תרגילים לסיכום (טריגונומטריה במישור שאלון 806)

‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫תרגילים לסיכום הפרק‬
‫‪3.56‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכז ‪ AB . O‬ו‪OC -‬‬
‫נחתכים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫נתון‪. + BOE = 5 , )OAC = )BOC :‬‬
‫‪S+ ACE 9‬‬
‫חשב את ‪. )AEO‬‬
‫תשובה‪. 71.82° :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.57‬‬
‫במשולש ‪ BE , ABC‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫נתון‪. )AEB = γ , )ABC = β , AC = b :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪ β , b‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. β = 2 γ , AE = EC :‬‬
‫‪3‬‬
‫הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪. b‬‬
‫) ‪( β2 ) ⋅ sin ( γ + β2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b ⋅ sin γ −‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin β ⋅ sin γ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .‬ב‪. b 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3.58‬‬
‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום מעגל‬
‫שרדיוסו ‪ . R‬קטע האמצעים ‪ MN‬מחלק את ‪ABCD‬‬
‫לשני טרפזים ‪ ABNM‬ו‪) MNCD -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. ( 90° < α < 180° ) )BAD = α :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטחי הטרפזים ‪ ABNM‬ו‪MNCD -‬‬
‫באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪SABNM 2‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫=‬
‫‪SMNCD 3‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪= R 2 ⋅ 2 + cos α .‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪, SABNM‬‬
‫‪A‬‬
‫)‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫(‬
‫‪ . SMNCD = R 2 ⋅ 2 − cos α‬ב‪. 113.58° .‬‬
‫‪sin α‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪61‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.59‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪, ( )C = 90° , AD & BC ) ABCD‬‬
‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪) ADB‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. (α > 45°) )A = α , DE = m , AD = BD :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה ל‪. m 2 sin 2α -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪S+ ABD 5‬‬
‫נתון‪= :‬‬
‫‪SABCD 8‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 63.43° .‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.60‬‬
‫נתון מעגל שקוטרו ‪ AB . BC‬הוא מיתר במעגל זה‪.‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬חותך את המשך הקוטר ‪BC‬‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. ( 0° < β < 45° ) )B = β , CE = m :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪m cos β‬‬
‫)‪ . (i‬הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬
‫‪1 − cos 2β‬‬
‫) ‪ . (ii‬חשב את ‪ β‬שעבורה רדיוס המעגל שווה ל‪. m -‬‬
‫‪.‬‬
‫‪m 2 cos 2β‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי שטח המשולש ‪ ABE‬הוא‪:‬‬
‫‪2 tan 3 β‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. β = 30° . (ii ) .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.61‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ O‬כך ש‪ AD -‬הוא קוטר‬
‫במעגל )ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ADC = γ , )BAD = α , CD = a :‬‬
‫הראה כי היקף המרובע ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬
‫⎤ ‪a ⋅ ⎡1 + cos α + cos γ − cos α + γ‬‬
‫(‬
‫⎦)‬
‫⎣ ‪cos γ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.62‬‬
‫במשולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום משולש שווה‪-‬צלעות ‪DEF‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )AEF = α :‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪. EF‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‬
‫) ‪AB 2 cos ( 60° − α‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. EF = 1 :‬‬
‫‪AB 2‬‬
‫)‪ . (i‬חשב את ‪. α‬‬
‫) ‪ . (ii‬מה התכונה ההנדסית של הנקודות ‪ , E , D‬ו‪F -‬‬
‫עבור התוצאה שקיבלת ב‪. (i) -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪ . (ii) . 60° (i) .‬אמצעי הצלעות‪.‬‬
‫‪62‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.63‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ ,‬כך שהצלעות ‪ AD‬ו‪BC -‬‬
‫נמצאות על ישרים הניצבים זה לזה )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )DAC = β , )BAC = α , AD = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ AC -‬באמצעות ‪ α , m‬ו‪. β -‬‬
