הורד את ספר הקורס

‫פיסיקה ‪ 1‬־ מכניקה‬
‫‪m‬‬
‫אייל לוי‬
‫‪k‬‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב‪,‬‬
‫במכללת אפקה‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים‬
‫בפני קורס חשוב זה‪.‬‬
‫הספר עוסק בפיסיקה ‪ 1‬־ מכניקה קלאסית‪ ,‬והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־‬
‫אוניברסיטאות או מכללות‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד‪ ,‬בהתאם לתכניות הלימוד השונות‪ .‬הנסיון‬
‫מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.c o.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את התהליכים בצורה‬
‫מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון‬
‫ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה!‬
‫אייל לוי‬
‫סילבוס‬
‫וקטורים‬
‫פרק זה מהווה בסיס מתמטי הדרוש כדי לתאר פונקציות פיסיקליות שמיוצגות הן על פי גודל והן על פי כיוון‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬הצגה קרטזית והצגה פולרית )הצגה קוטבית(‪ ,‬חיבור וחיסור וקטורים‪ ,‬מכפלה סקלרית‪ ,‬מכפלה‬
‫וקטורית‪.‬‬
‫קינמטיקה‬
‫פרק זה מתאר את התנועה של גופים נקודתיים במגוון מקרים‪ ,‬ומתמקד בתלות בזמן של הפונקציות הקינמטיות‪:‬‬
‫המיקום‪ ,‬המהירות והתאוצה‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית(‪ ,‬תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית‬
‫וזריקה משופעת(‪ ,‬תנועה במרחב‪ ,‬תנועה יחסית‪ ,‬טרנספורמציית גליליי‪ ,‬קינמטיקה של תנועה מעגלית‪.‬‬
‫דינמיקה‬
‫פרק זה מתאר את השפעת כוחות על תנועת גופים‪ ,‬ומתמקד הן בכוחות הסטנדרטיים‪ :‬כח הכובד‪ ,‬כח המתיחות‪ ,‬כח‬
‫נורמלי וכח החיכוך‪ ,‬והן בכוחות חיצוניים תלויי זמן וכוחות מדומים )כוחות ד׳אלמבר(‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬שווי משקל‪ ,‬חוקי ניטון‪.‬‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫פרק זה אף הוא מתאר את השפעת כוחות על תנועת גופים‪ ,‬וגם הוא מתמקד הן כוחות הסטנדרטיים‪ :‬כח הכובד‪ ,‬כח‬
‫המתיחות‪ ,‬כח נורמלי וכח החיכוך‪ ,‬והן בכוחות חיצוניים תלויי מרחב )משמרים ולא משמרים(‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬חישוב עבודה‪ ,‬משפט העבודה־אנרגיה‪ ,‬הספק‪.‬‬
‫מתקף ותנע‬
‫פרק זה מתאר את השפעת כוחות חיצוניים על מערכת גופים‪ ,‬ואת אופן ההתמודדות עם תופעות כגון התנגשויות‬
‫והתפוצצויות‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬מתקף־תנע של גוף נקודתי‪ ,‬התנגשויות והתפוצצויות‪ ,‬מרכז מסה‪.‬‬
‫תנועה סיבובית‬
‫פרק זה מתאר את תנועותיהם של גופים פיסיקליים )בעלי צורה( בהשפעת כוחות‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬תנע זוויתי של גוף נקודתי‪ ,‬שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה(‪ ,‬חישוב מומנט התמדה‪ ,‬גלגול‬
‫ללא החלקה‪ ,‬תנועת גוף קשיח‪.‬‬
‫תנועה הרמונית‬
‫פרק זה מתאר מקרה פרטי ומעניין של תנועה מחזורית‪ ,‬וכן את השפעת כוחות מרסנים )חיכוך( או מאלצים על‬
‫התנועה‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬תנועה הרמונית פשוטה‪ ,‬תנועה הרמונית מרוסנת‪ ,‬תנועה הרמונית מאולצת‪.‬‬
‫גרביטציה‬
‫פרק זה מתאר את השפעתם של כוחות מרכזיים על תנועת גופים‪ ,‬ומתמקד בתנועת גופים סביב כוכבים וכוכבי לכת‪.‬‬
‫נושאי הפרק הם‪ :‬חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫וקטורים‬
‫‪ 1.1‬הצגה קרטזית והצגה פולרית )קוטבית(‬
‫‪ 1.2‬חיבור וחיסור וקטורים ‪. . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.3‬מכפלה סקלרית ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.4‬מכפלה וקטורית ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫קינמטיקה‬
‫‪ 2.1‬תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית(‬
‫‪ 2.2‬תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת( ‪.‬‬
‫‪ 2.3‬תנועה במרחב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.4‬תנועה יחסית‪ ,‬טרנפורמציית גליליי ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.5‬קינמטיקה של תנועה מעגלית ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪14‬‬
‫‪16‬‬
‫‪19‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫דינמיקה‬
‫‪ 3.1‬שווי משקל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬חוקי ניוטון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪23‬‬
‫‪23‬‬
‫‪25‬‬
‫‪4‬‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫‪ 4.1‬חישוב עבודה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2‬משפט העבודה־אנרגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.3‬הספק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪5‬‬
‫מתקף ותנע‬
‫‪ 5.1‬מתקף־תנע של גוף נקודתי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬התנגשויות והתפוצצויות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.3‬מרכז מסה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫‪52‬‬
‫‪60‬‬
‫‪6‬‬
‫תנועה סיבובית‬
‫‪ 6.1‬תנע זוויתי של גוף נקודתי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 6.2‬שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫‪68‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חישוב מומנט ההתמדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫גלגול ללא החלקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תנועת גוף קשיח ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪71‬‬
‫‪73‬‬
‫‪77‬‬
‫‪6.3‬‬
‫‪6.4‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪7‬‬
‫תנועה הרמונית‬
‫‪ 7.1‬תנועה הרמונית פשוטה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2‬תנועה הרמונית מרוסנת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3‬תנועה הרמונית מאולצת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪82‬‬
‫‪82‬‬
‫‪90‬‬
‫‪92‬‬
‫‪8‬‬
‫גרביטציה‬
‫‪ 8.1‬חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪93‬‬
‫‪93‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪3‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫וקטורים‬
‫‪1.1‬‬
‫הצגה קרטזית והצגה פולרית )קוטבית(‬
‫‪1.1.1‬‬
‫נתונים גודלם וכיוונם של ארבעה וקטורים במערכת הצירים‪:‬‬
‫)א( וקטור ~‪ A‬שאורכו ‪ 10‬וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ ‪ x‬היא ◦‪.30‬‬
‫)ב( וקטור ~‪ B‬שאורכו ‪ 8‬וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ ‪ x‬היא ◦‪.150‬‬
‫)ג( וקטור ~‪ C‬שאורכו ‪ 13‬וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ ‪ x‬היא ◦‪.225‬‬
‫)ד( וקטור ~‬
‫‪ D‬שאורכו ‪ 5‬וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ ‪ x‬היא ◦‪.319‬‬
‫רשמו כל אחד מהוקטורים בהצגה קרטזית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )‪) (8.66, 5‬ב( )‪) (−4, 6.93‬ג( )‪) (−9.19, −9.19‬ד( )‪(3.77, −3.28‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫נתונים ארבעה וקטורים במערכת הצירים‪ ,‬בהצגה קרטזית‪:‬‬
‫)א( וקטור )‪.A~ = (8, 6‬‬
‫)ב( וקטור )‪.B~ = (−6, 12‬‬
‫)ג( וקטור )‪.C~ = (−9, −15‬‬
‫)ד( וקטור )‪~ = (2, −7‬‬
‫‪.D‬‬
‫מצאו את ההצגה הפולרית של כל וקטור‪ ,‬כלומר את אורכו של כל וקטור ואת זווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ ‪.x‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )◦‪) (10, 36.87‬ב( )◦‪) (13.42, 116.57‬ג( )◦‪) (17.49, 239.04‬ד( )◦‪(7.28, −74.05‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫נתונים הוקטורים‪ ~a = (4, 22◦ ) ; ~b = (6, 315◦) :‬הרשומים בצורה פולרית‪.‬‬
‫רשמו את ההצגה הקרטזית של כל אחד מהוקטורים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪~a = (3.71, 1.50) ; ~b = (4.24, −4.24‬‬
‫‪1.1.4‬‬
‫נתון הוקטור ‪ ~a = 2ˆi + 3ˆj‬בהצגה קרטזית‪.‬‬
‫רשמו את הוקטור בהצגה פולרית )גודל וכיוון(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)◦‪~a = (3.61, 56.31‬‬
‫‪1.1.5‬‬
‫נתון הוקטור ‪.~a = 3ˆi − 5ˆj‬‬
‫רשמו את הוקטור בהצגה פולרית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)◦‪~a = (5.83, −59.04‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪5‬‬
‫‪ 1.2‬חיבור וחיסור וקטורים‬
‫‪1.2.1‬‬
‫נתונים שני וקטורים‪ A~ = −ˆi + ˆj ; B~ = (2, −3) :‬הרשומים בצורה קרטזית‪.‬‬
‫חשבו את‪:‬‬
‫)א( סכומם‪.‬‬
‫)ב( הפרשם‪.‬‬
‫)ג( ~‪.3A~ − 2B‬‬
‫)ד( ~‪.4A~ + B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )‪) (1, −2‬ב( )‪) (−3, 4‬ג( )‪) (−7, 3‬ד( )‪(−2, 1‬‬
‫‪1.2.2‬‬
‫נתונים שני וקטורים הרשומים בצורה פולרית‪.A~ = (8, 50◦) ; B~ = (10, −30◦) :‬‬
‫חשבו ורשמו בצורה פולרית את‪:‬‬
‫)א( ~‪.2A~ − 1.5B‬‬
‫)ב( ~‪.B~ − 3A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )◦‪) (19.94, 97.81‬ב( )◦‪(24.35, 106.12‬‬
‫‪1.2.3‬‬
‫נתונים שלושה וקטורים כמשורטט‪:‬‬
‫חשבו את‪:‬‬
‫)א( ‪.~a + ~b + ~c‬‬
‫)ב( ‪.1.7~a − 3~b − 2.4~c‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪6‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a = 10‬‬
‫◦‪30‬‬
‫◦‪45‬‬
‫‪x‬‬
‫◦‪30‬‬
‫‪c=6‬‬
‫‪b=8‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )‪) (5.98, −3.24‬ב( )‪(25.3, 30.68‬‬
‫‪1.2.4‬‬
‫איזה וקטור יש להוסיף ל־ ˆ‪ A~ = ˆi − 4ˆj − 10k‬ול־ ˆ‪ B~ = −5ˆi + k‬כדי שהסכום הכולל יהיה שווה אפס )בעיית שווי‬
‫משקל(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪(4, 4, 9‬‬
‫‪1.2.5‬‬
‫נתונים שני וקטורים כמשורטט‪:‬‬
‫מצאו וקטור ‪ ~c‬שיקיים את התנאי ‪.−~a + 15~b − 7~c = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a=6‬‬
‫◦‪45‬‬
‫‪x‬‬
‫◦‪30‬‬
‫‪b=5‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪7‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪~c = (9.88, −5.96‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪8‬‬
‫‪ 1.3‬מכפלה סקלרית‬
‫‪1.3.1‬‬
‫נתונים שלושה וקטורים המוצגים בצורה קרטזית‪.~a = (3, 4) ; ~b = (−1, −1) ; ~c = (−2, 1, 2) :‬‬
‫)א( חשבו את המכפלה הסקלרית ‪ ~a · ~b‬ואת הזווית בין ‪ ~a‬ל־ ‪.~b‬‬
‫)ב( חשבו את המכפלה הסקלרית ‪ ~b · ~c‬ואת הזווית בין ‪ ~b‬ל־ ‪.~c‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ◦‪) ~a · ~b = −7 ; θab = 171.87‬ב( ◦‪~b · ~c = 1 ; θbc = 76.37‬‬
‫‪1.3.2‬‬
‫נתונים שני וקטורים המוצגים בצורה קרטזית‪.~a = (1, −1, −2) ; ~b = (7, 3, −1) :‬‬
‫)א( חשבו את המכפלה הסקלרית ‪ ~a · ~b‬ואת הזווית בין ‪ ~a‬ל־ ‪.~b‬‬
‫)ב( חשבו את הזווית בין וקטור ‪ ~a‬לציר ה־ ‪.x‬‬
‫)ג( חשבו את הזווית בין וקטור ‪ ~b‬לציר ה־ ‪.z‬‬
‫)ד( חשבו את הזווית בין ‪ ~a + ~b‬לציר ה־ ‪.y‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ◦‪) ~a · ~b = 6 ; θab = 71.4‬ב( ◦‪) 65.91‬ג( ◦‪) 97.48‬ד( ◦‪76.88‬‬
‫‪1.3.3‬‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪.~a = ˆi + 2ˆj + 3kˆ ; ~b = −ˆj − 5kˆ :‬‬
‫מצאו וקטור יחידה ˆ‪) c‬כלומר וקטור שאורכו ‪ (1‬שיהיה מאונך למישור עליו נמצאים ‪ ~a‬ו־ ‪.~b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪cˆ = ±(0.808, −0.57, 0.115‬‬
‫‪1.3.4‬‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪.~a = (1, 1, 1) ; ~b = (0, 0, 5) :‬‬
‫מצאו וקטור ‪ ~c‬שאורכו ‪ |~c| = 7‬שיוצר זווית של ◦‪ 30‬עם וקטור ‪ ~a‬ויוצר זווית של ◦‪ 60‬עם וקטור ‪.~b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪ ~c = (1, 6, 3.5‬או )‪~c = (6, 1, 3.5‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪9‬‬
‫‪1.3.5‬‬
‫הוכיחו את משפט הקוסינוסים בעזרת שימוש במכפלה סקלרית!‬
‫תזכורת‪ :‬משפט הקוסינוסים אומר כי במשולש מתקיים הקשר הבא בין הצלעות‪ c = a + b − 2ab cos γ :‬כאשר‬
‫‪ γ‬הזווית מול הצלע ‪.c‬‬
‫‪2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1.4‬מכפלה וקטורית‬
‫‪1.4.1‬‬
‫~ ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪ .~a = −2i + j − 9k ; b = 20i − 10j + 35k :‬‬
‫‬
‫‬
‫)א( חשבו את גודלו של הוקטור המתקבל מהמכפלה הוקטורית בין שני הוקטורים‪.|~c| = ~a × ~b :‬‬
‫)ב( חשבו את הוקטור המתקבל מהמכפלה הוקטורית בין שני הוקטורים‪ ,~c = ~a × ~b :‬והראו שגודלו שווה לערך‬
‫שהתקבל בסעיף )א(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) |~c| = 122.42‬ב( )‪~c = (−55, −110, 0‬‬
‫‪1.4.2‬‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪.~a = ˆi + 2ˆj + 3kˆ ; ~b = −ˆj − 5kˆ :‬‬
‫מצאו וקטור יחידה ˆ‪) c‬כלומר וקטור שאורכו ‪ (1‬שיהיה מאונך למישור עליו נמצאים ‪ ~a‬ו־ ‪.~b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪cˆ = ±(0.808, −0.57, 0.115‬‬
‫‪1.4.3‬‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪ ,A~ = (a, 3, 0) ; B~ = (5, 2a, 0) :‬כאשר ‪ a‬קבוע כלשהו‪.‬‬
‫‪~ B‬‬
‫מצאו עבור אילו ערכים של ‪ a‬מתקיים כי הוקטורים מקבילים זה לזה‪~ ,‬‬
‫||‪.A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪a = ±2.74‬‬
‫‪1.4.4‬‬
‫נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית‪ .~a = 3ˆi + ay ˆj − 2kˆ ; ~b = bxˆi + ˆj − kˆ :‬כמו כן ידוע כי המכפלה הוקטורית‬
‫ביניהם היא‪.~c = ~a × ~b = 8ˆi − 2ˆj + cz kˆ :‬‬
‫מצאו את שלושת הפרמטרים ‪.ay , bx , cz‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ay = −6 ; bx = 2.5 ; cz = 18‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪11‬‬
‫‪1.4.5‬‬
‫הוכיחו את משפט הסינוסים בעזרת שימוש במכפלה וקטורית!‬
‫תזכורת‪ :‬משפט הסינוסים אומר כי במשולש מתקיימים הקשרים הבאים בין הצלעות‪:‬‬
‫‪ β‬ו־ ‪ γ‬הן הזוויות בהתאמה מול הצלעות ‪ b ,a‬ו־ ‪.c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪sin γ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪12‬‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪sin β‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪sin α‬‬
‫כאשר ‪,α‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫קינמטיקה‬
‫‪2.1‬‬
‫תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית(‬
‫‪2.1.1‬‬
‫טיל נמצא במנוחה על פני כדה״א‪ .‬מנועיו מפעילים כח כך שהטיל נע בתאוצה קבועה ‪ 5 sm2‬במגמה אנכית מעלה‪.‬‬
‫לאחר ‪ 10‬שניות נגמר הדלק והוא ממשיך לנוע בהשפעת הגרביטציה בלבד‪.‬‬
‫)א( באיזה גובה מעל לקרקע נמצא הטיל ברגע שנגמר הדלק במנועיו?‬
‫)ב( באיזה רגע‪ ,‬יחסית להתחלה‪ ,‬מגיע הטיל לשיא הגובה‪ ,‬ומהו הגובה בשיא?‬
‫)ג( באיזה רגע‪ ,‬ביחס להתחלה‪ ,‬פוגע הטיל בקרקע?‬
‫)ד( מה גודלה של מהירות הפגיעה בקרקע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 250 m‬ב( שיא הגובה הוא ‪ 377.55 m‬אליו מגיע הגוף לאחר ‪) .15.1 s‬ג( ‪) 23.88 s‬ד(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪86.02‬‬
‫‪2.1.2‬‬
‫מכונית נוסעת במהירות קבועה של ‪ vc = 25 ms‬לאורך ציר ‪ x‬וברגע מסוים )‪ (t = 0‬היא חולפת על פני אופנוע‪ .‬ברגע‬
‫זה‪ ,‬האופנוע מתחיל לנוע ממנוחה בתאוצה קבועה ‪ am = 2 sm2‬באותו הכיוון‪ .‬מהירותו המקסימלית של האופנוע‬
‫היא ‪.vm,max = 50 ms‬‬
‫)א( שרטטו גרפים של מהירויות המכונית והאופנוע כפונקציה של הזמן‪ ,‬מהרגע ‪.t = 0‬‬
‫)ב( שרטטו גרפים של מיקומי המכונית והאופנוע כפונקציה של הזמן‪ ,‬מהרגע ‪.t = 0‬‬
‫)ג( באיזה רגע ישיג האופנוע את המכונית?‬
‫)ד( מהו מיקום האופנוע‪ ,‬ביחס להתחלה‪ ,‬ברגע שישיג את המכונית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)ג( ‪) 25 s‬ד( ‪625 m‬‬
‫‪13‬‬
‫‪2.1.3‬‬
‫גוף נע לאורך ציר ‪ x‬כך שמיקומו בכל רגע הוא‪.x(t) = −t3 + 6t − 12 m :‬‬
‫)א( מהי מהירות הגוף בכל רגע? שרטטו גרף של מהירות הגוף כפונקציה של הזמן!‬
‫)ב( מהי תאוצת הגוף בכל רגע? שרטטו גרף של תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן!‬
‫)ג( באיזה רגע נעצר הגוף?‬
‫)ד( מהי מהירות הגוף ‪ 10‬שניות לאחר תחילת התנועה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) v(t) = −3t2 + 6‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) a(t) = −6t‬ג( ‪) t = 1.41 s‬ד(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v(t = 10 s) = −294‬‬
‫‪2.1.4‬‬
‫√‬
‫גוף נע לאורך ציר ‪ x‬עם תאוצה תלוית זמן‪.a(t) = 2 t − 3 sm2 :‬‬
‫)א( מהי מהירותו של הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע ‪ t = 0‬מהירותו היתה ‪ 5 ms‬בכיוון השלילי של הציר )‪?(−ˆx‬‬
‫)ב( מהו מיקומו של הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע ‪ t = 2 s‬מיקומו היה ‪?x(t = 2 s) = 10 m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪− 3t ms‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3t3/2‬‬
‫‪) v(t) = −5 +‬ב( ‪x(t) = 22.98 − 5t − 1.5t2 + 0.53t5/2 m‬‬
‫‪2.1.5‬‬
‫גוף נע כך שמהירותו בכל רגע נתונה ע״י‪ .v(t) = −5 sin(3t − 2) :‬נתון כי ברגע ‪ t = 0‬מיקומו של הגוף היה‬
‫‪.x(t = 0) = −1 m‬‬
‫)א( מהו מיקום הגוף ברגע ‪?t = 12 s‬‬
‫)ב( מהי תאוצת הגוף ברגע ‪?t = 3 s‬‬
‫)ג( מהי המהירות הממוצעת של הגוף בין ‪ t = 0‬ל־ ‪?t = 1 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) x(t = 12 s) = −1.73 m‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) a(t = 3 s) = −11.31‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪vaverage = 1.59‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪14‬‬
‫תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת(‬
‫‪2.2‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫זורקים כדור מהקרקע במהירות התחלתית ‪ .v0 = 30 ms‬המטרה היא לפגוע במטרה שנמצאת במרחק אופקי‬
‫‪ d = 20 m‬ובגובה ‪ h = 12 m‬מנקודת הזריקה‪ .‬באילו זוויות ביחס לאופק יש לזרוק את הכדור כדי לפגוע במטרה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪ 37.34‬או ◦‪83.22‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫גוף נזרק מגובה ‪ h‬מעל לקרקע‪ ,‬בזווית ‪ θ‬ביחס לאופק‪ .‬עד לשיא הגובה עובר הגוף מרחק אופקי ‪.d‬‬
‫‪y‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪.hmax = h + d tan‬‬
‫הראו כי הגובה המקסימלי אליו מגיע הגוף הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2.2.3‬‬
‫גוף מקבל מהירות התחלתית של ‪ v0 = 5 ms‬בקצה שולחן שאורכו ‪ d = 2 m‬וגובהו ‪ .h = 1 m‬השולחן מפעיל חיכוך‬
‫על הגוף שגורם לו לתאוטה שגודלה ‪ .a = 1 sm2‬כאשר הוא מגיע לשפת השולחן הוא מתנתק ממנו וממשיך לנוע‬
‫באוויר בהשפעת הכבידה בלבד‪ ,‬עד שהוא פוגע בקרקע במרחק ‪ D‬משפת השולחן‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪D‬‬
‫)א( מהי מהירות הגוף בשפת השולחן‪ ,‬רגע לפני התנועה באוויר?‬
‫)ב( מהו המרחק ‪?D‬‬
‫)ג( כמה זמן ארכה כל התנועה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 4.58‬ב( ‪) 2.07 m‬ג( ‪0.87 s‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪15‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2.2.4‬‬
‫פעלולן על אופניים מתחיל נע במהירות ‪ v0‬על מישור אופקי‪ .‬ברגע מסוים )‪ (t = 0‬הוא מתחיל לעלות במעלה מדרון‬
‫משופע שזוויתו ◦‪ θ = 30‬וגובהו ‪ .h = 5 m‬במהלך העליה הוא חש תאוטה שגודלה ‪ .a = 2 sm2‬הפעלולן מגיע לקצה‬
‫המדרון ומשם ממשיך לנוע באוויר בהשפעת הכבידה בלבד‪ .‬הוא נוחת על הקרקע במרחק ‪ ℓ = 10 m‬מקצה המדרון‬
‫המשופע‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫)א( מהי המהירות ההתחלתית של הפעלולן בתחתית המדרון‪?v0 ,‬‬
‫)ב( מהו זמן התנועה הכולל‪ ,‬מהרגע ‪ t = 0‬ועד לרגע בו נוחת הפעלולן על הקרקע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) v0 = 10.03‬ב( ‪2.6 s‬‬
‫‪2.2.5‬‬
‫התחלתית ‪ ,v0‬בזווית כלשהי‪ .‬הגובה המקסימלי אליו הוא מגיע הוא ‪. 32 h‬‬
‫חפץ נזרק מבניין שגובהו ‪ h‬במהירות‬
‫‪q‬‬
‫‪.θ = sin−1 ( gh‬‬
‫)א( הראו כי הזווית בה נזרק החפץ היא )‬
‫‪v02‬‬
‫)ב( הראו כי הזמן שעבר מרגע הזריקה ועד שהגוף פוגע בקרקע הוא‬
‫‪ qh‬‬
‫‪g‬‬
‫‪3+1‬‬
‫√‬
‫= ‪.ttot‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪16‬‬
‫תנועה במרחב‬
‫‪2.3‬‬
‫‪2.3.1‬‬
‫חלקיק נע במרחב כך שמשוואת המיקום שלו בכל רגע הינה‪.~r(t) = (t2 , 2t3 + 5t, t + 4) m :‬‬
‫)א( חשבו את מהירות החלקיק לאחר ‪ 3‬שניות‪.‬‬
‫)ב( חשבו את מרחקו של החלקיק מנקודת ההתחלה ברגע ‪.t = 3 s‬‬
‫)ג( מהי הזווית בין מהירות החלקיק לבין תאוצתו ברגע ‪.t = 3 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪) v(t = 3 s) = (6, 59, 1‬ב( ‪) 69.65 m‬ג( ◦‪2.89‬‬
‫‪2.3.2‬‬
‫חלקיק נע כך שוקטור המיקום שלו בכל רגע נתון ע״י הביטוי‪ ,~r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, Rωt) m :‬כאשר ‪ R‬ו־‬
‫‪ ω‬קבועים‪.‬‬
‫)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הפרמטרים ‪ R‬ו־ ‪?ω‬‬
‫)ב( מהו וקטור מהירות החלקיק ומהו גודלה של המהירות בכל רגע?‬
‫)ג( מה וקטור תאוצת החלקיק ומהו גודלה של התאוצה בכל רגע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪) [R] = m ; [ω] = 1s = rad‬ב( ‪) ~v (t) = (−Rω sin ωt, Rω cos ωt, Rω) ; v(t) = Rω‬ג( = )‪~a(t‬‬
‫)א( ‪= Hz‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(−Rω cos ωt, −Rω sin ωt, 0) ; a(t) = −Rω 2‬‬
‫‪2.3.3‬‬
‫וקטור המיקום של גוף מסוים נתון בכל רגע על ידי ‪.~r(t) = t2~i − 4t~j − 2~k m‬‬
‫)א( חשבו את וקטור מהירות הגוף בכל רגע‪.~v(t) ,‬‬
‫)ב( חשבו את וקטור התאוצה של הגוף בכל רגע‪.~a(t) ,‬‬
‫)ג( חשבו את גודל התאוצה המשיקית בכל רגע‪.aT (t) ,‬‬
‫)ד( חשבו את גודל התאוצה הנורמלית בכל רגע‪.aN (t) ,‬‬
‫)ה( חשבו את וקטור התאוצה המשיקית בכל רגע‪.~aT (t) ,‬‬
‫)ו( חשבו את וקטור התאוצה הנורמלית בכל רגע‪.~aN (t) ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ~v (t) = 2tˆi − 4ˆj + 0kˆ ms‬ב(‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‪2t‬‬
‫‪4‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪) ~aT (t) = t2 +4 , − t2 +4 , 0 sm2‬ו(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫ˆ‪) ~a(t) = 2ˆi + 0ˆj + 0k‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‬
‫‪2−2t2‬‬
‫√‬
‫‪, − √t24+4 , 0‬‬
‫‪t2 +4‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪√ 2t‬‬
‫‪t2 +4 s2‬‬
‫= )‪) aT (t‬ד(‬
‫= )‪~aN (t‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪17‬‬
‫‪m‬‬
‫‪√ 4‬‬
‫‪t2 +4 s2‬‬
‫= )‪) aN (t‬ה(‬
‫‪2.3.4‬‬
‫גוף נע כך שמיקומו בכל רגע נתון ע״י הביטוי‪.~r(t) = 1.2t3ˆi − 500e−0.1tˆj + 0.1 sin (1.5t2 )kˆ m :‬‬
‫)א( מהי מהירות הגוף בכל רגע‪ ,‬ומהי מהירותו ההתחלתית?‬
‫)ב( מהי תאוצת הגוף בכל רגע‪ ,‬ומהי התאוצה ברגע ‪?t = 4 s‬‬
‫)ג( מצאו וקטור יחידה בכיוון המשיקי ברגע ‪.t = 1 s‬‬
‫)ד( מצאו את גודלה של התאוצה המשיקית ברגע ‪.t = 1 s‬‬
‫)ה( מצאו את גודלה של התאוצה המאונכת ברגע ‪.t = 1 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ~v (t) = (3.6t2 , 50 · e−0.1t , 0.3t · cos 1.5t2 ) ms ; ~v0 = (0, 50, 0) ms‬ב( · ‪~a(t) = (7.2t, −5 · e−0.1t , 0.3‬‬
‫‪) cos 1.5t2 − 0.9t2 sin 1.5t2 ) sm2 ; ~a(t = 4 s) = (28.8, −3.35, 13.17) sm2‬ג( )‪) vˆ(t = 1 s) = (0.08, 0.997, 0‬ד(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) aT (t = 1 s) = −3.93‬ה(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪aN (t = 1 s) = 7.59‬‬
