null

21.11.12 – 1 ‫תירגול‬
Digital Signal Processing 2
‫ עופר שוורץ‬:‫מתרגל‬
:‫חזרה כללית‬
. x  n   M  xd  n :)‫דצימציה (הורדת קצב‬
. cM  n  

  n  kM  :‫ כאשר מגדירים‬x n  x Mn  xnM c nM  :‫נוסחאות בזמן‬
k 
d
M
1
. Xd  z 
M
 j  M2 m 
X e
 :‫נוסחאות בתדר‬

m 0


M 1
. x  n   L  xL  n :)‫אינטרפולציה (העלאת קצב ללא סינון‬
 x  n / L

. xL  n  

0
n  0,  L, 2 L,....

. XL  z  X e
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
else
j L
:‫נוסחאות בזמן‬
  X  z  :‫נוסחאות בתדר‬
‫ תירגול‬DSP2
L
|1
‫תירגול ‪21.11.12 – 1‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫מתוך מבחן בקורס מבוא לניתוח אותות ‪ 40‬אונ' ת"א‪.‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪v  n‬‬
‫האם ניתן לשחזר את הכניסה מתוך מוצאי המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בתחום הזמן נקבל בענף העליון‪. y0  n  ....x  4 , x  2 , x 0 , x  2 , x  4 ,.... :‬‬
‫בענף התחתון נקבל כתוצאה מההכפלה במהפך את האות הבא‪:‬‬
‫א‪ .‬לאחר ההכפלה‪..., x  2 ,  x  1 , x 0 ,  x 1 , x  2 ,  x 3 , x 4 ,.... :‬‬
‫ב‪ .‬לאחר הורדת הקצב‪. y1  n  ....x  4 , x  2 , x 0 , x  2 , x  4 ,.... :‬‬
‫קיבלנו את אותו האות ולכן לא ניתן לשחזר באופן כללי‪.‬‬
‫נזכיר את שלבי הדצימציה והאינטרפולציה בתחום התדר‪:‬‬
‫אינטרפולציה‪:‬‬
‫חלוקת ציר התדר ב‪. L -‬‬
‫דצימציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫שכפול בנקודות‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫הכפלה ב‪. -‬‬
‫‪M‬‬
‫הכפלת ציר התדר ב‪. M -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫במקרה של סינון‪:‬‬
‫הכפלה ב‪. L -‬‬
‫‪ ‬‬
‫סינון סביב ‪,‬‬
‫‪L L‬‬
‫‪.‬‬
‫נממש את האות במישור התדר‪:‬‬
‫ענף תחתון – שלבים ‪:1-3‬‬
‫ענף עליון – שלבים ‪:1-3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Y0  e j‬‬
‫‪V e j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪Y1 e j‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Y0 e j‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪X e j‬‬
‫‪1.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫האות המקורי בתדר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪2,3.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫הערה לענף התחתון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫שלבים ‪ 2‬ו‪ 3-‬זהים לענף העליון‪.‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪-‬‬
‫תירגול ‪21.11.12 – 1‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫האם המערכות הבאות שקולות?‬
‫מה ניתן להסיק על פעולת הורדת קצב?‬
‫]‪y[n‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בענף העליון נקבל‪. x 1 , x  2 , x 3 , x  4 ,....  x 1 , x 3 , x 5 , x 7 ,.... :‬‬
‫בענף התחתון נקבל‪. x 0 , x  2 , x  4 , x 6 ,....  x 2 , x 4 , x 6, x 8,.... :‬‬
‫לא קיבלנו את אותו האות מכיוון שהמערכות אינן ‪( TI‬ניתנות להזזה בזמן) ולכן הפעולה לא נכונה‪.‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫]‪h0[n‬‬
‫]‪y0[n‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫]‪h1[n‬‬
‫]‪y1[n‬‬
‫האם ניתן לשחזר את הכניסה מתוך המוצאים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נקבל את הגרפים הבאים‪:‬‬
‫ענף עליון‪:‬‬
‫ענף תחתון‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫האות המקורי בתדר‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Y1 e j‬‬
‫‪Y0 e j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪X e j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪‬‬
‫השאלה היא האם ניתן לשחזר את האות המקורי משני המסננים‪.‬‬
‫‪|3‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫תירגול ‪21.11.12 – 1‬‬
‫נניח את המסננים הבאים במקום הקיימים ונקבל את האותות הבאים בתדר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נשים לב כי‪ H 0  H1  , M 0   H 0  H1  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪. M1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫הענפים יראו באופן הבא‪:‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪M 0 e j  X e j‬‬
‫ענף עליון‪:‬‬
‫‪M1 e j X e j‬‬
‫ענף תחתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫כעת ניתן לשחזר!‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪   x  n‬‬
‫התקבלה השקילות הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y1 e j‬‬
‫‪2‬‬
‫נשחזר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y0 e j‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y0  n    2  2m0  n ‬‬
‫‪y1  n    2  2m1  n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h0  n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h1  n ‬‬
‫‪x  n ‬‬
‫‪m0  n   2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1  n   2‬‬
‫‪x  n ‬‬
‫נמשיך עם השקילויות‪.‬‬
‫היות והורדת קצב היא ליניארית (אך אינה ‪ TI‬כפי שראינו קודם) וה‪"-‬פרפר" הוא ליניארי (ראינו ב‪ )DSP1-‬ניתן להחליף בניהם‪:‬‬
‫מכאן והלאה‬
‫זהו השחזור‬
‫לבעיה‬
‫המקורית‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h0  n   2‬‬
‫‪h1  n   2‬‬
‫‪x  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h0  n ‬‬
‫‪h1  n ‬‬
‫נוכיח כי דצימציה היא ליניארית‪. ax1  n  bx2  n  2  ax1  2n  bx2  2n  a  x  n  2  b  x2 n  2 :‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪x  n ‬‬
‫תירגול ‪21.11.12 – 1‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫מעוניינים לממש מערכת עם השהייה שברית רציונאלית‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫מהי תגובת התדר של מערכת כזו? הראו שהמערכת הבאה מממשת את הפעולה הרצויה‪:‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪‬‬
‫כדי להבין כיצד ניתן לבצע הזזה שברית נפתח בהזזה בעולם הרציף‪ x  t  T  :‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪ j  T ‬‬
‫‪M ‬‬
‫‪ f  / T ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫המרה של מערכת רציפה לבדידה מתבצעת‪:‬‬
‫‪ H  e j   ‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫נקבל במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪ H  e j   e‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪ j  T ‬‬
‫‪M ‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪. x  t   H  j   e‬‬
‫‪‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f ‬‬
‫‪. H  j   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ H  j   e‬אשר אין לו התמרה‪.‬‬
‫(מעיון בטבלת ההתמרות הבדידות רואים כי התנאי להתמרה הפוכה הוא‪ L / M  integer :‬והדבר לא קיים כאן)‪.‬‬
‫כדי להתגבר על בעיה זו נשתמש בזהויות האצילות )‪:(Noble Identities‬‬
‫‪  M  H  e jM  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H  e j    M ‬‬
‫נשים לב כי ע"י שימוש בזהויות האצילות ניתן להחליף בין שתי המערכות הבאות‪:‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ /M‬‬
‫‪ / M‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ e jL   M ‬‬
‫‪ /M‬‬
‫‪F 1‬‬
‫קיבלנו מערכת ברת התמרה כי כעת‪   n  L  :‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ j L‬‬
‫‪ / M‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪x  n  e‬‬
‫‪x  n   M ‬‬
‫‪.e‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
51.55.52 – 2 ‫תירגול‬
:Poly-Phase ‫מסנני‬
:‫נוסחאות עזר‬
1 L 1 r / L lr
z WL H  z 1/ LWLl  :‫ והתמרתם היא‬. Pr  n  h  nL  r  :‫ מוגדרים באופן הבא‬L ‫ מסדר‬PP ‫מסנני‬

L l 0
L 1
L 1
n i
. H  z    Pi  e j e ji :‫ ובמישור התדר‬h  n   Pi 
n  i  0,  L.. :PP ‫מסנן כללי באמצעות מסנני‬
 L 
i 0
i 0
. Pr  z  
x  n  G  z    L  y  n
.
x  n  G  z
M
  M

x n   L  G  z L   y n
 y n  x n   M  G  z   y n
:‫זהויות אציליות‬
N 1
. xd  n   h  k  x  nM  k    x  r  h  nM  r  :‫הגדרת דצימציה‬
k 0
n  k 
. xi  n   h  k  x 
  x  r  h  n  rL 
 L  r 
k 0
N 1

