תרגילים לסיכום מתוך ספר חדו"א שאלון 806

‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.01‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה ‪ f(x) = x‬ושל‬
‫הישר ‪ . y = 6 − x‬המלבן ‪ ABCD‬מקיים‪ :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הפרבולה‪ ,‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר‪ ,‬הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות‬
‫על ציר ה‪ . x -‬נתון‪. ( t > 0 ) OD = t :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח הצורה ‪) OABC‬השטח המקווקו בציור(‬
‫באמצעות ‪. t‬‬
‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ t‬שטח זה מקסימלי? מהו השטח המקסימלי?‬
‫השטח המקסימלי שמצאת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬מצא את נפח גוף הסיבוב‬
‫ג‪.‬‬
‫שנוצר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.02‬‬
‫הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬נחתכים בנקודה )‪ . (1, 3‬נתון‪. g′(x) = 4 − 2x , f ′(x) = −2x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציות )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬
‫ב‪ .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצות של )‪ f(x‬ושל )‪. g(x‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי )‪ , f(x‬על‪-‬ידי )‪ g(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪) x -‬השטח שנמצא מימין‬
‫ג‪.‬‬
‫לנקודת החיתוך(‪.‬‬
‫ד‪ .‬השטח המוגבל על‪-‬ידי )‪ , f(x‬על‪-‬ידי )‪ g(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪9.03‬‬
‫נתונות הפונקציות ‪. g(x) = 2 x , f(x) = x + 2‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , f(x‬ציר ה‪ x -‬והישרים ‪ x = 0‬ו‪x = t -‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ S2‬הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , g(x‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x = t‬‬
‫‪S1‬‬
‫מה צריך להיות ערכו של ‪ t‬כדי שהיחס‬
‫‪S2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את האינטגרל הבא‪:‬‬
‫)‪. ( t > 0‬‬
‫יהיה מינימלי?‬
‫‪4‬‬
‫‪∫ g(x) dx‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪174‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪9.04‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים בתחום‬
‫‪ 0 ≤ x ≤ 6‬גרף ‪ I‬וגרף ‪ . II‬אחד הגרפים הוא של הפונקציה‬
‫)‪ f(x‬והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f ′(x‬‬
‫‪3.6‬‬
‫‪2.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II x‬‬
‫א‪.‬‬
‫איזה גרף הוא של )‪ f(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′(x‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כמה נקודות קיצון יש לפונקציה )‪ f ′(x‬בתחום‬
‫‪ ? 0 < x < 6‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על גרף ‪ . I‬שיעור ה‪ x -‬של הנקודה הוא ‪ . x E = 0.8‬מצא את משוואת‬
‫המשיק לגרף ‪ I‬בנקודה ‪. E‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ]‪. [ 0 , 2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫‪9.05‬‬
‫‪y‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ . f(x) = x − 6‬העבירו ישר המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודה ‪ K‬שבה ‪ . x = t‬מנקודה ‪ K‬העבירו ישר‬
‫המקביל לציר ה‪ x -‬וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. L‬‬
‫בנקודה ‪ L‬העבירו עוד משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫המשיקים נפגשים בנקודה ‪ , E‬שעל ציר ה‪) y -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ EKL‬באמצעות ‪. t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המינימלי של המשולש ‪. EKL‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪9.06‬‬
‫אוטובוס יצא בשעה מסוימת מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬ונסע‬
‫במהירות קבועה של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬באותה שעה יצאה מעיר ‪A‬‬
‫מונית שנסעה לעיר ‪ C‬במהירות קבועה של ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .‬ידוע כי המרחק בין‬
‫נתון כי הזווית ‪ BAC‬היא בת‬
‫‪3‬‬
‫האוטובוס למונית היה מינימלי כעבור ‪ 1.5‬שעות לנסיעתם והאוטובוס טרם הגיע לעיר ‪. A‬‬
‫א‪ .‬מצא את המרחק בין ‪ B‬ל‪. A -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫מצא את המרחק המינימלי בין האוטובוס למונית‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪9.07‬‬
‫‪ AOB‬היא גזרת עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬אורך הקשת‬
‫‪2πR‬‬
‫‪ AB‬שווה ל‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫משיקה לקשת ‪ AB‬בנקודת האמצע שלה והקודקודים ‪ K‬ו‪L -‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ .‬בונים מלבן ‪ KLMN‬כך שהצלע ‪MN‬‬
‫נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה )ראה ציור(‪.‬‬
‫מבין כל האלכסונים של המלבן ‪ KLMN‬שנוצרים באופן זה‪,‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪N‬‬
