פרק 3 – עוצמות - Or-Alfa
רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב פרק – 4עוצמות (מספרים קרדינליים) מבוא – הגדרות ודוגמאות הגדרות: קבוצה Aנקראת :סופית ,אם"ם 0 : A n : . n אחרת – Aנקראת: אינסופית( .העוצמה או המספר הקרדינלי של קבוצה סופית Aהוא מספר איבריה והיא מסומנת). A : תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .נאמר ש A -ו B -שקולות ,אם"ם קיימת פונקציית שקילות . f : A Bמסמנים זאת ע"י A ~ B :או ע"יA B : ואומרים גם שהקבוצות Aו B -שוות-עוצמה. קבוצה Aנקראת :בת-מניה אם"ם Aסופית או קבוצה Aנקראת :אינסופית אם"ם. B A : B ~ A : תהיינה Aו B -קבוצות אינסופיות. נאמר ש , A B :אם"ם קיימת פונקציה f : A Bשהיא חח"ע. ~ .A נאמר ש , A B :אם"ם A B :וגם לא קיימת g : A Bשהיא על .B סימונים: 0 : : , ( נקראת גם :עוצמת הרצף). דוגמאות: • הקבוצה 2, 3 :שקולה לקבוצה 28 , 2.543 :ונסמן: . 2,3 ~ 28 , 2.543 2,3 28 , 2.543 2 • הקבוצה 1, 2,3 :אינה שקולה לקבוצה 123 :ונסמן: . 1, 2, 3 ~ 123 3 1, 2, 3 123 1 • הקבוצה: שקולה לקבוצה\ 1 : פונקציית השקילות: f n n 1 : ומתקיים: • ~ \ 1 \ 1 ונסמן\ 1 0 : \ 1 , n ,שכן קיימת . f :יתרה מזו ,מאחר ,הרי שעפ"י הגדרה, קבוצה אינסופית. הקבוצות 1,5,8,14 , :הן קבוצות סופיות ,שכן לא קיימת עבור אף אחת מהן תת-קבוצה ממש השקולה לה. 95 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב משפטים נבחרים משפט :1תהי Aקבוצה כלשהי .היחס ,~ :המוגדר מעל , PA הוא יחס שקילות. הוכחה :מספיק להראות כי היחס ~ :רפלקסיבי ,סימטרי וטרנזיטיבי מעל . PA רפלקסיביות מתקיימת ,כלומר , B PA : B ~ B :שכן קיימת פונקציית השקילות . I B : B B :סמטריות מתקיימת ,כלומר: , B, C P A : B ~ C C ~ Bשכן היות B ~ Cגורר קיום פונקציית שקילות: , f : B Cאשר גורר בתורו קיום פונקציית שקילות (הפונקציה ההפוכה ל:)f - . f 1 : C Bטרנזיטיביות מתקיימת ,כלומר: , B, C, D P A : B ~ C C ~ D B ~ Dשכן היות B ~ Cגורר קיום פונקציית שקילות , f : B C :והיות C ~ Dגורר קיום פונקציית שקילות , g : C D :אשר גוררים בתורם קיום פונקציית שקילות. g f : B D : משפט :2תהיינה Aו B -שתי קבוצות סופיות. א( A ~ B A B .קיימת פונקציית שקילות ) f : A B ב A B .אם"ם קיימת פונקציה חח"ע . f : A B ג. A Bאם"ם קיימת פונקציה חח"ע f : A Bולא קיימת פונקציה gמA - על .B משפט :3 ~ 0 הוכחה :נגדיר פונקציה 0 f :באופן הבא 0 : f n n 1 : פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות (בדקו). משפט ~ :4 הוכחה :נגדיר פונקציה 0 . n f :באופן הבא: 2z 1 , z 0 . z : f z פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות (בדקו), 2z 2 , z 0 לכן . ~ 0 :עפ"י טרנזיטיביות היחס ~ :ומשפט ,3נובע ש. ~ : משפט . ~ :5 הוכחה :מספיק להראות (עפ"י משפט )3כי קיימת פונקציית שקילות: . f : 0נתאר ,תחילה במילים ,דרך פשוטה למניית איברי . לאחר מכן נגדיר באופן פורמלי את פונקציית השקילות .f 06 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב מציגים כל x כשבר מצומצם עם מכנה חיובי .