1. No category

‫תקשורת אנלוגית ‪ -‬תירגול‬
‫מתרגל‪ :‬ירון לאופר‬
‫מייל‪[email protected] :‬‬
‫הקדמה כללית‪:‬‬
‫במערכות תקשורת נעסוק במודל הכללי‪:‬‬
‫)‪M(t‬‬
‫‪r t   f  s t  , n t ‬‬
‫‪n t ‬‬
‫לערוץ התקשורת נוסף רעש והמקלט מחזיר פונקציה כלשהי של האות והרעש‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫אותנו יעניין במיוחד היחס‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ SNR ‬שהוא היחס בין הספק האות להספק הרעש‪.‬‬
‫תירגול ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫קונבולוציה‪:‬‬
‫‪ h   x t    d‬‬
‫‪x   h  t    d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. y t   x t  * h t  ‬‬
‫‪‬‬
‫תמיכה של פונקציה מוגדרת לתחום המינימלי אשר מחוצה לו‪ ,‬כלומר לכל ‪ , t  t1 , t2 ‬הפונקציה מתאפסת‪.‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫קל לראות כי התמיכה היא‪. 2  a  b  :‬‬
‫נראה זאת‪:‬‬
‫‪y t ‬‬
‫‪h t ‬‬
‫‪h1h2  2a‬‬
‫‪ba ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪b  a a  b‬‬
‫‪x t ‬‬
‫‪h2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h1‬‬
‫*‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫משפט‪ :‬אם ל‪ f  t  -‬יש תמיכה בגודל ‪ s1‬ול‪ y  t  -‬תמיכה בגודל ‪ s2‬אז ל‪ f * y -‬יש תמיכה של ‪. s1  s2‬‬
‫‪|1‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪a‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫פולס מלבני מוגדר‪:‬‬
‫‪ E‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . q  t    ‬האנרגיה של פולס מלבני היא‪. E   q   d   d  E :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪t   0, ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N 1‬‬
‫הגדרה‪ :‬קוד ברקר בנוי מאותות‪ bN  t    ak q  t  k  :‬כאשר‪. ak   a :‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪5a 2T‬‬
‫נחשב את הקונבולוציה בצורה מדויקת‪.‬‬
‫תחילה נשים לב כי גודל התמיכה של מוצא המערכת הוא ‪. 10T‬‬
‫‪a 2T‬‬
‫‪T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T‬‬
‫הרעיון העומד מאחורי החישוב המהיר של הקונבולוציה הוא שמדובר באות ומסנן בעלי אותו מחזור ‪. T‬‬
‫כעת בכל שלב ש"נסיע" את האות ‪ x  t   ‬על פני המסנן ‪ h  t ‬נוכל להכפיל את הסימנים של הריבועים ולסכום אותם בע"פ‪.‬‬
‫בזמן ‪ t  T‬יש לנו‪     :‬ולכן גובה המשולש ב‪ T -‬הוא ‪. a 2T‬‬
‫בזמן ‪ t  2T‬יש לנו‪               0 :‬ולכן המשולש יורד לאפס‪.‬‬
‫בזמן ‪ t  3T‬יש לנו‪                    :‬ולכן גובה המשולש הבא ב‪ 3T -‬הוא ‪. a 2T‬‬
‫בפרט בזמן‪ t  5T :‬מקבלים חפיפה משולמת‪.                               5    :‬‬
‫במקרה זה גובה המשולש הוא ‪. 5a 2T‬‬
‫‪x t  ‬‬
‫‪h t ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t T‬‬
‫‪t  2T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  5T‬‬
‫ב‪ .‬התמיכה האפקטיבית היא האזור בו מרוכזת מרבית האנרגיה‪ .‬אצלנו התמיכה האפקטיבית היא‪( 2T :‬בין‪.)  4T ,6T  :‬‬
‫התמרת פורייה‪:‬‬
‫התמרה ישרה‪dt :‬‬
‫‪2 jft‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y t  e‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . Y  f   F  y  t  ‬התמרה הפוכה‪df :‬‬
‫‪2 jft‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y  f    Y  f  e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. y t   F‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ . y  t  t0  ‬קונבולוציה‪Y1  f  Y2  f  :‬‬
‫הזזה‪Y  f  e2 jf0 :‬‬
‫‪. y1  t  y2  t  ‬‬
‫‪1‬‬
‫אות מחזורי בזמן ‪ y  t   y  t  T  , T‬הוא‪ Y  f    Cn  f  nf 0  :‬כאשר‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪F‬‬
‫אות ממשי בזמן מקיים‪Y  f   Y *   f  :‬‬
‫‪. y  t   y*  t  ‬‬
‫‪|2‬‬
‫‪ f 0 ‬ו‪- Cn -‬מקדמי פורייה של ‪. x  t ‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫‪j‬‬
‫נסמן את מסנן הילברט‪ hˆ  t  :‬ואת האות היוצא ממסנן הילברט‪. xˆ  t  :‬‬
‫‪ j f  0‬‬
‫‪. Hˆ  f    jsign  f   ‬‬
‫נעזר בפונקצית סימן ונכתוב‪:‬‬
‫‪f 0‬‬
‫‪j‬‬
‫נכפיל את האות בפונקצית הילברט ונסכום עם האות המקורי ונכפיל פי ‪:2‬‬
‫‪X  f ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. X  f   X  f  Hˆ  f   X  f  1  sign  f    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪y t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪xˆ  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪. Hˆ   j  sign  f  ‬‬
‫האות בזמן הוא‪ . y  t   x  t  *   t    :‬נזכור כי‪ hˆ  t    :‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪‬‬
‫תירגול ‪:2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. hˆ  t  ‬‬
‫התמרת הילברט‪ Hˆ  f    jsign  f  :‬כאשר‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫יש להוכיח את ההתמרות של‪. cos t  ,sin t  , xˆˆ  t  :‬‬
‫חזרה על אותות ורעש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫תוחלת‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ xf  x  dx  ‬‬
‫‪. Ex ‬‬
‫‪‬‬
‫שונות‪. var  x    x2  Ex2  E 2 x :‬‬
‫תהליכים אקראיים‪:‬‬
‫תוחלת‪.  x  t   E  x  t   :‬‬
‫אוטוקורלציה‪. Rx  t1 , t2   E  x  t1  x  t2   :‬‬
‫אוטוקובריאנס‪. Cxx  t1 , t2   E  x  t1   x  t1    x  t2   x  t2    Rxx  t1 , t2   x t1   x t2  :‬‬
‫סטציונאריות במובן הרחב‪:‬‬
‫התוחלת קבועה בזמן‪. x  t   x  const. :‬‬
‫פונקצית האוטוקורלציה תלויה בהפרש הזמנים בלבד‪. Rx  t1 , t2   Rx  t1  t2   Rx   :‬‬
‫‪|3‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪hˆ  t ‬‬
‫‪x t ‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬האם ‪ x  t   cos 0t ‬הוא ‪?WSS‬‬
‫נמצא תוחלת‪ - E cos 0t   cos 0t   const. :‬התוחלת משתנה בזמן‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ‪ x  t   cos 0t   ‬כאשר ‪ ‬מ"א המתפלג לפי‪  U 0, 2  :‬הוא ‪?WSS‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא תוחלת‪ cos  t    d  0 :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. E cos 0t   ‬‬
‫‪2‬‬
‫נמצא אוטוקורלציה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E cos 0  t1  t2   2   cos 0 t2  t1  ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪Rx  t1 , t2   E  x  t1  x  t2   E cos 0t1    cos 0t2    ‬‬
‫‪1‬‬
‫הביטוי הראשון מתאפס באינטגרל והביטוי השני יוצא מחוץ לו ולכן‪ . Rx    cos 0  :‬לכן התהליך הוא ‪.WSS‬‬
‫‪2‬‬
‫תכונות של פונקצית האוטוקורלציה בתהליך ‪:WSS‬‬
‫‪ Rx   .1‬ממשית בהינתן תהליך אקראי ממשי‪.‬‬
‫‪ Rx   .2‬זוגית‪. Rx    Rx    :‬‬
‫‪ .3‬המקסימום ב‪. Rx    Rx  0  :   0 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬הספק התהליך הוא‪:‬‬
‫‪ S  f  df‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. 0  Px  E  x 2  t    Rx  0  ‬‬
‫‪‬‬
‫פונקצית צפיפות הספק ספקטרלית (צה"ס)‪:‬‬
‫הפונקציה מוגדרת רק עבור תהליכים ‪ ,WSS‬כי רק אז ניתן לכתוב את האוטוקורלציה כתלות בהפרש הזמנים בלבד וניתן לבצע התמרה‪.‬‬
‫הגדרה‪d :‬‬
‫‪2 jf ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R   e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. S x  f   F Rx   ‬‬
‫‪‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬פונקציה דטרמיניסטית‪.‬‬
‫‪ .2‬פונקציה ממשית‪.‬‬
‫‪ .3‬פונקציה אי‪-‬שלילית‪.‬‬
‫‪ .4‬פונקציה זוגית‪. S x  f   S x   f  :‬‬
‫‪N0‬‬
‫רעש לבן – הגדרה‪ :‬תהליך אקראי בעל פונקצית צה"ס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪( Sn  f  ‬אחידה בכל התדרים)‪.‬‬
‫‪  0  t1  t2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪    ‬‬
‫האוטוקורלציה היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.5 N 0   0  t1  t2‬‬
‫‪ . Rn   ‬כל שתי דגימות שונות הן חס"ק‪.‬‬
‫מניחים ברל"ג (רעש לבן גאוסי) כי‪ . E  n  t    0 :‬המשמעות היא שכל שתי דגימות שונות הן בת"ס‪.‬‬
‫‪|4‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מעבר של תהליך אקראי דרך מערכת ליניארית ‪:LTI‬‬
‫התהליך עובר במערכת‪ x  t   h  t   y  t  :‬כאשר‪ h  t  :‬הוא דטרמיניסטי‪.‬‬
‫נניח כי ‪ x  t ‬הוא ‪ WSS‬אז גם‪ y  t  :‬הוא ‪ WSS‬ושניהם הם ‪.JWSS‬‬
‫‪. E  y  t    E  x  t   H  0  .1‬‬
‫‪. Rxy    Rx   * h    .2‬‬
‫‪. Ry    Rx   * h   * h    .3‬‬
‫‪. S y  f   S x  f  H  f  .4‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪N‬‬
‫נציב‪   * h    * h    0 h    * h   :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Rn,out    Rn,in   * h    * h   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫נבצע את הקונבולוציה‪Rh    :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ h   h    d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪h    * h    0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה‪. h   * h     Rh   :‬‬
‫נשים לב כי זה לא משהו פיזיקלי כי המסנן הוא דטרמיניסטי אבל יש דמיון לתכונות של פונקצית האוטוקורלציה‪.‬‬
‫כאשר ‪ Rh  ‬מוגדרת כפונקצית האוטוקורלציה של המסנן‪ ,‬מקבלים שפונקצית האוטוקורלציה של הרעש במוצא המסנן‬
‫הוא כמו זו של המסנן עצמו (עד כדי קבוע)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N0‬‬
‫צה"ס של הרעש המוצא‪H  f  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ - Sn,out  f  ‬ניתן לראות כי הרעש במוצא המסנן אינו אחיד‪.‬‬
‫היות והמסנן הוא כל פונקציה שהיא של התדר‪ ,‬מקובל להתייחס לרעש כאל "נצבע" ע"י המסנן‪.‬‬
‫שאלה ‪:3‬‬
‫‪Vin  t     h  t   Vout  t ‬‬
‫‪‬‬
‫המערכת היא‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪nin  t ‬‬
‫כיוון שהמערכת היא ‪ LTI‬ניתן להפריד את הטיפול ברעש ובאות‪. Vout  t   y  t   nout  t  :‬‬
‫יש לחשב את ה‪ SNR-‬שהוא‪:‬‬
‫‪Py‬‬
‫‪Pn ,out‬‬
‫‪. SNRout ‬‬
‫‪‬‬
‫הספק הרעש במוצא‪:‬‬
‫‪ S  f  df‬‬
‫‪n ,out‬‬
‫‪. Pn,out  Rn ,out  0  ‬‬
‫‪‬‬
‫נמצא תחילה את ‪ Sn,out  f ‬ולאחר מכן נבצע התמרה הפוכה‪.‬‬
‫‪|5‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
. Sn,out  f  
. Vout  Vin
2
N0
H  f  :‫ראינו מקודם כי‬
2
V
R
R
1
:‫נמצא את פונקצית התמסורת‬
 H  f   out  f  

