מילוליות : בעיות 1 נושא בעיות תנועה

‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫נושא ‪ :1‬בעיות מילוליות‬
‫בעיות תנועה‬
‫בבעיות תנועה אנו עוסקים בשלושה מרכיבים אשר מתקיים ביניהם קשר מתמטי‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫מהירות )‪v = :(v‬‬
‫=‪t‬‬
‫דרך )‪s = v ⋅ t :(s‬‬
‫זמן )‪:(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫חשוב להקפיד כי יחידות המדידה של הזמן והדרך יהיו תואמות ואחידות )קילומטרים ושעות‪ ,‬מטרים ודקות‬
‫וכדומה(‪ .‬כאשר הנתונים אינם מוצגים באופן אחיד )חלק מהנתונים בשעות וחלק בדקות( נמיר אותם להצגה אחידה‪.‬‬
‫כדי להקל עלינו בעיבוד המידע הנתון‪ ,‬נפתח תמיד את הפתרון בשרטוט‬
‫של ההתרחשויות‪ .‬שרטוט טוב יסייע לנו להשתלט על הנתונים ולבנות‬
‫משוואות שיסייעו לנו לפתור את הבעיה‪ .‬שרטוט של בעיה כלשהי יכול‬
‫להיראות למשל כך‪:‬‬
‫כמו מרבית הבעיות המילוליות‪ ,‬נוח לפתור בעיות תנועה באמצעות טבלה הנראית כך לדוגמא‪:‬‬
‫נשים לב‪ ,‬כי לעתים קרובות הנתונים בתרגיל‬
‫יתייחסו לשניים או שלושה שלבים‪ .‬נקפיד‬
‫לקרוא את כל השאלה‪ ,‬ולאחר מכן נמלא את‬
‫הטבלה עבור כל שלב בנפרד‪ .‬נמלא את הטבלה‬
‫ונרכיב משוואה מכל אחד מהשלבים‪.‬‬
‫מהירות‬
‫דרך‬
‫זמן‬
‫משאית‬
‫אופניים‬
‫בהתאם לשלב‬
‫הראשון‬
‫משאית‬
‫בהתאם לשלב השני‬
‫אופניים‬
‫נקפיד גם על סימון יעיל של המשתנים‪ :‬לעתים קרובות נסמן את המשתנים בהתאם לשאלה שנשאלנו בתרגיל‪ .‬כך‬
‫למשל אם התבקשנו למצוא את מהירותן של המכוניות א' וב'‪ ,‬נסמן אותן ב‪ x-‬וב‪ y-‬בהתאמה‪ .‬ננסה להימנע ככל‬
‫הניתן משימוש בשלושה משתנים‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬הוא ‪ 150‬ק"מ‪ .‬שתי משאיות יוצאות בו זמנית במהירויות שונות‪ :‬הראשונה מהנקודה ‪A‬‬
‫לנקודה ‪ ,B‬והשניה מהנקודה ‪ B‬לנקודה ‪ .A‬כעבור שעה חלפו שתי המשאיות האחת על פני השניה והמשיכו ליעדן‪.‬‬
‫המשאית שפניה ל‪ B-‬הגיעה ליעדה ‪ 50‬דקות אחרי המשאית שפניה ל‪ .A-‬חשב את מהירויות המשאיות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ניעזר בשרטוט עזר פשוט המתאר את הנאמר‪:‬‬
‫נמלא את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪150‬‬
‫‪B‬‬
‫עלינו לחשב את מהירויותיהן של המשאיות‬
‫ולכן נסמן אותן ב‪ x-‬וב‪ .y-‬זמן נסיעתן הוא‬
‫כעבור שעה נפגשו משאית מ‪A-‬‬
‫שעה אחת‪ .‬את הדרך נקבל על ידי הכפלת‬
‫המשאיות‬
‫משאית מ‪B-‬‬
‫המהירות בזמן הנסיעה‪.‬‬
‫כמו שניתן לראות בשרטוט‪ ,‬כאשר נפגשו הן למעשה נסעו ביחד את כל המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ולכן הדרך‬
‫המשותפת שלהן היא ‪ 150‬ק"מ‪ ,‬ומכאן המשוואה הראשונה‪. (I ) x + y = 150 :‬‬
‫נמלא את הנתונים הנוספים בטבלה‪:‬‬
‫נתבונן בשרטוט ונראה כי לאחר המפגש‪ ,‬הדרך‬
‫שנותרה לכל משאית לעבור ליעדה‪ ,‬היא הדרך‬
‫שהמשאית האחרת כבר עברה‪ .‬ומכאן שהדרך‬
‫שנותרה למשאית מ‪ A-‬לעבור היא ‪ ,y‬והדרך‬
‫שנותרה למשאית מ‪ B-‬לעבור היא ‪ .x‬את זמן‬
‫הנסיעה נביע על ידי חלוקת הדרך במהירות‪.‬‬
‫משאית מ‪A-‬‬
‫מהירות‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫זמן‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מהירות‬
‫זמן‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫מהפגישה ליעד‬
‫משאית מ‪B-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪5‬‬
‫‪50 5‬‬
‫‪ ,‬כלומר‪ 50 :‬דקות הן‬
‫לפני בניית משוואה נמיר את נתון ה‪ 50-‬דקות לשעות‪ :‬נחלק ב‪ 60-‬ונקבל‪= :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪60 6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫דרך‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫דרך‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫שעה‪.‬‬
‫עמוד ‪1‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪5‬‬
‫נתון כי זמן הנסיעה של המשאית שיצאה מ‪ A-‬ארוך ב‪ -‬השעה מזמן נסיעתה של המשאית שיצאה מ‪ .B-‬לכן נוסיף‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪(II ) x + 5 = y‬‬
‫לזמן הנסיעה של המשאית שיצאה מ‪ B-‬ונשווה בין זמני הנסיעה של שתי המשאיות‪:‬‬
‫‪y 6 x‬‬
‫‪6‬‬
