‫חשבון אינפיניטסימלי ‪2‬‬ ‫מבוסס על הרצאות פרופ' יורם לסט‬ ‫בקורס "חשבון אינפיניטסימלי ‪(80132) "2‬‬ ‫האוניברסיטה העברית‪ ,‬סמסטר ב' ‪2013‬‬ ‫להערות‪:‬‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫נחי‬ ‫תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים‪ ,‬ובמיוחד לנעמה בויאר‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪6‬‬ ‫כלל לופיטל‬ ‫המקרה של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המקרה של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫המקרה של ∞ = )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫המקרה של ∞ = )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫חקירת פונקציות )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫האינטגרל הלא־מסוים )או‪ :‬פונקציות קדומות(‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫פונקציה קדומה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫האינטגרל הלא־מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪9.1‬‬ ‫אינטגרלים מיידיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫שיטות אינטגרציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרציה בחלקים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪10.1‬‬ ‫אינטגרציה בשיטת ההצבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪10.2‬‬ ‫הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות ‪. . . . . . . .‬‬ ‫‪10.2.1‬‬ ‫פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪10.3‬‬ ‫האינטגרל המסוים‬ ‫גישה‬ ‫‪11.1‬‬ ‫‪11.2‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫‪11.5‬‬ ‫‪11.6‬‬ ‫‪11.7‬‬ ‫‪11.8‬‬ ‫‪11.9‬‬ ‫גישה‬ ‫‪12.1‬‬ ‫‪12.2‬‬ ‫‪12.3‬‬ ‫‪12.4‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫ראשונה‪ :‬פונקציות מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫חלוקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫תכונות של פונקציות מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרל של פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫‪11.4.1‬‬ ‫אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות ‪.‬‬ ‫‪11.4.2‬‬ ‫אינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אפיונים שקולים לאינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫רציפות ואינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מונוטוניות ואינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫שנייה‪ :‬סכומי רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫סכום רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫פרמטר החלוקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫יחידות האינטגרל של רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪12.3.1‬‬ ‫קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫חסימות ואינטגרביליות רימן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל המסוים‬ ‫‪24‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪V‬‬ ‫גישה שלישית‪ :‬סכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫סכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13.1‬‬ ‫הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13.2‬‬ ‫אינטגרל עליון ותחתון של דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13.3‬‬ ‫הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון‬ ‫‪13.4‬‬ ‫אינטגרל דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13.5‬‬ ‫שקילות הגישות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט דארבו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪14.1‬‬ ‫השקילות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫תנאי רימן לאינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫פונקציית רימן )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫תנודה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אריתמטיקה של האינטגרל המסוים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הקבוצה ]‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R [a, b‬‬ ‫תכונות של תחום האינטגרביליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרביליות של פונקציה מורכבת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אי־שוויון המשולש האינטגרלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הפונקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F‬‬ ‫רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F‬‬ ‫‪24.1‬‬ ‫המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫טענה ‪ F :1‬כפונקציה קדומה בנקודות שבהן ‪ f‬רציפה ‪. . . . . . .‬‬ ‫‪25.1‬‬ ‫טענה ‪ F :2‬כפונקציה קדומה בקטע שבו ‪ f‬רציפה ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫‪25.2‬‬ ‫טענה ‪ :3‬נוסחת ניוטון־לייבניץ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪25.3‬‬ ‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול( ‪. . . . .‬‬ ‫טורים אינסופיים‬ ‫‪30‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪71‬‬ ‫מבוא מתורת הקבוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫יחס שקילות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪30.1‬‬ ‫עוצמה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪30.2‬‬ ‫קבוצות בנות־מניה )או‪ :‬עוצמת הטבעיים( ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪30.3‬‬ ‫עוצמת הרצף ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪30.4‬‬ ‫סכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫עוצמה של קבוצה שסכומה סופי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪31.1‬‬ ‫אפיון שקול לסכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪31.2‬‬ ‫הרחבת מושג הסכום של קבוצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪31.3‬‬ ‫טור אינסופי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫התכנסות של טור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪79‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪39‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪VI‬‬ ‫‪43‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪VII‬‬ ‫‪47‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫קריטריון קושי להתכנסות טור ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.2‬‬ ‫הטור ההרמוני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.3‬‬ ‫תנאי להתכנסות טור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.4‬‬ ‫הטור ‪ m‬זנב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.5‬‬ ‫הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו ‪. . . .‬‬ ‫‪33.5.1‬‬ ‫אריתמטיקה של טורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪33.6‬‬ ‫טורים חיוביים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קריטריון ההשוואה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪34.1‬‬ ‫מבחן המנה )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1‬‬ ‫‪34.2‬‬ ‫מבחן המנה )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2‬‬ ‫‪34.3‬‬ ‫מבחן קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪34.4‬‬ ‫מבחן דלאמבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪34.5‬‬ ‫‪34.6‬‬ ‫הטור של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n1β‬‬ ‫מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול( ‪. . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מבחן דיריכלה לטורים חסומים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מבחן אבל )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Abel‬‬ ‫‪38.1‬‬ ‫הכנסת סוגריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫שינוי סדר הסכימה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫בטור חיובי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪40.1‬‬ ‫בטור מתכנס בהחלט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪40.2‬‬ ‫משפט רימן לטורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מכפלת טורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪42.1‬‬ ‫משפט מרטנס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪42.2‬‬ ‫אינטגרלים לא־אמיתיים‬ ‫‪80‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪81‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪84‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪86‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪107‬‬ ‫‪109‬‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43.1‬‬ ‫קריטריון קושי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43.2‬‬ ‫קריטריון ההשוואה ‪. . . . . . . . . . . . . ´. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43.3‬‬ ‫∞‬ ‫האינטגרל לא־אמיתי ‪. . . . . . . . . . . . a x1α dx‬‬ ‫‪43.3.1‬‬ ‫קריטריון המנה הגבולי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43.4‬‬ ‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪43.5‬‬ ‫קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע חסום ‪. . . . . .‬‬ ‫הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫∞´‬ ‫)‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . a fx(x‬‬ ‫‪46.1‬‬ ‫האינטגרל לא־אמיתי ‪α dx‬‬ ‫סדרות פונקציות וטורי פונקציות‬ ‫‪109‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪110‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪112‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪114‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪118‬‬ ‫סדרת פונקציות ‪118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫טור פונקציות ‪118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות ‪119 . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪VIII‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪60‬‬ ‫התכנסות של סדרת‪/‬טור פונקציות בשפת ‪. . . . . . . . . . . . . . ε − N‬‬ ‫התכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪51.1‬‬ ‫מבחן ‪ M‬של ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫‪51.2‬‬ ‫תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫רציפות של הפונקציה הגבולית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.1‬‬ ‫אינטגרציה איבר־איבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.2‬‬ ‫בשפה של טורי פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.2.1‬‬ ‫גזירה איבר־איבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.3‬‬ ‫בשפה של טורי פונקציות ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.3.1‬‬ ‫משפט דיני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪52.4‬‬ ‫טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫משפט אבל )‪ (Abel‬לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.1‬‬ ‫נוסחת קושי־הדמר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.2‬‬ ‫משפט דלאמבר לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.3‬‬ ‫התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.4‬‬ ‫רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.5‬‬ ‫משפט הגבול של אבל )‪ (Abel‬לטורי־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.6‬‬ ‫אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.7‬‬ ‫גזירה איבר־איבר של טור־חזקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪53.8‬‬ ‫טורי־טיילור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫אנליטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪54.1‬‬ ‫תכונות של פונקציות אנליטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪54.2‬‬ ‫דוגמאות נפוצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪54.3‬‬ ‫מבוא לתורת המידה‬ ‫‪119‬‬ ‫‪119‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪121‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪122‬‬ ‫‪123‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪127‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪129‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪130‬‬ ‫‪132‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪133‬‬ ‫‪134‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪137‬‬ ‫‪139‬‬ ‫‪140‬‬ ‫המידה החיצונית של לבג ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קבוצות בעלות מידה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0‬‬ ‫‪55.1‬‬ ‫משפט לבג ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הלמה של היינה־בורל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫הצגות של מספרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫קבוצת קנטור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫פונקציית קנטור )מדרגות השטן( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪140‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪142‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪146‬‬ ‫‪147‬‬ ‫חלק‬ ‫‪I‬‬ ‫כלל לופיטל‬ ‫הערה גבול חד־צדדי של )‪ f (x‬ב־ ‪ ,a‬נסמן )‪) lim f (x‬מימין( ו־)‪) lim f (x‬משמאל(‬ ‫‪x&a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x%a‬‬ ‫המקרה של ‪lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בסביבה כלשהי של הנקודה ‪ ,a‬פרט אולי ל־‪ a‬עצמה‪.‬‬ ‫נניח כי בסביבה זו מתקיים ‪,∀x 6= a g 0 (x) 6= 0‬‬ ‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ‪. lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ , lim fg0 (x‬אז קיים גם הגבול‬ ‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫)‪lim f (x‬‬ ‫)‪x→a g(x‬‬ ‫וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬ ‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נשים לב כי במשפט לא הוצבה כל דרישה על ערך הפונקציה בנקודה ‪ a‬עצמה‪ ,‬ולכן‬ ‫נוכל לצורך הנוחות להגדיר ‪ .f (a) = g(a) = 0‬הנחה זו מגדירה את הפונקציות‬ ‫כרציפות בנקודה ‪.a‬‬ ‫‪ .2‬נניח כי תנאי המשפט מתקיימים בסביבה ימנית של ‪ ,a‬כלומר קיים ‪ h > 0‬כך ש־‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ fg(x‬מוגדר היטב ו־)‪ g(x‬לא‬ ‫‪ .∀x ∈ (a, a + h) g 0 (x) 6= 0‬מנתון זה נובע שהביטוי‬ ‫מתאפסת בסביבה זו‪.‬‬ ‫נימוק‪ :‬נניח בשלילה שקיים )‪ x0 ∈ (a, a + h‬כך ש־‪ .g(x0 ) = 0‬אזי מההנחה‬ ‫‪ g(a) = 0‬נקבל כי מתקיים ) ‪ ,g(a) = g(x0‬וממשפט רול נובע שקיימת נקודה‬ ‫)‪ c ∈ (a, a + x0 ) ⊂ (a, a + h‬שבה ‪ ,g 0 (c) = 0‬בסתירה להנחה‪.‬‬ ‫‪ .3‬תנאי המשפט הופכים את הפונקציות לכאלה המקיימות את תנאי משפט קושי‪ ,‬ולכן‬ ‫ממשפט קושי נובע כי לכל )‪ x ∈ (a, a + h‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, x‬כך ש־‬ ‫)‪f (x) − f (a‬‬ ‫‪f (x) − 0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f 0 (c‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪g (c‬‬ ‫)‪g(x) − g(a‬‬ ‫‪g(x) − 0‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫נשים לב כי )‪ c ∈ (a, x‬ולכן אם ‪ x → a‬אזי גם ‪ .c → a‬ולכן נסיק ־‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f 0 (c‬‬ ‫‪= lim 0‬‬ ‫)‪x&a g(x‬‬ ‫)‪c&a g (c‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫]נשים לב ששינוי שם המשתנה מ־‪ x‬ל־‪ c‬אינו משנה לערך הגבול‪ .‬מה שחשוב זה‬ ‫שהמשתנה שואף ל־‪[.0‬‬ ‫‪ .4‬באותו אופן נוכל לקבל את השוויון עבור הגבול משמאל‪ ,‬בנקודה )‪ d ∈ (a − h, a‬־‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f 0 (d‬‬ ‫‪= lim 0‬‬ ‫)‪x%a g(x‬‬ ‫)‪d%a g (d‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ .5‬נסיק כי אם שני הגבולות החד־צדדיים שווים )כפי שנתון בתנאי המשפט באופן‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ , lim fg(x‬כמבוקש‪.‬‬ ‫שניסחנו אותו(‪ ,‬אז קיים הגבול הכללי‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‬ ‫הערה ניתן להפעיל את כלל לופיטל כמה פעמים שצריך‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המקרה של ‪lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקרן )∞ ‪.[a,‬‬ ‫נניח כי בקרן זו מתקיים ‪,∀x ∈ [a, ∞) g 0 (x) 6= 0‬‬ ‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ‪. lim f (x) = lim g(x) = 0‬‬ ‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫)‪f 0 (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪x→∞ g (x‬‬ ‫‪ , lim‬אז קיים גם הגבול‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪x→∞ g(x‬‬ ‫‪ lim‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬ ‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬מהתנאי הראשון במשפט נובע שקיימת )∞ ‪ d ∈ [a,‬כך ש־לכל )∞ ‪x ∈ [d,‬‬ ‫מתקיים כי ‪.g(x) 6= 0‬‬ ‫נימוק‪ :‬נניח בשלילה שהפונקציה )‪ g(x‬מתאפסת באופן שכיח‪ ,‬אזי לא ייתכן‬ ‫שהנגזרת בכלל לא מתאפסת‪.‬‬ ‫נבחר לצורך הנוחות )‪ b = max(1, d‬ונקבל ש־‪ b > 0‬וגם שלכל )∞ ‪x ∈ [b,‬‬ ‫מתקיים ‪.g(x) 6= 0‬‬ ‫‪ .2‬עבור )∞ ‪ x ∈ [b,‬נסמן‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫= ‪ ,x‬ונסמן גם ־‬ ‫‬ ‫)‪F (t) = f 1t = f (x‬‬ ‫)‪G (t) = g 1t = g(x‬‬ ‫נסיק לפי כלל השרשרת ־‬ ‫ ‪ −1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪t t2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪= f0‬‬ ‫‪= g0‬‬ ‫‬ ‫‪1 0‬‬ ‫ ‪t‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪F 0 (t) = f‬‬ ‫‪G0 (t) = g‬‬ ‫לב שלפי הסימון ‪ ,x = 1t‬תחום ההגדרה )∞ ‪ [b,‬עבור המשתנה ‪ x‬מוגדר‬ ‫‪ .3‬נשים ‬ ‫להיות ‪ 0, 1b‬עבור המשתנה ‪ .t‬לכן קיבלנו שהפונקציות )‪ F (t), G(t‬מוגדרות‬ ‫וגזירות לכל ‪.t ∈ 0, 1b‬‬ ‫‪ .4‬נשים לב שכאשר ∞ → ‪ x‬אז ‪ ,t → 0‬ולכן נקבל את השוויונים הבאים ־‬ ‫‪lim F (t) = lim f (x) = 0‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪t&0‬‬ ‫‪lim G(t) = lim g(x) = 0‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪t&0‬‬ ‫‪ .5‬ולכן קיבלנו שתי פונקציות‪ ,F (t) , G (t) ,‬שמקיימות את תנאי המקרה הקודם‬ ‫של כלל לופיטל‪ ,‬ונוכל להסיק כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‪f 1‬‬ ‫)‪F (t‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪F 0 (t‬‬ ‫‪= lim 1t = lim‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim 0‬‬ ‫=‬ ‫)‪x→∞ g(x‬‬ ‫‪t&0 g‬‬ ‫)‪t&0 G (t‬‬ ‫)‪t&0 G (t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)‪f 0 (x‬‬ ‫)‪x→∞ g 0 (x‬‬ ‫‪f0‬‬ ‫‪= lim 0‬‬ ‫‪t&0 g‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ ‪t2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪t2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‬ ‫‪f0‬‬ ‫‪= lim 0‬‬ ‫‪t&0 g‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫המקרה של ∞ = )‪lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקטע מהצורה ]‪.(a, b‬‬ ‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪,∀x ∈ (a, b] g 0 (x) 6= 0‬‬ ‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = )‪. lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ , lim fg0 (x‬אז קיים גם הגבול‬ ‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬ ‫)‪ lim fg(x‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נניח תחילה כי ‪.L ∈ R‬‬ ‫)א( מהנתון ∞ = )‪ lim g(x‬נובע קיימת סביבה ימנית של ‪ a‬שבה תמיד ‪.g(x) > 0‬‬ ‫‪x&a‬‬ ‫נסמן את הקטע שבו היא חיובית ]‪.x ∈ (a, b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ lim fg0 (x‬נסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ1 > 0‬כך שלכל ∈ ‪x‬‬ ‫)ב( מהנתון ‪= L‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ x→a‬‬ ‫)‪ (x‬‬ ‫‬ ‫)‪. fg0 (x‬‬ ‫) ‪ (a, a + δ1‬מתקיים ‪− L < 2‬‬ ‫לפי משפט קושי שלכל ) ‪ x ∈ (a, a + δ1‬קיים )‪ c ∈ (a, x‬כך ש־=‬ ‫)‪f 0 (c‬‬ ‫)‪g 0 (c‬‬ ‫)‪(x)−f (a‬‬ ‫)‪. fg(x)−g(a‬‬ ‫נסיק מהנתון וממשפט קושי כי‬ ‫שאם ‪ x → a‬אז גם ‪.(c → a‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ (x)−f (a‬‬ ‫‬ ‫)‪) . fg(x)−g(a‬גם כאן נסתמך על כך‬ ‫< ‪− L‬‬ ‫)ג( נאמוד את הביטוי הבא )בהמשך יובהר למה זה נדרש(‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ))‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) (g(x) − g (a)) − g(x) (f (x) − f (a‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪ g(x‬‬ ‫‬ ‫ )‪g(x) − g (a‬‬ ‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪ f (x)g(x) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g(x)f (x) −f (x)g (a) + g(x)f (a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫=‬ ‫= ))‪ = g(x) (g(x) − g (a‬‬ ‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪ g (a) f (a) − f (x)g (a) + g(x)f (a) − g (a) f (a‬‬ ‫=‬ ‫ =‬ ‫‬ ‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ])‪ g (a) [f (a) − f (x)] + f (a) [g(x) − g (a‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‬ ‫))‪g(x) (g(x) − g (a‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫ )‪ f (a) g (a) f (a) − f (x) f (a) g (a) f (x) − f (a‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫ =‬ ‫‪+‬‬ ‫·‬ ‫‪−‬‬ ‫·‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪g(x) g(x) − g (a) g(x‬‬ ‫ )‪g(x) g (x) − g (a‬‬ ‫)‪g(a) f (a‬‬ ‫)‪ g(x‬שואפים ל־‪) 0‬כי )‪ g(x‬שואפת‬ ‫)ד( נשים לב שכאשר ‪ x & a‬הביטויים )‪, g(x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪ f (x) f (x)−f (a‬‬ ‫ל־∞(‪ ,‬ולכן מהשוויון שקיבלנו נסיק שעבור ‪ δ2‬הביטוי )‪ g(x) − g(x)−g(a‬קטן‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪ (x) f (x)−f (a‬‬ ‫)‪. fg(x‬‬ ‫כרצוננו‪ ,‬ולמשל גם עבור ‪ 2‬מתקיים ‪− g(x)−g(a) < 2‬‬ ‫)ה( נבחר ) ‪ δ = min (δ1 , δ2‬ונחשב את הגבול שצריך להוכיח‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫)‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ‪ g(x) − L = g(x) − g(x) − g (a) + g(x) − g (a) − L‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫)‪ f (x) f (x) − f (a) f (x) − f (a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ = ‪− L < +‬‬ ‫‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪g(x) − g (a‬‬ ‫)‪g(x) − g (a‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ .2‬נניח כי ∞‪.L = ±‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ lim fg0 (x‬נובע שקיימת סביבה ימנית של ‪ a‬שבה ‪.f (x) 6= 0‬‬ ‫)א( מהנתון ∞ = ‪= L‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪ , lim fg 0(x‬ולכן נסיק על־פי מקרה קודם של כלל‬ ‫)ב( אם ∞ = )‪ lim g 0 (x‬אזי ‪(x) = 0‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪. lim fg(x‬‬ ‫)‪ , lim fg(x‬ולכן ∞ =‬ ‫לופיטל כי מתקיים ‪(x) = 0‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫המקרה של ∞ = )‪lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫יהיו )‪ f (x) , g(x‬פונקציות גזירות בקרן מהצורה )∞ ‪.[c,‬‬ ‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪,∀x ∈ [c, ∞) g 0 (x) 6= 0‬‬ ‫וכן נניח כי קיימים ושווים הגבולות ∞ = )‪. lim f (x) = lim g(x‬‬ ‫אם קיים הגבול ‪= L‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫)‪f 0 (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪x→∞ g (x‬‬ ‫‪ , lim‬אז קיים גם הגבול‬ ‫∞‪x→a‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪x→∞ g(x‬‬ ‫‪ lim‬וגם הוא שווה ל־‪.L‬‬ ‫הערה הגבול ‪ L‬יכול להיות ממשי או אינסופי‪.‬‬ ‫ההוכחה למקרה זה דומה להוכחה שבה הסקנו את מקרה ‪ 2‬ממקרה ‪.1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫דוגמה‬ ‫תהי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫)‪ .f (x) = (1 + x‬נרצה לחשב את הגבול )‪. lim f (x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫נוציא ‪:log‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪log (1 + x‬‬ ‫= )‪log (1 + x‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪logf (x) = log (1 + x) sinx‬‬ ‫נחשב את הגבול של )‪ logf (x‬לפי כלל לופיטל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪log (1 + x‬‬ ‫‪= lim 1+x = 1‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0 cosx‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫נחזור לחשב את הגבול של )‪:f (x‬‬ ‫‪= e1 = e‬‬ ‫)‪log(1+x‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim e sinx log(1+x) = elimx→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫)‪lim f (x) = lim (1 + x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫]השוויון השלישי נובע מרציפות פונקציית ה־‪[.log‬‬ ‫‪5‬‬ ‫כלל לופיטל לפונקציות גזירות בקטע סגור‬ ‫יהיו )‪ g(x) ,f (x‬פונקציות מוגדרות וגזירות בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬ ‫נניח כי בקטע זה מתקיים ‪ ,f (a) = g(a) = 0‬וכן נניח כי ‪.g 0 (a) 6= 0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f 0 (a‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫אזי קיימים הגבול והשוויון‬ ‫)‪x&a g(x‬‬ ‫)‪g (a‬‬ ‫• הערה ‪ :1‬נשים לב שמקרה כזה הוא רק כאשר ‪ ,a ∈ R ,x → a‬כי כאשר ∞ → ‪x‬‬ ‫אין קצה שמוגדרת בו גזירות‪.‬‬ ‫• הערה ‪ :2‬בניגוד למקרים הקודמים של כלל לופיטל שבהם המשפט קבע שאם קיים‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫)‪ ,lim fg(x‬במקרה זה המשפט קובע שתמיד קיים‬ ‫)‪ lim fg0 (x‬אז קיים הגבול‬ ‫הגבול‬ ‫)‪(x‬‬ ‫הגבול‬ ‫)‪.lim fg(x‬‬ ‫הוכחה‬ ‫)‪g(x) − g(a‬‬ ‫נתון ‪ ,g 0 (a) 6= 0‬כלומר קיימת סביבה מספיק קרובה ל־‪ a‬שבה מתקיים ‪6 0‬‬ ‫=‬ ‫‪x−a‬‬ ‫כמו כן נשים לב שמכיוון שהפונקציות גזירות אז הן בפרט רציפות‪ ,‬ולכן מתקיים‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪x&a‬‬ ‫‪f (a) = g(a) = 0‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫)‪f (x) − f (a‬‬ ‫)‪f 0 (a‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0‬‬ ‫)‪g(x) − g(a‬‬ ‫)‪g (a‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x&a‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x&a‬‬ ‫)‪f (x)−f (a‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫)‪g(x)−g(a‬‬ ‫‪x−a‬‬ ‫‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f (x) − f (a‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫)‪x&a g(x‬‬ ‫)‪x&a g(x) − g(a‬‬ ‫‪x&a‬‬ ‫מסקנה‬ ‫יהיו )‪ g(x),f (x‬פונקציות מוגדרות בסביבה של ‪ a‬וגזירות ‪ n‬פעמים בנקודה ‪.a‬‬ ‫נניח שמתקיים‪:‬‬ ‫‪g(a) = g 0 (a) = g 00 (a) = ... = g (n−1) (a) = 0‬‬ ‫‪g (n) 6= 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪f (a) = f (a) = f (a) = ... = f (n−1) (a) = 0‬‬ ‫)לא משנה האם ‪ f (n) = 0‬או ‪(.f (n) 6= 0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫)‪f (n) (a‬‬ ‫אזי קיימים הגבול והשוויון‬ ‫‪. lim‬‬ ‫)‪= (n‬‬ ‫)‪x&a g(x‬‬ ‫)‪g (a‬‬ ‫מסקנה זו מתקבלת מהפעלת הווריאציה האחרונה של כלל לופיטל ‪ n‬פעמים‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪6‬‬ ‫חקירת פונקציות )מהתרגול(‬ ‫סדר פעולות בחקירת פונקציה‪:‬‬ ‫‪ .1‬מציאת תחום הגדרה ובדיקת סימטריות )זוגיות‪ ,‬אי־זוגיות‪ ,‬מחזוריות(‬ ‫‪ .2‬גבולות הפונקציה בקצוות תחום ההגדרה‬ ‫‪ .3‬תחום רציפות‬ ‫‪ .4‬אסימפטוטות מאונכות ומשופעות‬ ‫‪ .5‬תחום גזירות ומהי הנגזרת‪ ,‬גבולות הנגזרת בתחום ההגדרה ונקודות התאפסות שלה‪.‬‬ ‫‪ .6‬נגזרת שנייה ונקודות התאפסות שלה‪.‬‬ ‫‪ .7‬חלוקת תחום ההגדרה לקטעים‪ ,‬בהתאם לחיוביות\שליליות של הנגזרת הראשונה ושל‬ ‫הנגזרת השנייה‬ ‫‪ .8‬מציאת נקודות מקסימום ומינימום מקומיות וכלליות‪.‬‬ ‫‪ .9‬תחומי קמירות וקעירות‪ ,‬ונקודות פיתול‪.‬‬ ‫‪ .10‬ציור סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫אפיון של נקודות‪ :‬תהי ‪ D ⊆ R‬קבוצה ותהי ‪.f : D → R‬‬ ‫־ נקודה פנימית‪ x ∈ D :‬נקראת נקודה פנימית‪ ,‬אם קיים קטע פתוח משני צידי ‪ x‬שמוכל‬ ‫ב־‪.D‬‬ ‫־ נקודה מבודדת‪ x ∈ D :‬נקראת נקודה מבודדת‪ ,‬אם קיים קטע פתוח משני צידי ‪ x‬שאינו‬ ‫חותך את ‪ D‬באף נקודה למעט ‪.x‬‬ ‫־ נקודת קצה‪ x ∈ R :‬נקראת נקודת קצה של ‪ ,D‬אם היא לא נקודה פנימית‪ ,‬וכן כל קטע‬ ‫סביב ‪ x‬מכיל נקודה כלשהי מ־‪.D‬‬ ‫סימטריה‪ :‬תהי ‪ D ⊆ R‬קבוצה‪ ,‬ותהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת ב־ ‪.D‬‬ ‫־ קבוצה סימטרית‪ D :‬נקראת קבוצה סימטרית סביב ‪ ,x = 0‬אם לכל ‪ x ∈ D‬מתקיים‬ ‫‪.x = −x‬‬ ‫־ פונקציה אי־זוגית‪ f (x) :‬נקראת אי־זוגית ב־‪ ,D‬אם )‪ f (x) = −f (−x‬לכל ‪.x ∈ D‬‬ ‫]למשל‪.[sinx, x, x3 , tanx :‬‬ ‫־ פונקציה זוגית‪ f (x) :‬נקראת זוגית ב־‪ ,D‬אם )‪ f (x) = f (−x‬לכל ‪] .x ∈ D‬למשל‪:‬‬ ‫|‪.[cosx, x2 , |x‬‬ ‫־ אינווריאנטיות‪ :‬נאמר כי ‪ D‬אינווריאנטית להזזה תחת מספר נתון ‪ ,L‬אם ‪.D + L ⊆ D‬‬ ‫־ מחזוריות‪ f (x) :‬נקראת מחזורית עם מחזור ‪ ,L‬בקבוצה ‪ D‬שהיא ‪−L‬אינווריאנטית‪ ,‬אם‬ ‫לכל ‪ x ∈ D‬מתקיים )‪.f (x) = f (x + L‬‬ ‫־ המחזור היסודי‪ :‬המחזור ‪ L‬נקרא המחזור היסודי‪ ,‬אם הוא המחזור המינימלי שעבורו‬ ‫)‪ f (x‬מחזורית‪.‬‬ ‫אסימפטוטות‪:‬‬ ‫־ אסימפטוטה אנכית‪ :‬נאמר כי ל־ ‪ f‬יש אסימפטוטה אנכית ב־ ‪ ,x0‬אם ∞‪. lim f (x) = ±‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫∈ ‪(x0‬‬ ‫)ייתכן כי ‪/ D‬‬ ‫־ אסימפטוטה משופעת‪ :‬יהי ישר ‪ .y = mx + n‬נאמר כי ל־)‪ f (x‬יש אסימפטוטה משופעת‬ ‫ב־‪ y‬כאשר ∞‪ ,x → ±‬אם ‪) . lim (f (x) − y) = 0‬עבור ‪ m = 0‬זו אסימפטוטה אופקית(‬ ‫∞‪x→±‬‬ ‫־ תנאי שקול לקיום אסימפטוטה משופעת‪ :‬נאמר כי ל־)‪ f (x‬יש אסימפטוטה משופעת‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪ lim‬וגם ‪. lim (f (x) − mx) = n‬‬ ‫ב־‪ ,y = mx + n‬אמ"מ גם ‪= m‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫‪x→±∞ x‬‬ ‫נקודות חשודות כקיצון‪:‬‬ ‫־ נקודות קריטיות‪ :‬נקודות פנימיות שבהן קיימת נגזרת‪ ,‬והיא מתאפסת‬ ‫הפונקציה לא גזירה‬ ‫־ נקודות סינגולריות‪ :‬נקודות פנימיות שבהן ‪12‬‬ ‫קמירות וקעירות‪) :‬הגדרה לא פורמלית(‬ ‫פונקציה ‪ f : I → R‬נקראת קמורה )או קעורה( אם לכל זוג נקודות ‪ ,x1 , x2 ∈ I‬מתקיים‬ ‫שהמיתר המחבר את הנקודות )) ‪ (x2 , f (x2 )),(x1 , f ((x1‬במערכת צירים‪ ,‬נמצא מעל )או‬ ‫מתחת‪ ,‬בהתאמה( לגרף הפונקציה‪.‬‬ ‫תנאי שקול לקמירות )וקעירות(‪ :‬הפונקציה ‪ f‬קמורה )או קעורה( בסביבת ‪ x ∈ I‬אמ"מ‬ ‫בסביבה זו של ‪ x‬מתקיים כי ‪) f 00 (x) ≥ 0‬או ‪ ,f 00 (x) ≤ 0‬בהתאמה(‪.‬‬ ‫חלק‬ ‫‪II‬‬ ‫האינטגרל הלא־מסוים )או‪ :‬פונקציות‬ ‫קדומות(‬ ‫‪7‬‬ ‫פונקציה קדומה‬ ‫פונקציה ‪ F‬נקראת פונקציה קדומה של ‪ f‬על קטע כלשהו ‪ ,I‬אם ‪ F‬גזירה ומתקיים‬ ‫)‪.∀x∈I F 0 (x) = f (x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫יחידות הפונקציה הקדומה )עד־כדי קבוע(‬ ‫יהיו ‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ f‬על קטע ‪ ,I‬אזי קיים קבוע ‪ c ∈ R‬כך שמתקיים‬ ‫‪F (x) = G(x) + c‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נתון כי ‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ ,f‬ולכן לפי ההגדרה מתקיים ‪.F 0 (x) = G0 (x) = f‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪F 0 (x) − G0 (x) = f − f = 0‬‬ ‫פונקציה שהנגזרת שלה מתאפסת היא בהכרח פונקציה קבועה‪ ,‬ולכן נסיק כי‪:‬‬ ‫‪F (x) − G(x) = c‬‬ ‫‬ ‫‪9‬‬ ‫האינטגרל הלא־מסוים‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע כלשהו ‪ ,I‬ותהי ‪ F‬פונקציה קדומה שלה בקטע זה‪.‬‬ ‫נגדיר את האינטגרל הלא־מסוים של ‪ f‬בקטע ‪ I‬להיות הקבוצה }‪.{F (x) + c|c ∈ R‬‬ ‫נסמן זאת‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫}‪f (x)dx = {F (x) + c|c ∈ R‬‬ ‫ובקיצור‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (x)dx = F (x) + c‬‬ ‫‪13‬‬ ‫• הערה ‪ :1‬לא לכל פונקציה יש פונקציה קדומה‪.‬‬ ‫כך למשל הוכחנו כמסקנה ממשפט דארבו‪ ,‬שאם לפונקציה שאינה רציפה יש פונקציה‬ ‫קדומה‪ ,‬אז אי הרציפות שלה היא מסוג שני‪ .‬לכן נוכל לבחור פונקציה שיש לה אי־‬ ‫רציפות מסוג ראשון‪.‬‬ ‫נבחר למשל ‪) f (x) = bxc‬פונקציית הערך השלם( ונסיק שאין לה פונקציה קדומה‬ ‫בכל קטע ממשי שמכיל מספר שלם‪.‬‬ ‫• הערה ‪ :2‬קיימות פונקציות שיש להן פונקציה קדומה‪ ,‬שאינה ניתנת לביטוי באמצעות‬ ‫‪2‬‬ ‫פונקציות אלמנטריות‪ .‬למשל ‪.f (x) = e−x‬‬ ‫‪9.1‬‬ ‫אריתמטיקה של האינטגרל הלא־מסוים‬ ‫כמסקנה מיידית ממשפטים שהוכחנו עבור נגזרות‪ ,‬נסיק שמתקיים‪:‬‬ ‫´‬ ‫‪cf (x)dx = c f (x)dx‬‬ ‫‪g(x)dx‬‬ ‫‪9.2‬‬ ‫´‬ ‫‪f (x)dx ±‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫= ‪(f (x) ± g(x)) dx‬‬ ‫´‬ ‫אינטגרלים מיידיים‬ ‫הערה נביא כאן רשימה שכוללת כמה פונקציות קדומות של הרכבה של פונקציות אלמנטריות‬ ‫עם פונקציה כלשהי )‪.f (x‬‬ ‫בכל המקרים ניתן להציב ‪) f (x) = x‬כך ש־‪ (f 0 (x) = 1‬ולקבל את המקרה הפשוט‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪f (x)α+1‬‬ ‫‪α+1‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (x)α f 0 (x)dx‬‬ ‫‪f (x) > 0, α 6= −1, α ∈ R‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪f (x)dx = ln |f (x)| + c‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪.3‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪sin (f (x)) f 0 (x)dx = −cos (f (x)) + c‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f 0 (x)dx = arctan (f (x)) + c‬‬ ‫‪1 + f (x)2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪f 0 (x)dx = arcsin (f (x)) + c‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 − f (x)2‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f 0 (x)dx = f (x) + c‬‬ ‫)‪2 f (x‬‬ ‫‪p‬‬ ‫ˆ‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫‪:f (x) = √x−1‬‬ ‫‪ .1‬נחשב את הפונקציה הקדומה של‬ ‫‪1−x2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪x−1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫√ ‪dx−‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫√ ‪dx−‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫‪1−x‬‬ ‫‪2 1−x‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫נחשב את האיבר הראשון בביטוי שהתקבל‪ ,‬ונשים לב שאם נציב ‪f (x) = 1 − x2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫כך ש־‪ ,f 0 (x) = −2x‬נקבל אינטגרל מהצורה ‪f 0 (x)dx = f (x) + c‬‬ ‫)‪2 f (x‬‬ ‫)מקרה ‪ 6‬בסעיף הקודם( ולכן ־‬ ‫האיבר השני הוא נגזרת ידועה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫√‬ ‫‪dx = arcsinx + c‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫נסיק באופן כללי‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫√‬ ‫‪dx = 1 − x2 − arcsinx + c‬‬ ‫‪1 − x2‬‬ ‫]‪ c ∈ R‬הוא קבוע כלשהו שערכו לא מעניין כרגע‪ ,‬ולכן אין צורך לכתוב ‪[.2c‬‬ ‫דוגמה ‪2‬‬ ‫נחשב את הפונקציה הקדומה של‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2cos2 ( x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫= )‪.f (x‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪ dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪2sin‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ש־‬ ‫‪2cos2 ( x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪sinx‬‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪ ,f 0 (x‬נקבל אינטגרל מהצורה‬ ‫‬ ‫נשים לב שאם נציב ‪ f (x) = tan x2‬כך‬ ‫‪´ 1 0‬‬ ‫)‪) f (x‬מקרה ‪ 3‬בסעיף הקודם( ולכן ־‬ ‫‪f (x)dx = ln |f (x)| + c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2cos2 ( x‬‬ ‫)‪2‬‬ ‫‬ ‫ ‪ x‬‬ ‫‬ ‫‪ dx = ln tan‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נסיק מאינטגרל זה שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ + c = ln tan x + π + c‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪tan‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪tan x +‬‬ ‫‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin x + π2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪cosx‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪10‬‬ ‫שיטות אינטגרציה‬ ‫‪10.1‬‬ ‫אינטגרציה בחלקים‬ ‫שיטה זו מבוססת על נוסחת הנגזרת של מכפלת פונקציות גזירות‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x‬‬ ‫מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי הפונקציה ‪ f g‬היא האינטגרל־הלא מסוים של‬ ‫‪0‬‬ ‫הפונקציה )‪ ,(f g‬ומהשוויון שבנוסחת הנגזרת נסיק כי ‪ f g‬היא גם האינטגרל הלא מסוים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫של הפונקציה ‪.f g + f g‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫)‪[f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)] dx = f (x)g(x‬‬ ‫אינטגרל של סכום הוא סכום האינטגרלים‪ ,‬ולכן בהעברת אגפים נקבל את הנוסחה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx‬‬ ‫ובאופן מעשי‪ :‬בכל פעם שיש לחשב אינטגרל לא־מסוים של פונקציה שניתן להציג כמכפלה‬ ‫כלשהי‪ ,‬נוכל לבחור באופן חופשי את אחד מאיברי המכפלה להיות ה־ ‪ f‬ואת האחר להיות‬ ‫ה־ ‪ ,g 0‬ולהציב בנוסחה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫נחשב את האינטגרל של ‪.lnx‬‬ ‫מתקיים ‪ ,lnx = 1 · lnx‬ונבחר את ‪ f = lnx‬כך‬ ‫נציב בנוסחה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1dx = xlnx − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx = xlnx −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ש־ ‪x‬‬ ‫= ‪ ,f 0‬ואת ‪ g 0 = 1‬כך ש־‪.g = x‬‬ ‫ˆ‬ ‫·‪x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1 · lnxdx = xlnx −‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪lnxdx‬‬ ‫דוגמה ‪2‬‬ ‫נחשב את האינטגרל של ‪.ex sinx‬‬ ‫נבחר את ‪ f = ex‬כך ש־ ‪ ,f 0 = ex‬ונבחר את ‪ g = sinx‬כך ש־‪ .g = −cosx‬נציב בנוסחה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ex cosxdx‬‬ ‫האינטגרל ‪ex cosxdx‬‬ ‫´‬ ‫ˆ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪e sinxdx = −e cosx +‬‬ ‫עדיין קשה לחישוב‪.‬‬ ‫‪16‬‬ ‫נבחר הפעם באופן הפוך את ‪ f = sinx‬כך ש־‪ ,f 0 = cosx‬ונבחר את ‪ g 0 = ex‬כך ש־ ‪.g = ex‬‬ ‫נציב בנוסחה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ex cosxdx‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ex sinxdx = ex sinx −‬‬ ‫´‬ ‫שוב קיבלנו את האינטגרל ‪ ex cosxdx‬שקשה לחישוב‪.‬‬ ‫אך נשים לב שמשני השלבים קיבלנו שתי משוואות שמבטאות את האינטגרל המבוקש‪ ,‬ואם‬ ‫נחבר אותן נקבל‪:‬‬ ‫´‬ ‫= ‪ex sinxdx = 2 ex sinxdx‬‬ ‫= ‪ex cosxdx‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪ex sinxdx +‬‬ ‫‪ex cosxdx + (−ex cosx) +‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪= ex sinx −‬‬ ‫‪= ex sinx − ex cosx‬‬ ‫מכיוון שחיברנו את שתי המשוואות קיבלנו ביטוי ששקול לפעמיים האינטגרל המבוקש‪ ,‬ולכן‬ ‫נסיק‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪ex sinx − ex cosx‬‬ ‫= ‪ex sinxdx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10.2‬‬ ‫אינטגרציה בשיטת ההצבה‬ ‫שיטה זו מבוססת על כלל השרשרת לגזירת הרכבה של פונקציות גזירות‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(g (f (x))) = g 0 (f (x)) f 0 (x‬‬ ‫´‬ ‫נניח שמחפשים לפתור את המשוואה ‪. f (x)dx = F (x) + c‬‬ ‫נניח גם שקיימת פונקציה ‪ ϕ‬שהיא פונקציה המוגדרת בתחום הגדרה שנותן את תחום‬ ‫ההגדרה של ‪.f‬‬ ‫נניח עוד ש־‪ ϕ‬מקיימת )‪ ,x = ϕ(t‬וכן שהיא הפיכה כך ש‪ ,ϕ−1 (x) = t-‬וכן נניח שהיא‬ ‫‪1 dx‬‬ ‫גזירה כך ש‪. dt = ϕ0 (t)-‬‬ ‫מהגדרת האינטגרל הלא־מסוים נובע כי )‪) F 0 (x) = f (x‬עד־כדי קבוע(‪ ,‬נסיק מכך כי אם‬ ‫נציב )‪ x = ϕ(t‬נקבל לפי כלל השרשרת‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(F (ϕ (t))) = F 0 (ϕ(t)) ϕ0 (t) = f (ϕ (t)) ϕ0 (t‬‬ ‫נשים לב שביטוי זה קושר בין ‪ f‬לבין הפונקציה הקדומה שלה ‪ ,F‬שמהווה פתרון למשוואה‬ ‫המבוקשת‪ .