‫‪175‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪y‬‬
‫‪9.08‬‬
‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬
‫אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת )‪ f ′(x‬והגרף האחר הוא‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪. f ′′(x‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-0.8‬‬
‫איזה גרף הוא של )‪ f ′(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′′(x‬נמק‪.‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה‬
‫)‪ f(x‬וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה )‪ . f(x‬נמק‪.‬‬
‫הוכח שהשטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬וציר ה‪) x -‬השטח האפור בציור שמעל לציר ה‪( x -‬‬
‫שווה לשטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬והצירים )השטח האפור בציור שמתחת לציר ה‪.( x -‬‬
‫‪II‬‬
‫‪9.09‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f(x) = −x ⋅ 3 + x 2‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪ ,‬מצא את משוואת המשיק ששיפועו מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גודל הזווית בין הכיוון החיובי של ציר ה‪ x -‬ובין המשיק‪ ,‬שאת משוואתו מצאת‬
‫בסעיף א'‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.10‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f(x) = 2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ 1‬ישר המקביל לציר‬
‫ה‪ x -‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. ( 0 ≤ t ≤ 1) x = t‬‬
‫א‪ .‬הבע את השטח האפור שבציור באמצעות ‪. t‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מינימלי‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t 1‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את השטח המינימלי‪.‬‬
‫מצא את ‪ t‬שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מקסימלי‪ .‬חשב את השטח מקסימלי‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.11‬‬
‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬
‫אחד הגרפים הוא של הפונקציה )‪ f(x‬והגרף האחר הוא הגרף‬
‫של פונקציית הנגזרת )‪. f ′(x‬‬
‫‪I‬‬
‫‪7‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1.7‬‬
‫א‪.‬‬
‫איזה גרף הוא של )‪ f(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′(x‬נמק‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ . f ′′(x‬הסבר את‬
‫שיקוליך‪.‬‬
‫מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ‪ I‬ועל‪-‬ידי הצירים )השטח האפור בציור(‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪176‬‬
‫‪II‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪y‬‬
‫‪9.12‬‬
‫נתונים גרף הישר ‪ y = 3 − x‬וגרף הפונקציה ‪ g(x) = sin 2x‬בתחום‬
‫‪A‬‬
‫≤ ‪ . 0 ≤ x‬ישר המאונך לציר ה‪ , x -‬חותך את הישר ‪y = 3 − x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫בנקודה ‪ A‬וחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעוריה של הנקודה ‪ A‬שעבורה אורך הקטע ‪AB‬‬
‫הוא מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעוריה של הנקודה ‪ A‬שעבורה אורך הקטע ‪ AB‬הוא מקסימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬הישר ‪ A1‬מאונך לציר ה‪ x -‬ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף א'‪ ,‬הישר ‪A 2‬‬
‫מאונך לציר ה‪ x -‬ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף ב'‪ .‬חשב את השטח‬
‫המוגבל על‪-‬ידי העקום )‪ , g(x‬על‪-‬ידי הישר ‪ y = 3 − x‬ועל‪-‬ידי הישרים ‪ A1‬ו‪. A 2 -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.13‬‬
‫)‪f ′′(x‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬גזירה פעמיים לכל ‪ x‬בתחום ]‪. [ 0, 4‬‬
‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של הנגזרת השנייה )‪f ′′(x‬‬
‫‪x‬‬
‫בתחום ]‪ . [ 0, 4‬נתון‪, f ′ (1) = f ′ ( 3) = 0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ( 3) = −1.5 , f (1) = 1.5 , f ( 0 ) = f ( 2 ) = f ( 4 ) = 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪ . f ′(x‬נמק‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה‪ ,‬הירידה ונקודות הקיצון הפנימיות של )‪. f(x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫במערכת צירים אחת סרטט גרף של )‪ f ′(x‬וגרף של )‪. f(x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סמן ב‪ S1 -‬את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′(x‬ועל‪-‬ידי הצירים )בתחום ‪.( 0 < x < 1‬‬
‫סמן ב‪ S2 -‬את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′(x‬וציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 1 < x < 3‬‬
‫‪S1‬‬
‫מצא את היחס‬
‫‪S2‬‬
‫‪9.14‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f(x) = 2 cos x‬בתחום ‪π < x < 3π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1 + sin x‬‬
‫‪) −‬ראה‬
‫ציור(‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף‬
‫עם ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9.15‬‬
