וקטורים וערכים עצמיים
כל פרק 7 וקטורים וערכים עצמיים הזכ 7.1 הגדרה,חישוב ותכונות נתחיל מהגדרה. הגדרה 7.1.1וקטור u 6= 0נקרא וקטור עצמי של מטריצה ריבועית Aאם מתקיים השוויון ות וי Au = u מספר נקרא ערך עצמי של מטריצה :A # דוגמה 7.1.1תהי " 1 4 = :Aוקטור 2 3 # )(7.1 " 1 = uהוא וקטור עצמי של מטריצה Aכי :Au = 5u 1 # " שמ דוגמה 7.1.2תהי Pמטריצת הטלה על ישר :y = 2x 3הווקטור 1 = uהוא וקטור עצמי של מטריצה Pעם 2 " # ערך עצמי = 1כי הוא שווה להיטל שלו ,כלומר מתקיים השוויון :Au = 1 uכמו כן ,הווקטור 2 = vהוא 1 1 גם וקטור עצמי של מטרימה Pכי הוא מאונך לישר הנתון ולכן היטל שלו על הישר הזה שווה וקטור אפס ,כלומר, מתקיימת משוואה :Av = 0 = 0 v ות ור נראה עכשיו מה היא תועלת במושג החדש .נניח שמטריצה Aהיא :n nכמו כן ,נניח שיש לה n וקטורים עצמיים u1 ; u2 ; : : : ; unשמהווים קבוצה בלתי תלויה לינארית ו־ Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un אם כך ,נוכל לרשום כל וקטור x 2 Rnכצירוף לינארי: x = 1 u1 + 2 u2 + : : : ; n un 101 .7.1 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים הגדרה,חישוב ותכונות מפה נובע ש־ Ax = 1 Au1 + 2 Au2 + : : : ; n Aun = 1 1 u1 + 2 2 u2 + : : : ; n n un באופן דומה x = A(Ax) = 1 u1 + 2 u2 + : : : ; n n un 2 כל ו־ 2 1 2 2 2 A Ak x = 1 k1 u1 + 2 2k u2 + : : : ; n kn un אנו רואים שידע על וקטורים עצמיים של מטריצה חוסך בחישוב חזקות שלה )יותר מדויק ,בחישוב כפל של חזקה שלה בווקטור .בהמשך נדבר גם על חישוב של חזקת מטריצה בעזרת וקטורים עצמיים(. 1 1 = v ; ות וי הזכ דוגמה 7.1.3נניח שיש לנו אוכלוסיה שמורכבת משני סוגים של תושבים )זאת יכולה להיות אוכלוסיה של אנשים שגרים בכפר ובעיר או אוכלוסיה של חולים ובריאים או אוכלוסיה של חלקיקים משני סוגים וכדומה( .נניח שגודל של אוכלוסיה לא משתנה אלא יש מעבר בין שני סוגים .למשל ,תוך יחידת זמן 1=2מסוג ראשון הופך לסוג שני ו־ 4=5מסוג שני הופך לסוג ראשון .נניח שבהתחלה היו x0תושבים מסוג ראשון ו־ y0תושבים מסוג שני .נסמן ב־ xkמספר תושבים מסוג ראשון כעבור kיחידות זמן וב־ ykמספר תושבים מסוג שני כעבור kיחידות זמן .אז נוכל לרשום ש־ " # " # # " x 0 : 5 0 : 8 xk 0 =; A = Ak y0 0:5 0:2 yk ננסה לחשב התפלגות האוכלוסיה הזאת כאשר יעבור הרבה זמן כלומר נחשב : limk!1 xk =ykוקטורים = u # # " " 8מקיימים את השוויונים 0:3v 5 = ) Au = u; Avעוד מאט נדע איך לחשב אותם(. הוקטורים האלה מהווים בסיס של R2ולכן נוכל לרשום ש־ = 1 u + 2 v לכן, = A (1 u + 2 v) = 1 u + ( 0:3) v; klim !1 k k # xk yk " שמ = 1 u # xk yk " # x0 y0 " מפה נובע ש־ : limk!1 xk =yk = 8=5 נראה איך מוצאים וקטורים וערכים עצמיים .