‫‪ 0,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ g  x, y   0.‬‬ ‫‪‬‬ ‫וניתן לפרש אותה באופן הבא‪ :‬נתונה פונקציה של שלושה משתנים‬ ‫‪ L  x, y,    f  x, y    g  x, y ‬אשר נקראת פונקציית לגרנז'‪ .‬תנאי הכרחי לקיים‬ ‫הקיצון הוא המערכת האחרונה‪.‬‬ ‫‪L L L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫אמנם תנאי הכרחי היא ‪ 0‬‬ ‫‪x y ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪ .6‬דוגמה ‪ .1‬מצא את המינימום ואת המקסימום של הפונקציה ‪ f  x, y   xy‬תחת האילוץ‬ ‫‪ . x2  y2  1‬‬ ‫ניתן לפרש את המקסימים בצורה הבאה‪ .‬נתונים המלבנים עם שלושת קודקודיו בראשית‬ ‫הצירים ועל הצירים ‪ x‬ו‪ . y -‬מצא את הקודקוד הרביעי הנמצא על המעגל כך ששטח המלבן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫יהיה מקסימאלי‪ .‬נבנה את פונקציית לגרז' ‪ L  x, y,    xy   x  y  1‬והמערכת‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪ x  y  2 x  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪ x  2 y  0‬‬ ‫‪   ‬לכן נקודות‬ ‫‪   ‬ו‪-‬‬ ‫‪ . ‬מהמשוואות אחד ושתיים‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2y‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ x  y2 1  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   1‬‬ ‫‪1   1 1   1 1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .  ‬הנקודות‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫קריטיות הן‪ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪2 2  2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1   1 1 ‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪  ‬מספקות מקסימום והנקודות ‪‬‬ ‫‪ ‬ו‪ -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2  2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,f‬‬ ‫‪  f ‬‬ ‫‪ ‬מינימום של הבעיה באילוץ‪ .‬ו‪  2 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1 1 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪  f ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .7‬דוגמה ‪ .2‬מצא קיצון של פונקציה ‪ f  x, y   x  8 y‬באילוץ ‪ x  y  25‬שתי דרכים‪ .‬‬ ‫‪ .8‬הסבר גיאומטרי היחס בין ‪ f‬ו‪ . g -‬‬ ‫‪ .f‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ .9‬ניסוח כללי‪ .‬נתונה פונקציה ‪ y  f  x  : R  R‬והאילוצים‪:‬‬ ‫‪ .( k  m ) g1  x , y   0,, g k  x , y   0‬מצא את הקיצון של ‪ f‬באילוצים ‪ . g1 ,  , g k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ .10‬נגדיר את פונקציית לגרנז' ‪  g  x , y ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L x ,   f  x  ‬ונמצא את קיצון המקומי‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k‬‬ ‫במרחב ‪ , R m  k‬כאן ‪    1 , , k   R‬ו‪ . x   x1 ,, xm   R -‬‬ ‫‪ .11‬דוגמה ‪ .3‬מציאת נפח אופטימאלי של התיבה )שאלה מהשיעור הקודם(‪ .‬‬ ‫‪ .12‬דוגמה ‪ .4‬להוכיח את האי שוויון בין הממוצע החשבוני לבין הממוצע ההנדסי‪:‬‬ ‫‪x1  x2    xn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . xi  0 , n x1 x2    xn ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נגדיר את הפונקציה ‪ f  x1 , , xn    x1   xn  n‬עבור ‪ xi  0‬ונמצא את המקסימום‬ ‫שלה תחת האילוץ ‪ . x1    xn  a‬נשתמש בשיטת לגרנז'‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . L  x1 , , xn    x1   xn  n    x1    xn  a ‬לפי התנאי ההכרחי נקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ L 1‬‬ ‫‪n  x x   x     0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x n  1 2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  L 1‬או‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  x x   x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1     0‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ x1  x2    xn  a  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬  L f  x1 , x2 , , xn     0   x nx 1 1    f  x1 , x2 , , xn   ‫ ומכאן נובע שכל‬ L i  1, , n , xi  f  x1 , x2 , , xn  n    0  nxn  xn  L  x1  x2    xn  a  0    1 a f  x1 , , xn    x1   xn  n ‫ נקודה זאת הוא נקודת המקסימום לפונקציה‬. xi  ‫ואז‬ n a a a  , , ,  ‫ מצד אחר בנקודה‬. xk  0 ‫כי המינימום הוא אם אחד מהשיעורים‬ n n n 1 a a a n a x  x2    xn a a ‫ לכן‬f  , ,        -‫ והערך זה שווה ל‬1  n n n n n n n 1 x  x2    xn . 1 -‫ תמיד קטנה או שווה ל‬f  x1 , , xn    x1   xn  n ‫הפונקציה‬ n