‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.01‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה ‪ f(x) = x‬ושל‬ ‫הישר ‪ . y = 6 − x‬המלבן ‪ ABCD‬מקיים‪ :‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הפרבולה‪ ,‬הנקודה ‪ B‬נמצאת על הישר‪ ,‬הנקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות‬ ‫על ציר ה‪ . x -‬נתון‪. ( t > 0 ) OD = t :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח הצורה ‪) OABC‬השטח המקווקו בציור(‬ ‫באמצעות ‪. t‬‬ ‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ t‬שטח זה מקסימלי? מהו השטח המקסימלי?‬ ‫השטח המקסימלי שמצאת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬מצא את נפח גוף הסיבוב‬ ‫ג‪.‬‬ ‫שנוצר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.02‬‬ ‫הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬נחתכים בנקודה )‪ . (1, 3‬נתון‪. g′(x) = 4 − 2x , f ′(x) = −2x :‬‬ ‫א‪ .‬מצא את הפונקציות )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬ ‫ב‪ .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצות של )‪ f(x‬ושל )‪. g(x‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי )‪ , f(x‬על‪-‬ידי )‪ g(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪) x -‬השטח שנמצא מימין‬ ‫ג‪.‬‬ ‫לנקודת החיתוך(‪.‬‬ ‫ד‪ .‬השטח המוגבל על‪-‬ידי )‪ , f(x‬על‪-‬ידי )‪ g(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪9.03‬‬ ‫נתונות הפונקציות ‪. g(x) = 2 x , f(x) = x + 2‬‬ ‫‪ S1‬הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , f(x‬ציר ה‪ x -‬והישרים ‪ x = 0‬ו‪x = t -‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ S2‬הוא השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , g(x‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x = t‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫מה צריך להיות ערכו של ‪ t‬כדי שהיחס‬ ‫‪S2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫חשב את האינטגרל הבא‪:‬‬ ‫)‪. ( t > 0‬‬ ‫יהיה מינימלי?‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∫ g(x) dx‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪174‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪9.04‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים בתחום‬ ‫‪ 0 ≤ x ≤ 6‬גרף ‪ I‬וגרף ‪ . II‬אחד הגרפים הוא של הפונקציה‬ ‫)‪ f(x‬והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f ′(x‬‬ ‫‪3.6‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪II x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫איזה גרף הוא של )‪ f(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′(x‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫כמה נקודות קיצון יש לפונקציה )‪ f ′(x‬בתחום‬ ‫‪ ? 0 < x < 6‬נמק את תשובתך‪.‬‬ ‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על גרף ‪ . I‬שיעור ה‪ x -‬של הנקודה הוא ‪ . x E = 0.8‬מצא את משוואת‬ ‫המשיק לגרף ‪ I‬בנקודה ‪. E‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ]‪. [ 0 , 2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1.5‬‬ ‫‪9.05‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ . f(x) = x − 6‬העבירו ישר המשיק לגרף‬ ‫הפונקציה בנקודה ‪ K‬שבה ‪ . x = t‬מנקודה ‪ K‬העבירו ישר‬ ‫המקביל לציר ה‪ x -‬וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. L‬‬ ‫בנקודה ‪ L‬העבירו עוד משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬ ‫המשיקים נפגשים בנקודה ‪ , E‬שעל ציר ה‪) y -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ EKL‬באמצעות ‪. t‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השטח המינימלי של המשולש ‪. EKL‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9.06‬‬ ‫אוטובוס יצא בשעה מסוימת מעיר ‪ B‬לעיר ‪ A‬ונסע‬ ‫במהירות קבועה של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬באותה שעה יצאה מעיר ‪A‬‬ ‫מונית שנסעה לעיר ‪ C‬במהירות קבועה של ‪ 96‬קמ"ש‪.‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .‬ידוע כי המרחק בין‬ ‫נתון כי הזווית ‪ BAC‬היא בת‬ ‫‪3‬‬ ‫האוטובוס למונית היה מינימלי כעבור ‪ 1.5‬שעות לנסיעתם והאוטובוס טרם הגיע לעיר ‪. A‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המרחק בין ‪ B‬ל‪. A -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫מצא את המרחק המינימלי בין האוטובוס למונית‪.‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪9.07‬‬ ‫‪ AOB‬היא גזרת עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬אורך הקשת‬ ‫‪2πR‬‬ ‫‪ AB‬שווה ל‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫משיקה לקשת ‪ AB‬בנקודת האמצע שלה והקודקודים ‪ K‬ו‪L -‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ .‬בונים מלבן ‪ KLMN‬כך שהצלע ‪MN‬‬ ‫נמצאים על הרדיוסים התוחמים את הגזרה )ראה ציור(‪.