כפל – מספרים מכוונים עמודים
עמודים :68 – 60מספרים מכוונים – כפל כפל מספרים מכוונים ייעשה באותו אופן של חקירה מובנית באמצעות המחשבון כפי שנעשה בהקניה של כללי החיבור של מספרים מכוונים. הפרק פותח בתזכורת שמכפלה באפס שווה אפס. לאחר מכן זיהוי סימני הכופלים במכפלות בהם הכופלים שונים מאפס. הצגה של הכפל כחיבור ארוך של אותו מחובר. פתרון תרגילי כפל שיודעים לפתור: מכפלות בהן שני הכופלים חיוביים. מכפלות בהן כופל ראשון חיובי ושני שלילי. שימוש בחוק החילוף ומכפלות בהן הכופל הראשון שלילי והשני חיובי. פעילות :1זיהוי סימני הכופלים במכפלות נתונות. פעילות :2 שלב א :מיון תרגילי כפל לשלוש כרטיסיות: שלב ב :פתרון תרגילי הכפל שבכרטיסיות הוורודה והאפורה( .בכרטיסיה האפורה באמצעות מחשבון). שלב ג :ניסוח כללים מתאימים. 36 ההנחיות מכוונות את התלמיד להתבונן בכל עמודה לחוד ,לשים לב לאופי הכופלים ,ולסימן התוצאה .גם כאן כמו החיבור הכללים מתייחסים לסימן המכפלה ולערך המוחלט של המכפלה .כמו בפעילויות קודמות מסוג זה מומלץ לבצע את הפעילות בקבוצות .אחרי סיום העבודה בקבוצות דיון במליאת הכיתה וניסוח הכללים לכפל מספרים מכוונים על הלוח .התרגול במספרים קטנים כדי שהתלמידים ייחשבו ללא מחשבון. המחשבון ישמש לאימות התוצאות. מומלץ לבקש מהתלמידים להתבונן בכל תרגיל ולקבוע את סימן המכפלה לפני ביצוע החישוב. תרגילים :3 – 1חישוב של מכפלות בהן הכופלים הם מספרים מכוונים. תרגיל :4מכפלות של מספר שלם בשבר .כפל של שלם בשבר נמצא בנספח שברים בעמודים .220 – 222 המיומנויות המופעלות בתרגילים השונים: התבונן תחילה ,זיהוי ,מיון מתוך אוסף של תרגילים ,ביסוס תובנה ,יישום הנלמד ,השוואה בין ביטויים כפליים במספרים מכוונים. פעילות 3עמוד :65מכפלה של יותר משני כופלים גם כאן חקירה סגורה עם שאלות מנחות. בתום הפעילות התלמידים יגיעו להכללה שסימן המכפלה (כאשר כל הכופלים שונים מאפס) תלוי במספר הכופלים השליליים במכפלה. תרגיל :7האם המכפלה חיובית ,שלילית ,או ?2אין צורך לחשב את הערך המוחלט של המכפלה. התלמידים יענו תוך התבוננות תחילה: אם לפחות אחד מהגורמים הוא 2אז המכפלה שווה .2 אם כל הכופלים שונים מ ,2 -מניית מספר הכופלים השליליים במכפלה ,וקביעת סימן התוצאה. תרגיל :8מהו סימן המכפלה? נתונים תיאורים מילוליים של מכפלות .התלמידים נדרשים לקבוע אם המכפלה חיובית ,שלילית ,או .2 אם מתעורר מומלץ קושי לבנות עם התלמידים לבנות תרגיל עם מספרים המתאימים לדרישה .כך יהיה להם יותר קל להחליט. תרגילים :10 - 9הכיוון ההפוך .על התלמידים לכתוב תרגילים מתאימים כאשר נתונים מספר הכופלים וסימן התוצאה ,או מספר הכופלים כאשר התוצאה היא .2 תרגיל :11התרגיל בודק תובנה מספרית. נתון תרגיל "עוגן"2 · 4 · 6 · 8 = 384 : על סמך נתון זה על התלמידים לקבוע את התוצאות של 37 מכפלות בעלות כופלים בעלי אותו ערך מוחלט כמו של הכופלים בתרגיל הנתון כאשר יש שינוי בסימני הכופלים. התלמיד אמור להבין שלכל המכפלות ערך מוחלט זהה .השוני יתבטא בסימן והוא נקבע לפי מספר הכופלים השליליים במכפלה הנתונה .מומלץ להדגים פתרון של סעיף אחד או שניים במליאת הכתה. תרגיל :12למתקדמים .נתונים היגדים לגבי מכפלה :סימן המכפלה ומספר הכופלים החיוביים ו/או השליליים בה .על התלמידים לקבוע האם המכפלה המתוארת היא אפשרית. לדוגמה ,ידוע כי מכפלה של 4כופלים היא חיובית ,האם ייתכן שכל הכופלים הם שליליים? תרגיל :13חישובי מכפלות עם אפשרות לבקרה עצמית. הפתרון :כפל תרגיל :14הוספת סימן יחס במקום המתאים ,מבלי לפתור ,על-ידי התבוננות ,השוואה בין הביטויים וקביעת סימן המכפלה .בכל הביטויים מתקיים שוויון בין הערכים המוחלטים של המכפלות. תרגיל :15השלמת מספר חסר .תרגילים במספרים קטנים שבין 2ל.02 - תרגיל :16שילוב של מכפלות בהן כופלים עם ערך מוחלט .הזדמנות לחזור על מושג הערך המוחלט. תרגיל :17בדומה לתרגיל ,00שימוש בתרגילי עוגן .נתונה מכפלה ועל התלמידים להיעזר במכפלה הנתונה כדי למצוא מכפלות נוספות כאשר במכפלות יש שינוי בסימני הכופלים או שינוי סדר הכופלים ,שימוש בחוק החילוף או כפל ב 022 -כאשר במכפלה הנתונה היה כפל ב.02 - עמודים :73 – 69מספרים מכוונים – חילוק מהות הקשר בין פעולות הכפל והחילוק דומה לקשר שבין פעולות החיבור והחיסור. כדי להצדיק את כללי החילוק של מספרים מכוונים ,ניתן להיעזר בכללים של הכפל .ניתן לעשות זאת בהסתמך על כך שכל תרגיל חילוק ניתן להמיר בתרגיל של כפל במספר ההופכי .דרך זו מהווה המשך לדרך שבה נגזרו כללי החיסור מכללי החיבור .תרגיל חיסור הוצג כתרגיל חיבור של המספר הנגדי. דרך זו נשענת על אחד העקרונות של הרחבת תחום המספרים .עקרון בסיסי שתכונות שהיו קיימות בתחום המספרים הקודם ממשיכות להתקיים בתחום המספרים המורחב. עמוד :69הצגה של זוגות תרגילים אחד כפל והשני חילוק שלשניהם אותה תוצאה. תרגיל :1לכל תרגיל חילוק כתבו תרגיל כפל מתאים .התרגול בשלב זה הם במספרים חיוביים. המסקנה :חילוק במספר שקול לכפל במספר ההופכי לו. נשתמש בכך לפתרון תרגילי חילוק במספרים מכוונים. כללי החילוק יגזרו מתוך כללי הכפל. כדי לפתור תרגילי חילוק נהפוך כל תרגיל חילוק לתרגיל כפל שקול. 38 על בסיס זה ,וידיעת כללי הכפל במספרים מכוונים ,נוביל את התלמידים למצוא את המנה בתרגיל חילוק במספרים מכוונים. פעילות :1מתרגיל חילוק לתרגיל של כפל במספר ההופכי. בפעילות זו נבחרו 4דוגמאות פרדיגמטיות (דוגמאות מייצגות) ,המציגות את 4המצבים לתרגיל חילוק של מספרים (שונים מ :)2 -חיובי בחיובי ; שלילי בחיובי ; חיובי בשלילי ; שלילי בשלילי. לפני המעבר לתרגילים ניסוח של כללי החילוק במספרים מכוונים. מנה היא תוצאה של פעולת חילוק. מנה של שני מספרים שווי סימן היא חיובית. מנה של שני מספרים שוני סימן היא שלילית. תרגול הנושא יעשה באותו אופן שנעשה בנושאים קודמים ובאותם עקרונות המובילים להבנה ולשליטה בחומר. תרגיל 0 :2טורים של תרגילים ,בכל טור למספרים המשתתפים בפעולת החילוק ערכים מוחלטים שווים .חשוב להדגיש שוב שהערך המוחלט של המנה שווה בכל ארבעת התרגילים ,רק הסימנים שונים ,ולחזור על הכללים. תרגיל :4תרגילי חילוק בהם נתונה המנה ויש להשלים את אחד מהמספרים המשתתפים בפעולת החילוק .המספרים קטנים כדי שלא יהוו קושי בפתרון התרגיל. להפנות תשומת לב התלמידים לשני האלמנטים: .0מה צריך להיות סימן המספר החסר? .2מהו ערכו המוחלט של המספר החסר? תרגיל :5תרגילים מעורבים .חיבור ,חיסור ,כפל ,וחילוק .כדי שהתלמידים לא יעבדו באופן מכני אלא יתבוננו בתרגיל ויפתרו בהתאם. תרגיל :6בחירת המחלק הנכון מתוך שניים ,כאשר לשני המספרים הנתונים ערכם מוחלטים שווים. כמו בתרגיל 4לבדוק תחילה מהצריך להיות סימן המספר. תרגיל :7הוסיפו סימן סדר מתאים :אין צורך לחשב אלא לבדוק מהו סימן המנה. תרגיל 10עמוד :73ריבוע קסם. פתרון תרגיל :9פתרון 39 תרגיל 11עמוד :73התקדמו בכיוון החץ. ולאחר מכן שני סעיפים הבודקים תובנה מספרית :ללא חישוב ,כיצד משפיע שינוי של הערך של אחת המכפלות על התוצאה? מה תהיה התוצאה הסופית אם במקום לכפול ב 0 -נכפול ב?(3) - הפתרון.0 : הפתרון.6 : מה תהיה התוצאה הסופית אם במקום לכפול ב 0 -נכפול ב?(6) - מה למדנו? עמוד .73 סיכום של הכללים לכפל מספרים מכוונים כאשר יש התייחסות למכפלה של יותר משני כופלים. בחילוק מספרים מכוונים הכללים למנה של שני מספרים בלבד. המורה יחליט אם להעלות בכיתתו את סימן המנה כאשר משתתפים יותר משני מספרים. עמוד :79 – 74כתיבה ללא סוגריים בעמוד 44השמטת הסוגריים רק של המחובר הראשון בתרגילי חיבור או של הכופל הראשון בתרגילי כפל. תרגיל :1כתיבה של כל תרגיל כאשר המספר הראשון נכתב ללא סוגריים וחישוב. תרגיל :2הכיוון ההפוך :נתונות מכפלות בהן הכופל הראשון הוא ללא סוגריים .על התלמידים לזהות את הכופלים ולחשב. תרגיל :3תרגול של חיבור וחיסור מספרים מכוונים .חזרה על חומר קודם. התרגול בעמוד זה מהווה חזרה וביסוס לצורך המשך הלמידה הנשענת על ידע קודם וכביטוי לעקרון הלמידה הספיראלית. עד כה הייתה הבחנה בין פעולת החשבון וסימן המספר (חיובי או שלילי). כך בדרך כלל בין כל שני מחוברים היו שני סימנים סימן הפעולה וסימן המספר. מטרת הפרק כתיבה וקריאה של תרגילי חיבור וחיסור בדרך פחות מסורבלת כאשר בין כל שני מחוברים מופיע סימן אחד בלבד. למדנו שאת כל פעולות החיסור הופכים לפעולות של חיבור המספר הנגדי. כאשר כל הפעולות הן פעולות חיבור ניתן למעשה להשמיט אותן ולהשאיר רק את סימנו של מחובר. גם אחרי השמטה של כל פעולות החיבור ניתן לחבר בין המחוברים שסימניהם נתונים ,למרות שסימן הפעולה אינו מופיע. 40 התהליך מוצג בדוגמה :2 כמו בתרגילי שרשרת ניעזר בצבע לסימון בקו תחתון מחוברים בעלי סימנים שווים. מכאן מגיעים למסקנה כי: דוגמה :4 כל הפעולות הן פעולות חיבור .