‫טורי טיילור ומקלורן‬ ‫ניזכר בקטע הבא מתוך תיאורמה ‪) 19‬גזירה של טורי חזקות(‪:‬‬ ‫תיאורמה ‪ :19‬תיאורמת הגזירה של טורי חזקות‬ ‫ ‬ ‫∑ מתכנס באינטרוול ‪, − < < +‬‬ ‫אם טור החזקות ) ‪ ∙ ( −‬‬ ‫אז הוא מגדיר פונקציה‪:‬‬ ‫ ‬ ‫∑ = )( באינטרוול זה ‪.‬‬ ‫ ) ‪ ∙ ( −‬‬ ‫בתוך האינטרוול )אינטרוול ההתכנסות( ישנן לפונקציה )( נגזרות מכל הסדרים‪.‬‬ ‫∑‬ ‫מעניין אם גם ההיפך נכון‪:‬‬ ‫האם פונקציה )( אשר לה נגזרות מכל הסדרים באינטרוול שמרכזו = ‪ ,‬מגדירה טור חזקות ) ‪∙ ( −‬‬ ‫באינטרוול זה ? התשובה היא בקיצור ‪ -‬כן‪ .‬יופי‪ ,‬אבל אם כך נשאלות שתי שאלות נוספות‪:‬‬ ‫ ‬ ‫∑‬ ‫ ‬ ‫‪ .1‬מה יהיו מקדמי הטור ) ( ? תשובה‪ :‬ראה מסגרת מתחת‪.‬‬ ‫‪ .2‬האם הטור יתכנס ל‪ () -‬בכל נקודה שבתוך האינטרוול ? תשובה‪ :‬בפונקציות מסוימות כן‪ ,‬ובאחרות לא‪.‬‬ ‫הגדרות‬ ‫טור טיילור ‪ ,‬טור מקלורן‬ ‫תהי פונקציה עם נגזרות מכל הסדרים באינטרוול כלשהו המכיל את כנקודה פנימית ‪.‬‬ ‫או אז‪ ,‬טור טיילור של בנקודה = הינו ‪:‬‬ ‫)( )(‬ ‫)( ‬ ‫)( ) (‬ ‫‪∙ ( − ) = () + () ∙ ( − ) +‬‬ ‫‪∙ ( − ) + ⋯ +‬‬ ‫⋯ ‪∙ ( − ) +‬‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫טור מקלורן של הינו למעשה טור טיילור של בנקודה = ‪:‬‬ ‫ )( )(‬ ‫ )( ‬ ‫ )( ) (‬ ‫‪∙ = () + () ∙ +‬‬ ‫‪∙ + ⋯+‬‬ ‫⋯‪∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫דוגמה מהספר )עמ' ‪ : (807‬מצא את טור טיילור של = )( ב‪ . = -‬היכן‪ ,‬אם בכלל‪ ,‬מתכנס הטור ל‪-‬‬ ‫פיתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫?‬ ‫‬ ‫ = = )( >= = )(‬ ‫‬ ‫‬ ‫)(‬ ‫ ‪ = − => () = − = −‬‬ ‫‬ ‫ = =‬ ‫‬ ‫"‪= −" = −‬‬ ‫)( ) (‬ ‫ )(‬ ‫‪ = (−) ∙ ( #) = $‬‬ ‫! ‬ ‫!!‬ ‫)(‬ ‫!‬ ‫!!!‬ ‫)(‬ ‫!‬ ‫‬ ‫)(‬ ‫ >= ! = ‬ ‫"‬ ‫‬ ‫ >= ‬ ‫ ! ‪() = −‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ >= )‪( ) () = (−) ∙ ! ∙ ( #‬‬ ‫הנוסחה לטור טיילור היא ‪:‬‬ ‫)( )(‬ ‫)( ‬ ‫)( ) (‬ ‫ ‪∙ ( − ) = () + () ∙ ( − ) +‬‬ ‫ ‪∙ ( − ) + ⋯ +‬‬ ‫⋯ ‪∙ ( − ) +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ולפיכך טור טיילור של = )( ב‪ = -‬הוא ‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪(−‬‬ ‫ )‪(−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫∙‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫)‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪…+‬‬ ‫‬ ‫⋯ ‪∙ ( − ) +‬‬ ‫‪ #‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫"‬ ‫‪ #‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫זהו טור הנדסי שבו = ו‪ . & = − ( − ) -‬הוא מתכנס באופן מוחלט עבור < | ‪. |&| < => | −‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫סכום הטור הינו )כצפוי( )( = = ‪ = #‬‬ ‫*‬ ‫‬ ‫‬ ‫)( ‪#‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫& = → (‬ ‫=‬ ‫‬ ‫אם כך‪ ,‬טור החזקות שמגדירה הפונקציה = )( ב‪ , = -‬מתכנס ל‪ () -‬עבור < | ‪ ,| −‬ז"א עבור " < < ‪.‬‬ ‫בהקשר פרטי זה ניזכר לרגע בשאלה ‪ 2‬מראש הפרק ובתשובה שניתנה לה אז ‪:‬‬ ‫‬ ‫לפונקציה = )( ישנן נגזרות מכל הסדרים באינטרוול " < < שמרכזו = ‪ ,‬לכן היא מגדירה טור חזקות‬ ‫באינטרוול זה‪ .‬האם הטור מתכנס ל‪ () -‬בכל נקודה שבתוך האינטרוול ? אכן כן‪ ,‬במקרה זה‪.‬‬ ‫פולינומי טיילור‬ ‫לינאריזציה של פונקציה גזירה בנקודה ‪ ,‬היא הפולינום ממעלה ראשונה ) ‪. + () = () + () ∙ ( −‬‬ ‫אם ישנן ל‪ -‬נגזרות מסדר גבוה יותר בנקודה ‪ ,‬אז יש לה בהתאמה גם קירובים פולינומיאליים מסדרים גבוהים יותר‪.‬‬ ‫פולינומים אלה מכונים פולינומי טיילור של ‪.‬‬ ‫הגדרה‬ ‫פולינום טיילור מסדר ‬ ‫תהי פונקציה עם נגזרות מסדר ‪ , = , , … , - ,‬באינטרוול כלשהו המכיל את כנקודה פנימית ‪.‬‬ ‫או אז לכל שלם ‪ , ≤ ≤ - ,‬הפולינום טיילור מסדר של בנקודה = הינו ‪:‬‬ ‫)( ‬ ‫)( )(‬ ‫)( ) (‬ ‫‬ ‫‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪∙ − +⋯+‬‬ ‫‪∙ − +⋯+‬‬ ‫ ) ‪∙ ( −‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‪+ () = () + () ∙ ( − ) +‬‬ ‫ממש כשם שלינאריזציה של בנקודה מהווה את הקירוב הליניארי המיטבי שיש ל‪ -‬בקרבת הנקודה ‪ ,‬כך פולינומי‬ ‫טיילור מסדרים גבוהים יותר מהווים את הקירובים הפולינומיאליים המיטביים שיש ל‪ -‬מהמעלות המתאימות להם‪.‬‬ ‫דוגמה מהספר )עמ' ‪ : (808‬מצא את טור מקלורן של ‪ () = /‬ואת פולינום טיילור שלה )ב‪ = -‬כמובן(‪.