R  j 2 fL
Vin
R  j 2 fL 1  j 2 fL / R
. Sn,out  f  
. Pn,out  Rn,out  0  
2
N0
N
1
:‫נקבל‬
Hf   0
2
2 1   2 fL / R 2
RN0  RL 
RN0
:‫ ולכן‬Rn,out   
:‫ההתמרה‬
e
4L
4L
:‫הספק האות במוצא‬
.‫ לפי שוויון פרסבל‬Py 
. C1 

2
1
y
t
dt

cn



T T
n 
2
:‫נקבל‬
A
A
A
:‫ ולכן המקדמים הם‬x  t   A cos  2 ft   e j 2 f0t  e j 2 f0t :‫האות הוא‬
2
2
2
.Y  f   X  f  H  f  


 C   f  nf  H  f    C H  f    f  nf  :‫נקבל‬
n 
n
0
n 
n
0
cn
0.5 AH  nf 0 

. C n  Cn H  nf 0   0.5 AH  nf 0 
0

. Py 

c
n 
2
n
2
n 1
n  1 :‫כעת‬
else
2
2
2
 A
 A
   H  f 0     H   f 0  :‫נקבל בסוף‬
2
2
.‫ ונקבל את המבוקש‬SNRout 
Py
Pn ,out
:‫נציב הכל בביטוי‬
:3 ‫תירגול‬
:‫משפט הדגימה והרחבתו‬
.
1
1

, f s  2Wm :‫ בקצב שהוא לפחות קצב נייקוויסט כך שניתן לשחזרו‬Wm ‫ניתן לייצג אות מוגבל סרט‬
Ts 2Wm
m  t     ms  t 
ms  t 
:)‫דגימה באמצעות רכבת הלמים (אידיאלית‬

