אלגברה לינארית 1
אלגברה לינארית I אור דגמי ־ [email protected] 7בפברואר 2012 תקציר אתר אינטרנטhttp://digmi.org/ : סיכומים החל ממטריצות של הקורס אלגברה לינארית 1משנת הלימודים .2011 המרצה :פרופסור ענר שלו. 20/12/2010 חלק I מטריצות טענה 0.1תהיינה A, Bמטריצות כך ש ABמוגדרת אז }).r (A · B) ≤ min {r (A) , r (B הוכחה :נובע מהטענה עבור העתקות כי דרגת העתקה = דרגת המטריצה המתאימה לה )בבסיסים כלשהם( .טענה זו היא חצי ממשפט סילבסטר טענה (1 0.2למטריצות שקולות אותה דרגה ) r (P AQ) = r (Aכש־ P, Qהן רגולריות )הפיכות(. (2למטריצות דומות אותה דרגה ) P ) r P −1 AP = r (Aרגולרית( הוכחה (2) :נובע מ־) (1ולכן מספיק להוכיח את )) (1מטריצות דומות הן שקולות(. ע״י תרגום להעתקות מספיק להוכיח ) .r (RT S) = r (Tכש־ R, Sהעתקות הפיכות. Sהיא חח״ע ועל .בעבר ראינו כי עצם היותה על גורר) .r (T S) = r (Tכמו כן Rגם היא חח״ע ועל ,מהיותה חח״ע נגררr (RT ′ ) = r (T ′ ) : נציב T ′ = T Sונקבל r (RT S) = r (T S) = r (T ) :כנדרש. דוגמה: 0 0 1 0 0 0 0 0 , 0 1 B = 0 0 r (B) = 2 1 0 A = 0 0 0 0 r (A) = 1, ולכן A, Bאינן שקולות .מדרגות שונות. 1 חלק II משוואות לינאריות נרצה לחקור פתרונות של מערכת משוואות לינאריות במספר נעלמים x1 , . . . , xn = b1 a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,n xn a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,n xn = b2 .. . am,1 x1 + am,2 x2 + . . . + am,n xn = bm המקדמים F ∋ ai,j , biשדה נתון. מטרות .1מתי יש פתרון? .2מתי הפתרון יחיד? .3איך נראה מרחב הפתרונות? .4איך פותרים את המערכת משוואות? אלגוריתם למציאת פתרון /כל הפתרונות? n m נגדיר את המטריצה .Mm×n (F) ∋ A = (ai,j )i=1, j=1 נגדיר: x1 . ∼ )(Mn×1 (F =) Fn ∋ x = .. xn וכמו כן: b1 ∋ b = ... Fm bm ניתן לכתיבה כ: Ax = b המטריצה המצומצמת של המערכת הנ״ל מוגדרת כ־ ,Aוהמטריצה המורחבת מוגדרת כ: b1 .. . bm . . . a1,n .. .. . . . . . am,n a1,1 .. ∗ A = . am,1 כלומר ,מוסיפים את bכעמודה אחרונה אחרי עמודות .A 2 מערכת הומוגנית הגדרה 0.3כאשר ) b = 0כלומר bi = 0 :לכל (iנאשר שהמערכת Ax = bהיא מערכת הומוגנית. הערה 0.4למערכת הומוגנית תמיד יש פתרון xi = 0לכל i־ נקרא לו הפתרון הטריויאלי. טענה 0.5אוסף כל הפתרונות של מערכת הומוגנית נתונה הוא תת־מרחב של .Fn הוכחה :נסמן את מרחב הפתרונות ב־ .Fn ⊇ P c·x∈ P x1 Fn ∋ x = ... ∈ P ⇒ F ∋ c, xn A (cx) = c · Ax = c · 0 = 0 )כפל מטריצה בוקטור היא העתקה לינארית( באופן דומה P ∋ x, y :אזי: A (x + y) = A · x + A · y = 0 + 0 = 0 למעשה :נסמן ב Tאת העתקה הלינארית שמייצגת המטריצה Aונקבל כי: P = ker T והרי ker Tהוא תת מרחב של Fnכנדרש. שאלות .1מהו ?dim P .2איך אפשר למצוא לו בסיס )למרחב הפתרונות(? )כלומר שהפתרונות יהיו צרוף לינארי של אברי הבסיס( הגדרה 0.6מימד מרחב המשוואות מוגדר כדרגת השורות של המטריצה = Aדרגת העמודות = ).r (A משפט ,dim P+r (A) = n 0.7כלומר :מימד מרחב הפתרונות שווה למספר הנעלמים פחות מימד מרחב המשוואות )דרגת המשוואות(. הוכחה :ראינו T : V → Wלינארית אז: (dim ImT אצלנו = Tהעתקה T : Fn → Fmכך ש T (x) = A · x :אז: r (T ) =) dim ker T + r (T ) = dim V ker T = {x ∈ Fn |A · x = 0} = P 3 V = Fn ⇒ dim V = nובנוסף r (T ) = r (A) :ולכן,נציב במשוואה מתחילת ההוכחה ונקבל: dim P + r (A) = n כנדרש. מסקנה 0.8בהניתן mמשוואות הומוגניות ב־ nנעלמים אזי dim P ≥ n − m הוכחה m ≥ r (A) ⇐ Mm×n ∋ A :ולכן dim P = n − r (A) ≥ n − mכנדרש. מסקנה 0.9תחת ההנחות של המסקנה הקודמת ⇐⇒ dim P = n − m .המשוואות )שורות (Aבת״ל. הוכחה :כיוון ש )dim P = n − m ⇒ m = r (Aכלומר ישנם mמשוואות בת״ל. מסקנה 0.10אם n > mאז יש פתרון לא טרויואלי )= (0 6מס׳ המשוואות > מס׳ הנעלמים. הוכחה :כיוון שנקבל dim P ≥ n − m ≥ 1ולכן {0} 6= Pוזאת אומרת יש פתרון .P ∋ x 6= 0 מסקנה 0.11נניח .n = mכלומר ,אותו מס׳ משוואות ונעלמים אז פתרון ה 0הוא הפתרון היחיד ⇒⇐ המשוואות )שורות (Aבת״ל )נובע מ 2מסקנות למעלה(. שיטת גאוס הגדרה 0.12מערכות משוואות בנעלמים x1 , . . . , xnתקראנה שקולות אם יש להן אותו מרחב פתרונות. סימון Fn ∋ λייחשב כמשוואה אם x ∈ Fnנגדירλi xi : n X i=1 ) λזה יוצא כפל סקלרי בין וקטורים(. תכונות ההצבה (λ, c · x) = x (λ, x) .1 (λ, x + y) = (λ, x) + (λ, y) .2 (cλ, x) = c (λ, x) .3 (λ1 + λ2 , x) = (λ1 , x) + (λ2 , x) .4 4 = ) (λ, x־ הצבת וקטור במשוואה ומכאן נגזר באופן מיידיci (λi , x) : k X i=1 נתונה מערכת משוואות: = ! ci λi , x k X . i=1 λ1 = 0 .. . λm = 0 יהי Λתת מרחב של Fnשנפרש ע״י .λ1 , . . . , λm ) Λ = Sp (λ1 , . . . , λm )שווה למרחב השורות של (A טענה 0.13יהי Pמרחב הפתרונות של λ1 = . . . = λm = 0אז Pמרחב הפתרונות של }{λ = 0|λ ∈ Λ ∀Λ ∋ λמקיים (λi , x) = 0לכל הוכחה λ1 , . . . , λm ∈ Λ :ולכן כל פתרון xשל λ = 0 i = 1...m להפך ,יהי xפתרון של λ1 = . . . = λm = 0ז״א (λi , x) = 0לכל .i = 1 . . . m m X תהי λ ∈ Λאז ci λi = λ F ∋ ciולכן: i=1 ci · 0 = 0 m X = )ci (λi , x i=1 m X i=1 = ! ci λi , x m X = )(λ, x i=1 טענה 0.14יהיו λ1 = . . . = λm = 0מערכת משוואת ו־ δ1 = . . . = δlעוד מערכת משוואות .נניח) Sp (λ1 , . . . , λm ) = Sp (δ1 , . . . , δl ) :ז״א אותו מרחב משוואות( אז לשתי המערכות הנ״ל בדיוק אותם פתרונות .כלומר ־ הן שקולות. הוכחה :נסמן ∆ = Sp (δ1 , . . . , δl ) = Sp (λ1 , . . . , λm ) = Λ יהי Pמרחב הפתרונות של λ1 = . . . = λm = 0ויהי Qמרחב הפתרונות של = δ1 .. . . = δl = 0אז מטענה קודמת =Pמרחב הפתרונות של } ={λ = 0|λ ∈ Λמרחב הפתרונות של }∆ ∈ Q = {δ = 0|δ פעולות אלמנטריות Vמרחב וקטורי )למשל .