‫)‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪:‬‬
‫‪ - M ) f(x) + g(x) = M‬קבוע(‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. ∫ g(x) dx = ∫ f(x) dx‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪177‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪4‬‬
‫הבע באמצעות ‪ M‬את האינטגרל‪. ∫ g(x) dx :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה‪ :‬ערך הממוצע של פונקציה )‪P(x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫רציפה בקטע ]‪[a , b‬‬
‫הבע באמצעות ‪ M‬את ערך הממוצע של )‪ f(x‬בקטע ]‪. [ 2, 4‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫שווה ל‪⋅ P(x) dx -‬‬
‫‪b − a ∫a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪9.16‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f(x) = a sin x + sin (2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ π‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫בנקודה שבה‬
‫= ‪ x‬הוא ‪. 1 + 3‬‬
‫‪12‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪. 0 ≤ f(x) ≤ 2 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3π‬‬
‫הוכח כי השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ f(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל שווה ל‪. -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.17‬‬
‫פרשו את המעטפת של הגליל הישר וקיבלו‬
‫מלבן שאלכסונו ‪ . m‬נסמן ב‪ x -‬את הגובה‬
‫של הגליל‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח הגליל באמצעות ‪ m‬ו‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את רדיוס הגליל שעבורו נפח הגליל‬
‫יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.18‬‬
‫הגרפים של הפונקציות ‪ f (x) = 2x + b‬ו‪g(x) = bx -‬‬
‫נחתכים בנקודה שבה ‪. x = b‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. b‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪( b > 0‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות‬
‫)‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫השטח שחישבת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪9.19‬‬
‫לגרף הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x+a‬‬
‫= )‪ f(x‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪ . x = 1‬נתון שהמשיק עובר דרך‬
‫‪x‬‬
‫הנקודה )‪. (4, 4‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪178‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪A‬‬
‫‪9.20‬‬
‫נתונה גזרה ‪ AOB‬שרדיוסה ‪ R‬ואורך הקשת ‪ AB‬שווה ל‪Rα -‬‬
‫) ‪ - α‬זווית ברדיאנים(‪ .‬על הקשת ‪ AB‬בוחרים נקודה ‪ E‬כלשהי‬
‫ומורידים אנכים ‪ ED‬ו‪ EC -‬על הרדיוסים ‪ OB‬ו‪ OA -‬בהתאמה‪,‬‬
‫כך שמתקבל מרובע ‪ . OCED‬נסמן‪. )AOE = x :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ OCED‬באמצעות ‪ α , R‬ו‪. x -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪9.21‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכח כי מכל המרובעים השונים שחסומים בגזרה באופן זה‪,‬‬
‫למרובע שהוא דלתון יהיה שטח מקסימלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון כי פולינום )‪ P(x‬מתחלק ללא שארית ב‪ . (x − a) -‬הוכח‪. P(a) = 0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה ‪ f(x) = x 4 − x 3 + bx + c‬מתחלקת ללא שארית בטרינום ‪. x − x − 2‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪. c -‬‬
‫הצב את ערכי ‪ b‬ו‪ c -‬שמצאת בסעיף ב' ב‪ f(x) -‬ומצא את משוואת המשיק לגרף‬
‫הפונקציה בנקודה שבה ‪. x = −1‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על‪-‬ידי המשיק ‪,‬שאת משוואתו מצאת‬
‫בסעיף ג' ועל‪-‬ידי ציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.22‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪) f (x) = x ⋅ 9 − x 2‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‬
‫ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬ברביע השלישי‪.‬‬
‫ב‪ .‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ועל‪-‬ידי ציר ה‪x -‬‬
‫)ברביע הראשון וברביע השלישי(‪ ,‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪9.23‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ f(x) = 4 cos x − b cos 2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ π‬שיפוע המשיק לגרף‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה בנקודה בה ‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ x‬הוא ‪. 2b‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את ערך הפרמטר ‪. b‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים‪. ≤ f(x) ≤ 6 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על‪-‬ידי הצירים ועל‪-‬יד הישר ‪. x = π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.24‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x +3‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪. f(x‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בעל שיפוע מקסימלי‪.‬‬
