פונקציות
˙ÂȈ˜ÂÙ ˙‡ӂ„†ÌÈËÙ˘Ó†¨˙‡ÁÒ†¨Ìȯ‡È˙†˙¯„‚‰ ÈÂÒȆ˙¯Â„‰Ó ‰˜ÈËÓ˙Ó·†ÌÈ‚˘ÂÓ†ÔÂÏÈÓ חוברתזוהיאאחתמתוךסדרתהחוברות"מילוןמושגים".הסדרהמיועדתלתלמידים, למורים,להוריםולכלמישזקוקבאופןכלשהולמידעבמתמטיקהשלביתהספרהעליסודי. הסדרהמכילהאתהנושאיםהעיקרייםמתכניתהלימודים. כלנושאכוללהגדרותותיאוריםשלמושגים,משפטים,נוסחאותודוגמאותיישום. הסדרהיכולהלסייעבמהלךלימודהמתמטיקה,בהכנהלבחינותובעיסוקבמקצועותשונים שישבהםשימושבכליםמתמטיים. כתובתנובאינטרנטwww.cet.ac.il/math: תוכן העניינים מושגים בסיסיים3 ............................................. אינטרוולים וסביבות7 ....................................... מאפיינים של פונקציות9 .................................... סוגי הפונקציות ותכנותיהם 13 ............................. משפחות של פונקציות26 ...................................... גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה30 ............... חישוב גבולות34 .................................................. אסימפטוטות לגרף הפונקציה38 ........................... נגזרת של פונקציה41 ........................................... משיק לגרף הפונקציה46 ...................................... חקירת פונקציות בשילוב אנליזה49 ....................... אינטגרל ופונקציה קדומה55 ................................ חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים59 ...................... מפתח א-ב62 ...................................................... מושגים בסיסיים הגדרות ותיאורים אם משתנה yתלוי במשתנה xכך שלכל ערך של xמתאים ערך אחד ויחיד של המשתנה ) ,yהערך של xמגדיר את הערך של ,(yכלומר ,אם ידועה שיטה למציאת הערך של yלכל ערך של ,xאז אומרים שהמשתנה yהוא פונקציה של המשתנה .y=f(x) :x המשתנה xנקרא המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה yנקרא המשתנה התלוי )הפונקציה( . דוגמאות .1 .2 .3 .4 מחיר נסיעה במונית הוא פונקציה של אורך הדרך שעברה המונית בנסיעה .אורך הדרך הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר הנסיעה הוא המשתנה התלוי. שטח של עיגול הוא פונקציה של רדיוס העיגול .רדיוס העיגול הוא המשתנה הבלתי תלוי ושטח העיגול הוא המשתנה התלוי. מחיר מברק הוא פונקציה של מספר המילים במברק .מספר המילים הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר המברק הוא המשתנה התלוי. אורך עמוד הכספית במד חום הוא פונקציה של הטמפרטורה .הטמפרטורה היא המשתנה הבלתי תלוי ואורך עמוד הכספית הוא המשתנה התלוי. קבוצת כל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי נקראת תחום הפונקציה )תחום ההגדרה(. בדוגמאות לעיל: בדוגמאות 1ו , 2-תחום ההגדרה של הפונקציות הנתונות הוא כל המספרים החיוביים. בדוגמה – 3תחום ההגדרה הוא כל המספרים הטבעיים. בדוגמה – 4תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים. קבוצת כל ערכי הפונקציה )המשתנה התלוי( ,או כל קבוצה המכילה אותה ,נקראת טווח הפונקציה. .1 .2 .3 3 בדוגמה ,1טווח הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים הגדולים מהמחיר ההתחלתי. בדוגמה 2ובדוגמה ,3טווח הפונקציה הוא כל המספרים החיוביים. אם הפונקציה היא קבועה ,אז הטווח יכול להיות קבוצה המכילה ערך אחד או כל קבוצה המכילה את הערך הזה. דוגמאות הגדרות ותיאורים 1. f(x)= 2x-5 2. g(x)=x2+3 3. h ( x ) = ⎧⎨ x , x ≥ 0 ייצוג אלגברי של פונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת נוסחה )או כמה נוסחאות( המאפשרת למצוא את ערכי הפונקציה. ⎩− x , x < 0 ייצוג גרפי של הפונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה כאוסף נקודות במערכת צירים ,כך ששיעור ה x-של כל נקודה הוא ערך המשתנה הבלתי תלוי ,ושיעור ה y-של כל נקודה הוא ערך הפונקציה. אוסף של כל הנקודות הללו נקרא גרף הפונקציה. בגרף הפונקציה אפשר לראות כל מיני תכונות ומאפיינים של הפונקציה. טבלת הערכים של פונקציה היא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת טבלה ,שבה ליד ערך של המשתנה הבלתי תלוי מופיע ערך הפונקציה המתאים לו. אם לכל ערך של הפונקציה ) y=f(xקיים ערך יחיד של המשתנה xהמתאים לו ,כלומר ,לערכים שונים של xמתאימים ערכים שונים של ,yאז הפונקציה ) y=f(xנקראת פונקציה חד חד ערכית. y x 5 -2 12 0.4 7.3 3 .1הפונקציה f(x)=2xהיא פונקציה חד חד ערכית ,כי לכל שני ערכים שונים של x מתאימים ערכים שונים של :yאם x1≠x2 אז .2x1≠2x2 .2הפונקציה g(x)=x2איננה פונקציה חד חד ערכית ,כי קיימים ערכים שונים של x שמתאים להם אותו ערך של .yלמשל, g(2)=g(-2)=4 4 הגדרות ותיאורים אם ) y=f(xהיא פונקציה חד חד ערכית ,אז המשתנה xהוא גם פונקציה של המשתנה :y ) . x=g(yהפונקציה הזאת נקראת הפונקציה ההפוכה לפונקציה ).f(x לפונקציה שאיננה חד חד ערכית לא קיימת פונקציה הפוכה. כדי למצוא את הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה בייצוג אלגברי יש לבטא את המשתנה הבלתי תלוי באמצעות המשתנה התלוי )בדרך כלל, את המשתנה xבאמצעות המשתנה .(y דוגמאות .1הפונקציה :מחיר הנסיעה הוא פונקציה של אורך הדרך .לכל אורך דרך נתון אפשר לחשב את מחיר הנסיעה. הפונקציה ההפוכה :אורך הדרך הוא פונקציה של המחיר .לכל מחיר נסיעה נתון אפשר לחשב את מרחק הנסיעה. .2הפונקציה :המשקל שלי הוא פונקציה של הגיל שלי .בכל גיל יש לי משקל מסוים. בשנתיים האחרונות המשקל שלי לא השתנה. מכאן שלפונקציה הזאת אין פונקציה הפוכה, כי בגילים שונים היה לי אותו משקל. .3הפונקציה f(x) =x2 :איננה פונקציה חד חד ערכית בתחום של כל המספרים הממשיים. בתחום הזה אין לה פונקציה הפוכה .אבל בתחום המספרים החיובים ,הפונקציה f(x)=x2היא פונקציה חד חד ערכית והפונקציה ההפוכה שלה היא. g( x ) = x : מצאו את הפונקציה ההפוכה לפונקציה .y=2x-3 y+3 = .x נחלץ את ,xונקבל,2x=y+3 : 2 זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה. אפשר גם להחליף את סימון המשתנים: x+3 =. y 2 בצורה גרפית :הגרפים של שתי פונקציות הפוכות הם סימטריים ביחס לישר .y=x 5 הגדרות ותיאורים פונקציה שמוצגת על-ידי משוואה מהצורה f(x, y)=0נקראת פונקציה סתומה. שימו לב! לא כל משוואה מהצורה f(x, y)=0 מגדירה פונקציה. דוגמאות .1המשוואה 2x+y=0מגדירה פונקציה סתומה כי לכל ערך של xאפשר למצוא ערך יחיד של y שהוא השורש היחיד של המשוואה הליניארית .למשל ,אם x=1אז y= -2וכו' .2המשוואה y2-x=0אינה מגדירה פונקציה כי ישנם ערכי xשעבורם יש לפונקציה שני ערכים של ) yולא ערך יחיד( .למשל ,עבור ,x=4גם y=2וגם y=-2מקיימים את המשוואה. פונקציה קבועה היא פונקציה שהטווח שלה כולל רק מספר אחד ,כלומר ,לכל ערכי xמתאים אותו ערך של הפונקציה .הגרף של פונקציה קבועה הוא קו ישר המקביל לציר ה.X- אם המשתנה yהוא פונקציה של ,xכלומר ) ,y=f(xוהמשתנה zהוא פונקציה של ,yכלומר ) ,z=g(yאז לכל ערך של xמתאים ערך מסוים של . z פירוש הדבר שהמשתנה zגם הוא פונקציה של :x )) .z=g(f(xפונקציה זו נקראת פונקציה מורכבת. .1יש לי שטר של 100ש"ח ואני רוצה לקנות גבינה. מחיר הקנייה הוא פונקציה של משקל הגבינה.y=f(x) : העודף שאקבל מ 100-ש"ח הוא פונקציה של מחיר הקנייה.z=g(y) : לכן ,העודף שאקבל מ 100 -ש"ח גם הוא פונקציה של משקל הגבינהz=g(f(x)) : .2אם f(x)=x2ו,g(y)=5y-1 - אז .f(g(y))=(5y-1)2 ,g(f(x))=5x2-1 6 אינטרוולים וסביבות דוגמאות הגדרות ותיאורים 1 ציר המספרים – קו ישר שמוגדרים עליו נקודת אפס וקטע יחידה. לכל נקודה על ציר המספרים אפשר למצוא את שיעור הנקודה ,ולכל מספר ממשי אפשר למצוא נקודה המתאימה לו על ציר המספרים. b a a 0 קטע יחידה אינטרוול סגור ][a, b הוא אוסף כל המספרים הגדולים מ a-או שווים לו וקטנים מ b-או שווים לו. כלומר ,כל הנקודות xהמקיימות .a≤ x≤ b .1האינטרוול ] [0, 1כולל את המספרים 1 ,0ואת כל 2 1 וכו'. המספרים שביניהם .למשל, ,0.32 : 3 2 .2האינטרוול ] [2, 1אינו כולל מספרים כלל )הקבוצה הריקה( כי אין מספרים הגדולים מ 2-וקטנים מ.1- אינטרוול פתוח ) (a, bהוא אוסף כל המספרים הגדולים מ a-וקטנים מ.b- כלומר ,כל הנקודות xהמקיימות .a<x<b .1האינטרוול ) (0, 1כולל את כל המספרים שבין 0 ו 1-ולא כולל 0ו.1- .2האינטרוול ) (2, 2אינו כולל מספרים )הקבוצה הריקה( כי אין מספרים הגדולים מ 2-וקטנים מ.2- b a b a אינטרוול חצי פתוח )חצי סגור( ](a, b a b ) ) ( [a, bהוא אוסף כל המספרים המקיימים .(a≤ x< b ) a<x≤b .1האינטרוול ] (-1, 2כולל את כל המספרים שבין -1ו 2-ולא כולל .