null
21.11.12 – 1 תירגול
Digital Signal Processing 2
עופר שוורץ:מתרגל
:חזרה כללית
. x n M xd n :)דצימציה (הורדת קצב
. cM n
n kM : כאשר מגדיריםx n x Mn xnM c nM :נוסחאות בזמן
k
d
M
1
. Xd z
M
j M2 m
X e
:נוסחאות בתדר
m 0
M 1
. x n L xL n :)אינטרפולציה (העלאת קצב ללא סינון
x n / L
. xL n
0
n 0, L, 2 L,....
. XL z X e
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
else
j L
:נוסחאות בזמן
X z :נוסחאות בתדר
תירגולDSP2
L
|1
תירגול 21.11.12 – 1
שאלה :1
מתוך מבחן בקורס מבוא לניתוח אותות 40אונ' ת"א.
נתונה המערכת הבאה:
v n
האם ניתן לשחזר את הכניסה מתוך מוצאי המערכת?
פתרון:
בתחום הזמן נקבל בענף העליון. y0 n ....x 4 , x 2 , x 0 , x 2 , x 4 ,.... :
בענף התחתון נקבל כתוצאה מההכפלה במהפך את האות הבא:
א .לאחר ההכפלה..., x 2 , x 1 , x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,.... :
ב .לאחר הורדת הקצב. y1 n ....x 4 , x 2 , x 0 , x 2 , x 4 ,.... :
קיבלנו את אותו האות ולכן לא ניתן לשחזר באופן כללי.
נזכיר את שלבי הדצימציה והאינטרפולציה בתחום התדר:
אינטרפולציה:
חלוקת ציר התדר ב. L -
דצימציה:
2
שכפול בנקודות
M
1
הכפלה ב. -
M
הכפלת ציר התדר ב. M -
.
.1
.2
.3
במקרה של סינון:
הכפלה ב. L -
סינון סביב ,
L L
.
נממש את האות במישור התדר:
ענף תחתון – שלבים :1-3
ענף עליון – שלבים :1-3
2
Y0 e j
V e j
-
Y1 e j
Y0 e j
1.
X e j
1.
1
האות המקורי בתדר:
-
2,3.
1
M
הערה לענף התחתון:
-
2
-2
שלבים 2ו 3-זהים לענף העליון.
|2
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
-
תירגול 21.11.12 – 1
שאלה :2
האם המערכות הבאות שקולות?
מה ניתן להסיק על פעולת הורדת קצב?
]y[n
]x[n
]y[n
]x[n
פתרון:
בענף העליון נקבל. x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,.... x 1 , x 3 , x 5 , x 7 ,.... :
בענף התחתון נקבל. x 0 , x 2 , x 4 , x 6 ,.... x 2 , x 4 , x 6, x 8,.... :
לא קיבלנו את אותו האות מכיוון שהמערכות אינן ( TIניתנות להזזה בזמן) ולכן הפעולה לא נכונה.
שאלה :4
נתונה המערכת הבאה:
]h0[n
]y0[n
]x[n
]h1[n
]y1[n
האם ניתן לשחזר את הכניסה מתוך המוצאים?
פתרון:
נקבל את הגרפים הבאים:
ענף עליון:
ענף תחתון:
האות המקורי בתדר:
Y1 e j
Y0 e j
1
2
-2
2
1
2
2
X e j
1
2
-2
השאלה היא האם ניתן לשחזר את האות המקורי משני המסננים.
|3
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
-
תירגול 21.11.12 – 1
נניח את המסננים הבאים במקום הקיימים ונקבל את האותות הבאים בתדר:
1
1
נשים לב כי H 0 H1 , M 0 H 0 H1 :
2
2
M0
. M1
1
M1
1
הענפים יראו באופן הבא:
M 0 e j X e j
ענף עליון:
M1 e j X e j
ענף תחתון:
1
1
1
2
1
2
2
כעת ניתן לשחזר!
1
2
2
x n
התקבלה השקילות הבאה:
Y1 e j
2
נשחזר:
Y0 e j
2
2
y0 n 2 2m0 n
y1 n 2 2m1 n
1
2
1
2
2
1
2
h0 n
1
h1 n
x n
m0 n 2
m1 n 2
x n
נמשיך עם השקילויות.
היות והורדת קצב היא ליניארית (אך אינה TIכפי שראינו קודם) וה"-פרפר" הוא ליניארי (ראינו ב )DSP1-ניתן להחליף בניהם:
מכאן והלאה
זהו השחזור
לבעיה
המקורית
1
2
1
1
2
h0 n 2
h1 n 2
x n
2
2
1
2
1
1
2
h0 n
h1 n
נוכיח כי דצימציה היא ליניארית. ax1 n bx2 n 2 ax1 2n bx2 2n a x n 2 b x2 n 2 :
|4
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
x n
תירגול 21.11.12 – 1
שאלה :5
מעוניינים לממש מערכת עם השהייה שברית רציונאלית ,כלומר:
מהי תגובת התדר של מערכת כזו? הראו שהמערכת הבאה מממשת את הפעולה הרצויה:
]x[n
]y[n
פתרון:
L
כדי להבין כיצד ניתן לבצע הזזה שברית נפתח בהזזה בעולם הרציף x t T :
M
L
j T
M
f / T
המרה של מערכת רציפה לבדידה מתבצעת:
H e j
else
0
נקבל במקרה שלנו:
L
M
j
H e j e
L
j T
M
T
. x t H j e
else
f
. H j
0
H j eאשר אין לו התמרה.
(מעיון בטבלת ההתמרות הבדידות רואים כי התנאי להתמרה הפוכה הוא L / M integer :והדבר לא קיים כאן).
כדי להתגבר על בעיה זו נשתמש בזהויות האצילות ):(Noble Identities
M H e jM
H e j M
נשים לב כי ע"י שימוש בזהויות האצילות ניתן להחליף בין שתי המערכות הבאות:
M
M
/M
/ M
M
M
e jL M
/M
F 1
קיבלנו מערכת ברת התמרה כי כעת n L :
|5
DSP2תירגול
j L
/ M
L
M
j
x n e
x n M
.e
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
51.55.52 – 2 תירגול
:Poly-Phase מסנני
:נוסחאות עזר
1 L 1 r / L lr
z WL H z 1/ LWLl : והתמרתם היא. Pr n h nL r : מוגדרים באופן הבאL מסדרPP מסנני
L l 0
L 1
L 1
n i
. H z Pi e j e ji : ובמישור התדרh n Pi
n i 0, L.. :PP מסנן כללי באמצעות מסנני
L
i 0
i 0
. Pr z
x n G z L y n
.
x n G z
M
M
x n L G z L y n
y n x n M G z y n
:זהויות אציליות
N 1
. xd n h k x nM k x r h nM r :הגדרת דצימציה
k 0
n k
. xi n h k x
x r h n rL
L r
k 0
N 1
; n k 0, L,... :הגדרת אינטרפולציה
:מימושים יעילים של דצימציה ואינטרפולציה
. כמתואר באיור השמאליx n h n M
:( ולאחר מכן מורידים קצבantialiasing) בדצימציה מעבירים תחילה דרך מסנן
. T : מקדמים) וזמן הדגימה הואN הכפלות (עבור מסנן עםN יש לנו.קצב העבודה יחושב ע"י מכפלות ביחס לזמן
N
. ע"י הזזת הדצימציה כפי שראינו בהרצאה נוכל לקבל את האיור הימני. R f s N :לכן הקצב הוא
T
. M המשמעות היא הורדת קצב המכפלות פי
output Freq.: f s / M
input Freq.: f s
x n
z 1
z
1
h 0
h 1
h 2
z 1 h N 1
M xd n
linear and
x n
z 1
not TI
Calc.Rate: R N f s
output Freq.: f s / M
input Freq.: f s
z
1
z 1
M
M
M
M
h 0
h 1
h 2
xd n
Calc.Rate:
R N fs / M
h N -1
. לא נראה אותה כאן.העלאת קצב זהה לחלוטין ומתוארת בהרצאה
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
תירגולDSP2
|1
תירגול 51.55.52 – 2
תצורה שונה ע"י שימוש ב:PP-
M xd n
M 1
נעזר בנוסחה H z z i Pi z M :ונקבל את האיור הבא:
i 0
h n
M xd n
P0 z M
לאחר שימוש בזהות אצילה נוכל להמיר את המערכת כמתואר באיור
fs
f
fN
N
R s M כאשר:
השני ואז קצב החישובים יהיה s :
M
M
M
M
N
כמות המכפלות.
הוא התדר לאחר מוריד הקצב M ,הם מספר הענפים ו-
M
נציין כי במערכות IIRהשיטות הנ"ל לא שוות כלום
מכיוון שמדובר במסננים עם אינסוף מקדמים.
x n
z 1
z 1
z 1
PM 1 z M
M P0 z
y n
x n
x n
z 1
z 1 M P z
M 1
שאלה :1
נתון:
1
1 z 1
. H z יש למצוא את ה PP-של המסנן מסדר . M
פתרון:
המסנן הוא . h n nu n :מסנני PPהם. Pi n h nM i nM iu nM i :
i
נפרק את u nM i בצורה הבאה:
M
. nM i 0 n היות ו 0 i M 1 -נקבל כי . n 0
לכן Pi n nM i u n :ואז במישור התדר:
1
1
1 z
M
. Pi z i
P0 n
תיאור במישור הזמן של המסנן המקורי
כאשר ניתן לראות לאן הולכת כל דגימה
מבחינת המסננים :PP
P2 n
M 2
n
|2
M 1
M
P1 n
2M
P0 n
DSP2תירגול
n
תיאור במישור הזמן של המסנן המקורי
h n
2
M
1
תיאור במישור הזמן של הדגימות
הראשונות של שני מסנני PPהראשונים
P1 n
h n
1
2 M 1
M 1
n
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
5
n
4
3
2
1
תירגול 51.55.52 – 2
נבדוק את התועלת של PPלדצימציה ונראה כי הדבר אינו יעיל כאשר עוסקים במסנן :IIR
W z
המערכת היא . x n H z M :נכתוב את המשוואות:
Z 1
X z
1
W
z
1
az
X
z
w n w n 1 x n
1 z 1
W z X z H z
איור :1
1
האיור המתאר זאת הוא כדלהלן (איור ,)1קצב החישובים הוא:
T
R כי יש רק מכפלה אחת:
נצייר באמצעות מסנני ( PPאיור .)2אבל גם כל מסנן ממומש באמצעות משוב:
M 2 2
.R
(איור )3לכן קצב החישובים הוא :
T M T
(חושב לפי מכפלת ענפים במספר מכפלות חלקי קצב הסיגנל).
w n
M
x n
z 1
איור :2
M P0 z
y n
x n
z 1
z 1 M P z
M 1
ניתן לראות כי רק הרענו את המצב בכך שהגדלנו את קצב המכפלות.
לכן אין טעם להשתמש בזאת כאן.
איור :3
Pi z
i
z 1
שאלה :2
מה מבצעת המערכת הבאה:
פתרון:
יש לנו M 2ענפים שאליהם הולך האות ומוכפל באקספוננטים .לאחר מכן מורידים קצב .לא ניתן להשתמש בזהות אצילה מכיוון
שצריך מסנן מהצורה H z M :אשר צורתו היא דגימה ואפסים ,דגימה ואפסים בהתאמה .מה שכן ניתן לעשות זה להחליף את
המכפלה עם הורדת הקצב מכיוון שניתן תחילה להוריד קצב ורק אז להכפיל את הדגימות .היות ואין לנו השהייה בהתחלה ניתן
להוציא את הורדת הקצב ממש מיד לאחר אות הכניסה:
2 M 2 1 n
exp j
M2
f n
x n M1
x n M
f nM
2 0n
exp j
M2
x n M
נוכל לסכום את כל הענפים ונקבל:
M ; n kM 2
w n 2
w n M 2 n kM 2
k
0 ; else
|3
DSP2תירגול
1 e j 2 n
2 n
M2
j
1 e
w n
2 kn
M2
j
M 2 1
w n e
k 0
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
2 kn
M2
j
M 2 1
w n e
k 0
y n
תירגול 51.55.52 – 2
מבחינה גרפית קיבלנו את הפישוט הבא:
רכבת הלמים
למעשה ניתן לכתוב כך:
M2
M2
x n M1 M 2 M 2 y n x n M1M 2 M 2 y n
שאלה :3
נתון . x n M H z M :יש לפשט את המערכת.
פתרון:
אנו יודעים לפשט את הבלוק M H z :לפי זהויות אצילות .נקבל באמצעות :PP
M
P0 z M
B
z 1
z 1
A
x n
PM 1 z M
בנקודה Aהאות נכנס בתדר הנמוך .בנקודה Bיש לנו השהייה וסכימה Mפעמים ולכן התדר גדל פי . M
למעשה נוכל לצייר זאת באמצעות קומוטטור באופן הבא:
COMOTTOR
P0 z
x n
M
PM 1 z
נשים לב כי לאחר הורדת הקצב נשארנו למעשה רק עם הדגימה הראשונה ולכן המערכת שלנו שקולה רק לענף הראשון:
x n P0 z
|4
DSP2תירגול
x n M H z M
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 51.55.52 – 2
שאלה :5
נתונה המערכת:
2
)
L
j (
2i
L
H i (e
ידוע) :
יש לייעל את המערכת.
j
j
. H i (e ) e
פתרון:
הקצב הנוכחי הוא:
N
. R f s L L הרבה חישובים – לא יעיל במיוחד.
signal Rate Branch Filter Length
ננסה להשתמש בזהויות אצילות .המסננים מקיימים בזמןhi n :
2 n i
L
j
hi n e
2
n
L
j
e
2 i
L
j
. hi n e
אם n i L :מתחלק ב L -אז hi n hi n :אחרת . hi n 0 :קיבלנו מסננים מהצורה הבאה:
h1 n
n
n 2L 1
n L 1
h0 n
n
n 1
n 2L
n L
n0
בהתייחסות לזהות אצילה ראינו כי המסנן הסמוך להעלאת קצב הוא כזה שמכיל L 1אפסים בין כל דגימה.
היות והמסננים שלנו מקיימים זאת נוכל לכתוב G z L H i z z i :ולצייר את המערכת הבאה:
H0 z
y n
z 1
x n L
H1 z z
z 1
H L 1 z z L 1
כעת נוכל להפעיל את הזהות האצילה על כל אחד מהענפים:
y n
z 1
z 1
H z z
H 0 z1/ L L
L
1/ L
x n
1/ L
1
L 1 / L
H L 1 z1/ L z L
נציין כי למרות שהרישום של חזקה שברית הוא אסור ,אנו יודעים כי יש לנו אפסים ולכן זה בסדר כאן.
N
. R f s L שיפרנו פי . L2
הקצב הנוכחי כעת הוא:
L
Branch
signal Rate
Filter Length
|5
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 6.21.21 – 3
בנק מסננים:
הערה :הסקירה התיאורטית נמצאת בדפי התירגול.
מוצא מערכת דו ערוצית פשוטה מקיים:
X z T z X z A z X z
1
1
H 0 z F0 z H1 z F1 z X z H 0 z F0 z H1 z F1 z X z
2
2
התנאי לשחזור מושלם של מערכת דו-ערוצית:
A z 0 .1
F0 z H 0 z .2
F1 z H1 z
1
H 02 z H 02 z .3
2
T z Cz0 n0
שינוי קצב דגימה ביחס רציונאלי:
מימוש בצורה יעילה של המערכת. x n L H z M y n :
Q 1
nM
x
n
h
nM
rL
PnM L m x
שבה המוצא הוא m :
r
m 0
L
. y n
שאלה :1
יש למצוא מימוש יעיל למערכת. x n 2 H z 3 y n :
פתרון:
1
קצב העבודה של המערכת המקורית הוא 2 N :
T
אנו רוצים להצליח לקשר בין ההעלאה והמסנן בצורה יעילה כדי להתפטר מה .2-לאחר מכן נרצה לממש בצורה יעילה את הורדת
הקצב יחד עם המסנן כפי שראינו בשלבים קודמים יותר של הקורס .נבצע את הפעולות הבאות:
.
ייעול הדצימציה:
y n
1
1 N 12
2 3
קצב העבודה כעת הואN :
T
3 3 T 3
|1
DSP2תירגול
.
3 P0 z
3 P1 z
3 P2 z
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
z 1
1
z
x n 2
תירגול 6.21.21 – 3
ייעול ההעלאת קצב:
3 y n
1
N N
קצב העבודה כעת הוא:
2
T
2 T
.
P0 z 2
z 1
x n
P1 z 2
נמשיך לפתח .נבחין כי אפשר לרשום . z 1 z 2 z 3 :נוכל כעת לרשום את הסרטוט הקודם באופן הבא:
4דיאגרמות – החל מהעמודה השמאלית כלפי מטה.
x n
3 P00 z
y n
1
3 P01 z
2
1
3 P02 z
z 1
z
y n
z
z 1
z 1
3 P11 z
y n
z 1
3 P12 z
z 3
2
z1
3 P10 z
2
3 y n
P0 z 2
1
z
P0 z 2 3
1N
קצב העבודה כעת הוא:
T 3
N
6
1
3
down sampling Filter length
branches
P1 z 3 2
.
signal
שאלה :2
נתונה המערכת הבאה:
|2
DSP2תירגול
x n
z 2 3
P1 z
המעבר מהדיאגרמה השנייה לשלישית אפשרי מכיוון שההעלאה וההורדה הם מספרים זרים.
בסוף מקבלים את המימוש באמצעות ה PP-של ה.PP-
1
2 3
T
P1 z 2
P0 z 3 2
z
x n
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
x n
תירגול 6.21.21 – 3
פתרון:
א .מהנתון כי המערכת היא LTIהאיבר A z מתאפס ולכן. H 0 z F0 z H1 z F1 z 0 :
1 bz 1 1 az 1
H 0 z F0 z
. F1 z
נקבל:
H1 z
1 az 1
ב .נחשב ישירות:
1
1
1 bz 1-az
1
1
1 bz 1
1
1
1
T z H 0 z F0 z H1 z F1 z 1 bz 1 az 1-az ...
2az 1
1
1
2
2
1 az
1 az
ג .השחזור המושלם יתקיים כאשר a b :ואז נקבל - T z 2az 1 :השהייה.
ד .המבנה של PPעפ"י הנוסחה הוא . H z Pi z 2 z 1 P0 z 2 z 1P1 z 2 :נוכל לקבל בקלות:
1
i 0
. H 0 z P0 z z 1P1 z 2 P0 z 1 , P1 z a
2
כנ"ל נמצא עבור השניים האחרים הנתונים.
עבור F1 z נצטרך להכפיל מכנה ומונה על מנת שיהיה לנו
2
zבמכנה שממנו נוכל למצוא את ה.PP-
1 bz 1 az 1 az ....
1
1
1
1
1 bz 1 az 1 az
1
1
F1 z
1 az 1
1 az 1
1 a 2 z 2
נקבל:
2
2
1 a 2 2ab z 2 b 2a z 1 a 2bz 3
1 a 2 2ab z 2
b
2
a
a
bz
z 1
1 a 2 z 2
1 a 2 z 2
1 a 2 z 2
1 a 2 z 2
1 a 2 2ab z 1
לכן המסננים הם b 2a a 2bz 1 :
. P0 z
;
P
z
1
1 a 2 z 1
1 a 2 z 1
.
שאלה :3
נתונה המערכת הבאה:
]x[n
]y[n
נתון כי . b 1
כמו כן נתון כי כאשר מסנני הערוצים הם קצר ,המערכת היא ,LTIוכי המסננים ) Fi (zהם מסנני FIRסיבתיים
מהסדר המינימלי האפשרי.
א .מצאו את המסננים ) ( Fi (zעד כדי קבוע כפלי) וקבעו את פונקצית התמסורת של המערכת כאשר מסנני הערוצים הם קצר.
נסמן פונקצית תמסורת זו כ. T1(z)-
ב .באיזה תנאי על מסנני הערוץ תהיה המערכת הכוללת (בנוכחות מסנני ערוצים שאינם קצר) מערכת ?LTI
(תזכורת :המסננים הם אלו שמצאתם בסעיף א').
|3
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 6.21.21 – 3
ג .בטאו את הקשר בין ) T1(zל ) T(zכתלות במסנני הערוצים.
ד .האם קיימים מסנני ערוץ סיבתיים ויציבים עבורם תשיג המערכת הכוללת ( PRעד כדי השהיה)? אם כן מצאו מסננים
כאלו ,אם לא נמקו.
פתרון:
א .נשתמש בידע הקיים ,נאפס את A z כמו מקודם:
. H 0 z F0 z H1 z F1 z 0 1 az 1 F0 z 1 bz 2 F1 z 0
יש לנו אינסוף בחירות אך רמזו לנו כי המסננים הם FIRולכן נרצה שהם יהיו ביטויים ללא מכנה.
מקובל לבחור. F1 z 1 az 1 ; F0 z 1 bz 2 :
1
ב .נכתוב תחילה את T z ללא העיבוד F0 z H 0 z F1 z H1 z ... 1 bz 2 az 1 :
2
כעת נזיז את מערכות העיבוד C1 z , C0 z לאחד הצדדים ונאחד אותם או עם Fi z או עם . H i z
.T z
נבחר להזיז לצד ימין ונקבל:
F0 z
y n
H 0 z 2 2 C0 z 2 F0 z
x n
H1 z 2 2 C1 z 2 F1 z
F1 z
כדי שהמערכת תהיה LTIנצטרך לאפס את A z המתקבל עבור המערכת הכוללת:
A z F0 z H 0 z F1 z H1 z 0 ... C1 z 2 C0 z 2 0לכן. C1 z C0 z :
ג .כדי למצוא את המערכת הכוללת נמצא את : T z
1
H 0 z F0 z C0 z 2 H1 z F1 z C1 z 2 ... C0 z 2 T z
2
T z
ד .נכתוב מפורשות. T z C0 z 2 T z C0 z 2 1 bz 1 az 1 :
1
אם:
a 1 bz 2
|4
C0 z 2 אז נקבל פשוט. T z z 1 :
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 6.21.21 – 3
שאלה :4
נתונה מערכת:
א .נתון כי ) F0 ( z ) z k H1 ( zכאשר kשלם כלשהו .קבעו את ) F1 ( zכתלות ב H i (z ) -כך שהמערכת הכוללת תהיה .LTI
ב .עבור המסננים מסעיף א' ,בטאו את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת כתלות במסננים ) . H i (z
ג .מעוניינים לבחור מסננים ) H i (zכך שהמערכת תממש השהייה טהורה , T ( z ) z l :כאשר lשלם כלשהו.
הראו כי k+lחייב להיות מספר אי-זוגי (רמז :בחנו את ).) T(-z
פתרון:
א .נכתוב פעם נוספת. A z F0 z H 0 z F1 z H1 z 0 :
נקבל. z k H1 z H 0 z F1 z H1 z 0 F1 z z k H 0 z :
1
1
ב .המערכת היאF0 z H 0 z F1 z H1 z ... z k H1 z H 0 z H 0 z H1 z :
2
2
.T z
ג .נתון . T z z l :נבחן את המערכת הנתונה. T z z 1 z l 1 T z :
l
l
l
1
k
k 1
מצד שני נציב zלמערכת שאליה הגענו 1 z k H1 z H 0 z H 0 z H1 z 1 T z :
2
l
k 1
1 1ונקבל . l k 1 even :ממילא. l k odd :
נשווה בין הביטויים הבאים:
|5
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
. T z
02.20.20 – 4 תירגול
:Multi Channel Filter Bank – בנק מסננים רב ערוצי
:תיאור אנליזת המערכת הכללית
x0 n
v0 n
x1 n
v1 n
u0 n
x n
H0 z M
M F0 z
u1 n
H1 z M
xM 1
M F1 z
vM 1
uM 1
x n
H M 1 z M M FM 1 z
.) (ראינו בהרצאה את הרעיון שלהםQMF נתעניין במסנני
M 1
M 1
. X k z WMkl z l Pl z M X z : ואזH k z z 1WMk Pl z M : מקבליםPP ברישום
l 0
M 1
l
l 0
. X k z WMkl z l Pl z M X z DFTM* sl z : וקיבלנו התמרה הפוכהsl z z l Pl z M X z :סימנו
l 0
:דיאגרמת האנליזה היא
x n
z
z
1
1
z 1
P z
DFT
P0 z M
s0 n
M
s1 n
1
PM 1 z M
x n
0
M v0 n
x n
*
1
M v1 n
n
M -1
M vM 1 n
s M 1 n
x
N 1
. DFT
*
X z x n e
j
2
kn
N
:נזכור כי
n 0
M 1
. qi n f 0 n M M 1 i : בזמן. F0 z z M 1l Ql z M , Fk z WMk F0 zWM k :נוסחאות הסינתזה
l 0
M 1
. Fk z WM kl z M 1l Ql z M : כלליk עבור
l 0
M 1
M 1
k 0
l 0
X z Fk z Vk z ... z
M 1l
Ql z M DFT Vk :האות המשוחזר הוא
. כפי שראינו בהרצאהPk z Qk z 1 :התנאי לשחזור מושלם הוא
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
תירגולDSP2
|1
תירגול 02.20.20 – 4
שאלה :1
א .נתון אות באורך :22
n 0,1,...,10
n 11,12,...,21
o.w
1
x[n] 1
0
מצא את התמרת פורייה שלו.
כעת מעוניינים לחשב את ההתמרה במרווחים של . 211הציעו זאת הן בעזרת שימוש בסעיף א' ,והן ישירות מתוך האות.
x[n] 0
ב .נתון אות באורך n {0,1,..., M 1} :M
מעוניינים לחשב את ה DFT-שלו ברזולוציה . 2Mלרשותנו מערכת המחשבת . DFT x n
הראו כיצד ניתן לחשב את ה DFT-של האות בעזרת המערכת הנתונה.
ג .נתון אות ] x[nהמורכב משרשור של אותות סופיים באורך x[n] ..., x1 , x0 , x1 ,... :6
כאשר xiהינה סדרה באורך .6
( 1 ) n n 0,1,...5
. w[n] 4
מעוניינים לחשב את ה DFT-ברזולוציה 24של כל אחד מן האותות שעבר כפל בחלון ]: w[n
o.w
0
בנו מערכת המחשבת זאת .תנו פירוש נוסף למערכת.
פתרון :
א .מטבלאות נקבל:
]x[n
]) sin[ ( N1 12
) sin( 2
DTFT
X (e j )
n
N1
ולכן ,עבור , N 10ובשימוש בתכונת ההזזה בזמן ,נקבל:
n 0,1,...,10
sin 5.5 j16 j 5
DTFT
11,12,..., 21
X e j
e e
sin 2
o.w
נציבk 0,1,...10 :
0
k
2
11
j 10
k
11
1
x[n] 1
0
ונקבל:
e
32 k
j 11
sin k
e
sin
k
11
5 2 k
j 11
e
j 16
2 k
11
e
sin 5.5
11 2 k
sin 222 k
DFT11 x n
זאת משום ש sin k 0 -עבור כל kשלם.
המשמעות היא שדגמנו את התמרת ה DTFT-של האות ברזולוציה כזאת שכל נקודות הדגימה הן אפסים.
באופן ישיר:
|2
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
N1
תירגול 02.20.20 – 4
j 211 kn
21
x n e
j 211 kn
n 11
)k ( n 11
10
x n e
j 211 kn
n 0
j 211
21
DFT11 x n x n e
n 0
10
x[n 11]e
kn
j 211
n 0
j 211 kn
10
x n 11 e
0
x n e
n 0
j 211 kn
n 0
j 211 kn
10
n n 1
10
x n e
n 0
10
x n x n 11 e
n 0
דגימה בתדר היא שכפול בזמן .אם ה DFT-מספיק ארוך השכפולים לא יפגעו ,אבל כאן הרזולוציה נמוכה מאורך הסיגנל.
לכן הסיגנל פוגע בעצמו והורג את עצמו.
ב + .ג .פעולת ה DFT * -מוגדרת על ידי:
j 2M kn
M 1
. X [k ] DFT {x[n]} x[n]e
k 0
]x[ M 1
)j 2M k ( M 1
נכפיל ב 1 -
j 2M kM
e
...
...
]x[1
]x[0
j 2M
j 2M
k 1
e
k 0
M 1
e
k 0
eאת האקספוננטים ונקבל:
]x[ M 1
j 2M k 1
e
...
...
]x[0
]x[1
)k ( M 1
M 1
j 2M
e
k M
j 2M
e
k 0
כלומר :על מנת לממש DFTבאמצעות * DFTעלינו לשנות את סדר הכניסה:
]x[0
]X [0
]x[M 1
]X [1
*
DFT
DFT
:
]X [ M 1
:
]x[1
ג .למעשה זהו סוג של ( STFTעליו נלמד בהמשך הקורס).
יש לנו סדרה של אותות אשר מבצעים עליהם התמרה אחת ל 6-דגימות .המצב מתאר חוצץ אשר מתמלא כל 6מחזורי שעון ב6-
דגימות חדשות של האות המקורי ורק לאחר שהוא מלא מתבצעת התמרה .לאחר מכן 6הדגימות מתנקות וטוענים את החוצץ ב6-
דגימות נוספות ומבצעים התמרה נוספת ,וכך הלאה:
x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6
|3
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 02.20.20 – 4
עבור xiנקבל כי הסכימה של ההתמרה בנויה באופן הבא:
]xi [1
]xi [2
]xi [3
]xi [4
]xi [5
]xi [6
( 14 ) 5
( 14 ) 4
( 14 ) 3
( 14 ) 2
( 14 )1
( 14 ) 0
j 24 k 5
e
j 24 k 4
e
j 24 k 3
e
j 24 k 2
e
j 24 k 1
j 24 k 0
e
e
הסיבה להיפוך האות היא כי בכניסה סדרתית של אות למערכת ,הדגימה האחרונה נכנסת ראשונה.
יש כאן אקספוננטים שווים כי האות הוא באורך 6ואילו ה DFT-הוא באורך ( 4יש קיפול):
j 24 kn
5
X i [k ] xi [n]e
n 0
x n 4 14 x n 1
4
x n 5 14 x n 1 14
5
DFT
2
1
4 3
1
4
x n 2
x n 3
נממש באופן ציורי גם את העובדה שרוצים כל 6דגימות להוציא תוצאות ולכן נבצע דצימציה וגם נעזר בתוצאת סעיף א':
4
1 14 z 4
6
z 2
6
DFT
6
2
z2
6
1
4
3
1
4
1
4
2
z
5
1
4
z 1
]x[n
z 1
z 1
ניתן לראות כי הצלחנו להביא את המערכת שלנו לתבנית של בנק רב ערוצי .לכן ניתן למשוך את ה PP-בצורה ישירה ולמצוא את
המסנן הכללי .לפי מה שלמדנו ,נקבל:
5
1
1
; P3 z M z 2 z 2
4
4
5
2
4
3
1
1
1
P0 z M 1 z 4 ; P1 z M z 2 ; P2 z M
4
4
4
2
3
4
1
1
1
1
1
H 0 ( z ) z P ( z ) 1 z 4 z 3 z 2 z 5 z 1
4
4
4
4
4
0
4
כדי למצוא את כל התתי-מסננים נבצע. H k ( z ) H 0 ( zwM k ) :
3
קיבלנו התמרת STFTשבו החלון הוא , w n מספר פסי התדר הוא 4ואין חפיפה של חלונות כי האות גדול מאורך החלון.
מצאנו את X k nשהוא סיגנל זמן-תדר.
|4
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 02.20.20 – 4
שאלה :2
בנק מסננים בתצורת - DFTנתון בנק מסננים:
א.
ב.
ג.
ד.
ציירו את תגובת התדר של כל אחד מן המסננים
מהו קצב החישוב של המערכת? מהו קצב החישוב במימוש Poly-Phaseיעיל?
מצאו מימוש יעיל יותר .מהו קצב החישובים אז?
מצאו בנק מסנני סינתזה המשיג .PR
פתרון:
א .רישום המקדמים של המסנן הראשון הוא. h0 [n] [1, 2,3, 2,1] :
2
sin(1.5 )
H 0 (e ) e j
sin(0.5 )
j
עין חדה תקלוט את הביטויים הבאים:
)
) j ( 2
h0 [n] H1 ( z ) H 0 (e
) ) h0 [n] H 2 ( z ) H 0 (e j (
)
) j ( 32
h0 [n] H 3 ( z ) H 0 (e
j 24 n
) (2 n
h1[n] [1, 2 j , 3, 2 j,1] e
j 24
) j 24 (3 n
h2 [n] [1, 2,3, 2,1] e
h3[n] [1, 2 j,3, 2 j,1] e
j 24 k
. H k z H 0 ze
יש לנו מסנני QMFכי מתקיים :
ענפים
כלענף
כלענף
ב .בגלל שיש כאן מסננים עם 5מקדמים נקבל 4 5 f s :על ידי Poly-phaseלכל ענף בנפרד ,נקבל. 4 54 f s 5 f s :
ענפים
L
ג .תצורת PPעם * DFTנקבל H 0 z z l Pl z L :כאשר. H 0 z : P0 z 1 z 1 , P1 2, P2 3, P3 2 :
l 0
מעבירים את הדצימציה להתחלה ,לאחר מכן ה PP-בסוף ה DFT*-ומקבלים. 4 14 54 f s 14 4 log 4 f s 3.25 f s :
|5
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
3.1.13 – 5 תירגול
:STFT – Short Time Fourier Transform
. X STFT n,
x m v n m e
j m
:הגדרה
m
ומשם מבצעיםx n על האותn - מסובבים אותו ולוקחים אותו למקום ה, N באורךv n בוחרים חלון,מבחינה גרפית
: איברים קדימהN התמרה לאורך
v n
Transform Interval
signal
v 1 N
v 0
v 1 N
v 0
:נוכל לכתוב
X STFT n, F x m v n m e jn x m v n m e
j m n
: כבנק מסנניםSTFT נרצה לסרטט
e jn x n * v n e jn
למעשה המודל של ההתמרה הוא סינון דרך
:e
: והכפלה באקספוננטv n e jn :מסנן
j n
v n e
j
2
0n
K
e
v n
2
j 1n
e K
e
v n e
j
j
2
k 1n
K
j
e jn
2
1n
K
e
X e j
x n v n e jn y n,
2
0n
K
j
2
k 1n
K
:1 שאלה
V e j
.STFT יש לממש את. v n נתון מסנן יחיד
:מניחים אות ומסנן מהצורות הבאות
:פתרון
. v n e
j0 n
V e
j 0
: דורשSTFT-ה
: לקחת את הסיגנל ולסנן אותו עם החלון מוזז בתדר.1
. הזזה בתדר לאחר סינון.2
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
תירגולDSP2
|1
תירגול 3.1.13 – 5
.1
.2
0
0
x n v n y n,
ניתן לממש את ה STFT-באופן הבא:
e j0n
נוכל לכתוב זאת באופן הבא. y n, x m v n m e jm x m e jm v n m x n e jn * v n :
שאלה :2
נתונה מערכת המממשת STFTהבאה ונתון חלון:
א .מהו מוצא המערכת?
ב .נתון המסנן שבצד .מהו מוצא המערכת? מה קורה כש -שואף ל?0-
פתרון:
א .נניח אות מהצורה כמו בשאלה הקודמת ונצייר את ההתמרה בשני השלבים כפי שראינו מקודם:
.1סינון:
2 X e j0
2
0
0
.2הכפלה באקספוננט:
כאשר נבצע IDTFTנקבל קבוע וגודלו הוא:
2 X e j0
. X e j0קיבלנו את ההרכב התדרי של האות ב. 0 -
sin 0.5 n 2
ב .כעת נתון חלון קצת יותר רחב בתדר ולכן בזמן הוא צר יותר:
n
נקבל:
. v n
הסיגנל תלוי בזמן כי הוא סופי בתדר ואינו דלתא כמו מקודם .אז לא הייתה תלות בזמן כי קיבלנו רכיב .DC
|2
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
3.1.13 – 5 תירגול
:3 שאלה
6
2 cos 10 n
. x n 2 cos n
10
0
.
? מהו מוצא המערכתh[n] e
j
6
n
10
;
N nN
;
N n 3N 1 :נתון סיגנל
;
else
6
דגמו אותה בתדר. מצאו את התמרת פורייה שלו.א
10
1 N n N
: האות מועבר דרך המערכת הבאה.ב
o.w.
0
:פתרון
x n
: האות נראה בצורה הבאה.א
N
6
x n 2 cos
10
n
N
N
2 cos n
10
3N 1
N
DFT
N
N
n n 2 N 1
6
6 sin N 0.5 1 j 2 N 1
sin N 0.5
*
e
2
2 *
10
10
sin 0.5 2
10
10
sin 0.5
6
1
6
1
1
1
sin
N sin
N
sin 10 N 2 sin 10 N 2
10
2
10
2
e w 2 N 1
6 1
6 1
1
1
10
2
10
2
10
2
10
2
1
2
a e j
X e j
b e j
2 N 1 res
10
:תיאור האות
x
x
x n h n 2 N 1 y n
e
j
10
2 N 1n
6
10
x n x n * h n
x n x 2 N 1
y n x n e
j
10
10
6
10
h m x n m
: נקבל.ב
m
h m x 2 N 1 n m
m
6
2 N 1 n
10
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
תירגולDSP2
|3
3.1.13 – 5 תירגול
. y 0 x 0
N
h m x m e
m N
6
m
10
6
2cos
m :עתה נגדיר מוצא
10
m N
.קיבלנו בדיוק את התמרת פורייה על האות באמצעות החלון שלנו
N
j
6
j 610
6
l m N j 10 l
6 l
2cos
. e
m e 2cos a e y 0 :כעת
10
10
m N
l N
6
6
N
N
N
j m
j m
m
. x 1 h m x 2 N 1 m e 10 2cos m e 10 2cos
: נקבלy 1 :עבור
10
m N
10
m N
m N
N
j
6
m
10
. y 1 x 1 e
j
6
2 N 1
10
b e j
6
10
:לכן
:4 שאלה
. זה הוא למעשה הפרש זמן ההגעה בין שני סיגנלים.TDOA- Time difference of arrival רוצים למצוא
:קורולציה- היא באמצעות הקרוסx2 t s t ; x1 t s t :השיטה הפשוטה ביותר לעשות זאת עבור האותות
. T arg max Rx1 , x2 arg max E x1 t x2 t
. ולהראות את יעילות השיטהSTFT יש לממש באמצעות.א
:STFT במישורx2 t - לx1 t נראה את היחס בין
x1 n x1 nT
x2 n
T
x1 n round
Ts
x1 n v n
e jn
STFT x1 n x m v n m e j n
: x2 n - שלSTFT-נמצא את ה
m Td l
STFT x2 n STFT x1 n Td x m Td v n m e jn
x l v n l T e
j l Td
d
e jTd x1 l v n l Td e jl
: ולכן נממש באופן הבא.החלון גם זז חוץ מהאות עצמו
x1 n v n Td STFT x2 n
e jn
e jTd
. אבל אם החלון מספיק גדול נוכל לצמצם את ההשפעה שלו על העיוות.קיבלנו עיוות גם בחלון
. ועוד, לא רוצים לחכות, משתנהTDOA- ה.אבל יש חסרונות אחרים לחלון גדול
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
תירגולDSP2
|4
תירגול 3.1.13 – 5
ב .כעת נוכיח כי האוטוקורלציה היא שיטה טובה.
נלך מהכיוון של ההתמרה ההפוכה של הצה"סe j d :
x1 x2
. Rx1x2 כאשר. x1x2 E x1 x2* :
נקרב ע"י ה:STFT-
e j d
STFT x STFT x e
*
e j d
j Td
1
1
kl
T
d
l
STFT x1 e jTd e j d
2
STFT x STFT x
*
1
2
Rx1x2
STFT x1 STFT x1 e jTd e j d
*
הקירוב שממנו פתחנו את הפיתוח הוא גס מאוד ומניח שבאמצעות חלק מההתמרה אנו יכולים לבטא את הקרוס-קורולציה.
לאחר מכן אנו מקרבים לחלון שלנו ומניחים שהחלון מספיק גדול.
בהמשך מניחים שאנו מנרמלים את ההתמרה מלכתחילה ולכן. STFT x1 1 :
2
השוויון האחרון הוא נוסחה ישירה שראינו בתחילת סמסטר.
מכאן ניתן לראות כי עבור Td :מתקבל הערך המקסימלי.
|5
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
01.0.01 – 6 תירגול
: שחזור- STFT
:בשלב האנליזה
zk n x n * v n e
2
j kn
M
2
km
v m x n m exp j
M
m
M 1
v rM l x n rM l e
j
l 0 r
2
kl
M
M 1
sl n e
j
2
kl
M
DFTM sl n
l 0
: sl n :להלן איור של אופן הסכימה המתבצעת לקבלת
x n mv m |
x m
v 0
x n v0 |
m
x n mv m |
| x n 1v1
: r -1
| x n m 1v m 1
:r 0
| x n 2 m 1v 2 m 1
סוכמים את האינדקסים בכל
מסגרת לפי מיקומם בה וכך
מקבלים לאחר הקיפול את הסיגנל
. sl
:r 1
n שלנו
s0 n
sM 1 n
:בשלב הסינתזה
xˆk n zk nR R * f k n
M 1
xˆ n xk n
k 0
r
z rR f n rR
r
k
r 0 : f 0 |
k
M 1
f n rR zk rR WM
n rRk
r 1:
R
f 0 |
:
| f L f 1
R
r 2:
k 0
| f L f 1
f 0 |
| f L f 1
M DFT 1 to sl rR
f n rR s
r
n Rr mod M
rR
xˆ 0
.
xˆ R
xˆ 2 R
f n rR h rR n pM p
:תנאי פורטונוב
r
: להלן תיאור סכמטי של התהליך. h pM
n M
n 0
|0|
r 1
r 0
n M
|1/M |
M
f 0 s0 n
|0|
0 | xxxxxxxx
x n
1
p - וf n M n :) נקבלFBS( R 1 : אם.1
M
| xxxxxxxx
r 1
0 | xxxxxxxx
r 2
0 | xxxxxxxx
אנליזה
R
f 0 s0 n 1
סינתזה
R
f 0 s0 n 2
R
x n
M
xxxxxx sl n
Ms0 n
סיכום ועריכה מאת שי ידרמן-
Ms0 n 1
Ms0 n 2
תירגולDSP2
|1
תירגול 01.0.01 – 6
.2דצימציה קריטית: R M :
נניח מסנני שיחזור מושלם כפי שמתואר באיור השמאלי .להלן מתוארים שלבי האנליזה והסינתזה:
s0 0
sM 1 0
| f M 1
M
| f 0
R
sM 1 R
סינתזה
s0 R
| f 0
| f M 1
R
Xˆ 2M 1
h
f
אנליזה מסננים
sM 1 n
Xˆ M 1 Xˆ M
.3מקרה כללי . 1 R M :ראינו בהרצאה כי:
h n
h n rR h rR n
s0 n
|x n M 1
Xˆ 0
M
| x n
. f n
r
נראה על ציר ה n -כי FBSמקיים את תנאי פורטונוב ונמצא מקרה פרטי עבור. R M :
תנאי פורטונוב יכתב f n rR h rR n pM p :
.
r
fימוקם ב rR -ו h -ימוקם ב: rR pM -
n
עבור FBSראינו בהרצאה את התוצאות.
כאשר לוקחים R 1ומתייחסים תחילה ל p 0 -מקבלים כי הסכימה על
h
f
rR
rR +pM
rנותנת r 1 :
.
r
עבור המקרה של p 0מקבלים מצב בו fנופל בדיוק על המקומות בהן h 0ולכן תמיד הסכימה תתאפס.
.4מקרה של R 0.5M :ו. Nh N f M -
במקרה זה נניח כי h ones M :ואז . f 0.5 ones M :זאת על מנת לקבל 1שטוח.
גם כאן ניתן לראות כי עבור p 0מקבלים כי חפיפת האותות נותנת 1לכל 1( nשטוח) ועבור p 0ההכפלה תיתן
תמיד אפס מכיוון שהמסננים יפלו תמיד בתחום ללא חפיפה בניהם.
בסוף התירגול פתרנו שאלה מתוך מבחן .2002הפתרון המלא נמצא באתר הקורס.
|2
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
תירגול 77.7.71 – 7
סינון מושלם:
תנאי פורטונוב המורחב:
n, s
f n rR h rR n s pM p
r
Lg 1
כאשר הוא מתקיים נקבל סינון מושלם. xˆ n M g s x n s M g n * x n :
s 0
עבור f n M n :FBSנקבל. h s pM p :
Overlap & add
Overlap & save
חלון אנליזה
ones L
ones L
R
L
L length g 1
מספר פסי תדר
L length g 1
L
חלון סינתזה
ones II
L
000000111111
g 1
תרגיל:
הוכח כי O&Aו O&S-מקיימים את תנאי פורטונוב.
פתרון:
הרעיון ב O&A-הוא כדלהלן:
.1לקחת חוצץ מהסיגנל באורך . Lg L , L
.2מרפדים באפסים עד לאורך L length g 1ומבצעים .FFT
M
באופן ציורי00000000 :
L
. X k fft
M
g
. Gk fft
.3ממירים לתדר00000000 :
M
.4מבצעים כפל איבר איבר בתדר (קונבולוציה ציקלית) .האיבר הראשון בזמן הוא:
.5מביצוע הקונבולוציה נקבל כי האיברים הראשונים והאחרונים יהיו חסרים מכיוון שהם מוכפלים באפסים!
עקב סיבה זו מבצעים את החפיפה .החפיפה נועדה להשלים את זה שחסר לקונבולוציה.
החיבור של המסגרות זו אחר זו ב R -נותן את הסינון המושלם.
|1
DSP2תירגול
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
. X k Gk
תירגול 77.7.71 – 7
כעת עלינו להראות כי ה O&A-עומד בתנאי פורטונוב .אורך המסנן hהוא. Lh :
לכן אורך חלון הסינתזה הוא. M Lh Lg 1 L f :
נסרטט את ציר nשל תנאי פורטונוב .נתחיל מתנאי האי-קיפול: p 0 :
fנוצר על rRו h -נמצא על . rR s pM
כאשר מתקדמים עם sהחלון ב p 1 -יתקדם עד ל rR 1-ולכן לא יחפוף את . f
ניתן לראות כי גם אם sיהיה Lg 1אין מגע בין fל - h -קיבלנו תנאי אי-קיפול.
p 1
M
Lh
n
p -1
Lh
Lf
rR M
rR
נבדוק את תנאי אי השטיחות: p 0 :
Lh
Lf
n
rR s
לכל h , sתמיד יהיה מוכל ב. f -
rR
נשים לב כי כדי לקבל 1לכל , nאנו קופצים בסכימה על rב . R -היות ואורך המסנן hהוא Rאז מקבלים שאחרי המכפלה
שראינו באיור הקודם יש לנו אות של 1באורך . Rכעת מהסכימה נזוז ב R -כאשר r 1וכך הלאה .נקבל 1לכל nכך.
נוכיח עבור :overlap & save
הגדלים הם, M Lh :
. R Lh Lg 1וכן:
h n
Lg 1
Lh
n
n
נקבל את האיור הבא:
שוב גם אם s Lg 1אין מגע בין fל. h -
M
M
p 1
Lh
n
Lf
Lh
Lh
0000
rR
rR +M +s
rR-M +s
Lf
00 00
rR rR +s
n
אחרי הכפלה נקבל את המתואר באיור הבא:
שוב פעם קיבלנו 1לכל nכפי שציפינו.
R Lh - Lg -1
Lf
n
באופן מוכלל ,תנאי אי הקיפול מתואר באיור הבא:
fימוקם ב n rR -ו h -ימוקם ב. n rR s pM -
המרווח המתואר בין שני השכפולים של hהוא . 2M
תובנה ראשונה היא שלכל rתתקבל תמנה זהה.
מהמרווחים שרואים מתקיים. L f Lh Lg 1 2M :
תנאי השטיחות ממקם את המסננים כך:
fימוקם ב n rR -ו h -ימוקם ב. n rR s -
0000
rR
p 0:
2M
n
h
p 1
Lg -1
Lf
h
rR
rR +M +s
n
p 1
rR-M +s
Lh
אם המכפלה בניהם תיתן onesבאורך קבוע לכל sאז:
נקבע את אורך המכפלה ל R -ונקבל 1לכל . n
n
אפשרות אחרת היא חיפוש ערכי R , L f , Lhע"י
חלונות המינג .בסוף התירגול פתרנו שאלה ממבחן .2212הפתרון המלא מופיע באתר הקורס.
|2
M
תנאי שטיחות p 0 :מופיע באיור הבא:
נבחין כי תמיד fמוכל בתוך . h
DSP2תירגול
f n
-סיכום ועריכה מאת שי ידרמן
Lf
rR +s
R
rR
© Copyright 2024