לכל x נסמן ב x - את סכום הערכים המוחלטים של המונה והמכנה בהצגה זו ,למשל: 0 1 1 0 0 1 1 , 1 2 3וכן הלאה. 1 2 2 קל לראות מחד שמתקיים x : x :ומאידך. n x : x n : בדרך הבאה :ראשון יופיע x שעבורו מתקיים עתה ,נמנה את איברי ; x 0 x 1אחריו יופיעו כל המספרים , x שעבורם מתקיים ; x 2 אחריהם יופיעו כל המספרים , x שעבורם מתקיים x 3וכן הלאה. באופן זה נקבל את המניה הבאה: 0 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 4 3 2 1 1 2 3 4 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 4 4 3 2 1 נותר להראות כי מניה זו אכן ניתנת לביצוע וכי כל מספר רציונלי ימנה רק פעם אחת .נשים לב כי יש רק מספר אחד x המקיים x 1 :ויש רק שני מספרים x המקיימים( x 2 :בדקו). לכל n מתאימים לכל היותר 2nמספרים xהמקיימים , x n :שהרי המכנים יכולים להיות רק מספרים טבעיים מ 1 -ועד ,nולכל מכנה יתכנו לכל היותר שני מונים (אם המכנה הוא ,kהמונה יכול להיות רק .) n k לכן, בהנתן , x תורו/מקומו במניה זו יגיע לכל היותר במקום ה- 1 x 2 4 6 ... 2 x 2 1 2 3 ... x 2 x 1 x x 2 מתחילת המניה. ◊ נגדיר עתה את הפונקציה f : 0באופן הבא :לכל f x , x הוא סכום מספר המספרים הרציונליים yהמקיימים( y x :וכפי שראינו, לעיל ,מספרם סופי ,לרבות )0ומספר המספרים הרציונליים zהקטנים מx - המקיימים . x z :בכתיב לוגי-מתמטי f ,תוגדר באופן הבא: : z x x z : y x z ניתן להוכיח כי fזו חח"ע ועל 0 0 , f x y .מכאן 0 : עפ"י טרנזיטיביות היחס ~ :ומשפט ,3נובע כי: ~ ~ .f : . . משפט :6כל תת-קבוצה של קבוצה בת-מניה היא בת-מניה. מסקנה :כל תת-קבוצה של דוגמא :הקבוצה: q 0,1 : ,של או של היא בת-מניה. q היא בת-מניה ,מהיותה קבוצה של מספרים רציונליים. משפט :7תהיינה B ,Aקבוצות בנות מניה ,אזי A B :ו A \ B -הן קבוצות בנות-מניה. הוכחה :ברור כי A . A B A , A \ B A :בת-מניה ,ולכן עפ"י משפט 0 מתחייב ש A B , A \ B -בנות-מניה. 06 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב משפט :8לכל קבוצה אינסופית יש תת-קבוצה בת-מניה (אינסופית). הוכחה :תהי Aקבוצה אינסופית כלשהי .מתחייב ש . A -יהי a 1 A כלשהו A .אינסופית ,ולכן יש ב A -איברים השונים מ . a 1 -יהי a 2אחד מהם. עפ"י אותו שיקול ,נניח שמצאנו a 1 , a 2 , a 3 ,..., a k Aשהם kאיברים שונים של .A Aאינסופית ,ולכן . a k 1 A1 i k : a k 1 a i :בדרך זו נפעל לכל נתבונן עתה בקבוצה: A . a k : k קל לראות כי: ~ .k . a k : k משפט 0,1 :9 הוכחה :כדי להוכיח כי 0,1 : א 0,1 . ,יש להראות ש: ,כלומר שקיימת פונקציה 0,1 ב .לא קיימת פונקציה 0,1 f :חח"ע; g :על . 0,1 1 נראה תחילה כי . 0,1 :אכן ,קיימת f : 0,1כך ש: n 1 קל לראות כי fזו חח"ע .עתה נראה (בדרך השלילה) כי לא קיימת 0,1 : f n . n g :על . 0,1לצורך כך נעשה שימוש בשיטת האלכסון של קנטור .נייצג כל x 0,1 בייצוג העשרוני שלו .נשים לב שיש xים שלהם שני יצוגים עשרוניים שקולים ,כגון: . 0.3000... 0.29999...במקרים אלה נבחר ,למשל ,ביצוג העשרוני המסתיים בסדרה האינסופית .9999… :נניח ,אפוא ,בשלילה כי קיימת פונקציה g : 0,1על . 0,1 נתבונן בצורה כללית של פונקציה gזו: g 1 0.a11a12a13...a1n ... g 2 0.a 21a 22a 23...a 2n ... g 3 0.a 31a 32a 33...a 3n ... ... g n 0.a n1a n2a n3...a nn ... ... נראה כי gזו אינה יכולה להיות על , 0,1ונגיע לסתירה .