נרשום משוואה וקטורית ) (7.1כ־ (Au I )u = 0 )(7.2 ות ור כאשר Iהיא מטריצת יחידה .המשוואה הזאת היא מערכת משוואות הומוגנית .על מנת שיהיה לה פתרון שונה מווקטור אפס )הרי ( u 6= 0יש לדרוש ש־ det(A I ) = 0 )(7.3 המשוואה הזאת נקראת משוואה אופיינית והפולינום והפולינום ) det(A I מטריצה :Aמשוואה אופיינית מכילה רק נעלם אחד ולכן חיפוש של וקטורים וערכים עצמיים בהעדר שום נקרא פולינום אופייני של א .גולדוורד ,ל .קרפ 102 .7.1 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים הגדרה,חישוב ותכונות מידע נוסף מתחילים מלפתור את המשוואה הזאת .אחרי שמתקבלים פתרונות מציבים כל אחד מהם לכוד במערכת הומוגנית ) (7.2ומוצאים וקטורים עצמיים ששייכים לערך עצמי שהוצב במערכת .נעיר שדרגה של פולינום אופייני של מטריצה n nשווה nכי בפולינום ) det(A I יש איבר ) (a11 )(a22 ) : : : (ann כל כאשר aii ; i = 1; : : : ; nהם איברים באלכסון הראשי של מטריצה :Aמפה נובע שלמטריצה ריבועית n nיש לכל היותר nערכים עצמיים שונים זה מזה .לעומת זאת ,מספר וקטורים עצמיים של כל מטריצה )במידה ויש אותם( הוא אין סוף כי אם A x = x הזכ אז לכל מספר 6= 0מתקיים )A (x) = Ax = (x) = (x כלומר ,אם xוקטור עצמי של מטריצה Aאז גם וקטור xהוא וקטור עצמי של מטריצה Aלכל מספר : 6= 0מבחינה גיאומטרית ,אוסף וקטורים xהוא ישר שעובר דרך הראשית .לכן אנחנו יכולים לקרוא ות וי לאוסף וקטורים עצמיים x; 6= 0 ישר עצמי של מטריצה :A למרות שמספר וקטורים עצמיים )אם יש אותם( אין סופי ,מספר וקטורים עצמיים בלתי תלוים של מטריצה ריבועית n nלא עולה על nכי במרחב nמימדי לא יכול להיות יותר מ־ nוקטורים עצמיים בלתי תלוים. הערה 7.1.1מספר ערך עצמי של מטריצה ריבועית Aאם ורק אם הוא ערך עצמי של מטריצה ATכי דוגמה 7.1.4נחשב וקטורים וערכים עצמיים של מטריצה 7 7 5 3 נרכיב את המשוואה האופיינית =0 א .גולדוורד ,ל .קרפ 7 7 5 2 1 1 1 6 :A = 6 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 103 1 2 6 det 64 1 1 ות ור 3 שמ ) I = det(A I ) = det(A I )T det(AT .7.1 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים הגדרה,חישוב ותכונות אחרי חישוב של דטרמיננטה מתקבלת משוואה 32 3 = 0 השורשים שלה הם :1 = 0; 2 = 3 נחשב וקטורים עצמיים של ערך עצמי = 0ע״י פתרון המערכת :Ax = 0קבוצת הפתרונות שלה מתוארת ע״י נוסחה 3 כל 7 7 5 2 3 17 6 1 1 75 + t 64 0 1 0 2 3 = s 64 7 7 5 6 2 s t s t 6 = 64 x כלומר קבוצת וקטורים עצמיים ששייכים לערכך עצמי = 