‫‪B‬‬
‫הראה כי ) ‪. BD = tan ( α + β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪AC‬‬
‫) ‪m sin ( α + β‬‬
‫= ‪, BD‬‬
‫א‪.‬‬
‫) ‪cos ( α + 2β‬‬
‫) ‪m cos ( α + β‬‬
‫) ‪cos ( α + 2β‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪. AC‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.64‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( )ACB = 90° ) ABC‬נתון‪:‬‬
‫‪) MN & AB , )NAC = )B = β‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S+ ANM S+ NAC‬‬
‫=‬
‫הראה כי‪= tan 2 β :‬‬
‫‪S+ BAN S+ ABC‬‬
‫‪S‬‬
‫נתון כי ‪ . + MCN = 1‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪S+ ANM 2‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 30° .‬‬
‫‪b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪3.65‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ AD , (AB = AC) ABC‬הוא גובה‬
‫לבסיס ‪ CF . BC‬חותך את ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )FCB = γ , )ABC = β , BC = 2a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הבע את היחס ‪ ED‬באמצעות ‪ β‬ו‪. γ -‬‬
‫‪AD‬‬
‫הבע את ‪ AB‬ו‪ FB -‬באמצעות ‪ β , a‬ו‪. γ -‬‬
‫נתון‪ . ED = 2 :‬הראה כי ‪) FB = 4‬היעזר בסעיפים‬
‫‪AB 9‬‬
‫‪AD 7‬‬
‫א' וב'(‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪tan γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪tan β‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪, AB = a‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪2a ⋅ sin γ‬‬
‫) ‪sin ( β + γ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫= ‪. FB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.66‬‬
‫במשולש ‪ b , a , ABC‬ו‪ c -‬הם אורכי הצלעות ‪, BC‬‬
‫‪ AC‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪ R .‬הוא רדיוס במעגל החוסם‬
‫את ‪ . +ABC‬הנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬נמצאות על הצלע‬
‫‪ BC‬כך ש‪) )AMN = )ANM = α -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪S+ ABC a ⋅ R ⋅ tan α‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMN‬‬
‫‪b⋅c‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪a‬‬
‫‪N‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪63‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪A‬‬
‫‪3.67‬‬
‫הנקודות ‪ E , D , C , B‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת מחוץ לישר‪ .‬חיברו את ‪ A‬עם‬
‫כל הנקודות הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )BAC = )CAD = )DAE = 30° :‬‬
‫הוכח‪. BC ⋅ DE = 1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪BD ⋅ CE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.68‬‬
‫בטרפז ‪ E , ( AB & CD ) ABCD‬נקודה כלשהי על השוק‬
‫‪ . AD‬נתון‪. )ABE = β , )A = α , AD = BC = CD :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ β -‬את היחס בין שטח המשולש ‪DEB‬‬
‫לבין שטח המשולש ‪. AEB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫) (‬
‫‪sin α − β ⋅ sin α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪sin 3α ⋅ sin β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.69‬‬
‫‪B‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = BC) ABC‬נקודה ‪ E‬היא‬
‫מרכז המעגל החוסם את המשולש‪ ,‬נקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל‬
‫החסום במשולש‪ .‬נתון‪. OE = a , )BAC = α :‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורכי הקטעים ‪ AO‬ו‪ AE -‬באמצעות ‪ a‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪−a cos α‬‬
‫א‪2 , AO = −a sin 2α .‬‬
‫= ‪. AE‬‬
‫‪α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪cos 3α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. sin 2α ⋅ tan α .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.70‬‬
‫‪A‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל בעל רדיוס ‪ . R‬נתון‪:‬‬
‫‪ BE , )ABC = 2β , )BAC = α‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬
‫המשכו של ‪ BE‬חותך את המעגל בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BD = 2R sin ( α + β ) :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2R sin α ⋅ sin β‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫) ‪sin ( α + β‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2R sin 2 β‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫) ‪sin ( α + β‬‬
‫‪64‬‬