‫‪2.3.5‬‬
‫מיקומו של גוף נתון בביטוי ‪.~r(t) = A cos (αt2 )ˆi + A sin (αt2 )ˆj m‬‬
‫)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הפרמטרים ‪ A‬ו־ ‪α‬‬
‫)ב( מהי מהירות הגוף בכל רגע?‬
‫)ג( מהי תאוצת הגוף בכל רגע?‬
‫)ד( מהי התאוצה המשיקית בכל רגע? מצאו גם את גודלה וגם את תיאורה הוקטורי!‬
‫)ה( מהי התאוצה המאונכת בכל רגע? מצאו גם את גודלה וגם את תיאורה הוקטורי!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪) [A] = m ; [α] = s12 = rad‬ב( )) ‪) ~v (t) = 2αtA (− sin(αt2 ), cos(αt2‬ג( ‪~a(t) = 2αA (− sin(αt2 ), cos(αt2 ))−‬‬
‫)א(‬
‫‪s2‬‬
‫)) ‪4α2 t2 A (cos(αt2 ), sin(αt2‬‬
‫‪2.3.6‬‬
‫כדור טניס נורה ממכונה מהקרקע במהירות התחלתית ‪ v0 = 50 ms‬בזווית ◦‪ θ = 25‬ביחס לאופק‪ .‬במהלך‬
‫התנועה באוויר פועלים על הכדור כוחות שאינם ניתנים להזנחה‪ ,‬כך שהוא מרגיש תאוצה שנתונה בביטוי = )‪~a(t‬‬
‫‪ .(5e−0.2t , −9.8) sm2‬הגדירו ציר ‪ x‬אופקי וציר ‪ y‬אנכי‪.‬‬
‫)א( מהי מהירות הגוף בכל רגע?‬
‫)ב( מהו מיקום הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע הירי‪ ,t = 0 ,‬הכדור היה בראשית?‬
‫)ג( מתי מגיע הגוף לשיא הגובה? מהי מהירותו ומהו מיקומו ברגע זה?‬
‫)ד( מתי פוגע הכדור בקרקע? מהי מהירותו ומהו מיקומו ברגע זה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪18‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ~v (t) = (70.32−25·e−0.2t , 21.12−9.8t) ms‬ב( ‪) ~r(t) = (70.32t+125·e−0.2t −125, 21.13t−4.9t2 ) m‬ג( = ‪~v (t‬‬
‫‪) 2.16 s) = (54.09, 0) ms ; ~r(t = 2.16 s) = (108.04, 22.78) m‬ד( = ‪~v (t = 4.31 s) = (59.76, −21.11) ms ; ~r(t‬‬
‫‪4.31 s) = (230.87, 0) m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪19‬‬
‫‪2.4‬‬
‫תנועה יחסית‪ ,‬טרנפורמציית גליליי‬
‫‪2.4.1‬‬
‫שתי מכוניות נעות על מישור אופקי‪ .‬מהירות המכונית ‪ A‬בכל רגע היא ‪ .~vA (t) = (3t2 , −2t) ms‬מהירות המכונית ‪B‬‬
‫בכל רגע היא ‪ .~vB (t) = (−4t, 6t2 ) ms‬ברגע ‪ t = 0‬מיקום המכונית ‪ A‬היה ‪ ~r0,A = (−27, 9) m‬ומיקום המכונית ‪B‬‬
‫היה ‪.~r0,B = (8, −54) m‬‬
‫)א( מהו מיקומן של כל אחת מהמכונית בכל רגע?‬
‫)ב( מתי מגיעה כל מכונית לראשית?‬
‫)ג( מה המיקום היחסי של המכונית ‪ A‬ביחס למכונית ‪ B‬בכל רגע‪ ,‬והאם הן נפגשות?‬
‫)ד( מהי המהירות היחסית של המכונית ‪ A‬ביחס למכונית ‪?B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ~rA (t) = (−27 + t3 , 9 − t2 ) m ; ~rB (t) = (8 − 2t2 , −54 + 2t3 ) m‬ב( המכונית ‪ A‬מגיעה לראשית ברגע‬
‫‪ t = 3 s‬בעוד המכונית ‪ B‬לא מגיעה לראשית לעולם‪) .‬ג( ‪ ,~r′ (t) = (t3 + 2t2 − 35, −2t3 − t2 + 63) m‬המכוניות‬
‫לא נפגשות לעולם‪) .‬ד( ‪~v ′ (t) = (3t2 + 4t, −6t2 − 2t) ms‬‬
‫‪2.4.2‬‬
‫צופה יושב ליד חלון רכבת הנוסעת במהירות קבועה ‪ .v1 = 54 ms‬כמה זמן הוא יצפה ברכבת שניה שאורכה‬
‫‪ L = 60 m‬שנעה בכיוון ההפוך במהירות קבועה ‪ v2 = 36 ms‬חולפת על פניו?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.4.3‬‬
‫שלג יורד בכיוון אנכי‪ ,‬ובהשפעת כל הכוחות הפועלים עליו הוא נופל במהירות קבועה ‪ .v1 = 2.4 ms‬רוכב אופנוע‬
‫‪ v2 = 86.4 km‬בכיוון האופקי‪ .‬חשבו באיזו זווית ביחס לאנך רואה הרוכב את השלג הנופל‪.‬‬
‫נוסע במהירות קבועה‬
‫‪hr‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪84.29‬‬
‫‪2.4.4‬‬
‫נהר זורם במהירות ‪ 1.5 ms‬מזרחה‪ .‬סירה חוצה את הנהר מהגדה הדרומית‪ ,‬במהירות‬
‫)א( מה וקטור מהירות הסירה כפי שהיא נראית ע״י צופה מהקרקע?‬
‫)ב( אם רוחבו של הנהר הוא ‪ ,325 m‬מה יהיה מרחק הסירה כאשר תגיע לגדה הצפונית‪ ,‬מנקודת היציאה?‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪20‬‬
‫‪ 7.5‬בניצב לנהר‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪) (1.5, 7.5‬ב( ‪331.44 m‬‬
‫‪2.4.5‬‬
‫עגלה שאורכה ‪ L‬נעה ימינה בתאוצה קבועה ‪ .a‬ברגע מסוים נזרק כדור מהקצה הימני שלה אנכית מעלה )ביחס‬
‫לעגלה( במהירות ‪.v‬‬
‫מהי מהירות זריקת הכדור המקסימלית האפשרית ‪ vmax‬עבורה הכדור עדיין יפול בתוך העגלה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪v=g‬‬
‫‪2.4.6‬‬
‫מכונית נוסעת במישור אופקי ‪ xy‬במהירות שנתונה בביטוי ‪.~v(t) = (10t2 + 5, 2t − 3, 0) ms‬‬
‫ברגע ‪ ,t = 0‬כאשר המכונית חולפת על פני ראשית הצירים‪ ,‬נזרק מהמכונית כדור קטן במהירות ‪ v0 = 4 ms‬אנכית‬
‫מעלה )בכיוון ‪ (z‬ביחס למכונית‪ .‬הכח היחיד שמשפיע על הכדור הוא כח הכובד‪.‬‬
‫)א( מהי מהירות הכדור ביחס למכונית וביחס לקרקע‪ ,‬בכל רגע?‬
‫)ב( מהי תאוצת הכדור ביחס למכונית בכל רגע?‬
‫)ג( מתי פוגע הכדור בקרקע‪ ,‬ומהו המרחק בינו לבין המכונית ברגע זה? הניחו כי גובה המכונית קטן מאד‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪; ~v ′ (t) = (−10t2 , −2t, 4 − 9.8t‬‬
‫‪t = 1.225 s ; ∆r = 6.634 m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪) ~v (t) = (10t2 + 5, 2t − 3, 0‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫)‪) ~a′ (t) = (−20t, −2, −9.8‬ג(‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪21‬‬
‫‪ 2.5‬קינמטיקה של תנועה מעגלית‬
‫‪2.5.1‬‬
‫גוף נע בתנועה מעגלית במישור ‪ xy‬כך שמיקומו בכל רגע נתון בביטוי‪:‬‬
‫‪~r(t) = R cos (θ)~i + R sin (θ)~j m‬‬
‫כאשר )‪ θ = θ(t‬היא הזווית )ברדיאנים( ביחס לציר ה־ ‪.x‬‬
‫)א( מצאו את ˆ‪ r‬־ וקטור היחידה בכיוון הרדיאלי‪.‬‬
‫)ב( מצאו את וקטור מהירות הגוף ואת גודלה בכל רגע‪.‬‬
‫)ג( מצאו את ˆ‪ ϕ‬־ וקטור היחידה בכיוון המשיקי‪.‬‬
‫)ד( מצאו את וקטור התאוצה ואת גודלן של התאוצות המשיקית והרדיאלית‪.‬‬
‫)ה( נתון כי וקטור המהירות הזוויתית הוא ‪~k‬‬
‫)‪ .~ω(t) = dθ(t‬חשבו את המכפלה הוקטורית ‪ ~ω × ~r‬והוכיחו שהתוצר‬
‫‪dt‬‬
‫הוא וקטור המהירות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪(− sin θ, cos θ) ; v(t) = R dθ(t‬‬
‫)א( )‪) rˆ = (cos θ, sin θ‬ב(‬
‫)‪) ~v (t) = R dθ(t‬ג( )‪) ϕˆ = (− sin θ, cos θ‬ד( = )‪~a(t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫)‪d θ(t‬‬
‫)‪dθ(t‬‬
‫)‪d2 θ(t‬‬
‫)‪dθ(t‬‬
‫‪R dt2 (− sin θ, cos θ) − R dt‬‬
‫‪(cos θ, sin θ) ; aϕ = R dt2 ; ar = R dt‬‬
‫‪2.5.2‬‬
‫גוף נע בתנועה מעגלית במגעל שרדיוסו ‪ .R = 5 m‬הזווית בכל רגע נתונה בביטוי ‪.θ(t) = 2t3 rad‬‬
‫מצאו את התאוצה המשיקית‪ ,‬התאוצה המרכזית ואת התאוצה הכללית בכל רגע!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫√‬
‫‪; a(t) = 60t 9t6 + 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪; ar (t) = 180t4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪aϕ (t) = 60t‬‬
‫‪2.5.3‬‬
‫חלקיק נע בתנועה מעגלית‪ ,‬לפי ‪ ,s(t) = 2t3 + t2 + 4t m‬כאשר ‪ s‬הוא המרחק הנמדד לאורך הקשת‪ .‬נתון כי ברגע‬
‫‪ t = 1 s‬התאוצה הכללית היא ‪ .a(t = 1 s) = 16 sm2‬מהו רדיוס המעגל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪R = 18.59 m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪22‬‬
‫‪2.5.4‬‬
‫‪.ω = 7.292 · 10−5 rad‬‬
‫כדור הארץ מסתובב סביב צירו עם מהירות זוויתית קבועה‬
‫‪s‬‬
‫מצאו‪ ,‬כפונקציה של קו הרוחב )‪ ,(λ‬את המהירות והתאוצה של נקודה כלשהי על פני כדה״א!‬
‫‪N‬‬
‫‪O λ‬‬
‫קו המשווה‬
‫‪S‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪; a = 0.034 cos λ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 465.2 cos λ‬‬
‫‪2.5.5‬‬
‫√‬
‫גוף נע בתנועה מעגלית במסלול שרדיוסו ‪ .R = 0.15 m‬התאוצה הזוויתית של הגוף בכל רגע היא‪:‬‬
‫‪.α(t) = 6 t rad‬‬
‫‪s2‬‬
‫נתון כי ברגע ‪ t = 0‬מהירותו הזוויות של הגוף היתה‬
‫‪ ω0 = 0.2 rad‬והזווית ביחס לציר ה־ ‪ x‬היתה ‪.θ0 = 0.5 rad‬‬
‫‪s‬‬
‫)א( חשבו את הזווית של הגוף ביחס לציר ה־ ‪ x‬בכל רגע‪.‬‬
‫)ב( חשבו את וקטור תאוצת הגוף ברגע ‪.t = 1 s‬‬
‫)ג( חשבו את וקטור היחידה המשיקי ואת וקטור היחידה הרדיאלי ברגע ‪.t = 1.2 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.5 + 0.2t + 58 t5/2 rad‬ב(‬
‫‪rˆ(t = 1.2 s) = (−0.993, −0.122) ; ϕ(t‬‬
‫)ג( )‪ˆ = 1.2 s) = (0.122, −0.993‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫)‪~a(t = 1 s) = (−1.23, −4.66‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪23‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫דינמיקה‬
‫‪3.1‬‬
‫שווי משקל‬
‫‪3.1.1‬‬
‫מסה ‪ m‬מוחזקת בעזרת שני חוטים הקשורים בצידם השני לתקרה‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬
‫בין החוטים ישנה זווית ישרה‪.‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪m‬‬
‫מצאו את המתיחויות בכל אחד מהחוטים כפונקציה‬
‫של הזווית ‪ ,θ‬שבין החוט הימני לתקרה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪T1 = mg sin θ ; T2 = mg cos θ‬‬
‫‪3.1.2‬‬
‫כדור שמסתו ‪ m‬מונח בתוך בור בקרקע‪ ,‬כפי שמתואר בשרטוט‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪α‬‬
‫‪24‬‬
‫‪β‬‬
‫חשבו את הכוחות הנורמליים שפועלים על הכדור‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪N1 = mg sinsinα+β‬‬
‫‪; N2 = mg sinsinα+β‬‬
‫‪3.1.3‬‬
‫מסה ‪ m‬קשורה לחוט ונמצאת במנוחה‪ ,‬כפי שמתואר בשרטוט‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪m‬‬
‫מהי המתיחות בכל אחד מהחוטים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪β‬‬
‫‪β‬‬
‫‪T1 = −mg cossinα+β‬‬
‫‪; T2 = −mg coscosα+β‬‬
‫‪; T3 = mg‬‬
‫‪3.1.4‬‬
‫נתונה המערכת הבאה בשווי משקל‪:‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪ ? m‬בטאו באמצעות ‪.θ‬‬
‫מהו היחס בין המסות‬
‫‪2‬‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪= sin θ‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪25‬‬
‫‪ 3.2‬חוקי ניוטון‬
‫‪3.2.1‬‬
‫לעגלות שבשרטוט ישנן מסות ‪ .mA = 10 kg ; mB = 20 kg ; mC = 30 kg‬החוטים חסרי מסה‪ .‬כח ‪F = 900 N‬‬
‫מושך את העגלה ‪.C‬‬
‫)א( מצאו את תאוצת המערכת והמתיחויות בחוטים?‬
‫)ב( חזרו על החישוב של )א( עבור מצב אנכי‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪; TAB = 150 N ; TBC = 450 N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) a = 15‬ב( ‪; TAB = 150 N ; TBC = 450 N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪a = 5.2‬‬
‫‪3.2.2‬‬
‫כדור שמסתו ‪ m = 12 kg‬מונח בתוך שקע שנוצר בקוביה‪ ,‬כפי שמוראה בשרטוט‪ .‬הקוביה עשויה חומר אשר נשבר‬
‫כאשר מופעל עליו כח הגדול מ־ ‪ .Nmax = 150 N‬כמו כן נתון‪.θ = 30◦ :‬‬
‫)א( מושכים את הקוביה מטה בתאוצה ‪ .a‬מהי התאוצה המקסימלית האפשרית‪ amax ,‬עבורה הכדור לא יתנתק‬
‫מדפנות הקוביה?‬
‫)ב( מושכים את הקוביה ימינה בתאוצה ‪ .a‬מהי התאוצה המקסימלית האפשרית‪ amax ,‬עבורה הכדור לא יתנתק‬
‫מדפנות הקוביה?‬
‫)ג( מושכים את הקוביה מעלה בתאוצה ‪ .a‬מהי התאוצה המקסימלית האפשרית‪ amax ,‬עבורה דפנות הקוביה לא‬
‫ישברו?‬
‫)ד( מושכים את הקוביה שמאלה בתאוצה ‪ .a‬מהי התאוצה המקסימלית האפשרית‪ amax ,‬עבורה דפנות הקוביה לא‬
‫ישברו?‬
‫‪m‬‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) amax = 9.8‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) amax = 5.66‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) amax = 1.03‬ד(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪amax = 6.84‬‬
‫‪3.2.3‬‬
‫מסוק שמשקלו הוא ‪ w = 294000 N‬נע באוויר כך שמיקומו בכל רגע נתון בביטוי ‪.~r(t) = 0.04t3ˆi−0.2t2 ˆj+0.3tkˆ m‬‬
‫מהו הכח השקול שפועל על המסוק בכל רגע?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪26‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F~ (t) = (7200t, −12000, 0) N‬‬
‫‪P‬‬
‫‪3.2.4‬‬
‫קרונית נעה בתאוצה קבועה ‪ .a‬לתקרת הקרונית מחובר חוט ובקצהו השני מסה ‪ .m‬בטאו את זווית הסטיה של החוט‬
‫מהאנך )‪ θ‬שבשרטוט( באמצעות ‪.a, g‬‬
‫‪a‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‬
‫‪a‬‬
‫‪g‬‬
‫‪θ = tan−1‬‬
‫‪3.2.5‬‬
‫על מישור חלק משופע בזווית ◦‪ α = 24‬נע טריז בעל מסה ‪ .M‬אל מוט שמחובר לטריז קשור חוט‪ .‬לצידו השני של‬
‫החוט מחוברת מסה קטנה ‪ .m‬כתוצאה מתנועת הטריז‪ ,‬החוט יוצר זווית ‪ β‬עם האנך‪.‬‬
‫‪β‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪α‬‬
‫מצאו את הזווית ‪.β‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪β = 24‬‬
‫‪3.2.6‬‬
‫קוף שמסתו ‪ m‬מטפס על חבל חסר מסה שכרוך סביב גלגלת חסרת חיכוך‪ .‬בציד השני של החבל תלוי אשכול בננות‬
‫בעל מסה ‪ ,m‬אליו מנסה להגיע הקוף‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪27‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( האם בזמן שהקוף מטפס מעלה‪ ,‬אשכול הבננות עולה‪ ,‬יורד או נותר באותו המקום?‬
‫)ב( האם בזמן שהקוף מטפס מעלה‪ ,‬המרחק בינו לבין אשכול הבננות גדל‪ ,‬קטן או לא משתנה?‬
‫)ג( הקוף משחרר את אחיזתו בחבל‪ .‬מה ניתן לומר על המרחק בינו לבין אשכול הבננות בזמן שהוא נופל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( עולה‪) .‬ב( לא משתנה‪) .‬ג( המרחק לא משתנה‪.‬‬
‫‪3.2.7‬‬
‫קרון נמשך ימינה בתאוצה קבועה ‪ .a‬אל הקרון צמוד גוף שמסתו ‪ .m‬נתון כי בין הגוף לקרונית ישנו חיכוף עם‬
‫מקדם סטטי ‪.µs‬‬
‫‪a‬‬
‫‪m‬‬
‫מה התאוצה המינימלית האפשרית עבורה הגוף לא יחליק ביחס לקרון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪g‬‬
‫‪µs‬‬
‫= ‪amin‬‬
‫‪3.2.8‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ :‬הגלגלות והחוטים אידאלים )חסרי מסה וחיכוך(‪ .‬אין חיכוך בין ‪ m2‬למישור המשופע‪ .‬כמו‬
‫כן נתון‪.m1 = 2 kg ; m2 = 3 kg ; θ = 20◦ :‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪28‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪θ‬‬
‫מהי תאוצת כל אחד מהגופים והמתיחויות בחוטים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪; T1 = 9.84 N ; T2 = 4.92 N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪; a2 = 0.072‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪a1 = 0.036‬‬
‫‪3.2.9‬‬
‫מסה ‪ m1 = 8 kg‬מונחת על מישור משופע בזווית שמשתנה באופן הבא‪ .θ(t) = 0.3t rad :‬עליה מונחת מסה‬
‫‪ .m2 = 6 kg‬בין ‪ m1‬למדרון קיים חיכוך עם מקדמים ‪ ,µs = 0.6 ; µk = 0.55‬ובין ‪ m1‬ל־ ‪ m2‬קיים חיכוך עם‬
‫מקדמים ‪ .µs = 0.8 ; µk = 0.7‬ברגע ‪ t = 0‬משחררים את המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫)‪θ(t‬‬
‫)א( באיזה רגע תתחיל המסה ‪ m1‬להחליק ביחס למדרון?‬
‫)ב( באיזה רגע תתחיל המסה ‪ m2‬להחליק ביחס ל־ ‪?m1‬‬
‫)ג( מהן תאוצות כל אחת מהמסות בכל רגע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 1.8 s‬ב( לעולם לא! )ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪t ≤ 1.8 s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9.8(sin 0.3t − 0.55 cos 0.3t) t > 1.8 s‬‬
‫(‬
‫= )‪a(t‬‬
‫‪3.2.10‬‬
‫אדם שמסתו ‪ m = 80 kg‬נמצא בתוך מעלית פתוחה שמסתה ‪ M = 40 kg‬ומושך עצמו מעלה באמצעות מערכת‬
‫גלגלות כפי שמופיע בשרטוט‪ .‬הגלגלות והחוטים אידיאלים )חסרי מסה וחיכוך(‪.‬‬
‫)א( באיזה כח עליו למשוך את החוט כדי שיעלה במהירות קבועה?‬
‫)ב( באיזה כח עליו למשוך את החוט כדי שיעלה בתאוצה קבועה ‪?a = g‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪29‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪(m+M )g‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪) T‬ב(‬
‫‪(m+M )g‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪T‬‬
‫‪3.2.11‬‬
‫מסה ‪ m1 = 30 kg‬מונחת על שולחן‪ .‬בינה לבין השולחן ישנו חיכוך עם מקדמים ‪ .µs = µk = 0.4‬על ‪ m1‬מונחת‬
‫מסה ‪ .m2 = 10 kg‬בין המסות ישנו חיכוך עם מקדמים ‪ .µs = µk = 0.6‬המסה ‪ m1‬קשורה בחוט אידיאלי למסה‬
‫‪ .m3‬משחררים את המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫)א( מהי המסה המינימלית ‪ m3,min‬הדרושה כדי להניע את המערכת?‬
‫)ב( מהי המסה המקסימלית ‪ m3,max‬עבורה המסה ‪ m2‬תנוע יחד עם המסה ‪ m1‬ולא תחליק עליה?‬
‫)ג( נתון כי ‪ .m3 = 40 kg‬מהן תאוצות כל אחד מהגופים?‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) m3,min = 16 kg‬ב( ‪) m3,max = 100 kg‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪a = 2.94‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪30‬‬
‫‪3.2.12‬‬
‫מסה ‪ m1‬נמצאת על מישור משופע בזווית ‪ .θ‬על ‪ m1‬מונחת מסה ‪ m2‬הקשורה אליה בחוט שכרוך סביב גלגלת‬
‫אידיאלית )חסרת מסה וחיכוך(‪ .‬בין שתי המסות קיים חיכוך עם מקדם קינטי ‪ ,µk‬אך בין המסה ‪ m1‬למישור אין‬
‫חיכוך‪ .‬משחררים את המערכת ממנוחה‪ ,‬והיא מתחילה להחליק‪.‬‬
‫מהי תאוצת המערכת?‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪·g‬‬
‫‪i‬‬
‫‪(m1 −m2 )·sin θ−2µk m2 ·cos θ‬‬
‫‪m1 +m2‬‬
‫‪h‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪3.2.13‬‬
‫שני הגופים שבשרטוט‪ m1 = 8 kg ,‬ו־ ‪ m2 = 6 kg‬מחוברים זה לזה ע״י חוט אחיד שמסתו ‪ .m = 4 kg‬כח‬
‫‪ F = 200 N‬פועל על המסה ‪ m1‬אנכית מעלה‪.‬‬
‫)א( מהי תאוצת המערכת?‬
‫)ב( מהי המתיחות בנקודה העליונה ביותר של החוט?‬
‫)ג( מהי המתיחות בנקודה התחתונה ביותר של החוט?‬
‫)ד( מהי המתיחות בנקודה האמצעית של החוט?‬
‫‪F‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) a = 1.31‬ב( ‪) T = 111.1 N‬ג( ‪) T = 66.66 N‬ד( ‪T = 88.88 N‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪31‬‬
‫‪3.2.14‬‬
‫המערכת המשורטטת יכולה לשמש למדידת תאוצה של מערכת‪ ,‬ע״י מדידת זווית הנטיה של החוט המחובר לכדור‬
‫הקטן )בעל מסה קטנה מאד יחסית ל־ ‪ .(m1‬אין חיכוך במערכת‪.‬‬
‫)א( מצאו את הקשר בין התאוצה לזווית ‪.θ‬‬
‫)ב( נתון ‪ m1 = 30 kg‬ו־ ‪ .m2 = 60 kg‬מהי הזווית ‪?θ‬‬
‫)ג( אם אפשר לשנות את המסות ‪ m1‬ו־ ‪ m2‬כרצוננו‪ ,‬מהי זווית הסטיה המקסימלית האפשרית של החוט?‬
‫‪θ‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) a = g tan θ‬ב( ◦‪) θ = 33.69‬ג( ◦‪θmax = 45‬‬
‫‪3.2.15‬‬
‫במערכת הבאה הגלגלות והחוטים אידיאלים )חסרי מסה וחיכוך(‪ .‬משחחררים את המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫נתון‪ .m1 = 1 kg ; m2 = 4 kg ; , m3 = 3 kg :‬מצאו את‪:‬‬
‫)א( תאוצת המסה ‪ m1‬ביחס לקרקע!‬
‫)ב( תאוצת המסה ‪ m2‬ביחס לקרקע!‬
‫)ג( תאוצת המסה ‪ m3‬ביחס לקרקע!‬
‫‪m3‬‬
‫‪m2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪32‬‬
‫‪m1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ a1 = 5.37‬כלפי מטה‪) .‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ a2 = 6‬כלפי מעלה‪) .‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ a3 = 0.95‬כלפי מעלה‪.‬‬
‫‪3.2.16‬‬
‫אתלט שמסתו ‪ m1‬מטפס על חבל אידאלי )חסר מסה וחיכוך( שכרוך סביב גלגלת אידאלית‪ ,‬ומחובר בצידו השני‬
‫למשקולת ‪ m2‬שמונחת על הקרקע‪ .‬תאוצת האדם היא ‪.a‬‬
‫)א( חשבו את המתיחות בחבל אם נתון כי המסה אינה מתרוממת מהקרקע!‬
‫)ב( מהי התאוצה המקסימלית האפשרית של האתלט ‪ amax‬עבורה המשקולת לא תתרומם מהקרקע?‬
‫)ג( בהנחה שתאוצת האתלט גדולה מ־ ‪ ,amax‬והמסה מתרוממת מהקרקע‪ ,‬מהי תאוצתה?‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )‪) T = m(a + g‬ב(‬
‫‪M −m‬‬
‫‪g‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪) amax‬ג( ‪+ g) − g‬‬
‫‪m‬‬
‫‪(a‬‬
‫‪M‬‬
‫= ‪aM‬‬
‫‪3.2.17‬‬
‫מסה ‪ m = 2 kg‬נמשכת ע״י כח אופקי )‪ F (t‬במעלה מסלול חסר חיכוך שמשוואת המסלול שלו במערכת הצירים‬
‫‪2‬‬
‫הינה ‪ .y = x2‬בכל רגע‪ ,‬מיקומו בציר ‪ x‬הוא ‪.x(t) = 2t‬‬
‫)א( מהו הכח )‪ F (t‬שמושך את הגוף כפונקציה של הזמן?‬
‫)ב( מהו כח הנורמלי שפועל על המסה כפונקציה של הזמן?‬
‫‪y‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪y‬‬
‫)‪F (t‬‬
‫‪x‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪33‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) F (t) = 55.2t N‬ב( ‪~ (t) = (−55.2t, 27.6) N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪3.2.18‬‬
‫אדם שמסתו ‪ m‬עומד על משקל שמונח על עגלה שמתגלגלת במורד מדרון חלק משופע בזווית ‪.α‬‬
‫)א( מהו הכח אותו יראה המשקל במהלך התנועה?‬
‫)ב( מהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי שיאפשר לאדם לא להחליק ביחס למשקל?‬
‫‪α‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) N = mg cos2 α‬ב( ‪µs,min = tan α‬‬
‫‪3.2.19‬‬
‫בשרטוט מתוארות ‪ 3‬מסות ‪ m1 , m2‬ו־ ‪ .m3‬אין חיכוך במערכת‪.‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪F‬‬
‫)א( מהו הכח ‪ F‬שיש להפעיל על המסה ‪ m3‬כדי שהמסות ‪ m1 , m2‬לא יחליקו ביחס אליה?‬
‫)ב( מהי תאוצת המערכת במצב המתואר ב־)א(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪) F = (m2 + m3 ) · m‬ב(‬
‫)א( ‪g‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪g‬‬
‫‪m2‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪3.2.20‬‬
‫‪.α(t) = 20t rad‬‬
‫מסה ‪ m = 1 kg‬נעה עם שולחן עגול שרדיוסו ‪ R = 10 cm‬השולחן מסתובב עם תאוצה זוויתית‬
‫‪s2‬‬
‫נתון כי ברגע ‪ t = 0‬הגוף במנוחה‪ .‬בין המסה לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם ‪ .µ = 3‬כמו כן המסה קשורה בחוט‬
‫לציר הסיבוב‪ .‬המתיחות המקסימלית שיכול לשאת החוט היא ‪.Tmax = 10 N‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪34‬‬
‫‪m‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( באיזה רגע יחליק הגוף ביחס לשולחן?‬
‫)ב( מהי הזווית שסרק הגוף עד לרגע שמצאתם ב־)א(?‬
‫)ג( חוזרים על הניסוי פעם נוספת‪ ,‬אך הפעם מורחים את השולחן בחומר סיכה כך שמקדם החיכוך בינו לבין המסה‬
‫הוא כעת ‪ .µ = 0.5‬באיזה רגע יחליק הגוף ביחס לשולחן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 1.41 s‬ב( ‪) ∆θ = 9.32 rad‬ג( ‪t = 1.1 s‬‬
‫‪3.2.21‬‬
‫מכונית שמסתה ‪ m = 3 ton‬נוסעת בסיבוב ברדיוס ‪ R = 30 m‬על כביש משופע בזווית ◦‪ .θ = 12‬בין המכונית‬
‫לכביש ישנו חיכוף עם מקדם ‪.µ = 4‬‬
‫‪m‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( בתור מהנדס הכביש‪ ,‬מה תורה לכתוב על שלט המורה לגבי המהירות המקסימלית האפשרית עבורה עדין לא‬
‫תהיה החלקה?‬
‫)ב( לפתע הנהג מזהה כי במרחק מה ממנו )לאורך הקשת( יש כתם שמן על הכביש‪ ,‬והוא מבין כי מקדם החיכוך שם‬
‫אפסי‪ .‬הוא מאט כדי לא להחליק באיזור זה‪ .‬מהי מהירות הנסיעה עבורה הוא ימנע מהחלקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) vmax = 90.93‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 7.91‬‬
‫‪3.2.22‬‬
‫מסה ‪ m‬צמודה לדופן של קונוס שמחצית זווית הראש שלו היא ‪ ,θ‬ומסתובבת עם הקונוס במעגל אופקי בגובה ‪h‬‬
‫מקודקודו‪ .‬מקדם החיכוך בין המסה לדופן הוא ‪.µ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪35‬‬
‫‪m‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪h‬‬
‫מצאו את זמן המחזור המינימלי ואת זמן המחזור המקסימלי האפשריים עבור התנועה כדי שהמסה לא תחליק ביחס‬
‫לדופן!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪θ+µs cos θ‬‬
‫)‪θ−µs cos θ‬‬
‫‪; Tmax = 2π R(sin‬‬