הסימן הכתוב משמאל למחובר הוא סימנו של המחובר. תרגיל :5 תרגיל ביצוע עם הנחייה מפורשת לקבוע ראשית את הסימן שיישאר ורק לאחר מכן לכתוב את התרגיל עם סימן אחד לפני כל מחובר ולחשב .מומלץ לבצע במליאת הכיתה. 41 בפתרון התרגילים כדאי לשים לב לאופי המספרים. תרגיל :7סעיף (א) ייכתב: שסכומם .2ולכן הפתרון הוא .4 ( )–7 – 9 = –16ובמקרה זה כדאי לחבר קודם את סעיף (ג) ייכתב.24 – 7 + 6 – 9 = : –16ו.6 - תרגילים :9 – 8נתונים תרגילים בהם לפני כל מחובר סימן אחד בלבד .מומלץ לפתור תרגיל אחד או שניים בכיתה .לחזור על כך שכל הפעולות (שאינן מופיעות בתרגיל) הן פעולות חיבור והסימן שלפני כל מחובר הוא סימנו של המחובר .גם כאן לדון בדרכי הביצוע :האם לחבר לפי הסדר משמאל לימין ,לחבר לחוד את המחוברים החיוביים ולחוד את השליליים ורק לאחר מכן לחבר את הסכומים החלקיים ,לבדוק אם יש מחוברים שהם מספרים נגדיים שסכומם 2ולחבר את המחוברים הנותרים. = .–8 + 3 + 7 + 5 ) 8 )3 + 5 = 8ו (-8) -מספרים נגדיים תרגיל :9 מומלץ לקיים דיון בכיתה על אופי המספרים. פתרון התרגיל שלא משמאל לימין אלא בחישוב הסכום של זוגות מספרים מקל על החישוב. תרגיל :10שימוש בהסכמים של סדר פעולות החשבון :חלק מהפעולות הן בסוגריים ויש לחשב ראשית את הפעולות שבסוגריים. הערות נוספות: השמטת סוגריים מתבצעת רק כאשר כל הפעולות בתרגיל הן פעולות חיבור. מוסכם כי הפעולה הקיימת ביניהם היא פעולת החיבור והיא אינה נרשמת. התרגילים המתקבלים הם תרגילי חיבור בהם מופיעים רק סימני המחוברים. התלמידים להם מיועד הספר נוטים לבצע הכללות יתר ולקבוע לדוגמה שמינוס ומינוס ברצף הופכים תמיד לפלוס גם בתרגיל כמו .4 5 חשוב להדגיש ,כי כל מספר "הולך" עם הסימן שלפניו ,מספר ללא סימן הוא מספר חיובי (כמו במקרה של המחובר הראשון). ההדגמה במליאת הכתה תיעשה על הלוח ,רצוי להשתמש בצבעים שונים לסימון המספרים הכוללים את הסימן (חיובי או שלילי) ולסימן פעולה .לבצע את התהליך באופן מפורט כפי שמוצע בדוגמאות בתוך הספר .בתום המעבר לכתיב ללא סוגריים רצוי להקפיד לקרוא בקול את התרגילים ולזהות בהם את המחוברים .סכומים בהם כל המחוברים חיוביים הם חיוביים ,סכומים בהם כל המחוברים שליליים הם שליליים ,וסכומים בהם חלק מהמחוברים חיוביים וחלק שליליים ,יכולים להיות או חיוביים או שליליים והדבר ייקבע לאחר שנבדוק איזה סכום גדול יותר בערכו המוחלט :סכומם של המחוברים החיוביים או סכומם של המחוברים השליליים. 42 עמודים :81 – 80נחזור ונתרגל – אלגברה מומלץ לחזור ולהזכיר כי סכום הוא תוצאה של פעולת חיבור .הפרש הוא תוצאה של פעולת חיסור. מכפלה היא תוצאה של פעולת כפל .מנה היא תוצאה של פעולת חילוק. תרגיל :1תרגום ממילים לביטוי אלגברי. תרגיל :2בחירת הביטוי או הביטויים המתאימים להיגד מילולי .שימוש בהיגדים גדול/קטן ב,... גדול/קטן פי ,וכו' .על התלמיד לבחור ביטויים מתאימים (מתוך רשימה נתונה) וייתכנו מספר תשובות נכונות. תרגילים :11 – 3תרגום של הקשר מילולי לביטוי אלגברי .במרבית השאלות סעיף ראשון הוא במספרים. תרגיל :4סעיף (א) ביטוי אלגברי פשוט המכיל פעולה אחת בלבד. סעיף (ב) ביטוי אלגברי המכיל שתי פעולות. תרגילים :8 – 5תרגום של הקשר מילולי לביטוי אלגברי כפלי .סעיף (א) ביטוי חשבוני .סעיף (ב) ביטוי אלגברי. תרגיל :9תרגום של הקשר מילולי לסכום של שתי מכפלות .התהליך הוא הדרגתי .בסעיף (א) ביטוי כפלי .בסעיף (ב) ביטוי כפלי ובסעיף (ג) סכום של שני הביטויים שהתקבלו בסעיפים הקודמים .נשאל :כמה תעלה מחברת אחת? כמה יעלו 2מחברות? כמה יעלו 0מחברות? ואז :כמה יעלו 5מחברות? כמה יעלה עפרון אחד? כמה יעלו 2עפרונות? כמה יעלו 0עפרונות? ואז :כמה יעלו 5מחברות ו 0 -עפרונות? תרגיל :10מבנים מעיגולים .מספר העיגולים במבנה nהוא .n + 1בכל המבנים עיגול לבן אחד ועיגולים אדומים שמספרם כמספר המבנה. תרגיל :11זיהוי הביטוי או הביטויים שבהצבה של 0במקום המשתנה יקבלו .20הפתרונות :ב ,ד. עמודים :90 – 82הסכמי סדר פעולות החשבון – חזרה ותרגול במספרים מכוונים הנושא הסכמי סדר פעולות החשבון נלמד כבר בסבב הראשון של תכנית הלימודים .בסבב זה למדו התלמידים את היישום של ההסכמים בתחום המספרים החיוביים והאפס בלבד. בפרק הנוכחי חזרה על ההסכמים של סדר פעולות החשבון כאשר היישום הוא בתחום המספרים המכוונים. הפרק מתחיל בתזכורת של הסכמי סדר פעולות החשבון. מומלץ תחילה במסגרת המליאה לדון בהסכמים ולהעלות את המושגים :פעולות חשבון מאותה קדימות, פעולות חשבון בעלות קדימויות שונות ,חישוב משמאל לימין ,חישוב בתרגילים עם סוגריים ,וכו'. גם כאן הפניה של תשומת לב התלמידים להתבוננות תחילה בתרגיל ,מהן הפעולות שיש לבצע ,האם הן מאותה קדימות ,מהי הפעולה שנבצע תחילה ,מהי הפעולה הבאה ,וכדומה. 43 התרגילים במספרים קטנים .נדרוש ביצוע ללא שימוש במחשבון .המורה יחליט אם לאפשר לתלמידים להשתמש במחשבון המדעי ככלי לבדיקת התשובות .גם כאן כאשר פותרים תרגיל חישוב ,חשוב לעודד את התלמידים להתבונן ,לחשוב ,ולתכנן את סדר הביצוע .בחלק מהתרגילים נבחרו המספרים כך שאופי המספרים יכול להשפיע על סדר הביצוע (התוכן המספרי נמצא בתחרות עם המבנה האלגברי). הקנייה של דרך כתיבה. חשוב להציג את דרך הכתיבה בשלבים ,להקפיד לדרוש כתיבה מדורגת ,כאשר בכל שלב מבוצעות פעולות באותה קדימות ,עד לקבלת תוצאה סופית. לא מומלץ לאפשר לאוכלוסיית תלמידים זו להסתפק בכתיבה מקוצרת ,למשל ,באמצעות סימון קשתות מעל הפעולות ומעליהם מספרים המהווים תוצאות חלקיות .כתיבה כזו מובילה לסרבול ולאיבוד היכולת לשחזר את התהליך ,דבר היכול להוביל לתוצאה שגויה. כתיבה מסודרת מהווה תשתית טובה לכתיבה תקנית של פתרון משוואות. בכל התרגילים לשים לב כמורים לטעויות התלמידים ולברר עמם ממה הן נובעות .בתרגילים בהם שגו התלמידים בגלל אופי המספרים ,מומלץ לתת תרגילים כנגדם ,היוצרים קונפליקט מול כללי הסדר ובכך נסייע לתלמידים להתגבר על הקושי ולתקן את התפיסה השגויה. תרגיל :2 בתרגיל זה יש צמדים של תרגילים בעלי אותם מספרים אבל סדר ביצוע שונה .מומלץ לדון במשותף ובשונה בכל צמד כזה במליאת הכיתה ובלקש מהתלמידים את סדר ביצוע הפעולות ולנמק. צמדים כאלו מופיעים גם בתרגילים נוספים .למשל ,בתרגיל 4סעיפים (י) תרגיל :10פתרון :פתרת נכון .מומלץ לחזור על משמעות הגימטריה ולחזור לעמוד 50תרגיל 02לטבלה המציגה את הערך המספרי 44 הפעולות להמליל ו( -יא). של כל אחת מאותיות הא"ב. תשבץ מספרים עמוד 86פתרון: תרגיל :12 יש לעודד את התלמידים לחשב בדרכים יעילות. למשל ,להשתמש בכלל שסכום מספרים נגדיים הוא אפס. מומלץ לעודד את התלמידים להציע יותר מתשובה אפשרית אחת. תרגיל :13מומלץ לעודד את התלמידים להציע יותר מתשובה אפשרית אחת. תרגילים עם קו שבר קו שבר דינו כדין סוגריים .מחשבים לחוד את הפעולות שבמונה .מחשבים לחוד את הפעולות שבמכנה .ומבצעים את פעולת החילוק בין המונה למכנה. 45 תרגילים :17 – 14תרגול במספרים קטנים .תרגילי ם 05ו 06 -מיועדים למתקדמים. תרגילים :24 – 18תרגום שאלות מילוליות לביטוי חשבוני המחייב שימוש בסוגריים או בקו שבר. חישוב ממוצע מוכר לתלמידים מבית הספר היסודי .התלמידים באופן ספונטני מחשבים ממוצע מבחנים. מומלץ לחזור על המושג ולבקש מהם לחשב ממוצע לפני פתרון שאלות אלו .לימוד מעמיק יותר במושג זה ייעשה רק בכיתה ח'. מומלץ לפתור שאלה אחת או שתיים בכיתה ואת האחרות לתת כשיעורי בית. בשלב ראשון לפתור את התרגיל בשלבים ,ולאחר מכן לכתוב בתרגיל אחד. עמודים 92 – 91צורות חבויות צורות מסתתרות :זיהוי צורות חבויות בתוך סרטוט מורכב המלא "רעש" .חשיפת התלמידים לפעילות מסוג זה חשובה לפיתוח תובנה טובה יותר של זיהוי מצולעים ושימוש נכון בתכונותיהם בתוך גופים מרחביים. קשה לתלמידים להתעלם מ"רעש" ולזהות בתוך הסרטוט את הקווים המקבילים ואת החותך .נדרשת הסתכלות גלובלית ולעיתים הסתכלות אנליטית .אלמנט של צורות סמויות קיים גם באלגברה .קיים קשר בין היכולת לראות מבנים סמויים לבין ראיה מבנית של ביטויים אלגבריים .אסטרטגיה של למידה באופן זה ,חשובה לפיתוח תובנה והבנות ולפיתוח לומד טוב יותר .בפעילות זו מטביעים חותמת (הציור שמימין) ומבקשים לזהות אותו בתוך הסרטוט המורכב .מפתח מיומנות של התבוננות ,יכולת הבחנה, יכולת התעלמות מנתונים מסיחים בסרטוט ,והתמקדות בעיקר. פתרונות: 46 בסעיף (ב) יש משולש נוסף החופף למשולש הנתון .אחד צבוע בוורוד והשני בתכלת. בסעיף (י) יש משולש נוסף החופף למשולש הנתון .אחד צבוע בוורוד והשני בתכלת. בשני סעיפים אלו המשולשים הנוספים אינם נמצאים באותה זווית כמו המשולש הנתון. מכיוון שבהמשך לימודי הגיאומטריה נלמד שצורות הן חופפות אם כשנניח אחת על השנייה הן יכסו זו את זו ,אין חשיבות לכיוון או לזווית בו נמצאת הצורה ,ולכן אם הנושא לא יועלה על-ידי התלמידים מומלץ להסב תשומת ליבם לכך שבסעיפים אלו יש יותר מפתרון אחד. עמודים 108 – 93זוויות הפרק עוסק בנושאים הבאים :זוויות ,סימון ושיום זוויות ,השוואת זוויות ,זווית חדה ,זווית קהה ,זווית שטוחה ,מדידת זוויות ,חוצה זווית. המושג זווית הינו מושג ראשוני אשר ניתן לבטא באמצעות הגדרה תיאורית .