‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫פונקציות של משתנה ממשי יחיד‬ ‫מושג הפונקציה‪:‬‬ ‫‪f : D ‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהיינה ‪ D, E‬שתי קבוצות של מספרים ממשיים‪ .‬פונקציה ‪ F‬מ‪ D-‬ל‪ E :E-‬‬ ‫הינה חוק מוגדר היטב וידוע מראש‪ ,‬אשר על‪-‬פיו מותאם לכל מספר ‪ x  D‬מספר יחיד ‪. y  E‬‬ ‫‪-‬‬ ‫המשתנה ‪ x‬החל על המספרים ב‪ D-‬נקרא המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה ‪ y‬החל על‬ ‫המספרים ב‪ E-‬נקרא המשתנה התלוי‪.‬‬ ‫תחום ההגדרה הטבעי‪ :‬קבוצת המספרים הממשיים הגדולה ביותר עבורם הפונקציה ) ‪f ( x‬‬ ‫מוגדרת‪.‬‬ ‫‪ f : D ‬אזי‪ :‬התמונה של ‪ f‬היא קבוצת כל המספרים ‪ y  E‬אשר קיים‬ ‫תמונה‪ :‬אם ‪ E‬‬ ‫‪ x  D‬כך ש‪. f ( x )  y :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ברוב המקרים הטווח של הפונקציה הוא "הרבה יותר גדול" מן התמונה‪.‬‬ ‫פונקציה חסומה‪ :‬נאמר שהפונקציה ) ‪ y  f ( x‬חסומה מלמעלה בתחום ‪ D‬אם קיים מספר‬ ‫ממשי ‪ M‬כך ש‪ :‬לכל ‪ . f ( x )  M , x  D‬אומרים ש‪ M-‬הוא חסם מלעיל של )‪ .f(x‬ההגדרה נכונה‬ ‫גם עבור חסם תחתון‪ m-‬חסם מלרע‪.‬‬ ‫נאמר ש‪ f-‬חסומה כשהיא חסומה משני הצדדים‪ :‬קיים ‪ M‬כך שלכל ‪.|f(x)| ≤ M x  D‬‬ ‫פונקציות זוגיות ואי‪-‬זוגיות‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי )‪ f(x‬פונקציה בעלת תחום הגדרה ‪ D‬סימטרי ביחס לראשית הצירים‪:‬‬ ‫‪x   : x  D ‬‬ ‫‪ x  D‬‬ ‫פונקציה זוגית‪ f(x) :‬זוגית מעל ‪ D‬אם )‪.f(-x) = f(x‬‬ ‫פונקציה אי‪-‬זוגית‪ f(x) :‬אי‪-‬זוגית מעל ‪ D‬אם )‪.f(-x) = -f(x‬‬ ‫משפט‪ :‬אם )‪ f(x‬פונקציה המוגדרת מעל תחום סימטרי ‪ ,D‬אזי ניתן להציג אותה כסכום של‬ ‫פונקציה זוגית עם פונקציה אי‪-‬זוגית‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬הגרף של פונקציה זוגית סימטרי ביחס לציר ‪ .y‬הגרף של פונקציה אי‪-‬זוגית סימטרי ביחס‬ ‫לראשית הצירים‪.‬‬ ‫פונקציות מחזוריות‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬פונקציה )‪ f(x‬המוגדרת מעל תחום ‪ D‬נקראת מחזורית אם קיים מספר חיובי ‪ T‬כך שלכל‬ ‫‪ ,x‬אם ‪ x  D‬אז ‪ x  T  D‬ו)‪ .f(x ± T) = f(x‬המספר ‪ T‬הקטן ביותר )אם הוא קיים( בעל‬ ‫תכונה זו נקרא המחזור של )‪.f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫פונקציות מונוטוניות‪:‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בתחום ‪) D0‬תת‪-‬חום של ‪ ,D‬תחום ההגדרה הטבעי או ‪.(D‬‬ ‫נאמר ש‪ f(x)-‬היא מונוטונית עולה בתחום ‪ D0‬אם‪:‬‬ ‫‪x1 x2  D0 : x1  x2 ‬‬ ‫) ‪ f ( x1 )  f ( x2‬‬ ‫נאמר ש‪ f(x)-‬היא מונוטונית עולה ממש בתחום ‪ D0‬אם‪:‬‬ ‫‪x1 x2  D0 : x1  x2 ‬‬ ‫) ‪ f ( x1 )  f ( x2‬‬ ‫נאמר ש‪ f(x)-‬היא מונוטונית יורדת בתחום ‪ D0‬אם‪:‬‬ ‫‪x1 x2  D0 : x1  x2 ‬‬ ‫) ‪ f ( x1 )  f ( x2‬‬ ‫נאמר ש‪ f(x)-‬היא מונוטונית יורדת ממש בתחום ‪ D0‬אם‪:‬‬ ‫‪x1 x2  D0 : x1  x2 ‬‬ ‫) ‪ f ( x1 )  f ( x2‬‬ ‫פונקציות הפוכות‪:‬‬ ‫‪ f : D ‬היא ח‪.‬ח‪.‬ע אם‪:‬‬ ‫פונקציה חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪ :‬נאמר שהפונקציה ‪ E‬‬ ‫לכל ‪ y  E‬קיים לכל היותר ‪ x‬אחד כך ש‪.y = f(x) -‬‬ ‫‪ f : D ‬היא פונקציה מ‪ D-‬על ‪ ,E‬אם‪:‬‬ ‫פונקציה על‪ :‬פונקציה ‪ E‬‬ ‫לכל ‪ y  E‬קיים ‪ x  D‬כך ש‪.y = f(x) -‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כלומר‪ E ,‬היא התמונה של ‪ f‬מעל ‪.D‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ E ‬ע"י‬ ‫‪ f : D ‬היא ח‪.‬ח‪.‬ע ו‪-‬על אז ניתן להגדיר‪ g: D‬‬ ‫פונקציה הפוכה‪ :‬אם ‪ E‬‬ ‫‪on‬‬ ‫‪ g(y) = x‬אם ורק אם ‪.f(x) = y‬‬ ‫זו הפונקציה ההפוכה שפועלת הפוך לפעולה של ‪ f‬ומסומנת ע"י‪.f-1 :‬‬ ‫‪y  E : f ( f 1 ( y ))  y‬‬ ‫דוגמא‪ f ( x)  x 2 :‬ו‪-‬‬ ‫‪x  D : f 1 ( f ( x))  x‬‬ ‫‪. f 1 ( x )  x‬‬ ‫גרפים של פונקציות הפוכות‪ :‬הגרף )‪) x = g(y‬כלומר‪ (f-1 -‬הוא השיקוף של הגרף )‪y = f(x‬‬ ‫ביחס לישר ‪) y = x‬וגם ההפך נכון(‪.‬‬ ‫הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות‪:‬‬ ‫‪ :Arcsin x‬הפונקציה ‪ sin x‬ח‪.‬ח‪.‬ע רק בקטע סגור באורך ‪ π‬למשל‪ [   ,  ] :‬בקטע הזה ‪sin‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ x‬היא מונוטונית עולה ממש‪ .‬ז"א ‪ sin x‬היא פונקציה ח‪.‬ח‪.‬ע מ‪ [   ,  ] -‬על ]‪ .[-1,1‬לכן‬ ‫‪2 2‬‬ ‫בתחומים האלה קיימת פונקציה הפוכה שנקראת ‪.arcsin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫‪ :Arccos x‬באותו אופן‪ cos x ,‬היא ח‪.‬ח‪.‬ע ומונוטונית יורדת מ‪ [0, π] -‬על ]‪ .[-1,1‬לכן קיימת‬ ‫פונקציה הפוכה שנקראת ‪.arcos x‬‬ ‫‪ :Arctan/cot x‬הפונקציה ‪ tan x‬ח‪.‬ח‪.‬ע מ‪ (1-,1)-‬על כל ‪ .R‬לכן קיימת הפונקציה ההפוכה‪.‬‬ ‫ובאותו אופן ‪ cot x‬היא ח‪.‬ח‪.‬ע מ‪ (  ,0)-‬על כל ‪.R‬‬ ‫‪ArcSin x‬‬ ‫‪ArcCos x‬‬ ‫‪ArcTan x‬‬ ‫‪ArcCot x‬‬ ‫]‪[-1,1‬‬ ‫]‪[-1,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪[0, ‬‬ ‫]‪[-1,1‬‬ ‫] ‪[0, ‬‬ ‫תחום הגדרה‬ ‫תמונה‬ ‫‪ ‬‬ ‫] ‪,‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪[‬‬ ‫פונקציות חסומות‪:‬‬ ‫‪ f : A ‬נקראת חסומה מלמעלה‪/‬מלעיל אם קיים מספר‬ ‫חסימות מלמעלה‪ :‬פונקציה ‪ B‬‬ ‫ממשי כך שלכל ‪ x  A‬מתקיים ‪. f ( x )  M‬‬ ‫חסימות מלמטה‪ :‬באותו אופן פונקציה ‪ f‬נקראת חסומה מלמטה‪/‬מלרע אם קיים מספר ממשי‬ ‫‪ m‬כך שלכל ‪ x  A‬מתקיים ‪. f ( x )  m‬‬ ‫‪ -‬פונקציה ‪ f‬נקראת חסומה אם היא חסומה משני הצדדים‪ m  f ( x)  M -‬או‪. | f ( x ) | M :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫גבולות של פונקציות‬ ‫מושג הגבול‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של הנקודה ‪ ,a‬פרט אולי לנקודה ‪ a‬עצמה‪.‬‬ ‫נאמר שיש ל‪ f-‬גבול בנקודה ‪ a‬וערכו ‪ L‬אם‪:‬‬ ‫לכל ‪   0‬קיים ) ‪  (‬התלוי ב ‪ ‬כך שלכל ‪ x‬המקיים‪, 0 | x  a |  :‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬קיים ‪   0‬כך ש‪ f(x)-‬מוגדרת בכל נקודה של הקטע ) ‪( (a   , a  ‬‬ ‫מתקיים‪. | f ( x )  L |  :‬‬ ‫)כלומר‪ y=f(x) ,‬עבור ה‪ x‬בקטע ) ‪ (a   , a  ‬חסומה בקטע ) ‪.( ( L   , L  ‬‬ ‫נסמן זאת ע"י ‪. lim f ( x)  L‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫סביבה‪ :‬סביבת ‪ ‬של נקודה ‪ a‬היא קטע פתוח שהנקודה ‪ a‬היא במרכזו והרדיוס שלו הוא ‪. ‬‬ ‫סביבה מנוקבת‪ :‬אותו הקטע הפתוח אולם ללא הנקודה ‪ a‬עצמה נקרא סביבה מנוקבת של ‪.a‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ובמונחים אלו נאמר‪ lim f ( x)  L :‬אם לכל סביבה של ‪) L‬קטנה ככל שתהיה(‪ ,‬קיימת‬ ‫‪x a‬‬ ‫סביבה נקובה של ‪ a‬שבה כל ערכי ‪ f‬נמצאים בסביבה זו של ‪.L‬‬ ‫הערה‪ :‬בהגדרת הגבול ‪ f‬אינה חייבת להיות מוגדרת בנקודה ‪ a‬עצמה‪ .‬החשיבות העקרונית בכך‬ ‫היא שמושג הגבול מתאר תופעה "דינמית"‪ :‬ההתנהגות של הפונקציה ‪ f‬כאשר ערכי ‪ x‬מתקרבים‬ ‫לנקודה ‪ .a‬אנו לא מתעניינים בערך של ‪ f‬בנקודה ‪ ,a‬אלא רק בשאלה אם כאשר מתקרבים לנקודה‬ ‫‪ a‬ערכיה מתקרבים למספר ‪.L‬‬ ‫דוגמאות לגבולות שימושיים‪:‬‬ ‫)‪lim x  a (a>0‬‬ ‫‪lim cos x  cos a‬‬ ‫‪lim sin x  sin a‬‬ ‫‪lim c  c‬‬ ‫‪lim x  a‬‬ ‫| ‪lim | x || a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫דוגמאות לפונקציות שאין להן גבול בנקודה ‪:a‬‬ ‫]‪ : lim[ x‬לא קיים גבול עבור ‪ a‬שלם כי המספרים מצד אחד של ‪ a‬נמצאים ב"מדרגה" אחרת ולכן‬ ‫‪x a‬‬ ‫אין שאיפה של מספרים משני הצדדים של ה"גבול" כלומר‪ ,‬אין גבול‪ .‬כאשר ‪ a‬לא שלם‪-‬‬ ‫]‪. lim[ x ]  [a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ : lim sin‬ערך‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הולך וגדל ובאינסוף אין ל‪ sin‬גבול‪ ,‬הוא עושה אינסוף תנודות‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ lim f ( x)  L‬אז לכל ‪ K<L‬קיימת סביבה מנוקבת של ‪ a‬כך ש‪ :‬לכל ‪ x‬באותה‬ ‫‪x a‬‬ ‫סביבה מתקיים‪ , K  f ( x) :‬ולהפך‪ -‬לכל ‪ L<K‬יש סביבה מנוקבת של ‪ a‬כך ש ‪. f ( x)  K‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬אם ‪ K‬קטן מהגבול ישנם ערכי פונקציה שגדולים ממנו ואם הוא גדול מהגבול ישנם ערכי‬ ‫פונקציה שקטנים ממנו‪ ,‬בסביבה מנוקבת של ‪ ,a‬כאשר נבחר ‪ ‬קטן כמו למשל‪ ,L-K :‬ההפרש בין‬ ‫‪ K‬לגבול(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם הגבול ) ‪ lim f ( x‬קיים אז הוא יחיד‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪ lim f ( x)  L‬וגם ‪lim f ( x)  K‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫אז ‪.K=L‬‬ ‫טענה‪ :‬אם קיים ) ‪ lim f ( x‬אז קיימת סביבה נקובה של ‪ a‬שבה ‪ f‬חסומה‪ .‬למשל‪ ,‬עבור ‪‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫בסביבת ‪ ‬המתאימה ‪. L    f ( x )  L   <-‬‬ ‫אריתמטיקה של גבולות‬ ‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ f‬ו‪ g-‬שתי פונקציות המוגדרות בסביבה מסוימת של ‪) a‬פרט אולי לנקודה ‪a‬‬ ‫עצמה( והמקיימות‪ lim f ( x)  L :‬ו‪ , lim g ( x)  M -‬אזי הגבולות הבאים קיימים וניתנים ע"י‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫הנוסחאות המתאימות‪:‬‬ ‫) ‪1. lim  f ( x )   L (   ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪2. lim[ f ( x )  g ( x)]  lim f ( x)  lim f ( g )  L  M‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪3. lim f ( x) g ( x)  [lim f ( x )][lim g ( x)]  LM‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪f ( x) L‬‬ ‫‪f ( x) lim‬‬ ‫‪ xa‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g ( x) lim g ( x ) M‬‬ ‫‪4. lim‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫הערה‪ :‬המשפט ההפוך אינו תקף‪ :‬מתוך ידיעת הגבול של הפונקציה הסופית אי‪-‬אפשר להסיק‬ ‫כלום על רכיביה ועל איזה מתוך תוצאת הגבול הסופית‪ ,‬מתאים כגבול לאיזה פונקציה המרכיבה‬ ‫את הפונקציה הסופית‪.‬‬ ‫גבולות חד‪-‬צדדיים‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע )‪ .(a,b‬נאמר כי ‪ L‬הוא גבול מימין של ‪ f‬בנקודה ‪ a‬אם‪:‬‬ ‫לכל ‪   0‬קיים ‪   0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים‪ a  x  a   :‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ . | f ( x )  L | ‬סימון‪. lim f ( x)  L :‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע )‪ .(b,a‬נאמר כי ‪ L‬הוא גבול משמאל של ‪ f‬בנקודה ‪ a‬אם‪:‬‬ ‫לכל ‪   0‬קיים ‪   0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים‪ a    x  a :‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ . | f ( x )  L | ‬סימון‪lim f ( x )  L :‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫דוגמא‪ :‬לפונקציה ] ‪ f ( x )  [ x‬יש גבולות חד‪-‬צדדיים גם בנקודות השלמות‪ ,‬והם שונים זה מזה‪:‬‬ ‫[‪. lim‬‬ ‫[‪ lim‬ואילו ‪x]  a  1‬‬ ‫אם ‪ a‬מספר שלם אז ‪x]  a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫טענה‪ :‬לפונקציה )‪ f(x‬קיים גבול ‪ L‬בנקודה ‪ x=a‬אם ורק אם קיימים הגבולות החד‪-‬צדדיים‬ ‫בנקודה זו ושניהם שווים ל‪.L-‬‬ ‫‪ lim f ( x)  L ‬וגם ‪lim f ( x )  L‬‬ ‫‪ lim f ( x )  L‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪x a ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫הערה‪" :‬חוקי האריתמטיקה" של גבולות תקפים גם עבור גבולות חד‪-‬צדדיים‪.