‬‬ ‫מבין כל האלכסונים של המלבן ‪ KLMN‬שנוצרים באופן זה‪,‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪M‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪N‬‬ ‫‪175‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.08‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬ ‫אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת )‪ f ′(x‬והגרף האחר הוא‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪. f ′′(x‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-0.8‬‬ ‫איזה גרף הוא של )‪ f ′(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′′(x‬נמק‪.‬‬ ‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה‬ ‫)‪ f(x‬וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה )‪ . f(x‬נמק‪.‬‬ ‫הוכח שהשטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬וציר ה‪) x -‬השטח האפור בציור שמעל לציר ה‪( x -‬‬ ‫שווה לשטח המוגבל על‪-‬ידי גרף ‪ II‬והצירים )השטח האפור בציור שמתחת לציר ה‪.( x -‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪9.09‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪. f(x) = −x ⋅ 3 + x 2‬‬ ‫א‪ .‬מבין כל המשיקים לגרף הפונקציה‪ ,‬מצא את משוואת המשיק ששיפועו מקסימלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את גודל הזווית בין הכיוון החיובי של ציר ה‪ x -‬ובין המשיק‪ ,‬שאת משוואתו מצאת‬ ‫בסעיף א'‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.10‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ f(x) = 2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ 1‬ישר המקביל לציר‬ ‫ה‪ x -‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. ( 0 ≤ t ≤ 1) x = t‬‬ ‫א‪ .‬הבע את השטח האפור שבציור באמצעות ‪. t‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מינימלי‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חשב את השטח המינימלי‪.‬‬ ‫מצא את ‪ t‬שעבורו השטח האפור שבציור יהיה מקסימלי‪ .‬חשב את השטח מקסימלי‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.11‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬ ‫אחד הגרפים הוא של הפונקציה )‪ f(x‬והגרף האחר הוא הגרף‬ ‫של פונקציית הנגזרת )‪. f ′(x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1.7‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫איזה גרף הוא של )‪ f(x‬ואיזה גרף הוא של )‪ ? f ′(x‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ . f ′′(x‬הסבר את‬ ‫שיקוליך‪.‬‬ ‫מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ‪ I‬ועל‪-‬ידי הצירים )השטח האפור בציור(‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪176‬‬ ‫‪II‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.12‬‬ ‫נתונים גרף הישר ‪ y = 3 − x‬וגרף הפונקציה ‪ g(x) = sin 2x‬בתחום‬ ‫‪A‬‬ ‫≤ ‪ . 0 ≤ x‬ישר המאונך לציר ה‪ , x -‬חותך את הישר ‪y = 3 − x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בנקודה ‪ A‬וחותך את גרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעוריה של הנקודה ‪ A‬שעבורה אורך הקטע ‪AB‬‬ ‫הוא מינימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את שיעוריה של הנקודה ‪ A‬שעבורה אורך הקטע ‪ AB‬הוא מקסימלי בתחום הנ"ל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הישר ‪ A1‬מאונך לציר ה‪ x -‬ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף א'‪ ,‬הישר ‪A 2‬‬ ‫מאונך לציר ה‪ x -‬ועובר דרך הנקודה שאת שיעוריה מצאת בסעיף ב'‪ .‬חשב את השטח‬ ‫המוגבל על‪-‬ידי העקום )‪ , g(x‬על‪-‬ידי הישר ‪ y = 3 − x‬ועל‪-‬ידי הישרים ‪ A1‬ו‪. A 2 -‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.13‬‬ ‫)‪f ′′(x‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬גזירה פעמיים לכל ‪ x‬בתחום ]‪. [ 0, 4‬‬ ‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של הנגזרת השנייה )‪f ′′(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בתחום ]‪ . [ 0, 4‬נתון‪, f ′ (1) = f ′ ( 3) = 0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. f ( 3) = −1.5 , f (1) = 1.5 , f ( 0 ) = f ( 2 ) = f ( 4 ) = 0‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪ . f ′(x‬נמק‪.‬‬ ‫מצא את תחומי העלייה‪ ,‬הירידה ונקודות הקיצון הפנימיות של )‪. f(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫במערכת צירים אחת סרטט גרף של )‪ f ′(x‬וגרף של )‪. f(x‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫סמן ב‪ S1 -‬את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′(x‬ועל‪-‬ידי הצירים )בתחום ‪.( 0 < x < 1‬‬ ‫סמן ב‪ S2 -‬את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′(x‬וציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 1 < x < 3‬‬ ‫‪S1‬‬ ‫מצא את היחס‬ ‫‪S2‬‬ ‫‪9.14‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ f(x) = 2 cos x‬בתחום ‪π < x < 3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 + sin x‬‬ ‫‪) −‬ראה‬ ‫ציור(‪ .