‫פרק ‪ - 4‬טורי פונקציות‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫הטורים שראינו עד פרק זה‪ ,‬היו טורי מספרים בלבד מהצורה‬ ‫‪.‬‬ ‫נגדיר מושג חדש‪ ,‬טור של פונקציות המורכב מסדרה של פונקציות 𝑛𝑓 ‪ 𝑓1 , 𝑓2 , … ,‬המוגדרות‬ ‫בתחום משותף 𝐷‪ .‬עבור 𝐷 ∈ 𝑥 מתקבלת סדרת המספרים‪:‬‬ ‫עבור סדרה זו מגדירים טור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑥‬ ‫הנקרא טור פונקציות‪.‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫אם הטור מתכנס נסמן‪𝑥 = 𝑆(𝑥) :‬‬ ‫𝑥 𝑛𝑓 ‪.𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … ,‬‬ ‫‪ .‬עבור כל 𝑥 עבורו טור המספרים המתאים מתכנס ל‪-‬‬ ‫)𝑥(𝑆‪ ,‬נאמר כי 𝑥 זה שייך לתחום ההתכנסות‪.‬‬ ‫𝑥‬ ‫הפונקציה )𝑥(𝑆 היא סכום הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫עבור כל 𝑥 בתחום ההתכנסות והיא נקראת‬ ‫הפונקציה הגבולית או הסכום של הטור‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נתונה סדרה הפונקציות הבאה‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫⋯‪+‬‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥‬ ‫התחום המשותף של הפונקציות‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ ⋯+‬‬ ‫𝑛 𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥 𝑛𝑓‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫= 𝑥 𝑛𝑓 לכל ‪ 𝑛 ≥ 1‬הוא‪.𝐷 = 𝑥|𝑥 > 0 :‬‬ ‫נמצא את תחום ההתכנסות של הטור ואת סכום הטור )𝑥(𝑆‪:‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫הטור‬ ‫𝑛‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫הוא טור הנדסי כאשר 𝑥 ‪ ,𝑞 = ln‬ולכן הטור מתכנס לכל ‪.−1 < ln 𝑥 < 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כלומר הטור מתכנס לכל 𝑒 < 𝑥 < ‪.‬‬ ‫𝑒‬ ‫נחשב את סכום הטור )𝑥(𝑆‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥 ‪𝑥 1 − ln‬‬ ‫∞‬ ‫=‬ ‫𝑛‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑛‬ ‫=‬ ‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥 𝑆‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫תרגילים‬ ‫בכל אחד מטורי הפונקציות הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את התחום המשותף‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 1+𝑥 2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫𝑛 𝑥 ‪sin‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪3𝑥 4‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛 ‪𝑛=1 1+𝑥 4‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את תחום ההתכנסות‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את סכום הטור )𝑥(𝑆‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ .1‬א‪ .‬כל 𝑥‬ ‫ב‪ .‬כל 𝑥‬ ‫‪0 𝑥=0‬‬ ‫= 𝑥 𝑆‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1 𝑥≠0‬‬ ‫א‪𝑥 ≠ 0 .‬‬ ‫𝑘𝜋‪𝑥 ≠ + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝜋‬ ‫ב‪𝑥 ≠ − + 2𝜋𝑘 .‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥≠0‬‬ ‫לכל ‪𝑘 ∈ ℤ‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫𝑥 ‪sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪1−sin‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫א‪ .‬כל 𝑥‬ ‫ב‪ .