‫= ‪. EC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪. ED‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪A‬‬
‫‪3.71‬‬
‫במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חסום משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫‪ ABC‬שבו ‪ . )ABC = β , AB = AC‬נקודה ‪ E‬היא נקודת‬
‫מפגש של גבהים במשולש הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ COE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . −2R cos 2β .‬ב‪. −R 2 sin 3β ⋅ cos β .‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.72‬‬
‫נתון מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬מנקודה ‪ A‬שמחוץ‬
‫למעגל העבירו משיק ‪ AB‬וישר ‪ . AO‬חיברו את ‪ O‬עם ‪. B‬‬
‫מעגל נוסף שמרכזו ‪ C‬ורדיוסו ‪ r‬משיק ל‪ OB -‬ומשיק‬
‫להמשכי הקטעים ‪ AB‬ו‪) AO -‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )A = α :‬‬
‫הראה כי‪. r = R 1 + tan α :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪3.73‬‬
‫‪A‬‬
‫הקודקודים ‪ A‬ו‪ C -‬של משולש ‪ ABC‬נמצאים על היקפו של‬
‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬הקודקוד השלישי ‪ B‬נמצא על‬
‫הקוטר ‪) CD‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫) ‪ α‬ו‪ β -‬זוויות ברדיאנים(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבא את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ α , R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪ . β = π , α = 5π :‬הבע את השטח החסום בין‬
‫‪12‬‬
‫הקשת ‪ AC‬לבין המיתר ‪) AC‬השטח המקווקו שבציור(‬
‫באמצעות ‪. R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪R 2 sin ( 2α + 2β ) ⋅ cos ( α + β ) ⋅ sin α‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪sin β‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪R 2 ⋅ 2π − 3 3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.74‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ AD . R‬ו‪BD -‬‬
‫שני מיתרים במעגל זה‪ .‬המשכו של הרדיוס ‪ OB‬חותך את‬
‫המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )DAC = α , BE ⊥ AC :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ BED‬באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪ α‬שעבורה ‪. OE = OF‬‬
‫‪S‬‬
‫עבור ‪ α‬שחישבת בסעיף ב'‪ ,‬מצא את היחס‪. + ADF :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S+ BDE‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪65‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫) ‪2 ⋅ R 2 sin 2 ( α + 45° ) ⋅ sin ( 45° − α‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪cos α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪ .‬ב‪ . 22.5° .‬ג‪. 1 .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.75‬‬
‫‪ CD‬חוצה את הזווית ‪ C‬במשולש שונה צלעות ‪. ABC‬‬
‫נתון‪. AC = b , BC = a , )C = γ :‬‬
‫‪γ‬‬
‫הוכח‪2 :‬‬
‫‪2ab ⋅ cos‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪. CD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.76‬‬
‫במשולש ‪ E , ABC‬היא נקודה על צלע ‪ BC‬כך ש‪AE = EC -‬‬
‫נתון‪) ( a > c ) AB = c , AC = b , BC = a :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪a a 2 − c2‬‬
‫‪a + b − c2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫= ‪. BE‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪3.77‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫זוויות המשולש הן‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪sin α‬‬
‫‪2‬‬
‫הראה כי‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪2 cos ⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪. + BOC‬‬
‫‪S+ ABC‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬הוא ‪. r‬‬
‫הבע את המכפלה ‪ OA ⋅ OB ⋅ OC‬באמצעות ‪ β , α , r‬ו‪. γ -‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪β‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪sin α ⋅ sin ⋅ sin‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.78‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ E‬נקודה כלשהי בתוך משולש שווה‪-‬צלעות ‪ , ABC‬שאורך‬
‫צלעו ‪ . a‬נתון‪. )EBC = β , CE = r , BE = q , AE = p :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪p2 − r 2‬‬
‫הראה כי‬
‫) ‪2q ⋅ sin ( 30° − β‬‬
‫נתון‪ . β = 15° :‬הבע את שטח המשולש ‪BEC‬‬
‫באמצעות ‪ r‬ו‪. p -‬‬
‫= ‪.a‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪66‬‬
‫‪p2 − r 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪B‬‬
‫‪3.79‬‬
‫משולש חד‪-‬זווית ‪ ABC‬חוסם מעגל שרדיוסו ‪ . r‬הנקודות‬
‫‪ M , L , K‬הן נקודות ההשקה‪.‬‬