‫כעת נבודד את ‪ y‬ממשוואה ‪ y = 150 − x :I‬ונציב ב‪:II-‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5 150 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪→ 6 x 2 + 5 x(150 − x ) = 6 ⋅ (150 − x ) → x 2 − 510 x + 27000 = 0‬‬
‫‪150 − x 6‬‬
‫‪x‬‬
‫שני פתרונות המשוואה הם‪ x = 60 :‬ו‪ . x = 450 -‬נפסול את הפתרון השני מכיוון שאם ‪ x = 450‬אז מתקבל ערך ‪y‬‬
‫שלילי‪ ,‬שאינו אפשרי עבור מהירות המשאית‪.‬‬
‫כלומר ‪ , x = 60‬ולאחר הצבה במשוואה ‪ I‬נקבל‪. y = 90 :‬‬
‫כלומר מהירות המשאית שיצאה מ‪ A-‬היא ‪ 60‬קמ"ש ומהירות המשאית שיצאה מ‪ B-‬היא ‪ 90‬קמ"ש‪.‬‬
‫) ‪(II‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪2‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫תרגילים ‪ -‬בעיות תנועה‬
‫שימו לב! בכל התרגילים מהירות הנסיעה קבועה‪ ,‬אלא אם מצוין אחרת‪.‬‬
‫‪ .1‬מכונית מהירה וקטנוע איטי יצאו בו זמנית מתל אביב לקיבוץ בצפון‪ .‬מהירות הקטנוע נמוכה ב‪25%-‬‬
‫ממהירות המכונית‪ .‬כעבור שעתיים היה המרחק ביניהם ‪ 40‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מהירות המכונית והקטנוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב מה יהיה המרחק ביניהם כעבור חמש שעות מתחילת הנסיעה‪.‬‬
‫‪ .2‬רוכב יצא מביתו לכיוון בית הספר במהירות ‪ 15‬קמ"ש‪ .‬כעבור שעתיים יצא אביו בקטנוע שמהירותו‬
‫גבוהה פי שלושה ממהירות הרוכב כדי להביא לו את האוכל ששכח בבית‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון שהשניים הגיעו יחד לבית הספר‪ .‬חשב את המרחק בין בית הספר לביתם של הרוכב ואביו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את משך נסיעתו של האב מרגע יציאתו ועד הגעתו לבית הספר‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי רכבות יצאו בו זמנית מבאר שבע לעכו‪ ,‬מרחק של ‪ 250‬ק"מ‪ .‬מהירות הרכבת השנייה גבוהה‬
‫ב‪ 25%-‬ממהירות הרכבת הראשונה‪ .‬הרכבת הראשונה יצאה לדרכה בשעה ‪ 6:00‬והשנייה בשעה ‪.6:30‬‬
‫שתי הרכבות הגיעו לעכו בו זמנית‪ .‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬את מהירויות הרכבות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נסעה הרכבת השנייה מבאר שבע לעכו‪.‬‬
‫‪ .4‬שתי משאיות יצאו בו זמנית‪ ,‬האחת לקראת השנייה‪ ,‬מהנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬בהתאמה‪ ,‬שהמרחק ביניהן ‪99‬‬
‫ק"מ‪ .‬מהירות הרכבת שיצאה מהנקודה ‪ A‬גבוהה ב‪ 10%-‬ממהירות הרכבת השניה‪ .‬הרכבת שיצאה‬
‫מהנקודה ‪ A‬הגיעה לנקודה ‪ B‬בדיוק עשר דקות לפני שהמשאית השנייה הגיעה לנקודה ‪ .B‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬מהירות הרכבת היוצאת מהעיר ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬משך נסיעתה של הרכבת שיצאה מהעיר ‪.A‬‬
‫‪ .5‬מדי שבוע‪ ,‬נוסע יהודה ‪ 160‬ק"מ לביתה של נוגה‪ .‬בדרך כלל הוא נוסע את הדרך כולה במהירות קבועה‪,‬‬
‫אך השבוע נסע את ‪ 100‬הקילומטרים הראשונים במהירות הגדולה ב‪ 25%-‬ממהירותו הרגילה‪ ,‬ואת‬
‫שאר הדרך נסע במהירות הקטנה ב‪ 50%-‬ממהירותו הרגילה‪ .‬כשהגיע‪ ,‬הסתבר כי נסיעתו ארכה חצי‬
‫שעה יותר מהרגיל‪ .‬חשב את מהירותו הרגילה של יהודה‪.‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫שני רכבים יצאו בו זמנית מתל אביב ומירושלים‪ ,‬האחד לקראת השני‪ .‬מהירות הרוכב שיצא מתל‬
‫אביב גבוהה ב‪ 40-‬קמ"ש ממהירות הרוכב שיצא מירושלים‪ .‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬
‫הרוכב שיצא מירושלים הגיע לתל אביב ‪ 90‬דקות לאחר שהרוכב מתל אביב הגיע לירושלים‪ .‬חשב את‬
‫מהירויות הרוכבים‪.‬‬
‫רוכב אופנוע יצא מבית הוריו ונסע במהירות קבועה לאוניברסיטה‪ .‬כעבור חמש דקות מיציאתו‪ ,‬גילתה‬
‫אמו כי שכח את המכשיר הסלולארי שלו ויצאה לכיוונו במכונית כדי לתת לו אותו‪ .‬מהירותה הייתה‬
‫גבוהה ב‪ 10-‬קמ"ש ממהירות בנה והיא השיגה אותו במרחק עשרה ק"מ מביתה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מהירויות נסיעתם של הבן ושל האם‪.‬‬
‫ב‪ .‬מיד לאחר פגישתם הסתובבה האם ושבה לביתה‪ .‬כשהגיעה לביתה‪ ,‬הגיע בנה לאוניברסיטה‪.‬‬
‫חשב את המרחק בין האוניברסיטה לבין בית המשפחה‪.‬‬
‫המרחק בין באר שבע לבין תל אביב הוא ‪ 120‬ק"מ‪ .‬ברגע בו יצא אריק מבאר שבע לתל אביב‪ ,‬יצא נועם‬
‫מתל אביב לבאר שבע‪ .‬מהירותו של אריק היתה גדולה בעשרה קמ"ש ממהירותו של נועם‪ .‬שניהם עצרו‬