‫‪Tmin = 2π R(sin‬‬
‫)‪g(cos θ+µs sin θ‬‬
‫)‪g(cos θ−µs sin θ‬‬
‫‪3.2.23‬‬
‫מסה ‪ m‬מחליקה מטה על פני טריז בעל זווית שיפוע ‪ .θ‬הטריז נמשך בתאוצה קבועה ‪ A‬ימינה‪ .‬בין המסה לטריז‬
‫ישנו חיכוך קינטי עם מקדם ‪.µk = tan θ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪A‬‬
‫מהי תאוצת המסה ביחס לטריז וביחס לקרקע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫תאוצת המסה ביחס לטריז היא‬
‫מטה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪cos θ‬‬
‫= ‪ a′‬בכיוון מורד המדרון‪ ,‬ותאוצת המסה ביחס לקרקע היא ‪ a = A tan θ‬אנכית‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪36‬‬
‫‪3.2.24‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ :‬הגלגלות אידאליות )חסרות מסה וחיכוך( והחוטים אידאלים )חסרי מסה וחיכוך(‪.‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪m2‬‬
‫מהי תאוצת כל אחת מהמסות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪·g‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪4m3‬‬
‫‪− m3‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4m3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1+ m + m3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1−‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪− 1 · g ; a3‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪m2‬‬
‫·‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪+ m3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4m3‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪1+‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪− 1 · g ; a2‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪m1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫= ‪a1‬‬
‫· ‪− 1+ 4m3 + m3‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪3.2.25‬‬
‫מסה ‪ m2‬מונחת על רפצה אופקית חלקה‪ .‬עליה מונחת מסה שניה ‪ .m1‬בין שתי המסות קיים חיכוך עם מקדם קינטי‬
‫‪ .µk‬מעניקים למסה ‪ m1‬מהירות התחלתית ‪.v0‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( מצאו מנקודת מבטו של צופה אינרציאלי על הקרקע את הדרך שתעבור ‪ m1‬על ‪ m2‬עד שתיעצר ביחס אליה‪.‬‬
‫)ב( מצאו מנקודת מבטו של צופה לא אינרציאלי על ‪ m2‬את הדרך שתעבור ‪ m1‬על ‪ m2‬עד שתיעצר ביחס אליה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪v02‬‬
‫‪1 m2‬‬
‫‪2 m1 +m2 µk g‬‬
‫)ב(‬
‫‪v02‬‬
‫‪1 m2‬‬
‫‪2 m1 +m2 µk g‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪37‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫‪4.1‬‬
‫חישוב עבודה‬
‫‪4.1.1‬‬
‫חלקיק יכול לנוע על שלוש מסילות שונות במערכת הצירים הנתונה‪:‬‬
‫‪ (1‬מהראשית לנקודה )‪ (3, 0‬לאורך ציר ‪ x‬ומשם לנקודה )‪ (3, 2‬במקביל לציר ‪.y‬‬
‫‪ (2‬מהראשית לנקודה )‪ (0, 2‬לאורך ציר ‪ y‬ומשם לנקודה )‪ (3, 2‬במקביל לציר ‪.x‬‬
‫‪ (3‬בקו ישר ישירות מהראשית לנקודה )‪.(3, 2‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫הכח השקול שפועל על הגוף בכל רגע הוא ‪.F (~r) = (2 y, 0.5x − y, 0) N‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3, 2‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(0, 2‬‬
‫)‪(3, 0‬‬
‫חשבו את עבודת הכח על החלקיק דרך כל אחד מהמסלולים!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( במסלול ‪) WF~A→B = 7 J :1‬ב( במסלול ‪) WF~A→B = 6.49 J :2‬ג( במסלול ‪WF~A→B = 6.66 J :3‬‬
‫‪4.1.2‬‬
‫גוף שמסתו ‪ M = 500 gr‬נמשך ע״י כח משתנה בזמן )שגודלו וכיוונו אינם קבועים(‪ .‬גודלו של הכח בכל רגע הוא‬
‫‪ F (t) = 3t N‬והזווית שהוא יוצר עם האופק בכל רגע היא ‪ .θ(t) = 1.5t4 rad‬נתון כי מיקומו של הגוף בכל רגע‬
‫הוא ‪.x(t) = 0.5t3 m‬‬
‫‪38‬‬
‫)‪F (t‬‬
‫)‪θ(t‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את עבודת הכח לאחר שיצא מהראשית והתקדם מרחק של ‪.2 m‬‬
‫)ב( הראו שכאשר הגוף התקדם ‪ 2 m‬הוא עדין נמצא על המשטח!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪WF~ = −0.075 J‬‬
‫‪4.1.3‬‬
‫כדור קטן שמסתו ‪ m = 0.04 kg‬מושחל בתוך מסילה דקה שמשוואת המסלול שלה במערכת הצירים היא‬
‫‪ .y = 3x2‬הכדור נע על המסילה ללא חיכוך‪ ,‬אך תחת השפעת כח נורמלי‪ ,‬כח הכובד וכח חיצוני = )‪F~ (~r‬‬
‫‪ ,(5x2 y + e−0.2x , x − 0.3y 2 ) N‬במערכת הצירים הנתונה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y = 3x2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪F (~r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫)א( חשבו את עבודת כל הכוחות בין הנקודות ‪ A‬שנמצאת בגובה ‪ yA = 12 m‬מעל לראשית‪ ,‬ו־ ‪ B‬שמיקומה ראשית‬
‫הצירים‪.‬‬
‫)ב( חשבו את עבודת כל הכוחות בין הנקודות ‪ A‬ו־ ‪ C‬שנמצאות באותו הגובה‪.yA = yC = 12 m ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A→C‬‬
‫‪A→B‬‬
‫‪Wtot‬‬
‫‪) Wtot‬ב( ‪= 196.11 J‬‬
‫)א( ‪= 260 J‬‬
‫‪4.1.4‬‬
‫חרוז שמסתו ‪ m = 1 kg‬נע לאורך מסילה מעגלית‪ ,‬שתחתיתה בראשית הצירים )נקודה ‪ .(A‬רדיוס המסילה‬
‫‪ .R = 0.2 m‬על החרוז פועלים‪ ,‬מלבד כח נורמלי וכח הכובד‪ ,‬גם שני כוחות נוספים‪ :‬כח שגודלו קבוע ‪F1 = 3 N‬‬
‫וכיוונו הפוך למגמת התנועה בכל רגע )משיק למסלול(‪ ,‬וכח תלוי מרחב שכיוונו אנכית מעלה בכל רגע וגודלו‬
‫‪ ,F2 = 2 cos θ‬כאשר ‪ θ‬היא הזווית בין הרדיוס־וקטור לאנך‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪39‬‬
‫‪y‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את עבודת כל הכוחות מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬שנמצאת על הקוטר האופקי‪.‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A→B‬‬
‫‪Wtot‬‬
‫‪= −3.86 J‬‬
‫‪4.1.5‬‬
‫גוף נע לאורך מסלול כך שמיקומו בכל רגע הוא ‪ .~r(t) = t2ˆi + (2t + 1)ˆj − 3tkˆ m‬על הגוף פועל כח‬
‫√‬
‫‪ .F~ (~r) = 2xyˆi + 3 xy 2ˆj N‬נתון כי ברגע ‪ t = 0‬הגוף נמצא בנקודה ‪ A‬וברגע ‪ t = 1 s‬הוא נמצא בנקודה ‪.B‬‬
‫מהי עבודת הכח ~‪ F‬בין הנקודות ‪ A‬ו־ ‪?B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪WF~A→B = 19.6 J‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪40‬‬
‫‪4.2‬‬
‫משפט העבודה־אנרגיה‬
‫‪4.2.1‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪ ,‬ובה המסות נעות במהירות קבועה‪ ,‬כך ש־ ‪ m2‬יורדת‪.‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫המסות‪.m1 = 10 kg ; m2 = 6 kg :‬‬
‫אם נתון כי כל אחת מהמסות התקדמה מרחק של ‪ ,0.5 m‬חשבו את‪:‬‬
‫)א( עבודת כח הכובד על כל אחת מהמסות!‬
‫)ב( עבודת כח המתיחות על כל אחת מהמסות!‬
‫)ג( עבודת כח החיכוך שפועל על ‪!m1‬‬
‫)ד( עבודת הכח הנורמלי שפועל על ‪!m1‬‬
‫)ה( העבודה הכללית שנעשית על הגופים!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) Wm1~g = 0 ; Wm2~g = 29.4 J‬ב( ‪) WT~ ,m1 = −29.4 J ; WT~ ,m2 = 29.4 J‬ג( ‪) Wf~k ,m1 = −29.4 J‬ד(‬
‫‪) WN~ 1 = 0‬ה( ‪Wtot = 0‬‬
‫‪4.2.2‬‬
‫המערכת שבשרטוט משוחררת ממנוחה‪ .‬נתון כי המסות ‪ m1 = 120 kg ; m2 = 3 kg‬וכן שהחוט חסר מסה ואין‬
‫חיכוך בינו לבין הגלגלת‪.‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪1m‬‬
‫‪m2‬‬
‫מצאו משיקולי אנרגיה את מהירות הפגיעה של ‪ m1‬בקרקע‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪41‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 4.32‬‬
‫‪4.2.3‬‬
‫חלקיק קטן נמצא במנוחה בשיאו של כדור חסר חיכוך שרדיוסו ‪ .R‬החלקיק מקבל מכה קטנה‪ ,‬כך שהוא מתחיל‬
‫להחליק ממהירות אפסית על פני הכדור‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫באיזו נקודה על הכדור‪ ,‬החלקיק מתנתק ממנו?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫בנקודה הנמצאת בגובה ‪ 53 R‬מעל לקרקע!‬
‫‪4.2.4‬‬
‫מסה ‪ m = 300 gr‬נעה במהירות‬
‫‪N‬‬
‫‪.k = 20 m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ v0 = 10‬על מישור אופקי חסר חיכוך‪ ,‬ומכווצת קפיץ חסר מסה בעל קבוע‬
‫‪y‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪h‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ?‬
‫)ב( לאחר שהמסה נעצרת‪ ,‬היא מתחילה לנוע ימינה‪ ,‬מתנקת מהקפיץ‪ ,‬ועולה במעלה עקומה שגובהה המירבי מעל‬
‫הקרקע הוא ‪ .h = 40 cm‬בנקודת הניתוק זווית השיפוע ביחס לאופק היא ◦‪.θ = 36.87‬‬
‫)‪ (1‬מהו הגובה המקסימלי אליו מגיעה המסה בתנועתה באוויר?‬
‫)‪ (2‬מהו המרחק האופקי אותו עוברת המסה מרגע הניתוק?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ∆ℓmax = 1.225 m‬ב( )‪9.52 m (2) 2.09 m (1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪42‬‬
‫‪4.2.5‬‬
‫גוף ‪ m = 2 kg‬נעזב ממנוחה בגובה ‪ 50 cm‬מעל קצהו של קפיץ שאורכו הרפוי ‪ ℓ0 = 2 m‬ונמצא על הקרקע‪ .‬קבוע‬
‫הכח של הקפיץ ‪ .k = 50 Nm‬הניחו כי כאשר פוגע הגוף בקפיץ הוא אינו משנה את מהירותו‪ ,‬שכן מסתו של הקפיץ‬
‫זניחה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪50 cm‬‬
‫‪2m‬‬
‫)א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ?‬
‫)ב( מהו הגובה המקסימלי מעל הקרקע אליו יגיע הגוף לאחר שהקפיץ הגיע לכיווץ מקסימלי?‬
‫)ג( כיצד היתה משתנה התשובה ל־)א( אם לכל משך התנועה היה פועל על הגוף כח חיצוני ‪ ,F = 0.2y N‬שמגמתו‬
‫אנכית מעלה? ) ‪ y‬גובהו של הגוף מעל לקרקע בכל רגע(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ∆ℓmax = 1.13 m‬ב( ‪ 2.35 m‬אם נשאר מחובר לקפיץ‪ ,‬ו־ ‪) 2.5 m‬חוזר לגובה ההתחלתי( אם לא מחובר לקפיץ‪.‬‬
‫)ג( ‪∆ℓmax = 1.11 m‬‬
‫‪4.2.6‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m‬מחליק ללא חיכוך על המסילה שבשרטוט‪ .‬הוא מתחיל לנוע ממנוחה מהנקודה ‪.A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)א( מהו הגובה המינימלי של ‪ A‬עבורו ישלים הגוף סיבוב שלם על המסילה?‬
‫)ב( בתנאים של )א(‪ ,‬מהו הכח הנורמלי שפועל על הגוף בנקודה ‪?B‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪43‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) hmin = 2.5R‬ב( ‪NB = 3mg‬‬
‫‪4.2.7‬‬
‫מסה ‪ m = 2 kg‬משוחררת ממנוחה על מדרון משופע בזווית ◦‪ ,θ = 53.13‬במרחק ‪ x0 = 2 m‬מקצהו של קפיץ חסר‬
‫‪N‬‬
‫‪ .K = 50 m‬בין המסה למדרון ישנו חיכוך עם מקדמים ‪.µs = 0.5 ; µk = 0.3‬‬
‫מסה בעל קבוע‬
‫‪m‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪θ‬‬
‫)א( מהי מהירות המסה מיד לפני הפגיעה בקפיץ?‬
‫)ב( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ?‬
‫)ג( המסה חוזרת ומטפסת שוב במעלה המדרון‪ .‬מהו המרחק מנקודת ההתחלה אליו היא מצליחה להגיע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 4.93‬ב( ‪) 1.26 m‬ג( ‪1.19 m‬‬
‫‪4.2.8‬‬
‫גוף ‪ m = 2 kg‬מחובר לשני קפיצים בעלי קבועים ‪ k1 = 500 Nm ; k2 = 1000 Nm‬כמשורטט‪ .‬במצב שווי המשקל‪,‬‬
‫שני הקפיצים רפויים‪ .‬מסיטים את המסה ‪ 10 cm‬ימינה ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( מהי המהירות המקסימלית של הגוף?‬
‫)ב( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ השמאלי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) vmax = 2.74‬ב( ‪10 cm‬‬
‫‪4.2.9‬‬
‫מסה ‪ m1 = 10 kg‬קשורה לשני קפיצים‪ .‬הקפיץ הימני בעל קבוע ‪ k1 = 20 Nm‬והקפיץ השמאלי בעל קבוע‬
‫‪ .k2 = 40 Nm‬בנקודת שווי המשקל הקפיץ הימני מתוח במידה ‪ .∆ℓ1 = 20 cm‬מסיטים את המסה ימינה מרחק של‬
‫‪ 20 cm‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪44‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( מהי המתיחה של הקפיץ השמאלי במצב שווי המשקל?‬
‫)ב( מהי המהירות המקסימלית של המסה בתנועתה?‬
‫)ג( מהו המרחק המקסימלי משמאל לנקודת שווי המשקל אליו יגיע הגוף?‬
‫)ד( מהי מהירות המסה כאשר היא נמצאת ‪ 5 cm‬מימין לנקודת שווי המשקל?‬
‫)ה( היכן נמצאת המסה כאשר מהירותה היא ‪?0.1 ms‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 10 cm‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) vmax = 0.49‬ג( ‪) 20 cm‬ד(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 0.47‬ה( ‪±1.96 m‬‬
‫‪4.2.10‬‬
‫מותחים קפיץ מעבר לגבול מסוים‪ ,‬כך שהכח שהוא מפעיל מתנהג באופן הבא‪ F = −10x + 100x3 N :‬כאשר‬
‫‪ x‬מידת המתיחה‪/‬כיוון של הקפיץ‪ .‬מניחים את הקפיץ על מישור אופקי‪ ,‬מקבעים את צידו האחד לקיר‪ ,‬ומצמידים‬
‫לצידו השני גוף שמסתו ‪ .m = 1 kg‬מכווצים את הקפיץ עם הגוף בשיעור של ‪.15 cm‬‬
‫מה תהיה מהירותו של הגוף כאשר ישתחרר מהקפיץ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 0.45‬‬
‫‪4.2.11‬‬
‫גוף מונח על שולחן אופקי ומחובר לשני קפיצים בעל קבוע כח זהה ‪ .k‬במצב שווי המשקל הקפיצים נמצאים על‬
‫אותו הציר ואינם מתוחים או מכווצים‪ .‬מושכים את הגוף ימינה כך שהקפיצים נמתחים כמשורטט‪.‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2ℓ‬‬
‫‪k‬‬
‫)א( חשבו את העבודה שמשקיעים הקפיצים בהעברת הגוף מהמצב המתואר לנקודת שווי המשקל!‬
‫)ב( חשבו את מהירות הגוף בנקודת שווי המשקל!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪45‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.17kℓ2‬ב(‬
‫‪0.34kℓ2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4.2.12‬‬
‫מטוטלת שאורכה ‪ L‬יכולה להתנודד במישור אנכי‪ .‬מתחת לנקודת החיבור של החוט עם התקרה‪ ,‬במרחק ‪ d‬תקוע‬
‫מסמר קטן‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪L‬‬
‫מסמר‬
‫)א( הראו כי אם המסה משוחררת מגובה נמוך יותר מאשר גובהו של המסמר‪ ,‬היא תחזור לנקודת ההתחלה לאחר‬
‫הפגיעה במסמר!‬
‫◦‬
‫)ב( הראו כי אם המסה משוחררת מהאופק ) ‪ (θ = 90‬היא תשלים סיבוב שלם אך ורק אם מתקיים כי הערך המינימלי‬
‫של ‪ d‬הוא ‪!dmin = 3L5‬‬
‫‪4.2.13‬‬
‫שרשרת בעלת מסה ‪ M‬ואורך ‪ L‬מונחת על שולחן כך ש־ ‪ 1/4‬ממנה תלויה באויר‪ ,‬כמשורטט‪ .‬מושכים את השרשרת‬
‫ימינה‪ ,‬במהירות קטנה מאד‪.‬‬
‫משיכה‬
‫כמה עבודה הושקעה בתהליך המשיכה עד שכל השרשרת נמצאת על השולחן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪M gL‬‬
‫‪32‬‬
‫= ‪W‬‬
‫‪4.2.14‬‬
‫מסה ‪ m = 0.2 kg‬נעה על מסלול חלק שמשוואות המסלול שלו הינה ‪ .y = 5 − 0.7x2‬המסה מחוברת אל קפיץ‬
‫‪N‬‬
‫‪ ,k = 17 m‬שקצהו השני מחובר לראשית הצירים )ראו שרטוט(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬המסה נמצאת בנקודה‬
‫שקבוע הכח שלו‬
‫‪ .A‬במצב זה‪ ,‬הקפיץ רפוי‪ .‬על המסה פועל בנוסף לכוחות האחרים גם כח חיצוני ‪.F~ = (y − 2x, e−2y + x2 ) N‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪46‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫~‪F‬‬
‫‪y = 5 − 0.7x2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫)א( מהי המהירות המינימלית שיש להעניק למסה בנקודה ‪ A‬כדי שתגיע לנקודה ‪?B‬‬
‫)ב( מעניקים למסה מהירות ‪ vA = 20 ms‬בנקודה ‪.A‬‬
‫‪ (1‬האם רכיב התאוצה של המסה בציר ‪ y‬בנקודה ‪ B‬תהיה חיובית‪ ,‬שלילית או אפס?‬
‫‪ (2‬באיזו מהירות יפגע הגוף בקרקע‪ ,‬בנקודה ‪?C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) vA = 14.65‬ב( ‪ (1‬שלילית‪(2 .‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪vC = 24.04‬‬
‫‪4.2.15‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‬
‫‪m1‬‬
‫◦‪70‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m2‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.m1 = 2 kg ; m2 = 3 kg ; m = 1 kg ; k = 300‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪47‬‬
‫בין המסה ‪ m1‬לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם קינטי ‪.µk = 2.3‬‬
‫ברגע ‪ t = 0‬מותחים את הקפיץ ‪ ∆ℓ = 1 m‬ביחס לרפיון ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫)א( מה עבודת כח החיכוך מרגע ‪ t = 0‬ועד שהקפיץ חוזר למצב רפוי?‬
‫)ב( מהי מהירותה של כל מסה ברגע שהקפיץ חוזר למצב רפוי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) Wf~k = −15.42 J‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪; v2 = 5.04‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v1 = 2.52‬‬
‫‪4.2.16‬‬
‫כדור קטן בעל מסה ‪ m = 100 gr‬נע לאורך מסילה חלקה שמשוואת המסלול שלה היא ‪ .y = 2 sin x‬על הכדור‬
‫פועל בנוסף לכח הכובד )בכיוון ‪ (−ˆy‬ולכח הנורמלי גם כח חיצוני ‪ .F~ (~r) = (2y 2 , −x − y) N‬הכדור מתחיל לנוע‬
‫ממנוחה מהנקודה ‪.A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪5π‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪F (~r‬‬
‫‪3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫)א( מהי מהירות הכדור כאשר הוא עובר בנקודה ‪?B‬‬
‫)ב( האם רכיב התאוצה ‪ ay‬בנקודה ‪ B‬הוא חיובי‪ ,‬שלילי או אפס‪ ,‬במערכת הצירים הנתונה?‬
‫)ג( מהי מהירות הכדור כאשר הוא עובר בנקודה ‪?C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) vB = 24.1‬ב( חיובי‪) .‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪vC = 15.9‬‬
‫‪4.2.17‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ k = 10 m‬ונעה על מישור משופע‪ .‬על המסה פועל כח‬
‫מסה ‪ m = 800 gr‬מחוברת לקפיץ בעל קבוע כח‬
‫‪ F~ (~r) = 10xyˆj N‬במערכת הצירים הנתונה‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הגוף נמצא במיקום ‪ ,~r0 = (2, 1) m‬והוא מתחיל לנוע‬
‫ממנוחה‪ .‬ברגע זה‪ ,‬הקפיץ רפוי!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪48‬‬
‫‪y‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪F (~r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו מיקום המסה חלקיק שניה לפני שהיא מתנתקת מהמדרון?‬
‫)ב( מהי מהירות המסה חלקיק שניה לפני שהמסה מתנתקת מהמדרון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) (2.8, 1.4) m‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪3.79‬‬
‫‪4.2.18‬‬
‫שרשרת אחידה בעלת מסה ‪ M‬ואורך ‪ L‬מונחת על שולחן כך ש־ ‪ 1/2‬ממנה נמצא באוויר‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬משחררים‬
‫את השרשרת ממנוחה‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫)א( מהי מהירות השרשרת כאשר הקצה שלה עוזב את השולחן?‬
‫)ב( חזרו על החישוב של סעיף )א( עבור מצב שבו בין השרשרת לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם ‪!µk‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪3‬‬
‫‪gL‬‬
‫‪4‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪) v‬ב(‬
‫‪3−µk‬‬
‫‪gL‬‬
‫‪4‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪4.2.19‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק מסוים היא ‪J‬‬
‫‪B‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪ ,U(r‬כאשר ‪ r‬המרחק של החלקיק מנקודה מסויימת‪,‬‬
‫וכמו כן ‪ A‬ו־ ‪ B‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הקבועים ‪ A‬ו־ ‪?B‬‬
‫)ב( מצאו את מרחק נקודת שווי המשקל ‪ .r0‬הראו כי מדובר בשווי משקל יציב!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪49‬‬
‫)ג( חשבו את אנרגיית היוניזציה ‪ ,E0‬כלומר את האנרגיה שיש להשקיע כדי להרחיק גוף מ־ ‪ r0‬לאינסוף!‬
‫√‬
‫√‬
‫= ‪?~r2‬‬
‫)ד( מהי עבודת הכח שנגזר מ־ )‪ U(r‬כשהחלקיק עובר מנקודה ‪ ~r1 = ( 2r0 , 2r0 ) m‬לנקודה ‪m‬‬
‫יש לבטא בעזרת ‪.E0‬‬
‫‪3E0‬‬
‫)ה( נתון כי האנרגיה הכללית של החלקיק היא ‪ ,E = − 4‬וכן שתנועתו רדיאלית בלבד‪ .‬מצאו את הנקודות בהן‬
‫המהירות מתאפסת!‬
‫) ‪( √r02 , √r02‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) [A] = J · m2 ; [B] = Jm‬ב(‬
‫‪2A‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪) r0‬ג(‬
‫‪B2‬‬
‫‪4A‬‬
‫= ‪) E0‬ד(‬
‫‪B2‬‬
‫‪16A‬‬
‫=‬
‫‪E0‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪) W‬ה(‬
‫‪4A‬‬
‫‪B‬‬
‫=‪; r‬‬
‫‪4A‬‬
‫‪3B‬‬
‫=‪r‬‬
‫‪4.2.20‬‬
‫ארגז מקבל מהירות התחלתית ‪ v0‬בתחתית מדרון משופע בזווית ‪ .α‬המשטח מרוח בחומר שצפיפותו משתנה כך‬
‫שמקדמי החיכוך הסטטי והקינטי אינם קבועים ‪ ,µs(x) = µk (x) = Cx‬כאשר תחתית המדרון ‪ ,x = 0‬ו־ ‪ C‬קבוע‬
‫כלשהו בעל יחידות פיסיקליות ‪.[C] = m−1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪α‬‬
‫הראו כי כאשר הארגז עוצר‪ ,‬הוא ישאר במנוחה אם‬
‫‪3g sin2 α‬‬
‫‪C cos α‬‬
‫≥ ‪.v02‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪50‬‬
‫‪ 4.3‬הספק‬
‫‪4.3.1‬‬
‫כמה אנרגיה )בג׳ולים( צורכת נורה של ‪ 100 W att‬שדולקת במשך שעה? באיזו מהירות צריך אדם ששוקל ‪70 kg‬‬
‫לרוץ כדי שתהיה לו אנרגיה קינטית כזו?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪E = 3.6 · 105 J ; v = 101.4‬‬
‫‪4.3.2‬‬
‫מכונית שמסתה ‪ 2000 kg‬נוסעת במעלה מדרון משופע בזווית ◦‪ 7‬במהירות קבועה‬
‫המנוע?‬
‫‪km‬‬
‫‪hr‬‬
‫‪ .v = 30‬מהו ההספק שיוצר‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪P = 19905 W‬‬
‫‪4.3.3‬‬
‫מסה ‪ m = 10 kg‬נעה לאורך ציר ‪ x‬בהשפעת כח משמר כך שהאנרגיה הפוטנציאלית שלה נתונה ע״י = )‪U(x‬‬
‫]‪ .100[cos 2x − 1‬נתון כי כאשר היתה המסה בנקודה ‪ x = 0‬האנרגיה הכללית שלה היתה ‪ .E = 80 J‬מהו הספק‬
‫הכח כאשר המסה נמצאת בנקודה ‪?x = 0.5 m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪P = 844.73 W‬‬
‫‪4.3.4‬‬
‫סירה שמסתה ‪ m = 300 kg‬נעה בנהר‪ .‬המים מפעילים על הסירה כח התנגדות פרופורציוני למהירות שגודלו ‪,λv 2‬‬
‫כאשר ‪ λ‬קבוע כלשהו‪ .‬מנועה של הסירה מספק הספק של ‪ 20 kW‬כך שהסירה נעה במהירות קבועה ‪.10 ms‬‬
‫)א( מהו הקבוע ‪?λ‬‬
‫)ב( מכבים את המנוע‪ .‬תוך כמה זמן תרד מהירות הסירה פי ‪?4‬‬
‫)ג( איזה מרחק עברה הסירה מרגע הכיבוי של המנוע ועד לרגע שמצאתם ב־)ב(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪kg‬‬
‫‪m‬‬
‫‪) λ = 20‬ב( ‪) t = 4.5 s‬ג( ‪x = 20.8 m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫מתקף ותנע‬
‫‪ 5.1‬מתקף־תנע של גוף נקודתי‬
‫‪5.1.1‬‬
‫כדור בעל מסה ‪ 1 kg‬נע במהירות‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .6‬מהו הכח )הקבוע( שיש להפעיל עליו כדי שיעצר לאחר ‪?t = 8 · 10−4 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ 7500 N‬הפוך למגמת התנועה‪.‬‬
‫‪5.1.2‬‬
‫‪ .20‬בשתי השניות הראשונות הפעיל עליו כח הכובד מתקף שגודלו ‪.8 N · s‬‬
‫גוף נזרק אנכית מעלה במהירות‬
‫)א( מהי מסתו של הגוף?‬
‫)ב( מהי מהירותו של הגוף לאחר שתי שניות?‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.41 kg‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪0.49‬‬
‫‪5.1.3‬‬
‫כדור בייסבול שנע במהירות ‪ 20 ms‬בכיוון מסוים‪ ,‬מקבל מכה ממחבט כך שמהירותו רגע לאחר המכה הינה‬
‫בכיוון ההפוך‪ .‬נתון כי מסת הכדור היא ‪ 0.25 kg‬וכן שזמן המגע בין המחבט לכדור היה ‪ .0.01 s‬מהו הכח הממוצע‬
‫שהפעיל המחבט על הכדור?‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1250 N‬‬
‫‪52‬‬
‫‪30‬‬
‫התנגשויות והתפוצצויות‬
‫‪5.2‬‬
‫‪5.2.1‬‬
‫מסה ‪ m1 = 1 kg‬נעה על משטח חלק במהירות‬
‫בה התנגשות פלסטית‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ v1 = 10‬אל עבר מסה ‪ m2 = 1.5 kg‬שנמצאת במנוחה‪ ,‬ומתנגשת‬
‫‪v1‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( מהי מהירות הגופים לאחר ההתנגשות?‬
