רשימת משפטים ללינארית 2 עם סמיון
רשימת משפטים ללינארית 2עם סמיון
1
1
הגדרות
.1יהי Vמרחב וקטורי אזי נגדיר את המרחב הדואלי ל V ∗ = L(V, F) V
.2יהי v ∈ Vאזי נגדיר }v ◦ = {ϕ ∈ V ∗ |ϕ(v) = 0
.3יהי ∗ ϕ ∈ Vאזי נגדיר }ϕ◦ = {v ∈ V |ϕ(v) = 0
.4איזומורפיזם קנוני c : V → V ∗∗ :כך )c(v)(ϕ) = ϕ(v
.5העתקה דואלית T : V → W :העתקה לינארית אזי נגדיר ∗ T ∗ : W ∗ → Vכך
T ∗ (ϕ) = ϕ ◦ T
.6פולינום פורמלי :יהי Fשדה סדרה אינסופית ) (f0 , f1 , ....כאשר ∈ ∀i ∈ N.fi
Fהמתאפסת החל ממקום מסוים תקרא פולינום פורמלי ונסמן ב] F[xאת קבוצת
הפולינומים הפורמליים
.7פעולות על פולינום פורמליים :יהיו ] f, g ∈ F[xו c ∈ Fאזי נגדיר:
(f + g)k = fk + gk .1
(c ∗ f )k = cfk .2
Pk
(f ∗ g)k = i=0 fi ∗ gk−i .3
.8יהי ] f ∈ F[xנגדיר }deg f = max{n|fn 6= 0
f, g ∈ F[x] .9אזי נגיד ש fמחלק את gונסמן f |gאם קיים ] c ∈ F[xכך ש g = f ∗ c
f, g ∈ F[x] .10ו f, g 6= 0אז נגדיר ]gcd(f, g) = minbydegree {f ∗v+g∗u|v, u ∈ F[x
f ∈ F[x] .11יקרא הפיך אם קיים ] g ∈ F[xכך ש f ∗ g = 1
f ∈ F[x] .12יקרא אי פריק אם fלא הפיך וגם לכל ] g, h ∈ F[xשמקיימים f = g ∗ h
אז gהפיך או hהפיך
P
f ∈ F[x], a ∈ F .13אז aיקרא שורש של fאם f (a) = i≥0 fi ai = 0
f ∈ F[x], a ∈ F .14ו aשורש של fאזי הריבוי של aמוגדר להיות } max{k.(x − a)k |f
.15שדה Fיקרא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע יש שורש
.16יהי Vמרחב וקטורי מעל Fו ϕ : V → Vהעתקה לינארית נגדיר det ϕ = det A
כאשר Aמטריצה מייצגת של ϕבבסיס כלשהו
trϕ = trAכאשר
.17יהי Vמרחב וקטורי מעל Fו ϕ : V → Vהעתקה לינארית
נגדירP
n
Aמטריצה מייצגת של ϕבבסיס כלשהו ועבור מטריצות trA = i=1 Aii
.18פולינום אופייני ϕ : V → V :נגדיר ) Pϕ (λ) = det(ϕ − λ ∗ In
ϕ : V → V .19אזי λ ∈ Fנקרא ערך עצמי של ϕאם קיים v ∈ V, v 6= 0כך ש
ϕ(v) = λ ∗ v
ϕ : V → V .20אזי v ∈ V, v 6= 0נקרא וקטור עצמי של ϕאם קיים λ ∈ Fכך ש
ϕ(v) = λ ∗ v
2
ϕ : V → V .21תקרא לכסינה אם ל Vקיים בסיס המורכב מוקטורים עצמיים של ϕ
ϕ : V → V .22אזי נגדיר לכל λ ∈ Fערך עצמי את
) Mλ = {x ∈ V |ϕ(x) = λ ∗ x} = ker(ϕ − λ ∗ In
ϕ : V → V .23אזי תת מרחב W ⊂ Vנקרא ϕאינוואריאנטי אם מתקיים
∀v ∈ W.ϕ(v) ∈ W
ϕ : V → V .24אם λ1 , .., λkערכים עצמיים שונים אזי הסכום Mλ1 + .. + Mλkהוא
סכום ישר
ϕ : V → V .25ו λ ∈ Fערך עצמי אז נגדיר:
.1הריבוי גיאומטרי של λהוא dim Mλ
.2הריבוי האלגברי של λהוא הריבוי של λכשורש של Pϕ
.26מירכוב של מרחב וקטורי ממשי :יהי Vמרחב וקטורי מעל Rנגדיר C Vבצורה הבאה:
C V = V × Vכאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות והכפל בסקלר מוגדר
)z ∗ (a, b) = (u + iv)(a, b) = (ua − vb, ub + va