‬נפעיל אינטגרל על שני צידי המשוואה שקיבלנו‪ ,‬ומזה תנבע הנוסחה הבאה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (ϕ(t)) ϕ0 (t)dt = F (ϕ(t)) + c‬‬ ‫‪1‬כלומר‪ ,‬גוזרים את שני צידי המשוואה )‪ x = ϕ(t‬לפי המשתנה ‪.t‬‬ ‫‪17‬‬ ‫משוואה זו היא במונחי ‪ ,t‬ולכן כדי לקבל את הפתרון במונחי ‪ x‬נציב את השוויונים הנתונים‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(x) = t ⇔ x = ϕ(t‬‬ ‫‪ , dx‬ונקבל את הפתרון למשוואה שרצינו לפתור‬ ‫‪dt = ϕ (t) ,ϕ‬‬ ‫מלכתחילה‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (x)dx = F (x) + c‬‬ ‫דוגמה ‪1‬‬ ‫נחשב את האינטגרל של‬ ‫נציב ‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪6‬‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫√ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x+ x2‬‬ ‫= ‪ x = t6 ⇔ t‬כך ש־ ‪:ϕ0 (t) = 6t5‬‬ ‫=‬ ‫‪t8‬‬ ‫‪t6 +t4 dt‬‬ ‫´‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪t4‬‬ ‫‪t2 +1 dt‬‬ ‫√‬ ‫‪t6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫√‬ ‫‪3 12 6t dt‬‬ ‫‪t‬‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫‪t6 +‬‬ ‫´‬ ‫‪=6‬‬ ‫´‬ ‫‪t8‬‬ ‫‪t4 (t2 +1) dt‬‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫‪3 2 dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫´‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫קיבלנו אינטגרל על פונקציה שהיא פולינום רציונאלי‪ .‬הרבה פעמים באינטגרלים מסוג זה‬ ‫דרך הפתרון הפשוטה ביותר היא הוספה והחסרה של איברים שווים במונה‪ ,‬עד שמקבלים‬ ‫מספר שברים שהאינטגרציה בכל אחד מהם מידית‪.‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫= ‪− 1 dt‬‬ ‫)‪t4 +(t2 +1)−(t2 +1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫‪t2 +‬‬ ‫‪´h‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫´‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪t4‬‬ ‫‪t2 +1 dt‬‬ ‫´‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪t2 (t2 +1)+1−(t2 +1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h 3‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1dt = 6 t3 + arctant − t + c‬‬ ‫´‬ ‫‪dt −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪t2 dt +‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫´‪h‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫נבטא את האינטגרל במונחי ‪ x‬לפי משוואות ההצבה‪:‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+ arctan x − x + c = 2 x + 6arctan 6 x − 6 6 x + c‬‬ ‫‪3‬‬ ‫√"‬ ‫דוגמה ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. sinx+cosx−1‬‬ ‫נחשב את האינטגרל של ‪dx‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נציב ‪ ,x = 2arctant‬כך ש־‪ tan 2 = t‬ו־ ‪.(2arctant) = 1+t2‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1+t2 dt‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫·‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 1−t‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1+t2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2t−2t2 dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−t dt‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪1+t2‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sinx+cosx−1 dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2t+1−t2 −1−t2 dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t(1−t) dt‬‬ ‫‪= ln |t| − ln |t − 1| + c‬‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t−1 dt‬‬ ‫´‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t−t2 dt‬‬ ‫´‬ ‫‪−‬‬ ‫´‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t dt‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ t‬‬ ‫‪= ln t−1‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫נבטא את האינטגרל במונחי ‪ x‬לפי משוואות ההצבה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ tan x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪ln‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫ ‪ tan x2 − 1‬‬ ‫טריק שימושי‪:‬‬ ‫טריגונומטיות באמצעות פונקציות רציונאליות‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬ ‫פונקציות‬ ‫לבטא‬ ‫לעתים נוח‬ ‫‬ ‫תחת ההצבה ‪ t = tan x2 ⇔ x = 2arctant‬מתקבלים השוויונים הבאים‪:‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪1+t2‬‬ ‫‪10.2.1‬‬ ‫= ‪sinx‬‬ ‫‪1−t2‬‬ ‫‪1+t2‬‬ ‫= ‪cosx‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪1−t2‬‬ ‫= ‪tanx‬‬ ‫הצבות שימושיות לפונקציות רציונאליות‬ ‫‪ .1‬עבור אינטגרל מהצורה‪:‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‬ ‫‪R x, ±a2 ± x2 dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫כאשר ‪ R‬פונקציה רציונאלית‪ ,‬נחלק לשלושה מקרים שתלויים בסימן האיברים שבשורש‪.‬‬ ‫√‬ ‫• אם ‪ a2 − x2‬כדאי להציב‪:‬‬ ‫‪x = a · sint‬‬ ‫• אם ‪a2 + x2‬‬ ‫√‬ ‫כדאי להציב‪:‬‬ ‫‪x = a · tant‬‬ ‫‪2‬לא ייתכן ששני האיברים בשורש בעלי סימן שלילי‪ ,‬כי אין שורש ממשי למספר שלילי‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• אם ‪−a2 + x2‬‬ ‫√‬ ‫כדאי להציב‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪cost‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪ .2‬עבור אינטגרל מהצורה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪R x, ax2 + bx + c dx‬‬ ‫ˆ‬ ‫כאשר ‪ R‬פונקציה רציונאלית‪ ,‬נחלק לשני מקרים שתלויים בסימן האיבר ‪.a‬‬ ‫• אם ‪ a > 0‬כדאי להציב‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫‪ax2 + bx + c = x a + t‬‬ ‫או באופן שקול לאחר העברת אגפים‪:‬‬ ‫‪t2 − c‬‬ ‫√‬ ‫‪b − 2t a‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫• אם ‪ ,a < 0‬משמע שעבור ‪ x‬מספיק גדול ו־‪ x‬מספיק קטן הפולינום שלילי והשורש לא‬ ‫‪3‬‬ ‫מוגדר‪.‬‬ ‫לכן במקרים אלה יעניינו אותנו פולינומים שיש להם תחום הגדרה שבו הם מקבלים‬ ‫ערכים חיוביים‪ ,‬כלומר תחום ההגדרה שנמצא בין שני שורשים ‪ ,x1 , x2‬ובו ערכי‬ ‫הפונקציה חיוביים‪.‬‬ ‫משכך ניתן להציג את הפולינום באופן הבא‪:‬‬ ‫) ‪ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2‬‬ ‫במקרה זה כדאי להציב‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫) ‪ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) = t (x − x1‬‬ ‫או באופן שקול לאחר העברת אגפים‪:‬‬ ‫‪|a| x2 + t2 x1‬‬ ‫|‪t2 + |a‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫דוגמה )המקרה האחרון‪ ,‬עבור ‪(a > 0‬‬ ‫נחשב את האינטגרל של ‪ . x√x21+x+1‬נשתמש בנוסחה ההצבה הכללית = ‪ax2 + bx + c‬‬ ‫√‬ ‫‪−2t2 +2t−2‬‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫‪ . dx‬נציב‪:‬‬ ‫‪,x = 1−2t‬‬ ‫‪ x a + t‬שהוצעה קודם‪ ,‬ונקבל‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫√‬ ‫‪3‬כי פולינום שהמקדם של החזקה הגבוהה ביותר שלו הוא שלילי‪ ,‬מתכנס באינסוף ובמינוס אינסוף‪ ,‬למינוס‬ ‫אינסוף‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ 21‬‬ ‫)‪t −1+t(1−2t‬‬ ‫)‪(1−2t‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫´‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫)‪(1−2t‬‬ ‫‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪(t2 −1)(−t2 +t−1) dt‬‬ ‫)‪2(−t2 +t−1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫·‬ ‫=‬ ‫´‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫)‪(t2 −1)(−t2 +t−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪= ln |1 − t| − ln |t + 1| + c = ln 1−t‬‬ ‫‪t+1 + C‬‬ ‫נציב בחזרה‬ ‫‪10.3‬‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫‪1−2t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ dx‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫‪1−2t +t‬‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫‪1−2t‬‬ ‫‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪(t2 −1)(t2 −1+t(1−2t)) dt‬‬ ‫=‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫‪√ 1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x x2 +x+1‬‬ ‫‪−2t2 +2t−2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(t+1) dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(t−1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫·‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫‪(1−2t)2‬‬ ‫)‪(t2 −1)(−t2 +t−1‬‬ ‫=‬ ‫´‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(t+1)(t−1) dt‬‬ ‫´‬ ‫´‬ ‫=‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫´‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫=‬ ‫√‬ ‫= ‪ x2 + x + 1 = x + t ⇔ x‬כדי לקבל תשובה במונחי המשתנה ‪:x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ 1 − √x2 + x + 1 − x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫√ ‪ln‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫ ‪ x2 + x + 1 − x + 1‬‬ ‫פירוק לשברים חלקיים )נוסחאות(‬ ‫לכל פונקציה רציונלית קיימים ‪ ,k ∈ N ,Ai , Bi ∈ R‬כך שלאחר פירוק המכנה לגורמים‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי ‪:1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪Ak‬‬ ‫=‬ ‫‪+... +‬‬ ‫) ‪(a1 x + b1 ) · ... · (ak x + bk‬‬ ‫) ‪(a1 x + b1‬‬ ‫) ‪(ak x + bk‬‬ ‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר ראשון מריבוי גדול מ־‪:1‬‬ ‫‪Ak‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(ax + b‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(ax + b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(ax + b‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(ax + b‬‬ ‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי ‪:1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A1 x + B 1‬‬ ‫‪Ak x + Bk‬‬ ‫=‬ ‫‪+... +‬‬ ‫) ‪(a1 x2 + b1 x + c1 ) · ... · (ak x2 + bk x + ck‬‬ ‫) ‪(a1 x2 + b1 x + c1‬‬ ‫) ‪(ak x2 + bk x + ck‬‬ ‫• אם הפירוק לגורמים במכנה נותן גורמים מסדר שני מריבוי גדול מ־‪:1‬‬ ‫‪Ak x + B k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬ ‫‪2 +...+‬‬ ‫‪A2 x + B 2‬‬ ‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪A1 x + B 1‬‬ ‫)‪(a1 x2 + b1 x + c‬‬ ‫=‬ ‫• וכן הלאה‪...‬‬ ‫עבור השברים החלקיים‪ ,‬האינטגרלים הם מיידיים או כמעט מיידיים‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪+ b1 x + c1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪(a1‬‬ ‫חלק‬ ‫‪III‬‬ ‫האינטגרל המסוים‬ ‫נראה שלוש גישות להגדרת האינטגרל המסוים‪ ,‬ולבסוף נוכיח את השקילות ביניהן‪.‬‬ ‫‪ 11‬גישה ראשונה‪ :‬פונקציות מדרגות‬ ‫‪11.1‬‬ ‫חלוקה‬ ‫חלוקה של קטע סגור ]‪ ,[a, b‬היא קבוצה סגורה סופית של נקודות ‪ x0 , x1 , ..., xn‬השייכות‬ ‫לקטע‪ ,‬המקיימות‪:‬‬ ‫‪a = x0 < x1 < ... < xn = b‬‬ ‫נסמן זאת ) ‪p = (x0 , x1 , ..., xn‬‬ ‫‪11.2‬‬ ‫פונקציית מדרגות‬ ‫תהי ‪ ϕ‬פונקציה המוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬ ‫נאמר כי ‪ ϕ‬היא פונקציית מדרגות אם קיימת חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של הקטע ]‪[a, b‬‬ ‫וקיימים הקבועים ‪ c1 , c2 , ..., cn‬כך שמתקיים‪. ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci :‬‬ ‫במקרה כזה נאמר גם כי ‪ ϕ‬מיוצגת ע"י החלוקה ‪.p‬‬ ‫הערה ‪1‬‬ ‫לכל פונקציית מדרגות קיימות אינסוף חלוקות‪.‬‬ ‫הערה ‪2‬‬ ‫כל פונקציה קבועה על קטע סגור‪ ,‬היא דוגמה לפונקציית מדרגות שמיוצגת על־ידי כל חלוקה‬ ‫שנבחר‪.‬‬ ‫הערה ‪3‬‬ ‫תהי ‪ .f : S → R‬נגדיר צמצום של ‪ f‬לקטע )‪ ,(a, b‬כפונקציה ‪ ,f ∗ : S ∩ (a, b) → R‬כאשר‬ ‫לכל )‪ s ∈ S ∩ (a, b‬מתקיים )‪.f ∗ (s) = f (s‬‬ ‫הערה ‪4‬‬ ‫נסמן את קבוצת כל פונקציות המדרגות על קטע סגור ]‪ ,[a, b‬ב־]‪.S [a, b‬‬ ‫‪11.3‬‬ ‫תכונות של פונקציות מדרגות‬ ‫‪ S [a, b] .1‬סגורה לחיבור ולכפל בסקלאר‪ ,‬ולכן היא מרחב וקטורי מעל ‪.R‬‬ ‫‪ S [a, b] .2‬סגורה לכפל של שני איברים בה‪ ,‬ולכן היא גם אלגברה‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪"4‬אלגברה" משמשת גם לתיאור מבנה אלגברי‪ .‬מרחב וקטורי שמוגדרת בו חוץ מחיבור וכפל בסקלאר‪ ,‬גם‬ ‫פעולת כפל בין שני וקטורים‪ ,‬הוא אלגברה‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ .3‬תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [a, b‬ויהיו ‪ a ≤ c < d ≤ b‬ממשיים‪ ,‬אזי גם ]‪.ϕ|[c,d] ∈ S [c, d‬‬ ‫‪ .4‬תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [c, d‬ויהיו ‪ a ≤ c < d ≤ b‬ממשיים‪ ,‬אזי ניתן להגדיר פונקציה חדשה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ 0 s ∈ [a, c‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫]‪[c, d‬‬ ‫= ∗‪ϕ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫]‪(d, b‬‬ ‫ומתקיים ]‪.ϕ∗ ∈ S [a, b‬‬ ‫במקרה כזה נקרא ל־ ∗‪ ϕ‬הרחבה של ‪ ϕ‬על־ידי ‪.0‬‬ ‫הוכחות‬ ‫‪ .1‬יהיו ]‪ .ϕ, ψ ∈ S [a, b‬נניח כי ‪ ϕ‬מיוצגת על־ידי החלוקה ‪ p‬וכי ‪ ψ‬מיוצגת על־ידי‬ ‫החלוקה ‪.q‬‬ ‫נגדיר חלוקה חדשה ‪ ,r = p ∪ q‬ונשתמש בה כדי לייצג את שתי הפונקציות ‪.ϕ, ψ‬‬ ‫נניח כי ) ‪ ,r = (x0 , x1 , ..., xn‬אז מהגדרת פונקציית מדרגות נובע שקיימים הקבועים‬ ‫‪ ,d1 , d2, ..., dn ,c1 , c2 , ..., cn‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci‬‬ ‫‪ψ|(xi−1 ,xi ) = di‬‬ ‫מכאן נסיק כי מתקיים‪:‬‬ ‫‪(ϕ + ψ) |(xi−1 ,xi ) = ci + di‬‬ ‫וכן גם כי מתקיים עבור ‪ α ∈ R‬ש‪:‬‬ ‫‪(αϕ) |(xi−1 ,xi ) = αci‬‬ ‫ולכן גם הסכום וגם כפל בסקלאר הן פונקציות מדרגות‪.‬‬ ‫‪ .2‬באותו אופן שהוכחנו את תכונה ‪ ,1‬קל גם לראות כי גם הכפלה של שתי פונקציות‬ ‫מדרגות היא פונקציית מדרגות‪.‬‬ ‫‪ .3‬מההגדרה נובע כי זו פונקציה שמוגדרת על־ידי קבועים בקטע ]‪ ,[a, b‬ולכן היא בפרט‬ ‫מוגדרת על־ידי קבועים בקטע הפנימי ]‪.[c, d‬‬ ‫לכן כדי להראות שזו פונקציית מדרגות‪ ,‬מספיק להראות שקיימת חלוקה שמייצגת את‬ ‫הפונקציה ]‪.ϕ|[c,d‬‬ ‫מהנתון ש־‪ ϕ‬פונקציית מדרגות נובע שקיימת לה חלוקה ‪ .P‬מכיוון ש־ ]‪ ϕ|[c,d‬מוגדרת‬ ‫על תחום חלקי לתחום ]‪ ,[a, b‬נסיק שקיימת החלוקה‪:‬‬ ‫}‪p∗ = (p ∩ [c, d]) ∪ {c, d‬‬ ‫‪ .4‬טענה זו ברורה מאליה‪.‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪11.4‬‬ ‫אינטגרל של פונקציית מדרגות‬ ‫תהי ]‪ ,ϕ ∈ S [a, b‬מיוצגת על־ידי החלוקה ) ‪ ,p = (x0 , x1 , ..., xn‬ונניח שקיימים הקבועים‬ ‫‪ c1 , ..., cn‬כך ש־ ‪.ϕ|(xi−1 ,xi ) = ci‬‬ ‫נגדיר ונסמן את האינטגרל של הפונקציה ‪ ϕ‬בקטע ]‪ ,[a, b‬שמיוצגת על־ידי החלוקה ‪ ,p‬באופן‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫) ‪ci (xi − xi−1 ) = c1 (x1 − x0 ) + c2 (x2 − x1 ) + ... + (xn − xn−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Ip (ϕ‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪11.4.1‬‬ ‫יחידות האינטגרל של פונקציית מדרגות‬ ‫אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדר באופן חד־משמעי‪ ,‬ללא תלות בחלוקה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫∈ ∗‪.x‬‬ ‫נניח כי ]‪ ϕ ∈ S [a, b‬מיוצגת על־ידי החלוקה ‪ ,p‬ותהי )‪ x∗ ∈ (a, b‬כך ש־ ‪/ p‬‬ ‫נוכיח תחילה כי )‪.Ip (ϕ) = Ip∪{x∗ } (ϕ‬‬ ‫∈ ∗‪ x‬נובע שקיים אינדקס ‪ ,1 ≤ j ≤ n‬כך ש־) ‪.x∗ ∈ (xj−1 , xj‬‬ ‫מהנתון )‪/ p ,x∗ ∈ (a, b‬‬ ‫כלומר‪ x∗ ,‬שייך לאחד האינטרוולים של החלוקה ‪.p‬‬ ‫נשים לב כי‪:‬‬ ‫) ‪(xj−1 , xj ) = (xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫)) ‪cj (xj−1 , xj ) = cj ((xj−1 , x∗ ) ∪ x∗ ∪ (x∗ , xj‬‬ ‫מכאן נסיק כי‪:‬‬ ‫)‪Ip (ϕ) = I[a,xj−1 ]∪(xj−1 ,x∗ )∪x∗ ∪(x∗ ,xj )∪[xj ,b] (ϕ‬‬ ‫באינדוקציה קל להסיק כי כל תוספת מספר סופי של נקודות לחלוקה לא תשנה את ערך‬ ‫האינטגרל‪.‬‬ ‫לכן לכל זוג חלוקות ‪ p, q‬מתקיים )‪ Ip∪q (ϕ) = Ip (ϕ‬וכן )‪ ,Iq∪q (ϕ) = Iq (ϕ‬ומכאן שלכל‬ ‫זוג חלוקות מתקיים )‪.Ip (ϕ) = Iq (ϕ‬‬ ‫מסקנה‬ ‫אינטגרל של פונקציית מדרגות מוגדרת באופן חד־משמעי ללא תלות בחלוקה‪ ,‬ולכן נסמן‬ ‫אותו פשוט )‪.I (ϕ‬‬ ‫‪11.4.2‬‬ ‫אריתמטיקה ותכונות אינטגרלים של פונקציות מדרגות‬ ‫יהיו ]‪ ψ, ϕ ∈ S [a, b‬ויהי ‪k ∈ R‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ ϕ ≥ 0‬אז ‪I (ϕ) ≥ 0‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ ψ ≥ ϕ‬אז )‪I (ψ) ≥ I (ϕ‬‬ ‫‪I (ψ + ϕ) = I (ϕ) + I (ψ) .3‬‬ ‫‪I (kϕ) = kI (ϕ) .4‬‬ ‫‪ .5‬נניח כי ‪ ,a < c < b‬אז )‪I[a,b] (ϕ) = I[a,c] (ϕ) + I[c,d] (ϕ‬‬ ‫‪I[a,b] (1) = b − a .6‬‬ ‫‪11.5‬‬ ‫אינטגרביליות‬ ‫מונחים‬ ‫• נסמן ב־]‪ S = S [a, b‬את קבוצת פונקציות המדרגות על הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫• נסמן ב־]‪ B = B [a, b‬את קבוצת הפונקציות הממשיות החסומות על הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫• תהי ‪ f‬פונקציה ממשית ‪.f ∈ B‬‬ ‫נסמן ב־]‪ Φf = Φf [a, b‬את קבוצת המספרים } ‪{I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≤ f‬‬ ‫נסמן ב־]‪ Ψf = Ψf [a, b‬את קבוצת המספרים } ‪{I (ϕ) |ϕ ∈ S [a, b] ∧ ϕ ≥ f‬‬ ‫למה‬ ‫הקבוצה ‪ Φf‬לא ריקה וחסומה מלעיל‪ ,‬והקבוצה ‪ Ψf‬לא ריקה וחסומה מלרע‪.‬‬ ‫לפיכך משלמות הממשיים\אקסיומות החסם העליון נובע כי קיימים ‪.inf Ψf ,sup Φf‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נוכיח ש־ ‪ Φf‬אינה ריקה‪:‬‬ ‫נתון כי ‪ f ∈ B‬ולפיכך היא חסומה‪ ,‬ובפרט חסומה מלרע‪ .‬לכן קיים ‪ m ∈ R‬כך ש־‪.f ≥ m‬‬ ‫נזכור כי כל פונקציה קבועה היא פונקציית מדרגות‪ ,‬ולפיכך נגדיר פונקציית מדרגות ‪ϕ = m‬‬ ‫על הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫מצאנו פונקציית מדרגות שמקיימת ‪ ,ϕ ≤ f‬ולפיכך ‪ I (ϕ) ∈ Φf‬ולכן היא אינה ריקה‪.‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח ש־ ‪ Φf‬חסומה מלעיל‪:‬‬ ‫נתון כי ‪ f ∈ B‬ולפיכך היא חסומה‪ ,‬ובפרט חסומה מלעיל‪ .‬לכן קיים ‪ m∗ ∈ R‬כך‬ ‫ש־ ∗‪.f ≤ m‬‬ ‫מהגדרת ‪ Φf‬נובע כי לכל ‪ I (ϕ) ∈ Φf‬מתקיים ‪ ,ϕ ≤ f‬ומצירוף שני אי השוויונים נסיק כי‬ ‫∗‪.ϕ ≤ f ≤ m‬‬ ‫∗‬ ‫∗‬ ‫מהגדרת האינטגרל של פונקציית מדרגות נסיק כי אם ‪ ϕ ≤ m‬אז )‪.I (ϕ) ≤ m (b − a‬‬ ‫אם כך מצאנו כי )‪ m∗ (b − a‬חסם מלעיל של הקבוצה ‪ .Φf‬‬ ‫באופן דומה ניתן להראות כי הקבוצה ‪ Ψf‬לא ריקה וחסומה מלרע‪.‬‬ ‫• נגדיר אינטגרל תחתון של ‪ f‬בקטע‪I (f ) = I [a,b] (f ) = sup Φf :‬‬ ‫• נגדיר אינטגרל עליון של ‪ f‬בקטע‪I (f ) = I [a,b] (f ) = inf Ψf :‬‬ ‫למה‬ ‫) ‪I (f ) ≤ I (f‬‬ ‫‪25‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהיו ‪ .I (ϕ2 ) ∈ Ψf ,I (ϕ1 ) ∈ Φf‬מהגדרת הקבוצות נובע כי‪.ϕ1 ≤ f ≤ ϕ2 :‬‬ ‫ממונוטוניות האינטגרל )לעיל סעיף ‪ (11.4.2‬אם ‪ ϕ1 ≤ ϕ2‬אז ) ‪.I (ϕ1 ) ≤ I (ϕ2‬‬ ‫נשים לב שטענה זו נכונה עבור ‪ ϕ1 , ϕ2‬כלשהם‪ ,‬לכן נסיק ש־) ‪ I (ϕ2‬כלשהו לפי בחירתנו‪,‬‬ ‫גדול או שווה מכל ) ‪ ,I (ϕ1‬משמע ) ‪ I (ϕ2‬חסם מלעיל של ‪.Φf‬‬ ‫מתכונות החסם העליון נסיק כי ) ‪ ,sup Φf ≤ I (ϕ2‬ומכיוון שהגדרנו ) ‪ sup Φf = I (f‬נסיק‬ ‫כי ) ‪.I (f ) ≤ I (ϕ2‬‬ ‫נשים לב שוב שטענה זו נכונה עבור ‪ ϕ1 , ϕ2‬כלשהם‪ ,‬לכן נסיק כי ) ‪ I (f‬חסם מלרע של ‪.Ψf‬‬ ‫מתכונות החסם התחתון נסיק כי ) ‪ ,inf Ψf ≥ I (f‬ומכיוון שהגדרנו ) ‪ inf Ψf = I (f‬נסיק‬ ‫כי ) ‪ .I (f ) ≤ I (f‬‬ ‫איטגרביליות‬ ‫אם ) ‪ I (f ) = I (f‬נאמר כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬והאינטגרל שלה בקטע ]‪ [a, b‬הוא הערך‬ ‫המשותף של האינטגרל העליון והתחתון‪.‬‬ ‫במקרה כזה נסמן מעתה‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ) ‪I[a,b] (f‬‬ ‫‪f (x) dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x∈Q‬‬ ‫נבדוק האם הפונקציה‬ ‫‪0 x ∈ R\Q‬‬ ‫נמצא את קבוצת פונקציות המדרגה שמתחת ל־‪ ,D‬שסימנו לעיל ב־ ‪ ,ΦD‬ואת קבוצת פונקציות‬ ‫המדרגה שמעל ‪ D‬שסימנו לעיל ב־ ‪ ,ΨD‬ונבדוק האם ‪.supΦD = inf ΨD‬‬ ‫מהגדרת ‪ D‬נובע כי ‪ ΦD ≤ 0‬וכן ‪ ,ΨD ≥ 1‬מכאן שהחסם התחתון של ‪ ΨD‬גדול ממש‬ ‫מהחסם העליון של ‪ ,ΦD‬ולכן ‪ D‬אינה אינטגרבילית‪.‬‬ ‫= )‪ D (x‬אינטגרבילית‪.‬‬ ‫‪11.6‬‬ ‫אפיונים שקולים לאינטגרביליות‬ ‫אפיון ראשון‬ ‫תהי ]‪.f ∈ B [a, b‬‬ ‫מתקיים כי ‪ f‬אינטגרבילית אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיימות ]‪ ϕ ≤ f ≤ ψ ,ϕ , ψ ∈ S [a, b‬כך‬ ‫ש־‬ ‫ < ) ‪I (ψ ) − I (ϕ‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צד א'‪ :‬נניח כי התנאי שהגדרנו במשפט מתקיים‪ .‬נסיק‪:‬‬ ‫ < ) ‪I (f ) − I (f ) = inf Ψf − sup Φf ≤ I (ψ ) − I (ϕ‬‬ ‫‪26‬‬ ‫לכן מתכונות החסם העליון והתחתון נובע כי בהכרח מתקיים ‪ ,inf Ψf = sup Φf‬משמע‬ ‫) ‪ I (f ) = I (f‬ולכן הפונקציה אינטגרבילית‪.‬‬ ‫צד ב'‪ :‬נניח כי הפונקציה ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ) ‪.I (f ) = I (f‬‬ ‫יהי ‪. > 0‬‬ ‫מהנתון שהפונקציה אינטגרבילית נובע כי קיימת ]‪ ϕ ∈ S [a, b‬כך ש‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f (x) dx −‬‬ ‫> ) ‪I (ϕ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫וכן שקיימת ]‪ ψ ∈ S [a, b‬כך ש‪:‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫< ) ‪I (ψ‬‬ ‫‪f (x) dx +‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נחבר את שני אי השוויונים ונקבל‪:‬‬ ‫‪  b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ = ‪I (ψ ) − I (ϕ ) <  f (x) dx +  −  f (x) dx −  = +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫אפיון שני‬ ‫נניח שקיימות סדרות ) ‪ (ϕn ) , (ψn‬של פונקציות מדרגות על הקטע ]‪ ,[a, b‬כך ש־≤ ‪ϕn ≤ f‬‬ ‫‪.ψn‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫אם ורק אם‬ ‫אזי ‪ f‬אינטגרבילית ומתקיים ) ‪f (x) dx = lim I (ϕn ) = lim I (ψn‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.(I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נראה שהפונקציה אינטגרבילית‪:‬‬ ‫מהאפיון הראשון לאינטגרביליות נובע כי מספיק לדרוש שלכל ‪ > 0‬יהיו קיימות‬ ‫פונקציות מדרגות ‪ ϕ , ψ‬כך ש־ < ) ‪.I (ψ ) − I (ϕ‬‬ ‫לכן ברור שאם נתון כי ‪ (I (ψn ) − I (ϕn )) −→ 0‬אז עבור ‪ n‬מספיק גדול ההפרש‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הזה יהיה קטן מכל ‪ , > 0‬משמע הפונקציה אינטגרבילית‪.‬‬ ‫‪ .2‬נראה שערך האינטגרל הוא אכן הערך המשותף‪:‬‬ ‫ראינו כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ .‬נשים לב שמהגדרת האינטגרל נובע כי לכל ‪ n‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪I (ϕn ) ≤ sup Φf‬‬ ‫) ‪f (x) dx = inf Ψf ≤ I (ψn‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪27‬‬ ‫נעביר אגפים ונקבל לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫ < ) ‪f (x) dx − I (ϕn ) ≤ I (ψn ) − I (ϕn‬‬ ‫≤‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫→‪ .I (ϕn ) −‬‬ ‫לכן לפי משפט הסנדוויץ' נסיק שמתקיים‪f (x) dx :‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫דוגמה לחישוב אינטגרל מסויים לפי ההגדרה‬ ‫‪11.7‬‬ ‫מבוא‪ :‬טור חשבוני‬ ‫לכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪n2 + n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪= (n + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪k2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נשתמש בהוכחה בטריק של טור טלסקופי‪ .‬כלומר‪ ,‬טור שכל איבר שלו מבטל את הבא‬ ‫אחריו‪ ,‬כך שנשאר רק האיבר הראשון‪.‬‬ ‫למשל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ])‪[k − (k − 1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪n = n − (n − 1) + (n − 1) − (n − 2) + (n − 2) ...‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪ .1‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫= ‪k − k 2 − 2k + 1‬‬ ‫= )‪(2k − 1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫=‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪k 2 − (k − 1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪1 = 2 k=1 k − n‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫נעביר אגפים בשוויון ‪ n2 = 2 k=1 k − n‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪n + n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪28‬‬ ‫=‪k‬‬ ‫‪k−‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪n h‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫= ‪n2‬‬ ‫‪ .2‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‬ ‫‪Pn‬‬ ‫ ‪Pn‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪n3 = k=1 k 3 − (k − 1) = k=1 k 3 − k 3 − 3k 2 + 3k − 1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫= ‪3k − 3k + 1 = 3 k=1 k 2 − 3 k=1 k + k=1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪+n‬‬ ‫‪k 2 − 3 n+n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נעביר אגפים בשוויון ‪+ n‬‬ ‫‪k 2 − 3 n+n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪ n3 = 3‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n 3‬‬ ‫‪n + n2 − n = n3 + + n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k 2 = n3 +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫נחלק ב־‪:3‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪k2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‬ ‫נוכיח באמצעות האפיון השני כי הפונקציה ‪ f (x) = x2‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[0, 1‬ושערך‬ ‫האינטגרל שלה בקטע זה הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ˆ1‬‬ ‫= ‪x2 dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .1‬נוכיח כי הפונקציה אינטגרבילית‪:‬‬ ‫לכל ‪ n ∈ N‬נגדיר חלוקה ‪ pn‬של הקטע ]‪ [0, 1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪pn = 0, , , ...,‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נגדיר פונקציות מדרגה מתאימות‪ :‬נסמן ב־ ‪ nk‬כאשר ‪ ,k = 0, 1, ..., n‬את הקטעים‬ ‫בחלוקה ‪ pn‬שהגדרנו‪ ,‬ושבקטעים אלה הפונקציות יוגדרו כקבועות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∀x ∈ k−1‬‬ ‫‪ϕn (x) = k−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n , n‬‬ ‫‬ ‫‪k−1 k‬‬ ‫‪n , n‬‬ ‫∈ ‪∀x‬‬ ‫‬ ‫‪k 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= )‪ψn (x‬‬ ‫נשים לב שמהגדרת )‪ ϕn (x) , ψn (x‬נובע שמתקיים )‪ ϕn (x) ≤ x2 ≤ ψn (x‬לכל‬ ‫]‪.x ∈ [0, 1‬‬ ‫מהאפיון השני לאינטגרביליות נובע שמספיק להראות כי מתקיים‪:‬‬ ‫‪I (ψn (x)) − I (ϕn (x)) −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪29‬‬ ‫נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגה‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k−1‬‬ ‫)‪(k − 1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ))‪I (ϕn (x‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫= ))‪I (ψn (x‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫נבדוק את ההפרש‪) :‬נשתמש בדרך בכך שמתקבל טור טלסקופי ובנוסחה של טור‬ ‫חשבוני(‬ ‫=‬ ‫‪(k−1)2‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪n3 n‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪i=1 n3‬‬ ‫=‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ))‪I (ψn (x)) − I (ϕn (x‬‬ ‫)‪k 2 − (k − 1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n3‬‬ ‫=‬ ‫אם כך ברור שכאשר ∞ → ‪ n‬הפרש פונקציות המדרגות שואף ל־‪ ,0‬ולפיכך נסיק‬ ‫מהאפיון השני לאינטגרביליות שהפונקציה ‪ f (x) = x2‬אינטגרבילית‪.‬‬ ‫‪ .2‬נחשב את ערך האינטגרל‪:‬‬ ‫באפיון השני הראינו כי ערך האינטגרל של הפונקציה שווה לערך האינטגרל של סדרת‬ ‫פונקציות המדרגות‪ ,‬כאשר ∞ → ‪.n‬‬ ‫מהעובדה שהפונקציה אינטגרבילית נובע שערך האינטגרל של סדרת פונקציות המדרגות‬ ‫העליונות והתחתונות שווה‪ ,‬לכן מספיק לחשב אחד מהם‪) :‬נשתמש בנוסחה של טור‬ ‫חשבוני(‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X k2‬‬ ‫‪1 n3‬‬ ‫‪1 X 2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ))‪I (ψn (x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= +‬‬ ‫‪+ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪6n‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫קל לראות שכאשר ∞ → ‪ n‬הביטוי שקיבלנו מתכנס ל־ ‪ , 13‬ולפיכך זהו ערך האינטגרל‪.‬‬ ‫‪11.8‬‬ ‫רציפות ואינטגרביליות‬ ‫כל פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ f‬מוגדרת ורציפה בקטע הסגור ]‪.[a, b‬‬ ‫ממשפט החסימות של ויירשטראס נובע כי ‪ f‬חסומה על הקטע‪ ,‬ולכן ניתן להגדיר עליה‬ ‫אינטגרל‪.‬‬ ‫ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה נובע כי היא רציפה במידה שווה בקטע‪.‬‬ ‫מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה במידה שווה נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל ]‪x, y ∈ [a, b‬‬ ‫מתקיים כי‬ ‫‬ ‫‪b−a‬‬ ‫< |)‪|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y‬‬ ‫יהי ‪ , > 0‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪30‬‬ ‫נגדיר פונקציות מדרגה ‪ ϕ , ψ‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ψ |(xi−1 ,xi ) = sup {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ Mi‬‬ ‫‪ϕ |(xi−1 ,xi ) = inf {f (x) |x ∈ (xi−1 , xi )} ≡ mi‬‬ ‫מהגדרת פונקציות המדרגה נובע כי בכל הקטע ]‪ [a, b‬מתקיים ‪.ϕ ≤ f ≤ ψ‬‬ ‫נשים לב ש־ ‪ Mi , mi‬הם ערכים כלשהם של הפונקציה )‪ 5 ,f (x‬ולכן מרציפות במידה שווה‬ ‫‬ ‫נובע כי עבור‬ ‫‪ b−a‬קיים ‪ δ‬כלשהו כך שאם נעדן את החלוקה מספיק כך שלכל ‪ i‬יתקיים‬ ‫‬ ‫‪|xi − xi−1 | < δ‬אז לכל ‪ i‬יתקיים ‪.|Mi − mi | < b−a‬‬ ‫נשתמש בהגדרת האינטגרל של פונקציות מדרגות‪ ,‬ונחשב‪:‬‬ ‫= ) ‪mi (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Mi (xi − xi−1 ) −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪I (ψ ) − I (ϕ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< ) ‪(Mi − mi ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬ ‫ = )‪(b − a‬‬ ‫=‬ ‫‪b − a i=1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫אם כך לפי האפיון הראשון לאינטגרביליות נוכל להסיק כי הפונקציה אינטגרבילית‪ .‬‬ ‫‪11.9‬‬ ‫מונוטוניות ואינטגרביליות‬ ‫כל פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית בו‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ f‬מונוטונית עולה בקטע ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה‪ ,‬כך ש־‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪xi = a + i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫נגדיר פונקציות מדרגה ‪ ϕ, ψ‬באופן הבא‪:‬‬ ‫) ‪ϕ|(xi−1 ,xi ) = f (xi−1‬‬ ‫) ‪ψ|(xi−1 ,xi ) = f (xi‬‬ ‫מהגדרת זו נובע כי בקטע ]‪ [a, b‬מתקיים ‪.ϕ ≤ f ≤ ψ‬‬ ‫‪5‬כי משפט המקסימום של ויירשטראס קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור גם מקבלת בו מקסימום ומינימום‪.‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪6‬נשים לב שזו חלוקה של הקטע ]‪ [a, b‬לקטעים באורך‬ ‫‪n‬‬ ‫‪31‬‬ ‫נסיק מכך‪) :‬נשתמש בכך שבדרך נקבל טור טלסקופי(‬ ‫= ) ‪f (xi−1 ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (xi ) (xi − xi−1 ) −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪−→ 0‬‬ ‫∞→‪n n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪I (ψ) − I (ϕ‬‬ ‫])‪[f (xi ) − f (xi−1 )] (xi − xi−1 ) = [f (b) − f (a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ולכן לפי האפיון השני לאינטגרביליות הפונקציה אינטגרבילית‪ .‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12.1‬‬ ‫גישה שנייה‪ :‬סכומי רימן‬ ‫סכום רימן‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע‬ ‫]‪.[a, b‬‬ ‫נגדיר ונסמן סכום רימן של ‪ f‬תחת החלוקה ‪ p‬כל ביטוי מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪f (ti ) ∆xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כאשר ‪ ti‬היא נקודה שרירותית המקיימת ] ‪ ti ∈ [xi−1 , xi‬עבור ‪.1 ≤ i ≤ n‬‬ ‫‪12.2‬‬ ‫פרמטר החלוקה‬ ‫עבור חלוקה ‪ p‬נתונה‪ ,‬נגדיר ונסמן את פרמטר החלוקה ‪ λ‬להיות אורך הקטע המקסימלי‬ ‫בחלוקה ‪ .p‬כלומר‪:‬‬ ‫}| ‪λ (p) = max {|xi − xi−1‬‬ ‫‪1≤i≤n‬‬ ‫‪12.3‬‬ ‫אינטגרביליות רימן‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬ ‫נאמר כי ‪ f‬אינטגרבילית רימן בקטע זה‪ ,‬אם קיים מספר ממשי ‪ I ∈ R‬כך שלכל ‪ > 0‬קיים‬ ‫‪ ,δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫בכתיב לוגי‪:‬‬ ‫ < |‪∀>0 ∃δ>0 ∀S(f,p[a,b]) λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫‪32‬‬ ‫כאשר )]‪ S (f, p [a, b‬הוא סכום רימן של ‪ f‬על חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫ערך האינטגרל‪ :‬אם ‪ f‬אינטגרבילית רימן בקטע ]‪ ,[a, b‬נאמר כי ‪ I‬שהגדרנו הוא אינטגרל‬ ‫של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪12.3.1‬‬ ‫יחידות האינטגרל של רימן‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬ ‫אם קיים ‪ I ∈ R‬שמקיים את ההגדרה לאינטגרביליות רימן של ‪ f‬בקטע זה‪ ,‬אזי ‪ I‬יחיד‪.‬‬ ‫לכן נאמר כי ‪ I‬שהגדרנו הוא האינטגרל של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי ∗ ‪ I, I‬מקיימים את את ההגדרה לאינטגרביליות של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫יהי ‪. > 0‬‬ ‫מהנתון נובע שקיימים ∗ ‪ δ, δ‬בהתאמה‪ ,‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור כל חלוקה ‪,p‬‬ ‫מתקיים התנאי גם עבור ‪ I‬וגם עבור ∗ ‪ .I‬כלומר‪:‬‬ ‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫ < | ∗ ‪λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S − I‬‬ ‫יהי ‪ S‬סכום רימן כלשהו‪.‬‬ ‫כדי שני התנאים יתקיימו‪ ,‬נבחר חלוקה ‪ ,p#‬כך שעבורה יתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫}) ∗‪λ p# = min {λ (p) , λ (p‬‬ ‫ונגדיר‪:‬‬ ‫} ∗ ‪δ # = min {δ, δ‬‬ ‫מכאן שמתקיים עבור החלוקה ‪ p#‬כי‪:‬‬ ‫‪< δ#‬‬ ‫‬ ‫‪#‬‬ ‫‪λ p‬‬ ‫‬ ‫ומהבחירה של ‪ p# , δ #‬כמינימליים מבין השניים‪ ,‬נובע כי אם ‪ λ p# < δ #‬אז מתקיימים‬ ‫יחד שני התנאים‪:‬‬ ‫ < |‪|S − I‬‬ ‫ < | ∗ ‪|S − I‬‬ ‫נסיק מכך שלכל מתקיים‪:‬‬ ‫‪|I − I ∗ | = |I − S + S − I ∗ | ≤ |I − S| + |S − I ∗ | < 2‬‬ ‫מכאן שבהכרח ∗ ‪ ,I = I‬כי אחרת ההפרש ביניהם לא היה קטן כרצוננו‪ .‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪12.4‬‬ ‫קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת בקטע סגור ]‪.[a, b‬‬ ‫‪ f‬אינטגרבילית רימן אם ורק אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל זוג סכומי רימן ∗ ‪S, S‬‬ ‫של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬של ‪ f‬בקטע‪ ,‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬ ‫הערה‪ :‬בדומה לקריטריון קושי עבור גבול של סדרה וגבול של פונקציה שלא מגלה את ערך‬ ‫הגבול שאליו מתכנסת הסדרה או הפונקציה‪ ,‬גם קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן לא‬ ‫עוסק בערך האינטגרל )שסימנו לעיל ‪ (I‬של הפונקציה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫צד א'‪ :‬נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית רימן‪ ,‬ויהי ‪. > 0‬‬ ‫מהנתון נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬ועבור כל חלוקה ‪ p‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫יהיו ∗ ‪ S, S‬סכומי רימן כלשהם של ‪ f‬עבור חלוקות ∗‪ p, p‬כלשהן בהתאמה‪ ,‬ונסיק מהנתון‬ ‫שהפונקציה אינטגרבילית רימן שהתנאי מתקיים עבור שתיהן‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬עבור הנתון קיימים ∗ ‪ δ, δ‬בהתאמה‪ ,‬כך ש‪:‬‬ ‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫‪and‬‬ ‫ < |‪λ (p∗ ) < δ ∗ ⇒ |S ∗ − I‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪|S − S ∗ | = |S − I + I − S ∗ | =≤ |S − I| + |I − S ∗ | < 2‬‬ ‫משמע מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‪.‬‬ ‫צד ב'‪ :‬נניח כי מתקיים קריטריון קושי לאינטגרביליות רימן‪.‬‬ ‫תהי ) ‪ (Sn‬סדרה של סכומי רימן של ‪ ,f‬שעבורה מתקיים כי סדרת חלוקות מתאימה ) ‪(pn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מקיימת < ) ‪.λ (pn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מהנתון שמתקיים קריטריון קושי נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬מתאים‪ ,‬כך שלכל זוג סכומי‬ ‫רימן ∗ ‪ S, S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬של ‪ f‬בקטע‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬ ‫‪7‬ברור שניתן תמיד להגדיל את מספר הנקודות בכל חלוקה‪ ,‬כך שהמרחק בין כל שתי נקודות שלה יהיה קטן‬ ‫כרצוננו‪ .‬כך למשל ניתן להגדיר סדרה של חלוקות‪ ,‬כך שכל חלוקה בסדרה כוללת את נקודות החלוקה הקודמת‪,‬‬ ‫בתוספת נקודה אמצעית לכל שתי נקודות בחלוקה הקודמת‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫יהי ‪ > 0‬ו־‪ δ > 0‬מתאים עבורו כך שמתקיים התנאי‪ .‬נבחר ‪ n0‬מסויים כך שיתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪.δ‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫נסיק מכך שלכל ‪ n, m > n0‬מתקיים קריטריון קושי הנתון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ < | ‪⇒ |Sn − Sm‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫< )‪λ (p‬‬ ‫מכאן נובע שהסדרה ) ‪ (Sn‬היא סדרת קושי‪ ,‬ולפיכך היא מתכנסת לגבול כלשהו שנסמן‬ ‫‪.I ∈ R‬‬ ‫איננו יודעים מתוך קריטריון קושי מהו הערך של ‪ ,I‬אבל נוכיח שמתקיים < |‪|S − I‬‬ ‫ולפיכך נסיק שהפונקציה אינטגרבילית וערך האינטגרל שלה הוא ‪:I‬‬ ‫יהי ‪ > 0‬וה־‪ δ > 0‬המתאים עבורו‪ ,‬כך שמתקיים קריטריון קושי עבור כל ∗ ‪ S, S‬לכל‬ ‫חלוקה ‪ ,p‬כפי שהוכחנו‪:‬‬ ‫ < | ∗ ‪λ (p) < δ ⇒ |S − S‬‬ ‫מכיוון שהסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת ל־‪ ,I‬נבחר ‪ n0‬כלשהו‪ ,‬כך שהאיבר ‪ Sn0‬בסדרה ) ‪(Sn‬‬ ‫מקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ < |‪⇒ |Sn0 − I‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫נבחר‬ ‫‪o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n0 , δ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 8 , N1 = min‬ונקבל שאם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫< )‪λ (p‬‬ ‫< )‪ λ (p‬אז מתקיימים שני התנאים‪:‬‬ ‫ < | ‪|S − SN‬‬ ‫ < |‪|SN − I‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪|S − I| = |S − SN + SN − I| ≤ |S − SN | + |SN − I| < 2‬‬ ‫מכאן שהפונקציה אינטגרבילית רימן‪ .‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫חסימות ואינטגרביליות רימן‬ ‫פונקציה אינטגרבילית רימן בקטע סגור‪ ,‬חסומה בו‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח כי אם ‪ f‬לא חסומה אז היא לא אינטגרבילית רימן‪.‬‬ ‫תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ]‪ ,[a, b‬ונניח כי היא לא חסומה בקטע זה‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪8‬או באופן שקול אפשר לבחור ‪ ,N = max n0 , 1δ‬ואז הטענה נכונה עבור ‪.λ (p) < N‬‬ ‫‪35‬‬ ‫תהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪ .[a, b‬מהנתון ש־ ‪ f‬לא חסומה‪ ,‬נובע‬ ‫שקיים קטע ) ‪ (xi−1 , xi‬וקיים ) ‪ ti ∈ (xi−1 , xi‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4xi‬‬ ‫> |) ‪|f (ti ) − f (xi‬‬ ‫]נימוק‪ f (xi ) , (xi − xi−1 ) :‬הם קבועים ממשיים כלשהם‪ ,‬ואילו ) ‪ f (ti‬הוא ערך גדול‬ ‫כרצוננו )גדול חיובי או גדול שלילי(‪ ,‬שידוע שקיים בגלל אי החסימות של הפונקציה‪[.‬‬ ‫נתבונן בסכום רימן פשוט ‪ S‬על החלוקה ‪:p‬‬ ‫‪f (xi ) ∆xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫נגדיר סכום רימן אחר ∗ ‪ S‬על החלוקה ‪ p‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪S ∗ = f (x1 ) ∆x1 + f (x2 ) ∆x2 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn−1 ) ∆xn−1 + f (xn ) ∆xn‬‬ ‫נשים לב כי ∗ ‪ S, S‬שניהם סכומי רימן על החלוקה ‪ ,p‬ולכן לו הפונקציה הייתה אינטגרבילית‬ ‫רימן ההפרש | ∗ ‪ |S − S‬היה קטן כרצוננו )כפי שהוכחנו בקריטריון קושי לאינטגרביליות‬ ‫רימן(‪.‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ‪f (xi ) ∆xi‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪|S ∗ − S| = f (x1 ) ∆x1 + ... + f (ti ) ∆xi + ... + f (xn ) ∆xn −‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·∆xi = 1‬‬ ‫‪∆xi‬‬ ‫> ‪= |f (ti ) − f (xi )| ∆xi‬‬ ‫]נימוק‪ :‬האיברים בסכומים מבטלים אחד את השני‪[.‬‬ ‫לכן קריטריון קושי ששקול לאיטגרביליות רימן לא מתקיים‪ ,‬ולפיכך מכך ש־ ‪ f‬לא חסומה‬ ‫נובע כי היא לא אינטגרבילית רימן‪ .‬‬ ‫‪ 13‬גישה שלישית‪ :‬סכומי דארבו‬ ‫‪13.1‬‬ ‫סכומי דארבו‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה מוגדרת וחסומה בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של‬ ‫]‪.[a, b‬‬ ‫נתבונן בקבוצה }) ‪ .{f (t) |t ∈ (xi−1 , xi‬זו קבוצה חסומה כי נתון ש־ ‪ f‬חסומה‪ ,‬וכן זו‬ ‫קבוצה לא ריקה כי נתון ש־ ‪ f‬מוגדרת בקטע‪.‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪36‬‬ ‫}] ‪Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬‬ ‫}] ‪mi = inf {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬‬ ‫ברור מההגדרה שמתקיים ‪.mi ≤ f ≤ Mi‬‬ ‫נגדיר פונקציות מדרגות ‪ ϕp , ψp‬המתאימות לחלוקה הנתונה‪:‬‬ ‫‪ψp |(xi−1 ,xi ) = Mi‬‬ ‫‪ϕp |(xi−1 ,xi ) = mi‬‬ ‫]בשביל שלמות ההגדרה אפשר להגדיר בנקודות הקצה את פונקציות המדרגה להיות שוות‬ ‫לערך הפונקציה באותן נקודות‪[.‬‬ ‫מההגדרה נובע כי ‪.ϕp ≤ f ≤ ψp‬‬ ‫נגדיר את סכום דארבו העליון )‪ (Upper‬וסכום דארבו התחתון )‪ (Lower‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪Mi 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪U (p‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪mi 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪L (p‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הערה‬ ‫נשים לב כי לפי ההגדרה‪ U (p) ,‬היא חסם תחתון של קבוצת פונקציות המדרגה שגדולות‬ ‫מ־ ‪ ,f‬ו־)‪ L (p‬היא חסם עליון של קבוצת פונקציות המדרגה שקטנות מ־ ‪.f‬‬ ‫לכן באופן שבו הגדרנו אינטגרל עליון ותחתון של פונקציות מדרגה‪ ,‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ) ‪U (p) = I (ψp‬‬ ‫‪ψp dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ) ‪L (p) = I (ϕp‬‬ ‫‪ϕp dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪13.2‬‬ ‫הקשר בין סכומי רימן לסכומי דארבו‬ ‫תהי ]‪ f ∈ B [a, b‬ותהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫נסמן ב־)‪ σ (p‬את קבוצת כל סכומי רימן של הפונקציה ‪ f‬עבור החלוקה ‪.p‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫)‪U (p) = sup σ (p‬‬ ‫)‪L (p) = inf σ (p‬‬ ‫‪37‬‬ ‫הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(‬ ‫ראשית נוכיח כי )‪ U (p‬חסם מלעיל של )‪.σ (p‬‬ ‫מהגדרת סכומי רימן‪ ,‬נובע כי לכל סכום רימן ‪ S‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪Mi ∆xi = U (p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪f (ti ) ∆xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כעת נוכיח כי )‪ U (p‬חסם מלעיל מינימלי של )‪ ,σ (p‬ולכן נסיק שהוא חסם עליון‪.‬‬ ‫נוכיח זאת באמצעות אפיון שקול של חסם עליון‪.‬‬ ‫יהי ‪. > 0‬‬ ‫מההגדרה }] ‪ Mi = sup {f (t) |t ∈ [xi−1 , xi‬נובע שלכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬קיים ∗‪ t‬כך ש־‬ ‫] ‪ ,t∗ ∈ [xi−1 , xi‬עבורו‪:‬‬ ‫‬ ‫) ‪n (xi − xi−1‬‬ ‫‪f (t∗ ) > Mi −‬‬ ‫משמע קיימים ‪ t∗1 , t∗2 , ..., t∗n‬מתאימים לחלוקה ‪ ,p‬שמגדירים סכום רימן ‪f (t∗i ) ∆xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ∗ ‪,S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫שעבורו מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ‪∆xi‬‬ ‫) ‪n (xi − xi−1‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Mi −‬‬ ‫> ‪f (t∗i ) ∆xi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪∆xi = U (p) −‬‬ ‫) ‪n (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ∗‪S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Mi ∆xi −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים סכום רימן ∗ ‪ S‬כך ש‪:‬‬ ‫)‪U (p) − < S ∗ < U (p‬‬ ‫משמע )‪ U (p‬חסם עליון של סכומי רימן‪ .‬‬ ‫‪13.3‬‬ ‫אינטגרל עליון ותחתון של דארבו‬ ‫עבור ]‪ ,f ∈ B [a, b‬נסמן ב־})‪{L (p)} , {U (p‬את סכומי דארבו העליונים והתחתונים‬ ‫)בהתאמה( על אוסף כל החלוקות האפשריות‪.‬‬ ‫נגדיר ונסמן אינטגרל עליון ותחתון של דארבו באופן הבא‪:‬‬ ‫})‪I D (f ) = inf {U (p‬‬ ‫})‪I D (f ) = sup {L (p‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪13.4‬‬ ‫הקשר בין אינטגרל עליון ותחתון של דארבו לאינטגרל עליון ותחתון‬ ‫לכל פונקציה ]‪ f ∈ B [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪I (f ) = I D (f‬‬ ‫) ‪I (f ) = I D (f‬‬ ‫הוכחה )נוכיח את המקרה של הסכומים העליונים(‬ ‫נוכיח אי־שוויונים חלשים מנוגדים ומזה נסיק שוויון‪.‬‬ ‫‪ .1‬נוכיח כי ) ‪.I (f ) ≤ I D (f‬‬ ‫נזכור שהגדרנו וסימנו את האינטגרל העליון באופן הבא‪:‬‬ ‫} ‪I (f ) = inf Ψf = inf {I (ψ) |ψ ∈ S [a, b] ∧ ψ ≥ f‬‬ ‫נשים לב ש־)‪ U (p‬עצמו הוא אינטגרל עליון של פונקציית מדרגות כלשהי‪ ,‬ולכן עבור‬ ‫כל חלוקה ‪ p‬מתקיים כי ‪.U (p) ∈ Ψf‬‬ ‫מכאן ברור כי ) ‪.I (f ) = inf Ψf ≤ I D (f‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח כי ) ‪.I D (f ) ≤ I (f‬‬ ‫מתווה ההוכחה‪ :‬לפי ההגדרות של האינטגרלים הללו‪ ,‬כדי להוכיח אי־שוויון זה צריך‬ ‫להראות שלכל פונקציית מדרגות ‪ f < ψ‬מתקיים )‪.inf {U (p)} ≤ I (ψ‬‬ ‫נזכור שאפיון שקול לחסם תחתון הוא שלכל ‪ > 0‬קיימת חלוקה ∗‪ p‬כך ש־‬ ‫ ‪.inf {U (p)} ≤ U (p∗ ) < inf {U (p)} +‬‬ ‫לכן כדי להוכיח את אי השוויון )‪ ,inf {U (p)} ≤ I (ψ‬מספיק להראות שלכל ‪ > 0‬‬ ‫קיימת חלוקה ∗‪ p‬כלשהי כך ש‪:‬‬ ‫ ‪U (p∗ ) < I (ψ) +‬‬ ‫ההוכחה‪ :‬יהי ‪ . > 0‬נוכיח קיום של חלוקה ‪ p‬כזאת המקיימת ‪.U (p) < I (ψ) +‬‬ ‫יהי ‪ .I (ψ) ∈ Ψf‬משמע ‪ ψ‬היא פונקציית מדרגות המתאימה לאיזושהי חלוקה‬ ‫) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫מהנתון ‪ f ≤ ψ‬נובע שבכל קטע ) ‪ (xi−1 , xi‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪sup {f (t) |t ∈ (xi−1 , xi )} ≤ ψ|(xi−1 ,xi‬‬ ‫כעת לכל ‪ > 0‬נבנה חלוקה חדשה ∗‪ p‬שתקיים את אי השוויון המבוקש < ) ∗‪U (p‬‬ ‫ ‪ ,I (ψ) +‬באופן הבא‪:‬‬ ‫} ‪p∗ = {x0 , z0 , y1 , z1 , ..., yi , zi , ...yn−1 , zn−1 , yn , xn‬‬ ‫כאשר עבור ‪ 2 ≤ i ≤ n − 1‬נבחר את ‪ yi , zi‬כך שיתקיים ‪ ,yi < xi < zi‬ובקצוות‬ ‫‪.x0 < z0 ,yn < xn‬‬ ‫כמו כן עבור ‪ 2 ≤ i ≤ n − 1‬נבחר את ‪ yi , zi‬כך שיתקיים ‪ ,zi − yi = δ‬ובקצוות‬ ‫‪.z0 − x0 = δ ,xn − yn = δ‬‬ ‫נדאג שהחלוקה ∗‪ p‬תהיה מספיק קטנה עבור‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪λ (p‬‬ ‫‬ ‫‪δ = min‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪4 (n + 1) M‬‬ ‫‪39‬‬ ‫כאשר }]‪ ,M = sup {f (x) |x ∈ [a, b‬וכן )‪ λ (p‬הוא פרמטר החלוקה של = ‪p‬‬ ‫) ‪.(x0 , x1 , ..., xn‬‬ ‫נחשב לפי הגדרת סכום דארבו העליון‪:‬‬ ‫= ) ∗‪U (p‬‬ ‫‪sup f (t)· (z0 − x0 ) + sup f (t) · (y1 − z0 ) + ...+‬‬ ‫] ‪t∈[x0 ,z0‬‬ ‫] ‪t∈[z0 ,y1‬‬ ‫‪+... + sup f (t) · (yi − zi−1 ) + sup f (t)· (zi − yi ) + ...+‬‬ ‫] ‪t∈[yi ,zi‬‬ ‫] ‪t∈[zi−1 ,yi‬‬ ‫≤ ) ‪+... + sup f (t) · (yn − zn−1 ) + sup f (t)· (xn − yn‬‬ ‫] ‪t∈[zn−1 ,yn‬‬ ‫] ‪t∈[yn ,xn‬‬ ‫ ‪ψ|(xi−1 ,xi ) (xi − xi−1 ) + (n + 1) M · δ ≤ I (ψ) +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫מסקנה‬ ‫לכל שתי חלוקות ‪ p1 , p2‬של ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי ) ‪ .L (p1 ) ≤ U (p2‬מסקנה זו נובעת מכך‬ ‫שהוכחנו כבר כי ‪ ,I ≤ I‬ומהמשפט האחרון נובע כי גם ‪.I D ≤ I D‬‬ ‫לפי ההגדרה אלו הם החסם התחתון של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות‪ ,‬והחסם‬ ‫העליון של אינטגרלי פונקציות המדרגה התחתונות‪ ,‬ולכן המסקנה נכונה לכל זוג חלוקות‬ ‫שנבחר‪.‬‬ ‫אינטגרל דארבו‬ ‫‪13.5‬‬ ‫מהשקילות בין הגישה הראשונה של פונקציות מדרגות לגישה השלישית של סכומי דארבו‪,‬‬ ‫נובע שניתן להגדיר אינטגרל דארבו באמצעות סכומי דארבו‪ ,‬באותו אופן שמגדירים אינטגרל‬ ‫באמצעות פונקציות מדרגות‪.‬‬ ‫‪ 14‬שקילות הגישות‬ ‫במטרה להוכיח את השקילות בין אינטגרביליות תחת ההגדרה של פונקציות מדרגות לאיטגרביליות‬ ‫רימן נוכיח שתי טענות עזר‪.‬‬ ‫למה‬ ‫‪1‬‬ ‫אם ∗‪ p‬חלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת ‪ p‬באמצעות הוספת נקודות‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫)‪L (p∗ ) ≥ L (p) , U (p∗ ) ≤ U (p‬‬ ‫קל לראות שתוספת נקודות לחלוקה יכולה רק להקטין את האינטגרל העליון )או לא לשנות(‬ ‫ורק להגדיל את האינטגרל התחתון )או לא לשנות(‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫למה ‪2‬‬ ‫אם ∗‪ p‬חלוקה המתקבלת מחלוקה אחרת ‪ p‬באמצעות הוספת ‪ k‬נקודות‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪L (p) ≥ L (p∗ ) − kλ (p) Ω‬‬ ‫‪U (p) ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω‬‬ ‫כאשר )‪ λ (p‬הוא פרמטר החלוקה )כלומר‪ ,‬האינטרוול המקסימלי שבין כל שתי נקודות‬ ‫בחלוקה(‪ ,‬וכן‪:‬‬ ‫|)‪sup |f (x) − f (y‬‬ ‫= )‪Ω = sup f (x) − inf f (x‬‬ ‫]‪x∈[a,b‬‬ ‫]‪x,y∈[a,b‬‬ ‫]‪x∈[a,b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫חלק ראשון‪ :‬נראה שמספיק להוכיח את הטענה עבור ‪ .k = 1‬כלומר עבור תוספת של נקודה‬ ‫אחת‪.‬‬ ‫נניח כי הטענה נכונה עבור כל המספרים ‪ ,1, 2, ..., k − 1‬ונניח כי ∗‪ p‬מתקבלת מ־‪ p‬על־ידי‬ ‫תוספת של ‪ k − 1‬נקודות‪ ,‬וכן נניח כי ∗∗‪ p‬מתקבלת מ־ ∗‪ p‬באמצעות תוספת של נקודה‬ ‫‪9‬‬ ‫אחת‪.‬‬ ‫∗‬ ‫נשים לב כי עבור כל תוספת של נקודות תמיד מתקיים )‪ ,λ (p ) ≤ λ (p‬ונסיק כי‪:‬‬ ‫≤ ‪U (p) ≤ U (p∗ ) + (k − 1) λ (p) Ω‬‬ ‫‪≤ U (p∗∗ ) + λ (p∗ ) Ω + (k − 1) λ (p) Ω ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω‬‬ ‫מכאן שאם הטענה נכונה עבור ‪ 1, 2, ..., k − 1‬אז היא נכונה גם עבור תוספת של ‪ k‬נקודות‪.‬‬ ‫חלק שני‪ :‬נוכיח את הלמה עבור ‪.k = 1‬‬ ‫נניח כי ∗‪ p‬מתקבלת מ־‪ p‬באמצעות תוספת של נקודה אחת‪ ,‬שנסמן ) ‪.x∗ ∈ (xj−1 , xj‬‬ ‫נתבונן בביטוי הבא‪:‬‬ ‫"‬ ‫‪#‬‬ ‫∗‬ ‫≤ ) ‪sup f (t) (xj − x‬‬ ‫] ‪t∈[x∗ ,xj‬‬ ‫∗‬ ‫‪f (t) (x − xj−1 ) +‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫∗‬ ‫‪U (p) − U (p ) = Mj (xj − xj−1 ) −‬‬ ‫] ∗‪t∈[xj−1 ,x‬‬ ‫)‪≤ Mj (xj − xj−1 ) − mj (xj − xj−1 ) = (Mj − mj ) (xj − xj−1 ) ≤ Ωλ (p‬‬ ‫]השוויון הראשון נובע מכך שכל האיברים בשני סכומי דארבו הללו מצטמצמים‪ ,‬למעט‬ ‫האיבר שסוכם את האינטרוול שבו התווספה נקודה‪ .‬מלמה ‪ 1‬נובע כי הביטוי שמתקבל הוא‬ ‫אי־שלילי‪.‬‬ ‫האי־שוויון הבא נובע מכך ש־ ‪ mj‬הוא חסם תחתון של כל ערכי ‪ f‬על הקטע ]‪ ,[a, b‬ולכן שני‬ ‫האיברים בביטוי הימני גדולים ממנו‪.‬‬ ‫האי־שוויון האחרון נובע מכך ש־)‪ (xj − xj−1 ) ≤ λ (p‬כי פרמטר החלוקה מוגדר להיות‬ ‫האינטרוול המקסימלי בקטע ]‪ ,[a, b‬וכן מכך ש־‪ (Mj − mj ) ≤ Ω‬כי ‪ Mj , mj‬חסמים על‬ ‫כל הקטע‪ [.‬‬ ‫‪9‬כלומר‪ p∗∗ ,‬מתקבלת מ־‪ p‬באמצעות תוספת של ‪ k‬נקודות‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫משפט דארבו‬ ‫‪14.1‬‬ ‫תהי ]‪ .f ∈ B [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪I¯D = I¯ = lim U (p‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫)‪I D = I = lim L (p‬‬ ‫)‪λ(p‬‬ ‫קיים במובן זה שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ λ (p) < δ‬אז‬ ‫הגבול המתואר ‬ ‫‬ ‫ < ‪ .U (p) − I¯D‬ובדומה לכך בנוגע לאינטגרל התחתון‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהי ‪ . > 0‬בגלל ¯‬ ‫ש־‪ I‬הוא אינפימום של אינטגרלי פונקציות המדרגה העליונות‪ ,‬נובע שקיימת‬ ‫חלוקה ∗‪ p‬כלשהי כך ש‪:‬‬ ‫‬ ‫‪I¯ ≤ U (p∗ ) ≤ I¯ +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נבחר ‪ ,δ = 2M∗ Ω‬כאשר ∗ ‪ M‬הוא מספר הנקודות של החלוקה ∗‪ ,p‬וכן כמו בלמה ‪ 2‬נגדיר‬ ‫)‪.Ω = sup f (x) − inf f (x‬‬ ‫]‪x∈[a,b‬‬ ‫]‪x∈[a,b‬‬ ‫]הערה‪ :‬ייתכן כי ‪ Ω = 0‬ואז ‪ δ‬לא מוגדר‪ ,‬אולם במקרה זה בהכרח ‪ f‬פונקציה קבועה ולכן‬ ‫קל לראות שמשפט דארבו מתקיים לגביה‪[.‬‬ ‫תהי ‪ p‬חלוקה כלשהי של ]‪ [a, b‬שעבורה ‪ ,λ (p) < δ = 2M∗ Ω‬ותהי ∗∗‪ p‬חלוקה המקיימת‬ ‫∗‪.p∗∗ = p ∪ p‬‬ ‫∗∗‬ ‫נסמן ב־‪ k‬את ההפרש בין מספר הנקודות של ‪ p‬לבין מספר הנקודות של ‪.p‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫≤ ‪I¯ ≤ U (p) ≤ U (p∗∗ ) + kλ (p) Ω ≤ U (p∗ ) + kλ (p) Ω‬‬ ‫ ‪+ M ∗ 2M∗ Ω Ω = I¯ +‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ M ∗ δΩ = I¯ +‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪≤ U (p∗ ) + M ∗ λ (p) Ω ≤ I¯ +‬‬ ‫]האי־שוויון השני נובע מלמה ‪.2‬‬ ‫האי־שוויון השלישי נובע מלמה ‪.1‬‬ ‫האי־שוויון הרביעי נובע מכך ש־ ∗ ‪ ,k ≤ M‬לפי בחירת החלוקות‪.‬‬ ‫האי־שוויון החמישי נובע מבחירת החלוקה ∗‪ p‬בתחילת ההוכחה כך ש־ ‪,U (p∗ ) ≤ I¯ + 2‬‬ ‫ומכך שבהמשך ההוכחה בחרנו את ‪ p‬כך ש־‪[.λ (p) < δ‬‬ ‫מכאן נובע כי‪:‬‬ ‫ ‪I¯ ≤ U (p) ≤ I¯ +‬‬ ‫ ⇓‬ ‫‬ ‫ < ¯‪U (p) − I‬‬ ‫‬ ‫‪42‬‬ ‫‪14.2‬‬ ‫השקילות‬ ‫פונקציה ]‪ f ∈ B [a, b‬אינטגרבילית אמ"ם היא אינטגרבילית רימן‪.‬‬ ‫כמו־כן‪ ,‬ערך האינטגרל שלה הוא ערך אינטגרל רימן שלה‪.‬‬ ‫חלק ראשון‪) :‬אינטגרביליות ⇐ אינטגרביליות רימן(‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫¯‬ ‫נניח כי ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ‪.I = I = f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬ממשפט דארבו נובע כי קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬שעבורה ‪λ (p) < δ‬‬ ‫מתקיים כי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪U (p) − f dx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪L (p) − f dx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫נשים לב כי לפי ההגדרות‪ ,‬כל סכום רימן ‪ S‬של ‪ f‬עבור החלוקה ‪ p‬מקיים‪:‬‬ ‫)‪L (p) ≤ S ≤ U (p‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫ ‪f dx +‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫≤ )‪f dx − ≤ L (p) ≤ S ≤ U (p‬‬ ‫ ⇓‬ ‫‬ ‫‪´b‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪S − a f dx‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫חלק שני‪) :‬אינטגרביליות רימן ⇐ אינטגרביליות(‬ ‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית רימן נובע שקיים מספר ממשי ‪ I ∈ R‬כך שלכל ‪ > 0‬קיים‬ ‫‪ ,δ > 0‬כך שלכל סכום רימן ‪ S‬של ‪ ,f‬עבור כל חלוקה ‪ p‬בקטע ]‪ ,[a, b‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫ < |‪λ (p) < δ ⇒ |S − I‬‬ ‫בפרט גם עבור )‪) σ (p‬קבוצת כל סכומי רימן המתאימים לחלוקה נתונה ‪ (p‬מתקיים‪:‬‬ ‫ ‪U (p) = sup σ (p) ≤ I +‬‬ ‫ ‪L (p) = inf σ (p) ≥ I −‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪43‬‬ ‫ ‪I¯ = lim U (p) < I +‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫ ‪I = lim L (p) > I −‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫]כי ניתן להוציא גבול משני צידי אי השוויון‪ ,‬וצד ימין לא משתנה כי הוא לא תלוי ב־)‪[.λ (p‬‬ ‫נצרף את הטענה ¯‪ I ≤ I‬ונסיק כי‪:‬‬ ‫‪0 ≤ I¯ − I ≤ 2‬‬ ‫נשים לב שקיבלנו את האפיון הראשון לאינטגרביליות‪.‬‬ ‫נשים לב גם כי‪:‬‬ ‫ ‪I − ≤ I ≤ I¯ ≤ I +‬‬ ‫ולכן גם נוכל להסיק כי לאינטגרל העליון והתחתון ערך אחד משותף‪ ,‬וזהו ערך האינטגרל‬ ‫של ‪ .f‬‬ ‫‪15‬‬ ‫תנאי רימן לאינטגרביליות‬ ‫]‪ f ∈ B [a, b‬אינטגרבילית אמ"מ מתקיים‪:‬‬ ‫‪Wi 4xi = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫כאשר עבור כל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬מסמנים‪:‬‬ ‫}) ‪{f (ti‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬ ‫‪{f (ti )} −‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫= ‪Wi = Mi − mi‬‬ ‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬ ‫‪ Wi‬נקרא התנודה של ‪ f‬בקטע הסגור ] ‪.[xi−1 , xi‬‬ ‫קיום הגבול שבתנאי רימן‪ ,‬הוא במובן זה שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪p‬‬ ‫מתקיים כי‪:‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ⇒ ‪λ (p) < δ‬‬ ‫ < ‪Wi 4xi‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נחשב עבור חלוקה ‪ p‬כלשהי‪:‬‬ ‫‪44‬‬ ‫= ‪(Mi − mi ) 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Wi 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫)‪(Mi 4xi − mi 4xi ) = U (p) − L (p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫לכן תנאי רימן לפיו ‪Wi 4xi = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫שקול לתנאי‪:‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪lim (U (p) − L (p)) = 0‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫נשים לב שלפי משפט דארבו הביטוי האחרון שקול לכך ש‪:‬‬ ‫‬ ‫‪lim I¯ − I = 0‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫וזה שקול לאינטגרביליות לפי האפיון הראשון שהוכחנו לאינטגרביליות‪ .‬‬ ‫סימון‬ ‫קבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע סגור ]‪ [a, b‬מסומנת‪:‬‬ ‫]‪R [a, b‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪16‬‬ ‫אינווריאנטיות האינטגרל תחת הזזה )מהתרגול(‬ ‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬פונקציה אינטגרבילית‪ ,‬ויהי ‪.d ∈ R‬‬ ‫נתבונן בפונקציה )‪ .g (x) = f (x − d‬פונקציה זו היא ‪.g : [a + d, b + d] → R‬‬ ‫אזי מתקיים כי ‪ g‬אינטגרבילית‪ ,‬וכן‪:‬‬ ‫‪b+d‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪g (x) dx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a+d‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח כי על התחומים המתאימים מתקיים‪:‬‬ ‫‪Ψf = Ψg‬‬ ‫‪Φf = Φg‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קבוצת אינטגרלי פונקציות המדרגות העליונות של ‪ f‬שווה לקבוצת אינטגרלי פונקציות‬ ‫המדרגות העליונות של ‪ ,g‬וכך גם לגבי פונקציות המדרגה התחתונות‪.‬‬ ‫מטענה זו נסיק שמהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית‪ ,‬משמע ‪ ,inf Ψf = supΦf‬אז גם ‪g‬‬ ‫אינטגרבילית כי ‪ ,inf Ψg = inf Ψf = supΦf = supΦg‬ולכן גם ערך האינטגרל שווה‪.‬‬ ‫כדי להוכיח את הטענה הזו נוכיח הכלה הדדית‪ ,‬למשל בין הקבוצות ‪.Ψf , Ψg‬‬ ‫תהי ‪ g ≤ ψ‬פוקציות מדרגות בקטע ]‪ [a + d, b + d‬כך ש־ ‪.I (ψ) ∈ Ψg‬‬ ‫נניח כי ‪ ψ‬נתמכת על החלוקה )‪.p = (a + d = x0 , x1 , ..., xn−1 , xn = b + d‬‬ ‫נתבונן בפונקציית המדרגות )‪ ψ ∗ = ψ (x + d‬בקטע ]‪ ,[a, b‬כך ש־ ‪.I (ψ) ∈ Ψf‬‬ ‫ברור כי פונקציית המדרגות ‪ ψ‬נתמכת על החלוקה ‪,p = a = x∗0 , x∗1 , ..., x∗n−1 , x∗n = b‬‬ ‫כאשר ‪.x∗i = xi − d‬‬ ‫∗‬ ‫קל לראות כי מתקיים ‪ ,f ≤ ψ‬כי‪:‬‬ ‫)‪ψ ∗ (x) = ψ (x + d) ≥ g (x + d) = f (x + d − d) = f (x‬‬ ‫וכי ) ∗ ‪) .I (ψ) = I (ψ‬אינטגרל הוא מספר ממשי‪ ,‬ולכן לא משנה שתחום ההגדרה השתנה(‪,‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪I (ψ) ∈ Ψg ⇒ I (ψ) ∈ Ψf‬‬ ‫משמע ‪.Ψg ⊆ Ψf‬‬ ‫באופן דומה ניתן להראות את ההכלה הפוכה‪ ,‬ולהסיק כי ‪ .Ψf = Ψg‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪17‬‬ ‫פונקציית רימן )מהתרגול(‬ ‫‪p‬‬ ‫נניח כי ‪ .x ∈ R‬אם ‪ x ∈ Q‬אז הוא ניתן לכתיבה באופן יחיד‬ ‫‪q‬‬ ‫א‬ ‫וכן ‪.gcd (p, q) = 1‬‬ ‫נגדיר את פונקציית רימן‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫∈ ‪for x‬‬ ‫‪/Q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪for x ∈ Q x‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‪ x‬כאשר ‪,q ∈ N ,p ∈ Z‬‬ ‫∈ ‪ x‬ואינה רציפה בכל ‪.x ∈ Q‬‬ ‫טענה‪ :‬פונקציית רימן רציפה בכל ‪/ Q‬‬ ‫∈ ‪ .x0‬כדי להוכיח רציפות יש להראות כי לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך ש‪:‬‬ ‫הוכחה‪ :‬יהי ‪/ Q‬‬ ‫ < |)‪|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x‬‬ ‫]מכיוון ש־ ‪ x0‬אינו רציונלי‪ ,‬אז לפי הגדרת פונקציית רימן ‪[.f (x0 ) = 0‬‬ ‫נבחר ‪ N ∈ N‬המקיים < ‪. N1‬‬ ‫נגדיר קבוצה ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫∧‬ ‫) ‪∈ [x0 − 1, x0 + 1] ∧ (q ≤ N‬‬ ‫= ‪A = x ∈ Q| x‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫הקבוצה ‪ A‬מכילה מספר סופי של איברים‪ ,‬מכיוון ש‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪≤ x0 + 1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫⇓‬ ‫)‪q (x0 − 1) ≤ p ≤ q (x0 + 1‬‬ ‫≤ ‪x0 − 1‬‬ ‫ולכן אם נניח ש־‪ q‬חסום בהכרח שגם ‪ p‬חסום‪ ,‬ולכן תמיד יהיה ‪ δ > 0‬מספיק קטן כך שאם‬ ‫∈ ‪.x‬‬ ‫‪ |x − x0 | < δ‬אז ‪/ A‬‬ ‫נבחר את ‪ δ > 0‬שמקיים את התנאי הנ"ל‪ ,‬ונבחן את הביטוי |)‪ |f (x‬בשני מקרים‪:‬‬ ‫∈ ‪ x‬אז ‪ f (x) = 0‬ולכן ודאי < |)‪.|f (x‬‬ ‫אם ‪/ Q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫∈ ‪ x‬ולכן ‪ q > N‬לפי הגדרת ‪ .A‬מכאן‬ ‫אם ‪ x = ∈ Q‬אז בסביבת ‪ δ‬זו מתקיים כי ‪/ A‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫< = |)‪ .|f (x‬‬ ‫ש־ <‬ ‫‪q‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪p‬‬ ‫אכלומר‪ ,‬השבר‬ ‫‪q‬‬ ‫הוא שבר מצומצם‪.‬‬ ‫‪47‬‬ ‫טענה‪ :‬פונקציית רימן אינטגרבילית בכל קטע סגור‪ ,‬וערך האינטגרל שלה הוא ‪.0‬‬ ‫נניח כי ]‪ [a, b‬קטע כלשהו ונניח כי‬ ‫הוכחה‪ :‬נוכיח באמצעות סכומי דארבו‪.‬‬ ‫)‪ p = (a = p0 < p1 < ... < pn = b‬חלוקה של הקטע‪.‬‬ ‫‪ .1‬ראשית נשים לב שמהגדרת פונקציית רימן נובע עבור סכום דארבו התחתון מתקיים‪:‬‬ ‫‪f (x) (pi+1 − pi ) = 0‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪mi (pi+1 − pi‬‬ ‫] ‪i=0 x∈[pi ,pi+1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Lf,p‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫מכאן שאינטגרל דארבו התחתון שווה ל־‪.0‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח כעת שגם אינטגרל דארבו העליון שווה ל־‪ .0‬לשם נראה שלכל ‪ > 0‬קיימת חלוקה‬ ‫‪ ,p‬כך שעבור סכום דארבו העליון מתקיים‪:‬‬ ‫ < ) ‪f (x) (pi+1 − pi‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫] ‪i=0 x∈[pi ,pi+1‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Uf,p‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫<‬ ‫יהי ‪ . > 0‬נבחר ‪ N ∈ N‬כך ש־‬ ‫‪N‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫נגדיר קבוצה ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≥ )‪A = x ∈ [a, b] |f (x‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫∈ ‪ x‬מתקיים תמיד ‪ (f (x) = 0‬וכן‪:‬‬ ‫נשים לב שאם ‪ x ∈ A‬אז ‪) x ∈ Q‬כי עבור ‪/ Q‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫‪f (x) = f‬‬ ‫≥ =‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫מכאן שהקבוצה ‪ A‬מוכלת בקבוצה ‪ B‬הבאה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫> | ]‪∈ [a, b‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫>‬ ‫נשים לב ש־‪ B‬היא קבוצה סופית‪ ,‬כי‬ ‫‪q‬‬ ‫‪N‬‬ ‫בהכרח בקבוצה ‪ A‬יש מספר סופי של איברים‪.‬‬ ‫‪48‬‬ ‫‬ ‫=‪B‬‬ ‫⇔ ‪ q < N‬ו־ ‪ q, N‬מספרים טבעיים‪ ,‬ולכן‬ ‫‪ .3‬נדון בשני מקרים‪ A :‬ריקה או ‪ A‬אינה ריקה‪.‬‬ ‫‬ ‫אם ‪ A‬ריקה‪ ,‬אז כל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫עבור סכום דארבו העליון‪:‬‬ ‫‬ ‫= ) ‪(pi+1 − pi‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< )‪ ,f (x‬ולכן לכל חלוקה ‪ ,p‬מתקיים‬ ‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Uf,p‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫= ) ‪(pi+1 − pi‬‬ ‫ < = )‪(a − b‬‬ ‫‪2 (b − a) i=0‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫ותהי =‬ ‫אם ‪ A‬אינה ריקה‪ ,‬נסמן ב־‪ k‬את מספר האיברים ב־‪.A‬‬ ‫)‪ (a = p0 < p1 < ... < pn = b‬חלוקה כלשהי‪ .‬נסמן‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫}] ‪I1 = {i = 0, ..., n − 1|∃x ∈ A x ∈ [pi , pi+1‬‬ ‫∈ ‪I2 = {i = 0, ..., n − 1|i‬‬ ‫} ‪/ I1‬‬ ‫נשים לב שכל נקודה ששייכת ל־‪ A‬יכולה להיות שייכת לשני קטעים )כי קטעי החלוקה אינם‬ ‫זרים( ולכן סך הכל ייתכנו ‪ 2k‬נקודות ב־ ‪.I1‬‬ ‫‬ ‫אם ] ‪ x ∈ [pi , pi+1‬עבור ‪ ,i ∈ I2‬אז מתקיים‬ ‫∈ ‪.x‬‬ ‫< )‪ ,f (x‬כי ‪/ A‬‬ ‫)‪ 2 (b − a‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,f (x) = f‬כי ‪ q‬מספר טבעי‪.‬‬ ‫אם ] ‪ x ∈ [pi , pi+1‬עבור ‪ ,i ∈ I1‬אז מתקיים ‪= ≤ 1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪Mi (pi+1 − pi ) +‬‬ ‫‪i∈I2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Uf,p‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i∈I1‬‬ ‫נשים לב שמתקיים עבור כל אחד משני הביטויים‪:‬‬ ‫)‪1 · λ (p) ≤ 2kλ (p‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i∈I1‬‬ ‫≤ )‪Mi λ (p‬‬ ‫‬ ‫≤ ) ‪(pi+1 − pi‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i∈I1‬‬ ‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫≤ ) ‪Mi (pi+1 − pi‬‬ ‫‪i∈I2‬‬ ‫‪i∈I2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ) ‪(pi+1 − pi‬‬ ‫= )‪(b − a‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫מכאן ש‪< :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫< )‪ λ (p‬מתקיים <‬ ‫נסיק שעבור‬ ‫‪4k‬‬ ‫‪Uf,p ≤ 2kλ (p) +‬‬ ‫‬ ‫‪ .Uf,p‬נבחר‬ ‫‪4k‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫= ‪ .δ‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫≤‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i∈I1‬‬ ‫‪1.‬‬ ‫תנודה‬ ‫‪18‬‬ ‫התנודה של פונקציה ‪ f : D → R‬בתת־קטע ‪) I ⊆ D‬פתוח או סגור( מוגדרת ומסומנת‪:‬‬ ‫|)‪WI (f ) = MI − mI = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫‪x,y∈I‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫]השוויון האחרון נובע מתכונות החסם העליון והתחתון‪[.‬‬ ‫אריתמטיקה של האינטגרל המסוים‬ ‫‪19‬‬ ‫יהיו ]‪ f, g ∈ B [a, b‬ויהי ‪ .c ∈ R‬אזי‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx ≥ 0 .1‬‬ ‫⇒ ‪) f ≥ 0‬טענה זו היא מקרה פרטי של הטענה הבאה(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫≥ ‪f dx‬‬ ‫‪gdx .2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⇒‪f ≥g‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ c · f ∈ R [a, b] .3‬וכן ‪f dx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫· ‪c · f dx = c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪(f ± g) dx‬‬ ‫‪f dx ±‬‬ ‫‪ f ± g ∈ R [a, b] .4‬וכן ‪gdx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחות‬ ‫נזכור שהגדרנו אינטגרביליות רימן )סעיף ‪ (12.3‬עבור פונקציה כלשהי ]‪ ,f ∈ B [a, b‬אם קיים‬ ‫‪ I ∈ R‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬של הקטע ]‪ [a, b‬ולכל סכום רימן ‪ S‬מתאים לחלוקה ‪ ,p‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪f (ti ) 4xi = I‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪lim S = lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪ .1‬מהנתון ‪ f ≥ 0‬נובע שלכל ‪ ti‬מתקיים כי ‪ ,f (ti ) ≥ 0‬ולכן מתכונות של גבולות נובע‬ ‫גם‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx ≥ 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .2‬הוכחה באותו אופן‬ ‫‪50‬‬ ‫‪ .3‬טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות‪ :‬שהפונקציה ‪ c · f‬אינטגרבילית‪ ,‬ושערך האינטגרל‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫שלה הוא ‪. c · f dx = c · f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נוכיח את שתי הטענות יחד‪:‬‬ ‫= ‪(c · f ) (ti ) 4 xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪c · f dx = lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪c · f (ti ) 4 xi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫· ‪f (ti ) 4 xi = c‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= c · lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪ .4‬גם טענה זו מכילה שתי טענות נפרדות מאותה צורה‪.‬‬ ‫נוכיח את שתי הטענות יחד‪:‬‬ ‫= ‪(f ± g) (ti ) 4 xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪(f ± g) dx = lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪(f (ti ) ± g (ti )) 4 xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪g (ti ) 4 xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (ti ) 4 xi ±‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx ±‬‬ ‫‪gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫הקבוצה ]‪R [a, b‬‬ ‫כמסקנה מהמשפט האחרון נובע שקבוצת הפונקציות האינטגרביליות בקטע ]‪ [a, b‬שמסומנת‬ ‫]‪ ,R [a, b‬היא מרחב וקטורי מעל ‪.R‬‬ ‫נוכיח מיד את הטענה כי ]‪ R [a, b‬סגורה לכפל‪ ,‬ולכן היא אלגברה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי ]‪.f, g ∈ R [a, b‬‬ ‫‪51‬‬ ‫נשתמש בתנאי רימן לאינטגרביליות שקובע שפונקציה ]‪ h ∈ B [a, b‬כלשהי אינטגרבילית‬ ‫אמ"מ מתקיים‪:‬‬ ‫‪Wi 4xi = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫כאשר עבור כל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬מסמנים‪:‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫‪f (t) −‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫= ‪Wi‬‬ ‫] ‪t∈[xi−1 ,xi‬‬ ‫נתון כי ‪ f, g‬חסומות בקטע‪ ,‬ולכן קיימים ‪ k, l ∈ R‬כך ש‪:‬‬ ‫‪|f | ≤ k , |g| ≤ l‬‬ ‫מכאן ברור שגם הפונקציה ‪ f · g‬חסומה ע"י ‪.kl‬‬ ‫מכאן נסיק שלכל חלוקה ‪ p‬נתונה ולכל זוג נקודות ] ‪ s, t ∈ [xi−1 , xi‬מתקיים‪:‬‬ ‫= |)‪|(f g) (t) − (f g) (s)| = |f (t) g (t) − f (s) g (s‬‬ ‫≤ |)‪= |f (t) g (t) − f (s) g (t) + f (s) g (t) − f (s) g (s‬‬ ‫= |)‪≤ |f (t) g (t) − f (s) g (t)| + |f (s) g (t) − f (s) g (s‬‬ ‫≤ |)‪= |f (t) − f (s)| |g (t)| + |g (t) − g (s)| |f (s‬‬ ‫‪≤ W (f ) · l + Wi (g) · k‬‬ ‫מכיוון שאי־שוויון זה נכון לכל זוג נקודות ] ‪ s, t ∈ [xi−1 , xi‬נסיק שמתקיים עבור התנודה‬ ‫של המכפלה‪:‬‬ ‫‪Wi (f g) ≤ W (f ) · l + Wi (g) · k‬‬ ‫מכאן שעבור פונקציית המכפלה מתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות‪:‬‬ ‫= ‪[Wi (f ) · l + Wi (g) · k] 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪Wi (g) · k · 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪Wi (f g) 4xi ≤ lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪Wi (f ) · l · 4xi + lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪Wi (g) · 4xi = l · 0 + k · 0 = 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫‪52‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪Wi (f ) · 4xi + k · lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪= l · lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫הערה‬ ‫פונקציה ‪ I‬שמחזירה את ערך האינטגרל של פונקציה מהקבוצה ]‪ ,R [a, b‬היא פונקציה‬ ‫מהצורה ‪ I : R [a, b] → R‬ולכן היא פונקציונאל לינארי במרחב ]‪.R [a, b‬‬ ‫‪21‬‬ ‫תכונות של תחום האינטגרביליות‬ ‫טענה ‪1‬‬ ‫אם ]‪ f ∈ R [a, b‬אז גם לכל ]‪ α, β ∈ [a, b‬מתקיים ]‪.f ∈ R [α, β‬‬ ‫מסקנה‬ ‫]‪ f ∈ R [a, b‬אמ"מ לכל ]‪ [α, β] ⊆ [a, b‬מתקיים כי ]‪.f ∈ R [α, β‬‬ ‫הכיוון הראשון נובע מהטענה הנ"ל שמייד נוכיח‪ ,‬והכיוון השני טריוויאלי‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נתון כי ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪.[a, b‬‬ ‫מתנאי רימן נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬שעבורה‬ ‫‪ λ (p) < δ‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < ‪Wi 4xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫תהי ) ‪ p∗ = (x∗0 , x∗1 , ..., x∗m‬חלוקה של קטע ]‪ ,[α, β‬שעבורה גם כן מתקיים ‪.λ (p∗ ) < δ‬‬ ‫נרחיב את ∗‪ p‬להיות חלוקה של הקטע ]‪ ,[a, b‬תוך שמירה על פרמטר חלוקה ‪,λ (p∗ ) < δ‬‬ ‫חלוקה‪.‬‬ ‫‬ ‫ונניח שמתקבלות ‪ n‬נקודות ‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫נסמן את החלוקה שהתקבלה ‪ ,p = x0 , x1 , ..., xn‬ונשים לב כי ‪ p‬היא חלוקה של‬ ‫‬ ‫]‪ [a, b‬שעבורה ‪.λ p# < δ‬‬ ‫לכן מתנאי רימן נובע כי‪:‬‬ ‫‪Wi 4x#‬‬ ‫< ‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪Wi 4x∗i‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪2‬‬ ‫יהי ]‪ c ∈ [a, b‬ממשי ותהי ‪.f : [a, b] → R‬‬ ‫אם ]‪ f ∈ R [a, c‬וגם ]‪ ,f ∈ R [c, b‬אזי ]‪,f ∈ R [a, b‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪10‬‬ ‫וכן‪:‬‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫‪f dx +‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪10‬גם הכיוון השני של המשפט נכון‪ ,‬כפי שנובע מהמשפט הקודם‪.‬‬ ‫‪53‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מסקנה‬ ‫]‪ f ∈ R [a, b‬אמ"מ לכל ]‪) [α, β] ⊂ [a, b‬הכלה ממש( מתקיים כי ]‪.f ∈ R [α, β‬‬ ‫]מסקנה זו מרחיבה את המסקנה של המסקנה מהטענה הקודמת‪[.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של ]‪ ,[a, b‬שעבורה מתקיים )]‪λ (p) < min ([c − a] , [b − c‬‬ ‫עבור ‪ c‬פנימית כלשהי‪ .‬קיים ‪ 0 < j < n‬יחיד שעבורו מתקיים ‪.xj ≤ c < xj+1‬‬ ‫‪ .1‬נגדיר חלוקה ∗‪ p‬המתקבלת מ־‪ p‬באמצעות הוספת הנקודה ‪ c‬לחלוקה‪ .‬אם ‪c = xj‬‬ ‫מתקיים ∗‪ ,p = p‬ואחרת מתקיים ∗‪.p ⊂ p‬‬ ‫נסמן את נקודות החלוקה החדשה באופן הבא‪:‬‬ ‫) ‪p∗ = (y0 , y1 , ..., ym‬‬ ‫אם ‪ c = xj‬אז ∗‪ p = p‬ולכן גם ‪ m = n‬ואם לא אז ‪.m = n + 1‬‬ ‫בחלוקה ∗‪ p‬קיים ‪ 0 < l < m‬יחיד כך ש־‪ ,yl = c‬כאשר ‪ l = j‬או ‪ ,l = j + 1‬בהתאמה‪ ,‬כך‬ ‫ש־ ‪.xj ≤ yl = c < xj+1‬‬ ‫‪ .2‬נתבונן בסכום רימן ‪ S‬שמתאים לפונקציה ‪ f‬עם החלוקה ‪ p‬ולבחירה כלשהי של ערכים‬ ‫] ‪ ,ti ∈ [xi−1 , xi‬כאשר ‪:i = 1, ..., n‬‬ ‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) +‬‬ ‫‪i=j+1‬‬ ‫= ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) + f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) +‬‬ ‫‪i=j+2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪f (ti ) (xi − xi−1 ) + [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) +‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪f (ti ) (xi − xi−1 )+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪+ f (c) (yl+1 − yl )] +‬‬ ‫‪i=j+2‬‬ ‫]) ‪+f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − [(l − j) f (c) (yl − yl−1 ) + f (c) (yl+1 − yl‬‬ ‫]השוויון השני הוא פיצול של הסכום לשני סכומים‪.‬‬ ‫השוויון השלישי הוא פיצול של שני הסכומים לשלושה‪ ,‬ללא שינוי של האיברים‪.‬‬ ‫השוויון הרביעי הוא הוספה והחסרה של הביטוי ) ‪[.(l − j) f (c) (yl − yl−1 )+f (c) (yl+1 − yl‬‬ ‫נשים לב לביטוי האחרון שהתקבל‪:‬‬ ‫‪54‬‬ ‫• השורה הראשונה מייצגת את סכום רימן על הקטע ]‪ ,[a, c‬עם חלוקה כלשהי שהפרמטר‬ ‫שלה קטן מ־)‪) λ (p‬כי היא מוכלת בחלוקה ‪.(p‬‬ ‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, c‬נסיק שסדרת סכומי רימן על ]‪ [a, c‬תתכנס‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫ל־‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫• השורה השנייה )למעט האיבר האחרון( מייצגת את סכום רימן על הקטע ]‪ ,[c, b‬עם‬ ‫חלוקה כלשהי שהפרמטר שלה קטן מ־)‪) λ (p‬כי היא מוכלת בחלוקה ‪.(p‬‬ ‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [c, b‬נסיק שסדרת סכומי רימן על ]‪ [c, b‬תתכנס ל‪-‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪. f dx‬‬ ‫‪c‬‬ ‫• השורה השלישית קטנה כרצוננו עבור )‪ λ (p‬מספיק קטן‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫≤ ) ‪f (tj+1 ) (xj+1 − xj ) − (l − j) f (c) (yl − yl−1 ) − f (c) (yl+1 − yl‬‬ ‫)‪≤ f (tj+1 ) λ (p) − (l − j) f (c) λ (p) − f (c) λ (p‬‬ ‫לכן לכל סכום רימן ‪ S‬על הקטע ]‪ [a, b‬מתקיים שאם ‪ λ (p) < δ‬אז < ‪ ,S‬ולכן מתנאי‬ ‫רימן לאינטגרביליות נובע כי הפונקציה אינטגרבילית על ]‪.[a, b‬‬ ‫כמו־כן מהביטוי של סכום רימן הכללי ‪ S‬כסכום של שני הסכומים המתאימים על תתי‬ ‫הקטעים‪ ,‬ניתן להסיק שהאינטגרל הוא סכום האינטגרלים בתתי הקטעים‪ .‬‬ ‫‪22‬‬ ‫אינטגרביליות של פונקציה מורכבת‬ ‫תהי ]‪ ,f ∈ R [a, b] ,f : [a, b] → [c, d‬ותהי ‪ g : [c, d] → R‬פונקציה רציפה‪.‬‬ ‫אזי להרכבה ‪ g ◦ f : [a, b] → R‬מתקיים ]‪.g ◦ f ∈ R [a, b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח שמתקיים תנאי רימן לאינטגרביליות‪.‬‬ ‫נתון שהפונקציה ‪ g‬רציפה בקטע סגור ולכן היא חסומה‪,‬‬ ‫ש־‪.|g| ≤ m‬‬ ‫‪12‬‬ ‫מאותו נתון גם נובע ש־‪ g‬רציפה במידה שווה בקטע‪.‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬מכך ש־‪ g‬רציפה במידה שווה נובע שקיים ‪ δ1 > 0‬כך שלכל ]‪ x, y ∈ [c, d‬אם‬ ‫‬ ‫‪ |x − y| < δ1‬אז‬ ‫< |)‪.|g (x) − g (y‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫מהנתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬נובע מתנאי רימן לאינטגרביליות שעבור שבחרנו קיים‬ ‫‪ ,δ2 > 0‬כך שלכל חלוקה ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬של ]‪ [a, b‬מתקיים שאם ‪ λ (p) < δ2‬אז‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪δ1‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫< ) ‪Wi (f ) (xi − xi−1‬‬ ‫משמע קיים ‪ 0 < m ∈ R‬כך‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪11‬ממשפט החסימות של ויירשטראס‪.‬‬ ‫‪12‬ממשפט קנטור לרציפות במידה שווה‪.‬‬ ‫‪55‬‬ ‫נשים לב שמכאן נובע שלכל האיברים שעבורם ‪ Wi (f ) < δ1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫≤ |))‪|g (f (s)) − g (f (t‬‬ ‫= ) ‪Wi (g ◦ f‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫] ‪s,t∈[xi−1 ,xi‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬עבור אותם איברים שעבורם ‪ Wi (f ) ≥ δ1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪δ1‬‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< ) ‪Wi (f ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ) ‪δ1 · (xi − xi−1‬‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫נצמצם את ‪ δ1‬משני צידי אי השוויון ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪4m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< ) ‪(xi − xi−1‬‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫נחשב את הביטוי שנדרש בתנאי רימן לאינטגרביליות‪:‬‬ ‫= ) ‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< ) ‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪Wi (g ◦ f ) (xi − xi−1 ) +‬‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬ ‫‬ ‫= ) ‪(xi − xi−1‬‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫< ) ‪(xi − xi−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(xi − xi−1 ) +‬‬ ‫אי־שוויון המשולש האינטגרלי‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית על ]‪ ,[a, b‬אזי תמיד‪:‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ˆb‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ f dx ≤ |f | dx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪56‬‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫מכאן שמתקיים תנאי רימן עבור ההרכבה‪ .