הורד את ספר הקורס
פיסיקה 1־ מכניקה m אייל לוי k סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב, במכללת אפקה ,ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק בפיסיקה 1־ מכניקה קלאסית ,והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־ אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד ,בהתאם לתכניות הלימוד השונות .הנסיון מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.c o.il הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה! אייל לוי סילבוס וקטורים פרק זה מהווה בסיס מתמטי הדרוש כדי לתאר פונקציות פיסיקליות שמיוצגות הן על פי גודל והן על פי כיוון. נושאי הפרק הם :הצגה קרטזית והצגה פולרית )הצגה קוטבית( ,חיבור וחיסור וקטורים ,מכפלה סקלרית ,מכפלה וקטורית. קינמטיקה פרק זה מתאר את התנועה של גופים נקודתיים במגוון מקרים ,ומתמקד בתלות בזמן של הפונקציות הקינמטיות: המיקום ,המהירות והתאוצה. נושאי הפרק הם :תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית( ,תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת( ,תנועה במרחב ,תנועה יחסית ,טרנספורמציית גליליי ,קינמטיקה של תנועה מעגלית. דינמיקה פרק זה מתאר את השפעת כוחות על תנועת גופים ,ומתמקד הן בכוחות הסטנדרטיים :כח הכובד ,כח המתיחות ,כח נורמלי וכח החיכוך ,והן בכוחות חיצוניים תלויי זמן וכוחות מדומים )כוחות ד׳אלמבר(. נושאי הפרק הם :שווי משקל ,חוקי ניטון. עבודה ואנרגיה פרק זה אף הוא מתאר את השפעת כוחות על תנועת גופים ,וגם הוא מתמקד הן כוחות הסטנדרטיים :כח הכובד ,כח המתיחות ,כח נורמלי וכח החיכוך ,והן בכוחות חיצוניים תלויי מרחב )משמרים ולא משמרים(. נושאי הפרק הם :חישוב עבודה ,משפט העבודה־אנרגיה ,הספק. מתקף ותנע פרק זה מתאר את השפעת כוחות חיצוניים על מערכת גופים ,ואת אופן ההתמודדות עם תופעות כגון התנגשויות והתפוצצויות. נושאי הפרק הם :מתקף־תנע של גוף נקודתי ,התנגשויות והתפוצצויות ,מרכז מסה. תנועה סיבובית פרק זה מתאר את תנועותיהם של גופים פיסיקליים )בעלי צורה( בהשפעת כוחות. נושאי הפרק הם :תנע זוויתי של גוף נקודתי ,שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה( ,חישוב מומנט התמדה ,גלגול ללא החלקה ,תנועת גוף קשיח. תנועה הרמונית פרק זה מתאר מקרה פרטי ומעניין של תנועה מחזורית ,וכן את השפעת כוחות מרסנים )חיכוך( או מאלצים על התנועה. נושאי הפרק הם :תנועה הרמונית פשוטה ,תנועה הרמונית מרוסנת ,תנועה הרמונית מאולצת. גרביטציה פרק זה מתאר את השפעתם של כוחות מרכזיים על תנועת גופים ,ומתמקד בתנועת גופים סביב כוכבים וכוכבי לכת. נושאי הפרק הם :חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית. 1 תוכן עניינים 1 וקטורים 1.1הצגה קרטזית והצגה פולרית )קוטבית( 1.2חיבור וחיסור וקטורים . . . . . . . . 1.3מכפלה סקלרית . . . . . . . . . . . 1.4מכפלה וקטורית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 8 10 2 קינמטיקה 2.1תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית( 2.2תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת( . 2.3תנועה במרחב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4תנועה יחסית ,טרנפורמציית גליליי . . . . . . . . . . . 2.5קינמטיקה של תנועה מעגלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 16 19 21 3 דינמיקה 3.1שווי משקל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2חוקי ניוטון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 25 4 עבודה ואנרגיה 4.1חישוב עבודה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2משפט העבודה־אנרגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3הספק . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 40 50 5 מתקף ותנע 5.1מתקף־תנע של גוף נקודתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2התנגשויות והתפוצצויות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3מרכז מסה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 52 60 6 תנועה סיבובית 6.1תנע זוויתי של גוף נקודתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 64 68 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . חישוב מומנט ההתמדה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גלגול ללא החלקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תנועת גוף קשיח . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 73 77 6.3 6.4 6.5 7 תנועה הרמונית 7.1תנועה הרמונית פשוטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2תנועה הרמונית מרוסנת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3תנועה הרמונית מאולצת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 82 90 92 8 גרביטציה 8.1חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 3 פרק 1 וקטורים 1.1 הצגה קרטזית והצגה פולרית )קוטבית( 1.1.1 נתונים גודלם וכיוונם של ארבעה וקטורים במערכת הצירים: )א( וקטור ~ Aשאורכו 10וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ xהיא ◦.30 )ב( וקטור ~ Bשאורכו 8וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ xהיא ◦.150 )ג( וקטור ~ Cשאורכו 13וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ xהיא ◦.225 )ד( וקטור ~ Dשאורכו 5וזווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ xהיא ◦.319 רשמו כל אחד מהוקטורים בהצגה קרטזית. פתרון: )א( )) (8.66, 5ב( )) (−4, 6.93ג( )) (−9.19, −9.19ד( )(3.77, −3.28 1.1.2 נתונים ארבעה וקטורים במערכת הצירים ,בהצגה קרטזית: )א( וקטור ).A~ = (8, 6 )ב( וקטור ).B~ = (−6, 12 )ג( וקטור ).C~ = (−9, −15 )ד( וקטור )~ = (2, −7 .D מצאו את ההצגה הפולרית של כל וקטור ,כלומר את אורכו של כל וקטור ואת זווית הפריסה שלו ביחס לציר ה־ .x פתרון: )א( )◦) (10, 36.87ב( )◦) (13.42, 116.57ג( )◦) (17.49, 239.04ד( )◦(7.28, −74.05 4 1.1.3 נתונים הוקטורים ~a = (4, 22◦ ) ; ~b = (6, 315◦) :הרשומים בצורה פולרית. רשמו את ההצגה הקרטזית של כל אחד מהוקטורים. פתרון: )~a = (3.71, 1.50) ; ~b = (4.24, −4.24 1.1.4 נתון הוקטור ~a = 2ˆi + 3ˆjבהצגה קרטזית. רשמו את הוקטור בהצגה פולרית )גודל וכיוון(. פתרון: )◦~a = (3.61, 56.31 1.1.5 נתון הוקטור .~a = 3ˆi − 5ˆj רשמו את הוקטור בהצגה פולרית. פתרון: )◦~a = (5.83, −59.04 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 5 1.2חיבור וחיסור וקטורים 1.2.1 נתונים שני וקטורים A~ = −ˆi + ˆj ; B~ = (2, −3) :הרשומים בצורה קרטזית. חשבו את: )א( סכומם. )ב( הפרשם. )ג( ~.3A~ − 2B )ד( ~.4A~ + B פתרון: )א( )) (1, −2ב( )) (−3, 4ג( )) (−7, 3ד( )(−2, 1 1.2.2 נתונים שני וקטורים הרשומים בצורה פולרית.A~ = (8, 50◦) ; B~ = (10, −30◦) : חשבו ורשמו בצורה פולרית את: )א( ~.2A~ − 1.5B )ב( ~.B~ − 3A פתרון: )א( )◦) (19.94, 97.81ב( )◦(24.35, 106.12 1.2.3 נתונים שלושה וקטורים כמשורטט: חשבו את: )א( .~a + ~b + ~c )ב( .1.7~a − 3~b − 2.4~c לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 6 y a = 10 ◦30 ◦45 x ◦30 c=6 b=8 פתרון: )א( )) (5.98, −3.24ב( )(25.3, 30.68 1.2.4 איזה וקטור יש להוסיף ל־ ˆ A~ = ˆi − 4ˆj − 10kול־ ˆ B~ = −5ˆi + kכדי שהסכום הכולל יהיה שווה אפס )בעיית שווי משקל(? פתרון: )(4, 4, 9 1.2.5 נתונים שני וקטורים כמשורטט: מצאו וקטור ~cשיקיים את התנאי .−~a + 15~b − 7~c = 0 y a=6 ◦45 x ◦30 b=5 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 7 פתרון: )~c = (9.88, −5.96 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 8 1.3מכפלה סקלרית 1.3.1 נתונים שלושה וקטורים המוצגים בצורה קרטזית.~a = (3, 4) ; ~b = (−1, −1) ; ~c = (−2, 1, 2) : )א( חשבו את המכפלה הסקלרית ~a · ~bואת הזווית בין ~aל־ .~b )ב( חשבו את המכפלה הסקלרית ~b · ~cואת הזווית בין ~bל־ .~c פתרון: )א( ◦) ~a · ~b = −7 ; θab = 171.87ב( ◦~b · ~c = 1 ; θbc = 76.37 1.3.2 נתונים שני וקטורים המוצגים בצורה קרטזית.~a = (1, −1, −2) ; ~b = (7, 3, −1) : )א( חשבו את המכפלה הסקלרית ~a · ~bואת הזווית בין ~aל־ .~b )ב( חשבו את הזווית בין וקטור ~aלציר ה־ .x )ג( חשבו את הזווית בין וקטור ~bלציר ה־ .z )ד( חשבו את הזווית בין ~a + ~bלציר ה־ .y פתרון: )א( ◦) ~a · ~b = 6 ; θab = 71.4ב( ◦) 65.91ג( ◦) 97.48ד( ◦76.88 1.3.3 נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית.~a = ˆi + 2ˆj + 3kˆ ; ~b = −ˆj − 5kˆ : מצאו וקטור יחידה ˆ) cכלומר וקטור שאורכו (1שיהיה מאונך למישור עליו נמצאים ~aו־ .~b פתרון: )cˆ = ±(0.808, −0.57, 0.115 1.3.4 נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית.~a = (1, 1, 1) ; ~b = (0, 0, 5) : מצאו וקטור ~cשאורכו |~c| = 7שיוצר זווית של ◦ 30עם וקטור ~aויוצר זווית של ◦ 60עם וקטור .~b פתרון: ) ~c = (1, 6, 3.5או )~c = (6, 1, 3.5 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 9 1.3.5 הוכיחו את משפט הקוסינוסים בעזרת שימוש במכפלה סקלרית! תזכורת :משפט הקוסינוסים אומר כי במשולש מתקיים הקשר הבא בין הצלעות c = a + b − 2ab cos γ :כאשר γהזווית מול הצלע .c 2 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 10 2 2 1.4מכפלה וקטורית 1.4.1 ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית .~a = −2i + j − 9k ; b = 20i − 10j + 35k : )א( חשבו את גודלו של הוקטור המתקבל מהמכפלה הוקטורית בין שני הוקטורים.|~c| = ~a × ~b : )ב( חשבו את הוקטור המתקבל מהמכפלה הוקטורית בין שני הוקטורים ,~c = ~a × ~b :והראו שגודלו שווה לערך שהתקבל בסעיף )א(. פתרון: )א( ) |~c| = 122.42ב( )~c = (−55, −110, 0 1.4.2 נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית.~a = ˆi + 2ˆj + 3kˆ ; ~b = −ˆj − 5kˆ : מצאו וקטור יחידה ˆ) cכלומר וקטור שאורכו (1שיהיה מאונך למישור עליו נמצאים ~aו־ .~b פתרון: )cˆ = ±(0.808, −0.57, 0.115 1.4.3 נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית ,A~ = (a, 3, 0) ; B~ = (5, 2a, 0) :כאשר aקבוע כלשהו. ~ B מצאו עבור אילו ערכים של aמתקיים כי הוקטורים מקבילים זה לזה~ , ||.A פתרון: a = ±2.74 1.4.4 נתונים שני וקטורים בהצגה קרטזית .~a = 3ˆi + ay ˆj − 2kˆ ; ~b = bxˆi + ˆj − kˆ :כמו כן ידוע כי המכפלה הוקטורית ביניהם היא.~c = ~a × ~b = 8ˆi − 2ˆj + cz kˆ : מצאו את שלושת הפרמטרים .ay , bx , cz פתרון: ay = −6 ; bx = 2.5 ; cz = 18 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 11 1.4.5 הוכיחו את משפט הסינוסים בעזרת שימוש במכפלה וקטורית! תזכורת :משפט הסינוסים אומר כי במשולש מתקיימים הקשרים הבאים בין הצלעות: βו־ γהן הזוויות בהתאמה מול הצלעות b ,aו־ .c c sin γ לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 12 = b sin β = a sin α כאשר ,α פרק 2 קינמטיקה 2.1 תנועה במימד אחד )כולל זריקה אנכית ונפילה חופשית( 2.1.1 טיל נמצא במנוחה על פני כדה״א .מנועיו מפעילים כח כך שהטיל נע בתאוצה קבועה 5 sm2במגמה אנכית מעלה. לאחר 10שניות נגמר הדלק והוא ממשיך לנוע בהשפעת הגרביטציה בלבד. )א( באיזה גובה מעל לקרקע נמצא הטיל ברגע שנגמר הדלק במנועיו? )ב( באיזה רגע ,יחסית להתחלה ,מגיע הטיל לשיא הגובה ,ומהו הגובה בשיא? )ג( באיזה רגע ,ביחס להתחלה ,פוגע הטיל בקרקע? )ד( מה גודלה של מהירות הפגיעה בקרקע? פתרון: )א( ) 250 mב( שיא הגובה הוא 377.55 mאליו מגיע הגוף לאחר ) .15.1 sג( ) 23.88 sד( m s 86.02 2.1.2 מכונית נוסעת במהירות קבועה של vc = 25 msלאורך ציר xוברגע מסוים ) (t = 0היא חולפת על פני אופנוע .ברגע זה ,האופנוע מתחיל לנוע ממנוחה בתאוצה קבועה am = 2 sm2באותו הכיוון .מהירותו המקסימלית של האופנוע היא .vm,max = 50 ms )א( שרטטו גרפים של מהירויות המכונית והאופנוע כפונקציה של הזמן ,מהרגע .t = 0 )ב( שרטטו גרפים של מיקומי המכונית והאופנוע כפונקציה של הזמן ,מהרגע .t = 0 )ג( באיזה רגע ישיג האופנוע את המכונית? )ד( מהו מיקום האופנוע ,ביחס להתחלה ,ברגע שישיג את המכונית? פתרון: )ג( ) 25 sד( 625 m 13 2.1.3 גוף נע לאורך ציר xכך שמיקומו בכל רגע הוא.x(t) = −t3 + 6t − 12 m : )א( מהי מהירות הגוף בכל רגע? שרטטו גרף של מהירות הגוף כפונקציה של הזמן! )ב( מהי תאוצת הגוף בכל רגע? שרטטו גרף של תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן! )ג( באיזה רגע נעצר הגוף? )ד( מהי מהירות הגוף 10שניות לאחר תחילת התנועה? פתרון: )א( m s ) v(t) = −3t2 + 6ב( m s2 ) a(t) = −6tג( ) t = 1.41 sד( m s v(t = 10 s) = −294 2.1.4 √ גוף נע לאורך ציר xעם תאוצה תלוית זמן.a(t) = 2 t − 3 sm2 : )א( מהי מהירותו של הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע t = 0מהירותו היתה 5 msבכיוון השלילי של הציר )?(−ˆx )ב( מהו מיקומו של הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע t = 2 sמיקומו היה ?x(t = 2 s) = 10 m פתרון: )א( − 3t ms 4 3t3/2 ) v(t) = −5 +ב( x(t) = 22.98 − 5t − 1.5t2 + 0.53t5/2 m 2.1.5 גוף נע כך שמהירותו בכל רגע נתונה ע״י .v(t) = −5 sin(3t − 2) :נתון כי ברגע t = 0מיקומו של הגוף היה .x(t = 0) = −1 m )א( מהו מיקום הגוף ברגע ?t = 12 s )ב( מהי תאוצת הגוף ברגע ?t = 3 s )ג( מהי המהירות הממוצעת של הגוף בין t = 0ל־ ?t = 1 s פתרון: )א( ) x(t = 12 s) = −1.73 mב( m s2 ) a(t = 3 s) = −11.31ג( m s vaverage = 1.59 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 14 תנועה בליסטית )כולל זריקה אופקית וזריקה משופעת( 2.2 2.2.1 זורקים כדור מהקרקע במהירות התחלתית .v0 = 30 msהמטרה היא לפגוע במטרה שנמצאת במרחק אופקי d = 20 mובגובה h = 12 mמנקודת הזריקה .באילו זוויות ביחס לאופק יש לזרוק את הכדור כדי לפגוע במטרה? פתרון: ◦ 37.34או ◦83.22 2.2.2 גוף נזרק מגובה hמעל לקרקע ,בזווית θביחס לאופק .עד לשיא הגובה עובר הגוף מרחק אופקי .d y θ θ .hmax = h + d tan הראו כי הגובה המקסימלי אליו מגיע הגוף הוא: 2 d x 2.2.3 גוף מקבל מהירות התחלתית של v0 = 5 msבקצה שולחן שאורכו d = 2 mוגובהו .h = 1 mהשולחן מפעיל חיכוך על הגוף שגורם לו לתאוטה שגודלה .a = 1 sm2כאשר הוא מגיע לשפת השולחן הוא מתנתק ממנו וממשיך לנוע באוויר בהשפעת הכבידה בלבד ,עד שהוא פוגע בקרקע במרחק Dמשפת השולחן. v 0 h D )א( מהי מהירות הגוף בשפת השולחן ,רגע לפני התנועה באוויר? )ב( מהו המרחק ?D )ג( כמה זמן ארכה כל התנועה? פתרון: )א( m s ) 4.58ב( ) 2.07 mג( 0.87 s לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 15 d 2.2.4 פעלולן על אופניים מתחיל נע במהירות v0על מישור אופקי .ברגע מסוים ) (t = 0הוא מתחיל לעלות במעלה מדרון משופע שזוויתו ◦ θ = 30וגובהו .h = 5 mבמהלך העליה הוא חש תאוטה שגודלה .a = 2 sm2הפעלולן מגיע לקצה המדרון ומשם ממשיך לנוע באוויר בהשפעת הכבידה בלבד .הוא נוחת על הקרקע במרחק ℓ = 10 mמקצה המדרון המשופע. h v0 θ ℓ )א( מהי המהירות ההתחלתית של הפעלולן בתחתית המדרון?v0 , )ב( מהו זמן התנועה הכולל ,מהרגע t = 0ועד לרגע בו נוחת הפעלולן על הקרקע? פתרון: )א( m s ) v0 = 10.03ב( 2.6 s 2.2.5 התחלתית ,v0בזווית כלשהי .הגובה המקסימלי אליו הוא מגיע הוא . 32 h חפץ נזרק מבניין שגובהו hבמהירות q .θ = sin−1 ( gh )א( הראו כי הזווית בה נזרק החפץ היא ) v02 )ב( הראו כי הזמן שעבר מרגע הזריקה ועד שהגוף פוגע בקרקע הוא qh g 3+1 √ = .ttot לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 16 תנועה במרחב 2.3 2.3.1 חלקיק נע במרחב כך שמשוואת המיקום שלו בכל רגע הינה.~r(t) = (t2 , 2t3 + 5t, t + 4) m : )א( חשבו את מהירות החלקיק לאחר 3שניות. )ב( חשבו את מרחקו של החלקיק מנקודת ההתחלה ברגע .t = 3 s )ג( מהי הזווית בין מהירות החלקיק לבין תאוצתו ברגע .t = 3 s פתרון: )א( m s )) v(t = 3 s) = (6, 59, 1ב( ) 69.65 mג( ◦2.89 2.3.2 חלקיק נע כך שוקטור המיקום שלו בכל רגע נתון ע״י הביטוי ,~r(t) = (R cos ωt, R sin ωt, Rωt) m :כאשר Rו־ ωקבועים. )א( מהן היחידות הפיסיקליות של הפרמטרים Rו־ ?ω )ב( מהו וקטור מהירות החלקיק ומהו גודלה של המהירות בכל רגע? )ג( מה וקטור תאוצת החלקיק ומהו גודלה של התאוצה בכל רגע? פתרון: ) [R] = m ; [ω] = 1s = radב( ) ~v (t) = (−Rω sin ωt, Rω cos ωt, Rω) ; v(t) = Rωג( = )~a(t )א( = Hz s 2 2 (−Rω cos ωt, −Rω sin ωt, 0) ; a(t) = −Rω 2 2.3.3 וקטור המיקום של גוף מסוים נתון בכל רגע על ידי .~r(t) = t2~i − 4t~j − 2~k m )א( חשבו את וקטור מהירות הגוף בכל רגע.~v(t) , )ב( חשבו את וקטור התאוצה של הגוף בכל רגע.