s  t      t  nT 
t
. ms  t   m  t    t  nT    m  nT    t  nT  :‫בצורה מתמטית‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
|6
‫שאלה ‪:1‬‬
‫‪Mf‬‬
‫נתון הספקטרום של האות הבא‪:‬‬
‫א‪ .‬כיצד יראה הספקטרום של האות הדגום בדגימה אידיאלית?‬
‫ב‪ .‬מהו התנאי לשיחזור ללא עיוותים?‬
‫‪f‬‬
‫‪Wm‬‬
‫‪Wm‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫א‪  f  nf 0    M  f  nf 0  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪T n‬‬
‫‪T n‬‬
‫* ‪. ms  t   m  t  s  t   M s  f   M  f  * S  f   M  f ‬‬
‫‪Ms  f ‬‬
‫ב‪ .‬תנאי הוא‪. f0  Wm  Wm  f0  2Wm :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫נעביר דרך‪. ms  t   H  f   mˆ  t  :‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫המסנן בגובה‬
‫‪T‬‬
‫ותדר קיטעון‪. Wm  fC  f0  Wm :‬‬
‫‪sin  f 0t ‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ f 0t‬‬
‫האות הוא‪:‬‬
‫‪ sinc  f 0t  ‬‬
‫‪sin  f 0  t  nT  ‬‬
‫‪ f 0  t  nT ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2Wm‬‬
‫‪fC‬‬
‫‪Wm‬‬
‫‪ fC‬‬
‫‪Wm‬‬
‫‪Hf ‬‬
‫‪. h  t   T  2Wmsinc  2Wmt  ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪. mˆ  t   ms  t  * h  t    m  nT ‬‬
‫‪Wm‬‬
‫‪Wm‬‬
‫אפנוני פולסים‪:‬‬
‫אפנון ‪:PAM‬‬
‫נרצה לשדר אות באמצעות פולסים‪.‬‬
‫דגימה טבעית‪:‬‬
‫בשיטה זו מיוצגות דגימות האות האנלוגי ע"י פולסים ברוחב קבוע ובגובה היחסי לגובה הדגימה‪.‬‬
‫‪ms  t ‬‬
‫קיימות ‪ 2‬משפחות‪:‬‬
‫‪ .1‬דגימה טבעית‪.‬‬
‫‪ .2‬דגימה שטוחה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T 2T 3T 4T‬‬
‫דגימה טבעית‪:‬‬
‫המערכת של האפנון היא‪:‬‬
‫‪p t ‬‬
‫‪m  t     ms  t ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪s t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪ p  t  nT  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪s t ‬‬
‫‪ - s  t  ‬האות המחזורי הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪‬‬
‫במישור הזמן‪ p t  nT  :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪|7‬‬
‫‪. ms  t   m  t  s  t   m  t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2T 2T +‬‬
‫‪T +‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪Mf‬‬
‫עבור האות מהשאלה הקודמת‪ ,‬כיצד יראה ספקטרום האות הדגום בדגימה טבעית?‬
‫‪f‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪Wm‬‬
‫נקבל במישור התדר‪. M s  f   M  f  * S  f  :‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪    f  nf 0  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪sinc  n‬‬
‫‪ Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ C   f  nf     T‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.S f  ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪0..5T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . Cn ‬חישוב המקדם לפי ההתמרה‪:‬‬
‫חישוב המקדם לפי הגדרה‪p  t  e j 2 f0t dt :‬‬
‫‪P f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪f  nf‬‬
‫‪. Cn ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪  ‬‬
‫תוצאת הקונבולוציה היא‪sinc  n   M  f  nf 0  :‬‬
‫‪ Ts  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪. Ms  f   M  f *S  f  ‬‬
‫‪S f ‬‬
‫‪Ms  f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כדי שלא תהיינה דריכות חייבים לשמור על התנאי‪. f0  Wm  Wm  f0  2Wm :‬‬
‫כעת נסתכל מה קורה עבור אינדקסים שונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לראות כי מקדם פורייה‪  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ -  sinc  n‬קבוע ולכן אין עיוות בתחום התדר אלא רק ניחות‪.‬‬
‫‪ Ts‬‬
‫‪ Ts‬‬
‫הספקטרום מועתק סביב כפולות של תדר הדגימה ‪ f 0‬אולם רמתו נקבעת ע"י הערך של הספקטרום של האות הדוגם‪.‬‬
‫אין עיוות אלא רק סקיילינג בעוצמה‪.‬‬
‫‪1 Ts‬‬
‫כדי לשחזור נעביר דרך‪ˆ  t  :‬‬
‫‪ ms  t   LPF  m‬עם הגבר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪C0 ‬‬
‫ותדר קיטעון‪. Wm  fC  f0  Wm :‬‬
‫החיסרון הוא שלא מעשי לשדר פולסים בעוצמה משתנה‪.‬‬
‫דגימה שטוחה (רגעית)‪:‬‬
‫נבצע את השלבים הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬דגימה עם רכבת הלמים (אידיאלית)‪ m  nT   t  nT  :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪. msi  t   m  t  s  t  ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬קונבולוציה בין הדגימות לבין פולס מלבני‪ m  nT  p t  nT  :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪|8‬‬
‫‪. ms  t   msi  t  * p  t  ‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪Wm‬‬
‫תיאור שלבי הדגימה‪:‬‬
‫‪ms  t ‬‬
‫‪msi  t ‬‬
‫‪m t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T 2T 3T 4T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T 2T 3T 4T‬‬
‫‪T 2T 3T 4T‬‬
‫סעיף ב' של שאלה ‪:2‬‬
‫כיצד יראה ספקטרום האות הדגום בדגימה שטוחה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1 ‬‬
‫בשלב הראשון‪ M  f  nf0  :‬‬
‫‪T n‬‬
‫‪ . M si  f  ‬בשלב השני‪M  f  nf 0  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪sinc  f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪. M s  f   M si  f  P  f  ‬‬
‫‪Ms  f ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Hf ‬‬
‫ניתן לפצות על כך באמצעות מסנן השיחזור‪. ms  t   H  f   mˆ  t  :‬‬
‫‪1‬‬
‫כאשר‪ T :‬‬
‫‪P f ‬‬
‫‪|9‬‬
‫‪ H  f  ‬ותדר קיטעון‪. Wm  fC  f0  Wm :‬‬
‫‪f‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪fc‬‬
‫‪ fc‬‬
‫תירגול ‪:4‬‬
‫‪ms  t ‬‬
‫כפי שכבר ידוע לנו‪ ,‬הערוץ מוסיף רעש לאות ולכן נקבל משהו מהצורה הבאה‪:‬‬
‫האתגר הוא לשחזר את האות המקורי‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T 2T 3T 4T‬‬
‫מהי המסננת האופטימלית?‬
‫קריטריון הטיב‪ :‬מקסימום יחס לאות לרעש‪ .‬כלומר נרצה למצוא מסנן שיהיה אופטימלי מבחינת החלשת הרעש ביחס להחלשת האות‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫עבור שידור אות ‪ q  t ‬שנלווה אליו רל"ג ‪ n  t ‬עם צה"ס ‪. 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S 2 t ‬‬
‫‪S‬‬
‫מחפשים מקלט שהתגובה להלם שלו ‪ h  t ‬תיתן ברגע הדגימה ‪ SNR‬מקסימלי במוצא‪. SNRout     0 0 :‬‬
‫‪ N out n02  t ‬‬
‫המסננת המתואמת = )‪:Mached Filter (MF‬‬
‫ראינו בהרצאה כי‪ . h  t   q*  t0  t  :‬במישור התדר‪ . H  f   Q*  f  e j 2 ft0 :‬אופן המעבר מהאות למסנן‪:‬‬
‫‪q  t0  t   h  t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪T  t 0‬‬
‫‪q T  t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫בשביל סיבתיות מקובל לבחור (וזה מה שאנחנו נעשה) את‪. T  t0 :‬‬
‫תיאור המקלט האופטימלי‪:‬‬
‫‪t  t0‬‬
‫‪PT‬‬
‫‪Pn0‬‬
‫‪SNRout ‬‬
‫‪n  t  h t   q t  t ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪h t  V‬‬
‫‪Vin‬‬
‫‪out‬‬
‫‪‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪MF‬‬
‫ניתוח ההספק של הרעש‪:‬‬
‫אות הכניסה‪ Vin  t   q  t   n  t  :‬ואות המוצא‪ Vout  t   r  t   n0  t  :‬כאשר‪. n0  t   n  t  * h  t  , r  t   q t  * h t  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N0‬‬
‫הספק הרעש במוצא‪ . Pn 0  n02  t    Sn 0  f  df :‬כאשר‪Q  f  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫נקבל‪Eq :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| 11‬‬
‫‪df ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ q t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪parsaval‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q  f  df‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 MF‬‬
‫‪. Sn 0  f   Sn  f  H  f  ‬‬
‫‪Sn 0  f  df ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Pn 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫הספק האות במוצא המסננת המתואמת‪:‬‬
‫‪MF ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו‪ q t    h   d   q t    q T    d  R t  T  :‬‬
‫‪q‬‬
‫‪. r t   q t  * h t  ‬‬
‫קיבלנו ביטוי של פונקצית האוטוקורלציה של הפולס בכניסה מוזזת ב‪ T -‬יחידות זמן‪.‬‬
‫ביטוי זה מקבל מקסימום ברגע‪: t  T :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ q T    q T    d  R  0  E‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪. r  t  t T ‬‬
‫קיבלנו שעוצמת אות המוצא ברגע הדגימה יחסית לאנרגית האות בכניסה היא מירבית כאשר דוגמים בזמן ‪. t  T‬‬
‫לכן נבחר את רגע הדגימה להיות‪ T  t :‬כי בו נקבל הספק מקסימלי‪.‬‬
‫‪Eq2‬‬
‫‪2 Eq2‬‬
‫‪Pr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הספק האות ברגע הדגימה הוא‪ . Pr  r 2  t   Eq2 :‬נקבל בסוף את היחס‪ R :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t T‬‬
‫‪Pn 0 0.5 N0 Eq‬‬
‫‪N0‬‬
‫ניתן לראות כי אין תלות בצורה של הפולס אלא רק באנרגיה שלו‪.‬‬
‫‪. SNRout ‬‬
‫איפנון ‪:PAM‬‬
‫להלן תיאור מערכת איפנון ומקלט שלמה‪:‬‬
‫‪n t ‬‬
‫מקלט‬
‫‪y t ‬‬
‫‪t  mT‬‬
‫אפנן‬
‫‪s t ‬‬
‫‪MF‬‬
‫איפנון ‪PAM‬‬
‫‪‬‬
‫‪rPAM  t ‬‬
‫דגימה כל ‪T‬‬
‫‪m t ‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫אות המידע הוא‪ m  nT  q t  nT  :‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ rPAM  t  ‬והאות המשודר‪. s  t   rPAM  t   n  t  :‬‬
‫נסמן‪ r0  t   rPAM  t  * h  t  :‬ו‪ n0  t   n  t  * h  t  -‬כאשר‪ . y  t   r0  t   n0  t  :‬להלן תיאור כללי‪:‬‬
‫‪rout  t ‬‬
‫‪rPAM  t ‬‬
‫‪s t ‬‬
‫‪  m  3t ‬‬
‫‪m 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪m t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m 4t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪T‬‬
‫ניתן לראות כי ‪ r0  t ‬מורכב מקונבולוציה של ‪ q  t ‬בהשהייה של מחזור‪.‬‬
‫חישוב אנליטי של הספק האות‪:‬‬
‫נסתכל על אינטרוול ‪ r  t   m  nT  q t  : T‬ולכן‪. r0  t   r  t  * h  t   m  nT  q  t  * q T  t   m  nT  Rq t  T  :‬‬
‫הספק האות הוא‪ m2  nT   Rq  0  :‬‬
‫‪t T‬‬
‫‪. Pr  r02  t ‬‬
‫הספק הרעש הוא כמו קודם ולכן ה‪ SNR-‬עבור איפנון ‪ PAM‬הוא‪ m2 R :‬‬
‫‪| 11‬‬
‫‪m2  nT Eq2‬‬
‫‪0.5 N 0 Eq‬‬
‫‪. SNRout ‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תירגול ‪:5‬‬
‫שאלה ‪ 1‬מתוך תרגיל כיתה ‪:4‬‬
‫נתונה המערכת הבאה‪:‬‬
‫א‪ .‬הנח אות ‪ m  t ‬כלשהו וצייר את האות ב‪ I-‬וב‪.II-‬‬
‫ב‪ .‬מהו המסנן האופטימלי?‬
‫ג‪ .‬חשב את יחס אות לרעש לאחר דגימה וסינון‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזור על סעיף ג' עבור ‪h  t   h1  t ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫חיבור הענפים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נניח אות כללי‪:‬‬