התלמיד פגש בזוויות שונות בלימודיו בכיתות היסוד ,לכן הפעילות הבאה מהווה חזרה על המונח זווית. בהמשך ,הכרת ההסכמים בדבר סימון זווית ושיומן באמצעות אותיות לועזיות גדולות. מומלץ להרגיל את התלמידים לצבוע את שוקי הזווית (כדי לנטרל את הקווים המסיחים) ,לסמן את הזווית הישרה בריבוע (בניגוד לזוויות אחרות אותן מסמנים בקשתות) .כמו כן להקפיד ,כאשר בקדקוד אחד יותר מזווית אחת ,לקרוא את שם הזווית באמצעות שלוש האותיות. 47 ודוגמה בה לזווית בקדקוד Bנקרא .∢Bיש רק זווית אחת והשם הוא חד משמעי. בקדקוד Aצבועות שתי זוויות ולכן בשם הזווית יופיעו 0אותיות.∢DCH , ∢BCD : חשוב להדגיש כי בסדר האותיות האות האמצעית היא תמיד האות המסמנת את קדקוד הזווית. אין חשיבות לסדר בו מופיעות שתי האותיות האחרות. שתי קרניים היוצאות מנקודה אחת יוצרות למעשה שתי זוויות .מקובל שמתייחסים לזווית הקטנה מבין השתיים ואם בהקשר מסוים מתכוונים לזווית הגדולה יותר יש לציין זאת במפורש. תרגיל :1שיום זוויות כאשר יש שימוש בצבעים כדי להקל על הזיהוי .השם חייב להגדיר את הזווית 48 בצורה חד משמעית. כמה זוויות בסרטוט? חשוב להרגיל את התלמידים להתעלם מקטעים מסיחים (כמו בפעילות של צורות חבויות) ולראות גם את הזווית השווה לסכום שתי הזוויות הצבועות שבסרטוט. הכרת הזווית החדה והזווית הקהה נעשית בהשוואה למתווך -לזווית ישרה אותה הכירו התלמידים כבר בסבב הראשון של תוכנית הלימודים. להשוואה לזווית ישרה ניעזר בסרגל משולש .ניתן גם ליצור זווית ישרה שתשמש את התלמידים לצורך השוואה .להלן ההנחיות ליצירת זווית כזו מפיסת נייר. השוואת זוויות עמודים 96 - 95 מטרת פעילות זו להגדיר את הזווית החדה ואת הזווית הקהה באמצעות הזווית הישרה. פעילות זו מומלץ לבצע במליאת הכתה .מומלץ לסרטט על הלוח זוויות חדות ,זוויות קהות ,וזוויות ישרות ולהדגים שימוש בסרגל משולש גדול כיצד קובעים את סוג הזווית הנתונה בהשוואה לזווית ישרה. לשים לב כשמניחים את הזווית הישרה בתוך הזווית הקהה כפי שמוסבר בספר ,שוק הזווית הקהה נופלת מחוץ לזווית הישרה "עוברת אותה" לכן יותר גדולה ממנה. רצוי להבהיר ולקשר בין השימוש במונחים המנוגדים חד וקהה בחיי היום-יום לבין השימוש המתמטי. בתרגיל :2נתונות זוויות שונות (לא בתוך הקשר) והתלמידים צריכים לבדוק לגבי כל זווית אם היא גדולה או קטנה מזווית ישרה. 49 בתום הפעילות הגדרה של סוגי הזוויות הנלמדות. דוגמאות 4 – 3עמוד :96 השוואה של זוויות שוות בעלות שוקיים באורך שונה כדי להדגיש שאורך השוקיים אינו משפיע על גודל הזווית. תרגיל :3 פעילות אפשרית :נתבונן בזווית AKL של הטרפז .AKLDזווית זו מורכבת מזווית ישרה וזווית חדה כלומר היא גדולה מזווית ישרה ,כלומר היא זווית קהה. בנוסף לזיהוי הזוויות השונות התלמידים נדרשים להשתמש בכתיבה המוסכמת לשיום זוויות .לשים לב לדוגמה ∢KBC , ∢KBD , ∢KBA :וכו'. חשוב להמחיש שאורכי השוקיים אינם קובעים את גודל הזווית .גודל הזווית נקבע על פי "המפסק" בין שתי השוקיים .לדוגמה ,הזוויות ∢KBC , ∢KBD , ∢KBAכולן זוויות ישרות ,כולן שוות בגודלן. השוקיים שלהם אינם שווים באורכם. פעילות זו מפתחת את יכולת ההסתכלות על השלם וחלקיו בו זמנית. תרגיל :5נתונות זוויות שונות (לא בתוך הקשר) והתלמידים צריכים לקבוע לגבי כל זווית את סוגה: חדה ,קהה ,או ישרה. מומלץ לשאול את התלמידים אלו הן הזוויות שאפשר להחליט בוודאות את סוגן ללא מתווך ובאלו נחוץ מתווך לצורך החלטה. תרגיל :6זרקו לסל – המספרים הרשומים בכל אחת מהזוויות מספקים אפשרות לבקרה עצמית. לאחר שכל אחת מהזוויות נזרקה לסל המתאים ,יש לסכם את המספרים שעל הזוויות שבכל אחד מהסלים .אם מתקבלים סכומים שווים יש להניח שהפתרון נכון. (בכל סל סכום המספרים שעל הזוויות הוא ).45 הפתרון: שימו לב! המספרים שבתוך הזווית אינם מציינים את גודל הזווית .הם משמשים כביקורת על נכונות הפתרון. עמודים 102 – 98מדידת זוויות בפעילויות הקודמות התלמידים נעזרו במתווך כדי להחליט אם זווית היא ישרה ,חדה ,או קהה. פעילות זו מטרתה לרענן (אולי עבור חלק מהתלמידים ללמד) את השימוש במד זווית .מיומנות שנלמדה בבית הספר היסודי. השימוש במד זווית (או מד מעלות) מאפשר מדידה מדויקת של גודל הזווית. פעילות זו מומלץ לבצע במליאת הכתה .רצוי להביא לכתה מד זווית גדול וכלי מדידה שונים וזמינים כגון סרגלים שונים ולהרחיב מעט את הדיון על כלי מדידה שונים ועל יחידות מידה מתאימות. מומלץ לבקש מהתלמידים להביא מד זווית לכיתה .במקביל ניתן לצלם את הדף מתוך הספר ולהשתמש במד הזווית המסורטט בספר. 50 חשוב להדגים על הלוח מדידה של זווית נתונה .מומלץ לסרטט על הלוח זוויות שונות וגדולות בצבעים שונים ,בכיוונים שונים ,ובאורכים שונים של השוקיים ,כדי להדגיש את העובדה שאורך השוקיים אינו קובע את גודל הזווית .לסרטט גם זווית בה שוקיים "קצרות" כך שכדי להיעזר במד זווית למדידת גודל הזווית יש להאריך את השוקיים. בהקניה יש להפנות את תשומת לב התלמידים לשתי שורות המספרים על קשת מד הזווית ,למשמעות הנקודה המושחרת במרכז הקו המאוזן ,וכיווני הקריאה השונים. רצוי לתת הנחיות ברורות ומפורטות כיצד מודדים לדוגמה :מניחים את מד הזווית על הזווית הנמדדת, כך שקדקוד הזווית יתלכד עם מרכז מד זווית ,שוק אחת של הזווית תתלכד עם הקו האופקי של מד הזווית והשוק השנייה תיפול על החלק המכויל של מד הזווית .המספר עליו נפלה השוק השנייה מורה את גודל הזווית .אין צורך להתייחס בשלב זה לחלקי המעלות .מומלץ לאפשר לתלמידים להתנסות במדידה .חשוב להדגים מדידת אותה זווית בשני הכוונים ולהראות את כיוון הקריאה משמאל לימין או מימין לשמאל. עמוד :98התלמידים יתרגלו קריאת גודל הזווית מתוך הסרטוט .הסרטוט המדגים את אופן הנחת מד הזווית על זווית נתונה וקריאת גודלה. תרגיל 7עמוד :99 פתרונות: מדידת זוויות באמצעות מד זווית. פתרון: תרגיל :8זיהוי וביצוע. תחילה התלמידים נדרשים לזהות את סוג הזוויות הנתונות על בסיס הידע שרכשו בפעילויות הקודמות. לאחר מכן התלמידים נדרשים להשתמש במד זווית ולמצוא את הגודל המדויק של הזווית. בסוף העמוד מודגשים עיקרי הנלמד בסעיף זה, מומלץ לסכם את הנלמד במליאה. 51 תרגיל :9תרגיל ביצוע .מדדו את גודל הזוויות של המחומש. פתרון: תרגיל :10תרגיל ביצוע .סרטטו באמצעות מד זווית ,זוויות בגדלים הנתונים. מומלץ לאפשר לתלמידים להציע דרכים שונות לבניית הזויות הנדרשות לבחון את ההצעות ולהתייחס אליהן .לפני הפעילות להמליל את סדר ביצוע המטלה כגון :לסרטט קו ישר ולסמן עליו נקודה ,להניח את מד הזווית כך שהקו האופקי של מד הזווית יתלכד עם הקו הישר שסרטטנו ,ומרכז מד הזווית ייפול על הנקודה המסומנת על הישר .התלמידים יתבוננו על הקשת המכוילת של מד הזווית וימצאו את המספר הנתון לגודל הזווית ,יסמנו בנקודה ,ויחברו בקו את הנקודה על הישר עם הנקודה שסימנו על הקשת. הזווית שהתקבלה הינה הזווית הדרושה .מומלץ לעודד את התלמידים לעבוד יחד ,תלמיד אחד יסרטט זווית נתונה וחברו יסרטט את אותה זווית בכוון שונה וישוו ביניהם. תרגיל :11מדידת גודל זווית וסרטוט זווית שווה בגודלה לזווית שמדדה. פתרונות :א40 . ב90 . ד16 . ג122 . תרגיל :12התלמידים נדרשים לאמוד את גודל זווית כשהם מקבלים אמצעי תמיכה .בכל זווית נתונה, מודגשת שוק נוספת המשלימה את הזווית האחרת לזווית ישרה. הזוויות הנבדקות מסומנות בקשת ,חלקן נטולות הקשר וחלקן בתוך סרטוט מורכב .לכל זווית מודגשת נתונים היגדים ,על התלמידים לבחור את ההיגד המתאים. בתום הפעילות התלמידים נדרשים לאמת את תשובותיהם על-ידי בדיקה באמצעות מד זווית .מומלץ להציע לתלמידים להחליף מחברות ולבדוק את התשובות של חברם. פתרונות :א2 . ב1 . ג3 . ה3 . ד2 . ו2 . ז3 . ט3 . בעמוד 103מה למדנו? סיכום הכולל את סוגי הזוויות ,מדידת זווית ,וסימון זוויות. תרגילים :18 – 13מציאת גודל הזווית שבין מחוגי השעון. מומלץ לחזור על גודלה במעלות של זוויות ישרה ,זווית שטוחה ,וזווית של מעגל שלם. בשעון המרחק בין כל שתי שעות סמוכות הוא זהה. לחשב את גודל הזווית שקדקודה במרכז השעון (מרכז המעגל) ושוקיה הם קטעים המחברים את מרכז המעגל עם שתי שעות סמוכות. לאחר מכן ניתן לענות על השאלות המוצגות. 52 ח2 . פתרונות90 .13 : 180 .14 30 .15 120 .16 7 .17 120 .18 עמודים 108 – 104חוצה זווית נקפל את הזווית מנקודת הקדקוד כך ששוקי הזווית יתלכדו .נפתח את הדף לאחר הקיפול. קו הקיפול מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות ונקרא חוצה זווית. העברת חוצה זווית באמצעות מד זווית – מומלץ לבצע במליאת הכיתה עם מד זווית גדול על הלוח. מקובל לסמן זוויות שוות בסימונים זהים, כפי שנעשה בסימון קטעים שווים. תרגיל :19מדידת זוויות וקביעה באילו מהזוויות הקטע הירוק הוא חוצה זווית. תרגיל :20נתונות זוויות על דף מנוקד .