(Fnנגדיר פעולות על V ∋ λ1 , . . . , λmשלא משנות את המרחב הנפרש .מטרה :פישוט מערכת משוואות מסובכת. .1החלפת λiו־ λjכאשר i 6= j ) Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , λj , . . . , λi , . . . , λm 5 .2החלפת λiב cλiכאשר F ∋ c 6= 0 ) Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , cλi , . . . , λm .3הוספת cλiל־ :λj ) Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm ה־ Spלא השתנה כי מספיק להוכיח ש } {λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λmממוכלים ב ) Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λmוש } {λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm מוכלים ב ) .Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λmברור שכל ∋ ) Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm λkכאשר .λj = (λj + cλi ) + (−c) λi .k 6= jוכיוון שני הוא ברור. מסקנה 0.15פעולות אלמנטריות כנ״ל על מערכת משוואות הומוגניות לא משנות את מרחב המשוואות. 22/12/2010 דוגמאות דוגמה 1 ( x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0 r=1 m=2 n=4 r = 1כיוון ששתי המשוואות תלויות לינארית. ולכן מימד הפתרונות הוא: dim P = n − r = 4 − 1 = 3 בסיס למרחב הפתרונות x1 = −x2 − x3 − x4 x2 , x3 , x4פרמטרים חופשיים x1 .נקבע על ידם. α β = )(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−1, 0, 0, 1 = )(−1, 0, 1, 0 γ = )(−1, 1, 0, 0 ולכן נקבל: )P = Sp (α, β, γ 6 דוגמה 2 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 = 0 x2 + x3 x3 n=m=3 r=3 }dim P = 3 − 3 = 0 ⇒ P = {0 המשך שיטת החילוץ של גאוס נזכר :פעולות אלמנטריות על המשוואות שלא משנות את מרחב הפתרונות: .1החלפת משוואות iו־ jזו בזו .2כפל משוואה בסקלר c 6= 0 .3הוספת משוואה iכפול סקלר cלמשוואה j שיטת החילוץ של גאוס: .1ביצוע פעולות אלמנטריות עד שמגיעים למערכת בצורת מדרגות .2פתרון המערכת בצורת מדרגות a x + . . . + a1,n xn = 0 . . . a1,n 1,1 1 .. = .. .. . . . a x + . . . + a x = 0 . . . am,n m,1 1 m,n n a1,1 .. A= . am,1 נתבונן בעמודה הראשונה של Aאשר שונה מאפס .נניח שזו עמודה kאז ai,k 6= 0לאיזה i ונחליף את שורה iעם שורה 1במטריצה .A נקבל: ... ai,k 0 6= c = a−1ונקבל: נכפיל את שורה 1ב i,k 0 ... 0 .. . . . ′ A = . . .. 0 ... 0 7 1 ... 0 ... 0 .. . . . ′′ A = . . .. 0 ... 0 )אם כבר a1,k 6= 0לא מחליפים שורות( נוסיף כפולות של שורה 1של A′′לשורות 2, . . . , mשל A′כך שגם במקום ה־ kבהן יהיה .0 כלומר :נאפס את האברים מתחת ל־ 1אשר נמצא בושרה הראשונה ונקבל עמודה kמהצורה: ... ... 0 1 0 .. .. .. . . . ... 0 0 0 = . .. 0 A′′′ )אם A = 0אי אפשר לבצע כלום אבלאז P = Fnוהכל פתור(. כעת נגדיר את המטריצה ) B(m−1)×(n−kכתת מטריצה של Aהמתחילה משורה 2 ועמודה k + 1עד סוף המטריצה .נחזור על הפעולות עבור Bעד כשאר נקבל מטריצת אפסים או מטריצה של אפס על אפס. בסופו של דבר נקבלמאריצה בצורת מדרגות: . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. . 0 kr ... ... ... ... 1 ... ... ... ... ... ... ... ... k1 k2 k3 0 1 ... ... ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 0 .. . 0 ... ... ... ... ... ... ... ... המתאימה למשוואות: 0 0 = xk1 + . . . = xk2 + . . . 0 = xkr + . . . קל לראות ש־ rהשורות הראשונות במטריצה Dהן בת״ל ושאר השורות הן אפסים. לכן r (D) = rאבל ידוע ש )r (A) = r (Dלכן r (A) = rכי יש להן אותו מרחב שורות .ולכן מצאנו את: dim P = n − r 8 דוגמה 3 1 4 4 2 3 1 −1 6 נוסיף לשורה 2את שורה (−5) × 1נקבל: 1 A= 5 −7 1 3 1 4 A′ = 0 −11 −3 −17 −7 1 −1 6 נוסיף לשורה 3את שורה 7× 1נקבל: 1 3 1 4 A′′ = 0 −11 −3 −17 0 22 6 34 נוסיף לשורה 3את שורה 2× 2נקבל: 3 1 4 −11 −3 −17 0 0 0 ולכן: dim P = n − r = 4 − 2 = 2 = 0 = 0 1 = 0 0 A′′′ r (A) = r (A′′′ ) = 2 x1 + 3x2 + x3 + 4x4 −11x2 − 3x3 − 17x4 כלומר: 17 3 x3 − x4 11 11 = −3x2 − x3 − 4x4 = − x2 x1 x3 , x4פרמטרים חופשיים .למשל x3 = s, x4 = tוהם קובעבים ביחידות את .x1 , x2 17 3 s− t 11 11 3 17 2 7 −3 − s − t − s − 4t = − s + t 11 11 11 11 − ולכן מרחב הפתרונות הוא: 9 = x2 = x1 2 7 3 17 =P − s + t − s − t, s, t : s, t ∈ F 11 11 11 11 בסיס ל־ :Pנבחר וקטורי יחידה ל ):(s, t })P = Sp {(−2, −3, 11, 0) , (7, −17, 0, 11 סידור המטריצה פתרון מערכת בצורת מדרגות :נשנה את סדרת המשתנים כך ש = k1 = 1, k2 = 2, . . . , kr ) rהחלפת עמודות במטריצה( והמטריצה החדשה תראה כך: ... . . . . . . . . . 0 .. . 0 ... ... a3,4 1 ... ... a2,3 1 0 ... .. . a1,2 1 0 0 ... ... ... ... 1 0 0 A = 0 0 .. . 0 טענה 0.16לכל קביעה של xr+1 , . . . , xnשאר הנעלמים x1 , . . . , xrנקבעים ביחידות. הוכחה: xr + ar,r+1 · xr+1 + . . . + ar,n · xn = 0 ⇒ xr = −ar,r+1 · xr+1 − . . . − ar,n · xn לכן כל הצבה בפרמטרים החופשיים xr+1 , . . . , xnקובעת את .xrבאופן דומה: xr−1 = −ar−1,r · xr − . . . − ar−1,n · xn והרי xrקבע נקבע ביחידות ,ולכן גם xr−1נקבע ביחידות .נמשיך ברקורסיה ובכל שלב נקבע משתנה נוסף (i ≤ r) xiעד שמגיעים ל־ .x1ולכן x1 , . . . , xrנקבעים ביחידות לפי קביעה של הנעלמים xr+1 , . . . , xnכנדרש. דוגמה 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 הפרמטרים החופשיים הם x4 , x5 , x6 :ונראה כי: 10 1 A= 0 0 −x4 − x5 − x6 = x3 −x3 − x4 − x5 − x6 = 0 −x2 − x3 − x4 − x5 − x6 = 0 = = x2 x1 בדוגמה זו מרחב הפתרונות הוא: }P = {(0, 0, −a − b − c, a, b, c) : a, b, c ∈ F בסיס ל Pהוא: )(0, 0, −1, 1, 0, 0 )(0, 0, −1, 0, 1, 0 = α = β )(0, 0, −1, 0, 0, 1 = γ כלומר: }P = Sp {α, β, γ במקרה הכללי בסיס למרחב הפתרונות יתקבל ע״י הצגת וקטורי היחידה ב(xr+1 , xr+2 , xn ) : αr+1 αr+2 = )(∗, . . . , ∗, 1, 0, . . . , 0 = )(∗, . . . , ∗, 0, 1, . . . , 0 αn = )(∗, . . . , ∗, 0, 0, . . . , 1 ואז: ) P = Sp (αr+1 , . . . , αn 27/12/2010 חלק III משוואות לא הומוגניות Ax = b b1 x1 .. .. כאשר ) A ∈ Mm×n (Fו x = . וגם .b = . bm xn בניגוד למקרה ההומוגני ,לא בהכרח קיים פתרון. 