‫)ב( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בהתנגשות?‬
‫)ג( מהו המתקף שפעל על המסה ‪ m1‬במהלך ההתנגשות?‬
‫)ד( אם נתון כי משך ההתנגשות היה ‪ ,t = 0.1 s‬חשבו את הכח הנורמלי הממוצע‪ ,Nav ,‬שהפעילו הגופים זה על זה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 4‬ב( ‪) 60%‬ג( ‪ 6 N · s‬שמאלה‪) .‬ד( ‪Nav = 60 N‬‬
‫‪5.2.2‬‬
‫עגלה שמסתה ‪ M = 200 kg‬נעה במהירות ‪ V = 15 ms‬על קרקע חלקה‪ .‬שק מלט שמסתו ‪ m = 20 kg‬נזרק אנכית‬
‫מטה לכיוון העגלה במהירות ‪ v = 3 ms‬מגובה ‪.12 m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫)א( מהי מהירות העגלה לאחר שהשק צנח עליה?‬
‫)ב( מהו המתקף שמפעילה הקרקע על הגופים במהלך התנועה?‬
‫)ג( מה היה משתנה בתשובות ל־)א( ול־)ב( אילו השק היה נזרק מגובה נמוך יותר?‬
‫)ד( בתחתית העגלה נפער לפתע חור והשק צונח דרכו‪ .‬מהי מהירות העגלה לאחר מכן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 13.64‬ב( ‪ 312.6 N · s‬אנכית מעלה‪) .‬ג( התשובה ל־)א( לא משתנה והתשובה ל־)ב( קטנה‪) .‬ד(‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪53‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪13.64‬‬
‫‪5.2.3‬‬
‫קליע קטן שמסתו ‪ m‬פוגע במהירות ‪ v‬בבול עץ שמסתו ‪ ,M‬ויוצא לאחר זמן קצר מאד מצידו השני במהירות ‪. v2‬‬
‫לאחר ההתנגשות בול העץ מבצע תנועה מעגלית מכיוון שהוא קשור בחוטי שאורכו ‪ ℓ‬לנקודה כלשהי‪.‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v‬‬
‫מה צריכה להיות המהירות המינימלית ‪ vmin‬כדי שבול העץ ישלים סיבוב שלם?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪20gℓ‬‬
‫√‬
‫‪M‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪vmin‬‬
‫‪5.2.4‬‬
‫קליע שמסתו ‪ m = 50 gr‬נע במהירות ‪ v0‬ופוגע במסה ‪ m1 = 1 kg‬נייחת‪ .‬הוא עובר דרך המסה ופוגע במסה שניה‬
‫‪ m2 = 2 kg‬נייחת‪ ,‬ונתקע בה‪ .‬לאחר שהוא עובר דרך המסה הראשונה הוא מעניק לה מהירות ‪ 0.8 ms‬ולאחר שהוא‬
‫נתקע במסה השניה מהירותה ‪.1.5 ms‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( מהי מהירות הקליע לאחר שעבר דרך המסה הראשונה אך לפני שהוא מגיע לשניה?‬
‫)ב( מהי מהירותו ההתחלתית של הקליע‪?v0 ,‬‬
‫)ג( מהי מהירות מרכז המסה של המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 61.5‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 77.5‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1.27‬‬
‫‪5.2.5‬‬
‫מסה ‪ m1 = 7.5 kg‬נעה במהירות ‪ 10 ms‬מזרחה‪ ,‬מתנגשת במסה ‪ m2 = 1.5 kg‬שנעה במהירות‬
‫דרומית למערב‪ .‬אחרי ההתנגשות‪ ,‬שתי המסות נעות יחדיו‪.‬‬
‫מהי מהירותן )גודל וכיוון( של שתי המסות לאחר ההתנגשות?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪54‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 25‬ובכיוון ◦‪30‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪ (4.725, −2.083‬במערכת צירים ובה ציר ‪ x‬בכיוון מזרח וציר ‪ y‬בכיוון צפון‪.‬‬
‫‪5.2.6‬‬
‫בשרטוט הבא מתוארת מערכת שנמצאת על שולחן אופקי חלק‪ ,‬כך שמסתכלים עליו במבט על‪ .‬על השולחן נמצא‬
‫כדור בעל מסה ‪ m1 = 3 kg‬שנע במהירות ‪ v1 = 7 ms‬אל עבר כדור שני שמסתו ‪ m2 = 5 kg‬ונמצא במנוחה‪.‬‬
‫ההתנגשות היא אלסטית ולאחריה המסה ‪ m1‬נעה במאונך לכיוון התנועה המקורי שלה‪ ,‬והמסה ‪ m2‬נעה בזווית ‪φ‬‬
‫מתחת לכיוון התנועה המקורי של ‪.m1‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪φ‬‬
‫)א( מהי מהירותן של שתי המסות לאחר ההתנגשות?‬
‫)ב( חשבו את הזווית ‪!φ‬‬
‫)ג( מהו המתקף של הכח הנורמלי שהפעילה המסה ‪ m1‬על ‪?m2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 3.5 ms ; 4.7 ms‬ב( ◦‪) φ = 26.57‬ג( ‪ J~ = (21, −10.5) N · s‬במערכת צירים ובה ציר ‪ x‬מכוון אופקית שמאלה‬
‫וציר ‪ y‬מכוון אנכית מעלה‪.‬‬
‫‪5.2.7‬‬
‫מסה ‪ m2‬מונחת על הקרקע ומחוברת לקפיץ שקבוע הכח שלו הוא ‪ .k‬קליע בעל מסה ‪ m1‬נורה במהירות ‪ v0‬מתנגש‬
‫וננעץ במסה ‪.m2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫)א( מהי ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ‪:‬‬
‫‪ (1‬אם המשטח חלק?‬
‫‪ (2‬אם בין המסה ‪ m2‬למשטח ישנו חיכוך קינטי עם מקדם ‪?µk‬‬
‫)ב( מהו המתקף שהפעיל הקפיץ על המסות מרגע שמיד לאחר ההתנגשות ועד לכיווץ המקסימלי‪ ,‬במצב בו המשטח‬
‫חלק?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪· v0 (1‬‬
‫שמאלה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫·‬
‫‪m21‬‬
‫‪m1 +m2‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪(2 ∆ℓmax‬‬
‫‪km 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪·v2‬‬
‫‪1 +m2 0‬‬
‫‪µ2k (m1 +m2 )2 g 2 + m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−µk (m1 +m2 )g+‬‬
‫= ‪) ∆ℓmax‬ב( ‪ J = m1 v0‬בכיוון‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪55‬‬
‫‪5.2.8‬‬
‫מטוטלת ובה אורך החוט ‪ L = 0.5 m‬והמסה הקשורה אליו היא ‪ m = 2 kg‬משוחררת ממנוחה מגובה מסוים כך‬
‫שהזווית שיוצר החוט עם האנך היא ◦‪ .α = 45‬בתחתית מסלולה היא מתנגשת במסה ‪ M = 5 kg‬נייחת‪ .‬ידוע כי‬
‫אחרי ההתנגשות המטוטולת חוזרת חזרה ומגיעה לזווית מקסימלית ◦‪.β = 25‬‬
‫‪y‬‬
‫‪L α‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫מצאו את המרחק אותו עוברת המסה ‪ M‬מרגע הפגיעה‪ ,‬אם נתון כי בינה לבין המשטח ישנו חיכוך קינטי עם מקדם‪:‬‬
‫)א( קבוע ‪.µk = 0.4‬‬
‫‪L‬‬
‫)ב( משתנה במרחב ‪ ,µk (x) = 0.4 x‬כאשר ‪ x = L‬מיקום המסה ‪ M‬ביחס לראשית לפני ההתנגשות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.143 m‬ב( ‪0.166 m‬‬
‫‪5.2.9‬‬
‫‪N‬‬
‫במערכת הבאה לקפיץ יש קבוע כח‬
‫‪ ,k = 24 m‬והמסות ‪ .m1 = 2 kg ; m2 = 1.5 kg‬המערכת נמצאת במנוחה על‬
‫מישור אופקי חלק‪ .‬ברגע מסוים נותנים דחיפה למסה ‪ m2‬כך שהיא מתחילה לנוע‬
‫במהירות ‪.v0 = 6 ms‬‬
‫‪v‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫)א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ?‬
‫)ב( ברגע מסוים המסה ‪ m2‬נעצרת )רגעית(‪ .‬מהי מהירות המסה ‪ m1‬ברגע זה‪ ,‬ומהי מידת הכיווץ של הקפיץ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ∆ℓmax = 1.13 m‬ב( ‪; ∆ℓ = 0.45 m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 4.5‬‬
‫‪5.2.10‬‬
‫כדור בעל מסה ‪ 2m‬מחליק על פני משטח אופקי חלק במהירות ‪ .~v = v0ˆi‬הוא מתנגש בכדר שני נייח בעל מסה ‪.m‬‬
‫לאחר ההתנגשות הכדור שמסתו ‪ m‬נע במהירות שגודלה ‪ v20‬בזווית ◦‪ 30‬ביחס לציר ‪.x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪2‬‬
‫◦‬
‫‪v0‬‬
‫‪30‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪56‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2m‬‬
‫)א( מהי מהירותו של הכדור שמסתו ‪) 2m‬גודל וכיוון( לאחר ההתנגשות?‬
‫)ב( האם ההתנגשות אלסטית )לחלוטין(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 0.793‬בזווית ◦‪ 9.06‬מתחת לציר ‪) .x‬ב( לא!‬
‫‪5.2.11‬‬
‫‪ v = 12‬על מישור אופקי‪ .‬לפתע מתחיל לרדת גשם‬
‫קרונית שמסתה ‪ M = 10 ton‬מתגלגלת במהירות קבועה‬
‫אנכית מטה‪.‬‬
‫אם נתון כי נפח הקרונית הוא ‪ V = 8 m3‬וכן שצפיפות המסה של טיפות המים היא‬
‫המהירות הסופית של העגלה כאשר היא מלאה במים!‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪kg‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪ ,ρ = 998.2‬חשבו את‬
‫‪v‬‬
‫‪M‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪vf inal = 6.67‬‬
‫‪5.2.12‬‬
‫מחליק שמסתו ‪ m1 = 60 kg‬נמצא על סקייטבורד שמסתו ‪ .m2 = 3 kg‬בידיו של המחליק נמצאות שתי משקולות‬
‫בעלות מסה ‪ m3 = 5 kg‬כ״א‪ .‬כל המערכת במנוחה‪ ,‬וברגע מסוים משליך המחליק את אחת המשקולות בכיוון‬
‫האופקי בכל כוחו‪ ,‬כך שמהירותה ברגע ההשלכה היא ‪ v3 = 8 ms‬ביחס למשליך! לאחר זמן מה משליך המחליק גם‬
‫את המסה השניה בכל כוחו‪ ,‬באותו הכיוון‪.‬‬
‫)א( מה תהיה מהירותו של המחליק לאחר הזריקה השניה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪57‬‬
‫)ב( הסבירו כיצד יתכן כי בתחילה האנרגיה הכוללת היתה אפס‪ ,‬ואחרי הזריקה הראשונה‪ ,‬יש הן למשקולת והן‬
‫למשליך אנרגיות קינטיות‪ .‬האם מקרה זה סותר את חוק שימור האנרגיה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 1.22‬ב( אין סתירה!‬
‫‪5.2.13‬‬
‫מסה ‪ m1 = m‬נעה על שולחן אופקי חסר חיכוך במהירות ‪ v1 = 3v0‬ומתנגשת במסה ‪ m2 = 2m‬נייחת‪ .‬לאחר‬
‫√‬
‫ההתנגשות המסה ‪ m‬נעה במהירות ‪ u1 = 5v0‬בזווית ◦‪ θ1 = 63.43‬ביחס לכיוון המקורי‪ ,‬והמסה ‪ m2‬נעה במהירות‬
‫‪ u2‬בזווית ‪ θ2‬ביחס לכיוון המקורי‪.‬‬
‫‪u‬‬
‫‪1‬‬
‫‪θ1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪θ2‬‬
‫‪u2‬‬
‫)א( מצאו את ‪) u2‬כפונקציה של ‪ (v0‬ואת ‪.θ2‬‬
‫)ב( האם ההתנגשות אלסטית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫√‬
‫)א( ◦‪) u2 = 2v0 ; θ2 = 45‬ב( כן!‬
‫‪5.2.14‬‬
‫גוף ‪ m = 1 kg‬נזרק אנכית מטה במהירות‬
‫בעל קבוע ‪.k = 100 Nm‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ v0 = 10‬מגובה ‪ 2 m‬מעל מסה ‪ M = 5 kg‬שנמצאת במנוחה על קפיץ‬
‫‪m‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪M‬‬
‫מצאו את הכיווץ המקסימלי של הקפיץ אם נתון כי‪:‬‬
‫)א( ההתנגשות היא פלסטית‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪58‬‬
‫)ב( ההתנגשות היא אלסטית‪.‬‬
‫)ג( ההתנגשות לא לחלוטין אלסטית‪ ,‬וידוע שהגוף ‪ m‬מקבל מהירות‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ u = 1‬כלפי מעלה מיד לאחר ההתנגשות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ∆ℓmax = 1.08 m‬ב( ‪) ∆ℓmax = 1.37 m‬ג( ‪∆ℓmax = 0.97 m‬‬
‫‪5.2.15‬‬
‫שני פגזים זהים מורכבים מקליע בעל מסה ‪ M‬ותרמיל בעל מסה ‪ .m‬כאשר פגז שכזה מתפוצץ‪ ,‬למערכת נוספת‬
‫אנרגיה קינטית בגובה ‪ .U‬יורים את שני הקליעים בצורות הבא‪:‬‬
‫פגז )‪ (1‬־ הפגז נורה ממנוחה בנקודה ‪.A‬‬
‫פגז )‪ (2‬־ מניחים לפגז ליפול )הקליע בכיוון התנועה( מהנקודה ‪ A‬לאורך מסילה אנכית המחוברת למסילה חצי‬
‫מעגלית )חסרות חיכוך(‪ ,‬וכאשר הוא מגיע לנקודה ‪ B‬הוא נורה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫קליע )‪(2‬‬
‫)א( איזה קליע יגיע לגובה גדול יותר?‬
‫)ב( האם התוצאה הקודמת סותרת את חוק שימור האנרגיה? הסבירו!‬
‫‪h‬‬
‫‪B‬‬
‫קליע )‪(1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( קליע ‪) .2‬ב( לא!‬
‫‪5.2.16‬‬
‫עגלה שמסתה ‪ M‬עומדת על משטח אופקי חלק‪ .‬צורתה של העגלה היא חצי מעגל שרדיוסו ‪ .R‬מניחים מסה‬
‫נקודתית ‪ m‬בקצה השמאלי העליון של העגלה ומשחררים ממנוחה‪ .‬המסה ‪ m‬מחליקה על העגלה ללא חיכוך‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪59‬‬
‫‪m‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫)א( האם התנע הקווי והאנרגיה הכללית נשמרים במהלך התנועה במערכת הגופים? רשמו את משוואות השימור!‬
‫)ב( מהי מהירות כל אחת מהמסות כאשר ‪ m‬עוברת בנקודה התחתונה ביותר?‬
‫)ג( האם המסה ‪ m‬תגיע לקצה הימני העליון של העגלה? אם כן‪ ,‬מה תהיה מהירותה ברגע זה? אם לא‪ ,‬מהו הגובה‬
‫המקסימלי אליו היא מגיעה ביחס לנקודה התחתונה ביותר?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( האנרגיה הכללית והתנע הקווי בציר האופקי נשמרים‪) .‬ב(‬
‫תהיה אפס‪.‬‬
‫‪2gR‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1+ M‬‬
‫‪q‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫= ‪; vM‬‬
‫‪2gR‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1+ M‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪) vm‬ג( כן‪ ,‬ומהירותה‬
‫‪5.2.17‬‬
‫שני טריזים בעלי מסה ‪ M‬כל אחד מונחים על מישור אופקי חלק‪ ,‬כמתואר בשרטוט‪ .‬גוף נקודתי בעל מסה ‪ m‬מונח‬
‫על הטריז השמאלי בגובה ‪ h‬מהקרקע‪ ,‬ונעזב ממנוחה‪.‬‬
‫הניחו כי המעבר של הגוף מהטריז לקרקע ושוב לטריז השני הוא חלק ללא איבוד אנרגיה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪h‬‬
‫‪M‬‬
‫)א( מהי מהירות המסה ‪ m‬כאשר היא מגיעה לקרקע?‬
‫)ב( מהו הגובה המקסימלי על הטריז השני אליו יגיע הגוף?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪2gh‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1+ M‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪) v‬ב( ‪· h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m+M‬‬
‫= ‪hmax‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪60‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 5.3‬מרכז מסה‬
‫‪5.3.1‬‬
‫ברגע מסוים‪ ,‬מיקום מרכז המסה של שני חלקיקים הוא ‪ ~rc.m = (4, 0) m‬ומהירות מרכז המסה היא ‪.~vc.m. = (4, 0) ms‬‬
‫במצב זה אחד מהחלקיקים נמצא בראשית הצירים בעוד החלקיק השני‪ ,‬בעל מסה ‪ ,m2 = 10 gr‬נמצא במנוחה‬
‫במיקום ‪.~r2 = (5, 0) m‬‬
‫)א( חשבו את מסתו של החלקיק הראשון!‬
‫)ב( מהו התנע של מרכז המסה במצב המתואר בשאלה?‬
‫)ג( מהי מהירותו של החלקיק הראשון במצב המתואר בשאלה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) m1 = 2.5 gr‬ב( ‪) P~ = (0.05, 0) N · s‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪v1 = (20, 0‬‬
‫‪5.3.2‬‬
‫שני לולינים שמסת כל אחד מהם ‪ m‬מבצעים תרגיל אקרובטי ובו הם נורים מלוע של תותח שמתסו ‪ M‬בזווית ‪α‬‬
‫לאופק‪ ,‬במהירות ‪ .v0‬בשלב מסוים של התעופה‪ ,‬הם דוחפים זה את זה ונפרדים‪ ,‬כך שכל אחד מהם נוחת במקום‬
‫אחר על פני הקרקע‪ .‬ידוע כי שני הלולינים מגיעים באותו הרגע לקרקע‪ ,‬וכן שמיקומו של אחד מהם הוא ‪.x1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪xc.m.‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪0‬‬
‫)א( היכן נוחת הלולין השני?‬
‫)ב( מהי מהירות הרתיעה של התותח?‬
‫)ג( מהו המתקף שהפעילה הקרקע על התותח?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪sin 2α − x1‬‬
‫‪2v02‬‬
‫‪g‬‬
‫= ‪) x2‬ב( ‪· v0 cos α‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪M‬‬
‫)ג( ‪2mv0 sin α‬‬
‫‪5.3.3‬‬
‫אישה שמסתה ‪ m = 50 kg‬נמצאת על רפסודה שמסתה ‪ .M = 250 kg‬היא נמצא מרחק של ‪ 1 m‬מקצה הרפסודה‪,‬‬
‫ונעה עד שהיא מגיעה למרחק של ‪ 1 m‬מהקצה השני‪ .‬אורכה של הרפסודה הוא ‪.10 m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪61‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1m‬‬
‫‪1m‬‬
‫‪8m‬‬
‫כמה זזה הרפסודה בתהליך זה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1.33 m‬‬
‫‪5.3.4‬‬
‫אדם שמסתו ‪ m = 50 kg‬עומד בקצה סירה שמסתה ‪ M = 120 kg‬ואורכה ‪ L = 6 m‬ומתחיל ללכת עליה לעבר‬
‫הקצה השני במהירות קבועה ‪.v = 4 ms‬‬
‫‪L‬‬
‫‪v‬‬
‫)א( מהי מהירות הסירה בזמן שהאדם הולך עליה?‬
‫)ב( כמה זמן עבר עד שהגיע לקצה השני של הסירה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 1.67‬ב( ‪1.06 s‬‬
‫‪5.3.5‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m = 6 kg‬חופשי לנוע ללא חיכוך על מישור משופע שמסתו ‪ M = 18 kg‬בזווית ◦‪ .θ = 32‬המישור‬
‫המשופע מונח על שולחן חסר חיכוך‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬משוחרר הגוף ממנוחה מהנקודה ‪ B‬שגובהה מפני השולחן‬
‫‪.H = 4 m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪62‬‬
‫‪B‬‬
‫‪m‬‬
‫‪g‬‬
‫‪H‬‬
‫‪M‬‬
‫‪θ‬‬
‫)א( איזה מרחק אופקי‪ ,‬יחסית לשולחן‪ ,‬תעבור כל אחת מהמסות עד שהגוף יגיע לשולחן?‬
‫)ב( מהי מהירות כל אחת מהמסות ברגע שהגוף יגיע לשולחן?‬
‫)ג( מהו גודלו של הכח הנורמלי שפועל על כל אחד מהגופים?‬
‫)ד( באיזה רגע הגיע הגוף לשולחן?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 4.8 m ; 1.6 m‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪; 6.218‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 2.073‬ג( ‪) 45.62 N‬ד( ‪0.82 s‬‬
‫‪5.3.6‬‬
‫מצאו את מרכז המסה של הצורות הבאות‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪L‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪L‬‬
‫‪6‬‬
‫מעל למרכז‪) .‬ב(‬
‫√‬
‫‪3L‬‬
‫‪12‬‬
‫מעל למרכז‪) .‬ג(‬
‫‪L‬‬
‫‪4‬‬
‫מעל למרכז ו־‬
‫‪L‬‬
‫‪4‬‬
‫משמאל למרכז‪.‬‬
‫‪5.3.7‬‬
‫מצאו את מרכז המסה של כדור אחיד מלא שרדיוסו ‪ R‬שיצרו בו חלל כדורי בעל רדיוס ‪ r‬שמרכזו נמצא במרחק ‪a‬‬
‫ממרכז הכדור המלא!‬
‫‪a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪63‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)‪· (a, 0‬‬
‫‪−r 3‬‬
‫‪R3 −r 3‬‬
‫= ‪~rc.m.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪64‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫תנועה סיבובית‬
‫‪ 6.1‬תנע זוויתי של גוף נקודתי‬
‫‪6.1.1‬‬
‫האם התנע הזוויתי נשמר עבור הגופים הבעיות הבאות?‬
‫)א( גוף שנע על שולחן אופקי בצמוד למסילה‪.‬‬
‫)ב( גוף שנע על שולחן אופקי המחובר לחוט שקצהו השני מחובר לנקודה כלשהי בשולחן?‬
‫)ג( גוף שנע על שולחן אופקי המחובר לקפיץ שקצהו השני מחובר לנקודה כלשהי בשולחן?‬
‫)ד( גוף שנע בתנועה אליפטית סביב כדה״א?‬
‫‪65‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( לא נשמר‪) .‬ב( נשמר‪) .‬ג( נשמר‪) .‬ד( נשמר‪.‬‬
‫‪6.1.2‬‬
‫חשבו את התנע הזוויתי של כדה״א בתנועתו סביב השמש ושל אלקטרון בתנועתו מסביב לפרוטון באטום המימן‪.‬‬
‫הניחו כי הגופים נעים בתנועה מעגלית‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫נתון כי מסת כדה״א היא ‪ 5.98 · 1024 kg‬ומרחקו מהשמש ‪.1.49 · 10 m‬‬
‫לגבי האלקטרון באטום המימן‪ ,‬מסתו ‪ ,me = 9.11 · 10−31 kg‬מרחקו מהגרעין ‪ ,5.29 · 10−11 m‬והמהירות הזוויתית‬
‫‪.ω = 4.136 · 1016 rad‬‬
‫שלו היא‬
‫‪s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫כדה״א סביב השמש‪ .2.65 · 1040 J · s :‬אלקטרון סביב פרוטון‪1.054 · 10−34 J · s :‬‬
‫‪6.1.3‬‬
‫נתון מבנה המורכב מקשת מעגלית דקה וחסרת מסה שרדיוסה ‪ R‬ואליה מחוברים ארבעה תותחים שמסתו של כל אחד‬
‫מהם היא ‪ .2m‬מיקום התותחים במערכת הצירים הנתונה‪.~r1 = (0, R) ; ~r2 = (−R, 0) ; ~r3 = (0,R ) ; ~r4 = (R, 0) :‬‬
‫בכל תותח נמצא פגז שמסתו ‪ .m‬ברגע מסוים נורים הפגזים מתוך התותחים בכיוונים הנתונים בשרטוט‪ ,‬במהירויות‬
‫שגודלן זהה‪ v0 ,‬ביחס לקרקע!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪66‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪v0‬‬
‫)א( מהי מהירות מרכז המסה של המבנה מיד לאחר ירי הפגזים?‬
‫)ב( מהי מהירותו הזוויתית של המבנה מיד לאחר ירי הפגזים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪v0‬‬
‫)‪(− sin θ, cos θ‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪) ~vc.m.‬ב( ˆ‪sin θ · k‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪8R‬‬
‫‪ω‬‬
‫= ~‬
‫‪6.1.4‬‬
‫שני גופים נקודתיים‪ ,‬בעלי מסות ‪ m‬ו־ ‪ 2m‬מחוברים בחוט שאורכו ‪ .L‬הגופים מונחים על שולחן אופקי חלק‪,‬‬
‫כמתואר בשרטוט‪ ,‬כך שהמסה ‪ m‬נמצאת בראשית‪ ,‬והמסה ‪ 2m‬נמצאת מעליה )על ציר ‪ (y‬בגובה ‪ . L2‬מעניקים למסה‬
‫‪ 2m‬מהירות בכיוון ציר ‪ x‬שגודלה ‪.v0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫מהי האנרגיה הקינטית של המערכת לאחר שהחוט מתוח והמסה ‪ m‬מתחילה לנוע?‬
‫‪x‬‬
‫‪m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪Ek = 34 mv02‬‬
‫‪6.1.5‬‬
‫שני גופים נקודתיים‪ ,‬בעלי מסות ‪ m‬ו־ ‪ 4m‬מחוברים זה לזה ע״י מוט דק שמסתו זניחה בעל אורך ‪ .L‬הגופים מונחים‬
‫על שולחן אופקי חלק‪ ,‬כמתואר בשרטוט‪ ,‬כך שהמסה ‪ m‬נמצאת בראשית‪ ,‬והמוט יוצר זווית של ◦‪ 45‬עם ציר ‪.x‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪67‬‬
‫מעניקים למסה ‪ 4m‬מהירות בכיוון ציר ‪ x‬שגודלה ‪.v0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪4m‬‬
‫‪L‬‬
‫מהי מהירות מרכז המסה של המערכת‪ ,‬וכן מהירותה הזוויתית סביב מרכז המסה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫√‬
‫‪2v0‬‬
‫‪2L‬‬
‫= ‪vc.m. = 54 v0 ; ω‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪68‬‬
‫‪x‬‬
‫◦‪45‬‬
‫‪m‬‬
‫שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה(‬
‫‪6.2‬‬
‫‪6.2.1‬‬
‫סולם שמסתו ‪ m‬נשען על קיר חסר חיכוך‪ .‬אם בין הסולם לרצפה ישנו מקדם חיכוך ‪ ,µ‬מהי הזווית הקטנה ביותר‬
‫האפשרית בין הסולם לרצפה כדי שהסולם לא יחליק?‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪2µ‬‬
‫‪θmin = tan−1‬‬
‫‪6.2.2‬‬
‫סולם שמסתו ‪ m‬נשען על קיר חסר חיכוך‪ .‬אם בין הסולם לרצפה ישנו מקדם חיכוך ‪ ,µ‬וכן על שיא הסולם עומד‬
‫אדם שמסתו ‪ ,M‬מהי הזווית הקטנה ביותר האפשרית בין הסולם לרצפה כדי שהסולם לא יחליק?‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪+M‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪µ(m+M‬‬
‫‬
‫‪θmin = tan−1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪69‬‬
‫‪6.2.3‬‬
‫מוט שמסתו זניחה נמצא במנוחה במצב אופקי כאשר הוא מונח על נקודת משענת‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫יש לבטא את התשובות באמצעות ‪.m1 ; m2 ; L‬‬
‫)א( מהו המרחק ‪ x‬עבורו המערכת סטטית?‬
‫)ב( מהו הכח הנורמלי שמרגיש המוט?‬
‫)ג( מהן המתיחויות בחוטים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) T1 = m1 g ; T2 = m2 g‬ב( ‪) N = (m1 + m2 )g‬ג( ‪· L‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1 +m2‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪6.2.4‬‬
‫מוט אחיד בעל מסה ‪ m‬מונח אנכית על הרצפה‪ .‬בין המוט לרצפה ישנו חיכוך עם מקדם ‪ .µ‬למרכז המוט מחובר חוט‬
‫שקצהו השני מחובר לרצפה ויוצר איתה זווית ‪ .α‬הקצה העליון של המוט מחובר לחוט נוסף שכרוך סביב גלגלת‬
‫חסרת חיכוך ובקצהו השני תלויה מסה ‪ .M‬נתון כי המערכת במנוחה‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪α‬‬
‫)א( מהו כח החיכוך הסטטי שמפעילה הרצפה על המוט?‬
‫)ב( מהי המתיחות בחוט שמחובר לרצפה?‬
‫)ג( מהו הכח הנורמלי שמפעילה הרצפה על המוט?‬
‫)ד( מהו מקדם החיכוך המינימלי הדרוש כדי שהמוט עדין ישאר במנוחה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) fs = Mg‬ב(‬
‫‪2M g‬‬
‫‪cos α‬‬
‫= ‪) T‬ג( ‪) N = mg + 2Mg tan α‬ד(‬
‫‪M‬‬
‫‪m+2M tan α‬‬
‫= ‪µmin‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪70‬‬
‫‪6.2.5‬‬
‫שני מוטות אחידים מחוברים בציר זה לזה בקצוותיהם )כך שהזווית ביניהם יכולה להשתנות(‪ .‬המוטות מונחים על‬
‫שולחן אופקי חלק‪ .‬אורכו של המוט הימני הוא ‪ ℓ‬ומסתו ‪ m‬ואורכו של המוט השמאלי הוא ‪ 0.75ℓ‬ומסתו ‪ .0.75m‬חוט‬
‫דק קשור בין המוטות בגובה ‪ 0.15ℓ‬מעל לשולחן‪ .‬במצב זה‪ ,‬הזווית שנוצרת בנקודת החיבור היא ישרה והמערכת‬
‫במנוחה!‬
‫‪m, ℓ‬‬
‫‪0.15ℓ‬‬
‫)א( מהו הכח הנורמלי שמפעיל השולחן על כל אחד מהמוטות?‬
‫)ב( מהי המתיחות בחוט?‬
‫)ג( מהו הכח )גודל וכיוון( שמפעיל המוט הימני על השמאלי בנקודת החיבור?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.815mg ; 0.935mg‬ב( ‪) 0.56mg‬ג( ‪ 0.59mg‬בזווית ◦‪ 71.72‬ביחס לחלק השלילי של הציר האנכי‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪71‬‬
‫‪0.75m, 0.75ℓ‬‬
‫‪6.3‬‬
‫חישוב מומנט ההתמדה‬
‫‪6.3.1‬‬
‫נתון מוט אחיד ודק שאורכו ‪.L‬‬
‫)א( חשבו את מומנט ההתמד של המוט ביחס למרכזו!‬
‫)ב( חשבו את מומנט ההתמד של המוט ביחס לקצהו!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪1‬‬
