07 שיעור – אנליזה נומרית
Kiril Solovey אנליזה נומרית – שיעור 07 דוגמאות למקרים שבהם נתקלית במטריצות גדולות במיוחד נגזרת שניה -חד ממדי = 1 0 = , ∈ 0,1, = = , נתבונן בטקע 0,1ונגדיר עליו רשת ,כאשר לכל jנגדיר = ∙ ℎו) ℎ = -עבור Nגדול(. נסמן הנגזרת השניה ,אז: 1 − 2 + ! " + #ℎ ℎ כלומר ניתן לחשב נגזרת שניה לכל נקודה על פי הנוסחה הזו. = נחפש מטריצה שבעזרתה נמצא את האופרטור של הנגזרת השניה. −2 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ & 1 &* & * &* 1 * 0 ∙ + = 1 −2 1 ) % ) % ) % ) % ℎ ℎ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ +,,,,,,,-,,,,,,,. ( 1 −2( $ $ ( $ ( $ במקרה הדו-ממדי: × ⋮ * & , % ) , ) =% ⋮ % ) ) % , ⋮ ( $, 4 = , 24 , 1 , 2 = + 33 = , 2, 1 " + ,4 + ,4! + ,4 − 4,4 ℎ !,4 = 1 4 הפעם נקבל מטריצה בגודל 6 × 6עם 5איברים בלבד בכל שורה ,כלומר מטריצה דלילה. שיטות לפתרון מערכת משוואות גדולה במיוחד ∗ Q ,7 = 8 ∙ 9 ∙ 8אוניטרית T ,משולשית עליונה. Schur’s Factorization הוכחת קיום באינדוקציה )כלומר לכל Aקיים פרוק כזה(: עבור 6 ≥ 2נבחר ע"ע שיש לו ו"ע ,ונבנה מטריצה אוניטרית Uכך שהו"ע הוא העמודה הראשונה) .ו"ע מנורמל( ? > אז מתקייםA : @ 0 לפי הנחת האינדוקציה ל C-יש פרוק ∗ @ = B9Bכאשר Vאוניטרית T ,משולשית עליונה. 1 0 > ?C = = ∎ 8 ∗ 78 נגדירA : = < = 8ואז A 0 B 0 9 = = << ∗ 7 1 Kiril Solovey רדיוס ספקטרלי > ,E7 = FGH,…, J> J . E7 -ע"ע של E7 .Aלא נורמה! רדיוס ספקטרלי טענה ,E7 ≤ L7L :זאת מאחר ולכל ע"ע מתקיים: J> J ∙ MC M = M> C M = M7C M ≤ L7L ∙ MC M J> J ≤ L7L ⟹ E7 ≤ L7L לכל סדר מטריצה (7 ∈ ℂP×P ) nולכל Q > 0קיימת נורמה L7Lכך ש.E7 ≤ L7L ≤ E7 + Q : משפט: הוכחה :מפרוק Schurקיימת מטריצה Pכך ש S7S = ? = T + <-כאשר Pאוניטרית B ,משולשית עליונה ו- 0 X ⋱ 0 .? = U + V Tאלכסונית B .מוגדרת כךV : U ⋱ ⋱ +, , ,-, , ,. +, ,. 0 ⋱ 0 ,,-,,0 * יהיה Zקטן מספיק ,נגדיר) : 0 (⋱ [<[ = [T[ + +,-, נתבונן ב. - ] Y ⋱ 1/Z W 1 1/Z & [=% $0 [?[ = @ ,בעצם = T [ ∙ [ ∙ Tולכן = T 0, ≤ a Eמגודרת כךb : ` = .^ = _Xלכן _Xקטן כרצוננו .לפיכך: X X Z , > a [.[T ⋆ 7 = S ∙ [ ∙ @ ∙ [ ∙ S המטריצה – DPלא סינגולרית ולכן נוכל להגדיר נורמה: ∗ ∗ MM = d, S +,-,. [ [S f = d[S, [Sf e כי Hהרמיטית ומוגדרת חיובית .כמו כן נגדיר .L7L = FGL3LH L72L אבל: נסמן g = [S2ונציב: לכן: ⋆ L72L = d[S72, [S72f = d@[S2, @[S2f L72L = d@g, @gf = dg, @ ∗ @gf hZ +-. ijklX mXkn ioipolqrs @ ∗ @ = T∗ + ^ ∗ T + ^ = T∗ T + d@g, @gf ≤ FG =J> J g gA + dg, hZgf ≤ E 7 + tZ ∙ g ∗ g נבחר Zרגיש .tZ < Q ∗ 1 = L2L = d[S2, [S2f = dg, gf = g ∗ g = 1 ⟹ L7L ≤ E 7 + tZ = E7 + tZ 2 Kiril Solovey w∈ℂ v7מתכנסת למטריצה Aאו − 7M = 0 .xaF4→z M7 הגדרה P×P משפט xaF4→z 7 = 0 ⟺ E7 < 1 4 4 ∑z } ∑zמתכנס אמ"מ E7 < 1ואז = − 7 הטור 4H 7 4H 7 הסדרה .I .II 4 4 E7 < 1אז } − 7הפיכה ומתקיים .III L~L 4 ≤ ≤ L} − 7 L הוכחה: ⟸ - E7 < 1 :קיימת נורמה L7L < E7 + Q < 1ואז < 1 .I 4 4 4 כאשר ∞ → אז L7L → 0וגם M7 M → 0ולכן .7 → 0 L7L4 ≤ .M7 M 4 ⟹ xaF4→z 74 = 0 :ו >-ע"ע של x ,Aו"ע אז .74 = >4 לכן ,xaF4→z >4 = 0כלומר |>| < 1ולכן .E7 < 1 4 } − 7 +,,,,,,-,,,,,,.מאחר ו.xaF4→z 7 = 0- !} + 7 + 7 + ⋯ + 74 = } − 74 .II ∑ ~ לכן .III !L~L xaF } − 7 74 = } ⟹ 74 = } − 7 L ≤ 1 + L7L ∙ L} − 7 מצד שני: בחזרה ל = - תהי סידרה = ? 4 + L 4H 4H ≤ L} − 7L ∙ L} − 7 הגדרה התהליך + ? = } = } − 7 + 7 ⟹ } − 7 = } + 7} − 7 ⟹ L} − 7 L ≤ 1 + L7L ∙ L} − 7 L ⟹ L} − 7 L ∙ 1 − L7L ≤ 1 1 ≤ ⟹ L} − 7 L ∎ 1 − L7L !4 , B .נקראת .Iteration Matrix !4 . = } − ? +7 . נקרא קונסיסטנטי עם = 7אם יהי התהליך + משפט ? = אמ"מ .E? < 1 !4 נגדיר את השגיאה ._ 4 = 4 − 4 1 = L}L = L} − 7} − 7 1 ⟹ ≤ L} − 7 L 1 + L7L L אם = ,xaF4→z 4אז בגבול = ? +ולכן ? . = } − →z קונסיסטנטי עם = ,7אז הסידרה w 3 4 vתתכנס לפיתרון של = 7לכל Kiril Solovey 4 הוכחה: לכן _ _ 4 = ? 4וכמו כן: _? = !4 _ ⟹ + , = ? + 4 ? = E? < 1 ⟺ ∀_ . xaF ? 4 _ = 0 4→z אם E? ≥ 1קיים .|>| ≥ 1נבחר את _ ו"ע המתאים: xaF ?4 _ = xaF >4 _ ≠ 0 4→z 4→z = 7 7=6−S = 6 − S 6 = S + =6 +-. S+6 +-. נגדיר את התהליך האיטרטיבי: 4! = ? 4 + נבחר את Nכאלכסון של .A [ [= +-. [+ − 7 P +, ,,-, ,,. דוגמא :שיטת Jacobi !P D ,האלכסון של .A P 1 = − G P G44 4 4 4 !P 4 !4
© Copyright 2024