‫חדו"א למדעי המוח‬ ‫פתרון תרגיל ‪– 7‬רציפות ואסימפטוטות‬ ‫רציפות ‪1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪0  x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x)  4‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ x 8 3‬‬ ‫‪1 x  2‬‬ ‫‪ x 2  x  2‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫פתרון‪ :‬הנקודה אותה יש לבחון היא סביב ‪x  1‬‬ ‫לאחר הכפלה בצמוד נגלה ש ‪ , lim- f  x   4‬גבול השווה לגבול המתקבל בהצבת הנקודה ‪ x  1‬על פי הגדרת‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הפונקציה‪ .‬מצד ימין‪ ,‬לאחר פרוק המכנה לשורשים והכפלה בצמוד המונה נקבל‬ ‫‪9‬‬ ‫כלומר ‪ , lim- b  x   lim b  x ‬לכן אי‪-‬רציפות קפיצה (סוג ראשון)‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪lim f  x  ‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪4x   2x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 2x  2‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫פתרון‪ :‬כמובן שזו פונקציה לא רציפה מאחר והיא לא מוגדרת בנקודה ‪ . x  1‬נותר לבדוק איזו אי‪-‬רציפות‪ .‬נפרק‬ ‫הפונקציה למקרים השונים על פי הערך המוחלט‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 4x   2x‬‬ ‫‪ 4 x3  4 x 2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2x  2‬‬ ‫‪ 2 2x  2‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2  2 x‬‬ ‫‪ 2 2  2x‬‬ ‫‪ 2x2  2x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 2x  2‬‬ ‫‪  2‬‬ ‫‪ 2x  2x  2‬‬ ‫‪ 2 2  2 x‬‬ ‫‪ x2 2x  2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x 2 x  2 x  1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כעת נותר רק לבדוק מהו הגבול ב‪ 1-‬משני הגבולות החד‪-‬צדדיים מאחר ואין בעיה להציב את הערך‪ .‬הגבול יוצא ‪0‬‬ ‫בשני הגבולות אך לא מוגדר בנקודה עצמה ולכן אי‪-‬רציפות סליקה‪.‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x )  0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  2 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון‪ :‬הפונקציה מוגדרת עבור כל ‪ x‬ולכן נבדוק רק את ‪.x=0‬‬ ‫‪x3  x 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim x 2  x  0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (0)  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  2 x 1  20‬‬ ‫הגבולות החד צדדיים שווים לערך הפונקציה בנקודה ולכן היא רציפה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬ ‫‪ x  3  2e1 x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6x 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 6 6 x 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫פתרון‪ :‬הנקודה אותה יש לבחון היא סביב ‪. x  1‬‬ ‫מצד שמאל‪ ,‬ע"י הצבה נקבל ש ‪. lim- f  x   0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪- 1‬‬ ‫מצד ימין נקבל‪ 6 0  6-  0 :‬‬ ‫‪- 1‬‬ ‫‪6 x 6‬‬ ‫‪ lim 6‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim f  x   lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪6 6 x 6‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫קיבלנו ש ‪ , lim- f  x   lim f  x   lim f  x   0‬כלומר הפונקציה רציפה‪.‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪x 7 3‬‬ ‫‪x2  4‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ‪ x  7‬וגם ‪ x  2‬ולכן נבדוק ‪ 3‬נקודות אלו‪.‬‬ ‫עבור ‪ x=-7‬הפונקציה מוגדרת אך אין לה גבול שמאלי (לא מוגדרת משמאל לנקודה) ולכן זו נקודת אי‬ ‫רציפות מהסוג השני (עיקרית)‬ ‫עבור שתי הנקודות האחרות נפתח את הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x 7 3‬‬ ‫‪x79‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x 4‬‬ ‫‪ x  2  x  2  x  7  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x7 3‬‬ ‫‪ x  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x7 3‬‬ ‫‪ x  2  x  2  ‬‬ ‫כעת נבדוק את הגבולות בשני הערכים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4  6 24‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪27 3‬‬ ‫‪ 2  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x7 3‬‬ ‫הגבולות החד צדדיים שווים אך הנקודה ‪ x=2‬לא מוגדרת ולכן זוהי נק' אי רציפות סליקה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  2 ‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  7  3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2  7  3‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x7 3‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x7 3‬‬ ‫‪ x  2 ‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ x  2 ‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪lim f ( x) ‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫הגבולות החד צדדיים אינסופיים ולכן זוהי