‬‬ ‫גבולות אינסופיים‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקרן )‪ . (a, ‬נאמר כי ‪ lim f ( x )  L‬אם‪:‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫לכל ‪   0‬קיים ‪ K>a‬כך שלכל ‪ x>K‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪. | f ( x )  L | ‬‬ ‫אם ‪ f‬מוגדרת בקרן שמאלית )‪ (, a‬נגדיר ‪ lim f ( x)  L‬אם‪:‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫לכל ‪   0‬קיים ‪ K<a‬כך שלכל ‪ x<K‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪. | f ( x )  L | ‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת בסביבה מנוקבת של ‪ .a‬נאמר ש ‪ lim f ( x)  ‬אם‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫לכל מספר ‪ M‬קיים ‪   0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים‪ 0 | x  a |  :‬מתקיים‪:‬‬ ‫)‪. M  f ( x‬‬ ‫באופן דומה‪ ,‬נאמר ש ‪ lim f ( x)  ‬אם‪:‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫לכל מספר ‪ M‬קיים ‪   0‬כך שלכל ‪ x‬המקיים‪ 0 | x  a |  :‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪. f ( x)  M‬‬ ‫מינוח‪ lim f ( x ) :‬קיים‪ -‬יש גבול והוא סופי‬ ‫‪x‬‬ ‫) ‪ lim f ( x‬קיים במובן הרחב‪ -‬יש גבול והוא‪/  /  :‬סופי‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫כללי אריתמטיקה של גבולות במובן הרחב‬ ‫‪‬‬ ‫"חוקי האריתמטיקה" של גבולות תקפים גם עבור גבולות באינסוף‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫רוב הזמן‪ ,‬האינטואיציה בסדר‪ ,‬למשל‪ 0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫במקרה של מכנה ‪  : 0 ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ o‬כאשר ‪ f ( x)  0‬מתקיים ‪ ‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫רק אם‪. f ( x )  0 :‬‬ ‫‪6‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫ישנה אי וודאות במקרים )‪, , 0*(‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪.  ,‬‬ ‫תכונות סדר של גבולות‬ ‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ f‬ו‪ g-‬מוגדרות בסביבה מנוקבת של ‪ a‬כך ש ‪ lim f ( x)  L‬ו ‪lim g ( x)  M‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪ .1‬אם ) ‪ g ( x )  f ( x‬לכל ‪ x‬בסביבה אז‪. M  L :‬‬ ‫‪ o‬אם נדרוש אי‪-‬שוויון חריף ) ‪ , g ( x )  f ( x‬לא נוכל להסיק כי ‪ M  L‬אלא רק‬ ‫‪.M  L‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ L  M‬אז קיימת סביבה נקובה של ‪ a‬שבה מתקיים ) ‪. f ( x)  g ( x‬‬ ‫הערה‪ :‬נכון גם לגבולות חד‪-‬צדדיים‪ ,‬גבולות באינסוף וגבולות אינסופיים‪.‬‬ ‫משפט הסנדוויץ'‬ ‫אם שלוש הפונקציות ‪ f,g,h‬מוגדרות בסביבה נקובה של ‪ a‬ובסביבה זו )‪. g ( x )  f ( x)  h( x‬‬ ‫ואם ‪ lim h( x )  L‬וגם ‪ lim g ( x )  L‬אז‪. lim f ( x)  L :‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫) ‪g ( x)  f ( x)  h( x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪lim cos x  1‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim sin x  0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪7‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫קבוצות ופונקציות חסומות‬ ‫*הרחבת מושג החסימות מפונקציות לקבוצות‬ ‫הגדרה‪ :‬קבוצה ‪ A  ‬נקראת‪:‬‬ ‫חסומה מלעיל‪ -‬אם קיים ‪ M‬כל שלכל ‪ x  A‬מתקיים‪x  M :‬‬ ‫חסומה מלרע‪ -‬אם קיים ‪ m‬כל שלכל ‪ x  A‬מתקיים‪m  x :‬‬ ‫חסומה‪ -‬אם היא חסומה מלעיל וגם מלרע‪m  x  M :‬‬ ‫סופרמום‪ :‬חסם המלעיל הקטן ביותר של הקבוצה‪. sup xA x /supA -‬‬ ‫מקסימום‪ :‬סופרמום שגם שייך לקבוצה‪. max xA x /maxA -‬‬ ‫אינפימום‪ :‬חסם המלרע הגדול ביותר של הקבוצה‪. inf xA x /InfA -‬‬ ‫מינימום‪ :‬אינפימום שגם שייך לקבוצה‪. min xA x /mina -‬‬ ‫פונקציות‪ :‬הטרמינולוגיה לפונקציות מתקבלת כאשר משתמשים במונחים אלה עבור התמונה‬ ‫שלהן‪ .‬כך למשל ‪ M‬הוא חסם מלעיל של הפונקציה ‪ f‬בתחום ‪ D‬אם הוא חסם מלעיל של הקבוצה‬ ‫}‪ . { f ( x ) | x  D‬הסופרמום יסומן ב‪ sup D f :‬או‪ sup xD f ( x) -‬ושאר הסימונים בהתאם‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ (a,b] o‬חסומה מלעיל ע"י ‪ b‬ומלרע ע"י ‪ .a‬יש מקסימום ב‪ x=b‬והמינימום לא קיים‬ ‫‪o‬‬ ‫‪ ‬חסומה מלמטה ע"י ‪ 0‬שהוא המינימום אבל לא קיים סופרמום לקבוצה‪.‬‬ ‫אקסיומת השלמות‪ :‬לכל קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים החסומה מלמעלה‪/‬למטה קיים‬ ‫סופרמום‪/‬אינפימום‪.‬‬ ‫טענה‪ M=supA :‬אם מתקיים‪:‬‬ ‫‪ .1‬לכל ‪) x  M x  A‬כלומר‪ M ,‬הוא חסם מלעיל(‬ ‫‪ .2‬לכל ‪   0‬קיים ‪ x0  A‬כך ש‪) M    x0 :‬כל דבר קטן מ‪ M‬כבר אינו חסם מלעיל(‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה מונוטונית בקטע ‪ . I‬אז הגבולות החד‪-‬צדדיים של ‪ f‬קיימים בכל‬ ‫נקודה בקטע‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫משפט דומה נכון גם כאשר ‪ I‬קרן והגבול הוא ב ‪ ‬או ‪. ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כאשר ‪ f‬מונוטונית ואינה חסומה בסביבה חד‪-‬צדדית של נקודה ‪ , a‬אז יש לה גבול חד‪-‬‬ ‫צדדי אינסופי בנקודה ) ‪.( lim f ( x )  ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪8‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫סדרות של מספרים ממשיים‬ ‫סדרה‪ :‬אוסף אינסופי מסודר של מספרים )באופן פורמלי ניתן להתבונן על סדרה כעל פונקציה‬ ‫מהמספרים הטבעיים למספרים הממשיים(‪.‬‬ ‫גבולות של סדרות‬ ‫‪ ( an ‬אם לכל ‪ 0  ‬קיים ‪ N  ‬כך שלכל‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר ש ‪) lim an  L‬או ‪ L‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ N  n‬מתקיים‪. | an  L |  :‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לכל ‪ 0  ‬יש לכל היותר מספר סופי של איברי הסדרה מחוץ לסביבת ‪ ‬של ‪. L‬‬ ‫‪-‬‬ ‫שינוי )כולל הוספה או מחיקה( של מספר סופי מאיברי הסדרה לא משנה קיום גבול או‬ ‫את ערכו‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הדרישה ש ‪ N‬טבעי אינה חיונית‪ ,‬ולפעמים לא נקפיד על כך‪.‬‬ ‫גבולות אינסופיים‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר ש ‪ lim an  ‬אם לכל ‪ k  0‬קיים ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪. an  k , N  n‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר ש ‪ lim an  ‬אם לכל ‪ 0  k‬קיים ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪. k  an , N  n‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫אריתמטיקה של גבולות‬ ‫משפט‪ :‬אם } ‪ {an‬ו } ‪ {bn‬שתי סדרות המקיימות ‪ lim an  L‬ו‪ , lim bn  M -‬אז קיימים‬ ‫הגבולות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ an   L, L  ‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪lim(an  bn )  L  M‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪lim(an bn )  LM‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪) lim  n‬בתנאי ש‪.( M  0 -‬‬ ‫‪ bn‬‬ ‫הערה‪ :‬אריתמטיקה של גבולות אינסופיים אנלוגית גם היא לגבולות של פונקציות )עם אותה‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כאשר ‪ an  0‬ולגבולות לא מוגדרים מהצורה ‪   ‬או‬ ‫התייחסות זהירה עבור‬ ‫‪‬‬ ‫‪an‬‬ ‫וכו'(‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫תכונות סדר של גבולות‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל סדרה מתכנסת היא חסומה‪.‬‬ ‫תהיינה ‪ an‬ו ‪ bn‬שתי סדרות המקיימות‪, bn  M , an  L :‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם קיים ‪ N‬כך שלכל ‪ N  n‬מתקיים‪ , an  bn :‬אז‪. L  M :‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ L  M‬אז‪ :‬קיים ‪ N‬כך שלכל כך שלכל ‪ N  n‬מתקיים‪. an  bn :‬‬ ‫הערה‪ :‬מהמשפט נובע שגבול של סדרה נקבע באופן יחיד )ע"פ המשפט השני אם ‪ an  L‬וגם‬ ‫‪ an  M‬אז עם ‪ an  bn‬נקבל‪ a  b :‬וגם ‪ b  a‬ולכן ‪.( a  b‬‬ ‫משפט סנדוויץ'‪:‬‬ ‫אם ‪ 3‬הסדרות הבאות מקיימות‬ ‫‪) an  bn  cn‬החל ממקום‬ ‫‪ N‬מסוים( כך ש‪-‬‬ ‫‪ lim an  lim cn  L‬אז הגבול ‪ lim bn‬קיים וערכו שווה ל ‪ . L‬אם ‪ an  bn‬ו‪ lim an   -‬אז גם‬ ‫‪. lim bn  ‬‬ ‫משפט השורש ה‪- n‬י‪. lim n a  1 , lim n n  1 :‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫סדרות מונוטוניות‬ ‫משפט‪ :‬סדרה מונוטונית וחסומה‪ -‬מתכנסת לגבול סופי‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אם סדרה היא מונוטונית עולה היא חסומה מלרע ע"י ‪ a1‬ולכן‪ ,‬אם היא גם חסומה‬ ‫מלעיל אז היא מתכנסת ל ‪. sup an‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לסדרה מונוטונית תמיד יש גבול במובן הרחב )אם אינה חסומה מלעיל‪  :‬ואם אינה‬ ‫חסומה מלרע‪.(  :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫הגבול המפורסם השני‪, lim  1    e :‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫לכל מספר ‪ ‬מתקיים‪ , lim  1    e :‬ובאופן כללי‪ e :‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim 1   x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל סדרה ‪) xn  x‬רציונאלית או לא‪ ,‬מונוטונית או לא( מתקיים‪. 0  a  1 , a xn  a x :‬‬ ‫‪10‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫למה‪:‬‬ ‫אם } ‪ {an‬סדרה עולה ו } ‪ {bn‬סדרה יורדת וגם ‪ an  bn‬לכל ‪ n‬אז‪ :‬שתי הסדרות‬ ‫מתכנסות ) ‪ an‬חוסמת מלמטה את ‪ bn‬שחוסמת אותה מלמעלה(‪.‬‬ ‫ואם גם‪ lim(bn  an )  0 :‬אז הגבולות שלהם שווים‪.‬‬ ‫הלמה של קנטור‪:‬‬ ‫יהיו ] ‪ I n  [an , bn‬קטעים סגורים כך שכל קטע סגור ‪ I n 1‬מוכל בתוך ‪.( n , I n 1  I n ) I n‬‬ ‫‪‬‬ ‫אז חיתוך כל הקטעים האלה הוא אינו ריק ) ‪.(  I n  ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ואם גם אורך כל הקטעים האלה שואף ל‪ ,0‬אז החיתוך מכיל נקודה יחידה‪.‬‬ ‫הסבר ההוכחה‪:‬‬ ‫ע"פ תנאי ההכלה‪ ,‬הסדרה } ‪ {an‬מונוטונית עולה ו } ‪ {bn‬מונוטונית יורדת‪ .‬הסדרות גם חסומות כי‬ ‫הן מוכלות בקטע ‪ I1‬ולכן הן מתכנסות‪ .‬נסמן‪ lim an  A :‬ו‪. lim bn  B -‬‬ ‫נקבע ‪ n‬ואז לכל ‪ n  k‬מתקיים‪ . ak  I n :‬קטע זה הוא סגור ולכן גם גבול הסדרה ‪ A‬נמצא‬ ‫בקטע )אם הקטע לא היה סגור‪ ,‬הגבול יכול היה להיות אחד הקצוות שאולי אינו שייך לקטע(‪.‬‬ ‫בגלל שזה נכון לכל ‪ n‬אז ‪ A‬בכל קטע כזה ולכן החיתוך אינו ריק‪ .‬באותו אופן מראים לגבי ‪B‬‬ ‫ולכן כל הקטע ]‪ [ A, B‬מוכל בחיתוך )שהוא למעשה בדיוק הקטע הזה(‪.‬‬ ‫אם אורכי הקטעים שואפים לאפס‪ ,‬כלומר ‪ an  bn  0‬אז ‪ A=B‬וזוהי גם הנקודה היחידה‬ ‫בחיתוך‪.‬‬ ‫תת‪-‬סדרות‬ ‫הגדרה‪ :‬תהא } ‪ {an‬סדרה נתונה‪ ,‬תת‪-‬סדרה של } ‪ {an‬היא סדרה שאיבריה הם חלק מאיברי‬ ‫הסדרה המקורית כשהם מופיעים באותו הסדר כמו בסדרה המקורית‪ .‬סימון‪ {ank }k 1 :‬כאשר‬ ‫‪ n1  n2  ...‬מייצגים את המיקומים בסדרה המקורית‪ .‬לכל ‪ k‬מתקיים ש ‪. k  nk‬‬ ‫גבול חלקי‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ L‬הוא גבול חלקי של הסדרה } ‪ {an‬אם קיימת ת"ס של } ‪ {an‬המתכנסת ל ‪. L‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ L‬הינו גבול חלקי של הסדרה } ‪ {an‬אם"ם לכל ‪ , 0  ‬הקטע ) ‪ ( L   , L  ‬מכיל‬ ‫אינסוף מאיברי } ‪. {an‬‬ ‫טענה‪ :‬אם הסדרה } ‪ {an‬מתכנסת לגבול ‪) L‬סופי או אינסופי(‪ ,‬אז גם כל תת‪-‬סדרה שלה‬ ‫מתכנסת ל ‪ . L‬בפרט‪ ,‬אם יש לסדרה שתי ת"ס המתכנסות לגבולות שונים‪ ,‬אז היא איננה‬ ‫מתכנסת‪.