; n  k  0,  L,... :‫הגדרת אינטרפולציה‬
:‫מימושים יעילים של דצימציה ואינטרפולציה‬
.‫ כמתואר באיור השמאלי‬x  n  h  n   M
:‫( ולאחר מכן מורידים קצב‬antialiasing) ‫בדצימציה מעבירים תחילה דרך מסנן‬
. T :‫ מקדמים) וזמן הדגימה הוא‬N ‫ הכפלות (עבור מסנן עם‬N ‫ יש לנו‬.‫קצב העבודה יחושב ע"י מכפלות ביחס לזמן‬
N
.‫ ע"י הזזת הדצימציה כפי שראינו בהרצאה נוכל לקבל את האיור הימני‬. R   f s N :‫לכן הקצב הוא‬
T
. M ‫המשמעות היא הורדת קצב המכפלות פי‬
output Freq.: f s / M
input Freq.: f s
x  n
z 1
z
1
h  0
h 1
h  2
z 1 h  N  1
 M  xd  n
linear and
x  n
z 1
not TI
Calc.Rate: R  N  f s
output Freq.: f s / M
input Freq.: f s
z
1
z 1
M
M
M
M
h  0
h 1
h  2
xd  n
Calc.Rate:
R  N  fs / M
h  N -1
.‫ לא נראה אותה כאן‬.‫העלאת קצב זהה לחלוטין ומתוארת בהרצאה‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
‫ תירגול‬DSP2
|1
‫תירגול ‪51.55.52 – 2‬‬
‫תצורה שונה ע"י שימוש ב‪:PP-‬‬
‫‪ M  xd n‬‬
‫‪M 1‬‬
‫נעזר בנוסחה‪ H  z    z i Pi  z M  :‬ונקבל את האיור הבא‪:‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪h  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ M  xd  n‬‬
‫‪P0 z M‬‬
‫לאחר שימוש בזהות אצילה נוכל להמיר את המערכת כמתואר באיור‬
‫‪fs‬‬
‫‪f‬‬
‫‪fN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ R  s  M ‬כאשר‪:‬‬
‫השני ואז קצב החישובים יהיה‪ s :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫כמות המכפלות‪.‬‬
‫הוא התדר לאחר מוריד הקצב‪ M ,‬הם מספר הענפים ו‪-‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ ‬‬
‫נציין כי במערכות ‪ IIR‬השיטות הנ"ל לא שוות כלום‬
‫מכיוון שמדובר במסננים עם אינסוף מקדמים‪.‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪PM 1 z M‬‬
‫‪  M  P0  z ‬‬
‫‪   y  n‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1   M  P z‬‬
‫‪M 1  ‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1   z 1‬‬
‫‪ . H  z  ‬יש למצוא את ה‪ PP-‬של המסנן מסדר ‪. M‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫המסנן הוא‪ . h  n   nu  n :‬מסנני ‪ PP‬הם‪. Pi  n  h  nM  i    nM iu  nM  i  :‬‬
‫‪i‬‬
‫נפרק את ‪ u  nM  i ‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ . nM  i  0  n  ‬היות ו‪ 0  i  M  1 -‬נקבל כי ‪. n  0‬‬
‫לכן‪ Pi  n   nM i u  n :‬ואז במישור התדר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 z‬‬
‫‪M‬‬
‫‪. Pi  z    i‬‬
‫‪P0  n‬‬
‫תיאור במישור הזמן של המסנן המקורי‬
‫כאשר ניתן לראות לאן הולכת כל דגימה‬
‫מבחינת המסננים ‪:PP‬‬
‫‪P2 n ‬‬
‫‪M 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P1 n ‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪‬‬
‫‪P0  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫תיאור במישור הזמן של המסנן המקורי‬
‫‪h  n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫תיאור במישור הזמן של הדגימות‬
‫הראשונות של שני מסנני ‪ PP‬הראשונים‬
‫‪P1  n ‬‬
‫‪h  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 M 1‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫תירגול ‪51.55.52 – 2‬‬
‫נבדוק את התועלת של ‪ PP‬לדצימציה ונראה כי הדבר אינו יעיל כאשר עוסקים במסנן ‪:IIR‬‬
‫‪W  z‬‬
‫המערכת היא‪ . x  n  H  z    M :‬נכתוב את המשוואות‪:‬‬
‫‪Z 1‬‬
‫‪X  z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪W‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪az‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪w  n    w  n  1  x  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   z 1‬‬
‫‪W  z  X  z H z ‬‬
‫איור ‪:1‬‬
‫‪1‬‬
‫האיור המתאר זאת הוא כדלהלן (איור ‪ ,)1‬קצב החישובים הוא‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ R ‬כי יש רק מכפלה אחת‪:‬‬
‫נצייר באמצעות מסנני ‪( PP‬איור ‪ .)2‬אבל גם כל מסנן ממומש באמצעות משוב‪:‬‬
‫‪M 2 2‬‬
‫‪.R ‬‬
‫(איור ‪ )3‬לכן קצב החישובים הוא‪ :‬‬
‫‪T M T‬‬
‫(חושב לפי מכפלת ענפים במספר מכפלות חלקי קצב הסיגנל)‪.‬‬
‫‪w  n‬‬
‫‪M ‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪‬‬
‫איור ‪:2‬‬
‫‪  M  P0  z ‬‬
‫‪   y  n‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1   M  P z‬‬
‫‪M 1  ‬‬
‫ניתן לראות כי רק הרענו את המצב בכך שהגדלנו את קצב המכפלות‪.‬‬
‫לכן אין טעם להשתמש בזאת כאן‪.‬‬
‫איור ‪:3‬‬
‫‪Pi  z ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z 1‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫מה מבצעת המערכת הבאה‪:‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫יש לנו ‪ M 2‬ענפים שאליהם הולך האות ומוכפל באקספוננטים‪ .‬לאחר מכן מורידים קצב‪ .‬לא ניתן להשתמש בזהות אצילה מכיוון‬
‫שצריך מסנן מהצורה‪ H  z M  :‬אשר צורתו היא דגימה ואפסים‪ ,‬דגימה ואפסים בהתאמה‪ .‬מה שכן ניתן לעשות זה להחליף את‬
‫המכפלה עם הורדת הקצב מכיוון שניתן תחילה להוריד קצב ורק אז להכפיל את הדגימות‪ .‬היות ואין לנו השהייה בהתחלה ניתן‬
‫להוציא את הורדת הקצב ממש מיד לאחר אות הכניסה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  M 2 1 n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪exp  j‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  n‬‬
‫‪x  n    M1‬‬
‫‪x  n     M ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f  nM ‬‬
‫‪ 2 0n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪exp  j‬‬
‫‪ M2 ‬‬
‫‪x  n   M   ‬‬
‫נוכל לסכום את כל הענפים ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ M ; n  kM 2‬‬
‫‪ w n   2‬‬
‫‪ w  n    M 2  n  kM 2 ‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪0 ; else‬‬
‫‪|3‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪1  e j 2 n‬‬
‫‪2 n‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪1 e‬‬
‫‪ w n ‬‬
‫‪2 kn‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪M 2 1‬‬
‫‪ w  n  e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪2 kn‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪M 2 1‬‬
‫‪ w  n e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪y  n ‬‬
‫תירגול ‪51.55.52 – 2‬‬
‫מבחינה גרפית קיבלנו את הפישוט הבא‪:‬‬
‫רכבת הלמים‬
‫למעשה ניתן לכתוב כך‪:‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪M2‬‬
‫‪x  n   M1   M 2   M 2   y n  x n   M1M 2   M 2   y n‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נתון‪ . x  n   M  H  z    M  :‬יש לפשט את המערכת‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫אנו יודעים לפשט את הבלוק‪  M  H  z  :‬לפי זהויות אצילות‪ .‬נקבל באמצעות ‪:PP‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪ P0  z    M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪ PM 1  z    M‬‬