‫בדרך להתרעננות‪ :‬אריק למשך עשר דקות ונועם למשך ‪ 30‬דקות‪ .‬אריק הגיע לת"א ‪ 30‬דקות לפני‬
‫שנועם הגיע לבאר שבע‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את המהירויות של שניהם‪.‬‬
‫ב‪ .‬למחרת יצאו בו זמנית מאותן נקודות ובאותו כיוון אך לא עצרו להתרעננות‪ .‬חשב מה היה‬
‫המרחק ביניהם כעבור ‪ 30‬דקות של נסיעה‪.‬‬
‫הראל צועד מדי יום למרחק ‪ 12‬ק"מ במהירות קבועה במסלול קבוע‪ .‬יום אחד‪ ,‬לאחר שעבר שני שליש‬
‫מהמסלול‪ ,‬התעכב למשך עשר דקות ולכן נאלץ להגדיל את מהירותו בשני קמ"ש כדי להגיע בזמן‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מהירותו הרגילה של הראל‪) .‬המשך התרגיל בעמוד הבא(‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪3‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫ב‪ .‬למחרת החליט להגדיל את מהירותו הקבועה ב‪ x-‬אחוזים וקיצר את המסלול בשלושה ק"מ‪.‬‬
‫זמן הליכתו הכולל באותו יום היה שעה‪ .‬מצא את ערכו של ‪.x‬‬
‫‪ .10‬המרחק בין קרית אונו לבין תל אביב הוא ‪ 30‬ק"מ‪ .‬דפנה ושי יצאו במקביל מקרית אונו ומתל אביב‬
‫בהתאמה והלכו במהירות קבועה האחד לקראת השניה‪ .‬הם חלפו זה על פני זה כעבור שעתיים‪ .‬דפנה‬
‫הגיעה לתל אביב שעה וארבעים דקות אחרי ששי הגיע לקרית אונו‪ .‬חשב את מהירותה של דפנה‪.‬‬
‫‪ .11‬מיקה רוכבת בכל יום במהירות קבועה מביתה למשרד הנמצא במרחק שישה ק"מ מביתה‪ .‬הבוקר‬
‫רכבה מיקה שש דקות במהירותה הרגילה‪ .‬לאחר מכן רכבה במשך ‪ 20‬דקות נוספות במהירות גבוהה‬
‫יותר והגיעה למשרד‪ .‬לו הייתה רוכבת במהירותה הרגילה כל הדרך‪ ,‬היה זמן נסיעתה ארוך בעשר‬
‫דקות מהזמן שלקח לה הבוקר‪ .‬חשב את המהירות הרגילה ואת המהירות הגבוהה בה נסעה הבוקר‪.‬‬
‫‪ .12‬ארנב וצב יוצאים יחד מאותו שיח לכיוון נקודה מסוימת על גדת הנהר‪ .‬מרחק ההליכה הוא חמישה‬
‫ק"מ‪ .‬מהירות הארנב גבוהה פי עשרה ממהירות הצב‪ .‬הארנב הגיע לנהר תשע שעות לפני הצב‪ .‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬את מהירות הצב ואת מהירות הארנב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה היה המרחק בין השניים כאשר הגיע הארנב לנהר‪.‬‬
‫‪ .13‬שני רוכבים יוצאים בו זמנית‪ ,‬האחד לכיוון השני‪ ,‬מן הערים ‪ A‬ו‪ B-‬שהמרחק ביניהן ‪ 500‬ק"מ‪.‬‬
‫מהירות הרוכב שיצא מהעיר ‪ A‬גבוהה בעשרה קמ"ש ממהירות הרוכב שיצא מהעיר ‪ .B‬לאחר שהרוכב‬
‫שיצא מהעיר ‪ A‬עבר ‪ 300‬ק"מ‪ ,‬השניים נפגשו‪ .‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬את מהירויות הרוכבים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן חלף מרגע הפגישה ועד שהרוכב שיצא מהעיר ‪ B‬הגיע לעיר ‪.A‬‬
‫‪ .14‬שתי כרכרות יצאו בו זמנית מן הארמון ונסעו לאגם המלכותי ‪ -‬מרחק של ‪ 100‬ק"מ‪ .‬מהירותה של‬
‫כרכרת האבטחה גבוהה ב‪ 60%-‬ממהירותה של כרכרת המלכה‪ .‬כרכרת האבטחה הגיעה לאגם שעה‬
‫וחצי לפני כרכרת המלכה‪:‬‬
‫א‪ .‬חשב את המהירות של כל כרכרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬למחרת יצאו הכרכרות בו זמנית מהארמון לאגם‪ ,‬אך הנמיכו ב‪ 20%-‬את מהירותן ביחס‬
‫למהירויות אתמול‪ .‬חשב כעבור כמה זמן היה המרחק בין הכרכרות ‪ 24‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ .15‬סמיר וחסן גרים במרחק ‪ 72‬ק"מ אחד מהשני‪ .‬הבוקר יצאו‪ ,‬כל אחד מביתו‪ ,‬ורכבו לכיוון ביתו של‬
‫השני במהירויות קבועות‪ .‬כעבור שעה וארבעים דקות‪ ,‬טרם נפגשו‪ ,‬היה המרחק ביניהם שני ק"מ‪.‬‬
‫סמיר הגיע ליעדו שעה אחת לפני שחסן הגיע ליעדו‪ .‬חשב את מהירויות הרכיבה של השניים‪.‬‬
‫‪ .16‬רכבת יצאה מהתחנה בחיפה והחלה נוסעת לכיוון תל אביב‪ .‬המרחק בין הערים הוא ‪ 100‬ק"מ‪ .‬הרכבת‬
‫אינה עוצרת בתחנות בדרך‪ .‬עשר דקות לאחר יציאת הרכבת יצא מתל אביב אופנוע בדרכו לחיפה‪ .‬שני‬
‫הרכבים חלפו זה על פני זה באמצע הדרך והמשיכו ליעדם‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון שמהירות האופנוע גדולה ב‪ 50%-‬ממהירות הרכבת‪ .‬חשב את מהירות הרכבת‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב כמה זמן לאחר שיגיע האופנוע לחיפה תגיע הרכבת לתל אביב‪.‬‬
‫‪ .17‬הנקודות ‪ B ,A‬ו‪ C-‬יוצרות משולש ישר זוית ) ‪ .( p ABC‬ב‪ 9:00-‬יצא הולך רגל‬