‬‬ ‫‪11‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫משפט בולצאנו ‪-‬ויירשטראס‪:‬‬ ‫לכל סדרה חסומה } ‪ {an‬יש תת‪-‬סדרה מתכנסת‪.‬‬ ‫לסדרה שאינה חסומה מלעיל יש ת"ס שמתכנסת ל ‪‬‬ ‫לסדרה שאינה חסומה מלרע יש ת"ס שמתכנסת ל ‪‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי } ‪ {an‬סדרה חסומה‪ .‬הגבול העליון שלה הוא‪L } :‬הוא גבול חלקי של הסדרה | ‪sup{L‬‬ ‫)שזה הסופרמום של קבוצת הגבולות החלקיים( סימון‪ lim sup an :‬או ‪liman‬‬ ‫הגבול התחתון מוגדר באופן דומה‪ .‬סימון‪ lim inf an :‬או ‪. liman‬‬ ‫טענה‪ :‬גם הגבול העליון של סדרה‪ ,‬הוא בעצמו גבול חלקי שלה )כלומר‪ -‬הגבול העליון הוא‬ ‫המקסימום של קבוצת הגבולות החלקיים(‪.‬‬ ‫סדרות קושי‬ ‫לא תמיד קיימים הכלים למציאת גבול‪ ,‬אך ניתן לתת אפיון לסדרות מתכנסות ללא כל התייחסות‬ ‫לגבול שלהן‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬סדרה } ‪ {an‬נקראת סדרת קושי )או סדרה המקיימת את תנאי קושי( אם‬ ‫לכל ‪ 0  ‬קיים ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪ N  n, m‬מתקיים‪. | an  am |  :‬‬ ‫משפט קושי‪ :‬סדרה } ‪ {an‬מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫העובדה שסדרה מתכנסת מקיימת את תנאי קושי היא מאוד אינטואיטיבית‪ :‬אם אברי‬ ‫הסדרה קרובים למספר קבוע ‪ L‬אז הם בהכרח קרובים זה לזה‪ .‬בכיוון ההפוך‪ -‬לא ייתכן‬ ‫שאברי הסדרה יהיו קרובים זה לזה מבלי שהדבר ינבע מזה שהם כולם קרובים לאיזשהו‬ ‫מספר קבוע‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫תנאי קושי מתייחס לכל ‪ N  n, m‬ולכן אי‪-‬אפשר להסתפק בכך שהמרחק בין איברים‬ ‫עוקבים הוא קטן כרצוננו‪.‬‬ ‫הקשר בין גבול של פונקציות לגבול של סדרות‬ ‫הגדרת הגבול לפי היינה‪:‬‬ ‫תהי ‪ f‬מוגדרת בסביבה נקובה של ‪. a‬‬ ‫אם לכל סדרת נקודות ‪ xn  a‬המקיימת ‪ xn  a‬מתקיים ש ‪lim f ( xn )  L‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫אז גם‪) lim f ( x)  L :‬ולהפך ‪.( ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫הערה‪ :‬באופן דומה‪ lim f ( x )  L ,‬אם"ם לכל סדרה ‪ xn‬המקיימת ‪, xn  ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫מתקיים ש‪. lim f ( xn )  L -‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪12‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫הגדרה ותכונות יסודיות‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבה מסוימת של ‪) a‬כולל בנקודה ‪ a‬עצמה(‪.‬‬ ‫נאמר ש ‪ f‬רציפה בנקודה ‪ a‬אם הגבול ) ‪ lim f ( x‬קיים ושווה ל ) ‪. f (a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫בלשון ‪:   ‬‬ ‫לכל ‪ 0  ‬קיים ‪ 0  ‬כך שלכל ‪ x‬המקיים ‪ , | x  a | ‬מתקיים‪. | f ( x )  f (a ) |  :‬‬ ‫בלשון סדרות‪:‬‬ ‫לכל סדרה } ‪ {xn‬כך ש‪ , xn  a -‬מתקיים‪. f ( xn )  f (a ) :‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪lim cos x  cos a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫וכנ"ל לגבי‪. f ( x)  x, f ( x ) | x |, f ( x )  c :‬‬ ‫רציפות מימין‪/‬משמאל‪ :‬נאמר ש ‪ f‬רציפה מימן בנקודה ‪ a‬אם )‪. lim f ( x)  f (a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫נאמר ש ‪ f‬רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה פנימית בו‪ ,‬ורציפה מימין או משמאל‬ ‫בנקודות הקצה שלו )אם הן שייכות לקטע(‪.‬‬ ‫דוגמאות‪ f ( x )  [ x ] :‬רציפה בכל נקודה ‪ a‬שאיננה מספר שלם‪.‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ f‬ו‪ g -‬רציפות בנקודה ‪ a‬אז גם‪, fg , f  g ,  f :‬‬ ‫‪g‬‬ ‫) ‪ ( g (a)  0‬רציפות ב ‪. a‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ g‬רציפה ב ‪ a‬ו ‪ f‬רציפה ב )‪ g (a‬אז ‪ f  g‬רציפה ב ‪. a‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ f‬מונוטונית ממש בקטע‪ ,‬אז קיימת לה שם פונקציה הפוכה ‪ , f 1‬ואם ‪ f‬רציפה‬ ‫בקטע אז גם ‪ f 1‬רציפה ומונוטונית ממש‪.‬‬ ‫מהמשפט נובע‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כל פונקציה טריגונומטרית רציפה בכל נקודה בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כל פונקציה אלמנטארית היא רציפה בכל נקודה בתחום ההגדרה‪.‬‬ ‫למה‪ :‬אם ‪ f‬רציפה ב ‪ a‬ו )‪ 0  f (a‬אז‪:‬‬ ‫קיימת סביבה של ‪ a‬שבה ) ‪ 0  f ( x‬לכל ‪) . x‬ולהפך עבור ‪.( f (a)  0‬‬ ‫)רק אם פונקציה אינה רציפה‪ ,‬אז ערך הפונקציה ב ‪ a‬יכול להיות שונה מסביבתו‪ .‬אם היא רציפה‬ ‫ערכי הפונקציה בסביבת ‪ a‬מאוד קרובים ל‪. f (a ) -‬‬ ‫‪13‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫מיון סוגי אי‪-‬רציפות‬ ‫אי רציפות סליקה‪ :‬ל ‪ f‬יש נקודת אי‪-‬רציפות סליקה ב‪ a -‬אם קיים ) ‪ lim f ( x‬אך או שהוא‬ ‫‪x a‬‬ ‫אינו שווה ל ) ‪ f (a‬או ש‪ f -‬אינה מוגדרת כלל בנקודה ‪. a‬‬ ‫אי רציפות מסוג קפיצה‪ :‬אם שני הגבולות החד‪-‬צדדיים )‪ lim f ( x‬ו‪ lim f ( x ) -‬קיימים אך‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫שונים זה מזה‪ .‬נקודות קפיצה נקראות לעיתים נקודות אי‪-‬רציפות מסוג ראשון‪.‬‬ ‫אי רציפות עיקרית‪ :‬ל ‪ f‬יש אי‪-‬רציפות עיקרית אפ לפחות אחד משני הגבולות החד‪-‬צדדיים‬ ‫בנקודה ‪ a‬אינו קיים‪ .‬נקודות אי רציפות עיקריות נקראות לעיתים נקודות אי‪-‬רציפות מהסוג‬ ‫השני‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה מונוטונית ומוגדרת בקטע‪ .‬אז נקודות אי‪-‬הרציפות שיכולות להיות לה‬ ‫הן רק מסוג קפיצה‪.‬‬ ‫)הסיבה היא שהוכחנו שלמונוטונית יש בכל נקודה בקטע גבולות חד‪-‬צדדיים‪ -‬הגדרת אי רציפות‪-‬‬ ‫קפיצה(‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫פונקציות רציפות בקטע סגור‬ ‫משפט ערך הביניים‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע סגור ]‪ , [a, b‬ויהי ‪ ‬מספר כלשהו בין‬ ‫) ‪ f (a‬ל‪ . f (b) -‬אז קיימת נקודה ‪ a  c  b‬כך ש‪. f (c )   -‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לכל פולינום ממעלה אי‪-‬זוגית קיים לפחות שורש אחד‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫התמונה של קטע ע"י פונקציה היא קטע‪.‬‬ ‫שיטת חישוב לפתרון מקורב‪ :‬הוכחת המשפט נותנת למעשה "שיטת חישוב" למציאת פתרון‬ ‫מקורב למשוואה ‪ f ( x )  ‬ע"י אלגוריתם של חציית הקטע‪.‬‬ ‫דוגמא לשימוש בשיטה‪. f ( x)  x 5  x 3  1 :‬‬ ‫‪ f‬רציפה ב ]‪) [1, 0‬היא פולינום‪ -‬פונקציה אלמנטארית(‪ f (1)  0  f (0) .‬ולכם ע"פ עה"ב‬ ‫‪ . f (c)  0 ‬אז השגיאה קטנה מ‪ 1-‬כי היא קטנה מהמרחק בין קצוות‬ ‫קיים ‪ 1  c  0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הקטע‪ .‬אם ניקח את אמצע הקטע אז ע"פ עה"ב קיים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫השגיאה היא קטנה מ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f (c)  0 ‬וכאן‬ ‫‪ 1  c  ‬‬ ‫וכן הלאה‪ ,‬אם נמשיך לחלק ‪ n‬פעמים לחצי אז השגיאה תהיה קטנה‬ ‫|‪|ba‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מ‪ . n :‬או בצורה כללית יותר‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. | c  f (a) |‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ f‬רציפה וחח"ע בקטע ]‪ [a, b‬אז היא מונוטונית בו ממש‪.‬‬ ‫משפט ויירשטראס‪:‬‬ ‫תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע סגור ]‪ [a, b‬אז‪:‬‬ ‫‪ .1‬הפונקציה חסומה בקטע ]‪. [a, b‬‬ ‫‪ .2‬קיימים ל ‪ f‬מקסימום ומינימום בקטע‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬הרציפות בקטע סגור חיונית כדי שנוכל לומר שה ‪ sup‬הוא ‪ , max‬כלומר‪ -‬בנקודה של‬ ‫ה ‪ sup‬הפונקציה צריכה להיות מוגדרת‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫נגזרות‬ ‫הגדרות ותכונות בסיסיות‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בסביבה של הנקודה ‪ . a‬היא גזירה בנקודה ‪ a‬אם הגבול‬ ‫)‪f ( x )  f ( a‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪ lim‬קיים וסופי‪ .‬נסמן את הגבול ב ) ‪ f '(a‬ונקרא לו‪ :‬הנגזרת של ‪ f‬בנקודה ‪. a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫) ‪f ( a  h)  f ( a‬‬ ‫סימונים נוספים‪ :‬לפעמים נרשום את הנגזרת כגבול‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪. f '(a )  lim‬‬ ‫‪h0‬‬ ‫‪dy df‬‬ ‫‪y f‬‬ ‫‪/‬‬ ‫)והנגזרת בהתאמה‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫מנת ההפרשים בהגדרה הראשונה מסומנת לעיתים ע"י‬ ‫‪dx dx‬‬ ‫‪x x‬‬ ‫באופן אינטואיטיבי‪ :‬אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת אז הגרף שלה "חלק" שם ואין לו "חוד"‬ ‫(‪.‬‬ ‫בנקודה‪.‬‬ ‫ההגדרה תקפה גם לגבי נגזרות חד‪-‬צדדיות כאשר קיימים הגבולות החד‪-‬צדדיים בנקודה‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪cc‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ f ( x)  x , lim‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪ f ( x)  c‬‬ ‫‪x  x  a‬‬ ‫‪x a x  a‬‬ ‫‪, lim‬‬ ‫| ‪ - f ( x) | x‬לא קיים גבול ב ‪ x  0‬כי הגבולות החד צדדיים של הנגזרת הם שונים )"חוד" בגרף(‬ ‫נגזרות חשובות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin 2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos 2 x‬‬ ‫‪cot'( x ) ‬‬ ‫‪arccos'( x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos'( x)   sin x‬‬ ‫‪tan'( x) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x ln a‬‬ ‫‪arcsin'( x) ‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪(log a x) ' ‬‬ ‫‪arc cot'( x ) ‬‬ ‫‪sin'( x )  cos x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ ln ( n ) ( x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  x2‬‬ ‫‪ln'( x ) ‬‬ ‫‪arctan'( x ) ‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ f‬גזירה ב‪ a -‬אז היא רציפה בנקודה )אך ההפך לא נכון‪ ,‬רציפות לא גורר גזירות(‪.‬‬ ‫אריתמטיקה של נגזרות‪:‬‬ ‫תהיינה ‪ f‬ו‪ g -‬פונקציות גזירות בנקודה ‪ , a‬אז גם הפונקציות הבאות גזירות ב ‪: a‬‬ ‫‪( f ) '   f ' .1‬‬ ‫‪( f  g ) '  f ' g ' .2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫' ‪( fg ) '  f ' g  fg‬‬ ‫‪16‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪f ‬‬ ‫' ‪f ' g  fg‬‬ ‫‪( g (a )  0) ,   ' ‬‬ ‫‪g2‬‬ ‫‪g‬‬ ‫גזירה של פונקציה מורכבת‬ ‫כלל השרשרת‪:‬‬ ‫אם ‪ g‬גזירה ב‪ a -‬ו‪ f -‬גזירה ב‪ g (a) -‬אז‪ f  g ( x )  f ( g ( x)) :‬גזירה ב‪ a -‬ונגזרתה נתונה ע"י‬ ‫הנוסחה‪ - f '(a ) ) ( f  g ) '(a )  f '( g (a))  f '(a) :‬נקראת הנגזרת הפנימית(‪.‬‬ ‫שימושים לכלל השרשרת‪:‬‬ ‫‪ .1‬גזירה לוגריתמית‪ ln -‬על שני אגפים המשוואה כאשר רוצים לגזור פונקציות מעריכיות‪.‬‬ ‫‪ .2‬קצבים קשורים‪ :‬לעיתים הקשר בין ‪ x‬ל‪ y -‬אינו נתון בצורה ישירה‪ ,‬אלא באמצעות קשר‬ ‫‪dy‬‬ ‫למשתנה שלישי ‪ . t‬כלל השרשרת מהווה כלי לחישוב הנגזרת‬ ‫‪dt‬‬ ‫תחילה נוסחה מפורשת של ‪ y‬במונחים של ‪. t‬‬ ‫מבלי שנצטרך למצוא‬ ‫הנגזרת של הפונקציה ההפוכה‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬הפיכה בקטע ‪) I‬חח"ע( נסמן‪. f 1 (a )  x :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם‪ f '( x)  0 :‬וגזירה ב‪ x -‬אז ‪ f 1‬גזירה ב ‪ a‬ומתקיים‪:‬‬ ‫))‪f '( x) f '( f 1 (a‬‬ ‫‪f 1 ( a ) ‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ f '( x)  f '( f 1 (a ))  0‬אז )‪ f 1 '(a‬לא קיים )לא ניתן לחלק ב‪ 0-‬בנוסחה(‪.