1. No category

ã''ñùú 'à øèñîñ
áéáà ìú úèéñøáéðåà
äéîåðåøèñàå ä÷éñéôì øôñä úéá
3 øôñî ìéâøú ïåøúô - 1 úéñàì÷ ä÷éñéô
.1
àéä ,ïåøãîì ìéá÷îá ,ãçà óåâë ãçé íãàäå úéðåø÷ä ìù äöåàúä .úéðåø÷ä íò òð íãàä ,êåëéç ÷éôñî ùé øùàë (à)
àåä äöåàúä ìù (äìòî éôìë éáåéç) z áéëø .g sin α
.az = −g sin α · sin α = −g sin2 α
z ïååéëá íãàä ìò úåçåëä øåáò ïåèåéð ìù éðùä ÷åçä éôì
,
N − mg
= az = −g sin2 α
m
éæà N úà íéàøî íééðæàîäù ïååéëå
.N = (1 − sin2 α)mg = mg cos2 α
(ïåøãîä êøåàì g sin α ìù x áéëø) úé÷ôåàä äöåàúä .é÷ôåàä ïååéëá òåðì íãàì íøåâä ãéçéä àåä êåëéçä çë (á)
àéä íãàä ìù
.
f
1
= ax = g sin α cos α = g sin 2α
m
2
ïëìå | f | ≤ µN éèèñ êåëéç øåáò éë íéòãåé åðà
f
.µ ≥ = tan α
N
êë ìùá .x ïååéëá úåðåù êà ,úååù z ïååéëá úéðåø÷äå íãàä ìù úåöåàúä ,úéðåø÷ì íãàä ïéá êåëéç ïéà øùàë (â)
.x ïååéëá àì êà ,z ïååéëá úåçåë øåáò ãçà óåâë úéðåø÷äå íãàä ìà ñçééúäì ïúéð ,úåçåë úåàååùî íéîùåø øùàë
'ùî úà z ïååéëá ìá÷ð ,ïåøãîä êøåàì úéðåø÷ä úöåàú úà aM -áå úéðåø÷ì çèùîäî ìîøåðä úà NM -á ïîñð íà
(aM > 0 -å ,ax = aM cos α ,az = −aM sin α øùàë) úåçåëä
−(M + m)aM sin α = NM cos α − (M + m)g
(ãáìá úéðåø÷ä øåáò) x ïååéëáå
.MaM cos α = NM sin α
àåä úåàååùîä úëøòî ìù ïåøúôä
.aM =
M+m
g sin α > g sin α
M + m sin2 α
àéä íãàä ìò z ïååéëá úåçåëä úàååùî éæà ,íãàì úéðåø÷äî ìîøåðä úà Nm -á ïîñð íà (ã)
.maz = Nm − mg
(z ïåéëá ÷ø õéàî íãàä) øîåìë ,íéäæ úéðåø÷äå íãàä úöåàú ,z ïååéëá
, az = am = −aM sin α
3
.5
.4
.6
êåëéçä ,úååù ïäìù úåöåàúä ãåò ìë .úååù åéäé àì ïäìù úåöåàúä åá òâøá M2 -ì ñçéá ÷éìçäì ìéçúú M1 äñîä (à)
M1 äñîäù éðôì ,òâøáù êëá ùîúùð åðà .(øåùéîì úéñçé úåòð ãçé ïäéúùù úåøîì) éèèñ äéäé úåñîä éúù ïéá
. f1 = µs N1 øîåìë ,éìîéñ÷î éèèñä êåëéçä ,M2 -ì ñçéá òåðì äìéçúî
çë :íéàáä úåçåëä íéìòåô M1 ìò .úçà ìë ìò úåçåëä íåëñá ìéçúð úåñîä éúù úåöåàú úà àåöîì úðî ìò
äèî éôìë äëéùîä çë ,(äéðùä äñîì ñçéá äìàîù òåðì ''äöåø''å äðéîé øåùéîì ñçéá äöéàî àéä éë) äðéîé êåëéç
äòåðúä úìéçú éðôì òâøá êåëéçä çë ïëìï N1 = M1 g-ì øåîàë äååù éìîøåðä çëä .äìòî éôìë éìîøåðä çëäå
(äðéîé éáåéç) é÷ôåàä ïååéëá ìá÷ð úé÷ôåà ãáåòä ãéçéä àåä êåëéçä çëù ïååéë . f1 = µs M1 g àåä úéñçéä
.F1 = M1 a1 = µs M1 g ⇒ a1 = µs g