-1 .2האינטרוול ) [1, 3כולל את כל המספרים שבין 1ו3- ולא כולל .3 7 דוגמאות הגדרות ותיאורים אינטרוולים אינסופיים ) (-∞, aכולל את כל המספרים x המקיימים . x<a ] (-∞, aכולל את כל המספרים x המקיימים . x≤ a )∞ (a,כולל את כל המספרים x המקיימים . x>a ) (-∞, 2כולל את כל המספרים xהמקיימים . x<2 ] (-∞, 5כולל את כל המספרים xהמקיימים . x≤ 5 )∞ (-1,כולל את כל המספרים xהמקיימים . x>-1 )∞ [0,כולל את כל המספרים xהמקיימים . x≥ 0 )∞ [a,כולל את כל המספרים :x . x≥ a סביבה של נקודה היא אינטרוול פתוח המכיל את הנקודה. האינטרוול ) (a- δ , a+ δנקרא -δסביבה של נקודה .aסביבה נקובה של נקודה היא סביבה של הנקודה ללא הנקודה עצמה. האינטרוול הפתוח ) (2, 5הוא סביבה של .3 האינטרוול הפתוח ) (a- δ , a+ δהוא -δסביבה של נקודה .a התחום ) (0.8, 1) U (1, 1.2הוא סביבה נקובה של נקודה :1 סביבה של אינסוף היא קבוצת כל המספרים הגדולים ממספר כלשהו.(m, ∞) : האינטרוול )∞ (3,הוא סביבה של אינסוף. סביבה של מינוס אינסוף היא קבוצת כל המספרים הקטנים ממספר כלשהו.(-∞,m) : האינטרוול ) (-∞, 1הוא סביבה של מינוס אינסוף. 8 מאפיינים של פונקציות לחקור פונקציה פירושו למצוא את כל המאפיינים שלה. הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות פונקציה ) f(xהיא פונקציה עולה מונוטונית בתחום מסוים ,Aאם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי )ערך הפונקציה( גדול יותר בטווח. פונקציה עולה בתחום לכל זוג ערכים של x בתחום אם מתקיים: אם ,x1> x2אז ).f(x1)>f(x2 פונקציה ) f(xהיא פונקציה יורדת מונוטונית בתחום מסוים ,Aאם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי )ערך הפונקציה( קטן יותר בטווח. פונקציה יורדת בתחום לכל זוג ערכים של x בתחום מתקיים: אם ,x1> x2אז )f(x1)<f(x2 פונקציה ) f(xעולה )יורדת( בנקודה מסוימת ,אם קיימת סביבה של הנקודה שבה הפונקציה עולה )יורדת(. פונקציה עולה )יורדת( בתחום מסוים אם ורק אם היא עולה )יורדת( בכל נקודה בתחום. אם הפונקציה עולה בתחום מסוים ,היא עולה בכל נקודה בתחום הזה. אם הפונקציה עולה בכל נקודה של תחום מסוים ,היא פונקציה עולה בתחום כולו. 9 צורה גראפית ודוגמאות פונקציה עולה בתחום מסוים אם הגרף שלה עולה בכיוון משמאל לימין. פונקציה יורדת בתחום מסוים אם הגרף שלה יורד בכיוון משמאל לימין. הפונקציה עולה בנקודה 2 ויורדת בנקודה .0 הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות צורה גראפית ודוגמאות .1לפונקציה ) f(xיש מקסימום מקומי בנקודה x1אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה x1גדול מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. x1נקראת נקודת מקסימום. .2לפונקציה ) f(xיש מינימום מקומי בנקודה x1אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה x1קטן מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. x1נקראת נקודת מינימום. x1היא נקודת מקסימום )נקודת מינימום( של הפונקציה ) f(xאם קיימת סביבה של הנקודה x1כך שלכל נקודה xבסביבה ,השונה מהנקודה x1ושייכת לתחום ההגדרה, מתקייםf(x1)<f(x) : )).(f(x1)>f(x לפונקציה הנתונה יש מקסימום מקומי בנקודה ) x= -3הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הגבוה ביותר בסביבה( .לפונקציה הנתונה יש מינימום מקומי בנקודה x=3 )הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הנמוך ביותר בסביבה(. נקודות מקסימום מקומי ונקודות מינימום מקומי של הפונקציה נקראות נקודות הקיצון שלה. בדרך כלל ,נקודת קיצון של פונקציה היא נקודה x1שבה משתנה האפיון של הפונקציה מפונקציה עולה לפונקציה יורדת או להפך. לפונקציה בסרטוט יש שלוש נקודות קיצון: שתי נקודות מינימום ונקודת מקסימום אחת. אם הערך של הפונקציה )f(x בנקודה x1גדול )קטן( מכל ערכי הפונקציה האחרים בתחום נתון, x1היא נקודת המקסימום המוחלט )נקודת המינימום המוחלט( בתחום הנתון. אם פונקציה ) f(xהיא פונקציה רציפה בתחום מסוים ,אז נקודת המקסימום )המינימום( המוחלט שלה בתחום הזה היא נקודת המקסימום )המינימום( המקומי או אחת מנקודות הקצה של התחום הנתון. הנקודה x=6שהיא נקודת קצה של 10 האינטרוול הנתון, והיא נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון )לנקודה x=6מתאימה הנקודה הכי גבוה של הגרף בתחום( .הנקודה ,x=4שהיא נקודת מינימום מקומי ,היא נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום) .לנקודה x=4מתאימה הנקודה הכי נמוכה של הגרף בתחום(. צורה סימבולית והערות צורה גראפית ודוגמאות נקודת אפס של פונקציה היא נקודה x1כזו שערך הפונקציה המתאים לה שווה לאפס.f(x1)=0 : כדי למצוא נקודות אפס של פונקציה ) f(xיש לפתור את המשוואה .f(x)= 0 בסרטוט x=1 ,היא נקודת אפס של הפונקציה הנתונה.f(1)=0 : נקודת אפס היא נקודת חיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה.X- תחום חיוביות )שליליות( של פונקציה הוא חלק מתחום ההגדרה של הפונקציה שבו כל ערכי הפונקציה חיוביים )שליליים(. כדי למצוא תחום חיוביות של פונקציה ) f(xיש לפתור את האי- שוויון .f(x)>0 כדי למצוא תחום שליליות של פונקציה ) f(xיש לפתור את האי- שוויון .f(x)< 0 בסרטוט מופיע הגרף של פונקציה נתונה באינטרוול ].[-2, 2 האינטרוול ) [-2, 1הוא תחום שליליות של הפונקציה )הגרף נמצא מתחת לציר ה.(X- פונקציה זוגית היא פונקציה שעבורה ) f(-x)=f(xלכל ערכי x בתחום ההגדרה שלה. פונקציה אי-זוגית היא פונקציה שעבורה ) f(-x)= -f(xלכל ערכי x בתחום ההגדרה שלה. בחקירה של פונקציה זוגית או אי-זוגית, אפשר לחקור את הפונקציה רק עבור x≥0 ולקבל אוטומטית את כל המאפיינים של הפונקציה עבור . x<0 הגדרות ותיאורים האינטרוול ] (1, 2הוא תחום חיוביות של הפונקציה )הגרף נמצא מעל לציר ה.(X- 11 גרף של פונקציה זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לציר ה.Y - גרף של פונקציה אי- זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לראשית הצירים. הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות צורה גראפית ודוגמאות פונקציה ) f(xנקראת פונקציה מחזורית אם קיים מספר p השונה מאפס כך שלכל x בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים.f(x+ p)=f(x) : המספר pנקרא מחזור הפונקציה. המחזור החיובי הקטן ביותר נקרא המחזור היסודי של הפונקציה. בחקירה של פונקציה מחזורית בעלת מחזור ,p אפשר לחקור אותה רק בתחום ] ,[0,pולקבל באופן אוטומטי את כל המאפיינים של הפונקציה עבור תחומים אחרים . בגרף של פונקציה מחזורית ,חלק של הגרף חוזר על עצמו אינסוף פעמים. אם קיימת סביבה של הנקודה x1 כך שמשיק לגרף הפונקציה )f(x בנקודה x1נמצא מתחת גרף הפונקציה בסביבה זו ,אומרים שהפונקציה ) f(xקמורה בנקודה .x1 אם קיימת סביבה של הנקודה x1 כך שמשיק לגרף הפונקציה )f(x בנקודה x1נמצא מעל גרף הפונקציה בסביבה זו ,אומרים שהפונקציה ) f(xקעורה בנקודה .x1 פונקציה היא קמורה בנקודה אם קצב השינוי שלה עולה בנקודה זו. הפונקציות הנתונות להלן הן קעורות בנקודות המסומנות. אם קיימת סביבה של הנקודה x1 כך שמשמאל )מימין( לנקודה, המשיק לגרף הפונקציה )f(x בנקודה x1נמצא מתחת לגרף, ומימין )משמאל( לנקודה המשיק נמצא מעל הגרף ,אז הנקודה נקראת נקודת פיתול של גרף הפונקציה. פונקציה היא קעורה בנקודה אם קצב השינוי שלה יורד בנקודה זו. בנקודת פיתול ,הפונקציה משתנה מפונקציה קמורה לקעורה או להפך. 12 הפונקציות הנתונות להלן הן קמורות בנקודות המסומנות. הנקודה x=2היא נקודת פיתול של הפונקציה המופיעה בסרטוט. פונקציה קווית פונקציה שניתן להציג אותה בצורה , f(x)=m·x+nכאשר mו n -הם פרמטרים ,נקראת פונקציה ליניארית )פונקציה קווית(. הגרף של פונקציה ליניארית הוא קו ישר. בפונקציה f(x)=mx+nהמקדם mנקרא השיפוע של גרף הפונקציה הליניארית. השיפוע mמציג את אופי הפונקציה )עולה או יורדת( ואת קצב ההשתנות שלה :ככל שערכו המוחלט של השיפוע גדול יותר ,קצב ההשתנות של הפונקציה גדול יותר. m>0 הקו הישר יוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה –.X m<0 הקו הישר יוצר זווית קהה עם הכיוון החיובי של ציר ה –.X m=0 הקו הישר מקביל לציר ה –.X בפונקציה f(x)=mx+nהמקדם nמגדיר את שיעור ה y -של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה.Y - כל קו ישר במערכת צירים שאינו מקביל לציר ה ,Y -מוגדר על ידי פונקציה ליניארית ,f(x)= m·x+nכאשר mהוא שיפוע הקו הישר ו n-הוא שיעור yשל נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- .Y קו ישר המקביל לציר ה Y -אפשר לתאר על ידי משוואה מהצורה ) x=aכאשר aהוא פרמטר( ,והוא אינו פונקציה ליניארית )כי לאותו ערך של xמתאימים ערכים רבים של .