מערכות משוואות ושאלות מילוליות בשני נעלמים ממעלה ראשונה
מספר עמוד בספר לתלמיד: 184 מערכות משוואות ושאלות מילוליות בשני נעלמים ממעלה ראשונה בסבב הראשון למדו מה היא משוואה בשני נעלמים ,מה הוא פתרון של משוואה בשני נעלמים, מהי מערכת משוואות בשני נעלמים ,ומה הוא פתרון של מערכת כזאת. בנוסף למדו לפתור מערכות משוואות בשני נעלמים בדרך גרפית. בסיום הסבב הראשון התלמידים נחשפו למערכות משוואות שפתרון בדרך גרפית לא הביא לתוצאות מדויקות. חשיפה זו מובילה לכך שיש צורך בדרכי פתרון נוספות. בפרק זה ילמדו התלמידים דרכים אלגבריות לפתרון מערכות משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה: פתרון בשיטת ההצבה ופתרון ב שיטת הנגדת המקדמים. בכל דרך פתרון חשוב להרגיל את התלמידים לעבוד בצורה מסודרת .כתיבה מסודרת כמו כתיבה של המערכות זו מתחת לזו מונעת טעויות. כמו בפרקים הקודמים מומלץ לבצע הקנייה ופתרון דוגמאות במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים. פתרון בשיטת ההצבה בחרנו ללמד ראשית את דרך הפתרון בשיטת ההצבה .ההצבה היא פעולה המוכרת לתלמידים. גם בפרק זה ביצעו הצבות ,למשל בבדיקת הפתרון שמצאו בדרך הגרפית. הפתרון מוצג באופן מובנה מפורט ומדורג ,בסדר הבא: • חזרה על משמעות הפתרון ובדיקתו על-ידי הצבה. • פתרון של מערכות משוואות בהן יש להציב ביטוי כפלי ,כולל שאלות מילוליות. • פתרון של מערכות משוואות בהן יש להציב ביטוי חיבורי .כאן יש להדגיש את החשיבות של הכנסת הביטוי בסוגריים (גם אם אין כופל לפני הביטוי המוצב) ,זאת כדי להקנות הרגלים ולמנוע שגיאות. בספר זה אין התמודדות עם מערכות משוואות בהן יש לבודד את אחד מהנעלמים. מערכות כאלו ייפתרו בשיטת הנגדת המקדמים. השאלות המילוליות ,שאלות בהנדסה ,שאלות כלליות ,ושאלות גיל ,דומות לאלו שפתרו בדרך גרפית כאשר התהליך לבניית מערכת המשוואות זהה לתהליך שנלמד בדרך הפתרון הגרפית. תרגיל 1 מה הוא פתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים .הפתרון הוא זוג סדור של מספרים .על התלמידים לזהות את הפתרון מתוך שלושה זוגות סדורים נתונים .תהליך שבצעו כבר קודם לכן. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 199 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 185 דוגמה 1 הקניה :במליאה .ספרים סגורים .את הפתרון מבצעים בשיתוף התלמידים. נתונה מערכת משוואות .במשוואה ( x ,)2מבוטא באמצעות ביטוי כפלי של מספר ב.y - במקום ה x -שבמשוואה ( )1מציבים את הביטוי המייצג את xעל-פי משוואה ( .)2ניעזר בצבעים. )1( 3x + 2y = 56 )2( x = 4y מחליפים את xב .4y -פעולת החשבון 34y + 2y = 56 התלמידים יבצעו את ההצבה: בין 3ל 4y -היא כפל .בביטוי 4yמקובל לוותר על כתיבת פעולת הכפל .בהצבה ,יש לכתוב את פעולת הכפל בין 3ל.4y - אחרי ההצבה מקבלים משוואה בנעלם אחד .התלמידים יפתרו משוואה זו. שואלים :האם מצאנו את פתרון המערכת? עדיין לא .מצאנו רק את הערך של .y יש לחשב גם את הנעלם השני – .xלחישוב הנעלם השני מציבים את הערך של הנעלם שכבר חישבו (בדוגמה זו מציבים 4במקום )yומחשבים את הנעלם השני .כותבים את הפתרון כזוג סדור של מספרים. לבדיקה :מציבים במשוואות הנתונות( .למעשה ,מכיוון שאת החישוב של yמבצעים על משוואה ( )2ניתן להסתפק בבדיקה בהצבה של הערכים של xו y -במשוואה ( )1בלבד). הערה כללית :בפתרון מערכת משוואות עם שני נעלמים בשיטה אלגברית ,תלמידים רבים מסתפקים בחישוב הנעלם האחד ושוכחים שיש לחשב גם את הנעלם השני .חשוב להרגיל את התלמידים לכתוב את הפתרון כזוג סדור של מספרים ,הרגל שיאלץ אותם לחשב גם את הנעלם השני. דוגמה 2 הקניה כמו בדוגמה .1 ההבדלים :במשוואה ( y )1מיוצג באמצעות .xנצבע את הביטוי במקומו נבצע את ההצבה, ונצבע באותו צבע את הביטוי אותו נציב .כיצד נחליט? נבדוק אם נתונה משוואה מהסוג ___ = yאו ___ .x + בדוגמה y :מיוצג באמצעות ביטוי כפלי של מספר ב .x -מציבים את הביטוי הכפלי 2xבמקום .y y = 2x 2x + 3y = 40 ()1 ()2 התלמידים יבצעו את ההצבה, ויפתרו את המשוואה שהתקבלה – משוואה בנעלם אחד. לאחר חישוב הערך של , xיציבו באחת המשוואות .בגלל אופי המשוואות מתבקשת הצבה במשוואה (.)1 מדוע? בסיום נכתוב את הזוג הסדור שהוא הפתרון למערכת המשוואות ,ונבדוק. 2x + 32x = 40 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 200 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 186 תרגילים תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. .2פתרון של מערכות משוואות דומות לאלו שבדוגמאות .2 – 1 מומלץ לפתור את שתי מערכות המשוואות הראשונות במליאת הכיתה ואת האחרות לתת כעבודה עצמית בכיתה או בבית .במשוואה ( )2הצבה של ביטוי שלילי. יש לשים לב לכך שבהצבה של ביטוי שלילי הביטוי ייכתב בסוגריים .דוגמה( :ב) ()8 2x + (–6x) = 8 5y – 4(–2y) = 13 5y + 8y = 13 ממשיכים בפתרון. דוגמה 3 שאלה מילולית שפתרונה באמצעות מערכת משוואות מהסוג שפתרו בדוגמאות .2 – 1 שלבי הפתרון: תרגום של נתוני השאלה למשוואות. חסרים שני נתונים ,את האחד מסמנים ב x -ואת השני ב.y - בשאלה המילולית שני היגדים: .1מחברת ועיפרון עולים ביחד 12שקלים .ההיגד" :עולים ביחד" מתורגם לפעולת חיבור.x + y = 12 : .2מחברת עולה פי 2מעיפרון .כלומר ,מחיר מחברת ) (yשווה למחיר של שני עפרונות ).(2x בכתיב מתמטי.y = 2x : מקבלים מערכת משוואות בשני נעלמים .פותרים בהתאם לדוגמאות .2 – 1 כפי שנלמד ,שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית. תשובה :מחיר מחברת 8שקלים .מחיר עיפרון 4שקלים. בשאלה מילולית ,הב דיקה אינה נעשית באמצעות הצבה במשוואות (ייתכן שהמשוואות שבנינו הן שגויות), אלא בודקים אם התשובה תואמת את ההיגדים שבשאלה: מחברת ועיפרון עולים ביחד 12שקלים – נכון. מחברת עולה פי 2מעיפרון – נכון. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 201 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד187 : תרגילים הנחיה כללית לשלבי הפתרון. בחרו נעלמים. תרגמו את ההיגדים שבשאלה לשתי משוואות בשני נעלמים. פתרו את מערכת המשוואות בשיטת ההצבה. כתבו תשובה מילולית. בדקו. .3נתונות שתי מערכות משוואות .על התלמידים לבחור את המערכת המתאימה לנתוני השאלה. השוני בין שתי מערכות המשוואות הוא במשוואה השנייה :את איזה מהנעלמים כופלים ב ,3 -שזו טעות נפוצה. מה המשוואה הנכונה y = 3xאו .x = 3yמומלץ לבקש מהתלמידים לחשוב על מספרים .נניח שמכנסיים 120 . 40 עולים 120שקלים וחגורה 40שקלים .השוויון המתאים 120 = 340 :או: 3 .4מבחינת התוכן ,שאלה דומה לשאלה .3שלא כמו בשאלה 3בה מוצגות שתי מערכות משוואות ,ועל התלמידים לבחור את המערכת המתאימה לפתרון השאלה ,כאן התלמידים יכתבו את מערכת המשוואות בעצמם .על דף תובנות הצעה לבחירה של xו .y -מומלץ לצבוע את שני ההיגדים בצבעים שונים ולכתוב משוואה מתאימה לכל היגד :כדור טניס שולחן ומחבט עולים יחד 270שקלים .מחבט עולה פי 8מכדור. המשוואות המתאימות . y = 8x , x + y = 270 :השוויון מציג ערכים שווים .אם מחבט עולה פי 8מכדור, שוויון יתקבל כאשר כופלים את מחיר הכדור פי ( 8או כאשר מחלקים את מחיר המחבט ב .8 -במקרה זה y .) x המשוואה היא 8 .5השוני משאלות קודמות :במשוואת הסכום ,יש לקחת בחשבון 3מחסניות צבעוניות .הסכום אינו בין xו ,y - אלא בין xו .3y -המשוואה.x + 3y = 420 : .6במשוואת הסכום ,סכום של 5מחברות ו 3 -עטים .הנחיה על דף תובנות .המשוואה.5x + 3y = 33 : לשאלות הבאות לא מצורפים דפי תובנות. .7שאלה דומה לשאלה .6 .8שאלה דומה לשאלה 3. .9בשאלה זו מתייחסים להיקף מלבן המחושב באמצעות סכום אורכי הצלעות( .היקף במקום סכום). ניתן לכתוב משוואה עבור היקף המלבן ,השווה לסכום של 4הצלעות ,וסכום זה הוא 72ס"מ כנתון. ניתן לכתוב משוואה של סכום של שתי צלעות סמוכות של המלבן .