‫‪ML2‬‬
‫‪12‬‬
‫= ‪) Ic.m.‬ב( ‪I = 13 ML2‬‬
‫‪6.3.2‬‬
‫חשבו את מומנט ההתמד של דיסקה אחידה דקה בעלת רדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ ,b‬דרך ציר ניצב העובר דרך‬
‫מרכזה‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מסת הדיסקה ‪.M‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫) ‪Ic.m. = 21 M(a2 + b2‬‬
‫‪6.3.3‬‬
‫מצאו את מומנט ההתמד של חרוט שגובהו ‪ ,H‬רדיוס בסיסו ‪ R‬ומסתו ‪ ,M‬סביב ציר הסימטריה שלו!‬
‫‪H‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪MR2‬‬
‫‪10‬‬
‫=‪I‬‬
‫‪6.3.4‬‬
‫נתון כדור אחיד מלא שרדיוסו ‪ R‬שיצרו בו חלל כדורי בעל רדיוס ‪ r‬שמרכזו נמצא במרחק ‪ a‬ממרכז הכדור המלא‪.‬‬
‫מסתו של הגוף היא ‪.M‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪72‬‬
‫חשבו את מומנט ההתמד של הגוף סביב המרכז‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪R5 − 25 r 5 −a2 r 3‬‬
‫‪R3 −r 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪I=M‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪73‬‬
‫‪ 6.4‬גלגול ללא החלקה‬
‫‪6.4.1‬‬
‫משחררים את המערכת הבאה ממנוחה‪ .‬הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה‪.‬‬
‫מצאו משיקולי אנרגיה את מהירות המערכת ואת תאוצת המערכת כפונקציה של הגובה אותו ירדה ‪!m1‬‬
‫‪M, R‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m1 g‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫=‪; a‬‬
‫‪2m1 gh‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪6.4.2‬‬
‫משחררים את המערכת הבאה ממנוחה‪ .‬הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה‪.‬‬
‫מצאו משיקולי כוחות ומומנטים את תאוצת המערכת ואת מהירות המערכת כפונקציה של הזמן!‬
‫‪M, R‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m1 g‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫=‪; a‬‬
‫‪m1 gt‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪6.4.3‬‬
‫גוף בעל חתך מעגלי‪ ,‬שמסתו ‪ m‬ורדיוסו ‪ R‬מתגלגל ללא החלקה על מישור משופע בזווית ‪ .θ‬מומנט האינרציה של‬
‫הגוף סביב מרכז המסה שלו הוא ‪ I = kmR2‬כאשר ‪ k‬קבוע כלשהו חסר יחידות פיסיקליות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪74‬‬
‫‪m, R‬‬
‫‪θ‬‬
‫)א( מהי תאוצת מרכז המסה של הגוף?‬
‫)ב( מהו מקדם החיכוך המינימלי הדרוש בין הגוף למשטח כדי שיתקיים גלגול ללא החלקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪g sin θ‬‬
‫‪1+k‬‬
‫= ‪) ac.m.‬ב( ‪· tan α‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1+k‬‬
‫= ‪µs,min‬‬
‫‪6.4.4‬‬
‫מהי זווית השיפוע המקסימלית של המדרון‪ ,‬עבורה כדור מלא בעל מסה ‪ M‬ורדיוס ‪ R‬יתגלגל ללא החלקה‪ ,‬אם נתון‬
‫כי מקדם החיכוך הסטטי בין המדרון לכדור הינו ‪?µs = 0.7‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון‪ :‬מומנט ההתמד של כדור מלא סביב מרכז המסה ‪.Ic.m. = 5 MR2‬‬
‫‪M, R‬‬
‫‪θ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪θmin = 67.8‬‬
‫‪6.4.5‬‬
‫במערכת הבאה הגלגלת היא דיסקה שחופשיה לנוע ללא חיכוך סביב ציר שעובר דרך מרכזה‪ .‬החוט חסר מסה‪ ,‬אך‬
‫בינו לבין הגלגלת ישנו חיכוך סטטי כך שהגלגלת מסתובבת יחד איתו‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪M, R‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( רשמו את משוואות התנועה עבור כל אחד מהגופים‪.‬‬
‫)ב( מהי תדירות התנודות הקטנות של המסה ‪ m‬סביב נקודת שווי המשקל?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪75‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)ב(‬
‫‪k‬‬
‫‪m+ 12 M‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪6.4.6‬‬
‫כדור מלא שמסתו ‪ m1 = 5 kg‬ורדיוסו ‪ R1 = 30 cm‬יכול להסתובב ללא חיכוך סביב ציר אנכי שעובר דרך‬
‫מרכזו‪ ,‬בהשפעת חבל חסר מסה שכרוך סביבו‪ .‬החבל עובר סביב גלגלת )גליל מלא( שמסתה ‪ m2 = 1 kg‬ורדיוסה‬
‫‪ .R2 = 10 cm‬קצהו השני של החבל מחובר למסה נקודתית ‪.m3 = 3 kg‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m3‬‬
‫)א( מהי תאוצתו הזוויתית של הכדור?‬
‫)ב( מהי תאוצתה הזוויתית של הגלגלת?‬
‫)ג( מהי תאוצת המסה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪rad‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) 17.82‬ב(‬
‫‪rad‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪) 53.5‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪5.35‬‬
‫‪6.4.7‬‬
‫גליל מלא שמסתו ‪ m‬ורדיוסו ‪ r‬מתגלגל ללא החלקה בתוך גליל חלול ודק שמסתו ‪ M‬ורדיוסו ‪ .R‬הגליל החלול‬
‫מודבק לרצפה‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪r‬‬
‫)א( מהי המהירות המינימלית ‪ v0‬שיש להעניק למסה ‪) m‬למרכזה( כדי שתוכל להשלים הקפה שלמה מבלי ליפול?‬
‫)ב( בניסוי אחר‪ ,‬מדביקים את הגליל המלא לתחתית הגליל החלול‪ ,‬ומניחים את הגליל החלול על הקרקע כך שהגוף‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪76‬‬
‫המורכב יכול לנוע עליה‪ .‬דוחפים קלות את הגליל המלא כך שמרכזו מקבל מהירות ‪ v‬בבכיוון ימינה‪ .‬כתוצאה מכך‬
‫שני הגופים מתחילים לנוע כגוף אחד המבצע גלגול ללא החלקה‪ .‬מהי המהירות האופקית של מרכז המסה מיד‬
‫לאחר שהוא מתחיל לנוע?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( )‪) v0,min = 1.91 g(R − r‬ב(‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫‪R−r‬‬
‫‪R‬‬
‫·‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪M +m‬‬
‫‬
‫‪vc.m. = v 1 −‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪77‬‬
‫‪6.5‬‬
‫תנועת גוף קשיח‬
‫‪6.5.1‬‬
‫מוט דק שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ M‬נמצא על שולחן אופקי חלק ומונח לאורך ציר ‪ y‬כשמרכזו בראשית‪ .‬מסה נקודתית‬
‫‪ m‬נעה במהירות ˆ‪ ~v0 = v0 x‬ומתנגשת במוט בנקודה הנמצאת במרחק ‪ d‬ממרכזו‪ .‬ההתנגשות היא אלסטית )לחלוטין(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מומנט ההתמד של מוט אחיד סביב מרכזו הוא ‪.Ic.m. = 121 ML2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪L‬‬
‫‪d‬‬
‫)א( אילו גדלים פיסיקלים נשמרים בהתנגשות?‬
‫)ב( מה צריכה להיות גודלה של המסה ‪ m‬כדי שהיא תישאר במנוחה מיד לאחר ההתנגשות? בטאו בעזרת ‪.M, L, d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1+ 12d2‬‬
‫=‪m‬‬
‫‪L‬‬
‫‪6.5.2‬‬
‫מוט בעל אורך ‪ L‬ומסה ‪ M‬נע במהירות ‪ v0‬על רצפה חלקה אל עבר מוט שני בעל נתונים זהים‪ ,‬כפי שמשורטט‪.‬‬
‫המוט הראשון מתנגש בקצהו של המוט השני‪ ,‬והם מתחברים וממשיכים לנוע ביחד‪.‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪M, L‬‬
‫)א( מהי מהירות מרכז המסה של המוטות לאחר ההתנגשות?‬
‫)ב( מהי המהירות הזוויתית של המערכת סביב מרכז המסה‪ ,‬לאחר ההתנגשות?‬
‫)ג( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בהתנגשות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪v0‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪) vc.m.‬ב(‬
‫‪3v0‬‬
‫‪5L‬‬
‫= ‪) ω‬ג( ‪35%‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪78‬‬
‫‪6.5.3‬‬
‫מסה ‪ m‬מחוברת לקצהו של מוט שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ .M‬המסה והמוט המחוברים נעים על שולחן אופקי חסר חיכוך‬
‫במהירות ‪ v0‬כמתואר בשרטוט‪ .‬מסה נוספת ‪ m‬נעה במהירות ‪ 2v0‬בכיוון הפוך לתנועת המוט והמסה הראשונה‪,‬‬
‫ונצמדת אל קצהו השני של המוט‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪2v0‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( מהי המהירות הזוויתית של המערכת ביחס למרכז המסה במצב הסופי?‬
‫)ב( מהי מהירות מרכז המסה במצב הסופי?‬
‫)ג( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בתהליך?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪· 3vL0‬‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪m+ M‬‬
‫‪6‬‬
‫‬
‫= ‪) ω‬ב( ‪· v0‬‬
‫האנרגיה שאבדה הוא ‪35.7%‬‬
‫‬
‫‪M −m‬‬
‫‪M +2m‬‬
‫= ‪) vc.m.‬ג( אם מסת המוט שווה למסת כל אחד מהכדורים מתקבל שאחוז‬
‫‪6.5.4‬‬
‫מוט קשיח בעל מסה זניחה שאורכו ‪ L‬נמצא במנוחה על מישור אופקי חלק לאורך ציר ‪ y‬כשמרכזו בראשית‪ .‬שני‬
‫כדורים בעלי מסה ‪ m‬כל אחד‪ ,‬נעים האחד בכיוון החיובי של ציר ה־ ‪ x‬והשני בכיוון השלילי של ציר ה־ ‪ x‬עם‬
‫מהירות שגודלה זהה ‪ v0‬והם מתנגשים במוט באותו הרגע‪ ,‬האחד בקצה העליון של המוט והשני בקצהו התחתון‪ .‬הם‬
‫‬
‫נצמדים למוט וממשיכים לנוע יחד איתו‪ .‬במיקום ‪ L2 , 0‬נמצא במנוחה כדור שלישי בעל מסה ‪ .m‬מערכת המוט‬
‫ושני הכדורים פוגעת בכדור השלישי‪ ,‬והוא נצמד למערכת!‬
‫‪y‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫מהי המהירות הזוויתית של המערכת ביחס למרכז המסה במצב הסופי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪79‬‬
‫‪v0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪3v0‬‬
‫‪2L‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪6.5.5‬‬
‫מוט אחיד שאורכו ‪ L = 60 cm‬ומסתו ‪ M = 2 kg‬מחובר בקצהו העליון לציר‪ ,‬ומוחזק בזווית סטייה ◦‪ θ = 20‬ביחס‬
‫לאנך‪ .‬משחררים את המוט ממנוחה‪ ,‬והוא מתנגש אלסטית במסה נקודתית ‪ m = 1 kg‬שנמצאת במנוחה בקצהו של‬
‫שולחן שגובהו ‪ H = 80 cm‬מעל לקרקע‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫)א( מהי זווית הסטייה המקסימלית של המוט לאחר ההתנגשות?‬
‫)ב( מהו המרחק האופקי אותו עוברת המסה הנקודתית עד לפגיעה בקרקע?‬
‫)ג( בהנחה כי לאחר ההתנגשות המוט מבצע תנודות בזוויות קטנות מסביב לנקודת שווי המשקל שלו‪ ,‬מהי תדירות‬
‫התנודות הקטנות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ◦‪) 12.7‬ב( ‪) 0.139 m‬ג(‬
‫‪2g‬‬
‫‪L‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪6.5.6‬‬
‫מוט אחיד שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ M‬קשור בקצותיו לשני חוטים חסרי מסה שאורכו של כל אחד מהם הוא ‪ . √L2‬ההחוטים‬
‫מחוברים למסמר שנמצא במרכזו של שולחן אופקי חלק‪ .‬המוט מסתובב על השולחן במהירות זוויתית ‪ .ω0‬ברגע‬
‫מסוים )המשורטט( החוטים נקרעים והמוט ממשיך לנוע ללא אילוץ‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מומנט ההתמד של מוט אחיד סביב מרכזו הוא ‪.Ic.m. = 121 ML2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪80‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהם הגדלים הפיסיקליים שנשמרים בבעיה?‬
‫)ב( מהי מהירות מרכז המסה של המוט לאחר שהחוטים נקרעים?‬
‫)ג( מהי המהירות הזוויתית של המוט סביב מרכז המסה שלו לאחר שהחוטים נקרעים?‬
‫‪M, L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( אנרגיה )קינטית(‪ ,‬תנע קווי ותנע זוויתי‪) .‬ב( ‪) vc.m. = L2 ω0‬ג( ‪ω = ω0‬‬
‫‪6.5.7‬‬
‫ארבעה מוטות שאורך כל אחד מהם ‪ L‬ומסת כל אחד מהם ‪ M‬מחוברים בקצותיהם ויוצרים ריבוע‪ .‬הריבוע מסתובב‬
‫על שולחן אופקי חלק במהירות זוויתית ‪ .ω0‬ברגע מסוים )המשורטט( החיבורים בנקודות ‪ B‬ו־ ‪ D‬מתנתקים והריבוע‬
‫מתפרק לשני חלקים )כהה ובהיר בשרטוט(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מומנט ההתמד של מוט בעל אורך ‪ L‬ומסה ‪ M‬ביחס למרכזו הוא ‪.Ic.m. = 121 ML2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪M, L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M, L‬‬
‫)א( אילו גדלים פיסיקליים נשמרים בעת הניתוק‪ ,‬אם ידוע שלא פעל שום כח חיצוני על המוטות ברגע זה?‬
‫)ב( מהי מהירות מרכז המסה של כל אחד מהחלקים לאחר הניתוק?‬
‫)ג( מהי המהירות הזוויתית של כל אחד מהחלקים סביב מרכז המסה שלו?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪81‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( תנע קווי ותנע זוויתי‪) .‬ב(‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪Lω0‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪) vc.m.‬ג( ‪ω = ω0‬‬
‫‪6.5.8‬‬
‫כדור ביליארד נמצא במנוחה על שולחן ביליארד‪ .‬שחקן נותן מכה בגובה ‪ h‬מעל מרכז הכדור‪ ,‬כך שמהירות מרכז‬
‫המסה מיד לאחר המכה היא ‪ .v0‬מהירותו הסופית של הכדור הינה ‪. 97 v0‬‬
‫נתון‪ :‬מומנט התמד של כדור אחיד ‪.Ic.m. = 52 mR2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫הראו כי ‪!h = 45 R‬‬
‫‪6.5.9‬‬
‫דיסקה בעלת מסה ‪ m‬ורדיוס ‪ R1 = 2R‬נמצאת על שולחן אופקי חלק ומסתובבת במהירות זוויתית ‪ .ω0‬דיסקה‬
‫שניה עשויה חומר אחר‪ ,‬שמסתה זהה לראשונה ‪ m‬אך רדיוסה קטן יותר ‪ R2 = 1.5R‬נופלת מגובה נמוך על הדיסקה‬
‫הראשונה‪ .‬בין הדיסקות ישנו חיכוך כך שלאחר זמן מה הדיסקות נעות יחדיו‪.‬‬
‫‪m, R2‬‬
‫‪m, R1‬‬
‫)א( מהי המהירות הזוויתית של שתי הדיסקות כאשר הן נעות יחדיו?‬
‫)ב( מהו אחוז האנרגיה שאבד בתהליך?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) ω = 0.64ω0‬ב( ‪ 36%‬מהאנרגיה אבדה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪82‬‬
‫‪ω0‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫תנועה הרמונית‬
‫‪7.1‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫‪7.1.1‬‬
‫מסה ‪ M = 500 gr‬נמצאת על שולחן חסר חיכוך ומחוברת לקפיץ אופקי בעל קבוע ‪ .k = 100 Nm‬מכווצים את‬
‫הקפיץ מרחק של ‪ 15 cm‬ומשחררים ממנוחה‪ .‬המסה ‪ M‬מגיעה לנקודת הרפיון של הקפיץ שם היא מתנגשת אלסטית‬
‫במסה ‪ m = 200 gr‬הקשורה לחוט שאורכו ‪.L = 0.5 m‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m‬‬
‫)א( מהי אמפליטודת התנודה של המסה ‪ M‬לפני ההתנגשות?‬
‫)ב( היכן נמצאת המסה ‪ 0.2‬שניות לאחר תחילת התנועה?‬
‫)ג( מהי מהירות כל אחד מהגופים מיד לאחר ההתנגשות?‬
‫)ד( מהי אמפליטודת התנודה של המסה ‪ M‬לאחר ההתנגשות?‬
‫)ה( מהי זווית הסטיה המקסימלית אליה תגיעה המסה ‪ m‬לאחר ההתנגשות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.15 m‬ב( ‪ 0.061 m‬משמאל לנקודת הרפיון של הקפיץ‪) .‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪; 3.03‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 0.91‬ד( ‪) 0.064 m‬ה( ◦‪86.33‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 2 kg‬מתנודד על קפיץ אנכי באופן הבא‪ :‬בנקודה התחתונה ביותר של תנועתו הוא מגיע לגובה ‪10 cm‬‬
‫מעל הקרקע‪ ,‬ובנקודה העליונה ביותר של מסלולו הוא מגיע לגובה ‪ 40 cm‬מעל לקרקע‪ .‬הזמן שלוקח לגוף לנוע‬
‫מהנקודה התחתונה ביותר לנקודה העליונה ביותר הוא ‪.0.3 s‬‬
‫)א( מצאו את קבוע הקפיץ!‬
‫‪83‬‬
‫)ב( מצאו את תאוצתו ומהירותו של הגוף כאשר הוא נמצא בגובה ‪ 30 cm‬מעל לקרקע!‬
‫)ג( מתי לראשונה גובהו של הגוף מעל הקרקע הוא ‪ 20 cm‬אם נתון שהוא התחיל לנוע מהנקודה התחתונה ביותר‬
‫)‪?(t = 0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪) k = 219.3‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ v = 1.48‬במגמה מעלה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ a = 5.41‬במגמה מטה‪) .‬ג( ‪t = 0.118 s‬‬
‫‪7.1.3‬‬
‫מסה ‪ m = 1 kg‬תלויה באוויר בעזרת חוט דק חסר מסה‪ .‬החוט כרוך סביב גלגלת חסרת חיכוך ומחובר בקצהו השני‬
‫‪N‬‬
‫לקפיץ אנכי בעל קבוע‬
‫‪ .k = 200 m‬מחזיקים את המערכת כך שהקפיץ רפוי‪ ,‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫)א( מצאו את אמפליטודת התנודה!‬
‫)ב( מהי מהירות הגוף ‪ 0.1‬שניות לאחר תחילת התנודה?‬
‫)ג( מתי לראשונה עובר הגוף נקודה שנמצאת ‪ 0.02 m‬מתחת לנקודת השחרור?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) A = 0.049 m‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ v = 0.685‬במגמה מטה‪) .‬ג( ‪t = 0.066 s‬‬
‫‪7.1.4‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ .k = 1500 m‬מצמידים אליה‬
‫מסה ‪ m1 = 10 kg‬מונחת על שולחן אופקי חסר חיכוך וקשורה לקפיץ בעל קבוע‬
‫מסה שניה ‪ m2 = 5 kg‬ודוחפים את שתי המסות עד שהקפיץ מכווץ בשיעור של ‪ .0.3 m‬ברגע זה )‪ (t = 0‬משחררים‬
‫את המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫‪0.3 m‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪84‬‬
‫)א( כאשר המסות מגיעות לנקודת שווי המשקל‪ ,‬הן נפרדות וממשיכות לנוע בנפרד‪ .‬מהי מהירותה של ‪ m2‬ברגע‬
‫זה?‬
‫)ב( מהו מרחקה של ‪ m2‬מ־ ‪ m1‬ברגע שהאחרונה מגיעה לראשונה למתיחה המקסימלית?‬
‫)ג( מתי מגיעה המסה ‪ m1‬לנקודה ממנה התחילה‪ ,‬בפעם הראשונה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 3‬ב( ‪) 0.14 m‬ג( אף פעם!‬
‫‪7.1.5‬‬
‫מסה ‪ m1‬לא ידועה נמצאת על שולחן אופקי חסר חיכוך ומחוברת לקפיץ בעל קבוע כח‬
‫מסה ‪ .m2 = 4 kg‬בין המסות ישנו חיכוך עם מקדם סטטי ‪.µs = 0.8‬‬
‫‪N‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .k = 256‬מניחים עליה‬
‫‪m2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1‬‬
‫חשבו מהי האמפליטודה המקסימלית האפשרית עבורה ינועו המסות בתנועה הרמונית פשוטה מבלי להחליק אחת‬
‫ביחס לשניה!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µs (m1 +m2 )g‬‬
‫‪k‬‬
‫= ‪Amax‬‬
‫‪7.1.6‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ k1 = 180 m‬ומסה ‪ m2 = 15 kg‬קשורה לקפיץ בעל קבוע ‪.k2 = 150 Nm‬‬
‫מסה ‪ m1 = 12 kg‬קשורה לקפיץ בעל קבוע‬
‫דוחפים את שתי המסות כך שהקפיצים מכווצים בשיעור דומה ‪ .4 m‬משחררים ממנוחה את המסה ‪ m2‬ולאחר זמן‬
‫מה משחררים ממנוחה את המסה ‪ ,m1‬כך שהמסות מתנגשות בדיוק ברגע שבו שני הקפיצים רפויים‪ .‬ההתנגשות היא‬
‫פלסטית‪.‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪k2‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( כמה זמן לאחר שחרור המסה ‪ m2‬שוחררה המסה ‪?m1‬‬
‫)ב( מהי מהירות כל אחד מהגופים רגע לפני ההתנגשות?‬
‫)ג( מהי אמפליטודת התנודה לאחר ההתנגשות?‬
‫)ד( מתי לראשונה לאחר ההתנגשות גודל המהירות של הגוף המשותף היא‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪?0.1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.0913 s‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪; 12.648‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 15.492‬ג( ‪) A = 0.0115 m‬ד( ‪t = 0.064 s‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪85‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪7.1.7‬‬
‫מסה נקודתית ‪ m1 = 600 gr‬מונחת על משטח אופקי חלק ומחוברת לקפיץ בעל קבוע ‪ .k = 12 Nm‬דוחפים את‬
‫המסה כך שהקפיץ מתכווץ בשיעור של ‪ 30 cm‬ומשחררים ממנוחה‪ .‬במרחק ‪ 10 cm‬מנקודת הרפיון נמצאת מסה‬
‫נקודתית נייחת ‪ .m2 = 900 gr‬ההתנגשות בין המסות היא אלסטית‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪10 cm‬‬
‫)א( כמה זמן לאחר ששוחררה המסה ‪ m1‬היא פוגעת במסה ‪?m2‬‬
‫)ב( מהי מהירותה של ‪ m1‬חלקיק שניה לפני ההתנגשות?‬
‫)ג( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ לאחר ההתנגשות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 0.428 s‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) v = 1.26‬ג( ‪∆ℓmax = 0.115 m‬‬
‫‪7.1.8‬‬
‫מסה נקודתית ‪ m1 = 1 kg‬תלויה על קפיץ אנכי שאורכו הרפוי ‪ .ℓ0 = 0.2 m‬בגובה ‪ 0.8 m‬מתחת לתקרה נמצא‬
‫שולחן ועליו מסה ‪ m2 = 0.5 kg‬שחלקה העליון מרוח בדבק‪ .‬מרימים את המסה ‪ m1‬מרחק מסוים‪ ,‬ומשחררים‬
‫‪T‬‬
‫ממנוחה )‪ .(t = 0‬ברגע‬
‫‪ T ) t = 12‬הוא זמן המחזור( מהירות המסה ‪ m1‬היא ‪ .2 ms‬המסה ‪ m1‬נעה מטה‪ ,‬ובדיוק‬
‫כאשר הקפיץ מתוח במידה מקסימלית )במהירות אפסית( היא נוגעת במסה ‪ m2‬והמסות נצמדות‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪0.8 m‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( מהן אמפליטודת התנודה והתדירות הזוויתית של התנודה לפני ההיצמדות?‬
‫)ב( מהן אמפליטודת התנודה והתדירות הזוויתית של התנודה אחרי ההיצמדות?‬
‫)ג( כמה זמן אחרי ההיצמדות חולפות שתי המסות לראשונה על פני נקודת הרפיון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪rad‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) A = 0.47 m ; ω = 8.57‬ב(‬
‫‪rad‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) A = 0.4 m ; ω = 7‬ג( ‪t = 0.3 s‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪86‬‬
‫‪7.1.9‬‬
‫אדם בעל מסה ‪ m = 80 kg‬נמצא על מסה ‪ ,M = 100 kg‬שנמצאת על מישור אופקי חסר חיכוך‪ .‬המסה קשורה‬
‫לקפיץ בעל קבוע ‪ .k = 5000 Nm‬מכווצים את הקפיץ בשיעור ‪ 3 m‬ומשחררים ממנוחה כך שהאדם נע יחד עם המסה‬
‫בתנועה הרמונית פשוטה‪ .‬כאשר הם חוזרים לנקודת הרפיון‪ ,‬האדם קופץ קדימה במהירות אופקית ‪ v0 = 3 ms‬יחסית‬
‫למסה‪.‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪M‬‬
‫)א( מהי אמפליטודת התנודה של המסה לאחר שהאדם קפץ ממנה?‬
‫)ב( מהי צריכה להיות מהירות הקפיצה של האדם כדי שהכיווץ המקסימלי של המסה ‪ M‬בתנועתה לא ישתנה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) A = 1.9 m‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 6.75‬ביחס ל־ ‪ M‬במגמה ימינה‪ ,‬או‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 46.28‬ביחס ל־ ‪ M‬במגמה שמאלה‪.‬‬
‫‪7.1.10‬‬
‫מטוטלת מטמטית עבורה אורך החוט הוא ‪ L = 1 m‬מוסטת בזווית קטנה ◦‪ θ1 = 3‬ונעזבת ממנוחה )‪ .(t = 0‬כאשר‬
‫המשקולת מגיעה לנקודה התחתונה ביותר של מסלולה‪ ,‬החלק העליון של החוט פוגע במוט שיורד מהתקרה ושגובהו‬
‫‪ , L2‬כך שהמשקולת ממשיכה לנוע רק עם חציו השני של החוט‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪θ2‬‬
‫)א( מהי זווית הסטיה המקסימלית של החוט בצידה השני של התנועה‪?θ2 ,‬‬
‫)ב( מהו זמן המחזור של התנועה‪ ,‬כלומר הזמן שלוקח לגוף עד שהוא חוזר לזווית ‪ θ1‬במיקום המקורי?‬
‫)ג( מהי זווית הסטייה של החוט ביחס לאנך ברגע ‪?t = 1 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ◦‪) 4.14‬ב( ‪) 1.713 s‬ג( ◦‪3.39‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪87‬‬
‫‪θ1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪7.1.11‬‬
‫שתי מסות ‪ m1 > m2‬קשורות בחוט באופן המתואר בתרשים‪ .‬לכל מסה קשור חוט שאורכו ‪ ℓ‬ובקצהו משקולת ‪.m‬‬
‫מסיטים כל אחת מהמשקולות כך שהחוטים יוצרים זווית קטנה עם האנך‪ ,‬ומשחררים את כל המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪m‬‬
‫מה ניתן לומר על זמני המחזור של שתי המטוטלות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫מטוטלת ימנית‪> T‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ > 2π‬מטוטלת שמאלית‪T‬‬
‫‪7.1.12‬‬
‫מסה ‪ m2‬תלויה על חוט שעובר דרך גלגלת שצורתה גליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ .M‬לצידו השני של החוט‬
‫קשורה מסה ‪ m1‬שנמצאת על שולחן אופקי חלק‪ .‬לצידה השני של ‪ m1‬מחובר קפיץ קשור לקיר בעל קבוע כח ‪.k‬‬
‫בשרטוט מתואר מצב שווי המשקל של המערכת‪ .‬נתון כי במצב בו המערכת נעה‪ ,‬החוט אינו מחליק על הגלגלת‪.‬‬
‫מושכים את המסה ‪ m2‬עד לקרקע‪ ,‬גובה ‪ h‬מתחת למצב שווי המשקל‪ ,‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪M, R‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪h‬‬
‫)א( מהי התארכות הקפיץ במצב שווי המשקל?‬
‫)ב( הראו כי המערכת תבצע תנועה הרמונית פשוטה‪.‬‬
‫)ג( חשבו את אמפליטודת התנודה ‪ A‬ואת תדירותה ‪.f‬‬
