‫מדינת ישראל‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬ ‫‪035006‬‬ ‫הצעת תשובות לשאלות בחינת הבגרות‬ ‫מתמטיקה‬ ‫שאלון ו'‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שעתיים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שני פרקים‪.‬‬ ‫פרק ראשון‬ ‫—‬ ‫אלגברה‬ ‫פרק שני‬ ‫—‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪,‬‬ ‫טריגונומטריה‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3 #1‬‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫‪2‬‬ ‫‪33 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫‪ 66 3‬נקודות‬ ‫סה"כ‬ ‫—‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות‪- 2 -‬‬ ‫הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו הוא מ־ ‪ A‬ל־ ‪. B‬‬ ‫רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9:00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪ , B‬והיא נישאה על גבי הזרם של הנהר‬ ‫כך שמהירות הרפסודה היא מהירות הזרם‪.‬‬ ‫באותה שעה הפליגה סירה מנמל ‪( B‬נגד כיוון הזרם) לכיוון נמל ‪. A‬‬ ‫מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬ ‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬ ‫ידוע כי הרפסודה והסירה יגיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬ ‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬ ‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9:00‬בערב באותו היום? נמק‪.‬‬ ‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫דרך (ק"מ)‬ ‫מהירות (קמ"ש)‬ ‫זמן (שעות)‬ ‫‪v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫סירה נגד הזרם‬ ‫‪15 - v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪15 - v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫סירה עם הזרם‬ ‫‪15 + v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪15 + v‬‬ ‫‪S‬‬ ‫רפסודה‬ ‫הרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪ B‬באותו הזמן‪ ,‬לכן‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪v 15 - v 15 + v‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v2 + 30v - 152 = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 6.21‬קמ"ש ‪v .‬‬ ‫הדרך שהרפסודה עוברת עד הפגישה‪:‬‬ ‫הדרך שהסירה עוברת עד הפגישה‪:‬‬ ‫‪5$v‬‬ ‫)‪5 (15 - v‬‬ ‫‪ 75‬ק"מ = )‪S = 5v + 5 (15 - v‬‬ ‫לכן הדרך מ־ ‪ A‬ל־ ‪ B‬היא‪:‬‬ ‫הזמן שהרפסודה והסירה יגיעו ל־ ‪: B‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪ 12.08‬שעות = ‪v = 6.21‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 12‬שעות ‪ 12.082‬שעות‪ ,‬לכן לא יספיקו להגיע עד ‪ 9:00‬בערב‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9:00‬בערב באותו היום? נמק‪.‬‬ ‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-3‬‬‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪:‬‬ ‫)‪9 + 27 + 81 + ... + 3 3n + 1 = 4.5 (27 n - 1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא נוסחה (המובעת באמצעות ‪ ) n‬לסכום‪:‬‬ ‫‪9 + 27 + 81 + ... + 33n + 1 + ... + 33n + 7‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫אגף שמאל‪9 + 27 + 81 = 117 :‬‬ ‫בדיקה עבור ‪: n = 1‬‬ ‫אגף ימין‪4.5 (27 - 1) = 117 :‬‬ ‫נניח כי הטענה נכונה‬ ‫עבור ‪ k‬טבעי כלשהו‪:‬‬ ‫נוכיח כי הטענה נכונה עבור ‪, k + 1‬‬ ‫כלומר צ"ל‪:‬‬ ‫)‪9 + 27 + 81 + ... + 33k + 1 = 4.5 (27 k - 1‬‬ ‫)‪32 + 33 + 3 4 + ... + 33k + 1 + 33k + 2 + 33k + 3 + 33k + 4 = 4.5 (27 k + 1 - 1‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מהנחת האינדוקציה נובע‪:‬‬ ‫= ‪32 + 33 + 3 4 + ... + 33k + 1 + 33k + 2 + 33k + 3 + 33k + 4‬‬ ‫= ‪= 4.5 (27 k - 1) + 33k + 2 + 33k + 3 + 33k + 4‬‬ ‫= )‪= 4.5 (27 k - 1) + 33k (32 + 33 + 3 4‬‬ ‫מצאנו כי )‪ , (32 + 33 + 3 4) = 4.5 (27 - 1‬לכן‪:‬‬ ‫)‪= 4.5 (27 k - 1) + 27 k $ 4.5 (27 - 1) = 4.5 (27 k + 1 - 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לכן הטענה נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-4‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הנוסחה לסכום בסעיף א נכונה לכל ‪ n‬טבעי‪ ,‬לכן יש למצוא מספר טבעי ‪ , N‬המובע באמצעות ‪ , n‬שיש להציב בנוסחה‪.