מספיק להראות כי קיים x 0,1שאינו מופיע בטור הימני של הרשימה האינסופית דלעיל .נבנה את x זה באופן מפורש , x 0.x1 x 2 x 3 ...x n ... :כאשר הספרה הn -ית לאחר הנקודה 1 , a nn 1 . x n מהגדרה זו נובע כי: העשרונית של xמוגדרת באופן הבא: 2, a nn 1 . n : xn a nnלאור בניה זו ברור כי . x 0,1נותר להראות כי xאינו אחד מהמספרים. g 1 , g 2 , g 3 ,..., g n ,... : אבל ,לאור הגדרת xברור כי: x g n : ש g -אכן אינה על - 0,1סתירה. , n שכן . n : xn a nn :מכאן מסקנה 0,1 :היא קבוצה שאינה בת-מניה. 06 מתמטיקה בדידה 1תשע"ב משפט :11 רפאל ברכאן ~ 0,1 1 2x הוכחה :נגדיר פונקציה f : 0,1 באופן הבא: x1 x (בדקו כי פונקציה זו היא אכן פונקציית שקילות). משפט :11 . הוכחה :בדרך השלילה -נניח בשלילה כי: וטרנזיטיביות היחס ,~ :נובע ש~ 0,1 : מסקנה0 : . x 0,1 : f x : 0 : ~ 0,1 .עפ"י משפט 66 ,בסתירה למשפט .5 משפט :12כל שני קטעים סגורים (סופיים) על-גבי הישר הממשי שקולים (שווי-עוצמה). הוכחה :יהיו a , b , c, d שני קטעים סגורים (סופיים) על-גבי הישר הממשי. נגדיר את פונקציית השקילות הבאה f : a , b c, d :כך ש: cd ad bc x ( . x a , b : f x בדקו כי פונקציה זו היא אכן פונקציית ab ab שקילות). משפט ( 13משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין)( :ללא הוכחה) A, B : A B B A A B דוגמא לשימוש במשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין (ק.ש.ב): m נגדיר: : m, n 0 n 0 : n (ולכן 0 : ~ 0 ) .נגדיר פונקציה fבאופן הבא: .נוכיח באמצעות משפט ק.ש.ב כי: n n n , f I 0 1 fזו חח"ע (בדקו) .נגדיר פונקציה gבאופן הבא: ,q0 0 0 , q : n m m 2 3 , m, n : q g.c.d m, n 1 n gזו חח"ע (בדקו). קיבלנו ש 0 0 : 0 : f n , n 0 C.S.B 0 .f : 0 .g: . משפט ( 14משפט קנטור). A : A PA : הוכחה :אם Aקבוצה סופית (ריקה או לא ריקה) ,הרי שכבר הוכחנו כי: A . PA 2קל להוכיח (באינדוקציה) כי. n 0 : n 2n : 03 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב תהי ,Aאפוא ,קבוצה אינסופית .עפ"י ההגדרה ,כדי להראות כי , A PA יש להראות כי( A PA :כלומר – קיימת f : A PA חח"ע) וכן שלא קיימת g : A PA שהיא על . PA תהי f : A PA מוגדרת באופן הבא . a A : f a a :קל לראות ש f -זו היא חח"ע. עתה ,כדי להראות שאין g : A PA שהיא על , PA נניח בשלילה שקיימת g כזו שהיא על . PA כלומר ( B PA a A : g a B -לכל קבוצה חלקית של Aיש איבר ב A -שקבוצה זו מותאמת לו) .נסמן לכל a Aאת הקבוצה החלקית של ,Aהמותאמת לו ,ב . Ba -ברור כי. a A : a Ba a Ba : תהי ) D A ( D P A מוגדרת באופן הבא . D : a A : a Ba :לאור הנחתנו, כי קיימת g : A PA על , PA הרי של D -זו צריך להיות מקור ב.A - יהי a 0 Aהמקור של D P A הנ"ל( .לאור הסימון שקבענו לעיל ,נסמן: ). D Ba 0 נשים לב כי קיימות שתי אפשריות בלבד: - a 0 Ba0 D a 0 D )6לא יתכן! - a 0 Ba0 D a 0 D )6לא יתכן! קיבלנו סתירה להנחה שקיימת g : A PA על . PA מכאן (עפ"י הגדרה): ) . A P( A הערה :שימו לב כי משפט זה ,בעצם ,מאפשר "לייצר" לכל קבוצה ,Aקבוצה שאינה שקולה לה – . PA השערת הרצף :היא העוצמה העוקבת ל. 0 - במילים אחרות ,עוצמת הרצף 20 :היא העוצמה הקטנה ביותר של קבוצה שאינה בת-מניה .