‫נתון‪) )KML = β , )KLM = α :‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את ‪ +ABC‬הוא‪:‬‬
‫‪−r‬‬
‫‪4 cos ( α + β ) ⋅ cos α ⋅ cos β‬‬
‫‪L‬‬
‫‪a‬‬
‫‪K‬‬
‫‪b‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.80‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬המיתר ‪BD‬‬
‫חותך את הרדיוס ‪ OC‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )OBD = β , )BOC = 60° :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ CDE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬מהו שטח המשולש ‪ CDE‬כאשר ‪. β = 30°‬‬
‫) ‪R 2 sin (120° − 2β ) ⋅ cos ( 30° + β‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪2sin ( 60° + β‬‬
‫ב‪3 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪3.81‬‬
‫בטרפז שווה שוקיים ‪ (AB & CD) ABCD‬שאלכסוניו‬
‫נחתכים בנקודה ‪ , M‬נתון‪. )CAD = β , )CAB = α :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CMD‬לבין שטח‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S+CMD‬‬
‫‪sin 2 β‬‬
‫=‬
‫המשולש ‪ AMB‬הוא‪:‬‬
‫)‪S+ AMB sin 2 (2α + β‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CBD‬לבין‬
‫‪S+CBD 2sin (α + β) ⋅ cos α‬‬
‫‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ AMD‬הוא‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMD‬‬
‫)‪sin (2α + β‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪S+CBD 10‬‬
‫נתון גם‪, α = 15° :‬‬
‫=‬
‫‪S+ AMD‬‬
‫‪9‬‬
‫תשובה‪ :‬ג‪. 86.11° .‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.82‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ E .‬היא נקודת המפגש של חוצי‬
‫הזוויות הפנימיות במשולש זה‪ .‬הישר ‪ BE‬חותך את המעגל‬
‫בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )ACB = 2γ , )ABC = 2β , BC = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ‪ +AEF‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים והבע את‬
‫היקפו באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪B‬‬
‫‪67‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪2m sin β ⋅ sin γ‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪sin ( 2β + 2γ‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪2m sin β ⋅ (1 + sin γ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪sin ( 2β + 2 γ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3.83‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬
‫‪ γ , β , α‬הן זוויות חדות‪ .‬נקודה ‪ E‬היא נקודת חיתוך‬
‫גבהים במשולש‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪. AE = BE = CE‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪cos α‬‬
‫‪cos γ‬‬
‫נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬
‫הראה כי המשולשים ‪ BCE , ACE , ABE‬ניתן לחסום‬
‫במעגלים בעלי רדיוס ‪. R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.84‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪)B = β , BC = b , AB = a :‬‬
‫) ‪ β‬חדה(‪ .‬מקודקוד ‪ C‬העבירו ישר החותך את הצלע‬
‫‪ AD‬בנקודה ‪ , F‬וחותך את המשכה של הצלע ‪AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬שטח המרובע ‪ ABCF‬הוא ‪2 ab‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬הבע את עורך הקטע ‪ BE‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. β -‬‬
‫‪S‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . + EAC = 1 :‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪S+ ABC 2‬‬
‫‪5a sin β‬‬
‫‪ .‬ב‪. 36.87° .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪2 ( 5sin β − 2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.85‬‬
‫נתון משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ( DE = EC ) DEC‬שבו ‪ . )DEC = θ , DC = m‬על השוקיים של‬
‫משולש זה בנו משולש שווי‪-‬צלעות ‪ AED‬ו‪) BEC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. AB & CD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬הבע את ‪ AB‬באמצעות ‪ m‬ו‪. θ -‬‬
‫נתון‪. S+AEB = S+ DEC :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫חשב את ‪. θ‬‬
‫) ‪(i‬‬
‫)‪ (ii‬מה המשמעות ההנדסית של התוצאה שקיבלת‬
‫לגבי המרובע ‪. ABCD‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪m ⋅ cos θ − 30°‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬ג‪ (ii) . 120° (i) .‬מלבן‪.‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪B‬‬
‫‪3.86‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬אלכסוני המרובע נחתכים‬
‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. )CBD = γ , )ABD = β , AE = a , AB = BC :‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ EC‬באמצעות ‪ β , α‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪ABCD‬‬
‫‪b g‬‬
‫‪β−γ‬‬
‫(‬
‫) ‪2‬‬
‫= ‪.R‬‬
‫‪β+γ‬‬
‫( ‪2sin β ⋅ cos‬‬
‫) ‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪a cos‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪a ⋅ sin γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪sin β‬‬
‫‪E‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.87‬‬
‫טרפז ‪ ABCD‬ומשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(EF = EG) EFG‬‬
‫חסומים במעגל‪ .‬הבסיס הגדול ‪ CD‬של הטרפז הוא קוטר‬
‫במעגל ומקביל לבסיס ‪ FG‬של המשולש‪ .‬שוקי הטרפז‬
‫מקבילות לשוקי המשולש‪ .‬נתון‪. )G = γ , FG = m :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שוקי הטרפז באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה לשטח המשולש והבע את‬
‫השטח באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬
‫‪ . AD = BC = m‬ב‪. 1 m 2 tan γ .‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2sin γ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.88‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצי הזוויות ‪ )B , )A‬ו‪)C -‬‬
‫חותכים את המעגל בנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. )C = 2γ , )B = 2β , )A = 2α :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי היחס בין היקף המשולש ‪ ABC‬לבין היקפו של‬
‫‪sin 2α + sin 2β + sin 2γ‬‬
‫‪.‬‬
‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪:‬‬
‫‪cos α + cos β + cos γ‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין שטח המשולש ‪ ABC‬לבין שטח‬
‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪8sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪3.89‬‬
‫‪B‬‬
‫טרפז ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ AE . O‬הוא גובה בטרפז‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )COD = 2β , )AOB = 2α , AE = h :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬
‫‪cos α + cos β‬‬
‫‪β‬‬
‫הראה כי שטח הטרפז ‪ ABCD‬הוא‪. h 2 tan α + :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪69‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪B‬‬
‫‪3.90‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪) ABC‬ראה ציור(‬
‫נתון‪. )ABC = )A + 45° , AC = b , BC = a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫= ‪. BE‬‬
‫‪a‬‬
‫הראה כי‬
‫‪AE b 2 − a‬‬
‫נתון‪ . b = 4 , a = 3 :‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.06° , 93.47° , 48.47° .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.91‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ()C = 90°) ABC‬העבירו ‪ BD‬כך ש‪-‬‬
‫‪ . )CBD = )A‬מנקודה ‪ D‬העבירו ‪ DE‬המקביל ל‪AB -‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. ( 0° < α < 45° ) )A = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪S+ ECD‬‬
‫‪sin 4 α‬‬
‫=‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪S+ ABD cos 2 α ⋅ cos 2α‬‬
‫חשב את ‪ α‬אם ידוע ש‪. S+ ECD = S+ ABD -‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.17° .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.92‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪2Q ⋅ sin ( α + β‬‬
‫הראה כי‪:‬‬
‫‪sin α ⋅ sin β‬‬
‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ = ‪ 8 , EF‬ס"מ = ‪, α = 45° , m‬‬
‫‪. EF2 = m 2 −‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬מיתר במעגל‪ .‬חיברו נקודה ‪ C‬עם הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן נקודות החיוך של ‪ BC‬ו‪ AC -‬עם המעגל‬
‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. SABEF = Q , AB = m , )B = β , )A = α :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫) ‪ 12 ( 3 − 3‬סמ"ר = ‪ . Q‬חשב את ‪. β‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 60° .‬‬
‫‪3.93‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬נתון‪, CD = n , AB = m :‬‬
‫‪. )B = β , )A = α , BC = q , AD = p‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫(‬
‫)‬
‫הראה כי‪1 m 2 + n 2 − p 2 − q 2 = mn + pq ⋅ cos α + β :‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫נתון כי בטרפז ‪ ABCD‬ניתן לחסום מעגל‪ .‬הראה כי‪:‬‬
‫‪mn = sin 2 α + β‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪2 2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪n‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪m‬‬