‫תיאור מעבר האות בענף העליון והתחתון‪:‬‬
‫‪Bottom‬‬
‫‪II‬‬
‫‪Top‬‬
‫) ‪m(nT‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2.5T‬‬
‫‪3.5T‬‬
‫‪1.5T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3.5T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2.5T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪1.5T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪h  t   q T  t ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪Eq‬‬
‫ב‪ .‬המערכת שקולה למערכת ‪ PAM‬עם הפולס הבא‪:‬‬
‫נבטא באמצעות ‪. q  t   h1  t   h1  t  0.5T  : h  t ‬‬
‫ולפיכך המסננת האופטימלית הינה‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫ג‪ .‬ראינו בפעם קודמת כי‪. SNRout  m2 R :‬‬
‫לצורת הפולס אין משמעות אלא רק לאנרגיה שלו‪ .‬לכן יש לחשב את האנרגיה של הפולס ואז למצוא את ה‪. SNRout -‬‬
‫‪‬‬
‫‪2E‬‬
‫נחשב את האנרגיה‪( Eq   q 2  t  dt  Eq :‬נירמלו לנו את זה כבר בתרגיל)‪ .‬כעת‪ R  q :‬ולכן‪. SNRout  m2 R :‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬בשיעור קודם ראינו‪. r0  t   r  t  * h  t   m  nT  q  t  * h t  :‬‬
‫תוצאת הקונבולוציה‪:‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪h1  t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪Eq‬‬
‫לאחר הדגימה ברגע ‪ t  T‬נקבל‪m  nT  :‬‬
‫ההספק‪:‬‬
‫‪Eq2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪. r0  t  T  ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T/2‬‬
‫‪df ‬‬
‫‪Eq2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫מסקנה‪4  1 m 2 R :‬‬
‫‪N 0 Eq 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Pr0‬‬
‫‪Pn0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪T‬‬
‫‪. Pr0  r02  t  T   m2‬‬
‫‪N 0 Eq‬‬
‫עבור הרעש‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪| 12‬‬
‫‪Eq‬‬
‫*‬
‫‪T‬‬
‫‪H  f  df ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Pn0 ‬‬
‫‪0.5 E q‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1.5T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ - SNRout ‬היחס אות לרעש ירד פי ‪.2‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪rout  t ‬‬
‫‪0.75T‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪0.5 Eq‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫רוצים לשדר שני אותות ‪ m1  t  , m2  t ‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫כאשר ‪ PAM1‬משתמש בפולס‪q1  t   h1  t   h1  t  0.5T  :‬‬
‫ו‪ PAM2-‬משתמש בפולס‪. q2  t   h1  t   h1  t  0.5T  :‬‬
‫הצע דרך להפריד בין שני האותות‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪q2  t ‬‬
‫‪q1  t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫נצייר את האותות ‪: q1  t  , q2  t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Eq‬‬
‫אות המוצא‪. r  t    m1  nT  q1  t  nT    m2  nT  q2  t  nT  :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪n‬‬
‫נסתכל באינטרוול ‪. r  t   m1  nT  q1 t   m2 nT q 2 t  : T‬‬
‫במוצא ‪ MF1‬נקבל‪. h1  t   q1 T  t   q1  t  :‬‬
‫במעבר האות נקבל‪. y1  t   r  t  * h1  t   m1  nT  q1 t  * q1 t   m2  nT  q2 t  * q1 t  :‬‬
‫יש לנו שני ביטויים‪ ,‬הראשון הוא פשוט‪ m1  nT  Rq1  t  T  :‬ודגימתו ב‪ t  T -‬תיתן את האנרגיה של ‪. q1  t ‬‬
‫הביטוי השני צריך עיון‪ ,‬יש לבצע את הקונבולוציה ולקחת את המדידה ב‪. t  T -‬‬
‫‪0.5 E q‬‬
‫הקונבולוציה יוצאת כמתואר‪ .‬לאחר הדוגם נקבל‪. y1  t  t T  m1  nT  Eq  0 :‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪q1  t  * q2  t ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0.5 Eq‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫כיוון ש‪ q1  t  -‬ו‪ q2  t  -‬אורתוגונליים נשתמש בשני מקלטים במוצא כאשר ‪ MF1‬מתואמת ל‪ q1  t  -‬ו‪ MF2 -‬מתואמת ל‪. q2  t  -‬‬
‫דגימה בפס מעבר‪:‬‬
‫מדובר באותות צרי סרט כמתואר‪:‬‬
‫נוח לדגום בפס מעבר בתחום בו הוא קיים ורוצים לדגום בקצב נמוך ככל האפשר‪.‬‬
‫‪f2‬‬
‫‪f1‬‬
‫‪-f2‬‬
‫‪k=0‬‬
‫נחלק למקרים‪:‬‬
‫‪k=-1‬‬
‫‪k=3‬‬
‫א‪ .‬אם‪ f 2  n   f 2  f1  :‬אז‪. f S  2  f 2  f1  :‬‬
‫ב‪ .‬אם‪ f 2  n   f 2  f1  :‬נבצע הרחבה משמאל‪.‬‬
‫נחפש ‪ B‬כך ש‪ f 2  n   f 2  f1  B  -‬ואז‪. f S  2  f 2  f1  B  :‬‬
‫ג‪ .‬הרחבה מימין – נחפש ‪ B‬כך ש‪ f 2  B  n  f 2  f1  B  -‬ואז‪. f S  2  f 2  f1  B  :‬‬
‫ד‪ .‬עבור אות סימטרי סביב תדר מרכזי ‪ f 0‬ניתן לדגום בחצי תדר הדגימה של האות הלא סימטרי‪.‬‬
‫‪| 13‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪k=-2‬‬
‫‪k=2‬‬
‫‪- f1‬‬
‫‪k=-3‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪k=0‬‬
‫שאלה ‪ 3‬מתרגיל כיתה ‪:3‬‬
‫נתון אות לא סימטרי (סביב אפס)‪ . f 2  10kHz , f1  7kHz :‬יש למצוא תדר דגימה מינימלי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נציב בנוסחאות‪:‬‬
‫א‪ .‬האם מתקיים‪. 10  n 10  7  :‬‬
‫ב‪. 10  n  3  B   10  n 10  7  B  .‬‬
‫בהצבת ‪ B  0‬נקבל‪ . n  3.333 :‬ניקח את המספר השלם הקרוב מלמטה‪ n  3 :‬ונקבל‪. B  1/ 3 :‬‬
‫‪ f ‬‬
‫‪2‬‬
‫תדר הדגימה יהיה‪ . f s  2  3  3 /1  6 kHz :‬באופן כללי נכתוב‪. n   2  :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ f 2  f1 ‬‬
‫תירגול ‪:6‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫נתונה מערכת לשידור ‪ PPM‬הבאה‪:‬‬
‫הניחו אות מידע וציירו את האותות ב‪.IV ,III ,II ,I -‬‬
‫איזה סוג איפנון התקבל ב‪?III-‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪  m  3t ‬‬
‫‪m 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪m t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m 4t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2T‬‬
‫קיבלנו אפנון ‪ .PWM‬רוחב כל פולס נקבע לפי גובה אות המידע‪ .‬ככל ש‪ m  kT  -‬גדול יותר הפולס צר יותר‪.‬‬
‫גנרטור פולסים – מוצא פולס כשהמשווה עולה ל‪ .1-‬הפולסים בעלי רוחב קבוע‪.‬‬
‫קיבלנו אפנון ‪ .PPM‬אות ‪ III‬מחובר כטריגר לגנרטור פולסים‪ ,‬כלומר בעליית מתח של ‪ III‬נוצר פולס ברוחב וגובה קבועים‪.‬‬
‫שאלה ‪:2‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Rq  ‬‬
‫‪. Rq     ‬‬
‫נתון‪ 2 ;    :‬‬
‫‪2‬‬
‫אין אנומליה ולכן הרעש לבד לא עובר את הסף‪.‬‬
‫נחשב את ‪ - t y‬הנקודה שבה מתרחש מעבר הסף ללא רעש‪:‬‬
‫‪  y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  y  ty  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rq  t  t y    ‬‬
‫לקחנו את הפתרון השלילי כדי לקבל את מעבר הסף הראשון‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫נחשב את המשערך ‪. y  Rq  tˆy   n0  tˆy      2 tˆy2   n0  tˆy  : tˆy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 14‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ty‬‬
‫‪tˆy‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n0  tˆy  ‬‬
‫‪ 1 n0  tˆy  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נפשט‪ :‬‬
‫‪. ty  ‬‬
‫‪  y  n0  t y   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  y  1 ‬‬
‫‪   y  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x‬‬
‫נעזרנו בקירוב‪ . 1  x  1  :‬נחשב את השגיאה הריבועית הממוצעת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪ n t‬‬
‫‪ n tˆ  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 0  y  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 1 0  y   2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ E ‬‬
‫‪  y        y  E ‬‬
‫‪  y‬‬
‫‪E n02  tˆy ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2   y  4‬‬
‫‪  y ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  N0 / 2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ידוע כי‪ E  n02  t    Rn0  0   0 Rq  0   0  :‬ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪, R‬‬
‫‪4   y  4R   y ‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  t y  tˆy ‬‬
‫‪. eA2 ‬‬
‫‪e A2‬‬
‫ניתן לראות כי השגיאה גדלה ככל שהסף גדל כיוון שלפי צורת הפונקציה השיפוע הנמוך יותר קרוב‬
‫לפיק ולכן עבור ערכי רעש קטנים נגיע למעבר סף מהיר יותר ורחוק מהמקום האמיתי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0.75ε‬‬
‫‪0.25ε‬‬
‫תירגולים ‪:7+8‬‬
‫המשך השאלה מתרגיל כיתה ‪:5‬‬
‫א‪ .‬שגיאה ללא אנומליה היא הרעש שגורם לתזוזה של רגע חציית הסף ימינה‪/‬שמאלה‪.‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. eA ‬‬
‫קיבלנו את הביטוי‪:‬‬
‫‪4R   y ‬‬
‫ב‪ .‬אנומליה = מעבר סף בגלל רעש שלא בנוכחות האות‪ .‬ככל שהסף ‪ y‬גבוה יותר כך הסיכוי לאנומליה קטן יותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬שגיאת שיערוך הזמן כתוצאה מאנומליה‪:‬‬
‫‪Rq  ‬‬
‫עלינו לחשב את ההסתברות‪. P  n0  t   y ;  0.5T  t  0  :‬‬
‫‪y‬‬
‫נסתכל על האינטגרל בתחום ‪  0.5T , 0‬שכן לאחר קטע זה‬
‫באופן ממוצע תהיה חצייה של הסף ‪ y‬ע"י האות שלא כתוצאה‬
‫מהאנומליה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫בשלב השני נניח כי מיקום האנומליה בציר הזמן מפולג אחיד בתחום הנ"ל‪ .‬נחשב את המומנט השני של שגיאת השיערוך‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪T2‬‬
‫‪. E  eA2   eA2  ‬‬
‫‪t dt ‬‬
‫‪T /2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪0.5T‬‬
‫ד‪ .‬ההסתברות לאנומליה כפונקציה של הסף ‪: y‬‬
‫ברצוננו לחשב את ההסתברות האם הרעש עבר את הסף במקטע ‪  0.5T , 0‬אבל רעש לבן שעובר במסנן נצבע ולכן כל ‪ 2‬דגימות‬
‫‪N0‬‬
‫כבר לא בהכרח חס"ק‪ .‬לכן החישוב מורכב ונרצה קירוב‪ .‬ניזכר בכך ש‪Rq   -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T /2‬‬
‫‪ B ‬נקודות חוסר קורלציה בתחום‪.‬‬
‫הינן חס"ק‪ .‬נחלק את הקטע ‪  0.5T , 0‬למקטעים באורך ‪ ‬ונקבל‬
‫‪‬‬
‫השגיאה כפי שראינו בהרצאה‪ PA  B  PA1 :‬כאשר‪ - B :‬מספר הנקודות ו‪ - PA1 -‬ההסתברות למעבר סף בנקודת קורלציה‪.‬‬
‫‪ , Rn   ‬כלומר ‪ 2‬דגימות במרחק ‪  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ PA1  P  n0  y   Q ‬לפי חסם על פונקצית ‪ Q‬שהוא‪. Q    e0.5 :‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 1  y 2 /2 2‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫מקבלים‪ .  n0  Rn0  0   0 Rq  0   0  :‬נציב הכל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| 15‬‬
‫‪T  y 2 / N 0‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ PA1  e y / N0‬ולכן‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. PA ‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫ה‪ .‬חישוב השגיאה הכוללת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T 2  ‬‬
‫‪T  y 2 / N0   2‬‬