כלומר ,כל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה ,עוצמתה לפחות עוצמת הרצף. (משך עשרות שנים לא הצליחו להוכיח השערה זו והיא הייתה בעיה פתוחה. קורט גדל ופול כהן הצליחו להוכיח כי השערה זו אינה תלויה באקסיומות – ZF אקסיומות תורת הקבוצות ,כך שהעקביות של תורת הקבוצות לא תינזק בין אם נוסיף לקבוצת האקסיומות שלה אקסיומה הקובעת שהשערת הרצף נכונה ובין אם לא נוסיף אותה .בהמשך ,על-סמך משפטו המפורסם של גדל ,הצליחו להוכיח כי השערת הרצף בלתי ניתנת להוכחה). השערת הרצף המוכללת :עבור קבוצה אינסופית PA ,Aהיא העוצמה העוקבת ל. A - 06 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב ◊ חישובי (אריתמטיקה של) עוצמות חיבור עוצמות: תזכורת – עקרון הסכום (בקבוצות סופיות): A, B : A B A B A B הגדרה :תהיינה Aו B -קבוצות זרות כלשהן .נגדיר. A B : A B : (כדי להראות שפעולת החיבור בין עוצמות ,ובפרט בין עוצמות אינסופיות ,מוגדרת היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות Aו .B -כלומר ,יש להוכיח כי). A, B,C, D : A ~ B C ~ D A C B D A C ~ B D : מסקנות: 0 0 0 )6 הוכחה :נסמן ב A -את קבוצת הטבעיים הזוגיים וב B -את קבוצת הטבעיים האי- זוגיים A .ו B -בנות-מניה (עוצמת כל אחת 6א) והן זרות ,ולכן עפ"י ההגדרה □ הנ"ל. A B A B AB , A B 0 0 0 0 : ( 0 1 0 )6ובאופן כללי) n : 0 n 0 : הוכחה :נסמן, B : 0 : . A :מתקיים . A B A 0 B 1 :לכן, עפ"י ההגדרה הנ"ל0 0 1 : 0 0 0 , . A B A B AB □ ( 2 )3ובאופן כללי) n : n : הוכחה :נסמן . A : 0,1 , B : 0,1 :מתקיים . A B A B 2 :לכן, עפ"י ההגדרה הנ"ל. A B A B AB0,1 , 0,1 0,1 2 : □ ( 0 )6הוכחה – תרגיל) )9 הוכחה :נסמן . A : 0,1 , B : 1, 2 :מתקיים . A B A B :לכן, עפ"י ההגדרה הנ"ל. A B A B AB 0,2 , 0,2 0,1 : □ )0חיבור עוצמות היא פעולה חילופית וקיבוצית .כלומר ,לכל 3קבוצות C ,B ,A הזרות בזוגות מתקיים. A B B A A B C A B C : 09 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב כפל עוצמות: תזכורת – עקרון המכפלה (בקבוצות סופיות)A, B : A B A B : הגדרה :תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .נגדיר. A B : A B : (כדי להראות שפעולת הכפל בין עוצמות ,ובפרט בין עוצמות אינסופיות ,מוגדרת היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות Aו .B -כלומר ,יש להוכיח כי). A, B,C, D : A ~ C B ~ D A B ~ C D : מסקנות: 0 0 0 )6 0 )6 n : 0 n 0 )3 )6 )9כפל עוצמות היא פעולה חילופית ,כלומר. A, B : A B B A : הוכחה :תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .עפ"י ההגדרה הנ"ל: . A B A B , B A B Aמספיק ,אפוא ,להראות כי קיימת פונקציית שקילות . f : A B B Aאכן קיימת כזו ,למשל: ( . f : A B B A , a, b A B : f a, b b, aבדקו ש f -זו אכן פונקציית □ שקילות). )0כפל עוצמות היא פעולה קיבוצית ,כלומר. A, B, C : A B C A B C : הוכחה :תהיינה B ,Aו C -קבוצות כלשהן .עפ"י ההגדרה הנ"ל: . A B C A B C , A B C A B Cמספיק ,אפוא ,להראות כי קיימת פונקציית שקילות . f : A B C A B C אכן קיימת כזו ,למשל: a, b ,c a, b,c . f : A B C A B C , a, b ,c A B C : f □ (בדקו ש f -זו אכן פונקציית שקילות). 