‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬ ‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬ ‫תשע"ב סמסטר א'‬ ‫מבחן מועד א'‬ ‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪ 3 ,‬עמודים מצולמים מספר אינטגרלים‪.‬‬ ‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬ ‫‪ .1‬חלקיק בעל מסה ‪ m‬נע במסלול מעגלי ואופקי‪ ,‬ללא חיכוך‪ ,‬בתוך חרוט‪.‬‬ ‫הקונוס מוצב אנכית‪ ,‬כמו בציור‪ .‬כוח הכבידה של כדור הארץ מאונך למשטח‬ ‫שעליו מוצב הקונוס הנ"ל‪ .‬המהירות המשיקית של החלקיק היא ‪.v0‬‬ ‫)‪(30%‬‬ ‫א‪ .‬ציירו את דיאגרמת הכוחות הפועלים על החלקיק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את רדיוס המסלול‪ ,‬כאשר ‪ ‬ו‪ v0 -‬נתונים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬רשמו את התשובה המספרית לסע' ב'‪ ,‬אם נתון‪.=30o ,v0=1m/s :‬‬ ‫‪ .2‬גוף בעל מסה ‪ M‬מחליק ממנוחה מראש משטח חצי‪-‬כדורי‪ .‬החיכוך בין הגוף למשטח איננו זניח‪ .‬המערכת‬ ‫נמצאת תחת השפעת הכבידה של כדור הארץ )‪.(g=9.8 m/s2‬‬ ‫כאשר הזווית ‪) ‬ראה ציור( מגיעה ל‪ ,30o -‬הגוף מתנתק מהמשטח החצי‪-‬כדורי‪.‬‬ ‫)‪(25%‬‬ ‫א‪ .‬בטאו את הכוח השקול הפועל על הגוף )לפני ההינתקות( דרך הכוח הנורמלי ‪ ,N‬מקדם החיכוך ‪ ,‬הזווית‬ ‫‪ ‬ווקטורי היחידה‪ .‬יש להשתמש בקואורדינאטות פולאריות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהו גודלו של הכוח הנורמלי ‪ ,N‬בעת ההינתקות של הגוף מהמשטח?‬ ‫ג‪ .‬מהי העבודה הכוללת ‪ W‬שביצע כוח החיכוך ?‬ ‫ד‪ .‬מהי התשובה המספרית לסעיף הקודם אם ‪ R=1m‬ו‪?m=1kg -‬‬ ‫רמז‪ :‬שימו לב! אתם נשאלים בסע' ג'‪-‬ד' על העבודה הכוללת ‪ ,W‬בלבד‪ .‬מקדם החיכוך איננו נתון בבעיה והוא‬ ‫איננו בהכרח קבוע לאורך המסלול‪.‬‬ ‫)המשך המבחן מעברו השני של הדף(‬ ‫)‪(25%‬‬ ‫‪ .3‬בהתחלה‪ ,‬עגלה עם חול‪ ,‬בעלת מסה ‪) M‬כולל החול שבתוכה( נמצאת במנוחה‪.‬‬ ‫בזמן ‪ t=0‬מתחילים להזרים לתוך העגלה חול מתוך משפך המוצב על‪-‬גבי הקרקע;‬ ‫קצב הזרמת החול הוא ‪.b‬‬ ‫במקביל‪ ,‬בזמן ‪ ,t=0‬מתחילים להזרים חול החוצה מתוך העגלה )ראה ציור(‪,‬‬ ‫באותו הקצב כנ"ל‪ .b ,‬בו בזמן‪ ,‬מתחילים לדחוף את הקרונית בכוח ‪.F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫א‪ .‬מהי מהירות הקרונית בזמן ‪? t‬‬ ‫ב‪ .‬רשמו את התשובה המספרית לסע' ב'‪ ,‬אם נתון‪.t=2s ,F=1N ,M=5kg ,b=2 kg/s :‬‬ ‫ג‪ .‬מה תהיה מהירות הקרונית כאשר ∞→‪? t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .4‬גוף בעל מסה ‪ m‬נע לאורך מסלול סגור בנוכחות כוח משיכה מרכזי ˆ‪ , F  kr 3 r‬כאשר ‪ k‬הוא קבוע‬ ‫נתון‪ .‬התנע הזוויתי של הגוף הוא ‪.L‬‬ ‫א‪ .‬בטאו את האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף‪.U(r) ,‬‬ ‫)‪(20%‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ :‬מסלול התנועה של גוף זה מתקרב אל ראשית הצירים עד מרחק ‪ .r0‬מרחקו המכסימאלי מהראשית‬ ‫הוא ‪ .2r0‬מצאו את ‪ ,r0‬אם ‪ ,k ,L‬ומסת הגוף ‪ m‬ידועים‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬מומלץ )כמו בפתרון בעיית קפלר‪ ,‬שהוצג בהרצאה( להגדיר אנרגיה אפקטיבית )‪ .Ueff(r‬זה יאפשר‬ ‫להציג את האנרגיה הכוללת באותה צורה כמו במערכת חד‪-‬ממדית‪ .‬התנע הזוויתי ‪ L‬צריך להופיע במקום‬ ‫‪.d/dt‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את ערכו המספרי של ‪ ,r0‬אם ‪ ,L=1 kg m2/s ,k=0.01 N/m3‬ומסת הגוף ‪.m=1kg‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫דף משוואות‬  A 2  B 2  2 AB cos  C2 xˆ   A  B  Ax Bx yˆ :‫משפט קוסינוסים‬ zˆ Ay By :‫מכפלה ווקטורית‬ Az  Bz  Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ rˆ  ˆ :‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ :‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ ˆ   rˆ  r  rrˆ  rˆ :‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬  2 :‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬ r  r  r rˆ  2r  r ˆ x (t )  f ( t ) g ( t ) x t   f t g t   f t g t  : ‫כללי גזירה‬ x (t )  f ( g (t )) x t   f  g t g t   Gm1 m2 :‫כוח משיכה‬ G=6.6710-11 Nm2/kg2 F Rˆ12 2 R12     kq q F   12 2 Rˆ12 R12 k=9109 Nm2/C2    dP F  ma  dt dL/dt = :‫שימור תנע‬  = r×F =c/a ,r0=b2/a .r  r0 1   cos  r0    U U  F   xˆ  yˆ   x  y    :‫כוח קולון‬ :‫חוק השני של ניוטון‬ L=mr×v :‫תנע זוויתי‬ :(‫משוואת האליפסה )אחד המוקדים בראשית הצירים‬ 2 EL2 L2 2 ,  1   GMm 2 G 2 M 2 m3 :‫בתנועה קפלרית‬ b   1 2 1 2 mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬ 2 2 a