‫‪. e2  PA eA2  1  PA  eA2   e y / N0    1 ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪12   4‬‬
‫‪ 4R   y  ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪PA   A2‬‬
‫‪y‬‬
‫דרוש למצוא סף ‪ y‬שמביא ל‪ e 2 -‬מינימלי‪:‬‬
‫ניתן לפתור ע"י גזירה לקבלת פתרון מדויק‪ .‬במקרה הזה החישוב מורכב‪ .‬ניעזר בנתון שעבור‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. eA2  eA2 , y ‬‬
‫כלומר ישנם ‪ 2‬מרכיבים בשגיאה הכוללת ונתייחס בכל תחום למרכיב הדומיננטי‪.‬‬
‫לכן הצורה הכללית של השגיאה תיראה כך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y ‬הסף גבוה יחסית ולכן ההסתברות לאנומליה נמוכה מאוד‬
‫בתחום‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫והשגיאה הדומיננטית היא שגיאת מעבר הסף הרגילה‪.‬‬
‫בתחום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪eA2‬‬
‫‪0.75ε‬‬
‫‪eA2‬‬
‫‪0.5ε‬‬
‫‪0.25ε‬‬
‫‪ y ‬הסף נמוך והסיכוי לאנומליה גדול יותר‪.‬‬
‫ניתן לראות שהאופטימום לקביעת סף המקלט הוא בקירוב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. yopt ‬‬
‫הקדמה‪:‬‬
‫‪q t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪N 1‬‬
‫סדרת ברקר – הגדרה‪. ai  1 , bN  t    ai q  t  k t  :‬‬
‫‪T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪k 0‬‬
‫נבחן את המקרה של פולס מאופנן ‪ PPM‬עם סדרת ברקר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫נבחר סידרת ברקר עם תמך כולל ‪( ‬רוחב מלבן בודד הוא‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫לשם ההשוואה אנו מעוניינים בפולס מאופנן עם אנרגיה ‪ Eq‬ותמך ‪ ‬כמו בפולס מלבני רגיל‪.‬‬
‫‪ - t ‬תמיד ננרמל כך הסכום של כל הביטים יניב ‪.) Eq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 T ‬‬
‫ראינו בהרצאה כי עבור ‪ PPM‬מקבלים‪ SNR    m2 R :‬כאשר‪  c :‬הינו זמן הקורלציה האפקטיבי של הפולס‪ ,‬כלומר‬
‫‪4 c ‬‬
‫ניתן לשפר את הביצועים של מערכת ‪ PPM‬אם נקטין את זמן זה‪ .‬קיימים פולסים אשר מנצלים תכונה זו תוך שמירה‬
‫על הספק ואנרגיה קבועים‪.‬‬
‫עד עתה עסקנו בגלאי סף שנועד לאתר את המעבר הראשון של סף ‪ y‬כלשהו‪.‬‬
‫בשאלה הבאה נפגוש גלאי מתוחכם יותר – "גלאי שיא"‪ .‬עבור גלאי זה "מקליטים" את כל האינטרוול ‪ T‬ומחפשים את המקסימום‬
‫על פני כל האינטרוול (בד"כ ההנחה היא ש‪ Eq -‬הוא הערך המקסימלי של המערכת)‪.‬‬
‫שאלה ‪ 1‬מתרגיל כיתה ‪:6‬‬
‫נתונה מערכת ‪ PPM‬בה משתמשים בפולס הבא‪ :‬אות מסדר ‪ L‬שמחליף את סימנו ‪ L  1‬פעמים לאורך המסגרת‪.‬‬
‫א‪ .‬סרטטו את תפוקת המסננת המתואמת‪ .‬המסנן המתואם לפולס מסדר ‪. L  3‬‬
‫ב‪ .‬ציינו את מקורות השגיאה השונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור מערכת מסדר ‪ ,L‬חשבו את ה‪ SNR -‬ללא אנומליה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חזרו על סיף ג' תוך התחשבות באנומליה‪.‬‬
‫‪| 16‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ . N  L  3 .‬רוחב כל מלבן הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y t  Rq t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 Eq‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b3  t ‬‬
‫‪‬‬
‫תפוקת המסננת המתואמת‬
‫‪Eq‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h  t   b3   t ‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬כאשר עובדים מעל הסף (ב‪ SNR-‬גבוה‪ ,‬אין אנומליה) יש רק דגימה רגילה – שיערוך מיקום הפולס ברעש ‪.  12 -‬‬
‫כשעובדים באזור הסף יש לנו ‪ 3‬סוגי שגיאות‪:‬‬
‫‪ .1‬שגיאה רגילה ‪.  12 -‬‬
‫‪ .2‬שגיאת אנומליה ‪.  32 -‬‬
‫‪ .3‬הינעלות על שיא משני עקב רעש ‪.  22 -‬‬
‫ג‪ .‬חישוב השגיאה הרגילה וההספק שלה‪:‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪E‬‬
‫‪n0  2 L  1 Eq / L‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל לפי יחסי דמיון‪ q :‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ /L‬‬
‫‪ /  2 L 1  c‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2L  1‬‬
‫‪. c ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N0‬‬
‫‪2‬‬
‫השגיאה היא‪n :‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t ‬וההספק‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 L  1 Eq 0‬‬
‫‪ 2L  1 Eq 2‬‬
‫‪ 2L  1 R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E  n02  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Eq2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2L  1‬‬
‫‪. E  t 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪. Pin  E  m  kT   ‬‬
‫הגדרנו‪:‬‬
‫‪  c ‬ולכן‪ . E  t 2   c :‬הספק המידע המשוחזר‪m2 :‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2L  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Pin‬‬
‫‪1 T ‬‬
‫יחס האות לרעש הוא‪   m2 R :‬‬
‫‪. SNR ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E  t  4   c ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1T ‬‬
‫לעניין השוואה נשים לב כי עבור ‪( L  1‬פולס מלבני ‪ PPM‬רגיל) נקבל‪. SNR    m2 R :‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1T ‬‬
‫עבור‪ L  3 :‬מקבלים‪. SNR    m2 R  25 :‬‬
‫‪4 ‬‬
‫מסקנה‪ :‬סדרת ברקר מגדילה את שיפוע הפולס המרכזי ע"י הקטנת זמן הקורלציה האפקטיבי וזה משפר מאוד את ה‪.SNR-‬‬
‫כעת נתחשב באנומליה‪ .‬נדון רק בהינעלות על השיא המשני הראשון‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ t2  t1 ‬ולכן‪.     :‬‬
‫המרחק בין שיא משני לראשי הוא‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ L‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. P2  P n0  t1  ‬‬
‫אנו מחשבים את ההסתברות הבאה‪Eq  n0  t2   Eq   Pr n0  t1   n0  t2   Eq  :‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר‪ . z n0  t1   n0  t2  :‬התוחלת היא‪ . E z  E n0  t1   n0  t2   0 :‬השונות היא (בעמוד הבא)‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| 17‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪var  z   E  z 2   E  n0  t1   n0  t2    n0  t1   n0  t2   ‬‬
‫‪2 N 0 Eq‬‬
‫‪N‬‬
‫‪L2‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪ 2 Rn0  t1  t2   E n02  t2   E n02  t1   N 0 Eq  2  0 Rn0     N 0 Eq ‬‬
‫‪Eq ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Eq ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L  12 RL‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪. Pr  z  Eq   Q  L‬‬
‫ההסתברות היא‪:‬‬
‫‪  Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪2 R‬‬
‫‪‬‬
‫‪ L ‬‬
‫‪ 2N E ‬‬
‫‪ L 0 q ‬‬
‫‪T2‬‬
‫ד‪ .‬שגיאת האנומליה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.  32 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  Q R  ‬‬
‫ההסתברות לאנומליה‪e 0.5 R :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 R‬‬
‫‪‬‬
‫השגיאה הכוללת היא‪.  2  P112  P2 22  P3 32 :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Eq‬‬
‫‪. P3    P  n0  Eq    Q ‬‬
‫‪ 0.5 N 0 Eq‬‬
‫‪‬‬
‫ההסתברות‪ . P1  1   P2  P3  :‬היחס אות לרעש במוצא‪:‬‬
‫‪0.25T 2 m2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. SNRout ‬‬
‫תירגול ‪ – 9‬צה"ס של אות מאופנן ‪:PAM‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫‪m  t  rPAM  t ‬‬
‫באפנון ‪ PAM‬אנו דוגמים את האות במרווחי זמן ‪ T‬באמצעות חלון ריבועי‪:‬‬
‫‪  m  3t ‬‬
‫‪m 2t‬‬
‫‪‬‬
‫‪m t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m 4t‬‬
‫אנו נתמקד באפנון קו בינארי (ביטים של ‪ 0‬או ‪ – )1‬מקרה פרטי של איפנון ‪.PAM‬‬
‫‪t‬‬
‫‪4T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪T‬‬
‫ת"א שעבר קוונטיזציה והפך לת"א בזמן בדיד ‪  X l l ‬הוא ת"א ‪ WSS‬עם תוחלת‪m  E  X l  :‬‬
‫‪‬‬
‫ופונקציית אוטוקורלציה‪ . RXX  m   E  X l m X l  :‬הת"א שנוצר כתוצאה מאיפנון ‪ PAM‬לסידרה ‪  X l l ‬הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X g t  lT ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪l‬‬
‫‪Y t  ‬‬
‫‪l ‬‬
‫כאשר‪ Y  t  :‬הוא ת"א בזמן רציף במחזור ‪ Ts‬שאינו ‪ WSS‬אלא ציקלו‪-‬סטציונארי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫(ניתן לראות זאת בניגוד למה שראינו‪ m  nT  g t  nT  :‬‬
‫‪s‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ rPAM  t  ‬אשר מקבל ערכים רציפים של ‪.) m  t ‬‬
‫יצירת קוד קו בינארי‪:‬‬
‫‪line‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g t   y t ‬‬
‫‪decoder‬‬
‫‪| 18‬‬
‫‪bk‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫בתיאור המודל נכנסים ביטים ‪ . bk  0,1‬המקודד יוצר רצף הלמים ‪ ak‬בהתאם לקוד הרצוי (ראינו מספר מקרים בהרצאה)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫במוצא המקודד מקבלים‪ a   t  kT  :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪s‬‬
‫ולבסוף את האות ‪. y  t ‬‬
‫‪k ‬‬
‫לדוגמא עבור הקוד הבא נקבל את האות הנ"ל‪:‬‬
‫‪bk  1  A‬‬
‫‪ak  1‬‬
‫‪.‬‬
‫מגדירים‪:‬‬
‫‪bk  0   A ak  1‬‬
‫‪y t ‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪a4‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪a2‬‬
‫שאלה ‪ 2‬ממבחן תשע"א א'‪:‬‬
‫תהי‪  X l l  :‬סידרת מ"א ב"ת בעלי פילוג זהה כאשר ‪ X l‬יוניפורמית על הקבוצה ‪. 1,1‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר את פולס העיצור‪:‬‬
‫‪t  0.5Ts‬‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h  t   ‬ואת הת"א‪ X 1  t   A  X l h  t  lTs  :‬כאשר ‪ A, Ts‬דטרמיניסטיים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ .‬סרטטו ריאליזציה של הת"א ‪ X 1  t ‬בתחום‪  6Ts ,6Ts  :‬המתאימה לריאליזציה מסוימת (הנתונה לבחירתכם) של ‪.  X l l ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬חשבו ביטוי עבור פונקצית צה"ס של הת"א ‪ X 1  t ‬כפונקציה של ‪. A, Ts‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬נגדיר את הת"א‪ X 2  t   A  X l h  t  2lTs  ,    t   :‬כאשר‪ A, Ts :‬אותם גדלים דטרמיניסטיים כמקודם‪.‬‬
‫‪l ‬‬
‫סרטט ריאליזציה של הת"א ‪ X 2  t ‬בטור הזמנים ‪  6Ts ,6Ts ‬המתאימה לריאליזציה הקודמת שבחרתם עבור ‪.  X l l ‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬חשבו ביטוי עבור פונקצית הצה"ס של הת"א ‪ X 2  t ‬כפונקציה של ‪ . A, Ts‬יש להראות באופן ברור את שלבי החישוב‪.‬‬
‫ה‪ .‬כיצד מתייחסות פונקצית הצה"ס של ‪ 2‬התהליכים?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נבחר‪  X l   1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1, 1,1, 1 :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪X1  t ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2T‬‬
‫‪-T‬‬
‫‪-3T‬‬
‫‪-4T‬‬
