רשימת משפטים ללינארית 2 עם סמיון

‫רשימת משפטים ללינארית ‪ 2‬עם סמיון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרות‬
‫‪ .1‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי אזי נגדיר את המרחב הדואלי ל ‪V ∗ = L(V, F) V‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ v ∈ V‬אזי נגדיר }‪v ◦ = {ϕ ∈ V ∗ |ϕ(v) = 0‬‬
‫‪ .3‬יהי ∗ ‪ ϕ ∈ V‬אזי נגדיר }‪ϕ◦ = {v ∈ V |ϕ(v) = 0‬‬
‫‪ .4‬איזומורפיזם קנוני‪ c : V → V ∗∗ :‬כך )‪c(v)(ϕ) = ϕ(v‬‬
‫‪ .5‬העתקה דואלית‪ T : V → W :‬העתקה לינארית אזי נגדיר ∗ ‪ T ∗ : W ∗ → V‬כך‬
‫‪T ∗ (ϕ) = ϕ ◦ T‬‬
‫‪ .6‬פולינום פורמלי‪ :‬יהי ‪ F‬שדה סדרה אינסופית )‪ (f0 , f1 , ....‬כאשר ∈ ‪∀i ∈ N.fi‬‬
‫‪ F‬המתאפסת החל ממקום מסוים תקרא פולינום פורמלי ונסמן ב]‪ F[x‬את קבוצת‬
‫הפולינומים הפורמליים‬
‫‪ .7‬פעולות על פולינום פורמליים‪ :‬יהיו ]‪ f, g ∈ F[x‬ו ‪ c ∈ F‬אזי נגדיר‪:‬‬
‫‪(f + g)k = fk + gk .1‬‬
‫‪(c ∗ f )k = cfk .2‬‬
‫‪Pk‬‬
‫‪(f ∗ g)k = i=0 fi ∗ gk−i .3‬‬
‫‪ .8‬יהי ]‪ f ∈ F[x‬נגדיר }‪deg f = max{n|fn 6= 0‬‬
‫‪ f, g ∈ F[x] .9‬אזי נגיד ש ‪ f‬מחלק את ‪ g‬ונסמן ‪ f |g‬אם קיים ]‪ c ∈ F[x‬כך ש ‪g = f ∗ c‬‬
‫‪ f, g ∈ F[x] .10‬ו ‪ f, g 6= 0‬אז נגדיר ]‪gcd(f, g) = minbydegree {f ∗v+g∗u|v, u ∈ F[x‬‬
‫‪ f ∈ F[x] .11‬יקרא הפיך אם קיים ]‪ g ∈ F[x‬כך ש ‪f ∗ g = 1‬‬
‫‪ f ∈ F[x] .12‬יקרא אי פריק אם ‪ f‬לא הפיך וגם לכל ]‪ g, h ∈ F[x‬שמקיימים ‪f = g ∗ h‬‬
‫אז ‪ g‬הפיך או ‪ h‬הפיך‬
‫‪P‬‬
‫‪ f ∈ F[x], a ∈ F .13‬אז ‪ a‬יקרא שורש של ‪ f‬אם ‪f (a) = i≥0 fi ai = 0‬‬
‫‪ f ∈ F[x], a ∈ F .14‬ו ‪ a‬שורש של ‪ f‬אזי הריבוי של ‪ a‬מוגדר להיות } ‪max{k.(x − a)k |f‬‬
‫‪ .15‬שדה ‪ F‬יקרא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע יש שורש‬
‫‪ .16‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ F‬ו ‪ ϕ : V → V‬העתקה לינארית נגדיר ‪det ϕ = det A‬‬
‫כאשר ‪ A‬מטריצה מייצגת של ‪ ϕ‬בבסיס כלשהו‬
‫‪ trϕ = trA‬כאשר‬
‫‪ .17‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ F‬ו ‪ ϕ : V → V‬העתקה לינארית‬
‫נגדיר‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ A‬מטריצה מייצגת של ‪ ϕ‬בבסיס כלשהו ועבור מטריצות ‪trA = i=1 Aii‬‬
‫‪ .18‬פולינום אופייני‪ ϕ : V → V :‬נגדיר ) ‪Pϕ (λ) = det(ϕ − λ ∗ In‬‬
‫‪ ϕ : V → V .19‬אזי ‪ λ ∈ F‬נקרא ערך עצמי של ‪ ϕ‬אם קיים ‪ v ∈ V, v 6= 0‬כך ש‬
‫‪ϕ(v) = λ ∗ v‬‬
‫‪ ϕ : V → V .20‬אזי ‪ v ∈ V, v 6= 0‬נקרא וקטור עצמי של ‪ ϕ‬אם קיים ‪ λ ∈ F‬כך ש‬
‫‪ϕ(v) = λ ∗ v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ϕ : V → V .21‬תקרא לכסינה אם ל ‪ V‬קיים בסיס המורכב מוקטורים עצמיים של ‪ϕ‬‬
‫‪ ϕ : V → V .22‬אזי נגדיר לכל ‪ λ ∈ F‬ערך עצמי את‬
‫) ‪Mλ = {x ∈ V |ϕ(x) = λ ∗ x} = ker(ϕ − λ ∗ In‬‬
‫‪ ϕ : V → V .23‬אזי תת מרחב ‪ W ⊂ V‬נקרא ‪ ϕ‬אינוואריאנטי אם מתקיים‬
‫‪∀v ∈ W.ϕ(v) ∈ W‬‬