‬‬ ‫פיתרון‪:‬‬ ‫מאחר שהנגזרת מסדר של פונקציה זו היא ‪ , ( ) () = /0‬מתקבל = ‪ ( ) () = /‬ללא תלות בסדר הנגזרת ‪.‬‬ ‫הנוסחה לטור מקלורן היא ‪:‬‬ ‫ )( )(‬ ‫ )( ‬ ‫)( ‬ ‫ )( ) (‬ ‫ ‪∙ = () + () ∙ +‬‬ ‫‪∙ +‬‬ ‫ ‪∙ + …+‬‬ ‫⋯ ‪∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ולפיכך טור מקלורן של ‪ () = /0‬הוא ‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫⋯ ‪∙ = + + ∙ + ∙ + …+ ∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫גם כאן ניזכר לרגע בשאלה ‪ 2‬מראש הפרק‪:‬‬ ‫לפונקציה ‪ () = /0‬ישנן נגזרות מכל הסדרים באינטרוול ∞ < < ∞‪ −‬שמרכזו = ‪ ,‬לכן היא מגדירה טור חזקות‬ ‫באינטרוול זה‪ .‬האם הטור מתכנס ל‪ () -‬בכל נקודה שבתוך האינטרוול ? אכן כן‪ ,‬גם במקרה זה‪.‬‬ ‫פולינום טיילור מסדר של הפונקציה ‪ () = /0‬ב‪ = -‬הינו‪:‬‬ ‫הגרף של ‪) () = /0‬כחול( ופולינומי טיילור שלו ‪:‬‬ ‫ורוד )קירוב ליניארי(‬ ‫‬ ‫ירוק‬ ‫כתום‬ ‫∙‬ ‫‬ ‫!‬ ‫ ‪+ () = +‬‬ ‫ ∙ ! ‪+ () = + +‬‬ ‫‬ ‫‪+ () = + + ! ∙ +‬‬ ‫שימו לב לקירוב הטוב שמושג בקרבת המרכז = ‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ∙ ! ‪+ () = + + ! ∙ + ! ∙ + ⋯ +‬‬ ‫דוגמה מהספר )עמ' ‪ : (809‬מצא את טור מקלורן של ‪ () = 23‬ואת פולינום טיילור שלה )ב‪ = -‬כמובן(‪.‬‬ ‫פיתרון‪:‬‬ ‫ ‪() = 23 () = − 23 (") () = 23( ) () = (−) 23‬‬ ‫‬ ‫ ‪ () = − 34 () = 34 (5) () = − 34 ( #) () = (−) # 34‬‬ ‫הנגזרת מסדר זוגי של פונקציה זו היא ‪ , ( ) () = (−) 23‬ומסדר אי‪-‬זוגי ‪. ( #) () = (−) # 34‬‬ ‫ )‪( ) () = (−) 23 = (−‬‬ ‫עבור = מתקבל‬ ‫‪,‬‬ ‫ = ‪( #) () = (−) # 34‬‬ ‫הנוסחה לטור מקלורן היא ‪:‬‬ ‫ )( )(‬ ‫ )( ‬ ‫)( ‬ ‫ )( ) (‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪∙ = () + () ∙ +‬‬ ‫‪∙ +‬‬ ‫ ‪∙ + …+‬‬ ‫⋯ ‪∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ולפיכך טור מקלורן של ‪ () = 23‬הוא ‪:‬‬ ‫ )‪(−‬‬ ‫ )‪(−‬‬ ‫ ‬ ‫" ‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‪∙ = + ∙ − ∙ + ∙ + ∙ + ∙ − ∙ + …+‬‬ ‫⋯ ‪∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!"‬ ‫!‪6‬‬ ‫!) (‬ ‫!)( ‬ ‫‬ ‫‬ ‫לגבי שאלה ‪ 2‬מראש הפרק‪ ,‬גם כאן הטור מתכנס ל‪ () -‬בכל נקודה שבתוך האינטרוול ∞ < < ∞‪ −‬אשר מרכזו = ‪.