00 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב חזקות של עוצמות: תזכורת :תהיינה Aו B -קבוצות סופיות כלשהן .מספר הפונקציות f : A B הוא: A ( Bכאשר אם , A B יש רק פונקציה אחת מ A -ל – B -הפונקציה הריקה ,כך שנגדיר במקרה זה 00 : 1 : .) סימון :תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .נסמן ב BA -את קבוצת כל הפונקציות מ A -ל.B - הגדרה :תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .נגדיר: BA : קבוצת כל הפונקציות מ A -ל B -מוגדרת כ: A A . Bכלומר ,עוצמת .B (כדי להראות שפעולת החזקה בין עוצמות ,ובפרט בין עוצמות אינסופיות ,מוגדרת היטב יש להראות שההגדרה אינה תלויה בבחירת הקבוצות Aו .B -כלומר ,יש להוכיח כי). A, B,C, D : A ~ B C ~ D A C ~ BD : מסקנות( :ללא הוכחות) B C BC A A A C C C A, B,C : A B A B )6 C A B A BC דוגמאות: 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 4 2 2 20 0 20 0 0 20 A C B C A C B C .A B C )6לכל שלוש קבוצות B ,A :ו C -מתקיים: C A B A B C C דוגמא2 3 4 20 30 40 C.S.B 30 : 06 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב דוגמאות נוספות: א .עוצמת קבוצת הסדרות האינסופיות של המספרים הטבעיים היא: 00 . ב .עוצמת קבוצת הסדרות הבינאריות האינסופיות היא. 0,1 20 : (כמו כן מתקיים: n0 : ). n ג .עוצמת קבוצת הסדרות הממשיות האינסופיות היא: 20 0 20 0 0 20 06 . רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב נספח לפרק – 4פונקציות הגדרות ומשפטים הגדרה ( 1מושג הפונקציה): תהיינה Aו B -קבוצות כלשהן .ההגדרות הבאות הן שקולות. f היא פונקציה מ A -ל B -ומסומנת f : A B :אם"ם: ( a A!b B : f a bובמילים :לכל a Aקיים b Bיחיד כך ש: .) f a bהקבוצה Aנקראת :תחום הפונקציה ומסומנת: . Domain f , Dom f , Df הקבוצה Bנקראת :טווח הפונקציה ומסומנת: . Range f , Ra f fפונקציה מ A -ל B -היא שלשה סדורה A, B, G כך ש G A B :ו: G . a A!b B : a, b Gנקראת :גרף הפונקציה ומסומנת. G f : יחס f A Bנקרא :פונקציה מ A -ל ,B -אם"ם. a A!b B : a, b f : הגדרה ( 2שוויון פונקציות): תהיינה fו g -שתי פונקציות .נאמר ש f g :אם"ם שלושת התנאים הבאים מתקיימים. x Df : f x g x , Ra f Ra g , Df Dg : הגדרה ( 3מושגי :דמות ומקור): תהי f : A Bפונקציה ויהיו a A , b B :כך ש. f a b : bנקרא :הדמות (או :התמונה) של aע"י fו a -נקרא :מקור של bע"י .f הגדרה ( 4מושגי :תמונה ותמונה הפוכה): תהי f : A Bפונקציה ותהיינה. A 1 A , B1 B : התמונה של A 1ע"י ,fהמסומנת , f A 1 :היא קבוצת כל הדמויות של איברי A 1ע"י ,fכלומר. f A1 f a B : a A1 : התמונה של ,fהמסומנת , Imf :היא קבוצת כל הדמויות של איברי A (התחום) ע"י ,fכלומר. Imf f A : התמונה ההפוכה של B1ע"י ,fהמסומנת , f 1 B1 :היא קבוצת כל מקורות איברי B1ע"י ,fכלומר. f 1 B1 a A : f a B1 : משפט :1 תהי f : A Bפונקציה ותהיינה. A 1 A , B1 B : אf 1 Imf Df A . בf A1 Imf Raf B , f 1 B1 Df A . גf , f 1 . הוכחה :עפ"י ההגדרות דלעיל. 