0היא 39 > > =7 7 >5 > ; הזכ 1 0 1 )חוץ מווקטור אפס(. של ערך עצמי וקטורים 2 עצמיים 2 3 נחשב 3 7 נוסחה 7 5 1 6 = t 64 1 1 7 7 5 3 2 7 6 7;6 5 4 82 > > <6 6 4 > > : 1 1 0 Span = 3ע״י פתרון המערכת 3I )x = 0 מתוארת ע״י שלה :(Aקבוצת הפתרונות 9 82 3 t 6 ; x = 6כלומר קבוצת וקטורים עצמיים ששייכים לערכך עצמי = 0 4 t t > > =7 היא 7 >5 > ; ות וי )חוץ מווקטור אפס(. 1 1 1 > > <6 6 4 > > : Span נכיר שתי תכונות פשוטות שיכולות לעזור בחישוב של ערכים עצמיים. טענה 7.1.1מספר = 0הוא ערך עצמי של מטריצה ריבועית Aאם ורק אם : det A = 0 הוכחה .מספר הוא ערך עצמי של מטריצה Aאם ורק אם : det(A I ) = 0 טענה 7.1.2אם סכום איברים בכל שורה של מטריצה קבוע אז הסכום הזה הוא ערך עצמי של המטריצה הנידונה ולערך עצמי הזה יש וקטור עצמי שכל הקואורדינטות שלו שוות :1 6 7 6 7 6 7 6 7 6 .. 7 6.7 4 5 6 7 6 7 6c7 6 7 6 .. 7 6.7 4 5 7 7 5 1 1 c =c c # דוגמה 7.1.5תהי 0 1 1 0 " = 1 1 6 7 6 7 6 7 6 7 6 .. 7 6.7 4 5 1 an1 + an2 + : : : + ann a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n .. . ... .. . .. . an1 an2 : : : ann 6 6 6 6 6 6 4 ות ור 1 = 6 6 6 a21 6 6 6 4 7 7 7 7 7 7 5 a11 + a12 + : : : + a1n 7 + a22 + : : : + a2n 777 .. . שמ הוכחה. 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 = Aמטריצת סיבוב בזווית =2נגד כיוון השעון .גיואמטרית ברור שאין לה וקטורים עצמיים ב־ R2ולכן אין לה ערכים עצמיים ממשיים .אבל ,יש לה ערכים עציים מרוכבים .משוואה אופיינית שלה היא = 2 + 1 = 0 א .גולדוורד ,ל .קרפ # 1 104 1 " det .7.1 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים הגדרה,חישוב ותכונות שלהם. וערכים עצמיים :1 = i; 2 = iנמצא וקטורים עצמיים # עבור = iנפתור את המערכת :(A iI )x = 0הפתרון שלה 1 " i ששייכים לערך עצמי הזה. עבור = iנפתור את המערכת :(A + iI )x = 0הפתרון שלה # tוזה אוסף וקטורים עצמיים )חוץ מווקטור אפס( " 1 tוזה אוסף וקטורים עצמיים )חוץ מווקטור i כל אפס( ששייכים לערך עצמי הזה. בדוגמה הזאת לראשונה מופיעים וקטורים עם קואורדינאטות מרוכבות .אנו נחזור להם בהמשך הספר. תכונות של וקטורים עצמיים .1וקטור עצמי לא יכול להשתייך לערכים עצמיים שונים זה מזה. הזכ הוכחה .נניח ש־ =Ax = x; Ax = x; 6 מפה נובע ש־ ( )x = 0 וזה סותר את הנתונים כי = 6ו־ :x 6= 0 שלהם ות וי .2אם fa; b; : : : ; wgוקטורים עצמיים של מטריצה Aששייכים לאותו ערך עצמי אז גם צירוף ליניארי 1 2 : : : p 6= 0 ;x = 1 a + 2 b + : : : + p w הוא וקטור עצמי של מטריצה Aששייך לאותו ערך עצמי : הוכחה. שמ = Ax = A (1 a + 2 b + : : : + p w) = 1 Aa + 2 Ab + : : : + p Aw 1 a + 2 b + : : : + p w = x .3וקטורים עצמיים של מטריצה Aששייכים לערכים עצמיים שונים זה מזה מהווים קבוצה בלתי תלויה ליניארית. ות ור הוכחה .