11 דוגמה עבור המערכת משוואות: 1 = x1 + 2x2 1 = 2x1 + 4x2 אין פתרון. שאלה מתי יש פתרון? שאלה מהו מבנה מרחב הפתרונות? הערה 0.17אוסף הפתרונות למערכת לא הומוגנית אינו תת מרחב של .Fn יהיו Fn ∋ α1 , α2פתרונות למערכת המשוואות ) .A ∈ Mm×n (FדהיינוAα1 = : .b, Aα2 = bנראה כי α1 + α2אינו פתרון: A (α1 + α2 ) = Aα1 + Aα2 = b + b = 2 · b 6= b ולכן ראינו כי אוסף הפתרונות אינו סגור לחיבור. כמו כן 0 ,אינו פתרון ,ולכן לא מרחב וקטורי .באופן זהה ניתן להוכיח כי לא סגור לחיבור. מבנה מרחב הפתרונות הגדרה 0.18יהי Vמרחב וקטורי )תת( מרחב אפיני של Vהוא קבוצה מהצורה α + U כאשר Uתת־מרחב של Vו־ α ∈ Vקבוע: } α + U = {α + u : u ∈ U למעשה זו ״הזזה״ של תת מרחב )ע״י חיבור וקטור (α דוגמאות .1ב־ R2כל ישר הוא תת מרחב אפיני. a=α U U+a a .2כל קב׳ } {αהיא תת מרחב אפיני: }{α} = α = {0 והרי } {0הוא תת מרחב. 12 .3כל תת־מרחב הוא תת מרחב אפיני. טענה 0.19נסמן את אוסף הפתרונות של המשוואה ההומוגנית ב.P = {x ∈ Fn , Ax = 0} : אוסף הפתרונות של Ax = bהוא α + Pכאשר αפתרון בודד למערכת המשוואות. הוכחה :יהי p ∈ Pנראה ש α + pפתרון ל.Ax = b A (α + p) = Aα + Ap = Aα + 0 = b נראה שכל פתרון γל Ax = bשייך ל :α + P )γ = α + (γ − α נראה ש :P ∋ γ − α A (γ − α) = Aγ − Aα = b − b = 0 ולכן γ ∈ Pכנדרש. משפט 0.20אוסף הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות הוא תת־מרחב אפיני של Fnאו ∅. הוכחה :נתבונן במערכת .Ax = bאם אין פתרון אז אוסף הפתרונות הוא ∅ כנדרש. אחרת ,יהיה αפתרון ,דהיינו .Aα = b :נתבונן במערכת ההומוגנית Ax = 0יהי Pמרחב הפתרונות שלה .לפי טענה קודמת ראינו כי כלל הפתרונות של מערכת המשוואות הם: }{α + p : p ∈ P כאשר αקבוע .כמו כן ,בעבר ראינו כי Pתת־מרחב .ולכן אוסף הפתרונות הוא תת מרחב אפיני כנדרש. מסקנה 0.21אם α1 , α2פתרונות ל Ax = bאז: α1 + P = α2 + P וגם .P ∋ α1 − α2נובע ישירות מההוכחה. דוגמה 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 עבור Ax = 0הפתרונות הם: 1 1 A = 0 1 0 0 })P = {(0, 0, −1, 1, 0, 0) , (0, 0, −1, 0, 1, 0) , (0, 0, −1, 0, 0, 1 1 עבור b = 1ו Ax = b :די למצוא פתרון אחד: 1 )(0, 0, 0, 0, 0, 1 13 ולכן אוסף הפתרונות של Ax = bהוא(λ1 , λ2 , λ3 ∈ F) : (0, 0, 0, 0, 0, 1) + P = (0, 0, 0, 0, 0, 1) + λ1 (0, 0, −1, 1, 0, 0) + = )λ2 (0, 0, −1, 0, 1, 0) + λ3 (0, 0, −1, 0, 0, 1 )(0, 0, −λ1 − λ2 − λ3 , λ1 , λ2 , λ3 + 1 פתרונות Pbהם הפתרונות המקיימים .Ax = b :לכל α ∈ Pbמתקיים: Pb = α + P0 כאשר P0זה מרחב הפתרונות ההומוגנים ,כלומר תת מרחב ממימד ).n − r (A קיום פתרון תזכורת ∗ = Aהמטריצה המורחבת: | b1 . | .. | bm . . . a1,n .. .. . . . . . am,n a1,1 .. A = . am,1 ∗ משפט 0.22למערכת Ax = bיש פתרון אם ורק אם ) ∗r (A) = r (A הוכחה :נסמן את עמודות Aב־ ,α1 , . . . , αnאזי עמודות ∗ Aהן .α1 , . . . , αn , b :תחילה ננית שיש למערכת פתרון .γכלומר: γ = (c1 , . . . , cn ) ∈ Fn אז Aγ = bוזה אומר ש: c1 α1 + c2 α2 + . . . + cn αn = b והרי זה אומר ש bהוא צרוף לינארי של הוקטורים ,α1 , . . . , αnכלומר.b ∈ Sp (α1 , . . . , αn ) : אנו יודעים כי ) r (A) = dim Sp (α1 , . . . , αnכמו כן )r (A∗ ) = dim Sp (α1 , . . . , αn , b אבל כבר הראנו כי ) b ∈ Sp (α1 , . . . , αnולכן: ) ∗Sp (α1 , . . . , αn , b) = Sp (α1 , . . . , αn ) ⇒ r (A) = r (A בכיוון השני :נניח כי ) ∗ r (A) = r (Aאז: )dim Sp (α1 , . . . , αn ) = dim Sp (α1 , . . . , αn , b ברור כי ) ,Sp (α1 , . . . , αn ) ⊆ Sp (α1 , . . . , αn , bאבל אנו גם יודעים שהם מאותו מימד ולכן: ) Sp (α1 , . . . , αn , b) = Sp (α1 , . . . , αn ומכאן ברור כי ) b ∈ Sp (α1 , . . . , αnולכן bהוא צרוך לינארי של α1 , . . . , αnכלומר: b = c1 α1 + c2 α2 + . . . + cn αn כאשר .ci ∈ Fנסמן .γ = (c1 , . . . , cn ) ∈ Fnאז γפתרון .Aγ = b 14 הערה 0.23נובע יש פתרון ל ⇐⇒ Ax = bלמרחב שורות Aו־ ∗ Aאותו מימד. טענה 0.24נניח ששורות Aבת״ל ,אז לכל בחירה של איבר חופשי b ∈ Fnיש למערכת Ax = bפתרון. הערה 0.25תמיד ) ∗ .r (A) ≤ r (Aמכיוון ש )Sp (α1 , . . . , αn ) ⊆ Sp (α1 , . . . , αn , b הוכחה :שורות Aבת״ל ולכן ) r (A) = mמספר השורות( .לכן דרגת העמודות של Aהיא .mולכן ,לפי הערה הנ״ל m = r (A) ≤ r (A∗ ) ≤ mאבל כמות השורות ב ∗ Aהיא כמות השורות ב ,Aוהן הרי בת״ל ,ולכן .m = r (A) = r (A∗ ) :ולכן מהמשפט נובע שלמערכת משוואות Ax = bיש פתרון. טענה 0.26תהי Aמטריצה .n × nויהי Fn ∋ bאז למערכת Ax = bיש פתרון יחיד ⇒⇐ שורות Aבת״ל. הוכחה :נניח שורות Aבת״ל .לפי טענה קודמת קיים פתרון .αואוסף הפתרונות Pbמקיים .Pb = α + P0אבל ראינו כי: dim P0 = n − r (A) ⇒ P0 = {0} ⇒ Pb = α + {0} = α ולכן הפתרון יחיד. כיוון שני :נניח שורות Aתלויות לינארית .נראה שאין פתרון יחיד .כלומר |Pb | 6= 1אם ∅ = Pb 6אז |Pb | = 0לכן ננית שיש פתרון .αמתקיים .Pb = α + P0 )dim P0 = n − r (A במקרה שלנו r (A) < nולכן dim P0 > 0וזה אומר } .|P0 | ≥ 2 ⇐ P0 ⊃ {0ומכאן: |Pb | = |α + P0 | = |P0 | ≥ 2 ואין יחידות .מ.ש.ל הערה 0.27מספר הפתרונות של Ax = bהוא 0או מספר הפתרונות Ax = 0כי אם יש פתרון αאז .