‫‪-5T‬‬
‫‪-6T‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הקידוד הנתון מתאים לנתונים של ‪. 0   A  1 , 1  A 1 :Polar NRZ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫תזכורת‪  f    2  Rn  m2  cos  2 nfTs   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ts ‬‬
‫‪n  ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 19‬‬
‫‪Hf  ‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Ps  f  ‬‬
‫‪ R0  m ‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נחשב‪A    A  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כאשר‪ - I :‬מספר הערכים האפשריים עבור ‪ ak‬ו‪ - Pi -‬ההסתברות של הערך ה‪ i -‬מתוך ה‪ I -‬ערכים אפשריים‪.‬‬
‫‪. m  E  X l   E  ak     ak i  Pi ‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כמו כן‪R0    ak ak  n i  Pi    ak ak n i  Pi   A  A    A  A  A2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כעת‪ I :‬הוא מספר הקומבינציות האפשריות של ערכי זוג ההלמים ‪ ak , ak  n‬ו‪ Pi -‬היא ההסתברות של קומבינציה זו‪.‬‬
‫באותו האופן יש לנו ‪ 4‬קומבינציות אפשריות עבור המקרה הכללי‪:‬‬
‫‪I‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪R4    ak ak  n i  Pi    ak ak  n i  Pi   A  A    A  A   A  A    A A  0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin  fTs‬‬
‫‪‬‬
‫נמצא את התמרת הפורייה של הפולס המאופנן‪:‬‬
‫‪   Ts‬‬
‫‪ fTs‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  t‬‬
‫‪. H  f   F  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  Ts‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin  fTs  2‬‬
‫‪1  sin  fTs  2‬‬
‫‪. P1  f    Ts‬‬
‫‪ A  Ts ‬‬
‫נציב את כל הגדלים ונקבל‪ A :‬‬
‫‪Ts ‬‬
‫‪ fTs ‬‬
‫‪  fTs ‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪1 s 2‬‬
‫‪1‬‬
‫נבדוק את ההספק הממוצע למשך בני ביטים (לא נדרש בשאלה)‪ A2Ts    A  Ts   A2 :‬‬
‫‪s  t  dt ‬‬
‫‪. PS ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2Ts 0‬‬
‫‪2Ts‬‬
‫נציין כי יש לחשב את ההספק עבור כל צירוף אך היות וכולם שווים ומופיעים בהסתברות זהה חישבנו למעשה רק אחד‬
‫כי הוא מייצג את ההספק הממוצע‪ .‬במקרים בהם לכל צירוף הסתברות שונה יש לחשב באופן משוקלל‪.‬‬
‫ג‪ .‬הפולס לא השתנה אלא רק המרווח‪.‬‬
‫סדרת הדגימות ‪  X l ‬זהה למקודם אך‬
‫כעת המרווחים בין כל דגימה ודגימה הם‬
‫‪ . 2Ts‬כלומר נכנסות פי ‪ 2‬פחות דגימות‬
‫באינטרוול הנתון‪.‬‬
‫‪X 2 t ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2T‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T‬‬
‫‪-T‬‬
‫‪-2T‬‬
‫‪-3T‬‬
‫‪-5T‬‬
‫‪-4T‬‬
‫‪-6T‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪ .‬עפ"י הדרך שראינו בהרצאה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E   X l g  t  l  2Ts   dt  ...  A2  RXX  m  RYY  m  2Ts ‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪   Rn  m  cos  2 nf  2Ts   :‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ f ‬‬
‫‪  2Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪X 22  t  dt   A2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2Ts‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.E‬‬
‫‪‬‬
‫‪Hf  ‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. P f  ‬‬
‫‪ R0  m ‬‬
‫‪2Ts ‬‬
‫‪2Ts‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ts  sin  fTs  2‬‬
‫‪sin  fTs‬‬
‫נציב את הגדלים‪, m  0 , R0  A2 , Rn  0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H  f   Ts‬ונקבל‪ A :‬‬
‫‪2   fTs ‬‬
‫‪ fTs‬‬
‫‪. P2  f  ‬‬
‫‪P2  f  1‬‬
‫ה‪ .‬ניתן לראות כי יחס ההספקים הוא‪ :‬‬
‫‪P1  f  2‬‬
‫המסקנה‪ :‬משדרים באמצעות פולס קו זהה אולם במשך זמן ארוך פי ‪.2‬‬
‫מבחינת התכולה הספקטרלית‪ ,‬שתי צפיפויות ההספק זהות עד פקטור של חצי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪| 21‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫שאלה ‪ 2‬ממועד ב' תשע"א‪:‬‬
‫תהי ‪  X l l ‬סדרת מ"א ב"ת בעלי פילוג זהה כאשר ‪  X l ‬יוניפורמית על הקבוצה ‪. 1, 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 t  0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h  t   ‬ואת הת"א‪ X 1  t   A1  X l h  t  lTs  :‬כאשר‪ A1 , Ts :‬דטרמיניסטיים‪.‬‬
‫נגדיר את פולס העיצוב‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪l ‬‬
‫‪0 else‬‬
‫א‪ .‬חשב ביטוי עבור פונקצית צה"ס של הת"א ‪ X 1  t ‬כפונקציה של ‪. A1 , Ts‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים את הסדרה ‪  X l l ‬באופן הבא‪ X l  X l  X l 1 :‬לכל ‪ l‬שלם ואת הת"א‪. X 2  t   A2  X l h  t  lTs  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪l ‬‬
‫רשום בטבלה את כל הערכים האפשריים עבור סדרה באורך ‪ 4‬סימבולים‪X1 , X 2 , X 3 , X 4 :‬‬
‫של הסדרה האקראית ‪ X1l ‬‬
‫‪‬‬
‫בטור הזמנים‪ 1 2 3 4 :‬ולמולם את הערכים המתאימים של הסימבולים ‪ X 2 , X 3 , X 4‬של הסדרה האקראית‬
‫בטור הזמנים ‪.  2 3 4‬‬
‫ג‪ .‬חשבו ביטוי עבור פונקצית צה"ס של התהליך ‪ X 2  t ‬כפונקציה של ‪ . A2 , Ts‬היעזרו בטבלה שבניתם בסעיף הקודם‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את הערכים המתאימים של ‪ A1 , A2‬עוברם הספק השידור הממוצע בשתי השיטות הוא‪. Ps  1 :‬‬
‫סרטטו סקיצות והשוו בין פונקציות צה"ס של שני התהליכים‪.‬‬
‫ה‪ .‬הסבר את ההבדל בין שני ההספקים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin  fTs  2‬‬
‫‪. P1  f   Ts ‬‬
‫א‪ .‬ישירות מהמקרה הקודם מקבלים‪ A1 :‬‬
‫‪  fTs ‬‬
‫ב‪ .‬נסדר את הנתונים בטבלה הבאה‪:‬‬
‫*‬
‫כאשר נחשב את התוחלת נקבל גם כאן אפס‪.‬‬
‫* העמודה הנ"ל היא לסעיף האחרון‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪X4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪X3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪X4‬‬
‫‪X3‬‬
‫‪X2‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג‪ .‬הוגדר‪ . X l  X l  X l 1 :‬לכן‪. E X l  E  X l   E  X l 1  0 :‬‬
‫‪1 , 0.5‬‬
‫‪Xl  ‬‬
‫‪-1 , 0.5‬‬
‫‪2 , 0.25‬‬
‫‪‬‬
‫נוכל לכתוב לשם נוחות‪ X l  X l  X l 1  0 , 0.5 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 , 0.5‬‬
‫‪-2 , 0.25‬‬
‫‪X l 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 21‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪X ‬‬
‫‪‬‬
‫‪l l ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נחשב‪R0   X l X l Pi   2  2    0  0    2  2   2 :‬‬
‫‪i‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪i 1‬‬
‫עבור המקרה הבא נפצל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪R1  R1   X l X l Pi ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  2  0    2  -2    0   0  2    0  0    0  -2     -2  2   0   -2  0    -2  -2   1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2  2‬‬
‫‪9‬‬
‫באותו האופן נקבל‪. R2  R2   X l X l  2 Pi  ....  0 :‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫מכאן אמורים להסיק כי כעת‪. Rn  R n  0 , n  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin  fTs  2‬‬
‫‪ sin  fTs ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. P2  f   Ts ‬‬
‫‪ A2  2  2 1 cos  2 1 fTs    2 A2 Ts ‬‬
‫נציב בנוסחה ונקבל‪ 1  cos  2 fTs   :‬‬
‫‪  fTs ‬‬
‫‪  fTs ‬‬
‫ד‪ .‬עפ"י מה שראינו בכיתה‪ . P1  A12  1  A1  1 :‬נעזר בעמודת העזר שבטבלה אשר מחשבת את ההספק במשך הזמנים ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ו‪ 3-‬לפי‪ . X 22  X 32 :‬העמודה מנורמלת לפי ‪. A2Ts‬‬
‫‪2Ts‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E  s 2  t  dt ‬‬
‫מתוך העמודה הנ"ל רואים כי ניתן לקבל‪4 A22Ts   2 A22  1 :‬‬
‫‪ P2 ‬ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Pf‬‬
‫‪‬‬
‫חשוב לנרמל את הצירים – הגרף יהיה לפי‪, fTs  :‬‬
‫‪. s‬‬
‫‪ Ts‬‬
‫‪‬‬
‫ההספק באפס הוא‪. P2  0   2Ts :‬‬
‫‪1‬‬
‫האפסים של ‪ P2  f ‬הם‪ - fTs  n , n  0 :‬מה‪ Sinc-‬ו‪ n -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ fTs ‬מה‪.cos-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin  fTs ‬‬
‫‪. P1  f   Ts ‬‬
‫עבור המקרה הרגיל קיבלנו‪ :‬‬
‫‪  fTs ‬‬
‫באפס הוא‪. P1  0   Ts :‬‬
‫האפסים שלו הם‪ fTs  n , n  0 :‬מה‪.Sinc-‬‬
‫נקבל את התיאור הבא‪:‬‬
‫‪P f ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P2  f ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪P1 f‬‬
‫‪fTS‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫ה‪ .‬הרחבנו בציר הזמן את הקורלציה‪ .‬ולכן יש לנו הספק צר יותר במישור התדר‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪. A2 ‬‬
‫תירגול ‪:11‬‬
‫אות צר סרט ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫אות פס מעבר )‪ (BP‬נוצר בד"כ מאיפנון אות מידע ‪( Baseband‬פס מעבר) על גל נושא בתדר ‪. f C‬‬
‫אות ‪ BP‬מאופיין ע"י ספקטרום המרוכז סביב תדר מרכזי ‪. f C‬‬
‫אות ‪ BP‬נקרא "צר סרט" אם רוחב תחום התדרים בהם נמצא הספקטרום צר יחסית לתדר ‪. f C‬‬
‫רעש צר סרט ‪ -‬הגדרה‪:‬‬
‫בקליטת אות ‪ BP‬בד"כ יקדים את הגלאי מסנן צר סרט )‪ (BPF‬שנודע להעביר את הספקטרום של אות המידע אבל להגביל למינימום‬
‫ההכרחי את מעבר הרעש רחב הסרט שמתווסף לאות בערוץ‪ .‬לאחר המסנן הרעש כבר לא רחב סרט ומכונה בד"כ רעש צר סרט‪.‬‬
‫‪AWGN‬‬
‫‪H f‬‬
‫‪2B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪S min f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪fC‬‬
‫מסנן צר סרט‬
‫‪BPF‬‬
‫‪ fC‬‬
‫אנו דנים במקרה בו רעש הכניסה לב עם ממוצע אפס וצה"ס ‪ 0.5N0‬ואות המידע משודר סביב תדר מרכזי ‪ f C‬ורוחבו ‪. 2B‬‬
‫‪‬‬
‫מתקיים‪:‬‬
‫‪ S  f  df‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ - Pn ‬הספק הרעש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫רעש צר סרט ניתן לאיפנון באופן הבא‪:‬‬
‫‪. n  t   R  t  cos ct    t   .1‬‬
‫‪. n  t   nC  t  cos C t  nS  t  cos C t .2‬‬
‫‪. n  t   Re n p  t   Re n  t  e jC t  .3‬‬
‫פונקציות עזר‪:‬‬
‫‪ .1‬אות אנליטי (קדם עוטפת)‪. n p  t   n  t   jn  t  :‬‬
‫‪ .2‬עוטפת קומפלקסית‪:‬‬
‫‪. n  t   n p  t  e jC t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n  t   nC  t   jnS  t ‬‬
‫‪j  t ‬‬
‫‪. n t   R t  e‬‬
‫רכיבים פולארים‪:‬‬
‫מעטפת האות‪. R  t   n  t   nC2  t   nS2  t  :‬‬
‫‪ n t  ‬‬
‫‪.   t   n  t   tan 1  S‬‬
‫פאזת האות‪ :‬‬
‫‪ nC  t  ‬‬
‫רכיבים ניצבים‪:‬‬
‫‪nC  t   Re n  t   R  t  cos   t  ‬‬
‫‪nS  t   Im n  t   R  t  sin   t  ‬‬
‫‪| 23‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
:‫תוצאה חשובה‬