סכום זה שווה למחצית ההיקף 36 :ס"מ. המשוואה השנייה מציגה את הקשר בין האורכים של שתי צלעות סמוכות של המלבן כנתון בשאלה. ראו תרגילים 3ו.8 - ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 202 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 188 דוגמאות 5 – 4 בדוגמה 3ובתרגילים שלאחריה מערכת המשוואות הייתה מורכבת ממשוואה אחת הכתובה בצורה המפורשת: y = mx + bוממשוואה שניה הכתובה בצורה סתומהax + by = c : בדוגמאות 5 – 4שתי המשוואות כתובות בצורה המפורשת. שתיהן עוסקות בשאלות בהן יש להפעיל שיקולי כדאיות ,כפי שפתרו בדרך גרפית בעמודים .146 – 144 מומלץ לחזור לדוגמאות שבעמודים אלו לפני שפותרים את הדוגמאות הנתונות. הקניה :במליאה .ספרים סגורים. מציגים את השאלה ומשתפים את התלמידים בפתרונה. את מערכת המשוואות שהתקבלה פותרים בשיטת ההצבה. ניתן להציב במשוואה הראשונה במקום yאת הביטוי ,15xאו להציב במשוואה השנייה ,במקום yאת הביטוי .100 + 5x ניתן גם להשוות בין שתי המשוואות :אם yשווה לשני ביטויים ,פירושו של דבר ששני הביטויים שווים זה לזה. כלומר( .100 + 5x = 15x ,כמובן שבכל הדרכים שהוצגו מתקבלת אותה משוואה). יש להניח שיהיו תלמידים שהצבה כפי שפתרו קודם לכן תיראה להם נוחה יותר (כי זאת הדרך בה פתרו עד כה). חשוב להציג גם את הגישה השנייה המקלה בפתרון מערכת משוואות בה שתי המשוואות הן בצורה המפורשת, כמו בתרגיל 10שבהמשך. דוגמה 5 שאלות מקדימות המתייחסות לנתוני השאלה .חישובים במספרים ,דרך תהליכית המקלה על ההכללה. (א) עבור 20נסיעות בחודש ענת תשלם (620) 120שקלים בחודש .כרטיס חודשי חופשי עולה פי .2 לא כדאי לה לרכוש כרטיס חודשי חופשי. (ב) עבור 50נסיעות בחודש יעל תשלם (650) 300שקלים בחודש .כדאי לה לרכוש כרטיס חודשי חופשי. ניתן להציג חישובים אלו בטבלה כדי להקל על ההכללה. המספר הקבוע הוא ( 6צבוע בשחור) .מספר הנסיעות משתנה (באדום). מספר נסיעות המחיר בשקלים במשוואה השוואה בין הביטוי המתקבל 6xלבין המחיר של חודשי 20 206 חופשי .y 50 506 x x6 (ג) פתרון אלגברי כמוצג בדוגמה. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 203 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 189 תרגילים שאלות בהן נדרשים שיקולי כדאיות .התלמידים פתרו בדרך גרפית שאלות מסוג זה (עמודים .)146 – 144 בפרק זה יפתרו את השאלות בשיטת ההצבה. .10מומלץ לפתור במליאת הכיתה .לכל מסלול מתאימה משוואה אחת .יש לזהות אותן ולפתור את מערכת המשוואות המתקבלת .גובה התשלום בכל אחד מהמסלולים שווה לסכום חודשי קבוע ותוספת תשלום על-פי מספר הספרים המושאלים .המבנה של כל אחת מהמשוואות הוא y = ax + b :או .y = b + 3x מערכת המשוואותy = 250 + 10x : y = 150 + 15x לפתרון המשוואה נוח להשוות בין שני הביטויים המייצגים את התשלום – :y . 250 + 10x = 150 + 15xנזכיר כי שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית. .13 – 11שאלות דומות לקודמות .התלמידים יפתרו בכוחות עצמם בכיתה או בבית. .11נועה בחרה במסלול בו יש תשלום קבוע ותוספת על -פי מספר הספרים המושאלים ,בדומה למסלולים המוצעים בתרגיל .10 מיכל בחרה במסלול בו אין תשלום קבוע .התשלום הוא על-פי מספר הספרים המושאלים. נסמן את התשלום החודשי ב y -ואת מספר הספרים המושאלים ב.x - התשלום התשלום החודשי מספר מתלמידים המתקשים בכתיבת המשוואות ,נבקש לחשב את החודשי מסלול א ספרים מסלול ב התשלום החודשי במקרים שונים :בהשאלה של 8 158 50 + 108 8ספרים או 12ספרים או 15ספרים וכדומה, 12 1512 50 + 1012 ולהציג את החישובים בטבלה. 20 1520 50 + 1020 לזהות את החלקים הקבועים ואת החלקים המשתנים הצבועים 15x 50+ 10x x באדום .ולהכליל :התשלום החודשי עבור השאלה של xספרים. .12שתי הצעות תשלום עבור חנייה .בדומה לתרגיל ,11הצעה אחת בה התשלום הוא על-פי מספר שעות החנייה ,והצעה שנייה כוללת תשלום חודשי קבוע ותוספת של מחיר מוזל על פי מספר שעות החנייה. כמו בתרגיל ,11מתלמידים המתקשים בכתיבת המשוואות נבקש להתנסות במספר חישובים במספרים, להציב בטבלה ,לזהות את הקבועים והמשתנים ולהגיע להכללה. .13שאלה בה התשלומים בשתי המכבסות מורכבים מסכום קבוע בתוספת מחיר לפי מספר פריטים. הפתרון בדומה לתרגיל .10בסעיף (ב) ,יחשבו את המחיר עבור x = 8בכל אחת משתי המכבסות. או יפעילו תובנה מתמטית :מעבר לכמות של 12ק"ג ,במכבסת "לבן כשלג" משלמים רק 2שקלים לכל ק"ג נוסף ,בעוד שבמכבסת "צח ונקי" משלמים 3שקלים לק"ג. המכבסה הזולה יותר לכמות זו של כביסה היא "לבן כשלג" .לכמות הקטנה מ 12 -ק"ג .המכבסה הזולה יותר היא "צח כשלג". ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 204 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 190 דוגמה 6 פתרון מערכת משוואות בשיטת ההצבה כאשר ההצבה היא של ביטוי חיבורי .את הביטוי החיבורי יש לכתוב בסוגריים .כמו בדוגמאות ,2 – 1נבדוק באיזו משוואה לבצע את ההצבה וניעזר בצבעים. התלמידים למדו זאת בפרק טכניקה אלגברית :הצבה בביטויים אלגבריים (קפיצה לגובה לכיתה ח חלק א עמודים .)213 – 212 לאחר ההצבה בתוך סוגריים יש לפשט את הביטוי שהתקבל על -ידי פתיחת סוגריים – שימוש בחוק הפילוג. המשך הפתרון כפי ש מוצג בספר. תרגילים .14בכל אחת מהמערכות משוואה אחת לפחות בצורה המפורשת y = ax + b :או .x = ay + b תהליך הפתרון כמודגם בדוגמה .6לא מתקבלת משוואה בה יש לחסר מכפלה הכוללת סוגריים ,כך שלא צפויות שגיאות בסימנים. .15מערכות משוואות בהן לאחר ההצבה יש לשים לב לסימנים. מומלץ לפתור סעיפים ( )1ו )4( -במליאת הכיתה ואת התרגילים הנותרים התלמידים יפתרו עצמם. ( )1במשוואה 2x = 2 – yמציבים .y = 3x – 8מחליפים את yשבמשוואה הראשונה בביטוי .3x – 8 כפי שלמדו בדוגמה ,6הביטוי שמציבים הוא ביטוי חיבורי ולכן בהצבה יש לכתוב אותו בסוגריים. מקבלים.2x = 2 – (3x – 8) : שגיאה צפויה בסימנים בפתיחת הסוגריים .שואלים במה כופלים את הסוגריים .תשובה צפויה :במינוס. מינוס אינו מספר .מה המקדם של הסוגריים? חוזרים על משמעות המקדם ומומלץ שתלמידים שעדיין טועים יכתבו את המקדם .2x = 2 – 1(3x – 8) :חשוב להדגיש ,כופלים כל אחד מהמחוברים שבתוך הסוגריים במקדם שהוא ) (–1) :(–1כפול 3xומקבלים –3xו (–1) -כפול ),(–8 .2x = 2 – 3x + 8 ומקבלים .8נכתוב את המשוואה המתקבלת :מה הפעולה שלפני ה? 8 - התלמידים ימשיכו בפתרון המשוואה .בסיום נשאל מה פתרון המערכת? יש להניח שחלק מהתלמידים שכחו לחשב את הנעלם השני .yלסיום נכתוב תשובה ונבדוק על-ידי הצבה בשתי המשוואות. ( )4במשוואה הראשונה נתון הערך של .–yבמשוואה השנייה יש להציב את הערך של .y נצבע את הנעלם עבורו נבצע הצבה ואת הביטוי שנציבx + y = 8 , –y = 2x – 9 : שואלים :נתון ביטוי עבור .–yהאם ניתן לדעת את הביטוי השווה ל? y - כדאי לכפול משוואה ראשונה ב .(–1) -ורק אז לבצע את ההצבה במשוואה השנייה. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 205 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 191 דוגמה 7 פתרון מערכת משוואות בהן ההצבה מובילה להשוואה בין אגפים של שתי המשוואות. כמו בדוגמאות קודמות ,נצבע באחת מהמשוואות את הנעלם עבורו נבצע הצבה ,ובמשוואה השנייה את הביטוי אותו נציב .לדוגמה( .y = 2x – 8 , y = 3x + 1 ,וני תן גם ).y = 2x – 8 , y = 3x + 1 מקבלים .3x + 1 = 2x – 8 :בכל אחת מהמשוואות y ,מבוטא באמצעות ביטוי אלגברי אחר .משווים בין שני הביטויים. כבר בדוגמה 4פתרנו מערכת משוואות מסוג זה. תרגילים .16מערכות משוואות שהדרך הנוחה לפתרונן הוא באמצעות השוואה של שתי המשוואות. בשני הסעיפים הראשונים שימוש בצבע כדי להדגיש את הביטויים השווים. מומלץ לפתור במליאת הכיתה את שני הסעיפים הראשונים. ( )2המשוואות כתובות בשינוי סדר .במשוואה הראשונה xבאגף ימין ובמשוואה השנייה xבאגף שמאל. חשוב לומר זאת במפורש כדי למנוע קושי בפתרון המערכת. ( )5יש להניח שתלמידים לא ישימו לב לכך שבמשוואה ראשונה yמיוצג באמצעות ,xבמשוואה שנייה xמיוצג באמצעות . yאם רוצים לבצע השוואה יש לסדר את שתי המשוואות ,כך שאותו נעלם יהיה מיוצג באמצעות הנעלם השני .כפי שכתוב בהקדמה לפרק זה בספר זה אין התמודדות עם מערכות משוואות בהן יש לבודד את אחד מהנעלמים .הפתרון באמצעות הצבה כפי שלמדו בתחילת פרק זה. המטרה של תרגיל זה היא להביא את התלמידים לכך שיפעילו שיקול דעת לפני שהם ניגשים לפתרון ולא יעבדו בצורה מכנית. .19 – 17שאלות מילוליות דומות לשאלה 9עמוד ,187כאשר הקשר בין הנעלמים הוא חיבורי ולא כפלי. משוואה אחת מבטאת את הקשר בין צלעות המלבן כפי שנתון בשאלה .