.27מירכוב של העתקה לינארית ϕ : V → V :אזי נגדיר C ϕ :C V →C Vכך
C
)ϕ(a, b) = (ϕ(a), ϕ(b
.28תא ז'ורדן מסדר kשל הערך העצמי λמוגדר בצורה כמטריצה המקיימת
Jk (λ)ij = 1אם Jk (λ)ij = λ,j = i + 1אם ,j = iאחרת Jk (λ)ij = 0
.29מטריצה היא בצורת ז'ורדן אם היא מטריצת בלוקים אלכסונית כשכל בלוק הוא תא
ז'ורדן
.30אומרים שטרנספורמציה ϕ : V → Vהיא ז'רדינה אם קיים בסיס בו המטריצה
המייצגת שלה היא בצורת ז'ורדן
ϕ : V → V .31תקרא נילפוטנטית אם קיים m ∈ Nכך ש ϕ( m) = 0
Wכך ש
ϕ1 , ϕ2 : V → .32כאשר קיימים תתי מרחבים L1 , W2
} ϕ1 (W2 ) = {0}, ϕ2 (W1 ) = {0אז נגדיר ϕ = ϕ1 ϕ2כך ϕ(v) = ϕ1 (v) +
)ϕ2 (v
ϕ : V → V .33אז נגדיר M i = ker ϕiועבור ערך עצמי λנגדיר Mλi = ker(ϕ−λ∗In )i
ϕ : V → V .34אז נגדיר N i = imgϕi
ϕ : V → V .35אז נגדיר specϕכקבוצת הערכים העצמיים של ϕ
ϕ : V → V .36ויהי λערך עצמי של ϕכך ש 6= Mλk = Mλk+1
cλ = M k
M
Mλk−1
אז נגדיר
.37יהי Vמרחב וקטורי מעל שדה Fבעל מציין שונה מ 2אזי נגדיר פונקציונאל בילינארי
כפונקציה ξ : V × V → Fשמקיימת:
∀v, u, w ∈ V.ξ(v + u, w) = ξ(v, w) + ξ(u, w).1
∀v, u ∈ V, λ ∈ F.ξ(λ ∗ v, u) = λξ(v, u)..2
∀v, u, w ∈ V.ξ(v, u + w) = ξ(v, w) + ξ(v, u).3
∀v, u ∈ V, λ ∈ F.ξ(v, λ ∗ u) = λξ(v, u).4
3
.38נגדיר ) T2 (Vכמרחב הפונקציונאליים הבילינאריים מעל V
ξ1 , ξ2 ∈ T2 , λ ∈ F .39נגדיר ) (ξ1 + ξ2 )(x, y) = ξ1 (x, y) + ξ2 (x, yו
)(λξ1 )(x, y) = λ ∗ ξ1 (x, y
.40פונקציונאל בילינארי ξיקרא סימטרי אם מתקיים ) ∀x, y.ξ(x, y) = ξ(y, xונסמן
את מרחב כל הפונקציונאליים הלינאריים הסימטריים מעל Vכך ) Sym(V
.41פונקציונאל בילינארי ξיקרא אנטי־סימטרי אם מתקיים )∀x, y.ξ(x, y) = −ξ(y, x
ונסמן את מרחב כל הפונקציונאליים הלינאריים הסימטריים מעל Vכך ) Skew(V
ξ ∈ T2 (V ) .42נגדיר את המטריצה של ξלפי בסיס } {bכמטריצה Aהמקיימת
∀x, y.ξ(x, y) = [x]tb ∗ A ∗ [y]b
ξ ∈ T2 (V ) .43אז הדרגה של ξהיא דרגת המטריצה המייצגת של ξלפי בסיס כלשהו
ξ ∈ T2 (V ) .44אז נגדיר } ,kerl ξ = {x ∈ V |ξ(x, y) = 0∀y ∈ V
} kerr ξ = {x ∈ V |ξ(y, x) = 0∀y ∈ V
ξ ∈ T2 (V ) .45יקרא לא מנוון אם rk(ξ) = dim V
(ξbl (x))(y) = ξ(x, y), (ξbr (x))(y) = ξ(y, x) ξ ∈ T2 (V ) .46
ξ ∈ T2 (V ) .47ו L ⊂ Vתת מרחב לינארי אז המשלים האורתוגונלי של Lביחס ל ξ
}L⊥ξ = {x ∈ V |ξ(x, l = 0)∀l ∈ L
.48פונקציה b : V → Fתקרא תבנית ריבועית אם קיים ) ξ ∈ T2 (Vכך ש ∈ ∀x
)V.b(x) = ξ(x, x
.49המטריצה המייצגת של תבנית ריבועית בבסיס } {bהיא המטריצה המייצגת של
הפונקציונאל הבילינארי הסימטרי של התבנית
.50מטריצה משולשית יחידה היא מטריצה משולשית שהאלכסון שלה הוא 1