המשימה היא להעביר בכל אחת מהזוויות את חוצה הזווית שלה ,כאשר הנקודות מהוות אמצעי עזר לסרטוט. בסעיף (ד) ייתכן ויהיה לתלמידים קושי להעביר את חוצה הזווית .חוצה הזווית עובר דרך הנקודות המוקפות במעגל. 53 פתרונות: תרגיל :21נתונות זוויות .המשימה להעביר את חוצה הזווית. תרגיל :22העברת חוצה זווית לזווית ישרה .לדון בגודל כל אחת מהזוויות המתקבלות. העברת חוצה זווית לזווית שטוחה .לדון בגודל כל אחת משתי הזוויות המתקבלות. תרגילים :25 – 23היכן יעבור חוצה הזווית בזוויות הנוצרות בין מחוגי השעון. פתרונות :חוצה הזווית צבוע באדום. תרגיל 23 תרגיל 24 תרגיל 25 העברנו את חוצה הזווית של הזווית הקטנה מבין שתי הזוויות הנוצרות. חישובי זוויות עמודים 108 - 106 54 תרגיל :26 בכל סעיף נתון חוצה הזווית .נתון גודלן של חלק מהזוויות .על התלמיד למצוא את . xיישום ישיר של תכונת חוצה הזווית .בסעיף (ג) יש להתעלם מהקווים המסיחים. תרגיל :27 נתון או שיש לחשב את גודל של הזווית השלמה לפני העברת חוצה הזווית .יש לחשב את .xיישום ישיר של תכונות חוצה הזווית. בסעיף (ג) יש לחשב קודם את גודל זווית .BED עמוד :107בהעברת חוצה זווית סכום שתי הזוויות המתקבלות שווה לגודל הזווית המקורית. תכונה זו קיימת גם בהעברה של קרן אחרת היוצאת מקדקוד הזווית ומחלקת את הזווית לשתי זוויות, שאינן בהכרח שוות בגודלן. סכום שתי הזוויות המתקבלות שווה לגודל הזווית המקורית .ראייה בו זמנית של השלם וחלקיו. – 28 חישובי תרגילים :33 זוויות כאשר בחלק מהתרגילים נתון חוצה זווית. תרגילים :33 – 31צבועים בכתום :תרגילים מתקדמים. תרגיל :31על התלמידים לחשב את גודל הזוויות 55 המסומנות בקשתות באדום ובירוק .כל אחת מהן היא סכום של שתי זוויות .אין הנחייה לחשב קודם את גודל הזוויות השוות המסומנת בקשתות בצבע שחור. לאחר פתרון התרגיל נשאלת השאלה :האם הופתעתם? ומומלץ לקיים דיון על התוצאות עם קבוצת התלמידים שפתרו תרגיל זה. הפתרון∢CBE = ∢ABD = 148 : תרגיל :32נתון כי EBו EC -הם חוצי זוויות. מומלץ להנחות את התלמידים לחשב קודם את yולאחר מכן את .x הפתרון: y = 45 , x = 22.5 תרגיל :33מומלץ להנחות את התלמידים לסמן בקשתות את הנתונים שבשאלה (להיעזר בצבעים). הפתרון79 : עמוד 109נחזור ונתרגל – חישובי שטחים והיקפים תרגול של נושאים שנלמדו בסבב הראשון של השנה. חישובי שטחים והיקפים במלבנים ובצורות הניתנות לחלוקה למלבנים. בחישובי שטחים דף תובנות עם תזכורת לחישוב שטח מלבן .מומלץ לחזור על חישוב שטח מלבן במליאת הכיתה. תרגיל :3יש לשים לב ליחידות המידה .אורך צלעות המלבן הן ביחידות מידה שונות וכדי לחשב את השטח יש לדאוג שיחידות המידה תהיינה אחידות. הנתונים הם 2מטרים ו 02 -ס"מ .ניתן לחשב בס"מ 222 :ס"מ ו 02 -ס"מ, וניתן לחשב במטרים 2 :מטרים ו 2.0 -מטרים. מומלץ לפתור שאלה זאת במליאת הכיתה ,לשמוע כיצד פתרו זאת התלמידים ולהציג את שתי האפשרויות. תרגיל :4נתון שטח המלבן ואורך אחת מהצלעות .המספרים הם כאלו שיש להניח שהתלמידים יחפשו מספר שמכפלתו ב 02 -היא 06ולא יפתרו על ידי חילוק .חשוב לתת לתלמידים להסביר את דרך הפתרון שלהם. תרגילים :6 - 5שימוש ביחידת השטח דונם .על דף תובנות נתון כי 0דונם הם 0222מ"ר. מומלץ לקיים דיון ולשאול את התלמידים אם שמעו על יחידת מידה זאת .להציג דוגמאות מחיי יומיום בהן משתמשים בדונמים .לצורך החישוב יש להפוך את הדונם למ"ר. תרגיל :7חישוב היקף של ריבוע ששטחו נתון .מומלץ לחזור על מהו ריבוע וכיצד מחשבים את שטח הריבוע .יש לחשב את צלע הריבוע ולאחר מכן את היקפו. 56 תרגיל :8חישוב שטח והיקף של צורה המורכבת משלושה מלבנים .במקרה זה מלבנים חופפים. שטח המצולע שווה לסכום השטחים של שלושת המלבנים. היקף המצולע אינו שווה לסכום ההיקפים של שלושת המלבנים .בדיון הכיתתי להתייחס לנקודה זאת. לחישוב היקף מומלץ לכתוב ליד כל צלע את אורכה ולחבר את אורכי הצלעות המקיפות את המצולע. אפשרות נוספת המתאימה למתקדמים :לבדוק היכן יש צלעות המכסות זו את זו שאינן חלק מהיקף המצולע. תרגיל :9חישוב שטחים במצולעים נתונים. בכל סרטוט יש אפשרויות שונות לחישוב השטח .מומלץ להרגיל את התלמידים לחשב את השטח על-ידי חיסור שטחים .בהמשך לחישוב שטח עיגול ,יש תרגילים בהם ניתן לחשב את השטח רק באמצעות חיסור ולא באמצעות חיבור שטחים( .בידע שיש בידי התלמידים). עמוד 110נחזור ונתרגל – מרחק נושא המרחק בין נקודה לישר ובין שני ישרים נלמד בסבב הראשון של הלימודים בכיתה ז. מומלץ לחזור על מושגים אלו במליאת הכיתה. מרחק של נקודה מישר הוא אורך הקטע הקצר ביותר כלומר אורך הניצב לישר מהנקודה הנתונה. מרחק נמדד ביחידות אורך. כאשר כל הנקודות על ישר אחד נמצאות באותו מרחק מהישר השני ,כלומר כל הקטעים היוצאים מנקודה על הישר האחד (ישר )aומאונכים לישר bשווים באורכם ,יש משמעות למושג מרחק בין שני ישרים .האורך השווה של כל אחד מקטעים אלו הוא המרחק בין הישרים. אין משמעות למושג מרחק בין שני ישרים יש משמעות למושג מרחק בין שני ישרים ניתן לבצע עם התלמידים את הפעילות הבאה: אפשר גם לבצע פעילות נוספת :להעמיד תלמיד (או מספר תלמידים) מול קיר במרחק כלשהו ממנו ולבקש מהתלמיד להתקרב לקיר בדרך הקצרה ביותר( .אפשר גם לצייר נמלה שמטרתה להגיע אל קו 57 כלשהו) .לקיים דיון במליאה על המאפיינים של הדרך אותה עשה התלמיד( .ניתן לשאול מהי הדרך הקצרה שעל מתרחצים בים לעשות מן החוף אל קו המים וכדומה). בעמוד 110תרגילי חזרה. תרגיל :12על התלמיד לסמן נקודות על אחת מצלעות המלבן שמרחקן מהישר aהוא 0ס"מ. כל נקודה על הצלע ABאו על המשכה היא במרחק המבוקש( .ולא רק הנקודות שעל הצלע). כל נקודה על הישר הכחול היא במרחק של 0ס"מ מהישר .a מומלץ לבקש מהתלמידים (אחרי שסימנו נקודות) להעביר את הקטע המייצג את המרחק. תרגיל :13בסעיפים (ג) ו( -ד) לשאול את התלמידים איזה הוא הקטע המייצג את המרחק המבוקש. תרגיל :14 סרטוט של מצולע על דף משובץ המאפשר למצוא את המרחקים הנדרשים. מומלץ ,בכל סעיף ,לבקש מהתלמידים לסרטט קטע המייצג את הגובה. לשאול אם יש אפשרות נוספת ולבקש לסרטט קטע נוסף. עמודים 124 – 111זוויות צמודות וזוויות קדקודיות עמוד :111עוד על סימון זוויות .סימון זוויות באות יוונית , , , : בזוויות צמודות וקדקודיות נשתמש גם בסימון באמצעות אותיות אלו. עמודים 117 – 112זוויות צמודות. שימוש בעקרונות של הוראה לאוכלוסיות להן מיועד הספר. הגדרה של זוויות צמודות ולאחריה תרגול זיהוי .בהתאם לעיקרון של פירוק ההגדרה למרכיבים. בדרך זו קל לבדוק קיום של כל אחד מהמרכיבים בנפרד כמודגם בדוגמאות. דוגמאות: עמוד :114סכום שתי זוויות צמודות הוא .180 גם כאן שימוש בעיקרון של ראיית השלם וחלקיו .סרטוט של זוג זוויות צמודות ,סרטוט נוסף של 58 פירוק זוויות אלו ,ושוב סרטוט השלם היוצר זווית שטוחה. תרגיל :4בכל סרטוט זוג אחד של זוויות צמודות .על התלמידים לזהות זוג זה. תרגיל :5בכל סרטוט זוג או יותר של זוויות צמודות .על התלמידים לזהות זוגות אלו. תרגול הכולל זיהוי וחישוב. תרגילים ראשונים חישוב מספרי :נתון גודלה של זווית אחת ויש לחשב את גודלה של הזווית הצמודה. בהמשך חישובים הכוללים גם התייחסות לזוויות ישרות ,זווית שטוחה ,וחוצה הזווית. מומלץ לעבור בצבע על השוקיים של שתי הזוויות הצמודות כדי לנטרל קווים מסיחים. בספר הקווים המסיחים בהירים יותר כך שניתן בצורה בהירה יותר לראות את הזוויות הצמודות. תרגיל :6בכל סרטוט יש לזהות שלושה זוגות של זוויות צמודות. תרגיל :7 צבוע בכתום למתקדמים. 59 תשובות אפשריות∢AED , ∢DEF : ∢AFD , ∢DFG ∢EDB , ∢BDC ∢EDB , ∢EDF ∢EDA , ∢ADC ∢FDC , ∢EDF ∢ADB , ∢ADF ∢BDC , ∢CDF תרגיל :8שני ישרים נחתכים .כמה זוגות של זוויות צמודות? גם כאן סרטוטים בהם הקווים המסיחים בהירים יותר. בכל סרטוט זוג אחר של זוויות צמודות .זוג זה צבוע באדום. עמודים :121 - 118זוויות קדקודיות. תהליך דומה לזה שבהקנייה של זוויות קדקודיות. עמוד :119זוויות קדקודיות שוות זו לזו .מדידה באמצעות מד זווית של זוויות קדקודיות .ובנוסף, נתונים שני ישרים נחתכים ,וגודל של אחת מהזוויות המתקבלות .באמעצות המשפט שזוויות צמודות סכומן 180משלימים את גודל הזוויות האחרות .המסקנה :כל שתי זוויות קדקודיות שוות זו לזו. בתרגילים :חישובי זוויות כאשר מסתמכים על שני המשפטים שנלמדו :זוויות צמודות סכומן 180 וזוויות קדקודיות שוות זו לזו. בתרגילים הראשונים חישוב ישיר .ולאחר מכן חישובים בסרטוטים בהם יש קווים מסיחים. חשוב לבקש מהתלמידים להסביר את דרך החישוב. עמוד :124 – 122זוויות צמודות ,זוויות קדקודיות ,וחוצה הזווית שלהן מפעילויות 2ו 0 -מקבלים המסקנה שישר החוצה את אחת משתי זוויות קדקודיות חוצה גם את הזווית השנייה. הקנייה זאת מומלץ לבצע במליאת הכיתה כאשר הספרים סגורים .