‬‬ ‫‪3n + 7 = 3N + 1‬‬ ‫צריך להתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪N=n+2‬‬ ‫נציב ‪ n + 2‬בנוסחה שבסעיף א ונקבל‪:‬‬ ‫)‪9 + 27 + 81 + ... + 33n + 1 + ... + 33n + 7 = 4.5 (27 n + 2 - 1‬‬ ‫דרך אחרת‬ ‫הסכום המבוקש הוא סכום של ‪ N‬איברים‬ ‫בסדרה הנדסית שבה‪:‬‬ ‫‪q = 3 , a1 = 9 , a N = 33n + 7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫האיבר האחרון בסדרה‪:‬‬ ‫‪aN = 9 $ 3N - 1 = 3N + 1‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪N + 1 = 3n + 7‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪N = 3n + 6‬‬ ‫סכום ‪ 3n + 6‬איברים בסדרה ההנדסית הוא‪:‬‬ ‫)‪9 (33n + 6 - 1‬‬ ‫‪3 -1‬‬ ‫= ‪S3n + 6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪S3n + 6 = 4.5 (27 n + 2 - 1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 9-7‬לכל שאלה — ‪ 16 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות‪- 5 -‬‬ ‫הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ a . f (x) = x2 + x - a‬הוא פרמטר גדול מ־ ‪. 1‬‬ ‫‪x -x+a‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את האסימפטוטות של )‪ f(x‬המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של )‪ , f(x‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫(הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪).‬‬ ‫(‪ )3‬ידוע כי גרף הפונקציה )‪ f(x‬חותך את ציר ה־ ‪ x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫בתחום ‪ , x # 0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f'(x‬על ידי הישר ‪x = - 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ועל ידי ציר ה־ ‪ , x‬שווה ל־ ‪. 2‬‬ ‫חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪( x‬מצא ערכים מספריים)‪.‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫אין אסימפטוטות מקבילות לציר ה־ ‪ , y‬כי הפונקציה רציפה לכל ‪. x‬‬ ‫‪y =1‬‬ ‫אסימפטוטה מקבילה לציר ה־ ‪: x‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫)‪(2x + 1) (x2 - x + a) - (x2 + x - a) (2x - 1‬‬ ‫‪(x2 - x + a) 2‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪- 2x2 + 4ax‬‬ ‫‪(x2 - x + a) 2‬‬ ‫‪x = 0 , x = 2a‬‬ ‫&‬ ‫‪x2 - 2ax = 0‬‬ ‫&‬ ‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 0‬היא‪:‬‬ ‫נגזרת המונה של )‪ f'(x‬בנקודה שבה ‪ x = 2a‬היא‪:‬‬ ‫מכאן‪ ,‬המינימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬ ‫המקסימום של )‪ f(x‬הוא בנקודה‪:‬‬ ‫= )‪f'(x‬‬ ‫‪f'(x) = 0‬‬ ‫‪(a 2 0) 4a 2 0‬‬ ‫‪(a 2 0) - 4a 1 0‬‬ ‫)‪(0 , - 1‬‬ ‫‪4a + 1‬‬ ‫)‪(2a , 4a - 1‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-6‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬יורדת בתחום ‪ , - 11 x # 0‬לכן בתחום זה‪:‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪f' (x)1 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 = - # f' (x) dx‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪2 = - 6f (x)@- 1 = - f (0) + f (- 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-a 1-1- a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 =- a + 1+1+ a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a=2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x2 + x - 2‬‬ ‫‪f (x) = 2‬‬ ‫‪x -x+2‬‬ ‫‪x2 + x - 2 = 0‬‬ ‫&‬ ‫‪f (x) = 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נקודות החיתוך של )‪ f(x‬עם ציר ה־ ‪:x‬‬ ‫)‪(- 2 , 0) , (1 , 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/7‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-7‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ +‬נספח שאלה ‪4‬‬ ‫‪-7-‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫במשולש שווה־שוקיים ‪ ) AB = AC ( ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬ ‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬ ‫סמן ‪ , B BAC = 2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, B BAC‬‬ ‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של הפונקציה )‪ f(x‬בקטע‬ ‫תשובה ‪1 x 1 2‬‬ ‫לשאלה‪.41‬‬ ‫על פי הנתונים מוצאים‪:‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪ 1.43‬מתקיים‪:‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪DBE‬‬ ‫‪1.36‬‬ ‫‪1.28‬‬ ‫‪1.19‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪BDBC = x‬‬ ‫‪DE‬‬ ‫‪BD = sin x‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫במשולש ישר־הזווית ‪ ABD‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‬ ‫זה‪b = sin (2x.‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות בקטע‬ ‫‪L (x) = b sin (2x) $ sin x‬‬ ‫פונקציית‬ ‫נתון‬ ‫השנייה )‪ f''(x‬שלילית בקטע הנתון‪.