éîðéã êåëéç çë ,(äìàîù ìòåô) ïåùàøä .é÷ôåàä ïååéëá úåçåë éðù ãåò íéìòåô F(t) çëì óñåðá M2 äñîä ìò
éìîøåðä çëä éë ïàë úîøåú äðåéìòä äñîä íâù áì åîéù) f2 = µk N2 = µk (M1 + M2 )g -ì äååùä øåùéîä íò
êåëéç çë àåä (ïåèåéð ìù éùéìùä ÷åçä éôì) éðùä çëä .(äèî éôìë åéìò úåöçåìù úåñîä éúù úà ÷éæçäì êéøö
ìë úà øáçð .(äìàîù ìòåô íâ øîåìë) åðååéëá êåôä êà äðåéìòä äñîä ìò êåëéçì äååùä äðåéìòä äñîä íò
(ä÷ìçää úìéçú ìù t1 ïîæá) ìá÷ðå M2 ìò íéé÷ôåàä úåçåëä
F2 = M2 a2 = F(t1 ) − f2 − f1 = F(t1 ) − µk (M1 + M2 )g − µs M1 g
M1
M1
1
F(t1 ) − µk (
+ 1)g − µs
g
M2
M2
M2
ìá÷ð ïúàååùäî ïëìå ,úååù ïééãò ïäìù úåöåàúä ,äéðùì ñçéá úçà ,òåðì úåìéçúî úåñîäù éðôì òâøá
⇒ a2 =
µs g =
1
M1
M1
F(t1 ) − µk (
+ 1)g − µs
g
M2
M2
M2
øîåìë
, bt = F(t1 ) = (µs + µk )(M1 + M2 )g
á ìéçúú ä÷ìçä ïëìå
t1 =
(µs + µk )(M1 + M2 )g
= 24.5sec
b
úåææ ïðéàù ïååéë) ãçé úåëøòîä éúù ìò úåçåë ïæàî òöáì ,M2 äñîä ìò úåçåë ïæàî íå÷îá ,äéä øùôà :äøòä
:øåùéîä íò êåëéçä çëå äðéîé F(t) íä úëøòîä ìë ìò (é÷ôåàä ïååéëá) úåçåëä äæ äø÷îá .(äéðùì ñçéá úçà
.(M1 + M2 )a1 àåä ïåèåéð ìù éðùä ÷åçä éôì ,úåçåëä íåëñ . f = µk N = µk (M1 + M2 )g
øáë åæ äöåàú .M1 ìù äöåàúä úà àåöîì ÷éôñî ïëì .äöåàúä äúåàá ãçà óåâë íéòð íéôåâä éðù t1 éðôì ùîî (á)
ìéòì åðàöî
.abefore = µs g = 2.94
m
sec2
ùéù ÷ø ,(íãå÷ åîë) äçñåð äúåà àéä äçñåðä .äðåéìòä äñîä ìù äöåàúä úà àåöîì ì÷ ä÷ìçää úìéçú éøçà
éîðéãá éèèñä êåëéçä úà óéìçäì
.aafter
= µk g = 1.96
1
m
sec2
a2 éôì) ïëìå ,íãå÷ åðàöîù åìàì íéäæ ,äðåéìòä íò êåëéçì èøô ,äéìò íéìòåôä úåçåëä ,äéðùä äñîä øåáò
(µk -á µs úà íéôéìçî áåù øùàë
íãå÷î
aafter
=
2
1
M1
M1
M1
m
F(t1 ) − µk (
+ 1)g − µk
g = abefore + (µs − µk ) g = 3.185 2
M2
M2
M2
M2
sec
7
ìò äéöøâèðéà òöáì êéøö (M2 ìò ïéãò àöîð M1 -ù äçðäá) t2 = 20sec ïîæá íéôåâä úåøéäî úà àåöîì úðî ìò (â)
éæà (äðåùàøì úéñçé òåîì äìéçúî äðåéìòä äñîä åáù ïîæä) t1 ïîæäî ïè÷ t2 = 20sec ïîæäù ïååéëî .äöåàúä
êåëéç çëå F(t) = bt çëä :(íéé÷ôåà) úåçåë éðù íéìòåô äæä ãçåàîä óåâä ìò .ãçà óåâë úåöéàî úåñîä éúù
äøåöäî äàøé ìøâèðàä ïëì .µk (M1 + M2 )g êëì ãâðúîä
.v(t2 ) =
Z t2
F(t) − µk (M1 + M2 )g
t0
M1 + M2
dt
éãë ÷æç ÷éôñî F(t) çëä øùàë ÷ø òåðì úåìéçúî úåñîäù øåëæì ùé .äòåðúä úìéçú ïîæ àåä ìøâèðéàá t0 ïîæä
åá t0 ïîæäî øîåìë ,éðåùàøä éèèñä êåëéçä ìò øáâúäì
