‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫תרגילים לסיכום הפרק‬ ‫‪3.56‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכז ‪ AB . O‬ו‪OC -‬‬ ‫נחתכים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫נתון‪. + BOE = 5 , )OAC = )BOC :‬‬ ‫‪S+ ACE 9‬‬ ‫חשב את ‪. )AEO‬‬ ‫תשובה‪. 71.82° :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3.57‬‬ ‫במשולש ‪ BE , ABC‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬ ‫נתון‪. )AEB = γ , )ABC = β , AC = b :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪ β , b‬ו‪. γ -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון‪. β = 2 γ , AE = EC :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הבע את ‪ BE‬באמצעות ‪. b‬‬ ‫) ‪( β2 ) ⋅ sin ( γ + β2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪b ⋅ sin γ −‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪sin β ⋅ sin γ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .‬ב‪. b 3 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3.58‬‬ ‫בטרפז שווה‪-‬שוקיים ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום מעגל‬ ‫שרדיוסו ‪ . R‬קטע האמצעים ‪ MN‬מחלק את ‪ABCD‬‬ ‫לשני טרפזים ‪ ABNM‬ו‪) MNCD -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. ( 90° < α < 180° ) )BAD = α :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטחי הטרפזים ‪ ABNM‬ו‪MNCD -‬‬ ‫באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪SABNM 2‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪SMNCD 3‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪= R 2 ⋅ 2 + cos α .‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪, SABNM‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‬ ‫‪M‬‬ ‫‪D‬‬ ‫(‬ ‫‪ . SMNCD = R 2 ⋅ 2 − cos α‬ב‪. 113.58° .‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪61‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪3.59‬‬ ‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪, ( )C = 90° , AD & BC ) ABCD‬‬ ‫‪ DE‬חוצה את הזווית ‪) ADB‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. (α > 45°) )A = α , DE = m , AD = BD :‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה ל‪. m 2 sin 2α -‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪S+ ABD 5‬‬ ‫נתון‪= :‬‬ ‫‪SABCD 8‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 63.43° .‬‬ ‫‪ .‬חשב את ‪. α‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.60‬‬ ‫נתון מעגל שקוטרו ‪ AB . BC‬הוא מיתר במעגל זה‪.‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪ A‬חותך את המשך הקוטר ‪BC‬‬ ‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. ( 0° < β < 45° ) )B = β , CE = m :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪m cos β‬‬ ‫)‪ . (i‬הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬ ‫‪1 − cos 2β‬‬ ‫) ‪ . (ii‬חשב את ‪ β‬שעבורה רדיוס המעגל שווה ל‪. m -‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪m 2 cos 2β‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי שטח המשולש ‪ ABE‬הוא‪:‬‬ ‫‪2 tan 3 β‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪. β = 30° . (ii ) .‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.61‬‬ ‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ O‬כך ש‪ AD -‬הוא קוטר‬ ‫במעגל )ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ADC = γ , )BAD = α , CD = a :‬‬ ‫הראה כי היקף המרובע ‪ ABCD‬הוא‪:‬‬ ‫⎤ ‪a ⋅ ⎡1 + cos α + cos γ − cos α + γ‬‬ ‫(‬ ‫⎦)‬ ‫⎣ ‪cos γ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3.62‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬צלעות ‪ ABC‬חסום משולש שווה‪-‬צלעות ‪DEF‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )AEF = α :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪. EF‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי‬ ‫) ‪AB 2 cos ( 60° − α‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪. EF = 1 :‬‬ ‫‪AB 2‬‬ ‫)‪ . (i‬חשב את ‪. α‬‬ ‫) ‪ . (ii‬מה התכונה ההנדסית של הנקודות ‪ , E , D‬ו‪F -‬‬ ‫עבור התוצאה שקיבלת ב‪. (i) -‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪ . (ii) . 