‫‪ ϕ : V → V .24‬אם ‪ λ1 , .., λk‬ערכים עצמיים שונים אזי הסכום ‪ Mλ1 + .. + Mλk‬הוא‬
‫סכום ישר‬
‫‪ ϕ : V → V .25‬ו‪ λ ∈ F‬ערך עצמי אז נגדיר‪:‬‬
‫‪.1‬הריבוי גיאומטרי של ‪ λ‬הוא ‪dim Mλ‬‬
‫‪.2‬הריבוי האלגברי של ‪ λ‬הוא הריבוי של ‪ λ‬כשורש של ‪Pϕ‬‬
‫‪ .26‬מירכוב של מרחב וקטורי ממשי‪ :‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ R‬נגדיר ‪ C V‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ C V = V × V‬כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות והכפל בסקלר מוגדר‬
‫)‪z ∗ (a, b) = (u + iv)(a, b) = (ua − vb, ub + va‬‬
‫‪ .27‬מירכוב של העתקה לינארית‪ ϕ : V → V :‬אזי נגדיר ‪ C ϕ :C V →C V‬כך‬
‫‪C‬‬
‫)‪ϕ(a, b) = (ϕ(a), ϕ(b‬‬
‫‪ .28‬תא ז'ורדן מסדר ‪ k‬של הערך העצמי ‪ λ‬מוגדר בצורה כמטריצה המקיימת‬
‫‪ Jk (λ)ij = 1‬אם ‪ Jk (λ)ij = λ,j = i + 1‬אם ‪,j = i‬אחרת ‪Jk (λ)ij = 0‬‬
‫‪ .29‬מטריצה היא בצורת ז'ורדן אם היא מטריצת בלוקים אלכסונית כשכל בלוק הוא תא‬
‫ז'ורדן‬
‫‪ .30‬אומרים שטרנספורמציה ‪ ϕ : V → V‬היא ז'רדינה אם קיים בסיס בו המטריצה‬
‫המייצגת שלה היא בצורת ז'ורדן‬
‫‪ ϕ : V → V .31‬תקרא נילפוטנטית אם קיים ‪ m ∈ N‬כך ש ‪ϕ( m) = 0‬‬
‫‪ W‬כך ש‬
‫‪ ϕ1 , ϕ2 : V → .32‬כאשר קיימים תתי מרחבים ‪L1 , W2‬‬
‫}‪ ϕ1 (W2 ) = {0}, ϕ2 (W1 ) = {0‬אז נגדיר ‪ ϕ = ϕ1 ϕ2‬כך ‪ϕ(v) = ϕ1 (v) +‬‬
‫)‪ϕ2 (v‬‬
‫‪ ϕ : V → V .33‬אז נגדיר ‪ M i = ker ϕi‬ועבור ערך עצמי ‪ λ‬נגדיר ‪Mλi = ker(ϕ−λ∗In )i‬‬
‫‪ ϕ : V → V .34‬אז נגדיר ‪N i = imgϕi‬‬
‫‪ ϕ : V → V .35‬אז נגדיר ‪ specϕ‬כקבוצת הערכים העצמיים של ‪ϕ‬‬
‫‪ ϕ : V → V .36‬ויהי ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ ϕ‬כך ש ‪6= Mλk = Mλk+1‬‬
‫‪cλ = M k‬‬
‫‪M‬‬
‫‪Mλk−1‬‬
‫אז נגדיר‬
‫‪ .37‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ F‬בעל מציין שונה מ‪ 2‬אזי נגדיר פונקציונאל בילינארי‬
‫כפונקציה‪ ξ : V × V → F‬שמקיימת‪:‬‬
‫‪∀v, u, w ∈ V.ξ(v + u, w) = ξ(v, w) + ξ(u, w).1‬‬
‫‪∀v, u ∈ V, λ ∈ F.ξ(λ ∗ v, u) = λξ(v, u)..2‬‬
‫‪∀v, u, w ∈ V.ξ(v, u + w) = ξ(v, w) + ξ(v, u).3‬‬
‫‪∀v, u ∈ V, λ ∈ F.ξ(v, λ ∗ u) = λξ(v, u).4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .38‬נגדיר ) ‪ T2 (V‬כמרחב הפונקציונאליים הבילינאריים מעל ‪V‬‬
‫‪ ξ1 , ξ2 ∈ T2 , λ ∈ F .39‬נגדיר )‪ (ξ1 + ξ2 )(x, y) = ξ1 (x, y) + ξ2 (x, y‬ו‬
‫)‪(λξ1 )(x, y) = λ ∗ ξ1 (x, y‬‬
‫‪ .40‬פונקציונאל בילינארי ‪ ξ‬יקרא סימטרי אם מתקיים )‪ ∀x, y.ξ(x, y) = ξ(y, x‬ונסמן‬
‫את מרחב כל הפונקציונאליים הלינאריים הסימטריים מעל ‪ V‬כך ) ‪Sym(V‬‬
‫‪ .41‬פונקציונאל בילינארי ‪ ξ‬יקרא אנטי־סימטרי אם מתקיים )‪∀x, y.ξ(x, y) = −ξ(y, x‬‬
‫ונסמן את מרחב כל הפונקציונאליים הלינאריים הסימטריים מעל ‪ V‬כך ) ‪Skew(V‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .42‬נגדיר את המטריצה של ‪ ξ‬לפי בסיס }‪ {b‬כמטריצה ‪ A‬המקיימת‬