נגיד ש־ Au = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un אם הקבוצה fu1 ; u2 ; : : : ; un gהיתה תלויה ליניארית אז לפחות אחד מווקטורי הקבוצה היה צירוף ליניארי של האחרים .נגיד שזה וקטור .uאז 2 Span fu ; : : : ; ung הנ״ל הוא קבוצה fu ; : : : ; up gכאשר .p n 1אז 2 1 2 = 2 u2 + : : : + p up א .גולדוורד ,ל .קרפ 105 u1 .u1נגיד שבסיס של הפרישה )(7.4 .7.1 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים הגדרה,חישוב ותכונות נכפיל שני אגפים של שוויון ) (7.4בערך עצמי : 1 1 u1 = 2 1 u2 + : : : + p 1 up )(7.5 נכפיל שני אגפים של שוויון ) (7.4במטריצה Aונקבל כל 1 u1 = Au1 = 2 2 u2 + : : : + p p up )(7.6 עכשיו נחסיר מהשוויון ) (7.6את השוויון ):(7.5 2 (2 1 ) u2 + : : : + p (p 1 ) up = 0 הקבוצה fu2 ; : : : ; up gבלתי תלויה ולכן הזכ 2 (2 1 ) = : : : = p (p 1 ) = 0 אנחנו יודעים ש־ 2 ; : : : ; p 6= 0כי u1וקטור עצמי .לכן קיים ערך עצמי iכאשר i 6= pכך ש־ i = pוזה סותר את הנתון שכל הערכים העצמיים שונים זה מזה. מטענה אחרונה נובע שאם למטריצה ריבועית n nיש בדיוק nערכים עצמיים שונים זה מזה אז ות וי יש לה בדיוק nוקטורים עצמיים בלתי תלוים. שמ ות ור א .גולדוורד ,ל .קרפ 106 .7.2 לכסון של מטריצה ריבועית 7.2 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים לכסון של מטריצה ריבועית תהי Aמטריצה n nעם nוקטורים עצמיים fu1 ; u2 ; : : : ; un gבלתי תלויים לינארית .נרשום אותם כעמודות של מטריצה : P כל נגיד ש־ ] P = [u1 ; u2 ; : : : ; un Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un כאשר המספרים 1 ; 2 ; : : : ; n לאו דווקא שונים זה מזה .נחשב: הזכ ] AP = A [u1 ; u2 ; : : : ; un ] = [Au1 ; Au2 ; : : : ; Aun ] = [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un 3 נרכיב מטריצה ריבועית אלכסונית 7 7 7 7 7 7 5 0 0 .. . 1 0 : : : 0 2 : : : . .. . .. .. . 0 : : : n 6 6 6 6 6 6 4 = ונחשב: ות וי 0 2 3 ] = [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un 7 7 7 7 7 7 5 0 0 .. . 1 0 : : : 0 2 : : : ... .. . .. . 