‫הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת‪ . g(x) = 6x ⋅ f 2(x) :‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‬
‫)‪ , g(x‬על‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬ועל‪-‬ידי הישרים ‪ x = 0‬ו‪. x = 1 -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪179‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.25‬‬
‫‪3x‬‬
‫בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‬
‫‪ f(x) = sin‬בתחום‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ g(x) = cos‬בתחום ⎥⎤ ‪. ⎡⎢0,‬‬
‫⎥⎤ ‪ ⎡⎢ 0,‬וגרף של הפונקציה‬
‫⎦ ‪3‬‬
‫⎦‪⎣ 3‬‬
‫⎣‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות )‪f(x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ו‪ g(x) -‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪) x -‬השטח האפור בציור(‪.‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ C‬הנקודה ‪ A‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה‬
‫ב‪ .‬נתון‪, 0 , B , 0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪2π‬‬
‫≤ ‪ , 0 ≤ x‬שעבורו שטח‬
‫‪ . f(x) = sin‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪A‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫) ( )‬
‫(‬
‫)‬
‫‪9.26‬‬
‫הגרפים של הפונקציות ‪f (x) = a ⋅ ax‬‬
‫נפגשים בראשית הצירים ‪ O‬ובנקודה ‪) N‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח שהקטע ‪ ON‬מחלק את השטח הכלוא בין‬
‫ב‪.‬‬
‫ו‪g(x) = x -‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫הגרפים לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין הגרפים של )‪ f (x‬ושל )‪ , g(x‬מסתובב‬
‫סביב ציר ה‪ . x -‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. a‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪N‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9.27‬‬
‫‪y‬‬
‫‪E‬‬
‫הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = ax‬ו‪(a > 0) g(x) = ax − x -‬‬
‫נחתכים בנקודות ‪ O‬ו‪) E -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ , E‬ואת‬
‫השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים ערך של ‪ , a‬שעבורו השטח שהבעת בסעיף הקודם‬
‫הוא מקסימלי? אם כן ‪ -‬מצא את ‪ , a‬אם לא ‪ -‬נמק מדוע‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫)‪g(x‬‬
‫)‪( a > 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫‪9.28‬‬
‫א‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ . g(x) = x2‬ברביע הראשון העבירו משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬
‫הוכח כי השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים איננו תלוי בנקודת הגרף שבה‬
‫העבירו את המשיק )דהיינו‪ ,‬השטח הוא גודל קבוע(‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫העבירו משיק לגרף הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫= )‪ . f (x‬השטח המוגבל‬
‫על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫הוכח כי נפח גוף הסיבוב שנוצר איננו תלוי בנקודת הגרף‬
‫שבה העבירו את המשיק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪180‬‬
‫‪0‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪9.29‬‬
‫‪ax − 10x + 3‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 2 + bx + c‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ - c , b , a ) f(x‬מספרים ממשיים(‪ .‬האסימפטוטות המקבילות‬
‫לצירים של גרף הפונקציה הן‪ x = 5 , x = 1 :‬ו‪. y = 3 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫ב‪ .‬האם גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה המקבילה לציר ה‪ ? x -‬אם כן – מהי נקודת‬
‫החיתוך? אם לא – נמק מדוע‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה‪ ,‬הירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה )‪. f(x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת‪ g′(x) = ( −x 2 + 6x − 5 ) ⋅ f(x) :‬ו‪. g ( 2 ) = 7 -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪9.30‬‬
‫בציור מתואר מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬הרדיוס ‪ OA‬ניצב‬
‫לקוטר ‪ . BC‬הנקודה ‪ D‬היא נקודה כלשהי על הקשת ‪. AC‬‬
‫‪. )DBC = x , DE ⊥ OA‬‬
‫א‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪ DE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מה צריך להיות גודל הזווית ‪ DBC‬כדי ששטח הטרפז‬
‫‪ OCDE‬יהיה המקסימלי? הבע את השטח המקסימלי‬
‫באמצעות ‪. R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪9.31‬‬
‫נתונות הפונקציות ‪ f(x) = sin x‬ו‪. g(x) = a + cos 2x -‬‬
‫‪5π‬‬
‫המשותפות של שתי פונקציות הוא‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫=‪.x‬‬
‫מצא את כל הנקודות המשותפות של )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬
‫הוכח שכל הנקודות המשותפות הן נקודות ההשקה‪.‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של שתי הפונקציות בין שתי נקודות ההשקה‬