60° (i) .‬אמצעי הצלעות‪.‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪3.63‬‬ ‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ ,‬כך שהצלעות ‪ AD‬ו‪BC -‬‬ ‫נמצאות על ישרים הניצבים זה לזה )ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )DAC = β , )BAC = α , AD = m :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ AC -‬באמצעות ‪ α , m‬ו‪. β -‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הראה כי ) ‪. BD = tan ( α + β‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫) ‪m sin ( α + β‬‬ ‫= ‪, BD‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫) ‪cos ( α + 2β‬‬ ‫) ‪m cos ( α + β‬‬ ‫) ‪cos ( α + 2β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪. AC‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3.64‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ( )ACB = 90° ) ABC‬נתון‪:‬‬ ‫‪) MN & AB , )NAC = )B = β‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪S+ ANM S+ NAC‬‬ ‫=‬ ‫הראה כי‪= tan 2 β :‬‬ ‫‪S+ BAN S+ ABC‬‬ ‫‪S‬‬ ‫נתון כי ‪ . + MCN = 1‬חשב את ‪. β‬‬ ‫‪S+ ANM 2‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 30° .‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪3.65‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ AD , (AB = AC) ABC‬הוא גובה‬ ‫לבסיס ‪ CF . BC‬חותך את ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )FCB = γ , )ABC = β , BC = 2a :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הבע את היחס ‪ ED‬באמצעות ‪ β‬ו‪. γ -‬‬ ‫‪AD‬‬ ‫הבע את ‪ AB‬ו‪ FB -‬באמצעות ‪ β , a‬ו‪. γ -‬‬ ‫נתון‪ . ED = 2 :‬הראה כי ‪) FB = 4‬היעזר בסעיפים‬ ‫‪AB 9‬‬ ‫‪AD 7‬‬ ‫א' וב'(‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪tan γ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪tan β‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪, AB = a‬‬ ‫‪cos β‬‬ ‫‪2a ⋅ sin γ‬‬ ‫) ‪sin ( β + γ‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫= ‪. FB‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.66‬‬ ‫במשולש ‪ b , a , ABC‬ו‪ c -‬הם אורכי הצלעות ‪, BC‬‬ ‫‪ AC‬ו‪ AB -‬בהתאמה‪ R .‬הוא רדיוס במעגל החוסם‬ ‫את ‪ . +ABC‬הנקודות ‪ M‬ו‪ N -‬נמצאות על הצלע‬ ‫‪ BC‬כך ש‪) )AMN = )ANM = α -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪S+ ABC a ⋅ R ⋅ tan α‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪S+ AMN‬‬ ‫‪b⋅c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪63‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.67‬‬ ‫הנקודות ‪ E , D , C , B‬נמצאות על ישר אחד‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ A‬נמצאת מחוץ לישר‪ .‬חיברו את ‪ A‬עם‬ ‫כל הנקודות הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )BAC = )CAD = )DAE = 30° :‬‬ ‫הוכח‪. BC ⋅ DE = 1 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪BD ⋅ CE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3.68‬‬ ‫בטרפז ‪ E , ( AB & CD ) ABCD‬נקודה כלשהי על השוק‬ ‫‪ . AD‬נתון‪. )ABE = β , )A = α , AD = BC = CD :‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ α‬ו‪ β -‬את היחס בין שטח המשולש ‪DEB‬‬ ‫לבין שטח המשולש ‪. AEB‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫‪sin α − β ⋅ sin α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪sin 3α ⋅ sin β‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.69‬‬ ‫‪B‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = BC) ABC‬נקודה ‪ E‬היא‬ ‫מרכז המעגל החוסם את המשולש‪ ,‬נקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל‬ ‫החסום במשולש‪ .