‬מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף‬ ‫עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9.15‬‬ ‫)‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪:‬‬ ‫‪ - M ) f(x) + g(x) = M‬קבוע(‪,‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. ∫ g(x) dx = ∫ f(x) dx‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪177‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪4‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ M‬את האינטגרל‪. ∫ g(x) dx :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגדרה‪ :‬ערך הממוצע של פונקציה )‪P(x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫רציפה בקטע ]‪[a , b‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ M‬את ערך הממוצע של )‪ f(x‬בקטע ]‪. [ 2, 4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שווה ל‪⋅ P(x) dx -‬‬ ‫‪b − a ∫a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9.16‬‬ ‫נתונה הפונקציה )‪ f(x) = a sin x + sin (2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ π‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫בנקודה שבה‬ ‫= ‪ x‬הוא ‪. 1 + 3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים‪:‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪. 0 ≤ f(x) ≤ 2 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫הוכח כי השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ f(x‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל שווה ל‪. -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.17‬‬ ‫פרשו את המעטפת של הגליל הישר וקיבלו‬ ‫מלבן שאלכסונו ‪ . m‬נסמן ב‪ x -‬את הגובה‬ ‫של הגליל‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע את נפח הגליל באמצעות ‪ m‬ו‪. x -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את רדיוס הגליל שעבורו נפח הגליל‬ ‫יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.18‬‬ ‫הגרפים של הפונקציות ‪ f (x) = 2x + b‬ו‪g(x) = bx -‬‬ ‫נחתכים בנקודה שבה ‪. x = b‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. b‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪( b > 0‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות‬ ‫)‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫השטח שחישבת בסעיף ב' מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪9.19‬‬ ‫לגרף הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x+a‬‬ ‫= )‪ f(x‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪ . x = 1‬נתון שהמשיק עובר דרך‬ ‫‪x‬‬ ‫הנקודה )‪. (4, 4‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי ציר ה‪. x -‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪178‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪A‬‬ ‫‪9.20‬‬ ‫נתונה גזרה ‪ AOB‬שרדיוסה ‪ R‬ואורך הקשת ‪ AB‬שווה ל‪Rα -‬‬ ‫) ‪ - α‬זווית ברדיאנים(‪ .‬על הקשת ‪ AB‬בוחרים נקודה ‪ E‬כלשהי‬ ‫ומורידים אנכים ‪ ED‬ו‪ EC -‬על הרדיוסים ‪ OB‬ו‪ OA -‬בהתאמה‪,‬‬ ‫כך שמתקבל מרובע ‪ . OCED‬נסמן‪. )AOE = x :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המרובע ‪ OCED‬באמצעות ‪ α , R‬ו‪. x -‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪9.21‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הוכח כי מכל המרובעים השונים שחסומים בגזרה באופן זה‪,‬‬ ‫למרובע שהוא דלתון יהיה שטח מקסימלי‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון כי פולינום )‪ P(x‬מתחלק ללא שארית ב‪ . (x − a) -‬הוכח‪. P(a) = 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הפונקציה ‪ f(x) = x 4 − x 3 + bx + c‬מתחלקת ללא שארית בטרינום ‪. x − x − 2‬‬ ‫מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b‬ו‪. c -‬‬ ‫הצב את ערכי ‪ b‬ו‪ c -‬שמצאת בסעיף ב' ב‪ f(x) -‬ומצא את משוואת המשיק לגרף‬ ‫הפונקציה בנקודה שבה ‪. x = −1‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על‪-‬ידי המשיק ‪,‬שאת משוואתו מצאת‬ ‫בסעיף ג' ועל‪-‬ידי ציר ה‪. y -‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.22‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪) f (x) = x ⋅ 9 − x 2‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‬ ‫ועל‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬ברביע השלישי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ועל‪-‬ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫)ברביע הראשון וברביע השלישי(‪ ,‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪9.23‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ f(x) = 4 cos x − b cos 2x‬בתחום ‪ . 0 ≤ x ≤ π‬שיפוע המשיק לגרף‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הפונקציה בנקודה בה ‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ x‬הוא ‪. 