|Pb | = |α + P0 | = |P0 | :התאמה חח״ע ועל מ P0ל־ α + P0היאx 7→ α + x : 29/12/2010 פתרון מערכת משוואות לא הומגניות b1 .. . | | | bm . . . a1,n .. .. . . . . . am,n a1,1 Ax = b ⇒ A∗ = ... am,1 נבצע פעולות אלמנטריות על שורות המטריצה המורחבת )החלפת שורות ,כפל שורה בסקלר = ,0 6תוספת כפולה של שורה אחת לשניה(. פעולות אלה מביאות למערכת המערכת משוואות שקולה עם אותם פתרונות .כיוון שפעולות אלה אינן משנות את מרחב השורות ,והרי מרחב השורות קובע את אוסף הפתרונות )מרחב אפיני() .זהה למקרה ההומוגני(. נבצע את חילוץ גאוס על ∗ ,Aונקבל מטריצה מדורגת .במידה ובמטריצה יש שורה של nאפסים ,ובמקום ה) n + 1האחרונה( סקלר = 0 6אז בהכרח אין פתרון ל .Ax = bאם מצב זה אינו קורה ,אז יש פתרון למערכת המשוואות )לא בהכרח יחיד( .ניתן למצוא אותו ע״י הצבת ערכים כלשהם ב n − rהפרמטרים החופשיים ומציאת ערכי המשתנים האחרים. 15 דוגמה נדרג את המטריצה: 1 1 | 1 1 −1 | 0 1 −1 | 0 1 1 | 1 1 −1 | 0 0 0 | 0 1 = x1 + x2 + x3 1 2 = = x1 + 2x2 2x1 + 3x2 + x3 | 1 | 1 | 2 1 1 2 0 3 1 1 A∗ = 1 2 1 | 1 1 −1 | 0 −→ 0 1 | 2 0 1 −→ 0 0 1 | 1 1 1 0 | 1 −→ 0 1 1 | 2 2 3 1 1 1 2 2 3 ולכן מערכת המשוואות היא: = 1 x1 + x2 + x3 = 0 x2 − x3 = 0 0 כאשר x3הוא פרמטר חופשי .נקבע שרירותי x3 = sואז: x2 = x3 = s ⇒ x1 = x1 − 2s פתרון כללי למערכת הוא: )(1 − 2s, s, s פתרון לדוגמה :s = 0 )(1, 0, 0 חלק IV מבוא לדטרמיננטות המטרה :להגדיר לכל מטריצה ריבועית ) A ∈ Mn×n (Fסקלר |A| ∈ Fשיקרא הדטרמיננטה של Aבאמצעות נוסחה ,ויהיו לה תכונות כגון: |I| = 1 .1 ⇐⇒ |A| 6= 0 .2שורות Aבת״ל ⇒⇐ עמודות Aבת״ל .כלומר ,תלות בין שורות A גורמת להתאפסות |.|A 16 |AB| = |A| · |B| .3 דוגמה n = 2 b = ad − bc d b a = d c a c חלק V תמורות )פרמוטציות( הגדרה 0.28תמורה של 1, . . . , nהיא פונקציה חח״ע ועל מ } {1, . . . , nל־}.{1, . . . , n הערה 0.29אם xקבוצה סופית ו f : x → x :חח״ע אז היא על ,ולהפך .ולכן ניתן להשמיט ״על״ בהגדרה. . הערה 0.30אם xקבוצה אינסופית יתכן f : x → xחח״ע אך לא על .לדוגמהf : N → N : המוגדרת באופן .f (x) = 2x :הזוגיים= Imfוכמו כן קל לראות כי fחח״ע. . הערה 0.31לקבוצה כללית ) xאולי אינסופית( ,תמורה על xהיא פונקציה חח״ע ועל מ־x ל־.x סימון את התמורות לרוב מסמנים בעזרת } .σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , nאך לפעמים מסמנים גם ב τאו .π כלומר: 1 2 3 ... n )σ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n דוגמה למשל עבור n = 3כל התמורות האפשריות הן: 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , 2 1 1 3 2 2 3 1 3 1 2 3 1 , 3 3 2 3 1 2 , 2 3 2 1 1 1 הגדרה = Sn 0.32כל התמורות על 1, . . . , n טענה |Sn | = n! 0.33 הוכחה n :אפשרויות ל ) ,σ (1בהנתן ) σ (1קיים ) σ (2) 6= σ (1ולכן יש n − 1אפשרויות עבורו .וכך הלאה .נקבל n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1 = n! :כנדרש. הגדרה 0.34כפל תמורות מוגדר ע״י הרכבה של פונקציות σ, τ ∈ Snאז.στ = σ ◦ τ : 17 }σ, τ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n ))(στ ) (i) = σ (τ (i הגדרה 0.35תמורת הזהות היא התמורה e (i) = iלכל .i . הגדרה 0.36נקודת שבת iהיא נקודה שבה .σ (i) = i דוגמה כפל תמורות: 2 3 1 2 3 1 = 1 3 3 1 2 · 3 3 2 1 2 2 1 הערה 0.37הרכבת פונקציות חח״ע היא חח״ע וכמו כן ,הרכבת פונקצויות על היא על .לכן הרכבת תמורות היא תמורה .כלומר בהנתן σ, τ ∈ Snאזי גם .σ ◦ τ ∈ Snכמו כן ,הרכבת פונקציות היא אסוציאטיבית ולכן כפל תמורות הוא אסוציאטיבי .כלומר.σ (τ π) = (στ ) π : . הערה e 0.38מתפקד כאיבר היחידה ביחס לכפל תמורות .כלומר: eσ = σe = σ הערה 0.39לתמורות קיימת תמורה הופכית .לכל σ ∈ Snיש σ −1 ∈ Snכך שσσ −1 = : ) .σ −1 σ = eנכון מכיוון שתמורות הן פונקציות חח״ע ועל(. הגדרה σ −1 (i) 0.40יוגדר בתור ה jהיחיד כך ש־ :σ (j) = i i = σ (j) = σ σ −1 (i) = σσ −1 (i) ⇒ σ −1 = j דוגמה 2 3 1 3 −1 3 1 = 3 2 1 2 2 1 טענה 0.41לכפל תמורות ב Snהתכונות הבאות (1 :אסוציאטיביות )(2 .(xy) z = x (yz קיום איבר יחידה ex = xe = x .eלכל (3 .xקיום הופכי :לכל xיש x−1כך ש .xx−1 = x−1 x = e הגדרה 0.42קבוצה עם כפל המקיים תכונות אלה נקראת חבורה. מסקנה Sn 0.43היא חבורה. הערה 0.44הכפל בחבורה אינו קומטטיבי: 1 2 3 1 2 3 =6 · 3 2 1 2 1 3 18 2 3 2 1 2 3 1 · 1 3 3 1 2 סימן של תמורה הגדרה 0.45תהי σ ∈ Snתמורה .חילוף ב־ σהוא זוג } {i, jכך שהסדר של )σ (i) , σ (j הפוך לסדר .i, jכלומר :בה״כ אם i > jאזי )Nσ .σ (i) < σ (jמוגדר כמספר החילופים ב.σ דוגמאות 3 3 1 2 =σ 2 1 במקרה זה ,החילוף היחיד הוא {1, 2} :ולכן .Nσ = 1 1 2 3 4 ... n =σ 2 1 3 4 ... n במקרה זה ,החילוף היחיד הוא {1, 2} :ולכן .Nσ = 1 2 ... i k j ... n 2 ... j k i ... n 1 =σ 1 החילופים הם ,{i, j} , {i, k} , {k, j} :ולכן .Nσ = 3ובמקרה הכללי יותרNσ = : ).1 + 2 (j − i − 1 1 2 3 =σ 2 1 3 במקרה הזהNσ = 2 : הערה 0.46מספר החיופים שווה למספר נקודות החיתוך של הישרים המחברים בין האיברים הזהים מהטווח לתמונה. הגדרה 0.47תמורה σתקרא זוגית אם Nσזוגי ואי־זוגית אם Nσאי־זוגי .הסימן של σיוגדר N כ .(−1) σ :ז״א 1אם σזוגית ,ו −1אם σאי־זוגית .ויסומן כ sg (σ) :או.sgn (σ) : דוגמאות sg (e) = 1 כיוון ש Ne = 0וגם (−1)0 = 1 2 3 = −1 1 3 1 sg (1 2) = sg 2 כיוון ש .Nσ = 1 sg (i j) = −1 i, jמתחלפים ,השאר לא זזים .כיוון שראינו ש Nσבמקרה הזה הוא אי־זוגי. טענה 0.48 )σ(j)−σ(i j−i Y = )sg (σ i≤i<j≤n 19 הוכחה: )σ(j)−σ(i j−i חיובי אם } {i, jאינו חילוף והוא שלילי אם } {i, jהוא חילוף .מכאן Nσ ) (−1מה שמראה לאגף שמאל וימין אותו סימן σ .