‫)ד( רשמו ביטויים למיקום‪ ,‬מהירות ותאוצת המסה ‪ m2‬בכל רגע!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫)ד(‬
‫‪m2 g‬‬
‫‪k‬‬
‫‬
‫= ‪) ∆ℓ‬ג( התדירות‬
‫‪·t+π‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2π‬‬
‫= ‪ f‬והאמפליטודה ‪A = h‬‬
‫‪x(t) = h cos‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪88‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪q‬‬
‫‬
‫‪q‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪v(t) = −h m1 +m2 + 1 M sin‬‬
‫‪·t+π‬‬
‫‪m1 +m2 + 21 M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪·t+π‬‬
‫‪a(t) = −h m +m + 1 M cos‬‬
‫‪m +m + 1 M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7.1.13‬‬
‫גליל מלא בעל רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ M‬מונח על שולחן אופקי‪ .‬מקדם החיכוך הסטטי בין הגליל לשולחן הוא ‪ .µs‬ציר‬
‫הגליל מחובר לקפיץ בעל קבוע ‪ k‬שקצהו השני מחובר לקיר‪ .‬מסיטים את הגליל בשיעור ‪ A0‬ימינה מנקודת שווי‬
‫המשקל‪ ,‬ומשחררים ממנוחה‪ .‬נתון כי הגליל מתגלגל ללא החלקה!‬
‫‪M, R‬‬
‫‪k‬‬
‫)א( מהי תדירות התנודות שמבצע הגליל?‬
‫)ב( רשמו את מיקום המסה‪ ,‬מהירותה ותאוצתה כפונקציה של הזמן!‬
‫)ג( מהו גודלו המינימלי של מקדם החיכוך ‪ µs,min‬עבורו הגליל לא יחליק ביחס למשטח?‬
‫‪N‬‬
‫)ד( נתון‪; m = 2 kg :‬‬
‫‪ .k = 100 m‬מתי לראשונה מגיע הגוף לכיווץ ‪? A30‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪2k‬‬
‫‪3m‬‬
‫‬
‫‪q‬‬
‫=‪ω‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪x(t) = A0 cos‬‬
‫)ב( ‪· t + π‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‬
‫‪2k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪v(t) = −A0 3m sin‬‬
‫‪·t+π‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪q‬‬
‫‬
‫‪2k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪cos‬‬
‫·‬
‫‪t‬‬
‫‪+‬‬
‫‪π‬‬
‫‪a(t) = −A0 3m‬‬
‫‪3m‬‬
‫‪7.1.14‬‬
‫שני גופים ‪ m1‬ו־ ‪ m2‬נמצאים על קרקע חלקה ומחוברים זה לזה בעזרת קפיץ בעל קבוע ‪ .k‬מותחים את הקפיץ‬
‫מרחק מסוים ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1‬‬
‫)א( מהי תדירות התנודות?‬
‫הנחיה‪ :‬הראו כי התנועה היא הרמונית פשוטה ע״י קבלת המשוואה המתאימה‪ ,‬וקבלו מתוכה את הפתרון‪.‬‬
‫)ב( בדקו את תשובותכם ל־)א( בגבולות ‪ m1 ≫ m2‬ו־ ‪.m2 ≫ m1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪k‬‬
‫) ‪m1 m2 /(m1 +m2‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪ω‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪89‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪7.1.15‬‬
‫מסה ‪ m1 = 20 kg‬קשורה בחוט חסר מסה למסה ‪ .m2 = 30 kg‬בצידה השני מחוברת ‪ m1‬לקפיץ אנכי בעל קבוע‬
‫כח ‪ .k = 1000 Nm‬המערכת במנוחה ולפתע נקרע החוט‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)א( מהי אמפליטודת התנודה ההרמונית שמבצעת ‪ m1‬לאחר שהחוט נקרע?‬
‫)ב( מתי לראשונה לאחר התחלת התנועה תגיע ‪ m1‬לנקודה בה הקפיץ רפוי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) A = 0.294 m‬ב( ‪t = 0.326 s‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪90‬‬
‫‪7.2‬‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫‪7.2.1‬‬
‫מסה ‪ m = 50 gr‬נעה בהשפעת קפיץ אופקי בעל קבוע ‪ .k = 25 Nm‬ברגע ‪ t = 0‬הקפיץ מתוח בשיעור ‪ 0.3 m‬והמסה‬
‫נעזבת ממנוחה‪ .‬כח מרסן מהצורה ‪ f = −bv‬פועל על המסה‪ ,‬כך שלאחר ‪ 5‬שניות אמפליטודת התנודה דועכת לכדי‬
‫‪.0.1 m‬‬
‫מצאו את גודלו של קבוע הריסון ‪!b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kg‬‬
‫‪s‬‬
‫‪b = 0.022‬‬
‫‪7.2.2‬‬
‫‪ .k = 12000‬המסה מרגישה כח התנגדות פרופורציוני‬
‫מסה ‪ m = 10 kg‬נעה בהשפעת קפיץ אנכי בעל קבוע‬
‫למהירותה ‪ f = −bv‬כאשר ‪.b = 3 kgs‬‬
‫)א( חשבו את תדירות התנודה?‬
‫)ב( בכמה אחוזים דועכת אמפליטודת התנודה בכל מחזור?‬
‫)ג( כמה זמן עבר עד שאנרגית המערכת מגיעה ל־ ‪ 5%‬מערכה ההתחלתי?‬
‫‪N‬‬
‫‪m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪rad‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) ω = 34.64‬ב( ‪) 2.7%‬ג( ‪ 10‬שניות‪.‬‬
‫‪7.2.3‬‬
‫‪N‬‬
‫קוביה שמסתה ‪ m = 0.5 kg‬תלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע כח‬
‫‪ .k = 100 m‬הקוביה נמצאת בתוך נוזל צמיג‬
‫שמפעיל כח ריסון מהצורה ‪ v ) f = −0.08v‬מהירות המסה(‪ .‬מותחים את הקפיץ למרחק של ‪ 0.2 m‬מתחת לנקודת‬
‫שווי המשקל ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫אם ניתן להזניח את כח העילוי‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪91‬‬
‫)א( תוך כמה זמן תקטן אמפליטודת התנודה פי ‪?2‬‬
‫)ב( מהי מהירות הגוף ‪ 0.3‬שניות לאחר תחילת התנועה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 8.66 s‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v(t = 0.3 s) = 2.47‬‬
‫‪7.2.4‬‬
‫טריז שמסתו ‪ M = 2m‬מונח על מישור אופקי חלק ומחובר לקפיץ בעל קבוע ‪ k‬שקצהו השני מחובר לקיר‪ .‬כדור‬
‫בעל מסה ‪ m‬נע אופקית ומתנגש אלסטית )לחלוטין( בטריז‪ ,‬כך שמיד לאחר ההתנגשות הוא נע אנכית מעלה ומגיע‬
‫לגובה מקסימלי ‪ h‬מעל לנקודת ההתנגשות‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫)א( מהי אמפליטודת התנועה ‪ A‬והתדירות של התנודות ‪ ω0‬של המנסרה לאחר ההתנגשות? יש לבטא באמצעות‬
‫‪.m, k, h, g‬‬
‫)ב( כעת מפעילים על המנסרה כח ריסון פרופורציוני למהירות אך מנוגד לה‪ ,f~ = −β~v ,‬כאשר ‪ β‬קבוע כלשהו‬
‫שמקיים את התנאי ‪ .β 2 < 8mk‬נתון כי תוך זמן ‪ τ‬אמפליטודת התנודות דועכת פי ‪ . 1e‬מצאו את ‪ ,τ‬את תדירות‬
‫התנודה המרוסנת ‪ ω‬ואת עבודת כח הריסון ‪ W‬במשך המחזור ה־‪ n‬של התנועה!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫‪πβ‬‬
‫‪πβ‬‬
‫‪) A = 2mgh‬ב( ‪; W = mA2 ω 2 · e− mω ·n 1 − e mω‬‬
‫)א(‬
‫‪k‬‬
‫‪β2‬‬
‫‪16m‬‬
‫‪−‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪q‬‬
‫=‪; ω‬‬
‫‪4m‬‬
‫‪β‬‬
‫=‪τ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪92‬‬
‫‪7.3‬‬
‫תנועה הרמונית מאולצת‬
‫‪7.3.1‬‬
‫מסה נעה בהשפעת קפיץ בהתאם למשוואת התנועה‪:‬‬
‫‪x¨ + 3x = 10 cos Ωt‬‬
‫באיזו תדירות של כח מאלץ‪ ,Ω ,‬מתקבלת תהודה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪s‬‬
‫‪3 = 1.732‬‬
‫√‬
‫= ‪Ωres‬‬
‫‪7.3.2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ .k = 300 m‬כח חיצוני ‪ F (t) = 12 sin 4t N‬מנדנד את המסה‪.‬‬
‫מסה ‪ m = 20 kg‬תלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע‬
‫כמו כן על המסה פועל כח ריסון פרופורציוני למהירות ‪.f = −30v‬‬
‫מהי אמפליטודת התנודה ההרמונית המאולצת הנוצרת במצב עמיד )‪?(st eady−st at e‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A = 0.0986 m‬‬
‫‪7.3.3‬‬
‫‪N‬‬
‫מסה ‪ m = 6 kg‬תלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע‬
‫‪ k = 180 m‬ומתנודדת בתנועה הרמונית‪ .‬על המסה פועלים כח‬
‫מרסן ‪ ,f = −40v‬כאשר ‪ v‬מהירות המסה‪ ,‬וכח מאלץ ‪.F (t) = F0 cos Ωt‬‬
‫מהי תדירות הרזוננס )תהודה(‪?Ωres ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪s‬‬
‫‪Ωres = 2.79‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪93‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫גרביטציה‬
‫‪ 8.1‬חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית‬
‫‪8.1.1‬‬
‫כוכב שביט מקיף את השמש בזמן מחזור של ‪ .T = 75.6 years‬המרחק הקרוב ביותר אליו הוא מגיע מהשמש‬
‫)הפרהליון( הוא ‪ .r = 8.55 · 1010 m‬מהו מרחקו הרחוק ביותר של כוכב השביט מהשמש )האפליון(‪?x ,‬‬
‫‪sun‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪x = 5.26 · 1012 m‬‬
‫‪8.1.2‬‬
‫לווין נע בתנועה מעגלית סביב כדה״א ברדיוס סיבוב ‪ .2RE‬כמה אנרגיה דרושה כדי להעבירו לנוע בתנועה מעגלית‬
‫ברדיוס סיבוב ‪?4RE‬‬
‫‪94‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪GME m‬‬
‫‪8RE‬‬
‫= ‪∆E‬‬
‫‪8.1.3‬‬
‫אסטרונאוט שמשקלו על פני כדה״א הוא ‪ w = 980 N‬מסתובב בחללית סביב כדה״א בתנועה מעגלית קצובה‪ ,‬בגובה‬
‫‪ 1000 km‬מעל פני כדה״א‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מסת כדה״א ‪ ME = 5.98 · 1024 kg‬ורדיוס כדה״א ‪.RE = 6380 km‬‬
‫)א( הסבירו כיצד יתכן כי האסטרונאוט מרחף בתוך החללית?‬
‫)ב( במידה ואין חיכוך של החללית עם הסביבה‪ ,‬חשבו את מהירותה של החללית?‬
‫)ג( שלחו את האסטרונאוט לכוכב לכת כלשהו‪ ,‬שרדיוסו ‪ .R⋆ = 5000 km‬והוא מגלה שמשקלו על פני הכוכב הוא‬
‫‪ .w = 588 N‬מהי מסתו של הכוכב ⋆‪?m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) v = 7352‬ג( ‪m⋆ = 2.224 · 1022 m‬‬
‫‪8.1.4‬‬
‫גוף נמצא בין כדה״א לירח‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מסת כדה״א ‪ ME = 5.98 · 1024 kg‬ומסת הירח ‪ .MM = 7.35 · 1022 kg‬מרחקו של הירח מכדה״א הוא‬
‫‪.384, 400 km‬‬
‫)א( באיזה מרחק בין כדה״א לירח על לווין להימצא כך ששקול הכוחות עליו יהיה שווה לאפס?‬
‫)ב( בהזנחת האנרגיה הפוטנציאלית של הירח‪ ,‬מהי המהירות שיש להקנות ללוין על פני כדה״א כדי שיגיע למרחק‬
‫שמצאתם ב־)א(?‬
‫)ג( בהינתן שהירח מעניק אנרגיה פוטנציאלית ללווין‪ ,‬מהי המהירות שיש להקנות ללוין על פני כדה״א כדי שיגיע‬
‫למרחק שמצאתם ב־)א(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪ 3.46 · 108‬מטרים ממרכז כדה״א‪) .‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 11060.7‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪11050.4‬‬
‫‪8.1.5‬‬
‫חללית נשלחת לכוכב כלשהו לביצוע בדיקות‪ .‬היא מגלה כי רדיוסו של הכוכב הוא ‪ R⋆ = 5 · 106 m‬וכן שיש שני‬
‫ירחים‪ .‬הירח הראשון מבצע הקפה מעגלית שלמה סביב הכוכב בזמן של ‪ 24‬שעות‪ ,‬ברדיוס סיבוב של ‪.20000 km‬‬
‫הירח השני מבצע הקפה מעגלית ברדיוס כפול מהראשון אולם זמן המחזור שלו לא נמדד‪.‬‬
‫)א( מהי מסת הכוכב‪?M⋆ ,‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪95‬‬
‫)ב( מהו זמן המחזור של הירח השני?‬
‫)ג( באיזו מהירות על החללית לשגר עצמה מהכוכב כדי לנחות על הירח הראשון במהירות אפסית ביחס אליו?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) M⋆ = 6.34 · 1023 kg‬ב( ‪) 67.88 hr‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪3847.3‬‬
‫‪8.1.6‬‬
‫שני גרמי שמיים בעלי מסה ‪ m‬כל אחד‪ ,‬נמצאים בחלל‪ .‬על גרמי השמיים לא פועלים שום כוחות מלבד כוחות‬
‫הגרביטציה שהם מפעילים האחד על השני‪ .‬ברגע מסוים‪ ,‬המרחק ביניהם הוא ‪ ,r0‬לאחד יש מהירות אפס ולשני יש‬
‫מהירות ‪ v0‬בכיוון הפוך לכיוון הכח הפועל עליו )המהירויות נמדדות ביחס למערכת אינרציאלית כלשהי(‪.‬‬
‫)א( מהם הגדלים הפיסיקלים שנשמרים בבעיה?‬
‫)ב( מהו המרחק המקסימלי אליו יתרחקו הגופים זה מזה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( אנרגיה‪ ,‬תנע קווי ותנע זוויתי‪) .‬ב(‬
‫‪Gm‬‬
‫‪Gm/r0 −v02 /4‬‬
‫= ‪rmax‬‬
‫‪8.1.7‬‬
‫גוף נע בתנועה מעגלית סביב כדה״א ברדיוס סיבוב ‪ .3RE‬ברגע מסוים הגוף מתפרק לשני חלקים זהים בעלי מסה‬
‫‪ m‬כל אחד‪ .‬החלק ‪ A‬נע בזווית ◦‪ θ = 34‬ביחס לציר הרדיאלי מיד לאחר הפירוק‪ ,‬והחלק ‪ B‬נע אנכית מטה לכיוון‬
‫מרכז כדה״א מיד לאחר הפירוק‪.‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3RE‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪96‬‬
‫)א( האם יגיע החלק ‪ A‬למרחק אינסופי מכדה״א? אם לא‪ ,‬מהו המרחק המקסימלי אליו הוא יגיע?‬
‫)ב( מהי מהירות הפגיעה של החלק ‪ B‬בפני כדה״א?‬
‫)ג( מה מהירותו של החלק ‪ A‬כאשר הוא מגיע למרחק של ‪ 4RE‬ממרכז כדה״א?‬
‫)ד( מה הזווית בין וקטור המהירות לרדיוס־וקטור של החלק ‪ A‬במצב המתואר בסעיף )ג(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( כן! )ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 16302‬ג(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪) 16617‬ד( ◦‪24.3‬‬
‫‪8.1.8‬‬
‫לווין שמסתו ‪ m‬נע מסביב לכדה״א ברדיוס סיבוב ‪ .R1‬רוצים להעביר את הלווין לנוע סביב כדה׳׳א ברדיוס סיבוב‬
‫‪ .R2‬לשם כך דרושים שני שלבים‪:‬‬
‫)‪ (1‬הענקת אנרגיה ללווין כך שיגיע למרחק מקסימלי ממרכז כדה״א ששווה בדיוק לרדיוס הסיבוב הרצוי‪.‬‬
‫)‪ (2‬הענקת אנרגיה ללווין במרחק המקסימלי כדי להעניק לו את המהירות המתאימה לתנועה מעגלית ברדיוס זה‪.‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫יש לבטא את התשובות באמצעות ‪.G, ME , m, R1 , R2‬‬
‫)א( כמה אנרגיה יש להעניק ללווין בשלב )‪?(1‬‬
‫)ב( כמה אנרגיה יש להעניק ללווין בשלב )‪?(2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪i‬‬
‫‪R2 −R1‬‬
‫) ‪R1 (R2 +R1‬‬
‫‪h‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪GME m‬‬
‫‪2‬‬
‫)ב(‬
‫‪i‬‬
‫‪R2 −R1‬‬
‫) ‪R2 (R2 +R1‬‬
‫‪h‬‬
‫·‬
‫‪1‬‬
‫‪GME m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8.1.9‬‬
‫טיל בעל מסה ‪ m = 4 ton‬נורה מפני כדה״א בזווית ◦‪ α = 15‬ביחס לרדיוס־וקטור ובמהירות שגודלה ‪.v0 = 8000 ms‬‬
‫במרחק ‪ 2RE‬ממרכז כדה״א הטיל מתפרק לשני חלקים ע״י פיצוץ קצר‪ .‬החלק ‪ A‬שמסתו ‪ 23 m‬מתחיל לבצע תנועה‬
‫מעגלית סביב כדה״א מיד לאחר הפיצוץ‪ ,‬והחלק ‪ B‬שמסתו ‪ 31 m‬מתרחק מכדה״א‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪97‬‬
‫‪B‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2RE‬‬
‫)א( מהי מהירותו של הטיל והזווית ביחס לרדיוס־וקטור מיד לפני הפיצוץ?‬
‫)ב( מהי מהירותו של החלק ‪ B‬והזווית ביחס לרדיוס־וקטור מיד לאחר הפיצוץ?‬
‫)ג( האם החלק ‪ B‬יצליח לברוח מהשפעתו של כדה״א )כלומר יגיע לאינסוף(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 1295‬בזווית ◦‪ 53.13‬מימין לרדיוס־וקטור‪) .‬ב(‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ 8386‬בזווית ◦‪ 73.8‬משמאל לרדיוס־וקטור‪) .‬ג( כן!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪98‬‬
‫פיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪V‬‬
‫אייל לוי‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב‪,‬‬
‫במכללת אפקה‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים‬
‫בפני קורס חשוב זה‪.‬‬
‫הספר עוסק בפיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‪ ,‬והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־‬
‫אוניברסיטאות או מכללות‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד‪ ,‬בהתאם לתכניות הלימוד השונות‪ .‬הנסיון‬
‫מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.c o.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את התהליכים בצורה‬
‫מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון‬
‫ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה!‬
‫אייל לוי‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫חוק‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.3‬‬
‫קולומב והשדה החשמלי‬
‫מערכת מטענים נקודתיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫התפלגויות מטענים רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫חוק גאוס‬
‫‪ 2.1‬שטף חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪18‬‬
‫‪23‬‬
‫‪3‬‬
‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬
‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪4‬‬
‫קיבול‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪4.3‬‬
‫‪4.4‬‬
‫חשמלי והתנגדות חשמלית‬
‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬
‫התנגדות ‪. . . . . . . . .‬‬
‫מעגלי זרם ישר ‪. . . . . .‬‬
‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל( ‪. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪36‬‬
‫‪42‬‬
‫‪45‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫חוק קולומב והשדה החשמלי‬
‫‪ 1.1‬מערכת מטענים נקודתיים‬
‫‪1.1.1‬‬
‫מטען ‪ q1 = 1 C‬נמצא במנוחה על הקרקע‪.‬‬
‫באיזה גובה ניתן לשים מסה ‪ m = 1 ton‬בעלת מטען זהה ‪ q2 = 1 C‬שתרחף באויר כנגד כח הכובד?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪h = 958.3 m‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 , q2 , q3 , q4‬נמצאים במיקומים‪:‬‬
‫‪~r1 = (1, 1) m ; ~r2 = (−1, 1) m ; ~r3 = (−1, −1) m ; ~r4 = (1, −1) m‬‬
‫בהתאמה‪ .‬המטענים ‪ q1 = q2 = −200 µC‬והמטענים ‪ .q3 = q4 = 200 µC‬מטען נקודתי ‪ Q = 100 µC‬נמצא‬
‫בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪q4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪q3‬‬
‫)א( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?Q‬‬
‫)ב( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?q3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪F~ = (0, 254.56) N‬‬
‫‪X‬‬
‫)ב( ‪F~ = (−121.82, 58.18) N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 = q2 = q3 = q4 = 300 nC‬נמצאים במיקומים‪:‬‬
‫‪~r1 = (1, 0, 0) m ; ~r2 = (0, 1, 0) m ; ~r3 = (0, −1, 0) m ; ~r4 = (−1, 0, 0) m‬‬
‫בהתאמה‪ .‬מטען נקודתי ‪ Q = 500 nC‬נמצא על ציר ‪ z‬במיקום ‪~ = (0, 0, 3) m‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q4‬‬
‫‪q3‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪x‬‬
‫מה צריכה להיות מסתו של המטען ‪ Q‬כדי שהוא ירחף באוויר כנגד כח הכובד?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m = 52.27 kg‬‬
‫‪1.1.4‬‬
‫שני מטענים נקודתיים זהים ‪ Q‬מצאים במנוחה על ציר ‪ x‬במרחק ‪ d‬זה מזה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q‬‬
‫)א( היכן על ציר ‪ y‬מתקבל הערך המקסימלי של השדה החשמלי?‬
‫‪3‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Q‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ ,(y >> d‬השדה מתנהג כמו שדה חשמלי של מטען נקודתי בעל גודל ‪) 2Q‬המטען הכולל‬
‫של המערכת(!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫)א( √ ‪y = ±‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1.1.5‬‬
‫נתונה מערכת של שני מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬וסימן הפוך )דיפול(‪ ,‬הנמצאים על ציר ‪ x‬במיקומים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪~r1 = ( , 0) m ; ~r2 = (− , 0) m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−q‬‬
‫)א( מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר ‪ ,x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מהראשית‪ .‬יש לבטא בעזרת‬
‫‪!k, q, d, x‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי במרחק רב מהדיפול )‪?(x >> d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2kqd‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪~ >> d‬‬
‫~‬
‫‪E(x‬‬
‫‪) E(x,‬ב( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫ ‪0, 0) = kq‬‬
‫‪ −‬‬
‫)א( )‪ · (1, 0, 0‬‬
‫‪x − d 3 x + d 3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.1.6‬‬
‫נתונה מערכת של ארבעה מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬כל אחד‪ ,‬הנמצאים בקודקודיו של ריבוע בעל צלע ‪2a‬‬
‫שמרכזו בראשית‪ .‬לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך )קוואדרופול(‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫)א( מצאו את הכח שפועל על מטען נקודתי ‪ Q‬שמונח על ציר ‪ x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מראשית הצירים! יש‬
‫לבטא באמצעות ‪.k, Q, q, a, x‬‬
‫)ב( מהו הכח שיפעל על ‪ Q‬אילו הוא היה ממוקם במרחק רב מהראשית )‪?(x >> a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫‪[(x + a)2 + a2 ]3/2‬‬
‫‪2kqQa2‬‬
‫= )‪F~ (x >> a‬‬
‫)ב( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[(x − a)2 + a2 ]3/2‬‬
‫"‬
‫‪5‬‬
‫· ‪F~ (x, 0, 0) = 2kqQa‬‬
‫‪1.2‬‬
‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי‬
‫‪1.2.1‬‬
‫פרוטון )מטענו ‪ qp = 1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (mp = 1.67 · 10−27 kg‬מוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם‬
‫‪ .d = 0.8 cm‬הלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם השדה החשמלי אחיד המכוון אנכית מטה וגודלו ‪.E = 3 · 104 NC‬‬
‫הפרוטון מוכנס בצמוד ללוח העליון עם מהירות אופקית ‪.v0 = 5 · 106 ms‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫)א( תוך כמה זמן יפגע הפרוטון בלוח התחתון?‬
‫)ב( מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 7.47 · 10−8 s‬ב( ‪x = 37.4 cm‬‬
‫‪1.2.2‬‬
‫נתונים שני לוחות אינסופיים‪ .‬מזריקים גוף שמסתו ‪ M = 5 gr‬ומטענו ‪ Q = −10 µC‬אל בין הלוחות‪ .‬מהו גודלו‬
‫וכיוונו של שדה חשמלי שיש ליצר בין הלוחות כדי שהמטען יתמיד במגמת תנועתו‪ ,‬כלומר ימשיך לנוע בקו ישר‪,‬‬
‫אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה?‬
‫‪v0‬‬
‫‪g‬‬
‫‪M, Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ E = 4900‬במגמה אנכית מטה‪.‬‬
‫‪1.2.3‬‬
‫נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם ‪ d = 0.7 cm‬ושאורך כל אחד מהם הוא ‪ .L = 10 cm‬הלוחות‬
‫טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו ‪ .E = 2500 NC‬אלקטרון )מטענו‬
‫‪ qe = −1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (me = 9.11 · 10−31 kg‬מוזרק אל בין שני לוחות בצמוד לקצה השמאלי של הלוח‬
‫התחתון במהירות שגודלה ‪.v0 = 1 · 107 ms‬‬
‫‪6‬‬
‫‪L‬‬
‫‪d‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪θ‬‬
‫מהו תחום הזוויות ‪ θ‬עבורו ניתן להזריק את האלקטרון‪ ,‬כדי שהוא לא יפגע באף אחד מהלוחות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪14.36◦ > θ > 13.04‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1.3‬‬
‫התפלגויות מטענים רציפות‬
‫‪1.3.1‬‬
‫נתונה קשת מעגלית בעלת רדיוס ‪ ,R‬הנשענת על זווית ‪ θ‬וטעונה בצפיפות מטען קווית ) ‪ ,λ(θ′‬כאשר ‪ θ′‬הזווית מציר‬
‫‪ .x‬מרכזה של הקשת בנקודה ‪.O‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪λ(θ′‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪O‬‬
‫)א( חשבו את המטען הכולל לאורך הקשת אם נתון כי צפיפות המטען‬
‫‪ (1‬אחידה‪λ(θ′ ) = λ0 :‬‬
‫‪ (2‬משתנה‪λ(θ′ ) = λ0 sin θ′ :‬‬
‫)ב( חשבו את השדה החשמלי שמפעילה הקשת בנקודה ‪ O‬עבור שתי צפיפויות המטען שנתונות ב־)א(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ 0, 0) = (2 E(0,‬‬
‫)א( ‪) λ0 R(1 − cos θ) (2 q = λ0 Rθ (1‬ב( ‪~ 0, 0) = kλ0 (− sin θ, cos θ − 1, 0) N (1‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‬
‫‪kλ0‬‬
‫‪sin2 θ θ sin 2θ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪−‬‬
‫‪,− +‬‬
‫‪,0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1.3.2‬‬
‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה‬
‫‪C‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.λ = 5 · 10−6‬‬
‫‪λ‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬כלומר כפונקציה של המרחק האנכי מציר התיל‪r ,‬‬
‫)רדיוס גלילי(!‬
‫)ב( מניחים מטען נקודתי ‪ Q = 10 µC‬במרחק ‪ r = 10 cm‬מהתיל‪ .‬מהו הכח החשמלי שמרגיש המטען?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪9 · 104 N‬‬