2b‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫חשב את ערך הפרמטר ‪. b‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הוכח כי בתחום הנ"ל מתקיים‪. ≤ f(x) ≤ 6 :‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על‪-‬ידי הצירים ועל‪-‬יד הישר ‪. x = π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.24‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪. f(x‬‬ ‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בעל שיפוע מקסימלי‪.‬‬ ‫הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת‪ . g(x) = 6x ⋅ f 2(x) :‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‬ ‫)‪ , g(x‬על‪-‬ידי ציר ה‪ x -‬ועל‪-‬ידי הישרים ‪ x = 0‬ו‪. x = 1 -‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪179‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‬ ‫‪ f(x) = sin‬בתחום‬ ‫‪2‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ g(x) = cos‬בתחום ⎥⎤ ‪. ⎡⎢0,‬‬ ‫⎥⎤ ‪ ⎡⎢ 0,‬וגרף של הפונקציה‬ ‫⎦ ‪3‬‬ ‫⎦‪⎣ 3‬‬ ‫⎣‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות )‪f(x‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ו‪ g(x) -‬ועל‪-‬ידי ציר ה‪) x -‬השטח האפור בציור(‪.‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ C‬הנקודה ‪ A‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה‬ ‫ב‪ .‬נתון‪, 0 , B , 0 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫≤ ‪ , 0 ≤ x‬שעבורו שטח‬ ‫‪ . f(x) = sin‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫) ( )‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪9.26‬‬ ‫הגרפים של הפונקציות ‪f (x) = a ⋅ ax‬‬ ‫נפגשים בראשית הצירים ‪ O‬ובנקודה ‪) N‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח שהקטע ‪ ON‬מחלק את השטח הכלוא בין‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ו‪g(x) = x -‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגרפים לשני חלקים שווים‪.‬‬ ‫השטח הכלוא בין הגרפים של )‪ f (x‬ושל )‪ , g(x‬מסתובב‬ ‫סביב ציר ה‪ . x -‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. a‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9.27‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪E‬‬ ‫הגרפים של הפונקציות ‪ f(x) = ax‬ו‪(a > 0) g(x) = ax − x -‬‬ ‫נחתכים בנקודות ‪ O‬ו‪) E -‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ , E‬ואת‬ ‫השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬ ‫ב‪ .‬האם קיים ערך של ‪ , a‬שעבורו השטח שהבעת בסעיף הקודם‬ ‫הוא מקסימלי? אם כן ‪ -‬מצא את ‪ , a‬אם לא ‪ -‬נמק מדוע‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪( a > 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪9.28‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ . g(x) = x2‬ברביע הראשון העבירו משיק לגרף הפונקציה‪.‬‬ ‫הוכח כי השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים איננו תלוי בנקודת הגרף שבה‬ ‫העבירו את המשיק )דהיינו‪ ,‬השטח הוא גודל קבוע(‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫העבירו משיק לגרף הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= )‪ . f (x‬השטח המוגבל‬ ‫על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫הוכח כי נפח גוף הסיבוב שנוצר איננו תלוי בנקודת הגרף‬ ‫שבה העבירו את המשיק‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪9.29‬‬ ‫‪ax − 10x + 3‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x 2 + bx + c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ - c , b , a ) f(x‬מספרים ממשיים(‪ .‬האסימפטוטות המקבילות‬ ‫לצירים של גרף הפונקציה הן‪ x = 5 , x = 1 :‬ו‪. y = 3 -‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬ ‫ב‪ .‬האם גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה המקבילה לציר ה‪ ? x -‬אם כן – מהי נקודת‬ ‫החיתוך? אם לא – נמק מדוע‪.‬‬ ‫מצא את תחומי העלייה‪ ,‬הירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫מצא את הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת‪ g′(x) = ( −x 2 + 6x − 5 ) ⋅ f(x) :‬ו‪. g ( 2 ) = 7 -‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪9.30‬‬ ‫בציור מתואר מעגל שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪ . R‬הרדיוס ‪ OA‬ניצב‬ ‫לקוטר ‪ . BC‬הנקודה ‪ D‬היא נקודה כלשהי על הקשת ‪. AC‬‬ ‫‪. )DBC = x , DE ⊥ OA‬‬ ‫א‪ .‬הבע את אורך הקטע ‪ DE‬באמצעות ‪ R‬ו‪. x -‬‬ ‫ב‪ .‬מה צריך להיות גודל הזווית ‪ DBC‬כדי ששטח הטרפז‬ ‫‪ OCDE‬יהיה המקסימלי? הבע את השטח המקסימלי‬ ‫באמצעות ‪. R‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪9.31‬‬ ‫נתונות הפונקציות ‪ f(x) = sin x‬ו‪. g(x) = a + cos 2x -‬‬ ‫‪5π‬‬ ‫המשותפות של שתי פונקציות הוא‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫=‪.x‬‬ ‫מצא את כל הנקודות המשותפות של )‪ f(x‬ו‪. g(x) -‬‬ ‫הוכח שכל הנקודות המשותפות הן נקודות ההשקה‪.‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרפים של שתי הפונקציות בין שתי נקודות ההשקה‬ ‫הקרובות ביותר לראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪9.32‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫)‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪:‬‬ ‫‪a +2‬‬ ‫‪g(x) dx‬‬ ‫∫‬ ‫= ‪f(x) dx‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫שיעור ה‪ x -‬של אחת מנקודות‬ ‫‪ - K ) f(x) + g(x) = K‬קבוע(;‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪a +2‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ K‬את האינטגרל‪f(x) dx :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ללא קשר לסעיף א'‪,‬‬ ‫)‪ u(x‬ו‪ v(x) -‬הן פונקציות רציפות המקיימות‪ - B ) u(x) + 2 ⋅ v(x) = B :‬קבוע(;‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪∫a [3B − u(x)] dx‬‬ ‫= ‪v(x) dx‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ B‬את האינטגרל‪v(x) dx :‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪∫a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪181‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.33‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ . f (x) = 2x 2 + ax − 6‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על‪-‬ידי הישר‬ ‫‪ x = 3‬ועל‪-‬ידי הצירים‪ ,‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫א‪ .‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. a‬‬ ‫ב‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ a‬נפח גוף הסיבוב הוא מינימלי?‬ ‫‪9.34‬‬ ‫לפונקציה ‪ c , b , a ) f(x) = ax + bx + cx + 5‬מספרים ממשיים( יש מינימום בנקודה ) ‪. ( 3, − 4‬‬ ‫בנקודה בה ‪ x = −1‬לפונקציה יש מקסימום‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ b , a‬ו‪. c -‬‬ ‫ב‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f(x‬העבירו משיק בעל שיפוע מינימלי‪ .‬מצא את נקודת ההשקה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪9.35‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שרדיוסו ‪ AE . R‬משיק למעגל‬ ‫בנקודה ‪ . A‬הנקודה ‪ M‬היא נקודה כלשהי על היקף המעגל‬ ‫מצידו השני של המיתר ‪) AB‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪)BAE = α :‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫<‪. 0<α‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הבע את הסכום‬ ‫המקסימלי של המיתרים ‪ AM‬ו‪ BM -‬באמצעות ‪ R‬ו‪. α -‬‬ ‫ללא קשר לסעיף א'‪,‬‬ ‫‪3x‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ g(x) = 2 cos 2 + cos 2 x + cos 2‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כמה פתרונות יש למשוואה ‪ g′(x) = 0‬בתחום הנ"ל‪.‬‬ ‫‪9.36‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ . f ′(x) = 4x − 1 − 2‬נתון כי ‪. f ( 0 ) = −2‬‬ ‫הנגזרת של הפונקציה )‪ f(x‬היא‪:‬‬ ‫‪x +4‬‬ ‫א‪ .‬מצא את )‪. f(x‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫לגרף הפונקציה שאת משוואתו מצאת בסעיף א'‪ ,‬העבירו משיק בנקודה שבה ‪. x = 1.5‬‬ ‫מצא את משוואת המשיק‪.‬‬ ‫השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬מצא את נפח גוף‬ ‫הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪9.37‬‬ ‫מעוין ‪ ABCD‬חסום במשולש ‪ MBN‬כך שהצלעות ‪ AB‬ו‪BC -‬‬ ‫של המעוין מונחות על הצלעות ‪ MB‬ו‪ BN -‬של המשולש‬ ‫בהתאמה‪ .‬הקודקוד ‪ D‬נמצא על הצלע ‪) MN‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪. AM = x , BD = 2d , )ABC = 2β :‬‬ ‫א‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ MBN‬באמצעות ‪ d , β‬ו‪. x -‬‬ ‫ב‪ .‬הבע את השטח המינימלי של המשולש ‪MBN‬‬ ‫באמצעות ‪ β‬ו‪. d -‬‬ ‫‪182‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪M‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪9.38‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫הוכח כי פונקציה קדומה של פונקציה אי‪-‬זוגית ורציפה בקטע ‪ −a ≤ x ≤ a‬היא פונקציה זוגית‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬סמן ב‪ F(x) -‬את הפונקציה הקדומה של )‪ . f(x‬חקור את )‪G(x) = F(x) − F(−x‬‬ ‫והראה כי ‪. G(x) = 0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫הנגזרת )‪ f ′(x‬של הפונקציה )‪ f(x‬היא רציפה ואי‪-‬זוגית‬ ‫בתחום ‪ . −4 ≤ x ≤ 4‬בציור שלפניך מוצגת סקיצה של‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫)‪ f ′(x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪ (i‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון ומצא את‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪ f(x‬בתחום‬ ‫‪. −4 ≤ x ≤ 4‬‬ ‫)‪ (ii‬סרטט סקיצה של )‪ f(x‬בתחום ‪. −4 ≤ x ≤ 4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪9.39‬‬ ‫נתונות שתי הפונקציות ‪ ( c > 0 ) f (x) = cx‬ו‪. g(x) = 5 − x -‬‬ ‫מנקודת החיתוך של הפונקציות מורידים אנך לציר ה‪. x -‬‬ ‫השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על‪-‬ידי האנך ועל‪-‬ידי‬ ‫ציר ה‪) x -‬ראה ציור( מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬הבע את נפח גוף הסיבוב שנוצר באמצעות ‪. c‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ערך הפרמטר ‪ c‬שעבורו נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫חשב את הנפח המקסימלי‪.