‬‬ ‫המשיק והקירוב הליניארי‬ ‫הגדרה‪ :‬אם ‪ f‬גזירה ב‪ , a -‬אז המשיק לגרף של ‪ f‬בנקודה ‪ a‬הוא הישר שעובר דרך ))‪(a, f (a‬‬ ‫ושיפועו ) ‪ . f '(a‬משוואת המשיק‪. y  f (a)  f '(a)( x  a ) :‬‬ ‫הסבר‪ :‬אם ‪ f‬רציפה ב‪ a -‬אז ערכי ‪ f‬מאוד "קרובים" ל ) ‪ f (a‬כאשר ‪" x‬קרוב" ל‪ . a -‬נקרב‪:‬‬ ‫)‪ f ( x)  f (a‬ולכן‪ f ( x )  f (a )  e( x) :‬כאשר )‪ e( x‬הוא השגיאה בהערכת ) ‪ f ( x‬ע"י הקבוע‬ ‫) ‪ . f (a‬כאשר ‪ x‬קרוב ל‪ a -‬השגיאה קטנה‪. lim e( x)  0 :‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫אם ‪ f‬גזירה ב‪ a -‬אז ניתן לחשב גם קירוב כזה ל ‪f ( x)   f (a )  f '(a)( x  a )    ( x) : f‬‬ ‫כאשר ) ‪  ( x‬הינו השגיאה בקירוב ‪ f‬ע"י הישר המשיק‪.‬‬ ‫במקרה זה‪ ,‬לא רק שאכן מתקיים‪ lim  ( x)  0 :‬אלא שהשאיפה לאפס היא מאוד מהירה‪ ( x ) :‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫מתקרב ל‪ 0-‬יותר מהר ממה ש ‪ x‬מתקרב ל ‪ a‬ולכן השגיאה היא מסדר גודל קטן יותר מאשר‬ ‫הקרבה של ‪ x‬ל‪. a -‬‬ ‫‪17‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫הערה‪ :‬המשיק לפונקציה הוא הישר היחיד שנותן קירוב ל‪ f -‬עם שגיאה ) ‪  ( x‬המקיימת‪:‬‬ ‫‪f ( x)   f (a )  f '(a )( x  a) ‬‬ ‫)‪ ( x‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x a x  a‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪. lim‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫נגזרות מסדר גבוה‬ ‫חוקי גזירה של נגזרות מסדר גבוה נובעים באופן ישיר מהנוסחאות עבור נגזרת מסדר ראשון‪,‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫) ‪. ( f  g )( n)  f ( n)  g ( n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .2‬למכפלה מקבלי נוסחה קצת יותר מסובכת‪    f ( k ) g ( n  k ) :‬‬ ‫‪k 0  k ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪(n‬‬ ‫) ‪( fg‬‬ ‫‪ .3‬מוגדר‪f (0) ( x)  f ( x ) :‬‬ ‫‪ .4‬אין נוסחה פשוטה לנגזרות מסדר גבוה של מנה‪.‬‬ ‫‪18‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫תכונות של פונקציות גזירות‬ ‫נקודות קיצון מקומי‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר כי לפונקציה ‪ f‬המוגדרת בקטע ‪ I‬יש מקסימום מקומי ב‪ x0 -‬אם קיימת סביבה‬ ‫של ‪ x0‬המוכלת ב ‪ I‬כך שלכל ‪ x‬בסביבה יתקיים‪. f ( x)  f ( x0 ) :‬‬ ‫)בניגוד לנקודת קיצון גלובלי שבה זה מתקיים לכל ‪ x‬בקטע שבו מוגדרת הפונקציה ולא רק‬ ‫בסביבה הקרובה(‪.‬‬ ‫משפט פרמה‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת בקטע ‪ I‬וגזירה בנקודה פנימית בקטע‪ , x0 -‬ואם ‪ x0‬היא נקודת‬ ‫קיצון מקומי של ‪ f‬אז ‪) f '( x0 )  0‬המשפט אינו פועל לכיוון השני‪ ,‬אם הנגזרת מתאפסת‪ ,‬זוהי‬ ‫אינה בהכרח נקודת קיצון מקומי(‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫נקודות קיצון מקומי יכולות להיות רק נקודות שבהן ‪ f '  0‬ונקודות שבהן ' ‪ f‬לא‬ ‫קיימת‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫המשפט יעיל במציאת נקודות ה"חשודות" להיות נקודות קיצון גלובליות‪ :‬נקודות הקצה‬ ‫של הקטע )אם ‪ f‬מוגדרת בקטע סגור(‪ ,‬נקודות בהן ‪ f‬איננה גזירה ונקודות פנימיות‬ ‫שבהן הנגזרת מתאפסת‪ .‬בד"כ נוכל למצוא את נקודות הקיצון ע"י השוואה פשוטה בין‬ ‫ערכי הפונקציה המתקבלים בנקודות אלה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לפני שמפעילים את ה"חיפוש" הנ"ל יש לבדוק שקיימות נקודות קיצון‪ .‬הקיום נובע בד"כ‬ ‫ממשפט ווירשטראס‪ ,‬באופן ישיר או בעזרת נימוקים נוספים‪.‬‬ ‫רול ולגרנג'‬ ‫משפט רול‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע הסגור ]‪ , [a, b‬גזירה בקטע הפתוח )‪ (a, b‬ומקיימת‪:‬‬ ‫)‪ . f (a)  f (b‬אז קיימת נקודה ‪ a  c  b‬כך ש‪. f '(c )  0 -‬‬ ‫הסבר להוכחה‪ :‬מאחר ו ‪ f‬רציפה בקטע סגור אז יש לה בקטע גם מקסימום וגם מינימום‬ ‫גלובליים ע"פ ווירשטראס‪ .‬ולפחות אחד מהם מתקבל בנקודה פנימית בקטע ובנקודה זו הנגזרת‬ ‫מתאפסת‪.‬‬ ‫משפט לגרנג'‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע הסגור ]‪ [a, b‬וגזירה בקטע הפתוח )‪ . (a, b‬אז‬ ‫) ‪f (b )  f ( a‬‬ ‫קיימת נקודה ‪ a  c  b‬כך ש‪-‬‬ ‫‪ba‬‬ ‫הערה‪ :‬באופן גיאומטרי הכוונה היא שיש נקודה שבה המשיק לגרף מקביל למיתר המחבר את‬ ‫‪ f '(c) ‬שקול ל‪. f (b)  f (a)  f '(c )(b  a ) :‬‬ ‫הנקודות‬ ‫))‪ (a, f (a‬ו‪) (b, f (b)) -‬ומשפט רול היה המקרה הפרטי שהמיתר הזה הוא אופקי(‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע סגור וגזירה בנקודות פנימיות שלו‪ ,‬אזי‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪ f '  0‬אז ‪ f‬פונקציה קבועה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ' ‪ 0  f‬אז ‪ f‬מונוטונית עולה )ואם ‪ f '  0‬היא יורדת(‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ' ‪ 0  f‬אז ‪ f‬מונוטונית עולה ממש )ואם ‪ f '  0‬היא יורדת ממש(‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫עבור )‪ (1‬ו)‪ (3‬נכונים גם המשפטים ההפוכים‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫בחלקים )‪ (2‬ו)‪ (3‬ניתן להחליש את התנאי ולדרוש את קיומו לכל הפונקציה פרט אולי‬ ‫למספר סופי של נקודות )שבהן ' ‪ f‬אולי אפילן לא קיימת(‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫המשפט מאוד שימושי בהוכחת אי‪-‬שוויונים‪.‬‬ ‫תנאי מספיק לנקודת קיצון‬ ‫התאפסות הנגזרת זה אינו תנאי מספיק לנקודות קיצון‪ ,‬להלן תנאים מספיקים אך לא הכרחיים‪:‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת ורציפה בסביבת ‪ x0‬כך ש‪ f -‬עולה משמאל ל ‪ x0‬ויורדת מימין לה‪ .‬אז‬ ‫יש ל ‪ f‬מקסימום מקומי ב‪ . x0 -‬בפרט הדבר נכון אם ‪ f‬גזריה בסביבה כך ש ' ‪ 0  f‬בסביבה‬ ‫שמאלית של ‪ x0‬ו‪ f '  0 -‬בסביבה ימנית שלה‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ f‬גזירה פעמיים ב ‪ x0‬ומקיימת‪ f ( x0 )  0 , f '( x0 )  0 :‬אז ‪ x0‬היא נקודת קיצון‬ ‫מקומי של ‪ . f‬מקסימום מקומי אם ‪ f ( x0 )  0‬ומינימום מקומי אם ) ‪. 0  f ( x0‬‬ ‫הערה‪ :‬יכולה להיות נקודת קיצון מקומי גם אם ‪. f ( x0 )  0‬‬ ‫בעיות מינימום‪-‬מקסימום ואי‪-‬שוויונים‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ f‬רציפה בקרן )‪ [0, ‬כך ש‪ . f (0)  lim f ( x )  0 -‬אז ‪ f‬מקבלת מקסימום‬ ‫‪x ‬‬ ‫גלובלי בקרן‪.‬‬ ‫הסבר להוכחה‪ :‬מראים ש ‪ f‬רציפה בקטע סגור ] ‪ [0, k‬ולכן ע"פ ווירשטראס היא מקבלת שם‬ ‫מקסימום ואז מראים שזהו גם המקסימום בכל הקרן‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫כלל לופיטל‬ ‫משפט‪ :‬תהיינה ‪ f‬ו‪ g -‬פונקציות מוגדרות וגזירות בסביבה מנוקבת של ‪ a‬המקיימות‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪. lim f ( x)  lim g ( x)  0‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫‪ g ( x )  0 .2‬בסביבה המנוקבת של ‪. a‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫) ‪f ( x‬‬ ‫) ‪g ( x‬‬ ‫‪ lim‬קיים ושווה ל‪.L‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫אז‪ :‬גם הגבול‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ lim‬קיים ושווה ל‪.L-‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מתקיים גם כאשר‪ g   , f   :‬וגם‪ :‬במקום ‪ x  a‬אפשר‪, x   :‬‬ ‫‪. x  a  , x  a  , x  ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לפעמים הכלל אינו עוזר‪ ,‬כי גבול מנת הנגזרות אינו קיים‪ .‬אך גם במקרה זה‪ ,‬ייתכן שגבול‬ ‫מנת הפונקציות כן קיים וניתן לחישוב בדרך אחרת‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הוא מהצורה‪:‬‬ ‫כלל לופיטל נכון רק כאשר הוא נחוץ באמת‪ :‬כלומר כאשר הגבול‬ ‫‪0‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫או‬ ‫‪‬‬ ‫שימוש במשפט במקרים כאלה יכול אפילו לתת לתוצאות לא נכונות‪.‬‬ ‫‪ .‬בכל השאר המקרים נחשב את הגבול באופן ישיר בלי להשתמש בכלל לופיטל‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ניתן להפעיל את לופיטל גם כדי לחשב את מנת הנגזרות אם גם ערכיהן שווים ל‪.0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כאשר מנסים לחשב גבול באמצעות לופיטל‪ ,‬יש למצוא מהי הדרך ה"טובה ביותר" להציג‬ ‫‪f‬‬ ‫את הביטוי הנתון כשבר מהצורה‬ ‫‪g‬‬ ‫‪.‬‬ ‫סדרי גודל וקצב התכנסות של פונקציות‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫אם ‪ ‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ , lim‬אז ‪ f‬שואף לאינסוף מהר יותר מ ‪. g‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫אם ‪ 0‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ lim‬אז ‪ g‬שואף לאינסוף מהר יותר מ ‪. f‬‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫אם ‪ k‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪) lim‬קבוע( אז הן שואפות לאינסוף באותו קצב‪ :‬אותו סדר‪-‬גודל‪.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫באופן כללי‪) ln x  x  e x :‬מעריכית < פולינום < לוגריתמית(‪.‬‬ ‫‪21‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫קמירות‬ ‫פונקציות קמורות‬ ‫הגדרה גיאומטרית‪ f :‬קמורה בקטע ‪ I‬אם כל מיתר המחבר איזשהן שתי נקודות על הגרף שלה‬ ‫נמצא כולו מעל הגרף‪ f .‬תיקרא קעורה אם המיתרים נמצאים מתחת לגרף הפונקציה‪.‬‬ ‫הגדרה אנליטית‪ f :‬קמורה ב‪ I‬אם לכל ‪ x1 , x2  I‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪ f (tx1  (1  t ) x2 )  tf ( x1 )  (1  t ) f ( x2‬כאשר ‪ tx1  (1  t ) x2‬היא נקודה על גרף הפונקציה‬ ‫שנמצאת בין שתי הנקודות‪ ,‬וערכה קטן מהמיתר המחבר בין שתי הנקודות‪.‬‬ ‫)אי שוויון הפוך מתקיים לקעורה(ץ‬ ‫הערה‪ :‬אם יש אי‪-‬שוויון חריף אז הפונקציה היא קעורה‪/‬קמורה ממש‪.‬‬ ‫ניסוח שונה להגדרה‪ f :‬קמורה ב‪ I‬אם לכל ‪ x1 , x2  I‬ולכל ‪ 0  1 , 2‬המקיימים‪1  2  1 :‬‬ ‫מתקיים‪f (1 x1  2 x2 )  1 f ( x1 )  2 f ( x2 ) :‬‬ ‫ובהכללה‪ f :‬קמורה ב‪ I‬אם לכל ‪ n‬מתקיים‪ x1 ,..., xn  I :‬ו‪ 0  1    n  1 -‬המקיימים‪:‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫) ‪f   i xi    i f ( xi‬‬ ‫‪ i 1‬‬ ‫‪ i 1‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ f‬קמורה בקטע ‪ I‬אז היא רציפה בכל נקודה פנימית של הקטע‪.‬‬ ‫‪ .2‬תהי ‪ f‬גזירה בקטע ‪ I‬אז ‪ f‬קמורה ב‪ I‬אם ורק אם לכל ‪ a  I‬המשיק לפונקציה בנקודה ‪a‬‬ ‫נמצא כולו מתחת לגרף שלה‪ ,‬כלומר‪ f ( x )  f (a )  f (a)( x  a ) :‬לכל ‪. x  I‬‬ ‫‪ .3‬תהי ‪ f‬גזירה בקטע ‪ I‬אז ‪ f‬קמורה ב‪ I‬אם ורק אם ‪ f ‬עולה ב‪) I‬וקמורה ממש אם הנגזרת‬ ‫עולה ממש(‪.‬‬ ‫‪ .4‬תהי ‪ f‬גזירה פעמיים בקטע ‪ I‬אז‪ f :‬קמורה ב‪ I‬אם ורק אם ‪ f ( x )  0‬לכל ‪x  I‬‬ ‫)וקמורה ממש אם זה אי‪-‬שיווין חריף(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬פונקציה קמורה איננה חייבת להיות גזירה וכאשר אינה גזירה‪ ,‬לא נוכל להשתמש‬ ‫בקריטריונים הנעזרים בגזירות‪.‬‬ ‫שרטוט גרפים‪:‬‬ ‫נקודת פיתול‪ :‬תהי ‪ f‬מוגדרת בסיבה נקודה של ‪ .a‬נאמר ש‪ a‬היא נקודת פיתול של ‪ f‬אם יש‬ ‫בנקודה מעבר בין תחום קמירות של הפונקציה לתחום קעירות שלה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ f‬גזירה פעמיים ו‪ f  -‬משנה סימן ב‪ a‬אז ‪ a‬נקודת פיתול‪ ,‬ובהכרח ‪ . f (a)  0‬זו‬ ‫הגדרה גיאומטרית‪ ,‬ואין צורך כלל ש‪ f‬תהיה מוגדרת‪ ,‬רציפה או גזירה בנקודה‪.