‫‪∀x, y.ξ(x, y) = [x]tb ∗ A ∗ [y]b‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .43‬אז הדרגה של ‪ ξ‬היא דרגת המטריצה המייצגת של ‪ ξ‬לפי בסיס כלשהו‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .44‬אז נגדיר } ‪,kerl ξ = {x ∈ V |ξ(x, y) = 0∀y ∈ V‬‬
‫} ‪kerr ξ = {x ∈ V |ξ(y, x) = 0∀y ∈ V‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .45‬יקרא לא מנוון אם ‪rk(ξ) = dim V‬‬
‫‪(ξbl (x))(y) = ξ(x, y), (ξbr (x))(y) = ξ(y, x) ξ ∈ T2 (V ) .46‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .47‬ו ‪ L ⊂ V‬תת מרחב לינארי אז המשלים האורתוגונלי של ‪ L‬ביחס ל ‪ξ‬‬
‫}‪L⊥ξ = {x ∈ V |ξ(x, l = 0)∀l ∈ L‬‬
‫‪ .48‬פונקציה ‪ b : V → F‬תקרא תבנית ריבועית אם קיים ) ‪ ξ ∈ T2 (V‬כך ש ∈ ‪∀x‬‬
‫)‪V.b(x) = ξ(x, x‬‬
‫‪ .49‬המטריצה המייצגת של תבנית ריבועית בבסיס }‪ {b‬היא המטריצה המייצגת של‬
‫הפונקציונאל הבילינארי הסימטרי של התבנית‬
‫‪ .50‬מטריצה משולשית יחידה היא מטריצה משולשית שהאלכסון שלה הוא ‪1‬‬
‫‪ .51‬מישור זוויתי מגודל ‪ k‬של ‪ A‬הוא הבלוק בגודל ‪ k × k‬שמתחיל בזווית השמאלית‬
‫העליונה שיסומן ‪ Ak‬ונגדיר ‪∆k = det Ak‬‬
‫‪ .52‬שני תבניות ריבועיות יקראו שקולות אם קיימים שני בסיסים כך שהמטריצה של‬
‫הראשונה בבסיס הראשון שווה למטריצה של השנייה בבסיס השני‬
‫‪ .53‬עבור תבנית ריבועית נגדיר אינדקס אינרציה חיובי ככמות המקדמים החיוביים בצורה‬
‫הקנונית ‪,‬בצורה דומה לשלילי וסיגנטורה היא ההפרש בין החיובי לשלילי‬
‫‪ .54‬תבנית ריבועית תקרא מוגדרת חיובית אם לכל ‪b(x) > 0 x‬‬
‫‪ .55‬תבנית ריבועית תקרא מוגדרת שלילית אם לכל ‪b(x) > 0 x‬‬
‫‪ .56‬תהי ‪ b‬תבנית ריבועית המוגדרת על ידי הפונקציונאל ‪ ξ‬אזי ויהיו ‪ x1 , ...xm ∈ V‬אזי‬
‫המטריצת גרם שלהם תוגדר ) ‪Bb (x1 , ..xm )ij = ξ(xi , xj‬‬
‫‪ .57‬מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי עם פונקציונאל בילינארי ‪ ξ‬סימטרי מוגדר‬
‫חיובית‬
‫‪4‬‬
‫‪ .58‬סדרת וקטורים ‪ x1 , ..xm‬תקרא אורתוגונלית אם לכל ‪ 2‬מתקיים ) ‪ ξ(xi , xj‬ותקרא‬
‫אורתונורמלית אם בנוסף מתקיים לכל וקטור ש ‪ξ(xi , xi ) = 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ .59‬במרחב מכפלה פנימית נגדיר נורמה של ‪ x‬כ )‪||x|| = ξ(x, x‬‬
‫‪ .60‬איזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית צריך להיות איזומורפיזם של מרחבים וקטורי‬
‫ובנוסף לקיים )‪∀x, y.(T (x), T (y)) = (x, y‬‬
‫‪ .61‬במרחב מכפלה פנימית עבור ט"ל ‪ T‬נגדיר את הט"ל הצמודה ∗ ‪ T‬להיות היחידה‬
‫שמקיימת )‪∀x, y.(T x, y) = (x, T ∗ y‬‬
‫‪ T : V → V .62‬תקרא צמודה לעצמה אם מתקיים ש ‪T ∗ = T‬‬
‫‪ ϕ : V → V .63‬תקרא אורתוגונלית אם ||‪∀x ∈ V.||ϕ(x)|| = ||x‬‬
‫‪ ϕ : V → V .64‬תקרא מוגדרת חיובית אם היא צמודה לעצמה וגם מתקיים > )‪∀x.(ϕx, x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ η V × V → C .65‬יקרא הרמיטי אם הוא לינארי במשתנה הראשון ו‬