, F(t0 ) = µs N = µs (M1 + M2 )g
åà
.t0 =
µs (M1 + M2 )g
= 14.7sec
b
ìá÷ð äæä t0 -á ùîúùð íà
v(t2 ) =
=
=
Z t2
F(t) − µk (M1 + M2 )g
dt
M1 + M2
bt
− µk g dt =
M1 + M2
t0
b
m
1
(t 2 − t 2 ) − µk g(t2 − t0 ) = 8.0
2 M1 + M2 2 0
sec
t0
Z t2 v(t2 = 20sec) =
b
m
1
(t 2 − t 2 ) − µk g(t2 − t0 ) = 8.0
2 M1 + M2 2 0
sec
úåèåîä êøåàì úåçåëä úà ïîñð .ñôà àåä ,éëðàä ïååéëá ,ïäéìò úåçåëä íåëñ ïëìå úéëðà úåææ àì úåñîä ì÷ùî éååéùá .7
M äñîä .(äéòáä ìù äéøèîéñä ììâá íéååù ìàîù ãöáå ïéîé ãöá úåçåëä) T2 -á íéðåúçúä êøåàìå T1 -á íéðåéìòä
úåéååæä) T2 cos θ çëä åúåàá úåèåîä éðù é''ò úëùîð àéä äìòî éôìë åìéàå ,Mg çëá ,äëéùîä çë é''ò äèîì úëùîð
äñîäù ïååéëî) ïëì .(êøåà éååù úåèåîä ìë íéé÷åù-éååù íä ADB-å AMC íéùìåùîä éë θ-ì úååù ADB-å AMC
(äææ àì
.2T2 cos θ = Mg
ïôåà åúåàá ïëìå ,ñôà íâ àåä ïäéìò íééëðàä úåçåëä íåëñ ,m úåñîä øåáò
.T1 cos θ = mg + T2 cos θ
úéåæäå L úåèåîä êøåàî àåöîì øùôà r ìâòîä ñåéãø úà .ìâòîá úåòð ïäù ïååéëî éìèéôéøèðö çë íâ ìòåô m úåñîä ìò
ìá÷ð éæà éìèéôéøéèðöä çëì äååù äñîä ìò íéìéòôî úåèåîäù é÷ôåàä çëäù ïååéëîå .r = L sin θ :θ
, T1 sin θ + T2 sin θ = mω2 r = mω2 L sin θ
sin θ-á íåöîö øçàìå
.T1 + T2 = mω2 L
ìá÷ð åðìù úåðåùàøä úåàååùîä éúù úà øáçð íà úàæ úîåòì
.(T1 + T2 ) cos θ = (m + M)g
óåñá ìá÷ðå åæä äàååùîá úîãå÷ä äàöåúä úà áéöð
m+M
cos θ =
g
mω2 L
åà
m+M
g
θ = cos−1
mω2 L
8
ïëìå
. − maM sin α = Nm − mg
óåñáì ìá÷úî íãå÷ åðàöîù aM úáöäî
(M + m) sin2 α
M cos2 α
.Nm = mg 1 −
=
mg
2
M + m sin α
M + m sin2 α
.6
äñîä ìò íéìòåôä úåçåëä .óåâä ìò úåçåëä ïæàî úà ,ìéâøë , àöîð ùåøãä éìîéðéîä êåëéçä íã÷î úà àåöîì úðî ìò .2
ìò ìòåôù ~F çëä úà ÷øôð .çèùîì éìîøåðä çëäå ,äèî éôìë äëéùîä çåë ,äìòî éôìë øåùéîì ìéá÷îá f êåëéç íä
Fy éëðà áéëøå (äöåàúì ìéá÷î) Fx é÷ôåà áéëøì äñîä
Fx = m1 ax = N sin θ − f cos θ
, Fy = m1 ay = N cos θ + f sin θ − m1 g
êåëéçä íã÷î úà àåöîì íéðééðåòî åðà .òåá÷ ax -å (øåùéîì ñçéá äòð àì äñîä) ay = 0 -ù ïåúð äìàùá øùàë
µs -å äãéîá . f ≤ µs N íéé÷úîå éèèñ àåä êåëéçä éæà øåùéîì ñçéá äòð àì äñîäù ïååéëî .äæ áöîì ùåøãä éìîéðéîä
(ay = 0 åøëæ) ïäî N úà ããåáðå úåàååùîäùî úçà ìëá ïåéååùä úà áéöð . f = µmin
s N ïåéååù ìá÷ð éæà éìîéðéîä àåä
N=
m1 ax
sin θ − µmin
s cos θ
.N =
m1 g
cos θ + µmin