‬‬ ‫‪9.40‬‬ ‫במשולש ישר‪-‬זווית ‪ABC‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫= ‪ )ACB‬הקודקודים ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאים על ציר ה‪. x -‬‬ ‫הקודקוד ‪ A‬המצא על הפרבולה ‪ f(x) = 3x − x 2‬ברביע הראשון‪ .‬נתון‪. B ( −6, 0 ) :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬כך ששטח המשולש ‪ ABC‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫בנקודה ‪ , A‬שאת שיעוריה מצאת בסעיף הקודם‪ ,‬העבירו משיק לפרבולה‪ .‬המשיק יוצר‬ ‫זווית ‪ α‬עם הכיוון החיובי של ציר ה‪ . x -‬הראה כי ‪. α = π − )ABC‬‬ ‫‪) 9.41‬סעיף א' אינו כלול בשאלון ‪ 35806‬החל משנה"ל תשע"א(‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתונה פונקציה סתומה שמשוואתה היא‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ללא קשר לסעיף א'‪ ,‬השטח המוגבל על‪-‬ידי גרף הפונקציה ‪f (x) = x 2 − ax − 2a 2‬‬ ‫ועל‪-‬ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪ . x -‬ידוע כי נפח גוף הסיבוב שנוצר הוא ‪. 259.2π‬‬ ‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬ ‫‪cos y ⋅ ( cos y + cos x ) = sin x ( sin y − sin x ) −‬‬ ‫הראה כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה ) ‪( π6 , π2‬‬ ‫מקביל לציר ה‪. x -‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫)‪( a > 0‬‬ ‫‪183‬‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.42‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים ‪. x > sin x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. cos x > 1 −‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫הוכח כי לכל ‪ , x > 0‬מתקיים ) ‪. cos x − sin x > 12 ( 2 − 2x − x 2‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ללא קשר לסעיפים הקודמים‪ ,‬נתונות הפונקציות ‪. g(x) = 20 − 10x 2 , f(x) = 21cos x‬‬ ‫השטח המוגבל בין הגרפים של הפונקציות )‪ f(x‬ו‪ g(x) -‬והישרים ‪ x = π‬ו‪π -‬‬ ‫מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪x‬‬ ‫‪9.43‬‬ ‫‪ax + bx + 14x + 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+ 3x + 2 ) ⋅ x 2 + x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫= )‪ a ) f(x‬ו‪ b -‬מספרים ממשיים(‪.‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ידוע כי ל‪ f(x) -‬אין אסימפטוטות המקבילות לציר ה‪ . y -‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫פשט את הפונקציה על‪-‬ידי חילוק פולינומים וחשב את האינטגרל הבא‪. ∫ f(x) dx :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪9.44‬‬ ‫‪γ‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ γ , β , α‬הן זוויות במשולש שווה‪-‬שוקיים‪ .‬הוכח כי מתקיים‪3 :‬‬ ‫≤ ‪. 4 cos ⋅ cos ⋅ cos‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪9.45‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫נתונים שני מעגלים שמרכזיהם ‪ O1‬ו‪ O 2 -‬ורדיוסיהם ‪ 3‬ס"מ = ‪R1‬‬ ‫ו‪ 4 -‬ס"מ = ‪ . R 2‬המעגלים משיקים חיצונית בנקודה ‪ . B‬המיתר ‪AB‬‬ ‫נמצא במעגל שמרכזו ‪ , O1‬והמיתר ‪ BC‬נמצא במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬ ‫נתון‪ . ( 0 < β < π ) )ABC =β :‬נסמן‪)ABO1 = x :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪π‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(‬ ‫‪. 0<x< 2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הבע את שטח המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪ β‬ו‪. x -‬‬ ‫בהנחה ש‪ β -‬קבוע ו‪ x -‬משתנה‪ ,‬הבע את השטח המקסימלי של‬ ‫המשולש ‪ ABC‬באמצעות ‪. β‬‬ ‫על סמך סעיף ב'‪ ,‬מצא את גודל הזווית ‪ , β‬שעבורה שטח המשולש ‪ ABC‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪9.46‬‬ ‫‪x − 4x + m‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x 2 + 3x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪184‬‬ ‫= )‪ m ) f(x‬הוא פרמטר משתנה(‪.‬‬ ‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש שתי נקודות קיצון‪.‬‬ ‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם הפונקציה עולה לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬ ‫מצא את הערכים של ‪ m‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש "חור" בגרף‪ .‬מצא את שיעוריה של כל אחת‬ ‫מנקודות אי‪-‬ההגדרה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪9.47‬‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫)(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪ . f‬הנגזרת של הפונקציה היא‪:‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬מקיימת‪= − π :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x cos x x cos x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את )‪. f(x‬‬ ‫ב‪ .‬לגרף הפונקציה )‪ f(x‬שאת משוואתה מצאת בסעיף א'‪ ,‬העבירו משיק בנקודה בה ‪. x = π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪. f ′(x‬‬ ‫מצא את השטח המוגבל על‪-‬ידי המשיק ועל‪-‬ידי הצירים‪.