‫בנקודה ‪ A‬האות נכנס בתדר הנמוך‪ .‬בנקודה ‪ B‬יש לנו השהייה וסכימה ‪ M‬פעמים ולכן התדר גדל פי ‪. M‬‬
‫למעשה נוכל לצייר זאת באמצעות קומוטטור באופן הבא‪:‬‬
‫‪COMOTTOR‬‬
‫‪ P0  z ‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪ PM 1  z ‬‬
‫נשים לב כי לאחר הורדת הקצב נשארנו למעשה רק עם הדגימה הראשונה ולכן המערכת שלנו שקולה רק לענף הראשון‪:‬‬
‫‪ x  n  P0  z  ‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪x  n   M  H  z    M ‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪51.55.52 – 2‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫נתונה המערכת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪L‬‬
‫‪j ( ‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪L‬‬
‫‪H i (e‬‬
‫ידוע‪) :‬‬
‫יש לייעל את המערכת‪.‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪. H i (e )  e‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הקצב הנוכחי הוא‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ . R  f s  L  L ‬הרבה חישובים – לא יעיל במיוחד‪.‬‬
‫‪signal Rate Branch Filter Length‬‬
‫ננסה להשתמש בזהויות אצילות‪ .‬המסננים מקיימים בזמן‪hi  n :‬‬
‫‪2  n i ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪j‬‬
‫‪hi  n  e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪L‬‬
‫‪j‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 i‬‬
‫‪L‬‬
‫‪j‬‬
‫‪. hi  n  e‬‬
‫אם‪ n  i  L :‬מתחלק ב‪ L -‬אז‪ hi  n  hi  n :‬אחרת‪ . hi  n  0 :‬קיבלנו מסננים מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪h1  n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  2L  1‬‬
‫‪n  L 1‬‬
‫‪h0  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n  2L‬‬
‫‪n L‬‬
‫‪n0‬‬
‫בהתייחסות לזהות אצילה ראינו כי המסנן הסמוך להעלאת קצב הוא כזה שמכיל ‪ L  1‬אפסים בין כל דגימה‪.‬‬
‫היות והמסננים שלנו מקיימים זאת נוכל לכתוב‪ G  z L   H i  z  z i :‬ולצייר את המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪ H0  z ‬‬
‫‪ y  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪x  n   L‬‬
‫‪ H1  z  z‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪ H L 1  z  z L 1‬‬
‫כעת נוכל להפעיל את הזהות האצילה על כל אחד מהענפים‪:‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ H z  z‬‬
‫‪ H 0 z1/ L   L‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪1/ L‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪1/ L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L 1 / L‬‬
‫‪ H L 1 z1/ L z     L‬‬
‫נציין כי למרות שהרישום של חזקה שברית הוא אסור‪ ,‬אנו יודעים כי יש לנו אפסים ולכן זה בסדר כאן‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ . R  f s  L ‬שיפרנו פי ‪. L2‬‬
‫הקצב הנוכחי כעת הוא‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Branch‬‬
‫‪signal Rate‬‬
‫‪Filter Length‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪6.21.21 – 3‬‬
‫בנק מסננים‪:‬‬
‫הערה‪ :‬הסקירה התיאורטית נמצאת בדפי התירגול‪.‬‬
‫מוצא מערכת דו ערוצית פשוטה מקיים‪:‬‬
‫‪X  z   T  z  X  z   A z  X z  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H 0  z  F0  z   H1  z  F1  z   X  z    H 0   z  F0  z   H1   z  F1  z   X   z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫התנאי לשחזור מושלם של מערכת דו‪-‬ערוצית‪:‬‬
‫‪A  z   0 .1‬‬
‫‪F0  z   H 0  z  .2‬‬
‫‪F1   z    H1   z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ H 02  z   H 02   z   .3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T  z   Cz0 n0 ‬‬
‫שינוי קצב דגימה ביחס רציונאלי‪:‬‬
‫מימוש בצורה יעילה של המערכת‪. x  n   L  H  z    M  y  n :‬‬
‫‪Q 1‬‬
‫‪  nM ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪h‬‬
‫‪nM‬‬
‫‪‬‬
‫‪rL‬‬
‫‪‬‬
‫‪PnM  L  m x  ‬‬
‫שבה המוצא הוא‪ m  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪m 0‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. y  n ‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫יש למצוא מימוש יעיל למערכת‪. x  n   2  H  z    3  y  n :‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫קצב העבודה של המערכת המקורית הוא‪ 2  N :‬‬
‫‪T‬‬
‫אנו רוצים להצליח לקשר בין ההעלאה והמסנן בצורה יעילה כדי להתפטר מה‪ .2-‬לאחר מכן נרצה לממש בצורה יעילה את הורדת‬
‫הקצב יחד עם המסנן כפי שראינו בשלבים קודמים יותר של הקורס‪ .‬נבצע את הפעולות הבאות‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ייעול הדצימציה‪:‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 N 12‬‬
‫‪ 2  3  ‬‬
‫קצב העבודה כעת הוא‪N :‬‬
‫‪T‬‬
‫‪3 3 T 3‬‬
‫‪|1‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪.‬‬
‫‪ 3  P0  z ‬‬
‫‪ 3  P1  z ‬‬
‫‪ 3  P2  z ‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪z 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x  n   2‬‬
‫תירגול ‪6.21.21 – 3‬‬
‫ייעול ההעלאת קצב‪:‬‬
‫‪ 3  y  n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N N‬‬
‫קצב העבודה כעת הוא‪:‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2 T‬‬
‫‪.‬‬
‫‪P0  z    2‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪P1  z    2‬‬
‫נמשיך לפתח‪ .‬נבחין כי אפשר לרשום‪ . z 1  z 2  z 3 :‬נוכל כעת לרשום את הסרטוט הקודם באופן הבא‪:‬‬
‫‪ 4‬דיאגרמות – החל מהעמודה השמאלית כלפי מטה‪.‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪ 3  P00  z ‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3  P01  z ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3  P02  z ‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪ 3  P11  z ‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪ 3  P12  z ‬‬
‫‪z 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪ 3  P10  z ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3  y  n‬‬
‫‪P0  z    2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪P0  z    2   3‬‬
‫‪1N‬‬
‫קצב העבודה כעת הוא‪:‬‬
‫‪T 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪down sampling Filter length‬‬
‫‪branches‬‬
‫‪P1  z    3   2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪signal‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪x  n‬‬
‫‪z 2  3‬‬
‫‪P1  z  ‬‬
‫המעבר מהדיאגרמה השנייה לשלישית אפשרי מכיוון שההעלאה וההורדה הם מספרים זרים‪.‬‬
‫בסוף מקבלים את המימוש באמצעות ה‪ PP-‬של ה‪.PP-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2  3 ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪P1  z    2‬‬
