‫מבחן בגרות מספר ‪1‬‬ ‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד א‬ ‫פרק ראשון – אלגברה ‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתון משולש ישר‪ -‬זווית ‪, (A  90 ) ABC‬‬ ‫שבו הצלע ‪ BC‬מקבילה לציר ה‪x -‬‬ ‫)ראה ציור(‪.‬‬ ‫משוואת הצלע ‪ AB‬היא ‪. y  1 x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שיעור ה‪ x -‬של קדקוד ‪ B‬הוא ‪. 3‬‬ ‫שיעור ה‪ x -‬של קדקוד ‪ C‬גדול ב‪1 -‬‬ ‫משיעור ה‪ x -‬של קדקוד ‪. A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הקדקודים של המשולש ‪. ABC‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את שטח המשולש ‪. ABC‬‬ ‫ג‪ .‬העבירו מעגל החוסם את המשולש ‪. ABC‬‬ ‫מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫בנו קופסה סגורה בצורת תיבה שבסיסה ריבוע‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬גובה התיבה גדול פי ‪1.4‬‬ ‫מצלע הבסיס‪ .‬שטח הפנ ים של התיבה‬ ‫)השטח של שש פאות התיבה( הוא ‪ 1710‬סמ"ר‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את צלע הבסיס‪ ,‬ואת גובה התיבה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬רוצים למלא את התיבה בקוביות‪,‬‬ ‫שאורך הצלע של כל אחת מהן הוא ‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מאורך צלע הבסיס של התיבה‪.‬‬ ‫בכמה קוביות כאלה אפשר למלא את התיבה?‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ 3‬מהתלמידים בכיתה אוהבים שוקולד או גלידה )כולל תלמידים‬ ‫‪4‬‬ ‫האוהבים שוקולד וגם גלידה(‪.‬‬ ‫‪ 9‬תלמידים לא אוהבים שוקולד וגם לא אוהבים גלידה‪.‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬בוחרי ם באקראי תלמיד אחד מהכיתה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא לא אוהב שוקולד וגם לא אוהב גלידה?‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא כמה תלמידים יש בכיתה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל תלמיד בכיתה שאוהב שוקולד כתב על פתק‪ :‬אוהב‪,‬‬ ‫וכל תלמיד שלא אוהב שוקולד כתב על פתק‪ :‬לא אוהב‪.‬‬ ‫ערבבו את כל הפתקים‪ ,‬ובחרו מביניהם באקראי ‪ 5‬פתקים עם החזרה‪.‬‬ ‫נתון כי ההסתברות שעל ‪ 3‬מהם כתוב "אוהב" שווה להסתברות שעל‬ ‫‪ 2‬מהם כתוב "אוהב"‪.‬‬ ‫מצא כמה תלמידי ם בכיתה אוהבים שוקולד‪.‬‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ C , B , A‬ו‪ D -‬הן נקודות על מעגל‪.‬‬ ‫המיתרים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נחתכים בנקודה ‪F‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪G‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. DAC  DBC :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ DC‬הוא קוטר‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪ .‬נתון גם כי ‪. ACD  BCD‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הוכח כי ‪. AB  CD‬‬ ‫ג‪ .‬נקודה ‪ G‬נמצאת על ‪ AC‬כך ש‪. GF  AG -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הוכח כי ‪. GF  GC‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ AD‬הוא גובה במשולש שווה‪ -‬צלעות ‪. ABC‬‬ ‫‪ E‬נקודה על ‪) AD‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון‪. BEC   :‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח המשולש‬ ‫‪ SABC ‬‬ ‫‪ ABC‬לבין שטח המשולש ‪ EBC‬‬ ‫‪ SEBC ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪. ABC  3 :‬‬ ‫‪SEBC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫חשב את ‪ , ‬והראה כי ‪. ED  DC‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ו של פונקציות שורש ‪.‬‬ ‫ענה על ש תיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪x 2‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪ a , f (x) ‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את השיעורים של הנקודות שבהן נגזרת הפונקציה שווה ל‪0 -‬‬ ‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬נתון כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת‬ ‫על הישר ‪ . y  x  4‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬ ‫ב‪ .‬הצב את ערך הפרמטר ‪ a‬שמצאת‪ ,‬וקבע את סוג נקודות הקיצון‬ ‫של הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונות הפונקציות ‪f (x)  18 x 2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪g(x)  2x‬‬ ‫הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על הגרפים‬ ‫של הפונקציות כך ש‪ AB -‬מקביל לציר ה‪, y -‬‬ ‫והנקודות נמצאות בין שתי נקודות החיתוך‬ ‫‪A‬‬ ‫של הגרפים של הפונקציות )ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ A‬ו‪B -‬‬ ‫שעבורן אורך הקטע ‪ AB‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫ב‪ .‬עבור האורך המקסימלי של הקטע ‪, AB‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪ - O ) ABO‬ראשית הצירים(‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫לפניך גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪. 0  x  9‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫נתון גם‪. f '(0)  4 :‬‬ ‫א‪ .‬שרטט סקיצה של גרף פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום ‪. 0  x  9‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף‬ ‫הנגזרת )‪ f '(x‬ועל ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫בתחום ‪. 2  x  6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 1‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד א ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ . C(13;1) , B(3;1) , A(12;4) .‬ב‪ 15 .‬יח"ר‪ .‬ג‪. y   4 x  20 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ 15 .‬ס"מ‪ 21 ,‬ס"מ‪ .‬ב‪ 175 .‬קוביות‪.‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ 36 ( 2 ) . 0.25 ( 1 ) .‬תלמידים‪ .‬ב‪ 18 .‬תלמידים‪.‬‬ ‫‪SABC‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ 3 tan 2 .‬‬ ‫‪SEBC‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪.   90 .‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ . 2 ( 2 ) . (2a;4a) , (0;0) ( 1 ) .‬ב‪ (0;0) .‬מקסימום‪ (4;8) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫ג‪ .‬עלייה‪ x  4 :‬או ‪ , x  0‬ירידה‪ 2  x  4 :‬או ‪. 0  x  2‬‬ ‫‪ . 7‬א‪ . B(2;0.5) , A(2;2) .‬ב‪. 1.5 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪.‬‬ ‫)‪f '(x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪. 4 .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