‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫מבחן מפמ"ר לכיתות ט' – רמה רגילה‬ ‫בהצלחה!‬ ‫שם התלמיד‪_____________ :‬‬ ‫בי"ס‪_________________ :‬‬ ‫יישוב‪________________ :‬‬ ‫טור ב'‬ ‫המבחן מתוכנן ל‪ 90-‬דקות‪.‬‬ ‫השימוש במחשבון מותר‪.‬‬ ‫פרק א'‪ :‬אלגברה‪ ,‬אוריינות והסתברות‬ ‫‪ 20‬נק' ‪ .1‬בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫א‪ .‬איזו מבין הפונקציות הבאות יכולה מתאימה לתאר את הגרף הנתון?‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t(x) = 2(x – 3) + 4‬‬ ‫‪p(x) = –2(x + 3)2 – 4 .II‬‬ ‫‪k(x) = –2(x – 3)2 + 4 .III‬‬ ‫‪n(x) = 2(x – 3)2 – 4 .IV‬‬ ‫‪ 6‬נק'‬ ‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪m(x) = – (x – 3)2 + 4 :‬‬ ‫הקיפו בעיגול "נכון ‪ /‬לא נכון" לגבי כל טענה‪:‬‬ ‫‪ 6‬נק'‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫‪ .I‬לפונקציה ‪ y = 0‬יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה‬ ‫נכון ‪ /‬לא נכון‬ ‫‪ .II‬לפונקציה ‪ y = 7‬יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה‬ ‫נכון ‪ /‬לא נכון‬ ‫‪ .III‬לפונקציה הנתונה ולפונקציה ‪ f(x) = – (x – 3)2‬יש אותו ציר סימטריה‬ ‫נכון ‪ /‬לא נכון‬ ‫‪ .IV‬לישר ‪ x = 3‬יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה‬ ‫נכון ‪ /‬לא נכון‬ ‫ג‪ .‬באיזה תחום הפונקציה ‪ m(x) = – (x – 3)2 + 4‬חיובית? הציגו דרך פתרון‪.‬‬ ‫ד‪ .‬כתבו פונקציה ריבועית שהקדקוד שלה הוא )‪ (3, 4‬ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ‪.x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫‪ 8‬נק'‬ ‫‪m(x) − (x − 3) 2 + 4‬‬ ‫=‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪− (x − 3) 2‬‬ ‫בונוס‪ :‬איזה מבין הגרפים שלפניכם מתאים לתאר את גרף הפונקציה‪:‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫נמקו‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫‪ 8‬נק'‬ ‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪.IV‬‬ ‫‪-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪ .2‬לפניכם שני שעוני משחק המחולקים לארבע גזרות שוות ועליהם מחוגים ומספרים‪) :‬ראו איור(‬ ‫להלן חוקי המשחק‪:‬‬ ‫מסובבים את המחוג של השעון הראשון‪.‬‬ ‫אם המחוג של השעון הראשון נעצר על מספר חיובי מסובבים את המחוג של השעון השני‪.‬‬ ‫מנצחים במשחק אם המחוג של השעון הראשון וגם המחוג של השעון השני ייעצרו על מספר חיובי‪.‬‬ ‫‪ 2‬נק'‬ ‫א‪ .‬מה ההסתברות שהמחוג ייעצר על מספר חיובי בשעון הראשון?‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫ב‪ .‬מה ההסתברות לנצח במשחק? הסבירו‪.‬‬ ‫‪ 2‬נק'‬ ‫ג‪ .‬ידוע כי המחוג של השעון הראשון נעצר על מספר‬ ‫שעון שני‬ ‫‪5‬‬ ‫‪–2‬‬ ‫חיובי‪ .‬מהי ההסתברות לנצח במשחק?‬ ‫‪–5‬‬ ‫‪–4‬‬ ‫שעון ראשון‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪–0.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫‪ 12‬נק'‬ ‫‪ .3‬נתונים משולש ‪ EGC‬וריבוע ‪ ABCD‬הצמודים זה לזה לפי השרטוט המצורף‪) :‬השרטוט מוקטן(‬ ‫אורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש ‪ EGC‬מסומן כ‪ .x -‬נתונים נוספים מסומנים על השרטוט‪.