‫מהנקודה ‪ B‬לנקודה ‪ A‬במהירות ‪ 2‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 11:00-‬יצא רוכב אופניים מהנקודה ‪B‬‬
‫לנקודה ‪ C‬במהירות ‪ 8‬קמ"ש‪ .‬כאשר הולך הרגל הגיע לנקודה ‪ ,A‬המרחק בין‬
‫השניים היה ‪ 26‬ק"מ )באותו רגע הרוכב טרם הגיע ליעדו(‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב באיזו שעה הגיע הולך הרגל לנקודה ‪.A‬‬
‫ב‪ .‬בשעה ‪ 15:30‬הגיע הרוכב לנקודה ‪ .C‬חשב את אורך הצלע ‪.BC‬‬
‫פתרונות‪ (1 :‬א‪ .‬מכונית ‪ 80‬קמ"ש‪ ,‬קטנוע ‪ 60‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 100 .‬ק"מ‪ (2 .‬א‪ 45 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ .‬שעה‪ (3 .‬א‪ .‬הראשונה‬
‫‪ 100‬קמ"ש‪ ,‬השנייה ‪ 125‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬שעתיים‪ (4 .‬א‪ 59.4 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬שעה וארבעים דקות‪ 80 (5 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ (6‬מירושלים‪ 40 :‬קמ"ש‪ .‬מתל אביב‪ 80 :‬קמ"ש‪ (7 .‬א‪ .‬הרוכב‪ 30 :‬קמ"ש‪ ,‬האם‪ 40 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 17.5 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ (8‬א‪ .‬נועם‪ 80 :‬קמ"ש‪ ,‬אריק‪ 90 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 35 .‬ק"מ‪ (9 .‬א‪ 6 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 6 (10 . x = 50 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ 10 (11‬קמ"ש ו‪ 15-‬קמ"ש‪ (12 .‬א‪ .‬ארנב‪ 5 :‬קמ"ש‪ ,‬צב‪ 0.5 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 4.5 .‬ק"מ‪ (13 .‬א‪ .‬מ‪ 30 A-‬קמ"ש‪,‬‬
‫מ‪ 20 B-‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 15 .‬שעות‪ (14 .‬א‪ .‬המלכה‪ 25 :‬קמ"ש‪ ,‬האבטחה‪ 40 :‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬שעתיים‪.‬‬
‫‪ (15‬סמיר‪ 24 :‬קמ"ש‪ .‬חסן‪ 18 :‬קמ"ש‪ (16 .‬א‪ 100 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ .‬עשר דקות‪ (17 .‬א‪ .14:00 .‬ב‪ 36 .‬ק"מ‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪4‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫בעיות קניה ומכירה‬
‫בעיות מילוליות מסוג זה נחלקות לשני תתי‪-‬סוגים עיקריים‪:‬‬
‫‪ .1‬בעיות מחירים הקשורות בעליה ובירידה של מחירים באחוזים‬
‫ראשית נזכיר כיצד נחשב אחוזים‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫‪120‬‬
‫‪63‬‬
‫= ‪ 120%‬וכן‪= 1 :‬‬
‫= ‪= 1.2 , 63%‬‬
‫אחוז הוא שבר בעל מכנה ‪ .100‬לדוגמא‪= 0.63 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫‪80‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 48‬ש"ח = ‪⋅ 60‬‬
‫• את האחוז נכפיל במחיר המקורי‪ .‬לדוגמא‪ 80% ,‬מ‪ ₪ 60-‬הם‪:‬‬
‫‪100‬‬
‫•‬
‫= ‪. 100%‬‬
‫התייקרות או הוזלה הם תמיד ביחס ל‪ 100%-‬המקוריים‪ .‬לדוגמא‪:‬‬
‫‪35‬‬
‫כאשר חלה התייקרות של ‪ 35%‬במחיר‪ ,‬נקבל את האחוז החדש‪= 1.35 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ , 1 −‬ואותו נכפיל במחיר‪.‬‬
‫כאשר חלה הוזלה של ‪ 35%‬במחיר‪ ,‬נקבל את האחוז החדש‪= 0.65 :‬‬
‫‪100‬‬
‫כל שינוי במחיר‪ ,‬התייקרות או הוזלה‪ ,‬הוא תמיד ביחס למחיר לפני השינוי ולכן את האחוז נכפיל תמיד‬
‫במחיר לפני השינוי‪.‬‬
‫‪ , 1 +‬ואותו נכפיל במחיר‪.‬‬
‫•‬
‫לסיכום‪ ,‬נציג את הנוסחה הבסיסית לעבודה עם אחוזים )‪:(p‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ±‬‬
‫מחיר חדש = המחיר הקודם • ‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫דוגמא ‪1‬‬
‫יצחק רכש מניות של חברת סטארט אפ מבטיחה ב‪ .₪ 10,000-‬כעבור שנה עלה שווי מניות החברה ב‪.20%-‬‬
‫במהלך השנה השנייה‪ ,‬עקב כשלים טכניים ירד שווי מניות החברה ב‪.20%-‬‬
‫חשב את שווי המניות שבידי יצחק‪ ,‬בסוף השנה השנייה‪.‬‬
‫פתרון‪ :‬נחלק את הפתרון לשני שלבים‪ :‬שנת עליית שווי המניות‪ ,‬ושנת ירידת שווי המניות‪.‬‬
‫תחילה נחשב את שווי המניות לאחר עליית הערך בסוף השנה הראשונה‪:‬‬
‫‪20 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 1 +‬‬
‫לפי הנוסחה‪ ,‬שווי המניות כעבור שנה‪ ,‬לאחר עלייה של ‪ p = 20%‬הוא‪ 12,000 :‬ש"ח = ‪ ⋅ 10,000‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫במהלך השנה השנייה ירד שווי המניות ב‪ . p = 20% -‬נציב בנוסחה‪ ,‬ונזכור להכפיל במחיר הקודם לפני הירידה‪:‬‬