0 : : : n מפה נובע ש־ :AP = Pיותר מזה ,המטריצה Pהפיכה ולכן ו־ 1 A = P P אנחנו הוכחנו טענה הבאה. 6 6 6 6 6 6 4 ] P = [u1 ; u2 ; : : : ; un שמ = P 1 AP 0 2 )(7.7 )(7.8 A = P P משפט 7.2.1אם למטריצה Annיש nוקטורים עצמיים בלתי תלויים אז מתקיים השוויון כאשר עמודות של מטריצה Pהן וקטורים עצמיים הנ״ל ומטריצה Dאלכסונית עם ערכים עצמיים של מטריצה 1 ות ור Aבאלכסון. במשפט הנ״ל למדנו בעצם איך לפרק מטריצה שמקיימת תנאים שצוינו במשפט למכפלה של שלוש מטריצות שמבנה שלהן נקבע ע״י וקטורים וערכים עצמיים של המטריצה הנתונה .בהמשך אנחנו נראה איך בעזרת פירוק הזה לחשב באופן יעיל חזקה של מטריצה .עכשיו נוכיח שגם משפט הפוך למשפט הנ״ל נכון. א .גולדוורד ,ל .קרפ 107 .7.2 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים לכסון של מטריצה ריבועית משפט 7.2.2אם מטריצה ריבועית Aמקיימת את השוויון A = P P 1כאשר מטריצה עמודות של מטריצה Pהן וקטורים עצמיים של Aואיברי אלכסון של מטריצה הם ערכים עצמיים של .A אלכסונית אז כל הנתון כ־ P הוכחה .נרשום את השוויון 3 ::: 0 7 : : : 0 777 ] [u1 ; u2 ; : : : ; unכמו כן ,נגיד ש־ . 7 . 7 5 .. = 2 :APנציין במפורש את העמודות של מטריצה = :P 1 0 6 6 6 0 2 : = 6נחשב: 6 . . .. .. 0 : : : n .. 0 6 4 ] AP = A [u1 ; u2 ; : : : ; un ] = [Au1 ; Au2 ; : : : ; Aun 3 הזכ ] = [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un 7 7 7 7 7 7 5 1 0 : : : 0 2 : : : 0 0 .. . ... .. . .. . 0 2 6 6 6 6 6 6 4 ] P = [u1 ; u2 ; : : : ; un 0 : : : n לכן:Au1 = 1 u1 ; Au2 = 2 u2 ; : : : ; Aun = n un , בפירוק A = P P 1מטריצה אמצעית אלכסונית .זאת הסיבה להגדרה הבאה. ות וי הגדרה 7.2.1תהי Aמטריצה ריבועית .אם קיימת מטריצה הפיכה Pכך שמתקיים השוויון A = P P 1 כאשר מטריצה אלכסונית ,אז מטריצה Aנקראת לכסינה. משני משפטים הקודמים ומההגדרה הנ״ל נובעת מסקנה הבאה. מטריצה ריבועית n nלכסינה אם ורק אם יש לה nוקטורים עצמיים בלתי תלויים. שמ הערה 7.2.1אם בהגדרה 7.2.1הערכים העצמיים באלכסון של מטריצה Dכולם ממשיים אז נקרא למטריצה A לכסינה מעל ; Rואם חלק מערכים האלה מרוכבים אז נקרא למטריצה Aלכסינה מעל :C 3 יש מטריצות שלכסינות מעל C 3 דוגמה 7.2.1 2 4 )הקורא מתבקש לבדוק את זה(. 3 1 1 7 7 7 נוכיח שמטריצה .. 7 . 7 5 1 ::: ::: . ::: הנתונה כי דטרמיננטה שלה שווה אפס. א .גולדוורד ,ל .קרפ .. 1 1 1 1 .. . 2 6 6 6 6 . 6 .. 4 = 4 ויש מטריצות לא לכסינות כלל, ות ור למשל מטריצה 5 1 1 0 1 ולא לכסינות מעל ; Rלמשל 5 0 1 1 0 2 Annלכסינה .ברור ש־ = 0הוא ערך עצמי של המטריצה 1 1 לערך עצמי הזה יש 1 108 nוקטורים עצמיים בלתי תלויים כלמערכת הומוגנית .7.2 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים לכסון של מטריצה ריבועית = [1; 1; : : : ; 1]T Ax = 0יש n 1פתרונות בלתי תלויים )אחרי דירוג נשארת רק משוואה אחת( .