‬‬ ‫בשל היות = )( )‪ , ( #‬פולינומי טיילור מסדרים זוגיים ) ( ואי‪-‬זוגיים ) ‪ ( +‬הינם זהים ‪:‬‬ ‫ )‪(−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‪∙ + ∙ " − ∙ 6 + …+‬‬ ‫∙‬ ‫!"‬ ‫!‪6‬‬ ‫!) (‬ ‫!‬ ‫ ‪+ () = + # () = −‬‬ ‫באיור ניתן לראות באיזו מידה מהווים פולינומים אלה קירוב של ‪ () = 23‬בקרבת = ‪.‬‬ ‫בשל היותם סימטריים לציר ‪ , 7‬מוצג רק חלקם הימני של הגרפים כדי לחסוך במקום‪.‬‬ ‫הפולינומים ∙‬ ‫)(‬ ‫!)(‬ ‫∑ = )( ‪ +‬מתכנסים ל‪ 23 -‬כאשר ∞ → ‪.‬‬ ‫‬ ‫אנו יכולים להסיק כיצד מתנהג ‪ 23‬במרחק רב מהראשית על סמך ידיעת ערכו וערך נגזרותיו ב‪!!! = -‬‬ ‫דוגמה לפונקציה אשר טור מקלורן שהיא מגדירה אינו מתכנס לערך הפונקציה )למעט כאשר = ( ‪:‬‬ ‫; = ‪,‬‬ ‫‬ ‫ ≠ ‪/⁄ ,‬‬ ‫‪() = 8‬‬ ‫ניתן להראות שבכל ישנן לפונקציה זו נגזרות מכל הסדרים‪ ,‬ושב‪ = -‬כולן שוות ל‪. 0 -‬‬ ‫בקרבת = הגרף כ"כ שטוח‬ ‫עד שכל הנגזרות מתאפסות‪.‬‬ ‫הנוסחה לטור מקלורן היא‪:‬‬ ‫ )( )(‬ ‫ )( ‬ ‫)( ‬ ‫ )( ) (‬ ‫ ‪∙ = () + () ∙ +‬‬ ‫‪∙ +‬‬ ‫ ‪∙ + …+‬‬ ‫⋯ ‪∙ +‬‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫!‬ ‫! ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ולאור העובדה שב‪ = -‬מתאפסות כל הנגזרות נקבל ‪:‬‬ ‫ )( )(‬ ‫⋯ ‪∙ = + ∙ + ∙ + ∙ + …+ ∙ +‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‬ ‫שוב‪ ,‬כפי שעשינו בדוגמאות הקודמות‪ ,‬נבחן את המקרה הפרטי דנן בהקשר של שאלה ‪ 2‬מראש הפרק ‪:‬‬ ‫; = ‪,‬‬ ‫‪ () = 8 ⁄‬ישנן נגזרות מכל הסדרים באינטרוול ∞ < < ∞‪ −‬שמרכזו = ‪ ,‬לכן היא‬ ‫לפונקציה‬ ‫‪/‬‬ ‫ ≠ ‪,‬‬ ‫מגדירה טור חזקות באינטרוול זה‪ .‬האם הטור מתכנס ל‪ () -‬בכל נקודה שבתוך האינטרוול ?‬ ‫ממש לא! הטור מתכנס אומנם )ל‪ (0 -‬עבור כל ‪ ,‬אבל מתכנס לערך הפונקציה רק כאשר = ‪.‬‬ ‫לסיכום פרק זה ננסח מחדש את שאלה ‪ 2‬שבראש הפרק ‪:‬‬ ‫עבור אילו ערכים של מצופה מטור טיילור להתכנס לערכי הפונקציה אשר מגדירה אותו ?‬ ‫נשאל גם שאלה נוספת‪ ,‬בקשר לקירובים פולינומיאליים של פונקציות ‪:‬‬ ‫באינטרוול נתון כלשהו‪ ,‬באיזו מידה מהווים פולינומי טיילור קירוב של הפונקציה ?‬ ‫התשובות לשאלות אלה ניתנות באמצעות תיאורמה של טיילור אשר תוצג בפרק הבא‪.‬‬ ‫‬