‫‪20 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 −‬‬
‫‪ 9600‬ש"ח = ‪ ⋅ 12,000‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫כלומר‪ ,‬יצחק הפסיד ‪ ₪ 400‬במהלך שנתיים אלו‪ ,‬ונשאר עם ‪ ₪ 9,600‬בלבד‪.‬‬
‫נשים לב כי התוצאה שקיבלנו הגיונית‪:‬‬
‫‪20‬‬
‫כאשר יצחק הרוויח ‪ ,20%‬היו אלה ‪ 20%‬מתוך ‪ ₪ 10,000‬שהם‪⋅ 10,000 = ₪ 2,000 :‬‬
‫‪100‬‬
‫‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬כשיצחק הפסיד ‪ ,20%‬היו אלה ‪ 20%‬מתוך ‪ ₪ 12,000‬שהם‪⋅ 12,000 = ₪ 2,400 :‬‬
‫‪100‬‬
‫כלומר ההפסד היה גדול ב‪ ₪ 400-‬מהרווח‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪.‬‬
‫עמוד ‪5‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪ .2‬בעיות העוסקות בעסקאות קניה ומכירה‬
‫בבעיות העוסקות בעסקאות קניה ומכירה שלושה מרכיבים שמתקיים ביניהם קשר מתמטי‪:‬‬
‫כמות הפריטים * מחיר ליחידה = סה"כ‬
‫סה"כ‬
‫מנוסחה זו ניתן לחלץ שתי נוסחאות עזר‪:‬‬
‫כמות = מחיר‬
‫סה"כ‬
‫מחיר= כמות‬
‫רווח = הכנסה פחות הוצאה‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫כמו מרבית הבעיות המילוליות‪ ,‬נוח לפתור בעיות קניה ומכירה באמצעות טבלה הנראית כך‪:‬‬
‫נשים לב‪ ,‬כי לעתים קרובות הנתונים בתרגיל‬
‫יתייחסו לשניים או שלושה שלבים‪ .‬נקפיד‬
‫לקרוא את כל השאלה‪ ,‬ולאחר מכן נמלא את‬
‫הטבלה עבור כל שלב בנפרד‪ .‬נמלא את הטבלה‬
‫ונרכיב משוואה מכל אחד מהשלבים‪.‬‬
‫כמות‬
‫הסוחר קנה‬
‫סה"כ‬
‫מחיר‬
‫בננות‬
‫תפוזים‬
‫בננות‬
‫הסוחר מכר‬
‫תפוזים‬
‫נקפיד גם על סימון יעיל של המשתנים‪ :‬לעתים קרובות נסמן את המשתנים בהתאם לשאלה שנשאלנו בתרגיל‪ .‬כך‬
‫למשל אם התבקשנו למצוא את מחירם המקורי של הבננות והתפוזים‪ ,‬נסמן אותם ב‪ x-‬וב‪ y-‬בהתאמה‪ .‬ננסה להימנע‬
‫ככל הניתן משימוש בשלושה משתנים‪.‬‬
‫בעיות רבות בנושא קניה ומכירה מערבות גם שימוש באחוזים‪.‬‬
‫דוגמא ‪2‬‬
‫בחנות רהיטים ‪ 50‬שולחנות‪ ,‬חלקם מעץ והיתר מפלסטיק‪ .‬המחיר הקבוע לצרכן בחנות הוא ‪ ₪ 180‬עבור שולחן עץ‬
‫ו‪ ₪ 120-‬עבור שולחן פלסטיק‪ .‬אולם‪ ,‬המוכר החליט להעלות את מחיר שולחן העץ ב‪ 20%-‬ולהוזיל את מחיר שולחן‬
‫הפלסטיק ב‪ .10%-‬ההכנסה הכוללת ממכירת ‪ 50‬השולחנות היתה ‪.₪ 7,992‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה שולחנות עץ היו בחנות בתחילת היום‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שבעל החנות רכש מהמפעל את ‪ 50‬השולחנות במחיר אחיד של ‪ ₪ 100‬לכל שולחן‪ .‬חשב כמה הרוויח‬
‫המוכר ממכירת כל אחד מסוגי השולחנות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬ניעזר בטבלה בכדי לסדר את הנתונים‪:‬‬
‫מכיוון שנשאלנו על כמות שולחנות העץ נסמן באמצעות ‪ x‬את כמות שולחנות העץ‪.‬‬
‫נתון כי בחנות בסה"כ ‪ 50‬שולחנות‪ ,‬ולכן כמות שולחנות הפלסטיק היא‪. 50 − x :‬‬
‫סוג‬
‫השולחן‬
‫עץ‬
‫פלסטיק‬
‫מחיר‬
‫כמות‬
‫‪180‬‬
‫‪120‬‬
‫‪x‬‬
‫‪50 − x‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬המוכר העלה את מחיר שולחנות העץ ב‪ p = 20% -‬והוזיל את מחיר שולחנות הפלסטיק ב‪. p = 10% -‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ±‬‬
‫ניעזר בנוסחה לחישוב באחוזים )‪ :(p‬מחיר חדש = המחיר הקודם • ‪‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫‪20 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 +‬‬
‫מחיר שולחנות העץ החדש הוא‪ 216 :‬ש"ח = ‪ ⋅ 180‬‬
‫‪ 100‬‬
‫‪ 10 ‬‬
‫‪1 −‬‬
‫מחיר שולחנות הפלסטיק החדש הוא‪ 108 :‬ש"ח = ‪ ⋅ 120‬‬
‫‪ 100‬‬
‫כעת נמלא את הטבלה לאחר העלאת המחירים‪:‬‬
‫מחיר‬
‫סוג השולחן לאחר העלאה‬
‫עץ‬
‫‪216‬‬
‫פלסטיק‬
‫‪108‬‬
‫כמות‬
‫סה"כ‬
‫‪x‬‬
‫‪50 − x‬‬
‫‪216x‬‬
‫)‪108⋅ (50 − x‬‬
‫סך ההכנסה הייתה ‪ ₪ 7,992‬ולכן‪:‬‬
‫‪216 x + 108 ⋅ (50 − x ) = 7,992 → 216 x + 5,400 − 108 x = 7,992 → 108 x = 2,592 → x = 24‬‬
‫כלומר בתחילת היום היו בדוכן ‪ 24‬שולחנות עץ )ו‪ 26-‬שולחנות פלסטיק(‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪6‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ב‪ .‬נציב את הערכים שמצאנו בסעיף א' ואת הנתונים החדשים בטבלה‪:‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬הסוחר רכש את כל השולחנות‬