אורך צלע אחת גדול (קטן) ב___ - מאורך הצלע השנייה .משוואה שנייה מתייחסת להיקף המלבן .היקף המלבן שווה לסכום האורכים של כל ארבע הצלעות ,כאשר מסתמכים על התכונה שבמלבן הצלעות הנגדיות שוות באורכן. במקרה זה את ההיקף מחשבים באמצעות הביטוי x + x + y + yאו לחילופין ,2x + 2y :כאשר xוy - מייצגים את אורכי הצלעות .חשוב לשים לב לכך ששימוש בביטוי השני מחייב ,בהצבה ,כתיבה עם סוגריים. ניתן גם לכתוב משוואה עבור סכום של שתי צלעות סמוכות .סכום זה שווה למחצית היקף המלבן. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 206 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 192 שאלות דומות פתרו באמצעות נעלם אחד. את השאלות הבאות נפתור באמצעות שני נעלמים. .27 – 20משוואה אחת מציגה קשר בין שני הנעלמים כנתון בשאלה :גדול ב , -קטן ב , -גדול פי ,קטן פי. המשוואה השנייה מציגה את הסכום. בכל אחת מהשאלות ,נמליץ ל תלמידים המתקשים בפתרון לחשוב במספרים (בדרך תהליכית). למשל ,בשאלה ,27נניח שמחיר כרטיס למבוגר הוא 20שקלים .מחיר כרטיס לילד הוא 12שקלים. כמה תשלם הקבוצה שבשאלה? או ,נניח שמחיר כרטיס למבוגר הוא 50שקלים .כמה תשלם קבוצה זו? וכדומה. התשלום לקבוצה מחיר כרטיס למבוגר 20 מחיר כרטיס לילד 12 50 42 1050+1242=1,004 x y 10x + 12y 1020+1212=344 את הנתונים יציגו בטבלה. המשתנים :מחיר כרטיס למבוגר – צבוע באדום ,ומחיר כרטיס לילד – צבוע בכחול .הקבועים – בשחור. כמו בהנחיה לתרגיל 11מגיעים להכללה. שאלה 23שונה בכך שמדובר בסכום של שלושה גילים .הביטוי לסכום הגיליםx + y + y : או :x + 2yהסכום של הגיל של יואב ועוד פעמיים הגיל של כל אחד מהאחים התאומים. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 207 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 193 .30 – 28השאלות עוסקות בהיקפים של מלבנים ו/או משולשים. ליד כל שאלה סרטוט ובו ביטויים לאורך הצלעות. כמו בשאלה 9עמוד 187או שאלות 19 – 17עמודים ,182 – 181ניתן לכתוב משוואה להיקף המלבן או לחילופין ,משוואה למחצית ההיקף. .29 – 28דומות לתרגילים .19 – 17ההבדל :הקשר בין הצלעות הוא כפלי ולא חיבורי. .30מערכת המשוואות מורכבת ממשוואה עבור היקף המלבן ומשוואה שנייה עבור היקף המשולש שווה השוקיים. .32 – 31שאלות שלכאורה דומות לשאלה .28ההבדל :כאן לא נתון איזו מהצלעות גדולה יותר .האם אורך השוק גדול מאורך הבסיס או שאולי אורך הבסיס גדול מאורך השוק .בשאלות מסוג זה יש לבדוק את שתי האפשרויות .נסרטט שני משולשים ונכתוב ביטויים אלגבריים לאורך הצלעות. .31אורך הבסיס .xאורך השוק .y אפשרות אחת :אורך השוק גדול מאורך הבסיס .המשוואה המתאימה.y = 1.5x : אפשרות שניה :אורך הבסיס גדול מאורך השוק .המשוואה המתאימה.x = 1.5y : המשוואה השנייה בשתי האפשרויות היא עבור היקף המשולש דהיינו.x + 2y = 28 : פותרים את שתי מערכות המשוואות ומתקבלים שני פתרונות: פתרון אחד :אורכי צלעות המשולש 7 :ס"מ 10.5 ,ס"מ 10.5 ,ס"מ. פתרון שני :אורכי צלעות המשולש 12 :ס"מ 8 ,ס"מ 8 ,ס"מ. .32כמו תרגיל .31מערכות המשוואות המתקבלות: y = 4x x + 2y = 36 x = 4y x + 2y = 36 x=4 x = 24 הפתרונות: y = 16 האם קיימים משולשים שאלו צלעותיהם? y=6 למדנו בכיתה ז (קפיצה לגובה לכיתה ז חלק ג עמודים )172 – 170כי במשולש סכום האורכים של כל שתי צלעות גדול מהצלע השלישית .האם הפתרונות שקיבלנו מקיימים תכונה זו? נבדוק. לשאלה זו פתרון אחד בלבד :אורכי צלעות המשולש 4 :ס"מ 16 ,ס"מ 16 ,ס"מ. .33יינתן כתרגול נוסף על פי שיקול דעתו של המורה. מערכות משוואות מסוגים שונים .בכל מערכת חשוב להרגיל את התלמידים לחשוב על דרך הפתרון לפני שמתחילים בביצוע .להיעזר בצבעים. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 208 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 194 פתרון בשיטת הנגדת מקדמים בספר זה איננו משאירים בידי התלמיד את הבחירה בין חיבור שתי המשוואות או חיסור של שתי המשוואות. הפתרון הנלמד הוא תמיד באמצעות חיבור של שתי המשוואות. בחיבור משוואות בדרך זאת ,עוברים ממערכת משוואות אחת למערכת משוואות שקולה לה (כמוצג בספר לתלמיד). איננו דורשים מהתלמידים לכתוב מערכות משוואות שקולות .כדי לקבל מערכת משוואות שקולה יש להשאיר את אחת מהמשוואות המקוריות ולצרף אליה את המשוואה המתקבלת מחיבור של שתי המשוואות .לצורך כך יש להביא את המשוואות למצב בו לאחד מהנעלמים יש מקדמים נגדיים .כל פתרון של המערכת המתקבלת הוא גם פתרון של מערכת המשוואות המקורית .אחרי חיבור של שתי המשוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים נגדיים, מתקבלת משוואה בה לאחד מהנעלמים מקדם השווה .0 לפני לימוד התהליך ,מומלץ לחזור על המושגים :מספרים נגדיים ,ומקדם. פתרון באמצעות הנגדת המקדמים מבוצע באופן מדורג: פתרון מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים שהם מספרים נגדיים .המשוואות נתונות בצורה הסתומה , ax + by = cורשומות זו מתחת לזו. מערכת משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים נגדיים אבל יש לסדר אותן כך שהמחוברים עם xיהיו רשומים אחד מתחת לשני ,המחוברים עם yיהיו רשומים זה מתחת לזה והמספרים החופשיים יהיו באגף השני של המשוואות. פתרון מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים שווים :יש לכפול אחת מהמשוואות ב.(–1) - פתרון מערכות משוואות בהן לפחות לאחד מהנעלמים מקדמים שאחד מהם הוא כפולה של המקדם השני: יש לכפול אחת מהמשוואות במספר מתאים. פתרון מערכות משוואות בהן לנעלמים מקדמים זרים :יש לכפול כל אחת מהמשוואות במספר אחר. פתרון מערכות משוואות לא מסודרות בהן יש לבצע פעולות של פתיחת סוגריים ,כינוס מחוברים דומים, שינוי מיקום המחוברים ,מומלץ לסדר כל אחת מהמשוואות בנפרד ואז לכתוב את שתי המשוואות המסודרות זו מתחת לזו כך שהנעלמים יופיעו באגף אחד זה מתחת לזה והמספרים החופשיים יהיו באגף השני. ב פרקים נוספים שילמדו מאוחר יותר נעסוק בפתרון מערכות משוואות בשני נעלמים עם שברים, בפתרון מערכות משוואות מיוחדות שאין להן פתרון או שיש להן אינסוף פתרונות, שאלות מילוליות משולבות בין סוגי המערכות ולאחריהן. כמו בפרקים קודמים ,אין הצגה מקדימה של כל הסוגים ותרגול בסוף .לאחר כל הצגה של משוואות מסוג כלשהו ניתן תרגול מתאים ,דרך המתאימה לאוכלוסייה לה מיועד הספר. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 209 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 194 דוגמה 1 הקניה :במליאת הכיתה .הספרים סגורים. שיתוף התלמידים בשיקולים. מדגישים את הסדר בו כתובות המשוואות שבמערכת :שתי המשוואות כתובות זו מתחת לזו ,כך שהמחוברים עם xמופיעים זה מתחת לזה .המחוברים עם yמופיעים זה מתחת לזה .המספרים החופשיים באגף השני של המשוואה. שואלים :אילו הם המקדמים של xבשתי המשוואות? אילו הם המקדמים של yבשתי המשוואות. אילו הם המספרים החופשיים? אומרים :המקדמים של yבשתי המשוואות הם מספרים נגדיים. שואלים :מה למדנו על מספרים נגדיים? (סכומם הוא ).0 נחבר את שתי המשוואות .מה נקבל? נחבר אנכית .נציג את החיבור האנכי כמודגם על דף התובנות. (מתקבלת משוואה בנעלם אחד .משוואה אותה אנו יודעים לפתור). התלמידים יפתרו. שואלים :מהו פתרון המערכת? מצאנו את ערכו של .xעדיין לא סיימנו .יש לחשב גם את ערכו של .y כיצד נעשה זאת? (כפי שעשינו בפתרון בשיטת ההצבה .נציב באחת מהמשוואות ונחשב). הפתרון :זוג סדור של מספרים. נבדוק. את הבדיקה נבצע באמצעות הצבה בשתי המשוואות הנתונות. בבדיקה מספיק לבצע הצבה במשוואה בה לא נעזרנו לחישוב ערך הנעלם השני .לאוכלוסייה לה מיועד הספר הנחיה כזו גורמת הרבה פעמים לבלבול ,כך שנבקש להציב ולבדוק את נכונות הפתרון בשתי המשוואות. בהמשך ,במשוואות בהן בוצעו פעולות אלגבריות עד לסידורן ,חשוב להדגיש כי את הבדיקה מבצעים תמיד על המשוואות הנתונות מכיוון שייתכן כי כבר בביצוע הפעולות המקדימות נעשתה טעות. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 210 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד195 : דוגמה 2 פתרון משוואה נוספת בדיוק באותה דרך של הדוגמה הראשונה. ההבדל :למחוברים בהם מופיע xיש מקדמים שהם מספרים נגדיים. הקניה :המורה יציג את התרגיל על הלוח. ישאל במה שונה מערכת משוואות זו מהקודמת? האם גם כאן בחיבור של שתי המשוואות תתקבל משוואה עם נעלם אחד? התלמידים יבצעו .המורה יזמין תלמיד לפתרון המערכת על הלוח .הבדיקה :במליאה. הערה :בדוגמה זו נשארת משוואה בנעלם אחד .yמכיוון שבמשוואות עם נעלם אחד בדרך כלל הנעלם היה ,xתלמידים נוטים בשלב כלשהו במהלך הפתרון להחליף את yב .x -מומלץ לומר באופן ישיר בכיתה כי הפעם קיבלנו משוואה בה הנעלם הוא .yלאחר החישוב של yמציבים ומחשבים את .x תרגילים .1מטלת זיהוי. זיהוי המקד מים וזיהוי מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים נגדיים. בתרגיל זה אין דרישה לפתור את המערכת ולמצוא את הזו ג הסדור שהוא הפתרון של מערכת המשוואות. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 211 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 196 .2תרגיל ביצוע .פתרו את המשוואות .התלמידים מתבקשים לבדוק את תשו בותיהם. אפשר להנחות אותם לבדוק רק חלק מהפתרונות. אחרי תרגיל 2נחזור לסיכום של תהליך הפתרון. נסדר תחילה! דוגמה 3 מערכת המשוואות הנתונה אינה מסודרת כך שהמחוברים עם xנמצאים זה מתחת לזה והמחוברים עם y נמצאים זה מתחת לזה .המספרים החופשיים באגף השני של המשוואה. במקרה זה ,באחת מהמשוואות ,מחליפים את סדר המחוברים. דיון :באיזה משוואה נוח יותר להחליף את סדר המחוברים? חשוב להדגיש כי ניתן לסדר אחרת כל אחת משתי המשוואות .אבל יש לשים לב לסימני המחוברים. במשוואה ( )2פעולת החשבון בין שני המחוברים היא חיבור .על פי חוק החילוף מותר לשנות את הסדר. גם משוואה ( )1מציגה סכום של שני מחוברים :במקרה זה סכום של 3xו .(–2y) -בהחלפת הסדר יש לשמור על הסימנים. לאחר סידור המשוואות פותרים על-ידי חיבור של שתי המשוואות כפי שפתרו קודם לכן. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 212 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד197 : תרגילים .3תרגיל ביצוע .פתרון של מערכות משוואות מהסוג שהוצג בדוגמה .3 בכל התרגילים יש לכתוב את המשוואות מחדש כך שהמחוברים עם הנעלם xיהיו זה מתחת לזה והמחוברים עם הנעלם yיהיו זה מתחת לזה ,כאשר שומרים על הסימן של כל מחובר. בתרגיל ( )1במשוואה הראשונה ,באגף שמאל יש סכום של שני מחוברים .על-פי חוק החילוף ,שינוי הסדר אינו משנה את הביטוי .במשוואה השנייה יש פעולת חיסור .חוק החילוף אינו מתקיים בפעולת החיסור. למדנו שכל פעולת חיסור ניתן להפוך לפעולת חיבור של המחובר הנגדי .כלומר ,הביטוי 2y – 3xהוא סכום של 2yו .(–3x) -אם נחליט לשנות את סדר המחוברים במשוואה השנייה ,יש לדאוג שלאחר החלפת הסדר בין המחוברים נשמור על סכום זה .כלומר נכתוב. –3x + 2y : בתרגיל ( )4סדר המחוברים נשאר כפי שהוא ,אבל באחת מהמשוואות יש להחליף בין האגפים: למשל ,במשוואה הראשונה ,סכום שני המחוברים יעבור לאגף שמאל והמספר החופשי לאגף ימין: .3x + y = 25השוויון נשמר. דוגמה 4 שאלה מילולית .ההיגדים מובילים באופן טבעי לשתי משוואות הכתובות בצורה הסתומה. הקניה :במליאת הכיתה .הספרים סגורים .המורה יציג את השאלה ויחד עם התלמידים ידגיש (בצבעים שונים, או קו תחתון מתאים או בכל דרך אחרת) את שני ההיגדים הנתונים .יש להניח שהתלמידים יוכלו לתרגם את ההיגדים למשוואות בכוחות עצמם .פתרון המערכת כפי שנלמד. הבדיקה תיעשה על נתוני השאלה המילולית .אין צורך להציב במשוואות שבמערכת( .ייתכן שכבר בכתיבת המשוואות נפלה טעות ואז הפתרון שיתקבל הוא אמנם פתרון של מערכת המשוואות אבל לא פתרון של השאלה המילולית). תשובה :מילולית. תרגילים .10 – 4יישום ישיר של דוגמה .4 בכל השאלות שני היגדים :סכום שני גדלים הוא _____ .הפרש שני גדלים הוא _____ . גודל אחד מסמנים ב .x -גודל שני מסמנים ב .y - הניסוח המוביל לשתי משוואות בשני נעלמים ,מערכת שלמציאת הפתרון הדרך הנוחה ביותר היא חיבור המשוואות .תזכורת לתלמידים :לשאלה מילולית נותנים תשובה מילולית. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 213 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד198 : .10 שאלה זו הופיעה כבר בפרק פתרון מערכת משוואות בשיטת ההצבה :שאלה 22עמוד .192 בעמוד 192נתון כי "אבא של ליאת גדול מאמה ב 3 -שנים" .היגד המוביל למשוואהy = x + 3 : או.x = y – 3 : בפרק זה אותו מידע בניסוח שונה" :הפרש הגילים שלהם הוא ."3היגד המוביל למשוואה.y – x = 3 : מומלץ להציג את שתי השאלות ואת השקילות בין המשוואות המתקבלות מההיגדים השונים. .14 – 11גם בשאלות אלו שני היגדים .אחד :סכום שני גדלים הוא ____ . ההיגד השני :גודל אחד גדול /קטן ב( ....מבוגר מ ,צעיר ב) מהגודל השני. תרגום ההיגד השני למשוואה מתאימה מוביל לדרך הפתרון של המערכת :פתרון בשיטת הצבה או פתרון בשיטת הנגדת המקדמים. ההיגד :מספר א גדול ב c -ממספר ב פירושו :ההפרש בין מספר א למספר ב הוא .c יש לאפשר לתלמידים לכתוב משוואה מתאימה .יש להניח שבמקרה כזה חלק יכתבו x = y + c או . y = x – cאחרים יכתבו את המשוואה ( .x – y = cכאשר מספר א – xמספר ב – ).y להציג פתרונות שונים של התלמידים על הלוח .לדון בסיבה שנבחרה לדרך פתרון אחת או אחרת. אם לא הוצגו דרכי פתרון שונים המורה יציג זאת ויקיים את הדיון המתאים. למשל ,מחיר נעלי ספורט גדול ב 50 -שקלים ממחיר סנדלים. ניתן להסיק :מחיר הסנדלים קטן ב ____ -שקלים ממחיר נעלי הספורט. וגם :ההפרש בין מחיר נעלי הספורט למחיר הסנדלים הוא ______ שקלים. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 214 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 199 ממשיכים לפתור מערכות משוואות .מה כבר למדנו לפתור? מערכות משוואות בהן בשתי המשוואות, לאחד מהנעלמים יש מקדמים שהם מספרים נגדיים .מה נלמד כאן? מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים זהים דוגמה 5 פתרון מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים זהים. הדוגמה פותחת בזיהוי של מערכות כאלו .נתונות ארבע מערכות משוואות .מערכת (ג) היא מהסוג שכבר למדו לפתור .לנעלם yמקדמים נגדיים 1 :ו.–1 - במערכות האחרות לאחד מהנעלמים יש מקדמים זהים. אפשר לבקש מהתלמידים לצבוע את המקדמים הזהים. לאחר הזיהוי מוצג הפתרון של מערכת (א). המקדמים השווים צבועים באדום. אומרים :כדי לפתור את מערכת המשוואות צריך שלאחד מהנעלמים יהיו מקדמים שהם מספרים נגדיים. אנחנו רואים שהמקדם של הנעלם yבשתי המשוואות הוא .3לו באחת מהן היה מקדם של ) (–3היינו יודעים לפתור את המערכת. נדאג שהמקדם של אחת מהמשוואות (למשל ,משוואה ( ))2יהיה ) .(–3איך מבצעים זאת? יש פעולות שכאשר מבצעים אותן על משוואות מקבלים משוואות שקולות .מהן? חיבור וחיסור של אותו ביטוי לשני אגפי המשוואה .כפל וחילוק של שני אגפי המשוואה באותו ביטוי פרט ל.0 - מקבלים הצעות מהתלמידים .מגיעים למסקנה שאם כופלים אחת מהמשוואות ב (–1) -מקבלים משוואה שקולה למשוואה הנתונה (משוואות שיש להן אותה קבוצת הצבה ואותה קבוצת פתרונות). בדוגמה שבספר כופלים את משוואה ( )2ב ,(–1) -אבל ניתן במקום זאת לכפול את משוואה ( )1ב.(–1) - ממשיכים בפתרון כפי שנלמד בפרק קודם. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 215 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 200 תרגילים .15 פתרון מערכות משוואות שבחלקן ,לאחד מהנעלמים יש מקדמים שהם מספרים נגדיים ,ובחלקן ,לאחד מהנעלמים יש מקדמים שווים. בהוראות לתלמיד ניתנת הנחיה כיצד לפתור כל אחד מסוגים אלו. בכל המערכות ,המשוואות כתובות בצורה מסודרת :המחוברים עם xכתובים אחד מתחת לשני. המחוברים עם yכתובים אחד מתחת לשני ,והמספרים החופשיים באגף השני של כל משוואה. .16מערכות משוואות נוספות ,כאשר לא כולן כתובות בצורה מסודרת כמו המערכות שבתרגיל .15 שלב ראשון בדרך לפתרון הוא לסדר את המשוואות כך שהמחוברים עם הנעלם xיופיעו זה מתחת לזה והמחוברים עם הנעלם yיופיעו זה מתחת לזה. הצגה של שש מערכות משוואות שאת חלקן למדו לפתור ואת חלקן עדיין לא. הפניית תשומת לב התלמידים להבדל ביניהן .