לבקש מכל תלמיד לסרטט שני ישרים נחתכים ,לסמן שתי זוויות קדקודיות ,להעביר חוצה זווית לאחת מהזוויות הקדקודיות ,להמשיך את חוצה הזווית ,ולמדוד את גודל הזוויות המתקבלות מחלוקת הזווית הקדקודית השנייה. תרגיל :20העברת חוצה זווית לאחת משתי זוויות קדקודיות ובדיקה האם הוא חוצה גם את הזווית הקדקודית השנייה. 60 תרגיל :21 ADו BE -ישרים נחתכים. ADחוצה את .∢EMC יש לחשב את . לחישוב נשתמש במשפטים: זוויות קדקודיות שוות זו לזו. 66 לשאול: איזה זווית שווה ל?66 - הסבירו. חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. זווית שטוחה היא בת .180 66 66 48 איזה זווית נוספת שווה ל?66 - הסבירו. 66 66 נחשב את : זווית שטוחה היא בת 180 או זווית צמודה ל.∢EMC - תרגיל :22 ו -אינן זוויות קדקודיות .הקטעים בירוק ובכחול אינם על ישר אחד. תרגילים :25 – 23תרגילים המובילים למסקנה שהזווית בין החוצים של שתי זוויות צמודות היא זווית ישרה .תרגילים אלו והמסקנה המתקבלת מיועדים לתלמידים מתקדמים .המושא יילמד על פי שיקול דעת של המורה. תרגילים :27 – 26תרגילים מתקדמים ,צבועים בכתום. עמודים 129 – 125עוד על הצבות השימוש בשפה האלגברית נלמד בסבב הראשון של תכנית הלימודים. בפרק זה נעסוק בהצבות בבי טויים בהם אותו משתנה מופיע יותר מפעם אחת או בביטויים בהם יש יותר ממשתנה אחד. בביטויים בהם מופיע משתנה אחד (גם אם הוא מופיע יותר מפעם אחת) כאשר נתונה ההנחיה "הציבו" פירוש הדבר הציבו מספר במקום המשתנה (האות) שבביטוי. כאשר בביטוי יש יותר ממשתנה אחד יש לציין לגבי כל הצבה "הציבו במקום המשתנה ___ ". בדוגמה :2שלוש תלמידות פתרו שאלה נתונה ,כל אחת סימנה את המשתנה באות אחרת .שלושתן צודקות .אין חשיבות לאות המייצגת את המשתנה. בדוגמה :3נתונים זוגות מספרים המסודרים בטבלה .יש למצוא איזה מבין ביטויים נתונים מייצג את הקשר בין כל זוג מספרים שבטבלה .כמה בדיקות יש לבצע כדי למצוא את הביטוי המתאים? 61 תרגיל 11 הצבה בביטוי אלגברי בתוך הקשר. בפעילות עוסקים במעבר בין שני סולמות של מדידת טמפרטורה .ההקשר הוא הזדמנות לדון בסולמות השונים למדידת הטמפרטורה ,המשותף והשונה ביניהם ,השימושים השונים והרקע ההיסטורי. ניתן להפנות את התלמידים לחיפוש במאגרי מידע (למשל ,באתר .)amalnet.k12.il הנוסחה להמרה מצלזיוס לפרנהייט היא: C + 32 =F הנוסחה להמרה מפרנהייט לצלזיוס היא: )(F – 32 =C הנקודה החשובה לזכירה היא שמידות הטמפרטורה בפרנהייט גבוהות באופן משמעותי מאלה שבצלזיוס: 120°C 248°F ; 60°C 140°F 62 תרגילים :13 – 12תרגילים מתקדמים ,צבועים בכתום. תרגילים העוסקים במציאת הביטוי המתאים לחוקיות של סדרות הנתונות באמצעות מבנים מסורטטים. תרגיל 12 השימוש בצבע מקל על ההתאמה .חלקים הצבועים בצהוב הם מהפסר הקבוע בכל אחת מההצגות. נדב :המספר הקבוע .5יש להניח שהביטוי המתאים הוא ביטוי (ג)5 + 2(n – 1) : נבדוק. (במבנה 0חמישה ריבועים). נציב את מספר המבנה :נציב :n = 1נקבל5 + 2(1 – 1) = 5 : (במבנה 2שבעה ריבועים). נציב :n = 2נקבל5 + 2(2 – 1) = 7 : (במבנה 3תשעה ריבועים). נציב :n = 3נקבל5 + 2(3 – 1) = 9 : תומר :המספר הקבוע .3יש להניח שהביטוי המתאים הוא ביטוי (א) .נבדוק. אלון :המספר הקבוע .1יש להניח שהביטוי המתאים הוא ביטוי (ב) .נבדוק. תרגיל 13 63 פעילות הכללה כאשר ההכללה היא על פי מקום ומוצגת באמצעות ביטוי אלגברי. מומלץ לערוך דיון במליאה ולהעלות את השאלות: כמה אנשים יושבים ליד כל שולחן? האם ליד כל שולחן מספר שווה של אנשים? כשמוסיפים שולחן כמה מקומות ישיבה נוספים? האם אפשר לזהות בביטוי האלגברי את מספר מקומות הישיבה המתווספים עם תוספת של כל שולחן? הסברים לביטויים השונים: נדב ראה שבכל אחד מהשולחנות הפנימיים יושבים 2אנשים .בכל אחד מהשולחנות שבקצוות יושבים 0אנשים .מספר השולחנות.n : אם נחסר את 2השולחנות שבקצוות יישארו n – 2שולחנות .ליד כל אחד 2אנשים ,סה"כ ).2(n-2 נוסיף את 6האנשים שיושבים בשולחנות שבקצוות .תשובה נכונה. תומר :לא התייחס לכך שבשולחנות שבקצוות יושבים 0אנשים ליד כל שולחן .תשובתו אינה נכונה. אלון :הביטוי אינו נכון .אלון קבע את הביטוי האלגברי על-פי מספר היושבים מסביב לשולחן אחד בלבד. עמית :משני צידי כל שולחן יושבים 2אנשים ,כלומר לכל מספר של שולחנות nיושבים 2nאנשים. בשולחנות שבקצוות יושב גם אדם בראש השולחן ולכן יש להוסיף 2ולקבל .2n + 2 :תשובה נכונה. עמודים 141 – 130משוואות פרק המשוואות נלמד בכיתה ז בארבעה סבבים .בחלק זה של הספר שני סבבים :בסבב הראשון עוסקים במשוואות חשבוניות ובסבב השני מרחיבים למשוואות אלגבריות .בחלק השני של הספר שני סבבים נוספים :בסבב השלישי הרחבה למשוואות מהסוג ax + b + cx +ובסבב הרביעי פתרון משוואות בהן יש יישום של חוק הפילוג ופתרון משוואות פשוטות עם מכנים. במשוואות חשבוניות הכוונה למשוואות בהן הנעלם מופיע רק באגף אחד ובאגף השני מופיעים אך ורק מספרים .לדוגמה: 1 + 2x + 3x + 7 = 13 ; 5x – 2 = 12 ; 2x + 5 = 17 ; 2x = 8וכדומה. במשוואות אלגבריות הכוונה למשוואות בהן הנעלם מופיע בשני האגפים .לדוגמה: 8 + x = 3x – 12 ; 3x + 7 = 5x הסיבה שמשוואות מהסוג ax + b = cנקראות משוואות חשבוניות היא שתלמידים שעדיין לא למדו לפתור משוואות על-ידי ביצוע פעולות זהות על שני האגפים ,פותרים אותן ,ללא כל קושי קוגניטיבי מיוחד ,על ידי ביצוע פעולות הפוכות (הליכה לאחור) או על-ידי השלמה (חישובים מנטליים על המספרים הנתונים כדי למצוא את המספר החסר). לדוגמה ,משוואה כגון 2x + 7 = 23יפתרו על-ידי ביצוע פעולות הפוכות: .x = 8 x = 16 : 2 2x = 16 2x = 23 – 7 או על-ידי השלמה :מה ועוד 4שווה 2 06 ... ? 20כפול מה שווה ל .8 ... ?06 -לכן הפתרון הוא .8 סיבה נוספת שמשוואות בהן הנעלם מופיע רק באגף אחד נקראות משוואות חשבוניות היא ,שניתן לתאר את השוויון בין האגפים בדרך תהליכית .לדוגמה: 64 2x + 7 = 23מהו המספר שאם נכפול אותו ב 2 -ולמכפלה נוסיף 4נקבל ? 20במובן זה, אגף ימין של המשוואה משמש האגף בו מתקבלת התשובה לתהליך .בדומה לדימוי של סימן השוויון הנבנה בבית הספר היסודי כהנחיה לביצוע פעולה .אחרי סימן השוויון נרשמת ה"תוצאה" של תהליך החישוב. במשוואות אלגבריות ,בחלק מהמקרים ,ניתן לראות את סימן השוויון כמשווה בין התוצאות של שני תהליכים. (לדוגמה ,במשוואה : 2x + 3 = 3x – 4מהו המספר שאם נכפול אותו ב 2 -ולמכפלה נחבר ,0או נכפול אותו ב 0 -ומהמכפלה נחסר 4נקבל בשני המקרים אותה התוצאה 2x + 3 שלבי הוראת פרק המשוואות בסבב ראשון. מהי משוואה והגדרה פורמאלית. טיפול במשמעות הפתרון של משוואה. משוואות שקולות. פתרון משוואות מהסוג .ax = bפתרון אינטואיטיבי חשיבות הבדיקה לאימות ובקרה. כינוס איברים דומים (כינוס איברים מספריים וכינוס איברים אלגבריים). המשוואה מוצגת כהכללה של דפוס חשבוני ,כאשר הדפוס החשבוני נמצא בהקשר של בעיה לה אנו רוצים למצוא פתרון. את הדוגמאות הבאות מומלץ לבצע במליאת הכיתה כאשר הספר סגור ולבנות את התהליך בשיתוף פעולה של התלמידים. בדוגמה :1יש למצוא כעבור כמה ימים יהיו לדנה 05מדבקות. מוצגת טבלה בה ניעזר למציאת הפתרון. בטבלה ,חישובים של מספר המדבקות כעבור יום אחד ,יומיים ,שלושה ימים ,וכו'. אחרי חישוב מספר המדבקות כעבור יומיים ניתן לשאול את התלמידים איך כדאי להמשיך? האם לבדוק את המספר כעבור 0ימים או אולי נדלג ונחשב כעבור 5ימים וכו' .לכל תשובה של התלמיד לבקש ממנו להסביר מדוע. הכתיבה בטבלה מיועדת לתיעוד שלבי החישוב כדי להגיע להכללה. מומלץ לכתוב את כל שלבי החישוב ללא קיצורי דרך :למשל ,נכתוב את הביטוי 65 + 2·5ולא .65 + 10 65 מומלץ להיעזר בצבעים כמו בטבלה להקל את האבחנה בין מספרים קבועים למשתנים .למדו זאת קודם לכן בהכללה של ביטויים אלגבריים. המשוואה המתקבלת היא משוואה חשבונית x .מופיע רק באגף אחד של המשוואה וניתן לפתור משוואה כזו על ידי ביצוע פעולות הפוכות .בשלב זה מוצאים את הפתרון בדרך תהליכית מתוך הצבות בטבלה. לא חייבים להציב מספרים עוקבים עד לקבלת הפתרון .כדאי לנצל את הדיון אילו מספרים נציב לפיתוח תובנה מספרית .הצבנו מספר כלשהו וקיבלנו תוצאה הקטנה מ .05 -תנו הצעה למספר שכדאי להציב? מדוע? הצבנו וקיבלנו תוצאה גדולה מ .05 -מה נציב בשלב הבא? וכדומה. הביטוי המתקבל 65 + 5x = 65 :משמעותו עבור איזה ערך של ( xכלומר ,מהו מספר הימים )x מתקיים השוויון. חשוב להמליל כל ביטוי .למשל ,באגף שמאל של המשוואה 65 + 5x = 65 :מספר המדבקות כעבור x ימים. בדוגמה :2בדומה לדוגמה 0מתקבלת משוואה חשבונית. בדוגמה :3בשונה מדוגמאות 2 – 0מתקבלת משוואה אלגברית :המשתנה xנמצא בשני אגפי המשוואה .יש השוואה של שני ביטויים אלגבריים עם משתנה ,xתוך הקפדה על צורת הכתיבה ,תיעוד של שלבי החישוב ,והמללה של הביטויים המתקבלים. הפתרון מתקבל בדרך תהליכית מתוך ההצבות בטבלה .