‫)א(‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪) E(r‬ב( ‪F = 9 N‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1.3.3‬‬
‫תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ λ‬מכופף באמצעו כך שהוא יוצר קשת שצורתה חצי מעגל שרדיוסו‬
‫‪.R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה ‪ ,O‬מרכז הקשת המעגלית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ 0, 0) = 0‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.4‬‬
‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0, y, 0‬‬
‫‪x‬‬
‫הראו כי השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ (0, y, 0‬הוא‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪~ y, 0) = p 2kQ‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫)‪(0, 1, 0‬‬
‫‪y L2 + 4y 2‬‬
‫‪1.3.5‬‬
‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי ‪ q = 1 µC‬שמיקומו ראשית הצירים‪ ,‬ובין מוט דק שאורכו‬
‫‪ ,L = 0.2 cm‬הטעון בצפיפות מטען קווית ‪ λ(x) = 100x2 mC‬כאשר נתון כי המוט שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬
‫השמאלי נמצא במרחק ‪ x = L‬מהראשית‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪λ(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F = 1800 N‬‬
‫‪1.3.6‬‬
‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין שני מוטות דקים שאורכו של כל אחד מהם הוא ‪ .L‬כל מוט טעון בצפיפות מטען‬
‫אחידה ‪ .λ‬מוט אחד שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו השמאלי בראשית‪ ,‬והמוט השני שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬
‫השמאלי במרחק ‪ 2L‬מהראשית‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‬
‫‪4‬‬
‫‪kλ2‬‬
‫‪F = ln‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.3.7‬‬
‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית )‪ λ(θ‬כאשר ‪ θ‬הזווית שנמדדת על מישור ‪ xy‬מציר‬
‫ה־ ‪.x‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪λ(θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ (z‬עבור‪:‬‬
‫‪λ(θ) = λ0 (1‬‬
‫‪λ(θ) = λ0 sin θ (2‬‬
‫)ב( במקרה של צפיפות מטען אחידה‪ ,‬הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪zˆ (1‬‬
‫‪2πkλ0 Rz‬‬
‫‪(R2 + z 2 )3/2‬‬
‫= )‪~ 0, z‬‬
‫‪yˆ (2 E(0,‬‬
‫‪πkλ0 R2‬‬
‫‪z 2 )3/2‬‬
‫‪(R2 +‬‬
‫‪~ 0, z) = −‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.8‬‬
‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪!(z‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬
‫)ג( בעזרת הפתרון לסעיף )א(‪ ,‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי )הטעון בצפיפות משטחית אחידה(‬
‫בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ˆ‪z‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‪−‬‬
‫|‪|z‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫חיובי מתאר דחייה(‪.‬‬
‫‬
‫‪σ‬‬
‫‪~ 0, z) = 2πkσz‬‬
‫‪) E(0,‬ג(‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪11‬‬
‫= ‪ E = 2πkσ‬בכיוון מאונך למישור בכל נקודה )סימן‬
‫‪1.3.9‬‬
‫נתון גליל מלא שרדיוסו ‪ R‬וגובהו ‪ H‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪.ρ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪R‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר הגליל לאורך הציר האנכי מרכזי שלו )ציר ‪!(z‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫ˆ‪R2 + (z − H)2 − R2 + z 2 z‬‬
‫‬
‫‪~ 0, z) = 2πkρ 2z − H +‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.10‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי במרכזה של קליפה חצי כדורית הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫= ‪E = πkσ‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫חוק גאוס‬
‫‪ 2.1‬שטף חשמלי‬
‫‪2.1.1‬‬
‫חשבו ישירות מההגדרה את השטף החשמלי של שדה חשמלי אחיד ~‪ E‬דרך מנסרה משולשת )חתך שהוא משולש‬
‫שווה שוקיים בעל אורך שוק ‪ a‬ואורך בסיס ‪ .b‬עומקה של המנסרה ‪ .(c‬השדה מאונך לבסיס‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪φE = 0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2.1.2‬‬
‫נתון קוואדרופול חשמלי )מערך של שני דיפולים חשמליים( כמשורטט‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪q‬‬
‫חשבו בעזרת חוק גאוס מהו השטף החשמלי דרך כל אחד מהמשטחים הצבעוניים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2q‬‬
‫= )אפורה( ‪; φE‬‬
‫‪) = −‬ירוקה( ‪) = 0 ; φE‬אדומה( ‪; φE‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= )כחולה( ‪φE‬‬
‫‪2.1.3‬‬
‫נתון מלבן שנמצא על מישור ‪ x − y‬בעל צלעות ‪) a = 1 m‬לאורך ציר ‪ (x‬ו־‪) b = 2 m‬לאורך ציר ‪ .(y‬המלבן נמצא‬
‫ברביע הראשון כך שקצה אחד שלו בראשית‪ .‬כמו כן נתון כי בכל המרחב קיים שדה חשמלי‪:‬‬
‫‪~ = (3x2 y, 3xy 2, x2 y + y 2z + z 2 x) N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו השטף של השדה החשמלי דרך המלבן?‬
‫)ב( מהו השטף דרך המלבן אם נתון כי מרימים את המלבן ‪ 2‬מטרים כך שהוא נמצא על המישור ‪?z = 2 m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪a3 b2 2 3‬‬
‫‪N · m2‬‬
‫‪a3 b2‬‬
‫‪2 N · m2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪φE‬‬
‫‪+ ab + 2a b = 10‬‬
‫= ‪) φE‬ב(‬
‫=‬
‫)א(‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2.1.4‬‬
‫מטען נקודתי ‪ q‬נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של דיסקה שרדיוסה ‪.R‬‬
‫‪q‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬
‫)ב( השתמשו בפתרון ל־)א( כדי לחשב את השטף החשמלי דרך מישור אינסופי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪q‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪φE = 2πkq‬‬
‫‪) φE = 2πkq 1 − √ 2‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪R + h2‬‬
‫‪2.1.5‬‬
‫חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ ; φE‬משמאל‬
‫שורה ראשונה‪ :‬מימין‬
‫‪8ε0‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ ; φE‬משמאל‬
‫שורה שניה‪ :‬מימין‬
‫= ‪φE‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= ‪φE‬‬
‫‪15‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2.1.6‬‬
‫מוט דק שאורכו ‪ h‬טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ .λ‬המוט שוכב לאורך הציר האנכי־מרכזי של דיסקה שרדיוסה‬
‫‪ R‬כך שקצהו התחתון נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של הדיסקה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫√‬
‫‪φE = 2πkλ h − R2 + 4h2 + R2 + h2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי(‬
‫‪2.2.1‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי ‪ Q‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r2‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ .R‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר הכדור בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪ ,‬אם‬
‫נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא‪:‬‬
‫)א( קבועה ‪ρ(r) = ρ0‬‬
‫‪r2‬‬
‫)ב( תלויה במרחק מהמרכז ‪:r‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪ρ(r) = ρ0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪2.2.3‬‬
‫‪ ρr‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪) E(r) = 3ε‬ב(‬
‫‪ρR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪3ε0 r 2‬‬
‫‪ρ0 3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪5ε0 R2‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪ρ R3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫·‬
‫‪5ε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הקליפה בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫)ב( הראו כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר דרך צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬שווה ל־‬
‫‪σ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪∆E‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫)א(‬
‫=‪E‬‬
‫‪σR2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫>‬
‫‪R‬‬
‫‪ε0 r 2‬‬
‫‪2.2.4‬‬
‫קליפה כדורית עבה‪ ,‬בעלת רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ b‬טעונה בצפיפות מטען נפחית‬
‫נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬
‫)א( מה צריך להיות הקבוע ‪ A‬כדי שהשדה החשמלי בכל מקום בתחום ‪ a ≤ r ≤ b‬יהיה קבוע?‬
‫)ב( עבור הקבוע שמצאתם ב־)א(‪ ,‬מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r‬‬
‫‪17‬‬
‫= )‪ .ρ(r‬במרכז המערכת‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r≤a‬‬
‫)א( ‪) A = Q‬ב( ‪a ≤ r ≤ b‬‬
‫‪πa2‬‬
‫‪r≥a‬‬
‫‪2.2.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪4πε0a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת עובי‪ ,‬שרדיוסה הפנימי ‪ R‬והחיצוני ‪ .2R‬הקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית‬
‫‪ .ρ(r) = ρ0 Rr‬במרחק ‪ 3R‬ממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו ‪ 2R‬הטעון צפיפות מטען‬
‫‪.λ(r) = λ0 r‬‬
‫)‪ρ(r‬‬
‫)‪λ(r‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪2R‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום לאורך הציר הרדיאלי ˆ‪ r‬בתחום ‪?0 < r < 3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫)ב( מהו הכח שמפעיל הכדור על המוט?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪r − 5R‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−kλ0 · ln‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪r − 5R‬‬
‫) ‪ρ0 R(r 2 − R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪R ≤ r ≤ 2R‬‬
‫‪− kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫~‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫= )‪E(r‬‬
‫)א(‬
‫‪‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪r − 5R‬‬
‫‪3ρ0 R3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪2R ≤ r < 3R‬‬
‫‪− kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3ρ‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪5R‬‬
‫‪0R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r > 5R‬‬
‫‪+ kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫ ‬
‫‪ρ0 λ0 R3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫~‬
‫·‬
‫)ב( ˆ‪r‬‬
‫‪F = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪18‬‬
‫‪2.2.6‬‬
‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬יוצרים בכדור חלל כדורי בעל בעל רדיוס ‪r‬‬
‫כך שמרכזו נמצא בוקטור מיקום ‪ ~a‬ביחס למרכז הכדור‪ .‬נתון ‪.R > r + a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ = ρ~a‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‪2.2.7‬‬
‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬
‫‪λ‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2kλ‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‬
‫‪2πε0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪2.2.8‬‬
‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‬
‫‬
‫‪2πr‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫‪ρ0 R‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪r‬‬
‫לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה ‪.σ‬‬
‫מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪ ,‬כתלות במרחק האנכי מציר הגליל )‪ ,r‬הרדיוס הגלילי(‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪R‬‬
‫‪σ‬‬
‫)‪ρ(r‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‬
‫‪2πr‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪2.2.9‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪ρ0 R2 · 1 − cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2πε0 r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪σR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε0 r‬‬
‫שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען ‪ +σ‬ו־ ‪ .−σ‬המרחק בין הלוחות הוא ‪.d‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫)ב( ממלאים את המרחב שבין הלוחות בחומר בעל צפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬מהו השדה החשמלי בכל נקודה‬
‫במרחב במצב החדש?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫< |‪|z‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫> |‪|z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ E(z) = ε0‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪) .‬ב(‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪.‬‬
‫‪z < − d2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫<‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− d2 z‬‬
‫>‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ρz 0 σ‬‬
‫‪ E(z) = ε − ε‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪2.2.10‬‬
‫לוח אינסופי בעל עובי ‪ d = 8 cm‬טעון בצפיפות מטען נפחית‬
‫הלוח )כלומר‪ ,‬ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח(‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪C‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪ ,ρ(z) = 5 · 10−5 z 2‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי ממרכז‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה המרחב?‬
‫)ב( מוט דק בעל אורך ‪ L = d‬מונח לאורך ציר ‪ z‬כשקצהו התחתון בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל‬
‫‪ .Q‬מהו הכח שמרגיש המוט?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫)א(‬
‫‪C‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ |‪|z‬‬
‫≥ |‪|z‬‬
‫‪1884955.6 · z 3‬‬
‫‪120.6‬‬
‫(‬
‫= )‪) E(z‬ב( ‪ F = Q · 75.4 N‬בכיוון דחייה מהלוח‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי(‬
‫‪2.3.1‬‬
‫נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫~‬
‫)‪E(r‬‬
‫ˆ‪= r‬‬
‫‪r‬‬
‫מצאו את התפלגות המטען )‪ ρ(r‬שיוצרת את השדה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 α‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪2.3.2‬‬
‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫ˆ‪E0 r‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( האם יש מטענים נקודתיים במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן־ מהו גודלם והיכן הם נמצאים?‬
‫)ב( האם יש צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬
‫)ג( האם יש צפיפות מטען נפחית ‪ ρ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( לא! נוכחות מטען נקודתי יוצרת שדה חשמלי שתלוי במרחב באופן‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε0E0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫)ב( ‪) σ = −ε0 E0‬ג(‬
‫‪r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r>R‬‬
‫∝ ‪.E‬‬
‫‪2.3.3‬‬
‫נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪R < r ≤ 2R‬‬
‫‪r ≥ 2R‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪ Q r 4‬‬
‫~‬
‫ˆ‪− 1 r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪4ε0 r 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ 15Q r‬‬
‫‪4ε0 r 2‬‬
‫‪22‬‬
‫כאשר ‪ Q‬קבוע בעל יחידות של מטען‪ ,‬ו־ ‪ R‬קבוע בעל יחידות של מרחק‪.‬‬
‫איזה מערך מטענים יוצר שדה זה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪Qr‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪ R‬וצפיפות מטען נפחית‬
‫מטען נקודתי ‪ Q‬במרכז )‪ ,(r = 0‬צפיפות מטען משטחית‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4πR2‬‬
‫בתחום ‪.R < r ≤ 2R‬‬
‫‪23‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬
‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי‬
‫‪3.1.1‬‬
‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של מערך של זוג מטענים ‪ q1‬ו־ ‪ q2‬שנמצאים במרחק ‪ r‬זה מזה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq1 q2‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪3.1.2‬‬
‫ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו ‪ ,a‬כמשורטט‪ .‬המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים‬
‫לנוע‪.‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪v‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪a‬‬
‫)א( חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך )כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו(‪.‬‬
‫)ב( המטען ‪ 2q‬משוחרר ויכול לנוע במרחב‪ .‬ברגע מסוים הוא מגיע למרכז הריבוע‪ .‬מהי מהירותו שם‪ ,v ,‬אם נתון‬
‫כי מסתו היא ‪?m‬‬
‫‪24‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫)א(‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫‪) U = −3.88‬ב(‬
‫‪ma‬‬
‫‪r‬‬
‫‪v = 0.7‬‬
‫‪3.1.3‬‬
‫זוג מטענים זהים ‪ q‬המרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)א( ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪− xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ(~r) = kq  q‬‬
‫‪3.1.4‬‬
‫דיפול חשמלי נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול?‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)א( ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪kqxd‬‬
‫‪) ϕ(~r) = kq  q‬ב(‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 2 − xd +‬‬
‫= )‪ϕ(r ≫ d‬‬
‫‪3.1.5‬‬
‫בשמונת קודקודי קוביה שצלעה ‪ a‬נמצאים שמונה מטענים זהים בגודלם ‪ ,q‬אך סימנם של כל זוג שכנים קרובים הוא‬
‫הפוך‪.‬‬
‫)א( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך?‬
‫‪25‬‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬
‫)ג( מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי ‪ Q‬מאינסוף למרכז הקוביה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫)א(‬
‫‪a‬‬
‫‪) U = −5.82‬ב( ‪) = 0‬מרכז(‪) ϕ‬ג( ‪W = 0‬‬
‫‪3.1.6‬‬
‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2πkλR‬‬
‫√ = )‪ϕ(0, 0, z‬‬
‫)א(‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫‪26‬‬
‫‪3.1.7‬‬
‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫)ג( נתון‪ R = 20 cm :‬ו־ ‪ .σ = 3 · 10−8 mC2‬מטען נקודתי ‪ q = −10 µC‬שמסתו ‪ m = 2 gr‬נעזב ממנוחה בגובה‬
‫‪ z = 30 cm‬מעל מרכז הדיסקה‪ .‬באיזו מהירות הוא יפגע בדיסקה? )הזניחו גרביטציה(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫)א( |‪− |z‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪R2‬‬
‫√‬
‫‪m‬‬
‫· ‪) ϕ(0, 0, z) = 2πkσ‬ג(‬
‫‪v = 1.54‬‬
‫‪s‬‬
‫‪3.1.8‬‬
‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0, y, 0‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ ,(0, y, 0‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ניתן להשתמש באינטגרל‪= ln x + x + a :‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫√‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+ y2‬‬
‫‪+ y2‬‬
‫‬
‫‪L 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪L 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− L2‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪· ln ‬‬
‫‪L‬‬
‫= )‪ϕ(0, y, 0‬‬
‫‪27‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3.1.9‬‬
‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‪:‬‬
‫)א( אחידה ‪ ,ρ‬בשני מקרים‪:‬‬
‫‪ (1‬ביחס לאינסוף )כלומר ‪.(ϕ(∞) = 0‬‬
‫)כלומר ‪.(ϕ(R) = 0‬‬
‫‪ (2‬ביחס לשפת‬
‫הכדור ‬
‫‪r‬‬
‫)ב( תלויה ברדיוס‬
‫‪ ,ρ(r) = ρ0 · 1 +‬בשני המקרים הנתונים ב־)א(‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫)א( ‪(1‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫)ב( ‪(1‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪3.1.10‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2 ρr 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= )‪(2 ϕ(r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3ε0 r‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪5ρ0 R2‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7ρ0 R‬‬
‫‪12ε0 r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2 ρr 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2‬‬
‫‪ρR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3ε0 r‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρ0 R2‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12R‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(2‬‬
‫)‪ϕ(r‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪7ρ0 R2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫·‬
‫‪−1‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪12ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R‬טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב‪.‬‬
‫)ב( יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי )שמרכזו במרכז הכדור( בעל רדיוס ‪ .0.3R‬חשבו מחדש את הפוטנציאל‬
‫החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫)ג( במצב של )ב(‪ ,‬חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב אם נתון כי במרכז נמצא מטען נקודתי ‪.−Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫לאינסוף!‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ≤ 0.3R‬‬
‫‪R‬‬
‫= )‪ ϕ(r‬ביחס לאינסוף! )ב( זהה ל־)א(‪) .‬ג(‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ≤ 0.3R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ kQ − kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ϕ(r) = 0.3R‬ביחס‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3.1.11‬‬
‫שתי קליפות מוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה‪ .‬לקליפה הפנימית רדיוס פנימי ‪R1‬‬
‫וחיצוני ‪ .R2‬לקליפה החיצונית רדיוס פנימי ‪ R3‬ורדיוס חיצוני ‪ .R4‬נתון כי הקליפה הפנימית נייטרלית‪ ,‬והחיצונית‬
‫טעונה במטען כולל ‪ .Q‬כמו כן‪ ,‬במרכז המערכת נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬
‫‪28‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים‪.‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬
‫)ג( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪; σ2‬‬
‫‪; σ3 = −‬‬
‫= ‪; σ4‬‬
‫)א(‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πR1‬‬
‫‪4πR2‬‬
‫‪4πR3‬‬
‫‪2πR42‬‬
‫‪) σ1 = −‬ב( ‪R3 < r < R2‬‬
‫‪R3 < r < R4‬‬
‫‪r > R4‬‬
‫‪r ≤ R1‬‬
‫‪R1 ≤ r ≤ R2‬‬
‫)ג( ‪R2 ≤ r ≤ R3‬‬
‫‪R3 ≤ r ≤ R4‬‬
‫‪r ≥ R4‬‬
‫‪3.1.12‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r R1 R2 R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R2 R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2πε0 r 2‬‬