במשוואות אותן אינם יודעים לפתור ,אין לנעלמים מקדמים שהם מספרים שווים או נגדיים. התלמידים מתבקשים לפתור את המשוואות שניתן לפתור באמצעות הידע שכבר נלמד. לאחר מכן אומרים :נלמד לפתור גם את המשוואות האחרות. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 216 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד201 : בספר מוצג פתרון למערכת (ב) מבין שש המערכות שהוצגו בעמוד הקודם. לפי שמתחילים בפתרון מזהים את המקדמים. מערכת משוואות בה לאחד מהנעלמים ,מקדמים ,שאחד מהם הוא כפולה של השני דוגמה 6 הקניה :במליאת הכיתה .ספרים סגורים. דיון במליאה ,בדומה לזה שהוצע בדוגמה :5מה ניתן לעשות כדי להגיע למקדמים נגדיים. מגיעים למסקנה שאם נכפול את משוואה ( )2ב ,3 -יהיו ל y -מקדמים נגדיים. לאחר הכפל וקבלת מערכת המשוואות בה ל y -מקדמים נגדיים ,התלמידים ימשיכו את הפתרון. בדיקת הפתרון תיערך במליאה. דוגמה 7 דומה לדוגמה .6 ההבדל :נביא את שתי המשוואות לכך שלנעלם xיהיו מקדמים נגדיים .על-ידי כפל של משוואה ( )1ב.(–2) - ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 217 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 202 תרגילים .17תרגילים בפתרון מערכות משוואות מהסוגים שכבר נלמדו. תרגיל עם ביקורת עצמית .ליד כל פתרון מופיעה אות .בטבלה המצורפת לאחר התרגיל מופיעים הפתרונות של כל התרגילים .על התלמידים לשבץ מתחת לכל פתרון את האות המופיעה ליד התרגיל. בפתרון נכון מקבלים" :הנגדת מקדמים". .19 – 18תרגול נוסף בפתרון מערכות משוואות בשני נעלמים בשיטת הנגדת המקדמים. יינתן על פי שיקול דעתו של המורה. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 218 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד203 : מערכת משוואות בה המקדמים של אותו נעלם הם מספרים זרים עד כה פתרו מערכות משוואות בהן לאחד מהנעלמים (לפחות) היו מקדמים שהם מספרים נגדיים ,זהים ,או שאחד מהמקדמים הוא כפולה של המקדם השני. בפרק זה ילמדו לפתור מערכות משוואות בהן המקדמים הם מספרים כלשהם ולאו דווקא אלו שתוארו לעיל. דוגמה 8 פתרון מערכות משוואות בהן לנעלמים מקדמים המחייבים כפל של שתי המשוואות כדי להגיע למקדמים נגדיים. הקניה :במליאת הכיתה .ספרים סגורים. המורה יכתוב את מערכת המשוואות על הלוח וישתף את התלמידים בהצעות לפתרון ובביצוע הפתרון. חשוב לחזור תמיד על המטרה :להגיע למערכת משוואות בהן לאחד מהנעלמים יש מקדמים שהם מספרים נגדיים. כפל של משוואה אחת במספר לא יביא לכך .אבל ,אם ניתן לכפול משוואה אחת מדוע שלא נכפול את שתי המשוואות ,כל אחת במספר אחר (שונה מאפס) כך שנגיע למטרה. את הפתרון מבצעים על הלוח .כותבים את הפתרון ובודקים ,כמו בתרגילים קודמים. תרגילים .20פתרון מערכות משוואות כאשר התלמידים מתבקשים להתבונן תחילה ולהחליט איזה מהנעלמים נוח יותר להביא לידי מקדמים נגדיים. במילה "נוח" הכוונה בדר כלל היא לכפל במספרים קטנים יותר .מומלץ לשמוע את דעות התלמידים ולפתור על פי הצעותיהם .לאחר מכן לדון בשאלה "במה כדאי לבחור". בין התרגילים גם כאלו שפתרו קודם לכן .זאת כדי שתהליך הפתרון לא יהיה אוטומטי והתלמידים יתבוננו במקדמים ויפעילו שיקול דעת לגבי דרך הפתרון .לדוגמה, בתרגיל (ב) ,ניתן לכפול רק אחת מהמשוואות (המשוואה השנייה) .כפל של המשוואה השנייה ב (–1) - יביא לכך שבשתי המשוואות ל x -יהיו מקדמים נגדיים. בתרגיל (ה) בשתי המשוואות ל x -יש מקדמים נגדיים .אין צורך לכפול. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 219 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד204 : דרכים לפתרון מערכת משוואות בשני נעלמים למדנו עד כה לפתור מערכות משוואות ב שלוש דרכים :פתרון גרפי ,פתרון אלגברי בשיטת ההצבה ,ופתרון אלגברי בשיטת הנגדת המקדמים. כל אחת ממערכות המשוואות ניתן לפתור בכל אחת משלוש הדרכים שנלמדו. בפרק זה נמשיך ונעסוק בדרכי הפתרון בשיטות האלגבריות :שיטת ההצבה ושיטת הנגדת המקדמים. רבים מהתלמידים מעדיפים לפתור מערכת משוואות בדרך של הנגדת המקדמים. בפרק זה נציג מערכות משוואות שכדי לפתור בדרך של הנגדת המקדמים יש לבצע פעולות מקדימות, בעוד שפתרון בשיטת ההצבה הוא מהיר ונוח יותר. (חשוב לשמר ידע זה של פתרון בשיטת ההצבה מכיוון שבפתרון מערכות משוואות שאינן ממעלה ראשונה, שילמדו בכיתה ט ,הפתרון מתבצע בדרך-כלל בשיטת ההצבה). כאשר עלינו לפתור מערכת משוואות ,באיזו מהדרכים נבחר. הבחירה תלויה בדרך בה מוצגת מערכת המשוואות. דוגמה 9 מוצגות שתי מערכות משוואות ,בכל אחת מהן דיון מה היא השיטה העדיפה לפתרון. במערכת משוואות (א) באחת מהמשוואות xמוצג באמצעות ביטוי אלגברי עם .y שיטת הפתרון בה אין צורך לבצע פעולות מקדימות כמו סידור של המשוואה ,היא שיטת ההצבה. במערכת משוואות (ב) שתי המשוואות כתובות זו מתחת לזו ,כאשר המקדמים המתאימים נמצאים זה מתחת לזה .צורת כתיבה זאת מביאה לכך שנוח יותר לפתור את המערכת בשיטת הנגדת המקדמים. בהתאם לזמן העומד לרשות המורה ניתן לפתור כל אחת משתי המשוואות בשתי הדרכים ,ולשמוע את דעת (א) ( (1) 5x + 3y = 7 x=y–5 )(2 (ב) ( 5x + 3y = 7 )(1 2x – 4y = –18 )(2 התלמידים על הדרך העדיפה עליהם. מומלץ לפתור מערכות אלו במליאת הכיתה כאשר הספר סגור ולשתף את התלמידים בקבלת ההחלטות. כפי שהוזכר קודם לכן ,בכל אחת מהשיטות ,תלמידים רבים מסתפקים בחישוב הגודל של אחד מהנעלמים ושוכחים לבצע את ההצבה ולחשב את הערך של הנעלם השני. בדוגמה זו בסוף החישוב בכל אחת מהדרכים תזכורת לחישוב הנעלם השני. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 220 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 205 תרגיל 21 התלמידים מתבקשים להתבונן תחילה ,לבחור ולסמן את דרך הפתרון הנוחה ,לפני תחילת הפתרון. דוגמה 10 הקניה :במליאת הכיתה .ספרים סגורים. דוגמה לשאלה מילולית בה נוח להיעזר בטבלאות להצגת נתוני השאלה. טבלה להצגת הנתונים עבור הקניה של יעל וטבלה נוספת להצגת הנתונים עבור הקניה של נועה. הנתונים שבכל טבלה מובילים למשוואה עם שני נעלמים. כתיבת המערכת ופתרונה. את פתרון מערכת המשוואות יבצעו התלמידים בעצמם. שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית ובדיקה ,בה אין להסתפק בהצבה של הפתרון במשוואות ,אלא בדיקה האם הפתרון תואם את המסופר בשאלה. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 221 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 206 תרגילים .26 – 22שאלות בסגנון הדוגמה .בשאלות 26 , 23 , 22נתונות טבלאות בהן מציגים את נתוני השאלה. בתרגילים 23 , 22הנתונים מוצגים בטבלה ועל התלמידים להשלים את עמודת הסך-כול. בתרגילים 25 , 24נמליץ לתלמידים להוסיף טבלאות דומות להצגת הנתונים. כל אחת מהטבלאות מספקת משוואה אחת .משוואה המבטאת סכום של שני מחוברים. הפתרון הנוח הוא באמצעות שיטת הנגדת המקדמים. .22בטבלה סך-כול הסכום ששילמו מתקבל ממכפלה של מספר בקבוקי המיץ מכל סוג במחיר שלו. התשלום הכולל עבור הקנייה של ח .6x + 8y :1בשאלה נתון כי סכום זה שווה ל 68 -שקלים. 6x + 8y = 68 המשוואה: 4x + 12y = 72 התשלום של ח:2 פותרים את מערכת המשוואות .כופלים כל אחת מהמשוואות במספר אחר כך שלאחד מהנעלמים יהיו מקדמים שהם מספרים נגדיים .נבקש מהתלמידים להציע הצעות למקדמים נגדיים אליהם הם רוצים להגיע. הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המקדמים של 4( xו )6 -היא .12 הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של המקדמים של 8( yו )12 -היא .24 את אחת מהמשוואות יש לכפול במספר חיובי ואת האחרת במספר שלילי. מחברים את שתי המשוואות .מחשבים את אחד מהנעלמים .מציבים באחת המשוואות ומחשבים את הנעלם השני .