‫טורים‬ ‫חיוביים‬ ‫‪1‬‬ ‫הקדמה‬ ‫בפרק זה נדון במחלקה מסוימת של טורים שנקראים‬ ‫טורים חיוביים‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬טור חיובי הנו טור שכל אבריו ( פרט אולי‬ ‫למספר סופי שלהם ) הם אי שליליים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי‪sn n1 ,‬‬ ‫הנה סדרה מונוטונית עולה וככזו מתכנסת אםם היא‬ ‫חסומה ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הקדמה‪ ,‬המשך‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫טור חיובי מתכנס אםם סדרת הסכומים החלקיים שלו‬ ‫חסומה‪.‬‬ ‫כעת נדון במבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים‪,‬‬ ‫המבוססים ברובם על המסקנה דלעיל‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הקדמה‪ ,‬המשך‬ ‫נתייחס למבחנים הבאים‪:‬‬ ‫מבחני השוואה‪ :‬מבחן השוואה ‪1‬‬ ‫מבחן השוואה ‪.2‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪.‬‬ ‫מבחן האינטגרל‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מבחני השוואה‬ ‫נציג שני מבחני התכנסות ( התבדרות ) של טורים‬ ‫המבוססים על השוואה לטור שהתכנסותו ( התבדרותו )‬ ‫ידועה‪.‬‬ ‫נתונים שני טורים חיוביים‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪.  A‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫נסמן ב‪ An -‬ו‪ Bn -‬את סדרות הסכומים החלקיים‬ ‫שלהם בהתאמה‪.‬‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן השוואה ‪) 1‬‬ ‫בתנאי ההקדמה‪ ,‬אם לכל ‪ ( n‬החל ממקום מסוים )‬ ‫מתקיים‬ ‫‪an  bn‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫אזי‪,‬‬ ‫א) מהתכנסותו של הטור (‪ )B‬נובעת התכנסותו של (‪.)A‬‬ ‫ב) מהתבדרותו של הטור (‪ )A‬נובעת התבדרותו של (‪.)B‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫מהנתון (‪ )1‬נובע כי ‪An  Bn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א) לפי הגדרת התכנסות הטור (‪ )B‬נובע כי‬ ‫‪lim Bn  B‬‬ ‫‪ 3‬סופי‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ולכן‪,‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫הסדרה ‪ A ‬מונוטונית עולה ( כי הטור (‪ )A‬חיובי )‬ ‫וחסומה ע"י ‪ ( B‬נובע מ‪ )2(-‬ו‪ ,) )3( -‬ולכן הגבול ‪lim An‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מש"ל (א)‬ ‫קיים ולפי הגדרה‪ ,‬הטור (‪ )A‬מתכנס‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n n 1‬‬ ‫ב) אם הטור (‪ )A‬מתבדר אזי (לפי הגדרת התכנסות טור )‬ ‫מתקיים ‪lim An  ‬‬ ‫‪, 4 ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫מ‪ )2( -‬ו‪ )4( -‬נובע גם כי ‪lim Bn  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ומכאן ( לפי הגדרת התכנסות טור ) נובעת התבדרותו‬ ‫מש"ל (ב)‬ ‫של הטור (‪.)B‬‬ ‫מש"ל‬ ‫‪9‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ - 1‬דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬נבדוק התכנסות הטור החיובי ‪. 2‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫לכל ‪ n  2‬מתקיים אי השוויון הבא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an  2 ‬‬ ‫‪ bn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪n(n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הטור‬ ‫‪bn  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫)‪n  2 n ( n  1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪*‬‬ ‫מתכנס כטור‬ ‫טלסקופי‪,‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫ולכן לפי מבחן השוואה ‪ 1‬ואי השוויון (*) הטור‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתכנס יחד עמו‪.‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫לסיום נעיר כי הטור הנתון נבדל מהטור הנ"ל באבר אחד‬ ‫ולכן בוודאי מתכנס (לפי משפט קודם שלמדנו )‬ ‫‪11‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫‪1‬‬ ‫דוגמא ‪ :2‬נבדוק התכנסות הטור החיובי‬ ‫)‪n(n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫לכל ‪ n  1‬מתקיים אי השוויון‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ bn‬‬ ‫)‪( n  1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( n  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪n( n  1‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪*‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  bn  ‬מתבדר כטור הרמוני‪,‬‬ ‫הטור‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 n  1‬‬ ‫ולכן ‪,‬לפי מבחן השוואה ‪ ,1‬הטור הנתון מתבדר יחד עמו‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא ‪ :3‬נבדוק התכנסות הטור החיובי ‪. 