n  t   Re n  t  e jC t  Re R  t  e j t e jC t  Re  nC2  t   nS2  t e






 n t  
j tan 1  S 
 nC  t  


e jct 


:8 ‫ – תירגול כיתה‬1 ‫שאלה‬
. 0.5N0 ‫עבור רל"ג בעל צה"ס‬
? 2B ‫ ברוחב‬BPF ‫ מהי צפיפות ההספק הספקטרלית לאחר‬.‫א‬
?)‫ מהי צה"ס של הקדם עוטפת (האות האנליטי‬.‫ב‬
?‫ מהי צה"ס של העוטפת הקומפלקסית‬.‫ג‬
.‫ חשבו את ההספק של שלושת האותות מהסעיפים הקודמים‬.‫ד‬
:‫פתרון‬

. Pn 
 S  f  df
n
 2 BN 0 :‫ ראינו בהגדרות‬.‫א‬

2
. n p  t   n  t   jnˆ  t   n  t  *   t   jhˆ  t  :‫ נכתוב‬. S y  f   S x  f  H  f  :‫ נעזר בזהות‬.‫ב‬


f 0

2
4S  f 
. Snp  f   Sn  f  1  signf   n
:‫ לכן‬. H  f   1  j  signf   1  signf :‫קיבלנו‬
0
f

0



snp  f 
Pnp 


2N 0
 S  f  df
np
 4 BN 0 :‫קיבלנו הספק קומפלקסי‬

2B
. n  t   nC  t  e jC t :‫ ראינו‬.‫ג‬
f
fC

. Rn    E n p  t  e jC t n*p  t    e
jC  t  
e
 jC
Rnp   :‫כעת‬
. Sn  f   Snp  f  fC  :‫לכן‬
sn  f 

2N 0
. Pn 
B
B
 S  f  df
np
 4 BN 0 :)‫ההספק אותו דבר (הזזה לא שינתה את גודלו‬

f
:‫תכונות רכיבי הרעש הניצבים‬
.‫ בעלי תוחלת אפס‬nC  t  , nS  t  .1
.‫ גאוסים במשותף‬nC  t  , nS  t  ‫ רעש צר סרט גאוסי אז‬n  t  ‫ אם‬.2
. Rnc    Rnp    Rn   cos ct  Rn   sin c

 S  f  fC   Sn  f  fC  f  B
. Snc  f   Sns  f    n
:‫הצה"ס‬
0
else


. Pnc  Pns   Snc  f  df  2BN0 :‫ההספקים‬
Snc , Sns
N0
B
B
:‫ לרכיבי הרעש אותן פונקציות אוטוקורלציה וצה"ס‬.3
f
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
| 24
:1 ‫ שאלה‬9 ‫שאלה מתרגיל כיתה‬
DSB ‫ מאופנן‬m  t  ‫ לשם כך משדרים אות‬. W -‫ המוגבל סרט ל‬m  t  ‫במערכת תקשורת מעוניינים להעביר אות מידע‬
.
r1  t   m  t  cos 1t   n1  t 
r2  t   m  t  cos 2t   n2  t 
:‫ אל המקלט מגיעים שני אותות‬.‫ בנפרד‬2 , 1 ‫סביב תדר‬
.‫ בהתאמה בת"ס‬N1 / 2, N2 / 2 ‫צדדית של‬-‫ הינם רעשים גאוסיים לבנים אם צה"ס דו‬n1  t  , n2  t  ‫כאשר‬
:‫ מוצע מקלט מן הצורה הבאה‬.‫ מרוחקים זה מזה כך שלא תגרמנה הדדיות‬2 , 1
. 2W ‫כל המסננים הינם ברוחב‬
.‫ מירבי ביציאה‬SNR ‫ המשיג‬ ‫מצא את ערך‬
:‫פתרון‬
r1  t   m  t  cos 1t   n1  t  :‫האות הנקלט‬
. r1'  t   m t  cos 1t   n1C t  cos ct  n S t sin ct  :BPF-‫האות במוצא ה‬


. r1'  t   m  t  cos 1t   n1C  t  cos ct  nS  t  sin ct  cos 1t  :‫ נקבל‬cos 1t  -‫בהכפלה ב‬
a
1
m  t   n1C  t   :‫ לאחר המגבר נקבל‬. x1  t    m  t   n1C  t   :‫ נקבל‬LPF-‫לאחר מעבר ב‬

2
2
1 a
. y2  t  
 m  t   n1S t   :‫באותו האופן נקבל לגבי האות השני‬
2
1 a
a
a
1 a
. z  t   x2  t   y2  t  
m  t   n1S  t     m  t   n1C  t    m t   n1C t  
n1S t  :‫כעת‬

2
2
2
2
. x2  t  
. SNR 
1
P  S   E S 2   m 2
4
.‫בת"ס‬
:‫נתון‬
PS 
:‫נחשב יחס אות לרעש‬
PN 
:‫נחשב‬
2
1 a
a
 a 2
 1 a  2
P  N   E  n1C  t  
n1S  t    nC1  t   
 nS 1  t 
2
4
2

 2 
2
. SNR 

0.25m2
0.5W a 2 N1  1  a  N 2
2
.