‫)‪∀x, y.η(x, y) = η(y, x‬‬
‫‪ .66‬מטריצה תקרא הרמיטית אם היא שווה למוד המשוחלף שלה כלומר ‪aij = aji‬‬
‫‪ .67‬מימוש של מרחב וקטורי מרוכב ‪ V‬שיסומן כ ‪ R V‬הוא הצגת ‪ V‬כקבוצה עם חיבור‬
‫וכפל בסקלר מושרים מ ‪V‬‬
‫‪ .68‬מטריצה מייצגת של פונקציונאל הרמיטי ‪ η‬בבסיס } ‪ {ei‬היא המטריצה = ‪Bij‬‬
‫) ‪η(ei , ej‬‬
‫‪ η .69‬פונקציונאל הרמיטי אז }‪ker η = {x|∀y.η(x, y) = 0‬‬
‫‪ .70‬פונקציונאל הרמיטי ‪ η‬יקרא מוגדר חיובית אם מתקיים ‪∀x =6= 0.η(x, x) > 0‬‬
‫‪ .71‬מטריצה הרמיטית מוגדרת חיובית אם הפונקציונאל שהיא מייצגת הוא מוגדר חיובית‬
‫‪ .72‬מרחב הרמיטי זה מרחב וקטורי מעל ‪ C‬עם פונקציונאל הרמיטי מוגדר חיובית‬
‫‪ .73‬הגדרת סדרה אורתוגונלית במרחב הרמיטי זהה להגדרה במרחב מכפלה פנימית‬
‫‪ .74‬ט"ל תקרא אוניטרית אם היא הפיכה ומשמרת מכפלה הרמיטית‬
‫‪t‬‬
‫‪ .75‬מטריצה ‪ A‬תקרא אוניטרית אם ‪A ∗ A = I‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫משפטים ומסקנות‬
‫‪ .1‬יהי ∗ ‪ T ⊂ V‬אזי ◦ ‪c(T◦ ) = T‬‬
‫‪ F[x] .2‬מרחב וקטורי‬
‫‪ f, g ∈ F[x] .3‬אם ‪ f, g 6= 0‬אזי ‪ deg(f ∗ g) = deg f + deg g‬ו‬
‫}‪deg(f + g) ≤ max{deg f, deg g‬‬
‫‪ .4‬יהיו ]‪ f, g ∈ F[x‬ו ‪ f, g 6= 0‬אזי קיימים ויחידים ]‪ q, r ∈ F[x‬כך ש ‪f = g ∗ q + r‬‬
‫וגם ‪ r = 0‬או ‪deg g > deg r‬‬
‫‪ a, b, c ∈ F[x] .5‬אז‪:‬‬
‫‪.1‬אם ‪ a|b‬וגם ‪ b|c‬אז ‪a|c‬‬
‫‪.2‬אם ‪ a|b‬וגם ‪ a|c‬אז )‪a|(b ± b‬‬
‫‪.3‬אם ‪ a|b‬אז ‪∀c.a|b ∗ c‬‬
‫‪.4‬אם ‪ a|b1 , ..bn‬אז ‪∀c1 , ..cn .a|b1 c1 + .. + bn cn‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ a|b‬וגם ‪ b|a‬אז קיים ‪ c ∈ F‬כך ש ‪a = c ∗ b‬‬
‫‪ a, b ∈ F[x] .7‬אז ‪ gcd(a, b)|a, b‬וגם אם יש ]‪ c ∈ F[x‬כך ש ‪ c|a, b‬אז ‪gcd(a, b)|c‬‬
‫‪ .8‬ב ]‪ F[x‬ההפיכים היחידים הם הפולינומים הקבועים‬
‫‪ f ∈ F[x] .9‬לא הפיך אזי קיימים ויחידים )עד כדי תמורה( ‪ p1 , ..pr‬כך שכולם אי‬
‫פריקים וגם ‪f = p1 ∗ p2 ∗ ..pr‬‬
‫‪ .10‬ב‪ R‬מתקיים שלכל ]‪:f, g, h ∈ R[x‬‬
‫‪ gcd(f, g) = f .1‬אם ורק אם ‪f |g‬‬
‫‪.2‬אם ‪ f 6= 0‬אז ‪gcd(f, 0) = f‬‬
‫‪t ∈ R. gcd(t ∗ f, t ∗ g) = t ∗ gcd(f, g).3‬‬
‫‪gcd(gcd(f, g), h) = gcd(f, gcd(g, h)).4‬‬
‫‪ f, g, h ∈ F[x] .11‬אז‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ gcd(f, g) = 1‬וגם ‪ gcd(f, h) = 1‬אז ‪gcd(f, g ∗ h) = 1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ f |g ∗ h‬וגם ‪ gcd(f, g) = 1‬אז ‪f |h‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ h|f, g|f‬וגם ‪ gcd(g, h) = 1‬אז ‪h ∗ g|f‬‬
‫‪ f ∈ F[x], a ∈ F .12‬אז קיים ויחיד ]‪ g ∈ F[x‬כך ש )‪f = g ∗ (x − a) + f (a‬‬
‫‪ f ∈ F[x], a ∈ F .13‬אז ‪ a‬שורש של ‪ f‬אם ורק אם ‪(x − a)|f‬‬
‫‪ C .14‬סגור אלגברית‬
‫‪ F f ∈ F[x] .15‬סגור אלגברית ו ‪ f‬אי פריק אזי ‪deg f = 1‬‬