תמורה, שסימן המכפלה הנ״ל הוא ולכן σ (j) , σ (i) :כאשר j < iעוברים על כל הזוגות } {k, lכאשר 1 ≤ k ≤ n 1 ≤ l ≤ n וגם .k 6= lמכאן שהמונה במכפלה הנ״ל הוא המכנה עם סימן .± Y Y ||j − i = |)|σ (j) − σ (i i<j i<j המכפלה הנ״ל יוצאת ,±1ומאחר שהיא שווה בסימן ל ) sg (σנקבל = )sg (σ מסקנה Y 0.49 )σ(j)−σ(i . j−i i≤i<j≤n טענה sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) 0.50לכל .σ, τ ∈ Sn הוכחה: )(στ ) (j) − (στ ) (i = j−i Y i≤i<j≤n )σ (τ (j)) − σ (τ (i)) τ (j) − τ (i · = )τ (j) − τ (i j−i )τ (j) − τ (i = j−i Y i≤i<j≤n )(στ ) (j) − (στ ) (i = j−i Y i≤i<j≤n ))σ (τ (j)) − σ (τ (i · )τ (j) − τ (i והרי τהיא חח״ע ועל ,ולכן גם ))σ(τ (j))−σ(τ (i )τ (j)−τ (i Y = ) sg (στ i≤i<j≤n ))σ (τ (j)) − σ (τ (i = j−i Y Y i≤i<j≤n i≤i<j≤n Y עובר על כלל הזוגות של }{k, l i≤i<j≤n האפשריים ,ולכן: )τ (j) − τ (i ) = sg (σ) · sg (τ j−i Y i≤i<j≤n ))σ (τ (j)) − σ (τ (i · )τ (j) − τ (i Y = ) sg (στ i≤i<j≤n כנדרש. מכפלה של תמורות זוגיות היא תמורה זוגית. מסקנה (1 0.51 sg σ −1 = sg (σ) (2 sg (στ ) = sg (τ σ) (3 sg (σ · (i, j)) = −sg (σ) (4 הוכחה1 = sg (σ) = sg (τ ) ⇒ sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) = 1 · 1 = 1 (1 : הגדרה 0.52אוסף התמורות הזוגיות של 1, . . . , nמסומן ב Sn ⊃ An .Anסגור לכפל, הופכי ,מכיל את ) eאיבר היחידה( ולכן גם Anחבורה )תת חבורה של (Sn הוכחה( הוכחה) :המשך σ −1 · σ = e ⇒ sg σ −1 · sg (σ) = sg σ −1 σ = sg (e) = 1 (2כמו כן זה גם גורר: −1 )) ,sg σ −1 = sg (σ) = sg (σכתיב מוזר( sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) = sg (τ ) · sg (σ) = sg (τ σ) (3 (4ברור כי ראינו sg (i, j) = −1 20 הערה σ, τ 0.53אי זוגיות ⇐ στזוגית. דוגמה n = 3התמורות הזוגיות הן: 3 2 2 3 1 2 , 3 1 3 1 1 A3 = e, 2 התמורות האי זוגיות הן: })S3 \A3 = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3 תרגיל !n 2 = | |Anכאשר .2 ≤ n מעגלים )ציקלוסים( הגדרה 0.54נסמן ב ) (i1 , i2 , . . . , ikאת התמורה ששולחת →i1 7→ i2 , i2 7→ i3 , . . . , ik−1 7 .ik , ik 7→ i1זה נקרא מעגל )צקלוס( באורך .k דוגמה (i1 , i2 ) k = 2 טענה 0.55 k−1 )sg (i1 , i2 , . . . , ik ) = (−1 הוכחה :מראים ש ) (i1 , i2 , . . . , ikהיא מכפלת k − 1מעגלים באורך 2מאחר שכל מעגל k−1 ).sg (i1 , i2 , . . . , ik ) = (−1 כנ״ל סימנו −1נקבל (i1 , ik ) · (i1 , ik−1 ) · . . . · (i1 , i3 ) · (i1 , i2 ) = i1 7→ i2 7→ i4 7→ . . . 7→ (ik ) 7→ i1 הערה (i) 0.56הוא מעגל באורך 1אבל למעשה הוא שווה ל .e פירוק תמורה למעגלים 7 דוגמה 1 5 6 7 2 3 4 5 4 1 2 3 6 נתבונן בתמורה: 1 7→ 3 7→ 5 7→ 7 7→ 1, 2 7→ 6 7→ 2, 4 7→ 4 לכן ).σ = (1, 3, 5, 7) (2, 6) (4 טענה 0.57כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלת מעגלים זרים. הוכחה :תהי σ ∈ Snנבחר i1כך ש .1 ≤ i1 ≤ nנסמן ) i2 = σ (i1אם i2 = i1קיבלנו מעגל ) .(i1אחרת נגדיר ) ,i3 = σ (i2וכו׳ עד שיתקבל מספר ישן l < k σ (ik ) = il ובהכרח ) l = 1כיוון שאם l 6= 1זה יעמוד בסתירה לחח״ע של התמורה( .נמשיך כך עם המספרים הנותריםם )במידה ויש( .כמו כן ,במהלך המעגל החדש ,לא יכולים להיות איברים מהמעגל הישן כיוון שזה יעמוד בסתירה לחח״ע .נחזור על הפעולה עד למיצוי כלל האיברים בין 1ל .n 21 נוסחה כללית לחישוב סימן של תמורה m ) sg (σ) = (−1כאשר mהוא מספר המעגלית באורך זוגי בפירוק σכמכפלת מעגלים זרים כיוון שסימן מעגל אי זוגי הוא 1ואילו סימן מעגל זוגי הוא 1־. דוגמה ) S15 ∋ σ = (1, 2) (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9) (10, 11, 13, 14, 15) (12נקבל כי = )sg (σ 2 .(−1) = 1 הערה 0.58הפירוק למעגלים יחיד עד כדי סדר המעגלים וכתיבתם. )(1, 2, 3, 4) = (2, 3, 4, 1) = (3, 4, 1, 2) = (4, 1, 2, 3 k טענה 0.59כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלת מעגלים באורך ,2וסימנה ) k(−1מספר המעגלים הנ״ל. הוכחה :נפרק את σלמכפלת מעגלים זרים .כל מעגל באורך 2 ≤ lהוא מכפלת l − 1 מעגלים באורך ) 2ראינו( .מ.ש.ל דוגמה ) S15 ∋ σ = (1, 2) (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9) (10, 11, 13, 14, 15) (12נפרק למעגלים ונקבל: )(1, 2) (3, 5) (3, 4) (6, 9) (6, 8) (6, 7) (10, 15) (10, 14) (10, 13) (10, 11 הגדרה 0.60מעגל באורך 2נקרא טרנספוזיציה )חילוף בעברית( סיכום תמורה זוגית היא מכפלה של מספר זוגי של טרנפוזיציות .ואילו תמורה אי־זוגית היא מכפלה של מספר אי־זוגי של טרנספוזציות) .אין יחידות הצגה ,יש יחידות בזוגיות אורך ההצגה כמכפלת טרנספוזיציות( חלק VI פונקציית נפח הגדרה 0.61יהי Vמרחב וקטורי ממימד nמעל שדה .Fפונקציה ∆ : v · . . . · v → F נקראת פונקציית נפח אם היא מקיימת: ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0 (1אם ai = ajל i 6= jכלשהו ∆ (α1 , . . . , αn ) = f · ∆ (α1 , . . . , αn ) (2 ∆ (α1 , . . . , αi + βi , . . . , αn ) = ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αn )+∆ (α1 , . . . , βi , . . . , αn ) (3 הערה 2, 3 0.62אומרים ש ∆ לינארית בכל משתנה αi 22 תכונות ∆ טענה ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) = −∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) 0.63לכל פונקציית נפח ∆. הוכחה: = ) 0 = ∆ (α1 , . . . , αi + αj , . . . , αi + αj , . . . , αn ) ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αi , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn = ) + ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αi , . . . , αn ⇒ ) ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) = −∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn טענה 0.64תהי ∆ פונקציית נפח ,ותהי σ ∈ Snאז: ) ∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = sg (σ) · ∆ (α1 , α2 , . . . , αn הוכחה :נכתוב את σכמכפלת טרנספוזיציות: ) σ = (i1 , j1 ) · (i2 , j2 ) · . . . · (ik , jk המעבר מ α1 , . . . , αnל־ ) ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(nניתן להעשות ע״י kהחלפות של זוג וקטורים זו אחר זו .