1  cos ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫נשתמש בזהות הטריגונומטרית ‪1  cos2   2 sin ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ונקבל הצגה שקולה של הטור‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪. 1  cos    2 sin‬‬ ‫‪n  n 1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪14‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫לכל ‪ , n  1‬מתקיים ( לפי ‪ ) sin x  x‬אי השוויון‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪an  2 sin‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ bn‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪bn ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הטור ‪2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 2 n‬‬ ‫‪*‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתכנס יחד עם הטור ‪,  2‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫( דוגמא ‪ + 1‬כפל בקבוע )‬ ‫‪15‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,1‬המשך דוגמאות‬ ‫לכן לפי אי השוויון (*) ומבחן השוואה ‪ 1‬נובע כי הטור‬ ‫הנתון מתכנס‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן השוואה ‪) 2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫בתנאי ההקדמה‪ ,‬אם קיים הגבול ‪ L‬‬ ‫‪n b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א) ‪ , 0  L  ‬אזי הטורים (‪ )A‬ו‪ )B( -‬מתכנסים‬ ‫או מתבדרים יחדיו‪.‬‬ ‫ב) ‪ , L  0‬אזי מהתכנסות (‪ )B‬נובעת התכנסות (‪.)A‬‬ ‫‪17‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫מבחן השוואה ‪ ,2‬המשך‬ ‫ג) ‪ , L  ‬אזי מהתכנסות הטור (‪ )A‬נובעת התכנסות‬ ‫הטור (‪.)B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח את חלק א'‬ ‫נתון (‪ ,)1‬לכן לפי הגדרת הגבול לכל ‪ ,  0‬בפרט‬ ‫עבור ‪   0‬שעבורו ‪ , L    0‬קיים ) ‪N (‬‬ ‫‪18‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫כך שלכל ) ‪ n  N (‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ L  ‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫נזכור כי הטורים חיוביים ( ‪ ) bn  0‬ולכן‬ ‫‪ bn L     an  bn L   ‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪*‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫נפרק את אי השוויון הכפול (*) לשני אי שוויונים‬ ‫ונטפל בכל אחד בנפרד ע"מ להוכיח הדרוש‪.‬‬ ‫)**( ‪:‬‬ ‫לפי אי השוויון ‪bn L     an‬‬ ‫כזכור בחרנו את ‪   0‬כך ש‪ L    0 -‬ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫הטור ‪  bn L   ‬הנו טור חיובי‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫טור זה מתכנס או מתבדר יחד עם הטור‬ ‫‪20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫(כפל בקבוע )‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫לפי מבחן השוואה ‪ 1‬ושימוש באי השוויון (**)‪ ,‬נובע כי‬ ‫‪‬‬ ‫אם הטור (‪ )A‬מתכנס אזי הטור ה"קטן" ממנו ‪bn L   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫מתכנס אף הוא ולכן מתכנס גם הטור (‪.)B‬‬ ‫באופן דומה אם נשתמש באי השוויון‬ ‫‪an  bn L   ‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪***‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫ובמבחן השוואה ראשון נוכל להסיק כי מהתכנסות הטור‬ ‫(‪ ,)B‬השקולה להתכנסות הטור החיובי ‪bn L   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪,‬נובעת התכנסות הטור (‪.)A‬‬ ‫מש"ל‬ ‫‪‬‬ ‫‪22‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫מבחן השוואה ‪ -2‬הערות‬ ‫‪ )1‬שימו לב כי מקרים ב) ו‪-‬ג) במבחן השוואה ‪ 2‬פועלים‬ ‫רק בכיוון אחד!!‬ ‫כלומר‪ ,‬אם ‪ , L  ‬והטור (‪ )B‬מתכנס‪ ,‬אזי אין‬ ‫להסיק על התכנסות הטור (‪.)A‬‬ ‫באופן דומה אם ‪ , L  0‬והטור (‪ )A‬מתכנס‪ ,‬אין‬ ‫להסיק על התכנסות הטור (‪.)B‬‬ ‫‪23‬‬ ‫מבחני השוואה‪ ,‬המשך‬ ‫‪ )2‬ניתן בהחלט להשתמש במקרים ב) ו‪ -‬ג) במבחן‬ ‫השוואה ‪ 2‬על דרך השלילה‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫אם ‪ , L  0‬והטור (‪ )A‬מתבדר אזי הטור (‪)B‬‬ ‫מתבדר אף הוא‪.‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬אם ‪ , L  ‬והטור (‪ )B‬מתבדר‪ ,‬אזי‬ ‫הטור (‪ )A‬מתבדר אף הוא‪.