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫<‬ ‫) ‪δ1 ≤Wi (f‬‬ ‫) ‪δ1 >Wi (f‬‬ ‫‬ ‫)‪2 (b − a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2m (xi − xi−1 ) +‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫ = ‪(b − a) = +‬‬ ‫)‪4m 2 (b − a‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪< 2m‬‬ ‫‪= 2m‬‬ ‫=‬ ‫‪ .1‬ראשית נראה כי הביטוי מוגדר‪.‬‬ ‫הרכבה של פונקציה רציפה על ‪ f‬נותנת פונקציה אינטגרבילית‪ 13 ,‬ולכן בפרט הרכבה‬ ‫של פונקציית הערך המוחלט על ‪ f‬היא פונקציה אינטגרבילית על ]‪ ,[a, b‬ולכן הביטוי‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫מוגדר‪.‬‬ ‫‪|f | dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח כעת את אי השוויון‪.‬‬ ‫נניח כי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה כלשהי של הקטע ]‪ ,[a, b‬ותהי ] ‪ti ∈ [xi−1 , xi‬‬ ‫בחירה כלשהי של נקודות בקטעים המתאימים‪ ,‬אזי מאי־שוויון המשולש נובע שמתקיים‬ ‫עבור סכומי רימן המתאימים‪:‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ) ‪f (ti ) (xi − xi−1‬‬ ‫) ‪|f (ti )| (xi − xi−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫לפי הגדרת אינטגרביליות רימן‪ ,‬ערך האינטגרל של פונקציה הוא ערך הגבול של סכומי‬ ‫רימן כאשר פרמטר החלוקה ‪.λ (p) → 0‬‬ ‫מאריתמטיקה של גבולות נובע שאם ניקח גבול משני צידי אי השוויון שהתקבל הוא‬ ‫יישמר‪ ,‬ולכן ערך האינטגרלים משמר את אי השוויון הנ"ל‪ .‬‬ ‫‪13‬הוכחנו בסעיף ‪.22‬‬ ‫‪57‬‬ ‫חלק‬ ‫‪IV‬‬ ‫הקשר בין הפונקציה הקדומה לאינטגרל‬ ‫המסוים‬ ‫‪24‬‬ ‫הפונקציה ‪F‬‬ ‫נניח כי ]‪.f ∈ R [a, b‬‬ ‫הוכחנו ש־ ‪ f‬גם אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ]‪ [a, x‬עבור ‪.a ≤ x ≤ b‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫נגדיר את הפונקציה ‪ F‬להיות ‪.F (x) = f (t) dt‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מהטענה שהזכרנו נובע שהביטוי מוגדר היטב ו־ ‪ F‬פונקציה של ‪ x‬שמוגדרת בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪24.1‬‬ ‫רציפות ‪F‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫אם ]‪ ,f ∈ R [a, b‬אזי הפונקציה ‪f dt‬‬ ‫= )‪ F (x‬רציפה בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה‬ ‫עבור ]‪ ,f ∈ R [a, b‬מטעמי נוחות מגדירים‪:‬‬ ‫‪ˆa‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx = −‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הוכחה‬ ‫יהי ‪ a ≤ x ≤ b‬ויהי ‪ 4x‬מספר ממשי כלשהו‪ ,‬המקיים ‪.a ≤ x + 4x ≤ b‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ x+4x‬‬ ‫‬ ‫ˆ ‬ ‫‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ = |)‪|F (x + 4x) − F (x‬‬ ‫= ‪f (t) dt − f (t) dt‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫!‬ ‫|‪sup |f (t)| |4x‬‬ ‫]‪t∈[a,b‬‬ ‫‪ x+4x‬‬ ‫‬ ‫ˆ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ =‬ ‫≤ ‪f (t) dt‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ˆa‬‬ ‫‪14‬כאשר ‪ x = a‬מגדירים ‪f (t) dt = 0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪15‬בתנאי המשפט הנוכחי ‪ F‬לא בהכרח גזירה‪.‬‬ ‫‪ 4x16‬מספר חיובי או שלילי‪ ,‬ולכן הוא מוגדר היטב תחת תנאי זה‪.‬‬ ‫‪58‬‬ ‫מכאן שכאשר ‪ |4x| → 0‬אז הביטוי |)‪ |F (x + 4x) − F (x‬שואף ל־‪ ,0‬ולכן ‪ F‬רציפה‬ ‫ב־‪ .x‬‬ ‫המשפט היסודי של החדו"א )ונספחים(‬ ‫‪25‬‬ ‫בכל חלקי המשפט נעבוד תחת ההנחות הבאות‪:‬‬ ‫‪ f : [a, b] → R‬פונקציה אינטגרבילית בתחום ההגדרה‪ ,‬כלומר ]‪.f ∈ R [a, b‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫‪ F‬פונקציה המוגדרת להיות ‪.F (x) = f (t) dt‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪25.1‬‬ ‫טענה ‪ F :1‬כפונקציה קדומה בנקודות שבהן ‪ f‬רציפה‬ ‫בכל נקודה ]‪ x ∈ [a, b‬שבה ‪ f‬רציפה‪ ,‬מתקיים כי הפונקציה )‪ F (x‬גזירה )ובפרט גם רציפה(‪,‬‬ ‫ומתקיים השוויון‪:‬‬ ‫)‪F 0 (x) = f (x‬‬ ‫הערה ‪1‬‬ ‫הטענה תקפה גם בנקודות שבקצות הקטע‪ ,‬עבור רציפות וגזירות חד־צדדיות‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה בנקודת קצה מכיוון אחד‪ ,‬מתקיים השוויון )‪ F 0 (x) = f (x‬עבור ‪F 0‬‬ ‫שהיא נגזרת חד־צדדית בכיוון המתאים‪.‬‬ ‫הערה ‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הכיוון השני של הגרירה אינו נכון‪ .‬כלומר‪ ,‬ייתכן שקיימות פונקציות ‪ F, f‬כך ש־= )‪F (x‬‬ ‫)‪ ,f (x‬ועדיין ‪ f‬לא תהיה רציפה ב־‪.x‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ]‪ x0 ∈ [a, b‬נקודה שבה ‪ f‬רציפה‪ .‬כדי להראות את השוויון ) ‪ F 0 (x0 ) = f (x0‬נוכיח‬ ‫ביטוי שקול שמתקבל מהגדרת הנגזרת‪:‬‬ ‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬ ‫‪− f (x0 ) = 0‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪∆x→0‬‬ ‫נחשב תוך שימוש בהגדרת הפונקציה ‪:F‬‬ ‫)‪f (x0 ) (x + ∆x − x‬‬ ‫=‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x0ˆ+∆x‬‬ ‫‪f (t) dt −‬‬ ‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ) ‪− f (x0‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0ˆ+∆x‬‬ ‫‪(f (t) − f (x0 )) dt‬‬ ‫‪x0ˆ+∆x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪f (x0 ) dt‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪59‬‬ ‫‪x0ˆ+∆x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (t) dt −‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪∆x‬‬ ‫נראה כי הביטוי שהתקבל מתכנס ל־‪.0‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ |t − x0 | < δ‬אז‬ ‫ < |) ‪.|f (t) − f (x0‬‬ ‫נניח כי ‪ ,0 < |∆x| < δ‬אז עבור ]‪ t ∈ [x0 , x0 + ∆x‬מתקיים ‪ |t − x0 | < δ‬ולכן‬ ‫ < |) ‪.|f (t) − f (x0‬‬ ‫נסיק‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ x +∆x‬‬ ‫‪ x +∆x‬‬ ‫‬ ‫ˆ‪ 0‬‬ ‫ˆ‪ 0‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫≤ ‪|f (t) − f (x0 )| dt‬‬ ‫ ≤ ‪(f (t) − f (x0 )) dt‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫|‪≤ |f (t) − f (x0 )| · |∆x| < · |∆x‬‬ ‫מכאן שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫) ‪ F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫≤ ) ‪− f (x0‬‬ ‫ = |‪· · |∆x‬‬ ‫‬ ‫‪∆x‬‬ ‫|‪|∆x‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שערך הביטוי קטן מ־‪ ,‬ולכן מתקיים לכל ‪ x0‬שבו ‪f‬‬ ‫רציפה‪:‬‬ ‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬ ‫‪− f (x0 ) = 0‬‬ ‫‪∆x→0‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫⇓‬ ‫) ‪F (x0 + ∆x) − F (x0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫) ‪= f (x0‬‬ ‫‪∆x→0‬‬ ‫‪∆x‬‬ ‫⇓‬ ‫) ‪F 0 (x0 ) = f (x0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‬ ‫‪25.2‬‬ ‫טענה ‪ F :2‬כפונקציה קדומה בקטע שבו ‪ f‬רציפה‬ ‫‪ .1‬אם ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אז קיימת לה פונקציה קדומה בקטע זה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אז ‪ F‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע זה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נוכיח כי ‪ F‬פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬ומכך ינבע כמובן קיום של פונקציה קדומה‪.‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫נתון ש־ ‪ f‬רציפה על ]‪ ,[a, b‬לכן היא אינטגרבילית בקטע‪ 17 ,‬ולכן הפונקציה ‪F (x) = f (t) dt‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מוגדרת היטב בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫מהטענה הראשונה של המשפט היסודי של החדו"א נובע שכאשר ‪ f‬רציפה בנקודה ]‪,x ∈ [a, b‬‬ ‫הפונקציה ‪ F‬גזירה ומקיימת )‪ ,F 0 (x) = f (x‬משמע שבמקרה שהיא רציפה בכל נקודה‬ ‫בקטע‪ F ,‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪17‬הוכחנו את הטענה הזו בסעיף ‪.11.8‬‬ ‫‪60‬‬ ‫אזהרה‬ ‫נשים לב שהמשפט היסודי של החדו"א קובע באופן שקול שאם אין ל־ ‪ f‬פונקציה קדומה לא‬ ‫ייתכן כי ‪ f‬אינטגרבילית ורציפה‪.‬‬ ‫עם זאת הכיוון השני אינו נכון‪ :‬קיום של פונקציה קדומה לא גורר את זה ש־ ‪ f‬אינטגרבילית‬ ‫ורציפה‪.‬‬ ‫‪ .1‬ייתכן ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ואינה רציפה‪ .‬למשל‪:‬‬ ‫]‪x ∈ [−1, 0‬‬ ‫]‪x ∈ (0, 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫קל לראות ש־ ‪ f‬אינטגרבילית ואינה רציפה ב־‪ ,0‬ומכיוון שיש לה אי־רציפות מסוג‬ ‫ראשון בהכרח אין לה פונקציה קדומה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬נשים לב שקיימת ל־ ‪ f‬פונקציה קדומה למקוטעין‪:‬‬ ‫‬ ‫]‪c x ∈ [−1, 0‬‬ ‫= )‪F (x‬‬ ‫]‪x x ∈ (0, 1‬‬ ‫‪ .2‬ייתכן ש־ ‪ f‬גם אינה אינטגרבילית )ובפרט גם אינה רציפה(‪ ,‬ועדיין יש לה פונקציה‬ ‫קדומה‪.‬‬ ‫ניקח למשל את הפונקציה הקדומה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪x sin‬‬ ‫‪x 6= 0‬‬ ‫= )‪F (x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫אם נגזור אותה נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‪x 6= 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‬ ‫‪2xsin‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫הפונקציה ‪ f‬לא חסומה בכל קטע שמכיל את ‪ ,0‬ולכן היא אינה אינטגרבילית בקטעים‬ ‫‪18‬‬ ‫מסוג זה‪ ,‬על־אף שיש לה פונקציה קדומה‪.‬‬ ‫‪25.3‬‬ ‫טענה ‪ :3‬נוסחת ניוטון־לייבניץ‬ ‫נניח כי ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬ונניח כי ‪ φ‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע זה‪ .‬אזי‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx = φ (b) − φ (a) ≡ φ (x) |ba‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה‬ ‫‪18‬קיימות דוגמאות מורכבות יותר‪ ,‬שבהן ‪ f‬אינה אינטגרבילית גם אם היא חסומה וקיימת לה פונקציה קדומה‪.‬‬ ‫‪61‬‬ ‫המשפט תקף גם לכל תת־קטע ]‪ ,[α, β] ⊂ [a, b‬שכן ממשפט שהוכחנו לעיל נובע כי אם ‪f‬‬ ‫‪19‬‬ ‫אינטגרבילית ב־]‪ [a, b‬אז היא גם אינטגרבילית בכל תת־קטע שלו‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫מהטענה הקודמת נובע כי ‪f (t) dt‬‬ ‫= )‪ F (x‬היא פונקציה קדומה של ‪ f‬בקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מכאן שקיים קבוע ‪ c ∈ R‬כך שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫)‪f dx = φ (x) + c = F (x‬‬ ‫]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים‪[.‬‬ ‫ובפרט מתקיים עבור הנקודה ‪ a‬השוויון‪:‬‬ ‫‪ˆa‬‬ ‫= ‪φ (a) = F (a) − c‬‬ ‫‪f dt − c = 0 − c = −c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ומכאן שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫)‪f dt = F (x) = φ (x) + c = φ (x) − (−c) = φ (x) − φ (a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫הרחבה של נוסחת ניוטון־לייבניץ‬ ‫נניח כי ‪ F‬גזירה על )‪ (a, b‬פרט למספר סופי של נקודות‪ ,‬או שהשוויון ‪ F 0 = f‬נכון בכל‬ ‫הקטע ]‪ [a, b‬פרט למספר סופי של נקודות‪.‬‬ ‫אם ידוע כי ‪ F‬פונקציה רציפה על ]‪ ,[a, b‬אזי למרות שהשוויון ‪ F 0 = f‬אינו נכון לכל הקטע‬ ‫]‪ ,[a, b‬עדיין מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dt = F (b) − F (a) ≡ F (x) |ba‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי ) ‪ p = (x0 , x1 , ..., xn‬חלוקה של הקטע ]‪ ,[a, b‬כך שנקודות החלוקה ‪ p‬כוללות את כל‬ ‫הנקודות הבעייתיות‪ .‬כלומר‪ ,‬כל הנקודות שבהן ‪ F‬אינה גזירה או שהיא גזירה אבל ‪.F 0 6= f‬‬ ‫בכל תת־קטע של החלוקה מהצורה ] ‪ [xi−1 , xi‬מתקיים כי ‪ F‬רציפה על כולו וכי היא גזירה‬ ‫בקטע הפתוח ) ‪.(xi−1 , xi‬‬ ‫‪19‬הוכחנו טענה זו בסעיף ‪.21‬‬ ‫‪62‬‬ ‫נסיק ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' שבתנאים אלה שלכל ‪ i‬קיימת נקודה ∈ ‪ρi‬‬ ‫) ‪ (xi−1 , xi‬שעבורה מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ρ) (xi − xi−1 ) = f (ρi ) (xi − xi−1‬‬ ‫נסיק משוויון זה‪:‬‬ ‫) ‪f (ρi ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )) ‪(F (xi ) − F (xi−1‬‬ ‫= )‪F (b) − F (a‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫]השוויון הראשון נובע מכך שמדובר בסכום טלסקופי‪ ,‬ולכן האיברים מבטלים אחד את‬ ‫האחר‪ ,‬למעט הראשון והאחרון‪[.‬‬ ‫נשים לב שקיבלנו סכום רימן של הפונקציה ‪ f‬עבור החלוקה ‪ p‬על הקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫נתון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בקטע זה‪ ,‬ולכן כאשר ‪) λ (p) → 0‬כלומר‪ ,‬כאשר בוחרים כל סדרת‬ ‫חלוקות שמתווספות להן נקודות שמקטינות את פרמטר החלוקה( מתקיים כי‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ) ‪f (ρi ) (xi − xi−1‬‬ ‫‪f dt‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪F (b) − F (a) = lim (F (b) − F (a)) = lim‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‪λ(p)→0‬‬ ‫‬ ‫‪26‬‬ ‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בחלקים‬ ‫טענה ‪1‬‬ ‫יהיו ‪ f, g, ϕ‬פונקציות רציפות על ]‪.[a, b‬‬ ‫אם מתקיים השוויון‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪f dx = ϕ (x) − gdx‬‬ ‫]סימון האינטגרל בשוויון זה הוא סימון לאינטגרל הלא־מסוים‪[.‬‬ ‫אזי גם‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx = ϕ (x) |ba −‬‬ ‫‪gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נסמן‪f dx :‬‬ ‫נתון כי‪:‬‬ ‫´‬ ‫= ‪gdx ,F‬‬ ‫´‬ ‫= ‪ ,G‬כך ש־‪ F, G‬פונקציות קדומות של ‪ f, g‬בהתאמה‪.‬‬ ‫)‪F (x) = ϕ (x) − G (x‬‬ ‫‪63‬‬ ‫ובפרט מתקיים עבור הנקודות ‪ a, b‬כי‪:‬‬ ‫)‪F (a) = ϕ (a) − G (a‬‬ ‫)‪F (b) = ϕ (b) − G (b‬‬ ‫נחסר את שתי המשוואות ונקבל‪:‬‬ ‫])‪F (b) − F (a) = ϕ (b) − G (b) − (ϕ (a) − G (a)) = [ϕ (b) − ϕ (a)] − [G (b) − G (a‬‬ ‫⇓‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪f dx = ϕ (x) |a − gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫טענה ‪2‬‬ ‫נניח כי ‪ F, G‬פונקציות גזירות על קטע סגור ]‪ ,[a, b‬ובפרט הן רציפות בקטע זה‪.‬‬ ‫נניח גם כי הפונקציות ‪ F 0 = f, G0 = g‬אינטגרביליות בקטע )לא בהכרח רציפות(‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪F G0 dx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(F G) (x) |ba‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪F Gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מהנתון ש־‪ F, G‬רציפות נובע שהן אינטגרביליות‪,‬‬ ‫‪21‬‬ ‫אינטגרבילית‪.‬‬ ‫לכן נוכל להסיק לפי נוסחת הנגזרת של מכפלה‪:‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ומשכך גם המכפלה שלהן היא פונקציה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪(F G) = F 0 G + F G0‬‬ ‫נעביר אגפים כדי לקבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪F 0 G = (F G) − F G0‬‬ ‫נוציא פונקציה קדומה משני הצדדים ונקבל‪:‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪F 0 Gdx = F G − F G0 dx‬‬ ‫‪20‬הוכחנו טענה זו לעיל‪.‬‬ ‫‪21‬הוכחנו גם טענה זו לעיל‪.‬‬ ‫‪64‬‬ ‫ˆ‬ ‫ומטענה ‪ 1‬שהוכחנו לעיל נסיק כי גם האינטגרל המסוים מקיים את השוויון‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪F G0 dx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪(F G) (x) |ba‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪F Gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫חישוב אינטגרל מסוים באינטגרציה בהצבה‬ ‫‪27‬‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה רציפה על ]‪ [a, b‬ותהי ‪ ϕ‬פונקציה גזירה‪ ,‬כך ש־ ‪ ϕ0‬אינטגרבילית על קטע‬ ‫שנסמן ]‪ [α, β‬כך שמתקיים ]‪.ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a ,ϕ : [α, β] → [a, b‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆβ‬‬ ‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬ראשית נראה כי הביטוי מוגדר‪.‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫נתון כי ‪ f‬רציפה על ]‪ [a, b‬ולכן היא בפרט גם אינטגרבילית עליו‪ ,‬כך שקיים ‪f (x) dx‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נתון גם כי קיימת הנגזרת ‪ ϕ0‬ולכן בפרט גם ‪ ϕ‬רציפה‪ ,‬וכן נתון שהנגזרת אינטגרבילית‬ ‫על ]‪.[α, β‬‬ ‫הפונקציה ‪ f ◦ ϕ‬היא הרכבה של פונקציות רציפות ולכן היא רציפה ובפרט גם‬ ‫אינטגרבילית‪ ,‬והפונקציה ‪ (f ◦ ϕ)·ϕ0‬היא מכפלה של פונקציות אינטגרביליות‪ ,‬ומכפלת‬ ‫פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית‪.‬‬ ‫‪ˆβ‬‬ ‫מוגדר‪.‬‬ ‫לכן הביטוי ‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח כעת את השוויון‪.‬‬ ‫מהמשפט היסודי של החדו"א נובע כי מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה קיימת לה פונקציה קדומה‬ ‫שנסמן ‪ ,F‬המקיימת ‪ F 0 = f‬לכל ]‪.x ∈ [a, b‬‬ ‫נסמן ‪ .G = F ◦ ϕ‬פונקציה זו מוגדרת היטב על ]‪ [α, β‬ומקיימת‪:‬‬ ‫‪G0 = F 0 (ϕ) · ϕ0 = f (ϕ) · ϕ0‬‬ ‫נסיק לפי נוסחת ניוטון־לייבניץ‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ))‪f (x) dx = F (b) − F (a) = F (ϕ (β)) − F (ϕ (α‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆβ‬‬ ‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬ ‫= )‪= G (β) − G (α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪65‬‬ ‫‬ ‫גרסה אחרת של המשפט‬ ‫‪22‬‬ ‫ניתן להחליש את הדרישה על ‪ f‬ובמקום לדרוש שהיא תהיה רציפה נדרוש שהיא רק תהיה‬ ‫אינטגרבילית‪ ,‬ובמקום זאת להחמיר את התנאי על ‪ ,ϕ‬ונקבל את המשפט הבא‪:‬‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬ותהי ‪ ϕ‬פונקציה עולה ממש וגזירה‪ ,‬כך ש־ ‪ ϕ0‬רציפה‬ ‫על קטע שנסמן ]‪ [α, β‬כך שמתקיים ‪.ϕ (β) = b ,ϕ (α) = a‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆβ‬‬ ‫‪f (ϕ (t)) ϕ0 (t) dt‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪22‬לא נוכיח את הגרסה הזו‪.‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪28‬‬ ‫נקודות רציפות של פונקציה אינטגרבילית )מהתרגול(‬ ‫תזכורת‪ :‬נניח כי ‪ f : D → R‬וכי ‪ I ⊆ D‬קטע‪ .‬התנודה של ‪ f‬בקטע ‪ I‬מוגדרת ומסומנת‪:‬‬ ‫|)‪ωf (I) = supf (x) − inf f (x) = sup |f (x) − f (y‬‬ ‫‪x,y∈I‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫אם ‪ x0 ∈ I‬פנימית ממש לקטע ‪ ,I‬אזי התנודה של ‪ f‬בנקודה ‪ x0‬מוגדרת ומסומנת‪:‬‬ ‫))‪ωf (x0 ) = lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ‬‬ ‫‪δ→0‬‬ ‫למה ‪1‬‬ ‫תהי ‪ .f : D → R‬אזי ‪ x0 ∈ D‬נקודת רציפות של ‪ f‬אמ"מ מתקיים עבור התנודה של ‪f‬‬ ‫בנקודה זו ‪ωf (x0 ) = 0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫בכיוון ראשון‪ :‬נניח כי ‪ f‬רציפה ב־ ‪ .x0‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪|x − x0 | < δ‬‬ ‫אזי < |) ‪.|f (x) − f (x0‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫≤ |)‪|f (x) − f (y)| = |f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − f (y‬‬ ‫‪≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (y)| < 2‬‬ ‫נסיק שמתקיים‪:‬‬ ‫‪|f (x) − f (y)| = 0‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫‪lim ωf ((x0 − δ, x0 + δ)) = lim‬‬ ‫‪δ→0‬‬ ‫)‪δ→0 x,y∈(x0 −δ,x0 +δ‬‬ ‫בכיוון שני‪ :‬נניח ש־‪ .ωf (x0 ) = 0‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שאם ‪ δ ∗ < δ‬אז‬ ‫ < )) ∗ ‪.ωf ((x0 − δ ∗ , x0 + δ‬‬ ‫נסיק מכאן‪:‬‬ ‫ < |)‪|f (x) − f (y‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫) ∗ ‪x,y∈(x0 −δ ∗ ,x0 +δ‬‬ ‫≤ |) ‪|f (x) − f (x0‬‬ ‫מכאן ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪.x0‬‬ ‫למה ‪2‬‬ ‫אם ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית‪ ,‬אז לכל ‪ > 0‬קיימות ‪ c, d‬המקיימות ‪,a < c < d < b‬‬ ‫כך ש־ < )]‪ ωf ([c, d‬וכן < |‪.|c − d‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נבחר ∗‪ a∗ , b‬נקודות פנימיות כלשהן של הקטע ]‪ ,[a, b‬ונתבונן בפונקציה האינטגרבילית‬ ‫] ∗‪. f |[a∗ ,b‬‬ ‫‪67‬‬ ‫מקריטריון רימן לאינטגרביליות נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך שלכל חלוקה ‪ p‬של הקטע‬ ‫] ∗‪ [a∗ , b‬המקיימת ‪ ,λ (p) < δ‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ∗‪ωf ∆pi < (b∗ − a‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫נשים לב שעבור החלוקה ‪ p‬בהכרח קיים ‪ i‬כך ש־ < ‪] .ωi‬כי אם נניח בשלילה שלכל ‪i‬‬ ‫מתקיים > ‪ ,ωi‬נקבל כי הביטוי הנ"ל אינו קטן מספיק‪[.‬‬ ‫נבחר חלוקה ‪ p‬שהפרמטר שלה מקיים ‪ ,λ (p) < min 2δ , 2‬כך שמתקיים התנאי‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬ונסיק שקיים בתוכה קטע ] ‪ [pi , pi+1‬כך שעבורו מתקיים‪:‬‬ ‫) ∗‪ωf ∆pi < (b∗ − a‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫< ‪pi+1 − pi‬‬ ‫משפט‬ ‫אם ‪ f : [a, b] → R‬אינטגרבילית‪ ,‬אז קיימת נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬שבה ‪ f‬רציפה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נגדיר סדרה של קטעים בצורה הבאה‪:‬‬ ‫עבור ‪ = 1‬נבחר קטע פנימי ל־]‪ [a, b‬שנסמן ] ‪ ,[a1 , b1‬שמתאים לתנאי למה ‪ .2‬כלומר‪,‬‬ ‫‪ b1 − a1 < 1‬וכן ‪.ω1 ([a1 , b1 ]) < 1‬‬ ‫עבור ‪ = 21‬נצמצם את ‪ f‬לקטע ] ‪ [a1 , b1‬ונפעיל את למה ‪ 2‬שוב‪ .‬נקבל קטע פנימי ל‪[a1 , b1 ]-‬‬ ‫שנסמן ] ‪ [a2 , b2‬שמתאים לתנאי למה ‪ .2‬כלומר‪ b2 − a2 < 21 ,‬וכן ‪.ω2 ([a2 , b2 ]) < 12‬‬ ‫נמשיך באינדוקציה ונקבל סדרה של קטעים ‪ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...‬כך שלכל קטע ] ‪[an , bn‬‬ ‫מתקיים ‪ bn − an < n1‬וכן ‪.ωn ([an , bn ]) < n1‬‬ ‫סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור‪ ,‬ולכן קיימת נקודה יחידה )‪ c ∈ (a, b‬המקיימת‬ ‫∞‬ ‫\‬ ‫∈ ‪.c‬‬ ‫] ‪[ai , bi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כדי להוכיח ש־ ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ ,c‬נשתמש בלמה ‪ ,1‬ונוכיח כי ‪.ωf (c) = 0‬‬ ‫לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך ש־ < ‪ . N1‬נסיק שלכל ‪ > 0‬קיים קטע ] ‪ [aN , bN‬שבו התנודה‬ ‫מספיק קטנה‪ ,‬כך שמתקיים < ‪.ωf ([an , bn ]) < N1‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ δ > 0‬קטן מספיק שעבורו ) ‪ ,(c − δ, c + δ) ⊂ (aN , bN‬ולכן‬ ‫בהכרח‪:‬‬ ‫ < )] ‪ωf (c) = ωf ((c − δ, c + δ)) ≤ ωf ([aN , bN‬‬ ‫מסקנה ‪1‬‬ ‫לכל פונקציה אינטגרבילית יש אינסוף נקודות רציפות‪ ,‬כי ניתן לחלק את תחום‬ ‫האינטגרביליות שלה לתחומים קטנים כרצוננו שבהם היא אינטגרבילית‪ ,‬ולהפעיל על כל‬ ‫אחד מהם את המשפט שהוכחנו‪.‬‬ ‫מסקנה ‪2‬‬ ‫‪68‬‬ ‫אם ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית ומתקיים ‪ f > 0‬בתחום האינטגרביליות‪ ,‬אזי גם האינטגרל שלה‬ ‫בתחום זה גדול ממש מ־‪.0‬‬ ‫ניתן לראות זאת מהמשפט שקבע ש־ ‪ f‬רציפה ב־ ‪ x0‬כלשהי ששייכת לתחום האינטגרביליות‪,‬‬ ‫וידוע כי ‪ ,f (x0 ) > 0‬ומכאן שיש לה סביבה שלמה חיובית ולא קשה להוכיח שבסביבה זו‬ ‫האינטגרל יהיה גדול ממש מ־‪.0‬‬ ‫‪29‬‬ ‫קירוב פונקציות באמצעות המשפט היסודי של החדו"א )מהתרגול(‬ ‫משפט ערך הביניים האינטגרלי‬ ‫לכל פונקציה ‪ f‬רציפה בקטע ]‪ ,[a, b‬ופונקציה ‪ g‬אינטגרבילית בקטע ]‪ ,[a, b‬כך שמתקיים‬ ‫‪ ∀x∈[a,b] g (x) ≥ 0‬או ‪ ,∀x∈[a,b] g (x) ≤ 0‬קיימת נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪g (x) dx‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫)‪f (x) g (x) dx = f (c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ובפרט עבור ‪ g = 1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫)‪f (x) dx = f (c) (b − a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫קירוב פונקציות‬ ‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬פונקציה רציפה‪ ,‬נרצה למצוא פונקציה שתקרב את ערך הפונקציה ‪.f‬‬ ‫לשם כך נחפש פונקציה ‪ Fδ‬גזירה ברציפות‪ ,‬כך שלכל ‪ > 0‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬נתון יתקיים‪:‬‬ ‫ < |)‪|Fδ (x) − f (x‬‬ ‫פונקציית הקירוב‬ ‫נגדיר משפחה של פונקציות ‪ Fδ‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪x+δ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪f (t) dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪Fδ (x‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫‪x−δ‬‬ ‫נשים לב שמכיוון ש־ ‪ f‬אינטגרבילית בכל קטע‪ ,‬ניתן להסיק מהמשפט היסודי שהפונקציה ‪Fδ‬‬ ‫רציפה וגזירה‪.‬‬ ‫‪69‬‬ ‫אם נגזור את ‪ Fδ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪x+δ‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪f (t) dt‬‬ ‫‪f (t) dt +‬‬ ‫= ‪f (t) dt‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x−δ‬‬ ‫‪x+δ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪F 0δ (x) = ‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫‪x−δ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪f (x + δ) − f (x − δ‬‬ ‫= ))‪(f (x) − f (x − δ) + f (x + δ) − f (x‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫=‬ ‫ממשפט ערך הביניים האינטגרלי נסיק שקיימת נקודה ]‪ cx ∈ [x − δ, x + δ‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪x+δ‬‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪f (t) dt = f (cx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2δ‬‬ ‫= )‪Fδ (x‬‬ ‫‪x−δ‬‬ ‫טיב הקירוב עבור נקודה כלשהי‬ ‫לכל ‪ x0 ∈ R‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪lim Fδ (x0 ) = f (x0‬‬ ‫‪δ→0+‬‬ ‫הוכחה‪ :‬מהנתון ש־ ‪ f‬רציפה נובע שלכל ‪ > 0‬קיים ‪) δ ∗ > 0‬להבדיל מהסביבה‬ ‫]‪ ([x − δ, x + δ‬כך שאם ∗ ‪ |x − x0 | < δ‬אז < |) ‪.|f (x) − f (x0‬‬ ‫נשים לב ש־]‪ cx0 ∈ [x0 − δ, x0 + δ‬ולכן ‪ .|cx0 − x0 | < δ‬מכאן שעבור ‪ δ‬מספיק קטן‪,‬‬ ‫מתקיים כי ‪ |cx − x| < δ‬ולכן‪:‬‬ ‫ < |)‪|Fδ (x0 ) − f (x0 )| = |f (cx ) − f (x‬‬ ‫טיב הקירוב לכל קטע‬ ‫לכל קטע ]‪ [a, b‬ולכל ‪ > 0‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫ < |)‪∀x∈[a,b] |Fδ (x) − f (x‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נתון כי ‪ f‬רציפה בפרט גם על כל קטע סגור מהצורה ]‪ ,[a − 1, b + 1‬ולכן היא‬ ‫א‬ ‫רציפה במידה־שווה בו‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,δ > 0‬כך שלכל ]‪ x, y ∈ [a − 1, b + 1‬המקיימים ‪,|x − y| < δ‬‬ ‫מתקיים < |)‪.|f (x) − f (y‬‬ ‫נבחר }‪ δ ∗ = min {δ, 1‬ונשים לב שלכל ]‪ x ∈ [a, b‬ולכל ]‪ ,cx ∈ [x − δ, x + δ‬מתקיים כי‬ ‫∗ ‪ ,|cx − x| < δ‬ולכן‪:‬‬ ‫ < |)‪|Fδ (x) − f (x)| = |f (cx ) − f (x‬‬ ‫‬ ‫אממשפט קנטור לרציפות במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫חלק‬ ‫‪V‬‬ ‫טורים אינסופיים‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בנושא זה המטרה היא לתת מובן מוגדר היטב לביטויים מהצורה ‪ai‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫מבוא מתורת הקבוצות‬ ‫‪30‬‬ ‫‪30.1‬‬ ‫יחס שקילות‬ ‫‪−1‬‬ ‫לכל פונקציה ‪ f : A → B‬שהיא חח"ע ועל‪ ,‬קיימת פונקציה הפוכה ‪: B → A‬‬ ‫היא חח"ע ועל‪.‬‬ ‫‪ f −1‬היא פונקציה הפוכה במובן זה שלכל ‪ a ∈ A‬מתקיים ‪.f −1 (f (a)) = a‬‬ ‫במקרה שקיימת פונקציה כזאת בין שתי קבוצות ‪ ,A, B‬אומרים כי ‪ f‬היא יחס שקילות בין‬ ‫‪ A‬ל־‪ ,B‬ומסמנים ‪.A ≈ B‬‬ ‫‪30.2‬‬ ‫‪ ,f‬שגם‬ ‫עוצמה‬ ‫עוצמה של קבוצה היא מונח שמתאר במובן מסוים גודל של קבוצה סופית או אינסופית‪.‬‬ ‫מסמנים את העוצמה של קבוצה ‪ A‬כלשהי ב־‪ #A‬או ב־|‪.|A‬‬ ‫עוצמה של קבוצות נקבעת לפי יחס השקילות בינן לבין קבוצות אחרות‪ .‬משמע‪ ,‬אומרים כי‬ ‫קבוצות ‪ ,A, B‬סופיות או אינסופיות‪ ,‬הן בעלות אותה עצמה‪ ,‬אם קיים יחס שקילות ביניהן‪.‬‬ ‫דוגמאות מרכזיות‬ ‫• עוצמה של קבוצות סופיות היא מספר טבעי )או ‪ (0‬שמתאר את מספר האיברים‬ ‫שבקבוצה‪ .‬כך למשל העוצמה של הקבוצה }‪ {1, 7, 10‬היא ‪ ,3‬והיא שווה לעוצמה של‬ ‫הקבוצה }‪ {@, &, $‬כי ניתן להגדיר ביניהן יחס שקילות‪.‬‬ ‫• עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים ‪ N‬מסומנת ב־ ‪ .ℵ0‬בהמשך נוכיח את הטענה‬ ‫המפתיעה שקבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬על אף צפיפותה היא בעלת עוצמת‬ ‫הטבעיים‪ ,‬כלומר ‪.#Q = ℵ0‬‬ ‫• עוצמתו של כל קטע ממשי מהצורה ]‪ ,[a, b‬עבור ‪ ,a < b‬מסומנת ב־‪,(continuum) C‬‬ ‫וכן עוצמת כל הישר הממשי ‪ R‬שווה לעוצמה של כל קטע‪ ,‬כלומר ‪.#R = C‬‬ ‫בהמשך נוכיח את הטענה ש־" ‪."C > ℵ0‬‬ ‫יחס סדר של עוצמות‬ ‫על קבוצת העוצמות עצמה ניתן להגדיר יחס־סדר באופן הבא‪:‬‬ ‫עבור קבוצות ‪ ,A, B‬אומרים כי ‪ #A ≤ #B‬אם קיימת תת קבוצה ‪ B ∗ ⊆ B‬כך ש־‬ ‫‪.#B ∗ = #A‬‬ ‫אומרים כי ‪) #A < #B‬ממש( אם מתקיים גם ‪ #A ≤ #B‬וגם ‪.#A 6= #B‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪30.3‬‬ ‫קבוצות בנות־מניה )או‪ :‬עוצמת הטבעיים(‬ ‫קבוצה ‪ A‬נקראת בת־מניה‪ ,‬אם היא קבוצה אינסופית שקיימת פונקציה חח"ע ועל בינה לבין‬ ‫קבוצת המספרים הטבעיים ‪ ,N‬או אם היא קבוצה סופית‪.‬‬ ‫באופן שקול‪ ,‬קבוצה ‪ A‬היא בת־מניה אם ניתן לסדר את כל איבריה בסדרה כך ש־‬ ‫}‪.A = {a1 , a2 , ...‬‬ ‫טענה נניח כי ‪ A‬קבוצה אינסופית בת־מניה וכי ‪ B ⊆ A‬תת־קבוצה אינסופית‪ ,‬אזי גם ‪B‬‬ ‫קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה נתון כי ‪ A‬בת־מניה‪ ,‬ולכן נוכל לזהות את כל איבריה עם סדרה מהצורה }‪.{a1 , a2 , ...‬‬ ‫ע"י הסרת האיברים ששייכים ל־‪ A‬ולא ל־‪ B‬נקבל תת־סדרה חדשה של כל איברי ‪,B‬‬ ‫ולכן ‪ B‬בת־מניה‪.‬‬ ‫טענה אם ‪ A, B‬קבוצות בנות־מניה‪ ,‬אז גם ‪ A ∪ B‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה נתון כי ‪ A, B‬בנות־מניה‪ ,‬ולכן ניתן להציג את כל איבריהם בסדרות מהצורה‪:‬‬ ‫}‪A = {a1 , a2 , ...} , B = {b1 , b2 , ...‬‬ ‫נסדר את כל איברי הסדרה ‪ A ∪ B‬למשל בסדרה בצורה }‪ ,{a1 , b1 , a2 , b2 , ...‬ומכאן‬ ‫ש־‪ A ∪ B‬קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫מסקנה איחוד של כל מספר סופי של קבוצות בנות־מניה‪ ,‬הוא קבוצה בת־מניה‪) .‬באינדוקציה(‪.‬‬ ‫טענה תהי ) ‪ (An‬סדרה אינסופית של קבוצות סופיות‪ ,‬אזי גם הקבוצה ‪Ai‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫היא קבוצה‬ ‫‪i=1‬‬ ‫בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה נתון שכל קבוצה ‪ An‬מכילה מספר סופי של איברים‪ .‬נסמן ב־ ‪ kn‬את מספר האיברים‬ ‫שבקבוצה ה־ ‪.An‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫בסדרה בצורה‪:‬‬ ‫נסדר את כל איברי הקבוצה ‪Ai‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫}‪{a11 , ..., a1k1 , a21 , ..., a2k2 , ..., an1 , ..., ankn , ...‬‬ ‫ומכאן ש־ ‪Ai‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫טענה תהי ) ‪ (An‬סדרה אינסופית של קבוצות אינסופיות בנות־מניה‪ ,‬אזי גם הקבוצה ‪Ai‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫‪i=1‬‬ ‫היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה נשתמש בשיטה שנקראת האלכסון של קנטור‪ .‬נציג את כל איברי כל הסדרות באופן‬ ‫‪72‬‬ ‫הבא‪:‬‬ ‫}‪A1 = {a11 , a12 , a13 , ...‬‬ ‫}‪A2 = {a21 , a22 , a23 , ...‬‬ ‫}‪A3 = {a31 , a32 , a33 , ...‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫}‪An = {an1 , an2 , an3 , ...‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫טבלה זו מכילה את כל האיברים שבכל הקבוצות‪ .‬נסדר את כל איברי הטבלה בשיטה‬ ‫הבאה‪:‬‬ ‫נרכיב את הסדרה הכללית מתת־סדרות‪ :‬הראשונה היא האיבר ‪ ,a11‬הבאה היא‬ ‫האיברים ‪ ,a12 , a21‬זו שאחריה היא ‪ ,a13 , a22 , a31‬וכן הלאה‪ ,‬כשכל תת־סדרה‬ ‫מורכבת מאלכסון בטבלה המוצגת‪.‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫קיבלנו סדרה שמכילה את כל איברי הקבוצה ‪ , Ai‬ומכאן שזו קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הערה בהתאם לגישה שהצגנו בהוכחה‪ ,‬ניתן גם להציג את הקבוצה באופן הבא‪:‬‬ ‫!‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫= ‪Ai‬‬ ‫} ‪{Akl‬‬ ‫‪k+l=n‬‬ ‫‪i=2‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫כי ניתן לשים לב שכל קבוצה בסדרה שהגדרנו בהוכחה מכילה האיברים שסכום‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫היא איחוד אינסופי בן־מניה של‬ ‫שני האינדקסים שלהם קבוע‪ .‬לכן הקבוצה ‪Ai‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫קבוצות סופיות‪ ,‬ומטענה קודמת נובע כי זו קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫טענה קבוצת המספרים השלמים ‪ Z‬היא קבוצה בת מניה‪.‬‬ ‫הוכחה נסדר את כל איברי הקבוצה בסדרה בצורה }‪ ,Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...‬ומכאן‬ ‫ש־‪ Z‬קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫טענה קבוצת המספרים הרציונליים ‪ Q‬היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪ x‬כך ש‪,p ∈ N-‬‬ ‫הוכחה נשים לב שהקבוצה ‪ Q‬מכילה רק מספרים ממשיים מהצורה‬ ‫‪.q ∈ Z‬‬ ‫מכאן שניתן להציג את ‪ Q‬כסכום כל הקומבינציות האפשריות של המונה והמכנה‪,‬‬ ‫באופן הבא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫‪[ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫⊂‪Q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q=1‬‬ ‫‪p∈Z‬‬ ‫‪23‬‬ ‫צורה זו היא איחוד של אינסוף בן־מניה של קבוצות אינסופיות בנות־מניה‪ ,‬ולכן היא‬ ‫בת־מניה לפי טענה קודמת‪.‬‬ ‫‪23‬הסיבה לכך שמתקיימת הכלה ולא שוויון‪ ,‬היא ש־‪ Q‬מכילה רק שברים מצומצמים‪ .‬כך למשל בקבוצה ‪ Q‬אין‬ ‫הבדל בין האיבר ‪ 12‬לבין האיבר ‪ , 24‬אולם בקבוצה שהגדרנו יש הבדל‪.‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪30.4‬‬ ‫עוצמת הרצף‬ ‫לכל ‪ ,a < b ,a, b ∈ R‬הקטע ]‪ [a, b‬אינו בן־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח בשלילה שקטע מהצורה ]‪ [a, b‬הוא קבוצה בת־מניה‪ ,‬כך שכל איבריה מיוצגים בסדרה‬ ‫) ‪.(xn‬‬ ‫נחלק את הקטע לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם‪ ,‬ונשים לב שכל נקודה ]‪ x ∈ [a, b‬שייכת‬ ‫לכל היותר לשניים מתתי הקטעים שהגדרנו‪.‬‬ ‫נתבונן בנקודה ]‪ .x1 ∈ [a, b‬קיים תת־קטע שלא מכיל אותה‪ ,‬שנסמן ] ‪.[a1 , b1‬‬ ‫נחלק את תת הקטע ] ‪ [a1 , b1‬לשלושה תתי־קטעים שווים בגודלם‪ ,‬נבחר את הנקודה הבאה‬ ‫‪ ,x2‬ונסמן את הקטע שהיא לא שייכת אליו ב־] ‪.[a2 , b2‬‬ ‫נמשיך את התהליך עד לאינסוף‪ ,‬ונקבל סדרה של קטעים‪:‬‬ ‫‪([an , bn ]) = [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ...‬‬ ‫∈ ‪.xn‬‬ ‫כך שלכל ‪ n‬מתקיים‪/ [an , bn ] :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , b−a‬מכאן‬ ‫אורכי כל אחד מהקטעים הוא ‪ 3‬מאורך קודמו‪ ,‬כך שאורך הקטע ] ‪ [an , bn‬הוא ‪3n‬‬ ‫שכאשר ∞ → ‪ n‬אורכי הקטעים שואפים ל־‪.0‬‬ ‫סדרה זו עומדת בתנאי הלמה של קנטור‪ ,‬ולכן קיימת נקודה יחידה ]‪ x0 ∈ [a, b‬שמקיימת‪:‬‬ ‫] ‪[an , bn‬‬ ‫∞‬ ‫\‬ ‫∈ ‪x0‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫∈ ‪ ,xn‬נסיק שלכל סדרה ניתן למצוא נקודה ]‪x0 ∈ [a, b‬‬ ‫מכיוון שלכל ‪ n‬מתקיים ] ‪/ [an , bn‬‬ ‫∈ ‪ ,x0‬בסתירה להנחה שכל האיברים ב־]‪ [a, b‬מוצגים בסדרה כלשהי‬ ‫כך ש־}‪/ {x1 , x2 , ...‬‬ ‫בצורה }‪ .{x1 , x2 , ...‬‬ ‫‪31‬‬ ‫סכום של קבוצה‬ ‫תהי ‪ A‬קבוצה סופית או אינסופית של מספרים ממשיים אי־שליליים‪.‬‬ ‫נגדיר את הסכום של כל איברי ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬ ‫}‪a = sup {a1 + a2 + ... + an |a1 , a1 , ..., an ∈ A n ∈ N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a∈A‬‬ ‫כלומר‪ ,‬החסם העליון של כל הסכומים הסופיים האפשריים של איברים שונים ב־‪.A‬‬ ‫• למשל אם }‪ ,A = {1, 2, 3‬אז נקבל‪:‬‬ ‫‪a = sup {1, 2, 3, 1 + 2, 1 + 3, 2 + 3, 1 + 2 + 3} = 6‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a∈A‬‬ ‫• למשל אם ]‪ ,A = [0, 1‬אז נקבל‪:‬‬ ‫∞=‪a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a∈A‬‬ ‫כי אין חסם עליון לקבוצת כל הסכומים האפשריים שמורכבים מאיברי ‪.A‬‬ ‫‪74‬‬ ‫הערה‬ ‫ששונים לפי הגדרת הקבוצה‪ ,‬אך ערכם הממשי זהה‪.‬‬ ‫שני איברים‬ ‫‬ ‫קבוצות מכילות ‬ ‫‬ ‫לעתים ‬ ‫למשל ‪ A = 1, 12‬או ]‪.A = x2 |x ∈ [−1, 1‬‬ ‫כדי לשמור על הגדרה עקבית של המונח "איברים שונים"‪ ,‬ניתן להגדיר סכום באופן הבא‪:‬‬ ‫נניח כי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬היא קבוצה‪ ,‬אז נגדיר את הקבוצה ‪ A‬שתתאים אינדקס לכל‬ ‫איבר שונה בקבוצה המקורית‪ ,‬ואז הסכום יוגדר באופן הבא‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪aα‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪31.1‬‬ ‫עוצמה של קבוצה שסכומה סופי‬ ‫נניח כי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬קבוצה המקיימת ∞ < ‪aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬אזי הקבוצה }‪{α|aα > 0‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫היא קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נניח כי מתקיים ∞ < ‪aα = c‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬אזי מההגדרה של סכום של קבוצה נובע שלכל ‪n ∈ N‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫קיים ‪ m ∈ N‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪= m ≤ nc‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫> ‪# α|aα‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫כאשר ‪ m‬הוא סימון למספר האיברים בקבוצה ‪. α|aα > n1‬‬ ‫]נימוק‪ :‬נניח בשלילה שקיים ‪ n‬שעבורו מתקיים ‪ .m > nc‬נסכום את ‪ m‬האיברים שמקיימים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,m n1 > nc‬בניגוד להנחה שהחסם העליון של הסכומים‬ ‫‪ aα > n‬ונקבל סכום שמקיים ‪c = c‬‬ ‫הוא ‪[.c‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫נסיק מכך בפרט שמתקיים לכל ‪ n ∈ N‬שהקבוצה ‪ α|aα > n1‬סופית‪.‬‬ ‫מספרים חיוביים יהיו גדולים כרצוננו‪[.‬‬ ‫]נימוק‪ :‬כי סכומים מקבוצה‬ ‫אינסופית של ‬ ‫‬ ‫מכאן שניתן להציג את הקבוצה ‪ α|aα > n1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‬ ‫ ∞‬ ‫[‬ ‫‪1‬‬ ‫= }‪{α|aα > 0‬‬ ‫> ‪α|aα‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ומכיוון שזה איחוד בן־מניה של קבוצות סופיות‪ ,‬נסיק שזו קבוצה בת־מניה‪.‬‬ ‫‪31.2‬‬ ‫אפיון שקול לסכום של קבוצה‬ ‫תהי )∞ ‪ {aα }α∈A ⊆ [0,‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬כך שכל איבריה מוצגים בסדרה מהצורה‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪{aα }α∈A = {a1 , a2 , ...