‫הקרובות ביותר לראשית הצירים‪.‬‬
‫‪9.32‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪:‬‬
‫‪a +2‬‬
‫‪g(x) dx‬‬
‫∫‬
‫= ‪f(x) dx‬‬
‫‪a +1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות‬
‫‪ - K ) f(x) + g(x) = K‬קבוע(;‬
‫‪a +1‬‬
‫‪∫a‬‬
‫‪a +2‬‬
‫הבע באמצעות ‪ K‬את האינטגרל‪f(x) dx :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∫a‬‬
‫‪.‬‬
‫ללא קשר לסעיף א'‪,‬‬
‫)‪ u(x‬ו‪ v(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪ - B ) u(x) + 2 ⋅ v(x) = B :‬קבוע(;‬
‫‪a +1‬‬
‫‪∫a [3B − u(x)] dx‬‬
‫= ‪v(x) dx‬‬
‫‪a +1‬‬
‫‪∫a‬‬
‫‪a +1‬‬
‫‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ B‬את האינטגרל‪v(x) dx :‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪∫a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪181‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.33‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ . f (x) = 2x 2 + ax − 6‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי הישר‬
‫‪ x = 3‬ועל‪-‬ידי הצירים‪ ,‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. a‬‬
‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ a‬נפח גוף הסיבוב הוא מינימלי?‬
‫‪9.34‬‬
‫לפונקציה ‪ c , b , a ) f(x) = ax + bx + cx + 5‬מספרים ממשיים( יש מינימום בנקודה ) ‪. ( 3, − 4‬‬
‫בנקודה בה ‪ x = −1‬לפונקציה יש מקסימום‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬
‫ב‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f(x‬העבירו משיק בעל שיפוע מינימלי‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M‬‬
‫‪9.35‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שרדיוסו ‪ AE . R‬משיק למעגל‬
‫בנקודה ‪ . A‬הנקודה ‪ M‬היא נקודה כלשהי על היקף המעגל‬
‫מצידו השני של המיתר ‪) AB‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪)BAE = α :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫<‪. 0<α‬‬
‫‪B‬‬
‫הבע את הסכום‬
‫המקסימלי של המיתרים ‪ AM‬ו‪ BM -‬באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬
‫ללא קשר לסעיף א'‪,‬‬
‫‪3x‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪O‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ g(x) = 2 cos 2 + cos 2 x + cos 2‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬
‫‪2‬‬
‫כמה פתרונות יש למשוואה ‪ g′(x) = 0‬בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪9.36‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . f ′(x) = 4x − 1 − 2‬נתון כי ‪. f ( 0 ) = −2‬‬
‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f(x‬היא‪:‬‬
‫‪x +4‬‬
‫א‪ .‬מצא את )‪. f(x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫לגרף הפונקציה שאת משוואתו מצאת בסעיף א'‪ ,‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪. x = 1.5‬‬
‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬
‫השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬מצא את נפח גוף‬
‫הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪9.37‬‬
‫מעוין ‪ ABCD‬חסום במשולש ‪ MBN‬כך שהצלעות ‪ AB‬ו‪BC -‬‬
‫של המעוין מונחות על הצלעות ‪ MB‬ו‪ BN -‬של המשולש‬
‫בהתאמה‪ .‬הקודקוד ‪ D‬נמצא על הצלע ‪) MN‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. AM = x , BD = 2d , )ABC = 2β :‬‬
‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ MBN‬באמצעות ‪ d , β‬ו‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬הבע את השטח המינימלי של המשולש ‪MBN‬‬
‫באמצעות ‪ β‬ו‪. d -‬‬
‫‪182‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪9.38‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫הוכח כי פונקציה קדומה של פונקציה אי‪-‬זוגית ורציפה בקטע ‪ −a ≤ x ≤ a‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬סמן ב‪ F(x) -‬את הפונקציה הקדומה של )‪ . f(x‬חקור את )‪G(x) = F(x) − F(−x‬‬
‫והראה כי ‪. G(x) = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫הנגזרת )‪ f ′(x‬של הפונקציה )‪ f(x‬היא רציפה ואי‪-‬זוגית‬
‫בתחום ‪ . −4 ≤ x ≤ 4‬בציור שלפניך מוצגת סקיצה של‬
‫)‪f ′(x‬‬
‫)‪ f ′(x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 4‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪ (i‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון ומצא את‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪ f(x‬בתחום‬
‫‪. −4 ≤ x ≤ 4‬‬
‫)‪ (ii‬סרטט סקיצה של )‪ f(x‬בתחום ‪. −4 ≤ x ≤ 4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪9.39‬‬
‫נתונות שתי הפונקציות ‪ ( c > 0 ) f (x) = cx‬ו‪. g(x) = 5 − x -‬‬
‫מנקודת החיתוך של הפונקציות מורידים אנך לציר ה‪. x -‬‬
‫השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על‪-‬ידי האנך ועל‪-‬ידי‬