או כפי שמוצג בדוגמה :איזה מהמספרים הבאים הוא פתרון המשוואה? את דרך הפתרון של משוואה מסוג זה ילמדו רק בסבב השלישי ,בחלק השני של הספר. את מושג הפתרון "מטפטפים" תוך כדי פתרון השאלות ,והוא חוזר ומופיע בדוגמאות השונות במשפט כמו" :איזה מהמספרים הבאים .....הוא מספר הימים עד .....וכו'. 66 בדוגמה :4יש למצוא את מספר הימים עד שמספר הדגים בשתי הבריכות יהיה שווה( .כמו דוגמה .)2 גם בדוגמה זאת מתקבלת משוואה אלגברית. שאלות מסוג זה ניתן לפתור חשבונית כאשר מחשבים: את הפרש הדגים בין שתי הבריכות. בכמה פוחת ההפרש בין מספר הדגים בשתי הבריכות מידי יום? ולמציאת מספר הימים עד לקבלת שוויון מחשבים את המנה של שני מספרים אלו. בפתרון אלגברי הולכים בכיוון ההפוך: מניחים שמספר הימים ידוע ומסמנים אותו ב .x -בונים ביטויים אלגבריים עבור מספר הדגים בכל אחת מהבריכות כעבור xימים ,וכותבים משוואה בה משווים בין שני הביטויים המתקבלים. מושג המשוואה אינו מוגדר בצורה פורמלית. אחרי הדוגמאות מוצגים הביטויים שהתקבלו וקוראים להם משוואות: קיבלנו ארבע משוואות: x + 2x + 3x = 72 65 + 5·x = 95 128 – 10·x = 68 + 8·x 145 + 5·x = 25 + 15·x גם הביטויים הבאים הם משוואות: x + 3 = 25 15m + 5 = 50 2x – 4 = x 15 = 2x – 1 + 6x 3x – 5 = 4x + 7 (x + 5)(x + 4) = 12 רק לאחר מכן מופיעה ההגדרה הפורמלית( .על דף תובנות תזכורת :מהו ביטוי אלגברי). 67 לאחר הגדרה של משוואה מושג הפתרון של משוואה בנעלם אחד :פתרון של משוואה הוא מספר שאם נציב אותו במקום הנעלם יתקיים שוויון מספרי בין שני אגפי המשוואה. בדוגמאות ובתרגילים על התלמידים לזהות את הפתרון או הפתרונות הנכונים מתוך רשימה נתונה של מספרים .בשלב זה עדיין לא מוצגת דרך לפתרון המשוואה .אין גם דיון במספר הפתרונות .מציאת הפתרון הנכון הוא באמצעות הצבה וחישוב ,או באמצעות ניחוש ותיקון אחרי ההצבה. אחרי בהמשך התייחסות למשוואות שקולות :משוואות שקולות הן משוואות שלהן אותה קבוצת הצבה ואותה קבוצת פתרונות .בשלב זה אין התייחסות לקבוצת ההצבה .הנושא נלמד בשלב יותר מאוחר. בחלק מהשאלות נתונים מספרים והתלמידים צריכים להציב אותם במשוואה .פתרון הוא מספר שאם נציב אתו במשוואה יתקבל שוויון מספרי בין שני אגפי המשוואה. תרגיל :1מטלת זיהוי .תרגילים שנועדו לוודא שהתלמידים מזהים משוואה ומבינים שהמרכיבים המהותיים במשוואה הם סימן השוויון והנעלם. תרגילים :3 – 2ביסוס המושג פתרון של משוואה וכיצד ניתן לדעת האם מספר כלשהו הוא פתרון של משוואה נתונה ,בדיקה באמצעות הצבה וקבלת שוויון. תרגיל :2דף תובנות להזכיר כי מקובל להשמיט את סימן הכפל בין מספר לסוגריים. סעיף (ט) חשיפה למשוואה בה שני המספרים הנתונים הם פתרון של המשוואה .ניתן ללמוד שייתכן יותר מפתרון אחד למשוואה. תרגיל :4מציאת הפתרון היא באמצעות ניחוש. המשוואות כוללות פעולת חשבון אחת במספרים קטנים כך שניתן לנחש את הפתרון .אחרי הניחוש יש להציב ולבדוק .לאימות הפתרונות מופיע גם בנק פתרונות. תרגיל :5נתון פתרון המשוואה ויש להשלים מספר חסר .דרך ישירה להפנים את משמעות הפתרון. שיקולי הדעת :בסעיף (א) למשל 2הוא פתרון .כלומר כשנציב במקום xאת המספר 2יתקבל שוויון .נציב ,נחשב ונראה מהו המספר החסר כדי להגיע לשוויון. תרגיל :6על התלמידים למצוא את המשוואות בהן הפתרון הוא 0ואת אילו בהן הפתרון הוא .4 בהתבסס על תרגיל זה ועל הבאים אחריו יוכנס המושג משוואות שקולות. תרגיל :7מציאת הפתרון היא באמצעות ניחוש ואסטרטגיות הכוללות תובנה מתמטית. בכל משוואה שתי פעולות חשבון .לתלמידים שלא יצליחו להתמודד לבד ,לתת שאלות מנחות: למשל ,במשוואה נבקש מהתלמידים להמליל את המשוואה 3x + 3 = 18 :נשאל מה ועוד 0נותן .08 התשובה 3x .05שווים ,05מה הוא ,xוכו'. תרגיל :8בכל סעיף נתונה משוואה על רקע כחול ו 0 -משוואות על רקע לבן. 68 יש למצוא את המשוואות (על רקע לבן) שלהן פתרון זהה לפתרון של המשוואה שעל הרקע התכלת. מומלץ לקיים דיון בנושא מה עלינו למצוא ואיך לעשות זאת .על דף תובנות הנחייה להציב את הפתרון של המשוואה שעל רקע תכלת בכל אחת מהמשוואות שעל רקע לבן. רק בעמוד 136מתחילה הקנייה מסודרת של דרכים למציאת פתרון משוואה. פתרון של משוואות בהן קל לנחש פתרון ומשוואות אחרות בהן ה"ניחוש" אינו ספונטני. בתהליך הפתרון מבצעים פעולות זהות על שני אגפי המשוואה ועוברים ממשוואה נתונה למשוואה שקולה לה ,משוואה שלה בדיוק אותם פתרונות כמו למשוואה המקורית( .בשלב זה לא נזכיר את העובדה שמשוואות שקולות הן משוואות שיש להן בדיוק אותם פתרונות ובדיוק אותה קבוצת הצבה). אמנם מרבית התלמידים להם מיועד הספר לא מפנימים את הרעיון שתהליך הפתרון הוא למעשה תהליך השומר על שקילות ורואים בתהליך הפתרון ריטואל אותו יש לבצע .לכן ,כדאי מידי פעם לעצור את תהליך הפתרון ולהראות שלמשוואה המתקבלת ממשוואה קודמת על ידי ארגון מחדש וביצוע פעולות זהות על שני אגפי המשוואה יש בדיוק אותם פתרונות כמו למשוואה הנתונה ,כלומר שתי המשוואות שקולות. הלמידה נעשית בשלבים: .0כינוס איברים אלגבריים דומים שהמקדם שלהם הוא .0 .2כינוס ספונטני של איברים מספריים. .0כינוס איברים מספריים כאשר הכינוס מוביל למשוואה מהסוג ( .ax=bלא כל המחוברים באגף הם מחוברים דומים ,אבל הכינוס מוביל למשוואה מהסוג .)ax=b .4פתרון משוואות בהן באותו אגף גם מחוברים שאינם דומים פתרון בשיטת הכיסוי. .5מכיסוי (שאינה פעולה מתמטית) לפעולות זהות (חיבור או חיסור) של אותו ביטוי משני אגפי המשוואה. .6כינוס מחוברים דומים בתוך משוואה. .4פתרון של משוואה מהסוג ax=bבאמצעות חילוק (או כפל) של שני האגפים באותו מספר. .8שילוב של כל השלבים הקודמים. פעילות :1מיקוד תשומת הלב :יש משוואות אותן פתרנו כבר .מה נלמד בפרק זה? משוואות בהן פעולה אחת בלבד בהן קל לנחש את הפתרון ומשוואות בהם יותר מפעולה אחת בהן קשה יותר לנחש פתרון. בפעילות :2הצגה של משוואות שקולות כאשר הנעלם מופיע רק באגף אחד של המשוואה. השקילות היא בין משוואה בה איברים אלגבריים דומים שהמקדם שלהם הוא 0 69 כמו x+x+…+x לבין משוואה בה ביטוי אלגברי כפליn·x : בפעילות זאת כרטיסיות כאשר בכל כרטיסיה שתי משוואות שקולות .המספרים קטנים כדי שיהיה קל לתלמידים לנחש את הפתרון. התלמידים באופן ספונטני פותרים מנטלית משוואות כאלו .למשל ,משוואה כגון x+x+x = 18 התלמידים אומרים כי הפתרון הוא 6כי ,6+6+6 = 18ומשוואה כגון 3x=18פותרים באמצעות חישוב מנטלי .18:3 פעילויות אלו מציגות את הקשר בין כל זוג משוואות שבאותה כרטיסיה. בסיום הפעילות התייחסות למשוואות שקולות .בכל כרטיסיה ,המשוואה השנייה מתקבלת מהמשוואה הראשונה ל-ידי כינוס איברים דומים .לכל שתי משוואות שעל אותה כרטיסיה אותו פתרון .משוואות אלו הן משוואות שקולות. התרגול הוא במספרים קטנים כך שפתרון של משוואה מהסוג ax=bנעשה עדיין ספונטנית באמצעות חישוב מנטלי. על קישור זה שבין שתי הסכמות שמתורגל בפעילות זאת נבנה כינוס מחוברים דומים. גישה מקובלת לכינוס מחוברים אלגבריים היא באמצעות חוק הפילוג (למעשה על-ידי פירוק לגורמים כאשר המשתנה הוא הגורם המשותף) .2x + 7x x(2 + 7) 9x גישה הקשה לתלמידים להם מיועד הספר. בחרנו בגישה אחרת המבוססת על התפיסה של הכפל כחיבור חוזר .תפיסה זו מתפתחת בבית הספר היסודי ונמצאה כמתיישבת עם האינטואיציה של התלמידים. תרגיל :9בפתרון נכון של השאלה מקבלים" :פתרון נכון". דוגמה 9עמוד :137פתרון חשבוני של משוואה מהסוג .ax = b התלמידים פתרו משוואות מסוג זה במספרים קטנים .בדוגמה זאת מוצגת דרך החישוב כך שניתן יהיה לפתור משוואות כאלו גם כאשר המספרים פחות נוחים לחישוב. תרגיל :10מציאת פתרונות של משוואות מהסוג שבדוגמה 0כאשר כל תלמיד יבחר א תהדרך הנוחה לו. מומלץ לשמוע מהתלמידים באיזו דרך בחרו ולבקש מהם להסביר מדוע בחרו בדרך זאת. עמוד 138פתרון משוואות על ידי כינוס מחוברים דומים. הרחבה לכינוס מחוברים כאלו כאשר המקדם של הנעלם שונה מ .0 -כל הפעולות בכינוס מחוברים אלגבריים הן חיבור. דוגמה :10כינוס גם של מחוברים מספריים כאשר בכל אגף בנפרד יש או רק מספרים או רק מחוברים עם נעלם. 70 התלמידים למדו כינוס מחוברים דומים בביטויים אלגבריים .כאן יישום בתוך משוואות. בדוגמה (א) פירוק לסכום של xעם מקדם .0על דף התובנות תזכורת כי בכינוס איברים דומים מחברים את המקדמים. בדוגמה (ב) כינוס ללא הפירוק .על דף התובנות תזכורת כי בכינוס איברים דומים מחברים את המקדמים. בשתי הדוגמאות מוצגת גם בדיקה .יש לשים לב לצורת הכתיבה ולהרגיל את התלמידים לכתוב שורה מתחת לשורה. דוגמה :11דוגמאות למשוואות בהן הכינוס כולל גם חיסור של איברים דומים. בדוגמה (א) פירוק של 5aלסכום .a+a+a+a+aיש לחסר .2a a+a+a+a+aויישאר .3a החיסור מבוצע על-ידי מחיקה של שני .a על דף התובנות החיסור מתבצע על-ידי פעולת חיסור בין המקדמים. בדוגמה (ב) כינוס איברים דומים בו גם פעולת חיבור וגם פעולת חיסור כאשר הכינוס מתבצע באמצעות ביצוע פעולות החשבון המתאימות בין המקדמים. תרגיל :11התאמה בין זוגות של משוואות כאשר אחת מתקבלת מהשנייה בכינוס איברים דומים. הפתרון – 0 :ה ; – 2ד ; – 0א ; – 4ב ; – 5ו ; – 6ז ; – 4ג תרגיל :12פתרון ג. א. ב. 48 44 72 4x 2x המשוואה: הפתרון: 3x 2x 7x = 77 x = 11 3x x 2x 5x x 7x 4x 8x = 72 x=9 תרגילים :14 – 13פתרון משוואות ,כינוס מחוברים באגף אחד בלבד. 71 3x 5x 4x 12x = 48 x=4 x בתרגיל :13נתון בנק פתרונות לאימות הפתרון. דוגמאות :13 – 12 משוואות בהן כינוס איברים דומים בשני האגפים .