~a(t) , )ג( חשבו את גודל התאוצה המשיקית בכל רגע.aT (t) , )ד( חשבו את גודל התאוצה הנורמלית בכל רגע.aN (t) , )ה( חשבו את וקטור התאוצה המשיקית בכל רגע.~aT (t) , )ו( חשבו את וקטור התאוצה הנורמלית בכל רגע.~aN (t) , פתרון: )א( ) ~v (t) = 2tˆi − 4ˆj + 0kˆ msב( 2 2t 4 √ √ ) ~aT (t) = t2 +4 , − t2 +4 , 0 sm2ו( m s2 ˆ) ~a(t) = 2ˆi + 0ˆj + 0kג( m s2 2−2t2 √ , − √t24+4 , 0 t2 +4 m √ 2t t2 +4 s2 = )) aT (tד( = )~aN (t לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 17 m √ 4 t2 +4 s2 = )) aN (tה( 2.3.4 גוף נע כך שמיקומו בכל רגע נתון ע״י הביטוי.~r(t) = 1.2t3ˆi − 500e−0.1tˆj + 0.1 sin (1.5t2 )kˆ m : )א( מהי מהירות הגוף בכל רגע ,ומהי מהירותו ההתחלתית? )ב( מהי תאוצת הגוף בכל רגע ,ומהי התאוצה ברגע ?t = 4 s )ג( מצאו וקטור יחידה בכיוון המשיקי ברגע .t = 1 s )ד( מצאו את גודלה של התאוצה המשיקית ברגע .t = 1 s )ה( מצאו את גודלה של התאוצה המאונכת ברגע .t = 1 s פתרון: )א( ) ~v (t) = (3.6t2 , 50 · e−0.1t , 0.3t · cos 1.5t2 ) ms ; ~v0 = (0, 50, 0) msב( · ~a(t) = (7.2t, −5 · e−0.1t , 0.3 ) cos 1.5t2 − 0.9t2 sin 1.5t2 ) sm2 ; ~a(t = 4 s) = (28.8, −3.35, 13.17) sm2ג( )) vˆ(t = 1 s) = (0.08, 0.997, 0ד( m s2 ) aT (t = 1 s) = −3.93ה( m s2 aN (t = 1 s) = 7.59 2.3.5 מיקומו של גוף נתון בביטוי .~r(t) = A cos (αt2 )ˆi + A sin (αt2 )ˆj m )א( מהן היחידות הפיסיקליות של הפרמטרים Aו־ α )ב( מהי מהירות הגוף בכל רגע? )ג( מהי תאוצת הגוף בכל רגע? )ד( מהי התאוצה המשיקית בכל רגע? מצאו גם את גודלה וגם את תיאורה הוקטורי! )ה( מהי התאוצה המאונכת בכל רגע? מצאו גם את גודלה וגם את תיאורה הוקטורי! פתרון: ) [A] = m ; [α] = s12 = radב( )) ) ~v (t) = 2αtA (− sin(αt2 ), cos(αt2ג( ~a(t) = 2αA (− sin(αt2 ), cos(αt2 ))− )א( s2 )) 4α2 t2 A (cos(αt2 ), sin(αt2 2.3.6 כדור טניס נורה ממכונה מהקרקע במהירות התחלתית v0 = 50 msבזווית ◦ θ = 25ביחס לאופק .במהלך התנועה באוויר פועלים על הכדור כוחות שאינם ניתנים להזנחה ,כך שהוא מרגיש תאוצה שנתונה בביטוי = )~a(t .(5e−0.2t , −9.8) sm2הגדירו ציר xאופקי וציר yאנכי. )א( מהי מהירות הגוף בכל רגע? )ב( מהו מיקום הגוף בכל רגע אם נתון כי ברגע הירי ,t = 0 ,הכדור היה בראשית? )ג( מתי מגיע הגוף לשיא הגובה? מהי מהירותו ומהו מיקומו ברגע זה? )ד( מתי פוגע הכדור בקרקע? מהי מהירותו ומהו מיקומו ברגע זה? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 18 פתרון: )א( ) ~v (t) = (70.32−25·e−0.2t , 21.12−9.8t) msב( ) ~r(t) = (70.32t+125·e−0.2t −125, 21.13t−4.9t2 ) mג( = ~v (t ) 2.16 s) = (54.09, 0) ms ; ~r(t = 2.16 s) = (108.04, 22.78) mד( = ~v (t = 4.31 s) = (59.76, −21.11) ms ; ~r(t 4.31 s) = (230.87, 0) m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 19 2.4 תנועה יחסית ,טרנפורמציית גליליי 2.4.1 שתי מכוניות נעות על מישור אופקי .מהירות המכונית Aבכל רגע היא .~vA (t) = (3t2 , −2t) msמהירות המכונית B בכל רגע היא .~vB (t) = (−4t, 6t2 ) msברגע t = 0מיקום המכונית Aהיה ~r0,A = (−27, 9) mומיקום המכונית B היה .~r0,B = (8, −54) m )א( מהו מיקומן של כל אחת מהמכונית בכל רגע? )ב( מתי מגיעה כל מכונית לראשית? )ג( מה המיקום היחסי של המכונית Aביחס למכונית Bבכל רגע ,והאם הן נפגשות? )ד( מהי המהירות היחסית של המכונית Aביחס למכונית ?B פתרון: )א( ) ~rA (t) = (−27 + t3 , 9 − t2 ) m ; ~rB (t) = (8 − 2t2 , −54 + 2t3 ) mב( המכונית Aמגיעה לראשית ברגע t = 3 sבעוד המכונית Bלא מגיעה לראשית לעולם) .ג( ,~r′ (t) = (t3 + 2t2 − 35, −2t3 − t2 + 63) mהמכוניות לא נפגשות לעולם) .ד( ~v ′ (t) = (3t2 + 4t, −6t2 − 2t) ms 2.4.2 צופה יושב ליד חלון רכבת הנוסעת במהירות קבועה .v1 = 54 msכמה זמן הוא יצפה ברכבת שניה שאורכה L = 60 mשנעה בכיוון ההפוך במהירות קבועה v2 = 36 msחולפת על פניו? פתרון: s 2 3 2.4.3 שלג יורד בכיוון אנכי ,ובהשפעת כל הכוחות הפועלים עליו הוא נופל במהירות קבועה .v1 = 2.4 msרוכב אופנוע v2 = 86.4 kmבכיוון האופקי .חשבו באיזו זווית ביחס לאנך רואה הרוכב את השלג הנופל. נוסע במהירות קבועה hr פתרון: ◦84.29 2.4.4 נהר זורם במהירות 1.5 msמזרחה .סירה חוצה את הנהר מהגדה הדרומית ,במהירות )א( מה וקטור מהירות הסירה כפי שהיא נראית ע״י צופה מהקרקע? )ב( אם רוחבו של הנהר הוא ,325 mמה יהיה מרחק הסירה כאשר תגיע לגדה הצפונית ,מנקודת היציאה? m s לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 20 7.5בניצב לנהר. פתרון: )א( m s )) (1.5, 7.5ב( 331.44 m 2.4.5 עגלה שאורכה Lנעה ימינה בתאוצה קבועה .aברגע מסוים נזרק כדור מהקצה הימני שלה אנכית מעלה )ביחס לעגלה( במהירות .v מהי מהירות זריקת הכדור המקסימלית האפשרית vmaxעבורה הכדור עדיין יפול בתוך העגלה? פתרון: L 2a q v=g 2.4.6 מכונית נוסעת במישור אופקי xyבמהירות שנתונה בביטוי .~v(t) = (10t2 + 5, 2t − 3, 0) ms ברגע ,t = 0כאשר המכונית חולפת על פני ראשית הצירים ,נזרק מהמכונית כדור קטן במהירות v0 = 4 msאנכית מעלה )בכיוון (zביחס למכונית .הכח היחיד שמשפיע על הכדור הוא כח הכובד. )א( מהי מהירות הכדור ביחס למכונית וביחס לקרקע ,בכל רגע? )ב( מהי תאוצת הכדור ביחס למכונית בכל רגע? )ג( מתי פוגע הכדור בקרקע ,ומהו המרחק בינו לבין המכונית ברגע זה? הניחו כי גובה המכונית קטן מאד. פתרון: )א( m s ); ~v ′ (t) = (−10t2 , −2t, 4 − 9.8t t = 1.225 s ; ∆r = 6.634 m m s )) ~v (t) = (10t2 + 5, 2t − 3, 0ב( m s2 )) ~a′ (t) = (−20t, −2, −9.8ג( לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 21 2.5קינמטיקה של תנועה מעגלית 2.5.1 גוף נע בתנועה מעגלית במישור xyכך שמיקומו בכל רגע נתון בביטוי: ~r(t) = R cos (θ)~i + R sin (θ)~j m כאשר ) θ = θ(tהיא הזווית )ברדיאנים( ביחס לציר ה־ .x )א( מצאו את ˆ r־ וקטור היחידה בכיוון הרדיאלי. )ב( מצאו את וקטור מהירות הגוף ואת גודלה בכל רגע. )ג( מצאו את ˆ ϕ־ וקטור היחידה בכיוון המשיקי. )ד( מצאו את וקטור התאוצה ואת גודלן של התאוצות המשיקית והרדיאלית. )ה( נתון כי וקטור המהירות הזוויתית הוא ~k ) .~ω(t) = dθ(tחשבו את המכפלה הוקטורית ~ω × ~rוהוכיחו שהתוצר dt הוא וקטור המהירות. פתרון: )(− sin θ, cos θ) ; v(t) = R dθ(t )א( )) rˆ = (cos θ, sin θב( )) ~v (t) = R dθ(tג( )) ϕˆ = (− sin θ, cos θד( = )~a(t dt dt 2 2 2 )d θ(t )dθ(t )d2 θ(t )dθ(t R dt2 (− sin θ, cos θ) − R dt (cos θ, sin θ) ; aϕ = R dt2 ; ar = R dt 2.5.2 גוף נע בתנועה מעגלית במגעל שרדיוסו .R = 5 mהזווית בכל רגע נתונה בביטוי .θ(t) = 2t3 rad מצאו את התאוצה המשיקית ,התאוצה המרכזית ואת התאוצה הכללית בכל רגע! פתרון: √ ; a(t) = 60t 9t6 + 1 m s2 ; ar (t) = 180t4 m s2 aϕ (t) = 60t 2.5.3 חלקיק נע בתנועה מעגלית ,לפי ,s(t) = 2t3 + t2 + 4t mכאשר sהוא המרחק הנמדד לאורך הקשת .נתון כי ברגע t = 1 sהתאוצה הכללית היא .a(t = 1 s) = 16 sm2מהו רדיוס המעגל? פתרון: R = 18.59 m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 22 2.5.4 .ω = 7.292 · 10−5 rad כדור הארץ מסתובב סביב צירו עם מהירות זוויתית קבועה s מצאו ,כפונקציה של קו הרוחב ) ,(λאת המהירות והתאוצה של נקודה כלשהי על פני כדה״א! N O λ קו המשווה S פתרון: m s2 ; a = 0.034 cos λ m s v = 465.2 cos λ 2.5.5 √ גוף נע בתנועה מעגלית במסלול שרדיוסו .R = 0.15 mהתאוצה הזוויתית של הגוף בכל רגע היא: .α(t) = 6 t rad s2 נתון כי ברגע t = 0מהירותו הזוויות של הגוף היתה ω0 = 0.2 radוהזווית ביחס לציר ה־ xהיתה .θ0 = 0.5 rad s )א( חשבו את הזווית של הגוף ביחס לציר ה־ xבכל רגע. )ב( חשבו את וקטור תאוצת הגוף ברגע .t = 1 s )ג( חשבו את וקטור היחידה המשיקי ואת וקטור היחידה הרדיאלי ברגע .t = 1.2 s פתרון: )א( ) 0.5 + 0.2t + 58 t5/2 radב( rˆ(t = 1.2 s) = (−0.993, −0.122) ; ϕ(t )ג( )ˆ = 1.2 s) = (0.122, −0.993 m s2 )~a(t = 1 s) = (−1.23, −4.66 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 23 פרק 3 דינמיקה 3.1 שווי משקל 3.1.1 מסה mמוחזקת בעזרת שני חוטים הקשורים בצידם השני לתקרה ,כמשורטט. בין החוטים ישנה זווית ישרה. θ m מצאו את המתיחויות בכל אחד מהחוטים כפונקציה של הזווית ,θשבין החוט הימני לתקרה. פתרון: T1 = mg sin θ ; T2 = mg cos θ 3.1.2 כדור שמסתו mמונח בתוך בור בקרקע ,כפי שמתואר בשרטוט: m α 24 β חשבו את הכוחות הנורמליים שפועלים על הכדור. פתרון: β α N1 = mg sinsinα+β ; N2 = mg sinsinα+β 3.1.3 מסה mקשורה לחוט ונמצאת במנוחה ,כפי שמתואר בשרטוט: α β m מהי המתיחות בכל אחד מהחוטים? פתרון: β β T1 = −mg cossinα+β ; T2 = −mg coscosα+β ; T3 = mg 3.1.4 נתונה המערכת הבאה בשווי משקל: m2 m1 m1 ? mבטאו באמצעות .θ מהו היחס בין המסות 2 θ פתרון: = sin θ m1 m2 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 25 3.2חוקי ניוטון 3.2.1 לעגלות שבשרטוט ישנן מסות .mA = 10 kg ; mB = 20 kg ; mC = 30 kgהחוטים חסרי מסה .כח F = 900 N מושך את העגלה .C )א( מצאו את תאוצת המערכת והמתיחויות בחוטים? )ב( חזרו על החישוב של )א( עבור מצב אנכי. F C A B פתרון: )א( ; TAB = 150 N ; TBC = 450 N m s2 ) a = 15ב( ; TAB = 150 N ; TBC = 450 N m s2 a = 5.2 3.2.2 כדור שמסתו m = 12 kgמונח בתוך שקע שנוצר בקוביה ,כפי שמוראה בשרטוט .הקוביה עשויה חומר אשר נשבר כאשר מופעל עליו כח הגדול מ־ .Nmax = 150 Nכמו כן נתון.θ = 30◦ : )א( מושכים את הקוביה מטה בתאוצה .aמהי התאוצה המקסימלית האפשרית amax ,עבורה הכדור לא יתנתק מדפנות הקוביה? )ב( מושכים את הקוביה ימינה בתאוצה .aמהי התאוצה המקסימלית האפשרית amax ,עבורה הכדור לא יתנתק מדפנות הקוביה? )ג( מושכים את הקוביה מעלה בתאוצה .aמהי התאוצה המקסימלית האפשרית amax ,עבורה דפנות הקוביה לא ישברו? )ד( מושכים את הקוביה שמאלה בתאוצה .aמהי התאוצה המקסימלית האפשרית amax ,עבורה דפנות הקוביה לא ישברו? m θ פתרון: )א( m s2 ) amax = 9.8ב( m s2 ) amax = 5.66ג( m s2 ) amax = 1.03ד( m s2 amax = 6.84 3.2.3 מסוק שמשקלו הוא w = 294000 Nנע באוויר כך שמיקומו בכל רגע נתון בביטוי .~r(t) = 0.04t3ˆi−0.2t2 ˆj+0.3tkˆ m מהו הכח השקול שפועל על המסוק בכל רגע? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 26 פתרון: F~ (t) = (7200t, −12000, 0) N P 3.2.4 קרונית נעה בתאוצה קבועה .aלתקרת הקרונית מחובר חוט ובקצהו השני מסה .mבטאו את זווית הסטיה של החוט מהאנך ) θשבשרטוט( באמצעות .a, g a θ m פתרון: a g θ = tan−1 3.2.5 על מישור חלק משופע בזווית ◦ α = 24נע טריז בעל מסה .Mאל מוט שמחובר לטריז קשור חוט .לצידו השני של החוט מחוברת מסה קטנה .mכתוצאה מתנועת הטריז ,החוט יוצר זווית βעם האנך. β m M α מצאו את הזווית .β פתרון: ◦β = 24 3.2.6 קוף שמסתו mמטפס על חבל חסר מסה שכרוך סביב גלגלת חסרת חיכוך .בציד השני של החבל תלוי אשכול בננות בעל מסה ,mאליו מנסה להגיע הקוף. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 27 m m )א( האם בזמן שהקוף מטפס מעלה ,אשכול הבננות עולה ,יורד או נותר באותו המקום? )ב( האם בזמן שהקוף מטפס מעלה ,המרחק בינו לבין אשכול הבננות גדל ,קטן או לא משתנה? )ג( הקוף משחרר את אחיזתו בחבל .מה ניתן לומר על המרחק בינו לבין אשכול הבננות בזמן שהוא נופל? פתרון: )א( עולה) .ב( לא משתנה) .ג( המרחק לא משתנה. 3.2.7 קרון נמשך ימינה בתאוצה קבועה .aאל הקרון צמוד גוף שמסתו .mנתון כי בין הגוף לקרונית ישנו חיכוף עם מקדם סטטי .µs a m מה התאוצה המינימלית האפשרית עבורה הגוף לא יחליק ביחס לקרון? פתרון: g µs = amin 3.2.8 נתונה המערכת הבאה :הגלגלות והחוטים אידאלים )חסרי מסה וחיכוך( .אין חיכוך בין m2למישור המשופע .כמו כן נתון.m1 = 2 kg ; m2 = 3 kg ; θ = 20◦ : לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 28 m2 m1 θ מהי תאוצת כל אחד מהגופים והמתיחויות בחוטים? פתרון: ; T1 = 9.84 N ; T2 = 4.92 N m s2 ; a2 = 0.072 m s2 a1 = 0.036 3.2.9 מסה m1 = 8 kgמונחת על מישור משופע בזווית שמשתנה באופן הבא .θ(t) = 0.3t rad :עליה מונחת מסה .m2 = 6 kgבין m1למדרון קיים חיכוך עם מקדמים ,µs = 0.6 ; µk = 0.55ובין m1ל־ m2קיים חיכוך עם מקדמים .µs = 0.8 ; µk = 0.7ברגע t = 0משחררים את המערכת ממנוחה. m2 m1 )θ(t )א( באיזה רגע תתחיל המסה m1להחליק ביחס למדרון? )ב( באיזה רגע תתחיל המסה m2להחליק ביחס ל־ ?m1 )ג( מהן תאוצות כל אחת מהמסות בכל רגע? פתרון: )א( ) t = 1.8 sב( לעולם לא! )ג( m s2 t ≤ 1.8 s 0 9.8(sin 0.3t − 0.55 cos 0.3t) t > 1.8 s ( = )a(t 3.2.10 אדם שמסתו m = 80 kgנמצא בתוך מעלית פתוחה שמסתה M = 40 kgומושך עצמו מעלה באמצעות מערכת גלגלות כפי שמופיע בשרטוט .הגלגלות והחוטים אידיאלים )חסרי מסה וחיכוך(. )א( באיזה כח עליו למשוך את החוט כדי שיעלה במהירות קבועה? )ב( באיזה כח עליו למשוך את החוט כדי שיעלה בתאוצה קבועה ?a = g לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 29 פתרון: )א( (m+M )g 4 = ) Tב( (m+M )g 2 = T 3.2.11 מסה m1 = 30 kgמונחת על שולחן .בינה לבין השולחן ישנו חיכוך עם מקדמים .µs = µk = 0.4על m1מונחת מסה .m2 = 10 kgבין המסות ישנו חיכוך עם מקדמים .µs = µk = 0.6המסה m1קשורה בחוט אידיאלי למסה .m3משחררים את המערכת ממנוחה. )א( מהי המסה המינימלית m3,minהדרושה כדי להניע את המערכת? )ב( מהי המסה המקסימלית m3,maxעבורה המסה m2תנוע יחד עם המסה m1ולא תחליק עליה? )ג( נתון כי .m3 = 40 kgמהן תאוצות כל אחד מהגופים? m2 m1 m3 פתרון: )א( ) m3,min = 16 kgב( ) m3,max = 100 kgג( m s2 a = 2.94 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 30 3.2.12 מסה m1נמצאת על מישור משופע בזווית .θעל m1מונחת מסה m2הקשורה אליה בחוט שכרוך סביב גלגלת אידיאלית )חסרת מסה וחיכוך( .בין שתי המסות קיים חיכוך עם מקדם קינטי ,µkאך בין המסה m1למישור אין חיכוך .משחררים את המערכת ממנוחה ,והיא מתחילה להחליק. מהי תאוצת המערכת? m1 m2 θ פתרון: ·g i (m1 −m2 )·sin θ−2µk m2 ·cos θ m1 +m2 h =a 3.2.13 שני הגופים שבשרטוט m1 = 8 kg ,ו־ m2 = 6 kgמחוברים זה לזה ע״י חוט אחיד שמסתו .m = 4 kgכח F = 200 Nפועל על המסה m1אנכית מעלה. )א( מהי תאוצת המערכת? )ב( מהי המתיחות בנקודה העליונה ביותר של החוט? )ג( מהי המתיחות בנקודה התחתונה ביותר של החוט? )ד( מהי המתיחות בנקודה האמצעית של החוט? F m1 m m2 פתרון: )א( m s2 ) a = 1.31ב( ) T = 111.1 Nג( ) T = 66.66 Nד( T = 88.88 N לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 31 3.2.14 המערכת המשורטטת יכולה לשמש למדידת תאוצה של מערכת ,ע״י מדידת זווית הנטיה של החוט המחובר לכדור הקטן )בעל מסה קטנה מאד יחסית ל־ .(m1אין חיכוך במערכת. )א( מצאו את הקשר בין התאוצה לזווית .θ )ב( נתון m1 = 30 kgו־ .m2 = 60 kgמהי הזווית ?θ )ג( אם אפשר לשנות את המסות m1ו־ m2כרצוננו ,מהי זווית הסטיה המקסימלית האפשרית של החוט? θ m1 m2 פתרון: )א( ) a = g tan θב( ◦) θ = 33.69ג( ◦θmax = 45 3.2.15 במערכת הבאה הגלגלות והחוטים אידיאלים )חסרי מסה וחיכוך( .משחחררים את המערכת ממנוחה. נתון .m1 = 1 kg ; m2 = 4 kg ; , m3 = 3 kg :מצאו את: )א( תאוצת המסה m1ביחס לקרקע! )ב( תאוצת המסה m2ביחס לקרקע! )ג( תאוצת המסה m3ביחס לקרקע! m3 m2 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 32 m1 פתרון: )א( m s2 a1 = 5.37כלפי מטה) .ב( m s2 a2 = 6כלפי מעלה) .ג( m s2 a3 = 0.95כלפי מעלה. 3.2.16 אתלט שמסתו m1מטפס על חבל אידאלי )חסר מסה וחיכוך( שכרוך סביב גלגלת אידאלית ,ומחובר בצידו השני למשקולת m2שמונחת על הקרקע .תאוצת האדם היא .a )א( חשבו את המתיחות בחבל אם נתון כי המסה אינה מתרוממת מהקרקע! )ב( מהי התאוצה המקסימלית האפשרית של האתלט amaxעבורה המשקולת לא תתרומם מהקרקע? )ג( בהנחה שתאוצת האתלט גדולה מ־ ,amaxוהמסה מתרוממת מהקרקע ,מהי תאוצתה? m M פתרון: )א( )) T = m(a + gב( M −m g m = ) amaxג( + g) − g m (a M = aM 3.2.17 מסה m = 2 kgנמשכת ע״י כח אופקי ) F (tבמעלה מסלול חסר חיכוך שמשוואת המסלול שלו במערכת הצירים 2 הינה .y = x2בכל רגע ,מיקומו בציר xהוא .x(t) = 2t )א( מהו הכח ) F (tשמושך את הגוף כפונקציה של הזמן? )ב( מהו כח הנורמלי שפועל על המסה כפונקציה של הזמן? y x2 2 =y )F (t x לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 33 פתרון: )א( ) F (t) = 55.2t Nב( ~ (t) = (−55.2t, 27.6) N N 3.2.18 אדם שמסתו mעומד על משקל שמונח על עגלה שמתגלגלת במורד מדרון חלק משופע בזווית .