s sin θ
µmin
øåáò øåúôìå úåàååùîä éúù úà úååùäì øùôà úòë
s
µmin
=
s
g sin θ − ax cos θ
g cos θ + ax sin θ
äæë äø÷îá .(ìåãâ ÷éôñî a øùàë äøå÷) ïåëð àìä ïååéëá êåëéçä úà åðøçáù ïîéñ µmin
< 0 íéìá÷îå äãéîá :äøòä
s
.äàöåúä ìù èìçåîä êøòä úà úç÷ì ùé
:úåçåëä íéùøú .3
N1
T
β
T
N2
m1 g
α
m2 g
d
ìéá÷îá úåçåëä íåëñ ïëå ñôà àåä m2 ìò íééëðàä úåçåëä íåëñ èøôáå ,ñôà àåä äñî ìë ìò úåçåëä íåëñ ,ì÷ùî éååéùá
:ñôà àåä m1 ìò ïåøãîì
m2 g = T cos β
.m1 g sin α = T
ïëì ìá÷ð äðåùàøá äéðùä äàååùîä ìù äáöäî
cos β =
m2
m1 sin α
4
.l3 = l2 + l4 + Const.-ù êëî òáåð ïåøçàä øù÷ä
úåöåàúä ïéá øù÷ä ìá÷úî l¨1 + 2l¨2 + l¨3 + l¨4 = 0-á íéðåøçàä íéøù÷ä úáöäî
.a1 + a2 + 2a3 = 0
g−
T1
m1
:ìá÷úî ,íãå÷ åðàöîù éôë úåöåàúä ìù ,äðåøçàä äçñåðá ,äáöäî
T1
2T1
+ g−
+2 g−
=0
m2
m3
øîåìë
.T1 =
4g
1
m1
+
1
m2
+
4
m3
=
4m1 m2 m3
g
4m1 m2 + m2 m3 + m1 m3
ãçé (íãå÷ä óéòñäî) ïåèåéð ìù éðùä ÷åçäî .a1 = a2 = a3 = 0 àåä úåìå÷ùîä ìëì äòåá÷ úåøéäî ìù éàðúä (á)
m1 = m2 = m íò
0 = a1 = g −
T1
m
0 = a2 = g −
T1
m
.0 = a3 = g −
2T1
m3
ïëìå ,T1 = mg éë úåàøì ì÷
.m3 =
2T1
= 2m
g
.7
éáåéç ïååéë) é÷ôåàä ïååéëá ïëìå N2 = m2 g -å N1 = m1 g íéé÷î úåñîì çèùîäî ìîøåðä éæà é÷ôåà àåä èåçäå äãéîá .5
(äìàîù
.(m1 + m2 )a = F − µ1 m1 g − µ2 m2 g
æàå ,èåçá úåçéúîä ìù z áéëø úà Tz > 0 -á ïîñð ,òåôéùá èåçä íà úàæ úîåòì
, N1 = m1 g + Tz
.N2 = m2 g − Tz
(é÷ôåàä ïååéëá) ïëì ìá÷ð íòôä
.(m1 + m2 )a = F − µ1 (m1 g + Tz ) − µ2 (m2 g − Tz )
= F − µ1 m1 g − µ2 m2 g − (µ1 − µ2 )Tz
éæà Tz > 0 -å ïååéëî éë ,(úîãå÷ä äàöåúì äàååùä é''ò) úåàøì ì÷ úòë

 adiagonal < ahorizontal
, adiagonal = ahorizontal

adiagonal = ahorizontal
µ1 > µ2
µ1 = µ2
µ1 < µ2
.é÷ôåà èåçäù äø÷îì ñçééúî ahorizontal -å òåôéùá èåçäù äø÷îì ñçééúî adiagonal øùàë
6
‫‪ ..3‬משוואת הכוחות על כל אחת מהמשקולות – חוץ מהשתיים הקיצוניות – היא‬
‫‪6‬‬
‫אמצע ‪2T − mg = ma‬‬
‫כלומר לכולן תאוצה זהה‪.‬‬
‫כאשר ‪ T‬המתיחות בחבל והכיוון מוגדר חיובי כלפי מטה‪ .‬משוואת הכוחות על המסות הקיצוניות היא‪:‬‬
‫קצה ‪T − mg = ma‬‬
‫ממשוואת "שימור החבל" מקבלים‪:‬‬
‫‪ = 0‬קצה ‪ + a‬קצה ‪ + a‬אמצע ‪2 Na‬‬
‫שילוב שלושת המשוואות נותן‪:‬‬
‫‪g‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪+g‬‬
‫‪2+‬‬
‫‪ = −‬קצה ‪a‬‬
‫קצה ‪ = 2a‬אמצע ‪a‬‬