כמו כן ,הווקטור הוא וקטור עצמי של מטריצה Aששייך לערך עצמי = nכי :Au = nuמתכונה 3של וקטורים עצמיים נובע שווקטור הזה יחד עם n 1וקטורים קודמים מרכיבים קבוצה בלתי תלויה לינארית. נעבור לחישוב חזקה של מטריצות לכסינות .אם מטריצה Aלכסינה אז כל = P 3 P 1 ; : : : 3 כמו כן ,אם 1 0 : : : 0 2 : : : .. . . .. .. . 0 : : : n .. . 0 2 3 6 6 6 6 6 6 4 7 7 7 7 7 7 5 = אז הזכ 7 7 7 7 7 7 5 0 0 1 = P 2 P 1 ; A3 = P P 1 P 2 P Ak = P k P 1 # דוגמה 7.2.2תהי " 0 0 .. . k1 0 : : : 0 k2 : : : ... .. . 0 : : : kn .. . 0 1 1 u A = P Pו־ A2 = P P 1 P P 2 6 6 6 6 6 6 4 = k ות וי 0:8 0:1 = :Aנחשב : limk!1 Akהערכים העצמיים של Aהם :1 = 0:9; 2 = 0:8לכן, 1:6 0:7 " # " # 0:9 0 P 1 ; Ak = P 0:9k 0 A=P P 1 0 0:8 0 ( 0:8)k " # " # 0 0 0 0 k 1 lim A = P = P t!1 0 0 0 0 ריבוב אלגברי וריבוב גאומטרי הגדרה 7.2.2תהי Aמטריצה ריבועית :n nנפרק את הפולינום האופייני שלה לגורמים: שמ det [A I ] = ( 1)n ( 1 )m1 ( i )mi ( p )mp .1המספר miנקרא ריבוב אלגברי של ערך עצמי :i 3 דוגמה 7.2.3 2 ות ור .2מספר וקטורים עצמיים בלתי תלוים של ערך עצמי iנקרא ריבוב גיאומטרי של ערך עצמי הזה. 1 1 17 6 2 6 A = 41 1 17 )5 ; det[A I ] = ( 3 1 1 1 ריבוב אלגברי של ערך עצמי = 0הוא 2ושל ערך עצמי = 3הוא :1 לערך עצמי = 0יש 2וקטורים עצמיים בלתי תלוים )ראה דוגמה .( 7.1.4לכן ריבוב גיאומטרי שלו שווה .2 לערך עצמי = 3יש וקטור עצמי בלתי תלוי אחד .לכן ריבוב גיאומטרי שלו שווה .1 א .גולדוורד ,ל .קרפ 109 .7.2 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים לכסון של מטריצה ריבועית בין ריבוב גיאומטרי וריבוב אלגברי של אותו ערך עצמי יש קשר מעניין. משפט 7.2.3לכל ערך עצמי הריבוב הגיאומטרי אינו גדול מהריבוב האלגברי שלו. הוכחה .נניח שמספר הוא ערך עצמי של מטריצה Annעם ריבוב גיאומטרי ששווה ; pכלומר קיימים כל pוקטורים u1 ; : : : ; upבלתי תלוים כך ש־ נרכיב מטריצה Au1 = u1 ; : : : Aup = up ; p < n ] P = [u1 ; : : : up ; up+1 ; : : : un הזכ כך שהקבוצה fu1 ; : : : up ; up+1 ; : : : un gתהיה בלתי תלויה ליניארית .נחשב ] AP = [u1 ; : : : up ; Aup+1 ; : : : Aun נרכיב מטריצה כך שיתקיים השוויון ות וי AP = P מרכיבים אותה כך: )(7.9 ] = [a1 ; : : : ; ap ; bp+1 ; : : : ; bn כל הקואורדינאטות של וקטור aiשוות אפס חוץ מקואורדינאטה מס׳ iוהיא שווה :1נחשב ] P = [P a1 ; : : : P ap ; P bp+1 ; : : : P bn ] = [u1 ; : : : up ; P bp+1 ; : : : P bn שמ וקטורי עמודות של מטריצה Pמהוות בסיס ולכן קיימים וקטורים bp+1 ; : : : bnשיקיימו את השוויונים Aui = P bi ; i = p + 1; : : : n משוויון ) (7.9נובע ש־ 1 א .