} = (an )n=1‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪an‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪aα = lim‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נסמן את האיבר הכללי בסדרה ‪an = SN‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .1‬ברור מהגדרת סכום של קבוצה בחסם עליון‪ ,‬שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪an‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪SN‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫כמו־כן נשים לב שמחיוביות הקבוצה נובע שהסדרה ‪ SN‬היא סדרה מונוטונית לא־‬ ‫יורדת‪:‬‬ ‫‪SN +1 = SN + aN +1 ≥ SN‬‬ ‫מכאן שהסדרה ‪ SN‬מתכנסת )התכנסות במובן הרחב( לחסם העליון )חסם במובן‬ ‫הרחב( שלה‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .2‬נותר להוכיח כי החסם העליון של ‪ SN‬הוא הסכום ‪aα‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫לשם כך נדון בשני מקרים‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬אזי מהגדרת החסם העליון נובע שלכל ‪ > 0‬קיימים האיברים‬ ‫• אם ∞ < ‪aα‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪ a∗1 , a∗2 , ..., a∗m‬ב־} ‪ ,{aα‬כך ש‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‪aα −‬‬ ‫> ‪a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α=1‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫מכיוון שזו קבוצה עם סכום סופי‪ ,‬נסיק שקיים ‪ N‬מספיק גדול כך ש‪:‬‬ ‫} ‪{a∗1 , a∗2 , ..., a∗m } ⊆ {a1 , a2 , ..., aN‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫ ‪aα −‬‬ ‫‪X‬‬ ‫> ‪SN > Sm‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫ובצירוף הנתון מחלקה הראשון של ההוכחה‪aα ,‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪ ,SN‬נקבל‪:‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫ ‪aα +‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫< ‪aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪aα − < SN‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫⇓‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪aα‬‬ ‫‪SN −‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪X‬‬ ‫‬ ‫מכאן שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול המקיים < ‪aα‬‬ ‫‪ ,SN −‬ומכאן ש‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪lim SN‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫• אם ∞ = ‪aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬אזי לכל ‪ M ∈ R‬קיימים האיברים ‪ a∗1 , a∗2 , ..., a∗m‬ב־} ‪ ,{aα‬כך ש‪:‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪a∗α = a∗1 + a∗2 + ... + a∗m > M‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α=1‬‬ ‫ולכן עבור ‪ N‬מספיק גדול‪ ,‬לכל ‪ k > N‬מתקיים כי ‪ ,Sk > M‬מכאן שמתקיים‪:‬‬ ‫∞ = ‪lim SN‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‬ ‫דוגמה‬ ‫נניח כי }‪ .A = {2−n |n ∈ N‬נוכיח כי ‪a = 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫באמצעות המשפט האחרון‪.‬‬ ‫‪a∈A‬‬ ‫נסדר את כל איברי ‪ A‬בסדרה הבאה‪:‬‬ ‫‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪, , , ...‬‬ ‫‪2 4 8‬‬ ‫ונחשב לפי נוסחת הסכום של טור גאומטרי‪:‬‬ ‫!‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 1 − 21N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪2 1 − 12‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫‪31.3‬‬ ‫‬ ‫=‪A‬‬ ‫!‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪a = lim‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫הרחבת מושג הסכום של קבוצה‬ ‫נניח כי ‪ {aα }α∈A‬קבוצה של מספרים ממשיים כלשהם‪ ,‬חיוביים או שליליים‪ ,‬ונניח גם‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שמתקיים ∞ < | ‪|aα‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫נגדיר את הסכום של הקבוצה באופן הבא‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪aα‬‬ ‫‪aα −‬‬ ‫) ‪(−aα‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪aα <0‬‬ ‫‪aα ≥0‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫הבהרה‪ :‬מההנחה שסכום הערכים המוחלטים של איברי הקבוצה הוא סופי‪ ,‬נובע שכל אחד‬ ‫משני הביטויים שמשמשים להגדרה הם סופיים‪ ,‬ולכן זה מוגדר היטב‪.‬‬ ‫‪77‬‬ ‫טור אינסופי‬ ‫‪32‬‬ ‫∞‬ ‫תהי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים ממשיים‪ ,‬חיוביים או שליליים‪ ,‬אזי הביטוי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫נקרא‬ ‫‪n=1‬‬ ‫"טור אינסופי"‪ ,‬או בקיצור "טור"‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫סכום חלקי‬ ‫יהי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור אינסופי‪ .‬נגדיר ונסמן את "הסכום החלקי ה־‪n‬י" את סכום ‪ n‬האיברים‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪25‬‬ ‫הראשונים‪:‬‬ ‫‪ak‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫התכנסות של טור‬ ‫נאמר שטור מהצורה ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫הוא "טור מתכנס"‪ ,‬אם סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪(Sn )n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסת לגבול ממשי כלשהו ‪ .s‬כלומר‪:‬‬ ‫‪lim Sn = s ∈ R‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫במקרה זה נאמר כי ‪ s‬הוא סכום הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ .‬אם לא קיים ‪ s‬כזה נאמר שהטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הערה הטענה שטור מתבדר כוללת ‪ 3‬מקרים שונים‪:‬‬ ‫‪ .1‬לסדרה ) ‪ (Sn‬אין גבול בשום מובן‪.‬‬ ‫‪ .2‬הסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת במובן הרחב ל־∞‪ .‬במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר ל־∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ונסמן ∞ = ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .3‬הסדרה ) ‪ (Sn‬מתכנסת במובן הרחב ל־∞‪ .−‬במקרה כזה נאמר כי הטור מתבדר‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ל־∞‪ −‬ונסמן ∞‪an = −‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪24‬הוכחנו לעיל שכל קבוצה שיש לה סכום סופי היא בת־מניה‪ ,‬ולכן אין טעם לדון בקבוצות שאינם בנות מניה‬ ‫ונניח שהאיברים ניתנים לסידור‪.‬‬ ‫‪25‬חשוב שהאיברים יהיו ראשונים‪ ,‬כי בהמשך נראה שבטורים אינסופיים לעתים יש חשיבות לסדר הסכימה‪.‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪33.1‬‬ ‫הקשר בין סכום של קבוצה להתכנסות של טור‬ ‫נניח כי ) ‪ (an‬סדרה אינסופית של מספרים אי־שליליים‪.‬‬ ‫ניתן להתייחס אליה כאל קבוצה ולדון על הסכום שלה ‪an‬‬ ‫‪X‬‬ ‫במובן של סכום על קבוצה‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫שהגדרנו‪ ,‬שהוא החסם העליון של כל הסכומים החלקיים האפשריים‪ ,‬ללא תלות בסדר‬ ‫הסכימה‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬שהוא הגבול של סדרת‬ ‫וניתן גם להתייחס אליה כאל סדרה ולדון על הטור שלה ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הסכומים החלקיים של ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬ ‫מהמשפט שהוכחנו )אפיון שקול לסכום של קבוצה( נובעת שקילות בין שני סוגי הסכומים‬ ‫הללו‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫ושוויון זה אינו רק בערך הסכום של הקבוצה והטור‪ ,‬אלא גם בעצם קיום הסכום והטור‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪ .‬במקרה כזה גם סכומם‬ ‫אמ"מ הטור ‪an‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיים הסכום הסופי ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫שווה‪.‬‬ ‫דוגמה ־ טור הנדסי‬ ‫טור הנדסי מורכב מאיברים שמוגדרים באמצעות הפרמטרים ‪ a0 , α ∈ R‬בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪an = a0 αn‬‬ ‫נשים לב לשוויון הטלסקופי‪:‬‬ ‫‪26‬‬ ‫)‪αn+1 − 1 = (α − 1) (αn + ... + α + 1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪αn+1 − 1‬‬ ‫)‪= (αn + ... + α + 1‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫מכאן שסכום חלקי כללי של טור מסוג זה ניתן לביטוי באופן הבא‪:‬‬ ‫‪αn+1 − 1‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫⇓‬ ‫‬ ‫‪ n+1‬‬ ‫‪ n+1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪−1 = a0‬‬ ‫‪Sn = a0‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫· ‪Sn + a0 = a0 (αn + ... + α + 1) = a0‬‬ ‫בכדי לקבוע האם הטור מתכנס או מתבדר נשתמש באפיון השקול ונבדוק את הגבול של‬ ‫סדרה הסכומים החלקיים‪:‬‬ ‫‪ n+1‬‬ ‫ ‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪−α‬‬ ‫‪a0 · α−1‬‬ ‫‪= a0 · 1−α‬‬ ‫‪for |α| < 1‬‬ ‫‪lim a0‬‬ ‫=‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞‬ ‫‪for |α| ≥ 1‬‬ ‫‪α−1‬‬ ‫‪26‬שוויון זה מתקיים רק עבור ‪ ,α 6= 1‬כדי שלא נחלק ב־‪ .0‬במקרה שבו ‪ α = 1‬קל לראות שסכום הטור ההנדסי‬ ‫הוא ‪.a0 n‬‬ ‫‪79‬‬ ‫לכן טור הנדסי מתכנס אמ"מ ‪ ,|α| < 1‬ובמקרה שהוא מתכנס סכום הטור הוא‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1−α‬‬ ‫· ‪a0 αn =a0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫דוגמה ־ טור טלסקופי‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪n(n+1‬‬ ‫= ‪.an‬‬ ‫נבחן את הטור של‬ ‫נשים לב שמתקיים עבור כל סכום חלקי של הטור‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫=‬ ‫‪1·2 2·3 3·4‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 1−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪n n+1‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪= 1−‬‬ ‫קל לראות שכאשר ∞ → ‪ n‬סדרה הסכומים החלקיים מתכנסת ל־‪ ,1‬ולכן‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(n‬‬ ‫)‪+ 1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪√1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪.an‬‬ ‫נבחן את הטור של‬ ‫נשים לב שמתקיים אי השוויון הבא‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Sn = 1 + √ + ... + √ ≥ √ + √ + ... + √ = √ = n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכאן שעל־אף שהאיבר הכללי של הסדרה מתכנס ל־‪ ,0‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור‬ ‫מתכנסת לאינסוף ולכן הטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪33.2‬‬ ‫קריטריון קושי להתכנסות טור‬ ‫טור כלשהו ‪an‬‬ ‫מתקיים כי‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪k ∈ N‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ n+k‬‬ ‫‬ ‫ ‪ X‬‬ ‫ < ‪al‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪l=n+1‬‬ ‫‪80‬‬ ‫הוכחה‬ ‫תהי ‪ Sn‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪an‬‬ ‫לפי הגדרת התכנסות של טור‪ ,‬הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס ⇔ הסדרה ‪ Sn‬מתכנסת ⇔ ‪ Sn‬סדרת‬ ‫‪n=1‬‬ ‫קושי‪.‬‬ ‫המשמעות של הקביעה כי ‪ Sn‬היא סדרה קושי‪ ,‬היא שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל‬ ‫‪ n > N‬ולכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ n+k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫ ‪ X‬‬ ‫ = | ‪|Sn+k − Sn‬‬ ‫‪al −‬‬ ‫ = ‪al‬‬ ‫<‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪l=n+1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‬ ‫‪33.3‬‬ ‫הטור ההרמוני‬ ‫• נראה שהטור הריבועי של הטור ההרמוני מתכנס‪ ,‬לפי קריטריון קושי‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪ n+k‬‬ ‫‬ ‫ ‪ X 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫≤‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪l‬‬ ‫)‪(n + 1‬‬ ‫)‪(n + 2‬‬ ‫ )‪(n + k‬‬ ‫‪l=n+1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫≤‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫)‪n (n + 1) (n + 1) (n + 2‬‬ ‫ )‪(n + k − 1) (n + k‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫)‪n (n + 1‬‬ ‫)‪(n + 1) (n + 2‬‬ ‫ )‪(n + k − 1) (n + k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪= −‬‬ ‫<‬ ‫‪−→ 0‬‬ ‫‬ ‫‪n n+k‬‬ ‫∞→‪n n‬‬ ‫• נראה שהטור ההרמוני מתבדר‪:‬‬ ‫נשים לב שאם טור כלשהו מתכנס‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪ Sn‬מתכנסת ל־‪s‬‬ ‫כלשהו‪ ,‬ובפרט גם תת הסדרה ‪ S2n‬מתכנסת לאותו גבול‪ .‬מכאן שסדרת ההפרש‬ ‫ביניהן צריכה להתכנס ל־‪.0‬‬ ‫נראה שבטור ההרמוני זה לא כך‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫·‪≥n‬‬ ‫=‬ ‫‪n+1 n+2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני לא מתכנסת‪ .‬‬ ‫= ‪S2n − Sn‬‬ ‫‪33.4‬‬ ‫תנאי להתכנסות טור‬ ‫אם טור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬אזי האיבר הכללי שלו שואף ל־‪ 0‬באינסוף‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪27‬זה תנאי הכרחי אך לא מספיק‪ .‬למשל הטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שלו שואף ל־‪.0‬‬ ‫‪81‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נתון שהטור מתכנס‪ ,‬ולפיכך סדרת הסכומים החלקיים שלו ‪ Sn‬מתכנסת ל־‪ s‬כלשהו‪ ,‬ובפרט‬ ‫גם כל תת־סדרה שלה‪ ,‬למשל ‪ ,Sn+1‬מתכנסת ל־‪.s‬‬ ‫מכאן שסדרת ההפרשים מתכנסת ל־‪ .0‬נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪an = (Sn+1 − Sn ) −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‬ ‫‪33.5‬‬ ‫הטור ‪ m‬זנב‬ ‫בהינתן טור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ובהינתן ‪ ,m ∈ N‬הטור "‪ m‬זנב" הוא הטור שמוגדר‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫אם ה־‪ m‬זנב הוא טור מתכנס‪ ,‬נסמן את סכומו‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ak‬‬ ‫‪k=m+1‬‬ ‫‪33.5.1‬‬ ‫‪an = lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪rm‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫הקשר בין התכנסות טור להתכנסות הזנבות שלו‬ ‫‪ .1‬אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הוא טור מתכנס שסכומו ‪ ,s‬אזי לכל ‪ m‬מתקיים כי הטור ‪ m‬זנב מתכנס‪,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ומתקיים כי סכומו הוא ‪.rm = s − Sm‬‬ ‫‪ .2‬אם ידוע שקיים ‪ m ∈ N‬שעבורו ‪ m‬זנב הוא טור מתכנס‪ ,‬אזי הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ומתקיים כי סכומו הוא ‪.s = rm + Sm‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬לפי הנתון מתקיים כי ‪ .Sn −→ s‬נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של ‪ m‬זנב‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ב־ ‪ .σk‬כלומר ‪an‬‬ ‫‪m+k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪.σk‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪σk = (Sm+k − Sm ) −→ s − Sm‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫‪82‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ .2‬נתון כי ‪an‬‬ ‫= ‪ rm‬טור מתכנס‪ .‬נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫!‬ ‫‪−→ Sm + rm‬‬ ‫‪al‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫‪Sm +‬‬ ‫‪l=m+1‬‬ ‫‬ ‫מסקנות‬ ‫‪ .1‬אם מתבוננים בסדרת הזנבות ‪ ,rm‬מתקיים כי ‪.rm −→ 0‬‬ ‫∞→‪m‬‬ ‫]הוכחנו שמתקיים ‪ ,rm = s − Sm‬ונשים לב כי ‪[.Sm −→ s‬‬ ‫∞→‪m‬‬ ‫‪ .2‬כל שינוי‪/‬הוספה‪/‬החסרה של מספר סופי מאיברי הטור‪ ,‬לא משפיעה על שאלת‬ ‫התכנסות הטור‪.‬‬ ‫אריתמטיקה של טורים‬ ‫‪33.6‬‬ ‫יהיו ‪an = α‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn = β ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬ויהי ‪.c ∈ R‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪α ≥ 0 ⇐ ∀n an ≥ 0 .1‬‬ ‫‪α ≤ β ⇐ ∀n an ≤ bn .2‬‬ ‫‪(an ± bn ) = α ± β .3‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫בהתאמה‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הערה‪ :‬ההפך לא נכון‪ .‬כלומר‪ ,‬ייתכן שהטור ) ‪(an ± bn‬‬ ‫מהטורים ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪can = cα .4‬‬ ‫‪an ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬אבל כל אחד‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אינו מתכנס‪.‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכחות‬ ‫‪ .1‬נתון כי ‪ 0 ≤ an‬לכל ‪ ,n‬ולכן מתקיים לכל סכום חלקי ‪ ,Sn ≥ 0‬ומאריתמטיקה של‬ ‫גבולות נובע כי ‪.0 ≤ α‬‬ ‫‪ .2‬נתון כי ‪ an ≤ bn‬לכל ‪ ,n‬ולכן מתקיים לכל סכום חלקי ‪ ,Sn,an ≤ Sn,bn‬ומאריתמטיקה‬ ‫של גבולות נובע כי ‪.α ≤ β‬‬ ‫‪28‬יש לבחון התכנסות של ‪ 4‬טורים‪(an − bn ) :‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(an + bn ) ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪an ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אפשר לחשב ולראות שהתכנסות של כל שניים מהם גוררת את התכנסות גם השניים האחרים‪.‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪ .3‬נחשב את הסכום החלקי של סדרת הסכום‪/‬הפרש‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫= ) ‪(an ± bn‬‬ ‫‪an ±‬‬ ‫‪bn −→ α ± β‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪SN‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .4‬נחשב את הסכום החלקי של הסדרה המוכפלת בקבוע‪ֳ:‬‬ ‫‪an −→ cα‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪can = c‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪SN‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫טורים חיוביים‬ ‫∞‬ ‫אם ‪ (an )n=1‬סדרה אינסופית כך ש־‪ ,∀n an ≥ 0‬אזי הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫נקרא טור חיובי‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫תכונה ‪ 1‬במקרה של טור חיובי‪ ,‬קל לראות שאין חשיבות לסדר הסכימה‪ ,‬הן לגבי עצם‬ ‫התכנסות הטור והם לגבי הסכום שלו‪.‬‬ ‫תכונה ‪ 2‬במקרה של טור חיובי‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה‪ ,‬ולפיכך הטור‬ ‫מתכנס אמ"מ סדרת הסכומים החלקיים חסומה‪.‬‬ ‫כמו־כן‪ ,‬אם הטור מתבדר אז הוא בהכרח מתבדר ל־∞‪.‬‬ ‫‪34.1‬‬ ‫יהיו ‪an‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫קריטריון ההשוואה‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים חיוביים‪ ,‬ונניח שקיים ‪ N ∈ N‬כך ש־ ‪.∀n>N an ≤ bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס אז גם ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדר אז גם ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[‬ ‫מהתכנסות ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫נובע כי גם הטור ‪ N‬זנב ‪bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=N +1‬‬ ‫מהנתון ש־ ‪ ∀n>N an ≤ bn‬נובע שסדרה הסכומים החלקיים ‪an‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫חסומה לכל ‪.k‬‬ ‫‪n=N +1‬‬ ‫מכיוון שאלו טורים חיוביים נסיק כי הטור ‪ N‬זנב ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=N +1‬‬ ‫מטענה שהוכחנו לעיל נובע כי אם קיים זנב מתכנס אז גם הטור מתכנס‪ .‬‬ ‫‪84‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מסקנה כל טור מהצורה‬ ‫‪nβ‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪34.2‬‬ ‫עבור ‪ 0 ≤ β ≤ 1‬מתבדר ל־∞‪ ,‬כי מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪nβ‬‬ ‫≤‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.∀n‬‬ ‫מבחן המנה )‪(1‬‬ ‫יהיו ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים חיוביים‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אם קיימים ‪ ,0 < α, β ∈ R‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪≤β‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫≤‪0<α‬‬ ‫אזי שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נסיק מההנחה שמתקיים‪:‬‬ ‫‪0 < αbn ≤ an ≤ βbn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫לכן אם ‪bn‬‬ ‫מתכנס אז גם ‪βbn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫באותו אופן נסיק כי אם ‪an‬‬ ‫נסיק שגם ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולפי מבחן ההשוואה נסיק שגם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר אז גם ‪βbn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬ולפיכך ממבחן ההשוואה‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדר‪ .‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫מסקנה אם קיים הגבול ‪−→ L‬‬ ‫∞→‪bn n‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬ ‫)גם אם גבול עליון( כאשר ‪ ,0 < L ∈ R‬אזי הטורים‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מכיוון שהסדרה ‪ abnn‬מתכנסת לגבול חיובי‪ ,‬הרי שניתן לחסום אותה בין שני מספרים‬ ‫חיוביים‪ ,‬ולכן מתקיימים תנאי מבחן המנה‪.‬‬ ‫‪34.3‬‬ ‫יהיו ‪an‬‬ ‫מבחן המנה )‪(2‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים חיוביים‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪bn+1‬‬ ‫≤‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס אז גם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪85‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר אז גם ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכחה ]נשים לב ששני הסעיפים שקולים[‬ ‫נשים לב שלכל ‪ 1 < k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪aN +k‬‬ ‫‪aN +k‬‬ ‫‪aN +2 aN +3 aN +4‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫· ‪· ...‬‬ ‫=‬ ‫≤‬ ‫‪aN +1 aN +2 aN +3‬‬ ‫‪aN +k−1‬‬ ‫‪aN +1‬‬ ‫‪bN +2 bN +3 bN +4‬‬ ‫‪abN +k‬‬ ‫‪bN +k‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫· ‪· ...‬‬ ‫=‬ ‫‪bN +1 bN +2 bN +5‬‬ ‫‪bN +k−1‬‬ ‫‪bN +1‬‬ ‫≤‬ ‫מכאן שמתקיים‪:‬‬ ‫‪aN +k‬‬ ‫‪bN +k‬‬ ‫≤‬ ‫‪aN +1‬‬ ‫‪bN +1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪bN +1 · aN +k ≤ bN +k · aN +1‬‬ ‫נשים לב כי הביטויים ‪ bN +1 ,aN +1‬הם קבועים חיוביים כלשהם‪ ,‬ואי השוויון הנ"ל נכון לכל‬ ‫‪ 1 < k ∈ N‬ולכן מתקיימים תנאי מבחן ההשוואה‪ .‬‬ ‫מבחן קושי‬ ‫‪34.4‬‬ ‫יהי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור חיובי‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫√‬ ‫‪ .1‬אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ , n an < q‬אז הטור‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫√‬ ‫‪ .2‬אם קיימים אינסוף ערכים שעבורם ‪ , n an ≥ 1‬אז הטור מתבדר‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫< ‪ 0‬נסיק כי ‪.an < q n < 1‬‬ ‫‪ .1‬מההנחה ‪an < q < 1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הוא טור הנדסי שהפרמטר שלו קטן מ־‪ ,1‬ולכן מתכנס‪ .‬לפי‬ ‫נשים לב שהטור ‪q n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן ההשוואה נסיק כי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .2‬אם קיימים אינסוף ערכים המקיימים ‪an ≥ 1‬‬ ‫האיבר הכללי לא מתכנס ל־‪.0‬‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫מסקנה אם ‪ lim n an < 1‬אז הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪ lim n an > 1‬אז הטור מתבדר‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫בפרט אם קיים הגבול הכללי ‪ lim n an = c‬קיים‪ ,‬אז כל הגבולות החלקיים גם‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫שווים ל־‪ ,c‬ולכן ההתכנסות תלויה בערך ‪.c‬‬ ‫‪86‬‬ ‫אז הם גם מקיימים ‪ ,an ≥ 1‬ולכן‬ ‫‪34.5‬‬ ‫יהי ‪an‬‬ ‫מבחן דלאמבר‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור חיובי‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪ .1‬אם קיימים ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪< q‬‬ ‫‪an‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪ ,‬אז הטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≥ 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ ,‬אז הטור‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נגדיר ‪ ,bn = q n‬ונשים לב שהטור ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס עבור ‪.0 < q < 1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪q n+1‬‬ ‫‪bn+1‬‬ ‫נשים לב כי מתקיים ‪= n = q < 1‬‬ ‫‪ ,‬ומכאן שעבור ‪ n > N‬מתקיים‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪bn+1‬‬ ‫‪ ,‬ולכן ממבחן קודם נובע שהטור מתכנס‪.‬‬ ‫≤‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫אז ‪ ,an+1 ≥ an‬ולכן האיבר הכללי של הטור לא מתכנס ל־‪.0‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪≥ 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪ lim‬אז הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪> 1‬‬ ‫מסקנה אם ‪< 1‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫‪ lim‬אז הטור מתבדר‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪αn‬‬ ‫מסקנה טור מהצורה‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪34.6‬‬ ‫הטור של‬ ‫‪29‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬לפי מבחן דלאמבר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪nβ‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נגדיר את הטור‬ ‫‪β‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אם ‪ β > 1‬הטור מתכנס‪ ,‬ואם ‪ 0 < β ≤ 1‬הטור מתבדר‪.‬‬ ‫עבור ‪.0 ≤ β ∈ R‬‬ ‫הוכחה הוכחנו את נכונות הטענה עבור הטור ההרמוני‪ ,‬כלומר עבור ‪ .β = 1‬לכן ממבחן‬ ‫ההשוואה נובע שלכל ‪ 0 < β < 1‬הטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪29‬נשים לב כי אם ‪= 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫מתבדר )ניתן להוכיח לפי מבחן ההשוואה עם הטור של‬ ‫‪ lim‬לא ניתן לדעת האם הטור מתכנס או מתבדר‪ .‬למשל הטור של‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.( 2n‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫נניח כי ‪ ,β > 1‬אז לכל ‪ m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪+ β + β + β + β + β + ...‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‬ ‫= ‪+ ...‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫‪nβ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ β + β + β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2X‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪n=2m−1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪nβ‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=2‬‬ ‫‪n=4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ 4 β + ... + 2m−1‬‬ ‫=‬ ‫‪β‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪2β‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‬ ‫‪1−β‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2X‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪≤1+2‬‬ ‫‪= 1 + 21−β + 41−β + ... + 2m−1‬‬ ‫‪+ ... + 21−β‬‬ ‫‪21−β‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪≤1+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 1 + 21−β + 21−β‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪21−β‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מכיוון ש־‪ β > 1‬אז ‪ ,21−β < 1‬ולכן קיבלנו טור הנדסי עם פרמטר מתאים קטן מ־‪ ,1‬ולכן‬ ‫הוא מתכנס‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫עבור ‪ β > 1‬חסומה ע"י סכום הטור‬ ‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים של‬ ‫‪nβ‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪.1 +‬‬ ‫‪21−β‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מכיוון שמדובר בטור חיובי‪ ,‬הרי שסדרת הסכומים החלקיים שלו מונוטונית עולה ממש‪,‬‬ ‫ומכיוון שהיא גם חסומה הרי שהיא מתכנסת‪ ,‬ולכן לפי הגדרה הטור מתכנס‪ .‬‬ ‫‪88‬‬ ‫מבחני התכנסות של טורים חיוביים )סיכום מהתרגול(‬ ‫‪35‬‬ ‫יהיו ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ו־ ‪bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים חיוביים‪ .‬כלומר‪ an , bn > 0 ,‬לכל ‪.n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן ההשוואה‪ :‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ ,an ≤ bn‬אזי‪:‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫מתבדר אזי גם ‪bn‬‬ ‫מתכנס‪ .‬אם ‪an‬‬ ‫מתכנס אזי גם ‪an‬‬ ‫אם ‪bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן ההשוואה באמצעות מנה‪ :‬יהיו ‪ 0 < α ≤ β‬ממשיים ויהי ‪.N ∈ N‬‬ ‫אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ abnn ≤ β‬אזי‪:‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר אז גם‬ ‫מתכנס‪ .‬אם הטור ‪an‬‬ ‫מתכנס אז גם הטור ‪an‬‬ ‫‪ .1‬אם הטור ‪bn‬‬ ‫הטור ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≤ β‬‬ ‫ו־ ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫≤ ‪ ,0 < α‬אזי הטורים ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן ההשוואה הגבולי‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪=L‬‬ ‫‪n→∞ bn‬‬ ‫והגבול אי־שלילי )‪.(L ≥ 0‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ lim‬במובן הצר‬ ‫טענה ‪ 2‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪= L‬‬ ‫‪n→∞ bn‬‬ ‫והגבול חיובי )‪.(L > 0‬‬ ‫‪ lim‬במובן הצר‬ ‫מבחן השורש )מבחן קושי(‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪ .1‬אם קיימים הקבוע ‪ 0 < q < 1‬ו־‪ ,N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪ , n an ≤ q‬אזי‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫הטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .2‬אם עבור אינסוף ערכים של ‪ n‬מתקיים ‪ , an ≥ 1‬אזי הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן השורש הגבולי‪:‬‬ ‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪an < 1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫√‬ ‫טענה ‪ 2‬גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪. lim n an > 1‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫מבחן דלאמבר‪:‬‬ ‫≤‬ ‫‪q‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫>‬ ‫‪N‬‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫‪N‬‬ ‫∈‬ ‫ו־‪N‬‬ ‫‪0‬‬ ‫<‬ ‫‪q‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫מספר‬ ‫‪ .1‬אם קיים‬ ‫‪ , aan+1‬אזי הטור‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .2‬אם קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים ‪≥ 1‬‬ ‫‪, aan+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אזי הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מבחן דלאמבר הגבולי‪:‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫טענה ‪ 1‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪< 1‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫‪an+1‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫טענה ‪ 2‬נכונה גם אם במקום התנאי הנתון ידוע שקיים הגבול ‪> 1‬‬ ‫‪n→∞ an‬‬ ‫√‬ ‫הערה‪ :‬במבחן השורש מספיק שיתקיים ‪ n an ≥ 1‬עבור אינסוף ערכים‪ ,‬ולכן מבחן השורש‬ ‫הגבולי הוא עבור גבול עליון‪.‬‬ ‫‪ aan+1‬תמיד החל ממקום מסויים‪ ,‬ולכן מבחן‬ ‫≥‬ ‫‪1‬‬ ‫שיתקיים‬ ‫צריך‬ ‫לעומת זאת במבחן המנה‬ ‫‪n‬‬ ‫המנה הגבולי הוא עבור גבול תחתון‪.‬‬ ‫∞‬ ‫מבחן העיבוי של קושי‪ :‬נניח כי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים אי־שליליים שיורדת מונוטונית‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫חלש‪ ,‬אזי הטורים ‪an‬‬ ‫ו־ ‪mn amn‬‬ ‫עבור ‪ 2 ≤ m ∈ N‬כלשהו‪ ,‬מתכנסים ומתבדרים‬ ‫ביחד‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הערה‪ :‬הרעיון מאחורי מבחני השורש והמנה הוא השוואה לטור גיאומטרי‪ .‬מבחן השורש‬ ‫חזק ממבחן המנה‪.‬‬ ‫הרעיון מאחורי מבחן העיבוי של קושי הוא מעבר לסקלה לוגריתמית‪ .‬אפשר להתייחס אליו‬ ‫כאל סוג של שינוי משתנה באינטגרל‪.‬‬ ‫‪90‬‬ ‫משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים‬ ‫‪36‬‬ ‫∞‬ ‫תהי ‪ (an )n=1‬סדרה של מספרים חיוביים‪ .‬אם הסדרה מונוטונית ושואפת ל־‪ ,0‬אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬הטור ‪an‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .2‬הסכום ‪ s‬של הטור מקיים ‪.0 ≤ s ≤ a1‬‬ ‫‪ .3‬לכל ‪ ,m‬ה־‪ m‬זנב של הטור )כלומר‪ ,‬הסכום החל מהאיבר ה‪ (m + 1-‬מקיים ≤ | ‪|rm‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ ,am+1‬וכן ‪.(−1) rm ≥ 0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ak‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ Sn‬סדרת הסכומים החלקיים של הטור‪.‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫)א( נשים לב שעבור תת הסדרה ‪ S2n‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + ... + (a2n−1 − a2n‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫} ‪| {z } | {z‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫‪>0‬‬ ‫בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר חיובי בגלל המונוטוניות והחיוביות‬ ‫של ‪ ,an‬ולכן הסדרה ‪ S2n‬מונוטונית עולה‪.‬‬ ‫נשים לב שגם מתקיים‪:‬‬ ‫‪S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − ... − (a2n−2 − a2n−1 ) −a2n‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫} ‪} | {z‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫למעט האיבר הראשון ) ‪ ,(a1‬בכל סוגריים של תת הסדרה הזו יש איבר שלילי‬ ‫)גם האיבר האחרון( בגלל המונוטוניות והחיוביות של ‪.an‬‬ ‫מהשוויון הראשון הסקנו ש־ ‪ S2n‬חיובית‪ ,‬ולכן בהכרח מהשוויון השני נובע כי‬ ‫‪ S2n ≤ a1‬לכל ‪.n‬‬ ‫מכאן ש־ ‪ S2n‬סדרה מונוטונית עולה וחסומה‪ ,‬ולפיכך היא מתכנסת לגבול סופי‬ ‫שנסמן ‪.s‬‬ ‫)ב( נשים לב שעבור תת הסדרה ‪ S2n−1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪· (a2n ) = S2n + a2n‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫)‪S2n−1 = S2n − (−1‬‬ ‫נשים לב שלפי הנתון מתקיים כי ‪ ,a2n −→ 0‬ולכן הגבול של ‪ S2n−1‬שווה‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫לגבול של ‪ ,S2n‬ולכן ‪ S2n−1‬מתכנסת גם היא ל־‪.s‬‬ ‫מצאנו ששתי תתי־סדרות שמכסות את כל איברי סדרת הסכומים החלקיים‬ ‫)האיברים באינדקסים הזוגיים ובאינדקסים האי־זוגיים( מתכנסות לגבול סופי‪,‬‬ ‫ולכן הטור מתכנס‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוכחנו כי ‪ ,0 ≤ S2n ≤ a1‬ולכן מאריתמטיקה של גבולות נסיק כי ‪.Sn −→ s ≤ a1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪91‬‬ ‫‪ .3‬נשים לב שלכל ‪ m‬זנב של הטור מתקיים‪:‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪rm‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫)א( עבור ‪ m‬זוגי נסמן ‪ bk = am+k‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪bk‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪rm‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫וזה המקרה הכללי של המשפט‪ ,‬ולכן מתקיים לגביו שסכום הטור קטן מהאיבר‬ ‫הראשון ‪.b1 = am+1‬‬ ‫)ב( עבור ‪ m‬אי־זוגי נסמן ‪ bk = am+k‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪bk‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫· ‪(−1) bk = −1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪rm‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫ולכן נסיק‪:‬‬ ‫‪0 ≥ −rm ≥ −b1 = −am+1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪0 ≤ |rm | ≤ am+1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫מסקנה כל טור מהצורה ‪(−1) an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)ללא תלות בסימן האיבר הראשון( עבור סדרה‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪ (an )n=1‬מונוטונית ומתכנסת ל־‪ ,0‬הוא טור מתכנס‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי‬ ‫• הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אם הטור | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫• הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס בתנאי‪ ,‬אם הוא עצמו מתכנס‪ ,‬אבל הטור | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫משפט אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הטור ‪an‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אז הוא מתכנס‪ .‬כלומר‪ ,‬אם הטור | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪92‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬אז‬ ‫∞‬ ‫הוכחה מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובע שעבור סדרת הזנבות ‪ (rm )m=1‬מתקיים‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪.rm‬‬ ‫‪|an | −→ 0‬‬ ‫∞→‪m‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫משמע לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ m > N‬מתקיים < ‪.rm‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬כי לכל ‪ > 0‬‬ ‫נסיק שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טורים עבור הטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ולכל ‪ k ∈ N‬קיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪m+k‬‬ ‫‪ m+k‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫≤‬ ‫‪a‬‬ ‫ < ‪|an | ≤ rm‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫]מאי־שוויון המשולש[ ‬ ‫הערה ממשפט זה נובע כי לכל טור‪ ,‬חיובי או לא חיובי‪ ,‬ניתן לבחון את טור הערכים‬ ‫המוחלטים שלו באמצעות מבחני התכנסות של טורים חיוביים‪ ,‬ובמידה וטור הערכים‬ ‫מתכנס להסיק כי הטור מתכנס‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪αn‬‬ ‫דוגמה נבחן את הטור מהצורה‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ ,‬באמצעות מבחן דלאמבר‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫|‪|α| −→ |α‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫=‬ ‫‪|α|n+1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪|α|n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מכאן שהתכנסות הטור תלויה בערך ‪ .α‬אם ‪ |α| > 1‬הטור מתבדר‪ ,‬אם ‪|α| < 1‬‬ ‫הטור מתכנס‪ .‬אם ‪ α = 1‬הטור מתבדר ואם ‪ α = −1‬הטור מתכנס‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫מבחן דיריכלה לטורים חסומים‬ ‫טור־חסום נאמר כי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הוא טור חסום‪ ,‬אם סדרת הסכומים החלקיים ‪ak‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫היא סדרה חסומה‪.‬‬ ‫משפט נניח כי ‪bn‬‬ ‫‪an bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪SN‬‬ ‫טור חסום‪ ,‬וכי הסדרה‬ ‫∞‬ ‫‪(an )n=1‬‬ ‫מונוטונית ומתכנסת ל־‪ ,0‬אזי הטור‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫למה )הטרנספורמציה של אבל ־ ‪(Abel‬‬ ‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪ .1 ≤ k ≤ m‬אזי‪:‬‬ ‫) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪αi βi = αm Bm −‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוכחה )של הלמה( לצורך שלמות ההגדרה במהלך החישוב נגדיר ‪ ,B0 = 0‬ונחשב‪:‬‬ ‫= ‪αi Bi−1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪αi Bi −‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪αi (Bi − Bi−1‬‬ ‫= ‪αi βi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪αi+1 Bi = (α1 B1 + ... + αm Bm ) − (α1 B0 + ... + αm Bm−1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪α i Bi −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‪= αm Bm + (α1 − α2 ) B1 + ... + (αm−1 − αm ) Bm−1 = αm Bm −‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫למה )מסקנה(‬ ‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪.1 ≤ k ≤ m‬‬ ‫נניח גם כי ‪ |Bi | < L‬לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ m‬וכן שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה‬ ‫מונוטונית‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)| ‪αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוכחה )של הלמה( ראשית מהנתון שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה מונוטונית נובע‪:‬‬ ‫= | ‪|αi+1 − αi | = |α2 − α1 | + ... + |αm − αm−1‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪= |α2 − α1 + ... + αm − αm−1 | = αm − α1‬‬ ‫נשתמש בשוויון שקיבלנו בטרנספורמציה של אבל‪ ,‬ונחשב‪:‬‬ ‫‬ ‫‪m‬‬ ‫ ‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪αi βi = αm Bm −‬‬ ‫≤ ) ‪Bi (αi+1 − αi‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪i=1‬‬ ‫≤ | ‪|Bi | · |αi+1 − αi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪m−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪≤ |αm | · |Bm | +‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫)| ‪≤ L · |αm | + L · |αm − α1 | ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬ ‫הוכחה )של מבחן דיריכלה(‬ ‫‪94‬‬ ‫‪ .1‬נסמן ‪bl‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ .Sn‬מההנחה נובע שקיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ n‬מתקיים ‪.