‬‬ ‫‪ )3‬שימו לב למונה ולמכנה בגבול (‪.)1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ - 2‬דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬בדקו התכנסות הטור החיובי‬ ‫‪1‬‬ ‫נבחר לשם השוואה את הטור המתכנס ‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 3‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ lim  0‬‬ ‫‪n  b‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪n  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪25‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ , 2‬המשך דוגמאות‬ ‫קבלנו ‪ ( L  0‬מקרה ב' )‬ ‫ולכן לפי מבחן השוואה שני הטור הנתון מתכנס יחד‬ ‫‪‬‬ ‫עם הטור‬ ‫‪26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. 2‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ , 2‬המשך דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. sin‬‬ ‫דוגמא ‪ :2‬בדקו התכנסות הטור‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מתקיים ‪0  sin  sin 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נעיר כי לכל ‪1  n  ‬‬ ‫כלומר הטור הנו טור חיובי ולכן נוכל להשתמש במבחן‬ ‫השוואה ‪ 2‬לבדיקת התכנסות‪ /‬התבדרות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נבחר לשם השוואה את הטור ההרמוני המתבדר‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫‪27‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ , 2‬המשך דוגמאות‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin  ‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  b‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫קבלנו ‪ , 0  L  2  ‬לכן הטור הנתון‬ ‫מתבדר יחד עם הטור ההרמוני‪.‬‬ ‫‪28‬‬ ‫מבחן השוואה ‪ , 2‬המשך דוגמאות‬ ‫דוגמא ‪ :3‬נבדוק התכנסות הטור ‪n14  20n  1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1  2n ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫במקרים בהם האבר הכללי של הטור הנו ביטוי רציונלי‬ ‫של ‪ n‬עד כדי שורשים‪ ,‬כדאי לעשות בחירה "נבונה"‬ ‫של הטור להשוואה‪ .‬עושים זאת ע"י בחינת ההתנהגות‬ ‫האסימפטוטית ( גבולית ) של האיבר הכללי‪ .‬נדגים זאת‬ ‫כעת‪:‬‬ ‫‪29‬‬ ‫ המשך דוגמאות‬, 2 ‫מבחן השוואה‬ n14  20n  1 7 n14 n2 1 an    5  3  bn 5 5 n n n 1  2n  1 . 3 ‫ להשוואה את הטור המתכנס‬,‫אם כן‬,‫נבחר‬ n 1 n :‫מתקיים‬ 14 7 n  20n  1 5 an 1  1  2n  L  lim  lim  5 n  b n  1 3 2 n n 7 30 ‫מבחן השוואה ‪ , 2‬המשך דוגמאות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 L‬‬ ‫קבלנו ‪ ‬‬ ‫‪32‬‬ ‫לכן הטור הנתון מתכנס יחד עם הטור הנבחר לפי מבחן‬ ‫השוואה שני‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‬ ‫מבחני השוואה אלו מבוססים על השוואה עם הטור‬ ‫הגיאומטרי ‪ . q‬בשני המקרים נביא את הגרסא‬ ‫הרגילה ואת הגרסא הגבולית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן דלמבר )‬ ‫אם החל ממקום מסוים אברי הטור החיובי‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫מקיימים‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪ q 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫אזי הטור (‪ )1‬מתכנס‪.‬‬ ‫אם מתקיים‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אזי הטור מתבדר‪.‬‬ ‫ללא הוכחה‪.‬‬ ‫‪33‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫דוגמא‪ :‬נבדוק התכנסות הטור‬ ‫מתקיים‬ ‫‪2   1‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2   1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪2   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪4 n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2   1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 2   1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫הטור מתכנס!‬ ‫‪34‬‬ ‫‪‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫הערה‪ :‬במבחן דלמבר לא ניתן להחליף את אי השוויון‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‪ )2‬באי השוויון ‪ 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נראה דוגמאות שמחדדות את ההערה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הטור ‪  1‬מקיים את אי השוויון‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫אך הוא טור הרמוני מתבדר‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫‪1‬‬ ‫ואילו הטור ‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫שמקיים אף הוא את אי השוויון‬ ‫‪2‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫הנו טור מתכנס‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪ (  :‬מבחן דלמבר‪ -‬גרסא גבולית )‬ ‫יהי ‪  a n‬טור חיובי‪ .