‬נתון‪. OE = a , )BAC = α :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את אורכי הקטעים ‪ AO‬ו‪ AE -‬באמצעות ‪ a‬ו‪. α -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין‬ ‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש‪.‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪−a cos α‬‬ ‫א‪2 , AO = −a sin 2α .‬‬ ‫= ‪. AE‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪cos 3α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪. sin 2α ⋅ tan α .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3.70‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל בעל רדיוס ‪ . R‬נתון‪:‬‬ ‫‪ BE , )ABC = 2β , )BAC = α‬חוצה את הזווית ‪. ABC‬‬ ‫המשכו של ‪ BE‬חותך את המעגל בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪. BD = 2R sin ( α + β ) :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2R sin α ⋅ sin β‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫) ‪sin ( α + β‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2R sin 2 β‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫) ‪sin ( α + β‬‬ ‫‪64‬‬ ‫= ‪. EC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪. ED‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.71‬‬ ‫במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חסום משולש שווה‪-‬שוקיים‬ ‫‪ ABC‬שבו ‪ . )ABC = β , AB = AC‬נקודה ‪ E‬היא נקודת‬ ‫מפגש של גבהים במשולש הנ"ל )ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ COE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪ . −2R cos 2β .‬ב‪. −R 2 sin 3β ⋅ cos β .‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.72‬‬ ‫נתון מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬מנקודה ‪ A‬שמחוץ‬ ‫למעגל העבירו משיק ‪ AB‬וישר ‪ . AO‬חיברו את ‪ O‬עם ‪. B‬‬ ‫מעגל נוסף שמרכזו ‪ C‬ורדיוסו ‪ r‬משיק ל‪ OB -‬ומשיק‬ ‫להמשכי הקטעים ‪ AB‬ו‪) AO -‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )A = α :‬‬ ‫הראה כי‪. r = R 1 + tan α :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪3.73‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הקודקודים ‪ A‬ו‪ C -‬של משולש ‪ ABC‬נמצאים על היקפו של‬ ‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬הקודקוד השלישי ‪ B‬נמצא על‬ ‫הקוטר ‪) CD‬ראה ציור(‪ .‬נתון‪)ABC = β , )BAC = α :‬‬ ‫) ‪ α‬ו‪ β -‬זוויות ברדיאנים(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבא את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ α , R‬ו‪. β -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון‪ . β = π , α = 5π :‬הבע את השטח החסום בין‬ ‫‪12‬‬ ‫הקשת ‪ AC‬לבין המיתר ‪) AC‬השטח המקווקו שבציור(‬ ‫באמצעות ‪. R‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪R 2 sin ( 2α + 2β ) ⋅ cos ( α + β ) ⋅ sin α‬‬ ‫‪ .‬ב‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪R 2 ⋅ 2π − 3 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.74‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ AD . R‬ו‪BD -‬‬ ‫שני מיתרים במעגל זה‪ .‬המשכו של הרדיוס ‪ OB‬חותך את‬ ‫המיתר ‪ AD‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )DAC = α , BE ⊥ AC :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ BED‬באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את הזווית ‪ α‬שעבורה ‪. OE = OF‬‬ ‫‪S‬‬ ‫עבור ‪ α‬שחישבת בסעיף ב'‪ ,‬מצא את היחס‪. + ADF :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪S+ BDE‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪65‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫) ‪2 ⋅ R 2 sin 2 ( α + 45° ) ⋅ sin ( 45° − α‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪cos α‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪ .‬ב‪ . 22.5° .‬ג‪. 1 .