|Sn | < M‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪ .2‬יהי ‪ . > 0‬מההנחה שהסדרה ) ‪ (an‬מתכנסת ל־‪ 0‬נובע שקיים ‪ N ∈ N‬כך שלכל‬ ‫‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪6M‬‬ ‫< | ‪|an‬‬ ‫‪ .3‬יהיו ‪ k ∈ N , N < m ∈ N‬כלשהם‪ ,‬נסמן לכל ‪:1 ≤ l ≤ k‬‬ ‫‪bn = Sm+l − Sm‬‬ ‫‪m+l‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Bl‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫ונשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪|Bl | = |Sm+l − Sm | ≤ |Sm+l | + |Sm | ≤ 2M‬‬ ‫‪ .4‬מהנתון ש־ ‪ Bl‬מהווה סדרה חסומה ומהנתון ש־) ‪ (an‬מונוטונית‪ ,‬נסיק שהביטוי ‪an bn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫עומד בתנאי הלמה שהוכחנו‪ ,‬ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪m+k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪an bn ≤ 2M (2 |am+k | + |am+1 |) < 2M 2‬‬ ‫‪6M‬‬ ‫‪6M‬‬ ‫‪n=m+1‬‬ ‫לפי קריטריון קושי להתכנסות של טורים נסיק שהטור מתכנס‪ .‬‬ ‫מסקנה משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים הוא מקרה פרטי של מבחן דיריכלה‪,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הוא טור חסום‪ ,‬ובהינתן שאר תנאי משפט לייבניץ מתקיימים‬ ‫שכן הטור )‪(−1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫תנאי משפט דיריכלה‪.‬‬ ‫‪38.1‬‬ ‫מבחן אבל )‪Abel‬‬ ‫נניח כי הטור ‪bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫(‬ ‫∞‬ ‫מתכנס‪ ,‬וכי הסדרה ‪ (an )n=1‬מונוטונית וחסומה‪ ,‬אזי הטור ‪an bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫]נשים לב שבתנאי מבחן דיריכלה דרשנו שהטור יהיה חסום ושהסדרה תתכנס ל־‪.0‬‬ ‫במבחן אבל חיזקנו את הדרישה על הטור ‪ -‬שיתכנס ‪ -‬והחלשנו את הדרישה על הסדרה ‪-‬‬ ‫שתתכנס‪ ,‬אבל לא בהכרח ל־‪[.0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪95‬‬ ‫נתון שהסדרה ) ‪ (an‬מונוטונית וחסומה‪ ,‬ולכן היא מתכנסת לגבול סופי שנסמן ‪.a‬‬ ‫נשים לב שלפיכך הסדרה שמוגדרת )‪ (an − a‬היא מונוטונית ומתכנסת ל־‪.0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬ולכן בפרט הוא טור חסום‪.‬‬ ‫נתון שהטור ‪bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נסיק ממבחן דיריכלה שהטור ‪(an − a) bn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נשים לב שמתקיים לכל סכום חלקי ‪N‬־י‪:‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(an − a) bn + a‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪an bn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ומכאן שאם ∞ → ‪ ,N‬מהתכנסות שני הטורים שבחלק הימני של השוויון נסיק את התכנסות‬ ‫הטור המבוקש‪ ,‬לפי הגדרת התכנסות של טור‪ .‬‬ ‫‪39‬‬ ‫הכנסת סוגריים‬ ‫נאמר כי הטור ‪σn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתקבל מהטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫על־ידי הכנסת סוגריים‪ ,‬אם קיימת תת־סדרה‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ ,(ank )k=1‬כך שלכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪al‬‬ ‫= ‪σk‬‬ ‫‪l=nk−1 +1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬אוגדים את איברי הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫באופן הבא‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‪an = (a1 + ... + an1 ) + (an1 +1 + ... + an2 ) + ... + ank−1 +1 + ... + ank‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪=σ2‬‬ ‫‪=σk‬‬ ‫משפט )א( אם הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪=σ1‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬אזי כל טור המתקבל ממנו על־ידי הכנסת סוגריים‪,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫יתכנס לאותו סכום‪.‬‬ ‫)ב( אם בטור שהתקבל על־ידי הכנסת סוגריים‪ ,‬מתקיים שבכל סוגריים כל האיברים‬ ‫שווי־סימן‪ ,‬אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת התכנסות הטור המקורי לאותו‬ ‫סכום‪.‬‬ ‫)ג( אם מתקיים כי ‪ ,(an ) −→ 0‬וכן בטור שהתקבל על־ידי הכנסת הסוגריים מתקיים‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום‪ ,‬אזי מהתכנסות הטור עם הסוגריים נובעת‬ ‫התכנסות הטור המקורי לאותו סכום‪.‬‬ ‫הערה במקרה שבו האיברים בכל סוגריים אינם שווי־סימן‪ ,‬ייתכן שהטור המקורי מתבדר‬ ‫והטור שמתקבל מהכנסת הסוגריים ייתכנס‪.‬‬ ‫‪96‬‬ ‫למשל הטור‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬אולם הטור ‪0‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(−1) + (−1‬‬ ‫ ∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הוכחה )א( נתון שקיימת תת־סדרה כלשהי ) ‪ (ank‬שמגדירה טור עם הכנסת סוגריים‬ ‫מהצורה‪:‬‬ ‫‪σk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫כאשר מתקיים‪:‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪al‬‬ ‫= ‪σk‬‬ ‫‪l=nk−1 +1‬‬ ‫נשים לב היטב שנובע מכך עבור סכום חלקי כלשהו של הטור‪:‬‬ ‫‪al‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σl‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫ולכן סדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪σk‬‬ ‫החלקיים של הטור ‪an‬‬ ‫מכאן שאם הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫היא תת־סדרה של סדרת הסכומים‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬משמע סדרת הסכומים החלקיים שלו מתכנסת‪,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אזי גם כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול‪ ,‬ולכן הטור ‪σk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס לאותו‬ ‫‪k=1‬‬ ‫סכום‪ .‬‬ ‫הוכחה )ב( נניח כי ‪σk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור מתכנס ל־‪ ,s ∈ R‬וכן מנתוני המשפט כל האיברים שבכל‬ ‫‪k=1‬‬ ‫סוגריים הם שווי־סימן‪.‬‬ ‫תת הסדרה ) ‪ (ank‬מוגדרת באמצעות סדרה עולה ממש של אינדקסים מהצורה ) ‪.(nk‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ M ∈ N‬קיים ‪ k ∈ N‬יחיד‪ ,‬כך ש‪ ,nk + 1 ≤ M ≤ nk+1 -‬ולכן‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫∞ →‪k −‬‬ ‫∞→ ‪M‬‬ ‫‪97‬‬ ‫נוכיח כעת שסדרת הסכומים החלקיים של הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫חסומה ומתכנסת ל־‪:s‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫≤ ‪al + (ank +1 + ... + aM ) − s‬‬ ‫ = ‪al − s‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‬ ‫‪ k‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫| ‪σl − s + |σk+1‬‬ ‫≤‬ ‫ ≤ |) ‪σl − s + |(ank +1 + ... + aM‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫נשים לב ש‪ ,k −→ ∞-‬ולכן מהנתון שהטור עם הסוגריים מתכנס ל־‪ s‬נובע כי‪:‬‬ ‫∞→ ‪M‬‬ ‫‪ k‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪σl − s −→ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∞→‪ k‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫וכן מאותו נתון נובע גם‪:‬‬ ‫‪|σk+1 | −→ 0‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫כי איבר כללי של טור מתכנס מוכרח לשאוף ל‪.0-‬‬ ‫הוכחה )ג( משמעותו של הנתון שמספר האיברים שבכל סוגריים חסום‪ ,‬היא שלכל ‪ k‬מתקיים‬ ‫‪ nk+1 − nk ≤ m‬עבור ‪ m‬טבעי כלשהו‪.‬‬ ‫נגדיר באותו אופן‪:‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪al‬‬ ‫= ‪σk‬‬ ‫‪l=nk−1 +1‬‬ ‫כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪al = Snk‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σl‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫נתון כי הטור עם הסוגריים מתכנס‪ ,‬ולכן מתקיים עבור סדרת הסכומים החלקיים‪:‬‬ ‫‪Snk −→ L‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫מהנתון ‪ (an ) −→ 0‬נסיק שמתקיים‪:‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪(Sn+1 − Sn ) = (an ) −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‬ ‫למה תהי ) ‪ (xn‬סדרה המקיימת ‪ (xn+1 − xn ) −→ 0‬ותהי ) ‪ (xnk‬תת־סדרה בקפיצות‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫חסומות‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ k‬טבעי מתקיים ‪.nk+1 − nk ≤ J‬‬ ‫‪98‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫א‪ (xn ) .‬ו‪ (xnk )-‬מתכנסות ומתבדרות יחד לאותו גבול‪.‬‬ ‫ב‪ .‬התנאי ‪ (xn+1 − xn ) −→ 0‬הכרחי‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ג‪ .‬התנאי ‪ nk+1 − nk ≤ J‬הכרחי‪.‬‬ ‫נסיק מלמה זו שהסדרות ) ‪ (Sn‬ו‪ (Snk )-‬עומדות בתנאי הלמה‪ ,‬ולכן הן מתכנסות‬ ‫ומתבדרות יחד לאותו הגבול‪.‬‬ ‫]הוכחת הלמה הופיעה בתרגול‪[.‬‬ ‫שינוי סדר הסכימה‬ ‫‪40‬‬ ‫בטור חיובי‬ ‫‪40.1‬‬ ‫אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור חיובי‪ ,‬אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר האיברים מתכנס‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום‪.‬‬ ‫]נשים לב שטענה זו שקולה לטענה המקבילה עבור התבדרות‪[.‬‬ ‫הוכחה ראינו שמתקיים שוויון בין סכום של קבוצה לבין סכום של טור אינסופי‪ ,‬כפי שהגדרנו‬ ‫אותם‪ .‬מכאן שסדר הסכימה אינו משנה‪.‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫= ‪an‬‬ ‫} ‪≡ sup {a˜1 + ... + a˜k |a˜1 , ..., a˜k ∈ (an )n=1‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫‬ ‫‪40.2‬‬ ‫בטור מתכנס בהחלט‬ ‫מבוא‪ :‬הטורים ‪ qn ,pn‬של ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫בהינתן טור ‪an‬‬ ‫‪ ,‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪|an | + an‬‬ ‫‪|an | − an‬‬ ‫= ‪pn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪qn‬‬ ‫או באופן שקול‪:‬‬ ‫‪an ≥ 0‬‬ ‫‪an < 0‬‬ ‫‪an ≤ 0‬‬ ‫‪an > 0‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−an‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫= ‪pn‬‬ ‫(‬ ‫= ‪qn‬‬ ‫נשים לב שאלו טורים חיוביים‪ ,‬וכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪|an | = pn + qn an = pn − qn‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫משפט )א( אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬אזי גם הטורים ‪qn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn −‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)ב( אם הטורים ‪qn‬‬ ‫‪pn ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסים‪ ,‬אזי גם הטור ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנסים‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫הוכחה )א( מהגדרת ‪ qn ,pn‬נובע שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים | ‪,0 ≤ qn ≤ |an | ,0 ≤ pn ≤ |an‬‬ ‫ולכן מהתכנסות טור הערכים המוחלטים נובעת לפי מבחן ההשוואה ההתכנסות של‬ ‫שניהם‪.‬‬ ‫מכיוון שלכל ‪ n ∈ N‬הראינו שמתקיים ‪ ,an = pn − an‬נסיק שלכל סכום חלקי ‪N‬־י‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn −‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪(pn − qn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אם נשאיף ∞ → ‪ N‬נקבל גם שוויון בין סכומי הטורים‪.‬‬ ‫הוכחה )ב( הראינו שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים ‪ ,|an | = pn + qn‬נסיק שלכל סכום חלקי ‪N‬־י‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn +‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪(pn + qn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫ולכן מהתכנסות שני הטורים הטורים ‪qn‬‬ ‫מסקנה אם הטור ‪an‬‬ ‫= | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪pn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נובעת התכנסות הטור | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכחה נתון כי ‪an‬‬ ‫מתכנס בתנאי‪ ,‬אזי בהכרח הטורים ‪pn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪qn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫האחרון לא ייתכן ששני הטורים ‪pn‬‬ ‫נניח בשלילה שלמשל הטור ‪qn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪qn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫יתכנסו‪ ,‬ולפחות אחד מהם מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס והטור ‪pn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪ .‬אזי מתקיים עבור‬ ‫‪n=1‬‬ ‫סכום חלקי ‪N‬־י כלשהו‪:‬‬ ‫∞ →‪qn −‬‬ ‫∞→ ‪N‬‬ ‫ולכן ‪an‬‬ ‫מתבדרים‪.‬‬ ‫מתכנס בתנאי‪ ,‬ולכן בפרט הוא לא מתכנס בהחלט‪ .‬לכן מהמשפט‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪pn −‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬בסתירה להנחה‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪100‬‬ ‫= ) ‪(pn − qn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫משפט‬ ‫אם ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור מתכנס בהחלט‪ ,‬אזי כל טור שמתקבל ממנו באמצעות שינוי של סדר‬ ‫‪n=1‬‬ ‫האיברים מתכנס אמ"מ הטור מתכנס לאותו סכום‪.‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫הוכחה מההנחה ש‪an -‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫) ‪(−an‬‬ ‫‪pn ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬נובע מסעיף א של המשפט האחרון שהטורים‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנסים‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫}‪{n|an <0‬‬ ‫‪an −‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪qn‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn −‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫}‪{n|an ≥0‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n∈N‬‬ ‫= ‪qn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pn −‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫קיבלנו סכומים של קבוצות שאין צורך בהגדרה של סדר כדי להגדיר אותם‪ ,‬ולכן גם‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫אינו תלוי בסדר הסכימה‪ .‬‬ ‫הטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הערה תהי קבוצה לאו־דווקא בת־מניה מהצורה ‪ {aα }α∈A‬עבור ‪ ,A ⊆ R‬ונניח כי ∞ < | ‪|aα‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫מההוכחה של המשפט האחרון מובן מדוע בוחרים להגדיר‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪aα‬‬ ‫‪aα −‬‬ ‫) ‪(−aα‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪α∈A‬‬ ‫‪aα <0‬‬ ‫‪aα ≥0‬‬ ‫משפט רימן לטורים‬ ‫יהי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טור מתכנס בתנאי‪ ,‬כלומר טור הערכים המוחלטים המתאים | ‪|an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫˜( של הסדרה ) ‪ ,(an‬כך שהטור ‪˜n‬‬ ‫אזי לכל }∞‪ s ∈ {R, ±‬קיים סידור ) ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס ל־‪s‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫)במובן הרחב‪ ,‬במקרים המתאימים(‪ ,‬וכן קיים סידור כך שהטור לא מתכנס בשום־מובן‪.‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נניח תחילה כי )∞ ‪.s ∈ [0,‬‬ ‫האסטרטגיה תהיה לסדר מחדש את הסדרה‪ ,‬כך שהסכומים החלקיים שלה יהיו גדולים‬ ‫וקטנים מ־‪ s‬לסירוגין‪ ,‬בקצב דועך ל־‪.0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪,pn = |an |+a‬‬ ‫נזכור שהגדרנו‬ ‫שמתכנס‬ ‫‪ ,qn = |an |−a‬והוכחנו שעבור טור ‪an‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בתנאי‪ ,‬שני הטורים המתאימים לו ‪pn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪qn ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתבדרים ל־∞‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫נגדיר סדרת סכומים ‪ (Ak )k=1‬באמצעות שתי סדרות אינדקסים ‪,(mk )k=1 ,(nk )k=1‬‬ ‫באופן אינדוקטיבי‪.‬‬ ‫נבנה אותה כך שתתכנס ל־‪ ,s‬ולבסוף נראה שהיא מהווה סדרת סכומים חלקיים של‬ ‫טור המתקבל מסידור מחודש של הסדרה ) ‪.(an‬‬ ‫• נגדיר סכום ‪ ,A1‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:n1‬‬ ‫)‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪nX‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫|‪n1 = min n ∈ N‬‬ ‫⇒ ‪pl > s‬‬ ‫≥ ‪pl > s‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫(‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫נגדיר ‪pl‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫= ‪ A1‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪pl = pn1‬‬ ‫‪nX‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪pl −‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫< ‪0 < A1 − s‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫• נגדיר סכום ‪ ,A2‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:m1‬‬ ‫)‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ql‬‬ ‫‪q l < s ≤ A1 −‬‬ ‫‪m1 = min n ∈ N|A1 −‬‬ ‫‪ql < s ⇒ A1 −‬‬ ‫(‬ ‫‪l=1‬‬ ‫נגדיר ‪ql‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪ A2 = A1 −‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪ql = qm1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ql −‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪0 < s − A2‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫• נגדיר סכום ‪ ,A3‬ולשם כך נגדיר את האינדקס ‪:n2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪nX‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n2 = min n ∈ N|A2 +‬‬ ‫‪pl > s ⇒ A2 +‬‬ ‫‪p l > s ≥ A2 +‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫נגדיר ‪pl‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫‪nX‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫‪ A3 = A2 +‬ונקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫‪pl = pn2‬‬ ‫‪nX‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pl −‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪102‬‬ ‫< ‪0 < A3 − s‬‬ ‫• באופן כללי‪ :‬עבור ‪ k ≥ 1‬נגדיר סכום ‪ ,Ak‬ולשם כך נגדיר אינדקס ‪k‬־י מתאים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬ ‫‪pl > s‬‬ ‫‪l=nk +1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ql < s‬‬ ‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬ ‫‪l=mk +1‬‬ ‫ונגדיר את הסכומים המתאימים‪:‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫‪A2k+1 = A2k +‬‬ ‫‪l=nk−1 +1‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ql‬‬ ‫‪A2k = A2k−1 −‬‬ ‫‪l=mk−1 +1‬‬ ‫∞‬ ‫אם כך הגדרנו סדרה ‪ (Ak )k=1‬של סכומים באופן אינדוקטיבי‪ .‬נגדיר כעת‬ ‫סדרה של סכומים חלקיים באופן הבא‪:‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σ1 = A1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫) ‪(−ql‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σ 2 = A2 − A1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σ 3 = A3 − A2‬‬ ‫‪l=n1 +1‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫‪pl‬‬ ‫‪nk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪(−ql ) σ2k+1 = A2k+1 − A2k‬‬ ‫‪l=nk−1‬‬ ‫‪mk‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪σ2k = A2k − A2k−1‬‬ ‫‪l=mk−1 +1‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪σk = (p1 + ... + pn1 )−(q1 + ... + qm1 )+(pn1 +1 + ... + pn2 )−(qm1 +1 + ... + qm2 )+...‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪103‬‬ ‫וזהו טור שמתקבל מהכנסת סוגריים לסדרה‪:‬‬ ‫‪p1 , ..., pn1 , q1 , ..., qm1 , pn1 +1 , ..., pn2 , qm1 +1 , ..., qm2 , ...‬‬ ‫כדי להיפטר מהסכומים שהם אפסים‪ ,‬לכל אינדקס ‪ n‬שמקיים ‪ pn = 0‬או‬ ‫‪) qn = 0‬ולא שניהם( נמחק את האיבר שהוא אפס‪ ,‬ולכל אינדקס ‪ n‬שמקיים‬ ‫‪ pn = qn = 0‬נמחק את אחד מהם‪.‬‬ ‫˜(‪ .‬סדרה זו מגדירה את‬ ‫נקבל סידור מחודש של הסדרה ) ‪ (an‬שנסמן ) ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫על־ידי הכנסת‬ ‫‪a‬‬ ‫מתקבל מהטור ‪˜n‬‬ ‫‪ ,‬ונשים לב שהטור ‪σk‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הטור ‪˜n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫סוגריים‪ ,‬כאשר בכל סוגריים כל האיברים שווי־סימן‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ ,‬הרי שהסדרה‬ ‫היות ולפי ההגדרה מתקיים ‪σl = Ak‬‬ ‫הסכומים החלקיים של הטור ‪σk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪ (Ak )k=1‬היא סדרת‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪ ,‬ומתקיים לגביה‪:‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪|A2k+1 − s| < pnk‬‬ ‫‪|A2k − s| < qmk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מהנתון שהטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ולפיכך גם האיברים ‪qnk ,pnk‬‬ ‫מתכנס )בתנאי( נסיק כי האיבר הכללי שלו שואף ל‪,0-‬‬ ‫לפי הגדרתם שואפים ל־‪ .0‬מכאן שסדרת הסכומים‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫מתכנס ל־‪ .s‬טור זה‬ ‫החלקיים ‪ (Ak )k=1‬מתכנסת ל־‪ ,s‬ולפיכך הטור ‪σk‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתקבל מהטור ‪˜n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הטור ‪˜n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫על־ידי הכנסת סוגריים שבהם האיברים שווי־סימן‪ ,‬ולכן‬ ‫‪n=1‬‬ ‫שהוא סידור מחדש של איברי הטור ‪an‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫מתכנס ל־‪.s‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .2‬נניח כי ∞ = ‪.s‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫נבצע תהליך דומה‪ ,‬אלא שנגדיר את סדרות האינדקסים ‪ (mk )k=1 ,(nk )k=1‬באופן‬ ‫אחר‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬ ‫‪pl > k‬‬ ‫‪l=nk +1‬‬ ‫)‬ ‫‪ql < k‬‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬ ‫‪l=mk +1‬‬ ‫כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪|A2k+1 − k| < pnk‬‬ ‫‪|A2k − k| > qmk‬‬ ‫‪104‬‬ ‫מכאן שמתקיים ∞ →‪ ,Ak −‬ולכן‪:‬‬ ‫∞→‪k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞ = ‪˜n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫⇒ ∞ = ‪σk‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪ .3‬נניח כי )‪.s ∈ (−∞, 0‬‬ ‫נבצע אותו התהליך‪ ,‬אלא שבמקום להתחיל בסכומים החיוביים על ‪ pn‬שנסכמים עד‬ ‫‪ s‬חיובי כמו במקרה הראשון‪ ,‬נתחיל בסכומים השליליים ‪ qn‬שייסכמו עד ‪ s‬שלילי‪.‬‬ ‫‪ .4‬כדי לקבל סידור שבו הטור לא מתכנס בשום־מובן‪ ,‬נבצע תהליך דומה‪ ,‬אלא שנגדיר‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫את סדרות האינדקסים ‪ (mk )k=1 ,(nk )k=1‬באופן אחר‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪nk+1 = min n ∈ N|A2k +‬‬ ‫‪pl > 1‬‬ ‫‪l=nk +1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ql < −1‬‬ ‫‪mk+1 = min n ∈ N|A2k+1 −‬‬ ‫‪l=mk +1‬‬ ‫ואז נקבל שסדרת הסכומים החלקיים מתבדרת‪ ,‬כי מתקיים‪:‬‬ ‫‪|A2k+1 − 1| < pnk‬‬ ‫‪|A2k + 1| < qmk‬‬ ‫משמע קיימים אינסוף סכומים חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־‪ 1‬וקיימים סכומים‬ ‫חלקיים שקרובים ככל שנרצה ל־‪ ,−1‬ולכן סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת‬ ‫בשום־מובן‪ ,‬והטור לא מתכנס בשום־מובן‪ .‬‬ ‫‪42‬‬ ‫מכפלת טורים‬ ‫יהיו הטורים ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נתבונן בטבלה הבאה שמכילה את כל הקומבינציות‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1 b3 . . . a1 bj . . .‬‬ ‫‪a2 b3 . . . a2 bj . . .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3 b3 . . . a3 bj . . .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a i b3 . . . a i bj . . . ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫של מכפלות בין איברים שלהם‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1 b1 a1 b2‬‬ ‫‪a2 b1 a2 b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a3 b1 a3 b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai b1 ai b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מכיוון שזו טבלה דו־ממדית‪ ,‬אין סדר 'טבעי' שניתן להגדיר על קבוצה זו‪ ,‬אולם היא קבוצה‬ ‫בת־מניה וקיימים אינסוף סידורים אפשריים לכל איברי הקבוצה הזו‪ .‬למשל סידור דומה‬ ‫לאלכסון של קנטור‪.‬‬ ‫‪105‬‬ ‫משפט קושי‬ ‫‪42.1‬‬ ‫יהיו ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים מתכנסים בהחלט ל־‪ A‬ול־‪ B‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫אזי כל טור המורכב מכל המכפלות האפשריות מהצורה ‪ ai bj‬המסודר בכל סדר‪ ,‬מתכנס‬ ‫בהחלט‪ ,‬וסכומו הוא ‪.A · B‬‬ ‫בסימונים מתאימים‪ ,‬המשפט קובע שמתקיים‪:‬‬ ‫! ∞ !‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪bn = A · B‬‬ ‫= ‪ai bj‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪i,j∈N‬‬ ‫הוכחה‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫נסמן את טור המכפלות ב‪wn -‬‬ ‫‪ ,‬כאשר ‪ wn‬עובר על כל המכפלות בסדר כלשהו‪.‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪ .1‬נוכיח שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת‪ ,‬ונשים לב שמספיק להוכיח שטור המכפלות‬ ‫עבור סידור כלשהו מתכנס‪ ,‬כי בטורים חיוביים אין חשיבות לסדר הסכימה‪.‬‬ ‫יהי ‪ n ∈ N‬ויהי ‪ m‬האינדקס המקסימלי מבין ‪ i, j‬שמופיעים באיברים ‪.w1 , ..., wn‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪! m‬‬ ‫∞ !‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ | ‪|wl‬‬ ‫‪|ai | ‬‬ ‫≤ ‪|bj |‬‬ ‫‪|ai | ‬‬ ‫‪|bj | = A · B‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫הקומבינציות האפשריות של ‪ i, j‬שמופיעות ב‪-‬‬ ‫מכך שכל ‪P‬‬ ‫]האי־שוויון הראשון נובע ‬ ‫‪Pm‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)| ‪[.( i=1 |ai‬‬ ‫‪|b‬‬ ‫|‬ ‫| ‪ l=1 |wl‬מופיעות גם ב‪-‬‬ ‫‪j=1 j‬‬ ‫מכאן שסדרת הסכומים החלקיים חסומה‪ ,‬ומכיוון שזהו טור חיובי )טור הערכים‬ ‫המוחלטים( היא מונוטונית עולה‪ ,‬ולכן מתכנסת‪.‬‬ ‫‪ .2‬נוכיח שהסכום שאליו מתכנסת הסדרה הוא ‪ ,A · B‬ונשים לב שמכיוון שהוכחנו כבר‬ ‫שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת‪ ,‬בהכרח כל תת־סדרה שלה מתכנסת לאותו‬ ‫גבול‪ ,‬ולכן מספיק להראות שקיימת תת־סדרה שמתכנסת לגבול ‪.A · B‬‬ ‫נבחר סדר על איברי טור המכפלות מהצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪a1 b1 + (a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 ) + ...‬‬ ‫נתבונן בתת־סדרה של סדרת הסכומים החלקיים הללו‪:‬‬ ‫!‬ ‫‪−→ A · B‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪bl‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫!‬ ‫‪al‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪wl‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫מכאן שגם סדרת הסכומים החלקיים עצמה מתכנסת ל‪ .A · B-‬‬ ‫‪106‬‬ ‫משפט מרטנס‬ ‫‪42.2‬‬ ‫נניח כי ‪an‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪bn ,‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫טורים מתכנסים ל‪ A-‬ול‪ B-‬בהתאמה‪ ,‬כך שלפחות אחד מהם מתכנס‬ ‫‪n=0‬‬ ‫בהחלט‪.‬‬ ‫נתייחס למכפלת הסדרות בסידור הבא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a0 b2 )6 . . . a1 bj . . .‬‬ ‫‪(a1 b2 )9 . . . a2 bj . . .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a2 b2 )13 . . . a3 bj . . .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ai b3‬‬ ‫‪. . . a i bj . . . ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪(a0 b1 )3‬‬ ‫‪(a1 b1 )5‬‬ ‫‪(a2 b1 )8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ai b2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a0 b0 )1‬‬ ‫‪(a1 b0 )2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(a2 b0 )4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ai b1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫נגדיר ‪ai bj‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i+j=n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫אזי הטור ‪dn‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ .dn‬כך למשל ‪.d3 =  a0 b3 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0 ‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫}‪|{z‬‬ ‫‪2+1=3‬‬ ‫‪3+0=3‬‬ ‫‪1+2=3‬‬ ‫‪0+3=3‬‬ ‫מתכנס וסכומו הוא ‪.A · B‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫הערה במשפט קושי דרשנו ששני הטורים יתכנסו בהחלט‪ ,‬והסקנו את התכנסות הטור‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a i bj‬‬ ‫‪i,j∈N‬‬ ‫במשפט מרטנס דורשים שטור אחד יתכנס בהחלט‪ ,‬ומסיקים את התכנסות הטור‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ai bj ‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪i+j=n‬‬ ‫}‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪=dn‬‬ ‫|‬ ‫‪.‬‬ ‫הוכחה נסמן‪:‬‬ ‫‪An = a0 + a1 + ... + an‬‬ ‫‪Bn = b0 + b1 + ... + bn‬‬ ‫‪Dn = d0 + d1 + ... + dn‬‬ ‫‪βn = B − B n ⇔ B n = B − βn‬‬ ‫‪107‬‬ :‫תחת סימונים אלה מתקיים‬ X X X Dn = ai bj + ai bj + ... + ai bj = i+j=0 i+j=1 i+j=n = (a0 b0 ) + (a0 b1 + a1 b0 ) + ... + (a0 bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b1 + an b0 ) = = a0 (b0 + b1 + ... + bn ) + a1 (b0 + b1 + ... + bn−1 ) + ... + an (b0 ) = = a0 Bn + a1 Bn−1 + ... + an B0 = a0 (B − βn ) + a1 (B − βn−1 ) + ... + an (B − β0 ) = = An B − (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) −→ A · B + lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) n→∞ n→∞ :‫נסיים את הוכחת המשפט בכך שנראה כי‬ lim (a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 ) = 0 n→∞ .m −→ ∞ ‫ ונשים לב כי‬,m = n→∞ n 2 ‫ את‬n ∈ R ‫ נסמן לכל‬,‫לשם כך‬ :‫נחשב‬ |a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | = = |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m ) + (am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤ ≤ |(a0 βn + a1 βn−1 + ... + am bn−m )| + |(am+1 bn−1−m + ... + an b0 )| ≤ ≤ (|a0 | + |a1 | + ... + |am |) = m X max k=n−m,...,n {|βk |} + (|am+1 | + ... + |an |) ! |ak | max k=n−m,...,n {|βk |} + k=0 .‫מתכנס בהחלט‬ ∞ X n X max k=0,...,n−1−m ! |ak | max k=0,...,n−1−m {|βk |} k=m+1 an ‫ לפי הנתון שהטור‬,‫| חסום‬ak | ‫נשים לב שכל סכום על‬ n=0 .βn ‫ לפי הגדרת‬,n → ∞ ‫ כאשר‬0-‫| מתכנס ל‬βk | ‫־י על‬n ‫כמו־כן סכום‬ .0-‫| מתכנס ל‬a0 βn + a1 βn−1 + ... + an β0 | ‫ולכן הביטוי‬ 108 {|βk |} = ‫חלק‬ ‫‪VI‬‬ ‫אינטגרלים לא־אמיתיים‬ ‫‪43‬‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה חסומה בקטע לא־חסום‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי על קרן אינסופית‬ ‫תהי ]‪ f ∈ R [a, b‬עבור ‪ a ∈ R‬קבוע ועבור כל ‪.b > a‬‬ ‫נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי על הקרן )∞ ‪ [a,‬ושהאינטגרל ‪f dx‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬אם קיים הגבול הבא במובן הצר‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫∞´‬ ‫‪a‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪f dx ≡ lim‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫∞→‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי על הישר הממשי‬ ‫תהי ]‪ f ∈ R [a, b‬לכל ‪ ,a, b ∈ R‬ותהי ‪ c ∈ R‬נקודה קבועה כלשהי‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫ושהאינטגרל‬ ‫הממשי‬ ‫נאמר שהפונקציה אינטגרבילית במובן הלא־אמיתי בכל הישר‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪´c‬‬ ‫∞´‬ ‫מתכנס‪ ,‬אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים ‪ , −∞ f dx , c f dx‬ואז נגדיר‪:‬‬ ‫∞´‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪f dx‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫≡ ‪f dx‬‬ ‫‪f dx +‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫לצורך החד־משמעיות של ההגדרה‪ ,‬נוכיח שערך האינטגרל אינו תלוי בבחירת ‪.c‬‬ ‫∞´‬ ‫טענה אם קיים האינטגרל הלא־אמיתי ‪ , −∞ f dx‬אזי ערכו אינו תלוי בבחירת ‪.c‬‬ ‫הוכחה תהי ‪ d ∈ R‬המקיימת בלי הגבלת הכלליות ‪ .d < c‬נחשב בהתאם להגדרה‪:‬‬ ‫‪ d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪f dx + f dx‬‬ ‫= ‪f dx + f dx + f dx‬‬ ‫‪c‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ c‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪ˆd‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫= ‪f dx +  f dx + f dx‬‬ ‫‪f dx + f dx‬‬ ‫‪d‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ˆd‬‬ ‫=‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫הגדרה־שקולה תחת אותם סימונים‪ ,‬האינטגרל הלא־אמיתי על הישר הממשי קיים אמ"מ‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪a → −‬‬ ‫∞→‪b‬‬ ‫‪109‬‬ ‫≡ ‪f dx‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫במובן זה שגבול זה קיים ואינו תלוי בסדר שבין השאיפה של ‪ a‬ל‪ −∞-‬לבין השאיפה‬ ‫של ‪ b‬ל‪.∞-‬‬ ‫‪43.1‬‬ ‫אריתמטיקה של אינטגרלים לא־אמיתיים‬ ‫נשים לב שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי‪ ,‬כל התכונות של אינטגרלים רגילים שנשמרות‬ ‫תחת הוצאת גבול‪ ,‬תקפות גם לאינטגרל לא־אמיתי‪ .‬נוכיח רשימה חלקית‪.‬‬ ‫‪ .1‬נניח כי )∞ ‪ f ∈ R [a,‬ותהי ‪ ,c ∈ R‬אזי גם ‪ cf‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪f dx‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪cf dx = c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .2‬נניח כי )∞ ‪ , f, g ∈ R [a,‬אזי גם ‪ f ± g‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪f dx ±‬‬ ‫‪gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫= ‪f ± gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .3‬נניח כי )∞ ‪ f ∈ R [a,‬ותהי ‪ ,a < c ∈ R‬אזי גם )∞ ‪ f ∈ R [c,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆc‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪f dx −‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪43.2‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫קריטריון קושי‬ ‫תהי ‪ a ∈ R‬קבועה‪ ,‬ונניח כי ]‪ f ∈ R [a, b‬לכל ‪.b > a‬‬ ‫אזי ‪ f‬אינטגרבילית על )∞ ‪ [a,‬אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,B‬כך שלכל ‪ b1 , b2 > B‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪ f dx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b1‬‬ ‫הוכחה מקריטריון קושי לקיום גבול באינסוף של פונקציה )‪ ,g (x‬נובע שקיום הגבול שקול‬ ‫לכך שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ x, y > m‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < |)‪|g (x) − g (y‬‬ ‫נשים לב שההקבלה של הגדרה זו להגדרת הגבול שמגדיר את האינטגרל הלא־אמיתי‪,‬‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪ ˆb2‬‬ ‫‪ˆb1‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫ <= ‪ f dx − f dx = f dx‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪b1‬‬ ‫‬ ‫‪110‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪43.3‬‬ ‫קריטריון ההשוואה‬ ‫תהי ‪ a ∈ R‬ויהיו ]‪ f, g ∈ R [a, b‬עבור כל ‪.b > a‬‬ ‫אם קיים ‪ c > 0‬כך שלכל ‪ x ≥ a‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪0 ≤ f (x) ≤ cg (x‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫∞ˆ‬ ‫אזי התכנסות ‪ gdx‬גוררת את התכנסות ‪ , f dx‬ובאופן שקול‪ ,‬התבדרות ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫את התבדרות ‪. gdx‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫גוררת‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה לא צריך לדרוש שיהיה ‪ c > 0‬כך שלכל ‪ x ≥ a‬מתקיים אי השוויון הנ"ל‪ ,‬אלא מספיק‬ ‫‪0‬‬ ‫שאי השוויון יתקיים החל מ‪ a > a-‬כלשהו‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫הוכחה נסמן את הפונקציות ‪.J (b) = a gdx ,I (b) = a f dx‬‬ ‫נשים לב שמחיוביות הפונקציות ‪ f, g‬נובע כי זו פונקציה מונוטונית לא־יורדת‪ .‬מכאן‬ ‫שמספיק להראות שהיא חסומה מלעיל כדי להסיק את ההתכנסות כאשר ∞ → ‪.b‬‬ ‫נניח כי )‪ J (b‬מתכנסת כאשר ∞ → ‪ ,b‬אזי היא בפרט גם חסומה מלעיל על־ידי‬ ‫‪ m ∈ R‬כלשהו‪ ,‬ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪0 ≤ I (b) ≤ cJ (b) ≤ cm‬‬ ‫ומכאן שהפונקציה ‪f dx‬‬ ‫נסיק שהיא מתכנסת‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= )‪ I (b‬חסומה מלעיל‪ ,‬ומכאן שהיא מונוטונית לא יורדת‬ ‫∞´‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 43.3.1‬האינטגרל לא־אמיתי ‪xα dx‬‬ ‫∞´‬ ‫נתון האינטגרל הלא־אמיתי ‪. a x1α dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אינטגרל זה מתכנס‪/‬מתבדר כתלות בערכה של ‪α‬‬ ‫ובערכה של ‪.a‬‬ ‫• עבור ‪ α < 0‬האינטגרל בבירור מתבדר‪.‬‬ ‫• עבור ‪ 0 ≤ α ≤ 1‬נשים לב שעבור ‪ x‬מספיק גדול‪ ,‬כלומר }‪ ,x ≥ max {a, 1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≥‬ ‫‪α‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נשים לב שלפי נוסחת ניוטון־לייבניץ ניתן לראות שהאינטגרל‬ ‫∞´‬ ‫לפי מבחן ההשוואה גם האינטגרל ‪ a x1α dx‬מתבדר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x dx‬‬ ‫∞´‬ ‫‪a‬‬ ‫מתבדר‪ ,‬ולכן‬ ‫• עבור ‪ α > 1‬מתקיים כי האינטגרל מתכנס וערכו מתקבל באמצעות הנוסחה הבאה‪:‬‬ ‫‪x−α+1 b‬‬ ‫‪b−α+1‬‬ ‫‪a−α+1‬‬ ‫‪b−α+1 a−α+1‬‬ ‫‪a−α+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫=‬ ‫|‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫‪−α + 1‬‬ ‫‪−α + 1 −α + 1‬‬ ‫‪−α + 1 α − 1 b→∞ α − 1‬‬ ‫‪(α − 1) aα−1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נשים לב שקיבלנו תוצאה דומה לזו של התכנסות‪/‬התבדרות הטור‬ ‫‪111‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪nα‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪. n=1‬‬ ‫‪43.4‬‬ ‫קריטריון המנה הגבולי‬ ‫תהי ‪ a ∈ R‬ויהיו ]‪ f, g ∈ R [a, b‬עבור כל ‪ ,b > a‬חיוביות ממש‪.‬‬ ‫אם קיים הגבול‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫∞<‪=c‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫אזי האינטגרלים ‪f dx, a gdx‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪x‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪.‬‬ ‫הוכחה נתון שהגבול קיים‪ ,‬ולכן לכל ‪ > 0‬מתקיים עבור ‪ x‬מספיק גדול‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫<‬ ‫‪−‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‪ g (x‬‬ ‫‬ ‫נבחר המקיים ‪ .c − > 0‬מקיום הגבול נובע שקיים ‪ x0 ≥ a‬כך שלכל ‪x > x0‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪<c+‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫⇓‬ ‫) ‪g (x) (c − ) < f (x) < g (x) (c +‬‬ ‫<‪c−‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫מאי השוויון הימני נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות ‪gdx‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫התכנסות ‪ , a f dx‬ומאי השוויון השמאלי נובע לפי קריטריון ההשוואה שהתכנסות‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪ a f dx‬גוררת את התכנסות ‪. a gdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪43.5‬‬ ‫גוררת את‬ ‫התכנסות בהחלט‪/‬בתנאי‬ ‫תהי ‪ .a ∈ R‬הוכחנו כי אם ‪ f‬אינטגרבילית על ]‪ [a, b‬לכל ‪ ,b > a‬אזי גם | ‪ |f‬אינטגרבילית‬ ‫כנ"ל‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫נאמר כי האינטגרל ‪ a f dx‬מתכנס בהחלט אם האינטגרל ‪ a |f | dx‬מתכנס‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫אם האינטגרל ‪ a |f | dx‬מתבדר ובכל זאת האינטגרל ‪ a f dx‬מתכנס‪ ,‬נאמר כי ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתכנס בתנאי‪.