‫ציר ה‪) x -‬ראה ציור( מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. c‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ערך הפרמטר ‪ c‬שעבורו נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא מקסימלי‪.‬‬
‫חשב את הנפח המקסימלי‪.‬‬
‫‪9.40‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ABC‬‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= ‪ )ACB‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאים על ציר ה‪. x -‬‬
‫הקודקוד ‪ A‬המצא על הפרבולה ‪ f(x) = 3x − x 2‬ברביע הראשון‪ .‬נתון‪. B ( −6, 0 ) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬כך ששטח המשולש ‪ ABC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫בנקודה ‪ , A‬שאת שיעוריה מצאת בסעיף הקודם‪ ,‬העבירו משיק לפרבולה‪ .‬המשיק יוצר‬
‫זווית ‪ α‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ . x -‬הראה כי ‪. α = π − )ABC‬‬
‫‪) 9.41‬סעיף א' אינו כלול בשאלון ‪ 35806‬החל משנה"ל תשע"א(‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה פונקציה סתומה שמשוואתה היא‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ללא קשר לסעיף א'‪ ,‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ‪f (x) = x 2 − ax − 2a 2‬‬
‫ועל‪-‬ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬ידוע כי נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא ‪. 259.2π‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫‪cos y ⋅ ( cos y + cos x ) = sin x ( sin y − sin x ) −‬‬
‫הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ) ‪( π6 , π2‬‬
‫מקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫)‪( a > 0‬‬
‫‪183‬‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.42‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים ‪. x > sin x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים‬
‫‪2‬‬
‫‪. cos x > 1 −‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים ) ‪. cos x − sin x > 12 ( 2 − 2x − x 2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ללא קשר לסעיפים הקודמים‪ ,‬נתונות הפונקציות ‪. g(x) = 20 − 10x 2 , f(x) = 21cos x‬‬
‫השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬והישרים ‪ x = π‬ו‪π -‬‬
‫מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫‪6‬‬
‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪x‬‬
‫‪9.43‬‬
‫‪ax + bx + 14x + 4‬‬
‫‪2‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+ 3x + 2 ) ⋅ x 2 + x + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(x‬‬
‫= )‪ a ) f(x‬ו‪ b -‬מספרים ממשיים(‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ידוע כי ל‪ f(x) -‬אין אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪ . y -‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫פשט את הפונקציה על‪-‬ידי חילוק פולינומים וחשב את האינטגרל הבא‪. ∫ f(x) dx :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9.44‬‬
‫‪γ‬‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ γ , β , α‬הן זוויות במשולש שווה‪-‬שוקיים‪ .‬הוכח כי מתקיים‪3 :‬‬
‫≤ ‪. 4 cos ⋅ cos ⋅ cos‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪9.45‬‬
‫‪O1‬‬
‫נתונים שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O 2 -‬ורדיוסיהם ‪ 3‬ס"מ = ‪R1‬‬
‫ו‪ 4 -‬ס"מ = ‪ . R 2‬המעגלים משיקים חיצונית בנקודה ‪ . B‬המיתר ‪AB‬‬
‫נמצא במעגל שמרכזו ‪ , O1‬והמיתר ‪ BC‬נמצא במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬
‫נתון‪ . ( 0 < β < π ) )ABC =β :‬נסמן‪)ABO1 = x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‬
‫‪π‬‬
‫‪A‬‬
‫(‬
‫‪. 0<x< 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫הבע את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ β‬ו‪. x -‬‬
‫בהנחה ש‪ β -‬קבוע ו‪ x -‬משתנה‪ ,‬הבע את השטח המקסימלי של‬
‫המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪. β‬‬
‫על סמך סעיף ב'‪ ,‬מצא את גודל הזווית ‪ , β‬שעבורה שטח המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪9.46‬‬
‫‪x − 4x + m‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 2 + 3x + 2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪184‬‬
‫= )‪ m ) f(x‬הוא פרמטר משתנה(‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש שתי נקודות קיצון‪.‬‬
‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם הפונקציה עולה לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש "חור" בגרף‪ .‬מצא את שיעוריה של כל אחת‬
‫מנקודות אי‪-‬ההגדרה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪9.47‬‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫)(‬
‫‪1‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪π‬‬
‫‪6‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ . f‬הנגזרת של הפונקציה היא‪:‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬מקיימת‪= − π :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x cos x x cos x‬‬
‫א‪ .‬מצא את )‪. f(x‬‬