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3.75‬‬ ‫‪ CD‬חוצה את הזווית ‪ C‬במשולש שונה צלעות ‪. ABC‬‬ ‫נתון‪. AC = b , BC = a , )C = γ :‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫הוכח‪2 :‬‬ ‫‪2ab ⋅ cos‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪. CD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.76‬‬ ‫במשולש ‪ E , ABC‬היא נקודה על צלע ‪ BC‬כך ש‪AE = EC -‬‬ ‫נתון‪) ( a > c ) AB = c , AC = b , BC = a :‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫הוכח כי‪:‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪a a 2 − c2‬‬ ‫‪a + b − c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪. BE‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪3.77‬‬ ‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬ ‫זוויות המשולש הן‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪sin α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הראה כי‬ ‫‪β‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪2 cos ⋅ cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪. + BOC‬‬ ‫‪S+ ABC‬‬ ‫‪O‬‬ ‫נתון כי רדיוס המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬הוא ‪. r‬‬ ‫הבע את המכפלה ‪ OA ⋅ OB ⋅ OC‬באמצעות ‪ β , α , r‬ו‪. γ -‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪r3‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪sin α ⋅ sin ⋅ sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3.78‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ E‬נקודה כלשהי בתוך משולש שווה‪-‬צלעות ‪ , ABC‬שאורך‬ ‫צלעו ‪ . a‬נתון‪. )EBC = β , CE = r , BE = q , AE = p :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪p2 − r 2‬‬ ‫הראה כי‬ ‫) ‪2q ⋅ sin ( 30° − β‬‬ ‫נתון‪ . β = 15° :‬הבע את שטח המשולש ‪BEC‬‬ ‫באמצעות ‪ r‬ו‪. p -‬‬ ‫= ‪.a‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪p2 − r 2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.79‬‬ ‫משולש חד‪-‬זווית ‪ ABC‬חוסם מעגל שרדיוסו ‪ . r‬הנקודות‬ ‫‪ M , L , K‬הן נקודות ההשקה‪.‬‬ ‫נתון‪) )KML = β , )KLM = α :‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את ‪ +ABC‬הוא‪:‬‬ ‫‪−r‬‬ ‫‪4 cos ( α + β ) ⋅ cos α ⋅ cos β‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.80‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬המיתר ‪BD‬‬ ‫חותך את הרדיוס ‪ OC‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )OBD = β , )BOC = 60° :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ CDE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. β -‬‬ ‫ב‪ .‬מהו שטח המשולש ‪ CDE‬כאשר ‪. β = 30°‬‬ ‫) ‪R 2 sin (120° − 2β ) ⋅ cos ( 30° + β‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫) ‪2sin ( 60° + β‬‬ ‫ב‪3 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪3.81‬‬ ‫בטרפז שווה שוקיים ‪ (AB & CD) ABCD‬שאלכסוניו‬ ‫נחתכים בנקודה ‪ , M‬נתון‪. )CAD = β , )CAB = α :‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CMD‬לבין שטח‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪S+CMD‬‬ ‫‪sin 2 β‬‬ ‫=‬ ‫המשולש ‪ AMB‬הוא‪:‬‬ ‫)‪S+ AMB sin 2 (2α + β‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הוכח כי היחס בין שטח המשולש ‪ CBD‬לבין‬ ‫‪S+CBD 2sin (α + β) ⋅ cos α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שטח המשולש ‪ AMD‬הוא‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪S+ AMD‬‬ ‫)‪sin (2α + β‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪S+CBD 10‬‬ ‫נתון גם‪, α = 15° :‬‬ ‫=‬ ‫‪S+ AMD‬‬ ‫‪9‬‬ ‫תשובה‪ :‬ג‪. 86.11° .‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .‬חשב את ‪. β‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.82‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ E .‬היא נקודת המפגש של חוצי‬ ‫הזוויות הפנימיות במשולש זה‪ .