‬‬ ‫טענה אינטגרל שמתכנס בהחלט‪ ,‬מתכנס‪.‬‬ ‫הוכחה מקריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא־אמיתי נובע כי אם האינטגרל מתכנס‬ ‫בהחלט‪ ,‬אז לכל ‪ > 0‬קיים ‪ B‬כך שלכל ‪ b1 , b2 > B‬מתקיים כי‪:‬‬ ‫‪ˆb2‬‬ ‫ < ‪|f | dx‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫נסיק מאי־שוויון המשולש לאינטגרלים‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‬ ‫‪ˆ 2‬‬ ‫‪ ˆb2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪ f dx ≤ |f | dx‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪b1‬‬ ‫‬ ‫‪112‬‬ ‫‪b1‬‬ ‫‪44‬‬ ‫קשר בין טורים אינסופיים לאינטגרלים לא־אמיתיים‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה חיובית לא־עולה בקרן )∞ ‪ ,[a,‬ואינטגרבילית בכל תת־קטע חסום של‬ ‫)∞ ‪.[a,‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫והאינטגרל ‪f dx‬‬ ‫מתכנסים ומתבדרים יחד‪) .‬כל אחד‬ ‫אזי הטור האינסופי )‪f (a + k‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתכנס‪/‬מתבדר במובן שבו הוא הוגדר(‪.‬‬ ‫הערה ניתן להתייחס לקשר שבין האינטגרל לבין הטור האינסופי‪ ,‬אם מגדירים לכל קטע‬ ‫באורך ‪ 1‬פונקציית מדרגות‪ ,‬שערכה הקבוע בכל קטע הוא ערך האיבר בטור‪ .‬כך ניתן‬ ‫לבנות קבוצה של פונקציות מדרגות תחתונות ועליונות‪.‬‬ ‫הוכחה מכך ש‪ f -‬מונוטונית חיובית לא עולה נובע שלכל ‪ k ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪a+k+1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪a+k+1‬‬ ‫ˆ‬ ‫≤ ‪f (a + k + 1) dx‬‬ ‫≤ ‪f dx‬‬ ‫)‪f (a + k) dx = f (a + k‬‬ ‫‪a+k+1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪a+k‬‬ ‫‪a+k‬‬ ‫‪´ a+k+1‬‬ ‫= )‪f (a + k + 1‬‬ ‫‪a+k‬‬ ‫]נימוק‪ :‬נשים לב שהביטוי ‪ a+k f (a + k) dx‬הוא אינטגרל על קטע באורך ‪,1‬‬ ‫של קבוע כלשהו שאינו תלוי במשתנה האינטגרציה ‪ .x‬לכן ערך האינטגרל הוא בדיוק‬ ‫ערך הקבוע‪[.‬‬ ‫נקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪a+n‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪n a+k+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ )‪f (a + k + 1) − f (a‬‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫≤ ‪f dx‬‬ ‫)‪f (a + k‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪k=0 a+k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫ נשים לב שמכיוון שמדובר באינטגרל על פונקציה חיובית‪ ,‬תנאי הכרחי ומספיק‬‫‪´b‬‬ ‫להתכנסות‪/‬התבדרות הוא שהפונקציה ‪ I (b) = a f dx‬תהיה חסומה‪/‬לא חסומה‬ ‫)בהתאמה( כאשר ∞ → ‪ ,b‬כי הפונקציה הזו מונוטונית לא יורדת‪.‬‬ ‫הכרחי ומספיק להתכנסות‪/‬התבדרות‬ ‫ כמו כן מכיוון שמדובר בטור חיובי‪ ,‬תנאי ‪Pn‬‬‫הוא שסדרת הסכומים החלקיים )‪ Sn = k=0 f (a + k‬תהיה חסומה‪/‬לא חסומה‬ ‫)בהתאמה( כאשר ∞ → ‪ ,N‬כי הסדרה הזו מונוטונית לא יורדת‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫ממונוטוניות הפונקציה ‪ f‬נובע שהפונקציה ‪f dx‬‬ ‫‬ ‫‪´ a+n‬‬ ‫‪ a‬חסומה‪ ,‬ומצידו הימני של אי השוויון שקיבלנו נובע שזה מתקיים אמ"מ‬ ‫‪f dx‬‬ ‫סדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn‬חסומה‪.‬‬ ‫השוויון השמאלי נובע שסדרת הסכומים החלקיים ‪ Sn‬חסומה אמ"מ‬ ‫אופן‪ ,‬מאי ´‬ ‫באותו ‬ ‫‪a+n‬‬ ‫חסומה‪ ,‬וממונוטוניות הפונקציה ‪ f‬נובע שזה קורה אמ"מ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫הסדרה‬ ‫‪a‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫הפונקציה ‪ I (b) = a f dx‬חסומה‪ .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= )‪ I (b‬חסומה אמ"מ הסדרה‬ ‫הערה כאשר האינטגרל והטור מתכנסים‪ ,‬מאי השוויון שפיתחנו בהוכחה נובע חסם על סכום‬ ‫הטור‪ ,‬כי אם ∞ → ‪ n‬נקבל‪:‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪f (a + k) ≤ f dx‬‬ ‫)‪f (a + k‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪113‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪ 45‬אינטגרלים לא־אמיתיים של פונקציות לא־חסומות בקטע‬ ‫חסום‬ ‫הגדרה נניח שקיימת פונקציה ‪ ,f : [a, b] → R‬וקיימות ]‪ c1 , c2 , ..., cn ∈ [a, b‬נקודות‬ ‫קבועות‪.‬‬ ‫נאמר כי } ‪ {ci‬היא קבוצה של "נקודות מיוחדות" אם מתקיים‪:‬‬ ‫א‪ f .‬אינה חסומה באף סביבה של ‪ ci‬לכל ‪.i‬‬ ‫∈ ‪ ci‬לכל ‪ ,i‬מתקיים כי ‪f‬‬ ‫ב‪ .‬בכל קטע סגור מהצורה ]‪ [α, β] ⊆ [a, b‬המקיים ]‪/ [α, β‬‬ ‫אינטגרבילית )קיים האינטגרל "האמיתי"(‪.‬‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם נקודת קצה מיוחדת‬ ‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי נקודת הקצה ‪ a‬היא נקודה מיוחדת יחידה של ‪ f‬בקטע‪.‬‬ ‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיים הגבול‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx = lim‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫}‬ ‫‪&0‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫|‬ ‫∞<‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם שתי נקודות קצה מיוחדות‬ ‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי נקודות הקצה ‪ a, b‬הן נקודות מיוחדות יחידות של ‪ f‬בקטע‪.‬‬ ‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיימת נקודה כלשהי )‪ d ∈ (a, b‬כך‬ ‫שקיימים שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הבאים‪:‬‬ ‫‪ˆd‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫כאשר שני האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים‪ ,‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪ˆd‬‬ ‫‪f dx +‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫]קל לראות שערך האינטגרל הלא־אמיתי הזה אינו תלוי בנקודה ‪ ,d‬ולכן הוא מוגדר היטב‪[.‬‬ ‫אינטגרל לא־אמיתי של פונקציה עם ‪ n‬נקודות מיוחדות‬ ‫תהי ‪ f : [a, b] → R‬ונניח כי ‪ c1 < c2 < ... < cn‬נקודות מיוחדות יחידות של ‪ f‬בקטע‪.‬‬ ‫נאמר שקיים האינטגרל הלא־אמיתי של ‪ f‬בקטע‪ ,‬אם קיימים האינטגרלים הלא־אמיתיים‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫∞<‬ ‫‪ˆc2‬‬ ‫‪f dx ,‬‬ ‫‪f dx , ... ,‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪ˆc1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫} ‪| {z } |1 {z‬‬ ‫∞<‬ ‫‪114‬‬ ‫∞<‬ ‫אם האינטגרלים הלא־אמיתיים הללו קיימים‪ ,‬נגדיר ונסמן‪:‬‬ ‫‪ˆc2‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f dx + ... +‬‬ ‫‪f dx‬‬ ‫‪cn‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪ˆc1‬‬ ‫‪f dx +‬‬ ‫‪c1‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הקשר בין שני סוגי האינטגרלים הלא־אמיתיים‬ ‫נניח כי ‪ f‬פונקציה אינטגרבילית בכל קטע מהצורה ]‪ [a + , b‬לכל ‪ ,0 < < b − a‬ונניח כי‬ ‫‪ a‬נקודה מיוחדת יחידה בקטע‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬זהו אינטגרל לא־אמיתי בקטע סגור‪ ,‬עבור פונקציה שאינה חסומה בו‪.‬‬ ‫נראה כיצד ניתן להגדיר אינטגרל לא־אמיתי שמוגדר בקרן אינסופית בה הפונקציה חסומה‪,‬‬ ‫ששקול לאינטגרל לא־אמיתי זה‪.‬‬ ‫לפי אינטגרציה בשיטת ההצבה‪ ,‬נציב ‪ x = a + y1‬ונשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ,y = x−a‬ולכן אם ]‪ ,x ∈ [a + , b‬אז ‪, 1‬‬ ‫כמו כן מתקיים‬ ‫‪.y ∈ b−a‬‬ ‫נחשב את האינטגרל הלא־אמיתי לפי הצבה זו‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪. dx‬‬ ‫= ‪dy‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ˆb−a‬‬ ‫ ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ‪f (x) dx‬‬ ‫‪f a+‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫=‬ ‫‪f‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪y y2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫נסיק משוויון זה שלפי הגדרת האינטגרל הלא־אמיתי מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dy‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪46.1‬‬ ‫האינטגרל לא־אמיתי‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪f (x) dx = lim‬‬ ‫‪&0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫∞´‬ ‫‪a‬‬ ‫משפט תהי ‪ a > 0‬נקודה קבועה ותהי ‪ f : [a, b] → R‬רציפה לכל ‪.b > a‬‬ ‫אם קיים קבוע ‪ c‬המקיים‪:‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ f dx < c‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫לכל ‪ ,b > a‬אזי האינטגרל הלא־אמיתי הבא מתכנס לכל ‪:α > 0‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪115‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה ניתן לוותר על הרציפות במספר סופי של נקודות‪.‬‬ ‫הוכחה נסמן‪:‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫)‪f dx = F (x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מכיוון ש‪ f -‬רציפה אזי מהמשפט היסודי נובע ש‪ F -‬מוגדרת היטב לכל ‪ ,x ≥ a‬והיא‬ ‫הפונקציה הקדומה של ‪.f‬‬ ‫מהנתון נובע כי‪:‬‬ ‫‪|F (x)| < c‬‬ ‫ולכן מאינטגרציה בחלקים נסיק‪:‬‬ ‫)‪F (u‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪uα+1‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫)‪f (u‬‬ ‫‪F (u) x‬‬ ‫= ‪du‬‬ ‫‪| +α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪uα a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪F (u) x‬‬ ‫)‪F (x‬‬ ‫‪c‬‬ ‫)‪F (x) F (a‬‬ ‫= |‬ ‫= ‪− α‬‬ ‫‪≤ α −→ 0‬‬ ‫‪uα a‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪xα‬‬ ‫∞→‪x x‬‬ ‫כמו־כן מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ )‪ F (u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ uα+1 < uα+1‬‬ ‫ולכן אם נתון ש‪ α > 0-‬אז ‪ ´α + 1 > 1‬ולכן קיבלנו אינטגרל מתכנס )בהחלט( לפי‬ ‫∞‬ ‫מבחן ההשוואה עם האינטגרל ‪ . a x1α dx‬‬ ‫∞´‬ ‫)‪ 0 sin(x‬עבור ‪ α > 0‬עומד בתנאי המשפט ולפיכך מתכנס )בתנאי(‪.‬‬ ‫מסקנה הטור ‪xα dx‬‬ ‫מסקנה עבור ‪ 0 < β ∈ R ,α ∈ R‬נבדוק מתי האינטגרל הבא מתכנס‪/‬מתבדר‪:‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‬ ‫‪xα sin xβ dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נציב ‪ .x = u β ⇔ xβ = u‬כך שאם )∞ ‪ x ∈ [1,‬אז גם )∞ ‪.u ∈ [1,‬‬ ‫כמו־כן מתקיים כי‪:‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1−β‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪= u β −1 = u β‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫ונשים לב כי תחת הצבה זו ‪.xα = u β‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫‪sin (u) du‬‬ ‫‪1−β+α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1 1−β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪u sin (u) u β du‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪116‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫∞ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן קיבלנו אינטגרל מהצורה הקודמת‪ ,‬שמתכנס אמ"מ המעריך של ‪ u‬שלילי‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪1−β+α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫⇓‬ ‫‪1+α<β‬‬ ‫‬ ‫מסקנה מעניינת שנובעת מכך‪ ,‬היא שהאינטגרל ‪x2 sin x4 dx‬‬ ‫שהאיבר הכללי שלו מתבדר‪.‬‬ ‫∞´‬ ‫‪1‬‬ ‫מתכנס על־אף‬ ‫הערה נשים לב שבניגוד לטורים שבהם התכנסות האיבר הכללי ל‪ 0-‬היא תנאי הכרחי‬ ‫להתכנסות‪ ,‬אינטגרל לא־אמיתי יכול להתכנס גם אם האיבר הכללי של הפונקציה‬ ‫אינו שואף ל‪ ,0-‬וייתכן אף כי הגבול העליון של הטור יתבדר לאינסוף‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬ניתן לבחור פונקציה שהיא ‪ 0‬בכל מקום‪ ,‬למעט בסביבות של המספרים‬ ‫הטבעיים שבהם היא ‪ ,1‬כאשר הסביבות הן בגודל ‪ . n12‬האינטגרל של פונקציה‬ ‫זו הוא טור הריבועים של הטור ההרמוני‪.‬‬ ‫באותו אופן ניתן לבנות פונקציה שגובהה בסביבות המספרים הטבעיים הוא ‪,n‬‬ ‫בסביבות בגודל ‪ . n13‬גם האינטגרל של פונקציה זו הוא טור הריבועים של הטור‬ ‫ההרמוני‪.‬‬ ‫הערה נשים לב שהתנאי המקביל להתכנסות האיבר הכללי ל‪ 0-‬בטורים‪ ,‬הוא קריטריון קושי‬ ‫להתכנסות של אינטגל לא־אמיתי‪.‬‬ ‫‪117‬‬ ‫חלק‬ ‫‪VII‬‬ ‫סדרות פונקציות וטורי פונקציות‬ ‫‪47‬‬ ‫סדרת פונקציות‬ ‫∞‬ ‫תהי ‪ (fn )n=1‬סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע ‪.I ⊆ R‬‬ ‫∞‬ ‫לכל ‪ x0 ∈ I‬מתקבלת סדרה של מספרים ממשיים ‪.(fn (x0 ))n=1‬‬ ‫התכנסות של סדרת פונקציות‬ ‫∞‬ ‫אם הסדרה ‪ (fn (x0 ))n=1‬מתכנסת‪ ,‬אז הנקודה ‪ x0‬נקראת "נקודת התכנסות" של סדרת‬ ‫∞‬ ‫הפונקציות ‪.(fn )n=1‬‬ ‫קבוצת כל הנקודות ‪ {x} ⊆ I‬שהן נקודות התכנסות‪ ,‬נקראת "תחום ההתכנסות"‪.‬‬ ‫עבור ‪ x‬כלשהו מתחום ההתכנסות‪ ,‬מסמנים‪:‬‬ ‫}‪f (x) |{z‬‬ ‫)‪= lim fn (x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪mark‬‬ ‫∞‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬נקראת "הפונקציה הגבולית" של סדרת הפונקציות ‪ ,(fn )n=1‬או "הגבול‬ ‫הנקודתי"‪ ,‬והיא מוגדרת על תחום ההתכנסות‪.‬‬ ‫‪48‬‬ ‫טור פונקציות‬ ‫∞‬ ‫תהי ‪ (uk )k=1‬סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקטע ‪.I ⊆ R‬‬ ‫∞‬ ‫לכל ‪ x0 ∈ I‬מתקבלת סדרה של מספרים ממשיים ‪.(un (x0 ))k=1‬‬ ‫טור פונקציות מבוטא בצורה‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪uk (x‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫)‪uk (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Sn (x‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫התכנסות של טור פונקציות‬ ‫∞‬ ‫אם עבור קבוצת ערכים ‪ I‬מתקיים כי לכל ‪ x ∈ I‬הסדרה ‪ (Sn (x))n=1‬מתכנסת כאשר‬ ‫∞ → ‪ ,n‬נאמר כי ‪ I‬הוא "תחום התכנסות" של טור הפונקציות‪.‬‬ ‫עבור ‪ x‬בתחום ההתכנסות נסמן את סכום הטור‪:‬‬ ‫)‪un (x‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪118‬‬ ‫= )‪S (x‬‬ ‫‪49‬‬ ‫הקשר בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות‬ ‫טענה כל סדרת פונקציות מגדירה טור פונקציות‪ ,‬ולהיפך‪ .‬כלומר‪ ,‬קיימת התאמה חח"ע ועל‬ ‫בין טורים וסדרות פונקציות‪.‬‬ ‫∞‬ ‫הוכחה נניח כי ‪ (fn )n=1‬סדרת פונקציות המוגדרות על ‪ .I‬נגדיר באופן אינדוקטיבי‪:‬‬ ‫‪u1 = f1‬‬ ‫‪∀k > 1 uk = fk − fk−1‬‬ ‫נקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪uk = f1 + (f1 − f1 ) + ... + (fn − fn−1 ) = fn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪Sn‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫כך שסדרת הסכומים החלקיים של טור הפונקציות הזה מתלכדת עם ערכי סדרת‬ ‫הפונקציות‪ ,‬ולכן התכנסות הטור שקולה להתכנסות של סדרת פונקציות מתאימה‪.‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ ,‬ברור שכל סדרה מייצגת טור פונקציות‪ ,‬אם מגדירים כל איבר בה‬ ‫כסכום חלקי של הטור‪ .‬‬ ‫‪50‬‬ ‫התכנסות של סדרת‪/‬טור פונקציות בשפת ‪ε − N‬‬ ‫נתרגם את ההגדרה המוכרת של גבול של סדרה לסדרת פונקציות ולטור פונקציות )ונזכור‬ ‫שטור פונקציות הוא למעשה גבול של סדרה ‪ -‬סדרת הסכומים החלקיים(‪.‬‬ ‫לסדרת־פונקציות נאמר שהסדרה ) ‪ (fn‬מתכנסת נקודתית ל‪ f -‬על התחום ‪ ,I ⊆ R‬ונסמן‪:‬‬ ‫)‪lim fn (x) = f (x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫אם לכל ‪ ,x ∈ I‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫מתכנס נקודתית ל‪ s-‬בתחום ‪ ,I ⊆ R‬אם לכל‬ ‫לטור־פונקציות נאמר שהטור ‪n=1 un‬‬ ‫‪ ,x ∈ I‬לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ n‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < )‪uk (x) − s (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪51‬‬ ‫התכנסות במידה־שווה‬ ‫הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬מתכנסת במידה־שווה‬ ‫לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪x ∈ I‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫ < |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫‪119‬‬ ‫הבהרה ההבדל הלוגי בין התכנסות רגילה להתכנסות במידה שווה הוא בסדר הכמתים‪.‬‬ ‫בהתכנסות רגילה דורשים שלכל ‪ x‬ו‪ -‬נתונים יהיה קיים ‪ N‬המקיים את התנאי‪.‬‬ ‫לעומת זאת בהתכנסות במידה שווה דורשים שלכל נתון יהיה קיים ‪ N‬המקיים את‬ ‫התנאי לכל ‪ x‬ללא תלות ב‪.x-‬‬ ‫הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬מתכנסת במידה־שווה‬ ‫לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪lim sup |fn (x) − f (x)| = 0‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫שלילת־התכנסות־במידה־שווה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬אינה‬ ‫מתכנסת במידה־שווה לפונקציה גבולית ‪ ,f‬אם קיים ‪ > 0‬כך שלכל ‪ N‬קיים ‪n > N‬‬ ‫וקיים ‪ x ∈ I‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫ ≥ |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫‪51.1‬‬ ‫קריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה‬ ‫הגדרה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬היא סדרת קושי במידה־שווה‪,‬‬ ‫אם לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ‪ x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < |)‪|fn (x) − fm (x‬‬ ‫הגדרה־שקולה נאמר שסדרת פונקציות ) ‪ (fn‬כלשהי על תחום ‪ I ⊆ R‬היא סדרת קושי‬ ‫במידה־שווה‪ ,‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|fn (x) − fm (x)|‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sup‬‬ ‫‪x∈I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪n→∞ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n,m>N‬‬ ‫במידה־שווה‪:‬‬ ‫הערה הניסוח האנלוגי לטור קושי ∞‪P‬‬ ‫נאמר שטור פונקציות ‪ k=1 uk‬כלשהו על ‪ I‬הוא טור קושי במידה־שווה‪ ,‬אם לכל‬ ‫‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ ,n > N‬לכל ‪ m ∈ N‬ולכל ‪ ,x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪n+m‬‬ ‫‪ n+m‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪uk (x) −‬‬ ‫ = )‪uk (x‬‬ ‫ < )‪uk (x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪k=1‬‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫משפט סדרת פונקציות ) ‪ (fn‬על ‪ I‬מתכנסת במידה שווה ⇔ ) ‪ (fn‬על ‪ I‬סדרת קושי במידה־‬ ‫שווה‬ ‫‪120‬‬ ‫הוכחה )כיוון ראשון( נתון כי ) ‪(fn‬מתכנסת במ"ש לפונקציה גבולית ‪.f‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון נובע שקיים ‪ N‬כך שלכל ‪ x ∈ I‬מתקיים עבור ‪:n > N‬‬ ‫‬ ‫< |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫וכן מתקיים עבור ‪:m > N‬‬ ‫‬ ‫< |)‪|fm (x) − f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫≤ |)‪|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − f (x) + f (x) − fm (x‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫< |)‪≤ |fn (x) − f (x)| + |f (x) − fm (x‬‬ ‫הוכחה )כיוון שני( נתון כי ) ‪ (fn‬סדרת קושי במידה־שווה‪.‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ x ∈ I‬סדרת המספרים ))‪ (fm (x‬מקיימת את קריטריון קושי להתכנסות‬ ‫קלסית של סדרת מספרים ולפיכך מתכנסת נקודתית ב‪ x-‬כאשר ∞ → ‪ .m‬נסמן את‬ ‫גבולה ב‪.f (x)-‬‬ ‫עוד נובע מהנתון‪ ,‬שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ‪ x ∈ I‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫< |)‪|fn (x) − fm (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם נקבע את ‪ n‬להיות מספר כלשהו )ללא תלות איזה ‪ n‬נבחר( ונשאיף את ‪ m‬לאינסוף‪,‬‬ ‫נקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫ < ≤ |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪51.2‬‬ ‫מבחן ‪ M‬של ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ k=1 uk‬טור פונקציות‪P‬המוגדרות על ‪.I‬‬ ‫∞‬ ‫‪P‬טור חיובי ‪ k=1 ak‬שמתכנס‪ ,‬כך שלכל ‪ x ∈ I‬מתקיים ‪ ,|uk (x)| ≤ ak‬אזי הטור‬ ‫אם קיים‬ ‫∞‬ ‫‪ k=1 uk‬מתכנס במידה־שווה על ‪.I‬‬ ‫הוכחה מהנתון שטור המספרים מתכנס‪ ,‬נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות קלאסית של‬ ‫סדרה‪ ,‬שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ ,m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫ < ‪ak‬‬ ‫‪n+m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫ולכן עבור אותם ‪ n, m‬מתקיים לכל ‪:x ∈ I‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n+m‬‬ ‫‪n+m‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪u‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫≤‬ ‫ < ‪ak‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫מכאן שמתקיים קריטריון קושי להתכנסות טור פונקציות במידה־שווה‪ ,‬ולכן הטור‬ ‫מתכנס במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪121‬‬ ‫הערה מההוכחה ניתן לראות שהטור אפילו מתכנס בהחלט במידה־שווה‪.‬‬ ‫דוגמה עקרונית נראה שקיים טור המתכנס בתנאי במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫)‪ k=1 (−1‬כאשר סדרת הפונקציות מוגדרת על ]‪.[0, 1‬‬ ‫נגדיר את הטור ‪n+x2‬‬ ‫ניתן לראות שטור זה אנו מתכנס בהחלט‪ ,‬אך מתכנס בתנאי כי הוא טור לייבניץ‪.‬‬ ‫נראה שהתכנסות טור זה בתנאי היא במידה־שוה‪ ,‬ונשתמש בחסם על סכום של טור‬ ‫בעל סימנים מתחלפים שהוכחנו במשפט לייבניץ‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫≤‬ ‫≤‬ ‫‪−→ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞→‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n=m‬‬ ‫‬ ‫תכונות הקשורות בהתכנסות במידה־שווה‬ ‫‪52‬‬ ‫רציפות של הפונקציה הגבולית‬ ‫‪52.1‬‬ ‫תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות על ]‪ [a, b‬המתכנסת שם במידה־שווה לפונקציה גבולית ‪.f‬‬ ‫אם לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ fn‬רציפה בנקודה ]‪ ,x0 ∈ [a, b‬אזי גם ‪ f‬רציפה ב־ ‪.x0‬‬ ‫האנלוגי לפונקציה הגבולית של טור פונקציות‪:‬‬ ‫הערה הניסוח ∞‪P‬‬ ‫אם ‪ n=1 un‬טור של פונקציות רציפות בקטע סגור ]‪ ,[a, b‬המתכנס במידה שווה‬ ‫בקטע זה‪ ,‬אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה על ]‪.[a, b‬‬ ‫הוכחה יהי ‪ . > 0‬מההתכנסות במידה־שווה נובע שקיים ‪ n‬כלשהו שעבורו לכל ]‪x ∈ [a, b‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫< |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫מהנתון שלכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ fn‬רציפה ב‪ ,x0 -‬נובע שקיים ‪ δ > 0‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫< |) ‪|x − x0 | < δ ⇒ |fn (x) − fn (x0‬‬ ‫נסיק משתי התוצאות שמתקיימת הגדרת הרציפות עבור הפונקציה הגבולית ב‪:f -‬‬ ‫≤ |) ‪|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0‬‬ ‫=‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫< |) ‪≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0‬‬ ‫‬ ‫‪ (un ) ,(fn )P‬סדרות של פונקציות רציפות‪ ,‬ונניח כי הסדרה ) ‪ (fn‬והטור‬ ‫מסקנה נניח כי‬ ‫∞‬ ‫‪ n=1 un‬מתכנסים במידה־שווה‪.‬‬ ‫מרציפות הפונקציה הגבולית שהוכחנו‪ ,‬נסיק שמתקיים עבור סדרת פונקציות‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪lim lim fn (x) = lim fn (x0 ) = lim‬‬ ‫)‪lim fn (x‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪122‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫ועבור טור פונקציות‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪lim un (x‬‬ ‫ ∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫!‬ ‫=‬ ‫)‪un (x‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x→x0‬‬ ‫דוגמה נגדיר את סדרת הפונקציות ‪ fn (x) = xn‬על הקטע ]‪ .[0, 1‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‪0 x ∈ [0, 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫→‪x −‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫נשים לב שזו דוגמה לסדרת פונקציות רציפות לכל ]‪ ,x ∈ [0, 1‬והפונקציה הגבולית‬ ‫אינה רציפה‪ .‬מכאן שבהכרח הסדרה אינה מתכנסת במידה־שווה‪.‬‬ ‫נראה ישירות שהפונקציה לא מתכנסת במ"ש‪:‬‬ ‫‪sup |xn − f (x)| = 1 −→ 1 6= 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫]‪x∈[0,1‬‬ ‫]הבהרה‪ :‬נשים לב שזהו הסופרימום מכיוון שניתן להתקרב ל‪ 1-‬כמה שרוצים )בלי‬ ‫להגיע( ועדיין הפונקציה הגבולית היא ‪[.0‬‬ ‫דוגמה נראה דוגמה לסדרת פונקציות רציפות שהפונקציה הגבולית שלהן רציפה‪ ,‬אך ההתכנסות‬ ‫שלהן אינה במידה־שווה‪.‬‬ ‫נגדיר את הפונקציות‪ fn (x) = xn (1 − xn ) :‬על הקטע ]‪.[0, 1‬‬ ‫נשים לב שמתקיים ‪ ,(fn (x)) −→ 0‬ולכן הפונקציה הגבולית קבועה ושווה ל‪0-‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ובוודאי רציפה‪.‬‬ ‫נראה שההתכנסות אינה במידה־שווה‪:‬‬ ‫ ‪ n‬‬ ‫ ‪ n‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫→‪−‬‬ ‫‪6= 0‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫ ≥ |‪sup |x (1 − x ) − 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫]‪x∈[0,1‬‬ ‫]נימוק‪ :‬נשים לב שלכל ‪ n‬מתקיים ]‪ ,x = 11 ∈ [0, 1‬ומכיוון שהסופרימום הוא על‬ ‫‪2n‬‬ ‫כל האיברים בקטע‪ ,‬הוא בפרט גדול מאיבר מסוים בקטע‪[.‬‬ ‫‪52.2‬‬ ‫אינטגרציה איבר־איבר‬ ‫תהי ‪ fn : [a, b] → R‬סדרת פונקציות רציפות בקטע‪ ,‬המתכנסות במידה־שווה על התחום‬ ‫]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.f‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫ ‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim fn dx = f dx‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫= ‪fn dx‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נשים לב שממשפט קודם נובע שמכיוון שהפונקציות רציפות ומתכנסות במידה שווה‪ ,‬אז‬ ‫‪´b‬‬ ‫הפונקציה הגבולית רציפה‪ .‬לפיכך היא אינטגרבילית והביטוי ‪ a f dx‬מוגדר‪.‬‬ ‫‪123‬‬ ‫הוכחה נחשב‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪(f − fn ) dx +‬‬ ‫‪fn dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪(f − fn + fn ) dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫= ‪f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אם ניקח גבול ב‪ n → ∞-‬משני צידי השוויון‪ ,‬כדי להוכיח את המשפט יספיק להראות‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‪(f − fn ) dx −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מהנתון ש‪ fn −→ f -‬במידה־שווה‪ ,‬אזי לכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬כך שלכל ‪n > N‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫)‪(b − a‬‬ ‫< |)‪sup |fn (x) − f (x‬‬ ‫]‪x∈[a,b‬‬ ‫נסיק שמתקיים‪:‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪ ˆb‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫< ‪ (f − fn ) dx ≤ |f − fn | dx‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫ = )‪(b − a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪(b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪a‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‬ ‫‪ 52.2.1‬בשפה של טורי פונקציות‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ n=1 fn‬טור אינסופי של פונקציות רציפות על ]‪ ,[a, b‬המתכנס במידה־שווה שם‪.‬‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆb X‬‬ ‫‪ˆb‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ fn dx‬‬ ‫‪fn dx = f dx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪52.3‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫גזירה איבר־איבר‬ ‫תהי ‪ fn : [a, b] → R‬סדרת פונקציות גזירות בקטע‪.‬‬ ‫נניח כי‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ .1‬סדרת הנגזרות ‪ fn‬מתכנסת במידה־שווה על התחום ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.g‬‬ ‫‪ .2‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, b‬שעבורה סדרת המספרים ))‪ (fn (c‬מתכנסת‪.‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪ (fn ) .1‬מתכנסת במידה־שווה על ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.f‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪ .2‬הפונקציה הגבולית ‪ f‬גזירה בקטע‪ ,‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= lim fn = g‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪lim fn‬‬ ‫‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪f‬‬ ‫הערה לו היה נתון שהנגזרות רציפות‪ ,‬מהמשפט היסודי היה נובע שמתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ˆx‬‬ ‫‪fn (x) = fn (c) + fn (x) − fn (c) = fn (c) +‬‬ ‫‪fn (t) dt‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ולכן היה קל להסיק את המשפט‪.‬‬ ‫הוכחה )‪ (1‬נוכיח שסדרת הפונקציות ) ‪ (fn‬מתכנסת במידה־שווה‪ ,‬לפי קריטריון קושי להתכנסות‬ ‫במידה־שווה‪:‬‬ ‫≤ |))‪|fn (x) − fm (x)| = |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c)) + (fn (c) − fm (c‬‬ ‫|))‪≤ |fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c))| + |(fn (c) − fm (c‬‬ ‫נתייחס לביטוי ))‪ fn (x) − fm (x) − (fn (c) − fm (c‬כאל פונקציה אחת מהצורה‪:‬‬ ‫)‪(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c‬‬ ‫מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה‪ .‬לכן ממשפט הערך‬ ‫הממוצע של לגראנז' נובע שלכל )‪ x ∈ (a, b‬קיימת נקודה )‪ ξ ∈ (x, c‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪(fn − fm ) (x) − (fn − fm ) (c) = (x − c) (fn − fm ) (ξ‬‬ ‫כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי להתכנסות‬ ‫במידה־שווה‪ ,‬ומהתכנסות הפונקציות ‪ fn‬מתקיים קריטריון קושי להתכנסות פשוטה‪.‬‬ ‫נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול עבור‬ ‫שני התנאים‪ ,‬כך שלכל ‪:n, m > N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < |))‪|fn (x) − fm (x)| ≤ (x − c) (fn − fm ) (ξ) + |(fn (c) − fm (c‬‬ ‫מכאן שסדרת הפונקציות מקיימת את קריטריון קושי להתכנסת במידה־שווה‪ ,‬ולכן‬ ‫היא מתכנסת במידה־שווה‪.‬‬ ‫הוכחה )‪ (2‬נשים לב שלפי הגדרת הנגזרת צריך להוכיח שלכל ]‪ x0 ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(f (x0 + h) − f (x0 )) = g (x0‬‬ ‫‪h→0 h‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ .1‬נגדיר פונקציה ‪:ϕ : [a − x0 , b − x0 ] → R‬‬ ‫‪(f (x0 + h) − f (x0 )) h 6= 0‬‬ ‫) ‪g (x0‬‬ ‫‪h=0‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h‬‬ ‫(‬ ‫= )‪ϕ (h‬‬ ‫נשים לב שאם נוכיח כי ‪ ϕ‬רציפה בנקודה ‪ h = 0‬נוכיח את הטענה‪ ,‬כי משמעות‬ ‫הרציפות של ‪ ϕ‬היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(f (x0 + h) − f (x0 )) = lim ϕ (h) = ϕ (0) = g (x0‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪ .2‬כדי להוכיח שזו פונקציה רציפה‪ ,‬נוכיח שהיא מהווה פונקציה גבולית של סדרת‬ ‫פונקציות רציפות על הקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬המתכנסות אליה במידה־שווה‪.‬‬ ‫זה יספיק להוכיח את הרציפות של ‪ ϕ‬ב־‪ ,0‬כי ממשפט שהוכחנו נובע שעבור סדרת‬ ‫פונקציות המתכנסת במידה־שווה‪ ,‬הפונקציה הגבולית שלהן רציפה‪.‬‬ ‫)א( נגדיר סדרת פונקציות ) ‪ (ϕn‬על הקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬באופן הבא‪:‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h (fn (x0 + h) − fn (x0 )) h 6= 0‬‬ ‫= )‪ϕn (h‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪fn (x0‬‬ ‫‪h=0‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים כי ‪ ϕn‬רציפה ב‪ ,h = 0-‬כי נתון ש‪ fn -‬גזירה‬ ‫ב‪.h = 0-‬‬ ‫כמו־כן מתקיים לפי נתוני המשפט ומחלקו הראשון‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫)‪ϕn (h) −→ ϕ (h‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ומכאן שזו סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית ל‪.ϕ-‬‬ ‫)ב( נוכיח כי ‪ ϕn‬מתכנסת ל‪ ϕ-‬במידה־שווה על ] ‪ ,[a − x0 , b − x0‬באמצעות הטענה‬ ‫כי זו סדרת קושי במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬מהנתון שסדרת הנגזרות ‪ fn‬מתכנסת במידה־שווה נובע שקיים‬ ‫‪ N‬כך שלכל ‪ n, m > N‬ולכל ] ‪ ξ ∈ [a − x0 , b − x0‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < )‪fn (ξ) − fm (ξ‬‬ ‫נסיק שעבור ‪ h 6= 0‬בקטע ] ‪ [a − x0 , b − x0‬מתקיים לפי הגדרת הפונקציה ‪:ϕ‬‬ ‫ ‬ ‫|) ‪|ϕn (h) − ϕm (h)| = h1 |fn (x0 + h) − fn (x0 ) − fm (x0 + h) − fm (x0‬‬ ‫נתייחס לביטוי ) ‪ fn (x0 + h)−fn (x0 )−fm (x0 + h)−fm (x0‬כאל פונקציה‬ ‫אחת מהצורה‪:‬‬ ‫) ‪(fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0‬‬ ‫מכיוון שפונקציה זו היא הפרש של פונקציות גזירות היא גזירה‪ .‬לכן ממשפט‬ ‫הערך הממוצע של לגראנז' נובע שלכל ) ‪ ξ ∈ (a − x0 , b − x0‬קיימת נקודה‬ ‫)‪) ξ0 ∈ (ξ, c‬הנקודה ‪ c‬היא הנתונה בתנאי המשפט( כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪(fn − fm ) (x0 + h) − (fn + fm ) (x0 ) = h · (fn − fm ) (ξ0‬‬ ‫‪126‬‬ ‫כעת נשתמש בכך שמרציפות הנגזרות במידה־שווה מתקיים קריטריון קושי‬ ‫להתכנסת במידה־שווה‪.‬‬ ‫נצרף את המסקנה ממשפט לגראנז' ונסיק שלכל ‪ > 0‬קיים ‪ N‬מספיק גדול‬ ‫עבור שני התנאים‪ ,‬כך שלכל ‪:n, m > N‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ) ‪|ϕn (h) − ϕm (h)| = (fn − fm ) (ξ0‬‬ ‫נשים לב שזה לא מספיק כי לא כללנו בדיוק את המקרה של ‪ ,h = 0‬אבל זו לא‬ ‫בעיה כי מתקיים לפי הגדרת הפונקציות ‪:ϕn‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ) ‪|ϕn (0) − ϕm (0)| = (fn − fm ) (ξ0‬‬ ‫מכאן שהסדרה ) ‪ (ϕn‬סדרת קושי במידה־שווה‪ ,‬ולכן היא מתכנסת לפונקציה‬ ‫הגבולית ‪ ϕ‬במידה־שווה‪.‬‬ ‫הראינו שאם סדרת פונקציות רציפות המתכנסת במידה שווה לפונקציה גבולית‪,‬‬ ‫אז הפונקציה הגבולית רציפה‪ ,‬ונימקנו לעיל מדוע רציפות הפונקציה ‪ ϕ‬מספיקה‬ ‫להוכיח את המשפט‪ .‬‬ ‫‪ 52.3.1‬בשפה של טורי פונקציות‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ n=1 fn‬טור אינסופי של פונקציות גזירות על ]‪.[a, b‬‬ ‫נניח כי‪:‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .1‬טור הנגזרות ‪ n=1 fn‬מתכנס על התחום ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.g‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪ .2‬קיימת נקודה )‪ c ∈ (a, b‬כך שטור המספרים )‪ n=1 fn (c‬מתכנס‪.‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬הטור ‪fn‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס במידה־שווה על ]‪ [a, b‬לפונקציה גבולית ‪.S‬‬ ‫‪ .2‬הפונקציה הגבולית ‪ S‬גזירה בקטע‪ ,‬ולכל ]‪ x ∈ [a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪fn dx‬‬ ‫= ‪fn dx‬‬ ‫‪fn dx = g‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪52.4‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫= ‪S0‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫משפט דיני‬ ‫תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות רציפות על ]‪ [a, b‬המתכנסות נקודתית לפונקציה גבולית ‪ ,f‬ונניח‬ ‫כי ‪ f‬רציפה‪.‬‬ ‫אם לכל ]‪ x ∈ [a, b‬סדרת המספרים ))‪ (fn (x‬מונוטונית‪ ,‬אזי ‪ (fn ) −→ f‬במידה־שווה‪.‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הערה ייתכן שעבור חלק מהערכים הסדרה המתאימה תהיה מונוטונית עולה‪ ,‬ועבור אחרים‬ ‫יורדת‪.‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫מסקנה תהי ) ‪ (fn‬סדרת פונקציות ממשיות אי־שליליות על ]‪ ,[a, b‬כך שהטור ‪n=1 fn‬‬ ‫מתכנס נקודתית לפונקציה גבולית רציפה‪ .‬אזי הטור מתכנס במידה־שווה‪.‬‬ ‫]נימוק‪ :‬מכיוון שהפונקציות אי־שליליות‪ ,‬סדרת הסכומים החלקיים מונוטונית עולה‪,‬‬ ‫ולכן מתקיימים תנאי המשפט‪[.‬‬ ‫‪127‬‬ ‫הוכחה נניח בשלילה שההתכנסות אינה במידה־שווה‪ .‬נוכיח שקיימת נקודה ]‪ x0 ∈ [a, b‬כך‬ ‫ש‪ (fn (x0 ))-‬לא מתכנסת ל‪ f (x0 )-‬בסתירה להתכנסות הנקודתית‪.‬‬ ‫משלילת התכנסות במידה שווה נובע שקיים ‪ > 0‬כך שלכל ‪ N‬קיים ‪ n > N‬וקיים‬ ‫]‪ x ∈ [a, b‬כך ש‪:‬‬ ‫ ≥ |)‪|fn (x) − f (x‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫מכאן שקיימות הסדרות ‪ (xk )k=1 ,(nk )k=1‬כך ש‪:‬‬ ‫ ≥ |) ‪|fnk (xk ) − f (xk‬‬ ‫נשים לב שמהמונוטוניות נובע שמתקיים עבור ‪:m < nk‬‬ ‫ ≥ |) ‪|fm (xk ) − f (xk )| ≥ |fnk (xk ) − f (xk‬‬ ‫לכל ‪ k‬מתקיים ]‪ ,xk ∈ [a, b‬ולכן לכל ‪ nk ≥ m‬ממשפט בולצאנו ויירשטראס נובע‬ ‫שקיימת תת־סדרה כלשהי שמתכנסת ל‪ x0 -‬כלשהו‪ ,‬המקיים ]‪.x0 ∈ [a, b‬‬ ‫מרציפות ‪ fn , f‬נסיק שכאשר ∞ → ‪ k‬מתקיים עבור אי השוויון הנ"ל לכל ‪:m ∈ N‬‬ ‫ ≥ |) ‪|fm (x0 ) − f (x0‬‬ ‫בסתירה לכך ש‪ .fm (x0 ) −→ f (x0 )-‬‬ ‫∞→‪m‬‬ ‫‪53‬‬ ‫טורי־חזקות‬ ‫הגדרה טור־חזקות סביב ‪ x0 ∈ R‬כלשהו‪ ,‬הוא טור פונקציות מהצורה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪an (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫כאשר ‪ an ∈ R‬מקדמים קבועים כלשהם‪.‬‬ ‫נסמן את הסכום החלקי ה‪n-‬־י של טור־חזקות‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫) ‪ak (x − x0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪Sn (x‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫הערה ‪ 1‬כל טור חזקות מתכנס בנקודה ‪ x = x0‬וסכומו הוא ‪) .a0‬כי ‪.(00 = 1‬‬ ‫הערה ‪ 2‬לצורך הנוחות נפתח את התורה של טורי־חזקות סביב ‪ ,x0 = 0‬כך שטור החזקות‬ ‫ייראה מהצורה‪:‬‬ ‫‪an xn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪53.1‬‬ ‫משפט אבל )‪Abel‬‬ ‫( לטורי־חזקות‬ ‫לכל טור חזקות קיים רדיוס־התכנסות יחיד ‪ R ∈ R‬המקיים ∞ ≤ ‪ ,0 ≤ R‬כך שהטור‬ ‫מתכנס בהחלט לכל ‪ x‬המקיים ‪ |x| < R‬ומתבדר לכל ‪ x‬המקיים ‪.|x| > R‬‬ ‫בקצוות רדיוס ההתכנסות‪ ,‬דהיינו עבור ‪ ,|x| = R‬לא ניתן לקבוע התכנסות בהחלט‪ ,‬התכנסות‬ ‫או התבדרות רק על־סמך הידוע לנו בתוך הרדיוס ומחוצה לו‪.‬‬ ‫הוכחה נסמן ב‪ E-‬את קבוצת כל המספרים הממשיים ‪ x‬שעבורם הטור מתכנס‪.‬‬ ‫נשים לב ש‪ 0 ∈ E-‬ולכן ‪/‬‬ ‫‪ ,E 6= O‬ומכאן שיש ל‪ E-‬סופרימום‪ .‬נסמן‪:‬‬ ‫}|‪R = sup {|x‬‬ ‫‪x∈E‬‬ ‫יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬ ‫• אם ‪ x‬מקיים ‪ ,|x| < R‬אזי מהגדרת ‪ R‬כסופרימום נובע שקיים ‪ α ∈ E‬המקיים‬ ‫‪ ,|x| < |α| ≤ R‬כך ש‪:‬‬ ‫∞ < ‪an αn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫ולכן בהכרח ‪.(an αn ) −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫סדרה מתכנסת היא בפרט חסומה‪ ,‬ולכן קיים ‪ 0 < m ∈ R‬כך שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‬ ‫‪.|an αn | < m‬‬ ‫נחשב‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪ x n‬‬ ‫‪ x n X‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪m‬‬ ‫≤ · | ‪|an αn‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= | ‪|an xn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫ ‬ ‫‪ n‬‬ ‫טור הנדסי‬ ‫מכיוון שמתקיים |‪ |x| < |α‬נסיק ש‪ , αx < 1-‬ולכן ‪ n=1 m αx‬הוא‬ ‫∞‪P‬‬ ‫שמתכנס‪ ,‬ולפי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים נסיק שהטור | ‪ n=1 |an xn‬מתכנס‪.‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ |x| < R‬הטור מתכנס‪.‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫• אם ‪ x‬מקיים ‪ ,|x| > R‬אזי מהגדרת ‪ R‬כסופרימום נובע שעבור ‪ x‬טור החזקות‬ ‫מתבדר‪ .‬‬ ‫‪53.2‬‬ ‫נוסחת קושי־הדמר‬ ‫‪p‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ n=0 an xn‬טור־חזקות כלשהו‪ .‬נסמן‪.c = lim n |an | :‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אזי רדיוס ההתכנסות )באופן שבו הגדרנו לעיל( מקיים = ‪ .R‬כלומר‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪ c c ∈ {R/0‬‬ ‫= )‪R (c‬‬ ‫∞‬ ‫‪c=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞=‪c‬‬ ‫‪129‬‬ ‫הוכחה יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬ ‫אם מתקיים ‪ ,|x| > 1c‬אז‪:‬‬ ‫‪|an | = |x| c > 1‬‬ ‫ואם מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪|an xn | = |x| lim‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫< |‪ ,|x‬אז‪:‬‬ ‫‪|an | = |x| c < 1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪|an xn | = |x| lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫נסיק ממבחן קושי לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר‪ ,‬ובשני הטור מתכנס‪ .