‬‬ ‫שטח הריבוע ‪ ABCD‬גדול ב‪ 3 -‬סמ"ר משטח המשולש ‪.EGC‬‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬איזו מבין המשוואות הבאות מתאימה לחישוב‬ ‫האורך של ‪.x‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫‪E‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ 6‬ס"מ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9–x‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪x(15 − x ) + 3 = (9 − x )2‬‬ ‫‪.II‬‬ ‫) ‪x(15 − x‬‬ ‫‪+ 3 = (9 − x ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.III‬‬ ‫) ‪x(15 − x‬‬ ‫‪= 3 + (9 − x ) 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.IV‬‬ ‫‪x(15 − x ) = 3 + (9 − x )2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ב‪ .‬יובל פתר נכון את המשוואה ומצא כי אורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש הוא ‪ 4‬ס"מ או ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬ ‫נעמה אמרה שהפתרון של יובל חלקי ולא יתכן שאורך הגובה לצלע ‪ GC‬במשולש יהיה ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬ ‫הסבירו את התשובה של נעמה‪.‬‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫ג‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪ .GEC‬הציגו דרך חישוב )אפשר להיעזר בסעיף ב'(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫‪ 10‬נק'‬ ‫‪ .4‬נתונה המשוואה‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5x − 10‬‬ ‫‪=2− 2‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x −4‬‬ ‫אפרת פתרה כך )להלן חלק מהפתרון‬ ‫אלעד פתר כך‪:‬‬ ‫של אפרת(‪ :‬תחום ההצבה‪x ≠ ±2 :‬‬ ‫)‪7(x − 2) = 2(x 2 − 4) − (5x − 10‬‬ ‫‪2x 2 − 12x + 16 = 0‬‬ ‫‪x 2 − 6x + 8 = 0‬‬ ‫‪(x − 2)(x − 4) = 0‬‬ ‫‪x1 = 2, x 2 = 4‬‬ ‫‪7 = 2(x + 2) − 5‬‬ ‫)‪12 = 2(x + 2‬‬ ‫‪6= x+2‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫אפרת קבעה‪ :‬פתרון המשוואה הוא ‪x = 4‬‬ ‫אלעד קבע‪ :‬הפתרונות של המשוואה הם‬ ‫‪ x = 4‬או ‪x = 2‬‬ ‫‪ 6‬נק'‬ ‫א‪ .‬השלבים הראשונים של הפתרון של אפרת נמחקו‪.‬‬ ‫הציגו את השלבים החסרים בפתרון של אפרת‪.‬‬ ‫‪ 4‬נק'‬ ‫ב‪ .‬מי מהתלמידים‪ ,‬אפרת או אלעד‪ ,‬קבע נכון את הפתרון‪/‬ות של המשוואה? הסבירו‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫‪ 15‬נק'‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫‪ .5‬נועה התחילה להוריד תוכנה מהאינטרנט שהנפח שלה הוא ‪.350MB‬‬ ‫קצב ההורדה של התוכנה היה ‪ 500KB) .500KB/Sec‬בשנייה(‪.‬‬ ‫שימו לב!‬ ‫‪ 1) 1MB‬מגה בייט( שווה ערך ל‪1,000KB -‬‬ ‫לפניכם הגרף המתאים להורדת התוכנה‪.‬‬ ‫נפח התוכנה שנותר‬ ‫להורדה )ב‪(MB -‬‬ ‫‪350‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪250‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪50‬‬ ‫זמן שעבר‬ ‫מתחילת ההורדה‬ ‫)בדקות(‬ ‫‪9 10 11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬נק'‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬מה נפח התוכנה שנותר להוריד כעבור ‪ 5‬דקות מתחילת ההורדה? ________________‬ ‫‪ 3‬נק'‬ ‫ב‪ .‬כעבור כמה דקות נותרו ‪ 50MB‬להורדה על פי הגרף הנתון? _______________‬ ‫‪ 3‬נק'‬ ‫ג‪ .