(y 13 הגרף אינו מתאר פונקציה: טבלת הערכים של פונקציה ליניארית בטבלת הערכים של פונקציה ליניארית אפשר לראות את השינוי של הפונקציה הליניארית: השינוי של הפונקציה שווה לשיפוע שלה כאשר משנים את ערך ה x -ביחידה. דוגמה :נתונה הפונקציה הליניארית ,f(x)=2x-3שהשיפוע שלה הוא .2 x y -2 -7 -1 -5 0 -3 4 5 5 7 בטבלת הערכים של הפונקציה אפשר לראות שבכל פעם שהערך של xגדל ב ,1-הערך של ) f(xגדל ב.2- מקרים מיוחדים כאשר בייצוג f(x)=mx+n כאשר בייצוג f(x)=mx+n כאשר בייצוג f(x)=mx+n ,n=0הקו הישר עובר דרך ,m=0הקו הישר מקביל לציר n=0וגם ,m=0הקו הישר ראשית הצירים. ה.X- מתלכד עם ציר ה.X- 14 דוגמאות של פונקציות ליניאריות בייצוגים שונים ייצוג אלגברי ערכי הפרמטרים ייצוג גרפי m=3, n=-5 f (x)=3x-5 השיפוע 3 טבלת ערכים x -2 -1 0 1 2 y -11 -8 -5 -2 1 הפרש 3בין ערכי y m=-2, n=-3 g (x)= -2x-3 השיפוע -2 x -2 -1 0 1 2 y 1 -1 -3 -5 -7 הפרש -2 בין ערכי y h (x)=6 m=0, n=6 השיפוע 0 p (x)=4x m=4, n=0 השיפוע 4 x -2 -1 0 1 2 y 6 6 6 6 6 yלא משתנה .הפרש 0בין ערכי y x -2 -1 0 1 2 y -8 -4 0 4 8 הפרש 4בין ערכי y 15 פונקציה ריבועית פונקציה שניתן להציג אותה בצורה , f(x)=ax2+bx+cכאשר a, b, cהם פרמטרים ו) a≠0-הצורה הפולינומית של הפונקציה( ,נקראת פונקציה ריבועית )פונקציה ממעלה שנייה(. הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה .בפרבולה קיימת תמיד נקודת מינימום או נקודת מקסימום. הנקודה הזאת נקראת קדקוד הפרבולה. שיעורי קדקוד הפרבולה הם: b b2 ,y =c− 2a 4a x=− שני חלקי הפרבולה היוצאים מהקדקוד נקראים ענפי הפרבולה. 16 השפעת מקדמי הפונקציה f(x)=ax2+bx+cעל הגרף הסימן של המקדם aמגדיר את כיוון הפרבולה: אם ,a>0קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום; אם ,a<0קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום. a<0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום a>0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום הערך המוחלט של המקדם a משפיע על קצב ההשתנות של הפונקציה )התלילות של ענפי הפרבולה(. |a|=0.2 |a|=1 קצב ההשתנות של הפונקציה הימנית גבוה מקצב ההשתנות של הפונקציה השמאלית. המקדם bמשפיע על מיקומו של קדקוד הפרבולה: שיעור ה x -של קדקוד הפרבולה b הוא .− 2a אם ,b=0גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה.Y- המקדם cשווה לשיעור ה y -של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה.y- אם ,c=0גרף הפונקציה עובר דרך ראשית הצירים. b=0 b=-3 a=2 b=2 a=1 הפרבולה סימטרית ביחס לציר הX - b <0 a b >0 a c=0 c>0 17 c<0 נקודות האפס של הפונקציה f(x)=ax2+bx+cוהחיתוך של הפרבולה עם ציר הX- מספר נקודות האפס של פונקציה ריבועית תלוי בסימן הביטוי .b2-4acהביטוי נקרא דיסקרימיננטה והוא מסומן ב.∆- אם ,∆>0לפונקציה יש שתי נקודות אפס. הפרבולה חותכת את ציר ה X-בשתי נקודות . אם ,∆<0לפונקציה אין נקודות אפס. הפרבולה אינה חותכת את ציר ה.X- אם ,∆=0לפונקציה יש נקודת אפס אחת. הפרבולה משיקה לציר ה.X- a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0 תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)=ax2+bx+c b עבור ,a>0הפונקציה יורדת בתחום ) 2a b ועולה בתחום )∞ . (− , 2a b −היא נקודת מינימום. 2a (−∞,− b עבור ,a<0הפונקציה עולה בתחום ) 2a b ויורדת בתחום )∞ . (− , 2a b −היא נקודת מקסימום. 2a (−∞,− צורות ייצוג נוספות של פונקציה ריבועית הצורה הקדקודית .f(x)=a(x-v)2+p :בייצוג זה (v ,p) ,הם שיעורי קדקוד הפרבולה. אם לפונקציה הריבועית יש שתי נקודות אפס rו ,s-אפשר להציג אותה גם בצורת המכפלה: ). f(x)=a(x-r)(x-s 18 פונקצית החזקה פונקצית החזקה היא פונקציה מהצורה ,f(x)=xnכאשר nהוא מספר טבעי קבוע. צורת הגרף והמאפיינים של פונקציית חזקה תלויים בחזקה .n קיימים שני מקרים: n .1אם nהוא מספר זוגי ,הפונקציה f(x)=xהיא פונקציה זוגית והטווח שלה הוא )∞ .[0,כל ערכי הפונקציה הם מספרים לא שליליים. לכל פונקציה מהסוג הזה יש מינימום בנקודה ).(0, 0 גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה.Y- .2אם nהוא מספר אי-זוגי ,הפונקציה f(x)=xnהיא פונקציה אי -זוגית והטווח שלה הוא )∞ .(-∞,הפונקציה מקבלת את כל הערכים הממשיים. כל פונקציה מהסוג זה עולה מונוטונית בכל התחום. גרף הפונקציה הוא בעל סימטריה סיבובית ביחס לראשית הצירים. 19 פונקציית פולינום פונקציית פולינום היא פונקציה מהצורה f(x)=a0xn+a1xn-1+…+anכאשר a0, a1,…anהם מספרים כלשהם. תחום ההגדרה של כל פונקציות הפולינום הוא כל המספרים הממשיים.(-∞, ∞) : הטווח של פונקציית פולינום ממעלה זוגי הוא אינטרוול אינסופי חצי פתוח [a, ∞) :או ]. (−∞, b הטווח של פונקציית פולינום ממעלה אי-זוגי הוא קבוצה של כל המספרים הממשיים. (−∞, ∞) : כל פונקציית פולינום היא רציפה בכל התחום. לפולינום ממעלה nיכולות להיות לכל היותר ) (n-1נקודות קיצון )נקודות מקסימום או מינימום(. לגרף של פונקציית פולינום אין אסימפטוטות. לחקירת פונקציית הפולינום נוח להשתמש בנגזרת. להלן דוגמאות של שלוש פונקציות פולינום: x4 − 5x2 שלוש נקודות קיצון הטווח מוגבל מצד אחד 6x − x 3 − 2 שתי נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים 20 x3 + 2 x אין נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים פונקציית מנה ) p( x פונקציית מנה )פונקציה רציונאלית( היא פונקציה מהצורה ) q( x = ) f ( xכאשר ) p(xו q(x) -הם פולינומים. תחום ההגדרה של פונקציית מנה הוא כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים שמאפסים את המכנה ). q(x כל נקודות האפס של המכנה הן גם נקודות אי-רציפות של פונקציית המנה .במקרה כזה הגרף של פונקציית המנה מורכב מכמה ענפים. בכל נקודת אפס של המכנה שהמונה בה שונה מאפס ,לגרף פונקציית המנה יש אסימפטוטה אנכית. אם מעלת המונה קטנה או שווה למעלת המכנה ,לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה אופקית. אם מעלת המונה גדולה באחד ממעלת המכנה ,לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה משופעת. לחקירת פונקציה המנה יש להשתמש בנגזרת ובאסימפטוטות. להלן שלוש דוגמאות של פונקציית מנה: x 2 x +1 אסימפטוטה אופקית-ציר X פונקציה רצופה טווח מוגבל x2 x2 x2 −1 שתי אסימפטוטות אנכיות טווח אינסופי משני הצדדים שלושה ענפים 21 x2 + 2 אסימפטוטה אחת אנכית ואחת משופעת טווח אינסופי משני הצדדים שני ענפים פונקציית הערך המוחלט פונקציית הערך המוחלט מוגדרת על ידי |. f(x)=|x הגרף של הפונקציה מורכב משתי קרניים שראשן בראשית הצירים. הערך המינימאלי של הפונקציה הוא אפס. בתחום ,x<0הפונקציה יורדת. בתחום ,x>0הפונקציה עולה. ⎧1, x > 0 הנגזרת של הפונקציה נתונה על ידי : ⎨ = ) f ′( x ⎩− 1, x < 0 בנקודה ,x=0לפונקציית הערך המוחלט אין נגזרת. פונקציית הערך המוחלט של פונקציה כלשהי הפונקציה |) , y= |f(xפונקציית הערך המוחלט של הפונקציה ) ,f(xהיא פונקציה לא שלילית בכל התחום ⎧f ( x ), f(x) ≥ 0 ⎨ = )f (x ומקיימת: ⎩− f ( x ), f(x) < 0 ולכן ,כדי לקבל את גרף הפונקציה |) ,y=|f(xיש לשקף ביחס לציר ה X-את חלקי הגרף של הפונקציה ) y=f(xהנמצאים מתחת לציר ה.X- דוגמאות: y = x − 2x y = 4−x y = log 2 x y = x2 − 2x y = 4−x y = log 2 x 2 22 פונקציות טריגונומטריות הפונקציה f(x)=sin x תחום הפונקציה :כל המספרים הממשיים )∞ .(-∞, טווח הפונקציה . [-1, 1] :לכל ערכי .-1≤sin x≤1 , x פונקציה אי זוגית sin(-x)=-sin x :לכל ערכי .xגרף הפונקציה הוא בעל סימטרייה סיבובית ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של sin(x+2π)=sin x :2πלכל ערכי .x נקודות אפס :לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן ,x=πnכאשר nהוא מספר שלם. תחומי חיוביות , [2πn, π(2n+1)] :כאשר nמספר שלם. תחומי שליליות ,[π(2n-1), 2πn] :כאשר nמספר שלם. π נקודות מקסימום , ( + 2πn , 1) :כאשר nמספר שלם. 2 π נקודות מינימום , (− + 2πn , − 1) :כאשר nמספר שלם. 2 π π תחומי עלייה+ 2πn , + 2πn ) : 2 2 π 3π תחומי ירידה , ( + 2πn , + 2πn ) :כאשר nמספר שלם. 2 2 , (−כאשר nמספר שלם. גרף הפונקציה f(x)=sin x הפונקציה f(x)=cos x תחום הפונקציה :כל המספרים הממשיים )∞ .(-∞, טווח הפונקציה . [-1, 1] :לכל ערכי .