גולדוורד ,ל .קרפ A I = P ( I )P 110 ות ור לכן, 1 A = P P .7.2 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים לכסון של מטריצה ריבועית ו־ 3 כל 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = ] det [A I ] = det [ I 0 b1 p+1 b1n .. . . )( bp n = ( )pr bp n +1 .. . .. . .. 6 . .. .. . bp p 0 bp p 0 0 ... .. . +1 +1 +1 .. . ... bn n .. . 2 .. . 0 bn p+1 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 det ות וי הזכ מפה נובע שהריבוב האלגברי של ערך עצמי = לא קטן מ־ :p שמ ות ור א .גולדוורד ,ל .קרפ 111 .7.3 7.3 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים תכונות נוספות של ערכים עצמיים תכונות נוספות של ערכים עצמיים תהי Aמטריצה ריבועית :n nדרגה של הפולינום האופייני שלה p() = det(A I ) = b0 + b1 + : : : + bn n כל שווה nולכן לפי המשפט היסודי של אלגברה ) p() = bn ( 1 )( 2 ) : : : ( n מופיע בפירוק הזה kפעמים אז יתכן שבפירוק הנ״ל לא כל הגורמים שונים זה מזה .אם גורם p אומרים שלערך עצמי pיש ריבוי אלגברי ששווה :k הזכ משפט 7.3.1אם f1 ; 2 ; : : : ; n gהיא רשימה מלאה של ערכים עצמיים של מטריצה 3 7 7 7 7 7 7 5 a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n .. . . .. . .. .. . 6 6 6 6 6 6 4 =A ות וי an1 an2 : : : ann 2 )כלומר ,כל ערך עצמי מופיע ברשימה הזאת מספר פעמים ששווה לריבוי אלגברי שלו( אז 1 2 : : : n = det A 1 + 2 + : : : + n = trA כאשר trA = a11 + a22 + : : : + ann )עיקבה של מטריצה .( A 3 = b0 + b1 + : : : + bn 1 n 1 + bn n 7 7 7 7 7 7 5 a1n a2n .. . שמ הוכחה .ערכים עצמיים של מטריצה Aהם שורשים של פולינום אופייני a11 a12 : : : a21 a22 : : : ... : : : ann .. . .. . an2 an1 2 6 6 6 6 6 6 4 p() = det ות ור הדטרמיננטה הזאת היא סכום של מכפלות ולכן ,האיבר bn nבפולינום האופייני מתקבל ממכפלה ) :(a11 )(a22 ) : : : (annמפה נובע ש־ :bn = ( 1)nלפי משפט וויאטה מכפלת השורשים 1 2 : : : n = ( 1)n b0 =bn ו־ :b0 = p(0) = det Aלכן:1 2 : : : n = det A , א .גולדוורד ,ל .קרפ 112 .7.3 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים תכונות נוספות של ערכים עצמיים 1 נעבור עכשיו לסכום של ערכים עצמיים .האיבר ) )(a22 ) : : : (ann (a11כי על מנת לקבל 1 bn 1 nבפולינום האופייני גם מתקבל ממכפלה nצריך n 1גורמים שמכילים את ומהגדרה של דטרמיננטה נובע שזה יתקבל רק מאותה מכפלה .