‬מה נפח התוכנה שהורד כעבור ‪ 20‬שניות מתחילת ההורדה?‬ ‫סמנו את התשובה הנכונה‪:‬‬ ‫‪10KB .I‬‬ ‫‪ 6‬נק'‬ ‫‪20KB .II‬‬ ‫‪10MB .III‬‬ ‫‪20MB .IV‬‬ ‫ד‪ .‬ידוע שמשך הזמן שיורדת התוכנה כולה הוא ‪ 11‬דקות ו‪ 40-‬שניות‪.‬‬ ‫מהו נפח התוכנה שכבר הורד אם נותרו עוד ‪ 7‬דקות ו‪ 30 -‬שניות להורדת התוכנה כולה ?‬ ‫כתבו את התשובה ב‪.KB -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫פרק ב'‪ :‬גיאומטריה‬ ‫‪ 20‬נק'‬ ‫‪ .6‬נתון‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ FGKL‬מלבן‬ ‫‪ GL‬ו‪ FK -‬אלכסונים הנפגשים בנקודה ‪D‬‬ ‫‪ FM || GL‬ו‪ML || FK -‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫‪ 10‬נק'‬ ‫‪ 10‬נק'‬ ‫א‪ .‬המרובע ‪ FDLM‬הוא מעוין‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪KL‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫= ‪TD‬‬ ‫‪6‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫)למורה( יש לבחור שאלה אחת מבין השאלות ‪9 ,8 ,7‬‬ ‫‪ 15‬נק'‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ .7‬נתון מעגל שמרכזו הנקודה ‪.D‬‬ ‫המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון )‪(AB = BC ,AD = DC‬‬ ‫‪∢B = 100°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫חשבו את גודלה של זווית ‪ .A‬נמקו כל שלב בחישוב‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ 15‬נק'‬ ‫‪ ABC .8‬משולש שווה שוקיים )‪(AB = AC‬‬ ‫‪ ADEF‬מקבילית‪.‬‬ ‫‪F‬‬ ‫הנקודות ‪ E ,D ,F‬נמצאות על הצלעות ‪ CB ,AC ,AB‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הוכיחו‪:‬‬ ‫משולש ‪ EDC‬משולש שווה שוקיים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬ ‫כ"ב אייר‪ ,‬תשע"ב‬ ‫‪14.5.2012‬‬ ‫משרד החינוך‬ ‫המזכירות הפדגוגית – אשכול מדעים‬ ‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬ ‫‪ 15‬נק'‬ ‫‪ ABCD .9‬טרפז שווה שוקיים‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ ABLK‬ריבוע‪ .‬הנקודה ‪ P‬היא מפגש האלכסונים ‪ AK‬ו‪.BL -‬‬ ‫הנקודות ‪ D ,C‬נמצאות על המשכי האלכסונים של הריבוע ‪ AK‬ו‪.BL -‬‬ ‫‪ LK‬קטע אמצעים במשולש ‪.PCD‬‬ ‫‪P‬‬ ‫א‪ .‬בטבלה שלפניכם רשומות ‪ 4‬טענות‪.‬‬ ‫‪ 5‬נק'‬ ‫סמנו ליד כל טענה האם )על סמך הנתונים(‬ ‫‪K‬‬ ‫אפשר או אי אפשר להוכיח אותה‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ 10‬נק'‬ ‫הטענה‬ ‫האם אפשר להוכיח‬ ‫את הטענה?‬ ‫‪AC ⊥ BD‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‬ ‫המרובע ‪ DCKL‬הוא טרפז שווה שוקיים‬ ‫כן ‪ /‬לא‬ ‫משולש ‪ CPD‬הוא ישר זווית ושווה שוקיים‬ ‫כן ‪ /‬לא‬ ‫‪DL = AL‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬הוכיחו‪AC :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪D‬‬ ‫= ‪AP‬‬ ‫שאלה חלופית לשאלת ההסתברות – המשך לשאלה ‪ 1‬בנושא פונקציות )לפני הבונוס(‬ ‫‪ 8‬נק'‬ ‫ה‪ .‬כתבו את משוואת הפונקציה הקווית העוברת דרך הקדקוד של הפונקציה הריבועית‬ ‫)‪ y = –2(x – 1)(x + 3‬ודרך קדקוד הפונקציה הריבועית שאת משוואתה רשמתם בסעיף ד'‪.‬‬ ‫הציגו דרך פתרון‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫מבחן מפמ"ר רמה רגילה טור ב' – תשע"ב‬