07 שיעור – אנליזה נומרית

‫‪Kiril Solovey‬‬
‫אנליזה נומרית – שיעור ‪07‬‬
‫דוגמאות למקרים שבהם נתקלית במטריצות גדולות במיוחד‬
‫נגזרת שניה ‪ -‬חד ממדי‬
‫ = ‪1‬‬
‫‪0 = ,‬‬
‫‪ ∈ 0,1,‬‬
‫ ‬
‫‪= = ,‬‬
‫ ‬
‫‬
‫נתבונן בטקע ‪ 0,1‬ונגדיר עליו רשת‪ ,‬כאשר לכל ‪ j‬נגדיר ‪ = ∙ ℎ‬ו‪) ℎ = -‬עבור ‪ N‬גדול(‪.‬‬
‫נסמן הנגזרת השניה‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫ ‪ − 2 + ! " + #ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫כלומר ניתן לחשב נגזרת שניה לכל נקודה על פי הנוסחה הזו‪.‬‬
‫= ‬
‫נחפש מטריצה שבעזרתה נמצא את האופרטור של הנגזרת השניה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪−2 1‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋱‬
‫⋱‬
‫⋱‬
‫& ‪1‬‬
‫&*‬
‫& * &‪* 1‬‬
‫*‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫∙‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪1 −2 1‬‬
‫) ‬
‫‪%‬‬
‫)‬
‫‪%‬‬
‫)‬
‫‪%‬‬
‫)‬
‫‪%‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ℎ‬‬
‫‪ℎ‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋱ ⋱ ⋱‬
‫‬
‫‬
‫‪+,,,,,,,-,,,,,,,.‬‬
‫( ‪1 −2( $‬‬
‫‪$‬‬
‫( ‪$ ( $‬‬
‫במקרה הדו‪-‬ממדי‪:‬‬
‫×‬
‫‬
‫⋮‬
‫* ‪& ,‬‬
‫ ‪%‬‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫)‬
‫‪=%‬‬
‫⋮‬
‫‪%‬‬
‫)‬
‫) ‪% ,‬‬
‫⋮‬
‫( ‪$,‬‬
‫‪4 = , 24 ,‬‬
‫‪1 , 2 = + 33 = , 2,‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫" ‪+ ,4 + ,4! + ,4 − 4,4‬‬
‫‪ℎ !,4‬‬
‫= ‪1 4‬‬
‫הפעם נקבל מטריצה בגודל ‪ 6 × 6‬עם ‪ 5‬איברים בלבד בכל שורה‪ ,‬כלומר מטריצה דלילה‪.‬‬
‫שיטות לפתרון מערכת משוואות גדולה במיוחד‬
‫∗ ‪ Q ,7 = 8 ∙ 9 ∙ 8‬אוניטרית ‪ T ,‬משולשית עליונה‪.‬‬
‫‪Schur’s Factorization‬‬
‫הוכחת קיום באינדוקציה )כלומר לכל ‪ A‬קיים פרוק כזה(‪:‬‬
‫עבור ‪ 6 ≥ 2‬נבחר ע"ע שיש לו ו"ע‪ ,‬ונבנה מטריצה אוניטרית ‪ U‬כך שהו"ע הוא העמודה הראשונה‪) .‬ו"ע מנורמל(‬
‫? >‬
‫אז מתקיים‪A :‬‬
‫@ ‪0‬‬
‫לפי הנחת האינדוקציה ל‪ C-‬יש פרוק ∗ ‪ @ = B9B‬כאשר ‪ V‬אוניטרית‪ T ,‬משולשית עליונה‪.‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪> ?C‬‬
‫= = ‪∎ 8 ∗ 78‬‬
‫נגדיר‪A :‬‬
‫= < = ‪ 8‬ואז ‪A‬‬
‫‪0 B‬‬
‫‪0 9‬‬
‫= = <‪< ∗ 7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Kiril Solovey‬‬
‫רדיוס ספקטרלי ‪ > ,E7 = FGH,…, J> J . E7 -‬ע"ע של ‪ E7 .A‬לא נורמה!‬
‫רדיוס ספקטרלי‬
‫טענה‪ ,E7 ≤ L7L :‬זאת מאחר ולכל ע"ע מתקיים‪:‬‬
‫‪J> J ∙ MC M = M> C M = M7C M ≤ L7L ∙ MC M‬‬