‬‬ ‫הנגזרתהוא‪:‬‬ ‫הקטע ‪DE‬‬ ‫מכאןכיאורך‬ ‫‪0‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫נמק‪L' (x) = b $ 2 cos (2x).‬‬ ‫נכונה‪$ sin.‬‬ ‫‪x + b fsin‬‬ ‫‪(2x) 1‬‬ ‫קבע אם הטענה )‪cosf x'(1.2) 1 f '(1.1‬‬ ‫)‪'(1.3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ g (x) = f (x‬בקטע ‪. 11 x 1 2‬‬ ‫)‪L' (x) = 2b sin x (cos (2x) + cos2 x) = 2b sin x (3 cos2 x - 1‬‬ ‫ג‪ .‬בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪( g(x‬אם יש כאלה)‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫מאחר ש־ ‪ sin x ! 0‬כי ‪ x‬זווית במשולש‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫‪L' (x) = 0 & 3 cos2 x - 1 = 0‬‬ ‫ד‪ .‬הראה כי בתחום ‪ 1.1# x #1.3‬אין פתרון למשוואה )‪. g' (x) = f' (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ , cos x !-‬כי ‪ x‬זווית‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫במשולש ישר־זווית ‪ , DBE‬לכן‪:‬‬ ‫‪BBAC = 109.46 o‬‬ ‫בדיקת מקסימום‪:‬‬ ‫&‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x = 54.73 o‬‬ ‫בהצלחה!‪54.73 o‬‬ ‫‪58 o‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‪0.76b‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.77b‬‬ ‫‪50 o‬‬ ‫‪0.75b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪L (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/8‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-8‬‬‫מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪316 ,035806‬‬ ‫‪ +‬נספח שאלה ‪5‬‬ ‫‪-5‬‬‫‪.6‬‬ ‫שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים מבפנים בנקודה ‪. A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫נקודה ‪ F‬נמצאת על המעגל הגדול כך שקטע המרכזים‬ ‫של שני המעגלים נמצא על ‪. AF‬‬ ‫‪ AF‬חותך את המעגל הקטן בנקודה ‪. E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן העבירו ישר המקביל‬ ‫‪C‬‬ ‫למשיק המשותף לשני המעגלים‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫המקביל חותך את המעגל הגדול בנקודה ‪( C‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬ ‫‪A‬‬ ‫נתון‪. B FAB = b , B BAC = a :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את ‪ . B BCA‬נמק‪.‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫(‪ )2‬הבע רק באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. AB‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ a‬ו־ ‪ b‬את היחס ‪. r‬‬ ‫תשובה לשאלה ‪5‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪)1‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪CK z AL‬‬ ‫‪B FAL = 90 o‬‬ ‫‪F‬‬ ‫כי הקוטר ‪FA‬‬ ‫בנקודה ‪A‬‬ ‫בעמוד ‪/6‬‬ ‫מאונך למשיק‪/‬המשך‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪B CKA = 90 o‬‬ ‫‪0‬‬ ‫במשולש ‪KCA‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫זוויות חד־צדדיות‬ ‫משלימות ל־ ‪180 o‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫)‪B KCA = 90 o - (b + a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪b a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫(‪)2‬‬ ‫לפי משפט הסינוסים במשולש ‪ ABC‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪o‬‬ ‫)‪sin 690 o - (b + a)@ sin (90 + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫)‪AB = cos (a + b‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/9‬‬ ‫פתרון‪ ,‬מתמטיקה‪ ,‬חורף תשע"ד‪ ,‬מס' ‪035006‬‬ ‫‪-9‬‬‫המשך תשובה לשאלה ‪.5‬‬ ‫‪B FCA = 90 o , B EBA = 90 o‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לכן במשולש ‪ EBA‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪AB = 2r cos b‬‬ ‫ובמשולש ‪ FCA‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪AC = 2R cos (a + b‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫)‪AC R cos (a + b‬‬ ‫= ‪AB‬‬ ‫‪r cos b‬‬ ‫בסעיף א מצאנו‪:‬‬ ‫זוויות היקפיות הנשענות על קוטר‬ ‫‪cos b‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫)‪AB = cos (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫)‪R cos (a + b‬‬ ‫‪cos b‬‬ ‫=‬ ‫‪r cos b‬‬ ‫)‪cos (a + b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪cos2 b‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫‪r‬‬ ‫)‪cos2 (a + b‬‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