‬‬ ‫‪22‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫נוסחת טיילור‬ ‫פולינום טיילור )בהמשך נראה טור טיילור= פולינום עם אינסוף איברים( מגיע כדי לעזור לנו‬ ‫לחשב ערכים של פונקציה‪ .‬הפולינום נותן לנו דרך מעשית לחשב ערך של כל פונקציה‪ ,‬בכל‬ ‫נקודה‪ ,‬בשגיאה שמתאימה לנו )כלומר‪ -‬אנו יכולים לקבוע את מידת הדיוק שנקבל(‪ .‬הרעיון הוא‬ ‫שכל פונקציה )שהיא מספיק חלקה‪ ,‬כלומר גזירה( ניתנת לכתיבה ע"י סכום של חזקות‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬תהי ‪ f‬גזירה ‪ n‬פעמים ב‪ .a‬פולינום טיילור ממעלה ‪ n‬של ‪ f‬המתאים לנקודה ‪ a‬הוא‬ ‫הפולינום‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪f (a‬‬ ‫) ‪f ( n ) (a‬‬ ‫)‪f ( k ) (a‬‬ ‫‪( x  a )2   ‬‬ ‫‪( x  a) n  ‬‬ ‫‪( x  a)k‬‬ ‫!‪2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫!‪k‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪Tn ( x )  f (a )  f (a )( x  a) ‬‬ ‫הערה‪ :‬בפולינום טיילור של פונקציות זוגיות יופיעו חזקות זוגיות בלבד )וכנ"ל לגבי אי‪-‬זוגיות(‪.‬‬ ‫כמו‪-‬כן‪ -‬אם ‪ f‬זוגית אז ‪ f ‬אי‪-‬זוגית ולהפך‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬תהי ‪ f‬גזירה ‪ n‬פעמים ב‪ a‬ויהי ‪ Tn‬פולינום טיילור שלה‪ .‬אז ערכי ‪ Tn‬ו‪ f-‬וכן ערכי‬ ‫נגזרותיהם עד סדר ‪ n‬מתלכדים בנקודה ‪ ,a‬כלומר‪ Tn ( k ) (a)  f ( k ) (a) ,‬לכל‪. k  n :‬‬ ‫הסבר‪ :‬כאשר ‪ x  a‬כל הביטוי מצטמצם מלבד )‪. f ( k ) (a‬‬ ‫שארית מסדר ‪ :n‬ההפרש בין ערך הפונקציה לפולינום המקרב אותה‪Rn ( x)  f ( x )  Tn ( x ) :‬‬ ‫משפט השארית של לגרנז'‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה גזירה ‪ n  1‬בסביבת הנקודה ‪ ,a‬אז לכל נקודה ‪x‬‬ ‫)‪f ( n 1) (c‬‬ ‫‪Rn ( x) ‬‬ ‫בסביבת ‪ a‬קיימת נקודה ‪ c‬בין ‪ x‬ל‪ a-‬כך ש‪( x  a )n 1 :‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫הערה‪ :‬עבור ‪ n  0‬זהו משפט לגרנז' הרגיל‪ f ( x )  f (a )  f (c)( x  a ) -‬ו )‪f (a)  T0 ( x‬‬ ‫ולכן‪. R0 ( x )  f ( x )( x  a) :‬‬ ‫הצגת השארית בצורת פיאנו‪ :‬תהא ) ‪ f ( x‬גזירה ‪ n‬פעמים בנקודה ‪ , x0‬אז פונקצית השארית‬ ‫)‪Rn ( x‬‬ ‫מקיימת‪ 0 :‬‬ ‫‪x  x0 ( x  x ) n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪) lim‬השארית מסדר ‪ n‬שואפת ל‪ 0‬יותר מהר מאשר הפולינום בסביבת‬ ‫‪ x0‬מאותו הסדר(‪ .‬דרך נוספת להצגת השארית‪ Rn ( x)   ( x )( x  x0 ) n :‬כאשר ‪lim  ( x )  0‬‬ ‫‪x  x0‬‬ ‫‪23‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נחשב את ‪ e‬עם שגיאה הקטנה מ ‪ f ( x)  e x . 103‬ונחפש קירוב ל‪ f (1)  e :‬בעזרת פולינומי‬ ‫טיילור של ‪ f‬שמתאימים ל ‪. a  0‬‬ ‫‪ec‬‬ ‫כלומר‪ ,‬צריך למצוא ‪ n‬כזה שיתקיים‪(1  0)n 1  103 <- | Rn (1) | 103 :‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫‪| Rn (1) |‬‬ ‫הנקודה ‪ c‬אינה ידועה‪ ,‬רק ידוע שהיא נמצאת בין ‪ x‬ל‪ a-‬כלומר" ‪ . 0  c  1‬ולכן אפשר להשתמש‬ ‫‪ec‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . | Rn (1) |‬עתה נמצא ‪ n‬המקיים את‬ ‫‪‬‬ ‫בהערכה‪ ec  e  3 :‬כלומר‪ 103 :‬‬ ‫!)‪(n  1)! (n  1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫האי‪-‬שוויון‪ n  6 .‬מקיים זאת‪:‬‬ ‫‪7! 1680 1000‬‬ ‫‪1 1 1 1 1‬‬ ‫מאלפית ניתן ע"י‪    :‬‬ ‫!‪2! 3! 4! 5! 6‬‬ ‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬קירוב של ‪ e‬עד כדי שגיאה הקטנה‬ ‫‪. T6 (1)  1  1 ‬‬ ‫הסבר נוסף‪:‬‬ ‫נוסחת טיילור נותנת "שיטה נומרית" לחישוב מקורב‪ .‬יש לה שני רכיבים‪:‬‬ ‫‪ .1‬פולינום טיילור שנותן נוסחה לחישוב הקירוב הנומרי‬ ‫‪ .2‬הנוסחה לשארית המאפשרת לקבוע את ‪) n‬מעלפת פולינום טיילור שיבצע את הקירוב(‬ ‫שיבטיח שהשגיאה )בערכה המוחלט( תהיה קטנה מכל רמת דיוק נדרשת‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬כשרוצים לקרב את ) ‪ f ( x‬לפונקציה נתונה ‪ f‬בנקודה מסיימת ‪ x‬מוטל עלינו לבחור‬ ‫את הנקודה ‪ a‬שסביבה נבצע את פיתוח טיילור‪ .‬השיקול הראשון בבחירת ‪ a‬הוא שניתן לחשב‬ ‫בקלות את ערכי הפונקציה ונגזרותיה בנקודה ‪) .a‬בדוגמא היינו חייבים לבחור ‪ a  0‬כי אנו‬ ‫מכירים את ‪ e0  1‬אך איננו מכירים את ‪ e a‬עבור ‪ .( a  0‬מבין הנקודות האפשריות נשתדל‬ ‫לבחור נקודה קרובה ככל האפשר ל‪ x‬כי אז הגורם )‪ ( x  a )( n 1‬יתרום גם הוא להקטנת‬ ‫השגיאה‪.‬‬ ‫מקלורן‪ :‬פולינום טיילור בסביבת ‪. a  0‬‬ ‫הערה‪ :‬הקירובים לערך הפונקציה לא תמיד משתפרים כאשר ‪ n  ‬ולכן לא תמיד מתקיים‪:‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ . Rn ( x) ‬זה מתקיים רק לפי המשפט הבא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של הנקודה ‪ .a‬נניח שיש קבוע ‪ k‬כך ש‪-‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ Rn ( x) ‬לכל ‪ x‬בסביבה‪.‬‬ ‫‪ | f ( n ) ( x ) | k‬לכל ‪ x‬בסביבה זו ולכל ‪ ,n‬אז ‪ 0‬‬ ‫)‪f ( n 1) (c‬‬ ‫‪k | x  a |n 1‬‬ ‫‪( x  a )n 1 ‬‬ ‫הוכחה‪ 0 :‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫‪| Rn ( x ) |‬‬ ‫‪kAn 1‬‬ ‫) כל סדרה כזו שואפת לאפס ע"פ כלל המנה ‪ 0‬‬ ‫!)‪(n  1‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪24‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫פולינומי טיילור ידועים‪:‬‬ ‫הערה‪ :‬כאשר נתון פולינום מקלורן מסדר ‪ n‬וברצוננו לחשב את פולינום מקלורן עבור‬ ‫) ‪ , g ( x )  f ( x 3‬די להציב ‪ x 3‬בפולינום של ) ‪. f ( x‬‬ ‫‪25‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫שיטת ניוטון‪-‬רפסון‬ ‫הגדרה‪ :‬שיטה רקורסיבית לקירוב פיתרון למשוואה‪ ,‬כלומר נקודת חיתוך הפונקציה עם ציר ‪,x‬‬ ‫כלומר ‪ x‬המקיים‪. f ( x )  0 :‬‬ ‫) ‪f ( xn‬‬ ‫נוסחה רקורסיבית‪:‬‬ ‫) ‪f ( xn‬‬ ‫‪ xn 1  xn ‬משמעות הנוסחה היא שאם ‪ f ( xn )  0‬אז נעביר משיק‬ ‫לפונקציה ב ‪ xn‬וחיתוך המשיק עם ציר ‪ x‬יהיה הנקודה ‪. xn 1‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כדי שהסדרה ‪ xn‬תהיה מוגדרת היטב‪ ,‬צריך שאיברי הסדרה יהיו בתוך הקטע‪ ,‬מה שלא‬ ‫קורה עבור כל פונקציה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אפילו אם ‪ xn  I‬לכל ‪ n‬אין זה מבטיח התכנסות‪ ,‬כמו במקרה שבו איברי הסדרה‬ ‫חוזרים על עצמם לסירוגין ) ‪.( xn  2  xn‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬גזירה פעמיים בקטע ‪ ,I‬ותהיינה ‪ a, b  I‬כך ש‪ . f (a)  0  f (b) -‬נניח גם כי‬ ‫‪ f ( x ) , f ( x )  0‬בקטע ונסמן את הפיתרון )היחיד( של המשוואה ‪ f ( x )  0‬ע"י ‪. ‬‬ ‫נבחר ‪ x0  b‬ונגדיר את הסדרה ‪ xn‬לפי הנוסחה הרקורסיבית‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪) lim xn  ‬סדרת הקירובים שואפת ל ‪ - ‬הפיתרון(‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ .2‬שיטה זו מהירה יותר למציאת פיתרון מאשר שיטת חציית הקטעים‪.‬‬ ‫‪26‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫האינטגרל הלא מסוים‬ ‫פונקציה קדומה‪ :‬נסמן ב ‪ F ( x )   f ( x )dx‬פונקציה קדומה לפונקציה ‪ , f‬כלומר פונקציה‬ ‫שנגזרתה היא הפונקציה הנתונה ‪ f‬ונקרא לה גם האינטגרל הלא מסוים של ‪ . f‬באופן פורמאלי‬ ‫זהו סימון למשפחה של פונקציות הנבדלות זו מזו בקבועים בלבד‪.‬‬ ‫כללי אינטגרציה‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪  f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ cf ( x)dx  c  f ( x)dx‬‬ ‫‪ .3‬אינטגרציה בחלקים‪:‬‬ ‫)‪ f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)   f ( x) g ( x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪ln x  ‬‬ ‫‪dx  ln x   C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ x ln xdx ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ln xdx   1ln xdx  x ln x   x x dx  x ln x  x  C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪  cos n xdx  sin x cos n 1 x ‬שימוש בנוסה זו‬ ‫‪ .4‬נוסחאות נסיגה‪cos n 2 xdx :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫פעם אחר פעם נותן לבסוף‪ ,‬ע"פ הזוגיות של ‪ n‬תוצאה שבה יש לחשב את האינטגרל‬ ‫‪  1dx  x‬או את ‪.  cos xdx  sin x‬‬ ‫)‪(n  1‬‬ ‫‪cos sin n1 x‬‬ ‫‪n 2‬‬ ‫‪ sin xdx  n  sin xdx  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2k  1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Ik‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 k‬‬ ‫) ‪2ka ( x  a‬‬ ‫‪2ka 2‬‬ ‫‪I k 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪arctan‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .5‬אינטגרציה ע"י הצבה )הפיכת כלל השרשרת(‪:‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪( x  a2 )k‬‬ ‫‪I1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪In  ‬‬ ‫‪ f  g ( x)  g ( x)dx  F  g ( x)   C‬‬ ‫‪2‬‬ ‫דוגמא‪ .  2 xe x dx :‬נשתמש כאן ב ‪ f (t )  et‬וב‪) g ( x )  x 2 -‬ואז ‪ .( g ( x )  2 x‬ונקבל‬ ‫‪2‬‬ ‫שהאינטגרל הוא‪. F  g ( x)   C  e x  C :‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫בעצם הרעיון הוא להציב ‪ t  x 2‬ואז כותבים את הנגזרת של ‪ t‬בצורה ‪ 2 x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ dt  2 xdx‬ואז כותבים את האינטגרל באמצעות ההצבה‪ C  e x  C :‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪ e dt  e‬‬ ‫‪27‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫( – חורף תשס"ט‬104012) ‫ת‬1 ‫חדו"א‬ dt  f ( x )dx  t  f ( x) :‫הצבה‬  f ( x ) dt dx    ln | t | C  ln | f ( x ) | C f ( x) t .Q‫ ב‬P ‫ אז מחלקים‬deg P  deg Q ‫ אם‬,  .6 P ( x) :‫ אינטגרציה של פונקציות רציונאליות‬.7 Q ( x) :‫מפרקים לסכום של שברים חלקיים‬ 1 A B C Dx  E     2 2 2 2 ( x  a )( x  b) ( x  cx  d ) x  a x  b ( x  b) ( x  cx  d ) :‫חישוב הצורות השונות של השברים החלקיים‬ .( j  1 ‫ כאשר‬A ln | x  a | C ‫)או‬ A ( x  a ) j 1 A dx  C  ( x  a) j  j 1 2x ( x 2  a 2 ) j 1 dx  C  (x2  a2 ) j  j 1 .( x  a tan t ‫)בעזרת ההצבה‬  (x 2 1 dx  a 2 j 1  cos2 j  2 tdt 2 j a ) p p2 ‫ ואז‬x 2  px  q  ( x  ) 2  (q  ) :‫ כאשר יש במכנה פולינום‬:‫ השלמה לריבוע‬.8 2 4 dx  A  1  arctan   c  A   C :‫מקבלים במכנה‬ p  p2   c  x   q   2  4      2 2  2 A " x " c "1" :‫ הצבות של זהויות טריגונומטריות‬:‫ ביטויים עם שורשים‬.9 x  a cos t ‫ או‬x  a sin t - a 2  x 2 1  tan 2 t  1 :‫ולהשתמש בזהות‬ cos 2 t x dx  x2  b dt t x  a tan t - a 2  x 2 a ‫או‬ cos t t  x2  b  x -  x dx x2  b a - x2  a2 sin t dx :‫ הצבת אויילר‬.10 :‫ הצבות טריגונומטריות‬.11 t  sin x -‫זוגית‬-‫ בחזקה אי‬cos x t  cos x -‫ בחזקה אי זוגית‬sin x t  cos x ‫ או‬t  tan x -‫ ביחד הוא זוגי‬cos x ‫ ו‬sin x ‫סכום החזקות של‬ dx  2dt 1 t 2 cos x  1 t2 2t x sin x   t  tan :‫הצבה כללית שתמיד תעבוד‬ 2 2 1 t 1 t 2 28 ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫אינטגרלים מיידים‬ ‫‪29‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫האינטגרל המסוים‬ ‫הגדרות‬ ‫אינטגרל מסוים‪ :‬השטח המוגבל בין הגרף של ‪ f‬לקטע ]‪ [a, b‬נקרא האינטגרל של ‪ f‬בקטע‪,‬‬ ‫‪b‬‬ ‫סימון‪ .  