‫‪ .16‬יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית אזי לכל ]‪ f ∈ F[x‬סכום ריבויי השורשים שוו לדרגת ‪f‬‬
‫‪ .17‬יהי ]‪ f ∈ R[x‬אזי אם ‪ f‬אי פריק ‪ deg f = 1‬או ‪ deg f = 2‬ול ‪ f‬אין שורשים‬
‫‪ ϕ : V → V .18‬אזי עבור ‪ A‬מטריצה מייצגת של ‪ ϕ‬בבסיס כלשהו‪P‬‬
‫) )‪σ∈Sn sgn(σ)(A1σ(1) − λδ1σ(1) ) ∗ ... ∗ (Anσ(n) − λδnσ(n‬‬
‫‪6‬‬
‫= )‪Pϕ (λ‬‬
‫‪ ϕ : V → V .19‬אזי ‪ λ ∈ F‬הוא ערך עצמי של ‪ ϕ‬אם ורק אם }‪ker(ϕ − λ ∗ In ) 6= {0‬‬
‫אם ורק אם ‪ λ‬שורש של ‪Pϕ‬‬
‫‪ ϕ : V → V .20‬אזי ‪deg Pϕ = dim V‬‬
‫‪ ϕ : V → V .21‬אזי מספר הערכים העצמיים של ‪ ϕ‬הוא לכל היותר ‪dim V‬‬
‫‪ .22‬אם ‪ F‬סגור אלגברית אזי לכל ‪ ϕ : V → V‬קיים וקטור עצמי‬
‫‪ ϕ : V → V .23‬אז אם ל ‪ dim V Pϕ‬שורשים אז ‪ ϕ‬לכסינה‬
‫‪ ϕ : V → V .24‬אזי אם ‪ v1 , ..vk ∈ V‬וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים אזי הם‬
‫בת"ל‬
‫‪ ϕ : V → V .25‬אזי לכל ‪ λ‬ערך עצמי מתקיים שהריבוי האלגברי שלו גדול שווה לריבוי‬
‫הגיאומטרי שלו‬
‫‪ ϕ : V → V .26‬אזי ‪ ϕ‬לכסינה אם ורק אם ‪ Pϕ‬מתפרק לגורמים מדרגה ראשונה וגם‬
‫הריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לריבוי הגיאומטרי שלו‬
‫‪ ϕ : V → V .27‬אזי קיים מרחב ‪ ϕ‬אינוואריאנטי ממימד ‪ 1‬או ‪2‬‬
‫‪ .28‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממשי אזי מימד ‪ V‬מעל ‪ R‬שווה למימד ‪ C V‬מעל ‪C‬‬
‫‪ .29‬משפט ז'ורדן )חשוב(‪ ϕ : V → V :‬אז ‪ ϕ‬ז'רדינה אם ורק אם ‪ Pϕ‬מתפרק לגורמים‬
‫מדרגה ‪ 1‬וצורת ז'ורדן של ‪ ϕ‬היא יחידה עד כדי תמורת הבלוקים‬
‫‪ ϕ : V L‬אז קיימים ויחידים ‪ ϕ1 , ϕ2‬כך ש ‪ ϕ1‬נילפוטנטית ‪ ϕ2‬הפיכה ו‬
‫‪→ V .30‬‬
‫‪ϕ = ϕ1 ϕ2‬‬
‫‪ ϕ1 , ϕ2 : V → V .31‬אז ‪Pϕ1 L ϕ2 = Pϕ1 ∗ Pϕ2‬‬
‫‪ ϕ : V → V .32‬אזי לכל ‪ i ∈ N‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ M i , N i .1‬הם ‪ ϕ‬אינוואריאנטי‬
‫‪N i+1 ⊂ N i ,M i ⊂ M i+1 .2‬‬
‫‪.3‬אם ‪ M k = M k+1‬אז מתקיים ש ‪= ...‬‬
‫‪ M k = M k+1 = M k+2‬ואותו דבר ל ‪N k‬‬
‫‪ ϕ : V → V .33‬אם ‪ M k = M k+1‬אז ‪ ϕ|M k‬נילפוטנטית ו ‪ ϕ|N k‬הפיכה‬
‫‪.34‬‬
‫‪.35‬‬
‫‪.36‬‬
‫‪.37‬‬
‫‪ ϕ : V → V‬אם ‪ ϕ‬נילפוטנטית אז }‪ specϕ = {0‬ו ‪Pϕ (λ) = (−λ)n‬‬
‫‪T‬‬
‫יהיו ‪LN, L ⊂ V‬תתי מרחבים לינאריים כך ש }‪ N L = {0‬אז קיים תת מרחב ‪L0‬‬
‫‪N‬‬
‫כך ש ‪L0 = V‬‬
‫‪Pk c‬‬
‫‪ i=1 M‬הוא סכום ישר‬
‫‪ ϕ : V → V‬ו ‪ λ1 , ..λk‬ערכים עצמיים אז הסכום ‪λi‬‬
‫‪L‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ ϕ : V → V‬כך ש ‪ Pϕ‬מתפרק לגורמים מדרגה ‪ 1‬אז ‪λ∈specϕ Mλ = V‬‬
‫‪ .38‬משפט קיילי המילטון‪ :‬יהי ]‪ p ∈ F[x‬ותהי )‪ A ∈ M (F‬כך ש )‪p = det(A − λ ∗ I‬‬
‫אזי ‪p(A) = p0 ∗ I + p1 ∗ A + ... + pn ∗ An = 0‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .39‬היא סימטרית אם ורק אם המטריצה המייצגת שלה סימטרית בכל בסיס‬
‫‪7‬‬
‫‪Skew(V ) .40‬‬
‫‪L‬‬