נפתח סוגריים במכפלה הזאת ונקבל (a11 )(a22 ) : : : (ann ) = ( 1)n n + ( 1)n+1 (a11 + a22 + : : : + ann )n 1 + : : : כל לכן= ( 1)n+1 trA , :1 + 2 + : : : + n = bn 1 =bn = trA 1 :bnלפי משפט וויאטה משפט הבא נותן אומדן למיקום של ערכים עצמיים במישור המרוכב. משפט 7.3.2תהי 3 הזכ a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n 7 7 7 7 7 7 5 .. . .. . ... .. . an1 an2 : : : ann 2 6 6 6 6 6 6 4 =A ות וי נסמן ב־ riסכום ערכים מוחלטים של איברים שלה בשורה מס׳ iלא כולל איבר באלכסון הראשי ,כלומר jaik j n X k=1;k6=i = ri כל אחד מערכים עצמיים של מטריצה Aשייך לפחות לאחד מהעיגולים jz aiij ri של המישור המרוכב. שמ הוכחה .נגיד ש־ הוא ערך עצמי של Aווקטור xוקטור עצמי שלו .נרשום את השוויון הווקטורי Ax = xלפי קואורדינטות: ai1 x1 + ai2 x2 + : : : + ain xn = xi ; i = 1 : : : n או ות ור ai1 x1 + : : : + ai;i 1 xi 1 + ai;i+1 xi+1 + : : : + ain xn = ( aii )xi ; i = 1 : : : n כאשר :x = [x1 ; x2 ; : : : xn ]Tנגיד ש־ jxp j = maxi=1:::n jxi jונכתוב שוויון מספר p בשוויונות )(7.10 ap1 x1 + : : : + ap;p 1 xp 1 + ap;p+1 xp+1 + : : : + apn xn = ( app )xp משוויון הזה נובע ש־ japj jjxj j א .גולדוורד ,ל .קרפ n X j =1:::n;j 6=p 113 j appjjxpj )(7.10 .7.3 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים תכונות נוספות של ערכים עצמיים נחלק שני אגפים של אי שוויון הזה ב־ ) jxp jהוא שונה מאפס כי xהוא וקטור עצמי( ונקבל ש־ japj j n X j =1:::n;j 6=p j appj כל הזכ ות וי שמ ות ור א .גולדוורד ,ל .קרפ 114 .7.4 פירוק ספקטראלי 7.4 פרק .7וקטורים וערכים עצמיים פירוק ספקטראלי נניח ש־ Annמטריצה לכסינה ,כלומר 1 i u1 u2 כל כאשר un ::: h = Pו־ :Au1 = 1 u1 ; : : : ; Aun = n un נשחלף שני אגפים של השוויון ):(7.11 ונסמן )T 1 :Q = (Pאז, 1 A = P P )(7.11 = QQ AT = (P 1 )T P T )(7.12 ATאו :AT Q = Qמפה נובע שעמודות של מטריצה Qהן וקטורים i h עצמיים של מטריצה :AT בעזרת מטריצה Qנוכל לכתוב את הפירוק ) :(7.11בצורה הבאה אם נסמן vn ::: v1 v2 = Qאז :AT v1 = 1 v1 ; : : : ; AT vn = n vn הזכ A = P QT )(7.13 נכתוב את המכפלה A = P QTכך 3 6 6 6 6 6 6 4 P QT = P ות וי = 7 7 7 T 7Q 7 7 5 0 0 1 0 : : : 0 2 : : : 2 .. . ... .. . 0 : : : n .. . 0 3 = 1 u1 v1T + 2 u1 v2T + : : : + n u1 vnT 2 vT 6 17 6 T7 6v2 7 6 7 6 .. 7 6 . 7 4 5 ] [1 u1 ; 2 u2 ; : : : ; n un vnT שמ אז קיבלנו נוסחה שנקראת פירוק ספקטראלי של מטריצה לכסינה A A = 1 u1 v1T + 2 u1 v2T + : : : + n u1 vnT )(7.14 ות ור א .גולדוורד ,ל .קרפ 115
© Copyright 2024