‫‪J> J ≤ L7L ⟹ E7 ≤ L7L‬‬
‫לכל סדר מטריצה ‪ (7 ∈ ℂP×P ) n‬ולכל ‪ Q > 0‬קיימת נורמה ‪ L7L‬כך ש‪.E7 ≤ L7L ≤ E7 + Q :‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫הוכחה‪ :‬מפרוק ‪ Schur‬קיימת מטריצה ‪ P‬כך ש‪ S7S = ? = T + <-‬כאשר ‪ P‬אוניטרית‪ B ,‬משולשית עליונה ו‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫⋱‬
‫‪0‬‬
‫‪.? = U‬‬
‫‪+‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ T‬אלכסונית‪ B .‬מוגדרת כך‪V :‬‬
‫‪U‬‬
‫⋱‬
‫⋱‬
‫‪+,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,-,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,.‬‬
‫‪+,‬‬
‫‪,.‬‬
‫‪0‬‬
‫⋱‬
‫‪0 ,,-,,0‬‬
‫*‬
‫יהיה ‪ Z‬קטן מספיק‪ ,‬נגדיר‪) :‬‬
‫‪0‬‬
‫(⋱‬
‫[<[ ‪= [T[ +‬‬
‫‪+,-,‬‬
‫נתבונן ב‪. -‬‬
‫]‬
‫‪Y‬‬
‫⋱‬
‫‬
‫ ‪1/Z‬‬
‫‪W‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1/Z‬‬
‫&‬
‫‪[=%‬‬
‫‪$0‬‬
‫[?[ = @‪ ,‬בעצם ‪= T‬‬
‫[‬
‫∙ ‪ [ ∙ T‬ולכן ‪= T‬‬
‫‪0, ≤ a‬‬
‫‪ E‬מגודרת כך‪b :‬‬
‫` = ‪ .^ = _X‬לכן ‪ _X‬קטן כרצוננו‪ .‬לפיכך‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X Z , > a‬‬
‫‬
‫[‪.[T‬‬
‫‪⋆ 7 = S ∙ [ ∙ @ ∙ [ ∙ S‬‬
‫המטריצה ‪ – DP‬לא סינגולרית ולכן נוכל להגדיר נורמה‪:‬‬
‫∗ ∗‬
‫‪MM = d, S‬‬
‫‪+,-,.‬‬
‫‪[ [S f = d[S, [Sf‬‬
‫‪e‬‬
‫כי ‪ H‬הרמיטית ומוגדרת חיובית‪ .‬כמו כן נגדיר ‪.L7L = FGL3LH L72L‬‬
‫אבל‪:‬‬
‫נסמן ‪ g = [S2‬ונציב‪:‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‬
‫⋆‬
‫‪L72L = d[S72, [S72f = d@[S2, @[S2f‬‬
‫‪L72L = d@g, @gf = dg, @ ∗ @gf‬‬
‫‪hZ‬‬
‫‪+-.‬‬
‫‪ijklX mXkn ioipolqrs‬‬
‫‪@ ∗ @ = T∗ + ^ ∗ T + ^ = T∗ T +‬‬
‫‪d@g, @gf ≤ FG =J> J g gA + dg, hZgf ≤ E 7 + tZ ∙ g ∗ g‬‬
‫נבחר ‪ Z‬רגיש ‪.tZ < Q‬‬
‫∗ ‬
‫‬
‫‪1 = L2L = d[S2, [S2f = dg, gf = g ∗ g = 1‬‬
‫‬
‫‪⟹ L7L ≤ E 7 + tZ = E7 + tZ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Kiril Solovey‬‬
‫‪w∈ℂ‬‬
‫‪ v7‬מתכנסת למטריצה ‪ A‬או ‪− 7M = 0‬‬
‫‪.xaF4→z M7‬‬
‫הגדרה‬
‫‪P×P‬‬
‫משפט‬
‫‪xaF4→z 7 = 0 ⟺ E7 < 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪∑z‬‬
‫}‬
‫‪ ∑z‬מתכנס אמ"מ ‪ E7 < 1‬ואז ‪= − 7‬‬
‫הטור‬
‫‪4H 7‬‬
‫‪4H 7‬‬
‫הסדרה‬
‫‪.I‬‬
‫‪.II‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ E7 < 1‬אז ‪ } − 7‬הפיכה ומתקיים‬
‫‪.III‬‬
‫‬
‫‪L~L‬‬
‫‪4‬‬
‫≤ ‪≤ L} − 7 L‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫⟸‪ - E7 < 1 :‬קיימת נורמה ‪ L7L < E7 + Q < 1‬ואז ‪< 1‬‬