-1≤cos x≤1 , x פונקציה זוגית cos (-x)=cos x :לכל ערכי . xגרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה.Y- פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של cos(x+2π)=cos x :2πלכל ערכי .x π נקודות אפס :לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן , x = + πnכאשר nמספר שלם. 2 π π תחומי חיוביות+ 2πn, + 2πn ) : 2 2 π 3π תחומי שליליות , ( + 2πn , + 2πn ) :כאשר nמספר שלם. 2 2 , (−כאשר nמספר שלם. נקודות מקסימום , (2πn , 1) :כאשר nמספר שלם. נקודות מינימום (π(2n − 1), - 1) , :כאשר nמספר שלם. תחומי עלייה ,[π(2n-1), 2πn] :כאשר nמספר שלם. תחומי ירידה ,[2πn, π(2n+1)] :כאשר nמספר שלם. גרף הפונקציה f(x)=cos x 23 הפונקציה f(x)=tan x π תחום הפונקציה :כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים מהצורה + πn 2 טווח הפונקציה. (-∞, ∞) : פונקציה אי זוגית tan (-x)=-tan x :לכל ערכי . xגרף הפונקציה סימטרי ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של tan(x+π)=tan x :πלכל ערכי .x נקודות אפס :לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן , x = πnכאשר nמספר שלם. = .x π תחומי חיוביות+ 2πn ) : 2 , (πn,כאשר nמספר שלם. π תחומי שליליות+ πn , πn ) : 2 , (−כאשר nמספר שלם. לפונקציה אין נקודות מקסימום או מינימום. π π פונקציה רציפה בכל תחום ) + πn , + πn 2 2 , (− כאשר nמספר שלם. π פונקציה עולה בכל תחום ) + πn 2 π 2 גרף הפונקציה f(x)=tan x , (− + πn , כאשר nמספר שלם. 24 הפונקציה המעריכית פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה , f ( x ) = a xכאשר aהוא מספר חיובי השונה מ.1- הגרף של כל פונקציה מעריכית עובר דרך הנקודה ).(0, 1 אם ,a>1הפונקציה axעולה מונוטונית בכל התחום. אם ,a<1הפונקציה axיורדת מונוטונית בכל התחום. a>1 a<1 הפונקציה יורדת הפונקציה עולה תחום ההגדרה של כל הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים הממשיים.(-∞, ∞) : טווח הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים החיובים.(0, ∞) : הפונקציה הלוגריתמית הפונקציה הלוגריתמית היא פונקציה מהצורה , f ( x ) = log a xכאשר הבסיס aהוא מספר חיובי השונה מ.1- הפונקציה log a xהיא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית .ax תחום ההגדרה של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים החיובים. (0, ∞) : הטווח של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים הממשיים.(-∞, ∞) : הגרפים של כל הפונקציות הלוגריתמיות עוברים דרך הנקודה ).(1, 0 אם ,a>1הפונקציה log a x עולה מונוטונית בכל התחום. אם ,a<1הפונקציה log a x יורדת מונוטונית בכל התחום. a>1 a<1 הפונקציה עולה הפונקציה יורדת 25 משפחות של פונקציות הגדרות ותיאורים אוסף של פונקציות בעלות תכונה משותפת כלשהי נקרא משפחה של פונקציות. אחת הדרכים ליצור משפחה של פונקציות היא ביצוע שינויים גרפיים )הזזות ,מתיחות ,וכדומה( על הגרף של פונקציה מסוימת. דוגמאות המשפחה התקבלה על ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה . f(x)=x2 המשפחה התקבלה על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה .f(x)=x2 בייצוג אלגברי של משפחה של פונקציות מופיעים פרמטר אחד או כמה פרמטרים .לייצוג כזה קוראים ייצוג פרמטרי של המשפחה. .1נתונה משפחת הפונקציות m ) f(x)=mx-2nו n-הם שני פרמטרים . לדוגמה ,הפונקציות f(x)=-3x-26 , f(x)=4x-6שייכות למשפחה. כל הפונקציות במשפחה הן פונקציות קוויות. ⎧ax, x ≥ 2 ⎨ = )f (x .2נתונה משפחת הפונקציות ⎩a − x , x < 2 ) aהוא פרמטר(. ⎧− 2 x , x ≥ 2 ⎨ = ) f ( xשייכת לדוגמה ,הפונקציה ⎩− 2 − x , x < 2 למשפחה. .3נתונה משפחת הפונקציות הריבועיות g(x)=ax2+bx+c )באמצעות שלושה פרמטרים b ,aו.(c- 2 לדוגמה ,הפונקציות f(x)=- x +3x+4 , f(x)=x2-1שייכות למשפחה. אפשר להגדיר משפחה של פונקציות על ידי התכונה המשותפת לכל הפונקציות במשפחה. .1משפחה של פונקציות זוגיות. .2משפחה של פונקציות עולות בתחום ].[0, 1 .3משפחה של פונקציות ליניאריות העוברות דרך הנקודה ).(1, 1 26 דוגמאות נוספות של משפחות של פונקציות בייצוגים שונים ייצוג פרמטרי ייצוג גרפי תכונות המשפחה f(x)=kx - kפרמטר המשפחה התקבלה על ידי סיבוב גרף הפונקציה f(x)=x סביב ראשית הצירים. ערכי הפונקציות פרופורציוניים לערכי המשתנה הבלתי-תלוי : כל פונקציה fהשייכת למשפחה f (x 1 ) x 1 = מקיימת: f (x 2 ) x 2 g(x)=ax2+b aו - b-פרמטרים המשפחה התקבלה על ידי מתיחה והזזה אנכית של גרף הפונקציה .f(x)=x2 משפחת כל הפונקציות הריבועיות הזוגיות. f(x)=m-x - mפרמטר המשפחה התקבלה על ידי הזזה של גרף הפונקציה f(x)=-x משפחה של פונקציות ליניאריות בעלות שיפוע .-1 27 הקשר בין שינוי הגרף של הפונקציה לבין שינוי הביטוי האלגברי של הפונקציה כאשר נתונים הגרף והביטוי האלגברי של פונקציה ,כל שינוי של הגרף גורם לשינוי מסוים של הביטוי האלגברי ,ולהפך ,כל שינוי של הביטוי האלגברי גורם לשינוי מסוים של הגרף .בטבלה שלהלן מוצגות טרנספורמציות המבוצעות על גרף של פונקציה והשינוי המתאים בביטוי האלגברי. טרנספורמציות של הגרף שינוי הביטוי האלגברי דוגמאות על ידי הזזה של גרף הפונקציה f(x)=x2ב 2-יחידות ימינה על הציר האופקי ,מקבלים את הגרף של הפונקציה .g(x)=(x-2)2 הזזה אופקית ב a-יחידות )f(x-a הזזה אנכית ב a- יחידות f(x)+a מתיחה אופקית בגורם מתיחה .k x ) (f k מתיחה אנכית בגורם מתיחה .k )k•f(x על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה f(x)=x2בגורם ,3מקבלים את ה גרף של הפונקציה .g(x)=3x2 שיקוף בציר הX- )-f(x על ידי שיקוף גרף הפונקציה f(x)=x2 בציר ה, X -מקבלים את הגרף של הפונקציה . g(x)=-x2 על ידי הזזה של גרף הפונקציה f(x)=x2ב 4-יחידות מעלה על הציר האנכי ,מקבלים את הגרף של הפונקציה .h(x)=x2+4 על ידי מתיחה אופקית של גרף 1 2 הפונקציה f(x)=xבגורם 2 , מקבלים את הגרף של הפונקציה 2 )h(x)=(2x 28 שינוי טרנספורמציות הביטוי של הגרף האלגברי שיקוף בציר הY- )f(-x שיקוף בראשית הצירים )-f(-x דוגמאות על ידי שיקוף גרף הפונקציה f(x)=x2בציר ה ,Y-מקבלים את הגרף של הפונקציה .g(x)=(-x)2 מאחר ש ,(-x)2=x2מתקבל גרף זהה לגרף של .f(x)=x2 על ידי שיקוף גרף הפונקציה f(x)=x2- 2x+2בראשית הצירים ,מקבלים את הגרף של הפונקציה ]. g(x)=-[(-x)2-2(-x)+2 29 גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה הגדרות ותיאורים הגדרה כללית )אינטואיטיבית( דוגמה .1כאשר xשואף ל 2-אז הפונקציה המספר aהוא גבול של הפונקציה בנקודה : x1 f(x)=x2-1שואפת ל22-1=3 - lim f ( x) = a x→x1 דוגמאות וגרפים אם כאשר xשואף ל x1-אז ) f(xשואפת דוגמה .2כאשר xשואף ל 1-אז הפונקציה שואפת ל 1+1=2 -כי x 2 − 1 x2 − 1 = )f (x x −1 x −1 ל.a- הערה .ההגדרה הזאת אינה מדויקת כי המילה "שואף" דורשת פרוש. שווה לx + 1 - ההגדרה המדויקת של גבול בנקודה המספר aהוא גבול של הפונקציה ) f(xבנקודה x1אם עבור כל מספר חיובי εקיים מספר חיובי δכך ש :לכל מספר xשעבורו 0<|x-x1|<δאז מתקיים ש |f(x)- .a|<ε ניסוח אחר:מספר aהוא גבול של הפונקציה ) f(xבנקודה בכל נקודה חוץ מ.x=1- 2x 2 + x =1 x . x →0 דוגמה .יש להוכיח כי lim )2x 2 + x x( 2x + 1 = = 2x + 1 פתרון .בכל xחוץ מx = 0 - x x x1אם עבור כל סביבה של aקיימת סביבה נקובה )סביבה ε =δ של הנקודה ללא הנקודה עצמה(. תהי נתון מספר ε > 0ניקח 2 . של x1כך ש :לכל מספר xהשייך לסביבה הנקובה של ε נקודה f(x) x1שייך לסביבה של הנקודה : aאם = x−0 < δ ( 2x + 1) − 1 < ε 2x < ε 2 . כלומר אז אם ) ( x ≠ x 1 ) x ∈ ( x1 − δ , x1 + δ אז ) f ( x) ∈ (a − ε , a + ε מ.צ.ל. שימו לב! גבול של הפונקציה בנקודה לא תלוי בערך הפונקציה בנקודה עצמה מכיוון שבהגדרת הגבול מופיעה סביבה נקובה של הנקודה. גבולות באינסוף המספר aהוא גבול של הפונקציה ) f(xכאשר xשואף לאינסוף lim f ( x) = a ∞→x אם עבור כל מספר חיובי εקיים מספר כלשהו Mכך שאם x>Mאז מתקיים גם |f(x)-a|<ε . המספר aהוא גבול של הפונקציה ) f(xכאשר xשואף למינוס אינסוף lim f ( x) = a lim f ( x) = a lim f ( x) = a ∞x → − ∞→ x אם עבור כל מספר חיובי εקיים מספר כלשהו Nכך 1 דוגמה= 0 . x →∞ x שאם x<Nאז גם .|f(x)-a|<ε )המכנה הולך וגדל לאינסוף ולכן השבר הולך וקטן ושואף ל.