‬‬ ‫‪9.48‬‬ ‫הפונקציה )‪ f(x‬זוגית ורציפה בקטע ]‪ f(x) . [ −3, 3‬מקיימת‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f ′′(x‬‬ ‫‪ . f (−1) = f (1) = 0‬הנגזרת )‪ f ′(x‬היא אי‪-‬זוגית ומקיימת‪:‬‬ ‫‪ . f ′ (−2) = f ′ (0) = f ′ (2) = 0‬בציור שלפניך מוצגת סקיצה של‬ ‫הנגזרת השנייה )‪ f ′′(x‬בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את תחומי העלייה והירידה של )‪ f ′(x‬עבור ‪. 0 < x < 3‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪ f ′(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬ ‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של )‪ f(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬ ‫מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול ותחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של‬ ‫)‪ f(x‬עבור ‪. −3 < x < 3‬‬ ‫סרטט סקיצה של )‪ f(x‬בתחום ‪. −3 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫נתון‪ . f ′(−1) = −2.5 :‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה )‪ f(x‬בנקודה שבה ‪. x = 1‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫היעזר בסעיף הקודם וחשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הגרף של )‪ f ′′(x‬ועל‪-‬ידי הצירים‬ ‫בתחום ‪. 0 ≤ x ≤ 2‬‬ ‫‪9.49‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪. f (x) = x − 8 ⋅ x + c‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי בנקודה שבה ‪ x = 0‬הפונקציה אינה גזירה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הישר ‪ y = 12‬חותך את גרף הפונקציה ב‪ 3 -‬נקודות‪ .‬חשב את השטח המוגבל על‪-‬ידי הישר‬ ‫‪ y = 12‬ועל‪-‬ידי גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.50‬‬ ‫‪x − 8x + c‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪ax 2 + bx + 3‬‬ ‫הפונקציה מוגדרת בתחום ‪. x > 1 , −3 < x < 1 , x < −3‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את הערכים של ‪ c‬שעבורם ל‪ f(x) -‬יש "חור" בגרף‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫= )‪ b , a ) f(x‬פרמטרים קבועים‪ - c ,‬פרמטר משתנה(‪.‬‬ ‫אי‪-‬ההגדרה‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ c‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם האסימפטוטה‬ ‫המקבילה לציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את ערכי הפרמטר ‪ c‬שעבורם הפונקציה יורדת לכל ‪ x‬בתחום הגדרתה‪.‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪185‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.51‬‬ ‫נתונות שתי פונקציות ‪. g(x) = f(x) , f(x) = x − 6x + 8‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחומי החיוביות והשליליות של )‪. f(x‬‬ ‫ב‪ .‬האם )‪ g(x‬היא פונקציה זוגית‪ ,‬אי‪-‬זוגית או לא זוגית ולא אי‪-‬זוגית? נמק‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של )‪. g(x‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות בהן הפונקציה )‪ g(x‬אינה גזירה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תשובות לפרק ‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 9.01‬א‪ . 6t 2 − t 3 − t 4 .‬ב‪; t =1.5 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ . 6‬ג‪. 12.91π .‬‬ ‫‪ 9.02‬א‪g(x) = 4x − x 2 , f(x) = 4 − x 2 .‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 9.02‬ב‬ ‫‪ . 7‬ד‪10π .‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 9.03‬א‪ . t = 4 .‬ב‪. 5 5 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ 9.04‬א‪ . II − f ′(x) , I − f(x) .‬ב‪ . 4 .‬ג‪ . y = −1.5x + 3.6 .‬ד‪. 2.4 .‬‬ ‫‪ 9.05‬א‪.‬‬ ‫‪t3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪t2 − 6‬‬ ‫ב‪. Smin = 9 3 .‬‬ ‫‪ 9.06‬א‪ 372 .‬ק"מ‪ .‬ב‪ 347.17 .‬ק"מ‪.‬‬ ‫‪9.07‬‬ ‫‪2 39 ⋅ R‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 9.08‬א‪ . II − f ′′(x) , I − f ′(x) .‬ב‪ x = 0 .‬מקסימום‪ x = 2 ,‬מינימום‪ .‬ג‪. x = 1.2 , x = −0.8 , x = −2 .‬‬ ‫‪9.09‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫א‪ . y = − 3x .‬ב‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪9.10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫א‪ . S(t) = t 3 − 2t 2 + .‬ב‪, t = .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪. Smin‬‬ ‫ג‪. Smax =1 1 , t = 1 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪. II − f(x) ; I − f ′(x) .‬‬ ‫‪9.11‬‬ ‫ג‪ .‬קעירות כלפי מעלה ‪, −3 < x < −1.7‬‬ ‫קעירות כלפי מטה‪ ; x > −1.7 , x < −3 :‬נקודות פיתול‪:‬‬ ‫‪ . x = − 1.7 , x = −3‬ד‪. 7 .‬‬ ‫‪186‬‬ ‫‪ 9.11‬ב‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1.7‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪9.12‬‬ ‫א‪( π3 , 3 − π3 ) .‬‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪ . A‬ב‪ . A ( 0, 3) .‬ג‪. 1.84 .‬‬ ‫א‪ .