‫‪.I‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫כאשר ∞ → € אז ‪ L7L → 0‬וגם ‪ M7 M → 0‬ולכן ‪.7 → 0‬‬
‫‪L7L4‬‬
‫≤ ‪.M7 M‬‬
‫‪4‬‬
‫⟹‪ xaF4→z 74 = 0 :‬ו‪ >-‬ע"ע של ‪ x ,A‬ו"ע אז ‪.74 = >4‬‬
‫לכן ‪ ,xaF4→z >4 = 0‬כלומר ‪ |>| < 1‬ולכן ‪.E7 < 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ } − 7 +,,,,,,-,,,,,,.‬מאחר ו‪.xaF4→z 7 = 0-‬‬
‫ !‪} + 7 + 7 + ⋯ + 74 = } − 74‬‬
‫‪.II‬‬
‫„‬
‫…∑‬
‫~ ‡†„‬
‫לכן‬
‫‪.III‬‬
‫‬
‫‪!L~L‬‬
‫‬
‫‬
‫‪xaF } − 7 ˆ 74 = } ⟹ ˆ 74 = } − 7‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪≤ 1 + L7L ∙ L} − 7‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫בחזרה ל‪Š‹ = Œ-‬‬
‫תהי סידרה ‪= ? 4 +‬‬
‫‪ L‬‬
‫‰‪4H‬‬
‫‰‪4H‬‬
‫‪≤ L} − 7L ∙ L} − 7‬‬
‫הגדרה‬
‫התהליך ‪+‬‬
‫? =‬
‫‪} = } − 7 + 7 ⟹ } − 7 = } + 7} − 7‬‬
‫‪⟹ L} − 7 L ≤ 1 + L7L ∙ L} − 7 L‬‬
‫‪⟹ L} − 7 L ∙ 1 − L7L ≤ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫≤ ‪⟹ L} − 7 L‬‬
‫∎‬
‫‪1 − L7L‬‬
‫!‪4‬‬
‫ ‪,‬‬
‫‰‬
‫‪ B .‬נקראת ‪.Iteration Matrix‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪. = } − ? +‬‬‫‪7 .‬‬
‫ נקרא קונסיסטנטי עם  = ‪ 7‬אם ‬
‫יהי התהליך ‪+‬‬
‫משפט‬
‫? =‬
‫‰ אמ"מ ‪.E? < 1‬‬
‫!‪4‬‬
‫‬
‫‬
‫נגדיר את השגיאה ‪._ 4 = 4 −‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 = L}L = L} − 7} − 7‬‬
‫‪1‬‬
‫⟹‬
‫‪≤ L} − 7 L‬‬
‫‪1 + L7L‬‬
‫‪ L‬‬
‫אם = ‪ ,xaF4→z 4‬אז בגבול ‪ = ? +‬ולכן ? ‪. = } −‬‬
‫‬
‫‪→z‬‬
‫ קונסיסטנטי עם  = ‪ ,7‬אז הסידרה ‪w‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ v‬תתכנס לפיתרון של  = ‪ 7‬לכל‬
‫‪Kiril Solovey‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫לכן ‰ _ ‪ _ 4 = ? 4‬וכמו כן‪:‬‬
‫_? =‬
‫!‪4‬‬
‫_ ⟹ ‪+ , = ? +‬‬
‫‪4‬‬
‫? =‬
‫‪E? < 1 ⟺ ∀_ ‰ . xaF ? 4 _ ‰ = 0‬‬
‫‪4→z‬‬
‫אם ‪ E? ≥ 1‬קיים ‪ .|>| ≥ 1‬נבחר את ‰ _ ו"ע המתאים‪:‬‬
‫‪xaF ?4 _ ‰ = xaF >4 _ ‰ ≠ 0‬‬
‫‪4→z‬‬
‫‪4→z‬‬
‫ = ‪7‬‬
‫‪7=6−S‬‬
‫ = ‪6 − S‬‬
‫ ‪6 = S +‬‬
‫‬
‫‬
‫‪=6‬‬
‫‪+-.‬‬
‫‪S+6‬‬
‫‪+-.‬‬
‫‬
‫’‬
‫נגדיר את התהליך האיטרטיבי‪:‬‬
‫ ‪ 4! = ? 4 +‬‬
‫נבחר את ‪ N‬כאלכסון של ‪.A‬‬
‫‬
‫[ ‬
‫[=‬
‫‪+-.‬‬
‫[‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪7 P‬‬
‫‪+,‬‬
‫‪,,-,‬‬
‫‪,,.‬‬
‫דוגמא‪ :‬שיטת ‪Jacobi‬‬
‫‘‬
‫’‬
‫‘‬
‫!‪P‬‬
‫‪ D ,‬האלכסון של ‪.A‬‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫• ‪“ − ˆ G P‬‬
‫ ‪G44 4 „†‡ 4‬‬
‫…”„‬
‫‪4‬‬
‫!‪P‬‬
‫‪4‬‬
‫!‪4‬‬
‫‬