(0 - ∞x→− lim 30 גבולות אינסופיים הפונקציה ) f(xבנקודה x1שואפת לאינסוף ∞ = ) lim f ( xאם עבור כל מספר Mקיים מספר x→x1 חיובי δכך שאם |x-x1|<δאז .f(x)>M הפונקציה ) f(xבנקודה x1שואף למינוס אינסוף: ∞lim f ( x) = − x→x1 1 דוגמה = ∞ .1 x →0 x x+2 דוגמה = ∞ .2 lim x→2 x − 2 − x2 דוגמה = −∞ .3 lim x → −1 x + 1 lim אם עבור כל מספר Nקיים מספר חיובי δכך שאם |x- x1|<δאז .f(x)<N גבולות חד צדדיות המספר aהוא גבול חד צדדי ימני של הפונקציה )f(x בנקודה lim f ( x) = a :x1 x → x1+ אם כאשר xשואף ל x1-מימין אז ) f(xשואפת ל.a- כלומר ,המספר aהוא גבול ימני של הפונקציה )f(x בנקודה x1אם עבור כל מספר חיובי εקיים מספר חיובי δכך ש :לכל מספר xשעבורו 0< x- x1<δיהיה |f(x)- a|<εאו בניסוח אחר :אם ) x ∈ ( x1 , x1 + δ אז ) f ( x ) ∈ ( a − ε , a + ε המספר aהוא גבול חד צדדי שמאלי של הפונקציה )f(x בנקודה lim− f ( x) = a :x1אם כאשר xשואף לx1- x → x1 משמאל אז ) f(xשואפת ל.a- כלומר ,המספר aהוא גבול משמאל של הפונקציה )f(x בנקודה x1אם עבור כל מספר חיובי εקיים מספר חיובי δ כך ש :לכל מספר xשעבורו 0<x1-x<δיהיה |f(x)-a|<ε או בניסוח אחר x ∈ ( x1 − δ , x1 ) :גורר ) f ( x) ∈ (a − ε , a + εאם בנקודה כלשהי לפונקציה קיימים שני גבולות חד צדדיות אבל הם לא שווים : ) lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( xאז גרף הפונקציה מתפצל x → x1 x → x1 לענפים נפרדים. רציפות של הפונקציה תהי פונקציה ) f(xמוגדרת בסביבת הנקודה . x1אם קיים גבול של הפונקציה בנקודה x1השווה לערכה של הפונקציה בנקודה)כלומר( lim f ( x) = f ( x1 ) , x → x1 אז אומרים כי הפונקציה ) f(xרציפה בנקודה ..x1 פונקציה רציפה בתחום אם היא רציפה בכל נקודה בתחום זה. אם פונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה אז אומרים כי הפונקציה רציפה. כל הפונקציות :פולינומים ,פונקציות שבר ,פונקציות טריגונומטריות ,פונקציות מערכיות ולוגריתמיות רציפות בכל אינטרוול השייך לתחום ההגדרה שלהן. כל פונקציה רציונאלית רציפה בכל נקודה חוץ מנקודות אפס של המכנה. דוגמה .לפונקציה 2x 2 x −1 = ) f ( xיש שתי נקודות אי-רציפות: .x2= -1 ,x1=1זאת אומרת שגרף הפונקציה מתפצל לשלושה חלקים. 31 גרף של פונקציה רציפה ניראה כקו שלם ,ללא קפיצות. בנקודות אי-רציפות גרף הפונקציה מתפצל לחלקים נפרדים. חישוב גבולות גבולות בסיסיים .1תהיינה ) f ( xפונקציה רציפה בנקודה x 1אז ) . lim f ( x ) = f ( x 1 x → x1 a = 0 .2 x →∞ x n limכאשר aו n-הם פרמטרים. n>0 , sin x =1 x lim x →0 .3גבול הטריגונומטרי הבסיסי: .4גבולות מערכיים או לוגריתמיים בסיסיים: א. e x −1 = 1, x →0 x e , limהוא מספר קבוע .e=2.71828… : 1 x )x lim ( 1 + ב. =e ג. )ln( x + 1 =1 x x →0 lim x →0 חוקי הגבולות תהיינה ) f(xו g(x)-שתי פונקציות המקיימות lim f ( x) = L, :וגם x → x1 : xlim g ( x) = K →x 1 .1 . lim ( f ( x) + g ( x)) = L + K .2 lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) = L ⋅ K .3 f ( x) L = g ( x) K .4 )lim f [ g ( x)] = lim f ( x x → x1 x → x1 limבתנאי כי K≠0 x → x1 x → x1 x→ K 32 חישוב גבול בנקודה: נתאר חישוב של גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה וחישוב של גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה. גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה: גבול בנקודה של פונקציה הרציפה בנקודה שווה לערך של הפונקציה. דוגמה: x+5 x + 5 −2 + 5 = limכי הפונקציה =3 x → −2 x + 3 −2+3 x+3 = ) f ( xמוגדרת ורציפה בנקודה .x= -2 גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה: יש כמה שיטות למציאת הגבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה זו. גבול של פונקציה רציונאלית )פונקצית שבר( בנקודה שבה המכנה שווה לאפס. (1במקרה שהמונה לא שווה לאפס ,הגבול לא קיים או שווה ל ∞.± דוגמאות: ∞= 1 x2 ∞= − lim x →0 x−2 2 )x lim x →1 (1 − 1 x limלא קיים )קיימים גבולות x →0 חד צדדים(. (2במקרה שגם המונה וגם המכנה שווים לאפס בנקודה יש לצמצם את השבר בגורם השווה לאפס בנקודה. דוגמה 1 )( x − 2)( x + 2 x2 − 4 x+2 = lim = lim x→2 3 )3 x − 6 x → 2 3( x − 2 lim x→2 אחרי הצמצום קבלנו את הפונקציה הרציפה בנקודה x=2אז הגבול שווה לערך הפונקציה בנקודה :x=2 1 x+2 2+2 = =1 3 3 3 . lim x→2 דוגמה 2 )( x + 2 − 1)( x + 2 + 1 1 1 1 x + 2 −1 x + 2 −1 = lim = lim = lim = = x → −1 )x → −1 ( x + 1)( x + 2 + 1 x → −1 x + 2 + 1 1 + 1 2 x +1 )( x + 1)( x + 2 + 1 33 lim x → −1 (3גבולות של פונקציות טריגונומטריות בחישוב גבולות טריגונומטריות )בנקודות אי רציפות של הפונקציה הנתונה( משתמשים בגבול הטריגונומטרי sin x הבסיסי= 1 : x . lim x →0 )sin f ( x מהגבול הזה נגזר הגבול הבא= 1 : x→a )f ( x limבתנאי ש f(x) -היא פונקציה רציפה בנקודה aו.f(a)=0- בחישוב גבולות טריגונומטריות )בנקודות אי רציפות של הפונקציה הנתונה( משתמשים בגבול הטריגונומטרי )sin f ( x sin x limומאז = 1 הבסיסי= 1 : x → 0 x )f ( x limבתנאי ש f(x) -היא פונקציה רציפה בנקודה aו.f(a)=0- x→a דוגמה .1 sin 2 x sin 2 x 5x 2 2 2 ( = lim × = ×× ) = 1× 1 x →0 sin 5 x x →0 2x sin 5 x 5 5 5 lim דוגמה .2 tan x sin x sin x 1 1 ) = 1× = 1 = lim ( = lim × x →0 x x →0 x × cos x x →0 cos x 1 x lim דוגמה .3 π sin( x − ) 4 = 1 ×1 = 1 π 2 2 x− 4 ) π sin( x − ) π sin( x − 4 = lim 4 = 1 lim π π π 2 x→ π →x 2x − ) 4 2( x − 4 2 4 lim π 4 כי אם →x π π 4 4 → xאז . ( x − ) → 0 (4גבולות מערכיים ולוגריתמיים. בחישוב גבולות מערכיים ולוגריתמיים )בנקודות אי רציפות של הפונקציה הנתונה( משתמשים בגבולות המעריכים או הלוגריתמיים הבסיסיים )ר' לעיל(: דוגמה: 3 ⎤ 1 ⎡ = lim ⎢(1 + 3 x) 3 x ⎥ = e 3 ⎢ 3 x →0 ⎦⎥ ⎣ 1 lim (1 + 3x) x x →0 . חישוב גבול באינסוף בחיפוש גבול של שבר באינסוף יש לחלק גם את המונה וגם את המכנה של השבר ב xn -כאשר nהוא החזקה הגדולה ביותר של xהמופיעה בשבר ואחר כך להיעזר ב= 0 - 1 xn limעבור כל nטבעי . ∞→ x דוגמאות .1 1− 3 / x 1− 0 1 = = ∞→ x 2 2 2 = lim .2 0+0 =0 1− 0 .3 0 −1 −1 = 0+0 0 = 3 / x2 + 2 / x3 3 = 1 −1 / x 4 / x 2 −1 3 1/ x +1/ x x 2 / x 2 − 3x / x 2 2 ∞→ x = lim 3x / x 3 + 2 / x 3 3 3 3 x / x −1 / x 3 2 ∞→ x x / x +1/ x 34 2x = lim 4x / x 3 − x 3 / x 3 3 2 ∞→x 2x / x = lim ∞→ x 2 = lim x 2 − 3x ∞→ x 3x + 2 3 x −1 = lim ∞→ x lim lim ∞→ x 4x − x 3 2 x +1 limהגבול לא קיים. ∞→ x אסימפטוטות לגרף של פונקציה אסימפטוטה לגרף של פונקציה היא קו ישר שהגרף שואף אליו. ישנם כמה סוגים שונים של אסימפטוטות. הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות קו ישר y=aשגרף הפונקציה ) y=f(xשואף אליו כאשר xשואף לאינסוף )או למינוס אינסוף( ,נקרא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה. קו ישר y= mx +n שגרף הפונקציה )y=f(x שואף אליו כאשר x שואף לאינסוף )או למינוס אינסוף( ,נקרא אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה )y=f(x ) .ההפרש בין )f(x לבין הפונקציה הליניארית mx+ n שואף ל.( 0- הערה :אסימפטוטה אופקית היא מקרה מיוחד של אסימפטוטה משופעת שבו .m=0 צורה גראפית אם lim f ( x ) = aאו ∞→ x lim f ( x ) = aאז הישר ∞x → − y=aהוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה ). y=f(x הישר y=2הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה )f(x ציר ה X-הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה )g(x אם lim [f (x ) − (mx + n )] = 0 ∞→ x או lim [f ( x ) − (mx + n )] = 0 ∞x → − אז הישר y= mx+nהוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה ).y=f(x כדי למצוא אסימפטוטה אופקית ,יש למצוא תחילה את ) ) m = lim f ( xאם x ∞→ x הגבול קיים( ,ואחר כך את ) n = lim (f ( x ) − mx ∞→ x גרפים של הפונקציות שואפים באין סוף לקו ישר גרף הפונקצה שואף לקו ישר באין סוף ובמינוס אינסוף קו הישר x=aשגרף הפונקציה ) y=f(xשואף אליו נקרא אסימפטוטה ∞, limf (x) = − אנכית לגרף הפונקציה x→a )y=f(x אז הקו הישר x=aהוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה ). y=f(x בדרך כלל a ,היא נקודה שאינה נמצאת בתחום ההגדרה של הפונקציה. דוגמאות .1מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציות הנתונות. אם x א. x−2 ∞ = ) lim f ( xאו x →a = ) . g(x 1 פתרון= = 1 : 1 1 2 1− x x = lim ∞→ x − 2 x האסימפטוטה היא .y=1 . lim ∞→ x האסימפטוטה היא .y=1 35 ב. 2x 2 x +1 = ). f (x 0 פתרון= 0 : 1 2 x = 1 x2 1+ = lim ∞→ x 2x 2 x +1 האסימפטוטה היא ציר ה.X- . lim ∞→ x האסימפטוטה היא ) y=0ציר ה.