f :‬האינטגרל הוא מספר ואינו תלוי ב‪ .x‬השטח יהיה שטח עם סימן‪ -‬שטח מעל ציר ה‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫יהיה חיובי ושטח מתחת לציר יהיה שלילי‪.‬‬ ‫סכום רימן‪ P :‬היא חלוקה של הקטע ]‪a  x0  x1  x2  ...  xn  b : [a, b‬‬ ‫בהינתן פונקציה ‪ f‬שמוגדרת ב ]‪ , [a, b‬כך ש‪ f‬מקבלת ערך קבוע ‪ ci‬ב ] ‪ . [ai 1 , ai‬כדי לקרב את‬ ‫השטח המבוקש החלוקה תהיה מאוד עדינה כאשר ערכה בקטע ה‪ i‬הוא‪ ,‬למשל‪ci  f (ti ) :‬‬ ‫)כלומר גבהים בחישובי שטחי המלבנים המתקבלים ע"י נקודה שרירותית בקטע‪.( ti -‬‬ ‫הגדרה פורמאלית‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬ותהי ‪a  x0  x1  x2  ...  xn  b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫חלוקה של הקטע‪ .‬לכל ‪ i‬נבחר נקודה ] ‪ . ti  [ai 1 , ai‬הסכום )‬ ‫‪ f (t )(a  a‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫נקרא סכום‬ ‫‪i 1‬‬ ‫רימן של הקטע ביחס לחלוקה הנתונה וביחס לבחירת הנקודות ‪. ti‬‬ ‫אינטגרביליות רימן‪ :‬פונקציה חסומה ‪ f‬המוגדרת בקטע ]‪ [a, b‬היא פונקציה אינטגרבילית רימן‬ ‫בקטע‪ ,‬שהאינטגרל שלה הוא המספר ‪ ,I‬אם לכל ‪ 0  ‬יש ‪ 0  ‬עם התכונה הבאה‪ :‬לכל חלוקה‬ ‫‪) max1i  n (ai  ai 1 )  ‬כלומר‪ ,‬אין קטע שאורכו גדול מ ‪ ( ‬ולכל‬ ‫} ‪ {ai‬של הקטע כך ש‪-‬‬ ‫בחירה של נקודות ] ‪ ti  [ai 1 , ai‬סכום רימן המתאים יקיים‪:‬‬ ‫‪|  f (ti )(ai  ai 1 )  I | ‬‬ ‫)כלומר‪ ,‬ערך השטח המבוקש שואף לערך סכום הרימן שמקרב אותו‪-‬‬ ‫‪ ( p)  I‬‬ ‫‪.( lim‬‬ ‫‪ ( p ) 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫את האינטגרל נסמן‪. I   f :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הערה‪ :‬פונקציה קבועה היא אינטגרבילית ו‪cdx  c(b  a ) -‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫משפט‪ :‬משפחות הפונקציות הבאות הן אינטגרביליות רימן בכל קטע סופי )בתנאי שהן חסומות‬ ‫בו(‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫פונקציות מונוטוניות‬ ‫‪-‬‬ ‫פונקציות רציפות‬ ‫‪-‬‬ ‫פונקציות רציפות או מונוטוניות למקוטעין )כלומר‪ ,‬הקטע מתחלק למספר סופי של‬ ‫קטעים שבכל אחד מהם שבכל אחד מהם הפונקציה רציפה או מונוטונית(‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫תכונות האינטגרל המסוים‬ ‫תהיינה ‪ f‬ו ‪ g-‬פונקציות אינטגרביליות בקטע ]‪ [a, b‬אז‪:‬‬ ‫‪  ,   ‬גם‬ ‫‪ .1‬לכל‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫‪( f   f )    f    g‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪  f   f‬אינטגרבילית‬ ‫בקטע‬ ‫ומתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ .2‬אם ‪ f  g‬לכל ‪ x‬בקטע אז‪f   g :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)בפרט‪ :‬אם ‪ f  0‬אז‪.(  f  0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪ m  f ( x)  M‬לכל ‪ x‬בקטע אז‪. m(b  a )   f  M (b  a ) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .4‬ערך הביניים‪ :‬אם ‪ f‬רציפה ב ]‪ [a, b‬אז קיימת ]‪ c  [a, b‬כך ש‪f ( x)dx  f (c)(b  a) -‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .5‬גם | ‪ | f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ [a, b‬ו‪) |  f ( x )dx |   | f ( x ) | dx -‬אך לא בכיוון השני(‪.‬‬ ‫‪ .6‬אם ‪ a  c  b‬אז ‪ f‬אינטגרבילית בכל אחד מהקטעים החלקיים ]‪ [a, c ] [c, b‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪f  f  f‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)תקף לכל ‪ 3‬נקודות גם אם ‪ c‬אינה הנקודה האמצעית(‪.‬‬ ‫‪ .7‬אם ‪ h  f‬פרט למספר סופי של נקודות‪ ,‬אז גם ‪ h‬אינטגרבילית בקטע ומתקיים‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪. h   f‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .8‬אם ) ‪ f ( x‬אי‪-‬זוגית אז ‪.  f ( x )dx  0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ f ( x)  0‬לכל ‪ x‬בקטע וקיימת ]‪ x0  [a, b‬שבה ‪ f ( x )  0‬עדיין ייתכן ש ‪.  f  0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫לקבלת אי‪-‬שיווין חריף נדרש גם ש‪ f‬תהיה רציפה‪.‬‬ ‫הקשר בין האינטגרל המסוים לפונקציה הקדומה‬ ‫‪x‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬אינטגרבילית בקטע ]‪ , [a, b‬אז הפונקציה ‪ F ( x )   f (t )dt‬רציפה בו‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫המשפט היסודי של החדו"א‪ :‬תהי ‪ f‬אינטגרבילית ב‪ [a, b] -‬ורציפה בנקודה ]‪ , x0  [a, b‬אז‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ F ( x )   f‬גזירה ב ‪ x0‬ומתקיים‪. F ( x0 )  f ( x0 ) :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)אם ‪ x0‬נקודת קצה של הקטע אז הנגזרת היא חד‪-‬צדדית(‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬אם ‪ f‬רציפה ב ]‪ [a, b‬אז יש לה פונקציה קדומה בקטע‪ .‬פונקציה קדומה כזו ניתנת ע"י‬ ‫‪x‬‬ ‫הנוסחה‪. F ( x )   f :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ניסוח נוסף‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה רציפה בקטע )‪ . (a, b‬אזי לכל קבוע ‪ c‬בקטע הפונקציה‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ F ( x )   f (t )dt‬גזירה בקטע )‪ (a, b‬ומתקיים‪. F ( x )  f ( x) :‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪31‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אין חשיבות לקביעת הגבול התחתון בהגדרת ‪ F‬דווקא כקצה הקטע ‪ ,a‬אם נבחר נקודה ‪c‬‬ ‫בקטע ונגדיר‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ F1 ( x)   f‬אז ‪ F1‬ו‪ F‬נבדלות אחת מהשנייה בקבוע‪:‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ולכן‬ ‫האינטגרלים שווים‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪b‬‬ ‫אפשק להסתכל על האינטגרל גם כפונקציה של הגבול התחתון‪ .‬אם ‪ G ( x)   f‬אז‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נוכל גם להציג‪ G ( x)    f :‬ולכן )‪. G ( x)   f ( x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫נוסחת ניוטון‪-‬לייבניץ‪ :‬תהי ‪ f‬רציפה ב ]‪ [a, b‬ותהי ‪ G‬פונקציה קדומה שלה‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪f  G (b)  G (a )  G ( x ) |ba‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫דוגמא‪sin xdx   cos x |0   cos   ( cos 0)  2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫גזירת אינטגרל )כלל השרשרת(‪:‬‬ ‫אם ‪f (t )dt‬‬ ‫) ‪b( x‬‬ ‫‪ a( x ) )  ( x )  ‬ו‪ b( x ) -‬גזירות(‪ .‬אז ‪  ( x )  F  b( x)   F  a ( x ) ‬ולכן ע"פ כלל‬ ‫)‪a( x‬‬ ‫השרשרת לגזירה‪.  ( x )  f  b( x)  b( x )  f  a ( x )  a( x ) :‬‬ ‫‪d 7 x2‬‬ ‫דוגמא‪sin tdt  14 x sin  7 x 2   (  sin x ) sin(cos x) :‬‬ ‫‪dx cos x‬‬ ‫)גזירה של אינטגרל(‪.‬‬ ‫החלפת משתנים‪ :‬אם ‪ f‬רציפה ב ]‪ [a, b‬ו‪ g‬הפונקציה ההפוכה שלה‪ ,‬נסמן‪ f (a)   :‬ו‪-‬‬ ‫‪ . f (b)  ‬אז אפשר להחליף את משתנה האינטגרציה בפונקציה ההפוכה ואת התחומים‬ ‫‪‬‬ ‫בהתאם‪f ( x)dx   f  g (t )  g (t )dt :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אינטגרציה בחלקים‪ :‬כאשר יש מכפלת שתי פונקציות‪ ,‬אז לאחר שמשהו מסיים להיות‬ ‫אינטגרל‪ ,‬ישר מציבים בו ערכים לפי התחומים של הקטע‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמא‪x sin xdx  x ( cos x ) |0    cos xdx  0  (  1)  sin x |0   :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪.( sin x |0  0‬‬ ‫‪32‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫שימושים של האינטגרל המסוים‬ ‫חישוב שטח בין שני גרפים‪ :‬הפרש השטחים שהם מגבילים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x 3 x 4   x 4 x3 ‬‬ ‫‪17‬‬ ‫דוגמא‪( x  x )dx          :‬‬ ‫‪ 3 4  0  4 3  1 12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪| x  x | dx   ( x  x )dx  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אורך גרף הפונקציה‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה גזירה ברציפות בקטע ]‪ , [a, b‬אז האורך של הגרף שלה‬ ‫‪2‬‬ ‫ניתן ע"י הנוסחה‪1   f ( x)  dx :‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫חישוב בעזרת טיילור‪ :‬קירוב האינטגרנד בעזרת משפט טיילור‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬לחישוב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ sin x dx‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נשתמש בנוסחת טיילור עבור ‪: sin t‬‬ ‫‪| t |2 n 3‬‬ ‫‪t3 t 5‬‬ ‫‪t 2 n 1‬‬ ‫‪ sin t  t    ‬עם שארית המקיימת‬ ‫) ‪ Rn (t‬‬ ‫!)‪(2n  3‬‬ ‫!‪3! 5‬‬ ‫!)‪(2n  1‬‬ ‫‪. | Rn (t ) |‬‬ ‫נציב ‪ t  x 2‬נבצע אינטגרציה ונקבל‪:‬‬ ‫‪ 2 x 6 x10‬‬ ‫‪x 4n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  3! 5! (2n  1)!  Rn ( x )  dx  3  7  3!  11 120!   (4n  3)(2n  1)!  En‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 4 n  6 dt‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר‬ ‫!)‪0 (2 n  3‬‬ ‫!)‪(4n  7)(2n  3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. | En | ‬‬ ‫‪33‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫אינטגרלים מוכללים‬ ‫הגדרה‪ :1-‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקרן )‪ [a, ‬אינטגרבילית בכל קטע חלקי ]‪ . [a, c‬אם הגבול‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ lim  f‬קיים נאמר שהאינטגרל המוכלל של ‪ f‬בקרן קיים )כלומר‪ f -‬אינטגרבילית בקרן(‪.‬‬ ‫‪c  a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫סימון‪.  f  lim  f :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c  a‬‬ ‫הגדרה‪ :2-‬תהי ‪ f‬פונקציה המוגדרת בקטע )‪ [a, b‬אינטגרבילית בכל קטע חלקי ]‪ . [a, c‬אם קיים‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ lim  f‬נאמר שהאינטגרל המוכלל של ‪ f‬בקטע ]‪ [a, b‬קיים )כלומר‪f -‬‬ ‫הגבול משמאל‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫אינטגרבילית בקטע(‪ .‬סימון‪.  f  lim  f :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫*באופן דומה מגדירים אינטגרל מוכלל בקרן שמאלית או בקטע סופי כשהסינגולאריות היא בקצה‬ ‫השמאלי‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪‬‬ ‫לא קיים כי ל ‪sin x  cos c  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪e x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪:  x p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מתכנס כי ‪e x  1  e c  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אין גבול כאשר ‪c  ‬‬ ‫כאשר ‪. c  ‬‬ ‫‪ p  1‬האינטגרל מתבדר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1  p‬האינטגרל מתכנס ל‬ ‫‪p 1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:  x p‬‬ ‫‪ 1  p‬האינטגרל מתבדר‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ p  1‬האינטגרל מתכנס ל‬ ‫‪1 p‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ל‪ f-‬מספר סינגולאריות יש לבדוק כל אחת מהן בנפרד‪ ,‬והאינטגרל המוכלל קיים רק‬ ‫כאשר הוא קיים בכל אחת מהן‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫האינטגרל ‪x  p dx‬‬ ‫אז ‪x  p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לא קיים לאף ‪ p‬כי אם ‪ 1  p‬אז ‪x  p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫לא מתכנס‪ ,‬ואם ‪p  1‬‬ ‫לא מתכנס‪.