‫) ‪T2 (V ) = Sym(V‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .41‬ו }‪ {b}, {e‬בסיסים ‪ B‬המטריצה המייצגת של ‪ ξ‬לפי הבסיס ‪ b‬ו‪E‬‬
‫המטריצה המייצגת של ‪ ξ‬לפי ‪ e‬ו‪ C‬מטריצת המעבר מהבסיס ‪ b‬לבסיס ‪ e‬אז‬
‫‪E = Ct ∗ B ∗ C‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .42‬אז )‪dim kerl ξ = dim kerr ξ = dim V − rk(ξ‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .43‬אז ))‪ (ξbl (x)), (ξbr (x‬העתקות לינאריות‬
‫‪ker ξbl = ker ξ l , ker ξbr = ker ξ r ξ ∈ T2 (V ) .44‬‬
‫‪ ξ ∈ T2 (V ) .45‬אזי הטענות הבאות שקולות ‪:‬‬
‫‪ ξ.1‬לא מנוון‬
‫‪ ξbl .2‬איזומורפיזם‬
‫‪ ξbr .2‬איזומורפיזם‬
‫‪ .46‬יהי ‪ L ⊂ V‬תת מרחב לינארי ) ‪ ξ ∈ T2 (V‬לא מנוון אזי ‪L⊥ξ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪V =L‬‬
‫‪ .47‬לכל ) ‪ ξ ∈ T2 (V‬בהינתן בסיס }‪{b‬‬
‫‪ .48‬לכל ) ‪ ξ ∈ Sym(V‬קיים בסיס בו המטריצה שלה אלכסונית‬
‫‪ .49‬לכל תבנית ריבועית קיים ויחיד ) ‪ ξ ∈ Sym(V‬כך ש )‪∀x ∈ V.b(x) = ξ(x, x‬‬
‫בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪ .50‬כל תבנית‬
‫ריבועית נינת להצגה ‪Pn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪b(x) = i=1 bii x2i + 2 ∗ i<j bij xi ∗ xj‬‬
‫‪ .51‬שיטת לגראנז' לליכסון תבנית ריבועית‪ :‬נחלק למקרים‪:‬‬
‫‪ b11 6= 0.1‬אז נסדר מחדש = )‪b(x‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Pn‬‬
‫‪b ∗b‬‬
‫‪ii‬‬
‫‪1i‬‬
‫‪xi )2 + i=2 (bii − bb11‬‬
‫‪)x2i + 2 ∗ 2≤i<j (bij − 1jb11 1i )xi xj‬‬
‫‪b11 (x1 + i=2 bb11‬‬
‫‪P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1i‬‬
‫‪ x01 = (x1 + i=2 b11‬ו ‪ ∀i 6= 1.x0i = xi‬ונחזור להתחלה‬
‫נגדיר ‪xi )2‬‬
‫‪.2‬אם ‪ b11 = 0‬אבל קיים ‪ k‬כך ש ‪ bkk 6= 0‬נעשה תמורה לאיברים ונחזור למקרה ‪1‬‬
‫‪.3‬אם כל המקדמים הריבועיים ‪ 0‬אז או שהתבנית היא התבנית הקבועה ‪ 0‬או שקיימים‬
‫‪ i, j‬כך ש ‪ bij 6= 0‬נעשה תמורה כך ש ‪ i = 1, j = 2‬ואז נעשה את ההחלפה‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x01 = x1 +x‬ו ‪ ∀i 6= 1, 2.x0i = xi‬ונחזור למקרה ‪1‬‬
‫‪, x02 = x2 −x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .52‬משפט יעקובי‪ :‬תהי ‪ b‬תבנית ריבועית אזי ניתן ללכסן את ‪ b‬באמצעות מטריצה‬
‫משולשית יחידה אם ורק אם ‪ ∀k.∆k 6= 0‬ואז באלכסון בצורה האלכסונית במיקום‬
‫‪k‬‬
‫‪ ∆∆k−1‬כאשר ‪∆0 = 1‬‬
‫ה‪ k‬יופיע‬
‫‪ .53‬מעל שדה סגור אלגברית שני תבניות ריבועיות שקולות אם ורק אם דרגתן זהה‬
‫‪ .54‬אינדקסי האינרציה של תבנית ריבועית לא תלויים בבחירת הבסיס‬
‫‪ .55‬תבנית ריבועית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם אינדקס האינרציה החיובית שלה‬
‫הוא ‪n‬‬
‫‪ .56‬תבנית ריבועית היא מוגדרת שלילית אם ורק אם אינדקס האינרציה השלילית שלה‬
‫הוא ‪n‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .57‬אם ‪ b‬היא תבנית ריבועית מוגדרת חיובית אז בכל בסיס המטריצה המייצגת הפיכה‬