‬חיובית‪; 3 < x < 4 , 0 < x < 1 :‬‬ ‫‪9.13‬‬ ‫שלילית‪ .1 < x < 3 :‬ב‪ .‬עלייה‪, 0 < x < 1 :‬‬ ‫‪ ; 3 < x < 4‬ירידה‪;1 < x < 3 :‬‬ ‫) ‪. min ( 3, − 1.5 ) , max (1, 1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9.17‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 9.18‬א‪ . b = 3 .‬ב‪ .3 .‬ג‪. 274π .‬‬ ‫‪ 9.22‬א‪ . 9 .‬ב‪. 64.8π .‬‬ ‫‪9.24‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ . y = x − .‬ב‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9.27‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪.S‬‬ ‫= ‪, xE‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪6 ( a + 1‬‬ ‫א‪ . 0.945 .‬ב‪π .‬‬ ‫‪9.25‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9.29‬‬ ‫‪ 9.30‬א‪ . R cos 2x .‬ב‪π .‬‬ ‫‪R2 ,‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 9.32‬א‪ . K .‬ב‪. −2B .‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪( ) .‬‬ ‫‪. 1,‬‬ ‫ב‪ y = 4.4x − 6.1 .‬ג‪. 17.2π .‬‬ ‫‪ 9.37‬א‪.‬‬ ‫‪ 9.26‬ב‪. 0.94a 5 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫א‪ . c = 5 , b = − 6 , a = 3 .‬ב‪, 3 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪( π + 2π , 1) .‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25πc‬‬ ‫‪25π‬‬ ‫‪ .‬ב‪, c = 1 .‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪2 ( c + 1‬‬ ‫= ‪.V‬‬ ‫‪ .‬ד‪. 4π .‬‬ ‫‪9.34‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪,a‬‬ ‫‪ 9.36‬א‪. 2x 2 − x − x 2 + 4 .‬‬ ‫‪ . 4R cos‬ב‪. 7 .‬‬ ‫)‪) ⋅( x cosd β + 1‬‬ ‫ג‪ .‬ירידה‪:‬‬ ‫ד‪. g(x) = − x 3 + 5x 2 − 3x + 1 .‬‬ ‫‪ 9.31‬א‪. a = 2 .‬‬ ‫(‬ ‫‪ . d sin β ⋅ x + d‬ב‪. 4d 2 tan β .‬‬ ‫‪cos β‬‬ ‫‪ 9.38‬ב‪ (i) .‬מינימום‪; x = ±3 , x = 0 :‬‬ ‫מקסימום‪. x = ±2 :‬‬ ‫ירידה‪; 2 < x < 3 , −2 < x < 0 , −4 < x < −3 :‬‬ ‫עלייה‪. 3 < x < 4 , 0 < x < 2 , −3 < x < −2 :‬‬ ‫‪ 9.42‬ד‪. 15.59π .‬‬ ‫‪ 9.21‬ב‪. c = − 4 , b = − 2 .‬‬ ‫‪ 9.33‬א‪ . 9π ( a 2 + 3a + 9.6 ) .‬ב‪. a = −1.5 .‬‬ ‫‪ 9.35‬א‪.‬‬ ‫‪9.39‬‬ ‫‪ 9.19‬א‪. a = − 3 .‬‬ ‫‪ 9.23‬א‪ . b = −2 .‬ג‪. 3π .‬‬ ‫‪ ; x > 5 ,1 < x < 5 , x < 1‬עלייה‪ :‬אין; נקודות קיצון‪ :‬אין‪.‬‬ ‫‪. c = −3 , b = −1‬‬ ‫‪ 9.16‬א‪. a = 2 .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ . y = −9x − 9 .‬ד‪. 1.95 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪ 9.15‬א‪ . M .‬ב‪. M .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 9.20‬א‪. R 2 ⎡⎣sin 2x + sin ( 2α − 2x ) ⎤⎦ .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ . y = 2x − 4 .‬ג‪. 0.6 .‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 9.14‬א‪ . y = −x + 2 .‬ב‪. 0.34 .‬‬ ‫‪m 2x − x 3‬‬ ‫‪m 6‬‬ ‫‪ .‬ב‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪6π‬‬ ‫‪ 9.13‬ג‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(ii‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 3 4‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ 9.40‬א‪. A 2 3, 6 3 − 6 .‬‬ ‫‪-4 -3 -2 -1 0 1‬‬ ‫‪ 9.41‬ב‪. a = 2 .‬‬ ‫‪ 9.43‬א‪ . x > −1 , −2 < x < −1 , x < −2 .‬ב‪ . b = 14 , a = 4 .‬ג‪. 2.34 .‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬ ‫‪187‬‬ ‫תרגילים לסיכום‬ ‫‪9.45‬‬ ‫פרק ‪ :9‬חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪β‬‬ ‫א‪ . −24sin β ⋅ cos x ⋅ cos ( β + x ) .‬ב‪ . 24sin β ⋅ sin 2 .‬ג‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . x > −1 , −2 < x < −1‬ב‪. m > −5 , m < −12 .‬‬ ‫‪. ( −1, − 6 ) : m = −5‬‬ ‫‪9.47‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪x cos x‬‬ ‫ג‪. −12 ≤ m ≤ −5 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪c+3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ד‪; ( −2, 8 ) : m = −12 .‬‬ ‫= )‪ . f(x‬ב‪. 2 .‬‬ ‫‪ 9.48‬א‪ .‬עלייה‪ ; 2 < x < 3 , 0 < x < 1 :‬ירידה‪. 1 < x < 2 :‬‬ ‫ב‪ .‬חיובית‪ ; 2 < x < 3 , 0 < x < 2 :‬שלילית‪. −2 < x < 0 , −3 < x < −2 :‬‬ ‫ג‪ x = 0 .‬מינימום‪ .‬ד‪ .‬קעירות כלפי מעלה‪, −1 < x < 1 , −3 < x < −2 :‬‬ ‫‪ ; 2 < x < 3‬קעירות כלפי מטה‪; 1 < x < 2 , −2 < x < −1 :‬‬ ‫פיתול‪ . x = ±1 , x = ±2 :‬ה‪ .‬ראה ציור‪ .‬ו‪ . y = 2.5x − 2.5 .‬ז‪. 5 .‬‬ ‫‪ 9.49‬ב‪. 170 3 .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 9.46‬א‪, x < −2 .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪-3 -2 -1‬‬ ‫‪ 9.50‬א‪ . b = −2 , a = −1 .‬ב‪. ( −3, − 3.5 ) : c = −33 ; (1, 1.5 ) : c = 7 .‬‬ ‫‪ .‬ד‪. −33 ≤ c ≤ 7 .‬‬ ‫‪ 9.51‬א‪ .‬חיובית‪ ; x > 4 . x < 2 :‬שלילית‪. 2 < x < 4 :‬‬ ‫ב‪ .‬לא זוגית ולא אי‪-‬זוגית‪ .‬ג‪ .‬ראה ציור‪.‬‬ ‫ד‪. x = 4 , x = 2 .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪188‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫© כל הזכויות שמורות – אלכס זיו מתמטיקה המדריך המלא חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ‪ 5‬יח"ל‬