‬הישר ‪ BE‬חותך את המעגל‬ ‫בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )ACB = 2γ , )ABC = 2β , BC = m :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ AE‬באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי ‪ +AEF‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים והבע את‬ ‫היקפו באמצעות ‪ β , m‬ו‪. γ -‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪B‬‬ ‫‪67‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪2m sin β ⋅ sin γ‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫) ‪sin ( 2β + 2γ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) ‪2m sin β ⋅ (1 + sin γ‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫) ‪sin ( 2β + 2 γ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3.83‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪. )ACB = γ , )ABC = β , )BAC = α :‬‬ ‫‪ γ , β , α‬הן זוויות חדות‪ .‬נקודה ‪ E‬היא נקודת חיתוך‬ ‫גבהים במשולש‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪. AE = BE = CE‬‬ ‫‪cos β‬‬ ‫‪cos α‬‬ ‫‪cos γ‬‬ ‫נסמן ב‪ R -‬את רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬ ‫הראה כי המשולשים ‪ BCE , ACE , ABE‬ניתן לחסום‬ ‫במעגלים בעלי רדיוס ‪. R‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.84‬‬ ‫במקבילית ‪ ABCD‬נתון‪)B = β , BC = b , AB = a :‬‬ ‫) ‪ β‬חדה(‪ .‬מקודקוד ‪ C‬העבירו ישר החותך את הצלע‬ ‫‪ AD‬בנקודה ‪ , F‬וחותך את המשכה של הצלע ‪AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪ .‬שטח המרובע ‪ ABCF‬הוא ‪2 ab‬‬ ‫‪5‬‬ ‫א‪ .‬הבע את עורך הקטע ‪ BE‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. β -‬‬ ‫‪S‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ . + EAC = 1 :‬חשב את ‪. β‬‬ ‫‪S+ ABC 2‬‬ ‫‪5a sin β‬‬ ‫‪ .‬ב‪. 36.87° .‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫) ‪2 ( 5sin β − 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3.85‬‬ ‫נתון משולש שווה‪-‬שוקיים ‪ ( DE = EC ) DEC‬שבו ‪ . )DEC = θ , DC = m‬על השוקיים של‬ ‫משולש זה בנו משולש שווי‪-‬צלעות ‪ AED‬ו‪) BEC -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. AB & CD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את ‪ AB‬באמצעות ‪ m‬ו‪. θ -‬‬ ‫נתון‪. S+AEB = S+ DEC :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫חשב את ‪. θ‬‬ ‫) ‪(i‬‬ ‫)‪ (ii‬מה המשמעות ההנדסית של התוצאה שקיבלת‬ ‫לגבי המרובע ‪. ABCD‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪.‬‬ ‫‪68‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪m ⋅ cos θ − 30°‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬ג‪ (ii) . 120° (i) .‬מלבן‪.‬‬ ‫‪sin θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.86‬‬ ‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬אלכסוני המרובע נחתכים‬ ‫בנקודה ‪ . E‬נתון‪. )CBD = γ , )ABD = β , AE = a , AB = BC :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ EC‬באמצעות ‪ β , α‬ו‪. γ -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪ABCD‬‬ ‫‪b g‬‬ ‫‪β−γ‬‬ ‫(‬ ‫) ‪2‬‬ ‫= ‪.R‬‬ ‫‪β+γ‬‬ ‫( ‪2sin β ⋅ cos‬‬ ‫) ‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪a cos‬‬ ‫הוא‪:‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪a ⋅ sin γ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪sin β‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪3.87‬‬ ‫טרפז ‪ ABCD‬ומשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(EF = EG) EFG‬‬ ‫חסומים במעגל‪ .‬הבסיס הגדול ‪ CD‬של הטרפז הוא קוטר‬ ‫במעגל ומקביל לבסיס ‪ FG‬של המשולש‪ .‬שוקי הטרפז‬ ‫מקבילות לשוקי המשולש‪ .‬נתון‪. )G = γ , FG = m :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שוקי הטרפז באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי שטח הטרפז שווה לשטח המשולש והבע את‬ ‫השטח באמצעות ‪ m‬ו‪. γ -‬‬ ‫‪ . AD = BC = m‬ב‪. 1 m 2 tan γ .‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2sin γ‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪3.88‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ .‬חוצי הזוויות ‪ )B , )A‬ו‪)C -‬‬ ‫חותכים את המעגל בנקודות ‪ E , D‬ו‪ F -‬בהתאמה )ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. )C = 2γ , )B = 2β , )A = 2α :‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי היחס בין היקף המשולש ‪ ABC‬לבין היקפו של‬ ‫‪sin 2α + sin 2β + sin 2γ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪:‬‬ ‫‪cos α + cos β + cos γ‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין שטח המשולש ‪ ABC‬לבין שטח‬ ‫המשולש ‪ DEF‬הוא‪8sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ :‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪3.89‬‬ ‫‪B‬‬ ‫טרפז ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכז ‪ AE . O‬הוא גובה בטרפז‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. )COD = 2β , )AOB = 2α , AE = h :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫הראה כי רדיוס המעגל שווה ל‪-‬‬ ‫‪cos α + cos β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫הראה כי שטח הטרפז ‪ ABCD‬הוא‪. h 2 tan α + :‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪69‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.90‬‬ ‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪) ABC‬ראה ציור(‬ ‫נתון‪. )ABC = )A + 45° , AC = b , BC = a :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫= ‪. BE‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הראה כי‬ ‫‪AE b 2 − a‬‬ ‫נתון‪ . b = 4 , a = 3 :‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.06° , 93.47° , 48.47° .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.91‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ ()C = 90°) ABC‬העבירו ‪ BD‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ . )CBD = )A‬מנקודה ‪ D‬העבירו ‪ DE‬המקביל ל‪AB -‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. ( 0° < α < 45° ) )A = α :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪S+ ECD‬‬ ‫‪sin 4 α‬‬ ‫=‬ ‫הראה כי‪:‬‬ ‫‪S+ ABD cos 2 α ⋅ cos 2α‬‬ ‫חשב את ‪ α‬אם ידוע ש‪. S+ ECD = S+ ABD -‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 38.17° .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪3.92‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫) ‪2Q ⋅ sin ( α + β‬‬ ‫הראה כי‪:‬‬ ‫‪sin α ⋅ sin β‬‬ ‫נתון כי‪ 6 :‬ס"מ = ‪ 8 , EF‬ס"מ = ‪, α = 45° , m‬‬ ‫‪. EF2 = m 2 −‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ AB‬מיתר במעגל‪ .‬חיברו נקודה ‪ C‬עם הנקודות ‪ A‬ו‪. B -‬‬ ‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬הן נקודות החיוך של ‪ BC‬ו‪ AC -‬עם המעגל‬ ‫בהתאמה‪ .‬נתון‪. SABEF = Q , AB = m , )B = β , )A = α :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫) ‪ 12 ( 3 − 3‬סמ"ר = ‪ . Q‬חשב את ‪. β‬‬ ‫‪B‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 60° .‬‬ ‫‪3.93‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בטרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬נתון‪, CD = n , AB = m :‬‬ ‫‪. )B = β , )A = α , BC = q , AD = p‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫הראה כי‪1 m 2 + n 2 − p 2 − q 2 = mn + pq ⋅ cos α + β :‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫נתון כי בטרפז ‪ ABCD‬ניתן לחסום מעגל‪ .‬הראה כי‪:‬‬ ‫‪mn = sin 2 α + β‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪A‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.94‬‬ ‫מעגל שמרכז ‪ O‬ורדיוסו ‪ R‬חוסם משולש ‪ ABC‬כך שמרכז‬ ‫המעגל נמצא על צלע ‪ . AB‬נתון‪ , OE ⊥ AB :‬מעגל החסום‬ ‫ב‪ +ABC -‬משיק ל‪. OE -‬‬ ‫א‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל החסום ב‪ +ABC -‬באמצעות ‪. R‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪. 30° , 60° , 90° .‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪. 0.365R .‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3.95‬‬ ‫‪A‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬חסום במעגל‪ AE .