‫מהמפעל במחיר אחיד של ‪.₪ 100‬‬
‫הסוחר קנה‬
‫עץ‬
‫פלסטיק‬
‫כמות‬
‫‪24‬‬
‫‪26‬‬
‫מחיר‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫סה"כ‬
‫‪2,400‬‬
‫‪2,600‬‬
‫נמלא גם את המחיר בו מכר הסוחר את‬
‫השולחנות‪ ,‬לפי החישוב מסעיף א'‪.‬‬
‫הסוחר מכר‬
‫עץ‬
‫פלסטיק‬
‫‪24‬‬
‫‪26‬‬
‫‪216‬‬
‫‪108‬‬
‫‪5,184‬‬
‫‪2,808‬‬
‫כעת נזכור כי‪ :‬רווח = הכנסה פחות הוצאה‪.‬‬
‫ולכן‪ ,‬המוכר הרוויח על שולחנות העץ‪ , 5,184− 2,400= ₪ 2,784 :‬ועל שולחנות הפלסטיק‪. 2,808− 2,600 = ₪ 208 :‬‬
‫דוגמא ‪3‬‬
‫בחנות שני סוגי מחשבים‪ .‬מחשב מתקדם שעלותו ‪ ₪ 3,000‬ומחשב ישן שעלותו ‪ .₪ 2,400‬המוכר החליט להפחית את‬
‫מחירו של המחשב המתקדם באחוז מסוים‪ ,‬ולייקר את מחירו של המחשב הישן באותו אחוז‪ .‬לאחר שינוי המחירים‪,‬‬
‫היה מחירו של המחשב המתקדם גבוה ב‪ ₪ 60-‬ממחירו של המחשב הישן‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב באיזה שיעור שונו המחירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפני שינוי המחירים‪ ,‬נמכרו חמישה מחשבים מכל סוג‪ .‬לאחר שינוי המחירים‪ ,‬נמכרו שני מחשבים‬
‫מתקדמים ורק מחשב ישן אחד‪ .‬חשב את שיעור ההכנסות ממכירת המחשב המתקדם‪ ,‬מתוך כלל ההכנסות‬
‫ממכירות המחשבים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נסמן את השיעור בו שונו המחירים באמצעות ‪.p‬‬
‫המוכר מוזיל את מחיר המחשב המתקדם שעלותו ‪ ₪ 3,000‬ב‪ p-‬אחוזים‪ ,‬ולכן לפי הנוסחה‪ ,‬מחירו החדש הוא‪:‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪3,000 p‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 3,000 − 30 p‬‬
‫‪1 −‬‬
‫‪ ⋅ 3,000 = 3,000 −‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫המוכר מייקר את מחיר המחשב הישן שעלותו ‪ ₪ 2,400‬ב‪ p-‬אחוזים‪ ,‬ולכן לפי הנוסחה‪ ,‬מחירו החדש הוא‪:‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪2,400 p‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 2,400 + 24 p‬‬
‫‪1 +‬‬
‫‪ ⋅ 2,400 = 2,400 +‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ 100 ‬‬
‫לפי הנתון‪ ,‬מחירו החדש של המחשב המתקדם יקר ב‪ ₪ 60-‬מהמחשב הישן‪ ,‬ולכן נוסיף ‪ ₪ 60‬למחירו של המחשב‬
‫הישן ונשווה בין המחירים של המחשבים‪:‬‬
‫‪3,000 − 30 p = 2,400 + 24 p + 60 → 54 p = 540 → p = 10‬‬
‫כלומר‪ ,‬המוכר שינה את המחירים בשיעור של ‪.10%‬‬
‫ב‪ .‬נציב את ערך ‪ p‬שחישבנו ונמצא כי מחירו החדש של המחשב המתקדם הוא‪ 3,000 − 30 ⋅ 10 = ₪ 2,700 :‬ואילו‬
‫מחירו של המחשב הישן הוא‪. 2,400 + 24 ⋅ 10 = ₪ 2,640 :‬‬
‫נמלא את נתוני המכירות בטבלה‪:‬‬
‫מכירות לפי שינוי‬
‫המחירים‬
‫מתקדם‬
‫ישן‬
‫כמות‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫מחיר‬
‫‪3,000‬‬
‫‪2,400‬‬
‫סה"כ‬
‫‪15,000‬‬
‫‪12,000‬‬
‫מכירות לאחר שינוי‬
‫המחירים‬
‫מתקדם‬
‫ישן‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2,700‬‬
‫‪2,640‬‬
‫‪5,400‬‬
‫‪2,640‬‬
‫ניתן לראות כי ההכנסות ממכירות המחשב המתקדם הם‪.₪ 20,400 :‬‬
‫כמו כן ניתן לראות כי סך ההכנסות הן‪. 15,000 + 12,000 + 5,400 + 2,640 = ₪ 35,040 :‬‬
‫‪20,400‬‬
‫נחשב את שיעור ההכנסות ממכירות המחשב המתקדם מתוך סך ההכנסות‪= 0.582 :‬‬
‫‪35,040‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫‪ .‬כלומר‪.58.2% :‬‬
‫עמוד ‪7‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫תרגילים ‪ -‬בעיות קניה ומכירה‬
‫‪ .1‬בחנות ‪ 150‬רהיטים‪ ,‬חלקם שולחנות וחלקם כסאות‪ .‬כמות השולחנות גדולה ב‪ 50%-‬מכמות הכיסאות‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה שולחנות בחנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון שמחירו של כל כיסא נמוך ב‪ 10%-‬ממחירו של כל שולחן‪ .‬הסוחר מכר את כלל הרהיטים‬
‫בחנות בעבור ‪ .₪ 14,400‬חשב את מחירם הכולל של שליש מהשולחנות ורבע מהכיסאות‪.‬‬
‫‪ .2‬בעל חנות תכנן למכור כמות קבועה של שולחנות במחיר קבוע לכל שולחן‪ .‬כמות השולחנות שמכר ביום‬
‫א' היתה נמוכה ב‪ 5-‬שולחנות מהכמות המתוכננת‪ ,‬אבל הוא מכר כל שולחן במחיר גבוה פי שניים‬
‫מהתכנון‪ .‬לכן‪ ,‬סך הכנסתו ביום א' היתה כפי שתכנון מראש‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה שולחנות תכנון למכור‪.‬‬
‫ב‪ .‬כמות השולחנות שמכר ביום ב' היתה גבוהה ב‪ 40%-‬מכמות השולחנות שמכר ביום א'‪ .‬המחיר‬
‫בו מכר כל שולחן ביום ב' היה נמוך ב‪ 10%-‬מהמחיר שהיה ביום א'‪ .‬סך הכנסותיו ביום ב' היו‬
‫‪ .₪ 1,512‬חשב כמה שולחנות מכר ביומיים‪ ,‬ומה היה מחיר השולחן ביום ב'‪.‬‬
‫‪ .3‬סוחר מכוניות רוכש מדי בוקר מהמפעל מכונית מדגם קבוע‪ ,‬ומוכר אותה בחנותו‪ .‬ביום א' רכש‬
‫מהמפעל מכונית ב‪ ,₪ k-‬ומכר אותה בחנותו במחיר שגבוה ב‪ 40%-‬מהמחיר בו רכש אותה‪ .‬ביום ב'‬
‫מכר המפעל את המכונית לסוחר במחיר הגבוה ב‪ 10%-‬ממחירה ביום א'‪ .‬הסוחר רכש את המכונית‬
‫ומכר אותה במחיר הגבוה ב‪ 5%-‬מהמחיר שדרש עבורה בחנות ביום א'‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את מחיר המכונית בחנות ביום ב'‪.‬‬
‫ב‪ .‬קבע באיזה מהימים היה הרווח של הסוחר ממכירת המכונית בחנות‪ ,‬גבוה יותר‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הרווח הכולל של המוכר ממכירת המכוניות ביומיים הללו היה ‪ .₪ 350,140‬מצא את ‪.k‬‬
‫‪ .4‬יבואן בגדי ספורט רכש חולצות מנדפות זיעה‪ .‬לאחר הרכישה גילה שעשר מהחולצות היו פגומות ולכן‬
‫מכר אותן בסכום כולל של ‪ .₪ 840‬מכירה זו היתה למעשה בהפסד של ‪ 30%‬לעומת המחיר הכולל בו‬
‫רכש אותן‪ .‬את יתר החולצות מכר ברווח של ‪ 50%‬ממחיר הרכישה‪ .‬ההכנסה הכוללת שלו ממכירת כל‬
‫החולצות ‪ -‬הפגומות והתקינות ‪ -‬היתה ‪ .₪ 3,000‬חשב‪:‬‬
‫א‪ .‬כמה שילם היבואן עבור חולצה אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזה סכום רכש היבואן את כל החולצות‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה היה הרווח הכולל של היבואן מכלל המכירה של החולצות‪.‬‬
‫‪ .5‬מחיר קוט"ש חשמל בשעות הבוקר נמוך ב‪ 20%-‬ממחיר קוט"ש בשעות הערב‪ .‬כדי לשכנע את הצרכנים‬
‫להעדיף שימוש במכשירי חשמל בשעות הבוקר על פני השימוש בשעות הערב‪ ,‬הוזילה חברת החשמל‬
‫את המחיר לקוט"ש חשמל בשעות הבוקר ב‪ ,25%-‬אך לא שינתה את מחירו בשעות הערב‪ .‬לאחר‬
‫ההוזלה‪ ,‬אסף צריך ‪ 100‬קוט"ש חשמל בשעות הערב ו‪ 250-‬קוט"ש חשמל בשעות הבוקר‪ .‬עבור צריכתו‬
‫שילם אסף ‪ .₪ 147.5‬חשב את המחיר באגורות לאחר ההוזלה עבור קוט"ש חשמל בשעות‪:‬‬
‫ב‪ .‬הערב‪.‬‬
‫א‪ .‬הבוקר‪.‬‬
‫‪ .6‬לכבוד יום הולדתו של אביב תכננו חבריו לקנות לו את המתנה שתמיד רצה‪ .‬לפי מחיר המתנה‪ ,‬הם‬
‫תכננו שכל חבר יביא ‪ ₪ 40‬לרכישת המתנה‪ .‬ביום קניית המתנה‪ ,‬הסתבר כי שניים מהחברים אינם‬
‫מגיעים למסיבה ואינם משתתפים ברכישת המתנה‪ .‬לכן‪ ,‬כדי לרכוש את המתנה‪ ,‬היה צריך כל אחד‬
‫מהחברים שמגיעים‪ ,‬להגדיל את הסכום שיביא ב‪.25%-‬‬
‫א‪ .‬חשב את עלות המתנה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר הגיעו לחנות‪ ,‬גילו כי המתנה התייקרה מעל המתוכנן‪ .‬כעת היה על כל אחד מהם להוסיף‬
‫‪ ₪ 30‬נוספים כדי לרכוש את המתנה‪ .‬מצא בכמה אחוזים מעל המתוכנן‪ ,‬התייקרה המתנה‪.‬‬
‫‪ .7‬בתחילת היום היו בדוכן ‪ 30‬ק"ג ירקות ‪ -‬חלקם עגבניות והיתר מלפפונים‪ .‬מחיר ‪ 1‬ק"ג עגבניות הוא ‪15‬‬
‫‪ .₪‬מחיר ‪ 1‬ק"ג מלפפונים הוא ‪ .₪ 10‬אם יעלה המוכר את מחיר העגבניות ב‪ 30%-‬ואת מחיר‬
‫המלפפונים ב‪ ,15%-‬אז לאחר מכירת כל הירקות תהיה הכנסתו ‪.₪ 425‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה ק"ג עגבניות היו בדוכן בתחילת היום‪.‬‬
‫ב‪ .‬המוכר בחר שלא להעלות את המחירים באופן שתואר בסעיף א'‪ .‬במקום זאת‪ ,‬החליט להוזיל‬
‫את מחירו של ק"ג עגבניות ב‪ ,₪ m-‬ואת מחירו של ק"ג מלפפונים ב‪ .₪ 2m-‬המוכר מכר את כל‬
‫הירקות‪ ,‬וסך הכנסתו היתה ‪ .₪ 300‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.m‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪8‬‬
‫הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫ארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה‬
‫‪ .8‬בחנות בגדים מוכרים סט של מכנס וחולצה ב‪ .₪ 300-‬המוכר החליט להוריד את מחיר המכנס ב‪20%-‬‬
‫אך העלה את מחיר החולצה ב‪ .10%-‬לאחר שינוי המחירים הסתבר שמחיר הסט הוזל ב‪.₪ 12-‬‬
‫א‪ .‬מצא את מחיר החולצה לפני השינוי במחירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפני שינוי המחירים‪ ,‬נמכרו ‪ 50‬סטים בחנות‪ .‬לאחר שינוי המחירים נמכרו ‪ 60‬סטים נוספים‬
‫בחנות‪ .‬חשב את שיעור ההכנסות ממכירת הסטים החדשים‪ ,‬מתוך כלל ההכנסות מהמכירות‪.‬‬
‫‪ .9‬מחירה של מכונית הוא ‪ .₪ 120,000‬בשבוע שעבר מחיר המכונית הועלה ב‪ p-‬אחוזים‪ .‬המחיר הרתיע‬
‫את הקונים מלקנות את המכונית ולכן אתמול הוחלט להפחית את מחירה ב‪ ( p − 5) :‬אחוזים‪ ,‬כך‬
‫שהיא שבה למחירה המקורי‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫ב‪ .‬חשב בכמה אחוזים נמוך מחיר המכונית היום ממחירה לאחר שהועלה‪.‬‬
‫‪ .10‬במטוס שישים מקומות ישיבה‪ .‬עלות הכרטיס לכל אחד ממקומות הישיבה היא ‪ .₪ 100‬הנהלת חברת‬
‫התעופה החליטה לייקר ב‪ x-‬אחוזים את עלות הכרטיס עבור עשרים המושבים של המחלקה הראשונה‬
‫ולהוזיל ב‪ x-‬אחוזים את עלות הכרטיס עבור עשרת המושבים הקרובים למעברים‪ .‬שינוי מחירי‬
‫הכרטיסים הגדיל את הכנסות החברה מהכרטיסים במטוס ב‪ .5%-‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.x‬‬
‫‪ .11‬ביום א' נמכר כל ק"ג תפוזים בחנות במחיר מסיים‪ .‬עם פתיחת החנות ביום ב'‪ ,‬העלה המוכר את‬
‫מחירו של כל ק"ג תפוזים ב‪ .20%-‬עם פתיחת החנות ביום ג'‪ ,‬הפחית המוכר את המחיר באחוז מסוים‪,‬‬
‫כך שהמחיר חזר לרמתו המקורית שהיתה ביום א'‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב בכמה אחוזים הפחית המוכר את המחיר בבוקר יום ג'‪.‬‬
‫ב‪ .‬ביום ב' נמכרו בחנות ‪ 50‬ק"ג תפוזים‪ .‬כמות התפוזים שנמכרה ביום ג' היתה גבוהה ב‪25%-‬‬
‫מכמות התפוזים שנמכרה ביום ב'‪ .‬חשב באיזה מהימים‪ ,‬ב' או ג'‪ ,‬היתה הכנסת המוכר‬
‫ממכירת תפוזים גבוהה יותר‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .12‬בחנות מוכרים שעונים גדולים במחיר ‪ ₪ 900‬לשעון‪ ,‬ושעונים קטנים במחיר ‪ ₪ 100‬לשעון‪ .‬בעל החנות‬
‫מכר לנטע שעון גדול בהנחה של ‪ p‬אחוזים ושעון קטן בהנחה של ‪ 2p‬אחוזים‪ .‬סך המחיר ששילמה נטע‬
‫על שני השעונים יחד היה נמוך ב‪ 11%-‬מסך מחירי השעונים ללא ההנחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכו של הפרמטר ‪.p‬‬
‫ב‪ .‬בחנות ‪ 200‬שעונים‪ .‬אם כולם ימכרו ללא הנחה‪ ,‬הכנסות החנות יהיו ‪ .₪ 60,000‬מצא את‬
‫שיעור השעונים הקטנים מבין כלל השעונים בחנות‪.‬‬
‫‪ .13‬בעל חנות רוכש מחקלאי ארגז הכולל ‪ 20‬ק"ג ירקות‪ ,‬בהם גזרים‪ ,‬עגבניות ובצלים‪ .‬כמות ק"ג הגזרים‬
‫גדולה פי שניים מכמות ק"ג העגבניות‪ .‬המחיר המקובל בשוק לקילוגרם ירקות מכל סוג הוא ‪.₪ 2‬‬
‫אולם‪ ,‬ברגע האחרון‪ ,‬העלה החקלאי את מחיר הבצלים ב‪ 50%-‬והפחית את מחיר הגזרים ב‪.25%-‬‬
‫הכנסתו של החקלאי מהמכירה היתה ‪.₪ 56‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה ק"ג גזרים בארגז‪.‬‬
‫ב‪ .‬בעל החנות רכש את הארגז כולו ב‪ .₪ 56-‬את הגזרים והבצלים מכר ללקוח שלו ב‪ ₪ m-‬לק"ג‪,‬‬
‫ואת העגבניות מכר ב‪ ₪ 5m-‬לק"ג‪ .‬חשב בכמה אחוזים היתה הכנסתו ממכירת העגבניות‬
‫נמוכה מהכנסתו ממכירת הבצלים‪.‬‬
‫‪ .14‬המוכר בקיוסק רכש ‪ 20‬קרטיבים מהמפעל‪ 25% .‬מהם בטעם דובדבן‪ ,‬והיתר בטעם משמש או אננס‪.‬‬
‫בבוקר היו מחירי כל הקרטיבים ‪ .₪ 2‬לפני המכירה‪ ,‬החליט המוכר לייקר את מחיר הקרטיבים בטעם‬
‫אננס ב‪ 10%-‬ולהוזיל את מחיר הקרטיבים בטעם משמש ב‪ .20%-‬כל הקרטיבים נמכרו‪ .‬ההכנסה‬
‫ממכירת הקרטיבים בטעם דובדבן היתה נמוכה פי שלושה מההכנסה ממכירת יתר הקרטיבים‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה קרטיבים בטעם אננס היו בחנות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כשהמוכר רכש מהמפעל את הקרטיבים‪ ,‬העלות של כל קרטיב עבורו היתה ‪.₪ 1.3‬‬
‫חשב את הרווח של המוכר מכלל המכירה‪.‬‬
‫פתרונות‪ (1 :‬א‪ .‬תשעים שולחנות‪ .‬ב‪ 4,350 .‬ש"ח‪ (2 .‬א‪ .‬עשרה‪ .‬ב‪ 12 .‬שולחנות‪ ,‬המחיר ‪ 216‬ש"ח‪.‬‬
‫‪ (5‬א‪ 35.4 .‬אג'‪.‬‬
‫‪ (4‬א‪ .₪ 120 .‬ב‪ .₪ 2,640 .‬ב‪.₪ 360 .‬‬
‫‪ (3‬א‪ .1.47k .‬ב‪ .‬יום א'‪ .‬ג‪. k = 122,000 .‬‬
‫ב‪ 59 .‬אג'‪ (6 .‬א‪ .₪ 400 .‬ב‪ (7 .60% .‬א‪ .‬עשרה‪ .‬ב‪ (8 . m = 1 .‬א‪ 160 .‬ש"ח‪ .‬ב‪ (9 . 53.53% .‬א‪. p = 25 .‬‬
‫ב‪.20% .‬‬
‫‪ (11 . x = 30 (10‬א‪ . 16.667% .‬ב‪ .‬יום ג'‪ (12 .‬א‪ . p = 10 .‬ב‪ (13 .75% .‬א‪ 2 .‬ק"ג‪.‬‬
‫ב‪ (14 .70.588% .‬א‪ .‬עשרה‪ .‬ב‪ 14 .‬ש"ח‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות לארכימדס ‪ -‬פתרונות למידה ‪ -‬הכנה לבחינת הבגרות בשאלון ‪804‬‬
‫עמוד ‪9‬‬