α )א( מהו הכח אותו יראה המשקל במהלך התנועה? )ב( מהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי שיאפשר לאדם לא להחליק ביחס למשקל? α פתרון: )א( ) N = mg cos2 αב( µs,min = tan α 3.2.19 בשרטוט מתוארות 3מסות m1 , m2ו־ .m3אין חיכוך במערכת. m1 m2 m3 F )א( מהו הכח Fשיש להפעיל על המסה m3כדי שהמסות m1 , m2לא יחליקו ביחס אליה? )ב( מהי תאוצת המערכת במצב המתואר ב־)א(? פתרון: m1 ) F = (m2 + m3 ) · mב( )א( g 2 m1 g m2 =a 3.2.20 .α(t) = 20t rad מסה m = 1 kgנעה עם שולחן עגול שרדיוסו R = 10 cmהשולחן מסתובב עם תאוצה זוויתית s2 נתון כי ברגע t = 0הגוף במנוחה .בין המסה לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם .µ = 3כמו כן המסה קשורה בחוט לציר הסיבוב .המתיחות המקסימלית שיכול לשאת החוט היא .Tmax = 10 N לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 34 m R )א( באיזה רגע יחליק הגוף ביחס לשולחן? )ב( מהי הזווית שסרק הגוף עד לרגע שמצאתם ב־)א(? )ג( חוזרים על הניסוי פעם נוספת ,אך הפעם מורחים את השולחן בחומר סיכה כך שמקדם החיכוך בינו לבין המסה הוא כעת .µ = 0.5באיזה רגע יחליק הגוף ביחס לשולחן? פתרון: )א( ) t = 1.41 sב( ) ∆θ = 9.32 radג( t = 1.1 s 3.2.21 מכונית שמסתה m = 3 tonנוסעת בסיבוב ברדיוס R = 30 mעל כביש משופע בזווית ◦ .θ = 12בין המכונית לכביש ישנו חיכוף עם מקדם .µ = 4 m θ R )א( בתור מהנדס הכביש ,מה תורה לכתוב על שלט המורה לגבי המהירות המקסימלית האפשרית עבורה עדין לא תהיה החלקה? )ב( לפתע הנהג מזהה כי במרחק מה ממנו )לאורך הקשת( יש כתם שמן על הכביש ,והוא מבין כי מקדם החיכוך שם אפסי .הוא מאט כדי לא להחליק באיזור זה .מהי מהירות הנסיעה עבורה הוא ימנע מהחלקה? פתרון: )א( m s ) vmax = 90.93ב( m s v = 7.91 3.2.22 מסה mצמודה לדופן של קונוס שמחצית זווית הראש שלו היא ,θומסתובבת עם הקונוס במעגל אופקי בגובה h מקודקודו .מקדם החיכוך בין המסה לדופן הוא .µ לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 35 m θ h מצאו את זמן המחזור המינימלי ואת זמן המחזור המקסימלי האפשריים עבור התנועה כדי שהמסה לא תחליק ביחס לדופן! פתרון: )θ+µs cos θ )θ−µs cos θ ; Tmax = 2π R(sin Tmin = 2π R(sin )g(cos θ+µs sin θ )g(cos θ−µs sin θ 3.2.23 מסה mמחליקה מטה על פני טריז בעל זווית שיפוע .θהטריז נמשך בתאוצה קבועה Aימינה .בין המסה לטריז ישנו חיכוך קינטי עם מקדם .µk = tan θ m A מהי תאוצת המסה ביחס לטריז וביחס לקרקע? פתרון: תאוצת המסה ביחס לטריז היא מטה. A cos θ = a′בכיוון מורד המדרון ,ותאוצת המסה ביחס לקרקע היא a = A tan θאנכית לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 36 3.2.24 נתונה המערכת הבאה :הגלגלות אידאליות )חסרות מסה וחיכוך( והחוטים אידאלים )חסרי מסה וחיכוך(. m1 m3 m2 מהי תאוצת כל אחת מהמסות? פתרון: ·g m 4m3 − m3 m2 1 4m3 m 1+ m + m3 2 1 1− = − 1 · g ; a3 m3 m2 · m + m3 1 4 4m3 m2 1+ = − 1 · g ; a2 m3 m1 2 = a1 · − 1+ 4m3 + m3 m1 m2 3.2.25 מסה m2מונחת על רפצה אופקית חלקה .עליה מונחת מסה שניה .m1בין שתי המסות קיים חיכוך עם מקדם קינטי .µkמעניקים למסה m1מהירות התחלתית .v0 v 0 m1 m2 )א( מצאו מנקודת מבטו של צופה אינרציאלי על הקרקע את הדרך שתעבור m1על m2עד שתיעצר ביחס אליה. )ב( מצאו מנקודת מבטו של צופה לא אינרציאלי על m2את הדרך שתעבור m1על m2עד שתיעצר ביחס אליה. פתרון: )א( v02 1 m2 2 m1 +m2 µk g )ב( v02 1 m2 2 m1 +m2 µk g לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 37 פרק 4 עבודה ואנרגיה 4.1 חישוב עבודה 4.1.1 חלקיק יכול לנוע על שלוש מסילות שונות במערכת הצירים הנתונה: (1מהראשית לנקודה ) (3, 0לאורך ציר xומשם לנקודה ) (3, 2במקביל לציר .y (2מהראשית לנקודה ) (0, 2לאורך ציר yומשם לנקודה ) (3, 2במקביל לציר .x (3בקו ישר ישירות מהראשית לנקודה ).(3, 2 √ 2 ~ הכח השקול שפועל על הגוף בכל רגע הוא .F (~r) = (2 y, 0.5x − y, 0) N y )(3, 2 x )(0, 2 )(3, 0 חשבו את עבודת הכח על החלקיק דרך כל אחד מהמסלולים! פתרון: )א( במסלול ) WF~A→B = 7 J :1ב( במסלול ) WF~A→B = 6.49 J :2ג( במסלול WF~A→B = 6.66 J :3 4.1.2 גוף שמסתו M = 500 grנמשך ע״י כח משתנה בזמן )שגודלו וכיוונו אינם קבועים( .גודלו של הכח בכל רגע הוא F (t) = 3t Nוהזווית שהוא יוצר עם האופק בכל רגע היא .θ(t) = 1.5t4 radנתון כי מיקומו של הגוף בכל רגע הוא .x(t) = 0.5t3 m 38 )F (t )θ(t x )א( חשבו את עבודת הכח לאחר שיצא מהראשית והתקדם מרחק של .2 m )ב( הראו שכאשר הגוף התקדם 2 mהוא עדין נמצא על המשטח! פתרון: )א( WF~ = −0.075 J 4.1.3 כדור קטן שמסתו m = 0.04 kgמושחל בתוך מסילה דקה שמשוואת המסלול שלה במערכת הצירים היא .y = 3x2הכדור נע על המסילה ללא חיכוך ,אך תחת השפעת כח נורמלי ,כח הכובד וכח חיצוני = )F~ (~r ,(5x2 y + e−0.2x , x − 0.3y 2 ) Nבמערכת הצירים הנתונה. y y = 3x2 A C )F (~r x B )א( חשבו את עבודת כל הכוחות בין הנקודות Aשנמצאת בגובה yA = 12 mמעל לראשית ,ו־ Bשמיקומה ראשית הצירים. )ב( חשבו את עבודת כל הכוחות בין הנקודות Aו־ Cשנמצאות באותו הגובה.yA = yC = 12 m , פתרון: A→C A→B Wtot ) Wtotב( = 196.11 J )א( = 260 J 4.1.4 חרוז שמסתו m = 1 kgנע לאורך מסילה מעגלית ,שתחתיתה בראשית הצירים )נקודה .(Aרדיוס המסילה .R = 0.2 mעל החרוז פועלים ,מלבד כח נורמלי וכח הכובד ,גם שני כוחות נוספים :כח שגודלו קבוע F1 = 3 N וכיוונו הפוך למגמת התנועה בכל רגע )משיק למסלול( ,וכח תלוי מרחב שכיוונו אנכית מעלה בכל רגע וגודלו ,F2 = 2 cos θכאשר θהיא הזווית בין הרדיוס־וקטור לאנך. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 39 y F1 x חשבו את עבודת כל הכוחות מהנקודה Aלנקודה Bשנמצאת על הקוטר האופקי. F2 θ B A פתרון: A→B Wtot = −3.86 J 4.1.5 גוף נע לאורך מסלול כך שמיקומו בכל רגע הוא .~r(t) = t2ˆi + (2t + 1)ˆj − 3tkˆ mעל הגוף פועל כח √ .F~ (~r) = 2xyˆi + 3 xy 2ˆj Nנתון כי ברגע t = 0הגוף נמצא בנקודה Aוברגע t = 1 sהוא נמצא בנקודה .B מהי עבודת הכח ~ Fבין הנקודות Aו־ ?B פתרון: WF~A→B = 19.6 J לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 40 4.2 משפט העבודה־אנרגיה 4.2.1 נתונה המערכת הבאה ,ובה המסות נעות במהירות קבועה ,כך ש־ m2יורדת. m1 m2 המסות.m1 = 10 kg ; m2 = 6 kg : אם נתון כי כל אחת מהמסות התקדמה מרחק של ,0.5 mחשבו את: )א( עבודת כח הכובד על כל אחת מהמסות! )ב( עבודת כח המתיחות על כל אחת מהמסות! )ג( עבודת כח החיכוך שפועל על !m1 )ד( עבודת הכח הנורמלי שפועל על !m1 )ה( העבודה הכללית שנעשית על הגופים! פתרון: )א( ) Wm1~g = 0 ; Wm2~g = 29.4 Jב( ) WT~ ,m1 = −29.4 J ; WT~ ,m2 = 29.4 Jג( ) Wf~k ,m1 = −29.4 Jד( ) WN~ 1 = 0ה( Wtot = 0 4.2.2 המערכת שבשרטוט משוחררת ממנוחה .נתון כי המסות m1 = 120 kg ; m2 = 3 kgוכן שהחוט חסר מסה ואין חיכוך בינו לבין הגלגלת. m1 1m m2 מצאו משיקולי אנרגיה את מהירות הפגיעה של m1בקרקע. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 41 פתרון: m s v = 4.32 4.2.3 חלקיק קטן נמצא במנוחה בשיאו של כדור חסר חיכוך שרדיוסו .Rהחלקיק מקבל מכה קטנה ,כך שהוא מתחיל להחליק ממהירות אפסית על פני הכדור. R באיזו נקודה על הכדור ,החלקיק מתנתק ממנו? פתרון: בנקודה הנמצאת בגובה 53 Rמעל לקרקע! 4.2.4 מסה m = 300 grנעה במהירות N .k = 20 m m s v0 = 10על מישור אופקי חסר חיכוך ,ומכווצת קפיץ חסר מסה בעל קבוע y v0 h x θ k m )א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? )ב( לאחר שהמסה נעצרת ,היא מתחילה לנוע ימינה ,מתנקת מהקפיץ ,ועולה במעלה עקומה שגובהה המירבי מעל הקרקע הוא .h = 40 cmבנקודת הניתוק זווית השיפוע ביחס לאופק היא ◦.θ = 36.87 ) (1מהו הגובה המקסימלי אליו מגיעה המסה בתנועתה באוויר? ) (2מהו המרחק האופקי אותו עוברת המסה מרגע הניתוק? פתרון: )א( ) ∆ℓmax = 1.225 mב( )9.52 m (2) 2.09 m (1 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 42 4.2.5 גוף m = 2 kgנעזב ממנוחה בגובה 50 cmמעל קצהו של קפיץ שאורכו הרפוי ℓ0 = 2 mונמצא על הקרקע .קבוע הכח של הקפיץ .k = 50 Nmהניחו כי כאשר פוגע הגוף בקפיץ הוא אינו משנה את מהירותו ,שכן מסתו של הקפיץ זניחה. m 50 cm 2m )א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? )ב( מהו הגובה המקסימלי מעל הקרקע אליו יגיע הגוף לאחר שהקפיץ הגיע לכיווץ מקסימלי? )ג( כיצד היתה משתנה התשובה ל־)א( אם לכל משך התנועה היה פועל על הגוף כח חיצוני ,F = 0.2y Nשמגמתו אנכית מעלה? ) yגובהו של הגוף מעל לקרקע בכל רגע(. פתרון: )א( ) ∆ℓmax = 1.13 mב( 2.35 mאם נשאר מחובר לקפיץ ,ו־ ) 2.5 mחוזר לגובה ההתחלתי( אם לא מחובר לקפיץ. )ג( ∆ℓmax = 1.11 m 4.2.6 גוף שמסתו mמחליק ללא חיכוך על המסילה שבשרטוט .הוא מתחיל לנוע ממנוחה מהנקודה .A A B )א( מהו הגובה המינימלי של Aעבורו ישלים הגוף סיבוב שלם על המסילה? )ב( בתנאים של )א( ,מהו הכח הנורמלי שפועל על הגוף בנקודה ?B לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 43 R פתרון: )א( ) hmin = 2.5Rב( NB = 3mg 4.2.7 מסה m = 2 kgמשוחררת ממנוחה על מדרון משופע בזווית ◦ ,θ = 53.13במרחק x0 = 2 mמקצהו של קפיץ חסר N .K = 50 mבין המסה למדרון ישנו חיכוך עם מקדמים .µs = 0.5 ; µk = 0.3 מסה בעל קבוע m x0 θ )א( מהי מהירות המסה מיד לפני הפגיעה בקפיץ? )ב( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? )ג( המסה חוזרת ומטפסת שוב במעלה המדרון .מהו המרחק מנקודת ההתחלה אליו היא מצליחה להגיע? פתרון: )א( m s ) 4.93ב( ) 1.26 mג( 1.19 m 4.2.8 גוף m = 2 kgמחובר לשני קפיצים בעלי קבועים k1 = 500 Nm ; k2 = 1000 Nmכמשורטט .במצב שווי המשקל, שני הקפיצים רפויים .מסיטים את המסה 10 cmימינה ומשחררים ממנוחה. k2 k1 m )א( מהי המהירות המקסימלית של הגוף? )ב( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ השמאלי? פתרון: )א( m s ) vmax = 2.74ב( 10 cm 4.2.9 מסה m1 = 10 kgקשורה לשני קפיצים .הקפיץ הימני בעל קבוע k1 = 20 Nmוהקפיץ השמאלי בעל קבוע .k2 = 40 Nmבנקודת שווי המשקל הקפיץ הימני מתוח במידה .∆ℓ1 = 20 cmמסיטים את המסה ימינה מרחק של 20 cmומשחררים ממנוחה. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 44 k2 k1 m )א( מהי המתיחה של הקפיץ השמאלי במצב שווי המשקל? )ב( מהי המהירות המקסימלית של המסה בתנועתה? )ג( מהו המרחק המקסימלי משמאל לנקודת שווי המשקל אליו יגיע הגוף? )ד( מהי מהירות המסה כאשר היא נמצאת 5 cmמימין לנקודת שווי המשקל? )ה( היכן נמצאת המסה כאשר מהירותה היא ?0.1 ms פתרון: )א( ) 10 cmב( m s ) vmax = 0.49ג( ) 20 cmד( m s ) 0.47ה( ±1.96 m 4.2.10 מותחים קפיץ מעבר לגבול מסוים ,כך שהכח שהוא מפעיל מתנהג באופן הבא F = −10x + 100x3 N :כאשר xמידת המתיחה/כיוון של הקפיץ .מניחים את הקפיץ על מישור אופקי ,מקבעים את צידו האחד לקיר ,ומצמידים לצידו השני גוף שמסתו .m = 1 kgמכווצים את הקפיץ עם הגוף בשיעור של .15 cm מה תהיה מהירותו של הגוף כאשר ישתחרר מהקפיץ? פתרון: m s v = 0.45 4.2.11 גוף מונח על שולחן אופקי ומחובר לשני קפיצים בעל קבוע כח זהה .kבמצב שווי המשקל הקפיצים נמצאים על אותו הציר ואינם מתוחים או מכווצים .מושכים את הגוף ימינה כך שהקפיצים נמתחים כמשורטט. ℓ k 2ℓ k )א( חשבו את העבודה שמשקיעים הקפיצים בהעברת הגוף מהמצב המתואר לנקודת שווי המשקל! )ב( חשבו את מהירות הגוף בנקודת שווי המשקל! לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 45 פתרון: )א( ) 0.17kℓ2ב( 0.34kℓ2 m 4.2.12 מטוטלת שאורכה Lיכולה להתנודד במישור אנכי .מתחת לנקודת החיבור של החוט עם התקרה ,במרחק dתקוע מסמר קטן. d θ L מסמר )א( הראו כי אם המסה משוחררת מגובה נמוך יותר מאשר גובהו של המסמר ,היא תחזור לנקודת ההתחלה לאחר הפגיעה במסמר! ◦ )ב( הראו כי אם המסה משוחררת מהאופק ) (θ = 90היא תשלים סיבוב שלם אך ורק אם מתקיים כי הערך המינימלי של dהוא !dmin = 3L5 4.2.13 שרשרת בעלת מסה Mואורך Lמונחת על שולחן כך ש־ 1/4ממנה תלויה באויר ,כמשורטט .מושכים את השרשרת ימינה ,במהירות קטנה מאד. משיכה כמה עבודה הושקעה בתהליך המשיכה עד שכל השרשרת נמצאת על השולחן? פתרון: M gL 32 = W 4.2.14 מסה m = 0.2 kgנעה על מסלול חלק שמשוואות המסלול שלו הינה .y = 5 − 0.7x2המסה מחוברת אל קפיץ N ,k = 17 mשקצהו השני מחובר לראשית הצירים )ראו שרטוט( .ברגע t = 0המסה נמצאת בנקודה שקבוע הכח שלו .Aבמצב זה ,הקפיץ רפוי .על המסה פועל בנוסף לכוחות האחרים גם כח חיצוני .F~ = (y − 2x, e−2y + x2 ) N לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 46 y B ~F y = 5 − 0.7x2 x A C )א( מהי המהירות המינימלית שיש להעניק למסה בנקודה Aכדי שתגיע לנקודה ?B )ב( מעניקים למסה מהירות vA = 20 msבנקודה .A (1האם רכיב התאוצה של המסה בציר yבנקודה Bתהיה חיובית ,שלילית או אפס? (2באיזו מהירות יפגע הגוף בקרקע ,בנקודה ?C פתרון: )א( m s ) vA = 14.65ב( (1שלילית(2 . m s vC = 24.04 4.2.15 נתונה המערכת הבאה m1 ◦70 m m2 נתון: N m .m1 = 2 kg ; m2 = 3 kg ; m = 1 kg ; k = 300 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 47 בין המסה m1לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם קינטי .µk = 2.3 ברגע t = 0מותחים את הקפיץ ∆ℓ = 1 mביחס לרפיון ומשחררים ממנוחה. )א( מה עבודת כח החיכוך מרגע t = 0ועד שהקפיץ חוזר למצב רפוי? )ב( מהי מהירותה של כל מסה ברגע שהקפיץ חוזר למצב רפוי? פתרון: )א( ) Wf~k = −15.42 Jב( m s ; v2 = 5.04 m s v1 = 2.52 4.2.16 כדור קטן בעל מסה m = 100 grנע לאורך מסילה חלקה שמשוואת המסלול שלה היא .y = 2 sin xעל הכדור פועל בנוסף לכח הכובד )בכיוון (−ˆyולכח הנורמלי גם כח חיצוני .F~ (~r) = (2y 2 , −x − y) Nהכדור מתחיל לנוע ממנוחה מהנקודה .A y A C x 5π 2 )F (~r 3π 2 π 2 B )א( מהי מהירות הכדור כאשר הוא עובר בנקודה ?B )ב( האם רכיב התאוצה ayבנקודה Bהוא חיובי ,שלילי או אפס ,במערכת הצירים הנתונה? )ג( מהי מהירות הכדור כאשר הוא עובר בנקודה ?C פתרון: )א( m s ) vB = 24.1ב( חיובי) .ג( m s vC = 15.9 4.2.17 N k = 10 mונעה על מישור משופע .על המסה פועל כח מסה m = 800 grמחוברת לקפיץ בעל קבוע כח F~ (~r) = 10xyˆj Nבמערכת הצירים הנתונה .ברגע t = 0הגוף נמצא במיקום ,~r0 = (2, 1) mוהוא מתחיל לנוע ממנוחה .ברגע זה ,הקפיץ רפוי! לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 48 y k )F (~r m x )א( מהו מיקום המסה חלקיק שניה לפני שהיא מתנתקת מהמדרון? )ב( מהי מהירות המסה חלקיק שניה לפני שהמסה מתנתקת מהמדרון? פתרון: )א( ) (2.8, 1.4) mב( m s 3.79 4.2.18 שרשרת אחידה בעלת מסה Mואורך Lמונחת על שולחן כך ש־ 1/2ממנה נמצא באוויר .ברגע t = 0משחררים את השרשרת ממנוחה. L 2 )א( מהי מהירות השרשרת כאשר הקצה שלה עוזב את השולחן? )ב( חזרו על החישוב של סעיף )א( עבור מצב שבו בין השרשרת לשולחן ישנו חיכוך עם מקדם !µk פתרון: )א( 3 gL 4 q = ) vב( 3−µk gL 4 q =v 4.2.19 האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק מסוים היא J B r − A r2 = ) ,U(rכאשר rהמרחק של החלקיק מנקודה מסויימת, וכמו כן Aו־ Bקבועים חיוביים. )א( מהן היחידות הפיסיקליות של הקבועים Aו־ ?B )ב( מצאו את מרחק נקודת שווי המשקל .r0הראו כי מדובר בשווי משקל יציב! לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 49 )ג( חשבו את אנרגיית היוניזציה ,E0כלומר את האנרגיה שיש להשקיע כדי להרחיק גוף מ־ r0לאינסוף! √ √ = ?~r2 )ד( מהי עבודת הכח שנגזר מ־ ) U(rכשהחלקיק עובר מנקודה ~r1 = ( 2r0 , 2r0 ) mלנקודה m יש לבטא בעזרת .E0 3E0 )ה( נתון כי האנרגיה הכללית של החלקיק היא ,E = − 4וכן שתנועתו רדיאלית בלבד .מצאו את הנקודות בהן המהירות מתאפסת! ) ( √r02 , √r02 פתרון: )א( ) [A] = J · m2 ; [B] = Jmב( 2A B = ) r0ג( B2 4A = ) E0ד( B2 16A = E0 4 = ) Wה( 4A B =; r 4A 3B =r 4.2.20 ארגז מקבל מהירות התחלתית v0בתחתית מדרון משופע בזווית .αהמשטח מרוח בחומר שצפיפותו משתנה כך שמקדמי החיכוך הסטטי והקינטי אינם קבועים ,µs(x) = µk (x) = Cxכאשר תחתית המדרון ,x = 0ו־ Cקבוע כלשהו בעל יחידות פיסיקליות .[C] = m−1 x v0 α הראו כי כאשר הארגז עוצר ,הוא ישאר במנוחה אם 3g sin2 α C cos α ≥ .v02 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 50 4.3הספק 4.3.1 כמה אנרגיה )בג׳ולים( צורכת נורה של 100 W attשדולקת במשך שעה? באיזו מהירות צריך אדם ששוקל 70 kg לרוץ כדי שתהיה לו אנרגיה קינטית כזו? פתרון: m s E = 3.6 · 105 J ; v = 101.4 4.3.2 מכונית שמסתה 2000 kgנוסעת במעלה מדרון משופע בזווית ◦ 7במהירות קבועה המנוע? km hr .v = 30מהו ההספק שיוצר פתרון: P = 19905 W 4.3.3 מסה m = 10 kgנעה לאורך ציר xבהשפעת כח משמר כך שהאנרגיה הפוטנציאלית שלה נתונה ע״י = )U(x ] .100[cos 2x − 1נתון כי כאשר היתה המסה בנקודה x = 0האנרגיה הכללית שלה היתה .E = 80 Jמהו הספק הכח כאשר המסה נמצאת בנקודה ?x = 0.5 m פתרון: P = 844.73 W 4.3.4 סירה שמסתה m = 300 kgנעה בנהר .