2
:‫ לכן‬. nC 2  t   2WN 2 -‫ ו‬n1C  t   RnC1  0  
2
2

 S  f  df
nC1
 2WN1 :‫נקבל‬

2aN1  2 1  a  N 2
N1
d
:‫נגזור ונאפס למציאת קיצון‬
SNR  ... 
0 a
2
da
N1  N 2

:‫בדיקת שפיות‬
.‫ שזה הגיוני‬aopt  0 :‫ נקבל‬N1  N2 :‫אם‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
| 25
‫תירגול ‪:11‬‬
‫אפנון ‪:AM‬‬
‫אמפליטודת האות המשודר משתנה יחסית לאות המידע ‪. m  t ‬‬
‫תדר המידע ‪ m‬הוא תדר פס בסיס ותדר הגל הנושא ‪ C‬הוא תדר ‪ – RF‬פס מעבר‪.‬‬
‫זה הוא אפנון ליניארי ולכן ניתן לחשב יחס אות לרעש בצורה של‪ :‬הספק האות ‪. SNR ‬‬
‫הספק הרעש‬
‫‪Mf‬‬
‫‪S f ‬‬
‫‪:)Double Side Band Suppressed Carrier) DSB-SC .1‬‬
‫האות המשודר‪s  t   AC m  t  cos C t  :‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪AC‬‬
‫ובמישור התדר‪ M  f  fC   M  f  f C   :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪.S f ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪- fC‬‬
‫‪fC‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪:AM/DSB-LC .2‬‬
‫אות ‪ + DSB‬גל נושא‪. s  t   AC 1  m  t   cos C t  :‬‬
‫‪AC‬‬
‫במישור התדר‪  f  fC     f  fC   M  f  fC   M  f  f C  :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪.S f ‬‬
‫‪S f ‬‬
‫‪Mf‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪ fC‬‬
‫‪fC‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪:SSB .3‬‬
‫האות‪ sSSB  t   AC m  t  cos C t   mˆ  t  sin C t  :‬כאשר‪ + :‬הוא ‪ LSB‬בפס תחתון ו‪ "-"-‬הוא ‪ USB‬פס עליון‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫במישור התדר‪ M  f  fC   M  f  fC    M  f  fC  sign  f  fC   M  f  fC  sign  f  f C   :‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪SSSB , LSB‬‬
‫‪SSSB ,USB‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪.S f ‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫‪ c‬‬
‫‪‬‬
‫‪2W ‬‬
‫שאלה ‪ 2‬מתוך תרגיל כיתה ‪:9‬‬
‫א‪ .‬תכנון מקלט‪. S  t   AC cos C t   AC mR cos C t   mˆ R  t  sin C t   AC mL cos C t   mˆ L  t  sin C t  :‬‬
‫ב‪ .‬המגבלה – לא ניתן לדעת בצורה מדויקת את התדר של האות הנושא במידה ואותות המידע מכילים ערכים מסוימים בתדרים נמוכים‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.  ‬‬
‫‪   ‬ולכן גם כאן עבור כל אות בנפרד‪:‬‬
‫ג‪ .‬ראינו בהרצאה עבור אפנון ‪:SSB‬‬
‫‪ N out N 0m‬‬
‫‪ N out N 0m‬‬
‫בעמוד הבא מופיעות הסכמות של המשדרים עבור סעיפים א' וב'‪:‬‬
‫‪| 26‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
:'‫סעיף א‬
M R t 

USB

cos c t
AC



2

Mˆ R  t 






2
  s t 

Mˆ L  t 

2
LSB

M L t 



AC


:'‫סעיף ב‬
s t 
BPF  NarrowBand  cos ct
Around : fC  
BPF for USB
  LPF  Mˆ R  t 
 f C , f C  m 


BPF for LSB
  LPF  Mˆ L  t 
 f C  m , f C 


.)‫ של האות הנקלט (מעגל עם דיודה קבל וסליל‬R  t  ‫ גלאי מעטפת – נותן במוצאות אות יחסי למעטפת הממשית‬.‫ד‬
.‫מוצא גלאי המעטפת נצמד לערך החיובי של המעטפת‬
. A  a1 , a2 , mL  t   a2 cos 2t  , mR  t   a1 cos 1t  :‫נתון‬
:‫נקבל‬
S  t   AC cos C t   AC  a1 cos 1t  cos C t    a1 sin 1t  sin C t   
 AC  a2 cos 2t  cos C t    a2 sin 2t  sin C t  
  A  a1 cos 1t   a2 cos 2t   cos C t    a1 sin 1t   a2 sin 2t   sin ct  




 yr  t  cos C t   yi  t  sin ct   Re S p  t   Re e jC t  S  t   Re e jC t  yr  t   yi  t   


 Re e jC t R  t  e j t   R  t  cos C t    t  
.‫ העוטפת הקומפלקסית‬- S  t  ,‫ האות האנליטי‬- S p  t  :‫כאשר‬
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
| 27
 y t  
2
2
.   t   tan 1  i
:‫נקבל‬
 y  t   ; R  t   yr  t   yi  t 
r


: R  t  ‫מקלט מסוג גלאי עוטפת יפיק את המעטפת‬
R  t   yr2  t   yi2  t  
 A  a cos  t   a
1
1
cos 2t     a1 sin 1t   a2 sin 2t   
2
2
2
 1

 A2  2 A  a1 cos 1t   a2 cos 2t    A 1   a1 cos 1t   a2 cos 2t    
 A

 A  mR  t   m  t   mR  t   mL  t 
ˆ R  t   mˆ i t  :‫ נקבל‬.b
. R  t   yr2  t   yi2  t   A  mR  t   mL  t  :‫ ואז‬yr  t   A  mR  t   mL  t  , yi  t   m
:13 ‫תירגול‬
:FM – ‫אפנון זוויתי‬
.‫ משנים את תדר האות לפי המידע‬. s  t   A cos  t    t   :‫האות המשודר‬
c
c
.  t   ct    t  :‫הפאזה של האות המאופנן‬
d  t 
d
 c    t  :‫תדר האות = נגזרת הפאזה‬
dt
dt
. i  t   c  K f m  t  :‫ משנים את תדר הגל הנושא לפי אות המידע‬FM ‫באפנון‬
. i  t  
t
t
0
0
.  t    i  t  dt  ct  K f  m  s  ds  ct    t  :‫הפאזה יחסית לאינטגרל המידע‬
t


s
t

A
cos

t


t

A
cos

t

K
.  
 c    c  c f  m  s  ds  :‫כאשר נציב את הביטוי באות המידע נקבל‬
c
0


K f Am


sin mt   Ac cos ct   sin mt  :‫ נקבל‬m  t   Am cos mt  :‫עבור אפנון טון בודד‬
. s  t   Ac cos  ct 
m


:‫הגדרות כלליות והתוצאות עבור טון בודד‬
 d 
.   max    K f max  m  t    K f Am :‫ סטיית תדר מקסימלית‬.1
 dt 
 
.‫ רוחב סרט המידע‬- B :‫ כאשר‬.  
:‫ אינדקס האפנון‬.2

B
m
. BT  2    1 m :‫ עבור טון בודד‬BT  2    1 B :‫ רוחב סרט האות המאופנן – כלל קרסון‬.3
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
| 28
‫גלאי ‪:Slope Detector – FM‬‬
‫להלן תיאור הגלאי‪:‬‬
‫‪mˆ  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪s3 t‬‬
‫‪ s2 t ‬‬
‫‪LPF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪s1 t‬‬
‫‪‬‬
‫‪BPF‬‬
‫‪s t‬‬
‫‪limiter‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n t‬‬
‫‪n1 t‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪BT  2  1  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪s t‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫‪FM‬‬
‫‪ni t‬‬
‫‪d‬‬
‫‪C‬‬
‫‪dt‬‬
‫האות ‪ +‬הרעש הלבן רחב הסרט נכנסים למסנן ‪ BPF‬אשר מוציא את האות יחד עם רעש צר סרט‪.‬‬
‫הם נכנסים למגבל אשר מונע מהאמפליטודה להשתנות (אחרת עם שינוי של אמפליטודה ופאזה יחד לא נוכל לגלות את האות)‪.‬‬
‫האות נכנס למערכת המורכבת מגוזר אשר מוציא את האפנון למקדם ולאחר מכן גלאי מעטפת אשר מוציא את האות לפי המעטפת‪.‬‬
‫בסוף התוצר עובר ל‪ LPF-‬בעל רוחב סרט של אות המידע‪.‬‬
‫הספק אות במוצא הגלאי ללא רעש‬
‫הספק רעש במוצא הגלאי כשאין אפנון ‪ -  m  t   0 ‬כלומר גל נושא לא מאופנן ‪ +‬רעש‬
‫‪SNRout ‬‬
‫הספק האות במוצא הגלאי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אות מאופנן ‪ FM‬הוא‪. s  t   Ac cos  ct  K f  m  s  ds  :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫במוצא המגבל‪. s1  t   VL cos  ct  K f  m  s  ds  :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫במוצא הגוזר‪. s2  t   VL c  K f m  t   sin  ct  K f  m  s  ds  :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גלאי מעטפת‪( . s3  t   K f m  t   c :‬הגלאי כבר מוריד את תדר ה‪.)DC-‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. PS  Sout‬‬
‫הספק האות במוצא‪ t   S32  t   K 2f  m2 t  :‬‬
‫הספק הרעש במוצא הגלאי‪ :‬הרעש‪-‬צר‪-‬סרט ‪+‬גל נושא‪:‬‬
‫‪Ac xoa ct   n  t   Ac xoa ct   nc  t  cos ct   ns  t  sin ct    Ac  nc  t   cos ct   ns t  sin ct  ‬‬
‫‪ R  t  cos ct    t  ‬‬
‫‪ns  t ‬‬
‫‪yi‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ tan 1‬‬
‫‪yr‬‬
‫‪Ac  nc  t ‬‬
‫‪ ns2  t  ;   t   tan 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ A  n t ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪. R  t   yr2  yi2 ‬‬
‫במוצא המגבל נצטרך להיפטר מהשינוי באמפליטודה‪. n1  t   VL cos ct    t   :‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n2  t    c ‬‬
‫במוצא הגוזר‪ sin ct    t   :‬‬
‫‪dt ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1:‬‬
‫‪ns  t  Anc ,ns d‬‬
‫‪n  t  tan x  x d ns  t ‬‬
‫‪d d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ tan 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪tan 1 s‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ n3  t   c ‬כאשר‪:‬‬
‫במוצא גלאי העוטפת‪:‬‬
‫‪dt dt‬‬
‫‪A  nc  t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪A‬‬
‫‪dt A‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫הספק הרעש‪( n32  t    sn3  f  df :‬ראינו בתחילת הקורס)‪ .‬נתייחס למערכת‪ n3  t  :‬‬
‫‪df‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 29‬‬
‫‪. ns  t   h  t  ‬‬
‫תקשורת אנלוגית תירגול ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
. Sn3  f   H  f  Sns  f  
2
Sn  f 
f
0.5 BT

. PN 


Sn3  f 
df 
LPF
N0
2
 fC
fm

 fm
2
Sns  f  
Sn  f 
BT

N0
0.5 BT
j  2 f
A
4 2 f 2
S ns  f  :‫נזכור כי‬
A2
BT

fC
f
Sn3  f  df 
4 2 N 0 f m3
4 2 f 2
:‫הספק האות‬
N
df

2
 f A2 0
A
3
c
m
. SNRout 
PS
3 S
 ...   2   :‫היחס אות לרעש יוצא‬
Pn
2  N in
fm
‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫תקשורת אנלוגית תירגול‬
| 31