‬חוצה את הזווית ‪BAC‬‬ ‫וחותך את המעגל בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. BC = a , AC = b , AB = c :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את המכפלה ‪ AE ⋅ EF‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ . )BAC = 2α :‬הראה כי‪:‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪2 ( b + c ) ⋅ cos α‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪. AE = 2bc ⋅ cos α , EF‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b+c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪. a bc 2 .‬‬ ‫)‪( b + c‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪3.96‬‬ ‫‪A‬‬ ‫בגזרה ‪ ABC‬שרדיוסה ‪ (AB = BC = R) R‬חסום מעגל‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . r‬נתון כי‬ ‫‪R 16‬‬ ‫הבע את שטח הגזרה באמצעות ‪. r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫תשובה‪. 4.84r 2 :‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3.97‬‬ ‫מנקודה ‪ A‬הנמצאת מחוץ למעגל העבירו ישר המשיק למעגל‬ ‫בנקודה ‪ B‬וישר שני החותך את המעגל בנקודות ‪ E‬ו‪. C -‬‬ ‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 1.6 , AB‬ס''מ = ‪. )A = α , AE‬‬ ‫א‪ .‬הבע את ‪ sin )C‬באמצעות ‪. α‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את רדיוס המעגל באמצעות ‪. α‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2 ⋅ sin α‬‬ ‫‪29 − 20 cos α‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪29 − 20 cos α‬‬ ‫‪5sin α‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪C‬‬ ‫‪71‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪3.98‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ (AB = AC) ABC‬מקודקוד ‪C‬‬ ‫העבירו גובה ‪ CE‬לשוק ‪ . AB‬נתון כי ‪. )BCE = γ‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ γ‬את היחס בין רדיוס המעגל החסום‬ ‫ב‪ +ABC -‬לבין רדיוס המעגל החוסם את ‪. +ABC‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪g‬‬ ‫‪. sin 2γ⋅ tan 45°−‬‬ ‫‪3.99‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ‪ BM , ABC‬הוא התיכון לצלע ‪. AC‬‬ ‫נתון‪ 2.5 :‬ס"מ = ‪ 4 , AB‬ס"מ = ‪ 3 , BC‬ס"מ = ‪. BM‬‬ ‫חשב את זוויות המשולש ‪. ABC‬‬ ‫תשובה‪. 38.84° ,46.57° ,94.59° :‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3.100‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בטרפז ‪(AB & CD, AB > CD) ABCD‬‬ ‫נתון‪ 11 :‬ס''מ = ‪ 4 , AB‬ס''מ = ‪ 6 , AD‬ס''מ = ‪, BC‬‬ ‫‪. )B = β , )A = α‬‬ ‫א‪ .‬הבע את הבסיס ‪ CD‬באמצעות ‪ α‬ו‪. β -‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את זוויות הטרפז עבור ‪ 3‬ס''מ = ‪. CD‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪.‬‬ ‫) ‪. 11 − 2 13 + 12 cos ( α + β‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪A a‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ב‪. 133.43° , 151.04° , 28.96° , 46.57° .‬‬ ‫‪3.101‬‬ ‫טרפז ‪ ( AB & CD ) ABCD‬חסום במעגל‪.‬‬ ‫נתון‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 5 , AB‬ס"מ = ‪. )A =α , CD‬‬ ‫א‪ .‬הבע את רדיוס ‪ R‬של המעגל באמצעות ‪. α‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חשב את הזווית ‪ , α‬כאשר‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪49 + 4 tan 2 α‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2sin α‬‬ ‫ס"מ = ‪. R‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A a‬‬ ‫ב‪ 45° .‬או ‪. 74.05°‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫‪3.102‬‬ ‫‪ CE‬הוא חוצה הזווית ‪ ACB‬במשולש ‪. ABC‬‬ ‫נתון‪ 4 :‬ס''מ = ‪ 7 , AE‬ס''מ = ‪. )AEC = 60° , BE‬‬ ‫א‪ .‬חשב את אורכו של ‪. CE‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. ACB‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫א‪ 9 13 .‬ס''מ‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪. 48.93° .