נק' אי רציפות מסוג שני (עיקרית)‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 x2  9‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x)   x3  4 x 2  9 1  x  3‬‬ ‫)‪ 18( x  1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ x  x6‬‬ ‫פתרון‪ :‬תחום ההגדרה הוא ‪ x  2‬ולכן נבדוק נקודה זו וכן את נקודות התפר ‪.x=1,3‬‬ ‫‪lim x3  4 x 2  9  1  4  9  6‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪18  x  1‬‬ ‫‪lim f ( x) ‬‬ ‫‪18  2 36‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x 1 x  x  6‬‬ ‫‪1  1  6 6‬‬ ‫הגבולות החד צדדיים שווים וכן שווים לערך בנקודה (‪ )f(1) = 6‬לכן הפונקציה רציפה בנקודה זו‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪lim 2 x 2  9  2  9  9  3‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪lim x  4 x 2  9  27  4  9  9  0‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪lim f ( x) ‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫‪x 3‬‬ ‫גבולות חד צדדיים שונים וסופיים ולכן זו נקודת אי רציפות קפיצה (סוג ראשון)‬ ‫)‪18( x  1‬‬ ‫)‪18  (1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪( x  2)( x  3) 0 (2  3‬‬ ‫)‪18( x  1‬‬ ‫)‪18( x  1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2 x 2  x  6‬‬ ‫)‪x 2 ( x  2)( x  3‬‬ ‫)‪18( x  1‬‬ ‫)‪18  (1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫)‪x 2 ( x  2)( x  3‬‬ ‫)‪0 (2  3‬‬ ‫גבולות חד צדדיים אינסופיים ולכן זו נקודת אי רציפות עיקרית (סוג שני)‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪3‬‬ .3 ‫אסימפטוטות‬ f ( x)  3x  5 x7 2 x7 :‫ה‬.‫ ת‬.1 3x 2  5 3  49  5 lim    x 7  x  7 7 7 3x 2  5 3  49  5 lim     x 7 x7 7 7 .‫ לאינסוף מימין ולמינוס אינסוף משמאל‬x=7 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ f ( x) 3x  5 3x 2  5 a  lim  lim  lim 2  3 )‫(לפי חוק חלוקת פולינומים‬ x  x  x( x  7) x  x  7 x x 2  3x 2  5  3x 2  5  3 x 2  21x b  lim [ f ( x)  ax]  lim   3 x   lim x  x  x7  x7  x  )‫(לפי חוק חלוקת פולינומים‬ 21x  5  lim  21 x  x  7 ±∞ ‫ ב‬y=3x+21 ‫אסימפטוטה משופעת ב‬ 4 f ( x)  x3 x2 1 x  1 :‫ה‬.‫ ת‬.2 x3 1   2 x  1 1 2  1 lim   x 1 x3 1 lim 2    2  x 1 x  1 1 1   .‫ לאינסוף מימין ולמינוס אינסוף משמאל‬x=1 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ lim x 1   x  1 1 2  1 lim x3 1    2 x  1 1 2  1 3 x 1 x 1 2     .‫ לאינסוף מימין ולמינוס אינסוף משמאל‬x=-1 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ f ( x) x x3 a  lim  lim  lim 1 x  x  x( x 2  1) x  x 3  x x 3  x3  x3  x3  x b  lim [ f ( x)  ax]  lim  2  x   lim 2 x  x  x  1   x x  1 x  lim 2 0 x  x  1 ±∞ ‫ ב‬y=x ‫אסימפטוטה משופעת ב‬ f ( x)  10 x x2  1 x  R :‫ה‬.‫ ת‬.3 .‫אין אסימפטוטות אנכיות‬ a  lim x  f ( x) 10 x 10  lim  lim 0 x  x x x 2  1 x x 2  1 b  lim [ f ( x)  ax]  lim x  x  10 x x2  1 f ( x)  10  lim 0  x  x2  10 x2  1 x2  10 x  x2  1 ‫ במינוס אינסוף‬y=-10 ‫ וב‬,‫ באינסוף‬y=10 ‫אסימפטוטה אופקית ב‬ 10  lim  4  x2  x  2  2 x  3 4  x2 (2  x)(2  x) (2  x) 4  lim  lim   4 x 2  x  2  2 x  3 x 2  x  2  2 x  3 x 2  2 x  3   4  3 lim 5 x  2, x  1.5 :‫ה‬.‫ ת‬.4 x=2 ‫לא קיימת אסימפטוטה ב‬  2 lim 4  (1.5 )   0.5 0 lim 4  (1.5 ) 2  0.5 0   x 1.5 4  x2 lim  x 1.5  x  2  2 x  3  x 1.5   .‫ למינוס אינסוף מימין ולאינסוף משמאל‬x=1.5 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ a  lim x  f ( x) 4  x2  lim  0 )‫(לפי חוק חלוקת פולינומים‬ x  x  x  2  2 x  3 x 4  x2 1  0   )‫(לפי חוק חלוקת פולינומים‬ x   x  2  2 x  3 2 ±∞ ‫ ב‬y=-0.5 ‫אסימפטוטה אופקית ב‬ b  lim [ f ( x)  ax]  lim x  f ( x)  e lim f ( x)  x 0 1 x 1 0 1 x 1 0 lim e  e x  0 :‫ה‬.‫ ת‬.5  e   x 0 lim e  e 1 x  e   0 x 0 .‫ לאינסוף מימין‬x=0 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ a  lim x  1 x 1  f ( x) e e e0 1  lim    0 x  x x    1 x b  lim [ f ( x)  ax]  lim e  0  e x  1  x   e0  1 ±∞ ‫ ב‬y=1 ‫אסימפטוטה אופקית ב‬  x 1  f ( x)     x 1  x 1 x  1 :‫ה‬.‫ ת‬.6  x 1   2  lim       x 1  x  1  0  3 lim f ( x)  3 3  x 1   2  lim         x 1  x  1  0  .‫ לאינסוף מימין ולמינוס אינסוף משמאל‬x=1 ‫אסימפטוטה אנכית ב‬ 3 3  x  1  0 f ( x) a  lim  lim 3 x  x  x x  x  1 3  x 1  b  lim [ f ( x)  ax]  lim   0 1 x  x  x  1   3 ±∞ ‫ ב‬y=1 ‫אסימפטוטה אופקית ב‬ 6 ‫כיוון שידוע שקיימת אסימפטוטה אופקית ‪ y=4‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ax  x‬‬ ‫‪0  4‬‬ ‫‪x  2 x 3  x  6‬‬ ‫לפי כלל חלוקת פולינומים הגבול באינסוף יהיה שווה למנת המקדמים ולכן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪b  lim [ f ( x)  ax]  lim‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 8‬‬ ‫‪7‬‬