‫והדטרמיננטה שלה גדולה מ‪0‬‬
‫‪ .58‬משפט סילבסטר‪ :‬מטריצה סימטרית ממשית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם‬
‫‪∀k∆k > 0‬‬
‫‪ .59‬תהי ‪ b‬תבנית ריבועית אזי ‪ ∀x1 , ..xn det Bb (x1 , ..xn ) ≥ 0‬והשוויון מתקבל אם ורק‬
‫אם הוקטורים תלויים‬
‫‪ .60‬במרחב מכפלה פנימית ||‪ ∀x, y.||x + y|| ≤ ||x|| + ||y‬ויש שוויון אם ורק אם הם‬
‫תלויוום עם קבוע אי שלילי‬
‫‪ .61‬בכל מרחב מכפלה פנימית קיים בסיס אורתונורמלי‬
‫שמידט שיהפוך אותה לסדרה‬
‫‪ .62‬תהי ‪ x1 , ..xm‬סדרת וקטורים בת"ל תהליך גרם‬
‫‪P‬‬
‫‪xi − ik=1 ξ(xi ,x0k )x0k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫אורתונורמלית יוגדר כך || ‪ x01 = ||xx11‬ואז || ‪xi = ||x − i ξ(x ,x0 )x0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ .63‬תהליך גרם שמידט משמר פריסה לכל תת קבוצה כלומר לכל ‪ x1 , ...xm‬ולכל ‪k ≤ m‬‬
‫מתקיים ש } ‪span{x1 , .., xk } = span{x01 , .., x0k‬‬
‫‪ .64‬כל סדרה אורתונורמלית במרחב מכפלה פנימית ניתן להשלים לבסיס אורתונורמלי‬
‫‪ .65‬שני מרחבי מכפלה פנימית הם איזומורפיים אם ורק אם מימדם זהה‬
‫‪ .66‬יהיו ‪ T, S‬ו‪ λ, η ∈ F‬ט"ל במרחב מכפלה פנימית אזי‪:‬‬
‫‪(T ∗ )∗ = T .1‬‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫∗‬
‫‪(λT + ηS) = λT + ηS ,(S ◦ T ) = T ∗ ◦ S ∗ .2‬‬
‫‪.3‬אם ‪ T‬הפיכה אז ∗ ‪ T‬הפיכה ו ∗) ‪(T ∗ )−1 = (T −1‬‬
‫‪ T : V → V .67‬ו ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית אזי בכל בסיס אורתונורמלי }‪ {b‬מתקיים‬
‫ש‪[T ]tb = [T ∗ ]:‬‬
‫‪ T : V → V .68‬ו ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית אזי לכל מרחב ‪ T‬אינווארינטי מתקיים‬
‫שהמשלים האורתוגונלי שלו הוא ∗ ‪ T‬אינוואריאנטי‬
‫‪ T : V → V .69‬אזי הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ T .1‬צמודה לעצמה‬
‫‪.2‬בכל בסיס אורתונורמלי המטריצה של ‪ T‬היא סימטרית‬
‫‪.3‬קיים בסיס אורתונורמלי בו המטריצה של ‪ T‬סימטרית‬
‫‪ T : V → V .70‬צמודה לעצמה אזי קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של ‪T‬‬
‫)בסיס מלכסן(‬
‫‪ T : V → V .71‬צמודה לעצמה אזי וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים הם‬
‫אורתוגונליים‬
‫‪ .72‬לכל פונקציונאל בילינארי קיימת ויחידה ט"ל ‪ T‬כך ש ‪ ξ = BT‬כאשר = )‪BT (x, y‬‬
‫)‪(x, T y‬‬
‫‪ .73‬משפט רייס‪ ϕ : V → V :‬ו ‪ V‬מרחב מכפלה פנימית אזי קיים ויחיד ‪ y ∈ V‬כך ש‬
‫)‪∀x ∈ V.ϕ(x) = (x, y‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ V .74‬מרחב מכפלה פנימית ו ‪ ϕ : V → V‬אזי הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ ϕ.1‬אורתוגונלית‬
‫‪ ϕ.2‬מעבירה כל בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי‬
‫‪.3‬קיים בסיס ש ‪ ϕ‬מעבירה לבסיס אורתונורמלי‬
‫‪ϕ∗ ∗ ϕ = I.4‬‬
‫‪ .75‬הרכבה של טרנספורמציות אורתוגונליות והופכית של טרנספורמציה אורתוגונלית הם‬
‫אורתוגונליים‬