.51מישור זוויתי מגודל kשל Aהוא הבלוק בגודל k × kשמתחיל בזווית השמאלית
העליונה שיסומן Akונגדיר ∆k = det Ak
.52שני תבניות ריבועיות יקראו שקולות אם קיימים שני בסיסים כך שהמטריצה של
הראשונה בבסיס הראשון שווה למטריצה של השנייה בבסיס השני
.53עבור תבנית ריבועית נגדיר אינדקס אינרציה חיובי ככמות המקדמים החיוביים בצורה
הקנונית ,בצורה דומה לשלילי וסיגנטורה היא ההפרש בין החיובי לשלילי
.54תבנית ריבועית תקרא מוגדרת חיובית אם לכל b(x) > 0 x
.55תבנית ריבועית תקרא מוגדרת שלילית אם לכל b(x) > 0 x
.56תהי bתבנית ריבועית המוגדרת על ידי הפונקציונאל ξאזי ויהיו x1 , ...xm ∈ Vאזי
המטריצת גרם שלהם תוגדר ) Bb (x1 , ..xm )ij = ξ(xi , xj
.57מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי עם פונקציונאל בילינארי ξסימטרי מוגדר
חיובית
4
.58סדרת וקטורים x1 , ..xmתקרא אורתוגונלית אם לכל 2מתקיים ) ξ(xi , xjותקרא
אורתונורמלית אם בנוסף מתקיים לכל וקטור ש ξ(xi , xi ) = 1
p
.59במרחב מכפלה פנימית נגדיר נורמה של xכ )||x|| = ξ(x, x
.60איזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית צריך להיות איזומורפיזם של מרחבים וקטורי
ובנוסף לקיים )∀x, y.(T (x), T (y)) = (x, y
.61במרחב מכפלה פנימית עבור ט"ל Tנגדיר את הט"ל הצמודה ∗ Tלהיות היחידה
שמקיימת )∀x, y.(T x, y) = (x, T ∗ y
T : V → V .62תקרא צמודה לעצמה אם מתקיים ש T ∗ = T
ϕ : V → V .63תקרא אורתוגונלית אם ||∀x ∈ V.||ϕ(x)|| = ||x
ϕ : V → V .64תקרא מוגדרת חיובית אם היא צמודה לעצמה וגם מתקיים > )∀x.(ϕx, x
0
η V × V → C .65יקרא הרמיטי אם הוא לינארי במשתנה הראשון ו
)∀x, y.η(x, y) = η(y, x
.66מטריצה תקרא הרמיטית אם היא שווה למוד המשוחלף שלה כלומר aij = aji
.67מימוש של מרחב וקטורי מרוכב Vשיסומן כ R Vהוא הצגת Vכקבוצה עם חיבור
וכפל בסקלר מושרים מ V
.68מטריצה מייצגת של פונקציונאל הרמיטי ηבבסיס } {eiהיא המטריצה = Bij
) η(ei , ej
η .69פונקציונאל הרמיטי אז }ker η = {x|∀y.η(x, y) = 0
.70פונקציונאל הרמיטי ηיקרא מוגדר חיובית אם מתקיים ∀x =6= 0.η(x, x) > 0
.71מטריצה הרמיטית מוגדרת חיובית אם הפונקציונאל שהיא מייצגת הוא מוגדר חיובית
.72מרחב הרמיטי זה מרחב וקטורי מעל Cעם פונקציונאל הרמיטי מוגדר חיובית
.73הגדרת סדרה אורתוגונלית במרחב הרמיטי זהה להגדרה במרחב מכפלה פנימית
.74ט"ל תקרא אוניטרית אם היא הפיכה ומשמרת מכפלה הרמיטית
t
.75מטריצה Aתקרא אוניטרית אם A ∗ A = I
5
2
משפטים ומסקנות
.1יהי ∗ T ⊂ Vאזי ◦ c(T◦ ) = T
F[x] .2מרחב וקטורי
f, g ∈ F[x] .3אם f, g 6= 0אזי deg(f ∗ g) = deg f + deg gו
}deg(f + g) ≤ max{deg f, deg g
.4יהיו ] f, g ∈ F[xו f, g 6= 0אזי קיימים ויחידים ] q, r ∈ F[xכך ש f = g ∗ q + r
וגם r = 0או deg g > deg r
