1. No category

‫שאלה מהאולימפיאדה הרוסית (של מ‪ .‬קּונגֹוז'ין)‬
‫במשולש ‪ ABC‬שאינו שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬העבירו תיכון‬
‫‪ .AM‬הנקודות ‪ I1‬ו‪ I 2 -‬הן מרכזי המעגלים החסומים‬
‫המשולשים ‪ ABM‬ו‪ .ACM -‬הנקודה ‪ N‬היא אמצע‬
‫הקשת ‪. BAC‬‬
‫משפט‪ A,I1,I2 , N .‬נמצאות על מעגל אחד‪.‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ J1‬ו‪ J 2 -‬מרכזי המעגלים החסומים מבחוץ‬
‫המשיקים לצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה‪ .‬אז ‪ N‬היא‬
‫האמצע של ‪. J1J 2‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ I‬מרכז המעגל החסום במשולש ‪ .ABC‬הוכיחו שהמשולשים ‪ IBC‬ו‪I J1 J 2 -‬‬
‫דומים‪ ,‬והדמיון הזה מעביר ‪ M‬ל‪.N -‬‬
‫‪ .3‬נתבונן במעגל ‪ ‬שעובר דרך ‪ . A, I1 , I2‬נניח ש‪  -‬פוגש את ‪ BI‬ואת ‪ CI‬שנית‬
‫בנקודות ‪ P1‬ו‪ P2 -‬בהתאמה‪ .‬הוכח כי ‪ P1P2‬הוא קוטר של ‪. ‬‬
‫‪ .4‬השלימו את הוכחת המשפט‪.‬‬
‫‪ .5‬מצאו הוכחה נוספת למשפט זה‪ ,‬בתנועה אחת‪ ,‬ללא שלבים‪.‬‬