‫שני כדורים מוליכים‪ ,‬האחד בעל רדיוס ‪ R1 = R‬והשני בעל רדיוס ‪ R2 = 2R‬נמצאים במרחק רב זה מזה )כך שאינם‬
‫משפיעים זה על זה(‪ .‬כל אחד מהכדורים טעון במטען ‪ .q‬מחברים את הכדורים בעזרת חוט מוליך דק‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫מהו המטען על כל אחד מהכדורים לאחר זמן רב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪q1 = q ; q2 = q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.1.13‬‬
‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R1 = 0.1 m‬טעון במטען כולל ‪ .Q = 100 nC‬מסביב לכדור ישנה קליפה כדורית מוליכה‬
‫קונצנטרית בעלת רדיוס ‪ .R2 = 0.15 m‬נתון כי הקליפה מוארקת‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב‪.‬‬
‫)ב( מצאו את השדה החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬
‫)ד( משחררים ממנוחה מטען נקודתי ‪ q = −1 nC‬שמסתו ‪kg‬‬
‫באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך?‬
‫‪ m = 3.2 · 10−6‬בצמוד לחלק הפנימי של הקליפה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.−Q = −100‬‬
‫)א( על שפת הכדור המוליך מטען‬
‫‪ Q = 100 nC ‬ועל הקליפה המוליכה מטען ‪ nC‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪N‬‬
‫)ב(‬
‫‪C‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪r > R2‬‬
‫‪3.1.14‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪900‬‬
‫= )‪) E(r‬ג( ‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪r > R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪900‬‬
‫= )‪) ϕ(r‬ד(‬
‫‪− 6000‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 1.37‬‬
‫במערכת כדורית קונצנטרית‪ ,‬מטען נקודתי ‪ Q‬נמצא במרכז‪ .‬מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת‬
‫רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ .b‬הקליפה העבה מוארקת‪ .‬מסביב לקליפה העבה ישנה קליפה דקה בעלת רדיוס ‪ c‬הטעונה‬
‫‪30‬‬
‫באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית ‪.σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫)א( מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה?‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r6a‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪) σa = − 4πa‬ב( ‪V‬‬
‫)א( ‪2 ; σb = −σc‬‬
‫‪a6r6b‬‬
‫‪b6r6c‬‬
‫‪r>c‬‬
‫‪3.1.15‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πkσc 1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 4πkσc (c − b‬‬
‫‪r‬‬
‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען אחידה ‪.ρ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪4πρ2 R5‬‬
‫‪15ε0‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪3.1.16‬‬
‫גליל אינסופי מבודד שרדיוסו ‪ R1 = R‬טעון בצפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = Ar‬כאשר ‪ r‬המרחק האנכי מציר הגליל‪.‬‬
‫הגליל מוקף בקליפה גלילית מוליכה קואקסיאלית )בעלות ציר משותף( שרדיוסה ‪ .R2 = 1.5R‬נתון כי הקליפה‬
‫נייטרלית‪ .‬נתון כי הפוטנציאל החשמלי במרחק ‪ r = 2R‬שווה לאפס )זהו ה־ ‪.(r ef‬‬
‫‪31‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום במרחב )ביחס ל־ ‪?(r ef‬‬
‫)ב( מאריקים את הקליפה המוליכה‪ .‬מהי צפיפות המטען עליה לאחר זמן רב?‬
‫)ג( מהי האנרגיה החשמלית של המערכת ליחידת אורך במצב של סעיף )ב(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r6R‬‬
‫)א(‬
‫‪r>R‬‬
‫‪3.1.17‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ar 3‬‬
‫‪AR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− 0.11‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 6‬‬
‫‪AR‬‬
‫‪πA R‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪) σ = −‬ג(‬
‫· ‪= 0.572‬‬
‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪9ε0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AR‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‪2R‬‬
‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ E0 r‬‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( מהו מערך המטענים שנמצא במרחב?‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫)ג( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 E0‬‬
‫‪ε E‬‬
‫)א( צפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = 0 2 0‬בתחום ‪ r < R‬וכן צפיפות מטען משטחית‬
‫‪r‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‬
‫‬
‫)ב(‬
‫= )‪) ϕ(r‬ג( ‪U = 2πε0E0 R‬‬
‫‪ −E0 ln r‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3.1.18‬‬
‫נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות‪:‬‬
‫‪A cos θ‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪ϕ(r, θ‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪.r = R‬‬
‫כאשר ‪ A‬קבוע כלשהו‪ θ ,‬הזווית ביחס לציר ‪ z‬ו־‪ r‬המרחק מהראשית‪.‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום במרחב?‬
‫)ב( מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A sin θ‬‬
‫‪2A cos θ‬‬
‫· ˆ‪~ θ, φ) = r‬‬
‫‪) E(r,‬ב( דיפול חשמלי שנמצא על ציר ‪ .z‬את הפוטנציאל הנתון יוצר דיפול‬
‫· ˆ‪+ θ‬‬
‫)א(‬
‫‪r3‬‬
‫‪r3‬‬
‫חשמלי כאשר המרחק בין המטענים הוא קטן מאד יחסית ל־ ‪.r‬‬
‫‪3.1.19‬‬
‫נתון גליל מלא אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬שצפיפות המטען עליו )‪ ρ(r‬לא ידועה‪ ,‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק מציר הגליל‪.‬‬
‫נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא‪:‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫כאשר ‪ ϕ0‬הוא פוטנציאל כלשהו‪.‬‬
‫)א( מהו הקבוע ‪?C‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬
‫)ג( מהי צפיפות המטען‪ ,ρ(r) ,‬בכל מקום במרחב?‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − ϕ0 r + C‬‬
‫‪R2‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ϕ0 ln r‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) C = ϕ0‬ב(‬
‫‪r<R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪3.1.20‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ϕ r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪R2‬‬
‫~‬
‫)‪) E(r‬ג(‬
‫· ˆ‪= r‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 4ε0 ϕ0‬‬
‫‪R2‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫בקואורדינטות כדוריות נתון כי הפוטנציאל בתחום ‪ r < R‬הוא‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ϕ(r < R) = A r −‬‬
‫‪2‬‬
‫וכן שהשדה החשמלי בתחום ‪ r > R‬הוא‬
‫ˆ‪~ > R) = B r‬‬
‫‪E(r‬‬
‫‪r2‬‬
‫כאשר ‪ A‬ו־ ‪ B‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( מהו הפוטנציאל בכל מקום?‬
‫‪33‬‬
‫)ב( מהו השדה בכל מקום?‬
‫)ג( מצאו את היחס ‪. BA‬‬
‫)ד( מצאו את התפלגות המטענים במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪ A r−‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪2‬‬
‫)א(‬
‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪5ε AR‬‬
‫)ד( צפיפות מטען משטחית‬
‫‪ σ = 0‬במיקום ‪ r = R‬וכן צפיפות מטען נפחית‬
‫‪4‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪ −2A r −‬‬
‫‪B‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫=‬
‫)‪) E(r‬ג(‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ B r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε0 (R − 3r) r < R‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ 0‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית‬
‫‪4.1‬‬
‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬
‫‪4.1.1‬‬
‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות‪ .‬הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים‪ ,‬ששטחם ‪ A‬והמרחק‬
‫ביניהם ‪ .d‬יש להניח כי ‪ ,A ≫ d2‬כלומר ניתן להתייחס ללוחות כאל אינסופיים‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהלוח התחתון‬
‫לעליון‪ ,‬כך שהלוח העליון טעון במטען ‪ Q‬והתחתון במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי‬
‫עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 εr A‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪4.1.2‬‬
‫חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות‬
‫בעלות רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ ,R2‬ומעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪Q‬‬
‫והחיצונית במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪35‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪4πε0 εr R1 R2‬‬
‫) ‪(R2 − R1‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪4.1.3‬‬
‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל גלילי )ליחידת אורך(‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות גליליות בעלות‬
‫רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ .R2‬יש להניח כי אורך הקליפות ‪ L‬הרבה יותר גדול מהרדיוסים שלהן‪ ,‬כך שניתן להתייחס אליהן‬
‫כאל אינסופיות‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪ Q‬והחיצונית‬
‫במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2πε0εr‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫) ‪ln (R2 /R1‬‬
‫‪4.1.4‬‬
‫מהו הקיבול השקול של‪:‬‬
‫)א( שני קבלים המחוברים במקביל?‬
‫)ב( שני קבלים המחוברים בטור?‬
‫)ג( שלושה קבלים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬
‫)ד( שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט?‬
‫‪C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫)א(‬
‫‪C1‬‬
‫‪C3‬‬
‫)ג(‬
‫)ב(‬
‫‪36‬‬
‫)ד(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪C1 C2 + C1 C3 + C2 C3‬‬
‫‪CC‬‬
‫)א( ‪) Ctot = C1 + C2‬ב( ‪) Ctot = 1 2‬ג(‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫= ‪) Ctot‬ד( ‪Ctot = C1 + C2 + C3‬‬
‫‪4.1.5‬‬
‫קיבולו של קבל לוחות בריק הינו ‪ .C0‬ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ‪ ,εr‬בשני אופנים שונים‪,‬‬
‫כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬
‫‪εr‬‬
‫‪εr‬‬
‫)ב(‬
‫)א(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫= ‪) Ctot‬ב( ‪C0‬‬
‫)א( ‪C0‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ctot‬‬
‫‪4.1.6‬‬
‫קבל כדורי מורכב מרדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ .3a‬אל תוך הקבל מכניסים חומר דיאלקטרי בעל מקדם ‪ εr‬כך‬
‫שהוא ממלא רק את חלק מנפחו‪ ,‬בשני אופנים שונים‪ ,‬כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬
‫‪εr‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)א(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪24πε0εr a‬‬
‫)א(‬
‫‪3 + εr‬‬
‫= ‪) Ctot‬ב( ‪Ctot = 3πε0 (1 + εr )a‬‬
‫‪4.1.7‬‬
‫קבל לוחות עשוי מלוח ריבועי ששטחו ‪ ,A = L × L‬ומרחק בין הלוחות ‪.d‬‬
‫מטים את אחד הלוחות בזווית קטנה ‪.θ ≃ sin θ ≃ tan θ‬‬
‫מהו קיבול הקבל?‬
‫‪x2‬‬
‫ניתן להשתמש בקירוב‬
‫‪2‬‬
‫‪ln (1 + x) ≃ x −‬‬
‫‪37‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫)ב(‬
‫‪εr‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪L‬‬
‫‪ε0 L2‬‬
‫‪1− θ‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪4.1.8‬‬
‫במעגל המופיע בשרטוט מחוברים שני קבלים ‪ C1‬ו־ ‪ C2‬ומקור מתח ‪.V‬‬
‫)א( כאשר המפסק ‪ S‬נמצא במצב השמאלי‪ ,‬הקבל ‪ C1‬נטען‪ .‬לאחר גמר הטעינה‪ ,‬מה יהיה המתח עליו? המטען‬
‫עליו? והאנרגיה האגורה בו?‬
‫)ב( כאשר מעבירים את המפסק למצב הימני )לאחר ש־ ‪ C1‬נטען( חלק מהמטען יעבור לקבל ‪ .C2‬לאחר גמר המעבר‪,‬‬
‫מה יהיה המתח על כל אחד מהקבלים? המטען על כל אחד מהקבלים? והאנרגיה האגורה בכל אחד מהקבלים?‬
‫‪S‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪V‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( ‪V1 = V ; Q1 = C1 V ; U1 = C1 V 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1 C2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪V1 = V2‬‬
‫= ‪V ; Q1‬‬
‫= ‪V ; Q2‬‬
‫)ב( ‪V‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 C12 C2‬‬
‫‪C13‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪U1‬‬
‫‪V‬‬
‫;‬
‫‪U‬‬
‫‪V2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬
‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬
‫‪4.1.9‬‬
‫שלוש קליפות כדוריות )דקות( מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים‪:‬‬
‫‪R1 = R ; R2 = 3R ; R3 = 5R‬‬
‫מחוברות לסוללה בת מתח ‪ ,V‬באופן הבא‪:‬‬
‫הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה‪ ,‬והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי‪.‬‬
‫כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫‪V‬‬
‫)א( מהם המטענים על כל אחת מהקליפות?‬
‫)ב( מהו קיבול המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪3V R‬‬
‫‪9V R‬‬
‫‪15V R‬‬
‫‪; q2 = −‬‬
‫= ‪; q3‬‬
‫)א(‬
‫‪2k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2k‬‬
‫= ‪) q1‬ב( ‪C = 36πε0 R‬‬
‫‪4.1.10‬‬
‫שני קבלי לוחות זהים‪ ,‬בעלי שטח ‪ A‬ומרחק בין לוחות ‪ d‬מחוברים כמתואר בשרטוט‪ .‬כל אחד מהקבלים טעון‬
‫במטען זהה ‪) Q‬כלומר שלוח אחד של כל קבל טעון במטען חיובי והשני במטען שלילי(‪ .‬מכניסים חומר עם מקדם‬
‫דיאלקטרי ‪ εr‬לתוך הקבל הימני‪ ,‬כך שהוא ממלא את כל נפח הקבל‪.‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−Q‬‬
‫‪−Q‬‬
‫)א( מהו המטען על כל אחד מהקבלים זמן רב לאחר הכנסת הלוח?‬
‫)ב( מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2εr‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Q ; q2‬‬
‫)א( ‪Q‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫= ‪) q1‬ב(‬
‫‬
‫‪1 − εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‬
‫‪Q2 d‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫= ‪W‬‬
‫‪4.1.11‬‬
‫קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪ d = 5 mm‬מחובר לסוללה בת מתח‬
‫‪ .V = 250 V‬מכניסים לתוך הקבל לוח עשוי סיליקון )‪ (εr = 12‬ששטחו ‪ A‬ועוביו ‪ .p = 2 mm‬בכמה משתנים‬
‫הקיבול‪ ,‬המטען‪ ,‬והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח‪ ,‬ביחס למצב המקורי?‬
‫‪39‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪∆C = 256.3 pF ; ∆Q = 65 nC ; ∆U = 8 µJ‬‬
‫‪4.1.12‬‬
‫נתון המעגל הבא‪ ,‬ובו קבלים בעלי קיבול ‪ C‬וקבלים בעלי קיבול כפול ‪ .2C‬מקור המתח הוא בעל כא״מ ‪.ε‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪A‬‬
‫)א( מהם המטען והמתח על כל קבל?‬
‫)ב( מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות ‪ A‬ו־ ‪?B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)ב( ‪VAB = − ε‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4.1.13‬‬
‫קבל שלוחותיו עגולים בעלי רדיוס ‪ R‬ומרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬ממולא בחומר דיאלקטרי התלוי במרחק ‪ r‬ממרכז‬
‫‪3‬‬
‫המערכת‪ εr = αr + 1 ,‬כאשר‬
‫‪ .α = 2R‬הקבל מחובר למקור מתח ‪.V‬‬
‫‪R‬‬
‫‪d‬‬
‫מהי האנרגיה האגורה בקבל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪πε0 R2 V 2‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ 4.2‬התנגדות‬
‫‪4.2.1‬‬
‫מהו ההתנגדות השקולה של‪:‬‬
‫)א( שני נגדים המחוברים במקביל?‬
‫)ב( שני נגדים המחוברים בטור?‬
‫)ג( שלושה נגדים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬
‫)ד( שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט?‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א(‬
‫‪R2‬‬
‫‪R3‬‬
‫)ג(‬
‫)ב(‬
‫)ד(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪R1 R2 R3‬‬
‫‪(R + R2 )R3‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪) Rtot = 1‬ד(‬
‫)א( ‪) Rtot = 1 2‬ב( ‪) Rtot = R1 + R2‬ג(‬
‫‪R1 R2 + R1 R3 + R2 R3‬‬
‫‪R1 + R2 + R3‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫= ‪Rtot‬‬
‫‪4.2.2‬‬
‫נתון גליל בעל שטח חתך ‪ ,A‬אורך ‪ L‬ומוליכות ‪ ,σ(x) = σ0 Lx‬כאשר ‪ x‬המרחק מקצה הגליל‪.‬‬
‫)א( מהי התנגדות הגליל?‬
‫)ב( מה תהיה צפיפות הזרם בגליל אם נחבר את קצותיו להפרש פוטנציאלים ‪?V‬‬
‫)ג( מה יהיה השדה החשמלי במוליך כאשר יזרום בו זרם?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2σ0 V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2V‬‬
‫= ‪) j‬ג( ‪x‬‬
‫= ‪) R‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2σ0 A‬‬
‫= )‪E(x‬‬
‫‪4.2.3‬‬
‫קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ b‬עשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה ‪ .ρ0‬הדופן הפנימית של‬
‫הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל ‪.V‬‬
‫)א( מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית?‬
‫)ב( מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה?‬
‫)ג( מצאו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז הקליפה?‬
‫‪41‬‬
‫)ד( מהו השדה החשמלי השורר בקליפה?‬
‫)ה( מהו הספק החום הנוצר בקליפה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ρ0 b − a‬‬
‫= ‪) R‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪4π‬‬
‫‪ab‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪4πV 2‬‬
‫)ה(‬
‫= ‪P‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪4πV‬‬
‫= ‪) I‬ג(‬
‫‪ρ0‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪) j(r) = 2‬ד(‬
‫‪ρ0 r‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪E(r) = 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4.2.4‬‬
‫נתון נגד בעל גיאומטריה קונית‪ ,‬בעל רדיוס קטן ‪ ,a‬רדיוס גדול ‪ ,b‬וגובה ‪ .h‬בהנחה כי ההתנגדות הסגולית של‬
‫החומר היא ‪ ,ρ‬מצאו את התנגדותו של הנגד‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בדקו כי התוצאה מתארת נכון את המצב ‪.a = b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πab‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫‪4.2.5‬‬
‫בין שני לוחות בעלי שטח חתך ריבועי ‪ a × a‬ושהמרחק ביניהם ‪ ,d‬מצוי חומר דיאלקטרי בעל מוליכות שאינה קבועה‬
‫‪.σ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים‪:‬‬
‫‪42‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
.σ = σ0 + βy (‫)א‬
.σ = σ0 + βx (‫)ב‬
:‫פתרון‬
1
d
βa
R = 2 ln 1 +
(‫ )ב‬R = 2
aβ
σ0
a (σ0 +
43
βa
)
2
(‫)א‬
‫‪4.3‬‬
‫מעגלי זרם ישר‬
‫‪4.3.1‬‬
‫נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ε‬‬
‫)א( היכן יש לחבר מד מתח למעגל כדי למדוד את המתח החשמלי על הנגד? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד‬
‫המתח?‬
‫)ב( היכן יש לחבר מד זרם למעגל כדי למדוד את הזרם הזורם בו? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד הזרם?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( יש לחבר מד מתח במקביל לנגד‪ .‬על התנגדות מד המתח להיות הרבה יותר גדולה מהתנגדותו של הנגד הנמדד‪.‬‬
‫)ב( יש לחבר מד זרם בטור למעגל‪ .‬על התנגדות מד הזרם להיות הרבה יותר קטנה מהתנגדות הנגד‪.‬‬
‫‪4.3.2‬‬
‫נתון המעגל הבא‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫נתונים‪.R1 = 1.7 Ω ; R2 = 3.5 Ω ; ε1 = 2.1 V ; ε2 = 6.3 V :‬‬
‫)א( מצאו את הזרם והמתח על כל נגד‪.‬‬
‫)ב( חשבו את הספק המעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)ב( ‪Ptot = 3.44 W‬‬
‫‪44‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪4.3.3‬‬
‫נתון המעגל החשמלי הבא‪ ,‬ובו נתונים הכא״מים ‪ ε1‬ו־ ‪ ε2‬וההתנגדויות ‪ R0‬ו־‪.R‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪R0‬‬
‫מצאו עבור איזו התנגדות ‪ R‬הספק החום המתבזבז על נגד זה הוא המקסימלי‪ ,‬ואת ערכו של הספק זה‪ .‬את הפתרונות‬
‫יש לספק בעזרת הנתונים ‪ ε2 ,ε1‬ו־ ‪.R0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪(ε1 + ε2 )2‬‬
‫‪R0‬‬
‫= ‪; Pmax‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8R0‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪4.3.4‬‬
‫נתון המעגל החשמלי הבא‪:‬‬
‫‪ε1 = 2 V ; ε2 = 3 V ; ε3 = 6 V‬‬
‫‪R1 = 20 Ω ; R2 = 7 Ω ; R3 = 12 Ω‬‬
‫‪ε3‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε1‬‬
‫)א( חשבו את הזרם בכל ענף‪.‬‬
‫)ב( מהו ההספק על הנגד ‪?R1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 A‬ב( ‪PR1 = 0.095 W‬‬
‫‪45‬‬
‫‪4.4‬‬
‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל(‬
‫‪4.4.1‬‬
‫נתון מעגל ‪) RC‬פריקה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל טעון במטען ‪ Q0‬ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dQ Q‬‬
‫‪Q0 − t‬‬
‫‪) −R‬ב( ‪) Q(t) = Q0 e− RC‬ג( ‪e RC‬‬
‫)א( ‪− = 0‬‬
‫‪RC‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪I(t‬‬
‫‪4.4.2‬‬
‫קבל ‪ C1‬טעון במטען ‪ .Q0‬כאשר סוגרים את המפסק מתחבר קבל זה בטור לקבל ‪ C2‬ונגד ‪.R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q1 (t‬המטען על הקבל ‪ C1‬כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫)ד( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק‪ ,‬וזמן רב לאחר סגירתו‪.‬‬
‫)ה( הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪dQ1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ C1 t‬‬
‫‪−R‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪Q1 (t‬‬
‫‪) −R‬ב(‬
‫‪Q0 +‬‬
‫‪Q0 e‬‬
‫‪+‬‬
‫‪Q1 +‬‬
‫)א( ‪= 0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C1 C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q20‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q2‬‬
‫)ג( ‪) I(t) = 0 e− R C1 + C2 t‬ד(‬
‫= )∞ → ‪U0 = 0 ; U(t‬‬
‫‪2C1‬‬
‫) ‪2(C1 + C2‬‬
‫‪RC1‬‬
‫‪46‬‬
‫‪4.4.3‬‬
‫נתון מעגל ‪) RC‬טעינה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל אינו טעון ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪V‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪V − t‬‬
‫‪dQ Q‬‬
‫‪) R‬ב( ‪) Q(t) = CV 1 − e− RC‬ג( ‪e RC‬‬
‫)א( ‪+ − V = 0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪I(t‬‬
‫‪4.4.4‬‬
‫נתון המעגל הבא‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬המתח על הקבל הוא ‪ .V0‬מצאו את המתח על הקבל כפונקציה של הזמן!‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−C‬‬
‫‪+ V0 e‬‬
‫ ‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪VC (t) = ε‬‬
‫‪1−e C‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫‪4.4.5‬‬
‫סיליקון הוא בעל מקדם דיאלקטרי ‪ εr = 12‬והתנגדות סגולית ‪ ,ρ = 2.5 · 103 Ω · m‬בטמפרטורת החדר‪ .‬ממלאים‬
‫בסיליקון קבל לוחות בעל מימדים ששטח לוחותיו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪.d = 0.2 mm‬‬
‫)א( מצאו את הקיבול‪ ,‬ההתנגדות‪ ,‬וזמן הפריקה האופייני של הקבל‪.‬‬
‫)ב( הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד‪.‬‬
‫‪47‬‬
:‫פתרון‬
C = 132.81 nF ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 ns (‫)א‬
48