‫ב‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f(x‬שאת משוואתה מצאת בסעיף א'‪ ,‬העבירו משיק בנקודה בה ‪. x = π‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪. f ′(x‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים‪.‬‬
‫‪9.48‬‬
‫הפונקציה )‪ f(x‬זוגית ורציפה בקטע ]‪ f(x) . [ −3, 3‬מקיימת‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ′′(x‬‬
‫‪ . f (−1) = f (1) = 0‬הנגזרת )‪ f ′(x‬היא אי‪-‬זוגית ומקיימת‪:‬‬
‫‪ . f ′ (−2) = f ′ (0) = f ′ (2) = 0‬בציור שלפניך מוצגת סקיצה של‬
‫הנגזרת השנייה )‪ f ′′(x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של )‪ f ′(x‬עבור ‪. 0 < x < 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪ f ′(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של )‪ f(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬
‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול ותחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של‬
‫)‪ f(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬
‫סרטט סקיצה של )‪ f(x‬בתחום ‪. −3 ≤ x ≤ 3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫נתון‪ . f ′(−1) = −2.5 :‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה שבה ‪. x = 1‬‬
‫ז‪.‬‬
‫היעזר בסעיף הקודם וחשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′′(x‬ועל‪-‬ידי הצירים‬
‫בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2‬‬
‫‪9.49‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. f (x) = x − 8 ⋅ x + c‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי בנקודה שבה ‪ x = 0‬הפונקציה אינה גזירה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ y = 12‬חותך את גרף הפונקציה ב‪ 3 -‬נקודות‪ .‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הישר‬
‫‪ y = 12‬ועל‪-‬ידי גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.50‬‬
‫‪x − 8x + c‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ax 2 + bx + 3‬‬
‫הפונקציה מוגדרת בתחום ‪. x > 1 , −3 < x < 1 , x < −3‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הערכים של ‪ c‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש "חור" בגרף‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫= )‪ b , a ) f(x‬פרמטרים קבועים‪ - c ,‬פרמטר משתנה(‪.‬‬
‫אי‪-‬ההגדרה‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ c‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם האסימפטוטה‬
‫המקבילה לציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את ערכי הפרמטר ‪ c‬שעבורם הפונקציה יורדת לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪185‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.51‬‬
‫נתונות שתי פונקציות ‪. g(x) = f(x) , f(x) = x − 6x + 8‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪. f(x‬‬
‫ב‪ .‬האם )‪ g(x‬היא פונקציה זוגית‪ ,‬אי‪-‬זוגית או לא זוגית ולא אי‪-‬זוגית? נמק‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של )‪. g(x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות בהן הפונקציה )‪ g(x‬אינה גזירה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות לפרק ‪9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 9.01‬א‪ . 6t 2 − t 3 − t 4 .‬ב‪; t =1.5 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ . 6‬ג‪. 12.91π .‬‬
‫‪ 9.02‬א‪g(x) = 4x − x 2 , f(x) = 4 − x 2 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ 9.02‬ב‬
‫‪ . 7‬ד‪10π .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 9.03‬א‪ . t = 4 .‬ב‪. 5 5 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 9.04‬א‪ . II − f ′(x) , I − f(x) .‬ב‪ . 4 .‬ג‪ . y = −1.5x + 3.6 .‬ד‪. 2.4 .‬‬
‫‪ 9.05‬א‪.‬‬
‫‪t3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪t2 − 6‬‬
‫ב‪. Smin = 9 3 .‬‬
‫‪ 9.06‬א‪ 372 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ 347.17 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪9.07‬‬
‫‪2 39 ⋅ R‬‬
‫‪13‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 9.08‬א‪ . II − f ′′(x) , I − f ′(x) .‬ב‪ x = 0 .‬מקסימום‪ x = 2 ,‬מינימום‪ .‬ג‪. x = 1.2 , x = −0.8 , x = −2 .‬‬
‫‪9.09‬‬
‫‪2π‬‬
‫א‪ . y = − 3x .‬ב‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪9.10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ . S(t) = t 3 − 2t 2 + .‬ב‪, t = .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪. Smin‬‬
‫ג‪. Smax =1 1 , t = 1 .‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪. II − f(x) ; I − f ′(x) .‬‬
‫‪9.11‬‬
‫ג‪ .‬קעירות כלפי מעלה ‪, −3 < x < −1.7‬‬
‫קעירות כלפי מטה‪ ; x > −1.7 , x < −3 :‬נקודות פיתול‪:‬‬
‫‪ . x = − 1.7 , x = −3‬ד‪. 7 .‬‬
‫‪186‬‬
‫‪ 9.11‬ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-1.7‬‬
‫‪-3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪9.12‬‬