(X- x2 ג. x+2 = ) . h(x אין אסימפטוטות אופקיות. x2 1 1 = lim פתרון= = ∞ : 2 x →∞ x + 2 x →∞ 1 0 + x x2 . lim לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית. .2מצאו את כל האסימפטוטות של גרף הפונקציה x2 x−2 = ). f (x פתרון :אסימפטוטות אופקיות הן מקרה מיוחד של אסימפטוטות משופעות ,ולכן ,אם ,צריך למצוא את כל האסימפטוטות ,כמו בדוגמה הזאת ,לא כדאי לחפש בנפרד אסימפטוטות אופקיות ,אלא כדאי לחפש משוואה של אסימפטוטה משופעת: x2 2 x2 1 )f (x = lim 2 = lim 2 x = =1 m = lim x →∞ x − 2x x →∞ x x →∞ x − 2x 1− 0 x2 )− x (x − 2 2x 2 2 = lim = lim = = 2 x→∞ x − 2 x→∞ 1 − 2 / x x−2 1− 0 2 x x2 − x ) = lim ∞→x x−2 ( n = lim ( f ( x ) − mx ) = lim ∞→x ∞→x מכאן שמשוואת האסימפטוטה המשופעת היא .y=x+2 כדי למצוא אסימפטוטה אנכית נבדוק אם הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודות שבהן היא אינה מוגדרת. x2 4 . lim f ( x ) = lim כלומר ,בנקודה = = ∞ .x=2 x →2 x →2 x − 2 0 מכאן שהישר x=2הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה ).f(x 36 נגזרת של פונקציה דוגמאות וגרפים הגדרות ותיאורים הגדרת הנגזרת בנקודה תהי ) f(xהיא פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה .x1 הנגזרת של הפונקציה ) f(xבנקודה x1היא הגבול ) f (x 1 + h ) − f (x 1 limבתנאי שהוא קיים. h →0 h הנגזרת בנקודה מסומנת ).f '(x1 לעיתים היא נקראת המספר הנגזר ואומרים שהפונקציה ) f(xגזירה בנקודה .x1 דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה f(x)=x2בנקודה .x=1 פתרון: (1 + h ) 2 − 12 2h + h 2 = lim = h →0 h →0 h h ) h (2 + h = lim = lim(2 + h ) = 2 h →0 h →0 h f ′(1) = lim לכן הנגזרת של הפונקציה f(x)=x2 בנקודה x=1שווה ל.2- הפונקציה הנגזרת דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הפונקציה ערכי הנגזרת בכל הנקודות שעבורם הפונקציה ) f(xגזירה ,הנגזרת של הפונקציה .f(x)=x2 פתרון: מרכבים פונקציה חדשה ) f '(xשהיא הפונקציה הנגזרת של (x + h) − x2 )f (x + h) − f (x = lim = f ′(x) = lim h→0 h→0 הפונקציה )) f(xהנגזרת הראשונה(. h h 2 )h(2x + h 2xh+ h )f (x + h) − f (x = lim = lim = lim(2x + h) = 2x . f ′(x) = lim ולכן: h→0 h → 0 h→0 h h h →0 2 h כלומר ,הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ,f(x)=x2היא .2x 2 כותבים כך.f '(x )=2x : נגזרת מסדר גבוה הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ) f '(xנקראת הנגזרת )(2 השנייה של הפונקציה ) .f(xמסומנת ) f ''(xאו ).f (x הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ) f ''(xנקראת הנגזרת )(3 השלישית של הפונקציה ) .f(xמסומנת ) f '''(xאו ).f (x אפשר להגדיר הנגזרת מסדר גבוה באופן כללי: f ( n +1) ( x ) = (f ( n ) ( x ))′כאשר nמספר טבעי. המשמעות של הנגזרת בנקודה סימן הנגזרת של הפונקציה בנקודה מאפיין את הכיוון השינוי של הפונקציה בנקודה: בנקודות שבהן הנגזרת חיובי – הפונקציה עולה ,בנקודות שבהן הנגזרת שלילי -הפונקציה יורדת. 37 דוגמה .מצאו את הנגזרת השנייה ואת הנגזרת השלישית של הפונקציה f(x)=x3-4x פתרון מוצאים קודם את הנגזרת הראשונה: f ′( x ) = 3x 2 − 4 הנגזרת השנייהf ′′( x ) = (f ′( x ))′ = 6x : הנגזרת השלישיתf ′′′( x ) = ( f ′′( x ))′ = 6 : ערך המוחלט של נגזרת הפונקציה בנקודה מאפיין את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה. בנקודות 2ו 5-הפונקציה עולה ,ערכי הנגזרת חיובים. קצב השינוי של הפונקציה בנקודה x=2 יותר גבוה מקצב השינוי בנקודה . x=5 בנקודה x=0הפונקציה יורדת ,ערך הנגזרת הוא מספר שלילי . המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת. ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה שווה לשיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הזו. f ′( x 1 ) = m = tan α כאשר mהוא שיפוע המשיק וά- הזווית בין המשיק ובין הכיוון החיובי של ציר הX- טבלה של נגזרות בסיסיות פונקציה )f(x ) Cמספר קבוע( פונקציה נגזרת )f '(x 0 sin x xn n ⋅ x n −1 cos x -sin x k m −1 x m tan x 1 cos 2 x 1 cot x xk m x k פונקציה )f(x פונקציה נגזרת )f '(x cos x 2 x 1 sin 2 x − log a x 1 x ⋅ ln a arcsin x ln x 1 x arccos x ax a x ⋅ ln a arctan x 1 1+ x2 ex ex arccot x 1 − 1+ x2 1 1− x2 1 2 38 1− x − חוקי הגזירה משפטים צורה סימבולית = (f ( x ) ± g ( x )) ′ ) = f ′( x ) ± g ′( x הנגזרת של סכום )הפרש( של שתי פונקציות הנגזרת של פונקציה המכפלת במספר קבוע הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות הנגזרת של מנת שתי פונקציות הנגזרת של פונקציה מורכבת :כלל השרשרת דוגמאות ( x − x ) ′ = 3x − 5x 1. ( x 2 + sin x − 2) ′ = 2 x + cos x 2. 4 2 5 3 ) (a ⋅ f ( x )) ′ = a ⋅ f ′( x (3x 4 ) ′ = 3 ⋅ 4x 2 = 12 x 2 (− cos x ) ′ = −1 ⋅ (− sin x ) = sin x 1 = (f (x) ⋅ g(x))′ = ⋅ ( x 2 ⋅ ln x )′ = 2 x ⋅ ln x + x 2 x )= f ′(x) ⋅ g(x) + f (x) ⋅ g′(x = 2 x ⋅ ln x + x ) f (x 6x 2 ⋅ ( x 2 + 1) − 2 x 3 ⋅ 2 x 2x 3 = )′ = )′ ( 2 ( = 2 2 ) g(x )( x + 1 x +1 ) f ′( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g ′( x 2x 4 + 6x 2 = = (g( x )) 2 ( x 2 + 1) 2 1. 2. ) (g(f ( x ))) ′ = g ′( y) ⋅ f ′( x כאשר ) y = f ( x 1. (sin x 2 ) ′ = sin ′( x 2 ) ⋅ ( x 2 ) ′ = cos( x 2 ) ⋅ 2x בדוגמה הזוy = f ( x ) = x 2 , g ( x ) = sin x : ((sin x ) 2 ) ′ = 2 sin x ⋅ cos x 2. בדוגמה הזוy = f ( x ) = sin x , g ( x ) = x 2 : נגזרת הפונקציה ההפוכה נגזרת של פונקציה סתומה 1 y ′x = x ′y כאשר y ′x ≠ 0 כדי למצוא נגזרת של פונקציה סתומה אפשר לגזור שני אגפי המשוואה המתאימה 39 .1פונקציה xהיא פונקציה ההפוכה 1 לפונקציה x 2מאז: = ( x )′ 2 x .2פונקציה arcsin xהיא פונקציה ההפוכה לפונקציה . sin xמאז: 1 1 = (arcsin x ) ′ = ) cos(arcsin x 1− x2 אם פונקציה ) y=f(xנתונה על ידי המשוואה: .x2=xy+1נגזור שני אגפי המשוואה: 2x = x ′ ⋅ y + x ⋅ y ′ , ( x 2 ) ′ = ( xy + 1) ′או 2x − y 2x = y + x ⋅ y ′ומאז x = y′ משיק לגרף הפונקציה קירוב ליניארי של הפונקציה ) f(xהוא פונקציה ליניארית הכי קרובה לפונקציה ) f(xבתחום מסוים. יש כמה סוגי קירוב ליניארי של פונקציה .סוג הקירוב תלוי בתחום הקירוב. אינטרפולציה ליניארית היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בתחום ][a, b אסימפטוטה משופעת היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה באינסוף משיק לגרף הפונקציה בנקודה x1היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה לסיכום :משיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה ) A(x1, y1המקיימת את הפונקציה הוא קו ישר העובר דרך הנקודה Aהקרוב ביותר לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה .x1 הגדרה של משיק: נתון גרף הפונקציה ) f(xו ) A(x1, y1נקודה על הגרף .אם מעבירים קווים ישרים דרך נקודה Aכך שכל ישר עובר גם דרך נקודה נוספת x2על גרף הפונקציה )f(x והנקודה x2תלך ותתקרב על גבי הגרף לנקודה Aאז יתקבל ישר גבולי שנקראת משיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה .x1 סוגים שונים של משיק לגרף הפונקציה. ייצוג גרפי ייצוג גרפי תיאור מילולי הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה.x1 הגרף נמצא בצד אחד של המשיק. תיאור מילולי הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בכמה נקודות. הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודהx1 ונמצא משני צידי הגרף של הפונקציה .עובר מצד האחד של הגרף לצידו השני לפונקציה אין משיק בנקודה .x1 הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודהx1 וחותך את הגרף בנקודה נוספת .x2 הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה x1 ומקביל לציר ה) Y-אינו פונקציה( אולי לשנות בכל מקום כמו הניסוח הזה. 40 משוואת המשיק. תהי נתונה הפונקציה ) f(xוהנקודה x1שבה הפונקציה מוגדרת וגזירה אז: .1קיים משיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה . x1 .2השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה x1שווה לנגזרת של הפונקציה בנקודה :x1 ).m=f '(x1 ′ .3משוואת המשיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה x1היא ) . y − f ( x 1 ) = f ( x 1 ) ⋅ ( x − x 1 דוגמאות למציאת משוואת המשיק משימה פתרון כתבו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)=x2-4xבנקודה .x1=3 מחשבים ) f(x1ו:f '(x1)- 2 f ( x 1 ) = 3 − 4 ⋅ 3 = −3 f ′( x ) = 2 x − 4, f ′(x 1 ) = 2 ⋅ 3 − 4 = 2 מציבים במשוואת המשיק הכללית: )y + 3 = 2( x − 3 ומקבלים את משוואת המשיקy = 2x − 9 : מכיוון שהמשיק מקביל לישר y=2x שיפועו שווה ל .2-אז יש למצוא נקודה שבה הנגזרת של הפונקציה ) g(xשווה ל:2- ,5 − 3x 2 = 2 g ′( x ) = 5 − 3x 2 g'(x)=2ולכן . x = ±1 בנקודה g(x)=4 ,x=1ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא y- ) 4=2(x-1או . y = 2 x + 2 בנקודה g(x)=-4 ,x= -1ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא . y = 2 x − 2 כנ"ל מצאו משיק לגרף הפונקציה f ( x ) = x 4 + 6שעובר דרך הנקודה )) (0, 3הנקודה לא נמצאת על הגרף(. אם aהוא שעור ה xשל נקודת ההשקה אז: f ′(a ) = 4a 3 f ( x ) = a 4 + 6 כתבו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה g( x ) = 5x − x 3 המקביל לישר .y=2x גרף משוואת המשיקy − a 4 − 6 = 4a 3 ( x − a ) : נציב ) y=3 ,x=0לפי הנתונים( ונקבל a = ±1 , a 4 = 1 , 3 − a 4 − 6 = −4a 4 אם a=1אז f '(1)=4 ,f(1)=7משוואת המשיק היא ) y − 7 = 4( x − 