‫רמה א‪2‬‬ ‫תרגול במתמטיקה לחופשת הפסח כיתה ט'‬ ‫פונקציה ריבועית – פרבולה‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪1‬‬ .5 .6 .7 .8 2 ‫‪y‬‬ ‫‪ .9‬נתונה הפונקציה ‪ . y  x 2  2 x  8‬כמו כן‪ ,‬נתון גרף הפונקציה‪:‬‬ ‫א‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ‪ y‬בנקודה )‪.(0 , –8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון נימוק‪_____________________ :‬‬ ‫ב‪ .‬מהו שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה? ______________‬ ‫ג‪ .‬הפונקציה עולה עבור ‪ x < –1‬הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון‬ ‫נימוק‪________________ :‬‬ ‫ד‪ .‬מהן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪________________________ ?x -‬‬ ‫ה‪ .‬הפונקציה שלילית בתחום‪–4 < x < 2 :‬‬ ‫הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון‬ ‫נימוק‪_________ :‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ .11‬לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה‪y = –x2 + 6x – 5 :‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א‪ .‬מהם שיעורי הנקודה ‪( C‬נקודת החיתוך עם ציר ה‪(___,___) :)y-‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את שיעורי נקודת הקודקוד של הפונקציה‪K(___,___) :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ד‪ .‬מהו התחום בו הפונקציה חיובית? ______________‬ ‫‪C‬‬ ‫ה‪ .‬מהו התחום בו הפונקציה יורדת? _______________‬ ‫‪ .11‬נתונה הפונקציה הריבועית‪:‬‬ ‫‪f(x) = x2 – 6x + 8‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את שיעורי נקודת הקודקוד‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את תחום העלייה של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪ .12‬קבעו אם הטענות הבאות נכונות או לא נכונות‪ .‬הסבירו‪.‬‬ ‫א‪ .‬לפונקציות ‪ f(x) = x2 – 7x‬ו‪ g(x) = –x2 + 7x -‬אותו ציר סימטריה‬ ‫ב‪ .‬לפונקציות ‪ f(x) = x2 – 7x + 3‬ו‪ g(x) = –x2 + 7x – 3 -‬אותו קדקוד‬ ‫ג‪ .‬הפונקציות ‪ f(x) = (x – 2)2 + 5‬ו‪ g(x) = x2 – 4x + 5 -‬הן פונקציות זהות‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ y = (2 – x)(x + 5‬חיובית בעבור כל ‪ .x‬כלומר‪" :‬מרחפת" מעל ציר ‪x‬‬ ‫‪ .13‬לפונקציה )‪ y = (x – 4)(x + 2‬שתי נקודות חיתוך עם ציר ‪ .x‬מהו קדקוד הפרבולה?‬ ‫‪ .14‬קדקוד של פרבולה (‪ )M‬נמצא ברביע השלישי ובמרחק שווה משני הצירים (ראו שרטוט(‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬רשמו שתי פונקציות ריבועיות שקדקודן יכול להיות הנקודה ‪M‬‬ ‫ב‪ .‬רשמו פונקציה ריבועית שקדקודה ‪ M‬ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ‪x‬‬ ‫ג‪ .‬רשמו הצגה אלגברית של פונקציה ריבועית שקדקודה ‪M‬‬ ‫‪x‬‬ ‫והיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫טכניקה אלגברית‪ ,‬משוואות ובעיות מילוליות‬ ‫‪ .1‬פתרו את המשוואה הבאה במספר דרכים‪2(x – 4)2 – 18 = 0 :‬‬ ‫‪ .2‬הסבירו מדוע למשוואה ‪ (x + 5)2 + 5 = 0‬אין פתרון‪.‬‬ ‫‪ .3‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬בדקו את הפתרונות של המשוואות ושימו לב ל‪ -‬ק‪.‬הצבה‪:‬‬ ‫‪2x2 – 3x + 6 = x2 + 2x‬‬ ‫‪(x + 6)(x – 6) = 0‬‬ ‫‪.‬א‬ ‫‪.‬ב‬ ‫‪(x + 4)2 – x(x – 8) = 0‬‬ ‫‪.‬ד‬ ‫‪(x  1)(x  2)  - 8x -12‬‬ ‫‪.‬ג‬ ‫‪2x2 – 1 = (x + 2)2 + 6x – 14‬‬ ‫‪.‬ו‬ ‫‪(x – 2)2 + (x + 1)(x – 6) = –2‬‬ ‫‪.‬ה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  2 5x  10 5‬‬ ‫‪.‬ח‬ ‫‪x x x5‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.‬ז‬ ‫‪.‬י‬ ‫‪5x  6 x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x 2  4 3x  6‬‬ ‫‪.‬ט‬ ‫‪.‬יב‬ ‫‪x 2  7 x  10‬‬ ‫‪ 2x 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪.‬יא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2 x 4 x2‬‬ ‫‪x 2 1‬‬ ‫‪ 2x  3‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ .4‬פשטו את הביטויים הבאים‪ ,‬צמצמו במידת האפשר ורשמו את קבוצת ההצבה‪.