כינוס של ביטויים אלגבריים וכינוס של ביטויים מספריים. תרגילים :16 – 15משוואות בהן כינוס איברים דומים בשני האגפים .הכינוס מוביל למשוואה מהסוג ax = bאותה יודעים לפתור. עמודים :143 – 142נחזור ונתרגל מספרים מכוונים תרגיל :1 מומלץ לקיים דיון במליאה ולשמוע את הסברי התלמידים .בסעיפים (א) – (ד) לדון באילו פעולות חשבון מתקיים חוק החילוף .בסעיף (ה) לשאול את התלמידים כמה מחסרים מ ,052 -או בסעיף (ו) כמה מחסרים מ .282 -וכו' .בסעיף (ז) :האם מחסרים מ 045 -מספר חיובי או מספר שלילי? מתי התוצאה תהיה גדולה יותר? וכנ"ל בסעיף (ח) לגבי חיבור. תרגיל :2ביצוע חישוב על פי הסכמי סדר פעולות החשבון כאשר בתרגילים מספרים מכוונים .מומלץ בכל שלב של הפתרון לחזור ולשאול מהי הפעולה אותה יש לבצע .ראו הצעות לפעילות נחזור ונתרגל שבעמודים .62 – 50 תרגיל :3שאלה עם הקשר. לרותם: 320 + 2(−15) + 5 = 35 אחת 2קליעות בצהוב בוורוד 0קליעות במרכז לעדי: 72 2(−5) + 410 = 30 4קליעות בתכלת 2קליעות בירוק לנועה :פתרונות אפשריים 4 .0 .בטבעת הצהובה 2 ,בירוקה 4 .2 .בטבעת התכלת 2 ,בוורודה. 0 .0בטבעת הצהובה 0 ,בירוקה 2 ,בוורודה 2 ,במרכז. תרגיל :4פתרון 0 :קליעות מוצלחות 2 ,החטאות. תרגיל :5תרגיל ביצוע .חישובים על פי הסכמי סדר פעולות החשבון. תרגיל :6ללא חישוב .מומלץ לקיים דיון במליאה :למשל לשאול ,כדי לקבל מנה שלילית האם בסוגריים יהיה מספר חיובי או שלילי? בכמה יש לחלק את 0כדי לקבל מינוס ?0 תרגיל :7ללא חישוב .מומלץ לקיים דיון במליאה .להתייחס לחלקים הזהים ולחלקים השונים משני צידי השוויון/האי שוויון כדי להחליט על סימן היחס המתאים. תרגיל :8מומלץ לקיים דיון במליאה .למשל ,בסעיף (א) ,קיבלנו מנה חיובית .האם המספר החסר יהיה חיובי או שלילי? עמודים 172 – 144משוואות (המשך) בסבב הראשון של משוואות התלמידים למדו לפתור משוואות שאחרי כינוס איברים דומים בכל אגף בנפרד הגיעו למשוואה מהסוגax = b : בפרק זה ילמדו לפתור משוואות מהסוג.ax + b = cx + d : הפרק פותח בתזכורת לדרכי הפתרון שכבר נלמדו קודם ובתרגול פתרון של משוואות מסוג זה. תרגיל :1תרגיל חזרה על פתרון משוואות אותן למדו לפתור בסבב הקודם :כינוס מחוברים דומים כך שמתקבלת משוואה מהסוג .ax = b פעילות :1מטרתה לערוך הבחנה בין מה למדו בסבב הקודם לבין מה נלמד בסבב זה. במשוואות ()4( , )6( , )4( , )2 ביטויים עם משתנה מופיעים רק באגף אחד של המשוואה והמספרים באגף השני. במשוואות ( )5( , )0המשתנה מופיע רק באגף אחד של המשוואה והמספרים בשני אגפי המשוואה. במשוואות ( )8( , )0ביטויים עם משתנה מופיעים בשני אגפי המשוואה. נלמד לפתור גם את המשוואות האחרות :משוואות מהסוגים ax + b = dו.ax = cx + d - ההקניה בפרק זה כוללת ביצוע פעולות זהות על שני אגפי המשוואה ,פעולות המביאות למשוואות שקולות ,כלומר למשוואות בעלות אותו פתרון כמו למשוואה המקורית. ההקניה אינטואיטיבית .הצגת משוואות בהן בשני האגפים יש מחוברים זהים. לפתרון המשוואה נכסה את המחוברים השווים כדי להגיע למשוואה מסוג ax = bאותה קל לפתור. (המושג כיסוי הוא מושג זמני שיוחלף די מהר בחיבור ביטויים זהים לשני אגפי המשוואה). התרגול כולל: 73 זיהוי איברים זהים בשני האגפים של המשוואה. כיסוי האיברים הזהים במשוואות חשבוניות ובהמשך במשוואות אלגבריות. פישוט המשוואה והבאתה למשוואה בה כבר יודעים למצוא את הפתרון. תרגום הכיסוי לחיסור מחוברים זהים בשני האגפים. הכיסוי של איברים זהים בשני אגפי המשוואה מוביל לרעיון של חיסור אותו איבר משני אגפי המשוואה. הכיסוי בנוי על התפיסה הספונטנית של התלמידים שאם רוצים להחליט האם שני ביטויים בהם איברים זהים שווים בערכם ,אפשר להתעלם מהחלקים הזהים ולשפוט האם הביטויים שווים או לא על פי החלקים הנותרים .לדוגמה ,אם נבקש מהתלמידים לשפוט האם השוויון 87 + 35 + 17 = 63 + 59 + 17 נכון או לא ,מרבית התלמידים יגיעו למסקנה שמספיק לבדוק האם 87 + 35שווה ל 63 + 59 -תוך התעלמות מהמספר .04על בסיס תפיסה ספונטנית זאת בנויה שיטת הכיסוי. במשוואה 3x + 12 = 15 + 12המספר 02מופיע בצורה מפורשת וגלויה בשני אגפי המשוואה. אם נכסה אותו (נתעלם ממנו) נקבל את המשוואה ,3x = 15משוואה אותה קל לפתור, שפתרונה .x = 5 בדוגמה :4יש הרחבה גם לכיסוי איברים זהים שאינם מספריים המופיעים בשני אגפי המשוואה. הדוגמאות והתרגול בשיטת הכיסוי נעשה רק במשוואות בהן כל אחד מהאגפים הוא סכום מחוברים והאיבר הזהה הוא חיובי .הכיסוי וההתעלמות במקרה זה היא ספונטנית .קל לתלמידים לראות כי פעולת החשבון המתבצעת באמצעות הכיסוי היא חיסור של החלקים הזהים משני אגפי המשוואה. חיסור המוביל למשוואה שקולה שפתרונה שווה לפתרון המשוואה הנתונה. החיסור משני אגפי המשוואה הוא דרך הפתרון הפורמלית. בדוגמה :8חיסור של חלקים זהים משני אגפי המשוואה גם כאשר הביטויים לא כתובים בצורה מפורשת במשוואה. עמודים :148 – 147כיצד נדע מה לחסר? בתרגיל :5נתונות משוואות ,וליד כל אחת מהן שלוש הצעות לפעולות .על התלמידים לבחור את ההצעה המובילה לפתרון. תרגיל :6מטלת זיהוי: הקיפו את המחובר אותו כדאי לחסר .ולאחר מכן מטלת ביצוע :חסרו. 74 מעמוד 148הרחבה למשוואות בהן כדי לפתור את המשוואה יש לחבר ביטוי זהה (מספרי או אלגברי) לשני אגפי המשוואה. לאחר זיהוי המחובר אותו יש לחבר מבצעים את הפעולה ההפוכה לזו שבמשוואה. למשל ,במשוואה 3x + 5 = 14כדי לפתור את המשוואה יש לחסר את המספר 5משני האגפים. במשוואה 3x – 5 = 14כדי לפתור את המשוואה יש לחבר את המספר 5לשני האגפים. עמוד :150המקדם במסגרת הפרק פתרון משוואות ,התלמידים פגשו במקדם בהתנסויות רבות של פתרון משוואות ללא התייחסות ממוקדת מפורשת. על פי עקרונות המיצוי ,הקניית מושגים חדשים נעשית בדרך-כלל בתוך הקשר ,בדרך זו ,ההקניה נעשית משמעותית ומובנת יותר ,התלמידים למדו בסבב הראשון כינוס של איברים דומים בביטויים אלגבריים. וגם בסבב הראשון של פתרון משוואות כינסו איברים דומים. נלמדים בתוך הקשר של משוואות ולא בתוך ביטויים אלגבריים. בפרק זה עוסקים בהקניית מושג המקדם באופן מפורש. בטיפול במושג ,מושם דגש על המקרים המיוחדים בהם המקדם לא כתוב באופן מפורש למשל: מקדם ,0מקדם ,0מקדם שהוא שבר. ההקניה תיעשה במליאת הכתה: לאחר שהוצגה על הלוח המשוואה המופיעה בדוגמה בספר ולאחר התייחסות למקדם של כל איבר אלגברי ,כדאי להציע לתלמידים לכתוב ביטויים אלגבריים עם מקדמים נתונים. לדוגמה ,בנו משוואה בה מופיעים המקדמים 6ו ,0 -או ) (2ו ,0 -או מקדם .0 חשוב לוודא הכרת המושג לפני פעילויות זיהוי המופיעות בתרגיל .02 הקשיים המתגלים בנושא זה בדרך כלל מתבטאים בקושי לזהות מקדם של איבר בתוך ביטוי אלגברי כאשר המקדם אינו מופיע באופן מפורש .למשל כאשר המקדם הוא 0או . 1 כאשר תלמיד נשאל מהו המקדם אחת התשובות הנפוצות היא שה x -הוא ( 0שמשמעותו שהפתרון 75 הוא .)0חשוב לתת לתלמידים להתבטא אבל כמובן להקפיד על הניסוח הנכון. תרגיל 10עמוד :150תרגיל זיהוי .יש התייחסות למקרים הבעייתיים. תרגיל 12עמוד :151על התלמידים להעביר את הביטוי הנתון לכתיבה מקובלת תוך שימוש בחוקי החילוף והקיבוץ של הכפל ולזהות את המקדם. לדוגמה :הכתיבה המקובלת של הביטוי 3a·4היא 12aכי )3a·4=3·4·a=12·a=12a) :ולכן המקדם הוא .02 בסעיפים (א) – (ד) הביטויים הם כפליים ולכן קל יותר להביא לכתיבה מקובלת ולזהות את המקדם. בסעיפים (ה) – (ח) הביטויים האלגבריים חיבוריים .התלמיד צריך להתעלם מהמחובר המספרי ולהתמקד במחובר האלגברי ,לזהות את סימנו ,ולקבוע מה הוא המקדם. רצוי לבדוק את תשובותיהם של התלמידים ולדון במליאה בסעיפים (ו) ( ,ז). בהמשך כינוס מחוברים דומים המתורגל במסגרת משוואות. בפרק זה נעסוק בכינוס מחוברים דומים כאשר באותו אגף יש גם מחוברים מספריים וגם מחוברים אלגבריים. כינוס ביטויים אלגבריים אינו הרחבה אוטומטית של כינוס איברים מספריים .בעוד שהמעבר ממשוואה כגון 3x + 25 + 7 = 17למשוואה 3x + 32 = 17הוא ספונטני הרי שמשוואה בה מופיע הנעלם יותר מפעם אחת ,אפילו אם זה באותו אגף ,מהווה הרחבה קוגניטיבית .ניתן לראות זאת בטעות השכיחה לפיה משוואה כגון 3x + 5x + 7 = 45מכונסת למשוואה 15x = 45חיבור של המקדמים המספריים של xיחד עם המספר החופשי. בפתרון משוואות הכינוס מהווה אמצעי להשגת המטרה ,שהיא מציאת פתרון למשוואה. בפרק זה נעשית הרחבה של האסטרטגיה של פתרון משוואות .תחילה נעשה זיהוי האיברים הדומים באותו אגף ,איברים אלגבריים לחוד ואיברים מספריים לחוד .