כותבים תשובה מילולית ובודקים על המסופר בשאלה. .23דומה לתרגיל .22 .24הוספת טבלאות. הקנייה של אלון הקנייה של נדב כמות בליטרים מחיר ליחידה בשקלים כמות בליטרים סך-הכול שילמו צבע לבן צבע לבן צבע כחול צבע כחול מחיר ליחידה בשקלים סך-הכול שילמו .25הוספת טבלאות. קבוצה א מספר מחיר לאחד בשקלים קבוצה ב מספר סך-הכול שילמו מבוגרים מבוגרים ילדים ילדים מחיר לאחד בשקלים סך-הכול שילמו ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 222 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד207 – 206 : .26שאלה מילולית שנוח לפתור באמצעות מערכת משוואות בשני נעלמים .מומלץ לפתור במליאת הכיתה. מומלץ .כפי שנעשה בדוגמאות ,להיעזר בצבעים. מחיר ק"ג עגבניות – xשקלים. מחיר ק"ג מלפפונים – yשקלים. היגד :1מיכל קנתה 5ק"ג עגבניות ו 3 -ק"ג מלפפונים ,ושילמה 51שקלים. המשוואה המתאימה.5x + 3y = 51 : היגד 1 :2ק"ג מלפפונים עולה בשקל אחד יותר מ 1 -ק"ג עגבניות. בתרגום למשוואה תלמידים נתקלים בקושי :האם יש לחבר 1או לחסר .1כמובן שהתשובה תלויה במיקום של הנעלמים. הצעות לביצוע :עוברים למספרים .אם מחיר 1ק"ג עגבניות הוא 5שקלים. מה הוא מחיר 1ק"ג מלפפונים? וכדומה. ניתן לכתוב על הלוח 6משוואות: y=x+1 ; x=y+1 ; x–y=1 y=x–1 ; x=y–1 ; y–x=1 ולבקש מהתלמידים לסמן את המשוואות המתאימות להיגד שבשאלה .גם כאן מעבר למספרים יקל על הבחירה. מומלץ לסכם :כדי לכתוב שוויון יש להוסיף 1לגודל הקטן יותר ,או לחסר 1מהגודל הגדול יותר ,או לכתוב משוואה להפרש שבין המספר הגדול למספר הקטן. .27שאלה דומה לשאלה .24 .28בשונה מהשאלות הקודמות המשוואות בשאלה זו מציגות הפרש בין שני גדלים. על תשובה נכונה נותנים נקודות .על תשובה שגויה מורידים נקודות. פרט לכך ,תהליך הפתרון דומה לפתרון השאלות הקודמות .גם כאן הצגת הנתונים בטבלאות כמו בתרגיל 26מקלה על כתיבת המשוואות .טבלה עבור הפדיון ביום ראשון ,על-פי כמויות הכרטיסים שנמכרו מכל אחד מהמחירים .טבלה שנייה דומה עבור הפדיון ביום שני. הפתרון הנוח למערכת המשוואות המתקבלת :שיטת הנגדת המקדמים. .29אוסף נוסף של מערכות משוואות .יפתרו על-פי שיקול דעתו של המורה. מומלץ לבקש מהתלמידים להתבונן תחילה ולהחליט על שיטת הפתרון לפני שמתחילים בביצוע. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 223 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד208 – 207 : .30שאלה דומה לדוגמה .10 לכל בעל חיים יש זנב אחד בלבד .גם לתוכי יש זנב. זנב התוכי :הזנב בנוי ממספר נוצות זנב ,אשר גודלן משתנה ביחס למשקל ואורך גוף התוכי עצמו .כמו בכל כלי תעופה ,תפקידו של זנב התוכי הוא ניווט .הזנב מהווה מעין הגה המכוון את כל התוכי לכיוון הרצוי( .מתוך ויקיפדייה). לסוס ארבע רגליים ולתוכי שתי רגליים. .31שאלה דומה לשאלה .30לכל כלי רכב יש שתי לוחיות רישוי .למכונית יש 4גלגלים .לאופנוע יש 2גלגלים. .32שאלה דומה לשאלה .30 .33אוסף נוסף של מערכות משוואות בשני נעלמים .יינתן על פי שיקול דעתו של המורה. .34שאלה דומה לתרגיל .28בתרגיל זה על התלמידים לבחור מה מייצג כל נעלם. .35אפשרות לסימון – x :מחיר בשקלים של ארוחת בוקר. – yמחיר בשקלים של ארוחת ערב. משוואה (:)1 משוואה (:)2 .y = 2x .x + y = 168 הדרך המתבקשת :פתרון בשיטת ההצבה. .36דרך הפתרון המתבקשת היא פתרון בשיטת ההצבה. מכיוון שבמשוואה x = 2y + 7יש שתי פעולות חשבון מופיעה הנחייה על דף תובנות. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 224 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 209 מערכות משוואות לא מסודרות מערכות משוואות בהן יש לסדר את המשוואות באמצעות ביצוע פעולות שנלמדו בפרק טכניקה אלגברית, כגון :פתיחת סוגריים וכינוס איברים דומים. דוגמה 11 הקניה :במליאת הכיתה .ספרים סגורים. הצגה של מערכת המשוואות על הלוח. יש המעדיפים לשמור על כתיבה מסודרת של מערכות משוואות שקולות גם בשלב המקדים של סידור המשוואות. לאוכלוסיית היעד של ספר זה אנו ממליצים לסדר כל משוואה בנפרד .התלמיד מתמקד במשוואה אחת עד להבאתה לצורה מסודרת .רק לאחר שעבד בנפרד על סידור של כל אחת מהמשוואות חוזר לכתיבה מסודרת של מערכת משוואות. שואלים :מהי משוואה מסודרת: אפשרות אחת היא משוואה מהצורה ax + by = cהנקראת הצגה סתומה. באגף אחד המחוברים שכל אחד מהם הוא ביטוי עם נעלם .באגף השני :המספר החופשי. אפשרות אחרת :להגיע למשוואה בה לאחד מהנעלמים לפחות מקדם השווה .1במקרה זה ,ניתן להגיע למשוואה מהצורה y = ax + bאו x = ay + bהנקראת הצגה מפורשת. סידור המשוואות מתבצע באמצעות פעולות של טכניקה אלגברית שלמדנו :שימוש בחוק הפילוג לפתיחת סוגריים, חיסור או חיבור של ביטויים שאינם באגף הנדרש משני אגפי המשוואה ,וכינוס איברים דומים. פתרון המערכת המסודרת נעשה כמו בתרגילים הקודמים. יש לזכור כי את הבדיקה יש לבצע על המשוואות המקוריות ולא על המשוואות המסודרות .ייתכן כי כבר בשלב הסידור נעשתה טעות .טעות זאת תתגלה רק אם הבדיקה תיערך על המשוואות המקוריות. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 225 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 210 דוגמה 12 דוגמה בה לסידור המשוואה יש להשתמש גם בחוק הפילוג (פתיחת סוגריים). ההנחיות כמו בדוגמה .11 בשלב זה מרבית התלמידים כותבים את תוצאת המכפלות ומדלגים על השלב של כתיבה מפורטת של הגורמים בכל מכפלה .טעויות צפויות הן בסימני המכפלות המתקבלות ,כאשר לפני הסוגריים פעולת חיסור ,כמו במשוואה (.)2 מתלמידים שעדיין מבצעים טעויות מסוג זה נבקש להוסיף שלב ובו לכתוב במפורש את הגורמים שבמכפלות. נזכיר כי כל פעולת חיסור ניתן להחליף בפעולת חיבור של המספר הנגדי .במשוואה ( )2נכתוב מחדש את המשוואה כאשר את פעולת החיסור מחליפה פעולת חיבור הנגדי: נפתח סוגריים: 5x + 1 + (–2)(2x – y) = 3y + 3 5x + 1 + (–2) 2x – (–2)y = 3y + 3 ונמשיך כמודגם בדוגמה .12 תרגילים .37מערכות משוואות שפתרונן הוא יישום ישיר של דוגמאות .12 – 11 את מערכת ( )3מומלץ לפתור במליאת הכיתה בגלל סימן המינוס שלפני הסוגריים. הפתרון ייעשה בשלבים .אחרי כל שלב הפתרון יוצג על הלוח תוך התייחסות לטעויות של תלמידים. השלבים :סידור משוואה ( ,)1סידור משוואה ( ,)2כתיבת מערכת המשוואות המסודרת ופתרונה. גם במערכות ( ) 7( , )6( , )4יש סימן מינוס לפני הסוגריים .מומלץ לבדוק תרגילים אלו בכיתה כדי לוודא שפתרו נכון. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 226 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 211 .39 – 38עוד מערכות משוואות בשני נעלמים .יינתנו על -פי שיקול דעתו של המורה. מומלץ לבקש להתבונן תחילה באופי המשוו אות ולהחליט על דרך הפתרון הנוחה. בתרגילים )5(39 , )2(38יש עדיפות לפתרון בשיטת ההצבה. מומלץ לבדוק במליאת הכיתה את דרכי הפתרון של תרגילים )1(39ו.)2(39 - נבקש מתלמידים שפתרו בדרכים שונות להציג את פתרונותיהם על הלוח ולאחר מכן להציג גם את הפתרון הבא ,בשיטת ההצבה. .)1(39המשוואה השנייה דומה למשוואות במערכות אותן נוח 5x – 3y = –11 לפתור בשיטת ההצבה .מה ההבדל? 3y = x + 7 לא משוואה מהסוג ____ = yאלא ____ = 3y נצבע את הביטוי .3yגם במשוואה הראשונה מופיע ביטוי זה נצבע גם אותו. 5x – (x + 7) = –11 במקום הביטוי 3yנציב את ערכו כפי שנתון במשוואה (.x + 7 :)2 נזכיר כי ביטוי חיבורי מציבים בתוך סוגריים .ממשיכים בפתרון. .)2(39בדומה למערכת המשוואות הקודמת ,גם כאן ניעזר בצבעים: 4x = 5y שיקולי הדעת כמו בתרגיל הקודם ,או כפי שלמדנו בדוגמה 7עמוד .171 4x = 3y + 4 נשווה את הביטויים שבאגפי ימין של שתי המשוואות שכל אחד מהם שווה ל.4x - מקבלים את המשוואה5y = 3y + 4 : .42 – 40שאלות העברה שעדיין לא נחשפו אליהן .העברה של כמות כלשהי מאחד לשני. מומלץ לפתור את שאלה 39במליאת הכיתה (מופיע אייקון מתאים) ואת האחרות לתת כעבודה עצמית בכיתה או בבית. .40על דף התובנות הצעה לסמן את סכום הכסף של אריאל ב x -ואת סכום הכסף של עידו ב .y - בשאלות מסוג זה ,כאשר אריאל נותן סכום כלשהו לעידו ,התלמידים בדרך כלל מודעים לכך שהסכום של אריאל קטן אבל שוכחים שהסכום של עידו גדל .חשוב להדגיש כי לאחר ההעברה גם אצל אריאל וגם אצל עידו הסכום משתנה. כאשר אריאל נותן 60שקלים לעידו ,הסכום של אריאל קטן ב 60 -והסכום של עידו גדל ב.60 - תרגום ההיגד" :יהיה לאריאל סכום כסף גדול פי 2מאשר לעידו" ,למשוואה. איזה סכום יש לכפול ב ? 2 -האם את הסכום שיהיה לאריאל או את הסכום שיהיה לעידו. ניתן להציג בפני התלמידים משוואות שונות (כפי שהוצע בהדרכה לתרגיל .)18 ) 2(x + 60) = y – 60 , x + 60 = 2(y – 60וכדומה. למשל: ובנוסף לתת דוגמאות מספריות( .כופלים את הביטוי בעל הערך הקטן יותר כדי לקבל שוויון). שיטת הפתרון של מערכת המשוואות תלויה באופי המשוואות שנכתבו. .42 – 41שיקולי הדעת דומים לאלו של שאלה .40 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 227 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד212 : אוריינות – מרכז הספורט מאפייני המשימה: • יישום מודל מתמטי לשאלה מציאותית. • • חישובי שטחים. חישובי היקפים. • קנה מידה. • • יחס. אחוזים. • המרה בין יחידות. (א) חשבו את המידות במציאות. קנה המידה של הסרטוט הוא .1 : 1000כל 1ס"מ במפה שווה 1,000ס"מ במציאות. את מידות המגרשים מקובל להציג באמצעות מטרים ולא בס"מ. יש לבצע המרה מס"מ למטרים 100 .ס"מ = 1מטרים. פתרונות :מגרש הכדורגל 45 x 90 :מטרים. מגרש הכדורסל 15 x 30 :מטרים. בריכת השחייה 25 x 50 :מטרים. בריכת שחייה לפעוטות :רדיוס הבריכה 2.5מטרים. (ב) חישוב ההיקף של המגרש שווה לסכום אורכי הצלעות. ניתן לראות כי היקף מגרש זה שווה להיקף של מלבן שצלעותיו 10ו 16 -מטרים ,כמודגם להלן: 5 10 10 5 5 11 ההיקף 520 :מטרים. 16 16 (ג) חישוב ההיקף של מגרש הכדורגל 270 :מטרים .אורך מסלול הריצה שווה לארבע פעמים היקף המגרש. ההיקף 1,080 :מטרים. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 228 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 212 (ד) חישוב היקף מגרש הכדורסל .ההיקף 90 :מטרים. תשובה :יש להקיף את מגרש הכדורסל 12פעמים. (ה) חישוב שטח מגרש הכדורגל ושטח מגרש הכדורסל. שטח מגרש הכדורגל 4,050 :מ"ר. שטח מגרש הכדורסל 450 :מ"ר. מגרש הכדורסל יתפוס ממגרש הכדורגל. (ו) המרה של חלק מתוך שלם לאחוזים מתוך אותו שלם. התשובה.11.11% : 1 ) 100 11.11 9 ( (ז) חישוב יחס בין היקפים. היקף בריכת השחייה 150 :מטרים. היקף מגרש הכדורסל 90 :מטרים. היחס: 150 : 90ולאחר צמצום נקבל.5 : 3 : (ח) חישוב שטח עיגול. שטח בריכת השחייה לפעוטות 4 :מ"ר. תזכורת :שטח עיגול שרדיוסו Rמטרים הוא Rמ"ר. 2 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 229 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 213 נחזור ונתרגל – שורש ריבועי הנושא נלמד בכיתה ז .המטרה לשמור על הידע שנלמד. על דף תובנות שתי דוגמאות לשורש ריבו עי כולל כתיבת הסימן להוצאת שורש. תרגילים 2 – 1יפתרו בכיתה ללא במחשבון. .1הוצאת שורש .שורשים שהם מספרים שלמים. יש להניח שהתלמידים לא יתקשו במציאת השורשים בסעיפים (.)4( – )1 בסעיפים ( )5עד ( )6שואלים :מה סדר הגודל של השורשים בתרגילים אלו? (גדול מ 10 -ועד .)20 כאן ניתן להיעזר בספרת האחדות (כפי שלמדו בכיתה ז) .אומרים :ידוע לנו כי השורשים הם מספרים שלמים. מה יכול להיות השורש של ? 121ספרת האחדות היא .1ספרת האחדות של השורש יכולה להיות 1או .9 (11 = 1 .(99 = 81 , מבחינת סדר הגודל הפתרון הסביר הוא .11בודקים. מה יכול להיות השורש של ? 169ספרת האחדות היא .9ספרת האחדות של השורש יכולה להיות 3או .7 אם השורש הוא מספר שלם אז יש שתי אפשרויות 13 :או .17בודקים. .2השורשים אינם מספרים שלמים .יש לכתוב בין אלו שני מספרים שלמים נמצא השורש. נתונה רשימה של שורשים בה ייעזרו כדי לענות על התרגילים. .3מציאת שורש ריבועי תוך שימוש במחשבון .היכרות עם מקש השורש. חשוב לבדוק את המחשבונים שבידי התל מידים .יש כאלו בהם ההקשה היא בדיוק כמו סדר הכתיבה. יש מחשבונים (בדרך-כלל מודלים ישנים) בהם יש להקיש קודם את המספר ורק לאחר מכן להקיש על מקש השורש .על המורה לוודא שכל תלמיד יודע כיצד להשתמש במחשבון שבידו. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 230 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד214 : מערכת משוואות ושאלות מילוליות בשני נעלמים ממעלה ראשונה בסבב הראשון למדו מה היא משוואה בשני נעלמים ,מה הוא פתרון של משוואה בשני נעלמים ,מה היא מערכת משוואות בשני נעלמים ,ומה הוא פתרון של מערכת כזאת. התלמידים למדו לפתור מערכות משוואות בשני נעלמים בדרך גרפית ובדרכים אלגבריות בשיטת ההצבה ובשיטת הנגדת המקדמים. בפרק זה יפתרו משוואות עם שברים. משוואות עם שברים דוגמה 1 נתונה מערכת משוואות בה המקדמים (חלקם או כולם) של הנעלמים הם שברים. כמו בפתרון מערכות משוואות לא מסודרות ,נסדר כל משוואה בנפרד ונכתוב את מערכת המשוואות השקולה המתקבלת אחרי סידור המשוואות. בכיתה ז למדו לפתור משוואות עם שברים בנעלם אחד. התלמידים למדו לכתוב את שני אגפי המשוואה כשברים בעלי מכנים שווים .כאשר לשני אגפי המשוואה יש x y מכנים שווים ניתן להתעלם מהמכנה ולהשוות מונים .בדוגמה (:)1 9 5 2 2x 5y 10 9 נרחיב כך שכל המחוברים ייכתבו כשברים בעלי מכנה ( 10המכנה המשותף): 10 10 10 2x 5y 90 נחבר שאת השברים שבאגף שמאל: 10 10 במשוואה זו שוויון בין שני שברים. 2x + 5y = 90 לשני השברים מכנים שווים .כדי שהשברים יהיו שווים נשווה מונים. לקראת סוף כיתה ז כאשר פתרו משוואות עם ביטויים אלגבריים במכנה ,וויתרנו על כתיבת המכנה המשותף (מכיוון שהמשוואה הפכה להיות מאד מסורבלת). x x 9 10 10 10 עברנו לדרך מקוצרת בה כפלנו כל אחד מהמחוברים במכנה המשותף: 5 2 1 דילגנו גם על השלב הזה והסתפקנו בכתיבת המספר בו כופלים את המונה, 5 10 2 x y 9 המתקבל לאחר צמצום של כל אח מהשברים: 5 2 1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 231 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד215 : הקניה :במליאת הכיתה .ספרים סגורים .שיתוף התלמידים בתהליך הפתרון .כל אחד משלבי הפתרון נלמד בעבר .כאן יישום של כל השלבים: מעבר ממשוואה עם שברים למשוואה שקולה ללא שברים :במשוואה ( )1המכנה המשותף הוא ( 10המספר הקטן ביותר המתחלק גם ב 2 -וגם ב .)5 -הרחבה של כל השברים לשברים בעלי מכנה של .10 טעות נפוצה :לא כופלים את השלם שבאגף ימין .דרך להקטין שגיאות מסוג זה היא לכתוב את המשוואה כך שכל המחוברים בה הם שברים .השלם שווה לשבר שהמכנה שלו הוא .1כפי שמודגם בעמוד הקודם. התקבלה מערכת משוואות אותה למדו לפתור. בכיתות בהן לתלמידים יש קושי בפתרון בדרך זאת ,מומלץ לחזור לכתיבה של המשוואה כך שבשני אגפי המשוואה יהיו מכנים שווים (מבלי לדלג על שלבים) ורק אז להתעלם מהמכנים ולהשוות מונים. בדיקה :חשוב להדגיש כי את הבדיקה יש לבצע על המשוואות המקוריות עם השברים. בהחלט ייתכן כי נעשתה טעות במעבר בין המשוואה המקורית למשוואה המסודרת ללא שברים ורק בדיקה על המשוואות המקוריות תגלה זאת. דוגמה 2 מערכת משוואות בה בנוסף לקבלת מערכת משוואות ללא שברים יש לסדר את המשוואה כך שתתאים לפתרון באחת מהשיטות שנלמדו .בדרך כלל הדרך הנוחה יותר היא להביא את המשוואות כך שתתאמנה לפתרון בשיטת הנגדת המקדמים. הקניה :בכל אחת מהמשוואות הנתונות יש יותר ממחובר אחד שאינו כתוב כשבר .נכתוב כל אחד מהם כשבר שהמכנה שלו הוא 1ונמשיך בדרך הפתרון המוצגת בדוגמה .1 יכולנו לסדר את משוואה ( )1אחרת ולהגיע למשוואה.x = 12 – 6y : במקרה זה שיטת הפתרון הנוחה היא שיטת ההצבה :הצבה במשוואה ( )2של הביטוי 12 – 6yבמקום .x ניתן לבקש ממחצית התלמידים לפתור בשיטה של הנגדת המקדמים ומהמחצית השנייה לפתור בשיטת ההצבה. תרגיל 1 יישום ישיר של המוצג בדוגמאות .2 – 1 ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 232 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 216 שאלות מילוליות מ סוגים אותם כבר תרגלו בעבר .השינוי הוא שבמשוואות המתקבלות יש שברים. בשאלות שילוב של מערכות משוואות עם שברים ונושאים שנלמדו בעבר כמו אחוזים ויחס. מומלץ לחזור על השלבים של פתרון שאלה מילולית: בימון הנעלמים ב x -וב .y - כתיבה של שתי משוואות על פי ההיגדים שבשאלה ,היוצרים מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים. פתרון של מערכת המשוואות. תשובה :שאלה מילולית מחייבת תשובה מילולית. בדיקה :בה אין להסתפק בהצבה של הפתרונות במשוואות ,אלא בדיקה האם הפתרון תואם את המסופר בשאלה. תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. שאלה על שני מספרים .