05 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב הגדרה ( 5חח"ע ועל): תהי f : A Bפונקציה. fנקראת :חח"ע (חד-חד-ערכית) אם"םa1 , a 2 A : f a1 f a 2 a1 a 2 : (או אם"ם.) a1 , a 2 A : f a1 f a 2 a1 a 2 : fנקראת :על Bאם"ם( b Ba A : f a b :או אם"ם.) Imf B : הגדרה ( 6הרכבת פונקציות): תהיינה g : A B , f : B C :פונקציות. ההרכבה (הפונקציה המורכבת) f gמוגדרת באופן הבא: . f g : A C , a A : f g a f g a (ניתן להכליל את ההגדרה ולהגדיר את f gגם למקרה בו). Img Df : משפט :2 הרכבת פונקציות אינה פעולה חילופית (קומוטטיבית) ,אך היא כן פעולה קיבוצית (אסוציאטיבית). הוכחה :נראה כי הרכבת פונקציות אינה פעולה חילופית באמצעות דוגמא. תהיינה. g : 0, , x 0, : g x x ; f : 0, , x : f x x2 : מצד אחד x : x 2 , f g : 0, 0, , x 0, : f g x f g x כלומר: . f g I 0, מצד שני: g f x g f x x2 x : , x .g f : עפ"י הגדרה 6לעיל (שוויון פונקציות) נובע ש. f g g f : נוכיח עתה כי הרכבת פונקציות היא פעולה קיבוצית. תהיינה . h : A B , g : B C , f : C D :צ"ל ששתי ההרכבות: f g h , f g hמוגדרות ושוות. g hמוגדרת שכן f g h . Dg Ra h B :מוגדרת שכן. Df Ra g h C : f gמוגדרת שכן f g h . Df Ra g C :מוגדרת שכן. Df g Ra h B : נשים לב כי. Df g h Df g h A , Ra f g h Ra f g h D : קיבלנו ,אפוא ,של f g h , f g h -יש את אותו תחום ואת אותו טווח. נראה ,עתה ,שיש להן את אותו גרף (כלל התאמה) ,כלומר ש: . a A : f g h a f g h a יהי a Aכלשהו ,אזי: f g h a f g h a f g h a f g h a f g h a f g h a כלומר – הגרפים שווים. הערה :ניתן להראות על-סמך הגדרת פונקציה כיחס בינארי ,כי אם: f : A B , g : B Cהן פונקציות ,הרי שניתן להגדיר את ההרכבה g fבאופן הבא( . g f : A C , g f f g :כלומר ,הרכבת פונקציות היא ,למעשה ,כפל הפונקציות כיחסים בסדר הפוך ).אז ,ניתן להוכיח את משפט 6הנ"ל תוך הסתמכות על כך שכפל יחסים ,כזכור ,היא פעולה קיבוצית אך לא חילופית. 66 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב הגדרה ( 7פונקציית הזהות): תהי A כלשהי .פונקציה f : A Aהמקיימת a A : f a a :נקראת: פונקציית הזהות (על ,)Aומסומנת Id A :או . I A משפט :3 בהנתן הפונקציות , f : A B , I B , I A :מתקיים השוויון. f I A I B f f : הוכחה :יש להוכיח שוויון בין פונקציות. f I Aמוגדרת שכן I B f . Df Ra I A A :מוגדרת שכן. DI B Ra f B : נשים לב כי. A Df I A DI B f Df , B Ra f I A Ra I B f Ra f : קיבלנו ,אפוא ,שלפונקציות הנ"ל יש את אותו תחום ואת אותו טווח .נראה ,עתה, שיש להן את אותו גרף (כלל התאמה) ,כלומר נראה ש: ; a A : f IA a IB f a f a יהי a Aכלשהו ,אזי: f IA a f I A a f a כלומר – הגרפים שווים. I B f a I B f a f a משפט :4 תהיינה Aו B -קבוצות לא ריקות .קיימת פונקציה חח"ע מ A -ל B -אם"ם קיימת פונקציה מ B -על .A הוכחה :נוכיח תחילה כי אם קיימת פונקציה f : A Bשהיא חח"ע ,אז קיימת פונקציה g : B Aשהיא על .A fחח"ע מ A -ל ,B -לכן. a1 , a 2 A : a1 a 2 b1 f a1 b2 f a 2 : נשים לב כי לכל b Bמתקיימת אחת (ורק אחת) מבין שתי האפשרויות: b Imf או . b Imf יהי a 1 Aכלשהו .נגדיר (נבנה) את gבאופן הבא: a f a b , b Im f . g : B A , b B : g b על-סמך הגדרה זו של ,g , b Im f a1 קל לראות כי היא על .A נוכיח עתה כי אם קיימת פונקציה s : B Aשהיא על ,Aאז קיימת פונקציה t : A Bשהיא חח"ע s .