‬כל 𝑥‬ ‫‪0 𝑥=0‬‬ ‫= 𝑥 𝑆‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪3 𝑥≠0‬‬ ‫= 𝑥 𝑆‬ ‫הגדרה – התכנסות במידה שווה‬ ‫תהי‬ ‫סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷‪ ,‬ותהי 𝑓 פונקציה במוגדרת בקטע זה‪.‬‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫הסדרה‬ ‫מתכנסת לפונקציה 𝑓 במידה שווה בקטע 𝐷 אם ורק אם לכל ‪ 𝜀 > 0‬קיים מספר‬ ‫טבעי 𝑁 כל שלכל 𝑁 > 𝑛 מתקיים‪𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓(𝑥) < 𝜀 :‬‬ ‫משפט – משפט ה‪ 𝐌 -‬של ווינשטראס (תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה)‬ ‫תהי‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫סדרה של פונקציות המוגדרות בתחום 𝐷‪ .‬נניח כי‬ ‫המקיימת‪ 𝑓𝑛 (𝑥) ≤ 𝑎𝑛 :‬לכל ‪ 𝑛 ∈ ℕ‬ולכל 𝐷 ∈ 𝑥‪ ,‬והטור‬ ‫א‪ .‬לכל 𝐷 ∈ 𝑥 הטור‬ ‫ב‪ .‬הטור‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑥‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫𝑛𝑎‬ ‫סדרה של מספרים‬ ‫מתכנס אזי‪:‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫מתכנס במידה שווה‪.‬‬ ‫דוגמא‬ ‫נראה כי הטור‬ ‫) 𝑥𝑛( ‪∞ arctan‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛5‬‬ ‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות‬ ‫) 𝑥𝑛( ‪arctan‬‬ ‫‪𝑛5‬‬ ‫= 𝑛𝑓 הוא כל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬מתקיים‪:‬‬ ‫)𝑥𝑛(‪arctan‬‬ ‫)𝑥𝑛(‪arctan‬‬ ‫‪𝜋 1‬‬ ‫≤‬ ‫≤‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫𝑛‬ ‫𝑛‬ ‫‪2 𝑛5‬‬ ‫הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 5‬‬ ‫𝜋‬ ‫‪2‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬ ‫) 𝑥𝑛( ‪∞ arctan‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛5‬‬ ‫מתכנס‬ ‫במידה שווה‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫משפט‬ ‫תהי‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫סדרה של פונקציות רציפות בתחום 𝐷‪ ,‬והטור‬ ‫מתכנס במידה שווה‬ ‫לפונקציה 𝑆‪ ,‬אזי הפונקציה 𝑆 פונקציה רציפה בתחום 𝐷‪.‬‬ ‫תרגילים‬ ‫לגבי כל אחד מהטורים בתרגיל הקודם‪ ,‬קבע האם הוא מתכנס במידה שווה או לא‪ ,‬ונמק‪.‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ .1‬לא‬ ‫‪ .2‬כן‬ ‫‪ .3‬לא‬ ‫משפט – אינטגרציה איבר איבר‬ ‫תהי‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫סדרה של פונקציות אינטגרביליות בקטע ]𝑏 ‪ [𝑎,‬והטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס במידה שווה‬ ‫לסכום )𝑥(𝑆‪ ,‬אזי הפונקציה )𝑥(𝑆 אינטגרבילית בקטע ]𝑏 ‪ [𝑎,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫∞‬ ‫𝑏‬ ‫𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓‬ ‫𝑎 ‪𝑛=1‬‬ ‫∞‬ ‫= 𝑥𝑑 )𝑥( 𝑛𝑓‬ ‫𝑏‬ ‫‪𝑎 𝑛=1‬‬ ‫משפט – גזירה איבר איבר‬ ‫תהי‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫סדרה של פונקציות גזירות בקטע 𝐼 המתכנס לפונקציה 𝑆‪ ,‬כלומר )𝑥(𝑆 = 𝑥‬ ‫לכל 𝐼 ∈ 𝑥‪ .‬נניח כי הפונקציות‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫גזירות בקטע 𝐼 וטור הנגזרות מתכנס במידה שווה‬ ‫בקטע 𝐼‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬הטור‬ ‫∞‬ ‫𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס במידה שווה בקטע 𝐼‬ ‫‪ .2‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‬ ‫)𝑥( ‪𝑓𝑛′‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫∞‬ ‫)𝑥( 𝑛𝑓‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫דוגמא‬ ‫עבור הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫נראה כי הוא מתכנס במידה שווה לכל ‪ 𝑥 ∈ ℝ‬ונבדוק האם ניתן לבצע‬ ‫גזירה איבר איבר‪.