‫‪P0  z    3   2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪x  n‬‬
‫תירגול ‪6.21.21 – 3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬מהנתון כי המערכת היא ‪ LTI‬האיבר ‪ A  z ‬מתאפס ולכן‪. H 0   z  F0  z   H1   z  F1  z   0 :‬‬
‫‪1  bz 1 1  az 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪H 0   z  F0  z ‬‬
‫‪. F1  z   ‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪H1   z ‬‬
‫‪1  az 1‬‬
‫ב‪ .‬נחשב ישירות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  bz 1-az ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  bz 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪T  z    H 0  z  F0  z   H1  z  F1  z    1  bz 1  az ‬‬‫‪1-az   ... ‬‬
‫‪2az 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  az‬‬
‫‪1  az‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬השחזור המושלם יתקיים כאשר‪ a  b :‬ואז נקבל‪ - T  z   2az 1 :‬השהייה‪.‬‬
‫ד‪ .‬המבנה של ‪ PP‬עפ"י הנוסחה הוא‪ . H  z    Pi  z 2  z 1  P0  z 2   z 1P1  z 2  :‬נוכל לקבל בקלות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪. H 0  z   P0  z   z 1P1  z 2   P0  z   1 , P1  z   a‬‬
‫‪2‬‬
‫כנ"ל נמצא עבור השניים האחרים הנתונים‪.‬‬
‫עבור ‪ F1  z ‬נצטרך להכפיל מכנה ומונה על מנת שיהיה לנו‬
‫‪2‬‬
‫‪ z‬במכנה שממנו נוכל למצוא את ה‪.PP-‬‬
‫‪1  bz 1  az 1  az   .... ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  bz 1  az   1  az‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F1  z ‬‬
‫‪1  az 1‬‬
‫‪1  az 1‬‬
‫‪1  a 2 z 2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1   a 2  2ab  z 2  b  2a  z 1  a 2bz 3‬‬
‫‪1   a 2  2ab  z 2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪bz‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ z 1 ‬‬
‫‪1  a 2 z 2‬‬
‫‪1  a 2 z 2‬‬
‫‪1  a 2 z 2‬‬
‫‪1  a 2 z 2‬‬
‫‪1   a 2  2ab  z 1‬‬
‫לכן המסננים הם‪ b  2a   a 2bz 1 :‬‬
‫‪. P0  z   ‬‬
‫;‬
‫‪P‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  a 2 z 1‬‬
‫‪1  a 2 z 1‬‬
‫‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫נתון כי ‪. b  1‬‬
‫כמו כן נתון כי כאשר מסנני הערוצים הם קצר‪ ,‬המערכת היא ‪ ,LTI‬וכי המסננים ) ‪ Fi (z‬הם מסנני ‪ FIR‬סיבתיים‬
‫מהסדר המינימלי האפשרי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את המסננים ) ‪( Fi (z‬עד כדי קבוע כפלי) וקבעו את פונקצית התמסורת של המערכת כאשר מסנני הערוצים הם קצר‪.‬‬
‫נסמן פונקצית תמסורת זו כ‪. T1(z)-‬‬
‫ב‪ .‬באיזה תנאי על מסנני הערוץ תהיה המערכת הכוללת (בנוכחות מסנני ערוצים שאינם קצר) מערכת ‪?LTI‬‬
‫(תזכורת‪ :‬המסננים הם אלו שמצאתם בסעיף א')‪.‬‬
‫‪|3‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪6.21.21 – 3‬‬
‫ג‪ .‬בטאו את הקשר בין )‪ T1(z‬ל )‪ T(z‬כתלות במסנני הערוצים‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם קיימים מסנני ערוץ סיבתיים ויציבים עבורם תשיג המערכת הכוללת ‪( PR‬עד כדי השהיה)? אם כן מצאו מסננים‬
‫כאלו‪ ,‬אם לא נמקו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נשתמש בידע הקיים‪ ,‬נאפס את ‪ A  z ‬כמו מקודם‪:‬‬
‫‪. H 0   z  F0  z   H1   z  F1  z   0  1  az 1  F0  z   1  bz 2  F1  z   0‬‬
‫יש לנו אינסוף בחירות אך רמזו לנו כי המסננים הם ‪ FIR‬ולכן נרצה שהם יהיו ביטויים ללא מכנה‪.‬‬
‫מקובל לבחור‪. F1  z   1  az 1 ; F0  z    1  bz 2  :‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נכתוב תחילה את ‪ T  z ‬ללא העיבוד‪ F0  z  H 0  z   F1  z  H1  z    ...   1  bz 2  az 1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת נזיז את מערכות העיבוד ‪ C1  z  , C0  z ‬לאחד הצדדים ונאחד אותם או עם ‪ Fi  z ‬או עם ‪. H i  z ‬‬
‫‪.T  z ‬‬
‫נבחר להזיז לצד ימין ונקבל‪:‬‬
‫‪F0  z ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y  n‬‬
‫‪H 0  z    2   2  C0 z 2 F0  z ‬‬
‫‪x  n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪H1  z    2   2  C1 z 2 F1  z ‬‬
‫‪F1  z ‬‬
‫כדי שהמערכת תהיה ‪ LTI‬נצטרך לאפס את ‪ A  z ‬המתקבל עבור המערכת הכוללת‪:‬‬
‫‪ A  z   F0  z  H 0  z   F1  z  H1  z   0  ... C1  z 2   C0  z 2   0‬לכן‪. C1  z   C0  z  :‬‬
‫ג‪ .‬כדי למצוא את המערכת הכוללת נמצא את ‪: T  z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H 0  z  F0  z  C0  z 2   H1  z  F1  z  C1  z 2   ...  C0  z 2  T  z ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪T  z ‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬נכתוב מפורשות‪. T  z   C0  z 2  T  z   C0  z 2   1  bz 1  az 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫אם‪:‬‬
‫‪a 1  bz 2 ‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪ C0  z 2  ‬אז נקבל פשוט‪. T  z   z 1 :‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪6.21.21 – 3‬‬
‫שאלה ‪:4‬‬
‫נתונה מערכת‪:‬‬
‫א‪ .‬נתון כי ) ‪ F0 ( z )  z  k H1 ( z‬כאשר ‪ k‬שלם כלשהו‪ .‬קבעו את ) ‪ F1 ( z‬כתלות ב‪ H i (z ) -‬כך שהמערכת הכוללת תהיה ‪.LTI‬‬
‫ב‪ .‬עבור המסננים מסעיף א'‪ ,‬בטאו את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת כתלות במסננים ) ‪. H i (z‬‬
‫ג‪ .‬מעוניינים לבחור מסננים ) ‪ H i (z‬כך שהמערכת תממש השהייה טהורה‪ , T ( z )  z l :‬כאשר ‪ l‬שלם כלשהו‪.‬‬
‫הראו כי ‪ k+l‬חייב להיות מספר אי‪-‬זוגי (רמז‪ :‬בחנו את )‪.) T(-z‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נכתוב פעם נוספת‪. A  z   F0  z  H 0   z   F1  z  H1   z   0 :‬‬
‫נקבל‪. z  k H1   z  H 0   z   F1  z  H1   z   0  F1  z    z  k H 0   z  :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬המערכת היא‪F0  z  H 0  z   F1  z  H1  z    ...  z  k  H1   z  H 0  z   H 0   z  H1  z   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.T  z ‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪ . T  z   z l :‬נבחן את המערכת הנתונה‪. T   z     z    1 z l   1 T  z  :‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ k 1‬‬
‫מצד שני נציב ‪  z‬למערכת שאליה הגענו‪ 1 z  k  H1   z  H 0  z   H 0   z  H1  z     1 T  z  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ k 1‬‬
‫‪  1   1‬ונקבל‪ . l  k  1  even :‬ממילא‪. l  k  odd :‬‬
‫נשווה בין הביטויים הבאים‪:‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪. T z   ‬‬
02.20.20 – 4 ‫תירגול‬
:Multi Channel Filter Bank – ‫בנק מסננים רב ערוצי‬
:‫תיאור אנליזת המערכת הכללית‬
x0  n
v0  n
x1  n
v1  n
u0  n
x  n 
 H0  z    M 
  M  F0  z 
u1  n
 H1  z    M 
xM 1
  M  F1  z 
vM 1
uM 1
x  n
 H M 1  z    M    M  FM 1  z 
.)‫ (ראינו בהרצאה את הרעיון שלהם‬QMF ‫נתעניין במסנני‬
M 1