היא על ,Aלכן. a Ab B : sb a : נסמן ב A' -את קבוצת כל איברי Aשיש להם יותר ממקור אחד ב ,B -עפ"י .s עבור כל איבר ' a Aנסמן ב Ba -את קבוצת כל המקורות שלו ב ,B -עפ"י ,s כך שנבחר מתוך הקבוצה Baאיבר אחד (כלשהו) ואותו נהפוך למקור יחיד של .aנגדיר (נבנה) ,אפוא ,את tבאופן הבא: ' b s b a , a A . t : A B , a A : t a על-סמך הגדרה זו של ,tקל ' bi bi Ba , a A לראות כי היא חח"ע. 66 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב משפט :5 תהיינה f : B C , g : A B :פונקציות. א .אם fו g -חח"ע ,אז גם f gחח"ע. ב .אם fעל Cוגם gעל ,Bאז גם f gעל .C הוכחה :ראשית ,נשים לב כי f gמוגדרת , f g : A C שכן. Ra g Df : אa1 , a 2 A : f g a1 f g a 2 f g a1 f g a 2 f 11 g a1 g a 2 g 11 a1 a 2 . קיבלנו ש , a1 , a 2 A : f g a1 f g a2 a1 a2 :לכן f g :חח"ע. ב .נראה כי f g : A C :על .Cיהי c Cכלשהו f .היא על ,Cולכן: g . b B : f b cהיא על ,Bלכן . a A : g a b :מכאן של c C -קיים מקור a Aעפ"י . c f b f g a f g a : f gקיבלנו ש: . c Ca A : c f g a לפיכך f g ,על .C הגדרה ( 8פונקציית שקילות): תהי f : A Bפונקציה f .נקראת :פונקציית שקילות ,אם"ם היא חח"ע ועל .B משפט :6 אם g : A B , f : B Cשתיהן פונקציות שקילות ,אז גם f gהיא פונקציית שקילות. הוכחה :מסקנה מיידית ממשפט 9לעיל. משפט :7 תהיינה g : A B , f : B C :פונקציות. א .אם f gחח"ע ,אז gחח"ע. ב .אם f gעל ,Cאז fעל .C הוכחה: א .יהיו a1 ,a 2 Aכלשהם כך ש . a1 a 2 :נשים לב כי: g a 1 f g a 2 f g a1 f g a 2 f is a function g a 1 g a 2 f g 11 a1 a 2 f קיבלנו ש , a1 a 2 g a1 g a 2 :כלומר – gחח"ע. ב .צ"ל ש f -על ,Cכלומר ש . c Cb B : f b c :יהי c Cכלשהוf g . היא על ,Cלכן . a A : f g a f ga c :אבל, f ga c ga B : לכן אם נסמן , g a b :נקבל שעבור c Cקיים b Bכך ש: , f ga f b cמשמע fהיא על .C משפט :8 אם g : B A , f : A Bהן שתי פונקציות המקיימות , g f I A :אז fחח"ע ו- gעל .A הוכחה I A : A A :היא פונקציית שקילות ,ובפרט – חח"ע ועל .Aעפ"י משפט 6דלעיל ,היות g f I Aחח"ע גורר את היות fחח"ע והיות g f I Aעל Aגורר את היות gעל .A 66 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב הגדרה ( 9פונקציה הפיכה): תהי f : A Bפונקציה f .נקראת :הפיכה ,אם"ם קיימת g : B Aכך ש: . f g IB g f IA משפט :9 תהי f : A Bפונקציה f .הפיכה אם"ם היא פונקציית שקילות. (הוכחה – תרגיל) הגדרה ( 11הפונקציה ההפוכה): תהי f : A Bפונקציה הפיכה .הפונקציה ההפוכה ל ,f -המסומנת: הפונקציה f 1 : B A :המקיימת. b B : f 1 b a f a b : 1 , fהיא משפט :11 אם f : A Bהיא פונקציה הפיכה ,אז יש לה פונקציה הפוכה יחידה. הוכחה :נניח שקיימות ל f -שתי פונקציות הפוכות g :ו ,h -כך ש: , g, h : B A , b B : g b a f a b h b a f a bונראה ש: . g hנתבונן בביטוי( h f g :המוגדר היטב לאור קיבוציות פעולת ההרכבה). נשים לב כי: . h h I B IB f g h f g associativity h f g associativity h f g h f I A I A g g דוגמא :נגדיר: 0, : : f x x2 . , x הפיכה ,שכן קיימת הפונקציה: g x x : g f , x f :היא פונקציה , g :כך ש: ( f g Iבדקו) .