כל החלפה כנ״ל תכפיל את ערך ∆ב (−1) :ולכן: k ) ∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = (−1) · ∆ (α1 , α2 , . . . , αn k אבל ראינו שsg (σ) = (−1) :ולכן∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = sg (σ)·∆ (α1 , α2 , . . . , αn ) : כנדרש. דוגמה ) ∆ (α2 , α3 , α1 ) = −∆ (α2 , α1 , α3 ) = (−1) (−1) ∆ (α1 , α2 , α3 05/01/2011 קיום פונקציות נפח האם קיימת פונקציית נפח? ראשית ,ברור כי ∆ = 0זהותית היא פונקציית נפח ,ולכן בהכרח קיימת פונקציית נפח .אבל זוהי אינה דוגמה מעניינת .נרצה לבחון האם קיימת פונקציית נפח השונה מפונקציית האפס. האם קיימת פונצקיית נפח השונה מפונקציית האפס? למה 0.65אם ∆ פונצקיית נפח ,ו־ c ∈ Fסקלר .אז גם ∆ · cהיא פונקציית נפח. הוכחה: ) c∆ (α1 . . . , f αi , . . . , αn ) = cf ∆ (α1 . . . , αi , . . . , αn ) = f · c∆ (α1 . . . , αn קיום של פונקציית נפח שונה מאפס יוכח בהמשך 23 יחידות פונקציית נפח כבר ראינו כי הפונקציה הנוצרת מכפל בסקלר של פונקציית נפח ∆ גם היא פונקציית נפח. על כן היא לא יחידה .נרצה לראות כי פונקציית נפח יחידה עד כדי כפל בסקלר. משפט 0.66יהי ε1 , . . . , εnבסיס ל־ .Vויהיו V ∋ α1 , . . . , αnנכתובai,j εj : n X = .αi j=1 תהי ∆ פונקציית נפח על Vאז מתקיים: ) ∆ (α1 , . . . , αn ) = cA · ∆ (ε1 , . . . , εn כאשר F ∋ CAתלוי אך ורק ב ) ) A = (ai,jולא ב∆( הוכחה: = an,j εj n X a1,j εj , . . . , j=1 n X j=1 X = ) ∆ (a1,j1 εj1 , . . . , an,jn εjn ∆ (α1 , . . . , αn ) = ∆ 1 ≤ j1 ≤ n .. . 1 ≤ jn ≤ n ) a1,j1 · a2,j2 · . . . · an,jn ∆ (εj1 , . . . , εjn | {z } zero if jk =jl ∧k6=l X 1 ≤ j1 ≤ n .. . 1 ≤ jn ≤ n המחוברים הנ״ל הם 0אלא אם כן j1 , . . . , jnשונים זה מזה .כלומר מהווים תמורה של σ ∈ Sn .1, . . . , nאז σ (1) = j1 , σ (2) = j2 , . . . , σ (n) = jn :ולכן: X = ) ∆ (α1 , . . . , αn )a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n) ∆ εσ(1) , . . . , εσ(n σ∈Sn נציב ) sg (σ) ∆ (ε1 , . . . εnבמקום ) ∆ εσ(1) , . . . , εσ(nונקבל: ! X ) sg (σ) a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n) ∆ (ε1 , . . . , εn = ) ∆ (α1 , . . . , αn σ∈Sn נסמן )sg (σ) a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n X = CAוהרי CAתלוי רק במטריצה A σ∈Sn כנדרש. הגדרה 0.67תהי ) A = (ai,jמטריצה n × nמעל .Fנגדיר · )sg (σ) a1,σ(1 X σ∈Sn ) a2,σ(2) · . . . · an,σ(nדטרמיננטה של .A 24 = ||A הערה 0.68בעזרת ההגדרה הנ״ל ,ניתן לנסח את המשפט הקודם באופן הבא: ) ∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| ∆ (ε1 , . . . , εn כאשר αi,j εj n X = αi j=1 דוגמאות A = (a1,1 ) (1מטריצה |A| = a1,1 .1 × 1 X a1,2 = sg (σ) · a1,σ(1) · a2,σ(2) = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1 (2 a2,2 } | {z } | {z σ∈S2 e )(1,2 כי })S2 = {e, (1, 2 a 1,1נשים לב a2,1 (3במקרה של מטריצות 3×3נשים לב כי )S3 = e, (1, 2, 3) , 1, 3, 2, (1, 2) , (2, 3) , (1, 3 | {z | } {z } even odd a1,3 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2 a3,3 − a1,2 a2,1 a3,3 − a1,1 a2,3 a3,2 − a1,3 a2,2 a3,1 a1,2 a2,2 a3,2 a1,1 a2,1 a3,1 (4 (5 0 . . . 0 .. . 1 = 1 · ...· 1 = 1 .. . 0 . . . 0 1 0 . . . 0 .. λ2 . = λ1 · λ2 · . . . · λn .. . 0 . . . 0 λn 1 0 . .. 0 λ1 0 . .. 0 מסקנה 0.69יש לכל היותר פונקציית נפח אחת הנותנת ערך נתון לבסיס נתון של .Vכלומר: ∆ (ε1 , . . . , εn ) = b הוכחה :ל V ∋ α1 , . . . αnעם ) A = (ai,jכמו במשפט .ראינו = ) ∆ (α1 , . . . , αn |A| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = |A| · b מסקנה 0.70פונקציית נפח שמתאפסת על בסיס כלשהו היא 0תמיד. הוכחה :נקרא לבסיס עליו ∆ מתאפסת ε1 , . . . , εnנקבל∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = : | {z } 0 0 25 מסקנה 0.71פונקציית נפח על Vהיא יחידה עד כדי כפל בקבוע הוכחה :אם רק 0היא פונקציית נפח אז הטענה ברורה .לכן נניח שיש פונקציית נפח ∆ 6= 0 ונראה שכל פונקציית נפח ∆ היא כפולה של ∆. נקבע בסיס V ∋ ε1 , . . . , εnאז: ) |A| ∆′ (ε1 , . . . , εn = ) ∆′ (α1 , . . . , αn ) |A| ∆ (ε1 , . . . , εn {z } | = ) ∆ (α1 , . . . , αn 6=0 נחלק את המשוואות אחת בשניה ונקבל: ) ∆′ (ε1 , . . . , εn ) · ∆ (α1 , . . . , αn ) ∆ (ε1 , . . . , εn | {z } = ) ∆′ (α1 , . . . , αn constant קיום פונקציית נפח שונה מאפס משפט 0.72בהנתן b ∈ Fובסיס V ∋ ε1 , . . . , εnיש פונקציית נפח ∆ על Vכך ש A (ε1 , . . . , εn ) = b הוכחה :מספיק להראות שיש פונקציית נפח עם ) ∆ (ε1 , . . . , εn ) = 1כי כפולה שלה בb תהיה כנדרש( .