המים מפעילים על הסירה כח התנגדות פרופורציוני למהירות שגודלו ,λv 2 כאשר λקבוע כלשהו .מנועה של הסירה מספק הספק של 20 kWכך שהסירה נעה במהירות קבועה .10 ms )א( מהו הקבוע ?λ )ב( מכבים את המנוע .תוך כמה זמן תרד מהירות הסירה פי ?4 )ג( איזה מרחק עברה הסירה מרגע הכיבוי של המנוע ועד לרגע שמצאתם ב־)ב(? פתרון: )א( kg m ) λ = 20ב( ) t = 4.5 sג( x = 20.8 m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 51 פרק 5 מתקף ותנע 5.1מתקף־תנע של גוף נקודתי 5.1.1 כדור בעל מסה 1 kgנע במהירות m s .6מהו הכח )הקבוע( שיש להפעיל עליו כדי שיעצר לאחר ?t = 8 · 10−4 s פתרון: 7500 Nהפוך למגמת התנועה. 5.1.2 .20בשתי השניות הראשונות הפעיל עליו כח הכובד מתקף שגודלו .8 N · s גוף נזרק אנכית מעלה במהירות )א( מהי מסתו של הגוף? )ב( מהי מהירותו של הגוף לאחר שתי שניות? m s פתרון: )א( ) 0.41 kgב( m s 0.49 5.1.3 כדור בייסבול שנע במהירות 20 msבכיוון מסוים ,מקבל מכה ממחבט כך שמהירותו רגע לאחר המכה הינה בכיוון ההפוך .נתון כי מסת הכדור היא 0.25 kgוכן שזמן המגע בין המחבט לכדור היה .0.01 sמהו הכח הממוצע שהפעיל המחבט על הכדור? m s פתרון: 1250 N 52 30 התנגשויות והתפוצצויות 5.2 5.2.1 מסה m1 = 1 kgנעה על משטח חלק במהירות בה התנגשות פלסטית. m s v1 = 10אל עבר מסה m2 = 1.5 kgשנמצאת במנוחה ,ומתנגשת v1 m1 m2 )א( מהי מהירות הגופים לאחר ההתנגשות? )ב( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בהתנגשות? )ג( מהו המתקף שפעל על המסה m1במהלך ההתנגשות? )ד( אם נתון כי משך ההתנגשות היה ,t = 0.1 sחשבו את הכח הנורמלי הממוצע ,Nav ,שהפעילו הגופים זה על זה? פתרון: )א( m s ) 4ב( ) 60%ג( 6 N · sשמאלה) .ד( Nav = 60 N 5.2.2 עגלה שמסתה M = 200 kgנעה במהירות V = 15 msעל קרקע חלקה .שק מלט שמסתו m = 20 kgנזרק אנכית מטה לכיוון העגלה במהירות v = 3 msמגובה .12 m m M )א( מהי מהירות העגלה לאחר שהשק צנח עליה? )ב( מהו המתקף שמפעילה הקרקע על הגופים במהלך התנועה? )ג( מה היה משתנה בתשובות ל־)א( ול־)ב( אילו השק היה נזרק מגובה נמוך יותר? )ד( בתחתית העגלה נפער לפתע חור והשק צונח דרכו .מהי מהירות העגלה לאחר מכן? פתרון: )א( m s ) 13.64ב( 312.6 N · sאנכית מעלה) .ג( התשובה ל־)א( לא משתנה והתשובה ל־)ב( קטנה) .ד( לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 53 m s 13.64 5.2.3 קליע קטן שמסתו mפוגע במהירות vבבול עץ שמסתו ,Mויוצא לאחר זמן קצר מאד מצידו השני במהירות . v2 לאחר ההתנגשות בול העץ מבצע תנועה מעגלית מכיוון שהוא קשור בחוטי שאורכו ℓלנקודה כלשהי. ℓ M v 2 m v מה צריכה להיות המהירות המינימלית vminכדי שבול העץ ישלים סיבוב שלם? פתרון: 20gℓ √ M m = vmin 5.2.4 קליע שמסתו m = 50 grנע במהירות v0ופוגע במסה m1 = 1 kgנייחת .הוא עובר דרך המסה ופוגע במסה שניה m2 = 2 kgנייחת ,ונתקע בה .לאחר שהוא עובר דרך המסה הראשונה הוא מעניק לה מהירות 0.8 msולאחר שהוא נתקע במסה השניה מהירותה .1.5 ms v 0 m1 m2 )א( מהי מהירות הקליע לאחר שעבר דרך המסה הראשונה אך לפני שהוא מגיע לשניה? )ב( מהי מהירותו ההתחלתית של הקליע?v0 , )ג( מהי מהירות מרכז המסה של המערכת? פתרון: )א( m s ) 61.5ב( m s ) 77.5ג( m s 1.27 5.2.5 מסה m1 = 7.5 kgנעה במהירות 10 msמזרחה ,מתנגשת במסה m2 = 1.5 kgשנעה במהירות דרומית למערב .אחרי ההתנגשות ,שתי המסות נעות יחדיו. מהי מהירותן )גודל וכיוון( של שתי המסות לאחר ההתנגשות? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 54 m s 25ובכיוון ◦30 פתרון: m s ) (4.725, −2.083במערכת צירים ובה ציר xבכיוון מזרח וציר yבכיוון צפון. 5.2.6 בשרטוט הבא מתוארת מערכת שנמצאת על שולחן אופקי חלק ,כך שמסתכלים עליו במבט על .על השולחן נמצא כדור בעל מסה m1 = 3 kgשנע במהירות v1 = 7 msאל עבר כדור שני שמסתו m2 = 5 kgונמצא במנוחה. ההתנגשות היא אלסטית ולאחריה המסה m1נעה במאונך לכיוון התנועה המקורי שלה ,והמסה m2נעה בזווית φ מתחת לכיוון התנועה המקורי של .m1 m1 m2 φ )א( מהי מהירותן של שתי המסות לאחר ההתנגשות? )ב( חשבו את הזווית !φ )ג( מהו המתקף של הכח הנורמלי שהפעילה המסה m1על ?m2 פתרון: )א( ) 3.5 ms ; 4.7 msב( ◦) φ = 26.57ג( J~ = (21, −10.5) N · sבמערכת צירים ובה ציר xמכוון אופקית שמאלה וציר yמכוון אנכית מעלה. 5.2.7 מסה m2מונחת על הקרקע ומחוברת לקפיץ שקבוע הכח שלו הוא .kקליע בעל מסה m1נורה במהירות v0מתנגש וננעץ במסה .m2 v 0 m2 m1 )א( מהי ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ: (1אם המשטח חלק? (2אם בין המסה m2למשטח ישנו חיכוך קינטי עם מקדם ?µk )ב( מהו המתקף שהפעיל הקפיץ על המסות מרגע שמיד לאחר ההתנגשות ועד לכיווץ המקסימלי ,במצב בו המשטח חלק? פתרון: )א( · v0 (1 שמאלה. 1 k · m21 m1 +m2 q = (2 ∆ℓmax km 2 1 ·v2 1 +m2 0 µ2k (m1 +m2 )2 g 2 + m k r −µk (m1 +m2 )g+ = ) ∆ℓmaxב( J = m1 v0בכיוון לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 55 5.2.8 מטוטלת ובה אורך החוט L = 0.5 mוהמסה הקשורה אליו היא m = 2 kgמשוחררת ממנוחה מגובה מסוים כך שהזווית שיוצר החוט עם האנך היא ◦ .α = 45בתחתית מסלולה היא מתנגשת במסה M = 5 kgנייחת .ידוע כי אחרי ההתנגשות המטוטולת חוזרת חזרה ומגיעה לזווית מקסימלית ◦.β = 25 y L α m M x L מצאו את המרחק אותו עוברת המסה Mמרגע הפגיעה ,אם נתון כי בינה לבין המשטח ישנו חיכוך קינטי עם מקדם: )א( קבוע .µk = 0.4 L )ב( משתנה במרחב ,µk (x) = 0.4 xכאשר x = Lמיקום המסה Mביחס לראשית לפני ההתנגשות. פתרון: )א( ) 0.143 mב( 0.166 m 5.2.9 N במערכת הבאה לקפיץ יש קבוע כח ,k = 24 mוהמסות .m1 = 2 kg ; m2 = 1.5 kgהמערכת נמצאת במנוחה על מישור אופקי חלק .ברגע מסוים נותנים דחיפה למסה m2כך שהיא מתחילה לנוע במהירות .v0 = 6 ms v 0 m2 m1 )א( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? )ב( ברגע מסוים המסה m2נעצרת )רגעית( .מהי מהירות המסה m1ברגע זה ,ומהי מידת הכיווץ של הקפיץ? פתרון: )א( ) ∆ℓmax = 1.13 mב( ; ∆ℓ = 0.45 m m s v = 4.5 5.2.10 כדור בעל מסה 2mמחליק על פני משטח אופקי חלק במהירות .~v = v0ˆiהוא מתנגש בכדר שני נייח בעל מסה .m לאחר ההתנגשות הכדור שמסתו mנע במהירות שגודלה v20בזווית ◦ 30ביחס לציר .x x v0 2 ◦ v0 30 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 56 m 2m )א( מהי מהירותו של הכדור שמסתו ) 2mגודל וכיוון( לאחר ההתנגשות? )ב( האם ההתנגשות אלסטית )לחלוטין(? פתרון: )א( m s 0.793בזווית ◦ 9.06מתחת לציר ) .xב( לא! 5.2.11 v = 12על מישור אופקי .לפתע מתחיל לרדת גשם קרונית שמסתה M = 10 tonמתגלגלת במהירות קבועה אנכית מטה. אם נתון כי נפח הקרונית הוא V = 8 m3וכן שצפיפות המסה של טיפות המים היא המהירות הסופית של העגלה כאשר היא מלאה במים! m s kg m3 ,ρ = 998.2חשבו את v M פתרון: m s vf inal = 6.67 5.2.12 מחליק שמסתו m1 = 60 kgנמצא על סקייטבורד שמסתו .m2 = 3 kgבידיו של המחליק נמצאות שתי משקולות בעלות מסה m3 = 5 kgכ״א .כל המערכת במנוחה ,וברגע מסוים משליך המחליק את אחת המשקולות בכיוון האופקי בכל כוחו ,כך שמהירותה ברגע ההשלכה היא v3 = 8 msביחס למשליך! לאחר זמן מה משליך המחליק גם את המסה השניה בכל כוחו ,באותו הכיוון. )א( מה תהיה מהירותו של המחליק לאחר הזריקה השניה? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 57 )ב( הסבירו כיצד יתכן כי בתחילה האנרגיה הכוללת היתה אפס ,ואחרי הזריקה הראשונה ,יש הן למשקולת והן למשליך אנרגיות קינטיות .האם מקרה זה סותר את חוק שימור האנרגיה? פתרון: )א( m s ) 1.22ב( אין סתירה! 5.2.13 מסה m1 = mנעה על שולחן אופקי חסר חיכוך במהירות v1 = 3v0ומתנגשת במסה m2 = 2mנייחת .לאחר √ ההתנגשות המסה mנעה במהירות u1 = 5v0בזווית ◦ θ1 = 63.43ביחס לכיוון המקורי ,והמסה m2נעה במהירות u2בזווית θ2ביחס לכיוון המקורי. u 1 θ1 m2 m1 v1 θ2 u2 )א( מצאו את ) u2כפונקציה של (v0ואת .θ2 )ב( האם ההתנגשות אלסטית? פתרון: √ )א( ◦) u2 = 2v0 ; θ2 = 45ב( כן! 5.2.14 גוף m = 1 kgנזרק אנכית מטה במהירות בעל קבוע .k = 100 Nm m s v0 = 10מגובה 2 mמעל מסה M = 5 kgשנמצאת במנוחה על קפיץ m v0 M מצאו את הכיווץ המקסימלי של הקפיץ אם נתון כי: )א( ההתנגשות היא פלסטית. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 58 )ב( ההתנגשות היא אלסטית. )ג( ההתנגשות לא לחלוטין אלסטית ,וידוע שהגוף mמקבל מהירות m s u = 1כלפי מעלה מיד לאחר ההתנגשות. פתרון: )א( ) ∆ℓmax = 1.08 mב( ) ∆ℓmax = 1.37 mג( ∆ℓmax = 0.97 m 5.2.15 שני פגזים זהים מורכבים מקליע בעל מסה Mותרמיל בעל מסה .mכאשר פגז שכזה מתפוצץ ,למערכת נוספת אנרגיה קינטית בגובה .Uיורים את שני הקליעים בצורות הבא: פגז ) (1־ הפגז נורה ממנוחה בנקודה .A פגז ) (2־ מניחים לפגז ליפול )הקליע בכיוון התנועה( מהנקודה Aלאורך מסילה אנכית המחוברת למסילה חצי מעגלית )חסרות חיכוך( ,וכאשר הוא מגיע לנקודה Bהוא נורה. A A h B קליע )(2 )א( איזה קליע יגיע לגובה גדול יותר? )ב( האם התוצאה הקודמת סותרת את חוק שימור האנרגיה? הסבירו! h B קליע )(1 פתרון: )א( קליע ) .2ב( לא! 5.2.16 עגלה שמסתה Mעומדת על משטח אופקי חלק .צורתה של העגלה היא חצי מעגל שרדיוסו .Rמניחים מסה נקודתית mבקצה השמאלי העליון של העגלה ומשחררים ממנוחה .המסה mמחליקה על העגלה ללא חיכוך. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 59 m R M )א( האם התנע הקווי והאנרגיה הכללית נשמרים במהלך התנועה במערכת הגופים? רשמו את משוואות השימור! )ב( מהי מהירות כל אחת מהמסות כאשר mעוברת בנקודה התחתונה ביותר? )ג( האם המסה mתגיע לקצה הימני העליון של העגלה? אם כן ,מה תהיה מהירותה ברגע זה? אם לא ,מהו הגובה המקסימלי אליו היא מגיעה ביחס לנקודה התחתונה ביותר? פתרון: )א( האנרגיה הכללית והתנע הקווי בציר האופקי נשמרים) .ב( תהיה אפס. 2gR m 1+ M q m M = ; vM 2gR m 1+ M q = ) vmג( כן ,ומהירותה 5.2.17 שני טריזים בעלי מסה Mכל אחד מונחים על מישור אופקי חלק ,כמתואר בשרטוט .גוף נקודתי בעל מסה mמונח על הטריז השמאלי בגובה hמהקרקע ,ונעזב ממנוחה. הניחו כי המעבר של הגוף מהטריז לקרקע ושוב לטריז השני הוא חלק ללא איבוד אנרגיה. m h M )א( מהי מהירות המסה mכאשר היא מגיעה לקרקע? )ב( מהו הגובה המקסימלי על הטריז השני אליו יגיע הגוף? פתרון: )א( 2gh m 1+ M q = ) vב( · h 2 M m+M = hmax לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 60 M 5.3מרכז מסה 5.3.1 ברגע מסוים ,מיקום מרכז המסה של שני חלקיקים הוא ~rc.m = (4, 0) mומהירות מרכז המסה היא .~vc.m. = (4, 0) ms במצב זה אחד מהחלקיקים נמצא בראשית הצירים בעוד החלקיק השני ,בעל מסה ,m2 = 10 grנמצא במנוחה במיקום .~r2 = (5, 0) m )א( חשבו את מסתו של החלקיק הראשון! )ב( מהו התנע של מרכז המסה במצב המתואר בשאלה? )ג( מהי מהירותו של החלקיק הראשון במצב המתואר בשאלה? פתרון: )א( ) m1 = 2.5 grב( ) P~ = (0.05, 0) N · sג( m s )v1 = (20, 0 5.3.2 שני לולינים שמסת כל אחד מהם mמבצעים תרגיל אקרובטי ובו הם נורים מלוע של תותח שמתסו Mבזווית α לאופק ,במהירות .v0בשלב מסוים של התעופה ,הם דוחפים זה את זה ונפרדים ,כך שכל אחד מהם נוחת במקום אחר על פני הקרקע .ידוע כי שני הלולינים מגיעים באותו הרגע לקרקע ,וכן שמיקומו של אחד מהם הוא .x1 x x2 xc.m. x1 y M 0 )א( היכן נוחת הלולין השני? )ב( מהי מהירות הרתיעה של התותח? )ג( מהו המתקף שהפעילה הקרקע על התותח? פתרון: )א( sin 2α − x1 2v02 g = ) x2ב( · v0 cos α 2m M )ג( 2mv0 sin α 5.3.3 אישה שמסתה m = 50 kgנמצאת על רפסודה שמסתה .M = 250 kgהיא נמצא מרחק של 1 mמקצה הרפסודה, ונעה עד שהיא מגיעה למרחק של 1 mמהקצה השני .אורכה של הרפסודה הוא .10 m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 61 m M 1m 1m 8m כמה זזה הרפסודה בתהליך זה? פתרון: 1.33 m 5.3.4 אדם שמסתו m = 50 kgעומד בקצה סירה שמסתה M = 120 kgואורכה L = 6 mומתחיל ללכת עליה לעבר הקצה השני במהירות קבועה .v = 4 ms L v )א( מהי מהירות הסירה בזמן שהאדם הולך עליה? )ב( כמה זמן עבר עד שהגיע לקצה השני של הסירה? פתרון: )א( m s ) 1.67ב( 1.06 s 5.3.5 גוף שמסתו m = 6 kgחופשי לנוע ללא חיכוך על מישור משופע שמסתו M = 18 kgבזווית ◦ .θ = 32המישור המשופע מונח על שולחן חסר חיכוך .ברגע t = 0משוחרר הגוף ממנוחה מהנקודה Bשגובהה מפני השולחן .H = 4 m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 62 B m g H M θ )א( איזה מרחק אופקי ,יחסית לשולחן ,תעבור כל אחת מהמסות עד שהגוף יגיע לשולחן? )ב( מהי מהירות כל אחת מהמסות ברגע שהגוף יגיע לשולחן? )ג( מהו גודלו של הכח הנורמלי שפועל על כל אחד מהגופים? )ד( באיזה רגע הגיע הגוף לשולחן? פתרון: )א( ) 4.8 m ; 1.6 mב( m s ; 6.218 m s ) 2.073ג( ) 45.62 Nד( 0.82 s 5.3.6 מצאו את מרכז המסה של הצורות הבאות: )(4 L )(3 )(2 )(1 L L L L L L L L L פתרון: )א( L 6 מעל למרכז) .ב( √ 3L 12 מעל למרכז) .ג( L 4 מעל למרכז ו־ L 4 משמאל למרכז. 5.3.7 מצאו את מרכז המסה של כדור אחיד מלא שרדיוסו Rשיצרו בו חלל כדורי בעל רדיוס rשמרכזו נמצא במרחק a ממרכז הכדור המלא! a R r לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 63 פתרון: )· (a, 0 −r 3 R3 −r 3 = ~rc.m. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 64 פרק 6 תנועה סיבובית 6.1תנע זוויתי של גוף נקודתי 6.1.1 האם התנע הזוויתי נשמר עבור הגופים הבעיות הבאות? )א( גוף שנע על שולחן אופקי בצמוד למסילה. )ב( גוף שנע על שולחן אופקי המחובר לחוט שקצהו השני מחובר לנקודה כלשהי בשולחן? )ג( גוף שנע על שולחן אופקי המחובר לקפיץ שקצהו השני מחובר לנקודה כלשהי בשולחן? )ד( גוף שנע בתנועה אליפטית סביב כדה״א? 65 פתרון: )א( לא נשמר) .ב( נשמר) .ג( נשמר) .ד( נשמר. 6.1.2 חשבו את התנע הזוויתי של כדה״א בתנועתו סביב השמש ושל אלקטרון בתנועתו מסביב לפרוטון באטום המימן. הניחו כי הגופים נעים בתנועה מעגלית. 11 נתון כי מסת כדה״א היא 5.98 · 1024 kgומרחקו מהשמש .1.49 · 10 m לגבי האלקטרון באטום המימן ,מסתו ,me = 9.11 · 10−31 kgמרחקו מהגרעין ,5.29 · 10−11 mוהמהירות הזוויתית .ω = 4.136 · 1016 rad שלו היא s פתרון: כדה״א סביב השמש .2.65 · 1040 J · s :אלקטרון סביב פרוטון1.054 · 10−34 J · s : 6.1.3 נתון מבנה המורכב מקשת מעגלית דקה וחסרת מסה שרדיוסה Rואליה מחוברים ארבעה תותחים שמסתו של כל אחד מהם היא .2mמיקום התותחים במערכת הצירים הנתונה.~r1 = (0, R) ; ~r2 = (−R, 0) ; ~r3 = (0,R ) ; ~r4 = (R, 0) : בכל תותח נמצא פגז שמסתו .mברגע מסוים נורים הפגזים מתוך התותחים בכיוונים הנתונים בשרטוט ,במהירויות שגודלן זהה v0 ,ביחס לקרקע! לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 66 y v0 θ x v0 v0 v0 )א( מהי מהירות מרכז המסה של המבנה מיד לאחר ירי הפגזים? )ב( מהי מהירותו הזוויתית של המבנה מיד לאחר ירי הפגזים? פתרון: )א( v0 )(− sin θ, cos θ 8 = ) ~vc.m.ב( ˆsin θ · k v0 8R ω = ~ 6.1.4 שני גופים נקודתיים ,בעלי מסות mו־ 2mמחוברים בחוט שאורכו .Lהגופים מונחים על שולחן אופקי חלק, כמתואר בשרטוט ,כך שהמסה mנמצאת בראשית ,והמסה 2mנמצאת מעליה )על ציר (yבגובה . L2מעניקים למסה 2mמהירות בכיוון ציר xשגודלה .v0 y v0 2m L 2 מהי האנרגיה הקינטית של המערכת לאחר שהחוט מתוח והמסה mמתחילה לנוע? x m פתרון: Ek = 34 mv02 6.1.5 שני גופים נקודתיים ,בעלי מסות mו־ 4mמחוברים זה לזה ע״י מוט דק שמסתו זניחה בעל אורך .Lהגופים מונחים על שולחן אופקי חלק ,כמתואר בשרטוט ,כך שהמסה mנמצאת בראשית ,והמוט יוצר זווית של ◦ 45עם ציר .x לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 67 מעניקים למסה 4mמהירות בכיוון ציר xשגודלה .v0 y v0 4m L מהי מהירות מרכז המסה של המערכת ,וכן מהירותה הזוויתית סביב מרכז המסה? פתרון: √ 2v0 2L = vc.m. = 54 v0 ; ω לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 68 x ◦45 m שווי משקל של גוף קשיח )סטטיקה( 6.2 6.2.1 סולם שמסתו mנשען על קיר חסר חיכוך .אם בין הסולם לרצפה ישנו מקדם חיכוך ,µמהי הזווית הקטנה ביותר האפשרית בין הסולם לרצפה כדי שהסולם לא יחליק? θ פתרון: 1 2µ θmin = tan−1 6.2.2 סולם שמסתו mנשען על קיר חסר חיכוך .