‬‬ ‫‪34‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫אינטגרלים מוכללים של פונקציות אי‪-‬שליליות‬ ‫‪x‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬אי‪-‬שלילית בקרן )‪ [a, ‬ונסמן‪ , F ( x )   f :‬אז ‪f‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫קיים אם ורק אם ‪F‬‬ ‫חסומה‪.‬‬ ‫משפט מבחן ההשוואה‪ :‬תהיינה ‪ f‬ו‪ g‬אי‪-‬שליליות בקרן )‪ [a, ‬אינטגרביליות ב‪ [a, b] -‬לכל‬ ‫‪ . a  b  ‬אם )‪ 0  f ( x )  g ( x‬לכל ‪ x‬בקרן‪ ,‬אז‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם האינטגרל ‪g‬‬ ‫מתכנס אז גם ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתכנס ו ‪f   g‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)אם מה שחוסם‬ ‫מלמעלה מתכנס אז גם כל שטח שמוכל בו‪ -‬מתכנס(‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אם האינטגרל ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתבדר אז גם ‪g‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)אם מה שמוכל בפנים לא מתכנס אז גם מה‬ ‫שיותר גדול מכך לא יתכנס(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬כדי שהאינטגרל ‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫יתכנס אין צורך שזה יתקיים לכל ‪ a  x‬ומספיק שזה יתקיים על‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫איזשהי קרן חלקית )‪ [c, ‬כלומר‪ ,‬עבור ערכי ‪x‬שהם גדולים מספיק‪.‬‬ ‫מבחן ההשוואה הגבולי‪ :‬תהיינה ‪ F‬ו‪ g-‬אי‪-‬שלילות בקרן )‪ [a, ‬אינטגרביליות בכל קטע‬ ‫)‪f ( x‬‬ ‫חלקי‪ .‬אם ‪ L‬‬ ‫)‪g ( x‬‬ ‫‪ lim‬כאשר ‪ 0  L  ‬אז האינטגרלים "מתכנסים ומתבדרים ביחד"‪.‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫דוגמא‪ :‬לאילו ערכי ‪q‬‬ ‫‪0 xq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתכנס?‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪. q  q 1 ‬‬ ‫‪ lim x  lim‬‬ ‫זה מתנהג כמו‪ 1 :‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x q 1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪ 1‬הוא סופי וחיובי ולכן ע"פ מבחן ההשוואה הגבולי‪ ,‬האינטגרל הזה מתנהג כמו‪:‬‬ ‫‪x q 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ , ‬כלומר‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. q  1  1 ‬‬ ‫מתכנס אם ורק אם‪ q  2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫פונקצית גאמה‪ ( x )   t x 1e t dt :‬מוגדרת עבור ‪ . x  0‬זהו אינטגרל של פונקציה חיובית‬ ‫‪0‬‬ ‫על תחום אינסופי‪ .‬עבור ‪ 0  t  1‬לאחר בדיקת התכנסות בכל אחד מהתחומים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מקבלים שהאינטגרל מתכנס בשניהם‪.‬‬ ‫תכונה חשובה של הפונקציה‪, ( x  1)  x( x) :‬‬ ‫ומכך נובע כי לכל ‪ k‬טבעי מתקיים‪(k )  (k  1)(k  1)    (k  1)! :‬‬ ‫‪35‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫אינטגרלים מתכנסים בהחלט ובתנאי‬ ‫ההתכנסות של אינטגרל מוכלל של פונקציות אי‪-‬שליליות תלויה ב"קצב הדעיכה" של ‪ f‬באינסוף‪,‬‬ ‫או ב"קצב הגידול" שלה בקטע סופי‪ .‬כאשר ‪ f‬מקבלת גם ערכים חיוביים וגם שליליים האינטגרל‬ ‫יכול להתכנס מסיבה נוספת‪ :‬התרומות החיוביות והשליליות של ‪ f‬יכולות לבטל חלקית אלה את‬ ‫אלה‪.‬‬ ‫הגדרה‪ :‬נאמר שהאינטגרל המוכלל ‪)  f‬על קרן אינסופית או על קטע סופי( מתכנס בהחלט אם‬ ‫| ‪  | f‬מתכנס‪ .‬אך אם | ‪  | f‬לא מתכנס נאמר שההתכנסות היא בתנאי‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם אינטגרל מוכלל מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס‪ .‬כלומר‪ ,‬אם ‪| f |  ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫אז גם‬ ‫מתכנס )ובאופן דומה לאינטגרל המוכלל על קטע סופי(‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫ו‪dx -‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪| sin x | 1‬‬ ‫‪| cos x | 1‬‬ ‫וגם ‪ 2‬‬ ‫מתכנסים בהחלט כי ‪ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ו‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתכנס אך לא בהחלט )בתנאי(‪ .‬לבדיקת התכנסות נבצע אינטגרציה‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos x‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪ cos x‬‬ ‫‪dx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫בחלקים‪dx :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫והאינטגרל האחרון מתכנס ע"פ‬ ‫הדוגמא הראשונה‪ .‬האינטגרל אינו מתכנס בהחלט כי ‪ | sin x | sin 2 x‬ואילו‬ ‫‪sin 2 x‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ו‪  :‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1  cos 2 x‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ cos x‬‬ ‫‪sin 2 x‬‬ ‫‪dx  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx  ‬‬ ‫מתבדר‪dx :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫| ‪| sin x‬‬ ‫ולכן ע"פ מבחן ההשוואה‪ ,‬גם ‪dx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתבדר‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫משפט דיריכלה‪ :‬תהי ‪ f‬רציפה בקרן )‪ [a, ‬כך שהפונקציה ‪ F ( x )   f (t )dt‬חסומה בקרן‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫תהי ‪ g‬גזירה ומונוטונית‪-‬יורדת בקרן כך ש‪ . lim g ( x)  0 -‬אז האינטגרל המוכלל ‪fg‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתכנס‪.‬‬ ‫‪36‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫מושגים כלליים‬ ‫סכום חלקי‪ :‬עבור ‪ N‬מסוים‪ ,‬סכום סופי של ‪ N‬האיברים הראשונים של הסדרה נקרא הסכום‬ ‫‪N‬‬ ‫החלקי ה‪-N‬י‪ . S N   an  a1  a2    an :‬ניתן להביט כעת על סדרת הסכומים החלקיים‪. S N ,‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫איבר ‪ N‬בסדרה זו יהיה סכימה של ‪ N‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. S N  S N 1  aN . an‬‬ ‫‪‬‬ ‫הגדרה‪ -‬התכנסות של טור‪ :‬נאמר שהטור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪k‬‬ ‫מתכנס כאשר סדרת הסכומים החלקיים שלו‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪ {S N‬מתכנסת‪ .‬אם גבולה הוא ‪ lim S N  S‬נאמר שסכום הטור הוא ‪ S‬ונסמן‪ .  ak  S :‬אם‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪ lim S N‬לא קיים‪ ,‬נאמר שהטור מתבדר‪.‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫טור גיאומטרי‪1  q  q 2  q 3     q k 1 :‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ | q | 1‬הטור מתכנס וסכומו‪:‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1 qN‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫‪SN ‬‬ ‫| ‪ 1 | q‬הטור מתבדר‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1 1 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫טור טלסקופי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2  2 3‬‬ ‫)‪ N  1 N   N N  1  k 1 k (k  1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל האיברים מצטמצמים מלבד הראשון והאחרון ולכן ‪1‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫הטור מתכנס וסכומו‪.1 :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתבדר וגם הטור ההרמוני‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 1 k‬‬ ‫משפט‪ :‬אם הטור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫משפט‪ :‬אם הטורים‬ ‫‪ .1‬הטור‬ ‫‪.2‬‬ ‫) ‪ bn‬‬ ‫‪SN ‬‬ ‫‪ ca‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס אז ‪lim an  0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתבדר )סכום של מספרים חיוביים שהולך וגדל(‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫ו‪  bn -‬מתכנסים ו קבוע אז‪:‬‬ ‫מתכנס‪ ,‬וסכומו הוא ‪c  an‬‬ ‫מתכנס וסכומו‪:‬‬ ‫‪a  b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הערה‪ :‬שינו של מספר סופי מאברי הטור אינו משפיע על התכנסותו את התבדרותו )אך יכול להשפיע‬ ‫על ערך הסכום(‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫טורים עם איברים חיוביים‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ an  0‬לכל ‪ ,n‬אז‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים ‪ {S N }N 1‬היא‬ ‫סדרה חסומה )סדרת הסכומים החלקיים היא עולה וקיים לה גבול רק אם היא חסומה מלעיל(‪.‬‬ ‫משפט )מבחן ההשוואה(‪ :‬יהיו‬ ‫לכל ‪ n‬ואם הטור‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתכנס אז גם‬ ‫‪n‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טורים עם איברים אי‪-‬שליליים‪ .‬אם ‪0  an  bn‬‬ ‫מתכנס ו‬ ‫‪ a  b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)ואם‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתבדר אז גם‬ ‫מתבדר(‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬להתכנסות‬ ‫‪a‬‬ ‫אין צורך לדרוש כי ‪ 0  an  bn‬לכל ‪ n‬ומספיק שיש ‪ N‬כך שזה יתקיים לכל‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n  N‬אך אז אי‪-‬השוויון בין הסכומים אינו חייב להתקיים‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫משפט )מבחן ההשוואה הגבולי(‪ :‬אם ‪ an‬ו ‪ bn‬חיוביים לכל ‪ n‬וקיים הגבול ‪ L‬‬ ‫‪n  b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ lim‬כאשר‬ ‫‪ 0  L  ‬אז הטורים‬ ‫‪an‬‬ ‫הערה‪ :‬אם ‪ 0‬‬ ‫‪bn‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ lim‬אז מהתכנסות‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  sin  n‬ו‪ sin  n  -‬‬ ‫"מתכנסים ומתבדרים ביחד"‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נובעת התכנסות‬ ‫‪a‬‬ ‫)וההפך לא(‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מתנהגים כמו‪ -  2 :‬מתכנס ו ‪- ‬מתבדר‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מבחן השורש )קושי(‪ :‬אם קיימים ‪ 0  q  1‬ו‪ N-‬כך ש ‪an  q‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכל ‪ , n  N‬אז הטור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס‪ .‬הערה‪ :‬תנאי המשפט שקולים ל ‪. lim sup n an  1‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫מבחן המנה )ד'אלמבר(‪ :‬אם קיימים ‪ 0  q  1‬ו‪ N-‬כך ש ‪ q‬‬ ‫‪an‬‬ ‫לכל ‪ n  N‬אז הטור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס‪ .‬הערה‪ :‬מגבלה של מבחן המנה‪ :‬אסור שאף‪-‬איבר בטור יהיה אפס ולכן לפעמים רק מבחן‬ ‫השורש יעבוד‪.‬‬ ‫‪qn‬‬ ‫דוגמא‪ n! :‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתכנס לכל ‪ q  0‬כי ‪ 0  1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫הערה‪ :‬אי‪-‬השוויון החריף ‪ q  1‬חשוב והתנאי החלש יותר‪an  1 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫או ‪ 1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫אינו מספיק ואינו‬ ‫נותן שום אינפורמציה‪.