1או y = 4 x + 3 אם a=-1אז f '(-1)=-4 ,f(-1)=7משוואת המשיק היא ) y − 7 = −4( x + 1או . y = −4 x + 3 41 חקירת פונקציות בשילוב אנליזה )נגזרות וגבולות( משפטים והסברים מציאת נקודות קיצון )נקודות מינימום ומקסימום( אם פונקציה ) f(xגזירה פעמיים בנקודה x1 וf ′′(x1 ) ≠ 0, f ′(x1 ) = 0 - אז לפונקציה ) f(xיש ערך קיצון בנקודה :x1 אם f ′′( x 1 ) > 0אז נקודת הקיצון היא נקודת מינימום. אם f ′′( x 1 ) < 0אז נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. שימו לב! יתכן כי הפונקציה לא גזירה בנקודת הקיצון. מציאת תחומי עליה וירידה אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו f ′( x ) > 0אז הפונקציה ) f(xעולה באינטרוול הזה. אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו f ′( x ) < 0אז הפונקציה ) f(xיורדת באינטרוול הזה. שימו לב! בנקודות שייכות לתחום עלייה או לתחום ירידה של הפונקציה יתכן כי הנגזרת שווה לאפס או הפונקציה לא גזירה. מציאת מינימום מוחלט ומקסימום מוחלט של פונקציה באינטרוול. אם פונקציה רציפה באינטרוול ,אז היא יכולה להשיג את המינימום המוחלט ואת המקסימום המוחלט באינטרוול הזה רק בנקודות קיצון של הפונקציה או בקצות האינטרוול. דוגמאות צורה גרפית מצאו נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה . f(x)=3x-x3 פתרון .נגזור את הפונקציה: f ′( x ) = 3 − 3x 2 הנקודות אפס של הנגזרתx1,2= ±1 : נבדוק את הסימן של הנגזרת השנייה בנקודות האלה: f ′′( x ) = −6 x , f ′′( −1) = 6 > 0, f ′′(1) = -6 < 0 בנקודה x=1לפונקציה יש מקסימום f(1)=2 בנקודה x=-1לפונקציה יש מינימום f(-1)=-2 בתחום עליה של הפונקציה הנגזרת חיובית.המשיק הוא ישר עולה. בתחום ירידה של הפונקציה הנגזרת שלילית.המשיק הוא ישר יורד. הפונקציה עולה בכל התחום. בנקודה 0הנגזרת שווה לאפס. בנקודה 2הפונקציה לא גזירה. הפונקציה מוגדרת ורציפה באינטרוול ][0,8 המקסימום המוחלט נימצא בנקודה ) x=8קצה האינטרוול( המינימום המוחלט נימצא בנקודה ) x=5נקודת הקיצון( 42 מצאו את תחומי העליה והירידה של הפונקציה . f(x)=x2-4x פתרון .נגזור את הפונקציהf ′( x ) = 2 x − 4 : כאשר x>2כלומר , 2x-4>0 ,הפונקציה עולה. כאשר x<2כלומר , 2x-4<0 ,הפונקציה יורדת. נוח לראות את זה בציר המספרים: בתחום x>2 2 בתחום x<2 הנגזרת חיובית הנגזרת שלילית הפונקציה עולה הפונקציה יורדת מצאו את הנקודות מקסימום מוחלט ומינימום מוחלט של הפונקציה g(x) = 3x4 − 4x3 −3בתחום ].[-1, 2 פתרון .הפונקציה הנתונה רציפה בתחום ולכן מספיק לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות שבהן נגזרת שווה לאפס )כל הנקודות קיצון נמצאות ביניהן( וערכי הפונקציה בנקודות הקצה. 3 2 )g ′( x ) = 12 x − 12 x = 12 x 2 ( x − 1 g '(x)=0בנקודות x2=1 , x1=0 נחשב ערכי הפונקציה בנקודות האלה: g (0) = −3, g(1) = -4 ובנקודות הקצהg (−1) = 4, g(2) = 13 : נקבל מקסימום מוחלטg (2) = 13 : מינימום מוחלט. g (1) = −4 : מציאת נקודות פיתול. אם x1היא נקודת פיתול של פונקציה )f(x והפונקציה גזירה פעמיים ב x1-אז .f ''(x1)=0 מצאו נקודות פיתול של הפונקציה f (x) = 3x 5 − 5x 4 פתרון .נחפש נקודות אפס של הנגזרת השנייה: f′(x) =15x4 −20x3 )f′′(x) =(f′(x))′ =60x3 −60x2 =60x2(x −1 f ′′( x ) = 0בנקודות . x 1 = 0, x 2 = 1 שינוי הסימן של ):f ''(x שימו לב! לא כל נקודה שבה f ''(x1)=0היא נקודת פיתול .יתכן כי בנקודת אפס של הנגזרת השנייה אין נקודת פיתול. למציאת נקודות פיתול יש להוכיח כי הנגזרת השנייה משנה את סימנה בנקודה. הכללה :נקודות קיצון ונקודות פיתול. תהי פונקציה ) f(xגזירה nפעמים בנקודה .x1אם = ) f ′( x 1 ) = f ′′( x 1 בנקודה x1=0הנגזרת השנייה לא משנה את סימנה ,זאת אומרת שהנקודה הזו איננה נקודת פיתול של הפונקציה. בנקודה x2=1הנגזרת השנייה משנה את סימנה, זאת אומרת שהנקודה הזו היא נקודת פיתול של הפונקציה. f ′(−1) = 0 f ′′(−1) ≠ 0 נקודת קיצון ... = f ( n −1) ( x 1 ) = 0 אבל f ( n ) ( x 1 ) ≠ 0אז: אם nזוגי אז .x1היא נקודת קיצון ,אם nאי זוגי אז .x1היא נקודת פיתול f ′(0) = f ′′(0) = 0 f ′′′(0) ≠ 0 נקודת פיתול = )f ′(1) = f ′′(1 = f ′′′(1) = 0 f ( 4) (1) ≠ 0 נקודת קיצון מציאת תחומי קעירות וקמירות של הפונקציה. תהי ) f(xפונקציה הגזירה פעמיים בנקודה .x1אם f ′′( x 1 ) > 0אז fקמורה בנקודה .x1 אם f ′′( x 1 ) < 0אז f קעורה בנקודה .x1 קמירות בנקודה x=2 f ′′(2) > 0 קעירות בנקודה x=1 f ′′(1) < 0 43 מצאו נקודות קיצון ונקודות פיתול של הפונקציה ) f (x) = 3x 5 − 5x 4דוגמה מהסעיף הקודם בדרך אחרת(. פתרון .נחשב נגזרות ונקודות אפס שלהן: )f ′(x) = 15x 4 − 20x 3 = 5x 3 (3x − 4 4 נקודות אפסx 2 = , x1 = 0 : 3 3 )f ′′( x ) = 60 x − 60 x 2 = 60 x 2 ( x − 1 נקודות אפסx 3 = 1, x1 = 0 : )f (3) ( x ) = 180 x 2 − 120 x = 60 x (3x − 2 f ( 4) ( x ) = 360 x − 120 עבור x1=0 )(4 ′ ′ ′ . f (0) ≠ 0 , f (0) = f (0) = f (3) (0) = 0 מאז x1=0נקודת קיצון ) 4הוא מספר זוגי(. 4 4 4 עבור = . f ′′( ) ≠ 0 ,f ′( ) = 0 x 2 3 3 3 4 מאז = x 2נקודת קיצון ) 2הוא מספר זוגי(. 3 מצאו תחומי קמירות וקעירות של הפונקציה f (x ) = x 3 − 6x 2 + 2x − 1 פתרון .נגזור את הפונקציה פעמיים: f ′′( x ) = 6x − 12 , f ′( x ) = 3x 2 − 12 x + 2 הנגזרת השנייה שווה לאפס אם ,6x-12=0 x=2שינוי הסימן של f - 2+ ):''(x ′ ′ כאשר f ( x ) > 0 x>2 הפונקציה קמורה. כאשר f ′′( x ) < 0 x<2 הפונקציה קעורה. התנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות יש הרבה אפשרויות שונות להתנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות. בטבלה שלהלן מופיע קמה מאפשרויות האלה .ר' גם סעיף "אסימפטוטות". התנהגות של פונקציה באינסוף התנהגות של פונקציה בסביבת נקודות אי רציפות הפונקציה שואף לאינסוף באופן חופשי )לא שואף לקו ישר איזשהו( בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאינסוף משני הצדדים באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאינסוף מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף למספר מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע ובמינוס אינסוף הגרף שואף לקב הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לנקודה מצד אחד ולנקודה האחרת מצד השני גם באינסוף וגם במינוס אינסוף הגרף שואף לאותה קו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאותה הנקודה משני הצדדים הפונקציה שואפת לאינסוף באינסוף ושואפת לאפס במינוס אינסוף. הפונקציה מוגדרת בנקודה אי רציפות . בצד אחד ממנה הגרף שואף לאינסוף. 44 אינטגרל ופונקציה קדומה מושגים בסיסים הגדרות ותיאורים כל פונקציה ) F(xהמקיימת צורה גרפית ,הערות הפונקציה הבאה ) F '(x)=f(xבתחום Aנקראת פונקציה קדומה של פונקציה ) f(xבתחום .Aהפעולה של מציאת פונקציה קדומה נקראת אינטגרציה. שימו לב! יתכן כי לפונקציה מסוימת בתחומים שונים יש כמה פונקציות קדומות שונות .1הפונקציה F(x)=x3היא פונקציה קדומה של הפונקציה f(x)=3x2 . ( x 3 ) ′ = 3x 2 כי x2 .2הפונקציה 2 פונקציה קדומה של הפונקציה f ( x ) = xבתחום x≥0 = ) F1 ( xהיא היא פונקציה קדומה של הפונקציה: x2 והפונקציה 2 פונקציה קדומה לפונקציה f ( x ) = xבתחום .x<0 F2 ( x ) = −היא אוסף הפונקציות אם פונקציה ) F(xהיא פונקציה קדומה של פונקציה ) f(xבתחום , Aאז כל פונקציה מהצורה C) F(x)+Cמספר קבוע( גם היא פונקציה קדומה של הפונקציה ) f(xבאותו התחום . אוסף הפונקציות F(x)+Cנקרא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה ) .f(xהמספר Cנקרא קבוע האינטגרציה. דוגמאות הוא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה: . ∫ f (x)dx = F(x) + C הפונקציה F(x)=x2היא פונקציה קדומה של פונקציה f(x)=2xכי (x 2 )′ = 2x כל אחת מהפונקציות ,F1(x)=x2+2 F3(x)=x2-0.44 ,F2(x)=x2-5וכן הלאה גם הן פונקציות קדומות של הפונקציה .f(x)=2x אינטגרל לא מסוים של הפונקציה 2 ∫ 2 xdx = x + C :2x כלומר ,אינטגרל לא מסוים הוא אוסף פונקציות השונות זו מזו במספר קבוע. אם ) F(xהיא פונקציה קדומה של הפונקציה ) f(xבתחום ][a, b אז ההפרש ) F(b)-F(aנקרא אינטגרל מסוים של הפונקציה ) f(xבתחום ] .[a, bהמספרים a ו b -נקראים גבולות האינטגרציה a .הוא הגבול התחתון ו b-הוא הגבול העליון. b b = ∫ f (x)dx = [F(x)]a הערה :אינטגרל מסוים הוא מספר )ולא פונקציה( . המספר הזה לא תלוי בבחירת הפונקציה הקדומה מבין הפונקציות השייכות לאוסף הפונקציות .F(x)+C a )= F(b) − F(a 45 2 חשבו . ∫ 2 xdx −1 פתרון .אחת מהפונקציות הקדומות של הפונקציה 2xהיא הפונקציה x2 )ר' סעיף הקודם( .