פונקציה כנ״ל תקיים: |∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| · 1 = |A לכן נרצה להראות שהדטרמיננטה היא אכן פונקציית נפח. טענה 0.73הדטרמיננטה היא פונקציית נפח ששורותיה ב Fn הוכחה :תהי Aמטריצה עם שורות Fn ∋ α1 , . . . , αnונגדיר | ∆ (α1 , . . . , αn ) = |Aנראה קיום אקסיומות פונקציית נפח: ∆ (α1 , . . . , tαi , . . . αn ) = t · ∆ (α1 , . . . , αn ) (1בה״כ :i = 1 . . . t · a1,n X ... a2,n = )sg (σ) · t · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n = .. .. . . σ∈Sn . . . an,n X t |sg (σ) · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n) = t |A σ∈Sn 26 t · a1,2 a2,2 .. . a2,n t · a1,1 a2,1 .. . an,1 (2חיבורית בה״כ בשורה הראשונהα1 + α′ : a1,1 + a′1,1 a1,2 + a′1,2 . . . a1,n + a′1,n a2,1 a2,2 ... a2,n = .. .. . .. .. . . . an,1 a2,n ... an,n X = = )sg (σ) · a1,σ(1) + a′1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n σ∈Sn sg (σ) · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n) + X σ∈Sn )sg (σ) · a′1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n X σ∈Sn (3אם αk = αlאז ak,j = al,j (k < l) .|A| = 0לכל .jבהנתן σ ∈ Snנגדיר: )σ ′ = σ ◦ (k, l 1 ... k ... l ... n =σ )σ (1) . . . σ (k) . . . σ (l) . . . σ (n 1 ... k ... l ... n ′ = σ )σ (1) . . . σ (l) . . . σ (k) . . . σ (n )sg (σ ′ ) = sg (σ) · sg (k, l) = −sg (σ } | {z −1 נתאים למחובר בביטוי ל| sg (σ) · a1,σ(1) · . . . · ak,σ(k) · . . . · al,σ(l) · . . . · an,σ(n) |Aאת המחובר ) sg (σ ′ ) · a1,σ′ (1) · . . . · ak,σ′ (k) · . . . · al,σ′ (l) · . . . · an,σ′ (nוזה הרי שווה ל: ) −sg (σ) · a1,σ(1) · . . . · ak,σ(l) · . . . · al,σ(k) · . . . · an,σ(nולכן ,סכום המחובר ובן זוגו הוא .0חלקנו את הסכום לזוגות שסכומם 0ולכן .|A| = 0 10/01/2011 משפט 0.74תהי ∆ פונקציית נפח = 0 6על מרחב וקטורי n V־מימדי .אז ל V ∋ α1 , . . . , αn מתקיים α1 , . . . , αn ⇐⇒ ∆ (α1 , . . . , αn ) 6= 0בת״ל. הוכחה ⇒ :נניח כי α1 , . . . , αnבת״ל .לכן הם מהווים בסיס ל .Vראינו שפונקציית נפח שמתאפסת על בסיס כלשהו ל־ Vהיא פונקציית האפס .לפי הנחה ∆ 6= 0ומכאן: ∆ (a1 , . . . , αn ) 6= 0כנדרש. בשלילה שהם תלויים נניח בת״ל. α , . . . , α אז 0 = 6 ∆ (α , . ⇐ נראה כשאם ) . . , αn 1 n 1 X = .αi לינארית .אז קיים iכך ש 1 ≤ i ≤ nוגם αiתלוי באחרים כלומרak αk : k6=i = ak αk , . . . , αn ak ∆ (α1 , . . . , αk , . . . , αn ) = 0 {z } | 0 X X k6=i ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αn ) = ∆ α1 , . . . , = ) ∆ (α1 , . . . , ak αk , . . . , αn X k6=i k6=i מתאפס מכיוון ששני וקטורים שווים במקום iו־ kלפי טענה שהראנו בעבר .ולכן קיבלנו ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0בסתירה להנחה. 27 ניסוח־שקול α1 , . . . , αn ⇐⇒ ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0תלויים לינארית )בהנחה (∆ 6= 0 משפט 0.75תהי ) A ∈ Mn (Fאז ⇐⇒ |A| 6= 0שורות Aבת״ל )באופן שקול⇐⇒ : |A| = 0שורות Aתלויות לינארית( הוכחה :ראינו שהדטרמיננטה היא פונקציית נפח = 0 6של שורות המטריצה .ולכן לפי המשפט הקודם הטענה נכונה. מסקנה ⇐⇒ |A| 6= 0 0.76עמודות Aבת״ל .כי ראינו שמימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות .ולכן במטריצה ריבועית ,השורות בת״ל אמ״מ העמודות בת״ל. דוגמה (1 1 2 3 4 = 1 · 4 − 2 · 3 = −2 6= 0 ואכן השורות ) (1, 2ו־) (3, 4בת״ל. (2 2 = 1·6−2·3= 0 6 ואכן מתקיים (3, 6) = 3 · (1, 2) :ולכן יש תלות. (3 1 3 2 = 3 = 0 · 2 · 5 + 1 · 3 · 2 + 1 · 1 · 3 − 2 · 2 · 1 − 3 · 3 · 0 − 5 · 1 · 1 5 0+6+3−4−5=0 0 1 1 2 1 3 ואכן מתקיים(0, 1, 2) + (1, 2, 3) = (1, 3, 5) : טענה |At | = |A| 0.77 הערה 0.78נזכר כי אם ) A = (ai,jאזי ) At = (aj,iכלומר :שורות = Aעמודות At ועמודות = Aשורות (transpose) .At הוכחה :דרך ראשונה :קל לבדוק ש ||Aהיא פונקציית נפח של עמודות ) Aאותה הוכחה כמו עבור השורות( .זוהי פונקציית נפח ∆ שנותנת לוקטורי היחידה :ε1 , . . . , εn | | ∆ (ε1 , . . . , εn ) = ε1 . . . εn = |I| = 1 | | ראינו שיש פונקציית נפח יחידה על Fnשנותנת ל ε1 , . . . , εnערך 1והיא |.|A עבור Fn ∋ α1 , . . . , αnאם ניצור מטריצה שעמודותיה α1 , . . . , αnומטריצה ששורותיה α1 , . . . , αnיש להן את אותה הדטרמיננטה .וזה גורר |.|At | = |A דרך שניה :נסתמך על הגדרת הדטרמיננה: X = ||A )sg (σ) a1,σ(1) · . . . · an,σ(n σ∈Sn 28 נסמן ) B = (bi,j ) ,B = Atמתקיים (bi,j = aj,iאז: = sg (σ) aσ(1),1 · . . . · aσ(n),n X = )sg (σ) b1,σ(1) · . . . · bn,σ(n σ∈Sn σ∈Sn )sg (σ) a1,σ−1 (1) · . . . · an,σ−1 (n X = ||B X σ∈Sn כיוון שראינו ש .sg (σ) = sg σ −1וכמו כן ,האיברים ) ai,σ−1 (iעבור i = 1 . . . nהם האיברים aσ(i),i :בשינוי סדר כי σ σ −1 (i) = i :ולכן מכפלתם זהה .ולכן: aσ(i),i n Y = )ai,σ−1 (i i=1 n Y i=1 ראינו שיש התאמה חח״ע ועל בין המחוברים ב| |Aוב־| |Bכך שמחובר עובר למחובר זהה לו ,ומכאן | |A| = |B| = |At משפט ) 0.79המכפלה( יהיו ) A, B ∈ Mn (Fאז|A · B| = |A| · |B| : הוכחה :יהי V = Fnנתבונן ב∆ כפונקציית הנפח על Vשהיא | .|Aנסמן את שורות A ב .α1 , . . . , αnנקח מטריצה ) B ∈ Mn (Fונתבונן ב∆B (α1 , . . . , αn ) = ∆ (Bα1 , . . . , Bαn ) : )נעשה transposeעל α1 , . . . , αnכך שיהיו עמודות(. קל לוודא ש ∆Bהיא פונקציית נפח על .Vלמשל: = ) ∆B (tα1 , . . . , αn ) = ∆ (B (tα1 ) , . . . , Bαn ) = ∆ (t · Bα1 , . . . , Bαn ) t · ∆ (Bα1 , . . . , Bαn ) = t∆B (α1 , . . . , αn אם αi = αjכך ש i 6= jאז Bαi = Bαjולכן∆ (Bα1 , . . . , Bαi , . . . , Bαj , . . . , Bαn ) = : 0ולכן גם.∆B (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) = 0 : נסמן ב ε1 , . . . , εnאת וקטורי היחידיה של B ) ∆B (ε1 , . . . , εn ) = ∆ (Bε1 , . . . , Bεn נזכר כי: b1,i .. Bεi = . bn,i נסמן βiבתור העמודה ה iשל Bומכאן: |∆B (ε1 , . . . , εn ) = ∆ (β1 , . . . , βn ) = B t = |B ∆Bהיא פונקציית נפח כך ש | ∆B (ε1 , . . . , εn ) = |Bראינו שיש פונקציית נפח שמעבירה את ε1 , . . . , εnלערך נתון ||Bוהיא נתונה ע״י: |∆B (α1 , . . . , αn ) = |A| · ∆B (ε1 , . . . , εn ) = |A| · |B כאשר ai,j εj n X = .αi j=1 29 נקח מטריצה נוספת Cונחשב את: |∆ ((CB) ε1 , . . . , (CB) εn ) = |CB| · |A| = |CB| · |I| = |CB מצד שני: = ) ∆ (C (Bε1 ) , . . . , C (Bεn )) = |C| ∆ (Bε1 , . . . , Bεn ||C| · |B| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = |C| · |B ומכאן קיבלנו: ||CB| = |C| · |B כנדרש )בשינוי סימן( 12/01/2011 איך דרוג משפיע על הדטרמיננטה? או :איך פעולות אלמנטריות משפיעות על הדטרמיננטה? שלוש פעולות אלמנטריות .״חידוש״ אפשר לעשות פעולות גם על עמודות )כיוון ש | (|A| = |At | | משפט 0.80תהי Aמטריצה מסדר A = v1 . . . vn .n × n | | א( אם Bמתקבלת ע״י Aכאשר מחליפים את viעם (vi ↔ vj ) vjאז|A| = (−1) |B| : ב( אם Bמתקבלת מ־ Aע״י הכפלת העמודה ה־ iבסקלר aאזa · |A| = |B| : ג( אם Bמתקבלת מ־ Aע״י הוספת a · vjל viלאיזשהו aאז|A| = |B| : הוכחה :א( ראינו שכל פונקציית נפח מקיימת: ) ∆ (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −1∆ (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn ובסימונים של המשפט: ) det (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn = ||B ) det (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn = ||A והרי דטרמיננטה היא פונקציית נפח ,ולכן הטענה נכונה. ב( ||B| = det (v1 , . . . , a · vi , . . . , vn ) = a det (v1 , . . . , vn ) = a |A ג( = ) |B| = det (v1 , . . . , vi + a · vj , . . . , vj , . . . , vn |det (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) + a · det (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vn ) = |A | {z } 0 30 פיתוח לפי שורה ועמודה הגדרה 0.81תהי Aמטריצה .n × nנגדיר את Ai,jלהיות הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת מ Aע״י מחיקת השורה ה־ iוהעמודה ה־ .jנקרא לסקלר זה המינור ה) (i, jשל .A משפט ) 0.82לפלס( (−1)i+j · ai,j · Ai,j n X = |→ |Aפיתוח לפי השורה ה.i j=1 הוכחה :צעד :Iראשית נוכיח כי: כיוון ש: . . . a2,n .. .. . . . . . an,n 0 a2,2 a2,n . .. ⇒ |A| = .. . an,2 an,n = )an,σ(n · · ... ... ... .. . ... )sg (σ) a1,σ(1 0 a2,2 an,2 1 a2,1 A= . .. an,1 X ||A = σ∈Sn σ (1) = 1 נשים לב כי: σ (1) 6= 1 . . . a2,n .. .. . . . . . an,n כנדרש . 0 0 ... 1 0 ( = ) a1,σ(1ולכן הביטוי הנ״ל שווה ל: a2,2 = ... an,2 1 )sg (σ) a1,1 · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n }|{z 1 {z } )Perm(2,...,n 0 ... 0 ... a2,2 X σ∈Sn | a2,1 a2,n 1) A = .במקום ה iבשורה הראשונה( צעד .. :II . . . . . . an,1 an,2 . . . an,n נטען כי .|A| = (−1)i+1 Ai,jזה מתקיים כיוון ש: נחליף את iעם i − 1אח״כ את i − 1עם ...i − 2עד שהעמודה ה־ iהמקורית הגיעה לעמודה הראשונה .נקבל את המטריצה: 0 a2,n .. . an,n 0 ... ... .. . a2,1 ... an,1 1 a2,i B= . .. an,i i−1 )) |B| = (−1כיוון שבצענו i − 1 )עם חיסור של העמודה ה iבהמשך( .כמו כן|A| : החלפות( .ולכן קיבלנו: a2,1 . . . a2,n .. = (−1)i+1 A .. |A| = (−1)i−1 |B| = (−1)i+1 ... i,j . . an,1 . . . an,n | {z } without the i column 31 (−1)1+j A1,j n X = |A| = a1,1 A1,1 − a1,2 A1,2 + . . . + a1,n A1,n j=1 צעד :IIIשורה ראשונה כללית: a1,i ei n X = )(a1,1 , a1,2 , . . . , a1,n ) = a1,1 (1, 0, . . . , 0) + . . . + a1,n (0, . . . , 0, 1 i=1 0 1 1 ... 0 0 ... 0 a2,1 a2,2 . . . a2,n a2,1 a2,2 . . . a2,n + a1,2 . |A| = a1,1 . .. + . . . . .. . .. .. .. .. . . an,1 an,2 . . . an,n an,1 an,2 . . . an,n 0 0 ... 1 a2,1 a2,2 . . . a2,n 1+1 ai,i A1,1 + . . . + (−1)1+n a1,n A1,n + a1,n . ).. = (−1 .. .. . . an,1 an,2 . . . an,n כנדרש. צעד :IVלשורה כללית לפי שורה :iשוב נעביר את שורה ה iלשורה הראשונה ,תוך כדי חילופים של כל שורה עם השורה מעליה ונסמן את המטריצה המתקבלת ב.B ai,1 ai,2 . . . ai,n a a1,2 . . . a1,n i−1 i−1 1,1 )|A| = (−1 )|B| = (−1 .. = .. .. . . . an,1 an,2 . . . an,n n n X X (−1)i+j ai,j Ai,j = (−1)1+j ai,j · Ai,j (−1)i−1 j=1 j=1 והרי זוהי הוכחת השמפט. הערה 0.83מכך ש | |A| = |Atנקבל שניתן לערוך פתוח לפי עמודה (−1)i+j ai,j · : j n X = ||A i=1 Ai,j ∗ ... . .. . .. a2 מסקנה 0.84אם Aמטריצה משולשת )עליונה\תחתונה( למשל : .. .. . . ∗ . . . 0 an אז .|A| = a1 · a2 · . . . · an ∗ 32 a1 0 A= . .. 0 .( n × n מסדרA )כאשרn נעשה אינדוקציה על:הוכחה |[a]| =a⇐n=1 a b 0 d = ad ⇐ n = 2 |A| = a1 A1,1 + 0 (−1) · A2,1 + . . . + 0 · An,1 a2 = a1 · 0 ∗ .. . ∗ ∗ an = . . . = a1 · a2 · . . . · an (F ~וקטור עמודה )מעל שדהb ויהי,n × n , מטריצה רגולריתA תהי:קרמר כלל0.85 משפט x1 את המטריצה המתקבלתAk נסמן ב,k לכל. יש פתרון יחידA ... = ~b אז למערכת xn c1 .. : מקיים, . נסמנו ב, אז הפתרון של המערכת.b בוקטורk ע״י החלפת העמודה הAמ cn | | | | c1 v1 +c2 v2 +. . .+cn vn = c v1 | | | | | |Ak | = v1 | | . . . vk−1 | b1 .. . bn k| ck = |A |A| c1 | . . . vn = A ... = :הוכחה | cn | v2 | ~b | vk+1 | | . . . vn | | | | ~b = c1 v1 + c2 v2 + . . . + cn vn | | | |Ak | = det v1 , . . . , vk−1 , n X ci vi , vk+1 , . . . , vn i=1 n X ! 33 :ולכן = ci det (v1 , . . . , vk−1 , vi , vk+1 , . . . , vn ) = ck |A| ⇒ ck = i=1 אבל |Ak | |A| המטריצה המצורפת ל־A תהי Aמטריצה ,n × nנגדיר את המטריצה המצורפת ל־ adj (A)) A־ מתוך :(adjoint Aj,i i+j )bi,j = (−i ) adj (A) = (bi,j כלומר: ... . .. −A2,1 A2,2 A1,1 −A2,1 adj (A) = .. . |A| 0 . . . 0 .. 0 |A| . . . . משפט 0.86 A · adj (A) = . . . .. .. 0 .. |0 . . . 0 |A הוכחה: 34
© Copyright 2024