אם בין הסולם לרצפה ישנו מקדם חיכוך ,µוכן על שיא הסולם עומד אדם שמסתו ,Mמהי הזווית הקטנה ביותר האפשרית בין הסולם לרצפה כדי שהסולם לא יחליק? θ פתרון: m +M 2 ) µ(m+M θmin = tan−1 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 69 6.2.3 מוט שמסתו זניחה נמצא במנוחה במצב אופקי כאשר הוא מונח על נקודת משענת. L x m2 m1 יש לבטא את התשובות באמצעות .m1 ; m2 ; L )א( מהו המרחק xעבורו המערכת סטטית? )ב( מהו הכח הנורמלי שמרגיש המוט? )ג( מהן המתיחויות בחוטים? פתרון: )א( ) T1 = m1 g ; T2 = m2 gב( ) N = (m1 + m2 )gג( · L m2 m1 +m2 =x 6.2.4 מוט אחיד בעל מסה mמונח אנכית על הרצפה .בין המוט לרצפה ישנו חיכוך עם מקדם .µלמרכז המוט מחובר חוט שקצהו השני מחובר לרצפה ויוצר איתה זווית .αהקצה העליון של המוט מחובר לחוט נוסף שכרוך סביב גלגלת חסרת חיכוך ובקצהו השני תלויה מסה .Mנתון כי המערכת במנוחה. M α )א( מהו כח החיכוך הסטטי שמפעילה הרצפה על המוט? )ב( מהי המתיחות בחוט שמחובר לרצפה? )ג( מהו הכח הנורמלי שמפעילה הרצפה על המוט? )ד( מהו מקדם החיכוך המינימלי הדרוש כדי שהמוט עדין ישאר במנוחה? פתרון: )א( ) fs = Mgב( 2M g cos α = ) Tג( ) N = mg + 2Mg tan αד( M m+2M tan α = µmin לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 70 6.2.5 שני מוטות אחידים מחוברים בציר זה לזה בקצוותיהם )כך שהזווית ביניהם יכולה להשתנות( .המוטות מונחים על שולחן אופקי חלק .אורכו של המוט הימני הוא ℓומסתו mואורכו של המוט השמאלי הוא 0.75ℓומסתו .0.75mחוט דק קשור בין המוטות בגובה 0.15ℓמעל לשולחן .במצב זה ,הזווית שנוצרת בנקודת החיבור היא ישרה והמערכת במנוחה! m, ℓ 0.15ℓ )א( מהו הכח הנורמלי שמפעיל השולחן על כל אחד מהמוטות? )ב( מהי המתיחות בחוט? )ג( מהו הכח )גודל וכיוון( שמפעיל המוט הימני על השמאלי בנקודת החיבור? פתרון: )א( ) 0.815mg ; 0.935mgב( ) 0.56mgג( 0.59mgבזווית ◦ 71.72ביחס לחלק השלילי של הציר האנכי. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 71 0.75m, 0.75ℓ 6.3 חישוב מומנט ההתמדה 6.3.1 נתון מוט אחיד ודק שאורכו .L )א( חשבו את מומנט ההתמד של המוט ביחס למרכזו! )ב( חשבו את מומנט ההתמד של המוט ביחס לקצהו! פתרון: )א( 1 ML2 12 = ) Ic.m.ב( I = 13 ML2 6.3.2 חשבו את מומנט ההתמד של דיסקה אחידה דקה בעלת רדיוס פנימי aורדיוס חיצוני ,bדרך ציר ניצב העובר דרך מרכזה. נתון :מסת הדיסקה .M פתרון: ) Ic.m. = 21 M(a2 + b2 6.3.3 מצאו את מומנט ההתמד של חרוט שגובהו ,Hרדיוס בסיסו Rומסתו ,Mסביב ציר הסימטריה שלו! H R פתרון: 3 MR2 10 =I 6.3.4 נתון כדור אחיד מלא שרדיוסו Rשיצרו בו חלל כדורי בעל רדיוס rשמרכזו נמצא במרחק aממרכז הכדור המלא. מסתו של הגוף היא .M לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 72 חשבו את מומנט ההתמד של הגוף סביב המרכז. a R r פתרון: R5 − 25 r 5 −a2 r 3 R3 −r 3 2 5 I=M לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 73 6.4גלגול ללא החלקה 6.4.1 משחררים את המערכת הבאה ממנוחה .הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה. מצאו משיקולי אנרגיה את מהירות המערכת ואת תאוצת המערכת כפונקציה של הגובה אותו ירדה !m1 M, R m2 m1 פתרון: m1 g m1 +m2 + 21 M =; a 2m1 gh m1 +m2 + 21 M q =v 6.4.2 משחררים את המערכת הבאה ממנוחה .הגלגלת היא דיסקה שמסתובבת עם החוט מבלי שהוא מחליק עליה. מצאו משיקולי כוחות ומומנטים את תאוצת המערכת ואת מהירות המערכת כפונקציה של הזמן! M, R m2 m1 פתרון: m1 g m1 +m2 + 21 M =; a m1 gt m1 +m2 + 21 M =v 6.4.3 גוף בעל חתך מעגלי ,שמסתו mורדיוסו Rמתגלגל ללא החלקה על מישור משופע בזווית .θמומנט האינרציה של הגוף סביב מרכז המסה שלו הוא I = kmR2כאשר kקבוע כלשהו חסר יחידות פיסיקליות. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 74 m, R θ )א( מהי תאוצת מרכז המסה של הגוף? )ב( מהו מקדם החיכוך המינימלי הדרוש בין הגוף למשטח כדי שיתקיים גלגול ללא החלקה? פתרון: )א( g sin θ 1+k = ) ac.m.ב( · tan α k 1+k = µs,min 6.4.4 מהי זווית השיפוע המקסימלית של המדרון ,עבורה כדור מלא בעל מסה Mורדיוס Rיתגלגל ללא החלקה ,אם נתון כי מקדם החיכוך הסטטי בין המדרון לכדור הינו ?µs = 0.7 2 נתון :מומנט ההתמד של כדור מלא סביב מרכז המסה .Ic.m. = 5 MR2 M, R θ פתרון: ◦θmin = 67.8 6.4.5 במערכת הבאה הגלגלת היא דיסקה שחופשיה לנוע ללא חיכוך סביב ציר שעובר דרך מרכזה .החוט חסר מסה ,אך בינו לבין הגלגלת ישנו חיכוך סטטי כך שהגלגלת מסתובבת יחד איתו. K M, R m )א( רשמו את משוואות התנועה עבור כל אחד מהגופים. )ב( מהי תדירות התנודות הקטנות של המסה mסביב נקודת שווי המשקל? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 75 פתרון: )ב( k m+ 12 M q =ω 6.4.6 כדור מלא שמסתו m1 = 5 kgורדיוסו R1 = 30 cmיכול להסתובב ללא חיכוך סביב ציר אנכי שעובר דרך מרכזו ,בהשפעת חבל חסר מסה שכרוך סביבו .החבל עובר סביב גלגלת )גליל מלא( שמסתה m2 = 1 kgורדיוסה .R2 = 10 cmקצהו השני של החבל מחובר למסה נקודתית .m3 = 3 kg m1 m2 m3 )א( מהי תאוצתו הזוויתית של הכדור? )ב( מהי תאוצתה הזוויתית של הגלגלת? )ג( מהי תאוצת המסה? פתרון: )א( rad s2 ) 17.82ב( rad s2 ) 53.5ג( m s2 5.35 6.4.7 גליל מלא שמסתו mורדיוסו rמתגלגל ללא החלקה בתוך גליל חלול ודק שמסתו Mורדיוסו .Rהגליל החלול מודבק לרצפה. R v0 r )א( מהי המהירות המינימלית v0שיש להעניק למסה ) mלמרכזה( כדי שתוכל להשלים הקפה שלמה מבלי ליפול? )ב( בניסוי אחר ,מדביקים את הגליל המלא לתחתית הגליל החלול ,ומניחים את הגליל החלול על הקרקע כך שהגוף לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 76 המורכב יכול לנוע עליה .דוחפים קלות את הגליל המלא כך שמרכזו מקבל מהירות vבבכיוון ימינה .כתוצאה מכך שני הגופים מתחילים לנוע כגוף אחד המבצע גלגול ללא החלקה .מהי המהירות האופקית של מרכז המסה מיד לאחר שהוא מתחיל לנוע? פתרון: )א( )) v0,min = 1.91 g(R − rב( p R−r R · m M +m vc.m. = v 1 − לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 77 6.5 תנועת גוף קשיח 6.5.1 מוט דק שאורכו Lומסתו Mנמצא על שולחן אופקי חלק ומונח לאורך ציר yכשמרכזו בראשית .מסה נקודתית mנעה במהירות ˆ ~v0 = v0 xומתנגשת במוט בנקודה הנמצאת במרחק dממרכזו .ההתנגשות היא אלסטית )לחלוטין(. נתון :מומנט ההתמד של מוט אחיד סביב מרכזו הוא .Ic.m. = 121 ML2 M v0 m L d )א( אילו גדלים פיסיקלים נשמרים בהתנגשות? )ב( מה צריכה להיות גודלה של המסה mכדי שהיא תישאר במנוחה מיד לאחר ההתנגשות? בטאו בעזרת .M, L, d פתרון: M 2 1+ 12d2 =m L 6.5.2 מוט בעל אורך Lומסה Mנע במהירות v0על רצפה חלקה אל עבר מוט שני בעל נתונים זהים ,כפי שמשורטט. המוט הראשון מתנגש בקצהו של המוט השני ,והם מתחברים וממשיכים לנוע ביחד. M, L v0 M, L )א( מהי מהירות מרכז המסה של המוטות לאחר ההתנגשות? )ב( מהי המהירות הזוויתית של המערכת סביב מרכז המסה ,לאחר ההתנגשות? )ג( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בהתנגשות? פתרון: )א( v0 2 = ) vc.m.ב( 3v0 5L = ) ωג( 35% לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 78 6.5.3 מסה mמחוברת לקצהו של מוט שאורכו Lומסתו .Mהמסה והמוט המחוברים נעים על שולחן אופקי חסר חיכוך במהירות v0כמתואר בשרטוט .מסה נוספת mנעה במהירות 2v0בכיוון הפוך לתנועת המוט והמסה הראשונה, ונצמדת אל קצהו השני של המוט. m v0 M, L 2v0 m )א( מהי המהירות הזוויתית של המערכת ביחס למרכז המסה במצב הסופי? )ב( מהי מהירות מרכז המסה במצב הסופי? )ג( מהו אחוז האנרגיה שאבדה בתהליך? פתרון: )א( · 3vL0 m m+ M 6 = ) ωב( · v0 האנרגיה שאבדה הוא 35.7% M −m M +2m = ) vc.m.ג( אם מסת המוט שווה למסת כל אחד מהכדורים מתקבל שאחוז 6.5.4 מוט קשיח בעל מסה זניחה שאורכו Lנמצא במנוחה על מישור אופקי חלק לאורך ציר yכשמרכזו בראשית .שני כדורים בעלי מסה mכל אחד ,נעים האחד בכיוון החיובי של ציר ה־ xוהשני בכיוון השלילי של ציר ה־ xעם מהירות שגודלה זהה v0והם מתנגשים במוט באותו הרגע ,האחד בקצה העליון של המוט והשני בקצהו התחתון .הם נצמדים למוט וממשיכים לנוע יחד איתו .במיקום L2 , 0נמצא במנוחה כדור שלישי בעל מסה .mמערכת המוט ושני הכדורים פוגעת בכדור השלישי ,והוא נצמד למערכת! y v0 L 2 x L 2 L 2 מהי המהירות הזוויתית של המערכת ביחס למרכז המסה במצב הסופי? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 79 v0 פתרון: 3v0 2L =ω 6.5.5 מוט אחיד שאורכו L = 60 cmומסתו M = 2 kgמחובר בקצהו העליון לציר ,ומוחזק בזווית סטייה ◦ θ = 20ביחס לאנך .משחררים את המוט ממנוחה ,והוא מתנגש אלסטית במסה נקודתית m = 1 kgשנמצאת במנוחה בקצהו של שולחן שגובהו H = 80 cmמעל לקרקע. . M, L θ m H D )א( מהי זווית הסטייה המקסימלית של המוט לאחר ההתנגשות? )ב( מהו המרחק האופקי אותו עוברת המסה הנקודתית עד לפגיעה בקרקע? )ג( בהנחה כי לאחר ההתנגשות המוט מבצע תנודות בזוויות קטנות מסביב לנקודת שווי המשקל שלו ,מהי תדירות התנודות הקטנות? פתרון: )א( ◦) 12.7ב( ) 0.139 mג( 2g L q =ω 6.5.6 מוט אחיד שאורכו Lומסתו Mקשור בקצותיו לשני חוטים חסרי מסה שאורכו של כל אחד מהם הוא . √L2ההחוטים מחוברים למסמר שנמצא במרכזו של שולחן אופקי חלק .המוט מסתובב על השולחן במהירות זוויתית .ω0ברגע מסוים )המשורטט( החוטים נקרעים והמוט ממשיך לנוע ללא אילוץ. נתון :מומנט ההתמד של מוט אחיד סביב מרכזו הוא .Ic.m. = 121 ML2 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 80 y x )א( מהם הגדלים הפיסיקליים שנשמרים בבעיה? )ב( מהי מהירות מרכז המסה של המוט לאחר שהחוטים נקרעים? )ג( מהי המהירות הזוויתית של המוט סביב מרכז המסה שלו לאחר שהחוטים נקרעים? M, L פתרון: )א( אנרגיה )קינטית( ,תנע קווי ותנע זוויתי) .ב( ) vc.m. = L2 ω0ג( ω = ω0 6.5.7 ארבעה מוטות שאורך כל אחד מהם Lומסת כל אחד מהם Mמחוברים בקצותיהם ויוצרים ריבוע .הריבוע מסתובב על שולחן אופקי חלק במהירות זוויתית .ω0ברגע מסוים )המשורטט( החיבורים בנקודות Bו־ Dמתנתקים והריבוע מתפרק לשני חלקים )כהה ובהיר בשרטוט(. נתון :מומנט ההתמד של מוט בעל אורך Lומסה Mביחס למרכזו הוא .Ic.m. = 121 ML2 y B x M, L M, L M, L C M, L )א( אילו גדלים פיסיקליים נשמרים בעת הניתוק ,אם ידוע שלא פעל שום כח חיצוני על המוטות ברגע זה? )ב( מהי מהירות מרכז המסה של כל אחד מהחלקים לאחר הניתוק? )ג( מהי המהירות הזוויתית של כל אחד מהחלקים סביב מרכז המסה שלו? לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 81 A D פתרון: )א( תנע קווי ותנע זוויתי) .ב( √ 2 Lω0 4 = ) vc.m.ג( ω = ω0 6.5.8 כדור ביליארד נמצא במנוחה על שולחן ביליארד .שחקן נותן מכה בגובה hמעל מרכז הכדור ,כך שמהירות מרכז המסה מיד לאחר המכה היא .v0מהירותו הסופית של הכדור הינה . 97 v0 נתון :מומנט התמד של כדור אחיד .Ic.m. = 52 mR2 h R הראו כי !h = 45 R 6.5.9 דיסקה בעלת מסה mורדיוס R1 = 2Rנמצאת על שולחן אופקי חלק ומסתובבת במהירות זוויתית .ω0דיסקה שניה עשויה חומר אחר ,שמסתה זהה לראשונה mאך רדיוסה קטן יותר R2 = 1.5Rנופלת מגובה נמוך על הדיסקה הראשונה .בין הדיסקות ישנו חיכוך כך שלאחר זמן מה הדיסקות נעות יחדיו. m, R2 m, R1 )א( מהי המהירות הזוויתית של שתי הדיסקות כאשר הן נעות יחדיו? )ב( מהו אחוז האנרגיה שאבד בתהליך? פתרון: )א( ) ω = 0.64ω0ב( 36%מהאנרגיה אבדה. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 82 ω0 פרק 7 תנועה הרמונית 7.1 תנועה הרמונית פשוטה 7.1.1 מסה M = 500 grנמצאת על שולחן חסר חיכוך ומחוברת לקפיץ אופקי בעל קבוע .k = 100 Nmמכווצים את הקפיץ מרחק של 15 cmומשחררים ממנוחה .המסה Mמגיעה לנקודת הרפיון של הקפיץ שם היא מתנגשת אלסטית במסה m = 200 grהקשורה לחוט שאורכו .L = 0.5 m L M m )א( מהי אמפליטודת התנודה של המסה Mלפני ההתנגשות? )ב( היכן נמצאת המסה 0.2שניות לאחר תחילת התנועה? )ג( מהי מהירות כל אחד מהגופים מיד לאחר ההתנגשות? )ד( מהי אמפליטודת התנודה של המסה Mלאחר ההתנגשות? )ה( מהי זווית הסטיה המקסימלית אליה תגיעה המסה mלאחר ההתנגשות? פתרון: )א( ) 0.15 mב( 0.061 mמשמאל לנקודת הרפיון של הקפיץ) .ג( m s ; 3.03 m s ) 0.91ד( ) 0.064 mה( ◦86.33 7.1.2 גוף שמסתו 2 kgמתנודד על קפיץ אנכי באופן הבא :בנקודה התחתונה ביותר של תנועתו הוא מגיע לגובה 10 cm מעל הקרקע ,ובנקודה העליונה ביותר של מסלולו הוא מגיע לגובה 40 cmמעל לקרקע .הזמן שלוקח לגוף לנוע מהנקודה התחתונה ביותר לנקודה העליונה ביותר הוא .0.3 s )א( מצאו את קבוע הקפיץ! 83 )ב( מצאו את תאוצתו ומהירותו של הגוף כאשר הוא נמצא בגובה 30 cmמעל לקרקע! )ג( מתי לראשונה גובהו של הגוף מעל הקרקע הוא 20 cmאם נתון שהוא התחיל לנוע מהנקודה התחתונה ביותר )?(t = 0 פתרון: )א( N m ) k = 219.3ב( m s v = 1.48במגמה מעלה. m s2 a = 5.41במגמה מטה) .ג( t = 0.118 s 7.1.3 מסה m = 1 kgתלויה באוויר בעזרת חוט דק חסר מסה .החוט כרוך סביב גלגלת חסרת חיכוך ומחובר בקצהו השני N לקפיץ אנכי בעל קבוע .k = 200 mמחזיקים את המערכת כך שהקפיץ רפוי ,ומשחררים ממנוחה. m k )א( מצאו את אמפליטודת התנודה! )ב( מהי מהירות הגוף 0.1שניות לאחר תחילת התנודה? )ג( מתי לראשונה עובר הגוף נקודה שנמצאת 0.02 mמתחת לנקודת השחרור? פתרון: )א( ) A = 0.049 mב( m s v = 0.685במגמה מטה) .ג( t = 0.066 s 7.1.4 N .k = 1500 mמצמידים אליה מסה m1 = 10 kgמונחת על שולחן אופקי חסר חיכוך וקשורה לקפיץ בעל קבוע מסה שניה m2 = 5 kgודוחפים את שתי המסות עד שהקפיץ מכווץ בשיעור של .0.3 mברגע זה ) (t = 0משחררים את המערכת ממנוחה. k m1 k m1 m2 0.3 m לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 84 )א( כאשר המסות מגיעות לנקודת שווי המשקל ,הן נפרדות וממשיכות לנוע בנפרד .מהי מהירותה של m2ברגע זה? )ב( מהו מרחקה של m2מ־ m1ברגע שהאחרונה מגיעה לראשונה למתיחה המקסימלית? )ג( מתי מגיעה המסה m1לנקודה ממנה התחילה ,בפעם הראשונה? פתרון: )א( m s ) 3ב( ) 0.14 mג( אף פעם! 7.1.5 מסה m1לא ידועה נמצאת על שולחן אופקי חסר חיכוך ומחוברת לקפיץ בעל קבוע כח מסה .m2 = 4 kgבין המסות ישנו חיכוך עם מקדם סטטי .µs = 0.8 N m .k = 256מניחים עליה m2 k m1 חשבו מהי האמפליטודה המקסימלית האפשרית עבורה ינועו המסות בתנועה הרמונית פשוטה מבלי להחליק אחת ביחס לשניה! פתרון: µs (m1 +m2 )g k = Amax 7.1.6 N k1 = 180 mומסה m2 = 15 kgקשורה לקפיץ בעל קבוע .k2 = 150 Nm מסה m1 = 12 kgקשורה לקפיץ בעל קבוע דוחפים את שתי המסות כך שהקפיצים מכווצים בשיעור דומה .4 mמשחררים ממנוחה את המסה m2ולאחר זמן מה משחררים ממנוחה את המסה ,m1כך שהמסות מתנגשות בדיוק ברגע שבו שני הקפיצים רפויים .ההתנגשות היא פלסטית. k1 k2 m2 )א( כמה זמן לאחר שחרור המסה m2שוחררה המסה ?m1 )ב( מהי מהירות כל אחד מהגופים רגע לפני ההתנגשות? )ג( מהי אמפליטודת התנודה לאחר ההתנגשות? )ד( מתי לראשונה לאחר ההתנגשות גודל המהירות של הגוף המשותף היא m s ?0.1 פתרון: )א( ) 0.0913 sב( m s ; 12.648 m s ) 15.492ג( ) A = 0.0115 mד( t = 0.064 s לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 85 m1 7.1.7 מסה נקודתית m1 = 600 grמונחת על משטח אופקי חלק ומחוברת לקפיץ בעל קבוע .k = 12 Nmדוחפים את המסה כך שהקפיץ מתכווץ בשיעור של 30 cmומשחררים ממנוחה .במרחק 10 cmמנקודת הרפיון נמצאת מסה נקודתית נייחת .m2 = 900 grההתנגשות בין המסות היא אלסטית. k m2 m1 10 cm )א( כמה זמן לאחר ששוחררה המסה m1היא פוגעת במסה ?m2 )ב( מהי מהירותה של m1חלקיק שניה לפני ההתנגשות? )ג( מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ לאחר ההתנגשות? פתרון: )א( ) t = 0.428 sב( m s ) v = 1.26ג( ∆ℓmax = 0.115 m 7.1.8 מסה נקודתית m1 = 1 kgתלויה על קפיץ אנכי שאורכו הרפוי .ℓ0 = 0.2 mבגובה 0.8 mמתחת לתקרה נמצא שולחן ועליו מסה m2 = 0.5 kgשחלקה העליון מרוח בדבק .מרימים את המסה m1מרחק מסוים ,ומשחררים T ממנוחה ) .(t = 0ברגע T ) t = 12הוא זמן המחזור( מהירות המסה m1היא .2 msהמסה m1נעה מטה ,ובדיוק כאשר הקפיץ מתוח במידה מקסימלית )במהירות אפסית( היא נוגעת במסה m2והמסות נצמדות. k 0.8 m m1 m2 )א( מהן אמפליטודת התנודה והתדירות הזוויתית של התנודה לפני ההיצמדות? )ב( מהן אמפליטודת התנודה והתדירות הזוויתית של התנודה אחרי ההיצמדות? )ג( כמה זמן אחרי ההיצמדות חולפות שתי המסות לראשונה על פני נקודת הרפיון? פתרון: )א( rad s ) A = 0.47 m ; ω = 8.57ב( rad s ) A = 0.4 m ; ω = 7ג( t = 0.3 s לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 86 7.1.9 אדם בעל מסה m = 80 kgנמצא על מסה ,M = 100 kgשנמצאת על מישור אופקי חסר חיכוך .המסה קשורה לקפיץ בעל קבוע .k = 5000 Nmמכווצים את הקפיץ בשיעור 3 mומשחררים ממנוחה כך שהאדם נע יחד עם המסה בתנועה הרמונית פשוטה .