M 1

. X k  z    WMkl z l Pl  z M  X  z  :‫ ואז‬H k  z     z 1WMk  Pl  z M  :‫ מקבלים‬PP ‫ברישום‬
l 0
M 1

l
l 0

. X k  z    WMkl z l Pl  z M  X  z   DFTM*  sl  z   :‫ וקיבלנו התמרה הפוכה‬sl  z   z l Pl  z M  X  z  :‫סימנו‬
l 0
:‫דיאגרמת האנליזה היא‬
x  n
z
z
1
1
z 1
 

  
 
P  z  

DFT
P0 z M
s0 n
M
s1 n
1
   
PM 1 z M
x  n
0

  M  v0  n
x  n
*
1

  M  v1  n
 n
M -1

  M  vM 1  n
s M 1 n
x
N 1
. DFT
*
 X  z    x n e
j
2
kn
N
:‫נזכור כי‬
n 0
M 1
. qi  n  f 0  n  M  M  1  i  :‫ בזמן‬. F0  z    z  M 1l Ql  z M  , Fk  z   WMk F0  zWM k  :‫נוסחאות הסינתזה‬
l 0
M 1
. Fk  z    WM kl z  M 1l Ql  z M  :‫ כללי‬k ‫עבור‬
l 0
M 1
M 1
k 0
l 0
X  z    Fk  z Vk  z   ...   z
 M 1l 
Ql  z M   DFT Vk  :‫האות המשוחזר הוא‬
.‫ כפי שראינו בהרצאה‬Pk  z  Qk  z   1 :‫התנאי לשחזור מושלם הוא‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
‫ תירגול‬DSP2
|1
‫תירגול ‪02.20.20 – 4‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬נתון אות באורך ‪:22‬‬
‫‪n  0,1,...,10‬‬
‫‪n  11,12,...,21‬‬
‫‪o.w‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x[n]  1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫מצא את התמרת פורייה שלו‪.‬‬
‫כעת מעוניינים לחשב את ההתמרה במרווחים של ‪ . 211‬הציעו זאת הן בעזרת שימוש בסעיף א'‪ ,‬והן ישירות מתוך האות‪.‬‬
‫‪x[n]  0‬‬
‫ב‪ .‬נתון אות באורך ‪n {0,1,..., M  1} :M‬‬
‫מעוניינים לחשב את ה‪ DFT-‬שלו ברזולוציה ‪ . 2M‬לרשותנו מערכת המחשבת ‪. DFT   x  n‬‬
‫הראו כיצד ניתן לחשב את ה‪ DFT-‬של האות בעזרת המערכת הנתונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון אות ]‪ x[n‬המורכב משרשור של אותות סופיים באורך ‪x[n]  ..., x1 , x0 , x1 ,... :6‬‬
‫כאשר ‪ xi‬הינה סדרה באורך ‪.6‬‬
‫‪( 1 ) n n  0,1,...5‬‬
‫‪. w[n]   4‬‬
‫מעוניינים לחשב את ה‪ DFT-‬ברזולוציה ‪ 24‬של כל אחד מן האותות שעבר כפל בחלון ]‪: w[n‬‬
‫‪o.w‬‬
‫‪0‬‬
‫בנו מערכת המחשבת זאת‪ .‬תנו פירוש נוסף למערכת‪.‬‬
‫פתרון ‪:‬‬
‫א‪ .‬מטבלאות נקבל‪:‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫]) ‪sin[ ( N1  12‬‬
‫) ‪sin( 2‬‬
‫‪DTFT‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X (e j ) ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪N1‬‬
‫ולכן‪ ,‬עבור ‪ , N  10‬ובשימוש בתכונת ההזזה בזמן‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪n  0,1,...,10‬‬
‫‪sin  5.5   j16  j 5‬‬
‫‪DTFT‬‬
‫‪11,12,..., 21 ‬‬
‫‪ X  e j  ‬‬
‫‪e  e ‬‬
‫‪sin  2 ‬‬
‫‪o.w‬‬
‫נציב‪k  0,1,...10 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ j 10‬‬
‫‪k‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x[n]  1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬ונקבל‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪32  k‬‬
‫‪ j 11‬‬
‫‪sin  k ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪  sin‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪‬‬
‫‪11‬‬
‫‪5 2 k‬‬
‫‪ j 11‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j 16‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪11‬‬
‫‪e‬‬
‫‪sin  5.5‬‬
‫‪11 2 k ‬‬
‫‪sin  222 k ‬‬
‫‪DFT11  x  n ‬‬
‫זאת משום ש‪ sin  k   0 -‬עבור כל ‪ k‬שלם‪.‬‬
‫המשמעות היא שדגמנו את התמרת ה‪ DTFT-‬של האות ברזולוציה כזאת שכל נקודות הדגימה הן אפסים‪.‬‬
‫באופן ישיר‪:‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ N1‬‬
‫תירגול ‪02.20.20 – 4‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪21‬‬
‫‪  x n e‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪n 11‬‬
‫)‪k ( n 11‬‬
‫‪10‬‬
‫‪  x n e‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪j 211‬‬
‫‪‬‬
‫‪21‬‬
‫‪DFT11  x  n    x  n  e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪  x[n  11]e‬‬
‫‪kn‬‬
‫‪j 211‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪10‬‬
‫‪  x  n  11 e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ x  n e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪ j 211 kn‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  n 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪  x  n e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪   x  n   x  n  11 e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫דגימה בתדר היא שכפול בזמן‪ .‬אם ה‪ DFT-‬מספיק ארוך השכפולים לא יפגעו‪ ,‬אבל כאן הרזולוציה נמוכה מאורך הסיגנל‪.‬‬
‫לכן הסיגנל פוגע בעצמו והורג את עצמו‪.‬‬
‫ב‪ + .‬ג‪ .‬פעולת ה‪ DFT * -‬מוגדרת על ידי‪:‬‬
‫‪j 2M kn‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪. X  [k ]  DFT {x[n]}   x[n]e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫]‪x[ M  1‬‬
‫)‪j 2M k ( M 1‬‬
‫נכפיל ב‪ 1 -‬‬
‫‪ j 2M kM‬‬
‫‪e‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫]‪x[1‬‬
‫]‪x[0‬‬
‫‪j 2M‬‬
‫‪j 2M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ e‬את האקספוננטים ונקבל‪:‬‬
‫]‪x[ M  1‬‬
‫‪ j 2M k 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫]‪x[0‬‬
‫]‪x[1‬‬
‫)‪k ( M 1‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪j 2M‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k M‬‬
‫‪j 2M‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫כלומר‪ :‬על מנת לממש ‪ DFT‬באמצעות * ‪ DFT‬עלינו לשנות את סדר הכניסה‪:‬‬
‫]‪x[0‬‬
‫]‪X [0‬‬
‫]‪x[M  1‬‬
‫]‪X [1‬‬
‫‪*‬‬
‫‪DFT‬‬
‫‪DFT‬‬
‫‪:‬‬
‫]‪X [ M  1‬‬
‫‪:‬‬
‫]‪x[1‬‬
‫ג‪ .‬למעשה זהו סוג של ‪( STFT‬עליו נלמד בהמשך הקורס)‪.‬‬
‫יש לנו סדרה של אותות אשר מבצעים עליהם התמרה אחת ל‪ 6-‬דגימות‪ .‬המצב מתאר חוצץ אשר מתמלא כל ‪ 6‬מחזורי שעון ב‪6-‬‬
‫דגימות חדשות של האות המקורי ורק לאחר שהוא מלא מתבצעת התמרה‪ .‬לאחר מכן ‪ 6‬הדגימות מתנקות וטוענים את החוצץ ב‪6-‬‬
‫דגימות נוספות ומבצעים התמרה נוספת‪ ,‬וכך הלאה‪:‬‬
‫‪x  5 x  4 x  3 x  2 x  1 x 0  x 1 x 2  x 3 x 5  x 6‬‬
‫‪|3‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪02.20.20 – 4‬‬
‫עבור ‪ xi‬נקבל כי הסכימה של ההתמרה בנויה באופן הבא‪:‬‬
‫]‪xi [1‬‬
‫]‪xi [2‬‬
‫]‪xi [3‬‬
‫]‪xi [4‬‬
‫]‪xi [5‬‬
‫]‪xi [6‬‬
‫‪( 14 ) 5‬‬
‫‪( 14 ) 4‬‬
‫‪( 14 ) 3‬‬
‫‪( 14 ) 2‬‬
‫‪( 14 )1‬‬
‫‪( 14 ) 0‬‬
‫‪ j 24 k 5‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j 24 k 4‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j 24 k 3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j 24 k 2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j 24 k 1‬‬
‫‪ j 24 k 0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫הסיבה להיפוך האות היא כי בכניסה סדרתית של אות למערכת‪ ,‬הדגימה האחרונה נכנסת ראשונה‪.‬‬
‫יש כאן אקספוננטים שווים כי האות הוא באורך ‪ 6‬ואילו ה‪ DFT-‬הוא באורך ‪( 4‬יש קיפול)‪:‬‬
‫‪ j 24 kn‬‬
‫‪5‬‬
‫‪X i [k ]   xi [n]e‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪x  n  4  14   x  n 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x  n  5  14   x  n  1  14‬‬
‫‪5‬‬
‫‪DFT‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 4 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x  n  2‬‬
‫‪x  n  3‬‬
‫נממש באופן ציורי גם את העובדה שרוצים כל ‪ 6‬דגימות להוציא תוצאות ולכן נבצע דצימציה וגם נעזר בתוצאת סעיף א'‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1   14  z 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪z 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪DFT ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪z 1‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫‪z 1‬‬
‫‪z 1‬‬
‫ניתן לראות כי הצלחנו להביא את המערכת שלנו לתבנית של בנק רב ערוצי‪ .‬לכן ניתן למשוך את ה‪ PP-‬בצורה ישירה ולמצוא את‬
‫המסנן הכללי‪ .‬לפי מה שלמדנו‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪; P3  z M     z 2  z 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪P0  z M   1    z 4 ; P1  z M     z 2 ; P2  z M    ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H 0 ( z )   z P ( z )  1    z 4    z 3    z 2    z 5  z 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫כדי למצוא את כל התתי‪-‬מסננים נבצע‪. H k ( z )  H 0 ( zwM k ) :‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫קיבלנו התמרת ‪ STFT‬שבו החלון הוא ‪ , w  n ‬מספר פסי התדר הוא ‪ 4‬ואין חפיפה של חלונות כי האות גדול מאורך החלון‪.‬‬
‫מצאנו את ‪ X k  n‬שהוא סיגנל זמן‪-‬תדר‪.‬‬
‫‪|4‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪02.20.20 – 4‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫בנק מסננים בתצורת ‪ - DFT‬נתון בנק מסננים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ציירו את תגובת התדר של כל אחד מן המסננים‬
‫מהו קצב החישוב של המערכת? מהו קצב החישוב במימוש ‪ Poly-Phase‬יעיל?‬
‫מצאו מימוש יעיל יותר‪ .‬מהו קצב החישובים אז?‬
‫מצאו בנק מסנני סינתזה המשיג ‪.PR‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬רישום המקדמים של המסנן הראשון הוא‪. h0 [n]  [1, 2,3, 2,1] :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin(1.5 ) ‬‬
‫‪H 0 (e )  e j‬‬
‫‪sin(0.5 ) ‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫עין חדה תקלוט את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫)‬
‫) ‪j (  2‬‬
‫‪h0 [n]  H1 ( z )  H 0 (e‬‬
‫) ) ‪h0 [n]  H 2 ( z )  H 0 (e j ( ‬‬
‫)‬
‫) ‪j (  32 ‬‬
‫‪h0 [n]  H 3 ( z )  H 0 (e‬‬
‫‪j 24 n‬‬
‫) ‪(2 n‬‬
‫‪h1[n]  [1, 2 j , 3, 2 j,1]  e‬‬
‫‪j 24‬‬
‫) ‪ j 24 (3 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪h2 [n]  [1, 2,3, 2,1]  e‬‬
‫‪h3[n]  [1, 2 j,3, 2 j,1]  e‬‬
‫‪  j 24 k ‬‬
‫‪. H k  z   H 0  ze‬‬
‫יש לנו מסנני ‪ QMF‬כי מתקיים‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ענפים‬
‫כל‪‬ענף ‪‬‬
‫כל‪‬ענף ‪‬‬
‫ב‪ .‬בגלל שיש כאן מסננים עם ‪ 5‬מקדמים נקבל‪ 4  5  f s :‬על ידי ‪ Poly-phase‬לכל ענף בנפרד‪ ,‬נקבל‪. 4  54  f s  5 f s :‬‬
‫ענפים‬
‫‪ ‬‬
‫‪L‬‬
‫ג‪ .‬תצורת ‪ PP‬עם *‪ DFT‬נקבל‪ H 0  z    z l Pl z L :‬כאשר‪. H 0  z  : P0  z   1  z 1 , P1  2, P2  3, P3  2 :‬‬
‫‪l 0‬‬
‫מעבירים את הדצימציה להתחלה‪ ,‬לאחר מכן ה‪ PP-‬בסוף ה‪ DFT*-‬ומקבלים‪. 4  14  54  f s  14  4  log 4  f s  3.25 f s :‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
3.1.13 – 5 ‫תירגול‬
:STFT – Short Time Fourier Transform
. X STFT  n,  