‬‬ ‫התחום המשותף 𝐷 לכל הפונקציות‬ ‫)𝑥 ‪sin (𝑛 2‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛4‬‬ ‫הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬ ‫≤‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫שווה לכל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬נסמן‪:‬‬ ‫הטור‬ ‫≤‬ ‫= 𝑛𝑓 הוא כל ‪ .𝑥 ∈ ℝ‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫מתכנס במידה‬ ‫= 𝑥 𝑆‪.‬‬ ‫הוא טור מתכנס במידה שווה של פונקציות גזירות לכל ‪ ,𝑥 ∈ ℝ‬ולכן ניתן‬ ‫לבצע גזירה איבר איבר‪:‬‬ ‫‪cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛)𝑥 𝑛( ‪∞ cos‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫∞‬ ‫=‬ ‫הטור‬ ‫∞‬ ‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫)𝑥 ‪sin(𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫= 𝑥 𝑆‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫הוא טור הנגזרות‪ .‬נראה כי הוא מתכנס במידה שווה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1 𝑛 2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫∞‬ ‫‪′‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8‬‬ ‫≤‬ ‫‪𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫≤‬ ‫‪cos(𝑛2 𝑥) 𝑛2‬‬ ‫‪𝑛8 + 1‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן ע"פ משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס‪ ,‬הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑛)𝑥 𝑛( ‪∞ cos‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫מתכנס‬ ‫במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫קיבלנו‪:‬‬ ‫א‪ .‬הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציות‬ ‫𝑛𝑓‬ ‫ג‪ .‬טור הנגזרות‬ ‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫גזירות לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫‪cos (𝑛 2 𝑥)𝑛 2‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫∞‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫מתכנס במידה שווה לכל ‪.𝑥 ∈ ℝ‬‬ ‫ולכן ע"פ משפט גזירה איבר איבר ניתן לבצע גזירה איבר איבר בטור‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)𝑥 𝑛( ‪∞ sin‬‬ ‫‪𝑛=1‬‬ ‫‪𝑛 8 +1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫‪ .1‬מציאת התחום המשותף של סדרת פונקציות‬ ‫הקטן ביותר של 𝑛 הפונקציות בסדרה‪.‬‬ ‫𝑥 𝑛𝑓 הוא תחום ההגדרה המשותף‬ ‫‪ .2‬חישוב הסכום 𝑥 𝑆 אפשרי רק כאשר ניתן לחשב את סכום טור המספרים‬ ‫המתקבל עבור כל ערך של 𝑥‪( .‬טור הנדסי או טור טלסקופי)‪.‬‬ ‫‪ .3‬משפט ה‪ 𝑀 -‬של ווינשטראס הוא תנאי מספיק להתכנסות במידה שווה של‬ ‫טור פונקציות‪ ,‬כלומר אם תנאיו מתקיימים אז הטור אכן מתכנס במידה‬ ‫שווה‪ ,‬אך אם תנאיו אינם מתקיימים אין זה מעיד על התכנסות או‬ ‫התבדרות טור הפונקציות‪.‬‬ ‫∞ גורר רציפות של‬ ‫‪ .4‬התכנסות במידה שווה של טור פונקציות )𝑥( 𝑛𝑓 ‪𝑛=1‬‬ ‫פונקציית הסכום )𝑥(𝑆‪ .‬תוצאה זו עוזרת להוכיח שטור פוקציות אינו‬ ‫מתכנס במידה שווה כאשר פונקציית הסכום )𝑥(𝑆 אינה רציפה‪.‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-5-290106‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪[email protected]‬‬