a, b, c ∈ F[x] .5אז:
.1אם a|bוגם b|cאז a|c
.2אם a|bוגם a|cאז )a|(b ± b
.3אם a|bאז ∀c.a|b ∗ c
.4אם a|b1 , ..bnאז ∀c1 , ..cn .a|b1 c1 + .. + bn cn
.6אם a|bוגם b|aאז קיים c ∈ Fכך ש a = c ∗ b
a, b ∈ F[x] .7אז gcd(a, b)|a, bוגם אם יש ] c ∈ F[xכך ש c|a, bאז gcd(a, b)|c
.8ב ] F[xההפיכים היחידים הם הפולינומים הקבועים
f ∈ F[x] .9לא הפיך אזי קיימים ויחידים )עד כדי תמורה( p1 , ..prכך שכולם אי
פריקים וגם f = p1 ∗ p2 ∗ ..pr
.10ב Rמתקיים שלכל ]:f, g, h ∈ R[x
gcd(f, g) = f .1אם ורק אם f |g
.2אם f 6= 0אז gcd(f, 0) = f
t ∈ R. gcd(t ∗ f, t ∗ g) = t ∗ gcd(f, g).3
gcd(gcd(f, g), h) = gcd(f, gcd(g, h)).4
f, g, h ∈ F[x] .11אז:
.1אם gcd(f, g) = 1וגם gcd(f, h) = 1אז gcd(f, g ∗ h) = 1
.2אם f |g ∗ hוגם gcd(f, g) = 1אז f |h
.3אם h|f, g|fוגם gcd(g, h) = 1אז h ∗ g|f
f ∈ F[x], a ∈ F .12אז קיים ויחיד ] g ∈ F[xכך ש )f = g ∗ (x − a) + f (a
f ∈ F[x], a ∈ F .13אז aשורש של fאם ורק אם (x − a)|f
C .14סגור אלגברית
F f ∈ F[x] .15סגור אלגברית ו fאי פריק אזי deg f = 1
.16יהי Fשדה סגור אלגברית אזי לכל ] f ∈ F[xסכום ריבויי השורשים שוו לדרגת f
.17יהי ] f ∈ R[xאזי אם fאי פריק deg f = 1או deg f = 2ול fאין שורשים
ϕ : V → V .18אזי עבור Aמטריצה מייצגת של ϕבבסיס כלשהוP
) )σ∈Sn sgn(σ)(A1σ(1) − λδ1σ(1) ) ∗ ... ∗ (Anσ(n) − λδnσ(n
6
= )Pϕ (λ
ϕ : V → V .19אזי λ ∈ Fהוא ערך עצמי של ϕאם ורק אם }ker(ϕ − λ ∗ In ) 6= {0
אם ורק אם λשורש של Pϕ
ϕ : V → V .20אזי deg Pϕ = dim V
ϕ : V → V .21אזי מספר הערכים העצמיים של ϕהוא לכל היותר dim V
.22אם Fסגור אלגברית אזי לכל ϕ : V → Vקיים וקטור עצמי
ϕ : V → V .23אז אם ל dim V Pϕשורשים אז ϕלכסינה
ϕ : V → V .24אזי אם v1 , ..vk ∈ Vוקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים אזי הם
בת"ל
ϕ : V → V .25אזי לכל λערך עצמי מתקיים שהריבוי האלגברי שלו גדול שווה לריבוי
הגיאומטרי שלו
ϕ : V → V .26אזי ϕלכסינה אם ורק אם Pϕמתפרק לגורמים מדרגה ראשונה וגם
הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לריבוי הגיאומטרי שלו
ϕ : V → V .27אזי קיים מרחב ϕאינוואריאנטי ממימד 1או 2
.28יהי Vמרחב וקטורי ממשי אזי מימד Vמעל Rשווה למימד C Vמעל C
.29משפט ז'ורדן )חשוב( ϕ : V → V :אז ϕז'רדינה אם ורק אם Pϕמתפרק לגורמים
מדרגה 1וצורת ז'ורדן של ϕהיא יחידה עד כדי תמורת הבלוקים
ϕ : V Lאז קיימים ויחידים ϕ1 , ϕ2כך ש ϕ1נילפוטנטית ϕ2הפיכה ו
→ V .30
ϕ = ϕ1 ϕ2
ϕ1 , ϕ2 : V → V .31אז Pϕ1 L ϕ2 = Pϕ1 ∗ Pϕ2
ϕ : V → V .32אזי לכל i ∈ Nמתקיים:
M i , N i .1הם ϕאינוואריאנטי
N i+1 ⊂ N i ,M i ⊂ M i+1 .2
.3אם M k = M k+1אז מתקיים ש = ...