‬‬ ‫‪38‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫משפט )מבחן האינטגרל(‪ :‬תהי ‪ f‬פונקציה חיובית לא עולה בקרן ‪ , x  0‬אינטגרבילית בכל קטע‬ ‫‪‬‬ ‫חלקי ]‪ . [0, b‬אז הטור‬ ‫)‪ f (n‬‬ ‫מתכנס אם ורק אם האינטגרל המוכלל ‪f ( x)dx‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫דוגמא‪ :‬ראינו שהאינטגרל‬ ‫‪xp‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫ומתקיים‪f (n)   f ( x)dx   f (n) :‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫מתכנס‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫מתכנס עבור ‪ p  1‬ומתבדר עבור ‪ , p  1‬לכן גם הטור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס עבור ‪ p  1‬ומתבדר עבור ‪. p  1‬‬ ‫‪39‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫טורים בעלי סימנים מתחלפים לסירוגין‬ ‫משפט )לייבניץ(‪ :‬אם ‪ an  0‬סדרה מונוטונית יורדת לאפס אז הטור ‪an‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫מתכנס וסכומו‬ ‫‪ S‬מקיים‪. 0  S  a1 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫זנב הטור ‪an‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫)‪ (1‬‬ ‫‪ rN ‬מקיים‪ | rN | aN 1 :‬וסימנו‪. (1) N 1 :‬‬ ‫‪n  N 1‬‬ ‫‪(1) n‬‬ ‫דוגמא‪ :‬הטור ‪ n p‬‬ ‫מתכנס לכל ‪) p  0‬שלא כמו הטור בלי השמת הסימנים‪ ,‬שהוא רק ל‪-‬‬ ‫‪ .( p  1‬כלומר‪ ,‬השמת סימנים יכולה להביא לצמצומי שיגרמו להתכנסות הטור‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫בחישובים מעשיים מחליפים טורים אינסופיים בסכומים חלקיים מספיק רחוקים‪ .‬כדי לדעת‬ ‫‪-‬‬ ‫את שגיאת החישוב יש להעריך את | ‪ | rN‬ומשפט לייבניץ אכן נותן הערכה כזאת‪.‬‬ ‫אם ‪ an‬לא סדרה יורדת אז מסקנת המשפט אינה נכונה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫טורים כלליים‬ ‫התכנסות בהחלט ובתנאי‪ :‬נאמר שהטור‬ ‫הטור‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנס בהחלט אם הטור |‬ ‫‪n‬‬ ‫‪| a‬‬ ‫מתכנס‪ .‬אם‬ ‫אך לא בהחלט‪ ,‬נאמר שהוא מתכנס בתנאי‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס )ולא להפך(‪.‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪ ‬מתכנס ומתי הוא מתכנס בהחלט‪:.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הטור‬ ‫‪n‬‬ ‫עבור | ‪ 1 | x‬האיבר הכללי לא שואף לאפס‪ ,‬ולכן הטור מתבדר‪.‬‬ ‫עבור ‪ | x | 1‬הטור מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫עבור ‪ x  1‬זה הטור ההרמוני המתבדר‪.‬‬ ‫עבור ‪ x  1‬הטור מתכנס )טור לייבניץ( אך לא בהחלט‪.‬‬ ‫כלומר )‪ , x  [1,1‬הטור מתכנס בהחלט‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מבחני ההתכנסות לטורים חיוביים נותנים‪ ,‬ע"י מעבר מ‪ an -‬ל‪ | an | -‬מבחנים דומים‬ ‫להתכנסות בהחלט‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כזכור‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪a‬‬ ‫רק אם ‪ . an  0‬ולכן‪ ,‬לפי מבחן השורש והמנה‪ :‬אם ‪ lim n | an |  1‬או‬ ‫‪ lim‬אז‪ an :‬מתבדר‪.‬‬ ‫‪40‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות‬ ‫נתונה סדרת פונקציות } ‪ . { f n‬בכל נקודה ‪ x‬שבה כולן מוגדרות נוכל לבדוק אם סדרת המספרים‬ ‫‪‬‬ ‫‪ { f n ( x)}n1‬או הטור המספרי‬ ‫)‪ f ( x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתכנסים או מתבדרים‪ .‬בתחום שבו הסדרה )או הטור(‬ ‫‪n 1‬‬ ‫מתכנסים‪ ,‬הגבול )או הסכום( מגדירים פונקציה חדשה של המשתנה ‪.x‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הפונקציות‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x  n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f n ( x ) ‬מוגדרות בכל הישר ‪ lim f n ( x )  0‬לכל ‪ ,x‬כלומר‪ ,‬סדרת‬ ‫‪n ‬‬ ‫הפונקציות ‪ f n‬מתכנסת לכל ‪ x‬וגבולה הוא ‪. f ( x )  0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הפונקציות ‪ f n ( x )  x n‬מוגדרות בכל הישר ומקיימות ‪ lim f n ( x )  0‬עבור )‪ x  (1,1‬וכן‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ . lim f n (1)  1‬עבור כל ה‪-x‬ים האחרים הסדרה המספרית }) ‪ { f n ( x‬אינה מתכנסת‪ .‬לכן‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1  x  1‬‬ ‫פונקצית הגבול מוגדרת בקטע ]‪ (1,1‬וניתנת ע"י‪:‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪f ( x)  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)פונקצית הגבול ‪ f‬איננה רציפה למרות שכל הפונקציות ‪ f n‬רציפות(‪.‬‬ ‫טורי פונקציות‬ ‫משפט )ויירשטראס(‪ :‬נניח שהפונקציות ‪ f n‬מוגדרות בקטע ‪) I‬שיכול להיות סופי או אינסופי(‬ ‫ושיש קבועים ‪ M n‬כך שטור המספרים‬ ‫‪ .1‬טור הפונקציות‬ ‫‪n‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪M‬‬ ‫מתכנס וכך ש‪ | f n ( x ) | M n -‬לכל ‪ , x  I‬אז‪:‬‬ ‫מתכנס בהחלט בקטע‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם כל הפונקציות ‪ f n‬רציפות ב ‪ I‬אז גם פונקצית הסכום ‪ f   f n‬היא רציפה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אם ]‪ I  [a, b‬קטע סגור וכל הפונקציות ‪ f n‬אינטגרביליות ב‪ I -‬אז גם פונקצית הסכום‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ f   f n‬היא אינטגרבילית ב‪ I-‬ומתקיים כי ‪f    f n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫דוגמא‪ :‬הטור ‪sin 3n x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ f ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מתכנס )ניקח ‪ ( M n  2 n‬למרות שאין נוסחה מפורשת לפונקצית‬ ‫הסכום‪ .‬זוהי דוגמא ידועה מאוד ופונקציה זו אף אינה גזירה באף נקודה‪.‬‬ ‫‪41‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫טורי חזקות‬ ‫‪‬‬ ‫טור חזקות הוא טור מהצורה ‪ .  an ( x  x0 ) n‬טורי חזקות הם הכללה של פולינומים לסכומים‬ ‫‪n 0‬‬ ‫אינסופיים‪ ,‬ויש להם תכונות מאוד מיוחדות‪ .‬לשם פשטות הסימונים נרשום בד"כ את הטענות למקרה‬ ‫המיוחד שבו ‪. x0  0‬‬ ‫משפט‪ :‬לכל טור חזקות‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יש מספר ‪ 0  R  ‬הנקרא רדיוס ההתכנסות של הטור‪ ,‬כך‬ ‫שהטור מתכנס בקטע )‪ ( R, R‬ומתבדר עבור ‪) | x | R‬כאשר ‪ R  ‬הטור מתכנס לכל ‪ x‬וכאשר‬ ‫‪ R  0‬הטור איננו מתכנס לאף ‪ x  0‬טור חזקות תמיד מתכנס ב ‪ x  0‬וסכומו שם‪.( a0 :‬‬ ‫בנקודות ‪ x   R‬עצמן הטור יכול להתכנס או להתבדר‪.‬‬ ‫יתר על כן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬נסמן | ‪   limsup n | an‬אז‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ .2‬לכל ‪ 0  r  R‬הטור מקיים את תנאי משפט וויירשטראס בקטע ] ‪[r , r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫| ‪|a‬‬ ‫הערה‪ :‬אם קיים ‪   lim n 1‬אז‪:‬‬ ‫| ‪n  | a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪R‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫!‪ n‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫| ‪| an 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ R  ‬כי ‪ 0‬‬ ‫| ‪| an‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫ו‪ n -‬‬ ‫‪n x‬‬ ‫‪  lim‬‬ ‫‪R 1‬‬ ‫‪ R  0‬ע"פ נוסחת השורש‪.‬‬ ‫‪x2 n‬‬ ‫חישוב רדיוס ההתכנסות של‪ ,  n :‬נעביר את הטור לאינדקס שמתקדם בחזקות של ‪ x‬ב‪1‬‬ ‫‪n 0 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪0 k odd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k 2 n‬‬ ‫‪.  ak x  ak   1 k even ‬‬ ‫כל פעם )ולא ב‪ :(2-‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪ k2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0 k odd‬‬ ‫‪‬‬ ‫וע"פ מבחן השורש‪) k | ak |   1 k even :‬חישוב‪:‬‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגבוה מביניהם‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪2 k‬‬ ‫) ‪(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.( k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ lim sup k | ak | ‬ולכן‪. R  3 :‬‬ ‫‪42‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫משפט‪ :‬נתון טור‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a x‬‬ ‫בעל רדיוס התכנסות ‪ R‬ונסמן את סכומו ב‪ , f ( x ) -‬אז‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .1‬סכום הטור הוא פונקציה רציפה בכל תחום ההתכנסות‬ ‫‪x n 1‬‬ ‫‪  an‬גם הוא ‪ R‬ולכל ‪ 0  r  R‬הפונקציה ‪f‬‬ ‫‪ .2‬רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרלים‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינטגרבילית בקטע ] ‪ [r , r‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (t )dt     ant n  dt   an  t n dt    n x n 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n 0  n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)בתוך קטע ההתכנסות הפתוח מותר לעשות אינטגרציה איבר‪-‬איבר(‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .3‬רדיוס ההתכנסות של טור הנגזרות‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ na x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫גם הוא ‪ R‬ולכל ‪ 0  r  R‬הפונקציה ‪f‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫גזירה בקטע )‪ ( R, R‬ומתקיים‪f ( x)    an x n    an ( x n )   nan x n 1 :‬‬ ‫‪ n 0‬‬ ‫‪ n 0‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫)‪f ( n) (0‬‬ ‫‪ .4‬הפונקציה ‪ f‬גזירה אינסוף פעמים ב )‪ ( R, R‬ובפרט‪ . f ( n ) (0)  n !an :‬כלומר‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪f ( n ) (0) n‬‬ ‫ולכן‪x :‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪an ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. f ( x)  ‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫טור טיילור‬ ‫) ‪f ( n ) ( x0‬‬ ‫הגדרה‪ :‬אם ) ‪ f ( x‬גזירה אינסוף פעמים ב ‪ , x0‬ניתן להגדיר טור חזקות ‪( x  xo )n‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫הנקרא טור טיילור‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫תחום ההתכנסות של טור טיילור אינו בהכרח תחום ההגדרה של הפונקציה‬ ‫‪-‬‬ ‫בתחום שבו טור טיילור של הפונקציה מתכנס‪ ,‬סכומו לא בהכרח שווה לפונקציה‬ ‫‪-‬‬ ‫אם ל ) ‪ f ( x‬יש פיתוח לטור חזקות אז הוא יחיד והוא בהכרח טור טיילור שלה‪ .‬והמקדמים‬ ‫)‪f ( n) (0‬‬ ‫מקיימים‪:‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪. an ‬‬ ‫משפט‪ :‬תהי ‪ f‬גזירה מכל סדר ב‪ (r , r ) -‬ונניח שיש קבוע ‪ M‬כך שלכל ‪ n‬ולכל ‪ | x | r‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ . | f ( n ) ( x ) | M‬אז‪:‬‬ ‫‪f ( n ) (0) n‬‬ ‫‪ .1‬רדיוס ההתכנסות ‪ R‬של טור החזקות ‪x‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫מקיים‪R  r :‬‬ ‫‪ .2‬בקטע ) ‪ , (r , r‬טור מקלורן של ) ‪ f ( x‬מתכנס לפונקציה‪.‬‬ ‫‪43‬‬ ‫©ענת עציון‬ ‫חדו"א ‪1‬ת )‪ – (104012‬חורף תשס"ט‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ . f ( x)  sin x‬כאן )‪ f ( n ) ( x‬הוא ‪  sin x‬או ‪  cos x‬ובפרט ‪ | f ( n ) ( x ) | 1‬לכל ‪ x‬ולכל ‪n‬‬ ‫ולכן ‪) R  ‬מתכנס לכל ‪ .(x‬טורי טיילור שלהם‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x3 x5‬‬ ‫‪(1)n x 2 n 1‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫!‪3! 5‬‬ ‫!)‪n  0 (2 n  1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הטור‬ ‫‪ln  n‬‬ ‫‪(1) n x 2 n‬‬ ‫!)‪(2n‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪sin x  x ‬‬ ‫‪cos x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם ‪ 1  ‬הטור מתכנס לכל ‪‬‬ ‫אם ‪   1‬הטור מתבדר לכל ‪‬‬ ‫אם ‪   1‬הטור מתכנס אם ורק אם ‪1  ‬‬ ‫‪44‬‬ ‫©ענת עציון‬