כאשר הם חוזרים לנקודת הרפיון ,האדם קופץ קדימה במהירות אופקית v0 = 3 msיחסית למסה. v0 m k M )א( מהי אמפליטודת התנודה של המסה לאחר שהאדם קפץ ממנה? )ב( מהי צריכה להיות מהירות הקפיצה של האדם כדי שהכיווץ המקסימלי של המסה Mבתנועתה לא ישתנה? פתרון: )א( ) A = 1.9 mב( m s 6.75ביחס ל־ Mבמגמה ימינה ,או m s 46.28ביחס ל־ Mבמגמה שמאלה. 7.1.10 מטוטלת מטמטית עבורה אורך החוט הוא L = 1 mמוסטת בזווית קטנה ◦ θ1 = 3ונעזבת ממנוחה ) .(t = 0כאשר המשקולת מגיעה לנקודה התחתונה ביותר של מסלולה ,החלק העליון של החוט פוגע במוט שיורד מהתקרה ושגובהו , L2כך שהמשקולת ממשיכה לנוע רק עם חציו השני של החוט. L 2 θ2 )א( מהי זווית הסטיה המקסימלית של החוט בצידה השני של התנועה?θ2 , )ב( מהו זמן המחזור של התנועה ,כלומר הזמן שלוקח לגוף עד שהוא חוזר לזווית θ1במיקום המקורי? )ג( מהי זווית הסטייה של החוט ביחס לאנך ברגע ?t = 1 s פתרון: )א( ◦) 4.14ב( ) 1.713 sג( ◦3.39 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 87 θ1 L 7.1.11 שתי מסות m1 > m2קשורות בחוט באופן המתואר בתרשים .לכל מסה קשור חוט שאורכו ℓובקצהו משקולת .m מסיטים כל אחת מהמשקולות כך שהחוטים יוצרים זווית קטנה עם האנך ,ומשחררים את כל המערכת ממנוחה. m m1 m2 ℓ ℓ m מה ניתן לומר על זמני המחזור של שתי המטוטלות? פתרון: מטוטלת ימנית> T ℓ g q > 2πמטוטלת שמאליתT 7.1.12 מסה m2תלויה על חוט שעובר דרך גלגלת שצורתה גליל מלא בעל רדיוס Rומסה .Mלצידו השני של החוט קשורה מסה m1שנמצאת על שולחן אופקי חלק .לצידה השני של m1מחובר קפיץ קשור לקיר בעל קבוע כח .k בשרטוט מתואר מצב שווי המשקל של המערכת .נתון כי במצב בו המערכת נעה ,החוט אינו מחליק על הגלגלת. מושכים את המסה m2עד לקרקע ,גובה hמתחת למצב שווי המשקל ,ומשחררים ממנוחה. k M, R m2 h )א( מהי התארכות הקפיץ במצב שווי המשקל? )ב( הראו כי המערכת תבצע תנועה הרמונית פשוטה. )ג( חשבו את אמפליטודת התנודה Aואת תדירותה .f )ד( רשמו ביטויים למיקום ,מהירות ותאוצת המסה m2בכל רגע! פתרון: )א( )ד( m2 g k = ) ∆ℓג( התדירות ·t+π k m1 +m2 + 21 M k m1 +m2 + 21 M q q 1 2π = fוהאמפליטודה A = h x(t) = h cos לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 88 m1 q q k k v(t) = −h m1 +m2 + 1 M sin ·t+π m1 +m2 + 21 M 2 q k k ·t+π a(t) = −h m +m + 1 M cos m +m + 1 M 2 1 2 2 2 1 7.1.13 גליל מלא בעל רדיוס Rומסה Mמונח על שולחן אופקי .מקדם החיכוך הסטטי בין הגליל לשולחן הוא .µsציר הגליל מחובר לקפיץ בעל קבוע kשקצהו השני מחובר לקיר .מסיטים את הגליל בשיעור A0ימינה מנקודת שווי המשקל ,ומשחררים ממנוחה .נתון כי הגליל מתגלגל ללא החלקה! M, R k )א( מהי תדירות התנודות שמבצע הגליל? )ב( רשמו את מיקום המסה ,מהירותה ותאוצתה כפונקציה של הזמן! )ג( מהו גודלו המינימלי של מקדם החיכוך µs,minעבורו הגליל לא יחליק ביחס למשטח? N )ד( נתון; m = 2 kg : .k = 100 mמתי לראשונה מגיע הגוף לכיווץ ? A30 פתרון: )א( 2k 3m q =ω q 2k x(t) = A0 cos )ב( · t + π 3m q q 2k 2k v(t) = −A0 3m sin ·t+π 3m q 2k 2k cos · t + π a(t) = −A0 3m 3m 7.1.14 שני גופים m1ו־ m2נמצאים על קרקע חלקה ומחוברים זה לזה בעזרת קפיץ בעל קבוע .kמותחים את הקפיץ מרחק מסוים ומשחררים ממנוחה. k m1 )א( מהי תדירות התנודות? הנחיה :הראו כי התנועה היא הרמונית פשוטה ע״י קבלת המשוואה המתאימה ,וקבלו מתוכה את הפתרון. )ב( בדקו את תשובותכם ל־)א( בגבולות m1 ≫ m2ו־ .m2 ≫ m1 פתרון: )א( k ) m1 m2 /(m1 +m2 q =ω לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 89 m2 7.1.15 מסה m1 = 20 kgקשורה בחוט חסר מסה למסה .m2 = 30 kgבצידה השני מחוברת m1לקפיץ אנכי בעל קבוע כח .k = 1000 Nmהמערכת במנוחה ולפתע נקרע החוט. k m1 m2 )א( מהי אמפליטודת התנודה ההרמונית שמבצעת m1לאחר שהחוט נקרע? )ב( מתי לראשונה לאחר התחלת התנועה תגיע m1לנקודה בה הקפיץ רפוי? פתרון: )א( ) A = 0.294 mב( t = 0.326 s לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 90 7.2 תנועה הרמונית מרוסנת 7.2.1 מסה m = 50 grנעה בהשפעת קפיץ אופקי בעל קבוע .k = 25 Nmברגע t = 0הקפיץ מתוח בשיעור 0.3 mוהמסה נעזבת ממנוחה .כח מרסן מהצורה f = −bvפועל על המסה ,כך שלאחר 5שניות אמפליטודת התנודה דועכת לכדי .0.1 m מצאו את גודלו של קבוע הריסון !b פתרון: kg s b = 0.022 7.2.2 .k = 12000המסה מרגישה כח התנגדות פרופורציוני מסה m = 10 kgנעה בהשפעת קפיץ אנכי בעל קבוע למהירותה f = −bvכאשר .b = 3 kgs )א( חשבו את תדירות התנודה? )ב( בכמה אחוזים דועכת אמפליטודת התנודה בכל מחזור? )ג( כמה זמן עבר עד שאנרגית המערכת מגיעה ל־ 5%מערכה ההתחלתי? N m פתרון: )א( rad s ) ω = 34.64ב( ) 2.7%ג( 10שניות. 7.2.3 N קוביה שמסתה m = 0.5 kgתלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע כח .k = 100 mהקוביה נמצאת בתוך נוזל צמיג שמפעיל כח ריסון מהצורה v ) f = −0.08vמהירות המסה( .מותחים את הקפיץ למרחק של 0.2 mמתחת לנקודת שווי המשקל ומשחררים ממנוחה. k m אם ניתן להזניח את כח העילוי: לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 91 )א( תוך כמה זמן תקטן אמפליטודת התנודה פי ?2 )ב( מהי מהירות הגוף 0.3שניות לאחר תחילת התנועה? פתרון: )א( ) t = 8.66 sב( m s v(t = 0.3 s) = 2.47 7.2.4 טריז שמסתו M = 2mמונח על מישור אופקי חלק ומחובר לקפיץ בעל קבוע kשקצהו השני מחובר לקיר .כדור בעל מסה mנע אופקית ומתנגש אלסטית )לחלוטין( בטריז ,כך שמיד לאחר ההתנגשות הוא נע אנכית מעלה ומגיע לגובה מקסימלי hמעל לנקודת ההתנגשות. h m M )א( מהי אמפליטודת התנועה Aוהתדירות של התנודות ω0של המנסרה לאחר ההתנגשות? יש לבטא באמצעות .m, k, h, g )ב( כעת מפעילים על המנסרה כח ריסון פרופורציוני למהירות אך מנוגד לה ,f~ = −β~v ,כאשר βקבוע כלשהו שמקיים את התנאי .β 2 < 8mkנתון כי תוך זמן τאמפליטודת התנודות דועכת פי . 1eמצאו את ,τאת תדירות התנודה המרוסנת ωואת עבודת כח הריסון Wבמשך המחזור ה־ nשל התנועה! פתרון: q h i πβ πβ ) A = 2mghב( ; W = mA2 ω 2 · e− mω ·n 1 − e mω )א( k β2 16m − k 2m q =; ω 4m β =τ לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 92 7.3 תנועה הרמונית מאולצת 7.3.1 מסה נעה בהשפעת קפיץ בהתאם למשוואת התנועה: x¨ + 3x = 10 cos Ωt באיזו תדירות של כח מאלץ ,Ω ,מתקבלת תהודה? פתרון: rad s 3 = 1.732 √ = Ωres 7.3.2 N .k = 300 mכח חיצוני F (t) = 12 sin 4t Nמנדנד את המסה. מסה m = 20 kgתלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע כמו כן על המסה פועל כח ריסון פרופורציוני למהירות .f = −30v מהי אמפליטודת התנודה ההרמונית המאולצת הנוצרת במצב עמיד )?(st eady−st at e פתרון: A = 0.0986 m 7.3.3 N מסה m = 6 kgתלויה על קפיץ אנכי בעל קבוע k = 180 mומתנודדת בתנועה הרמונית .על המסה פועלים כח מרסן ,f = −40vכאשר vמהירות המסה ,וכח מאלץ .F (t) = F0 cos Ωt מהי תדירות הרזוננס )תהודה(?Ωres , פתרון: rad s Ωres = 2.79 לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 93 פרק 8 גרביטציה 8.1חוקי קפלר ותנועה גרביטציונית 8.1.1 כוכב שביט מקיף את השמש בזמן מחזור של .T = 75.6 yearsהמרחק הקרוב ביותר אליו הוא מגיע מהשמש )הפרהליון( הוא .r = 8.55 · 1010 mמהו מרחקו הרחוק ביותר של כוכב השביט מהשמש )האפליון(?x , sun r x 2a פתרון: x = 5.26 · 1012 m 8.1.2 לווין נע בתנועה מעגלית סביב כדה״א ברדיוס סיבוב .2REכמה אנרגיה דרושה כדי להעבירו לנוע בתנועה מעגלית ברדיוס סיבוב ?4RE 94 פתרון: GME m 8RE = ∆E 8.1.3 אסטרונאוט שמשקלו על פני כדה״א הוא w = 980 Nמסתובב בחללית סביב כדה״א בתנועה מעגלית קצובה ,בגובה 1000 kmמעל פני כדה״א. נתון :מסת כדה״א ME = 5.98 · 1024 kgורדיוס כדה״א .RE = 6380 km )א( הסבירו כיצד יתכן כי האסטרונאוט מרחף בתוך החללית? )ב( במידה ואין חיכוך של החללית עם הסביבה ,חשבו את מהירותה של החללית? )ג( שלחו את האסטרונאוט לכוכב לכת כלשהו ,שרדיוסו .R⋆ = 5000 kmוהוא מגלה שמשקלו על פני הכוכב הוא .w = 588 Nמהי מסתו של הכוכב ⋆?m פתרון: )ב( m s ) v = 7352ג( m⋆ = 2.224 · 1022 m 8.1.4 גוף נמצא בין כדה״א לירח. נתון :מסת כדה״א ME = 5.98 · 1024 kgומסת הירח .MM = 7.35 · 1022 kgמרחקו של הירח מכדה״א הוא .384, 400 km )א( באיזה מרחק בין כדה״א לירח על לווין להימצא כך ששקול הכוחות עליו יהיה שווה לאפס? )ב( בהזנחת האנרגיה הפוטנציאלית של הירח ,מהי המהירות שיש להקנות ללוין על פני כדה״א כדי שיגיע למרחק שמצאתם ב־)א(? )ג( בהינתן שהירח מעניק אנרגיה פוטנציאלית ללווין ,מהי המהירות שיש להקנות ללוין על פני כדה״א כדי שיגיע למרחק שמצאתם ב־)א(? פתרון: )א( 3.46 · 108מטרים ממרכז כדה״א) .ב( m s ) 11060.7ג( m s 11050.4 8.1.5 חללית נשלחת לכוכב כלשהו לביצוע בדיקות .היא מגלה כי רדיוסו של הכוכב הוא R⋆ = 5 · 106 mוכן שיש שני ירחים .הירח הראשון מבצע הקפה מעגלית שלמה סביב הכוכב בזמן של 24שעות ,ברדיוס סיבוב של .20000 km הירח השני מבצע הקפה מעגלית ברדיוס כפול מהראשון אולם זמן המחזור שלו לא נמדד. )א( מהי מסת הכוכב?M⋆ , לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 95 )ב( מהו זמן המחזור של הירח השני? )ג( באיזו מהירות על החללית לשגר עצמה מהכוכב כדי לנחות על הירח הראשון במהירות אפסית ביחס אליו? פתרון: )א( ) M⋆ = 6.34 · 1023 kgב( ) 67.88 hrג( m s 3847.3 8.1.6 שני גרמי שמיים בעלי מסה mכל אחד ,נמצאים בחלל .על גרמי השמיים לא פועלים שום כוחות מלבד כוחות הגרביטציה שהם מפעילים האחד על השני .ברגע מסוים ,המרחק ביניהם הוא ,r0לאחד יש מהירות אפס ולשני יש מהירות v0בכיוון הפוך לכיוון הכח הפועל עליו )המהירויות נמדדות ביחס למערכת אינרציאלית כלשהי(. )א( מהם הגדלים הפיסיקלים שנשמרים בבעיה? )ב( מהו המרחק המקסימלי אליו יתרחקו הגופים זה מזה? פתרון: )א( אנרגיה ,תנע קווי ותנע זוויתי) .ב( Gm Gm/r0 −v02 /4 = rmax 8.1.7 גוף נע בתנועה מעגלית סביב כדה״א ברדיוס סיבוב .3REברגע מסוים הגוף מתפרק לשני חלקים זהים בעלי מסה mכל אחד .החלק Aנע בזווית ◦ θ = 34ביחס לציר הרדיאלי מיד לאחר הפירוק ,והחלק Bנע אנכית מטה לכיוון מרכז כדה״א מיד לאחר הפירוק. θ A B 3RE לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 96 )א( האם יגיע החלק Aלמרחק אינסופי מכדה״א? אם לא ,מהו המרחק המקסימלי אליו הוא יגיע? )ב( מהי מהירות הפגיעה של החלק Bבפני כדה״א? )ג( מה מהירותו של החלק Aכאשר הוא מגיע למרחק של 4REממרכז כדה״א? )ד( מה הזווית בין וקטור המהירות לרדיוס־וקטור של החלק Aבמצב המתואר בסעיף )ג(? פתרון: )א( כן! )ב( m s ) 16302ג( m s ) 16617ד( ◦24.3 8.1.8 לווין שמסתו mנע מסביב לכדה״א ברדיוס סיבוב .R1רוצים להעביר את הלווין לנוע סביב כדה׳׳א ברדיוס סיבוב .R2לשם כך דרושים שני שלבים: ) (1הענקת אנרגיה ללווין כך שיגיע למרחק מקסימלי ממרכז כדה״א ששווה בדיוק לרדיוס הסיבוב הרצוי. ) (2הענקת אנרגיה ללווין במרחק המקסימלי כדי להעניק לו את המהירות המתאימה לתנועה מעגלית ברדיוס זה. R2 R1 יש לבטא את התשובות באמצעות .G, ME , m, R1 , R2 )א( כמה אנרגיה יש להעניק ללווין בשלב )?(1 )ב( כמה אנרגיה יש להעניק ללווין בשלב )?(2 פתרון: )א( i R2 −R1 ) R1 (R2 +R1 h · 1 GME m 2 )ב( i R2 −R1 ) R2 (R2 +R1 h · 1 GME m 2 8.1.9 טיל בעל מסה m = 4 tonנורה מפני כדה״א בזווית ◦ α = 15ביחס לרדיוס־וקטור ובמהירות שגודלה .v0 = 8000 ms במרחק 2REממרכז כדה״א הטיל מתפרק לשני חלקים ע״י פיצוץ קצר .החלק Aשמסתו 23 mמתחיל לבצע תנועה מעגלית סביב כדה״א מיד לאחר הפיצוץ ,והחלק Bשמסתו 31 mמתרחק מכדה״א. לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 97 B v0 α A 2RE )א( מהי מהירותו של הטיל והזווית ביחס לרדיוס־וקטור מיד לפני הפיצוץ? )ב( מהי מהירותו של החלק Bוהזווית ביחס לרדיוס־וקטור מיד לאחר הפיצוץ? )ג( האם החלק Bיצליח לברוח מהשפעתו של כדה״א )כלומר יגיע לאינסוף(? פתרון: )א( m s 1295בזווית ◦ 53.13מימין לרדיוס־וקטור) .ב( m s 8386בזווית ◦ 73.8משמאל לרדיוס־וקטור) .ג( כן! לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ www.Go o L.c o .il כתב ופתר ־ אייל לוי 98 פיסיקה 2־ חשמל ומגנטיות R L C V אייל לוי סטודנטים יקרים ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב, במכללת אפקה ,ועוד. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני קורס חשוב זה. הספר עוסק בפיסיקה 2־ חשמל ומגנטיות ,והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־ אוניברסיטאות או מכללות. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד ,בהתאם לתכניות הלימוד השונות .הנסיון מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.GooL.c o.il הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה! אייל לוי תוכן עניינים 1 חוק 1.1 1.2 1.3 קולומב והשדה החשמלי מערכת מטענים נקודתיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תנועת חלקיק בשדה חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . התפלגויות מטענים רציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7 9 2 חוק גאוס 2.1שטף חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2חוק גאוס )האינטגרלי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3חוק גאוס )הדיפרנציאלי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 18 23 3 אנרגיה ופוטנציאל חשמליים 3.1אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 4 קיבול 4.1 4.2 4.3 4.4 חשמלי והתנגדות חשמלית קיבול וחומרים דיאלקטרים התנגדות . . . . . . . . . מעגלי זרם ישר . . . . . . מעגלי ) RCנגד וקבל( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 42 45 47 פרק 1 חוק קולומב והשדה החשמלי 1.1מערכת מטענים נקודתיים 1.1.1 מטען q1 = 1 Cנמצא במנוחה על הקרקע. באיזה גובה ניתן לשים מסה m = 1 tonבעלת מטען זהה q2 = 1 Cשתרחף באויר כנגד כח הכובד? פתרון: h = 958.3 m 1.1.2 ארבעה מטענים נקודתיים q1 , q2 , q3 , q4נמצאים במיקומים: ~r1 = (1, 1) m ; ~r2 = (−1, 1) m ; ~r3 = (−1, −1) m ; ~r4 = (1, −1) m בהתאמה .המטענים q1 = q2 = −200 µCוהמטענים .q3 = q4 = 200 µCמטען נקודתי Q = 100 µCנמצא בראשית הצירים. y q1 x Q q4 2 q2 q3 )א( מהו הכח שמרגיש המטען ?Q )ב( מהו הכח שמרגיש המטען ?q3 פתרון: )א( F~ = (0, 254.56) N X )ב( F~ = (−121.82, 58.18) N X 1.1.3 ארבעה מטענים נקודתיים q1 = q2 = q3 = q4 = 300 nCנמצאים במיקומים: ~r1 = (1, 0, 0) m ; ~r2 = (0, 1, 0) m ; ~r3 = (0, −1, 0) m ; ~r4 = (−1, 0, 0) m בהתאמה .מטען נקודתי Q = 500 nCנמצא על ציר zבמיקום ~ = (0, 0, 3) m .R z Q y q4 q3 q2 q1 x מה צריכה להיות מסתו של המטען Qכדי שהוא ירחף באוויר כנגד כח הכובד? פתרון: m = 52.27 kg 1.1.4 שני מטענים נקודתיים זהים Qמצאים במנוחה על ציר xבמרחק dזה מזה. y d 2 x Q )א( היכן על ציר yמתקבל הערך המקסימלי של השדה החשמלי? 3 d 2 Q )ב( הראו כי במרחק רב ) ,(y >> dהשדה מתנהג כמו שדה חשמלי של מטען נקודתי בעל גודל ) 2Qהמטען הכולל של המערכת(! פתרון: d )א( √ y = ± 2 2 1.1.5 נתונה מערכת של שני מטענים נקודתיים בעלי גודל qוסימן הפוך )דיפול( ,הנמצאים על ציר xבמיקומים: d d ~r1 = ( , 0) m ; ~r2 = (− , 0) m 2 2 y x d 2 q d 2 −q )א( מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר ,xכפונקציה של המרחק xמהראשית .יש לבטא בעזרת !k, q, d, x )ב( מהו השדה החשמלי במרחק רב מהדיפול )?(x >> d פתרון: " # d d x − x + 2kqd 2 2 = )~ >> d ~ E(x ) E(x,ב( )· (1, 0, 0 0, 0) = kq − )א( ) · (1, 0, 0 x − d 3 x + d 3 x3 2 2 1.1.6 נתונה מערכת של ארבעה מטענים נקודתיים בעלי גודל qכל אחד ,הנמצאים בקודקודיו של ריבוע בעל צלע 2a שמרכזו בראשית .לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך )קוואדרופול(: 4 y −q x q 2a Q q −q )א( מצאו את הכח שפועל על מטען נקודתי Qשמונח על ציר xכפונקציה של המרחק xמראשית הצירים! יש לבטא באמצעות .k, Q, q, a, x )ב( מהו הכח שיפעל על Qאילו הוא היה ממוקם במרחק רב מהראשית )?(x >> a פתרון: # 1 )א( )· (1, 0, 0 [(x + a)2 + a2 ]3/2 2kqQa2 = )F~ (x >> a )ב( )· (1, 0, 0 x4 − 1 [(x − a)2 + a2 ]3/2 " 5 · F~ (x, 0, 0) = 2kqQa 1.2 תנועת חלקיק בשדה חשמלי 1.2.1 פרוטון )מטענו qp = 1.602 · 10−19 Cומסתו (mp = 1.67 · 10−27 kgמוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם .d = 0.8 cmהלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם השדה החשמלי אחיד המכוון אנכית מטה וגודלו .E = 3 · 104 NC הפרוטון מוכנס בצמוד ללוח העליון עם מהירות אופקית .v0 = 5 · 106 ms ~ E d )א( תוך כמה זמן יפגע הפרוטון בלוח התחתון? )ב( מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון? פתרון: )א( ) t = 7.47 · 10−8 sב( x = 37.4 cm 1.2.2 נתונים שני לוחות אינסופיים .