‬‬ ‫הערה ‪ 1‬הוכחנו את מבחן קושי עבור טורים חיוביים‪ ,‬אולם ניתן להשתמש בו לכל טור‬ ‫באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו‪.‬‬ ‫הערה ‪ 2‬נשים לב שנוסחת קושי־הדמר הוא הוכחה נוספת למשפט אבל לטורי־חזקות‪.‬‬ ‫‪53.3‬‬ ‫משפט דלאמבר לטורי־חזקות‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טור־חזקות כלשהו‪.‬‬ ‫‬ ‫יהי ‪ n=0 an x‬‬ ‫ ‪ n‬‬ ‫‪ ,c = lim aan+1‬אזי רדיוס ההתכנסות מקיים ‪.c = R‬‬ ‫אם קיים הגבול ‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫הוכחה יהי ‪ x ∈ R‬כלשהו‪.‬‬ ‫אם מתקיים ‪ ,|x| > c‬אז‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ an xn‬‬ ‫ ‪ an‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪= 1 c<1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫ ‪n→∞ an+1 xn+1‬‬ ‫|‪|x| n→∞ an+1 |x‬‬ ‫ואם מתקיים ‪ ,|x| < c‬אז‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ an xn‬‬ ‫‬ ‫‪ = 1 lim an = 1 c > 1‬‬ ‫ ‪lim‬‬ ‫ ‪n→∞ an+1 xn+1‬‬ ‫|‪|x| n→∞ an+1 |x‬‬ ‫נסיק ממבחן דלאמבר לטורים שבמקרה הראשון הטור מתבדר‪ ,‬ובשני הטור מתכנס‪.‬‬ ‫‬ ‫הערה הוכחנו את מבחן דלאמבר עבור טורים חיוביים‪ ,‬אולם ניתן להשתמש בו לכל טור‬ ‫באמצעות ערך־מוחלט באופן שבו השתמשנו בהוכחה זו‪.‬‬ ‫‪53.4‬‬ ‫התכנסות במידה־שווה של טורי־חזקות‬ ‫משפט ‪1‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪an xn‬‬ ‫הטור‪.‬‬ ‫אזי לכל ‪ 0 < r < R‬מתקיים כי הטור מתכנס בהחלט ובמידה־שווה על הקטע ]‪.[−r, r‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ונניח כי ∞ ≤ |‪ 0 < |R‬הוא רדיוס ההתכנסות של‬ ‫‪130‬‬ ‫הוכחה נשים לב שלכל )‪ x ∈ (−r, r‬מתקיים‪:‬‬ ‫| ‪|an xn | ≤ |an rn‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫רדיוס ההתכנסות נסיק שהטור ‪an rn‬‬ ‫מכיוון ש‪r-‬‬ ‫בתוך‪P‬‬ ‫∞‬ ‫הטור ‪ n=0 an xn‬מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫מקריטריון ויירשטראס להתכנסות במידה־שווה )סעיף ‪ (52.2‬נסיק שהטור מתכנס‬ ‫במידה־שווה‪ .‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫מסקנה אם ידוע שעבור ‪ R‬עצמו )‪ R‬ממשי( טור החזקות | ‪ n=1 |an Rn‬מתכנס בהחלט‪,‬‬ ‫אזי טור החזקות מתכנס בהחלט ובמידה־שווה בכל הקטע ]‪.[−R, R‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מתכנס בהחלט‪ ,‬ולכן‬ ‫משפט ‪2‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪an xn‬‬ ‫הטור‪.‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם הטור מתבדר ב‪ R-‬עצמו‪ ,‬אזי בקטע )‪ (−R, R‬ההתכנסות אינה במידה־שווה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם הטור מתכנס ב‪ R-‬עצמו‪ ,‬אזי בקטע ]‪ [0, R‬ההתכנסות היא במידה־שווה‪) .‬גם אם לא‬ ‫‪30‬‬ ‫בהחלט(‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫ג‪ .‬הטור מתכנס במידה־שווה בכל קטע סגור המוכל )גם אם חלש( בתחום ההתכנסות‪.‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫הוכחה )א( נניח בשלילה שהטור ‪ n=0 an xn‬מתכנס במידה־שווה ב‪.(−R, R)-‬‬ ‫יהי ‪ . > 0‬מההתכנסות הטור במידה־שווה נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות‬ ‫במידה שווה שקיים ‪ ,N‬כל שלכל ‪ m > n > N‬ולכל )‪ x ∈ (−R, R‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ m‬‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫ < ‪ak x‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ונניח כי ∞ < |‪ 0 < |R‬הוא רדיוס ההתכנסות של‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫מכיוון שלפי ההנחה מתקיימת התכנסות במידה־שווה לסכום סופי‪ ,‬הוכחנו שבמקרה‬ ‫זה הפונקציה הגבולית היא פונקציה רציפה של ‪ ,x‬ולכן אם נשאיף ‪ x → R−‬נקבל‬ ‫שלכל ‪ m > n > N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪ m‬‬ ‫‬ ‫‪ X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ < ‪ak R k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k=n+1‬‬ ‫ולכן מקריטריון קושי לטורי מספרים נקבל שהטור מתכנס עבור ‪ R‬עצמו‪ ,‬בסתירה‬ ‫להנחה‪.‬‬ ‫תזכורת )הוכחנו כמסקנה מהטרנספורמציה של אבל(‬ ‫יהיו ‪ .α1 , ..., αm , β1 , ..., βm ∈ R‬נסמן ‪ Bk = β1 + ... + βk‬עבור ‪.1 ≤ k ≤ m‬‬ ‫נניח גם כי ‪ |Bi | < L‬לכל ‪ ,1 ≤ i ≤ m‬וכן שהקבוצה ‪ α1 , ..., αm‬קבוצה סדורה‬ ‫מונוטונית‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αm‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αm‬‬ ‫‪30‬באופן סימטרי‪ ,‬אם היינו יודעים שהטור מתכנס ב‪ ,−R-‬אזי בקטע ]‪ [−R, 0‬ההתכנסות היא במידה־שווה‪.‬‬ ‫‪31‬כלומר‪ ,‬אם למשל תחום ההתכנסות הוא ]‪ ,(−R, R‬אז הטור מתכנס במידה־שווה בקטע ]‪ [r, R‬לכל ‪ r‬המקיים‬ ‫|‪.|r| < |R‬‬ ‫‪131‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫)| ‪αi βi ≤ L (2 |αm | + |α1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הוכחה )ב( יהי ‪ . > 0‬מהתכנסות הטור ב‪ R-‬נובע לפי קריטריון קושי להתכנסות טורי‬ ‫מספרים שקיים ‪ ,N‬כך שלכל ‪ n > N‬ולכל ‪ m ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫< ‪an+i xn+i‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫יהי ]‪ x ∈ [0, R‬כלשהו‪ .‬נשים לב שמתקיים ‪≤ 1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫שאם נציב‪:‬‬ ‫‬ ‫‪x n+i‬‬ ‫‪αi = R‬‬ ‫≤ ‪ .0‬לכן מהטענה שהזכרנו נובע‬ ‫‪βi = an+i Rn+i‬‬ ‫‪=L‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫נקבל שמתקיים לפי הטענה‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫ ‪ n+i‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪n+i‬‬ ‫‪n+i x‬‬ ‫ = ‪an+i x‬‬ ‫‪an+i R‬‬ ‫<‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪R‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x n+m x n+1‬‬ ‫<‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫≤‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫לכן מקריטריון קושי להתכנסות במידה־שווה‪ ,‬הטור מתכנס עבור ]‪. x ∈ [0, R‬‬ ‫הוכחה )ג( מהמשפט הקודם נסיק שעבור קטע סגור ]‪) [−r, r] ⊂ [−R, R‬ממש( הטור מתכנס‬ ‫בהחלט ובמידה־שווה‪.‬‬ ‫מסעיף ב של משפט זה נסיק שאם הטור מתכנס גם בשני הקצוות אז הוא מתכנס‬ ‫במידה־שווה על כל קטע סגור שמוכל או שווה לתחום ההתכנסות‪ .‬‬ ‫‪53.5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫רציפות הפונקציה הגבולית של טורי־חזקות‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ n=0 an x‬טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬ ‫אזי סכום הטור הוא פונקציה רציפה בקטע )‪.(−R, R‬‬ ‫הוכחה לכל )‪ x0 ∈ (−R, R‬קיים ‪ 0 < r < R‬כך ש‪.|x0 | < r-‬‬ ‫הוכחנו שבכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬טור החזקות מתכנס במידה־שווה‪ ,‬ולכן ממשפט‬ ‫קודם נובע שהפונקציה הגבולית רציפה שם‪ ,‬ובפרט ב‪ ,x0 -‬לכל )‪ .x0 ∈ (−R, R‬‬ ‫‪132‬‬ ‫‪53.6‬‬ ‫משפט הגבול של אבל )‪Abel‬‬ ‫( לטורי־חזקות‬ ‫∞‪P‬‬ ‫יהי ‪ n=0 an xn‬טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬ ‫אם הטור מתכנס בנקודה ‪ x = R‬אז הפונקציה הגבולית שלו רציפה משמאל ב‪.R-‬‬ ‫הוכחה הטור מתכנס ב‪ x = R-‬ולכן ממשפט קודם נובע שהוא מתכנס במידה־שווה בקטע‬ ‫]‪.[0, R‬‬ ‫עוד ראינו שאם טור פונקציות רציפות כלשהו מתכנס במידה שווה‪ ,‬הפונקציה הגבולית‬ ‫שלו רציפה בתחום ההתכנסות‪ ,‬ומכאן הטענה‪ .‬‬ ‫‪53.7‬‬ ‫אינטגרציה איבר־איבר של טור־חזקות‬ ‫יהי ‪an xn‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬ ‫‬ ‫‪ .1‬טור האינטגרלים ‪an tn dt‬‬ ‫‪´x‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מתכנס על אותו רדיוס התכנסות‪.‬‬ ‫‪ .2‬סכום טור האינטגרלים הוא אינטגרל של סכום הטור‪ .‬כלומר לכל ‪ |x| < R‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆx X‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪ an tn dt‬‬ ‫‪an t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪ .3‬אם ∞ < ‪ R‬והטור מתכנס ב‪ ,x = R-‬אזי גם טור האינטגרלים מתכנס ב‪,x = R-‬‬ ‫ומתקיים גם כאן‪:‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪‬‬ ‫!‬ ‫ˆ‬ ‫‪ˆR X‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪ an tn dt‬‬ ‫‪an tn dt‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫הוכחה )‪ (1‬נשים לב שמתקיים עבור אינטגרל של פולינום‪:‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪an n+1 X an−1 n‬‬ ‫= ‪ an tn dt‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מכאן ניכר שטור האינטגרלים מתכנס )ואף נוטה להתכנס חזק יותר מהטור המקורי(‪.‬‬ ‫נניח שרדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים הוא ‪e‬‬ ‫‪ .R‬נסיק מנוסחת קושי־הדמר‬ ‫שמתקיים‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫| ‪lim n |an−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫ ‪n n−1‬‬ ‫ ‪n n−1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫= | ‪= lim n |an−1‬‬ ‫‬ ‫‪ = lim‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪e n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫|‪|n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫ולכן ‪e = R‬‬ ‫‪ ,R‬משמע רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים שווה לזה של טור‬ ‫החזקות‪.‬‬ ‫‪133‬‬ ‫הוכחה )‪ (2,3‬הוכחנו שלכל טור פונקציות רציפות המתכנס במידה־שווה ניתן לבצע אינטגרציה‬ ‫איבר־איבר‪.‬‬ ‫טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬המקיים )‪,r ∈ (−R, R‬‬ ‫ולכן הוא מקיים את תנאי המשפט‪.‬‬ ‫כאשר הטור מתכנס גם ב‪ R-‬עצמה‪ ,‬מאותו נימוק נובע שניתן לבצע אינטגרציה איבר־‬ ‫איבר על התחום הסגור‪ .‬‬ ‫‪53.8‬‬ ‫‪n‬‬ ‫גזירה איבר־איבר של טור־חזקות‬ ‫יהי ‪an x‬‬ ‫אזי‪:‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טור חזקות עם רדיוס התכנסות ‪.R > 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ .1‬טור הנגזרות ) ‪(an xn‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫מתכנס על אותו רדיוס התכנסות‪.‬‬ ‫‪ .2‬סכום טור הנגזרות הוא נגזרת של סכום הטור‪ .‬כלומר לכל ‪ |x| < R‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an x‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫= ) ‪(an x‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪ .3‬אם ∞ < ‪ R‬וטור הנגזרות מתכנס ב‪ ,x = R-‬אזי גם הטור מתכנס ב‪,x = R-‬‬ ‫ומתקיים גם כאן‪:‬‬ ‫‪!0‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ) ‪(an R‬‬ ‫‪an R‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫]בניגוד לסעיף ‪ 3‬במשפט הקודם‪ ,‬בו מהתכנסות הטור ב‪ x = R-‬למדנו על התכנסות‬ ‫טור האינטגרלים בנקודה זו‪ ,‬במקרה זה מהתכנסות טור הנגזרות ב‪ x = R-‬לומדים‬ ‫על התכנסות הטור בנקודה זו‪[.‬‬ ‫הוכחה )‪ (1‬נשים לב שמתקיים עבור נגזרת של פולינום‪:‬‬ ‫‪(n + 1) an+1 xn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪nan xn−1‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪nan xn−1 = 0 +‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ) ‪(an xn‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫נשתמש גם כאן בנוסחת קושי־הדמר‪:‬‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫‪1‬‬ ‫= | ‪|(n + 1) an+1 | = lim n n + 1 · lim n |an+1‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪R‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫הוכחה )‪ (2‬טור־חזקות מתכנס במידה שווה בכל קטע מהצורה ]‪ [−r, r‬המקיים )‪,r ∈ (−R, R‬‬ ‫ולכן טור הנגזרות )שהוא טור־חזקות( מתכנס במידה־שווה בכל קטע מהצורה הנ"ל‪.‬‬ ‫ממשפט קודם על גזירה איבר־איבר של טור פונקציות כלשהו נסיק שבתנאים אלה‬ ‫ניתן לבצע גזירה איבר־איבר‪.‬‬ ‫‪134‬‬ ‫הוכחה )‪ (3‬נתון שטור הנגזרות מתכנס ב‪ ,x = R-‬כלומר מתקיימת התכנסות לטור‪:‬‬ ‫‪nan Rn−1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ) ‪(an Rn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫נשים לב שהטור המקורי מתקבל מטור הנגזרות הזה באמצעות כפל בסדרה‬ ‫שהיא מונוטונית־יורדת ל‪:0-‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‬ ‫‪an Rn‬‬ ‫‪nan Rn−1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‬ ‫∞ ‪R‬‬ ‫‪n n=1‬‬ ‫ממבחן דיריכלה לטורים חסומים נסיק שהטור מתכנס ב‪) .R-‬כי טור הנגזרות מתכנס‪,‬‬ ‫ובפרט חסום(‪.‬‬ ‫מהנתון שטור הנגזרות מתכנס במידה־שווה בקטע ]‪ ,[0, R‬נסיק שניתן לבצע גזירה‬ ‫איבר־איבר על הקטע הסגור‪ .‬‬ ‫מסקנה )באינדוקציה( עבור נגזרת ‪k‬־ית כלשהי מתקיים‪:‬‬ ‫‪n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an Rn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫=‬ ‫)‪(k‬‬ ‫) ‪(an Rn‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫מסקנה )באינדוקציה( נסמן ב‪ S (x)-‬את סכום הטור ‪. n=0 an xn‬‬ ‫אזי הפונקציה )‪ S (x‬גזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בכל קטע סגור מהצורה‬ ‫)‪ ,[−r, r] ⊂ (−R, R‬ולכל ‪ k ∈ N‬מתקיים‪:‬‬ ‫!‬ ‫)‪(k‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n (n − 1)·...·(n − k + 1) an xn−k‬‬ ‫= ) ‪(an xn‬‬ ‫= )‪S (x‬‬ ‫‪an x‬‬ ‫=‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=k‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫טורי־טיילור‬ ‫∞‪P‬‬ ‫נסמן ‪an xn‬‬ ‫הוכחנו שמתקיים‪:‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫= )‪ f (x‬ונניח כי פונקציה זו מוגדרת על רדיוס התכנסות חיובי ‪.R‬‬ ‫‪n (n − 1) · ... · (n − k + 1) an xn−k‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (k) (x‬‬ ‫‪n=k‬‬ ‫ובפרט עבור ‪ x = 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫!‪f (n) (0) = an n‬‬ ‫⇓‬ ‫‪= an‬‬ ‫)‪f (n) (0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫קיבלנו נוסחה סגורה לאיבר הכללי של הפונקציה ‪.f‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫מסקנה בהינתן שמתקיים ‪ f (x) = n=0 an xn‬ההצגה של ‪ f‬כטור חזקות יחידה‪ ,‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪xk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪f (k) (0‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪54.1‬‬ ‫אנליטיות‬ ‫תהי )‪ f (x‬פונקציה כלשהי המוגדרת בסביבת ‪ .0‬נרצה לפתח את ‪ f‬כטור חזקות בסביבה‬ ‫כלשהי של ‪ ,0‬כלומר שיתקיים שוויון ממש‪:‬‬ ‫‪xk‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪f (k) (0‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪ .1‬תנאי הכרחי ומספיק לקיום טור טיילור מוגדר היטב ל‪ f -‬סביב ‪ ,0‬הוא שהיא תהיה‬ ‫גזירה מכל סדר )גזירה אינסוף פעמים( בנקודה ‪.x = 0‬‬ ‫‪ .2‬תנאי הכרחי לכך שניתן יהיה להציג את ‪ f‬באמצעות פיתוח טיילור סביב ‪ ,0‬הוא שהיא‬ ‫תהיה גזירה מכל סדר בסביבה כלשהי של ‪.0‬‬ ‫‪ .3‬תנאי מספיק לכך שניתן יהיה להציג את ‪ f‬באמצעות פיתוח טיילור סביב ‪ ,0‬הוא‬ ‫שהנגזרות שלה מכל סדר בסביבה כלשהי של ‪ 0‬חסומות‪.‬‬ ‫הוכחה התנאי הראשון נובע מהגדרת טור טיילור‪ .‬ברגע שהביטוי )‪ f (k) (0‬מוגדרת לכל ‪k‬‬ ‫מקבלים ביטוי מוגדר היטב‪.‬‬ ‫נשים לב שהתנאי השני והתנאי השלישי אינם שקולים‪ .‬כך למשל הפונקציה הבאה‬ ‫מקיימת את התנאי השני ועדיין לא ניתנת לפיתוח טיילור סביב ‪:0‬‬ ‫‪( −1‬‬ ‫‪e x2 x 6= 0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫פונקציה זו גזירה אינסוף פעמים וב‪ 0-‬ערך כל הנגזרות שלה הוא ‪ .0‬מכאן שטור‬ ‫טיילור שלה הוא זהותית ‪ ,0‬ולכן ודאי שהיא לא ניתנת לפיתוח כטור טיילור סביב ‪0‬‬ ‫על־אף שהיא מקיימת את התנאי השני‪.‬‬ ‫נוכיח שאם מצרפים את התנאי השלישי מתקיימת אנליטיות‪ .‬כלומר ניתן להציג את‬ ‫הפונקציה כטור טיילור‪.‬‬ ‫מהנתון ש‪ f -‬גזירה מכל סדר בסביבה ]‪ ,[−r, r‬נסיק שלכל ‪ x‬בסביבה זו קיים לפונקציה‬ ‫קירוב באמצעות פולינום טיילור עם שארית אפסית‪ ,‬מהצורה‪:‬‬ ‫)‪xk + Rn (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪f (k) (0‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫הוכחנו שקיימת לשארית צורת לגראנז'‪ ,‬לפיה קיים )‪ θ ∈ (0, 1‬כלשהו כך ש‪:‬‬ ‫‪f (n+1) (θn ) n+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫!)‪(n + 1‬‬ ‫= )‪Rn (x‬‬ ‫מהנתון שהנגזרות מכל סדר חסומות‪ ,‬נסיק שקיים ‪ m ∈ R‬כך שלכל ‪ k‬ולכל ∈ ‪x‬‬ ‫]‪ [−r, r‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ (k‬‬ ‫‬ ‫‪f (x) < m‬‬ ‫‪136‬‬ ‫נסיק מכך‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪f (n+1) (θn ) n+1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫≤ ‪xn+1‬‬ ‫‪rn+1 −→ 0‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫!)‪(n + 1‬‬ ‫!)‪(n + 1‬‬ ‫!)‪(n + 1‬‬ ‫= )‪Rn (x‬‬ ‫ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪f (k) (0‬‬ ‫)‪xk + Rn (x‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫⇓‬ ‫!‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (k) (0) k‬‬ ‫)‪x + Rn (x‬‬ ‫‪f (x) = lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫⇓‬ ‫!‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(k‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪f (0) k‬‬ ‫‪f (x) = lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪+ lim Rn (x‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫|‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪xk‬‬ ‫⇓‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪f (k) (0‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‬ ‫טרמינולוגיה אם קיים עבור ‪ f‬פיתוח טיילור סביב ‪ 0‬אומרים ש‪ f -‬פונקציה אנליטית ב‪-‬‬ ‫‪.x = 0‬‬ ‫ניתן להגדיר אנליטיות בכל ‪ x0 ∈ R‬כלשהי באופן אנלוגי‪ ,‬באמצעות טור טיילור‬ ‫מהצורה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪an (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫אם קיימת סביבה ]‪ [a, b‬כלשהי שעבורה מתקיים שלכל ]‪ x0 ∈ [a, b‬הפונקציה )‪f (x‬‬ ‫אנליטית‪ ,‬אז אומרים כי ‪ f‬אנליטית על ]‪.[a, b‬‬ ‫‪54.2‬‬ ‫תכונות של פונקציות אנליטיות‬ ‫תכונה ‪1‬‬ ‫אם ‪ f‬אנליטית בנקודה ‪ x0‬ורדיוס ההתכנסות שלה הוא ‪ R‬סביב ‪ ,x0‬אזי ‪ f‬אנליטית בקטע‬ ‫הפתוח )‪.(x0 − R, x0 + R‬‬ ‫כמו־כן‪ ,‬לכל )‪ x1 ∈ (x0 − R, x0 + R‬קיים רדיוס התכנסות ‪ R1‬המקיים‪:‬‬ ‫}‪R1 ≥ min {−x0 + x1 + R, x0 − x1 + R‬‬ ‫‪137‬‬ ‫תכונה ‪2‬‬ ‫אם ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ ,x0 -‬אזי גם ‪ f ± g‬ו‪ f · g-‬אנליטיות ב‪.x0 -‬‬ ‫הוכחה נתון כי ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ ,x0 -‬ונניח כי רדיוסי ההתכנסות שלהן הם ‪ Rf , Rg‬בהתאמה‪.‬‬ ‫נסמן‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪bn (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪g (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪an (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫מכאן שעבור רדיוס התכנסות ‪ R‬המקיים } ‪ R = min {Rf , Rg‬ועבור ‪ x0‬המקיים‬ ‫‪ |x − x0 | < R‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪(an ± bn ) (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫= ‪f ±g‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫ולכן ‪ f ± g‬אנליטית ב‪.x0 -‬‬ ‫כמו־כן מתקיים לפי מכפלת קושי‪:‬‬ ‫!‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪bn (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫!‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪an (x − x0‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n−k‬‬ ‫) ‪ak (x − x0 ) bn−k (x − x0‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫!‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪(x − x0‬‬ ‫= ‪fg‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫!‬ ‫=‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ak bn−k‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k=0‬‬ ‫=‬ ‫‪n=0‬‬ ‫=‬ ‫‪n=0‬‬ ‫נשים לב שקיבלנו טור־חזקות כלשהו‪ ,‬ולכן המכפלה אנליטית‪ .‬‬ ‫תכונה ‪3‬‬ ‫אם ‪ f‬אנליטית ב‪ x0 -‬וכן ‪ g‬אנליטית ב‪ ,f (x0 )-‬אזי גם ‪ f ◦ g‬אנליטית ב‪) .x0 -‬לא נוכיח(‬ ‫תכונה ‪4‬‬ ‫אם ‪ f, g‬אנליטיות ב‪ x0 -‬וכן ‪ ,g (x0 ) 6= 0‬אזי גם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ g‬ו‪g -‬‬ ‫אנליטית ב‪.x0 -‬‬ ‫אנליטית בכל נקודה ‪:x0 6= 0‬‬ ‫הוכחה ראשית נוכיח שהפונקציה‬ ‫‪n‬‬ ‫ ∞‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 X x0 − x‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪x0 + (x − x0‬‬ ‫‪x0 1 + x−x0‬‬ ‫‪x0 n=0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫כאשר השוויון האחרון נובע מנוסחת הסכום של טור גאומטרי‪.‬‬ ‫אם נסמן ‪ ,h (x) = x1‬נשים לב שהפונקציה ‪ g1‬היא הרכבה של הפונקציה ‪ .h ◦ g‬לכן‬ ‫‪ g1‬היא הרכבה של פונקציות אנליטיות‪ ,‬ומתכונה ‪ 3‬נובע שהיא אנליטית‪.‬‬ ‫באותו אופן ניתן גם להוכיח‬ ‫‪f‬‬ ‫ש‪g -‬‬ ‫אנליטית‪ .‬‬ ‫‪138‬‬ ‫‪54.3‬‬ ‫דוגמאות נפוצות‬ ‫‪ .1‬טור טיילור של ‪ ex‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫= ‪e‬‬ ‫‪x‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .2‬נוסחה כללית לנגזרת ה‪ n-‬של ‪ sin x‬היא‪:‬‬ ‫‪even‬‬ ‫‪n is‬‬ ‫‪odd‬‬ ‫‪n is‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(−1) 2 sin x‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫(‬ ‫= )‪(x‬‬ ‫)‪(n‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫ולכן טור טיילור של ‪ sin x‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪n−1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪x7‬‬ ‫)‪(−1‬‬ ‫‪x2n−1 = x −‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ ...‬‬ ‫!)‪(2n − 1‬‬ ‫!‪3‬‬ ‫!‪5‬‬ ‫!‪7‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫= ‪sin x‬‬ ‫)ניתן לראות מכאן ש‪ sin-‬היא פונקציה אי־זוגית‪(.‬‬ ‫‪ .3‬באותו אופן נקבל שטור טיילור של ‪ cos x‬סביב ‪ 0‬הוא‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪(−1) 2n‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪x6‬‬ ‫‪x =1−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+ ...‬‬ ‫= ‪cos x‬‬ ‫!)‪(2n‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪4‬‬ ‫!‪6‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫)ניתן לראות מכאן ש‪ cos-‬היא פונקציה זוגית‪(.‬‬ ‫‪139‬‬ ‫חלק‬ ‫‪VIII‬‬ ‫מבוא לתורת המידה‬ ‫‪55‬‬ ‫המידה החיצונית של לבג‬ ‫כיסוי־פתוח תהי ‪ .A ⊆ R‬נאמר כי קבוצה כלשהי של קטעים פתוחים שנסמן ‪ σ‬היא "כיסוי‬ ‫פתוח של ‪ ,"A‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫[‬ ‫⊆‪A‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫הגדרה תהי ‪ .A ⊆ R‬נגדיר את פונקציית המידה החיצונית של לבג של ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪h1 (A‬‬ ‫‪inf‬‬ ‫|‪|I‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫‪open covers‬‬ ‫כאשר לכל קטע ‪ I ∈ σ‬הסימון |‪ |I‬מציין את אורך הקטע‪.‬‬ ‫‪55.1‬‬ ‫קבוצות בעלות מידה ‪0‬‬ ‫טענה לכל קטע מהצורה ]‪) J = [a, b‬לאו דווקא קטע סגור( מתקיים‪:‬‬ ‫|‪h1 (J) = b − a = |J‬‬ ‫ומכאן גם שעבור נקודה בודדת ‪ a‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪h1 (a) = 0‬‬ ‫הגדרה תהי ‪ .A ⊆ R‬נאמר כי ‪ A‬היא "בעלת מידה ‪ "0‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪h1 (A) = 0‬‬ ‫הגדרה־שקולה ל‪ A ⊆ R-‬מידה ‪ 0‬אמ"מ לכל ‪ > 0‬קיים כיסוי פתוח ל‪ A-‬שסכום כל אורכי‬ ‫הקטעים בו קטן מ‪.-‬‬ ‫טענה אם ‪ A ⊆ R‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬אזי היא בעלת מידה ‪.0‬‬ ‫הוכחה‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫נניח כי ‪ A = {an }n=1‬קבוצה בת־מניה‪ ,‬ונגדיר עליה סדר כלשהו כך ש‪.A = (an )n=1 -‬‬ ‫אזי לכל ‪ > 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‪an − 2−n , an + 2n‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪140‬‬ ‫⊆‪A‬‬ ‫נשים לב שמתקיים עבור סכום אורכי הקטעים‪:‬‬ ‫‪2−n = 2‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪22−n = 2‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫} ‪| {z‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‬ ‫∞‬ ‫טענה תהי ‪ (An )n=1‬סדרה של קבוצות בעלות מידה ‪ ,0‬אזי גם הקבוצה ‪An‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫= ‪ A‬היא‬ ‫‪n=1‬‬ ‫בעלת מידה ‪.0‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬איחוד בן־מניה של קבוצות בעלות מידה ‪ 0‬הוא קבוצה בעלת מידה ‪(.0‬‬ ‫הוכחה יהי ‪ . > 0‬מהנתון שלכל הקבוצות ) ‪ (An‬יש מידה ‪ ,0‬נסיק שלכל קבוצה ‪ An‬קיים‬ ‫כיסוי פתוח מהצורה‪:‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫‪Inl‬‬ ‫⊆ ‪An‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫המקיים את התנאי השקול למידה ‪:0‬‬ ‫ ‪|Inl | < 2−n‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫ולכן נסיק שקיים כיסוי פתוח לקבוצה ‪:A‬‬ ‫‪Inl‬‬ ‫[ ∞‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫⊆ ‪An‬‬ ‫‪n=1 l=1‬‬ ‫∞‬ ‫[‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫כך שמתקיים‪:‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‬ ‫ = ‪2−n‬‬ ‫= ‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪−n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫!‬ ‫<‬ ‫| ‪|Inl‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪l=1‬‬ ‫= | ‪|Inl‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n,l=1‬‬ ‫‬ ‫הערה כל קבוצה בת־מניה מידתה ‪ ,0‬אולם לא כל קבוצה שמידתה ‪ 0‬היא בת־מניה‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬קבוצה כל המספרים בקטע ממשי נתון‪ ,‬שלא מאפשרים לספרה מסוימת‬ ‫להופיע בפיתוח העשרוני שלהם‪.‬‬ ‫דוגמה מסוימת בכתיב פורמלי‪:‬‬ ‫}‪{a ∈ [0, 1] |a = a1 a2 a3 ... and ai 6= 5‬‬ ‫‪56‬‬ ‫משפט לבג‬ ‫פונקציה ]‪) f ∈ B [a, b‬כלומר חסומה על הקטע( אינטגרבילית רימן אמ"מ קבוצת נקודות‬ ‫אי הרציפות שלה היא בעלת מידה ‪.0‬‬ ‫‪141‬‬ ‫‪57‬‬ ‫הלמה של היינה־בורל‬ ‫]הטענה הראשונה היא הלמה עצמה‪ ,‬והשתיים האחרות קשורות אליה‪[.‬‬ ‫טענה ‪ 1‬לכל כיסוי פתוח ‪ σ‬של קטע סגור ]‪ [a, b‬קיים תת־כיסוי סופי לקטע ]‪.[a, b‬‬ ‫"תת־כיסוי סופי" הוא קבוצה המוכלת ב‪ ,σ-‬המכילה מספר סופי של קטעים פתוחים‪.‬‬ ‫הוכחה נניח בשלילה שהטענה לא נכונה‪ .‬כלומר‪ ,‬קיים קטע סגור ]‪ [a, b‬כלשהו‪ ,‬וכיסוי פתוח‬ ‫אינסופי שלו ‪ ,σ‬כך שכל תת־קבוצה סופית של ‪ σ‬אינה כיסוי פתוח של ]‪.[a, b‬‬ ‫נבצע תהליך איטרטיבי של חלוקת הקטע ]‪ [a, b‬לשני תתי־קטעים שווים‪ ,‬ובכל שלב‬ ‫נבחר אחד משני תתי הקטעים ונמשיך איתו את התהליך‪ ,‬באופן הבא‪.‬‬ ‫ניתן לראות שמתקיים תמיד‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪∪ a+‬‬ ‫‪,b‬‬ ‫‪[a, b] = a, a +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מההנחה שאין ל‪ [a, b]-‬כיסוי סופי נובע בהכרח שלפחות לאחד משני תתי הקטעים‬ ‫הללו אין כיסוי סופי‪) .‬אחרת איחוד שני הכיסויים הסופיים שלהם יהיה כיסוי סופי‬ ‫לכל הקטע(‪.‬‬ ‫נבחר תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן אותו ] ‪ .[a1 , b1‬אורכו של תת־קטע זה הוא‬ ‫‪.b1 − a1 = b−a‬‬ ‫‪21‬‬ ‫נחזור על אותו התהליך עבור ] ‪ ,[a1 , b1‬ונקבל שוב תת־קטע שאין לו כיסוי סופי ונסמן‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.b2 − a2 = b12−a‬‬ ‫‪= b−a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אותו ] ‪ .[a2 , b2‬אורכו של תת־קטע זה הוא ‪22‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬נקבל סדרה של קטעים ] ‪ [an , bn‬המקיימת‪:‬‬ ‫] ‪[an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn‬‬ ‫אורכו של תת־קטע ‪n‬־י הוא‪:‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫= ‪bn − an‬‬ ‫ולכן נקבל סדרה של קטעים שאין להם כיסוי סופי‪ ,‬ושאורכיהם מהווים סדרה‬ ‫המתכנסת ל‪ 0-‬כאשר ∞ → ‪.n‬‬ ‫מהלמה של קנטור נובע שקיית נקודה ]‪ c ∈ [a, b‬יחידה ששייכת לכל הקטעים הללו‪.‬‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫‪[an , bn ] ⇔ ∀n an ≤ c ≤ bn‬‬ ‫∞‬ ‫\‬ ‫∈‪c‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫נשים לב שמההנחה ש‪ σ-‬כיסוי של הקטע ]‪ [a, b‬נובע שקיים קטע פתוח כלשהו ‪I ∈ σ‬‬ ‫כך ש‪.c ∈ I-‬‬ ‫נניח שאורכו של ‪ I‬הוא ‪ .‬מכיוון שסדרת אורכי הקטעים מתכנסת ל‪ ,0-‬נובע שעבור‬ ‫‪ n‬מספיק גדול‪ ,‬הקטע ‪ ,[an , bn ] ⊂ I‬בסתירה לכך שלכל ‪ n‬לקטע ] ‪ [an , bn‬אין כיסוי‬ ‫סופי‪ .‬‬ ‫טענה ‪ 2‬נניח כי קטע פתוח כלשהו )‪ (a, b‬מקיים‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫[‬ ‫) ‪(αn , βn‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪142‬‬ ‫⊆ )‪(a, b‬‬ ‫)כלומר יש לקטע כיסוי סופי(‬ ‫אזי מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪(βn − αn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤‪b−a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הוכחה )באינדוקציה(‬ ‫עבור ‪ ,N = 1‬אם )‪ (a, b) ⊆ (α, β‬אזי ‪ β ≥ b ,α ≤ a‬ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪b−a≤β−α‬‬ ‫נניח שהטענה נכונה עבור ‪ N‬כלשהו‪ ,‬ואינה נכונה עבור ‪.N + 1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬קיימים קטעים המקיימים‪:‬‬ ‫) ‪(αn , βn‬‬ ‫[‪N‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫⊆ )‪(a, b‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ובכל זאת מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪(βn − αn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫>‪b−a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫מכיוון שהכיסוי הוא קבוצה שמוגדרת כאיחוד של קטעים‪ ,‬סדר הקטעים לא משנה‪,‬‬ ‫אז נגדיר‪:‬‬ ‫) ‪(βn‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪1≤n≤N +1‬‬ ‫= ‪βN +1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬ניקח את הקטע ) ‪ (αN +1 , βN +1‬להיות הקטע בכל הקצה "הימני" הקיצוני‬ ‫בכיסוי הקטע )‪ ,(a, b‬ולכן בהכרח ‪.b ≤ βN +1‬‬ ‫נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪(βn − αn ) > βN +1 − αN +1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫>‪b−a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪b − a > βN +1 − αN +1‬‬ ‫⇓‬ ‫‪a < αN +1‬‬ ‫נדון בשני מקרים‪:‬‬ ‫אם ‪ αN +1 ≥ b‬אז הקטע ) ‪ (αN +1 , βN +1‬אינו נדרש לכיסוי של )‪ ,(a, b‬ולכן קיים‬ ‫כיסוי מגודל ‪ N‬לקטע )‪ .(a, b‬עבור מקרה זה מתקיימת הנחת האינדוקציה‪ ,‬בסתירה‬ ‫להנחה בשלילה שהטענה לא מתקיימת עבור ‪.N + 1‬‬ ‫אם ‪ αN +1 < b‬נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪(a, αN +1 ) ∩ (αN +1 , βN +1 ) = Ø‬‬ ‫‪143‬‬ ‫ולכן את הקטע ) ‪ (a, αN +1‬ניתן לכסות עם ‪ N‬קטעים‪ ,‬ומתקיימת לגביו הנחת‬ ‫האינדוקציה‪:‬‬ ‫) ‪(βn − αn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤ ‪αN +1 − a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫ומכאן נסיק שלכל הקטע )‪ (a, b‬מתקיים‪:‬‬ ‫≤ )‪b − a ≤ βN +1 − a = (βN +1 − αN +1 ) + (αN +1 − a‬‬ ‫) ‪(βn − αn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪(βn − αn ) + (βN +1 − αN +1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫≤‬ ‫‪n=1‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫בסתירה למה שהנחנו בשלילה‪ .‬‬ ‫טענה ‪ 3‬אם ‪ σ‬כיסוי פתוח )סופי או אינסופי( של קטע סגור ]‪ ,[a, b‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪|I| ≥ b − a‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫כאשר |‪ |I‬הוא אורך הקטע ה‪.I-‬‬ ‫|‪|I‬‬ ‫הביטוי‬ ‫ולכן‬ ‫חיובי‪,‬‬ ‫ממשי‬ ‫]נשים לב ש‪ |I|-‬הוא מספר‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫אינסופי‪[.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫מוגדר ‪ -‬סופי או‬ ‫הוכחה נניח בשלילה שמתקיים‪:‬‬ ‫‪|I| < b − a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫‪ σ‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫˜‪˜ ⊆ σ ,‬‬ ‫מהלמה של היינה־בורל נובע שקיים תת־כיסוי סופי שנסמן ‪σ‬‬ ‫[‬ ‫⊆ ]‪[a, b‬‬ ‫‪I‬‬ ‫˜∈‪I‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫ולכן מתקיים‪:‬‬ ‫‪|I| < b − a‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫≤ |‪|I‬‬ ‫‪X‬‬ ‫˜∈‪I‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫בסתירה לטענה ‪ .2‬‬ ‫מסקנה לכל ‪ ,b, a ∈ R‬הקטע ]‪) [a, b‬או גם הקטע הפתוח החצי‪-‬פתוח המתאים( אינו בן־מניה‬ ‫ואינו בעל מידה ‪.0‬‬ ‫הוכחה קבוצה בעלת מידה ‪ 0‬לפי הגדרה היא קבוצה שסכום אורכי הקטעים שלה קטן‬ ‫כרצוננו‪.‬‬ ‫הוכחנו שהגודל של כיסוי קטע מהצורה הנ"ל חסום מלרע על‪-‬ידי המספר ‪ ,b − a‬ולכן‬ ‫זו לא יכולה להיות קבוצה ממידה ‪.0‬‬ ‫הוכחנו שכל קבוצה בת־מניה היא בעלת מידה ‪ ,0‬ומכיוון שהקטע אינו בעל מידה ‪0‬‬ ‫הוא בהכרח אינו בן־מניה‪ .‬‬ ‫‪144‬‬ ‫מסקנה נניח ש‪ A-‬קבוצה כלשהי‪ ,‬ונניח כי ‪ σ‬היא קבוצת כל הכיסויים הפתוחים של ‪.A‬‬ ‫הגדרנו את "המידה החיצוני של לבג" של ‪ A‬באופן הבא‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪X‬‬ ‫‪h1 (A) = inf‬‬ ‫|‪|I‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫אזי המידה החיצונית של לבג של קטע ממשי ]‪ [a, b‬כלשהו‪ ,‬היא מה שנתפס אינטואיטיבית‬ ‫כאורך הקטע‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫‪h1 ([a, b]) = b − a‬‬ ‫הוכחה נשים לב שלכל ‪ > 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪[a, b] ⊂ (a − , b +‬‬ ‫מכאן שלכל ‪ > 0‬מתקיים כי ‪ ,(a − , b + ) ∈ σ‬ומהטענות שהוכחנו לעיל נסיק‬ ‫שמתקיים בהכרח‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪X‬‬ ‫‪h1 ([a, b]) = inf‬‬ ‫‪|I| = b − a‬‬ ‫‪I∈σ‬‬ ‫‪58‬‬ ‫הצגות של מספרים‬ ‫הצגה בבסיס כלשהו של מספרים בקטע ]‪ [0, 1‬היא הצגה של כל מספר כסכום של טור‬ ‫אינסופי גאומטרי‪.‬‬ ‫ניתן שתי דוגמאות‪.‬‬ ‫בסיס־‪ 10‬לכל מספר ממשי ]‪ a ∈ [0, 1‬קיימת הצגה שמסמנים‪:‬‬ ‫‪a = 0.a1 a2 a3 ...‬‬ ‫ומשמעות סימון זה היא‪:‬‬ ‫}‪an · 10−n , an ∈ {0, 1, 2, ..., 9‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס ‪ "10‬כי משתמשים ב‪ 10-‬ספרות לייצוג כל מספר‪.‬‬ ‫נשים לב שהצגה זו אינה יחידה‪ ,‬כי למשל ‪ 1 = 1.000... = 0.999...‬וגם = ‪0.12999...‬‬ ‫‪.0.13000...‬‬ ‫בסיס־‪ 2‬לכל מספר ממשי ]‪ a ∈ [0, 1‬קיימת הצגה שמסמנים‪:‬‬ ‫‪a = 0.a1 a2 a3 ...‬‬ ‫ומשמעות סימון זה היא‪:‬‬ ‫}‪an · 2−n , an ∈ {0, 1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫הצגה זו נקראת "הצגה בבסיס ‪ "2‬כי משתמשים ב‪ 2-‬ספרות לייצוג כל מספר‪.‬‬ ‫כך גם ניתן להציג כל מספר בבסיס כלשהו בצורה זו‪.‬‬ ‫‪145‬‬ ‫‪59‬‬ ‫קבוצת קנטור‬ ‫הגדרה קבוצת קנטור ‪ C‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬ ‫}}‪C = {a = 0.a1 a2 a3 ...|∀n an ∈ {0, 2‬‬ ‫קבוצה זו כוללת את כל המספרים בקטע ]‪ ,[0, 1‬למעט אלו שבפיתוח שלהם בבסיס ‪3‬‬ ‫מופיע ‪.1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫אם נתבונן במספר כלשהו ב‪ , 13 , 23 -‬נשים לב שהצגה שלו בבסיס ‪ 3‬כוללת את הספרה ‪,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שלוכטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר ‪.q = 31‬‬ ‫בהצגה ‪ 7‬‬ ‫כי מספר מסוג זה מכיל את ‪ 31‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫כמו כן כל מספר ששייך לקטעים ‪ 9 , 9 , 9 , 9‬מכיל את הספרה ‪ ,1‬כי מספר מסוג זה‬ ‫מכיל את ‪ 312 = 19‬בהצגה שלו כטור אינסופי גאומטרי עם פרמטר ‪.q = 13‬‬ ‫וכן הלאה‪.‬‬ ‫המובן הגאומטרי של קבוצת קנטור‪ ,‬הוא שמחלקים כל תת־קטע לשלושה תתי־קטעים‪,‬‬ ‫ומסירים בכל שלב את תת הקטע האמצעי‪.‬‬ ‫טענה ‪ C‬קבוצה בעלת מידה ‪.0‬‬ ‫הוכחה נשים לב שמתקיים‪:‬‬ ‫‪=Ø‬‬ ‫‪=Ø‬‬ ‫‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9, 9‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3, 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∩‪=C‬‬ ‫∩‪C‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9, 9‬‬ ‫∩‪C‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ולכן נקבל שמתקיים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪∪ 3, 1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪C ⊂ 0, 3‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪C ⊂ 0, 91 ∪ 29 , 39‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C ⊂ 0, 19 ∪ 92 , 39 ∪ 69 , 79 ∪ 89 , 1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ובפרט‪ ,‬לכל ‪ n‬מתקיים כי ‪ C‬מוכלת ב‪ 2n -‬קטעים‪ ,‬שאורך כל אחד מהם הוא ‪,3−n‬‬ ‫ולכן לכל ‪ n‬ניתן לכסות את ‪ C‬בקבוצה של כיסויים פתוחים באורך ‪ 3−n + n‬לכל‬ ‫‪. > 0‬‬ ‫נבחר למשל ‪ n = 9−n‬ונקבל שסכום אורך כל הכיסויים של ‪ C‬הוא‪:‬‬ ‫‪ n n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−n‬‬ ‫‪−n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−→ 0‬‬ ‫‪2 3 +9‬‬ ‫=‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ומכאן ש‪ C-‬היא קבוצה בעלת מידה ‪.0‬‬ ‫‪146‬‬ ‫טענה העוצמה של ‪ C‬היא עוצמת הרצף‪.‬‬ ‫הוכחה כל המספרים שב‪ C-‬לפי ההגדרה מיוצגים באמצעות הספרות ‪ .0, 2‬נהפוך את כל‬ ‫הספרות ‪ 2‬ל־‪.1‬‬ ‫נקבל את קבוצת כל ההצגות מהצורה ‪ 0.a1 a2 a3 ...‬כאשר }‪.an ∈ {0, 1‬‬ ‫נשים לב שקבוצה זו שקולה בעוצמתה לקטע ]‪ ,[0, 1‬כי הראינו שאת כל הקטע ]‪[0, 1‬‬ ‫ניתן להציג בבסיס ‪ .2‬‬ ‫‪60‬‬ ‫פונקציית קנטור )מדרגות השטן(‬ ‫נגדיר פונקציה מהצורה ]‪ F : [0, 1] → [0, 1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫היא שווה ‪ ,1‬ובנקודה ‪ 0‬היא שווה ‪.0‬‬ ‫ בנקודה ‪ 1 12‬‬‫‪1‬‬ ‫שווה‬ ‫היא‬ ‫‪2‬‬ ‫ בקטע ‪ 13 , 32‬‬‫‪1‬‬ ‫שווה‬ ‫היא‬ ‫‪4‬‬ ‫ בקטע ‪ 79 , 98‬‬‫‪3‬‬ ‫שווה‬ ‫היא‬ ‫‪4‬‬ ‫ בקטע ‪9 , 9‬‬‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ באופן כללי‪ :‬בקטע ‪ Inj‬שהוא באורך ‪ 3−n‬מתקיים‪:‬‬‫‪2j − 1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫אם כך הגדרנו את ‪ f‬על התחום ‪ ,[0, 1] C‬והיא מקבלת בקטע זה את קבוצת הערכים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪|k, n ∈ N, k < 2‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫כעת נגדיר את ‪ f‬על קבוצת קנטור‪ .‬לכל ‪ x ∈ C‬נגדיר‪:‬‬ ‫})‪f (x) = sup {f (t‬‬ ‫‪t<x‬‬ ‫∈‪x‬‬ ‫‪/C‬‬ ‫קיבלנו פונקציה שמוגדרת על הקטע ]‪ [0, 1‬והיא מונוטונית עולה )חלש(‪.‬‬ ‫טענה ‪ f‬שהגדרנו רציפה בכל התחום ]‪.[0, 1‬‬ ‫הוכחה היות ו‪ f -‬מונוטונית עולה‪ ,‬כל נקודת אי־רציפות שלה חייבת להיות מסוג ראשון‪,‬‬ ‫כלומר שנקבל קטע כלשהו של ערכים שלא מתקבל על־ידי הפונקציה‪.‬‬ ‫אבל זה לא אפשרי‪ ,‬כי ‪ f ([0, 1]) = A‬כפי שסימנו לעיל‪ ,‬ו‪ A-‬היא קבוצה צפופה‪ .‬‬ ‫נתבונן בפונקציה חדשה ‪ g‬שמוגדרת להיות ‪ .g = f |C‬נשים לב ש‪.g : C → [0, 1]-‬‬ ‫טענה ‪ g‬מונוטונית עולה ממש ולכן היא חח"ע‪.‬‬ ‫הוכחה יהיו ‪ x1 , x2 ∈ C‬נקודות כלשהן המקיימות ‪.x1 < x2‬‬ ‫אזי מצפיפות הרציונליים נובע שקיימים ‪ k, l ∈ N‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫<‬ ‫‪< x2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫< ‪x1‬‬ ‫ולכן מתקיים ) ‪ .g (x1 ) < g (x2 ) ⇐ f (x1 ) < f (x2‬‬ ‫‪147‬‬ ‫טענה ‪ g‬היא פונקציה על בקטע ]‪.[0, 1‬‬ ‫הוכחה מכיוון ש‪ f -‬רציפה והיא מונוטונית עולה‪ ,‬נסיק כי ]‪.f ([0, 1]) = [0, 1‬‬ ‫כמו־כן מתקיים‪:‬‬ ‫‪f ([0, 1] C) = A‬‬ ‫ולכן‪:‬‬ ‫‪g (C) ⊇ [0, 1] A‬‬ ‫כמו־כן נשים לב שכל ערכי ‪ A‬מתקבלים עבור ‪ g‬בנקודות הקצה של הקטעים הסגורים‬ ‫שאינם שייכים לקבוצת קנטור‪ ,‬ולכן הם גם כלולים בתמונה של ‪ .g‬‬ ‫מסקנה קיימת פונקציה חח"ע ועל מקבוצת קנטור ‪ C‬לקטע ]‪ ,[0, 1‬ולכן יש לשתי הקבוצות‬ ‫אותה עוצמה ‪ -‬עוצמת הרצף‪.‬‬ ‫‪148‬‬