באותה מידה ניתן לומר כי fפונקציית שקילות (בדקו), ולכן עפ"י משפט 5היא הפיכה .עפ"י הגדרה 66ומשפט ,66מתחייב ש. g f 1 : משפט :11 אם f : A Bפונקציה הפיכה ,אז גם : B A 1 fהיא פונקציה הפיכה, ומתקיים. f 1 f : הוכחה :כדי להראות ש f 1 -הפיכה ,הרי שעפ"י הגדרה 66לעיל ,מספיק להראות כי . f f 1 I B f 1 f I A :נשים לב כי: אD f f 1 D f 1 DI B B , Ra f f 1 Raf RaI B B . בD f 1 f Df DI A A , Ra f 1 f Ra f 1 RaI A A . ג .עפ"י הגדרה 66לעיל , b B : f 1 b a f a b :ולכן: 1 1 1 b B : f f b f f b f a b I B b 1 1 1 a A : f f a f f a f b a I A a לכן ,עפ"י הגדרה 6לעיל (שוויון פונקציות) ,מתקיים: 63 f f 1 I B f 1 f I A רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב ולפיכך f 1הפיכה .עתה נראה כי . f 1 f :ברור כי , f 1 : A B :לכן: 1 A Df , Ra f B Ra f 1 1 כמו כן a b : a 1 1 . D f 1 1 . a A : f a b f 1 b a f 1 לכן: . a A : f a f 1 לפיכך ,עפ"י הגדרה 6לעיל (שוויון פונקציות), 1 מתקיים f : 1 1 . f ◊ תוספות ,הרחבות והשלמות משפט :12 תהיינה Aו B -קבוצות סופיות. א A B .אם"ם קיימת פונקציית שקילות מ A -ל.B - ב A B .אם"ם קיימת פונקציה חח"ע מ A -ל.B - ג A B .אם"ם קיימת פונקציה מ A -על .B הוכחה: א .בכוון משמאל לימין :נתון כי Aו B -סופיות וקיימת פונקציית שקילות f . f : A Bהיא בפרט חח"ע ,ולכן לכל שני איברים שונים ב A -מותאמים שני איברים שונים ב B -ע"י .fמכאן ש( B A :כלומר -מספר איברי B הוא לפחות כמספר איברי f .)Aהיא בפרט על ,Bולכן לכל איבר ב B -יש מקור ב ,A -כאשר לשני איברים שונים ב B -יש שני מקורות שונים בA - (מדוע?) .מכאן ש . A B :בסה"כ ,נקבל ש. B A A B A B : בכוון מימין לשמאל :מכיוון ש B ,A -הן קבוצות סופיות ,הרי ש: . n 0 : A B nנוכיח באינדוקציה על n 0שקיימת פונקציית שקילות. f : A B : בסיס האינדוקציה – : n 0עבור A B קיימת פונקציית השקילות (השלשה) המתאימה( . , , :בדקו שאכן זו פונקציית שקילות). (עבור : n 1למשל , A a 1 , B b1 ,אכן קיימת f : A Bכך ש: . f a 1 b1קל לראות ש f -זו היא פונקציית שקילות). שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור B ,Aכך ש , A B n 1 :ונוכיח נכונות עבור B ,Aכך ש. A B n 1 : תהיינה ,אפוא ,שתי קבוצות סופיות ,B ,A :כך ש. A B n 1 : . A, B a1 Ab1 B : A \ a1 B \ b1 nלכן ,לפי הנחת האינדוקציה ,קיימת פונקציית שקילות. g : A \ a1 B \ b1 : g a , a a1 . f a עתה נגדיר פונקציה f : A Bבאופן הבא: b1 , a a1 fזו היא אכן פונקציית שקילות( .בדקו). 66 רפאל ברכאן מתמטיקה בדידה 1תשע"ב (הוכחת סעיפים ב' ,ג' – תרגיל). הגדרת פונקציה אופיינית/מציינת (של קבוצה): תהי U קבוצה אוניברסלית כלשהי ותהי . A Uנגדיר את הפונקציה האופיינית/המציינת של Aבאופן הבא: 1 , x A A : U 0,1 , x U : A x 0 , x A דוגמאות: U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , A 1,3,5,7,9 , B 3,4,5 • 12345678910 12345678910 A , B 1010101010 0011100000 • 12345678910 12345678910 A , B 0101010101 1100011111 • 12345678910 12345678910 A B , A B 1011101010 0010100000 • 12345678910 12345678910 , U 0000000000 1111111111 69
© Copyright 2024