‫א‪( π3 , 3 − π3 ) .‬‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪ . A‬ב‪ . A ( 0, 3) .‬ג‪. 1.84 .‬‬
‫א‪ .‬חיובית‪; 3 < x < 4 , 0 < x < 1 :‬‬
‫‪9.13‬‬
‫שלילית‪ .1 < x < 3 :‬ב‪ .‬עלייה‪, 0 < x < 1 :‬‬
‫‪ ; 3 < x < 4‬ירידה‪;1 < x < 3 :‬‬
‫) ‪. min ( 3, − 1.5 ) , max (1, 1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9.17‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 9.18‬א‪ . b = 3 .‬ב‪ .3 .‬ג‪. 274π .‬‬
‫‪ 9.22‬א‪ . 9 .‬ב‪. 64.8π .‬‬
‫‪9.24‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ . y = x − .‬ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9.27‬‬
‫‪a3‬‬
‫‪a‬‬
‫=‪.S‬‬
‫= ‪, xE‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪6 ( a + 1‬‬
‫א‪ . 0.945 .‬ב‪π .‬‬
‫‪9.25‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9.29‬‬
‫‪ 9.30‬א‪ . R cos 2x .‬ב‪π .‬‬
‫‪R2 ,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 9.32‬א‪ . K .‬ב‪. −2B .‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪( ) .‬‬
‫‪. 1,‬‬
‫ב‪ y = 4.4x − 6.1 .‬ג‪. 17.2π .‬‬
‫‪ 9.37‬א‪.‬‬
‫‪ 9.26‬ב‪. 0.94a 5 .‬‬
‫‪.‬‬
‫) (‬
‫‪3‬‬
‫א‪ . c = 5 , b = − 6 , a = 3 .‬ב‪, 3 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪( π + 2π , 1) .‬‬
‫‪K‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25πc‬‬
‫‪25π‬‬
‫‪ .‬ב‪, c = 1 .‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪2 ( c + 1‬‬
‫= ‪.V‬‬
‫‪ .‬ד‪. 4π .‬‬
‫‪9.34‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪,a‬‬
‫‪ 9.36‬א‪. 2x 2 − x − x 2 + 4 .‬‬
‫‪ . 4R cos‬ב‪. 7 .‬‬
‫)‪) ⋅( x cosd β + 1‬‬
‫ג‪ .‬ירידה‪:‬‬
‫ד‪. g(x) = − x 3 + 5x 2 − 3x + 1 .‬‬
‫‪ 9.31‬א‪. a = 2 .‬‬
‫(‬
‫‪ . d sin β ⋅ x + d‬ב‪. 4d 2 tan β .‬‬
‫‪cos β‬‬
‫‪ 9.38‬ב‪ (i) .‬מינימום‪; x = ±3 , x = 0 :‬‬
‫מקסימום‪. x = ±2 :‬‬
‫ירידה‪; 2 < x < 3 , −2 < x < 0 , −4 < x < −3 :‬‬
‫עלייה‪. 3 < x < 4 , 0 < x < 2 , −3 < x < −2 :‬‬
‫‪ 9.42‬ד‪. 15.59π .‬‬
‫‪ 9.21‬ב‪. c = − 4 , b = − 2 .‬‬
‫‪ 9.33‬א‪ . 9π ( a 2 + 3a + 9.6 ) .‬ב‪. a = −1.5 .‬‬
‫‪ 9.35‬א‪.‬‬
‫‪9.39‬‬
‫‪ 9.19‬א‪. a = − 3 .‬‬
‫‪ 9.23‬א‪ . b = −2 .‬ג‪. 3π .‬‬
‫‪ ; x > 5 ,1 < x < 5 , x < 1‬עלייה‪ :‬אין; נקודות קיצון‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪. c = −3 , b = −1‬‬
‫‪ 9.16‬א‪. a = 2 .‬‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ . y = −9x − 9 .‬ד‪. 1.95 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 1‬‬
‫)‪f ′(x‬‬
‫‪ 9.15‬א‪ . M .‬ב‪. M .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 9.20‬א‪. R 2 ⎡⎣sin 2x + sin ( 2α − 2x ) ⎤⎦ .‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ . y = 2x − 4 .‬ג‪. 0.6 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 9.14‬א‪ . y = −x + 2 .‬ב‪. 0.34 .‬‬
‫‪m 2x − x 3‬‬
‫‪m 6‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪6π‬‬
‫‪ 9.13‬ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(ii‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 3 4‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ 9.40‬א‪. A 2 3, 6 3 − 6 .‬‬
‫‪-4 -3 -2 -1 0 1‬‬
‫‪ 9.41‬ב‪. a = 2 .‬‬
‫‪ 9.43‬א‪ . x > −1 , −2 < x < −1 , x < −2 .‬ב‪ . b = 14 , a = 4 .‬ג‪. 2.34 .‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬
‫‪187‬‬
‫תרגילים לסיכום‬
‫‪9.45‬‬
‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬
‫‪2π‬‬
‫‪β‬‬
‫א‪ . −24sin β ⋅ cos x ⋅ cos ( β + x ) .‬ב‪ . 24sin β ⋅ sin 2 .‬ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . x > −1 , −2 < x < −1‬ב‪. m > −5 , m < −12 .‬‬
‫‪. ( −1, − 6 ) : m = −5‬‬
‫‪9.47‬‬
‫‪−1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x cos x‬‬
‫ג‪. −12 ≤ m ≤ −5 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪c+3‬‬
‫‪10‬‬
‫ד‪; ( −2, 8 ) : m = −12 .‬‬
‫= )‪ . f(x‬ב‪. 2 .‬‬
‫‪ 9.48‬א‪ .‬עלייה‪ ; 2 < x < 3 , 0 < x < 1 :‬ירידה‪. 1 < x < 2 :‬‬
‫ב‪ .‬חיובית‪ ; 2 < x < 3 , 0 < x < 2 :‬שלילית‪. −2 < x < 0 , −3 < x < −2 :‬‬
‫ג‪ x = 0 .‬מינימום‪ .‬ד‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪, −1 < x < 1 , −3 < x < −2 :‬‬
‫‪ ; 2 < x < 3‬קעירות כלפי מטה‪; 1 < x < 2 , −2 < x < −1 :‬‬
‫פיתול‪ . x = ±1 , x = ±2 :‬ה‪ .‬ראה ציור‪ .‬ו‪ . y = 2.5x − 2.5 .‬ז‪. 5 .‬‬
‫‪ 9.49‬ב‪. 170 3 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 9.46‬א‪, x < −2 .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪-3 -2 -1‬‬
‫‪ 9.50‬א‪ . b = −2 , a = −1 .‬ב‪. ( −3, − 3.5 ) : c = −33 ; (1, 1.5 ) : c = 7 .‬‬
‫‪ .‬ד‪. −33 ≤ c ≤ 7 .‬‬
‫‪ 9.51‬א‪ .‬חיובית‪ ; x > 4 . x < 2 :‬שלילית‪. 2 < x < 4 :‬‬
‫ב‪ .‬לא זוגית ולא אי‪-‬זוגית‪ .‬ג‪ .‬ראה ציור‪.‬‬
‫ד‪. x = 4 , x = 2 .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪188‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