‫‪A‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪A‬‬
‫‪3.94‬‬
‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חוסם משולש ‪ ABC‬כך שמרכז‬
‫המעגל נמצא על צלע ‪ . AB‬נתון‪ , OE ⊥ AB :‬מעגל החסום‬
‫ב‪ +ABC -‬משיק ל‪. OE -‬‬
‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל החסום ב‪ +ABC -‬באמצעות ‪. R‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪. 30° , 60° , 90° .‬‬
‫‪O‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪. 0.365R .‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3.95‬‬
‫‪A‬‬
‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ AE .‬חוצה את הזווית ‪BAC‬‬
‫וחותך את המעגל בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BC = a , AC = b , AB = c :‬‬
‫א‪ .‬הבע את המכפלה ‪ AE ⋅ EF‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ . )BAC = 2α :‬הראה כי‪:‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪2 ( b + c ) ⋅ cos α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪. AE = 2bc ⋅ cos α , EF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b+c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪. a bc 2 .‬‬
‫)‪( b + c‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3.96‬‬
‫‪A‬‬
‫בגזרה ‪ ABC‬שרדיוסה ‪ (AB = BC = R) R‬חסום מעגל‬
‫‪r‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . r‬נתון כי‬
‫‪R 16‬‬
‫הבע את שטח הגזרה באמצעות ‪. r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובה‪. 4.84r 2 :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3.97‬‬
‫מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ B‬וישר שני החותך את המעגל בנקודות ‪ E‬ו‪. C -‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 1.6 , AB‬ס''מ = ‪. )A = α , AE‬‬
‫א‪ .‬הבע את ‪ sin )C‬באמצעות ‪. α‬‬
‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל באמצעות ‪. α‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2 ⋅ sin α‬‬
‫‪29 − 20 cos α‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪29 − 20 cos α‬‬
‫‪5sin α‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪C‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.98‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = AC) ABC‬מקודקוד ‪C‬‬
‫העבירו גובה ‪ CE‬לשוק ‪ . AB‬נתון כי ‪. )BCE = γ‬‬
‫הבע באמצעות ‪ γ‬את היחס בין רדיוס המעגל החסום‬
‫ב‪ +ABC -‬לבין רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‬
‫‪γ‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪g‬‬
‫‪. sin 2γ⋅ tan 45°−‬‬
‫‪3.99‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ BM , ABC‬הוא התיכון לצלע ‪. AC‬‬
‫נתון‪ 2.5 :‬ס"מ = ‪ 4 , AB‬ס"מ = ‪ 3 , BC‬ס"מ = ‪. BM‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬
‫תשובה‪. 38.84° ,46.57° ,94.59° :‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.100‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז ‪(AB & CD, AB > CD) ABCD‬‬
‫נתון‪ 11 :‬ס''מ = ‪ 4 , AB‬ס''מ = ‪ 6 , AD‬ס''מ = ‪, BC‬‬
‫‪. )B = β , )A = α‬‬
‫א‪ .‬הבע את הבסיס ‪ CD‬באמצעות ‪ α‬ו‪. β -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז עבור ‪ 3‬ס''מ = ‪. CD‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬
‫) ‪. 11 − 2 13 + 12 cos ( α + β‬‬
‫‪D‬‬
‫‪6‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A a‬‬
‫‪11‬‬
‫ב‪. 133.43° , 151.04° , 28.96° , 46.57° .‬‬
‫‪3.101‬‬
‫טרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬
‫נתון‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪. )A =α , CD‬‬
‫א‪ .‬הבע את רדיוס ‪ R‬של המעגל באמצעות ‪. α‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית ‪ , α‬כאשר‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪72‬‬
‫‪106‬‬
‫‪2‬‬
‫‪49 + 4 tan 2 α‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2sin α‬‬
‫ס"מ = ‪. R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A a‬‬
‫ב‪ 45° .‬או ‪. 74.05°‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫‪3.102‬‬
‫‪ CE‬הוא חוצה הזווית ‪ ACB‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 7 , AE‬ס''מ = ‪. )AEC = 60° , BE‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכו של ‪. CE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ACB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫א‪ 9 13 .‬ס''מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪E‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪. 48.93° .‬‬