‬אם קיים הגבול‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪n  a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אזי אם‬ ‫א) ‪ , L  1‬הטור (‪ )1‬מתכנס‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫ב) ‪ , L  1‬הטור (‪ )1‬מתבדר‪.‬‬ ‫ג) ‪ , L  1‬לא ניתן להסיק על התבדרות‪/‬התכנסות‬ ‫הטור (‪ )1‬לפי מבחן זה‪.‬‬ ‫ללא הוכחה‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫מבחן דלמבר‪-‬דוגמאות‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬נבדוק התכנסות הטור‬ ‫!‪n 1 n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪n  a‬‬ ‫‪n  n  1! 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫!‪2  2 n  n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n  n!n  1  2‬‬ ‫‪n  n  1‬‬ ‫קבלנו ‪, L  0  1‬לכן לפי מבחן דלמבר הטור מתכנס‪.‬‬ ‫‪39‬‬ ‫ המשך דוגמאות‬,‫מבחן דלמבר‬  n n!b .b  R ,  n ‫ נבדוק התכנסות הטור‬:2 ‫דוגמא‬ n 1 n :‫מתקיים‬ n 1 n  an 1 n  1!b n L  lim  lim   n  1 n n  a n  n  1 n!b n n!n  1  b n  b  n n b  nn  lim  lim  n n n n   n  1  n  1  n!b n   n  1 b b  lim  n n  e 1  1   40 n  ‫מבחן דלמבר‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫כן‬ ‫אם‬ ‫‪,‬‬ ‫קבלנו‬ ‫‪e‬‬ ‫‪Lb‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫אם ‪ b  e‬אזי ‪ L  1‬והטור מתכנס לפי מ‪.‬דלמבר‪.‬‬ ‫אם ‪ b  e‬אזי ‪ L  1‬והטור מתבדר לפי מ‪.‬דלמבר‪.‬‬ ‫אם ‪ b  e‬אזי ‪ L  1‬ומ‪.‬דלמבר לא נותן תשובה‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫מבחן דלמבר‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫נעיר כי במקרה ‪, b  e‬שלגביו לא ניתן להכריע‬ ‫‪‬‬ ‫לפי מבחן דלמבר‪ ,‬מקבלים את הטור ‪n!e n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אנו טיפלנו כבר בטור זה ( תנאי הכרחי להתכנסות טור )‬ ‫וראינו כי הוא מתבדר כי מתקיים‬ ‫‪n!e n‬‬ ‫‪lim an  lim‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n  n‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן קושי )‬ ‫יהי ‪  a n‬טור חיובי‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫הטור מתכנס אם החל ממקום מסוים אברי הטור מקיימים‬ ‫‪an  q  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ומתבדר אם החל ממקום מסוים‬ ‫‪an  1‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫מבחני דלמבר וקושי‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן קושי – גרסא גבולית )‬ ‫‪‬‬ ‫טור חיובי ‪.‬אם קיים הגבול‬ ‫יהי‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪an  L‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪7 ‬‬ ‫אזי אם‬ ‫א) ‪ , L  1‬הטור מתכנס‪ .‬ב) ‪ , L  1‬הטור מתבדר‪.‬‬ ‫ג) ‪ L  1‬לא ניתן להסיק על התכנסות‪/‬התבדרות‬ ‫ללא הוכחה‪.‬‬ ‫הטור לפי מבחן זה‪.‬‬ ‫‪44‬‬ ‫מבחן קושי ‪ -‬דוגמאות‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬נבדוק התכנסות הטור‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim n n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫קבלנו ‪L  3  1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪ ,‬לכן הטור מתבדר לפי מ‪.‬קושי‪.‬‬ ‫מבחן קושי ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫דוגמא ‪ :2‬נבדוק התכנסות הטור‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n n  an ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4 n 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 n  4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכן לפי משפט הסנדויץ' ‪4‬‬ ‫‪an  1‬‬ ‫כלומר הטור מתכנס לפי מ‪.‬קושי‪.‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫מבחן קושי ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫דוגמא ‪ :3‬נבדוק לפי מ‪ .‬קושי התכנסות הטור‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n lim n n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫קבלנו ‪, L  1‬לכן מ‪.‬קושי אינו נותן תשובה על‬ ‫התכנסות הטור‪ .‬הוכחנו קודם ( קריטריון קושי ) כי‬ ‫הטור ההרמוני מתבדר‪.‬‬ ‫‪47‬‬ ‫מבחן האינטגרל‬ ‫ראינו כי מבחני דלמבר וקושי אינם מתאימים לבדיקת‬ ‫‪‬‬ ‫התכנסות טורי ‪ p‬מהצורה ‪1‬‬ ‫‪. p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫כעת נראה מבחן התכנסות לטורים חיוביים שנותן מענה‬ ‫לטורים מסוג זה‪.‬‬ ‫‪48‬‬ ‫מבחן האינטגרל‪ ,‬המשך‬ ‫משפט‪ ( :‬מבחן האינטגרל )‬ ‫יהי‬ ‫‪‬‬ ‫)‪  f ( n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫טור חיובי‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ו‪ f (n) -‬ערך הפונקציה ) ‪ f (x‬בנקודה ‪.x  n‬‬ ‫אם הפונקציה ) ‪f (x‬‬ ‫חיובית ומונוטונית לא עולה‬ ‫בקרן הימנית ‪, x  1‬‬ ‫‪49‬‬ ‫מבחן האינטגרל‪ ,‬המשך‬ ‫אזי הטור (‪ )1‬והאינטגרל הלא אמיתי‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x)dx‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתכנסים או מתבדרים יחדיו‪.‬‬ ‫ללא הוכחה‪.‬‬ ‫‪50‬‬ ‫מבחן האינטגרל‪-‬הערה‬ ‫אם הפונקציה ) ‪ f (x‬חיובית ומונוטונית לא עולה בקרן‬ ‫הימנית ‪ , x  m‬אזי יש לחקור את הטור (‪)1‬‬ ‫‪‬‬ ‫והאינטגרל‬ ‫‪3  f ( x)dx‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪51‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ -‬דוגמאות‬ ‫דוגמא ‪ :1‬נבדוק התכנסות טור ‪p  0 , p‬‬ ‫נסמן ‪p  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; ‪f ( x)  p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; ‪. p‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫ונבדוק שמתקיימים תנאי מבחן האינטגרל‪:‬‬ ‫‪ f (x ) (1‬פונקציה חיובית לכל ‪ x  1‬ו‪. p  0 -‬‬ ‫‪ f (x ) (2‬פונקציה מונוטונית יורדת לכל ‪, p  0‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫כי ‪ x‬‬ ‫פונקציה מונוטונית עולה לכל‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫‪ , p  0 , x  1‬לכן הטור מתכנס ומתבדר יחד עם‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫האינטגרל הלא אמיתי ‪1 x p dx‬‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0  P 1‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪dx   p  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫מכאן נסיק כי טור ‪p  0 p‬‬ ‫מתכנס עבור ‪, p  1‬‬ ‫ומתבדר עבור ‪.0  p  1‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫; ‪, p‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫דוגמא ‪ :2‬נבדוק התכנסות הטור ‪p  0‬‬ ‫נסמן ‪p  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫;‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n  2 n ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. f ( x) ‬‬ ‫;‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x ln x‬‬ ‫לכל ‪ , p  0 , x  2‬הפונקציה ) ‪ f (x‬חיובית‬ ‫ומונוטונית יורדת ‪ ( .‬כי ‪ x, ln x‬חיוביות ומונוטוניות‬ ‫עולות בקטע‪) .‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫לכן‪ ,‬לפי מבחן האינטגרל‪ ,‬הטור הנתון מתכנס או מתבדר‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יחד עם האינטגרל הלא אמיתי ‪dx‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ראיתם בתרגיל הבית כי אינטגרל זה מתכנס עבור ‪, p  1‬‬ ‫ומתבדר עבור ‪ .0  p  1‬וכך נוהג גם הטור‪.‬‬ ‫‪56‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫דוגמא ‪ :3‬נבדוק התכנסות הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ne‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ , f ( x) ‬ונבדוק קיום תנאי מבחן‬ ‫נסמן‬ ‫‪xe‬‬ ‫האינטגרל‪:‬‬ ‫‪ (1‬הפונקציה ) ‪ f (x‬חיובית לכל ‪, x  1‬‬ ‫‪ (2‬הפונקציה ) ‪ f (x‬מונוטונית יורדת לכל ‪, x  1‬‬ ‫( כי ‪ x, e x‬מונוטוניות עולות לכל ‪) .x  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪57‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫או מתבדר‬ ‫מתכנס‬ ‫הנתון‬ ‫הטור‬ ‫‪,‬‬ ‫האינטגרל‬ ‫מבחן‬ ‫לפי‬ ‫‪,‬‬ ‫לכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫יחד עם האינטגרל הלא אמיתי‬ ‫‪.I  ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נבדוק‪ ,‬אם כן התכנסות האינטגרל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I ‬‬ ‫‪dx  lim ‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪xe‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2 2 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  blim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ lim  x‬‬ ‫‪b ‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫מבחן האינטגרל ‪ ,‬המשך דוגמאות‬ ‫‪2‬‬ ‫קבלנו ‪dx ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xe‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , I  ‬כלומר האינטגרל‬ ‫‪1‬‬ ‫הלא אמיתי מתכנס ויחד עמו מתכנס גם הטור הנתון‪.‬‬ ‫‪59‬‬