‬‬ ‫‪3.103‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ‪ BE , ABC‬הוא חוצה הזווית ‪. ()B1 = )B2 ) ABC‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון‪. BE = p , AB = c , BC = a :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הבע את ‪ cos )B1‬באמצעות ‪ c , a‬ו‪. p -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חשב את שטחו של המשולש ‪ , ABC‬כאשר ‪ 8‬ס''מ = ‪, a‬‬ ‫‪ 5.5‬ס''מ = ‪ 6 , c‬ס''מ = ‪. p‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫)‪p(c + a‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2ac‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ב‪ 15.83 .‬סמ''ר‪.‬‬ ‫‪3.104‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪(AB = AC) ABC‬‬ ‫נתון‪ 8 :‬ס''מ = ‪ . )B = β , BC‬מקודקוד ‪ C‬של‬ ‫המשולש העבירו תיכון ‪ CE‬לצלע ‪. AB‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הראה כי‪. CE = 2 9 + tan 2 β :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חשב את זוויות המשולש ‪ , ABC‬עבור ‪ 2 11‬ס''מ = ‪. CE‬‬ ‫תשובה‪ :‬ב‪. 70.52°, 54.74°, 54.74° .‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.105‬‬ ‫בטרפז ישר‪-‬זווית ‪()A = )D = 90° , AB < CD , AB & CD) ABCD‬‬ ‫‪B‬‬ ‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬חיברו את ‪ O‬עם הקודקודים ‪ B‬ו‪. C -‬‬ ‫נתון‪. OC = n , OB = m :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2mn‬‬ ‫הוכח כי‪:‬‬ ‫‪m2 + n 2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הבע את היקף הטרפז ‪ ABCD‬באמצעות ‪ m‬ו‪. n -‬‬ ‫= ‪sin )BCD‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫) ‪2 m2 + n 2 ⋅ ( m + n‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪m2 + n 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬ ‫‪73‬‬ ‫פרק ‪ :3‬בעיות טריגונומטריות במישור‬ ‫הגדרות ונוסחאות‪ ,‬תרגילים‬ ‫‪3.106‬‬ ‫‪ ABC‬הוא משולש חד‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים )‪. (AB = AC‬‬ ‫המשולש חסום במעגל שמרכזו ‪ . O‬מקודקוד ‪ B‬דרך מרכז‬ ‫המעגל ‪ O‬מעבירים ישר החותך את השוק ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫נתון‪. BC = 2a , )C = γ :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ AOE‬באמצעות ‪ a‬ו‪. γ -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצא את הזווית ‪ γ‬אם ידוע כי ‪. S+ ABE = 2.5 ⋅ S+ AOE‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪S+ AOE‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הוכח כי‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪S+ ABE 4sin 2 γ‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪−4sin γ ⋅ cos 3γ‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫ג‪. 52.24° .‬‬ ‫‪3.107‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬נתון‪ AM , )C = γ , )B =β :‬תיכון‬ ‫‪1 2‬‬ ‫לצלע ‪ AE , BC‬חוצה את הזווית ‪. ()A1 = )A 2 ) BAC‬‬ ‫הוכח‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪BE‬‬ ‫‪2sin γ‬‬ ‫=‬ ‫‪MC sin β+ sin γ‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪E M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪3.108‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע של ‪ , BC‬ונקודה ‪M‬‬ ‫היא אמצע של ‪ . AC‬אנך אמצעי לצלע ‪ BC‬חותך את ‪AC‬‬ ‫בנקודה ‪ , D‬ואנך אמצעי לצלע ‪ AC‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬ ‫‪BN 2 AD 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫נתון‪, AC = b :‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪NC 5 DC 2‬‬ ‫הבע את אורכי הצלעות ‪ BC‬ו‪ AB -‬באמצעות ‪. b‬‬ ‫‪2 b 30‬‬ ‫‪b 210‬‬ ‫= ‪. AB‬‬ ‫= ‪, BC‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בתוך משולש ישר‪-‬זווית ‪( )C = 90° ) ABC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חסום מעגל שמרכזו ‪ . O‬נתון ‪. OA = d , OB = d‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪3.109‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫מצא את הזוויות החדות של המשולש ‪. ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫הבע את אורכי הצלעות של המשולש באמצעות ‪. d‬‬ ‫תשובה‪ :‬א‪ . 54.48° , 35.52° .‬ב‪. 1.35d , 1.89d , 2.32d .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא לפתרון תרגילים טריגונומטריה‬