‫‪ .76‬לכל ‪ ϕ : V → V‬אורתוגונלית קיים בסיס בו היא בצורה קנונית כשהצורה הקונונית‬
‫היא מטריצה אלכסונית בלוקים כך שכל הבלוקים בגודל ‪ 1‬או ‪ 2‬והבלוקים בגודל ‪2‬‬
‫באלכסון הראשי יש ‪ cos θ‬ובאלכסון המשני ‪ sin θ‬כשבפינה הימנית העליונה מוכפל‬
‫המינוס עבור ‪0 < θ < π‬‬
‫‪ .77‬הדטרמיננטה של מטריצה המייצגת ט"ל אורתוגונלית היא או ‪ 1‬או ‪−1‬‬
‫‪ .78‬הצורה הקנונית של ט"ל אורתוגונלית היא יחידה עד כדי תמורת הבלוקים‬
‫‪ .79‬אם מרחב לינארי הוא אינוואריאנטי לט"ל אורתוגונלית אז גם המשלים האורתוגונלי‬
‫שלו אינוואריאנטי לה‬
‫‪ ϕ : V → V .80‬אורתוגונלית ו ‪ x + iy ∈C V‬וקטור עצמי של ‪ C ϕ‬עם ערך עצמי ‪:λ ∈ C‬‬
‫‪|λ| = 1.1‬‬
‫‪||x|| = ||y||.2‬‬
‫‪(x, y) = 0.3‬‬
‫‪ .81‬ט"ל היא מוגדרת חיובית אם ורק אם כל הערכים העצמיים שלה חיוביים‬
‫‪ .82‬כל ט"ל מוגדרת חיובית היא הפיכה וההופכית שלה היא גם מוגדרת חיובית‬
‫‪ .83‬לכל ט"ל הפיכה ההרכבה של על הצמודה שלה )משני הצדדים( היא מוגדרת חיובית‬
‫‪ ϕ : V → V .84‬מוגדרת חיובית אזי קיימת ויחידה ט"ל ‪ T : V → V‬כך ש‪T 2 = ϕ‬‬
‫‪ .85‬הט"ל היחידה שהיא גם מוגדרת חיובית וגם אורתוגונלית היא טרנספורמציות הזהות‬
‫‪ .86‬תהי ‪ ϕ : V → V‬הפיכה אז קיימות ויחידות ‪ T, U : V → V‬כך ש ‪ U‬אורתוגונלית‬
‫‪ T‬מוגדרת חיובית ו ‪ϕ = U ◦ T‬‬
‫‪ .87‬מימד המימוש של מרחב וקטורי מעל ‪ R‬הוא פי ‪ 2‬ממימד המרחב מעל ‪C‬‬
‫‪ .88‬הפונקציה ‪ T :R V → R‬שמקיימת )‪ T (x) = η(x, x‬היא תבנית ריבועית‬
‫‪ η .89‬פונקציונאל הרמיטי אז ‪+ y, x + y) + iη(x + iy, x + iy) −‬‬
‫)‪η(x − y, x − y) − iη(x − iy, x − iy‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 (η(x‬‬
‫= )‪η(x, y‬‬
‫‪ .90‬המטריצה מייצגת של פונקצינאל הרמיטי היא הרמיטית בכל בסיס‬
‫‪ .91‬לכל פונקציונאל הרמיטי יש בסיס שבו המטריצה המייצגת שלו היא אלכסונית ובאלכסון‬
‫רק ‪±1, 0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .92‬מספר האפסים מספר ה‪ 1‬ומספר ה‪ −1‬במטריצה האלכסונית של פונקציונאל הרמיטי‬
‫לא תלויים בבסיס המלכסן‬
‫‪ η .93‬פונקציונאל הרמיטי אז ‪dim ker η = dim V − rkη‬‬
‫‪ .94‬משפט סילבסטר‪ :‬מטריצה הרמיטית היא מוגדרת חיובית אם ורק אם ‪∀i.∆i > 0‬‬
‫‪ .95‬כל המשפטים וההגדרות כולל תהליך גרם שמידט תקפים ללא שינוי במרחב הרמיטי‬
‫מלבד כמה שעוברים שינוי קל ושיכתבו להלן‬
‫‪ .96‬ט"ל צמודה במרחב הרמיטי‪(λT )∗ = λT ∗ :‬‬
‫‪[T ∗ ] = [T ]t .97‬‬
‫‪ .98‬ט"ל צמודה לעצמה מקיימת שבכל בסיס אורתונורמלי המטריצה היא הרמיטית‬
‫‪ .99‬לט"ל צמודה לעצמה כל הערכים העצמיים ממשיים וקיים בסיס מלכסן של וקטורים‬
‫אורתונורמליים‬
‫‪ .100‬תהי ‪ T‬ט"ל הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ T .1‬אוניטרית‬
‫‪ T .2‬משמרת מכפלה הרמיטית‬
‫‪ T .3‬משמרת נורמה‬
‫‪.4‬המטריצה של ‪ T‬בבסיס אורתונורמלי היא אוניטרית‬
‫‪ .101‬כל הערכים העצמיים של מטריצה אוניטרית בעלי נורמה ‪1‬‬
‫‪11‬‬