M k = M k+1 = M k+2ואותו דבר ל N k
ϕ : V → V .33אם M k = M k+1אז ϕ|M kנילפוטנטית ו ϕ|N kהפיכה
.34
.35
.36
.37
ϕ : V → Vאם ϕנילפוטנטית אז } specϕ = {0ו Pϕ (λ) = (−λ)n
T
יהיו LN, L ⊂ Vתתי מרחבים לינאריים כך ש } N L = {0אז קיים תת מרחב L0
N
כך ש L0 = V
Pk c
i=1 Mהוא סכום ישר
ϕ : V → Vו λ1 , ..λkערכים עצמיים אז הסכום λi
L
c
ϕ : V → Vכך ש Pϕמתפרק לגורמים מדרגה 1אז λ∈specϕ Mλ = V
.38משפט קיילי המילטון :יהי ] p ∈ F[xותהי ) A ∈ M (Fכך ש )p = det(A − λ ∗ I
אזי p(A) = p0 ∗ I + p1 ∗ A + ... + pn ∗ An = 0
ξ ∈ T2 (V ) .39היא סימטרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה סימטרית בכל בסיס
7
Skew(V ) .40
L
) T2 (V ) = Sym(V
ξ ∈ T2 (V ) .41ו } {b}, {eבסיסים Bהמטריצה המייצגת של ξלפי הבסיס bוE
המטריצה המייצגת של ξלפי eו Cמטריצת המעבר מהבסיס bלבסיס eאז
E = Ct ∗ B ∗ C
ξ ∈ T2 (V ) .42אז )dim kerl ξ = dim kerr ξ = dim V − rk(ξ
ξ ∈ T2 (V ) .43אז )) (ξbl (x)), (ξbr (xהעתקות לינאריות
ker ξbl = ker ξ l , ker ξbr = ker ξ r ξ ∈ T2 (V ) .44
ξ ∈ T2 (V ) .45אזי הטענות הבאות שקולות :
ξ.1לא מנוון
ξbl .2איזומורפיזם
ξbr .2איזומורפיזם
.46יהי L ⊂ Vתת מרחב לינארי ) ξ ∈ T2 (Vלא מנוון אזי L⊥ξ
L
V =L
.47לכל ) ξ ∈ T2 (Vבהינתן בסיס }{b
.48לכל ) ξ ∈ Sym(Vקיים בסיס בו המטריצה שלה אלכסונית
.49לכל תבנית ריבועית קיים ויחיד ) ξ ∈ Sym(Vכך ש )∀x ∈ V.b(x) = ξ(x, x
בצורה הבאה:
.50כל תבנית
ריבועית נינת להצגה Pn
P
b(x) = i=1 bii x2i + 2 ∗ i<j bij xi ∗ xj
.51שיטת לגראנז' לליכסון תבנית ריבועית :נחלק למקרים:
b11 6= 0.1אז נסדר מחדש = )b(x
Pn
P
Pn
b ∗b
ii
1i
xi )2 + i=2 (bii − bb11
)x2i + 2 ∗ 2≤i<j (bij − 1jb11 1i )xi xj
b11 (x1 + i=2 bb11
P
n
b
1i
x01 = (x1 + i=2 b11ו ∀i 6= 1.x0i = xiונחזור להתחלה
נגדיר xi )2
.2אם b11 = 0אבל קיים kכך ש bkk 6= 0נעשה תמורה לאיברים ונחזור למקרה 1
.3אם כל המקדמים הריבועיים 0אז או שהתבנית היא התבנית הקבועה 0או שקיימים
i, jכך ש bij 6= 0נעשה תמורה כך ש i = 1, j = 2ואז נעשה את ההחלפה
2
1
x01 = x1 +xו ∀i 6= 1, 2.x0i = xiונחזור למקרה 1
, x02 = x2 −x
2
2
.52משפט יעקובי :תהי bתבנית ריבועית אזי ניתן ללכסן את bבאמצעות מטריצה
משולשית יחידה אם ורק אם ∀k.∆k 6= 0ואז באלכסון בצורה האלכסונית במיקום
k
∆∆k−1כאשר ∆0 = 1
ה kיופיע
.53מעל שדה סגור אלגברית שני תבניות ריבועיות שקולות אם ורק אם דרגתן זהה
.54אינדקסי האינרציה של תבנית ריבועית לא תלויים בבחירת הבסיס
.55תבנית ריבועית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם אינדקס האינרציה החיובית שלה
הוא n
.56תבנית ריבועית היא מוגדרת שלילית אם ורק אם אינדקס האינרציה השלילית שלה
הוא n
8
.57אם bהיא תבנית ריבועית מוגדרת חיובית אז בכל בסיס המטריצה המייצגת הפיכה
והדטרמיננטה שלה גדולה מ0
.58משפט סילבסטר :מטריצה סימטרית ממשית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם
∀k∆k > 0
.59תהי bתבנית ריבועית אזי ∀x1 , ..xn det Bb (x1 , ..xn ) ≥ 0והשוויון מתקבל אם ורק
אם הוקטורים תלויים
.60במרחב מכפלה פנימית || ∀x, y.||x + y|| ≤ ||x|| + ||yויש שוויון אם ורק אם הם
תלויוום עם קבוע אי שלילי
.61בכל מרחב מכפלה פנימית קיים בסיס אורתונורמלי
שמידט שיהפוך אותה לסדרה
.62תהי x1 , ..xmסדרת וקטורים בת"ל תהליך גרם
P
xi − ik=1 ξ(xi ,x0k )x0k
0
P
אורתונורמלית יוגדר כך || x01 = ||xx11ואז || xi = ||x − i ξ(x ,x0 )x0
k
k
i
k=1
i
.63תהליך גרם שמידט משמר פריסה לכל תת קבוצה כלומר לכל x1 , ...xmולכל k ≤ m
מתקיים ש } span{x1 , .., xk } = span{x01 , .., x0k
.64כל סדרה אורתונורמלית במרחב מכפלה פנימית ניתן להשלים לבסיס אורתונורמלי
.65שני מרחבי מכפלה פנימית הם איזומורפיים אם ורק אם מימדם זהה
.66יהיו T, Sו λ, η ∈ Fט"ל במרחב מכפלה פנימית אזי:
(T ∗ )∗ = T .1
∗
∗
∗
∗
(λT + ηS) = λT + ηS ,(S ◦ T ) = T ∗ ◦ S ∗ .2
.3אם Tהפיכה אז ∗ Tהפיכה ו ∗) (T ∗ )−1 = (T −1
T : V → V .67ו Vמרחב מכפלה פנימית אזי בכל בסיס אורתונורמלי } {bמתקיים
ש[T ]tb = [T ∗ ]:
T : V → V .68ו Vמרחב מכפלה פנימית אזי לכל מרחב Tאינווארינטי מתקיים
שהמשלים האורתוגונלי שלו הוא ∗ Tאינוואריאנטי
T : V → V .69אזי הטענות הבאות שקולות:
T .1צמודה לעצמה
.2בכל בסיס אורתונורמלי המטריצה של Tהיא סימטרית
.3קיים בסיס אורתונורמלי בו המטריצה של Tסימטרית
T : V → V .70צמודה לעצמה אזי קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של T
)בסיס מלכסן(
T : V → V .71צמודה לעצמה אזי וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים הם
אורתוגונליים
.72לכל פונקציונאל בילינארי קיימת ויחידה ט"ל Tכך ש ξ = BTכאשר = )BT (x, y
)(x, T y
.73משפט רייס ϕ : V → V :ו Vמרחב מכפלה פנימית אזי קיים ויחיד y ∈ Vכך ש
)∀x ∈ V.ϕ(x) = (x, y
9
V .74מרחב מכפלה פנימית ו ϕ : V → Vאזי הטענות הבאות שקולות:
ϕ.1אורתוגונלית
ϕ.2מעבירה כל בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי
.3קיים בסיס ש ϕמעבירה לבסיס אורתונורמלי
ϕ∗ ∗ ϕ = I.4
.75הרכבה של טרנספורמציות אורתוגונליות והופכית של טרנספורמציה אורתוגונלית הם
אורתוגונליים
.76לכל ϕ : V → Vאורתוגונלית קיים בסיס בו היא בצורה קנונית כשהצורה הקונונית
היא מטריצה אלכסונית בלוקים כך שכל הבלוקים בגודל 1או 2והבלוקים בגודל 2
באלכסון הראשי יש cos θובאלכסון המשני sin θכשבפינה הימנית העליונה מוכפל
המינוס עבור 0 < θ < π
.77הדטרמיננטה של מטריצה המייצגת ט"ל אורתוגונלית היא או 1או −1
.78הצורה הקנונית של ט"ל אורתוגונלית היא יחידה עד כדי תמורת הבלוקים
.79אם מרחב לינארי הוא אינוואריאנטי לט"ל אורתוגונלית אז גם המשלים האורתוגונלי
שלו אינוואריאנטי לה
ϕ : V → V .80אורתוגונלית ו x + iy ∈C Vוקטור עצמי של C ϕעם ערך עצמי :λ ∈ C
|λ| = 1.1
||x|| = ||y||.2
(x, y) = 0.3
.81ט"ל היא מוגדרת חיובית אם ורק אם כל הערכים העצמיים שלה חיוביים
.82כל ט"ל מוגדרת חיובית היא הפיכה וההופכית שלה היא גם מוגדרת חיובית
.83לכל ט"ל הפיכה ההרכבה של על הצמודה שלה )משני הצדדים( היא מוגדרת חיובית
ϕ : V → V .84מוגדרת חיובית אזי קיימת ויחידה ט"ל T : V → Vכך שT 2 = ϕ
.85הט"ל היחידה שהיא גם מוגדרת חיובית וגם אורתוגונלית היא טרנספורמציות הזהות
.86תהי ϕ : V → Vהפיכה אז קיימות ויחידות T, U : V → Vכך ש Uאורתוגונלית
Tמוגדרת חיובית ו ϕ = U ◦ T
.87מימד המימוש של מרחב וקטורי מעל Rהוא פי 2ממימד המרחב מעל C
.88הפונקציה T :R V → Rשמקיימת ) T (x) = η(x, xהיא תבנית ריבועית
η .89פונקציונאל הרמיטי אז + y, x + y) + iη(x + iy, x + iy) −
)η(x − y, x − y) − iη(x − iy, x − iy
1
4 (η(x
= )η(x, y
.90המטריצה מייצגת של פונקצינאל הרמיטי היא הרמיטית בכל בסיס
.91לכל פונקציונאל הרמיטי יש בסיס שבו המטריצה המייצגת שלו היא אלכסונית ובאלכסון
רק ±1, 0
10
.92מספר האפסים מספר ה 1ומספר ה −1במטריצה האלכסונית של פונקציונאל הרמיטי
לא תלויים בבסיס המלכסן
η .93פונקציונאל הרמיטי אז dim ker η = dim V − rkη
.94משפט סילבסטר :מטריצה הרמיטית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם ∀i.∆i > 0
.95כל המשפטים וההגדרות כולל תהליך גרם שמידט תקפים ללא שינוי במרחב הרמיטי
מלבד כמה שעוברים שינוי קל ושיכתבו להלן
.96ט"ל צמודה במרחב הרמיטי(λT )∗ = λT ∗ :
[T ∗ ] = [T ]t .97
.98ט"ל צמודה לעצמה מקיימת שבכל בסיס אורתונורמלי המטריצה היא הרמיטית
.99לט"ל צמודה לעצמה כל הערכים העצמיים ממשיים וקיים בסיס מלכסן של וקטורים
אורתונורמליים
.100תהי Tט"ל הטענות הבאות שקולות:
T .1אוניטרית
T .2משמרת מכפלה הרמיטית
T .3משמרת נורמה
.4המטריצה של Tבבסיס אורתונורמלי היא אוניטרית
.101כל הערכים העצמיים של מטריצה אוניטרית בעלי נורמה 1
11
© Copyright 2024