‫‪3.103‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ BE , ABC‬הוא חוצה הזווית ‪. ()B1 = )B2 ) ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫נתון‪. BE = p , AB = c , BC = a :‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע את ‪ cos )B1‬באמצעות ‪ c , a‬ו‪. p -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את שטחו של המשולש ‪ , ABC‬כאשר ‪ 8‬ס''מ = ‪, a‬‬
‫‪ 5.5‬ס''מ = ‪ 6 , c‬ס''מ = ‪. p‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫)‪p(c + a‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2ac‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪c‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ 15.83 .‬סמ''ר‪.‬‬
‫‪3.104‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(AB = AC) ABC‬‬
‫נתון‪ 8 :‬ס''מ = ‪ . )B = β , BC‬מקודקוד ‪ C‬של‬
‫המשולש העבירו תיכון ‪ CE‬לצלע ‪. AB‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראה כי‪. CE = 2 9 + tan 2 β :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את זוויות המשולש ‪ , ABC‬עבור ‪ 2 11‬ס''מ = ‪. CE‬‬
‫תשובה‪ :‬ב‪. 70.52°, 54.74°, 54.74° .‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪8‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.105‬‬
‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪()A = )D = 90° , AB < CD , AB & CD) ABCD‬‬
‫‪B‬‬
‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬חיברו את ‪ O‬עם הקודקודים ‪ B‬ו‪. C -‬‬
‫נתון‪. OC = n , OB = m :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2mn‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הבע את היקף הטרפז ‪ ABCD‬באמצעות ‪ m‬ו‪. n -‬‬
‫= ‪sin )BCD‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪C‬‬
‫‪n‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫) ‪2 m2 + n 2 ⋅ ( m + n‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪m2 + n 2‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬
‫‪73‬‬
‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬
‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬
‫‪3.106‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש חד‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים )‪. (AB = AC‬‬
‫המשולש חסום במעגל שמרכזו ‪ . O‬מקודקוד ‪ B‬דרך מרכז‬
‫המעגל ‪ O‬מעבירים ישר החותך את השוק ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫נתון‪. BC = 2a , )C = γ :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ AOE‬באמצעות ‪ a‬ו‪. γ -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את הזווית ‪ γ‬אם ידוע כי ‪. S+ ABE = 2.5 ⋅ S+ AOE‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪S+ AOE‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכח כי‪:‬‬
‫=‬
‫‪S+ ABE 4sin 2 γ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪−4sin γ ⋅ cos 3γ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪2a‬‬
‫ג‪. 52.24° .‬‬
‫‪3.107‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ AM , )C = γ , )B =β :‬תיכון‬
‫‪1 2‬‬
‫לצלע ‪ AE , BC‬חוצה את הזווית ‪. ()A1 = )A 2 ) BAC‬‬
‫הוכח‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪2sin γ‬‬
‫=‬
‫‪MC sin β+ sin γ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪b‬‬
‫‪g‬‬
‫‪E M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3.108‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע של ‪ , BC‬ונקודה ‪M‬‬
‫היא אמצע של ‪ . AC‬אנך אמצעי לצלע ‪ BC‬חותך את ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ , D‬ואנך אמצעי לצלע ‪ AC‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬
‫‪BN 2 AD 1‬‬
‫‪,‬‬
‫נתון‪, AC = b :‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪NC 5 DC 2‬‬
‫הבע את אורכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB -‬באמצעות ‪. b‬‬
‫‪2 b 30‬‬
‫‪b 210‬‬
‫= ‪. AB‬‬
‫= ‪, BC‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪15‬‬
‫‪C‬‬
‫בתוך משולש ישר‪-‬זווית ‪( )C = 90° ) ABC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬נתון ‪. OA = d , OB = d‬‬
‫‪74‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3.109‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫מצא את הזוויות החדות של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫הבע את אורכי הצלעות של המשולש באמצעות ‪. d‬‬
‫תשובה‪ :‬א‪ . 54.48° , 35.52° .‬ב‪. 1.35d , 1.89d , 2.32d .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪O‬‬
‫‪d‬‬
‫‪B‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