 x  m v  n  m e
 j m
:‫הגדרה‬
m 
‫ ומשם מבצעים‬x  n  ‫ על האות‬n -‫ מסובבים אותו ולוקחים אותו למקום ה‬, N ‫ באורך‬v  n  ‫ בוחרים חלון‬,‫מבחינה גרפית‬
:‫ איברים קדימה‬N ‫התמרה לאורך‬
v  n
Transform Interval
signal
v 1 N 
v 0 
v 1 N 
v 0 
:‫נוכל לכתוב‬
X STFT  n,    F  x  m v  n  m  e jn  x  m v  n  m e
 j  m  n
:‫ כבנק מסננים‬STFT ‫נרצה לסרטט‬
 e  jn  x  n  *  v n  e jn 
‫למעשה המודל של ההתמרה הוא סינון דרך‬
:e
:‫ והכפלה באקספוננט‬v  n e jn :‫מסנן‬
 j n
v  n e
j
2
0n
K

e
v  n
2
j 1n
e K

e
v  n e
j
j
2
 k 1n
K
j
 

 e jn
2
1n
K

e
X e j
x  n  v  n e jn    y  n,  
2
0n
K
j
2
 k 1n
K
:1 ‫שאלה‬
 
V e j
.STFT ‫ יש לממש את‬. v  n  ‫נתון מסנן יחיד‬
:‫מניחים אות ומסנן מהצורות הבאות‬

:‫פתרון‬
. v  n e
j0 n

V e
j  0 

:‫ דורש‬STFT-‫ה‬
:‫ לקחת את הסיגנל ולסנן אותו עם החלון מוזז בתדר‬.1
.‫ הזזה בתדר לאחר סינון‬.2
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
‫ תירגול‬DSP2
|1
‫תירגול ‪3.1.13 – 5‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  n    v  n  y  n,  ‬‬
‫ניתן לממש את ה‪ STFT-‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ e j0n‬‬
‫נוכל לכתוב זאת באופן הבא‪. y  n,     x  m v  n  m e jm    x  m e  jm  v  n  m   x  n  e  jn  * v  n  :‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫נתונה מערכת המממשת ‪ STFT‬הבאה ונתון חלון‪:‬‬
‫א‪ .‬מהו מוצא המערכת?‬
‫ב‪ .‬נתון המסנן שבצד‪ .‬מהו מוצא המערכת? מה קורה כש‪  -‬שואף ל‪?0-‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נניח אות מהצורה כמו בשאלה הקודמת ונצייר את ההתמרה בשני השלבים כפי שראינו מקודם‪:‬‬
‫‪ .1‬סינון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 X e j0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬הכפלה באקספוננט‪:‬‬
‫כאשר נבצע ‪ IDTFT‬נקבל קבוע וגודלו הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 X e j0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . X e j0‬קיבלנו את ההרכב התדרי של האות ב‪. 0 -‬‬
‫‪sin  0.5  n  2‬‬
‫ב‪ .‬כעת נתון חלון קצת יותר רחב בתדר ולכן בזמן הוא צר יותר‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪. v  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הסיגנל תלוי בזמן כי הוא סופי בתדר ואינו דלתא כמו מקודם‪ .‬אז לא הייתה תלות בזמן כי קיבלנו רכיב ‪.DC‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
3.1.13 – 5 ‫תירגול‬
:3 ‫שאלה‬

 6 
2 cos  10 n 




 
. x  n   2 cos  n 
 10 

0


.
?‫ מהו מוצא המערכת‬h[n]  e
j
6
n
10
;
N nN
;
N  n  3N  1 :‫נתון סיגנל‬
;
else
6
‫ דגמו אותה בתדר‬.‫ מצאו את התמרת פורייה שלו‬.‫א‬
10
1  N  n  N
:‫ האות מועבר דרך המערכת הבאה‬.‫ב‬

o.w.
0
:‫פתרון‬
x  n
:‫ האות נראה בצורה הבאה‬.‫א‬
N
 6
x  n   2 cos 
 10

n

N
N
 
 2 cos  n  
 10 
3N  1
N
 DFT
N
N
n  n   2 N 1
  
6 
6   sin   N  0.5    1  j  2 N 1   
 
   sin   N  0.5   


   
*
e
 2     

 2              *




  
  
10 
10  
sin  0.5   2
10 
10  
sin  0.5  




6 
1
6 
1
 
 
1
 
1 



sin   
 N   sin   
 N  
 sin    10  N  2  sin    10   N  2  
10
2
10
2





  e  w 2 N 1  




 

6  1
6  1
 1
 1






 

 

  
  


10
2
10
2
10
2
10
2










1
2
 
 
a e j
 X  e j 

b e j
 2 N  1  res

10
:‫תיאור האות‬

x
x
x  n  h  n   2 N  1    y  n 
e
j

10
 2 N 1n

6
10

x  n  x  n * h  n 
x  n   x  2 N  1 
y  n  x  n e
j


10
10
6
10

 h  m x n  m
:‫ נקבל‬.‫ב‬
m 

 h  m x  2 N  1 n  m 
m 
6
 2 N 1 n
10
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
‫ תירגול‬DSP2
|3
3.1.13 – 5 ‫תירגול‬
. y  0  x  0 
N
 h  m x  m   e
m  N
6
m
10
 6
2cos 
 m   :‫עתה נגדיר מוצא‬
 10

m  N
.‫קיבלנו בדיוק את התמרת פורייה על האות באמצעות החלון שלנו‬
N
j
6
 j 610 
 6
 l  m N  j 10 l
 6 l 
2cos 
. e
 m     e 2cos    a  e   y 0 :‫כעת‬
 10