שאלות דומות פתרו בפרק הקודם על הפתרון של מערכת משוואות בשני נעלמים. 1 x . בשאלה זו באחת מהמשוואות יש שבר .תרגום של ההיגד " :של מספר" לביטוי , xהשווה לשבר 3 3 תרגילים .3שאלה דומה לשאלה .3לא מצוין בשאלה איזה הוא המספר הגדול :מספר א או מספר ב. לכן יש שתי תשובות אפשריות לשאלה. x y 42 y x 42 מערכות המשוואות המתאימות: 1 1 x y 171 x y 171 2 2 x = 128 x = 100 הפתרונות: y = 86 y = 142 .4בתרגיל זה משוואה אחת היא סכום הנעלמים והמשוואה השנייה היא תרגום של ההיגד :ההפרש בין רבע 1 1 משקל האבקה לבין מחצית משקל האריזה הוא 1ק"גx y 1 . 4 2 1 x 1 y y . x ו- על דף תובנות תזכורת: 4 4 2 2 x y 1 ונכתוב משוואה שקולה ללא שברים. בפתרון המערכת נכתוב את כל המחוברים שבמשוואה כשברים: 4 2 1 הפתרון :משקל האבקה 8ק"ג .משקל האריזה 2ק"ג. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 233 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 217 ניתן להעלות לדיון במליאה את הסיבה שבשאלה 3יש שני פתרונות אפשריים ובשאלה 4רק פתרון אחד למרות שאלו שאלות דומות. בדיון מסוג זה הזדמנות לחזור על חוקי החשבון :חוק החילוף המתקיים בפעולת החיבור ואינו מתקיים בפעולת החיסור. – xהגיל של מיכל – y .הגיל של יעל. .5מערכת המשוואות לפתרון השאלהx + y = 60 : 1 1 x y 7 8 .6לפתרון במליאת הכיתה. כמו בתרגיל , 3משוואה אחת היא עבור ההפרש של שני המספרים .צריך לבדוק אם יש יותר מתשובה אחת. מערכת המשוואות לפתרון השאלה – x :הגיל של אריאל – y .הגיל של נדב. x‒y = 8 1 1 xy x y 5 3 4 הפתרון :אריאל בן .20נדב בן .12בדקו. y‒x = 8 אם ננסה לפתור את מערכת המשוואות: 1 1 xy x y 5 3 4 נקבל .x = ‒20 :תשובה שאינה אפשרית בהקשר של השאלה. (אם השאלה הייתה עוסקת במספרים היינו מקבלים את שתי התשובות: יש שני פתרונות )1( :המספרים הם )2( .20 , 12המספרים הם ).‒20 , ‒12 .7שאלה דומה לשאלות .5 , 3 דוגמה 3 שאלה בנושא יחס. היגד א" :היחס בין שני מספרים הוא ."2 : 3 נסמן מספר אחד ב x -ומספר שני ב .y -לפי הנתון x : y = 2 : 3 :או בכתיב שברים: x 2 y 3 . היגד ב :סכום המספרים הוא .30המשוואה המתאימה.x + y = 30 : פותרים את מערכת המשוואות .כותבים תשובה מילולית ובבדיקה בודקים אם המספרים שהתקבלו מתאימים לשני ההיגדים שבשאלה. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 234 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד218 – 217 : תרגיל לפתרון במליאת הכיתה. כמו בדוגמה שני היגדים .ההיגד השני מציין את ההפרש בין שני המספרים. כאן יש התייחסות למספר הגדול .אם נסמן את המספר הגדול ב x -ואת המספר הקטן ב,y - y 2 . היחס 2 : 5הוא היחס בין yל .x -בכתיב שברים: x 5 משוואה שנייה.x ‒ y = 63 : תרגילים .11 – 8שאלות זהות לדוגמה 3ולתרגיל שבוצע במליאת הכיתה. .13 – 12שאלות העוסקות ב חישוב היקף משולש כאשר הביטויים המבטאים את אורך צלעות המשולש כוללים שברים. .12מערכת המשוואות לפתרון השאלה: x + 1y + (x + y) = 50 ()1 1y = 21 ( )2 (א) על-פי משוואה ( )2מחשבים את הערך של .y מציבים במשוואה ( )1ומחשבים את הערך של .x (ב) מציבים את הערכים שהתקבלו בביטויים המייצגים את האורכים של צלעות המשולש וכותבים תשובה מילולית. .13מערכת המשוואות לפתרון השאלה: x + y + (x – y) = 37 x – y = 1 ()1 ( )2 (א) פתרון של מערכת המשוואות .חישוב הערכים של xו.y - (ב) מציבים את הערכים שהתקבלו בביטויים המייצגים את האורכים של צלעות המשולש וכותבים תשובה מילולית. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 235 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד219 : .14עוד מערכות משוואות בשני נעלמים מסוגים שונים .יינתן על-פי שיקול דעתו של המורה. החידוש :במשוואות ( )5( , )4( , )3בחלק מה מונים מופיעים ביטויים חיבוריים .בפעולת הכפל יש לכתוב ביטוי זה בסוגריים .מומלץ לא לוותר על השלב של כתיבת הסוגריים מכיוון ששלב זה מועד לטעויות ,במיוחד כאשר מדובר בפעולת חיסור כמו בהמשך בתרגיל 19משוואה (.)1 .18 – 15שאלות עם אחוזים. לפתרון במליאת הכיתה. בשאלות אחוזים המשוואות המתקבלות הן בדרך-כלל מורכבות יותר ,ומחייבות חישובים במספרים גדולים יותר. בתרגילים 17 – 15נתונה הצגה של הנתונים בטבלה .בתרגיל 18על התלמידים לבנות בעצמם את טבלת הנתונים. .15מומלץ לפתור במליאה כאשר הספר סגור ולבנות את טבלת הנתונים ואת דרך ההצגה יחד עם התלמידים. בטבלה ,לכל פריט שלושה ערכים :השלם – המחיר בשקלים לפני ההנחה ,החלק באחוזים, וערך האחוז – גובה ההנחה בשקלים .מומלץ לחזור על הקשר שבין הגדלים האלו. ניתן לבצע מספר תרגילים בחישובים של הנחה במספרים נוחים ,לפני השימוש בנעלמים( .על פריט שמחירו 80שקלים ניתנה הנחה של .10%מה גובה ההנחה? או על פריט שמחירו 50שקלים ניתנה הנחה של 30%ממחירו .מה גובה ההנחה? וכדומה). משוואה ( )1היא תרגום לביטוי אלגברי של ההיגד :המחיר של חולצה וחצאית יחד הוא 124שקלים. משוואה ( )2היא תרגום לביטוי אלגברי של ההיגד :על קנייה של חולצה וחצאית קיבלה הנחה של 28שקלים. x y במשוואה ( )2ניתן לבצע צמצום לפני שמתחילים בפתרון המערכת ולקבל את המשוואה 28 : 5 4 (לא תמיד הצמצום כדאי .לעיתים כדאי להשאיר את המכנה שהוא 100כמכנה משותף. 20 y 21x 20y למשל ,כאשר המשוואה היא 28 : ובפישוט המשוואה, ניתן לצמצם את 100 100 100 נחזור למכנה משותף של ).100 . פתרון המערכת נעשה בדרכים שכבר נלמדו. התלמידים יתנו תשובה מילולית ויבדקו אם התשובה שקיבלו מתאימה לנתון בשאלה המילולית. ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 236 כיתה ח ,חלק ב מספר עמוד בספר לתלמיד: 220 .16חוזרים על אותם שלבים שנעשו בתרגיל .15 מערכת המשוואות: x + y = 140 33 30y 100 15x 100 15 30 15x 100 30y 100 .17מומלץ לפתור במליאת הכיתה מכיוון שבשאלה נתון גובה ההנחה על תנור אפייה באחוזים, אבל המחיר ששולם עבור התנור והמקרר הוא בשקלים. חייבת להיות הלימה בין האחוז וערך האחוז :האחוז וערך האחוז חייבים להתייחס לאותו גודל. אחוז ההנחה והאחוז בו נמכר המוצר סכומם הוא .100%אם נתון שתנור האפייה נמכר בהנחה של ,30% אז האחוז בו נמכר המוצר הוא 70%המשלים את אחוז ההנחה ל .100% - מכיוון שנתון המחיר בשקלים בו נמכרו המוצרים ,נכתוב ,בטבלת הנתונים בשורת האחוזים ,את האחוז מתוך המחיר המקורי בו נמכר המוצר. יש לשים לב שעל המקרר לא ניתנה הנחה .הוא נמכר במחיר המקורי שלו ,xכפי שמוצג בטבלה. מה נרשום במשבצת של מחיר הקנייה באחוזים? המוצר נמכר במחיר המלא ( .)100%ניתן לרשום .100% מכיוון שאנו יודעים את המחיר בו נמכר המוצר ( ,)xאין צורך באחוז וניתן גם להשאיר מקום ריק. מערת המשוואות דומה למערכות שבשאלות הקודמות. .18מומלץ להציע לתלמידים להציג את הנתונים בטבלה. סך-הכול הובלה ארון נשאל אותם כיצד תיראה הטבלה? x+y y x המחיר בשקלים עמודה עבור מחיר הארון .עמודה עבור מחיר ההובלה. מחיר באחוזים --115% לאחר ההתייקרות כמו בשאלה ,13מחיר ההובלה נשאר כפי שהיה, 115 x 115 x מחיר סופי לכן ניתן להשאיר את המקום המתאים בטבלה ריק. y y בשקלים 100 100 ניתן גם לכתוב .100% אפשרות אחרת :ההפרש בין המחיר המקורי למחיר לאחר ההעלאה הוא 135שקלים. סכום זה שווה ל 15% -מערך הארון .נחשב את הכמות השלמה (בספר לתלמיד עמוד .)69 .19פתרון של שתי מערכות משוואות נוספות בהן יישום של כל הפעולות שנלמדו .ראו הנחייה לתרגיל .14 במשוואה ( ,)1באגף שמאל ,יש פעולת חיסור בין שני השברים .חשוב שבשלב ראשון הביטויים ייכתבו בסוגריים ולא ישכחו לכפול במכנה המשותף גם את אגף ימין: 3(x + y) – 10(x – y) = 30 ⋅ 5 התלמידים כופלים את המחוברים שבתוך הסוגריים במקדם אבל שוכחים לשים לב לסימנים: ____________________________________________________________________________________________________________________________________ כל הזכויות שמורות "קפיצה לגובה" 237 כיתה ח ,חלק ב
© Copyright 2024