מזריקים גוף שמסתו M = 5 grומטענו Q = −10 µCאל בין הלוחות .מהו גודלו וכיוונו של שדה חשמלי שיש ליצר בין הלוחות כדי שהמטען יתמיד במגמת תנועתו ,כלומר ימשיך לנוע בקו ישר, אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה? v0 g M, Q פתרון: N C E = 4900במגמה אנכית מטה. 1.2.3 נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם d = 0.7 cmושאורך כל אחד מהם הוא .L = 10 cmהלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו .E = 2500 NCאלקטרון )מטענו qe = −1.602 · 10−19 Cומסתו (me = 9.11 · 10−31 kgמוזרק אל בין שני לוחות בצמוד לקצה השמאלי של הלוח התחתון במהירות שגודלה .v0 = 1 · 107 ms 6 L d ~ E v0 θ מהו תחום הזוויות θעבורו ניתן להזריק את האלקטרון ,כדי שהוא לא יפגע באף אחד מהלוחות? פתרון: ◦14.36◦ > θ > 13.04 7 1.3 התפלגויות מטענים רציפות 1.3.1 נתונה קשת מעגלית בעלת רדיוס ,Rהנשענת על זווית θוטעונה בצפיפות מטען קווית ) ,λ(θ′כאשר θ′הזווית מציר .xמרכזה של הקשת בנקודה .O y ) λ(θ′ R x θ O )א( חשבו את המטען הכולל לאורך הקשת אם נתון כי צפיפות המטען (1אחידהλ(θ′ ) = λ0 : (2משתנהλ(θ′ ) = λ0 sin θ′ : )ב( חשבו את השדה החשמלי שמפעילה הקשת בנקודה Oעבור שתי צפיפויות המטען שנתונות ב־)א(. פתרון: ~ 0, 0) = (2 E(0, )א( ) λ0 R(1 − cos θ) (2 q = λ0 Rθ (1ב( ~ 0, 0) = kλ0 (− sin θ, cos θ − 1, 0) N (1 E(0, R C kλ0 sin2 θ θ sin 2θ N − ,− + ,0 R 2 2 4 C 1.3.2 נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה C m .λ = 5 · 10−6 λ )א( חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב ,כלומר כפונקציה של המרחק האנכי מציר התילr , )רדיוס גלילי(! )ב( מניחים מטען נקודתי Q = 10 µCבמרחק r = 10 cmמהתיל .מהו הכח החשמלי שמרגיש המטען? פתרון: 9 · 104 N )א( r C = )) E(rב( F = 9 N 8 1.3.3 תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען קווית אחידה λמכופף באמצעו כך שהוא יוצר קשת שצורתה חצי מעגל שרדיוסו .R y x O מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה ,Oמרכז הקשת המעגלית? פתרון: ~ 0, 0) = 0 E(0, 1.3.4 מוט דק בעל אורך Lשוכב לאורך ציר xכשמרכזו בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל .Q y )(0, y, 0 x הראו כי השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה ) (0, y, 0הוא: L ~ y, 0) = p 2kQ E(0, )(0, 1, 0 y L2 + 4y 2 1.3.5 חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי q = 1 µCשמיקומו ראשית הצירים ,ובין מוט דק שאורכו ,L = 0.2 cmהטעון בצפיפות מטען קווית λ(x) = 100x2 mCכאשר נתון כי המוט שוכב לאורך ציר xכך שקצהו השמאלי נמצא במרחק x = Lמהראשית. 9 y q )λ(x x L 2L פתרון: F = 1800 N 1.3.6 חשבו את הכח ההדדי שפועל בין שני מוטות דקים שאורכו של כל אחד מהם הוא .Lכל מוט טעון בצפיפות מטען אחידה .λמוט אחד שוכב לאורך ציר xכך שקצהו השמאלי בראשית ,והמוט השני שוכב לאורך ציר xכך שקצהו השמאלי במרחק 2Lמהראשית. y λ x 3L λ 2L 0 L פתרון: 4 kλ2 F = ln 3 1.3.7 נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען קווית ) λ(θכאשר θהזווית שנמדדת על מישור xyמציר ה־ .x z y R )λ(θ θ x 10 )א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר (zעבור: λ(θ) = λ0 (1 λ(θ) = λ0 sin θ (2 )ב( במקרה של צפיפות מטען אחידה ,הראו כי במרחק רב ) (z >> Rמתקבל שדה של מטען נקודתי! פתרון: )א( zˆ (1 2πkλ0 Rz (R2 + z 2 )3/2 = )~ 0, z yˆ (2 E(0, πkλ0 R2 z 2 )3/2 (R2 + ~ 0, z) = − E(0, 1.3.8 נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ z y R x )א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר !(z )ב( הראו כי במרחק רב ) (z >> Rמתקבל שדה של מטען נקודתי! )ג( בעזרת הפתרון לסעיף )א( ,חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי )הטעון בצפיפות משטחית אחידה( בכל מקום במרחב. פתרון: )א( ˆz 1 1 √− ||z R2 + z 2 חיובי מתאר דחייה(. σ ~ 0, z) = 2πkσz ) E(0,ג( 2ε0 11 = E = 2πkσבכיוון מאונך למישור בכל נקודה )סימן 1.3.9 נתון גליל מלא שרדיוסו Rוגובהו Hהטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה .ρ z R H ρ y x חשבו את השדה החשמלי שיוצר הגליל לאורך הציר האנכי מרכזי שלו )ציר !(z פתרון: p √ ˆR2 + (z − H)2 − R2 + z 2 z ~ 0, z) = 2πkρ 2z − H + E(0, 1.3.10 חשבו את השדה החשמלי במרכזה של קליפה חצי כדורית הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ σ פתרון: σ 4ε0 = E = πkσ 12 פרק 2 חוק גאוס 2.1שטף חשמלי 2.1.1 חשבו ישירות מההגדרה את השטף החשמלי של שדה חשמלי אחיד ~ Eדרך מנסרה משולשת )חתך שהוא משולש שווה שוקיים בעל אורך שוק aואורך בסיס .bעומקה של המנסרה .(cהשדה מאונך לבסיס. a ~ E b c פתרון: φE = 0 13 a 2.1.2 נתון קוואדרופול חשמלי )מערך של שני דיפולים חשמליים( כמשורטט: q −q −q q חשבו בעזרת חוק גאוס מהו השטף החשמלי דרך כל אחד מהמשטחים הצבעוניים. פתרון: 2q q 2q = )אפורה( ; φE ) = −ירוקה( ) = 0 ; φEאדומה( ; φE ε0 ε0 ε0 = )כחולה( φE 2.1.3 נתון מלבן שנמצא על מישור x − yבעל צלעות ) a = 1 mלאורך ציר (xו־) b = 2 mלאורך ציר .(yהמלבן נמצא ברביע הראשון כך שקצה אחד שלו בראשית .כמו כן נתון כי בכל המרחב קיים שדה חשמלי: ~ = (3x2 y, 3xy 2, x2 y + y 2z + z 2 x) N E C z y b a x )א( מהו השטף של השדה החשמלי דרך המלבן? )ב( מהו השטף דרך המלבן אם נתון כי מרימים את המלבן 2מטרים כך שהוא נמצא על המישור ?z = 2 m פתרון: a3 b2 2 3 N · m2 a3 b2 2 N · m2 2 = φE + ab + 2a b = 10 = ) φEב( = )א( 6 3 C 6 3 C 14 2.1.4 מטען נקודתי qנמצא בגובה hמעל מרכזה של דיסקה שרדיוסה .R q h R )א( מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה? )ב( השתמשו בפתרון ל־)א( כדי לחשב את השטף החשמלי דרך מישור אינסופי. פתרון: q h = φE = 2πkq ) φE = 2πkq 1 − √ 2ב( )א( 2ε0 R + h2 2.1.5 חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים: q q a a a a a q a q a a a 2a 2a פתרון: q q = ; φEמשמאל שורה ראשונה :מימין 8ε0 2ε0 q q = ; φEמשמאל שורה שניה :מימין = φE 4ε0 6ε0 = φE 15 a 2.1.6 מוט דק שאורכו hטעון בצפיפות מטען קווית אחידה .λהמוט שוכב לאורך הציר האנכי־מרכזי של דיסקה שרדיוסה Rכך שקצהו התחתון נמצא בגובה hמעל מרכזה של הדיסקה. h λ h R מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה? פתרון: √ √ φE = 2πkλ h − R2 + 4h2 + R2 + h2 16 2.2חוק גאוס )האינטגרלי( 2.2.1 חשבו את השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי Qבעזרת חוק גאוס. פתרון: kQ r2 =E 2.2.2 נתון כדור מלא בעל רדיוס .Rחשבו את השדה החשמלי שיוצר הכדור בכל מקום במרחב ,בעזרת חוק גאוס ,אם נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא: )א( קבועה ρ(r) = ρ0 r2 )ב( תלויה במרחק מהמרכז :r R2 ρ(r) = ρ0 פתרון: )א( r≤R r≥R 2.2.3 ρr r≤R 0 ) E(r) = 3εב( ρR3 r≥R 3ε0 r 2 ρ0 3 r 5ε0 R2 = )E(r ρ R3 1 0 · 5ε0 r 2 נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ )א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הקליפה בכל מקום במרחב ,בעזרת חוק גאוס. )ב( הראו כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר דרך צפיפות מטען משטחית σשווה ל־ σ ε0 = ∆E פתרון: 0 r<R )א( =E σR2 r > R ε0 r 2 2.2.4 קליפה כדורית עבה ,בעלת רדיוסים פנימי aוחיצוני bטעונה בצפיפות מטען נפחית נמצא מטען נקודתי .Q )א( מה צריך להיות הקבוע Aכדי שהשדה החשמלי בכל מקום בתחום a ≤ r ≤ bיהיה קבוע? )ב( עבור הקבוע שמצאתם ב־)א( ,מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב. A r 17 = ) .ρ(rבמרכז המערכת פתרון: r≤a )א( ) A = Qב( a ≤ r ≤ b πa2 r≥a 2.2.5 Q 4πε0r 2 Q = )E(r 4πε0a2 2 b Q 2 − 1 2 a 4πε0 r 2 נתונה קליפה כדורית בעלת עובי ,שרדיוסה הפנימי Rוהחיצוני .2Rהקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית .ρ(r) = ρ0 Rrבמרחק 3Rממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו 2Rהטעון צפיפות מטען .λ(r) = λ0 r )ρ(r )λ(r ˆr 2R )א( מהו השדה החשמלי בכל מקום לאורך הציר הרדיאלי ˆ rבתחום ?0 < r < 3R R R R )ב( מהו הכח שמפעיל הכדור על המוט? פתרון: r − 5R 2Rr −kλ0 · ln + ˆr r≤R r − 3R )(r − 5R)(r − 3R 2Rr r − 5R ) ρ0 R(r 2 − R2 + ˆr R ≤ r ≤ 2R − kλ0 · ln 2ε0 r 2 r − 3R )(r − 5R)(r − 3R ~ = )E(r )א( 2Rr r − 5R 3ρ0 R3 + ˆr 2R ≤ r < 3R − kλ0 · ln 2ε0 r 2 r − 3R )(r − 5R)(r − 3R 3 3ρ 2Rr r − 5R 0R + ˆr r > 5R + kλ0 · ln 2ε0 r 2 r − 3R )(r − 5R)(r − 3R ρ0 λ0 R3 5 3 ~ · )ב( ˆr F = ln 2 3 ε0 18 2.2.6 נתון כדור מלא בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה .ρיוצרים בכדור חלל כדורי בעל בעל רדיוס r כך שמרכזו נמצא בוקטור מיקום ~aביחס למרכז הכדור .נתון .R > r + a R a r מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי? פתרון: ~ = ρ~a E 3ε0 2.2.7 נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה .λ λ חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב ,בעזרת חוק גאוס. פתרון: 2kλ λ = 2πε0 r r = )E(r 2.2.8 נתון גליל אינסופי בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען נפחית 2πr R ρ0 R = )ρ(r sin r לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה .σ מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב ,כתלות במרחק האנכי מציר הגליל ) ,rהרדיוס הגלילי(. 19 R σ )ρ(r פתרון: r<R 2πr r>R 2.2.9 R ρ0 R2 · 1 − cos 2πε0 r = )E(r σR ε0 r שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען +σו־ .−σהמרחק בין הלוחות הוא .d )א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב? )ב( ממלאים את המרחב שבין הלוחות בחומר בעל צפיפות מטען נפחית אחידה .ρמהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב במצב החדש? פתרון: )א( d 2 < ||z d 2 > ||z σ E(z) = ε0כאשר zהמרחק האנכי מהמרכז) .ב( 0 zהמרחק האנכי מהמרכז. z < − d2 d 2 < d 2 − d2 z >z ρd − 2ε ρz 0 σ E(z) = ε − εכאשר 0 0 ρd 2ε0 2.2.10 לוח אינסופי בעל עובי d = 8 cmטעון בצפיפות מטען נפחית הלוח )כלומר ,ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח(. 20 C m3 ,ρ(z) = 5 · 10−5 z 2כאשר zהמרחק האנכי ממרכז z y x )א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה המרחב? )ב( מוט דק בעל אורך L = dמונח לאורך ציר zכשקצהו התחתון בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל .Qמהו הכח שמרגיש המוט? פתרון: N )א( C d 2 d 2 ≤ ||z ≥ ||z 1884955.6 · z 3 120.6 ( = )) E(zב( F = Q · 75.4 Nבכיוון דחייה מהלוח. 21 2.3חוק גאוס )הדיפרנציאלי( 2.3.1 נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית: α ~ )E(r ˆ= r r מצאו את התפלגות המטען ) ρ(rשיוצרת את השדה. פתרון: ε0 α r2 = )ρ(r 2.3.2 שדה אלקטרוסטטי ~ Eמקיים: r<R ˆE0 r r>R 0 ( = ~ E כאשר rהוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ E0ו־ Rקבועים חיוביים. )א( האם יש מטענים נקודתיים במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן־ מהו גודלם והיכן הם נמצאים? )ב( האם יש צפיפות מטען משטחית σבמרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה? )ג( האם יש צפיפות מטען נפחית ρבמרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה? פתרון: 1 )א( לא! נוכחות מטען נקודתי יוצרת שדה חשמלי שתלוי במרחב באופן r2 2ε0E0 r<R = )ρ(r )ב( ) σ = −ε0 E0ג( r 0 r>R ∝ .E 2.3.3 נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית: r<R R < r ≤ 2R r ≥ 2R Q ˆr 2 4πε r 0 Q r 4 ~ ˆ− 1 r = )E(r 4ε0 r 2 R ˆ 15Q r 4ε0 r 2 22 כאשר Qקבוע בעל יחידות של מטען ,ו־ Rקבוע בעל יחידות של מרחק. איזה מערך מטענים יוצר שדה זה? פתרון: Qr Q σ = −ברדיוס Rוצפיפות מטען נפחית מטען נקודתי Qבמרכז ) ,(r = 0צפיפות מטען משטחית 4 R 4πR2 בתחום .R < r ≤ 2R 23 = )ρ(r פרק 3 אנרגיה ופוטנציאל חשמליים 3.1אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי 3.1.1 חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של מערך של זוג מטענים q1ו־ q2שנמצאים במרחק rזה מזה. פתרון: kq1 q2 r =U 3.1.2 ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו ,aכמשורטט .המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים לנוע. −q 2q v a q −q a )א( חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך )כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו(. )ב( המטען 2qמשוחרר ויכול לנוע במרחב .ברגע מסוים הוא מגיע למרכז הריבוע .מהי מהירותו שם ,v ,אם נתון כי מסתו היא ?m 24 פתרון: kq 2 )א( a r kq 2 ) U = −3.88ב( ma r v = 0.7 3.1.3 זוג מטענים זהים qהמרוחקים זה מזה מרחק dנמצא על ציר ה־ xכמשורטט: y x )א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב ,ביחס לאינסוף. )ב( הראו כי במרחק רב מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי! d 2 d 2 q q פתרון: )א( 1 d2 4 + xd + r2 +q 1 d2 4 − xd + r2 ϕ(~r) = kq q 3.1.4 דיפול חשמלי נמצא על ציר ה־ xכמשורטט: y x )א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב ,ביחס לאינסוף. )ב( מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול? d 2 q d 2 −q פתרון: )א( 1 d2 4 + xd + r2 −q d2 4 1 kqxd ) ϕ(~r) = kq qב( 3 r r 2 − xd + = )ϕ(r ≫ d 3.1.5 בשמונת קודקודי קוביה שצלעה aנמצאים שמונה מטענים זהים בגודלם ,qאך סימנם של כל זוג שכנים קרובים הוא הפוך. )א( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך? 25 )ב( מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה ,ביחס לאינסוף? )ג( מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי Qמאינסוף למרכז הקוביה? פתרון: kq 2 )א( a ) U = −5.82ב( ) = 0מרכז() ϕג( W = 0 3.1.6 נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה .λ z y λ R x )א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ,(zביחס לאינסוף. )ב( הראו כי במרחק רב ) (z ≫ Rמתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי! פתרון: 2πkλR √ = )ϕ(0, 0, z )א( R2 + z 2 26 3.1.7 נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה Rהטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה .σ z y R x )א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ,(zביחס לאינסוף. )ב( הראו כי במרחק רב ) (z ≫ Rמתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי! )ג( נתון R = 20 cm :ו־ .σ = 3 · 10−8 mC2מטען נקודתי q = −10 µCשמסתו m = 2 grנעזב ממנוחה בגובה z = 30 cmמעל מרכז הדיסקה .באיזו מהירות הוא יפגע בדיסקה? )הזניחו גרביטציה(. פתרון: )א( |− |z z2 + R2 √ m · ) ϕ(0, 0, z) = 2πkσג( v = 1.54 s 3.1.8 מוט דק בעל אורך Lשוכב לאורך ציר xכשמרכזו בראשית .המוט טעון באופן אחיד במטען כולל .Q y )(0, y, 0 x חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה ) ,(0, y, 0ביחס לאינסוף. √ dx 2 2 ניתן להשתמש באינטגרל= ln x + x + a : x2 + a2 √ פתרון: + y2 + y2 L 2 2 L 2 2 q q + + L 2 − L2 kQ · ln L = )ϕ(0, y, 0 27 Z L 3.1.9 חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו Rהטעון בצפיפות מטען נפחית: )א( אחידה ,ρבשני מקרים: (1ביחס לאינסוף )כלומר .(ϕ(∞) = 0 )כלומר .(ϕ(R) = 0 (2ביחס לשפת הכדור r )ב( תלויה ברדיוס ,ρ(r) = ρ0 · 1 +בשני המקרים הנתונים ב־)א(. R פתרון: r≤R )א( (1 r≥R )ב( (1 r≤R r≥R 3.1.10 ρR2 ρr 2 − 2ε0 6ε0 = )(2 ϕ(r 3 ρR 3ε0 r 2 5ρ0 R2 ρ r3 r − · + 6ε0 ε0 6 12R 3 7ρ0 R 12ε0 r ρR2 ρr 2 − r≤R 6ε0 6ε0 = )ϕ(r ρR2 ρR3 r≥R − 3ε0 r 3ε0 2 ρ0 R2 ρ r3 r r≤R − · + 4ε0 ε0 6 12R (2 )ϕ(r = 7ρ0 R2 R · −1 r≥R 12ε0 r = )ϕ(r כדור מוליך בעל רדיוס Rטעון באופן אחיד במטען כולל .Q )א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב. )ב( יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי )שמרכזו במרכז הכדור( בעל רדיוס .0.3Rחשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב. )ג( במצב של )ב( ,חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב אם נתון כי במרכז נמצא מטען נקודתי .−Q פתרון: )א( r≤R r≤R לאינסוף! kQ r ≤ 0.3R R = ) ϕ(rביחס לאינסוף! )ב( זהה ל־)א() .ג( kQ r ≤ 0.3R r kQ − kQ r ϕ(r) = 0.3Rביחס 0 3.1.11 שתי קליפות מוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה .לקליפה הפנימית רדיוס פנימי R1 וחיצוני .R2לקליפה החיצונית רדיוס פנימי R3ורדיוס חיצוני .R4נתון כי הקליפה הפנימית נייטרלית ,והחיצונית טעונה במטען כולל .Qכמו כן ,במרכז המערכת נמצא מטען נקודתי .Q 28 Q Q R4 R3 R1 R2 )א( מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים. )ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום? )ג( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום ,ביחס לאינסוף? פתרון: r < R1 R1 < r < R2 Q Q Q Q = ; σ2 ; σ3 = − = ; σ4 )א( 2 2 2 4πR1 4πR2 4πR3 2πR42 ) σ1 = −ב( R3 < r < R2 R3 < r < R4 r > R4 r ≤ R1 R1 ≤ r ≤ R2 )ג( R2 ≤ r ≤ R3 R3 ≤ r ≤ R4 r ≥ R4 3.1.12 1 1 1 1 2 kQ − + − + r R1 R2 R3 R4 1 1 2 kQ − + R2 R3 R4 2 1 1 = )ϕ(r + − kQ r R3 R4 2kQ R4 2kQ r Q 4πε0 r 2 0 Q = )E(r 4πε0 r 2 0 Q 2πε0 r 2 שני כדורים מוליכים ,האחד בעל רדיוס R1 = Rוהשני בעל רדיוס R2 = 2Rנמצאים במרחק רב זה מזה )כך שאינם משפיעים זה על זה( .כל אחד מהכדורים טעון במטען .qמחברים את הכדורים בעזרת חוט מוליך דק. 29 R2 R1 מהו המטען על כל אחד מהכדורים לאחר זמן רב? פתרון: 2 4 q1 = q ; q2 = q 3 3 3.1.13 כדור מוליך בעל רדיוס R1 = 0.1 mטעון במטען כולל .Q = 100 nCמסביב לכדור ישנה קליפה כדורית מוליכה קונצנטרית בעלת רדיוס .R2 = 0.15 mנתון כי הקליפה מוארקת. R1 R2 )א( מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב. )ב( מצאו את השדה החשמלי בכל נקודה במרחב. )ג( מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב. )ד( משחררים ממנוחה מטען נקודתי q = −1 nCשמסתו kg באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך? m = 3.2 · 10−6בצמוד לחלק הפנימי של הקליפה. פתרון: .−Q = −100 )א( על שפת הכדור המוליך מטען Q = 100 nC ועל הקליפה המוליכה מטען nC r < R1 N )ב( C R1 < r < R2 r > R2 3.1.14 0 900 = )) E(rג( V r2 0 r < R1 R1 < r < R2 r > R2 3000 900 = )) ϕ(rד( − 6000 r 0 m s v = 1.37 במערכת כדורית קונצנטרית ,מטען נקודתי Qנמצא במרכז .מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת רדיוסים פנימי aוחיצוני .bהקליפה העבה מוארקת .מסביב לקליפה העבה ישנה קליפה דקה בעלת רדיוס cהטעונה 30 באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית .σ σ Q c a b )א( מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה? )ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב? פתרון: r6a Q ) σa = − 4πaב( V )א( 2 ; σb = −σc a6r6b b6r6c r>c 3.1.15 1 1 − kQ r a 0 = )ϕ(r b 4πkσc 1 − r ) 4πkσc (c − b r חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור בעל רדיוס Rהטעון בצפיפות מטען אחידה .ρ פתרון: 4πρ2 R5 15ε0 =U 3.1.16 גליל אינסופי מבודד שרדיוסו R1 = Rטעון בצפיפות מטען נפחית ρ(r) = Arכאשר rהמרחק האנכי מציר הגליל. הגליל מוקף בקליפה גלילית מוליכה קואקסיאלית )בעלות ציר משותף( שרדיוסה .R2 = 1.5Rנתון כי הקליפה נייטרלית .נתון כי הפוטנציאל החשמלי במרחק r = 2Rשווה לאפס )זהו ה־ .(r ef 31 R1 R2 )א( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום במרחב )ביחס ל־ ?(r ef )ב( מאריקים את הקליפה המוליכה .מהי צפיפות המטען עליה לאחר זמן רב? )ג( מהי האנרגיה החשמלית של המערכת ליחידת אורך במצב של סעיף )ב(? פתרון: r6R )א( r>R 3.1.17 Ar 3 AR3 − 0.11 0.12 2 2 6 AR πA R U ε0 ε0 ) σ = −ג( · = 0.572 = )) ϕ(rב( 3 L 9ε0 3 AR r − ln 3ε0 2R שדה אלקטרוסטטי ~ Eמקיים: r<R r>R ˆ E0 r = ~ E r 0 כאשר rהוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ E0ו־ Rקבועים חיוביים. )א( מהו מערך המטענים שנמצא במרחב? )ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב? )ג( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת? פתרון: ε0 E0 ε E )א( צפיפות מטען נפחית ρ(r) = 0 2 0בתחום r < Rוכן צפיפות מטען משטחית r r 0 r<R )ב( = )) ϕ(rג( U = 2πε0E0 R −E0 ln r r>R R 3.1.18 נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות: A cos θ r2 = )ϕ(r, θ 32 σ = −ברדיוס .r = R כאשר Aקבוע כלשהו θ ,הזווית ביחס לציר zו־ rהמרחק מהראשית. )א( מהו השדה החשמלי בכל מקום במרחב? )ב( מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב? פתרון: A sin θ 2A cos θ · ˆ~ θ, φ) = r ) E(r,ב( דיפול חשמלי שנמצא על ציר .zאת הפוטנציאל הנתון יוצר דיפול · ˆ+ θ )א( r3 r3 חשמלי כאשר המרחק בין המטענים הוא קטן מאד יחסית ל־ .r 3.1.19 נתון גליל מלא אינסופי בעל רדיוס Rשצפיפות המטען עליו ) ρ(rלא ידועה ,כאשר rהוא המרחק מציר הגליל. נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא: r≤R r≥R כאשר ϕ0הוא פוטנציאל כלשהו. )א( מהו הקבוע ?C )ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום? )ג( מהי צפיפות המטען ,ρ(r) ,בכל מקום במרחב? 2 − ϕ0 r + C R2 = )ϕ(r ϕ0 ln r R פתרון: )א( ) C = ϕ0ב( r<R r>R 3.1.20 2ϕ r − 0 r<R R2 ~ )) E(rג( · ˆ= r ϕ 0 r>R r − 4ε0 ϕ0 R2 = )ρ(r 0 בקואורדינטות כדוריות נתון כי הפוטנציאל בתחום r < Rהוא 2 R ϕ(r < R) = A r − 2 וכן שהשדה החשמלי בתחום r > Rהוא ˆ~ > R) = B r E(r r2 כאשר Aו־ Bקבועים חיוביים. )א( מהו הפוטנציאל בכל מקום? 33 )ב( מהו השדה בכל מקום? )ג( מצאו את היחס . BA )ד( מצאו את התפלגות המטענים במרחב. פתרון: 2 R r<R A r− r<R 2 )א( = )) ϕ(rב( B r>R r>R r 5ε AR )ד( צפיפות מטען משטחית σ = 0במיקום r = Rוכן צפיפות מטען נפחית 4 r>R R ˆr −2A r − B R3 2 ~ = )) E(rג( = A 4 ˆ B r r2 2ε0 (R − 3r) r < R 34 0 = )ρ(r פרק 4 קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית 4.1 קיבול וחומרים דיאלקטרים 4.1.1 חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות .הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים ,ששטחם Aוהמרחק ביניהם .dיש להניח כי ,A ≫ d2כלומר ניתן להתייחס ללוחות כאל אינסופיים .מעבירים מטען Qמהלוח התחתון לעליון ,כך שהלוח העליון טעון במטען Qוהתחתון במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם .εr d A A פתרון: ε0 εr A d =C 4.1.2 חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי .הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים R1ו־ ,R2ומעבירים מטען Qמהקליפה החיצונית לפנימית ,כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען Q והחיצונית במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם .εr R1 R2 35 פתרון: 4πε0 εr R1 R2 ) (R2 − R1 =C 4.1.3 חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל גלילי )ליחידת אורך( .הניחו כי ישנן שתי קליפות גליליות בעלות רדיוסים R1ו־ .R2יש להניח כי אורך הקליפות Lהרבה יותר גדול מהרדיוסים שלהן ,כך שניתן להתייחס אליהן כאל אינסופיות .מעבירים מטען Qמהקליפה החיצונית לפנימית ,כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען Qוהחיצונית במטען −Qוכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם .εr R1 R2 L פתרון: 2πε0εr C = L ) ln (R2 /R1 4.1.4 מהו הקיבול השקול של: )א( שני קבלים המחוברים במקביל? )ב( שני קבלים המחוברים בטור? )ג( שלושה קבלים ,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם? )ד( שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט? C1 C2 C2 C1 C1 C3 C2 C2 )א( C1 C3 )ג( )ב( 36 )ד( פתרון: C1 C2 + C1 C3 + C2 C3 CC )א( ) Ctot = C1 + C2ב( ) Ctot = 1 2ג( C1 + C2 C1 + C2 = ) Ctotד( Ctot = C1 + C2 + C3 4.1.5 קיבולו של קבל לוחות בריק הינו .C0ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ,εrבשני אופנים שונים, כמשורטט .מהו הקיבול החדש בכל מקרה? εr εr )ב( )א( פתרון: 2εr 1 + εr = ) Ctotב( C0 )א( C0 1 + εr 2 = Ctot 4.1.6 קבל כדורי מורכב מרדיוס פנימי aורדיוס חיצוני .3aאל תוך הקבל מכניסים חומר דיאלקטרי בעל מקדם εrכך שהוא ממלא רק את חלק מנפחו ,בשני אופנים שונים ,כמשורטט .מהו הקיבול החדש בכל מקרה? εr a a a )א( פתרון: 24πε0εr a )א( 3 + εr = ) Ctotב( Ctot = 3πε0 (1 + εr )a 4.1.7 קבל לוחות עשוי מלוח ריבועי ששטחו ,A = L × Lומרחק בין הלוחות .d מטים את אחד הלוחות בזווית קטנה .θ ≃ sin θ ≃ tan θ מהו קיבול הקבל? x2 ניתן להשתמש בקירוב 2 ln (1 + x) ≃ x − 37 a 2a )ב( εr θ d L פתרון: L ε0 L2 1− θ =C d 2d 4.1.8 במעגל המופיע בשרטוט מחוברים שני קבלים C1ו־ C2ומקור מתח .V )א( כאשר המפסק Sנמצא במצב השמאלי ,הקבל C1נטען .לאחר גמר הטעינה ,מה יהיה המתח עליו? המטען עליו? והאנרגיה האגורה בו? )ב( כאשר מעבירים את המפסק למצב הימני )לאחר ש־ C1נטען( חלק מהמטען יעבור לקבל .C2לאחר גמר המעבר, מה יהיה המתח על כל אחד מהקבלים? המטען על כל אחד מהקבלים? והאנרגיה האגורה בכל אחד מהקבלים? S C2 C1 V פתרון: 1 )א( V1 = V ; Q1 = C1 V ; U1 = C1 V 2 2 2 C1 C1 C1 C2 ′ ′ ′ ′ = V1 = V2 = V ; Q1 = V ; Q2 )ב( V C1 + C2 C1 + C2 C1 + C2 1 1 C12 C2 C13 ′ ′ 2 = U1 V ; U V2 = 2 2 (C1 + C2 )2 2 (C1 + C2 )2 4.1.9 שלוש קליפות כדוריות )דקות( מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים: R1 = R ; R2 = 3R ; R3 = 5R מחוברות לסוללה בת מתח ,Vבאופן הבא: הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה ,והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי. כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת. 38 V )א( מהם המטענים על כל אחת מהקליפות? )ב( מהו קיבול המערכת? פתרון: 3V R 9V R 15V R ; q2 = − = ; q3 )א( 2k k 2k = ) q1ב( C = 36πε0 R 4.1.10 שני קבלי לוחות זהים ,בעלי שטח Aומרחק בין לוחות dמחוברים כמתואר בשרטוט .כל אחד מהקבלים טעון במטען זהה ) Qכלומר שלוח אחד של כל קבל טעון במטען חיובי והשני במטען שלילי( .מכניסים חומר עם מקדם דיאלקטרי εrלתוך הקבל הימני ,כך שהוא ממלא את כל נפח הקבל. εr Q Q −Q −Q )א( מהו המטען על כל אחד מהקבלים זמן רב לאחר הכנסת הלוח? )ב( מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי? פתרון: 2εr 2 = Q ; q2 )א( Q 1 + εr 1 + εr = ) q1ב( 1 − εr 1 + εr Q2 d ε0 A = W 4.1.11 קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו A = 0.25 m2ומרחק בין לוחות d = 5 mmמחובר לסוללה בת מתח .V = 250 Vמכניסים לתוך הקבל לוח עשוי סיליקון ) (εr = 12ששטחו Aועוביו .p = 2 mmבכמה משתנים הקיבול ,המטען ,והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח ,ביחס למצב המקורי? 39 פתרון: ∆C = 256.3 pF ; ∆Q = 65 nC ; ∆U = 8 µJ 4.1.12 נתון המעגל הבא ,ובו קבלים בעלי קיבול Cוקבלים בעלי קיבול כפול .2Cמקור המתח הוא בעל כא״מ .ε C 2C B 2C C ε A )א( מהם המטען והמתח על כל קבל? )ב( מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות Aו־ ?B פתרון: 1 )ב( VAB = − ε 6 4.1.13 קבל שלוחותיו עגולים בעלי רדיוס Rומרוחקים זה מזה מרחק dממולא בחומר דיאלקטרי התלוי במרחק rממרכז 3 המערכת εr = αr + 1 ,כאשר .α = 2Rהקבל מחובר למקור מתח .V R d מהי האנרגיה האגורה בקבל? פתרון: πε0 R2 V 2 d =U 40 4.2התנגדות 4.2.1 מהו ההתנגדות השקולה של: )א( שני נגדים המחוברים במקביל? )ב( שני נגדים המחוברים בטור? )ג( שלושה נגדים ,שניים בטור והשלישי במקביל אליהם? )ד( שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט? R1 R2 R2 R1 R1 R1 R3 R2 )א( R2 R3 )ג( )ב( )ד( פתרון: R1 R2 R3 (R + R2 )R3 RR ) Rtot = 1ד( )א( ) Rtot = 1 2ב( ) Rtot = R1 + R2ג( R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 R1 + R2 + R3 R1 + R2 = Rtot 4.2.2 נתון גליל בעל שטח חתך ,Aאורך Lומוליכות ,σ(x) = σ0 Lxכאשר xהמרחק מקצה הגליל. )א( מהי התנגדות הגליל? )ב( מה תהיה צפיפות הזרם בגליל אם נחבר את קצותיו להפרש פוטנציאלים ?V )ג( מה יהיה השדה החשמלי במוליך כאשר יזרום בו זרם? פתרון: 2σ0 V L 2V = ) jג( x = ) Rב( )א( L L 2σ0 A = )E(x 4.2.3 קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי aוהחיצוני bעשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה .ρ0הדופן הפנימית של הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל .V )א( מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית? )ב( מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה? )ג( מצאו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק rממרכז הקליפה? 41 )ד( מהו השדה החשמלי השורר בקליפה? )ה( מהו הספק החום הנוצר בקליפה? פתרון: ρ0 b − a = ) Rב( )א( 4π ab ab 4πV 2 )ה( = P ρ0 b−a ab b−a 4πV = ) Iג( ρ0 ab b−a V ) j(r) = 2ד( ρ0 r ab b−a V E(r) = 2 r 4.2.4 נתון נגד בעל גיאומטריה קונית ,בעל רדיוס קטן ,aרדיוס גדול ,bוגובה .hבהנחה כי ההתנגדות הסגולית של החומר היא ,ρמצאו את התנגדותו של הנגד. כמו כן ,בדקו כי התוצאה מתארת נכון את המצב .a = b b h a פתרון: h πab R=ρ 4.2.5 בין שני לוחות בעלי שטח חתך ריבועי a × aושהמרחק ביניהם ,dמצוי חומר דיאלקטרי בעל מוליכות שאינה קבועה .σ d a x חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים: 42 y 0 .σ = σ0 + βy ()א .σ = σ0 + βx ()ב :פתרון 1 d βa R = 2 ln 1 + ( )בR = 2 aβ σ0 a (σ0 + 43 βa ) 2 ()א 4.3 מעגלי זרם ישר 4.3.1 נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד ,כמשורטט. R ε )א( היכן יש לחבר מד מתח למעגל כדי למדוד את המתח החשמלי על הנגד? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד המתח? )ב( היכן יש לחבר מד זרם למעגל כדי למדוד את הזרם הזורם בו? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד הזרם? פתרון: )א( יש לחבר מד מתח במקביל לנגד .על התנגדות מד המתח להיות הרבה יותר גדולה מהתנגדותו של הנגד הנמדד. )ב( יש לחבר מד זרם בטור למעגל .על התנגדות מד הזרם להיות הרבה יותר קטנה מהתנגדות הנגד. 4.3.2 נתון המעגל הבא: R1 ε2 R1 R2 ε1 R1 ε2 נתונים.R1 = 1.7 Ω ; R2 = 3.5 Ω ; ε1 = 2.1 V ; ε2 = 6.3 V : )א( מצאו את הזרם והמתח על כל נגד. )ב( חשבו את הספק המעגל. פתרון: )ב( Ptot = 3.44 W 44 R1 4.3.3 נתון המעגל החשמלי הבא ,ובו נתונים הכא״מים ε1ו־ ε2וההתנגדויות R0ו־.R ε1 ε2 R R0 R0 מצאו עבור איזו התנגדות Rהספק החום המתבזבז על נגד זה הוא המקסימלי ,ואת ערכו של הספק זה .את הפתרונות יש לספק בעזרת הנתונים ε2 ,ε1ו־ .R0 פתרון: (ε1 + ε2 )2 R0 = ; Pmax 2 8R0 =R 4.3.4 נתון המעגל החשמלי הבא: ε1 = 2 V ; ε2 = 3 V ; ε3 = 6 V R1 = 20 Ω ; R2 = 7 Ω ; R3 = 12 Ω ε3 R3 ε2 R2 R1 ε1 )א( חשבו את הזרם בכל ענף. )ב( מהו ההספק על הנגד ?R1 פתרון: )א( ) 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 Aב( PR1 = 0.095 W 45 4.4 מעגלי ) RCנגד וקבל( 4.4.1 נתון מעגל ) RCפריקה( .ברגע t = 0הקבל טעון במטען Q0ואז סוגרים את המפסק .S S C R )א( רשמו את משוואת המעגל. )ב( מצאו את ) ,Q(tהמטען על הקבל כפונקציה של הזמן. )ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) , פתרון: t dQ Q Q0 − t ) −Rב( ) Q(t) = Q0 e− RCג( e RC )א( − = 0 RC dt C = )I(t 4.4.2 קבל C1טעון במטען .Q0כאשר סוגרים את המפסק מתחבר קבל זה בטור לקבל C2ונגד .R S C2 C1 R )א( רשמו את משוואת המעגל. )ב( מצאו את ) ,Q1 (tהמטען על הקבל C1כפונקציה של הזמן. )ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) , )ד( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק ,וזמן רב לאחר סגירתו. )ה( הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה. פתרון: 1 1 C1 dQ1 C2 1 Q0 1 + C1 t −R C1 2 = )Q1 (t ) −Rב( Q0 + Q0 e + Q1 + )א( = 0 − C1 + C2 C1 + C2 dt C1 C2 C2 1 1 1 Q20 Q Q2 )ג( ) I(t) = 0 e− R C1 + C2 tד( = )∞ → U0 = 0 ; U(t 2C1 ) 2(C1 + C2 RC1 46 4.4.3 נתון מעגל ) RCטעינה( .ברגע t = 0הקבל אינו טעון ואז סוגרים את המפסק .S S C R V )א( רשמו את משוואת המעגל. )ב( מצאו את ) ,Q(tהמטען על הקבל כפונקציה של הזמן. )ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע.I(t) , פתרון: t V − t dQ Q ) Rב( ) Q(t) = CV 1 − e− RCג( e RC )א( + − V = 0 R dt C = )I(t 4.4.4 נתון המעגל הבא .ברגע t = 0המתח על הקבל הוא .V0מצאו את המתח על הקבל כפונקציה של הזמן! R1 ε R2 C פתרון: t 1 + R1 R1 2 1 −C + V0 e t 1 + R1 R1 2 R2 −1 VC (t) = ε 1−e C R1 + R2 4.4.5 סיליקון הוא בעל מקדם דיאלקטרי εr = 12והתנגדות סגולית ,ρ = 2.5 · 103 Ω · mבטמפרטורת החדר .ממלאים בסיליקון קבל לוחות בעל מימדים ששטח לוחותיו A = 0.25 m2ומרחק בין לוחות .d = 0.2 mm )א( מצאו את הקיבול ,ההתנגדות ,וזמן הפריקה האופייני של הקבל. )ב( הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד. 47 :פתרון C = 132.81 nF ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 ns ()א 48
© Copyright 2024