 10 
m  N
l  N


6

6

N
N
N
j m
j m


m 
. x 1   h  m x  2 N  1  m   e 10 2cos   m     e 10 2cos 
 :‫ נקבל‬y 1 :‫עבור‬
 10
 m N
 10 
m  N
m  N
N
j
6
m
10
. y 1  x 1 e
j
6
 2 N 1
10
 b  e j 

6
10
:‫לכן‬
:4 ‫שאלה‬
.‫ זה הוא למעשה הפרש זמן ההגעה בין שני סיגנלים‬.TDOA- Time difference of arrival ‫רוצים למצוא‬
:‫קורולציה‬-‫ היא באמצעות הקרוס‬x2  t   s  t    ; x1  t   s  t  :‫השיטה הפשוטה ביותר לעשות זאת עבור האותות‬
. T  arg max Rx1 , x2    arg max E  x1  t  x2  t   

.‫ ולהראות את יעילות השיטה‬STFT ‫ יש לממש באמצעות‬.‫א‬
:STFT ‫ במישור‬x2  t  -‫ ל‬x1  t  ‫נראה את היחס בין‬
x1  n   x1  nT 
x2  n 


 T 
x1  n  round   
 Ts  

x1  n    v  n 
e jn 
STFT  x1  n    x  m  v  n  m  e  j n
: x2  n -‫ של‬STFT-‫נמצא את ה‬
m Td l
STFT  x2  n   STFT  x1  n  Td    x  m  Td  v  n  m  e  jn 
 x l  v  n  l  T  e
 j  l Td 
d
 e jTd  x1 l  v  n  l  Td  e  jl
:‫ ולכן נממש באופן הבא‬.‫החלון גם זז חוץ מהאות עצמו‬
x1  n    v  n  Td     STFT  x2  n
e jn 
e jTd 
.‫ אבל אם החלון מספיק גדול נוכל לצמצם את ההשפעה שלו על העיוות‬.‫קיבלנו עיוות גם בחלון‬
.‫ ועוד‬,‫ לא רוצים לחכות‬,‫ משתנה‬TDOA-‫ ה‬.‫אבל יש חסרונות אחרים לחלון גדול‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
‫ תירגול‬DSP2
|4
‫תירגול ‪3.1.13 – 5‬‬
‫ב‪ .‬כעת נוכיח כי האוטוקורלציה היא שיטה טובה‪.‬‬
‫נלך מהכיוון של ההתמרה ההפוכה של הצה"ס‪e j d :‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1 x2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . Rx1x2   ‬כאשר‪. x1x2  E  x1   x2*   :‬‬
‫נקרב ע"י ה‪:STFT-‬‬
‫‪e j d  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ STFT  x   STFT  x  e ‬‬
‫*‬
‫‪e j d ‬‬
‫‪j Td‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ kl ‬‬
‫‪‬‬
‫‪    T‬‬
‫‪d‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪STFT  x1  e  jTd e j d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ STFT  x  STFT  x ‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rx1x2   ‬‬
‫‪STFT  x1   STFT  x1   e jTd e j d ‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫הקירוב שממנו פתחנו את הפיתוח הוא גס מאוד ומניח שבאמצעות חלק מההתמרה אנו יכולים לבטא את הקרוס‪-‬קורולציה‪.‬‬
‫לאחר מכן אנו מקרבים לחלון שלנו ומניחים שהחלון מספיק גדול‪.‬‬
‫בהמשך מניחים שאנו מנרמלים את ההתמרה מלכתחילה ולכן‪. STFT  x1   1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫השוויון האחרון הוא נוסחה ישירה שראינו בתחילת סמסטר‪.‬‬
‫מכאן ניתן לראות כי עבור‪   Td :‬מתקבל הערך המקסימלי‪.‬‬
‫‪|5‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
01.0.01 – 6 ‫תירגול‬
:‫ שחזור‬- STFT
:‫בשלב האנליזה‬

zk  n   x  n  *  v  n  e

2
j kn
M

 2

km  
   v  m  x  n  m  exp  j
 M

 m 

M 1 
 v  rM  l  x  n  rM  l  e

j
l  0 r 
2
kl
M
M 1
  sl  n e
j
2
kl
M
 DFTM sl  n 
l 0
: sl  n  :‫להלן איור של אופן הסכימה המתבצעת לקבלת‬
x n  mv m |
x  m
v 0 
x n v0 |
m
x n  mv  m |
| x n 1v1
: r  -1
| x n  m 1v  m 1
:r  0
| x n  2 m 1v 2 m 1

‫סוכמים את האינדקסים בכל‬
‫מסגרת לפי מיקומם בה וכך‬
‫מקבלים לאחר הקיפול את הסיגנל‬
. sl
:r  1
 n ‫שלנו‬

s0  n 
sM 1  n 
:‫בשלב הסינתזה‬
xˆk  n    zk  nR  R * f k  n  
M 1

xˆ  n    xk  n  

k 0
r 

 z rR  f n  rR 
r 
k
r  0 : f  0 |
k
M 1
f  n  rR   zk  rR WM
 n  rRk
r 1:

R


f  0 |
:
| f  L f 1
R


r  2:
k 0
| f  L f 1
f  0 |
| f  L f 1
M DFT 1 to sl  rR 


 f  n  rR  s
r 
n  Rr  mod M
 rR 
xˆ 0
.
xˆ  R 
xˆ  2 R 

 f  n  rR h rR  n  pM     p 
:‫תנאי פורטונוב‬
r 
:‫ להלן תיאור סכמטי של התהליך‬. h  pM  
n  M
n 0
|0|
r  1
r  0
n  M
|1/M |
M
f 0  s0 n 
|0|
0 | xxxxxxxx
x n 
1
   p  -‫ ו‬f  n  M    n :‫) נקבל‬FBS( R  1 :‫ אם‬.1
M
| xxxxxxxx
r 1
0 | xxxxxxxx
r  2
0 | xxxxxxxx
‫אנליזה‬
R
f 0  s0 n 1
‫סינתזה‬
R
f 0  s0 n  2
R
x n
M
xxxxxx  sl  n
Ms0 n
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬-
Ms0 n 1
Ms0 n  2
‫ תירגול‬DSP2
|1
‫תירגול ‪01.0.01 – 6‬‬
‫‪ .2‬דצימציה קריטית‪: R  M :‬‬
‫נניח מסנני שיחזור מושלם כפי שמתואר באיור השמאלי‪ .‬להלן מתוארים שלבי האנליזה והסינתזה‪:‬‬
‫‪s0 0‬‬
‫‪sM 1 0‬‬
‫‪| f  M  1‬‬
‫‪M‬‬
‫| ‪f  0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪sM 1  R ‬‬
‫סינתזה‬
‫‪s0  R ‬‬
‫| ‪f  0‬‬
‫‪| f  M  1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Xˆ  2M  1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪f‬‬
‫אנליזה מסננים‬
‫‪sM 1  n‬‬
‫‪Xˆ  M  1 Xˆ  M ‬‬
‫‪ .3‬מקרה כללי‪ . 1  R  M :‬ראינו בהרצאה כי‪:‬‬
‫‪h  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h  n  rR h  rR  n‬‬
‫‪s0  n ‬‬
‫‪|x  n  M  1‬‬
‫‪Xˆ  0‬‬
‫‪M‬‬
‫| ‪x  n‬‬
‫‪. f  n ‬‬
‫‪r ‬‬
‫נראה על ציר ה‪ n -‬כי ‪ FBS‬מקיים את תנאי פורטונוב ונמצא מקרה פרטי עבור‪. R  M :‬‬
‫‪‬‬
‫תנאי פורטונוב יכתב‪ f  n  rR h rR  n  pM     p  :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪ f‬ימוקם ב‪ rR -‬ו‪ h -‬ימוקם ב‪: rR  pM -‬‬
‫‪n‬‬
‫עבור ‪ FBS‬ראינו בהרצאה את התוצאות‪.‬‬
‫כאשר לוקחים ‪ R  1‬ומתייחסים תחילה ל‪ p  0 -‬מקבלים כי הסכימה על‬
‫‪h‬‬
‫‪f‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪rR +pM‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r‬נותנת‪   r   1 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r ‬‬
‫עבור המקרה של ‪ p  0‬מקבלים מצב בו ‪ f‬נופל בדיוק על המקומות בהן ‪ h  0‬ולכן תמיד הסכימה תתאפס‪.‬‬
‫‪ .4‬מקרה של‪ R  0.5M :‬ו‪. Nh  N f  M -‬‬
‫במקרה זה נניח כי‪ h  ones  M  :‬ואז‪ . f  0.5  ones  M  :‬זאת על מנת לקבל ‪ 1‬שטוח‪.‬‬
‫גם כאן ניתן לראות כי עבור ‪ p  0‬מקבלים כי חפיפת האותות נותנת ‪ 1‬לכל ‪ 1( n‬שטוח) ועבור ‪ p  0‬ההכפלה תיתן‬
‫תמיד אפס מכיוון שהמסננים יפלו תמיד בתחום ללא חפיפה בניהם‪.‬‬
‫בסוף התירגול פתרנו שאלה מתוך מבחן ‪ .2002‬הפתרון המלא נמצא באתר הקורס‪.‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪77.7.71 – 7‬‬
‫סינון מושלם‪:‬‬
‫תנאי פורטונוב המורחב‪:‬‬
‫‪n, s‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f  n  rR h rR  n  s  pM     p ‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪Lg 1‬‬
‫כאשר הוא מתקיים נקבל סינון מושלם‪. xˆ  n  M  g  s  x  n  s   M  g  n  * x  n  :‬‬
‫‪s 0‬‬
‫עבור ‪ f  n   M   n  :FBS‬נקבל‪. h  s  pM     p  :‬‬
‫‪Overlap & add‬‬
‫‪Overlap & save‬‬
‫חלון אנליזה‬
‫‪ones  L ‬‬
‫‪ones  L ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L  length  g   1‬‬
‫מספר פסי תדר‬
‫‪L  length  g   1‬‬
‫‪L‬‬
‫חלון סינתזה‬
‫‪ones  II  ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪000000111111‬‬
‫‪g 1‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫הוכח כי ‪ O&A‬ו‪ O&S-‬מקיימים את תנאי פורטונוב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫הרעיון ב‪ O&A-‬הוא כדלהלן‪:‬‬
‫‪ .1‬לקחת חוצץ מהסיגנל באורך ‪.  Lg  L  , L‬‬
‫‪ .2‬מרפדים באפסים עד לאורך ‪ L  length  g   1‬ומבצעים ‪.FFT‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫באופן ציורי‪00000000  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪. X k  fft ‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ g‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Gk  fft ‬‬
‫‪ .3‬ממירים לתדר‪00000000  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ M  ‬‬
‫‪ .4‬מבצעים כפל איבר איבר בתדר (קונבולוציה ציקלית)‪ .‬האיבר הראשון בזמן הוא‪:‬‬
‫‪ .5‬מביצוע הקונבולוציה נקבל כי האיברים הראשונים והאחרונים יהיו חסרים מכיוון שהם מוכפלים באפסים!‬
‫עקב סיבה זו מבצעים את החפיפה‪ .‬החפיפה נועדה להשלים את זה שחסר לקונבולוציה‪.‬‬
‫החיבור של המסגרות זו אחר זו ב‪ R -‬נותן את הסינון המושלם‪.‬‬
‫‪|1‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪. X k  Gk  ‬‬
‫תירגול ‪77.7.71 – 7‬‬
‫כעת עלינו להראות כי ה‪ O&A-‬עומד בתנאי פורטונוב‪ .‬אורך המסנן ‪ h‬הוא‪. Lh :‬‬
‫לכן אורך חלון הסינתזה הוא‪. M  Lh  Lg  1  L f :‬‬
‫נסרטט את ציר ‪ n‬של תנאי פורטונוב‪ .‬נתחיל מתנאי האי‪-‬קיפול‪: p  0 :‬‬
‫‪ f‬נוצר על ‪ rR‬ו‪ h -‬נמצא על ‪. rR  s  pM‬‬
‫כאשר מתקדמים עם ‪ s‬החלון ב‪ p  1 -‬יתקדם עד ל‪ rR  1-‬ולכן לא יחפוף את ‪. f‬‬
‫ניתן לראות כי גם אם ‪ s‬יהיה ‪ Lg  1‬אין מגע בין ‪ f‬ל‪ - h -‬קיבלנו תנאי אי‪-‬קיפול‪.‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪ M ‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p  -1‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪rR  M‬‬
‫‪rR‬‬
‫נבדוק את תנאי אי השטיחות‪: p  0 :‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪n‬‬
‫‪rR  s‬‬
‫לכל ‪ h , s‬תמיד יהיה מוכל ב‪. f -‬‬
‫‪rR‬‬
‫נשים לב כי כדי לקבל ‪ 1‬לכל ‪ , n‬אנו קופצים בסכימה על ‪ r‬ב‪ . R -‬היות ואורך המסנן ‪ h‬הוא ‪ R‬אז מקבלים שאחרי המכפלה‬
‫שראינו באיור הקודם יש לנו אות של ‪ 1‬באורך ‪ . R‬כעת מהסכימה נזוז ב‪ R -‬כאשר ‪ r  1‬וכך הלאה‪ .‬נקבל ‪ 1‬לכל ‪ n‬כך‪.‬‬
‫נוכיח עבור ‪:overlap & save‬‬
‫הגדלים הם‪, M  Lh :‬‬
‫‪ . R  Lh   Lg  1‬וכן‪:‬‬
‫‪h   n‬‬
‫‪Lg  1‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫נקבל את האיור הבא‪:‬‬
‫שוב גם אם ‪ s  Lg  1‬אין מגע בין ‪ f‬ל‪. h -‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪Lh‬‬
‫‪0000‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪rR +M +s‬‬
‫‪rR-M +s‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪00 00‬‬
‫‪rR rR +s‬‬
‫‪n‬‬
‫אחרי הכפלה נקבל את המתואר באיור הבא‪:‬‬
‫שוב פעם קיבלנו ‪ 1‬לכל ‪ n‬כפי שציפינו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R  Lh - Lg -1‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪n‬‬
‫באופן מוכלל‪ ,‬תנאי אי הקיפול מתואר באיור הבא‪:‬‬
‫‪ f‬ימוקם ב‪ n  rR -‬ו‪ h -‬ימוקם ב‪. n  rR  s  pM -‬‬
‫המרווח המתואר בין שני השכפולים של ‪ h‬הוא ‪. 2M‬‬
‫תובנה ראשונה היא שלכל ‪ r‬תתקבל תמנה זהה‪.‬‬
‫מהמרווחים שרואים מתקיים‪. L f  Lh  Lg  1  2M :‬‬
‫תנאי השטיחות ממקם את המסננים כך‪:‬‬
‫‪ f‬ימוקם ב‪ n  rR -‬ו‪ h -‬ימוקם ב‪. n  rR  s -‬‬
‫‪0000‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪p  0:‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪n‬‬
‫‪h‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪Lg -1‬‬
‫‪Lf‬‬
‫‪h‬‬
‫‪rR‬‬
‫‪rR +M +s‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p  1‬‬
‫‪rR-M +s‬‬
‫‪Lh‬‬
‫אם המכפלה בניהם תיתן ‪ ones‬באורך קבוע לכל ‪ s‬אז‪:‬‬
‫נקבע את אורך המכפלה ל‪ R -‬ונקבל ‪ 1‬לכל ‪. n‬‬
‫‪n‬‬
‫אפשרות אחרת היא חיפוש ערכי ‪ R , L f , Lh‬ע"י‬
‫חלונות המינג‪ .‬בסוף התירגול פתרנו שאלה ממבחן ‪ .2212‬הפתרון המלא מופיע באתר הקורס‪.‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫תנאי שטיחות‪ p  0 :‬מופיע באיור הבא‪:‬‬
‫נבחין כי תמיד ‪ f‬מוכל בתוך ‪. h‬‬
‫‪ DSP2‬תירגול‬
‫‪f  n‬‬
‫‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪Lf‬‬
‫‪rR +s‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪rR‬‬