מילוליות : בעיות 1 נושא בעיות תנועה
ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 נושא :1בעיות מילוליות בעיות תנועה בבעיות תנועה אנו עוסקים בשלושה מרכיבים אשר מתקיים ביניהם קשר מתמטי: s s מהירות )v = :(v =t דרך )s = v ⋅ t :(s זמן ):(t t v חשוב להקפיד כי יחידות המדידה של הזמן והדרך יהיו תואמות ואחידות )קילומטרים ושעות ,מטרים ודקות וכדומה( .כאשר הנתונים אינם מוצגים באופן אחיד )חלק מהנתונים בשעות וחלק בדקות( נמיר אותם להצגה אחידה. כדי להקל עלינו בעיבוד המידע הנתון ,נפתח תמיד את הפתרון בשרטוט של ההתרחשויות .שרטוט טוב יסייע לנו להשתלט על הנתונים ולבנות משוואות שיסייעו לנו לפתור את הבעיה .שרטוט של בעיה כלשהי יכול להיראות למשל כך: כמו מרבית הבעיות המילוליות ,נוח לפתור בעיות תנועה באמצעות טבלה הנראית כך לדוגמא: נשים לב ,כי לעתים קרובות הנתונים בתרגיל יתייחסו לשניים או שלושה שלבים .נקפיד לקרוא את כל השאלה ,ולאחר מכן נמלא את הטבלה עבור כל שלב בנפרד .נמלא את הטבלה ונרכיב משוואה מכל אחד מהשלבים. מהירות דרך זמן משאית אופניים בהתאם לשלב הראשון משאית בהתאם לשלב השני אופניים נקפיד גם על סימון יעיל של המשתנים :לעתים קרובות נסמן את המשתנים בהתאם לשאלה שנשאלנו בתרגיל .כך למשל אם התבקשנו למצוא את מהירותן של המכוניות א' וב' ,נסמן אותן ב x-וב y-בהתאמה .ננסה להימנע ככל הניתן משימוש בשלושה משתנים. דוגמא: המרחק בין הנקודות Aו B-הוא 150ק"מ .שתי משאיות יוצאות בו זמנית במהירויות שונות :הראשונה מהנקודה A לנקודה ,Bוהשניה מהנקודה Bלנקודה .Aכעבור שעה חלפו שתי המשאיות האחת על פני השניה והמשיכו ליעדן. המשאית שפניה ל B-הגיעה ליעדה 50דקות אחרי המשאית שפניה ל .A-חשב את מהירויות המשאיות. פתרון: x ניעזר בשרטוט עזר פשוט המתאר את הנאמר: נמלא את הנתונים בטבלה: y A 150 B עלינו לחשב את מהירויותיהן של המשאיות ולכן נסמן אותן ב x-וב .y-זמן נסיעתן הוא כעבור שעה נפגשו משאית מA- שעה אחת .את הדרך נקבל על ידי הכפלת המשאיות משאית מB- המהירות בזמן הנסיעה. כמו שניתן לראות בשרטוט ,כאשר נפגשו הן למעשה נסעו ביחד את כל המרחק בין הנקודות Aו B-ולכן הדרך המשותפת שלהן היא 150ק"מ ,ומכאן המשוואה הראשונה. (I ) x + y = 150 : נמלא את הנתונים הנוספים בטבלה: נתבונן בשרטוט ונראה כי לאחר המפגש ,הדרך שנותרה לכל משאית לעבור ליעדה ,היא הדרך שהמשאית האחרת כבר עברה .ומכאן שהדרך שנותרה למשאית מ A-לעבור היא ,yוהדרך שנותרה למשאית מ B-לעבור היא .xאת זמן הנסיעה נביע על ידי חלוקת הדרך במהירות. משאית מA- מהירות x y זמן 1 1 מהירות זמן y x x y x מהפגישה ליעד משאית מB- y 5 50 5 ,כלומר 50 :דקות הן לפני בניית משוואה נמיר את נתון ה 50-דקות לשעות :נחלק ב 60-ונקבל= : 6 60 6 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 דרך x y דרך y x שעה. עמוד 1 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ארכימדס -פתרונות למידה 5 נתון כי זמן הנסיעה של המשאית שיצאה מ A-ארוך ב -השעה מזמן נסיעתה של המשאית שיצאה מ .B-לכן נוסיף 6 5 (II ) x + 5 = y לזמן הנסיעה של המשאית שיצאה מ B-ונשווה בין זמני הנסיעה של שתי המשאיות: y 6 x 6 כעת נבודד את yממשוואה y = 150 − x :Iונציב ב:II- x 5 150 − x 2 = + → 6 x 2 + 5 x(150 − x ) = 6 ⋅ (150 − x ) → x 2 − 510 x + 27000 = 0 150 − x 6 x שני פתרונות המשוואה הם x = 60 :ו . x = 450 -נפסול את הפתרון השני מכיוון שאם x = 450אז מתקבל ערך y שלילי ,שאינו אפשרי עבור מהירות המשאית. כלומר , x = 60ולאחר הצבה במשוואה Iנקבל. y = 90 : כלומר מהירות המשאית שיצאה מ A-היא 60קמ"ש ומהירות המשאית שיצאה מ B-היא 90קמ"ש. ) (II © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 2 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ארכימדס -פתרונות למידה תרגילים -בעיות תנועה שימו לב! בכל התרגילים מהירות הנסיעה קבועה ,אלא אם מצוין אחרת. .1מכונית מהירה וקטנוע איטי יצאו בו זמנית מתל אביב לקיבוץ בצפון .מהירות הקטנוע נמוכה ב25%- ממהירות המכונית .כעבור שעתיים היה המרחק ביניהם 40ק"מ. א .חשב את מהירות המכונית והקטנוע. ב .חשב מה יהיה המרחק ביניהם כעבור חמש שעות מתחילת הנסיעה. .2רוכב יצא מביתו לכיוון בית הספר במהירות 15קמ"ש .כעבור שעתיים יצא אביו בקטנוע שמהירותו גבוהה פי שלושה ממהירות הרוכב כדי להביא לו את האוכל ששכח בבית. א .נתון שהשניים הגיעו יחד לבית הספר .חשב את המרחק בין בית הספר לביתם של הרוכב ואביו. ב .חשב את משך נסיעתו של האב מרגע יציאתו ועד הגעתו לבית הספר. .3שתי רכבות יצאו בו זמנית מבאר שבע לעכו ,מרחק של 250ק"מ .מהירות הרכבת השנייה גבוהה ב 25%-ממהירות הרכבת הראשונה .הרכבת הראשונה יצאה לדרכה בשעה 6:00והשנייה בשעה .6:30 שתי הרכבות הגיעו לעכו בו זמנית .חשב: א .את מהירויות הרכבות. ב .כמה זמן נסעה הרכבת השנייה מבאר שבע לעכו. .4שתי משאיות יצאו בו זמנית ,האחת לקראת השנייה ,מהנקודות Aו B-בהתאמה ,שהמרחק ביניהן 99 ק"מ .מהירות הרכבת שיצאה מהנקודה Aגבוהה ב 10%-ממהירות הרכבת השניה .הרכבת שיצאה מהנקודה Aהגיעה לנקודה Bבדיוק עשר דקות לפני שהמשאית השנייה הגיעה לנקודה .Bחשב את: א .מהירות הרכבת היוצאת מהעיר .A ב .משך נסיעתה של הרכבת שיצאה מהעיר .A .5מדי שבוע ,נוסע יהודה 160ק"מ לביתה של נוגה .בדרך כלל הוא נוסע את הדרך כולה במהירות קבועה, אך השבוע נסע את 100הקילומטרים הראשונים במהירות הגדולה ב 25%-ממהירותו הרגילה ,ואת שאר הדרך נסע במהירות הקטנה ב 50%-ממהירותו הרגילה .כשהגיע ,הסתבר כי נסיעתו ארכה חצי שעה יותר מהרגיל .חשב את מהירותו הרגילה של יהודה. .6 .7 .8 .9 שני רכבים יצאו בו זמנית מתל אביב ומירושלים ,האחד לקראת השני .מהירות הרוכב שיצא מתל אביב גבוהה ב 40-קמ"ש ממהירות הרוכב שיצא מירושלים .המרחק בין שתי הערים הוא 120ק"מ. הרוכב שיצא מירושלים הגיע לתל אביב 90דקות לאחר שהרוכב מתל אביב הגיע לירושלים .חשב את מהירויות הרוכבים. רוכב אופנוע יצא מבית הוריו ונסע במהירות קבועה לאוניברסיטה .כעבור חמש דקות מיציאתו ,גילתה אמו כי שכח את המכשיר הסלולארי שלו ויצאה לכיוונו במכונית כדי לתת לו אותו .מהירותה הייתה גבוהה ב 10-קמ"ש ממהירות בנה והיא השיגה אותו במרחק עשרה ק"מ מביתה. א .חשב את מהירויות נסיעתם של הבן ושל האם. ב .מיד לאחר פגישתם הסתובבה האם ושבה לביתה .כשהגיעה לביתה ,הגיע בנה לאוניברסיטה. חשב את המרחק בין האוניברסיטה לבין בית המשפחה. המרחק בין באר שבע לבין תל אביב הוא 120ק"מ .ברגע בו יצא אריק מבאר שבע לתל אביב ,יצא נועם מתל אביב לבאר שבע .מהירותו של אריק היתה גדולה בעשרה קמ"ש ממהירותו של נועם .שניהם עצרו בדרך להתרעננות :אריק למשך עשר דקות ונועם למשך 30דקות .אריק הגיע לת"א 30דקות לפני שנועם הגיע לבאר שבע. א .חשב את המהירויות של שניהם. ב .למחרת יצאו בו זמנית מאותן נקודות ובאותו כיוון אך לא עצרו להתרעננות .חשב מה היה המרחק ביניהם כעבור 30דקות של נסיעה. הראל צועד מדי יום למרחק 12ק"מ במהירות קבועה במסלול קבוע .יום אחד ,לאחר שעבר שני שליש מהמסלול ,התעכב למשך עשר דקות ולכן נאלץ להגדיל את מהירותו בשני קמ"ש כדי להגיע בזמן. א .חשב את מהירותו הרגילה של הראל) .המשך התרגיל בעמוד הבא( © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 3 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ארכימדס -פתרונות למידה ב .למחרת החליט להגדיל את מהירותו הקבועה ב x-אחוזים וקיצר את המסלול בשלושה ק"מ. זמן הליכתו הכולל באותו יום היה שעה .מצא את ערכו של .x .10המרחק בין קרית אונו לבין תל אביב הוא 30ק"מ .דפנה ושי יצאו במקביל מקרית אונו ומתל אביב בהתאמה והלכו במהירות קבועה האחד לקראת השניה .הם חלפו זה על פני זה כעבור שעתיים .דפנה הגיעה לתל אביב שעה וארבעים דקות אחרי ששי הגיע לקרית אונו .חשב את מהירותה של דפנה. .11מיקה רוכבת בכל יום במהירות קבועה מביתה למשרד הנמצא במרחק שישה ק"מ מביתה .הבוקר רכבה מיקה שש דקות במהירותה הרגילה .לאחר מכן רכבה במשך 20דקות נוספות במהירות גבוהה יותר והגיעה למשרד .לו הייתה רוכבת במהירותה הרגילה כל הדרך ,היה זמן נסיעתה ארוך בעשר דקות מהזמן שלקח לה הבוקר .חשב את המהירות הרגילה ואת המהירות הגבוהה בה נסעה הבוקר. .12ארנב וצב יוצאים יחד מאותו שיח לכיוון נקודה מסוימת על גדת הנהר .מרחק ההליכה הוא חמישה ק"מ .מהירות הארנב גבוהה פי עשרה ממהירות הצב .הארנב הגיע לנהר תשע שעות לפני הצב .חשב: א .את מהירות הצב ואת מהירות הארנב. ב .מה היה המרחק בין השניים כאשר הגיע הארנב לנהר. .13שני רוכבים יוצאים בו זמנית ,האחד לכיוון השני ,מן הערים Aו B-שהמרחק ביניהן 500ק"מ. מהירות הרוכב שיצא מהעיר Aגבוהה בעשרה קמ"ש ממהירות הרוכב שיצא מהעיר .Bלאחר שהרוכב שיצא מהעיר Aעבר 300ק"מ ,השניים נפגשו .חשב: א .את מהירויות הרוכבים. ב .כמה זמן חלף מרגע הפגישה ועד שהרוכב שיצא מהעיר Bהגיע לעיר .A .14שתי כרכרות יצאו בו זמנית מן הארמון ונסעו לאגם המלכותי -מרחק של 100ק"מ .מהירותה של כרכרת האבטחה גבוהה ב 60%-ממהירותה של כרכרת המלכה .כרכרת האבטחה הגיעה לאגם שעה וחצי לפני כרכרת המלכה: א .חשב את המהירות של כל כרכרה. ב .למחרת יצאו הכרכרות בו זמנית מהארמון לאגם ,אך הנמיכו ב 20%-את מהירותן ביחס למהירויות אתמול .חשב כעבור כמה זמן היה המרחק בין הכרכרות 24ק"מ. .15סמיר וחסן גרים במרחק 72ק"מ אחד מהשני .הבוקר יצאו ,כל אחד מביתו ,ורכבו לכיוון ביתו של השני במהירויות קבועות .כעבור שעה וארבעים דקות ,טרם נפגשו ,היה המרחק ביניהם שני ק"מ. סמיר הגיע ליעדו שעה אחת לפני שחסן הגיע ליעדו .חשב את מהירויות הרכיבה של השניים. .16רכבת יצאה מהתחנה בחיפה והחלה נוסעת לכיוון תל אביב .המרחק בין הערים הוא 100ק"מ .הרכבת אינה עוצרת בתחנות בדרך .עשר דקות לאחר יציאת הרכבת יצא מתל אביב אופנוע בדרכו לחיפה .שני הרכבים חלפו זה על פני זה באמצע הדרך והמשיכו ליעדם. א .נתון שמהירות האופנוע גדולה ב 50%-ממהירות הרכבת .חשב את מהירות הרכבת. ב .חשב כמה זמן לאחר שיגיע האופנוע לחיפה תגיע הרכבת לתל אביב. .17הנקודות B ,Aו C-יוצרות משולש ישר זוית ) .( p ABCב 9:00-יצא הולך רגל מהנקודה Bלנקודה Aבמהירות 2קמ"ש .ב 11:00-יצא רוכב אופניים מהנקודה B לנקודה Cבמהירות 8קמ"ש .כאשר הולך הרגל הגיע לנקודה ,Aהמרחק בין השניים היה 26ק"מ )באותו רגע הרוכב טרם הגיע ליעדו(. א .חשב באיזו שעה הגיע הולך הרגל לנקודה .A ב .בשעה 15:30הגיע הרוכב לנקודה .Cחשב את אורך הצלע .BC פתרונות (1 :א .מכונית 80קמ"ש ,קטנוע 60קמ"ש .ב 100 .ק"מ (2 .א 45 .ק"מ .ב .שעה (3 .א .הראשונה 100קמ"ש ,השנייה 125קמ"ש .ב .שעתיים (4 .א 59.4 .קמ"ש .ב .שעה וארבעים דקות 80 (5 .קמ"ש. (6מירושלים 40 :קמ"ש .מתל אביב 80 :קמ"ש (7 .א .הרוכב 30 :קמ"ש ,האם 40 :קמ"ש .ב 17.5 .ק"מ. (8א .נועם 80 :קמ"ש ,אריק 90 :קמ"ש .ב 35 .ק"מ (9 .א 6 .קמ"ש .ב 6 (10 . x = 50 .קמ"ש. 10 (11קמ"ש ו 15-קמ"ש (12 .א .ארנב 5 :קמ"ש ,צב 0.5 :קמ"ש .ב 4.5 .ק"מ (13 .א .מ 30 A-קמ"ש, מ 20 B-קמ"ש .ב 15 .שעות (14 .א .המלכה 25 :קמ"ש ,האבטחה 40 :קמ"ש .ב .שעתיים. (15סמיר 24 :קמ"ש .חסן 18 :קמ"ש (16 .א 100 .קמ"ש .ב .עשר דקות (17 .א .14:00 .ב 36 .ק"מ. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 4 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 בעיות קניה ומכירה בעיות מילוליות מסוג זה נחלקות לשני תתי-סוגים עיקריים: .1בעיות מחירים הקשורות בעליה ובירידה של מחירים באחוזים ראשית נזכיר כיצד נחשב אחוזים: 100 120 63 = 120%וכן= 1 : = = 1.2 , 63% אחוז הוא שבר בעל מכנה .100לדוגמא= 0.63 : 100 100 100 80 . 48ש"ח = ⋅ 60 • את האחוז נכפיל במחיר המקורי .לדוגמא 80% ,מ ₪ 60-הם: 100 • = . 100% התייקרות או הוזלה הם תמיד ביחס ל 100%-המקוריים .לדוגמא: 35 כאשר חלה התייקרות של 35%במחיר ,נקבל את האחוז החדש= 1.35 : 100 35 , 1 −ואותו נכפיל במחיר. כאשר חלה הוזלה של 35%במחיר ,נקבל את האחוז החדש= 0.65 : 100 כל שינוי במחיר ,התייקרות או הוזלה ,הוא תמיד ביחס למחיר לפני השינוי ולכן את האחוז נכפיל תמיד במחיר לפני השינוי. , 1 +ואותו נכפיל במחיר. • לסיכום ,נציג את הנוסחה הבסיסית לעבודה עם אחוזים ):(p p 1 ± מחיר חדש = המחיר הקודם • 100 דוגמא 1 יצחק רכש מניות של חברת סטארט אפ מבטיחה ב .₪ 10,000-כעבור שנה עלה שווי מניות החברה ב.20%- במהלך השנה השנייה ,עקב כשלים טכניים ירד שווי מניות החברה ב.20%- חשב את שווי המניות שבידי יצחק ,בסוף השנה השנייה. פתרון :נחלק את הפתרון לשני שלבים :שנת עליית שווי המניות ,ושנת ירידת שווי המניות. תחילה נחשב את שווי המניות לאחר עליית הערך בסוף השנה הראשונה: 20 . 1 + לפי הנוסחה ,שווי המניות כעבור שנה ,לאחר עלייה של p = 20%הוא 12,000 :ש"ח = ⋅ 10,000 100 במהלך השנה השנייה ירד שווי המניות ב . p = 20% -נציב בנוסחה ,ונזכור להכפיל במחיר הקודם לפני הירידה: 20 1 − 9600ש"ח = ⋅ 12,000 100 כלומר ,יצחק הפסיד ₪ 400במהלך שנתיים אלו ,ונשאר עם ₪ 9,600בלבד. נשים לב כי התוצאה שקיבלנו הגיונית: 20 כאשר יצחק הרוויח ,20%היו אלה 20%מתוך ₪ 10,000שהם⋅ 10,000 = ₪ 2,000 : 100 . 20 לעומת זאת ,כשיצחק הפסיד ,20%היו אלה 20%מתוך ₪ 12,000שהם⋅ 12,000 = ₪ 2,400 : 100 כלומר ההפסד היה גדול ב ₪ 400-מהרווח. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 . עמוד 5 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 .2בעיות העוסקות בעסקאות קניה ומכירה בבעיות העוסקות בעסקאות קניה ומכירה שלושה מרכיבים שמתקיים ביניהם קשר מתמטי: כמות הפריטים * מחיר ליחידה = סה"כ סה"כ מנוסחה זו ניתן לחלץ שתי נוסחאות עזר: כמות = מחיר סה"כ מחיר= כמות רווח = הכנסה פחות הוצאה כמו כן: כמו מרבית הבעיות המילוליות ,נוח לפתור בעיות קניה ומכירה באמצעות טבלה הנראית כך: נשים לב ,כי לעתים קרובות הנתונים בתרגיל יתייחסו לשניים או שלושה שלבים .נקפיד לקרוא את כל השאלה ,ולאחר מכן נמלא את הטבלה עבור כל שלב בנפרד .נמלא את הטבלה ונרכיב משוואה מכל אחד מהשלבים. כמות הסוחר קנה סה"כ מחיר בננות תפוזים בננות הסוחר מכר תפוזים נקפיד גם על סימון יעיל של המשתנים :לעתים קרובות נסמן את המשתנים בהתאם לשאלה שנשאלנו בתרגיל .כך למשל אם התבקשנו למצוא את מחירם המקורי של הבננות והתפוזים ,נסמן אותם ב x-וב y-בהתאמה .ננסה להימנע ככל הניתן משימוש בשלושה משתנים. בעיות רבות בנושא קניה ומכירה מערבות גם שימוש באחוזים. דוגמא 2 בחנות רהיטים 50שולחנות ,חלקם מעץ והיתר מפלסטיק .המחיר הקבוע לצרכן בחנות הוא ₪ 180עבור שולחן עץ ו ₪ 120-עבור שולחן פלסטיק .אולם ,המוכר החליט להעלות את מחיר שולחן העץ ב 20%-ולהוזיל את מחיר שולחן הפלסטיק ב .10%-ההכנסה הכוללת ממכירת 50השולחנות היתה .₪ 7,992 א .חשב כמה שולחנות עץ היו בחנות בתחילת היום. ב .ידוע שבעל החנות רכש מהמפעל את 50השולחנות במחיר אחיד של ₪ 100לכל שולחן .חשב כמה הרוויח המוכר ממכירת כל אחד מסוגי השולחנות. פתרון: א .ניעזר בטבלה בכדי לסדר את הנתונים: מכיוון שנשאלנו על כמות שולחנות העץ נסמן באמצעות xאת כמות שולחנות העץ. נתון כי בחנות בסה"כ 50שולחנות ,ולכן כמות שולחנות הפלסטיק היא. 50 − x : סוג השולחן עץ פלסטיק מחיר כמות 180 120 x 50 − x לפי הנתון ,המוכר העלה את מחיר שולחנות העץ ב p = 20% -והוזיל את מחיר שולחנות הפלסטיק ב. p = 10% - p 1 ± ניעזר בנוסחה לחישוב באחוזים ) :(pמחיר חדש = המחיר הקודם • 100 20 1 + מחיר שולחנות העץ החדש הוא 216 :ש"ח = ⋅ 180 100 10 1 − מחיר שולחנות הפלסטיק החדש הוא 108 :ש"ח = ⋅ 120 100 כעת נמלא את הטבלה לאחר העלאת המחירים: מחיר סוג השולחן לאחר העלאה עץ 216 פלסטיק 108 כמות סה"כ x 50 − x 216x )108⋅ (50 − x סך ההכנסה הייתה ₪ 7,992ולכן: 216 x + 108 ⋅ (50 − x ) = 7,992 → 216 x + 5,400 − 108 x = 7,992 → 108 x = 2,592 → x = 24 כלומר בתחילת היום היו בדוכן 24שולחנות עץ )ו 26-שולחנות פלסטיק(. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 6 ארכימדס -פתרונות למידה הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ב .נציב את הערכים שמצאנו בסעיף א' ואת הנתונים החדשים בטבלה: לפי הנתון ,הסוחר רכש את כל השולחנות מהמפעל במחיר אחיד של .₪ 100 הסוחר קנה עץ פלסטיק כמות 24 26 מחיר 100 100 סה"כ 2,400 2,600 נמלא גם את המחיר בו מכר הסוחר את השולחנות ,לפי החישוב מסעיף א'. הסוחר מכר עץ פלסטיק 24 26 216 108 5,184 2,808 כעת נזכור כי :רווח = הכנסה פחות הוצאה. ולכן ,המוכר הרוויח על שולחנות העץ , 5,184− 2,400= ₪ 2,784 :ועל שולחנות הפלסטיק. 2,808− 2,600 = ₪ 208 : דוגמא 3 בחנות שני סוגי מחשבים .מחשב מתקדם שעלותו ₪ 3,000ומחשב ישן שעלותו .₪ 2,400המוכר החליט להפחית את מחירו של המחשב המתקדם באחוז מסוים ,ולייקר את מחירו של המחשב הישן באותו אחוז .לאחר שינוי המחירים, היה מחירו של המחשב המתקדם גבוה ב ₪ 60-ממחירו של המחשב הישן. א .חשב באיזה שיעור שונו המחירים. ב .לפני שינוי המחירים ,נמכרו חמישה מחשבים מכל סוג .לאחר שינוי המחירים ,נמכרו שני מחשבים מתקדמים ורק מחשב ישן אחד .חשב את שיעור ההכנסות ממכירת המחשב המתקדם ,מתוך כלל ההכנסות ממכירות המחשבים. פתרון: א .נסמן את השיעור בו שונו המחירים באמצעות .p המוכר מוזיל את מחיר המחשב המתקדם שעלותו ₪ 3,000ב p-אחוזים ,ולכן לפי הנוסחה ,מחירו החדש הוא: p 3,000 p = 3,000 − 30 p 1 − ⋅ 3,000 = 3,000 − 100 100 המוכר מייקר את מחיר המחשב הישן שעלותו ₪ 2,400ב p-אחוזים ,ולכן לפי הנוסחה ,מחירו החדש הוא: p 2,400 p = 2,400 + 24 p 1 + ⋅ 2,400 = 2,400 + 100 100 לפי הנתון ,מחירו החדש של המחשב המתקדם יקר ב ₪ 60-מהמחשב הישן ,ולכן נוסיף ₪ 60למחירו של המחשב הישן ונשווה בין המחירים של המחשבים: 3,000 − 30 p = 2,400 + 24 p + 60 → 54 p = 540 → p = 10 כלומר ,המוכר שינה את המחירים בשיעור של .10% ב .נציב את ערך pשחישבנו ונמצא כי מחירו החדש של המחשב המתקדם הוא 3,000 − 30 ⋅ 10 = ₪ 2,700 :ואילו מחירו של המחשב הישן הוא. 2,400 + 24 ⋅ 10 = ₪ 2,640 : נמלא את נתוני המכירות בטבלה: מכירות לפי שינוי המחירים מתקדם ישן כמות 5 5 מחיר 3,000 2,400 סה"כ 15,000 12,000 מכירות לאחר שינוי המחירים מתקדם ישן 2 1 2,700 2,640 5,400 2,640 ניתן לראות כי ההכנסות ממכירות המחשב המתקדם הם.₪ 20,400 : כמו כן ניתן לראות כי סך ההכנסות הן. 15,000 + 12,000 + 5,400 + 2,640 = ₪ 35,040 : 20,400 נחשב את שיעור ההכנסות ממכירות המחשב המתקדם מתוך סך ההכנסות= 0.582 : 35,040 © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 .כלומר.58.2% : עמוד 7 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ארכימדס -פתרונות למידה תרגילים -בעיות קניה ומכירה .1בחנות 150רהיטים ,חלקם שולחנות וחלקם כסאות .כמות השולחנות גדולה ב 50%-מכמות הכיסאות. א .חשב כמה שולחנות בחנות. ב .נתון שמחירו של כל כיסא נמוך ב 10%-ממחירו של כל שולחן .הסוחר מכר את כלל הרהיטים בחנות בעבור .₪ 14,400חשב את מחירם הכולל של שליש מהשולחנות ורבע מהכיסאות. .2בעל חנות תכנן למכור כמות קבועה של שולחנות במחיר קבוע לכל שולחן .כמות השולחנות שמכר ביום א' היתה נמוכה ב 5-שולחנות מהכמות המתוכננת ,אבל הוא מכר כל שולחן במחיר גבוה פי שניים מהתכנון .לכן ,סך הכנסתו ביום א' היתה כפי שתכנון מראש. א .חשב כמה שולחנות תכנון למכור. ב .כמות השולחנות שמכר ביום ב' היתה גבוהה ב 40%-מכמות השולחנות שמכר ביום א' .המחיר בו מכר כל שולחן ביום ב' היה נמוך ב 10%-מהמחיר שהיה ביום א' .סך הכנסותיו ביום ב' היו .₪ 1,512חשב כמה שולחנות מכר ביומיים ,ומה היה מחיר השולחן ביום ב'. .3סוחר מכוניות רוכש מדי בוקר מהמפעל מכונית מדגם קבוע ,ומוכר אותה בחנותו .ביום א' רכש מהמפעל מכונית ב ,₪ k-ומכר אותה בחנותו במחיר שגבוה ב 40%-מהמחיר בו רכש אותה .ביום ב' מכר המפעל את המכונית לסוחר במחיר הגבוה ב 10%-ממחירה ביום א' .הסוחר רכש את המכונית ומכר אותה במחיר הגבוה ב 5%-מהמחיר שדרש עבורה בחנות ביום א'. א .הבע באמצעות kאת מחיר המכונית בחנות ביום ב'. ב .קבע באיזה מהימים היה הרווח של הסוחר ממכירת המכונית בחנות ,גבוה יותר .נמק. ג .הרווח הכולל של המוכר ממכירת המכוניות ביומיים הללו היה .₪ 350,140מצא את .k .4יבואן בגדי ספורט רכש חולצות מנדפות זיעה .לאחר הרכישה גילה שעשר מהחולצות היו פגומות ולכן מכר אותן בסכום כולל של .₪ 840מכירה זו היתה למעשה בהפסד של 30%לעומת המחיר הכולל בו רכש אותן .את יתר החולצות מכר ברווח של 50%ממחיר הרכישה .ההכנסה הכוללת שלו ממכירת כל החולצות -הפגומות והתקינות -היתה .₪ 3,000חשב: א .כמה שילם היבואן עבור חולצה אחת. ב .באיזה סכום רכש היבואן את כל החולצות. ג .מה היה הרווח הכולל של היבואן מכלל המכירה של החולצות. .5מחיר קוט"ש חשמל בשעות הבוקר נמוך ב 20%-ממחיר קוט"ש בשעות הערב .כדי לשכנע את הצרכנים להעדיף שימוש במכשירי חשמל בשעות הבוקר על פני השימוש בשעות הערב ,הוזילה חברת החשמל את המחיר לקוט"ש חשמל בשעות הבוקר ב ,25%-אך לא שינתה את מחירו בשעות הערב .לאחר ההוזלה ,אסף צריך 100קוט"ש חשמל בשעות הערב ו 250-קוט"ש חשמל בשעות הבוקר .עבור צריכתו שילם אסף .₪ 147.5חשב את המחיר באגורות לאחר ההוזלה עבור קוט"ש חשמל בשעות: ב .הערב. א .הבוקר. .6לכבוד יום הולדתו של אביב תכננו חבריו לקנות לו את המתנה שתמיד רצה .לפי מחיר המתנה ,הם תכננו שכל חבר יביא ₪ 40לרכישת המתנה .ביום קניית המתנה ,הסתבר כי שניים מהחברים אינם מגיעים למסיבה ואינם משתתפים ברכישת המתנה .לכן ,כדי לרכוש את המתנה ,היה צריך כל אחד מהחברים שמגיעים ,להגדיל את הסכום שיביא ב.25%- א .חשב את עלות המתנה. ב .כאשר הגיעו לחנות ,גילו כי המתנה התייקרה מעל המתוכנן .כעת היה על כל אחד מהם להוסיף ₪ 30נוספים כדי לרכוש את המתנה .מצא בכמה אחוזים מעל המתוכנן ,התייקרה המתנה. .7בתחילת היום היו בדוכן 30ק"ג ירקות -חלקם עגבניות והיתר מלפפונים .מחיר 1ק"ג עגבניות הוא 15 .₪מחיר 1ק"ג מלפפונים הוא .₪ 10אם יעלה המוכר את מחיר העגבניות ב 30%-ואת מחיר המלפפונים ב ,15%-אז לאחר מכירת כל הירקות תהיה הכנסתו .₪ 425 א .חשב כמה ק"ג עגבניות היו בדוכן בתחילת היום. ב .המוכר בחר שלא להעלות את המחירים באופן שתואר בסעיף א' .במקום זאת ,החליט להוזיל את מחירו של ק"ג עגבניות ב ,₪ m-ואת מחירו של ק"ג מלפפונים ב .₪ 2m-המוכר מכר את כל הירקות ,וסך הכנסתו היתה .₪ 300מצא את ערכו של הפרמטר .m © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 8 הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 ארכימדס -פתרונות למידה .8בחנות בגדים מוכרים סט של מכנס וחולצה ב .₪ 300-המוכר החליט להוריד את מחיר המכנס ב20%- אך העלה את מחיר החולצה ב .10%-לאחר שינוי המחירים הסתבר שמחיר הסט הוזל ב.₪ 12- א .מצא את מחיר החולצה לפני השינוי במחירים. ב .לפני שינוי המחירים ,נמכרו 50סטים בחנות .לאחר שינוי המחירים נמכרו 60סטים נוספים בחנות .חשב את שיעור ההכנסות ממכירת הסטים החדשים ,מתוך כלל ההכנסות מהמכירות. .9מחירה של מכונית הוא .₪ 120,000בשבוע שעבר מחיר המכונית הועלה ב p-אחוזים .המחיר הרתיע את הקונים מלקנות את המכונית ולכן אתמול הוחלט להפחית את מחירה ב ( p − 5) :אחוזים ,כך שהיא שבה למחירה המקורי. א .מצא את ערכו של הפרמטר .p ב .חשב בכמה אחוזים נמוך מחיר המכונית היום ממחירה לאחר שהועלה. .10במטוס שישים מקומות ישיבה .עלות הכרטיס לכל אחד ממקומות הישיבה היא .₪ 100הנהלת חברת התעופה החליטה לייקר ב x-אחוזים את עלות הכרטיס עבור עשרים המושבים של המחלקה הראשונה ולהוזיל ב x-אחוזים את עלות הכרטיס עבור עשרת המושבים הקרובים למעברים .שינוי מחירי הכרטיסים הגדיל את הכנסות החברה מהכרטיסים במטוס ב .5%-מצא את ערכו של הפרמטר .x .11ביום א' נמכר כל ק"ג תפוזים בחנות במחיר מסיים .עם פתיחת החנות ביום ב' ,העלה המוכר את מחירו של כל ק"ג תפוזים ב .20%-עם פתיחת החנות ביום ג' ,הפחית המוכר את המחיר באחוז מסוים, כך שהמחיר חזר לרמתו המקורית שהיתה ביום א'. א .חשב בכמה אחוזים הפחית המוכר את המחיר בבוקר יום ג'. ב .ביום ב' נמכרו בחנות 50ק"ג תפוזים .כמות התפוזים שנמכרה ביום ג' היתה גבוהה ב25%- מכמות התפוזים שנמכרה ביום ב' .חשב באיזה מהימים ,ב' או ג' ,היתה הכנסת המוכר ממכירת תפוזים גבוהה יותר .נמק. .12בחנות מוכרים שעונים גדולים במחיר ₪ 900לשעון ,ושעונים קטנים במחיר ₪ 100לשעון .בעל החנות מכר לנטע שעון גדול בהנחה של pאחוזים ושעון קטן בהנחה של 2pאחוזים .סך המחיר ששילמה נטע על שני השעונים יחד היה נמוך ב 11%-מסך מחירי השעונים ללא ההנחה. א .מצא את ערכו של הפרמטר .p ב .בחנות 200שעונים .אם כולם ימכרו ללא הנחה ,הכנסות החנות יהיו .₪ 60,000מצא את שיעור השעונים הקטנים מבין כלל השעונים בחנות. .13בעל חנות רוכש מחקלאי ארגז הכולל 20ק"ג ירקות ,בהם גזרים ,עגבניות ובצלים .כמות ק"ג הגזרים גדולה פי שניים מכמות ק"ג העגבניות .המחיר המקובל בשוק לקילוגרם ירקות מכל סוג הוא .₪ 2 אולם ,ברגע האחרון ,העלה החקלאי את מחיר הבצלים ב 50%-והפחית את מחיר הגזרים ב.25%- הכנסתו של החקלאי מהמכירה היתה .₪ 56 א .חשב כמה ק"ג גזרים בארגז. ב .בעל החנות רכש את הארגז כולו ב .₪ 56-את הגזרים והבצלים מכר ללקוח שלו ב ₪ m-לק"ג, ואת העגבניות מכר ב ₪ 5m-לק"ג .חשב בכמה אחוזים היתה הכנסתו ממכירת העגבניות נמוכה מהכנסתו ממכירת הבצלים. .14המוכר בקיוסק רכש 20קרטיבים מהמפעל 25% .מהם בטעם דובדבן ,והיתר בטעם משמש או אננס. בבוקר היו מחירי כל הקרטיבים .₪ 2לפני המכירה ,החליט המוכר לייקר את מחיר הקרטיבים בטעם אננס ב 10%-ולהוזיל את מחיר הקרטיבים בטעם משמש ב .20%-כל הקרטיבים נמכרו .ההכנסה ממכירת הקרטיבים בטעם דובדבן היתה נמוכה פי שלושה מההכנסה ממכירת יתר הקרטיבים. א .חשב כמה קרטיבים בטעם אננס היו בחנות. ב .כשהמוכר רכש מהמפעל את הקרטיבים ,העלות של כל קרטיב עבורו היתה .₪ 1.3 חשב את הרווח של המוכר מכלל המכירה. פתרונות (1 :א .תשעים שולחנות .ב 4,350 .ש"ח (2 .א .עשרה .ב 12 .שולחנות ,המחיר 216ש"ח. (5א 35.4 .אג'. (4א .₪ 120 .ב .₪ 2,640 .ב.₪ 360 . (3א .1.47k .ב .יום א' .ג. k = 122,000 . ב 59 .אג' (6 .א .₪ 400 .ב (7 .60% .א .עשרה .ב (8 . m = 1 .א 160 .ש"ח .ב (9 . 53.53% .א. p = 25 . ב.20% . (11 . x = 30 (10א . 16.667% .ב .יום ג' (12 .א . p = 10 .ב (13 .75% .א 2 .ק"ג. ב (14 .70.588% .א .עשרה .ב 14 .ש"ח. © כל הזכויות שמורות לארכימדס -פתרונות למידה -הכנה לבחינת הבגרות בשאלון 804 עמוד 9
© Copyright 2024