הכינוס ייעשה על ידי חיבור או חיסור של המקדמים .המשך תהליך הפתרון של המשוואה ייעשה על ידי שימוש באסטרטגיות שננקטו בסעיפים קודמים ,כלומר ביצוע הפעולה ההפוכה על שני האגפים ושמירה על משוואות שקולות לקבלת הפתרון. תרגילים :19 ,18 ,13תרגילים המשלבים את כל השלבים שנלמדו עד כה לפתרון משוואות :זיהוי של איברים דומים ,כינוס איברים דומים ,ביצוע פעולות חיבור או חיסור על שני האגפים כדי להביא את המשוואה למשוואה השקולה למשוואה הנתונה. חשוב להקפיד על דרך הרישום .כתיבת הפעולה אותה מבצעים מימין למשוואה מאלצת את התלמיד לחשוב על תהליך הפתרון .המשוואות הכתובות זו מתחת לזו הן כולן משוואות שקולות .מומלץ מידי פעם לעצור ,ולאחר מציאת הפתרון לשאול את התלמידים לאילו מהמשוואות שהתקבלו בתהליך הפתרון המספר שהתקבל הוא פתרון .להציב ולבדוק ולראות שאם פתרו נכון ,המספר שקיבלו הוא פתרון של כל המשוואות שהתקבלו במהלך הפתרון. תרגילים :17 – 14שאלות מילוליות ,סיפור המוביל לכתיבת משוואה אותה יש לפתור. בבדיקה של שאלות מילוליות נבדוק אם הפתרון מתאים לסיפור הנתון( .לעיתים המשוואה שנכתבה היא שגויה .הצבת הפתרון במשוואה לא יגלה את הטעות .בבדיקה המתייחסת לטכסט יש סיכוי לגילוי הטעות). לדוגמה ,בפעילות ,2הפתרון הוא .0 לא נציב במשוואה ,x = 9אלא, נבדוק את התהליך המסופר. דני בחר במספר .9 נכפול אותו ב :0 -נקבל ,9 · 3 = 27 76 נקבל 27 + 7 = 34 נוסיף :4 נקבל34 – 1 = 33 : נחסר :0 האם נקבל 00כפי שמופיע בשאלה? תרגיל 18עמוד :154פתרון עמוד :155פתרון משוואות באמצעות חילוק של שני אגפי המשוואה באותו מספר פרט ל.0 - בפתרון משוואה מהצורה ,ax=cהתלמידים לא למדו עדיין לבצע את הפעולה ההפוכה על שני האגפים כלומר לחלק את שני האגפים במקדם של הנעלם ,אלא ,את הפתרון מצאו באופן אינטואיטיבי. כלומר ,במה נכפול את aכדי לקבל את .c כאן יש הרחבה של הסכמה של ביצוע פעולות זהות על שני אגפי המשוואה לפעולת הכפל ולאחר מכן חילוק. המטרה היא למצוא למשוואה מהסוג ax=cמשוואה שקולה בה המקדם של xיהיה .0 (משוואה מהסוג מספר = .)x הפעולה שבין המקדם לנעלם היא כפל .נבצע את הפעולה ההפוכה שהיא חילוק. תרגיל :20תרגול של חילוק במקדם. דוגמאות :22 - 22המקדם של xהוא שבר .הפתרון באמצעות חילוק במקדם (חילוק בשבר) או לחילופין כפל בהופכי. הרחבה גם לכפל של שני אגפי המשוואה באותו מספר פרט לאפס. תרגילים :26 – 21תרגילים המשלבים את כל השלבים של תהליך הפתרון שנלמדו עד כה. כאשר בכל המשוואות ,לאחר כינוס איברים דומים ,רק באחד מאגפי המשוואה יש שילוב של מחוברים אלגבריים ומחוברים מספריים. הפתרונות לתרגיל :26הסכום בכל אחת מהקבוצות הוא .06 הקנייה של פתרון משוואות בהן בכל אחד מהאגפים יש גם ביטויים אלגבריים וגם ביטויים מספריים, ומשוואות עם מכנים יש בסבבים נוספים על משוואות בספר קפיצה לגובה חלק ג. 77 פתרון שאלות מילוליות באמצעות משוואות פתרון שאלות מילוליות באמצעות משוואות .תהליך מורכב הדורש מהתלמיד לקרוא ולהבין את הכתוב בשאלה ,לבחור גודל לא ידוע אותו נסמן ב ,x -לכתוב באמצעות xביטויים אלגבריים לגדלים אחרים, לתרגם את המלל שבשאלה למשוואה ,לפתור את המשוואה ,ולתת פתרון לשאלה .כדי לוודא שהפתרון נכון יש לבצע בדיקה. הגישה לפתרון שאלות מילוליות בספר זה היא תהליכית .נבחר מספר כלשהו ונבצע את התהליך המסופר בשאלה .נבחר מספר נוסף וכדומה .את התהליך נכתוב בטבלה ,תהליך המוביל להכללה. פתרון שאלות מילוליות בגישה התהליכית מפתחת אצל הלומד את תחושת האומדן .אם בבחירה של מספר אחד מקבלים תוצאה קטנה מידי ובבחירה של מספר אחר תוצאה גדולה מידי ,אז המספר הרצוי יהיה בין שני המספרים הללו. לעיתים בגישה זו ניתן לפתור את הבעיה ללא בניית משוואה כלל .מטרתנו בהוראת פרק זה להוביל את התלמידים לבנות משוואה מתאימה לתוכן הבעיה כאשר מסייעים בידי הלומד לבצע תחילה הכללה של דפוס חשבוני באמצעות הטבלה ובניית ביטויים אלגבריים ,ובשלב הבא לבנות משוואה מתאימה. ראוי לציין כי בגישה זו יש משמעות לכל שורה בטבלה במונחי הבעיה. את ההצגה של הדוגמאות המופיעות בספר מומלץ לבצע במליאת הכיתה כאשר הספר סגור. לשתף את התלמידים בבחירת המספרים ולהביא אותם לידי הכללה. דוגמה :1 בחרנו במספר 5והתקבל הסכום .25 כשבחרנו במספר 5הסכום שהתקבל קטן מהסכום 44הנתון בשאלה. מומלץ לשאול את התלמידים :נבחר מספר אחר ,תנו הצעה למספר אחר .האם כדאי לבחור במספר יותר גדול/יותר קטן מ ?5 -וכדומה. כתיבה מסודרת בטבלה מובילה להכללה. בדוגמה זו המספר שנבחר כתוב בהדגשה ,כך שקל יותר לראות מהם המספרים הקבועים ומהו המספר המשתנה אותו נסמן ב .x -באופן זה מבליטים את המבנה האלגברי של הביטוי .כך התלמיד יוכל 78 לפתח הסתכלות תבניתית על הביטוי ולבנות ביטוי אלגברי מתאים כהכללה של דפוס חשבוני באותה עמודה .על הלוח מומלץ להשתמש בצבעים. במסגרת התרגום של השאלות המילוליות למשוואות יש שימוש בהיגדים :גדול ב ,-קטן ב -גדול פי, קטן פי ,סכום ,הפרש ,בניסוחים שונים (למשל ,מספר אחד גדול ב ....-ממספר שני ,או מוצר א עולה ב ...-יותר ממוצר ב וכדומה) .השאלות ממוינות לפי היגדים אלו .ורק לאחר פתרון שאלות עם כל אחד מההיגדים ,נתונות שאלות מעורבות .לכל סוג של שאלות מבנה אחיד של המשוואה. בשאלות הראשונות בכל אחד מהפרקים נתונות טבלאות עזר .בחלקן מולאו חלק מהשורות ועל התלמיד להשלים את האחרות ,בחלקן נתונות טבלאות אותן ימלא התלמיד ובשאלות הנוספות לא נתונות טבלאות. אם תלמיד מעדיף להיעזר בטבלה גם בשאלות האחרות יש לאפשר לו לעשות זאת .ההתנתקות מהטבלה נעשית בזמנים שונים אצל תלמידים שונים. עם ההתנתקות מהטבלה כעזר לתלמיד נתון מבנה המשוואה. + = למשל ,במשוואות בהן ההיגד הוא סכום מבנה המשוואה גיל גיל סכום + = או: הצעיר המבוגר הגילים מספר כולל של שולחנות שולחנות גדולים שולחנות קטנים – = 85 כאשר ההיגד הוא הפרש ,מבנה המשוואה: המספר השני ההתנתקות נעשית בהדרגה עד לפתרון עצמאי מלא של שאלה. המספר הראשון ההפרש כבר בתרגילים 46 , 43נשאלת השאלה מדוע בחרנו לסמן את ....ב?x - תרגילים 55 - 51עמודים 169 - 168התייחסות לשאלה :את מי נסמן ב?x - האם תסמנו ב x -את מספר המחשבים בקומה א' או את מספר המחשבים בקומה ב'? מה עדיף לדעתכם, לסמן ב x -את גיל האב ,או את גיל הבת? שאלות המעוררות דיון .מומלץ לתת לתלמידים לענות על שאלות אלו ולבקש הסבר לכל בחירה שלהם. כמו כן מומלץ לפתור חלק משאלות אלו כאשר בכל פתרון xמייצג גודל אחר ולראות שאמנם הערך של xשונה ,אבל התשובה לשאלה זהה. מתרגיל 57שאלות מעורבות ולכל שאלה יש להתאים את המבנה המתאים של המשוואה. בחלק מהתרגילים מצורפת טבלה .השימוש בטבלה לבניית המשוואה מאפשר הצגה של הנתונים בצורה מסודרת המוביל לבניית המשוואה ,בצורה תהליכית והופך את התהליך למשמעותי .יש תלמידים הנזקקים לטבלה גם בשאלות נוספות .אין למנוע זאת מהם. תרגיל :63תרגיל מורכב יותר (צבוע בכתום) המתאר קשר בין שלושה מספרים .שאלה זו מהווה אמצעי חשוב לחיזוק הבנת הנקרא .התלמידים אינם נדרשים למצוא את המספרים. בכל סעיף נתונים שלושה מספרים, התלמידים צריכים לבדוק אלו מהתנאים שבשאלה מקיימים שלושת המספרים הנתונים ואלו תנאים אינם מתקיימים. 79 מומלץ לפרט את התנאים .0 :סכום המספרים 045 .2מספר ב גדול פי 2ממספר א. .0מספר ג גדול פי 4ממספר א. ובכל סעיף לסמן מה מתקיים ומה אינו מתקיים. בסעיף ב: בסעיף א : √ ⨉ ⨉ בסעיף ג: √ √ √ ⨉ √ √ לתלמידים טובים יותר לאפשר לפתור את השאלה באופן אלגברי ולמצוא את המספרים. תרגיל 56עמוד :169 ,ax + b = cאוax + b = cx : לאחר כינוס איברים דומים מתקבלות משוואות מהסוג: משוואות אותן למדו לפתור. בכל סעיף ,על התלמידים לכתוב משוואה שאגפיה הם סכום של שלושה הביטויים הנמצאים על אלכסון אחד ,או לחילופין משוואה שאגפיה הם סכום של שני הביטויים הנמצאים במלבנים שבצדדים (ללא הביטוי שבמלבן האמצעי) .המשוואות המתקבלות דורשות תהליך של כינוס מחוברים דומים בכל אגף בנפרד .מומלץ לבצע סעיף אחד או שניים במליאה ואת האחרים לתת כעבודה עצמית לתלמידים. x – 1 + 2 + 36 = –x + 2 + x + 5 למשל ,בסעיף (א) :ניתן לכתוב את המשוואה: x – 1 + 36 = –x + 5 + x וגם את המשוואה: אם הנושא יעלה על-ידי התלמידים יש לקיים דיון בנושא של השוואת ביטויים בהם חלק מהמחוברים שווים. אם הנושא לא יועלה על-ידי התלמידים ,מורה הכיתה יחליט אם דיון בכך מתאים לתלמידיו. השוואת ביטויים מספריים בהם יש גם מחוברים שווים נעשה כבר בעבר ,למשל בעמוד 143תרגיל .4 80 תרגילים 73 – 64עמודים :172 –171עוסקים בנושאים מתחום הגיאומטריה. יש לחזור על המשפטים :סכום הזוויות במשולש הוא .180סכום הזוויות במרובע הוא .360 ובנוסף לחזור על דרך החישוב של היקף מצולע. למרבית התרגילים מצורף סרטוט מתאים .על דף תובנות תזכורות של המשפטים בהם נשתמש לכתיבת המשוואה. 81
© Copyright 2024