ולכן: 2 2 2 2 2 ∫ 2 xdx = [ x ] −1 = 2 − (−1) = 3 −1 כלומר ,האינטגרל המסוים של הפונקציה 2xבתחום ] [-1, 2הוא .3 אינטגרלים לא אמיתיים הם אינטגרלים קשורים לאינסוף. כלומר :אם אחד מגבולות האינטגרציה או שניהם הוא ∞, ∞ או תחום האינטגרציה כוללנקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת ושואפת ל ∞-או .∞- במקרים כאלה יש לעבור לגבול המתאים.: t ∞ t →∞ a a b t →−∞ t ∞− 2 .1חשבו )dx x3 ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx b b t→a t a (∫ . 1 פתרון .פונקציה הקדומה של 2 1 הפונקציה − 2היא פונקציה . 3 x x ∞ 2 ∞ 1 = ∫ 3 dx = [− 2 ]1 1 x x 1 = lim ( − 2 ) − (−1) = 0 + 1 = 1 ∞→ x x 1 1 .2חשבו dx ∫ 0 x פתרון .פונקציה הקדומה של 1 הפונקציה היא פונקציה x ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx b ∞ ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dxכאשר ∞lim f ( x) = ± x→a . F( x ) = 2 xהנקודה x=0לא שייך לתחום ההגדרה של הפונקציה 1 לכן יש צורך לעבור לגבול: x 1 1 1 1 ∫ dx = lim+ = dx ∫ t →0 t 0 x x = ) = lim+ [2 x ]1t = 2 − lim+ (2 t t →0 t →0 =2−0=2 טבלת אינטגרלים מיידיים )הטבלה התקבלה על סמך טבלת הנגזרות(. a פונקציה פונקציה )f(x קבועה ax xn n≠-1 x n +1 n +1 1 x |ln |x sin x -cos x cos x 1 cos 2 x sin x tan x 1 sin 2 x -cot x ex x e ax פונקציה קדומה )F(x הערה בטבלה נתונה רק אחת מהפונקציות הקדומות .על ידי הוספת מספר קבוע ) ( +Cנקבל כל פונקציה קדומה אחרת. כללי אינטגרציה צורה מילולית אינטגרל של סכום )הפרש( של שתי פונקציות שווה לסכום )הפרש( של שני האינטגרלים המתאימים צורה סימבולית = )∫ (f ( x ) ± g( x )dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g(x )dx 46 דוגמאות 2 ∫ (sin x + x )dx = ∫ sin xdx + x3 +C 3 + ∫ x 2 dx = − cos x + ax ln a אינטגרל של מכפלת פונקציה בגורם קבוע שווה למכפלת האינטגרל של הפונקציה באותו הגורם. )גורם קבוע אפשר להוציא מחוץ לאינטגרל( אינטגרל של פונקציה מפונקציה קווית שווה למכפלה של אינטגרל של הפונקציה המתווכת במספר ההפוך לשיפוע של הפונקציה הקווית. ∫ (af (x))dx = a ∫ f (x)dx x5 =+C 5 .1 .2 1 k כשה z = kx + b ∫ f (kx + b)dx = ∫ f (z)dz 4 4 ⋅ ∫ 3x dx = 3∫ x dx = 3 3 = x5 + C 5 3 3 = ∫ (2x − 3x )dx = 2∫ xdx − 3∫ x dx x2 x4 3 ⋅− 3 + C = x2 − x4 + C 2 4 4 1 4 = ∫ z dz 2 1 z5 1 ⋅ = + C = (2 x − 5) 5 + C 2 5 10 4 = ∫ ( 2 x − 5) dx חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים צורה מילולית השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה )f(x )מלמעלה( ,הישרים x=b ,x=aוציר ה- ) Xמלמטה( שווה לאינטגרל המסוים של הפונקציה ) f(xבתחום ][a, b ).(a<b השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה )f(x )מלמטה( ,הישרים x=b ,x=aוציר ה- ) Xמלמעלה( שווה לנגדי של האינטגרל המסוים של הפונקציה ) f(xבתחום ].(a<b) [a, b אולי לכתוב שהוא שווה האינטגרל המסוים. במקרה שחלק מהגרף של הפונקציה ) f(xבתחום האינטגרציה נמצא מעל לציר ה X-וחלק אחר של הגרף נמצא מתחת לציר ה ,X-אפשר לחשב כל אחד מהחלקים של השטח בנפרד ואחר כך לחבר אותם. צורה סימבולית b S = ∫ f ( x )dx a b S = − ∫ f ( x )dx a = S = S1 + S2 c b a c = ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx 47 ⋅= 2 צורה גרפית השטח בין גרפים של שתי פונקציות בתחום שאחד מהגרפים נימצא מעל הגרף האחר ,שווה לאינטגרל מסוים של ההפרש של שתי הפונקציות. אם שני הגרפים נחתכים בתחום האינטגרציה ,אפשר להרכיב את השטח ממספר חלקים. b S = ∫ (f (x) − g(x))dx a = S = S1 + S2 b = ∫ (f (x) − g(x))dx + a c + ∫ (g(x) − f (x))dx b דוגמאות משימה פתרון גרף לפי הסרטוט ,הגבול התחתון של האינטגרציה הוא 1והגבול העליון הוא נקודת אפס של הפונקציה ):f(x x2=4 ,x1=0 , 4x-x2=0ולכן x2=4הוא הגבול העליון .עכשיו אפשר לחשב את השטח: 3 4 x = S = ∫ (4x − x 2 )dx =[2 x 2 − ]14 3 1 43 13 2 2 = (2 ⋅ 4 − ) − (2 ⋅ 1 − ) = 9 3 3 חלק אחד מהגרף נמצא מעל ציר הX- וחלק האחר תחת הציר .לכן השטח שווה לסכום של שני השטחים: .1חשבו את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה , f(x)=4x-x2ציר ה X-והישר .x=1 .2חשבו את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f(x)=sin x וציר ה X-בתחום ].[-π, π π 0 0 -π = + [− cos x ]0π = S = S1 + S 2 = − ∫ sin x dx + ∫ sinx dx −[− cos x ]0−π = = (cos 0 − cos(−π)) + = ))+ (− cos π − (− cos 0 = (1 − (−1)) + (1 − (−1)) = 4 48 נחשב קודם את גבולות האינטגרציה שהן נקודות החיתוך של שני הגרפים: .x2=2 ,x1= -1 x 2 − 4 = 2 x − x 2 מכיוון שבתחום האינטגרציה גרף הפונקציה ) g(xנמצא מעל גרף הפונקציה ) f(xאז: .3חשבו את השטח בין שתי הפרבולותf(x)=x2-4 : וg(x)=2x-x2- 2 = S = ∫ ( g ( x ) − f ( x )) dx −1 2 = = ∫ ( 2 x − x 2 − ( x 2 − 4 )) dx −1 2 = = ∫ ( − 2 x 2 + 2 x + 4 ) dx −1 2x 3 = + x 2 + 4 x ] −2 1 3 2 ⋅ 23 = (− + 2 2 + 4 ⋅ 2) − 3 2 ⋅ ( − 1) 3 − (− + ( − 1) 2 + 4 ⋅ ( − 1)) = 9 3 = [− לשני הגרפים יש שלוש נקודות חיתוך: x=0ועוד שתי נקודות x1וx2- x 2 = 2 , x 1 = −2 , x 3 − 6 x = 3 x בתחום ] [-2, 0גרף הפונקציה ) f(xנמצא מעל גרף הפונקציה ) g(xובתחום ][0, 2 – להפך ולכן: .4חשבו שטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות f(x)=x3- 6xו.g(x)=3x- 0 S = S1 + S 2 = ∫ (f ( x ) − g( x ))dx + −2 2 0 + ∫ (g( x ) − f ( x ))dx = ∫ ( x 3 − 9x )dx + −2 0 4 x 9x 2 0 − ]−2 + 4 2 [ = + ∫ (9 x − x 3 )dx 9x 2 x 4 2 − ] 0 = 14 + 14 = 28 2 4 49 2 0 [+ מפתח לפי א-ב עמוד מושג אינטגרל מסוים 45 אינטגרלים לא אמיתיים 46 אינטגרל לא מסוים 45 אינטגרלים מיידיים )טבלה( אינטרוול אינסופי 5 אינטרוול חצי פתוח 5 אינטרוול סגור 5 אינטרוול פתוח 5 אסימפטוטה לגרף הפונקציה 23 אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה 23 אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה 23 אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה 23 גבול של פונקציה בנקודה 28 גבול של פונקציה באינסוף 32 ,28 גבול אינסופי 29 גבולות האינטגרציה )הגבול התחתון ,הגבול העליון( גבול חד צדדי 29 גבולות בסיסיים 30 גבולות של פונקציות טריגונומטריות 32 ,30 גבולות של פונקציה רציונאלית )פונקציה שבר( 31 גבולות האינטגרציה )הגבול התחתון והגבול העליון( 45 גרף הפונקציה 2 הזזה של גרף הפונקציה 27 הקשר בין שינוי הגרף לבין שינוי הביטוי האלגברי 27 השפעת מקדמי הפונקציה הריבועית על הגרף שלה 13 התנהגות של הפונקציה באינסוף 44 חוקי הגבולות 30 חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים 48 טבלת אינטגרלים מיידיים 46 טבלת הערכים של פונקציה 2 טבלת נגזרות 36 טווח הפונקציה 1 ייצוג אלגברי של הפונקציה 1 50 ייצוג אלגברי של משפחת הפונקציות 25 ייצוג גרפי של הפונקציה 2 ירידה של פונקציה בתחום ירידה של פונקציה בנקודה 7 כללי אינטגרציה 46 מחזור הפונקציה המחזור היסודי של הפונקציה 10 מינימום מקומי של הפונקציה מינימום מוחלט של הפונקציה 41 ,8 מקסימום מקומי של הפונקציה מקסימום מוחלט של הפונקציה 41 ,8 משוואת המשיק לגרף הפונקציה 39 משיק לגרף הפונקציה 38 משפחה של פונקציות 25 משתנה תלוי משתנה בלתי תלוי 1 מתיחה אופקית של גרף הפונקציה מתיחה אנכית של גרף הפונקציה 28 ,27 נגזרת של פונקציה בנקודה )המספר הנגזר( 35 נגזרת מסדר גבוה נקודת אפס של הפונקציה 14 ,9 נקודת פיתול של הפונקציה 42 ,10 נקודת קיצון של הפונקציה 41 ,8 סביבה של אינסוף 6 סביבה של נקודה 6 סביבה נקובה של נקודה 6 עליה של פונקציה בתחום עליה של פונקציה בנקודה 7 פונקציה 1 פונקציה חד חד ערכית 2 פונקציית הערך המוחלט 19 פונקציה הפוכה 2 פונקציה החזקה 16 פונקציה זוגית ,פונקציה אי-זוגית 9 פונקציות טריגונומטריותcos x ,sin x : 20 21 פונקציה לוגריתמית 22 פונקציה tan x 51 פונקציה מעריכית 22 פונקציה מחזורית 10 פונקציה מורכבת 4 פונקציה מנה )פונקציה רציונאלית( 18 פונקציה סתומה 3 פונקציה פולינום 17 פונקציה קדומה 45 פונקציה קבועה 3 פונקציה קווית )ליניארית( 11 פונקציה קמורה בנקודה פונקציה קעורה בנקודה 10 פונקציה ריבועית 13 פונקציה רציפה צורה קדקודית של פונקציה ריבועית צורה המכפלה של פונקציה ריבועית 15 ציר המספרים 5 קבוע האינטגרציה 45 קירוב ליניארי של הפונקציה 38 שיקוף גרף הפונקציה בציר הX, -בציר הY- 28 שיקף גרף הפונקציה בראשית הצירים 28 תחום הפונקציה ,תחום ההגדרה של הפונקציה 1 תחום חיוביות )שליליות( של הפונקציה 9 תחום עליה )ירידה( של הפונקציה 41 ,9 תחום קעירות )קמירות( של הפונקציה 43 ,10 תכונה משותפת של משפחה של פונקציות 25 52
© Copyright 2024