‬‬ ‫‪a 1 a 2 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 7a  7‬ד‬ ‫‪x 2  16‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2  4x‬‬ ‫‪.‬ג‬ ‫‪2x  8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3x  24‬‬ ‫‪.‬ב‬ ‫‪a 2  a a 2  2a  1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪. a  a (a  5)(a  1‬ח‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 4 x2‬‬ ‫‪.‬ז‬ ‫‪5x 3‬‬ ‫‪x 2  25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2  5x 10x 2‬‬ ‫‪.‬ו‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 2  3x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x 2  2x x 2  25‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬ה‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x 5‬‬ ‫‪ .5‬אם נאריך כל אחת מצלעותיו של ריבוע א' ב – ‪ 3‬ס"מ נקבל ריבוע ב' ששטחו‬ ‫גדול ב – ‪ 51‬סמ"ר משטח ריבוע א'‪.‬‬ ‫מה אורך כל אחת מצלעות ריבוע א'?‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ריבוע‬ ‫א'‬ ‫ריבוע‬ ‫ב'‬ ‫‪ .6‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ 3a‬ס"מ‪ .‬אם נגדיל שתי צלעות נגדיות ב‪ 2 -‬ס"מ ונקטין את שתי‬ ‫הצלעות הנגדיות האחרות ב‪ 2 -‬ס"מ נקבל מלבן‪.‬‬ ‫שטחו של מי‪ ,‬הריבוע או המלבן‪ ,‬גדול יותר ובכמה?‬ ‫‪ .7‬היקפו של מגרש מלבני הוא ‪ 641‬מ'‪ .‬צלע אחת של המגרש גדולה ב – ‪ 81‬מ' מן הצלע‬ ‫השנייה שלו‪ .‬במרכז המגרש שתלו דשא וסביב הדשא סללו שביל הליכה‬ ‫(החלק המושחר) ברוחב ‪ 2‬מ' (ר' שרטוט)‪:‬‬ ‫א‪ .‬מה שטח המגרש?‬ ‫ב‪ .‬מה שטח הדשא?‬ ‫‪.‬א‬ ‫דשא‬ ‫‪4‬‬ ‫גיאומטריה‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ .3‬חשבו את הזוויות ‪ ,,‬במקבילית (הסבירו את אופן החישוב)‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪O 52‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .4‬במעויין ‪ ABCD‬נתון‪ :‬ס"מ ‪ ,DB=12‬ס"מ ‪.AC=16‬‬ ‫חשב‪ :‬א) את אורך הצלע של המעויין‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב) היקף המעויין‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ג) שטח המשולש ‪.AOB‬‬ ‫ד) שטח המעויין ‪.ABCD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא אמצע האלכסון ‪B .AC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על צלעות המקבילית‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫הקטע ‪ EF‬עובר דרך הנקודה ‪.O‬‬ ‫הוכח כי המרובע שקדקודיו הם‪ C , F , A:‬ו‪ E -‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫‪ .6‬מרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ - N‬נקודת פגישה של האלכסונים‬ ‫‪CK = DN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪CK || BD‬‬ ‫הוכיחו‪ :‬מרובע ‪ NBKC‬הוא מעוין‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ABCD .7‬מלבן‪ .‬הנקודה ‪ K‬נמצאת על המשך ‪.AB‬‬ ‫הקטע ‪ CK‬שווה לאלכסון ‪.DB‬‬ ‫הוכיחו‪ :‬א‪ .‬המשולש ‪ ACK‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המרובע ‪ CDBK‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .8‬הטרפז ‪ ABCD‬ישר זווית ‪. )DC || AB( ABC  900‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בטרפז זה אורך השוק ‪ AD‬שווה לאורך הבסיס הקטן ‪. DC‬‬ ‫הוכח שהאלכסון ‪ AC‬חוצה את הזווית החדה של הטרפז ( ‪) DAB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪ .11‬במשולש ‪ KLM‬נתון‪:‬‬ ‫‪, KA = AM‬‬ ‫‪MB = BC‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪AB  ML ,‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו‪AB II KC :‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ 5‬ס"מ = ‪MB‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ = ‪AB‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חשבו את שטח הטרפז ‪ ,ABCK‬נמקו את דרך החישוב‪.‬‬ ‫‪ ABCD .12‬מעוין‪.‬‬ ‫‪ R‬נקודת מפגש האלכסונים ‪BD ,AC‬‬ ‫‪ RT‬הוא תיכון לצלע ‪DC‬‬ ‫א‪ .‬הוכיחו‪ TR :‬הוא קטע אמצצעים במשולש ‪.ADC‬‬ ‫ב‪ .‬עוד נתון‪DC || VR :‬‬ ‫הסבירו מדוע ‪ VRTD‬מעוין‬ ‫‪7‬‬ ‫‪M‬‬